CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2407.03991v2/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S1" title="In A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2" title="In A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>The unified formalism for higher order field theories</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS1" title="In 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1 </span>The classical Lepage equivalent problem for first order field theories</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS2" title="In 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.2 </span>The unified formalism</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS2.SSS1" title="In 2.2. The unified formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.2.1 </span>Local expressions</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS3" title="In 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.3 </span>Lagrangian formalism</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS4" title="In 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.4 </span>Hamiltonian formalism</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS4.SSS1" title="In 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.4.1 </span>A space of multimomenta</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS4.SSS2" title="In 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.4.2 </span>The Hamiltonian form associated to a Lagrangian density</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS4.SSS3" title="In 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.4.3 </span>The projection of solutions of the Lagrangian-Hamiltonian problem</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3" title="In A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>The Hamilton equations for general variational problems</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.SS1" title="In 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.1 </span>Unified formalism for general variational problems</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.SS2" title="In 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2 </span>Hamilton equations for general variational problems</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.SS2.SSS1" title="In 3.2. Hamilton equations for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2.1 </span>Hamiltonian form from <math alttext="p_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msub><mi>p</mi><mi>λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝑝</ci><ci>𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">p_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.SS2.SSS2" title="In 3.2. Hamilton equations for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2.2 </span>Hamilton equations for general variational problems</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.SS2.SSS3" title="In 3.2. Hamilton equations for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2.3 </span>Hamiltonian field theory for (vakonomic) Herglotz variational problem</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4" title="In A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Hamilton equations for general relativity with basis</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS1" title="In 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.1 </span>Introduction and basic notation</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS2" title="In 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.2 </span>Compatibility in the affine action</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS3" title="In 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.3 </span>The quotient bundle and its primary constraint submanifold</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS3.SSS1" title="In 4.3. The quotient bundle and its primary constraint submanifold ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.3.1 </span>A projection compatible with <math alttext="\lambda_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msub><mi>λ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝜆</ci><ci>ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\lambda_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS3.SSS2" title="In 4.3. The quotient bundle and its primary constraint submanifold ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.3.2 </span>On the geometrical interpretation of the phase space for Hamilton equations</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS3.SSS3" title="In 4.3. The quotient bundle and its primary constraint submanifold ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.3.3 </span>The primary constraint submanifold</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS4" title="In 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.4 </span>Hamiltonian form and Hamilton equations for gravity with basis</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS4.SSS1" title="In 4.4. Hamiltonian form and Hamilton equations for gravity with basis ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.4.1 </span>The Hamiltonian form</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS4.SSS2" title="In 4.4. Hamiltonian form and Hamilton equations for gravity with basis ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.4.2 </span>The Hamilton equations for GR with basis</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5" title="In A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5 </span>Towards a constraint algorithm for general variational problems</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.SS1" title="In 5. Towards a constraint algorithm for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.1 </span>Final constraint submanifold and Hamilton equations</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.SS2" title="In 5. Towards a constraint algorithm for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.2 </span>The constraint algorithm for general variational problems</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.SS3" title="In 5. Towards a constraint algorithm for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.3 </span>Examples</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.SS3.SSS1" title="In 5.3. Examples ‣ 5. Towards a constraint algorithm for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.3.1 </span>A pair of hanging springs</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.SS3.SSS2" title="In 5.3. Examples ‣ 5. Towards a constraint algorithm for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.3.2 </span>Wave equation</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line ltx_leqno" lang="en"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">G. Quijón and S. Capriotti<sup class="ltx_sup" id="id4.3.id1">†</sup> </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_address">Departamento de Matemática <br class="ltx_break"/>Universidad Nacional del Sur and CONICET <br class="ltx_break"/>8000 Bahía Blanca <br class="ltx_break"/>Argentina </span> <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:santiago.capriotti@uns.edu.ar"><sup class="ltx_sup" id="id5.4.id1">†</sup>santiago.capriotti@uns.edu.ar</a> </span></span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract.</h6> <p class="ltx_p" id="id6.id1"><span class="ltx_text" id="id6.id1.1">The present article introduces a generalization of the (multisymplectic) Hamiltonian field theory for a Lagrangian density, allowing the formulation of this kind of field theories for variational problem of more general nature than those associated to a classical variational problem. It is achieved by realizing that the usual construction of the Hamiltonian equations can be performed without the use of the so called Hamiltonian section, whose existence is problematic when general variational problems are considered. The developed formalism is applied to obtain a novel multisymplectic Hamiltonian field theory for a first order formulation of gravity with basis in the full frame bundle. Also, aspects of a constraint algorithm in this generalized setting are discussed.</span></p> </div> <nav class="ltx_TOC ltx_list_toc ltx_toc_toc"><h6 class="ltx_title ltx_title_contents">Contents</h6> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S1" title="In A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2" title="In A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>The unified formalism for higher order field theories</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS1" title="In 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1 </span>The classical Lepage equivalent problem for first order field theories</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS2" title="In 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.2 </span>The unified formalism</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS2.SSS1" title="In 2.2. The unified formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.2.1 </span>Local expressions</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS3" title="In 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.3 </span>Lagrangian formalism</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS4" title="In 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.4 </span>Hamiltonian formalism</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS4.SSS1" title="In 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.4.1 </span>A space of multimomenta</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS4.SSS2" title="In 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.4.2 </span>The Hamiltonian form associated to a Lagrangian density</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS4.SSS3" title="In 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.4.3 </span>The projection of solutions of the Lagrangian-Hamiltonian problem</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3" title="In A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>The Hamilton equations for general variational problems</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.SS1" title="In 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.1 </span>Unified formalism for general variational problems</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.SS2" title="In 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2 </span>Hamilton equations for general variational problems</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.SS2.SSS1" title="In 3.2. Hamilton equations for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2.1 </span>Hamiltonian form from <math alttext="p_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msub><mi>p</mi><mi>λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝑝</ci><ci>𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">p_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.SS2.SSS2" title="In 3.2. Hamilton equations for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2.2 </span>Hamilton equations for general variational problems</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.SS2.SSS3" title="In 3.2. Hamilton equations for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2.3 </span>Hamiltonian field theory for (vakonomic) Herglotz variational problem</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4" title="In A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Hamilton equations for general relativity with basis</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS1" title="In 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.1 </span>Introduction and basic notation</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS2" title="In 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.2 </span>Compatibility in the affine action</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS3" title="In 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.3 </span>The quotient bundle and its primary constraint submanifold</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS3.SSS1" title="In 4.3. The quotient bundle and its primary constraint submanifold ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.3.1 </span>A projection compatible with <math alttext="\lambda_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><msub><mi>λ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content"><apply><csymbol cd="ambiguous">subscript</csymbol><ci>𝜆</ci><ci>ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">\lambda_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS3.SSS2" title="In 4.3. The quotient bundle and its primary constraint submanifold ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.3.2 </span>On the geometrical interpretation of the phase space for Hamilton equations</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS3.SSS3" title="In 4.3. The quotient bundle and its primary constraint submanifold ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.3.3 </span>The primary constraint submanifold</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS4" title="In 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.4 </span>Hamiltonian form and Hamilton equations for gravity with basis</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS4.SSS1" title="In 4.4. Hamiltonian form and Hamilton equations for gravity with basis ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.4.1 </span>The Hamiltonian form</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS4.SSS2" title="In 4.4. Hamiltonian form and Hamilton equations for gravity with basis ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.4.2 </span>The Hamilton equations for GR with basis</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5" title="In A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5 </span>Towards a constraint algorithm for general variational problems</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.SS1" title="In 5. Towards a constraint algorithm for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.1 </span>Final constraint submanifold and Hamilton equations</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.SS2" title="In 5. Towards a constraint algorithm for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.2 </span>The constraint algorithm for general variational problems</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.SS3" title="In 5. Towards a constraint algorithm for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.3 </span>Examples</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.SS3.SSS1" title="In 5.3. Examples ‣ 5. Towards a constraint algorithm for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.3.1 </span>A pair of hanging springs</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.SS3.SSS2" title="In 5.3. Examples ‣ 5. Towards a constraint algorithm for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5.3.2 </span>Wave equation</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> </ol></nav> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1. </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">The Hamiltonian version of a field theory is an important step in the quantization of the system it is describing. Nevertheless, the usual construction requires the choice of a foliation of the spacetime with spacelike <math alttext="3" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.p1.1.m1.1a"><mn id="S1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.p1.1.m1.1.1.cmml">3</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.1.m1.1b"><cn id="S1.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p1.1.m1.1.1">3</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.1.m1.1c">3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.1.m1.1d">3</annotation></semantics></math>-surfaces, and thus losing the explicit Lorenz symmetry of the theory. As a way to overcome this problem, efforts have been made to formulate Hamiltonian field theories from their Lagrangian counterpart preserving the basic symmetries of the theory <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">W-1982</span>, <span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">helein01hamiltonian</span>, <span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">grabowska_lagrangian_2010</span>, <span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">KRUPKOVA200293</span>, <span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">EcheverriaEnriquez:2005ht</span>, <span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Echeverria-EnrIquez20007402</span>]</cite>. On the other hand, it is often advantageous to work with variational problems in bundles not necessarily related to a jet bundle; this is a quite common need when symmetry reduction is considered <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">castrillon_eulerpoincare_2007</span>]</cite> or in alternate formulations for gravitation <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">capriotti14:_differ_palat</span>, <span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Capriotti2020b</span>]</cite>. These variational problems consist into finding extremals for the functional</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A_{\lambda}\left(\sigma\right):=\int_{M}\sigma^{*}\lambda" class="ltx_Math" display="block" id="S1.Ex1.m1.1"><semantics id="S1.Ex1.m1.1a"><mrow id="S1.Ex1.m1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S1.Ex1.m1.1.2.2" xref="S1.Ex1.m1.1.2.2.cmml"><msub id="S1.Ex1.m1.1.2.2.2" xref="S1.Ex1.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.1.2.2.2.2" xref="S1.Ex1.m1.1.2.2.2.2.cmml">A</mi><mi id="S1.Ex1.m1.1.2.2.2.3" xref="S1.Ex1.m1.1.2.2.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S1.Ex1.m1.1.2.2.1" xref="S1.Ex1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.1.2.2.3.2" xref="S1.Ex1.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S1.Ex1.m1.1.2.2.3.2.1" xref="S1.Ex1.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex1.m1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S1.Ex1.m1.1.2.2.3.2.2" rspace="0.278em" xref="S1.Ex1.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.1.2.1" rspace="0.111em" xref="S1.Ex1.m1.1.2.1.cmml">:=</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.1.2.3" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.cmml"><msub id="S1.Ex1.m1.1.2.3.1" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S1.Ex1.m1.1.2.3.1.2" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.Ex1.m1.1.2.3.1.3" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.1.3.cmml">M</mi></msub><mrow id="S1.Ex1.m1.1.2.3.2" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.cmml"><msup id="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.2" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.2.2" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.2.2.cmml">σ</mi><mo id="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.2.3" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.1" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.3" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.3.cmml">λ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex1.m1.1b"><apply id="S1.Ex1.m1.1.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex1.m1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.1">assign</csymbol><apply id="S1.Ex1.m1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.2"><times id="S1.Ex1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.2.1"></times><apply id="S1.Ex1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex1.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.2.2.2">𝐴</ci><ci id="S1.Ex1.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.2.2.3">𝜆</ci></apply><ci id="S1.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.1">𝜎</ci></apply><apply id="S1.Ex1.m1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3"><apply id="S1.Ex1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex1.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.1">subscript</csymbol><int id="S1.Ex1.m1.1.2.3.1.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.1.2"></int><ci id="S1.Ex1.m1.1.2.3.1.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.1.3">𝑀</ci></apply><apply id="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.2"><times id="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.1"></times><apply id="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.2.2">𝜎</ci><times id="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.2.3"></times></apply><ci id="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.1.2.3.2.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex1.m1.1c">A_{\lambda}\left(\sigma\right):=\int_{M}\sigma^{*}\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex1.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_σ ) := ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.9">where <math alttext="\lambda\in\Omega^{m}\left(W\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.2.m1.1"><semantics id="S1.p1.2.m1.1a"><mrow id="S1.p1.2.m1.1.2" xref="S1.p1.2.m1.1.2.cmml"><mi id="S1.p1.2.m1.1.2.2" xref="S1.p1.2.m1.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S1.p1.2.m1.1.2.1" xref="S1.p1.2.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S1.p1.2.m1.1.2.3" xref="S1.p1.2.m1.1.2.3.cmml"><msup id="S1.p1.2.m1.1.2.3.2" xref="S1.p1.2.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S1.p1.2.m1.1.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.p1.2.m1.1.2.3.2.2.cmml">Ω</mi><mi id="S1.p1.2.m1.1.2.3.2.3" xref="S1.p1.2.m1.1.2.3.2.3.cmml">m</mi></msup><mo id="S1.p1.2.m1.1.2.3.1" xref="S1.p1.2.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.2.m1.1.2.3.3.2" xref="S1.p1.2.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S1.p1.2.m1.1.2.3.3.2.1" xref="S1.p1.2.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.2.m1.1.1" xref="S1.p1.2.m1.1.1.cmml">W</mi><mo id="S1.p1.2.m1.1.2.3.3.2.2" xref="S1.p1.2.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.2.m1.1b"><apply id="S1.p1.2.m1.1.2.cmml" xref="S1.p1.2.m1.1.2"><in id="S1.p1.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.2.m1.1.2.1"></in><ci id="S1.p1.2.m1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.2.m1.1.2.2">𝜆</ci><apply id="S1.p1.2.m1.1.2.3.cmml" xref="S1.p1.2.m1.1.2.3"><times id="S1.p1.2.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.2.m1.1.2.3.1"></times><apply id="S1.p1.2.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.p1.2.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.2.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p1.2.m1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.2.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S1.p1.2.m1.1.2.3.2.2">Ω</ci><ci id="S1.p1.2.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S1.p1.2.m1.1.2.3.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m1.1.1">𝑊</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.2.m1.1c">\lambda\in\Omega^{m}\left(W\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.2.m1.1d">italic_λ ∈ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W )</annotation></semantics></math> is a <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.3.m2.1"><semantics id="S1.p1.3.m2.1a"><mi id="S1.p1.3.m2.1.1" xref="S1.p1.3.m2.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.3.m2.1b"><ci id="S1.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m2.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.3.m2.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.3.m2.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form on a general bundle <math alttext="\tau:W\to M^{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.4.m3.1"><semantics id="S1.p1.4.m3.1a"><mrow id="S1.p1.4.m3.1.1" xref="S1.p1.4.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.4.m3.1.1.2" xref="S1.p1.4.m3.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="S1.p1.4.m3.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S1.p1.4.m3.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S1.p1.4.m3.1.1.3" xref="S1.p1.4.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p1.4.m3.1.1.3.2" xref="S1.p1.4.m3.1.1.3.2.cmml">W</mi><mo id="S1.p1.4.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.p1.4.m3.1.1.3.1.cmml">→</mo><msup id="S1.p1.4.m3.1.1.3.3" xref="S1.p1.4.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p1.4.m3.1.1.3.3.2" xref="S1.p1.4.m3.1.1.3.3.2.cmml">M</mi><mi id="S1.p1.4.m3.1.1.3.3.3" xref="S1.p1.4.m3.1.1.3.3.3.cmml">m</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.4.m3.1b"><apply id="S1.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m3.1.1"><ci id="S1.p1.4.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m3.1.1.1">:</ci><ci id="S1.p1.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.4.m3.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S1.p1.4.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.4.m3.1.1.3"><ci id="S1.p1.4.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.4.m3.1.1.3.1">→</ci><ci id="S1.p1.4.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.4.m3.1.1.3.2">𝑊</ci><apply id="S1.p1.4.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.4.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.4.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p1.4.m3.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.4.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p1.4.m3.1.1.3.3.2">𝑀</ci><ci id="S1.p1.4.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.p1.4.m3.1.1.3.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.4.m3.1c">\tau:W\to M^{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.4.m3.1d">italic_τ : italic_W → italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\sigma:M\to W" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.5.m4.1"><semantics id="S1.p1.5.m4.1a"><mrow id="S1.p1.5.m4.1.1" xref="S1.p1.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.5.m4.1.1.2" xref="S1.p1.5.m4.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S1.p1.5.m4.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S1.p1.5.m4.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S1.p1.5.m4.1.1.3" xref="S1.p1.5.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p1.5.m4.1.1.3.2" xref="S1.p1.5.m4.1.1.3.2.cmml">M</mi><mo id="S1.p1.5.m4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.p1.5.m4.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S1.p1.5.m4.1.1.3.3" xref="S1.p1.5.m4.1.1.3.3.cmml">W</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.5.m4.1b"><apply id="S1.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S1.p1.5.m4.1.1"><ci id="S1.p1.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.5.m4.1.1.1">:</ci><ci id="S1.p1.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.5.m4.1.1.2">𝜎</ci><apply id="S1.p1.5.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.5.m4.1.1.3"><ci id="S1.p1.5.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.5.m4.1.1.3.1">→</ci><ci id="S1.p1.5.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.5.m4.1.1.3.2">𝑀</ci><ci id="S1.p1.5.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.5.m4.1.1.3.3">𝑊</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.5.m4.1c">\sigma:M\to W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.5.m4.1d">italic_σ : italic_M → italic_W</annotation></semantics></math> is a section of this bundle annihilating a set of forms on <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.6.m5.1"><semantics id="S1.p1.6.m5.1a"><mi id="S1.p1.6.m5.1.1" xref="S1.p1.6.m5.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.6.m5.1b"><ci id="S1.p1.6.m5.1.1.cmml" xref="S1.p1.6.m5.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.6.m5.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.6.m5.1d">italic_W</annotation></semantics></math>. When <math alttext="W=J^{k+1}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.7.m6.1"><semantics id="S1.p1.7.m6.1a"><mrow id="S1.p1.7.m6.1.1" xref="S1.p1.7.m6.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.7.m6.1.1.2" xref="S1.p1.7.m6.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S1.p1.7.m6.1.1.1" xref="S1.p1.7.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p1.7.m6.1.1.3" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.cmml"><msup id="S1.p1.7.m6.1.1.3.2" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.2" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.3" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.3.2" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.3.1" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.3.3" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S1.p1.7.m6.1.1.3.1" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.7.m6.1.1.3.3" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.3.cmml">π</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.7.m6.1b"><apply id="S1.p1.7.m6.1.1.cmml" xref="S1.p1.7.m6.1.1"><eq id="S1.p1.7.m6.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.7.m6.1.1.1"></eq><ci id="S1.p1.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.7.m6.1.1.2">𝑊</ci><apply id="S1.p1.7.m6.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3"><times id="S1.p1.7.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.1"></times><apply id="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.2">𝐽</ci><apply id="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.3"><plus id="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.3.1"></plus><ci id="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S1.p1.7.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.7.m6.1.1.3.3">𝜋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.7.m6.1c">W=J^{k+1}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.7.m6.1d">italic_W = italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math>, <math alttext="\lambda={\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.8.m7.1"><semantics id="S1.p1.8.m7.1a"><mrow id="S1.p1.8.m7.1.1" xref="S1.p1.8.m7.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.8.m7.1.1.2" xref="S1.p1.8.m7.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S1.p1.8.m7.1.1.1" xref="S1.p1.8.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p1.8.m7.1.1.3" xref="S1.p1.8.m7.1.1.3.cmml">ℒ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.8.m7.1b"><apply id="S1.p1.8.m7.1.1.cmml" xref="S1.p1.8.m7.1.1"><eq id="S1.p1.8.m7.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.8.m7.1.1.1"></eq><ci id="S1.p1.8.m7.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.8.m7.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S1.p1.8.m7.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.8.m7.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.8.m7.1c">\lambda={\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.8.m7.1d">italic_λ = caligraphic_L</annotation></semantics></math> and the set of forms is the contact structure on <math alttext="J^{k+1}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.9.m8.1"><semantics id="S1.p1.9.m8.1a"><mrow id="S1.p1.9.m8.1.1" xref="S1.p1.9.m8.1.1.cmml"><msup id="S1.p1.9.m8.1.1.2" xref="S1.p1.9.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p1.9.m8.1.1.2.2" xref="S1.p1.9.m8.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S1.p1.9.m8.1.1.2.3" xref="S1.p1.9.m8.1.1.2.3.cmml"><mi id="S1.p1.9.m8.1.1.2.3.2" xref="S1.p1.9.m8.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S1.p1.9.m8.1.1.2.3.1" xref="S1.p1.9.m8.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.p1.9.m8.1.1.2.3.3" xref="S1.p1.9.m8.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S1.p1.9.m8.1.1.1" xref="S1.p1.9.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p1.9.m8.1.1.3" xref="S1.p1.9.m8.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.9.m8.1b"><apply id="S1.p1.9.m8.1.1.cmml" xref="S1.p1.9.m8.1.1"><times id="S1.p1.9.m8.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.9.m8.1.1.1"></times><apply id="S1.p1.9.m8.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.9.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.9.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.9.m8.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.9.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.9.m8.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="S1.p1.9.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p1.9.m8.1.1.2.3"><plus id="S1.p1.9.m8.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.9.m8.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S1.p1.9.m8.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.p1.9.m8.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S1.p1.9.m8.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.9.m8.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S1.p1.9.m8.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.9.m8.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.9.m8.1c">J^{k+1}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.9.m8.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math>, this setting recovers the classical variational problem. It is reasonable to assume that not every variational problem should necessarily occur in a jet bundle and that, even when this is the case, the sections to be integrated into the action could not be holonomic.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">In the present article, we propose a generalization of the construction of Hamiltonian field theories in the realm of general variational problems.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1">One of the problems one encounters when trying to perform this generalization, is that the usual formulation of Hamiltonian field theory out from its Lagrangian counterpart requires geometrical constructions that are intimately related to the jet bundle structures associated to the variational problem. In particular, the <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p3.1.1">Hamiltonian form</em>, from which the Hamilton equations are written, requires for its definition of the notion of a <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p3.1.2">Hamiltonian section</em>, which is a section of a bundle obtained through quotient from a multimomentum space that in turn is the space of affine maps on the jet bundle. It is quite evident that some of these structures are missing in general variational problems as those indicated above.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.2">Nevertheless, it is possible to find geometrical structures that are common among variational problems in general. Between them, the more important for our purposes is the so called <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p4.2.1">unified</em> or <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p4.2.2">Lagrangian-Hamiltonian formalism</em> (also called <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p4.2.3">Skinner-Rusk formalism</em>, after the authors who first proposed it in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Skinner1983GeneralizedHD</span>]</cite>). In the case of classical field theories, these formulations has been studied in several places; for example, see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">1751-8121-42-47-475207</span>, <span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">375178</span>, <span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">DeLeon:2002fc</span>, <span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">2004JMP....45..360E</span>]</cite>, and <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Vitagliano2010857</span>]</cite> for a formulation using secondary calculus. Also, the reader can find a proposal for second order field theories avoiding the appearance of non symmetric momenta in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Prieto-Martinez2015203</span>]</cite>. It finds immediate application in the study of the Hamiltonian formulation for field theories with singular Lagrangians, where no method is available for such formulation. As we have been warned above, a crucial feature of the previously cited articles is that they work in the realm of the so called <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p4.2.4">classical variational problems</em>; namely, the kind of variational problems on a jet bundle <math alttext="J^{k+1}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.1.m1.1"><semantics id="S1.p4.1.m1.1a"><mrow id="S1.p4.1.m1.1.1" xref="S1.p4.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p4.1.m1.1.1.2.2" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S1.p4.1.m1.1.1.2.3" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S1.p4.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S1.p4.1.m1.1.1.2.3.1" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.p4.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S1.p4.1.m1.1.1.1" xref="S1.p4.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.1.m1.1b"><apply id="S1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1"><times id="S1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="S1.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2.3"><plus id="S1.p4.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S1.p4.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S1.p4.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.1.m1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.1.m1.1c">J^{k+1}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.1.m1.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math> (where <math alttext="\pi:P\to M" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.2.m2.1"><semantics id="S1.p4.2.m2.1a"><mrow id="S1.p4.2.m2.1.1" xref="S1.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.2.m2.1.1.2" xref="S1.p4.2.m2.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S1.p4.2.m2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S1.p4.2.m2.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S1.p4.2.m2.1.1.3" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p4.2.m2.1.1.3.2" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S1.p4.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S1.p4.2.m2.1.1.3.3" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.2.m2.1b"><apply id="S1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1"><ci id="S1.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.1">:</ci><ci id="S1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.2">𝜋</ci><apply id="S1.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3"><ci id="S1.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3.1">→</ci><ci id="S1.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S1.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.2.m2.1c">\pi:P\to M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.2.m2.1d">italic_π : italic_P → italic_M</annotation></semantics></math> is the bundle of fields) prescribed by a functional determined through a Lagrangian density using the formula</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A_{\mathcal{L}}\left(s\right):=\int_{M}\left(j^{k+1}s\right)^{*}{\mathcal{L}}." class="ltx_Math" display="block" id="S1.Ex2.m1.2"><semantics id="S1.Ex2.m1.2a"><mrow id="S1.Ex2.m1.2.2.1" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.3.2.1" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex2.m1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" rspace="0.278em" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.2.cmml">:=</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.2" rspace="0em" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">M</mi></msub><mrow id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">j</mi><mrow id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">ℒ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex2.m1.2b"><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.2">assign</csymbol><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3"><times id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.3.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="S1.Ex2.m1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1">𝑠</ci></apply><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1"><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.2"></int><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2.3">𝑀</ci></apply><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><times id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"></times></apply><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex2.m1.2c">A_{\mathcal{L}}\left(s\right):=\int_{M}\left(j^{k+1}s\right)^{*}{\mathcal{L}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex2.m1.2d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) := ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_L .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p4.3">The crucial feature of the unified formalism is that it is possible to be generalized to variational problems more general than the classical variational problem. A first step in this direction was taken in the works <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">doi:10.1142/S0219887818500445</span>, <span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Capriotti2020b</span>]</cite>; in these articles, and using a construction described in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">GotayCartan</span>]</cite>, it was possible to find an unified formalism for first order and Lovelock gravity. Also, a variation of this formalism was successfully employed in the definition of Routh reduction of a first order field theory by a general Lie group <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Capriotti2019</span>]</cite>. In principle, the method used in these works can be interpreted as <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p4.3.1">ad hoc</em>, since the relationship between such method and the canonical construction of the unified problem is not evident at first sight. One of the purposes of the present article is to prove that the construction of Gotay also replicates the usual unified formalism when the variational problem is classical. Although the basic scheme for this version of the unified formalism was outlined in the works previously cited, it is our conviction that it deserves its own exposition in a separate article. Additionally, and as a way to stress its practical value, another physical example (aside from the applications to gravity mentioned above) will be discussed, where the generalized construction of the unified formalism shows its adequacy in dealing with variational problems of general nature <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">F_J_de_Urries_1998</span>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1">Once we have established that the unified formalism can be extended to general variational problems, it remains to show how a Hamiltonian field theory can be extracted from it. The second aim of the present article is to describe a construction of the usual Hamiltonian form directly from the unified formalism, without recurring to a Hamiltonian section, and to generalize this procedure to general variational problems, in order to find a Hamiltonian version for them. This scheme is then applied to find a novel Hamiltonian formulation for gravity with basis, using for this end the description for this kind of gravity theory given in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">doi:10.1142/S0219887818500445</span>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.1">The final section of the article discusses some aspects of the constraint algorithm from this generalized viewpoint. The formulation of this algorithm for general variational problems is applied to some well-known examples.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2. </span>The unified formalism for higher order field theories</h2> <div class="ltx_para" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.1">We will devote the next section to the discussion of an unified formalism for higher order field theories. Essentially, it is based in the notion of <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S2.p1.1.1">classical Lepage equivalent problem</em> as it is discussed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">GotayCartan</span>]</cite>, see also <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Krupka1986a</span>, <span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Krupka1986b</span>]</cite>. The basic idea of this approach is to consider that, as in the Lagrangian formulation the sections of the jet bundle to be used in the functional should be holonomic, the contact structure of the jet bundle can be considered as a set of constraints, and so they can be put in the Lagrangian through Lagrange multipliers; from this viewpoint, the (multi)momenta are nothing but these multipliers. As there is a general way of performing this operation geometrically, these considerations free us from having to imagine how the space of multimomenta should be for each order.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.1. </span>The classical Lepage equivalent problem for first order field theories</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.4">Let us briefly describe in this section the formalism developed by Gotay in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">GotayCartan</span>, <span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Gotay1991203</span>]</cite>. First, suppose that we have a bundle <math alttext="\tau:Q\to M" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1"><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.1">:</ci><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3"><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1">→</ci><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.1.m1.1c">\tau:Q\to M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.1.m1.1d">italic_τ : italic_Q → italic_M</annotation></semantics></math>, and consider the <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S2.SS1.p1.4.1">contact subbundle</em> <math alttext="I_{{\rm con},2}^{m}=I_{\rm con}\cap\Lambda^{m}_{2}J^{1}\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.2.m2.2"><semantics id="S2.SS1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2.2.2.cmml">I</mi><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">con</mi><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.2.cmml">I</mi><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.3.cmml">con</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">∩</mo><mrow id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.2.2.cmml">Λ</mi><mn id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.3.cmml">2</mn><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.1" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.3.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.1a" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.4" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.4.cmml">τ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.2.m2.2b"><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3"><eq id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.1"></eq><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2.2.2">𝐼</ci><list id="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1">con</ci><cn id="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.2.2.2">2</cn></list></apply><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3"><intersect id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.1"></intersect><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.2">𝐼</ci><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.3">con</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3"><times id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.2.2">Λ</ci><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.3.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.3.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m2.2.3.3.3.4">𝜏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.2.m2.2c">I_{{\rm con},2}^{m}=I_{\rm con}\cap\Lambda^{m}_{2}J^{1}\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.2.m2.2d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT roman_con , 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT = italic_I start_POSTSUBSCRIPT roman_con end_POSTSUBSCRIPT ∩ roman_Λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ</annotation></semantics></math> spanned by <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p1.3.m3.1a"><mi id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.3.m3.1b"><ci id="S2.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m3.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.3.m3.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.3.m3.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-forms which are <math alttext="2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p1.4.m4.1a"><mn id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml">2</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.4.m4.1b"><cn id="S2.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.4.m4.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.4.m4.1c">2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.4.m4.1d">2</annotation></semantics></math>-vertical and which, in view of the observations above, admits the following description:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left.I_{{\rm con},2}^{m}\right|_{j_{x}^{1}s}=\mathcal{L}\left\{\alpha\circ% \theta\wedge\beta:\alpha\in T^{*}_{s\left(x\right)}Q,\beta\in\left(\Lambda^{m-% 1}_{1}J^{1}\tau\right)_{j_{x}^{1}s}\right\}\subset\wedge^{m}_{2}\left(J^{1}% \tau\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E1.m1.5"><semantics id="S2.E1.m1.5a"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.cmml"><msub id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">I</mi><mrow id="S2.E1.m1.2.2.2.4" xref="S2.E1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml">con</mi><mo id="S2.E1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S2.E1.m1.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msubsup><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S2.E1.m1.4.4.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.cmml"><msubsup id="S2.E1.m1.4.4.1.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.4.4.1.2.2.2" xref="S2.E1.m1.4.4.1.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S2.E1.m1.4.4.1.2.2.3" xref="S2.E1.m1.4.4.1.2.2.3.cmml">x</mi><mn id="S2.E1.m1.4.4.1.2.3" xref="S2.E1.m1.4.4.1.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S2.E1.m1.4.4.1.1" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.4.4.1.3" xref="S2.E1.m1.4.4.1.3.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.6" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">∘</mo><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml">∧</mo><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.3" xref="S2.E1.m1.3.3.1.3.cmml">s</mi><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.3.3.1.4.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.4.2.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.3.3.1.1" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.E1.m1.3.3.1.4.2.2" xref="S2.E1.m1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.3.cmml">Q</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml">β</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml">∈</mo><msub id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Λ</mi><mn id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">J</mi><mn id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1a" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.4" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.cmml"><msubsup id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.2.3.cmml">x</mi><mn id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.5" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.7" rspace="0em" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.7.cmml">⊂</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.cmml"><msubsup id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.cmml"><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.2.2" lspace="0em" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.3.cmml">2</mn><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.m1.5b"><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1"><and id="S2.E1.m1.5.5.1.1a.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1"></and><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1b.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1"><eq id="S2.E1.m1.5.5.1.1.6.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.6"></eq><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">evaluated-at</csymbol><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐼</ci><list id="S2.E1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1">con</ci><cn id="S2.E1.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2">2</cn></list></apply><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.4.4.1.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1"><times id="S2.E1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.1"></times><apply id="S2.E1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E1.m1.4.4.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.4.4.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.4.4.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.E1.m1.4.4.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.2.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S2.E1.m1.4.4.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.4.4.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.E1.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.1.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3"><times id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.3"></times><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.4">ℒ</ci><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1"><and id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1"></and><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2"><compose id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.1"></compose><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.3">𝜃</ci></apply><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3">𝛽</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.3a.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1"><in id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.1"></in><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3"><times id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2.2.2">𝑇</ci><times id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2.2.3"></times></apply><apply id="S2.E1.m1.3.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1"><times id="S2.E1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S2.E1.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.3">𝑠</ci><ci id="S2.E1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.1.1">𝑥</ci></apply></apply><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.1.3.3">𝑄</ci></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2"><in id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.2"></in><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.3">𝛽</ci><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1"><times id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2">Λ</ci><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3"><minus id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1"></minus><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2">𝐽</ci><cn id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.1.1.1.4">𝜏</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3"><times id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.1"></times><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.2.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1c.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1"><subset id="S2.E1.m1.5.5.1.1.7.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.7"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.E1.m1.5.5.1.1.3.cmml" id="S2.E1.m1.5.5.1.1d.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1"></share><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4"><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2">superscript</csymbol><and id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.2.2"></and><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1"><times id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.m1.5c">\left.I_{{\rm con},2}^{m}\right|_{j_{x}^{1}s}=\mathcal{L}\left\{\alpha\circ% \theta\wedge\beta:\alpha\in T^{*}_{s\left(x\right)}Q,\beta\in\left(\Lambda^{m-% 1}_{1}J^{1}\tau\right)_{j_{x}^{1}s}\right\}\subset\wedge^{m}_{2}\left(J^{1}% \tau\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.m1.5d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT roman_con , 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT = caligraphic_L { italic_α ∘ italic_θ ∧ italic_β : italic_α ∈ italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_s ( italic_x ) end_POSTSUBSCRIPT italic_Q , italic_β ∈ ( roman_Λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT } ⊂ ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.16">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left.\theta\right|_{j_{x}^{1}s}:=T_{j_{x}^{1}s}\tau_{10}-T_{x}s\circ T_{j_{x}% ^{1}s}\tau_{1}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex1.m1.2"><semantics id="S2.Ex1.m1.2a"><mrow id="S2.Ex1.m1.2.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.cmml"><msub id="S2.Ex1.m1.2.3.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.3.2.1.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.2.3.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S2.Ex1.m1.2.3.2.2.2.1" xref="S2.Ex1.m1.2.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S2.Ex1.m1.2.2.1" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex1.m1.2.2.1.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.2.3.cmml">x</mi><mn id="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.3" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.1.3" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.3.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex1.m1.2.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex1.m1.2.3.1.cmml">:=</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.2.3.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.cmml"><msub id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.cmml"><msubsup id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.2.3.cmml">x</mi><mn id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.1" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.1" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.3.2" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.3.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.3.3.cmml">10</mn></msub></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.2.3.3.1" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.cmml"><msub id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.2.2.cmml">T</mi><mi id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.2.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.1" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.1.cmml">∘</mo><msub id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.2" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.cmml"><msubsup id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.2.3.cmml">x</mi><mn id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.1" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.1" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.3.2" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.3.3" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex1.m1.2b"><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.1">assign</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex1.m1.2.3.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.2.2.2.1">evaluated-at</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1">𝜃</ci><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1"><times id="S2.Ex1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.1"></times><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.1.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3"><minus id="S2.Ex1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.1"></minus><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2"><times id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.1"></times><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.2">𝑇</ci><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3"><times id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.1"></times><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.3.2">𝜏</ci><cn id="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.2.3.3">10</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3"><times id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.1"></times><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2"><compose id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.1"></compose><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2"><times id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.1"></times><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.2.2">𝑇</ci><ci id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.2.3">𝑥</ci></apply><ci id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.2">𝑇</ci><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3"><times id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.1"></times><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.2.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.3.2">𝜏</ci><cn id="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.2.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m1.2c">\left.\theta\right|_{j_{x}^{1}s}:=T_{j_{x}^{1}s}\tau_{10}-T_{x}s\circ T_{j_{x}% ^{1}s}\tau_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m1.2d">italic_θ | start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT := italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 10 end_POSTSUBSCRIPT - italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT italic_s ∘ italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.10">is the <math alttext="V\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.5.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.5.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.5.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.5.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.5.m1.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="S2.SS1.p1.5.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p1.5.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.5.m1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.5.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m1.1.1"><times id="S2.SS1.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m1.1.1.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m1.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S2.SS1.p1.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m1.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.5.m1.1c">V\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.5.m1.1d">italic_V italic_τ</annotation></semantics></math>-valued contact <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.6.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p1.6.m2.1a"><mn id="S2.SS1.p1.6.m2.1.1" xref="S2.SS1.p1.6.m2.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.6.m2.1b"><cn id="S2.SS1.p1.6.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.6.m2.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.6.m2.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.6.m2.1d">1</annotation></semantics></math>-form on <math alttext="J^{1}\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.7.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p1.7.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.7.m3.1.1" xref="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.7.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m3.1.1"><times id="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m3.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.7.m3.1c">J^{1}\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.7.m3.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ</annotation></semantics></math>. Also, the notation <math alttext="\mathcal{L}\{\cdot\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.8.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p1.8.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.8.m4.1.2" xref="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.3.1.cmml">{</mo><mo id="S2.SS1.p1.8.m4.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p1.8.m4.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.8.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m4.1.2"><times id="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.2">ℒ</ci><set id="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m4.1.2.3.2"><ci id="S2.SS1.p1.8.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m4.1.1">⋅</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.8.m4.1c">\mathcal{L}\{\cdot\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.8.m4.1d">caligraphic_L { ⋅ }</annotation></semantics></math> denotes the linear span; in other words, an element <math alttext="\rho" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.9.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p1.9.m5.1a"><mi id="S2.SS1.p1.9.m5.1.1" xref="S2.SS1.p1.9.m5.1.1.cmml">ρ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.9.m5.1b"><ci id="S2.SS1.p1.9.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m5.1.1">𝜌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.9.m5.1c">\rho</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.9.m5.1d">italic_ρ</annotation></semantics></math> in the contact subbundle <math alttext="I_{{\rm con},2}^{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.10.m6.2"><semantics id="S2.SS1.p1.10.m6.2a"><msubsup id="S2.SS1.p1.10.m6.2.3" xref="S2.SS1.p1.10.m6.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.10.m6.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.10.m6.2.3.2.2.cmml">I</mi><mrow id="S2.SS1.p1.10.m6.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.10.m6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.10.m6.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.10.m6.1.1.1.1.cmml">con</mi><mo id="S2.SS1.p1.10.m6.2.2.2.4.1" xref="S2.SS1.p1.10.m6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S2.SS1.p1.10.m6.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.10.m6.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow><mi id="S2.SS1.p1.10.m6.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.10.m6.2.3.3.cmml">m</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.10.m6.2b"><apply id="S2.SS1.p1.10.m6.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.10.m6.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m6.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.10.m6.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.10.m6.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m6.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.10.m6.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m6.2.3.2.2">𝐼</ci><list id="S2.SS1.p1.10.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m6.2.2.2.4"><ci id="S2.SS1.p1.10.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m6.1.1.1.1">con</ci><cn id="S2.SS1.p1.10.m6.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.10.m6.2.2.2.2">2</cn></list></apply><ci id="S2.SS1.p1.10.m6.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m6.2.3.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.10.m6.2c">I_{{\rm con},2}^{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.10.m6.2d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT roman_con , 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is of the form</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\rho=(\alpha_{1}\circ\theta)\wedge\beta_{1}+\dots+(\alpha_{k}\circ\theta)% \wedge\beta_{k}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex2.m1.1"><semantics id="S2.Ex2.m1.1a"><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.4.cmml">ρ</mi><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∧</mo><msub id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">β</mi><mn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.4" mathvariant="normal" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml">⋯</mi><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">α</mi><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">∘</mo><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">∧</mo><msub id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">β</mi><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex2.m1.1b"><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.3"></eq><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.4">𝜌</ci><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2"><and id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.3"></and><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2"><plus id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3"></plus><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><and id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></and><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><compose id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></compose><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci><cn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜃</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛽</ci><cn id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.4">⋯</ci><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"><compose id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"></compose><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.4.2">𝛽</ci><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.2.4.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex2.m1.1c">\rho=(\alpha_{1}\circ\theta)\wedge\beta_{1}+\dots+(\alpha_{k}\circ\theta)% \wedge\beta_{k},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex2.m1.1d">italic_ρ = ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_θ ) ∧ italic_β start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + ⋯ + ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_θ ) ∧ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.15">sor some <math alttext="k\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.11.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.11.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.11.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.11.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.11.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.11.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS1.p1.11.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.11.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS1.p1.11.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.11.m1.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.11.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p1.11.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m1.1.1"><in id="S2.SS1.p1.11.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m1.1.1.1"></in><ci id="S2.SS1.p1.11.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S2.SS1.p1.11.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.11.m1.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.11.m1.1c">k\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.11.m1.1d">italic_k ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> and with <math alttext="\alpha_{i},\beta_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.12.m2.2"><semantics id="S2.SS1.p1.12.m2.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.12.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.12.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.12.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.12.m2.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mi id="S2.SS1.p1.12.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.12.m2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.2.2.cmml">β</mi><mi id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.12.m2.2b"><list id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2"><apply id="S2.SS1.p1.12.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.12.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.12.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.1.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S2.SS1.p1.12.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.12.m2.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.12.m2.2c">\alpha_{i},\beta_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.12.m2.2d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. We will call an element of <math alttext="I_{{\rm con},2}^{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.13.m3.2"><semantics id="S2.SS1.p1.13.m3.2a"><msubsup id="S2.SS1.p1.13.m3.2.3" xref="S2.SS1.p1.13.m3.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.13.m3.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.13.m3.2.3.2.2.cmml">I</mi><mrow id="S2.SS1.p1.13.m3.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.13.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.1.1.cmml">con</mi><mo id="S2.SS1.p1.13.m3.2.2.2.4.1" xref="S2.SS1.p1.13.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S2.SS1.p1.13.m3.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.13.m3.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow><mi id="S2.SS1.p1.13.m3.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.13.m3.2.3.3.cmml">m</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.13.m3.2b"><apply id="S2.SS1.p1.13.m3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.13.m3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.13.m3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.13.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.13.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m3.2.3.2.2">𝐼</ci><list id="S2.SS1.p1.13.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m3.2.2.2.4"><ci id="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m3.1.1.1.1">con</ci><cn id="S2.SS1.p1.13.m3.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.13.m3.2.2.2.2">2</cn></list></apply><ci id="S2.SS1.p1.13.m3.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.13.m3.2.3.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.13.m3.2c">I_{{\rm con},2}^{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.13.m3.2d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT roman_con , 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with a single summand (i.e., <math alttext="k=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.14.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p1.14.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.14.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1"><eq id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.14.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.14.m4.1c">k=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.14.m4.1d">italic_k = 1</annotation></semantics></math>) a <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S2.SS1.p1.15.1">simple element</em>. Most of the proofs involving <math alttext="I_{{\rm con},2}^{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.15.m5.2"><semantics id="S2.SS1.p1.15.m5.2a"><msubsup id="S2.SS1.p1.15.m5.2.3" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.15.m5.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.3.2.2.cmml">I</mi><mrow id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.15.m5.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.15.m5.1.1.1.1.cmml">con</mi><mo id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.2.4.1" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow><mi id="S2.SS1.p1.15.m5.2.3.3" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.3.3.cmml">m</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.15.m5.2b"><apply id="S2.SS1.p1.15.m5.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.15.m5.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.15.m5.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.15.m5.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.15.m5.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.3.2.2">𝐼</ci><list id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.2.4"><ci id="S2.SS1.p1.15.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.1.1.1.1">con</ci><cn id="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.2.2.2">2</cn></list></apply><ci id="S2.SS1.p1.15.m5.2.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.15.m5.2.3.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.15.m5.2c">I_{{\rm con},2}^{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.15.m5.2d">italic_I start_POSTSUBSCRIPT roman_con , 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> will be done for simple elements, since the case of arbitrary elements is similar.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.4">Next, given a Lagrangian density <math alttext="{\widehat{{\mathcal{L}}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p2.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1"><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.2">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.1.m1.1c">{\widehat{{\mathcal{L}}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.1.m1.1d">over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG</annotation></semantics></math> considered as a <math alttext="\tau_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p2.2.m2.1a"><msub id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.2.m2.1c">\tau_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.2.m2.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-horizontal <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p2.3.m3.1a"><mi id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.3.m3.1b"><ci id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.3.m3.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.3.m3.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form on <math alttext="J^{1}\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p2.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.4.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1"><times id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.1"></times><apply id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.4.m4.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.4.m4.1c">J^{1}\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.4.m4.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ</annotation></semantics></math>, we construct the affine subbundle</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W_{\widehat{{\mathcal{L}}}}:={\widehat{{\mathcal{L}}}}+I_{{\rm con},2}^{m}% \subset\wedge^{m}_{2}\left(J^{1}\tau\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex3.m1.3"><semantics id="S2.Ex3.m1.3a"><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">W</mi><mover accent="true" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">^</mo></mover></msub><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.4.cmml">:=</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.1.cmml">+</mo><msubsup id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.cmml">I</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml">con</mi><mo id="S2.Ex3.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S2.Ex3.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.3.cmml">m</mi></msubsup></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.6" rspace="0em" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.6.cmml">⊂</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.3.3.1.2" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex3.m1.3b"><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1"><and id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1"></and><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.4">assign</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2">𝑊</ci><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3"><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.1">^</ci><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.2">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5"><plus id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.1"></plus><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2"><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.1">^</ci><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.2.2">ℒ</ci></apply><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.2.2">𝐼</ci><list id="S2.Ex3.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1">con</ci><cn id="S2.Ex3.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.2">2</cn></list></apply><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1c.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1"><subset id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.6"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex3.m1.3.3.1.1.5.cmml" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1d.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1"></share><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1"><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.2.2"></and><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex3.m1.3c">W_{\widehat{{\mathcal{L}}}}:={\widehat{{\mathcal{L}}}}+I_{{\rm con},2}^{m}% \subset\wedge^{m}_{2}\left(J^{1}\tau\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex3.m1.3d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT := over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG + italic_I start_POSTSUBSCRIPT roman_con , 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ⊂ ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.14">which becomes a bundle <math alttext="\tau_{\widehat{{\mathcal{L}}}}:W_{\widehat{{\mathcal{L}}}}\to J^{1}\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.5.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p2.5.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mover accent="true" id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.3.1" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.3.1.cmml">^</mo></mover></msub><mo id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mover accent="true" id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">^</mo></mover></msub><mo id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mrow id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.1" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.3.cmml">τ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.5.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1"><ci id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.1">:</ci><apply id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.2">𝜏</ci><apply id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.3"><ci id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.3.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.2.3.2">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3"><ci id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.1">→</ci><apply id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.2">𝑊</ci><apply id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.3"><ci id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.3.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.2.3.2">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3"><times id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.5.m1.1.1.3.3.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.5.m1.1c">\tau_{\widehat{{\mathcal{L}}}}:W_{\widehat{{\mathcal{L}}}}\to J^{1}\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.5.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT : italic_W start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT → italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ</annotation></semantics></math> through the restriction of the natural map <math alttext="\tau_{2}^{m}:\wedge^{m}_{2}\left(J^{1}\tau\right)\to J^{1}\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.6.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p2.6.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.2.2" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn><mi id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.3.cmml">m</mi></msubsup><mo id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0em" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.2.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.2.cmml">→</mo><mrow id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.cmml"><msup id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3.cmml">τ</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.6.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1"><ci id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.2">:</ci><apply id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.2.2">𝜏</ci><cn id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1"><ci id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.2">→</ci><apply id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1"><apply id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.2.2"></and><ci id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3"><times id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.6.m2.1c">\tau_{2}^{m}:\wedge^{m}_{2}\left(J^{1}\tau\right)\to J^{1}\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.6.m2.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT : ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ) → italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ</annotation></semantics></math>. Because <math alttext="\wedge^{m}_{2}\left(J^{1}\tau\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.7.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p2.7.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.7.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1"><apply id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.2.2"></and><ci id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1"><times id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.7.m3.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.7.m3.1c">\wedge^{m}_{2}\left(J^{1}\tau\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.7.m3.1d">∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ )</annotation></semantics></math> has a canonical <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.8.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p2.8.m4.1a"><mi id="S2.SS1.p2.8.m4.1.1" xref="S2.SS1.p2.8.m4.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.8.m4.1b"><ci id="S2.SS1.p2.8.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.8.m4.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.8.m4.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.8.m4.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form, we can pullback it along the inclusion <math alttext="W_{\widehat{{\mathcal{L}}}}\hookrightarrow\wedge^{m}_{2}\left(J^{1}\tau\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.9.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p2.9.m5.1a"><mrow id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.2.cmml">W</mi><mover accent="true" id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.3.1" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.3.1.cmml">^</mo></mover></msub><mo id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.2" rspace="0em" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.2.cmml">↪</mo><mrow id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.9.m5.1b"><apply id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1"><ci id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.2">↪</ci><apply id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.2">𝑊</ci><apply id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.3"><ci id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.3.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.3.3.2">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1"><apply id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.2.2"></and><ci id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.9.m5.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.9.m5.1c">W_{\widehat{{\mathcal{L}}}}\hookrightarrow\wedge^{m}_{2}\left(J^{1}\tau\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.9.m5.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ↪ ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ )</annotation></semantics></math> in order to have a canonical <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.10.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p2.10.m6.1a"><mi id="S2.SS1.p2.10.m6.1.1" xref="S2.SS1.p2.10.m6.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.10.m6.1b"><ci id="S2.SS1.p2.10.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.10.m6.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.10.m6.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.10.m6.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form <math alttext="\lambda_{\widehat{{\mathcal{L}}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.11.m7.1"><semantics id="S2.SS1.p2.11.m7.1a"><msub id="S2.SS1.p2.11.m7.1.1" xref="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.2.cmml">λ</mi><mover accent="true" id="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.11.m7.1b"><apply id="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.3"><ci id="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.3.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.11.m7.1.1.3.2">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.11.m7.1c">\lambda_{\widehat{{\mathcal{L}}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.11.m7.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on <math alttext="W_{\widehat{{\mathcal{L}}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.12.m8.1"><semantics id="S2.SS1.p2.12.m8.1a"><msub id="S2.SS1.p2.12.m8.1.1" xref="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.2.cmml">W</mi><mover accent="true" id="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.12.m8.1b"><apply id="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.12.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.12.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.2">𝑊</ci><apply id="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.3"><ci id="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.3.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.12.m8.1.1.3.2">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.12.m8.1c">W_{\widehat{{\mathcal{L}}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.12.m8.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then we have the following characterization for the extremals of the Lagrangian field theory on the bundle <math alttext="\tau:Q\to M" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.13.m9.1"><semantics id="S2.SS1.p2.13.m9.1a"><mrow id="S2.SS1.p2.13.m9.1.1" xref="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.13.m9.1b"><apply id="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.13.m9.1.1"><ci id="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.1">:</ci><ci id="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.3"><ci id="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.3.1">→</ci><ci id="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.13.m9.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.13.m9.1c">\tau:Q\to M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.13.m9.1d">italic_τ : italic_Q → italic_M</annotation></semantics></math> associated to the Lagrangian density <math alttext="{\widehat{{\mathcal{L}}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.14.m10.1"><semantics id="S2.SS1.p2.14.m10.1a"><mover accent="true" id="S2.SS1.p2.14.m10.1.1" xref="S2.SS1.p2.14.m10.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p2.14.m10.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.14.m10.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS1.p2.14.m10.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.14.m10.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.14.m10.1b"><apply id="S2.SS1.p2.14.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.14.m10.1.1"><ci id="S2.SS1.p2.14.m10.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.14.m10.1.1.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p2.14.m10.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.14.m10.1.1.2">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.14.m10.1c">{\widehat{{\mathcal{L}}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.14.m10.1d">over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_prop" id="Thmprop1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop1.1.1.1">Proposition 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmprop1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmprop1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmprop1.p1.3.3">A section <math alttext="s\colon U\subset M\rightarrow Q" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">⊂</mo><mi id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.4" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.4.cmml">M</mi><mo id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.5" stretchy="false" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.5.cmml">→</mo><mi id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.6" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.6.cmml">Q</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.1">:</ci><ci id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑠</ci><apply id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3"><and id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3"></and><apply id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3b.cmml" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3"><subset id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.3"></subset><ci id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.4.cmml" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.4">𝑀</ci></apply><apply id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3c.cmml" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.5.cmml" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.4.cmml" id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3d.cmml" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3"></share><ci id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.6.cmml" xref="Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.3.6">𝑄</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1c">s\colon U\subset M\rightarrow Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop1.p1.1.1.m1.1d">italic_s : italic_U ⊂ italic_M → italic_Q</annotation></semantics></math> is critical for <math alttext="(\tau\colon Q\rightarrow M,{\widehat{{\mathcal{L}}}})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3"><semantics id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.cmml"><mo id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.2" stretchy="false" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.2" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3.2" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3.1.cmml">→</mo><mrow id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3.3.2" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="Thmprop1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">M</mi><mo id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3.3.2.1" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.2" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml">ℒ</mi><mo id="Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.cmml">^</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.3" stretchy="false" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3b"><apply id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.cmml" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1"><ci id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.1">:</ci><ci id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.2">𝜏</ci><apply id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3"><ci id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3.1">→</ci><ci id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3.2">𝑄</ci><list id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.3.3.1.1.3.3.2"><ci id="Thmprop1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.1.1">𝑀</ci><apply id="Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2"><ci id="Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.cmml" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1">^</ci><ci id="Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.2">ℒ</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3c">(\tau\colon Q\rightarrow M,{\widehat{{\mathcal{L}}}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop1.p1.2.2.m2.3d">( italic_τ : italic_Q → italic_M , over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG )</annotation></semantics></math> if and only if there exists a section <math alttext="\Gamma\colon U\subset M\rightarrow W_{{\widehat{{\mathcal{L}}}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">Γ</mi><mo id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml">⊂</mo><mi id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.4" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.4.cmml">M</mi><mo id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.5" stretchy="false" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.5.cmml">→</mo><msub id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.cmml"><mi id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.2" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.2.cmml">W</mi><mover accent="true" id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.3" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.3.2" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.3.1" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.3.1.cmml">^</mo></mover></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1"><ci id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.1">:</ci><ci id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2">Γ</ci><apply id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3"><and id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3a.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3"></and><apply id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3b.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3"><subset id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3"></subset><ci id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.4.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.4">𝑀</ci></apply><apply id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3c.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3"><ci id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.5.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.4.cmml" id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3d.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3"></share><apply id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.1.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6">subscript</csymbol><ci id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.2.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.2">𝑊</ci><apply id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.3.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.3"><ci id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.3.1.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.3.1">^</ci><ci id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.3.2.cmml" xref="Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.3.2">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1c">\Gamma\colon U\subset M\rightarrow W_{{\widehat{{\mathcal{L}}}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop1.p1.3.3.m3.1d">roman_Γ : italic_U ⊂ italic_M → italic_W start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S2.I1"> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1)</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i1.p1.3"><math alttext="\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">Γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1">Γ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1c">\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1d">roman_Γ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.3.1"> covers </span><math alttext="s" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1a"><mi id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">s</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1b"><ci id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1">𝑠</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1c">s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1d">italic_s</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.3.2">, i.e. </span><math alttext="\tau_{10}\circ\tau_{{\widehat{{\mathcal{L}}}}}\circ\Gamma=s" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><msub id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.cmml">10</mn></msub><mo id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml">∘</mo><msub id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.2.cmml">τ</mi><mover accent="true" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.3" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.3.1" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.3.1.cmml">^</mo></mover></msub><mo id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml">∘</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.4" mathvariant="normal" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.4.cmml">Γ</mi></mrow><mo id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1"><eq id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2"><compose id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.1"></compose><apply id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.3">10</cn></apply><apply id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.2">𝜏</ci><apply id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.3"><ci id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.3.1">^</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.3.3.2">ℒ</ci></apply></apply><ci id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.4.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.4">Γ</ci></apply><ci id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1c">\tau_{10}\circ\tau_{{\widehat{{\mathcal{L}}}}}\circ\Gamma=s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.3.m3.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 10 end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ∘ roman_Γ = italic_s</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.3.3">, and</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2)</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i2.p1.2"><math alttext="\Gamma^{*}\left(X\lrcorner d\lambda_{{\widehat{{\mathcal{L}}}}}\right)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">Γ</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">λ</mi><mover accent="true" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">^</mo></mover></msub></mrow><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1"><eq id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2"></eq><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1"><times id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2">Γ</ci><times id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.2">𝜆</ci><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.3"><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.1">^</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.2">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1c">\Gamma^{*}\left(X\lrcorner d\lambda_{{\widehat{{\mathcal{L}}}}}\right)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1d">roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X ⌟ italic_d italic_λ start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ) = 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i2.p1.2.1">, for all </span><math alttext="X\in\mathfrak{X}^{V}(W_{{\widehat{{\mathcal{L}}}}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">X</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml"><msup id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.2.cmml">𝔛</mi><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.3.cmml">V</mi></msup><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mover accent="true" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover></msub><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1"><in id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2"></in><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3">𝑋</ci><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1"><times id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.2">𝔛</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.3">𝑉</ci></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑊</ci><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.1">^</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1c">X\in\mathfrak{X}^{V}(W_{{\widehat{{\mathcal{L}}}}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1d">italic_X ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i2.p1.2.2">.</span></p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.5">Here <math alttext="\mathfrak{X}^{V}(W_{{\widehat{{\mathcal{L}}}}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p3.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml">𝔛</mi><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml">V</mi></msup><mo id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mover accent="true" id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover></msub><mo id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1"><times id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.3.2">𝔛</ci><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.3.3">𝑉</ci></apply><apply id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑊</ci><apply id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">ℒ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.1.m1.1c">\mathfrak{X}^{V}(W_{{\widehat{{\mathcal{L}}}}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.1.m1.1d">fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> denotes the vector fields which are vertical w.r.t. the projection <math alttext="W_{{\widehat{{\mathcal{L}}}}}\to M" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml">W</mi><mover accent="true" id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.3.1" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.3.1.cmml">^</mo></mover></msub><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1"><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.1">→</ci><apply id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.2">𝑊</ci><apply id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.3"><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.3.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.2.3.2">ℒ</ci></apply></apply><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.3">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.2.m2.1c">W_{{\widehat{{\mathcal{L}}}}}\to M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.2.m2.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT → italic_M</annotation></semantics></math>. <math alttext="\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p3.3.m3.1a"><mi id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml">Γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.3.m3.1b"><ci id="S2.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m3.1.1">Γ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.3.m3.1c">\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.3.m3.1d">roman_Γ</annotation></semantics></math> is called a <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S2.SS1.p3.5.1">solution</em> of <math alttext="(\tau\colon Q\rightarrow M,{\widehat{{\mathcal{L}}}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.4.m4.3"><semantics id="S2.SS1.p3.4.m4.3a"><mrow id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.1.cmml">→</mo><mrow id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml">M</mi><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.3.2.1" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S2.SS1.p3.4.m4.2.2" xref="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.2" xref="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.1" xref="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.1.cmml">^</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.4.m4.3b"><apply id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1"><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.1">:</ci><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3"><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.1">→</ci><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.2">𝑄</ci><list id="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.3.3.1.1.3.3.2"><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.1.1">𝑀</ci><apply id="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.2.2"><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m4.2.2.2">ℒ</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.4.m4.3c">(\tau\colon Q\rightarrow M,{\widehat{{\mathcal{L}}}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.4.m4.3d">( italic_τ : italic_Q → italic_M , over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG )</annotation></semantics></math> or of <math alttext="(W_{{\widehat{{\mathcal{L}}}}},\lambda_{{\widehat{{\mathcal{L}}}}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.5.m5.2"><semantics id="S2.SS1.p3.5.m5.2a"><mrow id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mover accent="true" id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover></msub><mo id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mover accent="true" id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.3.1" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.3.1.cmml">^</mo></mover></msub><mo id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.5.m5.2b"><interval closure="open" id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2"><apply id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.2">𝑊</ci><apply id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.3"><ci id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.3.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.3.2">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.2">𝜆</ci><apply id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.3"><ci id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.3.1">^</ci><ci id="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m5.2.2.2.2.3.2">ℒ</ci></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.5.m5.2c">(W_{{\widehat{{\mathcal{L}}}}},\lambda_{{\widehat{{\mathcal{L}}}}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.5.m5.2d">( italic_W start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.2. </span>The unified formalism</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.1">We will adapt this description in order to find the equations of motion for a higher order field theory given by a <math alttext="\left(k+1\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1"><plus id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.1.m1.1c">\left(k+1\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.1.m1.1d">( italic_k + 1 )</annotation></semantics></math>-order Lagrangian density</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="{\mathcal{L}}:J^{k+1}\pi\to\wedge^{m}\left(T^{*}M\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex4.m1.1"><semantics id="S2.Ex4.m1.1a"><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.cmml">:</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" stretchy="false" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">→</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∧</mo><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msup><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex4.m1.1b"><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1"><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2">:</ci><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3">ℒ</ci><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1"><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.2">→</ci><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3"><plus id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝜋</ci></apply><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"></and><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><times id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑀</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex4.m1.1c">{\mathcal{L}}:J^{k+1}\pi\to\wedge^{m}\left(T^{*}M\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex4.m1.1d">caligraphic_L : italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π → ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.2">Recall <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">saunders89:_geomet_jet_bundl</span>]</cite> that for every <math alttext="k\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.2.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.2.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.2.m1.1.1" xref="S2.SS2.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.2.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p1.2.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.p1.2.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S2.SS2.p1.2.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p1.2.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.2.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m1.1.1"><geq id="S2.SS2.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m1.1.1.1"></geq><ci id="S2.SS2.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS2.p1.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p1.2.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.2.m1.1c">k\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.2.m1.1d">italic_k ≥ 1</annotation></semantics></math> we have an immersion</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\iota_{1,k}:J^{k+1}\pi\to J^{1}\pi_{k}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex5.m1.3"><semantics id="S2.Ex5.m1.3a"><mrow id="S2.Ex5.m1.3.3.1" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">ι</mi><mrow id="S2.Ex5.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex5.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex5.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><msup id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.1" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">→</mo><mrow id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><msup id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.2.3" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.1" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.3.2" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml">π</mi><mi id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.3.3" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex5.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex5.m1.3b"><apply id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1"><ci id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1">:</ci><apply id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.2.2">𝜄</ci><list id="S2.Ex5.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.4"><cn id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3"><ci id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.1">→</ci><apply id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2"><times id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.3"><plus id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝜋</ci></apply><apply id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3"><times id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.1"></times><apply id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.3.2">𝜋</ci><ci id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex5.m1.3c">\iota_{1,k}:J^{k+1}\pi\to J^{1}\pi_{k}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex5.m1.3d">italic_ι start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_k end_POSTSUBSCRIPT : italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π → italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.3">Then, the representation for this structure that we will use in the present article comes from the following result.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lem" id="Thmlem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem1.1.1.1">Lemma 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlem1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlem1.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlem1.p1.5.1">The pullback form</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\theta_{k+1}:=\iota_{1,k}^{*}\theta," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex6.m1.3"><semantics id="S2.Ex6.m1.3a"><mrow id="S2.Ex6.m1.3.3.1" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mrow id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml">ι</mi><mrow id="S2.Ex6.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S2.Ex6.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex6.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex6.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex6.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex6.m1.3.3.1.2" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex6.m1.3b"><apply id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2">𝜃</ci><apply id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3"><plus id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3"><times id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.2.2">𝜄</ci><list id="S2.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex6.m1.2.2.2.4"><cn id="S2.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Ex6.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S2.Ex6.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex6.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><times id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.2.3"></times></apply><ci id="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex6.m1.3.3.1.1.3.3">𝜃</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex6.m1.3c">\theta_{k+1}:=\iota_{1,k}^{*}\theta,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex6.m1.3d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT := italic_ι start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlem1.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlem1.p1.4.4">where <math alttext="\theta\in\Omega^{1}\left(J^{1}\pi_{k},V\pi_{k}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.4" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.4.cmml">θ</mi><mo id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.3" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.cmml"><msup id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2" mathvariant="normal" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2.cmml">Ω</mi><mn id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3.cmml">1</mn></msup><mo id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.3" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mi id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.4" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">V</mi><mo id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">π</mi><mi id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.5" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2b"><apply id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2"><in id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.3"></in><ci id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.4">𝜃</ci><apply id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2"><times id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.3"></times><apply id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2">Ω</ci><cn id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2"><apply id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜋</ci><ci id="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2"><times id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝑉</ci><apply id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.2">𝜋</ci><ci id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="Thmlem1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2c">\theta\in\Omega^{1}\left(J^{1}\pi_{k},V\pi_{k}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem1.p1.1.1.m1.2d">italic_θ ∈ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_V italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is the contact <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlem1.p1.2.2.m2.1a"><mn id="Thmlem1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem1.p1.2.2.m2.1b"><cn id="Thmlem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmlem1.p1.2.2.m2.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem1.p1.2.2.m2.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem1.p1.2.2.m2.1d">1</annotation></semantics></math>-form on <math alttext="J^{1}\pi_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><msup id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.2.2" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.2.3" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml">π</mi><mi id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1"><times id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.1"></times><apply id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.3.2">𝜋</ci><ci id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlem1.p1.3.3.m3.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1c">J^{1}\pi_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem1.p1.3.3.m3.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, induces the contact structure on <math alttext="J^{k+1}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><msup id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.3" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.3.2" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.3.1" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.3.3" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1"><times id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.1"></times><apply id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.3"><plus id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.3.1"></plus><ci id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmlem1.p1.4.4.m4.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1c">J^{k+1}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem1.p1.4.4.m4.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.2">Let <math alttext="\widehat{{\mathcal{L}}}:J^{1}\pi_{k}\to\wedge^{m}\left(T^{*}M\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">π</mi><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.2" rspace="0em" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml">→</mo><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">∧</mo><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msup><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1"><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2">:</ci><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3"><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.1">^</ci><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.2">ℒ</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1"><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.2">→</ci><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3"><times id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.3.2">𝜋</ci><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1"><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2"></and><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><times id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑀</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.1.m1.1c">\widehat{{\mathcal{L}}}:J^{1}\pi_{k}\to\wedge^{m}\left(T^{*}M\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.1.m1.1d">over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG : italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT → ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M )</annotation></semantics></math> be a Lagrangian density on <math alttext="J^{1}\pi_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">π</mi><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1"><times id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.1"></times><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3.2">𝜋</ci><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.2.m2.1c">J^{1}\pi_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.2.m2.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\iota_{1,k}^{*}\widehat{{\mathcal{L}}}={\mathcal{L}};" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex7.m1.3"><semantics id="S2.Ex7.m1.3a"><mrow id="S2.Ex7.m1.3.3.1" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">ι</mi><mrow id="S2.Ex7.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex7.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex7.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex7.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.3.cmml">ℒ</mi></mrow><mo id="S2.Ex7.m1.3.3.1.2" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex7.m1.3b"><apply id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1"><eq id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2"><times id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2.2.2">𝜄</ci><list id="S2.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.2.2.2.4"><cn id="S2.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Ex7.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S2.Ex7.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><times id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.2.3"></times></apply><apply id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.3"><ci id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.3.1">^</ci><ci id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.2.3.2">ℒ</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex7.m1.3.3.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex7.m1.3c">\iota_{1,k}^{*}\widehat{{\mathcal{L}}}={\mathcal{L}};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex7.m1.3d">italic_ι start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG = caligraphic_L ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.5">then, using the construction described in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS1" title="2.1. The classical Lepage equivalent problem for first order field theories ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1</span></a> for <math alttext="\tau=\pi_{k}:J^{k}\pi\to M" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.3.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p2.3.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.1" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.1.cmml">=</mo><msub id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.3.2.cmml">π</mi><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.3.3" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">J</mi><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.1" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.3.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1"><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.1">:</ci><apply id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2"><eq id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.1"></eq><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.2">𝜏</ci><apply id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.3.2">𝜋</ci><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3"><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.1">→</ci><apply id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2"><times id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.2.3">𝜋</ci></apply><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.3.m1.1c">\tau=\pi_{k}:J^{k}\pi\to M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.3.m1.1d">italic_τ = italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT : italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π → italic_M</annotation></semantics></math>, define the affine subbundle <math alttext="W_{\widehat{{\mathcal{L}}}}\subset\wedge^{m}_{2}\left(J^{1}\pi_{k}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.4.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p2.4.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.2.cmml">W</mi><mover accent="true" id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.3.1" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.3.1.cmml">^</mo></mover></msub><mo id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.2" rspace="0em" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.2.cmml">⊂</mo><mrow id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mi id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.4.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1"><subset id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.2"></subset><apply id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.2">𝑊</ci><apply id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.3"><ci id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.3.1">^</ci><ci id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.3.3.2">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1"><apply id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.2.2"></and><ci id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜋</ci><ci id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.4.m2.1c">W_{\widehat{{\mathcal{L}}}}\subset\wedge^{m}_{2}\left(J^{1}\pi_{k}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.4.m2.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ⊂ ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. It induces an affine subbundle <math alttext="\widetilde{W_{\mathcal{L}}}\subset\wedge^{m}_{2}\left(J^{k+1}\pi\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.5.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p2.5.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.2.3" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2" rspace="0em" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2.cmml">⊂</mo><mrow id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.5.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1"><subset id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.2"></subset><apply id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3"><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.1">~</ci><apply id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.3.2.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1"><apply id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.2.2"></and><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.5.m3.1c">\widetilde{W_{\mathcal{L}}}\subset\wedge^{m}_{2}\left(J^{k+1}\pi\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.5.m3.1d">over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⊂ ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π )</annotation></semantics></math> through the formula</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left.\widetilde{W_{\mathcal{L}}}\right|_{j_{x}^{k+1}s}:=\left\{\alpha\circ T_% {j_{x}^{k+1}s}\iota_{1,k}:\alpha\in W_{\widehat{{\mathcal{L}}}}\right\}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex8.m1.5"><semantics id="S2.Ex8.m1.5a"><mrow id="S2.Ex8.m1.5.5.1" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.4.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.4.1.cmml"><mrow id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.4.2.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.4.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex8.m1.3.3" xref="S2.Ex8.m1.3.3.cmml"><msub id="S2.Ex8.m1.3.3.2" xref="S2.Ex8.m1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.3.3.2.2" xref="S2.Ex8.m1.3.3.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex8.m1.3.3.2.3" xref="S2.Ex8.m1.3.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.Ex8.m1.3.3.1" xref="S2.Ex8.m1.3.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.4.2.2.1" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.4.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.2.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.2.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.2.3.cmml">x</mi><mrow id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.3.2" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.3.1" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.3.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex8.m1.4.4.1.3" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.3.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.3.cmml">:=</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∘</mo><msub id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><msubsup id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.3" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.3.cmml">x</mi><mrow id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.1" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.3" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ι</mi><mrow id="S2.Ex8.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S2.Ex8.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex8.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex8.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.1" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml">∈</mo><msub id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.cmml">W</mi><mover accent="true" id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.1" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml">^</mo></mover></msub></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.5" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex8.m1.5b"><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.3">assign</csymbol><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.4.2.2.1">evaluated-at</csymbol><apply id="S2.Ex8.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3"><ci id="S2.Ex8.m1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3.1">~</ci><apply id="S2.Ex8.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.Ex8.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3.2.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1"><times id="S2.Ex8.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.1"></times><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.3"><plus id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex8.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.4.4.1.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2"><compose id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1"></compose><ci id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑇</ci><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3"><plus id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2">𝜄</ci><list id="S2.Ex8.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.4"><cn id="S2.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Ex8.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply></apply><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2"><in id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.1"></in><ci id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.2">𝛼</ci><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2">𝑊</ci><apply id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3"><ci id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.1">^</ci><ci id="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.2">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex8.m1.5c">\left.\widetilde{W_{\mathcal{L}}}\right|_{j_{x}^{k+1}s}:=\left\{\alpha\circ T_% {j_{x}^{k+1}s}\iota_{1,k}:\alpha\in W_{\widehat{{\mathcal{L}}}}\right\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex8.m1.5d">over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT := { italic_α ∘ italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_ι start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_k end_POSTSUBSCRIPT : italic_α ∈ italic_W start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.6">We are now ready for the introduction of the notion of <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S2.SS2.p2.6.1">unified formalism for higher order field theories</em>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defc" id="Thmdefc1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc1.2.1.1">Definition 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc1.3.2"> </span>(Unified formalism for <math alttext="k+1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc1.1.m1.1"><semantics id="Thmdefc1.1.m1.1b"><mrow id="Thmdefc1.1.m1.1.1" xref="Thmdefc1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc1.1.m1.1.1.2" xref="Thmdefc1.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="Thmdefc1.1.m1.1.1.1" xref="Thmdefc1.1.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="Thmdefc1.1.m1.1.1.3" xref="Thmdefc1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc1.1.m1.1c"><apply id="Thmdefc1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.1.m1.1.1"><plus id="Thmdefc1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.1.m1.1.1.1"></plus><ci id="Thmdefc1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="Thmdefc1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmdefc1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc1.1.m1.1d">k+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc1.1.m1.1e">italic_k + 1</annotation></semantics></math>-order field theories)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc1.4.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefc1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefc1.p1.9">The <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmdefc1.p1.1.1">unified formalism associated to the Lagrangian density <math alttext="{\mathcal{L}}:J^{k+1}\pi\to\wedge^{m}\left(T^{*}M\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">ℒ</mi><mo id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">:</mo><mrow id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.cmml"><msup id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.2" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mrow id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.2" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.1" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.3" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.1" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.2" rspace="0em" stretchy="false" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml">→</mo><mrow id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">∧</mo><mi id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msup><mrow id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.2">:</ci><ci id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.3">ℒ</ci><apply id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1"><ci id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.2">→</ci><apply id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3"><times id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.1"></times><apply id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.2">𝐽</ci><apply id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3"><plus id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.1"></plus><ci id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3">𝜋</ci></apply><apply id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><apply id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2"></and><ci id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><times id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑀</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1c">{\mathcal{L}}:J^{k+1}\pi\to\wedge^{m}\left(T^{*}M\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc1.p1.1.1.m1.1d">caligraphic_L : italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π → ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M )</annotation></semantics></math></em> is the pair <math alttext="\left(\widetilde{W_{\mathcal{L}}},\Theta_{\mathcal{L}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc1.p1.2.m1.2"><semantics id="Thmdefc1.p1.2.m1.2a"><mrow id="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.2.cmml"><mo id="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.2" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mover accent="true" id="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.2" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.2.2" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.2.3" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.1" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.3" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.2.cmml">,</mo><msub id="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.1" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.1.3" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.4" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc1.p1.2.m1.2b"><interval closure="open" id="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1"><apply id="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1"><ci id="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.1">~</ci><apply id="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.1.1.2.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.1.2">Θ</ci><ci id="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.2.m1.2.2.1.1.3">ℒ</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc1.p1.2.m1.2c">\left(\widetilde{W_{\mathcal{L}}},\Theta_{\mathcal{L}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc1.p1.2.m1.2d">( over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\Theta_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc1.p1.3.m2.1"><semantics id="Thmdefc1.p1.3.m2.1a"><msub id="Thmdefc1.p1.3.m2.1.1" xref="Thmdefc1.p1.3.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.3.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmdefc1.p1.3.m2.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc1.p1.3.m2.1.1.3" xref="Thmdefc1.p1.3.m2.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc1.p1.3.m2.1b"><apply id="Thmdefc1.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc1.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.3.m2.1.1.2">Θ</ci><ci id="Thmdefc1.p1.3.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.3.m2.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc1.p1.3.m2.1c">\Theta_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc1.p1.3.m2.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the pullback of the canonical <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc1.p1.4.m3.1"><semantics id="Thmdefc1.p1.4.m3.1a"><mi id="Thmdefc1.p1.4.m3.1.1" xref="Thmdefc1.p1.4.m3.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc1.p1.4.m3.1b"><ci id="Thmdefc1.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.4.m3.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc1.p1.4.m3.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc1.p1.4.m3.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form on <math alttext="\wedge^{m}_{2}\left(J^{k+1}\pi\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc1.p1.5.m4.1"><semantics id="Thmdefc1.p1.5.m4.1a"><mrow id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.cmml"><msubsup id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.cmml"><mo id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.2.2" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.3" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.2.3" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.3" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.3" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc1.p1.5.m4.1b"><apply id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1"><apply id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2">superscript</csymbol><and id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.2.2"></and><ci id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1"><times id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc1.p1.5.m4.1c">\wedge^{m}_{2}\left(J^{k+1}\pi\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc1.p1.5.m4.1d">∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π )</annotation></semantics></math> to <math alttext="\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc1.p1.6.m5.1"><semantics id="Thmdefc1.p1.6.m5.1a"><mover accent="true" id="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1" xref="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.cmml"><msub id="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.2" xref="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.2.2" xref="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.2.3" xref="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.1" xref="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc1.p1.6.m5.1b"><apply id="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1"><ci id="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.1">~</ci><apply id="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.6.m5.1.1.2.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc1.p1.6.m5.1c">\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc1.p1.6.m5.1d">over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>. A section <math alttext="\psi:U\subset M\to\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc1.p1.7.m6.1"><semantics id="Thmdefc1.p1.7.m6.1a"><mrow id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.2" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.2" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.3" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.3.cmml">⊂</mo><mi id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.4" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.4.cmml">M</mi><mo id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.5" stretchy="false" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.5.cmml">→</mo><mover accent="true" id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.cmml"><msub id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.2" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.2.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.2.2" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.2.3" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.1" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc1.p1.7.m6.1b"><apply id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1"><ci id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.1">:</ci><ci id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.2">𝜓</ci><apply id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3"><and id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3a.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3"></and><apply id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3b.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3"><subset id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.3"></subset><ci id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.4.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.4">𝑀</ci></apply><apply id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3c.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3"><ci id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.5.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.4.cmml" id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3d.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3"></share><apply id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6"><ci id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.1">~</ci><apply id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.2.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.7.m6.1.1.3.6.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc1.p1.7.m6.1c">\psi:U\subset M\to\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc1.p1.7.m6.1d">italic_ψ : italic_U ⊂ italic_M → over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> for the bundle <math alttext="{\tau_{\mathcal{L}}}:\widetilde{W_{\mathcal{L}}}\to M" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc1.p1.8.m7.1"><semantics id="Thmdefc1.p1.8.m7.1a"><mrow id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.cmml"><msub id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.2" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.2.2" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.2.3" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.cmml"><msub id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.2" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.2.2" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.2.3" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.1" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.3" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc1.p1.8.m7.1b"><apply id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1"><ci id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.1">:</ci><apply id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.2.2">𝜏</ci><ci id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.2.3">ℒ</ci></apply><apply id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3"><ci id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.1">→</ci><apply id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2"><ci id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.1">~</ci><apply id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.2.2.3">ℒ</ci></apply></apply><ci id="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.8.m7.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc1.p1.8.m7.1c">{\tau_{\mathcal{L}}}:\widetilde{W_{\mathcal{L}}}\to M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc1.p1.8.m7.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT : over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG → italic_M</annotation></semantics></math> is a solution for the <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmdefc1.p1.9.2">Lagrangian-Hamiltonian problem posed by <math alttext="\left(\widetilde{W_{\mathcal{L}}},\Theta_{\mathcal{L}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2"><semantics id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2a"><mrow id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.2.cmml"><mo id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.2" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mover accent="true" id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.2" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.2.2" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.2.3" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.1" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.3" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.2.cmml">,</mo><msub id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.1" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.1.3" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.4" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2b"><interval closure="open" id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1"><apply id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1"><ci id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.1">~</ci><apply id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.1.1.2.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.1.2">Θ</ci><ci id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2.2.1.1.3">ℒ</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2c">\left(\widetilde{W_{\mathcal{L}}},\Theta_{\mathcal{L}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc1.p1.9.2.m1.2d">( over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></em> is and only if</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi^{*}\left(X\lrcorner d\Theta_{\mathcal{L}}\right)=0" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex9.m1.1"><semantics id="S2.Ex9.m1.1a"><mrow id="S2.Ex9.m1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex9.m1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex9.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.Ex9.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex9.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex9.m1.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex9.m1.1.1.3" xref="S2.Ex9.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex9.m1.1b"><apply id="S2.Ex9.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1"><eq id="S2.Ex9.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.2"></eq><apply id="S2.Ex9.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex9.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex9.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex9.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex9.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><times id="S2.Ex9.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.5.3">ℒ</ci></apply></apply></apply><cn id="S2.Ex9.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex9.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex9.m1.1c">\psi^{*}\left(X\lrcorner d\Theta_{\mathcal{L}}\right)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex9.m1.1d">italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ) = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmdefc1.p1.10">for every <math alttext="X\in\mathfrak{X}^{V\widetilde{\tau_{\mathcal{L}}}}\left(\widetilde{W_{\mathcal% {L}}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc1.p1.10.m1.1"><semantics id="Thmdefc1.p1.10.m1.1a"><mrow id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.2" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.1" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.cmml"><msup id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.2" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.2.cmml">𝔛</mi><mrow id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.2" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.2.cmml">V</mi><mo id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.1" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.cmml"><msub id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.2" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.2.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.2.2" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.2.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.2.3" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.1" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow></msup><mo id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.1" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.3.2" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.cmml"><mo id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.3.2.1" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.2" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.2.2" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.2.3" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.1" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><mo id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.3.2.2" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc1.p1.10.m1.1b"><apply id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2"><in id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.1"></in><ci id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3"><times id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.1"></times><apply id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.2">𝔛</ci><apply id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3"><times id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.2">𝑉</ci><apply id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3"><ci id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.1">~</ci><apply id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.2.2">𝜏</ci><ci id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.2.3.3.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.2.3.3.2"><ci id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.1">~</ci><apply id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc1.p1.10.m1.1.1.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc1.p1.10.m1.1c">X\in\mathfrak{X}^{V\widetilde{\tau_{\mathcal{L}}}}\left(\widetilde{W_{\mathcal% {L}}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc1.p1.10.m1.1d">italic_X ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V over~ start_ARG italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ( over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_note" id="Thmnote1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote1.1.1.1">Remark 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmnote1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmnote1.p1.5">It is customary in the literature to use the symbol <math alttext="\Theta_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote1.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmnote1.p1.1.m1.1a"><msub id="Thmnote1.p1.1.m1.1.1" xref="Thmnote1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmnote1.p1.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmnote1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmnote1.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmnote1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote1.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmnote1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote1.p1.1.m1.1.1.2">Θ</ci><ci id="Thmnote1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmnote1.p1.1.m1.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote1.p1.1.m1.1c">\Theta_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote1.p1.1.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for the Cartan form associated to the Lagrangian density <math alttext="{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote1.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmnote1.p1.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmnote1.p1.2.m2.1.1" xref="Thmnote1.p1.2.m2.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote1.p1.2.m2.1b"><ci id="Thmnote1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmnote1.p1.2.m2.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote1.p1.2.m2.1c">{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote1.p1.2.m2.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math>; here we will deviate from this use, trusting that this choice of terminology will not cause any confusion, as the notion of a Cartan form will not be used in the present work. Therefore, the symbol <math alttext="\Theta_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote1.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmnote1.p1.3.m3.1a"><msub id="Thmnote1.p1.3.m3.1.1" xref="Thmnote1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmnote1.p1.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmnote1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmnote1.p1.3.m3.1.1.3" xref="Thmnote1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote1.p1.3.m3.1b"><apply id="Thmnote1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmnote1.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmnote1.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmnote1.p1.3.m3.1.1.2">Θ</ci><ci id="Thmnote1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmnote1.p1.3.m3.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote1.p1.3.m3.1c">\Theta_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote1.p1.3.m3.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> will indicate the <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote1.p1.4.m4.1"><semantics id="Thmnote1.p1.4.m4.1a"><mi id="Thmnote1.p1.4.m4.1.1" xref="Thmnote1.p1.4.m4.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote1.p1.4.m4.1b"><ci id="Thmnote1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmnote1.p1.4.m4.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote1.p1.4.m4.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote1.p1.4.m4.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form on <math alttext="\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote1.p1.5.m5.1"><semantics id="Thmnote1.p1.5.m5.1a"><mover accent="true" id="Thmnote1.p1.5.m5.1.1" xref="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.cmml"><msub id="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.2" xref="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.2.3" xref="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.1" xref="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote1.p1.5.m5.1b"><apply id="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmnote1.p1.5.m5.1.1"><ci id="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.1">~</ci><apply id="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="Thmnote1.p1.5.m5.1.1.2.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote1.p1.5.m5.1c">\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote1.p1.5.m5.1d">over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> defined above.</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_note" id="Thmnote2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote2.1.1.1">Remark 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmnote2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmnote2.p1.5">It should be stressed that there are two different ways to define the <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote2.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmnote2.p1.1.m1.1a"><mi id="Thmnote2.p1.1.m1.1.1" xref="Thmnote2.p1.1.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote2.p1.1.m1.1b"><ci id="Thmnote2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote2.p1.1.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote2.p1.1.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote2.p1.1.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form on <math alttext="\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote2.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmnote2.p1.2.m2.1a"><mover accent="true" id="Thmnote2.p1.2.m2.1.1" xref="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.2" xref="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.1" xref="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote2.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmnote2.p1.2.m2.1.1"><ci id="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.1">~</ci><apply id="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Thmnote2.p1.2.m2.1.1.2.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote2.p1.2.m2.1c">\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote2.p1.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>: As described in Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc1" title="Definition 1 (Unified formalism for 𝑘+1-order field theories). ‣ 2.2. The unified formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, or using the pullback of the <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote2.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmnote2.p1.3.m3.1a"><mi id="Thmnote2.p1.3.m3.1.1" xref="Thmnote2.p1.3.m3.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote2.p1.3.m3.1b"><ci id="Thmnote2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmnote2.p1.3.m3.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote2.p1.3.m3.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote2.p1.3.m3.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form on <math alttext="W_{\widehat{{\mathcal{L}}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote2.p1.4.m4.1"><semantics id="Thmnote2.p1.4.m4.1a"><msub id="Thmnote2.p1.4.m4.1.1" xref="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.2" xref="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">W</mi><mover accent="true" id="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.3" xref="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.3.1" xref="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote2.p1.4.m4.1b"><apply id="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmnote2.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmnote2.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.2">𝑊</ci><apply id="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.3"><ci id="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.3.1">^</ci><ci id="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="Thmnote2.p1.4.m4.1.1.3.2">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote2.p1.4.m4.1c">W_{\widehat{{\mathcal{L}}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote2.p1.4.m4.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> along the map <math alttext="\iota_{1,k}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote2.p1.5.m5.2"><semantics id="Thmnote2.p1.5.m5.2a"><msub id="Thmnote2.p1.5.m5.2.3" xref="Thmnote2.p1.5.m5.2.3.cmml"><mi id="Thmnote2.p1.5.m5.2.3.2" xref="Thmnote2.p1.5.m5.2.3.2.cmml">ι</mi><mrow id="Thmnote2.p1.5.m5.2.2.2.4" xref="Thmnote2.p1.5.m5.2.2.2.3.cmml"><mn id="Thmnote2.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="Thmnote2.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmnote2.p1.5.m5.2.2.2.4.1" xref="Thmnote2.p1.5.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmnote2.p1.5.m5.2.2.2.2" xref="Thmnote2.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote2.p1.5.m5.2b"><apply id="Thmnote2.p1.5.m5.2.3.cmml" xref="Thmnote2.p1.5.m5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote2.p1.5.m5.2.3.1.cmml" xref="Thmnote2.p1.5.m5.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmnote2.p1.5.m5.2.3.2.cmml" xref="Thmnote2.p1.5.m5.2.3.2">𝜄</ci><list id="Thmnote2.p1.5.m5.2.2.2.3.cmml" xref="Thmnote2.p1.5.m5.2.2.2.4"><cn id="Thmnote2.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmnote2.p1.5.m5.1.1.1.1">1</cn><ci id="Thmnote2.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="Thmnote2.p1.5.m5.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote2.p1.5.m5.2c">\iota_{1,k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote2.p1.5.m5.2d">italic_ι start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. It can be proved that both definitions give rise to the same form.</p> </div> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS2.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">2.2.1. </span>Local expressions</h4> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS1.p1.3">Let us take a look at these constructions in local terms. Using Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.E1" title="Equation 2.1 ‣ 2.1. The classical Lepage equivalent problem for first order field theories ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1</span></a>) in the coordinates <math alttext="\left(x^{i},u^{\alpha},u_{I}^{\alpha}\right),\lvert I\rvert\leq k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3"><semantics id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3a"><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.4.cmml"><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.4" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.4.cmml">(</mo><msup id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.5" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.4.cmml">,</mo><msup id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">α</mi></msup><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.6" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.4.cmml">,</mo><msubsup id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml">I</mi><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.7" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.2.2.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.4" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.4.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3b"><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3"><leq id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.3"></leq><list id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.2.2"><vector id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3"><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.3">𝐼</ci></apply><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.3">𝛼</ci></apply></vector><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2"><abs id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.2.2.2.2.1"></abs><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1">𝐼</ci></apply></list><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3.3.4">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3c">\left(x^{i},u^{\alpha},u_{I}^{\alpha}\right),\lvert I\rvert\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS1.p1.1.m1.3d">( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT ) , | italic_I | ≤ italic_k</annotation></semantics></math> on <math alttext="J^{k}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">J</mi><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1"><times id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.1"></times><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1c">J^{k}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS1.p1.2.m2.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math>, we have that <math alttext="\rho\in W_{\widehat{{\mathcal{L}}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">W</mi><mover accent="true" id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.3.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">^</mo></mover></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1"><in id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.1"></in><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.2">𝑊</ci><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.3"><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.3.1">^</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1.1.3.3.2">ℒ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1c">\rho\in W_{\widehat{{\mathcal{L}}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS1.p1.3.m3.1d">italic_ρ ∈ italic_W start_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG caligraphic_L end_ARG end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be locally written as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\rho=\widehat{L}\eta+\sum_{i=1}^{m}\sum_{0\leq\lvert I\rvert\leq k}p_{\alpha}^% {I,i}\left(du^{\alpha}_{I}-\overline{u}_{I,j}dx^{j}\right)\wedge\eta_{i}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex10.m1.6"><semantics id="S2.Ex10.m1.6a"><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.3.cmml">ρ</mi><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.2" rspace="0.055em" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></munderover><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex10.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mo id="S2.Ex10.m1.1.1.1.4" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.1.1.1.5.2" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.5.1.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.5.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex10.m1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.5.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.1.1.1.6" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.6.cmml">≤</mo><mi id="S2.Ex10.m1.1.1.1.7" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.7.cmml">k</mi></mrow></munder><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex10.m1.3.3.2.4" xref="S2.Ex10.m1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.2.2.1.1" xref="S2.Ex10.m1.2.2.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex10.m1.3.3.2.4.1" xref="S2.Ex10.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex10.m1.3.3.2.2" xref="S2.Ex10.m1.3.3.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">I</mi><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mrow id="S2.Ex10.m1.5.5.2.4" xref="S2.Ex10.m1.5.5.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.4.4.1.1" xref="S2.Ex10.m1.4.4.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex10.m1.5.5.2.4.1" xref="S2.Ex10.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex10.m1.5.5.2.2" xref="S2.Ex10.m1.5.5.2.2.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">x</mi><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">j</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">∧</mo><msub id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex10.m1.6b"><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1"><eq id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.2"></eq><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.3">𝜌</ci><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1"><and id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.2"></and><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.2"><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2">𝐿</ci></apply><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S2.Ex10.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1"><and id="S2.Ex10.m1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1"></and><apply id="S2.Ex10.m1.1.1.1b.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1"><leq id="S2.Ex10.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.4"></leq><cn id="S2.Ex10.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.3">0</cn><apply id="S2.Ex10.m1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.5.2"><abs id="S2.Ex10.m1.1.1.1.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.5.2.1"></abs><ci id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex10.m1.1.1.1c.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1"><leq id="S2.Ex10.m1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex10.m1.1.1.1.5.cmml" id="S2.Ex10.m1.1.1.1d.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1"></share><ci id="S2.Ex10.m1.1.1.1.7.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.7">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝛼</ci></apply><list id="S2.Ex10.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.3.3.2.4"><ci id="S2.Ex10.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex10.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.3.3.2.2">𝑖</ci></list></apply><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">¯</ci><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑢</ci></apply><list id="S2.Ex10.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.2.4"><ci id="S2.Ex10.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex10.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.5.5.2.2">𝑗</ci></list></apply><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑥</ci><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex10.m1.6c">\rho=\widehat{L}\eta+\sum_{i=1}^{m}\sum_{0\leq\lvert I\rvert\leq k}p_{\alpha}^% {I,i}\left(du^{\alpha}_{I}-\overline{u}_{I,j}dx^{j}\right)\wedge\eta_{i}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex10.m1.6d">italic_ρ = over^ start_ARG italic_L end_ARG italic_η + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT 0 ≤ | italic_I | ≤ italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT - over¯ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_I , italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT ) ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS1.p1.4">It means that an element <math alttext="\widetilde{\rho}\in\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1"><semantics id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mover accent="true" id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1b"><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1"><in id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.1"></in><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.2"><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2">𝜌</ci></apply><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3"><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.1">~</ci><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1c">\widetilde{\rho}\in\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS1.p1.4.m1.1d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG ∈ over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> becomes</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widetilde{\rho}={L}\eta+\sum_{i=1}^{m}\sum_{0\leq\lvert I\rvert\leq k}p_{% \alpha}^{I,i}\left(du^{\alpha}_{I}-{u}_{I+1_{j}}dx^{j}\right)\wedge\eta_{i}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex11.m1.4"><semantics id="S2.Ex11.m1.4a"><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.2" rspace="0.055em" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></munderover><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex11.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mo id="S2.Ex11.m1.1.1.1.4" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.1.1.1.5.2" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.5.1.cmml"><mo id="S2.Ex11.m1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.5.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex11.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex11.m1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.5.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.Ex11.m1.1.1.1.6" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.6.cmml">≤</mo><mi id="S2.Ex11.m1.1.1.1.7" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.7.cmml">k</mi></mrow></munder><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex11.m1.3.3.2.4" xref="S2.Ex11.m1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.2.2.1.1" xref="S2.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.2.4.1" xref="S2.Ex11.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex11.m1.3.3.2.2" xref="S2.Ex11.m1.3.3.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">I</mi><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></msub><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">x</mi><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">j</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">∧</mo><msub id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mi id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex11.m1.4.4.1.2" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex11.m1.4b"><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1"><eq id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3"><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.1">~</ci><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.3.2">𝜌</ci></apply><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1"><and id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.2"></and><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S2.Ex11.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1"><and id="S2.Ex11.m1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1"></and><apply id="S2.Ex11.m1.1.1.1b.cmml" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1"><leq id="S2.Ex11.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.4"></leq><cn id="S2.Ex11.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.3">0</cn><apply id="S2.Ex11.m1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.5.2"><abs id="S2.Ex11.m1.1.1.1.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.5.2.1"></abs><ci id="S2.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.1">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex11.m1.1.1.1c.cmml" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1"><leq id="S2.Ex11.m1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex11.m1.1.1.1.5.cmml" id="S2.Ex11.m1.1.1.1d.cmml" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1"></share><ci id="S2.Ex11.m1.1.1.1.7.cmml" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.7">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝛼</ci></apply><list id="S2.Ex11.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.2.4"><ci id="S2.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.2.2.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex11.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.2.2">𝑖</ci></list></apply><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><plus id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><cn id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑥</ci><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.4.4.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex11.m1.4c">\widetilde{\rho}={L}\eta+\sum_{i=1}^{m}\sum_{0\leq\lvert I\rvert\leq k}p_{% \alpha}^{I,i}\left(du^{\alpha}_{I}-{u}_{I+1_{j}}dx^{j}\right)\wedge\eta_{i},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex11.m1.4d">over~ start_ARG italic_ρ end_ARG = italic_L italic_η + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT 0 ≤ | italic_I | ≤ italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT ) ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS1.p1.11">where <math alttext="{\mathcal{L}}=L\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1"><semantics id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.3.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1b"><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1"><eq id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.2">ℒ</ci><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.3"><times id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1.1.3.3">𝜂</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1c">{\mathcal{L}}=L\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS1.p1.5.m1.1d">caligraphic_L = italic_L italic_η</annotation></semantics></math>. Then we have coordinates <math alttext="\left(x^{i},u^{\alpha},u_{I}^{\alpha};p^{J,i}_{\alpha}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6"><semantics id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6a"><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.5.cmml"><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.5" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.5.cmml">(</mo><msup id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.3.3.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.3.3.1.1.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.3.3.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.3.3.1.1.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.3.3.1.1.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.6" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.5.cmml">,</mo><msup id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.4.4.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.4.4.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.4.4.2.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.4.4.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.4.4.2.2.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.4.4.2.2.3.cmml">α</mi></msup><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.7" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.5.cmml">,</mo><msubsup id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.2.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.2.3.cmml">I</mi><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.8" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.5.cmml">;</mo><msubsup id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.2.2.2.4" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.1.1.1.1.cmml">J</mi><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.9" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.5.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6b"><vector id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.5.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4"><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.3.3.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.3.3.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.4.4.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.4.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.4.4.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.4.4.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.4.4.2.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.2.3">𝐼</ci></apply><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.5.5.3.3.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4.2.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4.2.2">𝑝</ci><list id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.2.2.2.4"><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.1.1.1.1">𝐽</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6.6.4.4.3">𝛼</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6c">\left(x^{i},u^{\alpha},u_{I}^{\alpha};p^{J,i}_{\alpha}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS1.p1.6.m2.6d">( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT ; italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_J , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="1\leq\lvert I\rvert\leq k+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1"><semantics id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.cmml"><mn id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.3.cmml">≤</mo><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.4.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.4.1.cmml"><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.4.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.5" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.5.cmml">≤</mo><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.6" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.6.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.6.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.6.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.6.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.6.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.6.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.6.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1b"><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2"><and id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2a.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2"></and><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2b.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2"><leq id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.3"></leq><cn id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.2">1</cn><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.4.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.4.2"><abs id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.4.2.1"></abs><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.1">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2c.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2"><leq id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.5.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.4.cmml" id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2d.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2"></share><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.6.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.6"><plus id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.6.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.6.1"></plus><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.6.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.6.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.6.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1.2.6.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1c">1\leq\lvert I\rvert\leq k+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS1.p1.7.m3.1d">1 ≤ | italic_I | ≤ italic_k + 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="1\leq\lvert J\rvert\leq k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1"><semantics id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1a"><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.cmml"><mn id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.3.cmml">≤</mo><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.4.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.4.1.cmml"><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.1.cmml">J</mi><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.4.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.5" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.5.cmml">≤</mo><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.6" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.6.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1b"><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2"><and id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2a.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2"></and><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2b.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2"><leq id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.3"></leq><cn id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.2">1</cn><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.4.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.4.2"><abs id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.4.2.1"></abs><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.1">𝐽</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2c.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2"><leq id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.5.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.4.cmml" id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2d.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2"></share><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.6.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1.2.6">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1c">1\leq\lvert J\rvert\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS1.p1.8.m4.1d">1 ≤ | italic_J | ≤ italic_k</annotation></semantics></math> on <math alttext="\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1"><semantics id="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1a"><mover accent="true" id="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.2.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1b"><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1"><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.1">~</ci><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1.1.2.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1c">\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS1.p1.9.m5.1d">over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, and in these coordinates the <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS1.p1.10.m6.1"><semantics id="S2.SS2.SSS1.p1.10.m6.1a"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.10.m6.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.10.m6.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS1.p1.10.m6.1b"><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.10.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.10.m6.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS1.p1.10.m6.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS1.p1.10.m6.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form <math alttext="\Theta_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1"><semantics id="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1a"><msub id="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1.1.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1b"><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1.1.2">Θ</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1c">\Theta_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS1.p1.11.m7.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> becomes simply</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Theta_{\mathcal{L}}={L}\eta+\sum_{i=1}^{m}\sum_{0\leq\lvert I\rvert\leq k}p_{% \alpha}^{I,i}\left(du^{\alpha}_{I}-{u}_{I+1_{j}}^{\alpha}dx^{j}\right)\wedge% \eta_{i}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E2.m1.4"><semantics id="S2.E2.m1.4a"><mrow id="S2.E2.m1.4.4.1" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.4.4.1.1" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S2.E2.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E2.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.E2.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.2" rspace="0.055em" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></munderover><mrow id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E2.m1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.4" xref="S2.E2.m1.1.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.5.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.5.1.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.1.1.1.5.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.1.1.1.5.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.6" xref="S2.E2.m1.1.1.1.6.cmml">≤</mo><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.7" xref="S2.E2.m1.1.1.1.7.cmml">k</mi></mrow></munder><mrow id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.E2.m1.3.3.2.4" xref="S2.E2.m1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.2.2.1.1" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.E2.m1.3.3.2.4.1" xref="S2.E2.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E2.m1.3.3.2.2" xref="S2.E2.m1.3.3.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">I</mi><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow><mo id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mn id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">x</mi><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">j</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">∧</mo><msub id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mi id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.m1.4b"><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1"><eq id="S2.E2.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.3.3">ℒ</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1"><and id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.2"></and><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1"><plus id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.3"><times id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1"><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3"><eq id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1"><and id="S2.E2.m1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1"></and><apply id="S2.E2.m1.1.1.1b.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1"><leq id="S2.E2.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.4"></leq><cn id="S2.E2.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.1.3">0</cn><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.5.2"><abs id="S2.E2.m1.1.1.1.5.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.5.2.1"></abs><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1c.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1"><leq id="S2.E2.m1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.E2.m1.1.1.1.5.cmml" id="S2.E2.m1.1.1.1d.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1"></share><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.7.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.7">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝛼</ci></apply><list id="S2.E2.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.2.4"><ci id="S2.E2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.2.2.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.E2.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.2.2">𝑖</ci></list></apply><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑢</ci><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><plus id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></plus><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">subscript</csymbol><cn id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2">1</cn><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑥</ci><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.4.4.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.m1.4c">\Theta_{\mathcal{L}}={L}\eta+\sum_{i=1}^{m}\sum_{0\leq\lvert I\rvert\leq k}p_{% \alpha}^{I,i}\left(du^{\alpha}_{I}-{u}_{I+1_{j}}^{\alpha}dx^{j}\right)\wedge% \eta_{i}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.m1.4d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT = italic_L italic_η + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT 0 ≤ | italic_I | ≤ italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT ) ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS1.p1.14">Please note that in the coordinates just defined, the velocities <math alttext="u^{\alpha}_{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1"><semantics id="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1a"><msubsup id="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.3.cmml">I</mi><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.2.3.cmml">α</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1b"><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1.1.3">𝐼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1c">u^{\alpha}_{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS1.p1.12.m1.1d">italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are symmetric in the multiindex <math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS1.p1.13.m2.1"><semantics id="S2.SS2.SSS1.p1.13.m2.1a"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.13.m2.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.13.m2.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS1.p1.13.m2.1b"><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.13.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.13.m2.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS1.p1.13.m2.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS1.p1.13.m2.1d">italic_I</annotation></semantics></math>, but the multimomentum coordinates <math alttext="p_{\alpha}^{J,i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2"><semantics id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2a"><msubsup id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3.2.3" xref="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.2.2.4" xref="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.1.1.1.1.cmml">J</mi><mo id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.2.2.4.1" xref="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.2.2.2" xref="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2b"><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.3.2.3">𝛼</ci></apply><list id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.2.2.4"><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.1.1.1.1">𝐽</ci><ci id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2c">p_{\alpha}^{J,i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS1.p1.14.m3.2d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> has mixed symmetry in these indices.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.3. </span>Lagrangian formalism</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.1">We will need to relate the solutions for the Lagrangian-Hamiltonian problem with the solutions of the Euler-Lagrange equations for <math alttext="{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.1.m1.1c">{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.1.m1.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math>. It will be done using the notion of bivariant Lepage equivalent problem from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">GotayCartan</span>]</cite>. Namely, the Euler-Lagrange equations describe the extremals for the variational problem</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A_{\mathcal{L}}\left(s\right):=\int_{M}\left(j^{k+1}s\right)^{*}{\mathcal{L}},% \qquad s:U\subset M\to P" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex12.m1.3"><semantics id="S2.Ex12.m1.3a"><mrow id="S2.Ex12.m1.3.3" xref="S2.Ex12.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex12.m1.3.3.1" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S2.Ex12.m1.3.3.1.3" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.2" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.2.2" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.2.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.2.3" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.1" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.3.2" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.cmml"><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.3.2.1" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex12.m1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.3.2.2" rspace="0.278em" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.2" rspace="0.111em" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.2.cmml">:=</mo><mrow id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" rspace="0em" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">M</mi></msub><mrow id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">j</mi><mrow id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">ℒ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.2" rspace="2.167em" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex12.m1.2.2" xref="S2.Ex12.m1.2.2.cmml">s</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex12.m1.3.3.2.cmml">:</mo><mrow id="S2.Ex12.m1.3.3.3" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex12.m1.3.3.3.2" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3.2.cmml">U</mi><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.3.3" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3.3.cmml">⊂</mo><mi id="S2.Ex12.m1.3.3.3.4" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3.4.cmml">M</mi><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.3.5" stretchy="false" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3.5.cmml">→</mo><mi id="S2.Ex12.m1.3.3.3.6" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3.6.cmml">P</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex12.m1.3b"><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3"><ci id="S2.Ex12.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.2">:</ci><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex12.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.2">assign</csymbol><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.3"><times id="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="S2.Ex12.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.1.1">𝑠</ci></apply><list id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1"><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑀</ci></apply><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><times id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply><ci id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">ℒ</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex12.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.2">𝑠</ci></list></apply><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3"><and id="S2.Ex12.m1.3.3.3a.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3"></and><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.3b.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3"><subset id="S2.Ex12.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3.3"></subset><ci id="S2.Ex12.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3.2">𝑈</ci><ci id="S2.Ex12.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3.4">𝑀</ci></apply><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.3c.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3"><ci id="S2.Ex12.m1.3.3.3.5.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex12.m1.3.3.3.4.cmml" id="S2.Ex12.m1.3.3.3d.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3"></share><ci id="S2.Ex12.m1.3.3.3.6.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3.6">𝑃</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex12.m1.3c">A_{\mathcal{L}}\left(s\right):=\int_{M}\left(j^{k+1}s\right)^{*}{\mathcal{L}},% \qquad s:U\subset M\to P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex12.m1.3d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) := ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_L , italic_s : italic_U ⊂ italic_M → italic_P</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.2">associated to the Lagrangian density <math alttext="{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.2.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p1.2.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p1.2.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.2.m1.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.2.m1.1b"><ci id="S2.SS3.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m1.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.2.m1.1c">{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.2.m1.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math>; on the other hand, the Lagrangian-Hamiltonian problem is the set of equations describing the extremals of the functional</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A_{\Theta_{\mathcal{L}}}\left(\sigma\right):=\int_{M}\sigma^{*}\Theta_{% \mathcal{L}},\qquad\sigma:U\subset M\to\widetilde{W_{\mathcal{L}}}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex13.m1.3"><semantics id="S2.Ex13.m1.3a"><mrow id="S2.Ex13.m1.3.3.1" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><msub id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></msub><mo id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.1" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex13.m1.1.1" xref="S2.Ex13.m1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2" rspace="0.278em" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">:=</mo><mrow id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">M</mi></msub><mrow id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" rspace="2.167em" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex13.m1.2.2" xref="S2.Ex13.m1.2.2.cmml">σ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.2.cmml">:</mo><mrow id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">⊂</mo><mi id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.4" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.4.cmml">M</mi><mo id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.5" stretchy="false" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.5.cmml">→</mo><mover accent="true" id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.cmml"><msub id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.2" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.2.cmml"><mi id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.2.2" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.2.3" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.1" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S2.Ex13.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex13.m1.3b"><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1"><ci id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.2">:</ci><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.2">assign</csymbol><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3"><times id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.3">ℒ</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex13.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.1.1">𝜎</ci></apply><list id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"></int><ci id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑀</ci></apply><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜎</ci><times id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3"></times></apply><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.3">ℒ</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex13.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2">𝜎</ci></list></apply><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3"><and id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3"></and><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3b.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3"><subset id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.3"></subset><ci id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.4">𝑀</ci></apply><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3c.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3"><ci id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.5.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.4.cmml" id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3d.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3"></share><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6"><ci id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.1">~</ci><apply id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.2.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.2.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.2.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.3.3.1.1.3.6.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex13.m1.3c">A_{\Theta_{\mathcal{L}}}\left(\sigma\right):=\int_{M}\sigma^{*}\Theta_{% \mathcal{L}},\qquad\sigma:U\subset M\to\widetilde{W_{\mathcal{L}}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex13.m1.3d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_σ ) := ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT , italic_σ : italic_U ⊂ italic_M → over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.6">In principle, no relationship should exists between these extremals; our first result shows that every extremal of <math alttext="A_{\Theta_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.3.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p1.3.m1.1a"><msub id="S2.SS3.p1.3.m1.1.1" xref="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.2.cmml">A</mi><msub id="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.3.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m1.1.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.3.m1.1c">A_{\Theta_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.3.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> projects along the map <math alttext="\tau_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.4.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p1.4.m2.1a"><msub id="S2.SS3.p1.4.m2.1.1" xref="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.4.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.2">𝜏</ci><ci id="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m2.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.4.m2.1c">\tau_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.4.m2.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> onto an extremal for <math alttext="A_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.5.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p1.5.m3.1a"><msub id="S2.SS3.p1.5.m3.1.1" xref="S2.SS3.p1.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.5.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.5.m3.1.1.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p1.5.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.5.m3.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.5.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m3.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S2.SS3.p1.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.5.m3.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.5.m3.1c">A_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.5.m3.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (it is what is called <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S2.SS3.p1.6.1">covariance</em> of the variational problem posed by <math alttext="A_{\Theta_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.6.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p1.6.m4.1a"><msub id="S2.SS3.p1.6.m4.1.1" xref="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.2.cmml">A</mi><msub id="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.6.m4.1b"><apply id="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m4.1.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.6.m4.1c">A_{\Theta_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.6.m4.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">GotayCartan</span>]</cite>).</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lem" id="Thmlem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem2.1.1.1">Lemma 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlem2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlem2.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlem2.p1.5.5">If <math alttext="\sigma:M\to\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">M</mi><mo id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mover accent="true" id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><msub id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.1">:</ci><ci id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝜎</ci><apply id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.1">→</ci><ci id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑀</ci><apply id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3"><ci id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1">~</ci><apply id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="Thmlem2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1c">\sigma:M\to\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem2.p1.1.1.m1.1d">italic_σ : italic_M → over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> is an extremal for <math alttext="A_{\Theta_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">A</mi><msub id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.2">𝐴</ci><apply id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlem2.p1.2.2.m2.1.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1c">A_{\Theta_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem2.p1.2.2.m2.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, then there exists an extremal <math alttext="s:M\to P" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml">M</mi><mo id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml">P</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1"><ci id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.1">:</ci><ci id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑠</ci><apply id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.3"><ci id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.3.1">→</ci><ci id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.3.2">𝑀</ci><ci id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlem2.p1.3.3.m3.1.1.3.3">𝑃</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1c">s:M\to P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem2.p1.3.3.m3.1d">italic_s : italic_M → italic_P</annotation></semantics></math> for <math alttext="A_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem2.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmlem2.p1.4.4.m4.1a"><msub id="Thmlem2.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmlem2.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmlem2.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmlem2.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmlem2.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmlem2.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem2.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmlem2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem2.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlem2.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmlem2.p1.4.4.m4.1.1.2">𝐴</ci><ci id="Thmlem2.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmlem2.p1.4.4.m4.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem2.p1.4.4.m4.1c">A_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem2.p1.4.4.m4.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\tau_{\mathcal{L}}\circ\sigma=j^{k+1}s" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml"><msub id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2.2" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2.3" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.1.cmml">∘</mo><mi id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.3" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.3.cmml">σ</mi></mrow><mo id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml"><msup id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.2" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.2.cmml">j</mi><mrow id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3.2" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3.1" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3.3" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.3" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml">s</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1"><eq id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2"><compose id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.1"></compose><apply id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2.2">𝜏</ci><ci id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3"><times id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.1"></times><apply id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.2">𝑗</ci><apply id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3"><plus id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3.1"></plus><ci id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlem2.p1.5.5.m5.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1c">\tau_{\mathcal{L}}\circ\sigma=j^{k+1}s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem2.p1.5.5.m5.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_σ = italic_j start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S2.SS3.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof (Gotay <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">GotayCartan</span>]</cite>).</h6> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.1.p1.5">Let us define</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\phi:=\tau_{\mathcal{L}}\circ\sigma:M\to J^{k+1}\pi." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex14.m1.1"><semantics id="S2.Ex14.m1.1a"><mrow id="S2.Ex14.m1.1.1.1" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">:=</mo><mrow id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∘</mo><mi id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">σ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">M</mi><mo id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mrow id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">π</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex14.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex14.m1.1b"><apply id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1"><ci id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.1">:</ci><apply id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1">assign</csymbol><ci id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2">italic-ϕ</ci><apply id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3"><compose id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.1"></compose><apply id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝜏</ci><ci id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3"><ci id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.1">→</ci><ci id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.2">𝑀</ci><apply id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3"><plus id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝜋</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex14.m1.1c">\phi:=\tau_{\mathcal{L}}\circ\sigma:M\to J^{k+1}\pi.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex14.m1.1d">italic_ϕ := italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_σ : italic_M → italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.1.p1.4">We will prove that <math alttext="\phi^{*}\alpha=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><msup id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.1" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2"><times id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2.2">italic-ϕ</ci><times id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.2.3"></times></apply><ci id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.3">𝛼</ci></apply><cn id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.1.p1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1c">\phi^{*}\alpha=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.1.p1.1.m1.1d">italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_α = 0</annotation></semantics></math> for every contact form <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1a"><mi id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1b"><ci id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.2.m2.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.1.p1.2.m2.1d">italic_α</annotation></semantics></math> on <math alttext="J^{k+1}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.3.2" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.3.1" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.3.3" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1"><times id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.3"><plus id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.3.m3.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1c">J^{k+1}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.1.p1.3.m3.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math>, and that it is an extremal for the functional <math alttext="A_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.1.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS3.1.p1.4.m4.1a"><msub id="S2.SS3.1.p1.4.m4.1.1" xref="S2.SS3.1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS3.1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS3.1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.1.p1.4.m4.1b"><apply id="S2.SS3.1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.4.m4.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S2.SS3.1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.1.p1.4.m4.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.1.p1.4.m4.1c">A_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.1.p1.4.m4.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.2.p2.5">First, let <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.1.m1.1a"><mi id="S2.SS3.2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.1.m1.1b"><ci id="S2.SS3.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.1.m1.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.1.m1.1c">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.1.m1.1d">italic_β</annotation></semantics></math> be a contact <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.2.m2.1a"><mi id="S2.SS3.2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.2.m2.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.2.m2.1b"><ci id="S2.SS3.2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.2.m2.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.2.m2.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.2.m2.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form on <math alttext="J^{k+1}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.3.2" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.3.1" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1"><times id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.3"><plus id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.3.m3.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1c">J^{k+1}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.3.m3.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math>; then using the linear structure of <math alttext="\wedge^{m}_{2}\left(J^{k+1}\pi\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1"><apply id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.2.2"></and><ci id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1"><times id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1c">\wedge^{m}_{2}\left(J^{k+1}\pi\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.4.m4.1d">∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π )</annotation></semantics></math> we can define the <math alttext="\tau_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.5.m5.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.5.m5.1a"><msub id="S2.SS3.2.p2.5.m5.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.5.m5.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.5.m5.1.1.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.2.p2.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.5.m5.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.5.m5.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.2.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.5.m5.1.1.2">𝜏</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.5.m5.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.5.m5.1c">\tau_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.5.m5.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-vertical vector field</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.3)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="X_{\beta}\left(\rho\right):=\left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right|_{t=0}\left% (\rho+t\beta\left(\tau_{\mathcal{L}}\left(\rho\right)\right)\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E3.m1.5"><semantics id="S2.E3.m1.5a"><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">X</mi><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.3.2.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E3.m1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.3.2.2" rspace="0.278em" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2" rspace="0.278em" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.cmml">:=</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml"><mfrac id="S2.E3.m1.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.cmml"><mtext id="S2.E3.m1.2.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.2a.cmml">d</mtext><mrow id="S2.E3.m1.2.2.3" xref="S2.E3.m1.2.2.3.cmml"><mtext id="S2.E3.m1.2.2.3.2" xref="S2.E3.m1.2.2.3.2a.cmml">d</mtext><mo id="S2.E3.m1.2.2.3.1" xref="S2.E3.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.2.2.3.3" xref="S2.E3.m1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S2.E3.m1.3.3.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.3.3.1.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E3.m1.3.3.1.3" xref="S2.E3.m1.3.3.1.3.cmml">0</mn></mrow></msub><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ρ</mi><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">β</mi><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E3.m1.4.4" xref="S2.E3.m1.4.4.cmml">ρ</mi><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E3.m1.5b"><apply id="S2.E3.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.2">assign</csymbol><apply id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3"><times id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.2">𝑋</ci><ci id="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.3.2.3">𝛽</ci></apply><ci id="S2.E3.m1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1">𝜌</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1"><times id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.3.2.2.1">evaluated-at</csymbol><apply id="S2.E3.m1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2"><divide id="S2.E3.m1.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2"></divide><ci id="S2.E3.m1.2.2.2a.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.2"><mtext id="S2.E3.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.2">d</mtext></ci><apply id="S2.E3.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.3"><times id="S2.E3.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.3.1"></times><ci id="S2.E3.m1.2.2.3.2a.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.3.2"><mtext id="S2.E3.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.3.2">d</mtext></ci><ci id="S2.E3.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.3.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1"><eq id="S2.E3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1"></eq><ci id="S2.E3.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.2">𝑡</ci><cn id="S2.E3.m1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.3.3.1.3">0</cn></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"></plus><ci id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">𝜌</ci><apply id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci><ci id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.4">𝛽</ci><apply id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜏</ci><ci id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="S2.E3.m1.4.4.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4">𝜌</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E3.m1.5c">X_{\beta}\left(\rho\right):=\left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right|_{t=0}\left% (\rho+t\beta\left(\tau_{\mathcal{L}}\left(\rho\right)\right)\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E3.m1.5d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ρ ) := divide start_ARG d end_ARG start_ARG d italic_t end_ARG | start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ρ + italic_t italic_β ( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ρ ) ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.2.p2.7">Because <math alttext="\Theta_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.6.m1.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.6.m1.1a"><msub id="S2.SS3.2.p2.6.m1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.6.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.2.p2.6.m1.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.2.p2.6.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.6.m1.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.6.m1.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.6.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.6.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.2.p2.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.6.m1.1.1.2">Θ</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.6.m1.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.6.m1.1c">\Theta_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.6.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> comes from a canonical <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.7.m2.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.7.m2.1a"><mi id="S2.SS3.2.p2.7.m2.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.7.m2.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.7.m2.1b"><ci id="S2.SS3.2.p2.7.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.7.m2.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.7.m2.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.7.m2.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form, we have that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.4)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="X_{\beta}\lrcorner d\Theta_{\mathcal{L}}=\tau_{\mathcal{L}}^{*}\beta," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E4.m1.1"><semantics id="S2.E4.m1.1a"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.1a" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.4.cmml">d</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.1b" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.5" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">β</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E4.m1.1b"><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1"><eq id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝛽</ci></apply><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.3">⌟</ci><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.4">𝑑</ci><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.5.2">Θ</ci><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.2.5.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜏</ci><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">ℒ</ci></apply><times id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.3.3">𝛽</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E4.m1.1c">X_{\beta}\lrcorner d\Theta_{\mathcal{L}}=\tau_{\mathcal{L}}^{*}\beta,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E4.m1.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT = italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_β ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.2.p2.33">and so</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex15"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\phi^{*}\beta=\sigma^{*}\tau_{\mathcal{L}}^{*}\beta=\sigma^{*}\left(X_{\beta}% \lrcorner d\Theta_{\mathcal{L}}\right)=0." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex15.m1.1"><semantics id="S2.Ex15.m1.1a"><mrow id="S2.Ex15.m1.1.1.1" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.cmml"><msup id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.2.2" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.2.3" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.1a" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.4" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.4.cmml">β</mi></mrow><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.6" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mi id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.7" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.7.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.8" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.8.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex15.m1.1b"><apply id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1"><and id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1"></and><apply id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.2.2">italic-ϕ</ci><times id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><ci id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.3.3">𝛽</ci></apply><apply id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5"><times id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.1"></times><apply id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.2.2">𝜎</ci><times id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.2.3"></times></apply><apply id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.2.2">𝜏</ci><ci id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.2.3">ℒ</ci></apply><times id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.3.3"></times></apply><ci id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.4.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.4">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex15.m1.1.1.1.1.5.cmml" id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1"></share><apply id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><times id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><ci id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1e.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.cmml" id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1f.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1"></share><cn id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.8.cmml" type="integer" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.8">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex15.m1.1c">\phi^{*}\beta=\sigma^{*}\tau_{\mathcal{L}}^{*}\beta=\sigma^{*}\left(X_{\beta}% \lrcorner d\Theta_{\mathcal{L}}\right)=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex15.m1.1d">italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_β = italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_β = italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ) = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.2.p2.21">It means that <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.8.m1.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.8.m1.1a"><mi id="S2.SS3.2.p2.8.m1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.8.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.8.m1.1b"><ci id="S2.SS3.2.p2.8.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.8.m1.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.8.m1.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.8.m1.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math> annihilates on every contact <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.9.m2.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.9.m2.1a"><mi id="S2.SS3.2.p2.9.m2.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.9.m2.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.9.m2.1b"><ci id="S2.SS3.2.p2.9.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.9.m2.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.9.m2.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.9.m2.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form; it is clear that <math alttext="\phi^{*}\beta=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.cmml"><msup id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.2" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.1" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1"><eq id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2"><times id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.2.2">italic-ϕ</ci><times id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.2.3"></times></apply><ci id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><cn id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.2.p2.10.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1c">\phi^{*}\beta=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.10.m3.1d">italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_β = 0</annotation></semantics></math> for contact <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.11.m4.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.11.m4.1a"><mi id="S2.SS3.2.p2.11.m4.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.11.m4.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.11.m4.1b"><ci id="S2.SS3.2.p2.11.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.11.m4.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.11.m4.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.11.m4.1d">italic_p</annotation></semantics></math>-forms with <math alttext="p>k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.12.m5.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.12.m5.1a"><mrow id="S2.SS3.2.p2.12.m5.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.12.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.12.m5.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.12.m5.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.SS3.2.p2.12.m5.1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.12.m5.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S2.SS3.2.p2.12.m5.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.12.m5.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.12.m5.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.12.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.12.m5.1.1"><gt id="S2.SS3.2.p2.12.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.12.m5.1.1.1"></gt><ci id="S2.SS3.2.p2.12.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.12.m5.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.12.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.12.m5.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.12.m5.1c">p>k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.12.m5.1d">italic_p > italic_k</annotation></semantics></math>. Now if <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.13.m6.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.13.m6.1a"><mi id="S2.SS3.2.p2.13.m6.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.13.m6.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.13.m6.1b"><ci id="S2.SS3.2.p2.13.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.13.m6.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.13.m6.1c">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.13.m6.1d">italic_β</annotation></semantics></math> is a contact <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.14.m7.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.14.m7.1a"><mi id="S2.SS3.2.p2.14.m7.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.14.m7.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.14.m7.1b"><ci id="S2.SS3.2.p2.14.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.14.m7.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.14.m7.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.14.m7.1d">italic_p</annotation></semantics></math>-form with <math alttext="p<m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.15.m8.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.15.m8.1a"><mrow id="S2.SS3.2.p2.15.m8.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.15.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.15.m8.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.15.m8.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.SS3.2.p2.15.m8.1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.15.m8.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S2.SS3.2.p2.15.m8.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.15.m8.1.1.3.cmml">m</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.15.m8.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.15.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.15.m8.1.1"><lt id="S2.SS3.2.p2.15.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.15.m8.1.1.1"></lt><ci id="S2.SS3.2.p2.15.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.15.m8.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.15.m8.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.15.m8.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.15.m8.1c">p<m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.15.m8.1d">italic_p < italic_m</annotation></semantics></math>, then <math alttext="\beta\wedge\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.16.m9.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.16.m9.1a"><mrow id="S2.SS3.2.p2.16.m9.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.16.m9.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.16.m9.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.16.m9.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S2.SS3.2.p2.16.m9.1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.16.m9.1.1.1.cmml">∧</mo><mi id="S2.SS3.2.p2.16.m9.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.16.m9.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.16.m9.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.16.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.16.m9.1.1"><and id="S2.SS3.2.p2.16.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.16.m9.1.1.1"></and><ci id="S2.SS3.2.p2.16.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.16.m9.1.1.2">𝛽</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.16.m9.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.16.m9.1.1.3">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.16.m9.1c">\beta\wedge\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.16.m9.1d">italic_β ∧ italic_α</annotation></semantics></math> with <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.17.m10.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.17.m10.1a"><mi id="S2.SS3.2.p2.17.m10.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.17.m10.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.17.m10.1b"><ci id="S2.SS3.2.p2.17.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.17.m10.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.17.m10.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.17.m10.1d">italic_α</annotation></semantics></math> an arbitrary <math alttext="\left(m-p\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.18.m11.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.18.m11.1a"><mrow id="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.18.m11.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1"><minus id="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.18.m11.1.1.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.18.m11.1c">\left(m-p\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.18.m11.1d">( italic_m - italic_p )</annotation></semantics></math>-form is a contact <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.19.m12.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.19.m12.1a"><mi id="S2.SS3.2.p2.19.m12.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.19.m12.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.19.m12.1b"><ci id="S2.SS3.2.p2.19.m12.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.19.m12.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.19.m12.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.19.m12.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form, and so <math alttext="\phi^{*}\beta=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1a"><mrow id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.cmml"><msup id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.2" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.1" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.3" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1"><eq id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2"><times id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.2.2">italic-ϕ</ci><times id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.2.3"></times></apply><ci id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><cn id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.2.p2.20.m13.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1c">\phi^{*}\beta=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.20.m13.1d">italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_β = 0</annotation></semantics></math> again. Thus there exists a section <math alttext="s:M\to P" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1a"><mrow id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.3.2" xref="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.3.2.cmml">M</mi><mo id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.3.3" xref="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.3.3.cmml">P</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1"><ci id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.1">:</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.3"><ci id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.3.1">→</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.3.2">𝑀</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.21.m14.1.1.3.3">𝑃</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1c">s:M\to P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.21.m14.1d">italic_s : italic_M → italic_P</annotation></semantics></math> such that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex16"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\phi=j^{k+1}s." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex16.m1.1"><semantics id="S2.Ex16.m1.1a"><mrow id="S2.Ex16.m1.1.1.1" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">j</mi><mrow id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex16.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex16.m1.1b"><apply id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><apply id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑗</ci><apply id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.3"><plus id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex16.m1.1c">\phi=j^{k+1}s.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex16.m1.1d">italic_ϕ = italic_j start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.2.p2.25">Now let prove that <math alttext="s" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.22.m1.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.22.m1.1a"><mi id="S2.SS3.2.p2.22.m1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.22.m1.1.1.cmml">s</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.22.m1.1b"><ci id="S2.SS3.2.p2.22.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.22.m1.1.1">𝑠</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.22.m1.1c">s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.22.m1.1d">italic_s</annotation></semantics></math> is an extremal for <math alttext="A_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.23.m2.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.23.m2.1a"><msub id="S2.SS3.2.p2.23.m2.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.23.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.23.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.23.m2.1.1.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.2.p2.23.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.23.m2.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.23.m2.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.23.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.23.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.23.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.23.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.2.p2.23.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.23.m2.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.23.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.23.m2.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.23.m2.1c">A_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.23.m2.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Consider a section <math alttext="w:J^{k+1}\pi\to\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.cmml"><msup id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.2" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.3" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.3.1" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.1" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.3" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.1.cmml">→</mo><mover accent="true" id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.cmml"><msub id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.2" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.2.2" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.2.3" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.1" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1"><ci id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.1">:</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.2">𝑤</ci><apply id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3"><ci id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.1">→</ci><apply id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2"><times id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.3"><plus id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.2.3">𝜋</ci></apply><apply id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3"><ci id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.1">~</ci><apply id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.24.m3.1.1.3.3.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1c">w:J^{k+1}\pi\to\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.24.m3.1d">italic_w : italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π → over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> of <math alttext="\tau_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.25.m4.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.25.m4.1a"><msub id="S2.SS3.2.p2.25.m4.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.25.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.25.m4.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.25.m4.1.1.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.2.p2.25.m4.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.25.m4.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.25.m4.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.25.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.25.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.25.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.25.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.2.p2.25.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.25.m4.1.1.2">𝜏</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.25.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.25.m4.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.25.m4.1c">\tau_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.25.m4.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="w\circ j^{k+1}s=\sigma;" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex17.m1.1"><semantics id="S2.Ex17.m1.1a"><mrow id="S2.Ex17.m1.1.1.1" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">∘</mo><msup id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mrow id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mo id="S2.Ex17.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex17.m1.1b"><apply id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2"><compose id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1"></compose><ci id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑤</ci><apply id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><apply id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><plus id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1"></plus><ci id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.3">𝜎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex17.m1.1c">w\circ j^{k+1}s=\sigma;</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex17.m1.1d">italic_w ∘ italic_j start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s = italic_σ ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.2.p2.34">then</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sigma^{*}\Theta_{\mathcal{L}}=\left(j^{k+1}s\right)^{*}w^{*}\Theta_{\mathcal{% L}}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex18.m1.1"><semantics id="S2.Ex18.m1.1a"><mrow id="S2.Ex18.m1.1.1.1" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">j</mi><mrow id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex18.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex18.m1.1b"><apply id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝜎</ci><times id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.3.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.3.3.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><times id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply><apply id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑤</ci><times id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.4.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.1.4.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex18.m1.1c">\sigma^{*}\Theta_{\mathcal{L}}=\left(j^{k+1}s\right)^{*}w^{*}\Theta_{\mathcal{% L}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex18.m1.1d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_j start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.2.p2.28">But <math alttext="\Theta_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.26.m1.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.26.m1.1a"><msub id="S2.SS3.2.p2.26.m1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.26.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.26.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.2.p2.26.m1.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.2.p2.26.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.26.m1.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.26.m1.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.26.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.26.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.26.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.26.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.2.p2.26.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.26.m1.1.1.2">Θ</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.26.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.26.m1.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.26.m1.1c">\Theta_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.26.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, being the pullback of the canonical <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.27.m2.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.27.m2.1a"><mi id="S2.SS3.2.p2.27.m2.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.27.m2.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.27.m2.1b"><ci id="S2.SS3.2.p2.27.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.27.m2.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.27.m2.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.27.m2.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form on <math alttext="\wedge^{m}_{2}\left(J^{1}\pi_{k}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1a"><mrow id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mi id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1"><apply id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.2.2"></and><ci id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1"><times id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.3.2">𝜋</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.28.m3.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1c">\wedge^{m}_{2}\left(J^{1}\pi_{k}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.28.m3.1d">∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> has the tautological property, namely</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="w^{*}\Theta_{\mathcal{L}}=w;" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex19.m1.1"><semantics id="S2.Ex19.m1.1a"><mrow id="S2.Ex19.m1.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.3.cmml">w</mi></mrow><mo id="S2.Ex19.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex19.m1.1b"><apply id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑤</ci><times id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3"></times></apply><apply id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3.3">ℒ</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.3">𝑤</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex19.m1.1c">w^{*}\Theta_{\mathcal{L}}=w;</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex19.m1.1d">italic_w start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT = italic_w ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.2.p2.30">furthermore, <math alttext="w" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.29.m1.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.29.m1.1a"><mi id="S2.SS3.2.p2.29.m1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.29.m1.1.1.cmml">w</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.29.m1.1b"><ci id="S2.SS3.2.p2.29.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.29.m1.1.1">𝑤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.29.m1.1c">w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.29.m1.1d">italic_w</annotation></semantics></math> has its image in <math alttext="\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.30.m2.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.30.m2.1a"><mover accent="true" id="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.30.m2.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1"><ci id="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.1">~</ci><apply id="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.30.m2.1.1.2.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.30.m2.1c">\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.30.m2.1d">over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, and it means that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="w\equiv{\mathcal{L}}\mod{\text{contact forms}}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex20.m1.1"><semantics id="S2.Ex20.m1.1a"><mrow id="S2.Ex20.m1.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.cmml">≡</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">mod</mo><mtext id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3a.cmml">contact forms</mtext></mrow></mrow><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex20.m1.1b"><apply id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1"><equivalent id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1"></equivalent><ci id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.2">𝑤</ci><apply id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.1">modulo</csymbol><ci id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.2">ℒ</ci><ci id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3"><mtext id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3">contact forms</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex20.m1.1c">w\equiv{\mathcal{L}}\mod{\text{contact forms}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex20.m1.1d">italic_w ≡ caligraphic_L roman_mod contact forms .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.2.p2.35">Therefore</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sigma^{*}\Theta_{\mathcal{L}}=\left(j^{k+1}s\right)^{*}w^{*}\Theta_{\mathcal{% L}}=\left(j^{k+1}s\right)^{*}w=\left(j^{k+1}s\right)^{*}{\mathcal{L}}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex21.m1.1"><semantics id="S2.Ex21.m1.1a"><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.cmml"><msup id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.6" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">j</mi><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.7" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">j</mi><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">w</mi></mrow><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.8" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.8.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml">j</mi><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex21.m1.1b"><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1"><and id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1"></and><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.6"></eq><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5"><times id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.1"></times><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.2.2">𝜎</ci><times id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.2.3"></times></apply><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.3.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.5.3.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><times id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑤</ci><times id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.4.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.4.3">ℒ</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.cmml" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1"></share><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><times id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><times id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.3"></times></apply><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3">𝑤</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1e.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.8"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex21.m1.1.1.1.1.2.cmml" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1f.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1"></share><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2"></times><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1"><times id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><times id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.3"></times></apply><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex21.m1.1c">\sigma^{*}\Theta_{\mathcal{L}}=\left(j^{k+1}s\right)^{*}w^{*}\Theta_{\mathcal{% L}}=\left(j^{k+1}s\right)^{*}w=\left(j^{k+1}s\right)^{*}{\mathcal{L}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex21.m1.1d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_j start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_j start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_w = ( italic_j start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_L ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.2.p2.36">so</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex22"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A_{\Theta_{\mathcal{L}}}\left(\sigma\right)=A_{\mathcal{L}}\left(s\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex22.m1.3"><semantics id="S2.Ex22.m1.3a"><mrow id="S2.Ex22.m1.3.3.1" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><msub id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></msub><mo id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.3.2.1" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex22.m1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.3.2.2" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex22.m1.2.2" xref="S2.Ex22.m1.2.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.3.3.1.2" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex22.m1.3b"><apply id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1"><eq id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2"><times id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.2">𝐴</ci><apply id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.3.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.2.2.3.3">ℒ</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex22.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1">𝜎</ci></apply><apply id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3"><times id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝐴</ci><ci id="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.3.3.1.1.3.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="S2.Ex22.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.2.2">𝑠</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex22.m1.3c">A_{\Theta_{\mathcal{L}}}\left(\sigma\right)=A_{\mathcal{L}}\left(s\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex22.m1.3d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_σ ) = italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.2.p2.32">and <math alttext="s" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.31.m1.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.31.m1.1a"><mi id="S2.SS3.2.p2.31.m1.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.31.m1.1.1.cmml">s</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.31.m1.1b"><ci id="S2.SS3.2.p2.31.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.31.m1.1.1">𝑠</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.31.m1.1c">s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.31.m1.1d">italic_s</annotation></semantics></math> should be an extremal for <math alttext="A_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.2.p2.32.m2.1"><semantics id="S2.SS3.2.p2.32.m2.1a"><msub id="S2.SS3.2.p2.32.m2.1.1" xref="S2.SS3.2.p2.32.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.2.p2.32.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.2.p2.32.m2.1.1.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.2.p2.32.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.2.p2.32.m2.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.2.p2.32.m2.1b"><apply id="S2.SS3.2.p2.32.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.32.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.2.p2.32.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.32.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.2.p2.32.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.32.m2.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S2.SS3.2.p2.32.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.2.p2.32.m2.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.2.p2.32.m2.1c">A_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.2.p2.32.m2.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, as required. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p2.3">Obviously, the correspondence between extremals can be achieved if we can assure that every extremal for <math alttext="A_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p2.1.m1.1a"><msub id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.1.m1.1c">A_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be lifted through <math alttext="\tau_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p2.2.m2.1a"><msub id="S2.SS3.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.1.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p2.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.1.2">𝜏</ci><ci id="S2.SS3.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.2.m2.1c">\tau_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.2.m2.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to an extremal for <math alttext="A_{\Theta_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.SS3.p2.3.m3.1a"><msub id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.2.cmml">A</mi><msub id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.3.m3.1b"><apply id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.3.m3.1c">A_{\Theta_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.3.m3.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>; this property is described in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">GotayCartan</span>]</cite> as <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S2.SS3.p2.3.1">contravariance</em>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lem" id="Thmlem3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem3.1.1.1">Lemma 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlem3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlem3.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlem3.p1.2.2">Every extremal for <math alttext="A_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.2">𝐴</ci><ci id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem3.p1.1.1.m1.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1c">A_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem3.p1.1.1.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> can be lifted to an extremal for <math alttext="A_{\Theta_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">A</mi><msub id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.2">𝐴</ci><apply id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlem3.p1.2.2.m2.1.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1c">A_{\Theta_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem3.p1.2.2.m2.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S2.SS3.4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.3.p1.2">We will adapt the proof given in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">GotayCartan</span>]</cite> to our purposes. We need to construct a section <math alttext="w:J^{k+1}\pi\to\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mover accent="true" id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.1" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1"><ci id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.1">:</ci><ci id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.2">𝑤</ci><apply id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3"><ci id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.1">→</ci><apply id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2"><times id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3"><plus id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.2.3">𝜋</ci></apply><apply id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3"><ci id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.1">~</ci><apply id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.1.m1.1.1.3.3.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1c">w:J^{k+1}\pi\to\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.1.m1.1d">italic_w : italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π → over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> for <math alttext="\tau_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.2.m2.1a"><msub id="S2.SS3.3.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS3.3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.2.m2.1.1.2">𝜏</ci><ci id="S2.SS3.3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.2.m2.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.2.m2.1c">\tau_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.2.m2.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex23"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sigma:=w\circ j^{k+1}s" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex23.m1.1"><semantics id="S2.Ex23.m1.1a"><mrow id="S2.Ex23.m1.1.1" xref="S2.Ex23.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex23.m1.1.1.2" xref="S2.Ex23.m1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex23.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex23.m1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S2.Ex23.m1.1.1.3" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mo id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.1.cmml">∘</mo><msup id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mrow id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3.1" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S2.Ex23.m1.1.1.3.1" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex23.m1.1.1.3.3" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.3.cmml">s</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex23.m1.1b"><apply id="S2.Ex23.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex23.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.1.1.1">assign</csymbol><ci id="S2.Ex23.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex23.m1.1.1.2">𝜎</ci><apply id="S2.Ex23.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3"><times id="S2.Ex23.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2"><compose id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.1"></compose><ci id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.2">𝑤</ci><apply id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><apply id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3"><plus id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3.1"></plus><ci id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex23.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex23.m1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex23.m1.1c">\sigma:=w\circ j^{k+1}s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex23.m1.1d">italic_σ := italic_w ∘ italic_j start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.3.p1.6">is extremal for <math alttext="A_{\Theta_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1a"><msub id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.2.cmml">A</mi><msub id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1b"><apply id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.3.m1.1.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1c">A_{\Theta_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.3.m1.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, for every <math alttext="s:M\to P" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1a"><mrow id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.3.2.cmml">M</mi><mo id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.3.3.cmml">P</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1b"><apply id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1"><ci id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.1">:</ci><ci id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.3"><ci id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.3.1">→</ci><ci id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.3.2">𝑀</ci><ci id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.4.m2.1.1.3.3">𝑃</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1c">s:M\to P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.4.m2.1d">italic_s : italic_M → italic_P</annotation></semantics></math> extremal of <math alttext="A_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.5.m3.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.5.m3.1a"><msub id="S2.SS3.3.p1.5.m3.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.5.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.3.p1.5.m3.1.1.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.3.p1.5.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.3.p1.5.m3.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.5.m3.1b"><apply id="S2.SS3.3.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.3.p1.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.5.m3.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S2.SS3.3.p1.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.5.m3.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.5.m3.1c">A_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.5.m3.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Therefore, <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.6.m4.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.6.m4.1a"><mi id="S2.SS3.3.p1.6.m4.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.6.m4.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.6.m4.1b"><ci id="S2.SS3.3.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.6.m4.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.6.m4.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.6.m4.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> is a solution for the equations</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.5)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sigma^{*}\left(X\lrcorner d\Theta_{\mathcal{L}}\right)=0,\qquad X\in\mathfrak% {X}^{V\left(\pi_{k+1}\circ\tau_{\mathcal{L}}\right)}\left(\widetilde{W_{% \mathcal{L}}}\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E5.m1.3"><semantics id="S2.E5.m1.3a"><mrow id="S2.E5.m1.3.3.1"><mrow id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><msup id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2.cmml">𝔛</mi><mrow id="S2.E5.m1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E5.m1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.3.cmml">V</mi><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">π</mi><mrow id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msub id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2" xref="S2.E5.m1.2.2.cmml"><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2.1" xref="S2.E5.m1.2.2.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S2.E5.m1.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.cmml"><msub id="S2.E5.m1.2.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.2.2.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E5.m1.2.2.2.3" xref="S2.E5.m1.2.2.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.E5.m1.2.2.1" xref="S2.E5.m1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E5.m1.3b"><apply id="S2.E5.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1"><eq id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><times id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3">ℒ</ci></apply></apply></apply><cn id="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2"><in id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.1"></in><ci id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3"><times id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2">𝔛</ci><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1"><times id="S2.E5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.3">𝑉</ci><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1"><compose id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1"></compose><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜋</ci><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E5.m1.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.2"><ci id="S2.E5.m1.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.1">~</ci><apply id="S2.E5.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.E5.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E5.m1.3c">\sigma^{*}\left(X\lrcorner d\Theta_{\mathcal{L}}\right)=0,\qquad X\in\mathfrak% {X}^{V\left(\pi_{k+1}\circ\tau_{\mathcal{L}}\right)}\left(\widetilde{W_{% \mathcal{L}}}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E5.m1.3d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ) = 0 , italic_X ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V ( italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ( over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.3.p1.9">Taking <math alttext="X=X_{\beta}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.3.3.cmml">β</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1b"><apply id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1"><eq id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.7.m1.1.1.3.3">𝛽</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1c">X=X_{\beta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.7.m1.1d">italic_X = italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.8.m2.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.8.m2.1a"><mi id="S2.SS3.3.p1.8.m2.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.8.m2.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.8.m2.1b"><ci id="S2.SS3.3.p1.8.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.8.m2.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.8.m2.1c">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.8.m2.1d">italic_β</annotation></semantics></math> a contact <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.9.m3.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.9.m3.1a"><mi id="S2.SS3.3.p1.9.m3.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.9.m3.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.9.m3.1b"><ci id="S2.SS3.3.p1.9.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.9.m3.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.9.m3.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.9.m3.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form (see proof of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmlem2" title="Lemma 2. ‣ 2.3. Lagrangian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>), we obtain that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sigma^{*}\left(X_{\beta}\lrcorner d\Theta_{\mathcal{L}}\right)=\left(j^{k+1}s% \right)^{*}w^{*}\tau_{\mathcal{L}}^{*}\beta=0," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex24.m1.1"><semantics id="S2.Ex24.m1.1a"><mrow id="S2.Ex24.m1.1.1.1" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mi id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">β</mi></msub><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">j</mi><mrow id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">w</mi><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.2a" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.2b" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.5" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.5.cmml">β</mi></mrow><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.6" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.Ex24.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex24.m1.1b"><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1"><and id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1"></and><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><times id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝛽</ci></apply><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3">ℒ</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><times id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><times id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.1.3"></times></apply><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑤</ci><times id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.3.3"></times></apply><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.2.2">𝜏</ci><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.2.3">ℒ</ci></apply><times id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.4.3"></times></apply><ci id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.5">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex24.m1.1.1.1.1.2.cmml" id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1"></share><cn id="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S2.Ex24.m1.1.1.1.1.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex24.m1.1c">\sigma^{*}\left(X_{\beta}\lrcorner d\Theta_{\mathcal{L}}\right)=\left(j^{k+1}s% \right)^{*}w^{*}\tau_{\mathcal{L}}^{*}\beta=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex24.m1.1d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ) = ( italic_j start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_β = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.3.p1.10">so these part of the equations are verified for any <math alttext="w" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.10.m1.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.10.m1.1a"><mi id="S2.SS3.3.p1.10.m1.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.10.m1.1.1.cmml">w</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.10.m1.1b"><ci id="S2.SS3.3.p1.10.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.10.m1.1.1">𝑤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.10.m1.1c">w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.10.m1.1d">italic_w</annotation></semantics></math>. Now we have the decomposition</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left.T\widetilde{W_{\mathcal{L}}}\right|_{w\left(J^{k+1}\pi\right)}=Tw\left(% TJ^{k+1}\pi\right)\oplus V\tau_{\mathcal{L}}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex25.m1.2"><semantics id="S2.Ex25.m1.2a"><mrow id="S2.Ex25.m1.2.2.1" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S2.Ex25.m1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.3.cmml">w</mi><mo id="S2.Ex25.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.3" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.3.cmml">T</mi><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.4" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.4.cmml">w</mi><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.2a" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">⊕</mo><mrow id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">V</mi><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3.3" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex25.m1.2.2.1.2" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex25.m1.2b"><apply id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1"><eq id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.3"></eq><apply id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">evaluated-at</csymbol><apply id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1">~</ci><apply id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex25.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex25.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex25.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.3">𝑤</ci><apply id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.2">direct-sum</csymbol><apply id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1"><times id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.2"></times><ci id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.3">𝑇</ci><ci id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.4.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.4">𝑤</ci><apply id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1"><times id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3"><plus id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.4">𝜋</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3"><times id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.2">𝑉</ci><apply id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3.2">𝜏</ci><ci id="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex25.m1.2.2.1.1.2.3.3.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex25.m1.2c">\left.T\widetilde{W_{\mathcal{L}}}\right|_{w\left(J^{k+1}\pi\right)}=Tw\left(% TJ^{k+1}\pi\right)\oplus V\tau_{\mathcal{L}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex25.m1.2d">italic_T over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG | start_POSTSUBSCRIPT italic_w ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π ) end_POSTSUBSCRIPT = italic_T italic_w ( italic_T italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π ) ⊕ italic_V italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.3.p1.11">so that we can consider that <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.11.m1.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.11.m1.1a"><mi id="S2.SS3.3.p1.11.m1.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.11.m1.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.11.m1.1b"><ci id="S2.SS3.3.p1.11.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.11.m1.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.11.m1.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.11.m1.1d">italic_X</annotation></semantics></math> in Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.E5" title="Equation 2.5 ‣ Proof. ‣ 2.3. Lagrangian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.5</span></a>) have the form</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="H=Tw\circ V" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex26.m1.1"><semantics id="S2.Ex26.m1.1a"><mrow id="S2.Ex26.m1.1.1" xref="S2.Ex26.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex26.m1.1.1.2" xref="S2.Ex26.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Ex26.m1.1.1.1" xref="S2.Ex26.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex26.m1.1.1.3" xref="S2.Ex26.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex26.m1.1.1.3.2" xref="S2.Ex26.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex26.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex26.m1.1.1.3.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.Ex26.m1.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex26.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex26.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex26.m1.1.1.3.2.3.cmml">w</mi></mrow><mo id="S2.Ex26.m1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Ex26.m1.1.1.3.1.cmml">∘</mo><mi id="S2.Ex26.m1.1.1.3.3" xref="S2.Ex26.m1.1.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex26.m1.1b"><apply id="S2.Ex26.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex26.m1.1.1"><eq id="S2.Ex26.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex26.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.Ex26.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex26.m1.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S2.Ex26.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex26.m1.1.1.3"><compose id="S2.Ex26.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex26.m1.1.1.3.1"></compose><apply id="S2.Ex26.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex26.m1.1.1.3.2"><times id="S2.Ex26.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex26.m1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.Ex26.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex26.m1.1.1.3.2.2">𝑇</ci><ci id="S2.Ex26.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex26.m1.1.1.3.2.3">𝑤</ci></apply><ci id="S2.Ex26.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex26.m1.1.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex26.m1.1c">H=Tw\circ V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex26.m1.1d">italic_H = italic_T italic_w ∘ italic_V</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.3.p1.12">for some <math alttext="V\in\mathfrak{X}^{V\pi_{k+1}}\left(J^{k+1}\pi\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.3.cmml">V</mi><mo id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.2.cmml">𝔛</mi><mrow id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">V</mi><mo id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">π</mi><mrow id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mo id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1b"><apply id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1"><in id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.2"></in><ci id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.3">𝑉</ci><apply id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1"><times id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.2">𝔛</ci><apply id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3"><times id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.2">𝑉</ci><apply id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.2">𝜋</ci><apply id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.3"><plus id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.3.1"></plus><ci id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1c">V\in\mathfrak{X}^{V\pi_{k+1}}\left(J^{k+1}\pi\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.12.m1.1d">italic_V ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π )</annotation></semantics></math>; so</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex27"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="0=\sigma^{*}\left(X\lrcorner d\Theta_{\mathcal{L}}\right)=\left(j^{k+1}s\right% )^{*}w^{*}\left(Tw\circ V\lrcorner d\Theta_{\mathcal{L}}\right)=\left(j^{k+1}s% \right)^{*}\left(V\lrcorner dw\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex27.m1.5"><semantics id="S2.Ex27.m1.5a"><mrow id="S2.Ex27.m1.5.5" xref="S2.Ex27.m1.5.5.cmml"><mn id="S2.Ex27.m1.5.5.7" xref="S2.Ex27.m1.5.5.7.cmml">0</mn><mo id="S2.Ex27.m1.5.5.8" xref="S2.Ex27.m1.5.5.8.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex27.m1.1.1.1" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex27.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex27.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex27.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex27.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex27.m1.5.5.9" xref="S2.Ex27.m1.5.5.9.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex27.m1.3.3.3" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.cmml"><msup id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">j</mi><mrow id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.3" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex27.m1.3.3.3.3" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex27.m1.3.3.3.4" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S2.Ex27.m1.3.3.3.4.2" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.4.2.cmml">w</mi><mo id="S2.Ex27.m1.3.3.3.4.3" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.4.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex27.m1.3.3.3.3a" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.2" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.2" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.3.cmml">w</mi></mrow><mo id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.1.cmml">∘</mo><mi id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.3" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.cmml">V</mi></mrow><mo id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.1" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.1a" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.4" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.1b" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.5" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.5.cmml"><mi id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.5.3" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.5.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.3" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex27.m1.5.5.10" xref="S2.Ex27.m1.5.5.10.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex27.m1.5.5.5" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.cmml"><msup id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.cmml"><mrow id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.2" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">j</mi><mrow id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.3" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.3" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex27.m1.5.5.5.3" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.2" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.2" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.1" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.1a" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.4" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.1b" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.5" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.5.cmml">w</mi></mrow><mo id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.3" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex27.m1.5b"><apply id="S2.Ex27.m1.5.5.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5"><and id="S2.Ex27.m1.5.5a.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5"></and><apply id="S2.Ex27.m1.5.5b.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5"><eq id="S2.Ex27.m1.5.5.8.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5.8"></eq><cn id="S2.Ex27.m1.5.5.7.cmml" type="integer" xref="S2.Ex27.m1.5.5.7">0</cn><apply id="S2.Ex27.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex27.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex27.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex27.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex27.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><times id="S2.Ex27.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.5.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex27.m1.5.5c.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5"><eq id="S2.Ex27.m1.5.5.9.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5.9"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex27.m1.1.1.1.cmml" id="S2.Ex27.m1.5.5d.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5"></share><apply id="S2.Ex27.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3"><times id="S2.Ex27.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.3"></times><apply id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1"><times id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><times id="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.2.2.2.1.3"></times></apply><apply id="S2.Ex27.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex27.m1.3.3.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex27.m1.3.3.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.4.2">𝑤</ci><times id="S2.Ex27.m1.3.3.3.4.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.4.3"></times></apply><apply id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1"><times id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2"><compose id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.1"></compose><apply id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.2"><times id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.1"></times><ci id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.2">𝑇</ci><ci id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.3">𝑤</ci></apply><ci id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.2.3">𝑉</ci></apply><ci id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.3">⌟</ci><ci id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.5.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.5.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.3.3.3.2.1.1.5.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex27.m1.5.5e.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5"><eq id="S2.Ex27.m1.5.5.10.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5.10"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex27.m1.3.3.3.cmml" id="S2.Ex27.m1.5.5f.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5"></share><apply id="S2.Ex27.m1.5.5.5.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5"><times id="S2.Ex27.m1.5.5.5.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.3"></times><apply id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1"><times id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><times id="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.4.4.4.1.3"></times></apply><apply id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1"><times id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.3">⌟</ci><ci id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.4">𝑑</ci><ci id="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex27.m1.5.5.5.2.1.1.5">𝑤</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex27.m1.5c">0=\sigma^{*}\left(X\lrcorner d\Theta_{\mathcal{L}}\right)=\left(j^{k+1}s\right% )^{*}w^{*}\left(Tw\circ V\lrcorner d\Theta_{\mathcal{L}}\right)=\left(j^{k+1}s% \right)^{*}\left(V\lrcorner dw\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex27.m1.5d">0 = italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ) = ( italic_j start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_w start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T italic_w ∘ italic_V ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ) = ( italic_j start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_V ⌟ italic_d italic_w )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.3.p1.18">where the tautological property for the canonical <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.13.m1.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.13.m1.1a"><mi id="S2.SS3.3.p1.13.m1.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.13.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.13.m1.1b"><ci id="S2.SS3.3.p1.13.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.13.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.13.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.13.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form on <math alttext="\wedge^{m}_{2}\left(J^{1}\pi_{k}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1a"><mrow id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mi id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1b"><apply id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1"><apply id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.2.2"></and><ci id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1"><times id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝜋</ci><ci id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.14.m2.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1c">\wedge^{m}_{2}\left(J^{1}\pi_{k}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.14.m2.1d">∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> was used. Therefore, it is the equation that section <math alttext="w" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.15.m3.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.15.m3.1a"><mi id="S2.SS3.3.p1.15.m3.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.15.m3.1.1.cmml">w</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.15.m3.1b"><ci id="S2.SS3.3.p1.15.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.15.m3.1.1">𝑤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.15.m3.1c">w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.15.m3.1d">italic_w</annotation></semantics></math> should obey in order to lift the extremal <math alttext="s" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.16.m4.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.16.m4.1a"><mi id="S2.SS3.3.p1.16.m4.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.16.m4.1.1.cmml">s</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.16.m4.1b"><ci id="S2.SS3.3.p1.16.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.16.m4.1.1">𝑠</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.16.m4.1c">s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.16.m4.1d">italic_s</annotation></semantics></math> for <math alttext="A_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.17.m5.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.17.m5.1a"><msub id="S2.SS3.3.p1.17.m5.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.17.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.17.m5.1.1.2" xref="S2.SS3.3.p1.17.m5.1.1.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.3.p1.17.m5.1.1.3" xref="S2.SS3.3.p1.17.m5.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.17.m5.1b"><apply id="S2.SS3.3.p1.17.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.17.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.17.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.17.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.3.p1.17.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.17.m5.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S2.SS3.3.p1.17.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.17.m5.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.17.m5.1c">A_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.17.m5.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to an extremal of <math alttext="A_{\Theta_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1"><semantics id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1a"><msub id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1" xref="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.2" xref="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.2.cmml">A</mi><msub id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.3" xref="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.3.3" xref="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1b"><apply id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.3.p1.18.m6.1.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1c">A_{\Theta_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.3.p1.18.m6.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.4.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.4.p2.10">Let us write the equation</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex28"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left(j^{k+1}s\right)^{*}\left(V\lrcorner dw\right)=0,\qquad V\in\mathfrak{X}^% {V\pi_{k+1}}\left(J^{k+1}\pi\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex28.m1.2"><semantics id="S2.Ex28.m1.2a"><mrow id="S2.Ex28.m1.2.2.2" xref="S2.Ex28.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">j</mi><mrow id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1a" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.4" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1b" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.5" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.5.cmml">w</mi></mrow><mo id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.4.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.Ex28.m1.2.2.2.3" rspace="2.167em" xref="S2.Ex28.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.3.cmml">V</mi><mo id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.cmml"><msup id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.2" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.2.cmml">𝔛</mi><mrow id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.2" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.2.cmml">V</mi><mo id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.1" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.2" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.2.cmml">π</mi><mrow id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.3" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.3.2" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.3.1" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.3.3" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mo id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex28.m1.2b"><apply id="S2.Ex28.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex28.m1.2.2.3a.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1"><eq id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><times id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply><apply id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1"><times id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">⌟</ci><ci id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.4">𝑑</ci><ci id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.5">𝑤</ci></apply></apply><cn id="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.Ex28.m1.1.1.1.1.4">0</cn></apply><apply id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2"><in id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.2"></in><ci id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.3">𝑉</ci><apply id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1"><times id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.2"></times><apply id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.2">𝔛</ci><apply id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3"><times id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.1"></times><ci id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.2">𝑉</ci><apply id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.2">𝜋</ci><apply id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.3"><plus id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.3.1"></plus><ci id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1"><times id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex28.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex28.m1.2c">\left(j^{k+1}s\right)^{*}\left(V\lrcorner dw\right)=0,\qquad V\in\mathfrak{X}^% {V\pi_{k+1}}\left(J^{k+1}\pi\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex28.m1.2d">( italic_j start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_V ⌟ italic_d italic_w ) = 0 , italic_V ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.4.p2.1">in local terms. From discussion carried out in Subsection <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS2.SSS1" title="2.2.1. Local expressions ‣ 2.2. The unified formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2.1</span></a>, we know that there will exist local functions <math alttext="\lambda^{I,i}_{\alpha}\in C^{\infty}\left(J^{k+1}\pi\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3"><semantics id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3a"><mrow id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.cmml"><msubsup id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3.2.2" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3.3" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.SS3.4.p2.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.4.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.SS3.4.p2.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.4.p2.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.2" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.cmml"><msup id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.3" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.3.2" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.3.3.cmml">∞</mi></msup><mo id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.2" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3b"><apply id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3"><in id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.2"></in><apply id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3.2.2">𝜆</ci><list id="S2.SS3.4.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.SS3.4.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.SS3.4.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.3.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1"><times id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.3.2">𝐶</ci><infinity id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.3.3"></infinity></apply><apply id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1"><times id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3c">\lambda^{I,i}_{\alpha}\in C^{\infty}\left(J^{k+1}\pi\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.4.p2.1.m1.3d">italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π )</annotation></semantics></math> such that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex29"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="w={L}\eta+\lambda_{\alpha}^{I,i}\left(du^{\alpha}_{I}-{u}_{I+1_{k}}dx^{k}% \right)\wedge\eta_{i}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex29.m1.3"><semantics id="S2.Ex29.m1.3a"><mrow id="S2.Ex29.m1.3.3.1" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.3.cmml">w</mi><mo id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex29.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex29.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex29.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex29.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex29.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex29.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex29.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">I</mi><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow><mo id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></msub><mo id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">x</mi><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">k</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">∧</mo><msub id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mi id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex29.m1.3.3.1.2" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex29.m1.3b"><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1"><eq id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.2"></eq><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.3">𝑤</ci><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1"><and id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.2"></and><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">𝜂</ci></apply><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜆</ci><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3">𝛼</ci></apply><list id="S2.Ex29.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex29.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><plus id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><cn id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑥</ci><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex29.m1.3.3.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex29.m1.3c">w={L}\eta+\lambda_{\alpha}^{I,i}\left(du^{\alpha}_{I}-{u}_{I+1_{k}}dx^{k}% \right)\wedge\eta_{i},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex29.m1.3d">italic_w = italic_L italic_η + italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.4.p2.11">and then these functions should obey the following system of differential equations</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx1"> <tbody id="S2.Ex30"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lambda^{\left(I,i\right)}_{\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex30.m1.2"><semantics id="S2.Ex30.m1.2a"><msubsup id="S2.Ex30.m1.2.3" xref="S2.Ex30.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex30.m1.2.3.2.2" xref="S2.Ex30.m1.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S2.Ex30.m1.2.3.3" xref="S2.Ex30.m1.2.3.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex30.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex30.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex30.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex30.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex30.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex30.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex30.m1.2.2.2.4.2" xref="S2.Ex30.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex30.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex30.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex30.m1.2.2.2.4.3" xref="S2.Ex30.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex30.m1.2b"><apply id="S2.Ex30.m1.2.3.cmml" xref="S2.Ex30.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex30.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex30.m1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex30.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex30.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex30.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex30.m1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex30.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex30.m1.2.3.2.2">𝜆</ci><interval closure="open" id="S2.Ex30.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex30.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.Ex30.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex30.m1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex30.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex30.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></interval></apply><ci id="S2.Ex30.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex30.m1.2.3.3">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex30.m1.2c">\displaystyle\lambda^{\left(I,i\right)}_{\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex30.m1.2d">italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_I , italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{I+1_{i}}},\qquad\lvert I% \rvert=k," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex30.m2.2"><semantics id="S2.Ex30.m2.2a"><mrow id="S2.Ex30.m2.2.2.1"><mrow id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3a" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.1" rspace="0em" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi></mrow><mrow id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mi id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml"><mo id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex30.m2.1.1" xref="S2.Ex30.m2.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mi id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex30.m2.2.2.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex30.m2.2b"><apply id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1"><eq id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.2"><partialdiff id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.1"></partialdiff><ci id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝐿</ci></apply><apply id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3"><partialdiff id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.1"></partialdiff><apply id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3"><plus id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.3">subscript</csymbol><cn id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2"><eq id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.2.2"><abs id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.1"></abs><ci id="S2.Ex30.m2.1.1.cmml" xref="S2.Ex30.m2.1.1">𝐼</ci></apply><ci id="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex30.m2.2.2.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex30.m2.2c">\displaystyle=\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{I+1_{i}}},\qquad\lvert I% \rvert=k,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex30.m2.2d">= divide start_ARG ∂ italic_L end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , | italic_I | = italic_k ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex31"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\lambda^{\left(J,i\right)}_{\alpha}-\frac{\partial L}{% \partial u^{\alpha}_{J+1_{i}}}\right)\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex31.m1.3"><semantics id="S2.Ex31.m1.3a"><mrow id="S2.Ex31.m1.3.3" xref="S2.Ex31.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex31.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex31.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex31.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex31.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex31.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml">J</mi><mo id="S2.Ex31.m1.2.2.2.4.2" xref="S2.Ex31.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex31.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex31.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex31.m1.2.2.2.4.3" xref="S2.Ex31.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3a" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.2.1" rspace="0em" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi></mrow><mrow id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">J</mi><mo id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.3.3" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mi id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex31.m1.3.3.2" xref="S2.Ex31.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex31.m1.3.3.3" xref="S2.Ex31.m1.3.3.3.cmml">η</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex31.m1.3b"><apply id="S2.Ex31.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3"><times id="S2.Ex31.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.2"></times><apply id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1"><minus id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2.2.2">𝜆</ci><interval closure="open" id="S2.Ex31.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex31.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex31.m1.1.1.1.1">𝐽</ci><ci id="S2.Ex31.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex31.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></interval></apply><ci id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3"><divide id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3"></divide><apply id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.2"><partialdiff id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.2.1"></partialdiff><ci id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.2.2">𝐿</ci></apply><apply id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3"><partialdiff id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.1"></partialdiff><apply id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3"><plus id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.3">subscript</csymbol><cn id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex31.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex31.m1.3.3.3">𝜂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex31.m1.3c">\displaystyle\left(\lambda^{\left(J,i\right)}_{\alpha}-\frac{\partial L}{% \partial u^{\alpha}_{J+1_{i}}}\right)\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex31.m1.3d">( italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_J , italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG ∂ italic_L end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_J + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) italic_η</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=d\lambda^{I+1_{i},k}_{\alpha}\wedge\eta_{k},\qquad 0\leq\lvert J% \rvert<k," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex31.m2.4"><semantics id="S2.Ex31.m2.4a"><mrow id="S2.Ex31.m2.4.4.1"><mrow id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex31.m2.2.2.2.2" xref="S2.Ex31.m2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.2" xref="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.2.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><msub id="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.3" xref="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.3.2" xref="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.3.3" xref="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex31.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex31.m2.1.1.1.1" xref="S2.Ex31.m2.1.1.1.1.cmml">k</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">∧</mo><msub id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml">η</mi><mi id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.cmml"><mn id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.3.cmml">≤</mo><mrow id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.4.2" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.4.1.cmml"><mo id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex31.m2.3.3" xref="S2.Ex31.m2.3.3.cmml">J</mi><mo id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.4.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.5" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.5.cmml"><</mo><mi id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.6" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.6.cmml">k</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex31.m2.4.4.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex31.m2.4b"><apply id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1"><eq id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3"><and id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.1"></and><apply id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.2">𝑑</ci><apply id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝜆</ci><list id="S2.Ex31.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex31.m2.2.2.2.2"><apply id="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1"><plus id="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.2">𝐼</ci><apply id="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.3">subscript</csymbol><cn id="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex31.m2.2.2.2.2.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex31.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex31.m2.1.1.1.1">𝑘</ci></list></apply><ci id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.2.3.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.2">𝜂</ci><ci id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2"><and id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2a.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2"></and><apply id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2b.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2"><leq id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.3"></leq><cn id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.2">0</cn><apply id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.4.2"><abs id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.4.2.1"></abs><ci id="S2.Ex31.m2.3.3.cmml" xref="S2.Ex31.m2.3.3">𝐽</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2c.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2"><lt id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.5.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.4.cmml" id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2d.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2"></share><ci id="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.6.cmml" xref="S2.Ex31.m2.4.4.1.1.2.2.6">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex31.m2.4c">\displaystyle=d\lambda^{I+1_{i},k}_{\alpha}\wedge\eta_{k},\qquad 0\leq\lvert J% \rvert<k,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex31.m2.4d">= italic_d italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_k end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , 0 ≤ | italic_J | < italic_k ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.4.p2.12">together with the equations of motion</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex32"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="d\lambda^{i}_{\alpha}\wedge\eta_{i}-\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}}% \wedge\eta=0," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex32.m1.1"><semantics id="S2.Ex32.m1.1a"><mrow id="S2.Ex32.m1.1.1.1" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">α</mi><mi id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml">i</mi></msubsup></mrow><mo id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">∧</mo><msub id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">η</mi><mi id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><mfrac id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" rspace="0em" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">L</mi></mrow><mrow id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1" rspace="0em" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml">α</mi></msup></mrow></mfrac></mrow><mo id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">∧</mo><mi id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.Ex32.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex32.m1.1b"><apply id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2"><and id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1"></and><apply id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2"><minus id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.1"></minus><apply id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2"><and id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"></and><apply id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><times id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></times><ci id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2">𝜆</ci><ci id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝜂</ci><ci id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3"><divide id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3"></divide><apply id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><partialdiff id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1"></partialdiff><ci id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝐿</ci></apply><apply id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><partialdiff id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1"></partialdiff><apply id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3">𝛼</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.2.3">𝜂</ci></apply><cn id="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex32.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex32.m1.1c">d\lambda^{i}_{\alpha}\wedge\eta_{i}-\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}}% \wedge\eta=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex32.m1.1d">italic_d italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG ∂ italic_L end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∧ italic_η = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.4.p2.3">which are identically satisfied on an extremal <math alttext="s:M\to P" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1"><semantics id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1" xref="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.3.2.cmml">M</mi><mo id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.3.3.cmml">P</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1b"><apply id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1"><ci id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.1">:</ci><ci id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.2">𝑠</ci><apply id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.3"><ci id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.3.1">→</ci><ci id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.3.2">𝑀</ci><ci id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.2.m1.1.1.3.3">𝑃</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1c">s:M\to P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.4.p2.2.m1.1d">italic_s : italic_M → italic_P</annotation></semantics></math> for the functional <math alttext="A_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.4.p2.3.m2.1"><semantics id="S2.SS3.4.p2.3.m2.1a"><msub id="S2.SS3.4.p2.3.m2.1.1" xref="S2.SS3.4.p2.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.4.p2.3.m2.1.1.2" xref="S2.SS3.4.p2.3.m2.1.1.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.4.p2.3.m2.1.1.3" xref="S2.SS3.4.p2.3.m2.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.4.p2.3.m2.1b"><apply id="S2.SS3.4.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.4.p2.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.4.p2.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.3.m2.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S2.SS3.4.p2.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.3.m2.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.4.p2.3.m2.1c">A_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.4.p2.3.m2.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Therefore,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex33"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda^{I,i}_{\alpha}=\begin{cases}\displaystyle\frac{\partial L}{\partial u^% {\alpha}_{I+1_{i}}}+c^{I,i}_{\alpha},&\lvert I\rvert=k,\\ \displaystyle\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{I+1_{i}}}+D_{k}\lambda_{% \alpha}^{I+1_{i},k}+c^{I,i}_{\alpha},&0\leq\lvert I\rvert<k,\end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex33.m1.6"><semantics id="S2.Ex33.m1.6a"><mrow id="S2.Ex33.m1.6.7" xref="S2.Ex33.m1.6.7.cmml"><msubsup id="S2.Ex33.m1.6.7.2" xref="S2.Ex33.m1.6.7.2.cmml"><mi id="S2.Ex33.m1.6.7.2.2.2" xref="S2.Ex33.m1.6.7.2.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S2.Ex33.m1.6.7.2.3" xref="S2.Ex33.m1.6.7.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex33.m1.6.6.2.4" xref="S2.Ex33.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex33.m1.5.5.1.1" xref="S2.Ex33.m1.5.5.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex33.m1.6.6.2.4.1" xref="S2.Ex33.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex33.m1.6.6.2.2" xref="S2.Ex33.m1.6.6.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex33.m1.6.7.1" xref="S2.Ex33.m1.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex33.m1.4.4" xref="S2.Ex33.m1.6.7.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex33.m1.4.4.5" xref="S2.Ex33.m1.6.7.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S2.Ex33.m1.4.4.4" rowspacing="0pt" xref="S2.Ex33.m1.6.7.3.1.cmml"><mtr id="S2.Ex33.m1.4.4.4a" xref="S2.Ex33.m1.6.7.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.Ex33.m1.4.4.4b" xref="S2.Ex33.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mrow id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mfrac id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.1" rspace="0em" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.2" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.2.cmml">L</mi></mrow><mrow id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1" rspace="0em" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.2.2" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.2" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.1" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.3" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.3.3" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mi id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.2.3" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.2.2" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.3" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.1" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.Ex33.m1.4.4.4c" xref="S2.Ex33.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml"><mrow id="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1" xref="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml"><mrow id="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.2.2" xref="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.2.1.cmml"><mo id="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.1" xref="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.1.cmml">=</mo><mi id="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.3" xref="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.2" xref="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.Ex33.m1.4.4.4d" xref="S2.Ex33.m1.6.7.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.Ex33.m1.4.4.4e" xref="S2.Ex33.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.cmml"><mrow id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.cmml"><mfrac id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.2.1" rspace="0em" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.2.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.2.2.cmml">L</mi></mrow><mrow id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.1" rspace="0em" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.2.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.1" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.3" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.3.3" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mi id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.2.3" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.1" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.2.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.2.2.cmml">D</mi><mi id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.2.3" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.1" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3.2.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3.2.3" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.2.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><msub id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.3" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.3.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.3.3" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">k</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.1a" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4.cmml"><mi id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4.2.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4.3" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.4" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.3.1.1" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.3.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.4.1" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.2" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.Ex33.m1.4.4.4f" xref="S2.Ex33.m1.6.7.3.1.cmml"><mrow id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.cmml"><mrow id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.cmml"><mn id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.2" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.2.cmml">0</mn><mo id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.3" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.4.2" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.4.1.cmml"><mo id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.1" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.4.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.5" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.5.cmml"><</mo><mi id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.6" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.6.cmml">k</mi></mrow><mo id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.2" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex33.m1.6b"><apply id="S2.Ex33.m1.6.7.cmml" xref="S2.Ex33.m1.6.7"><eq id="S2.Ex33.m1.6.7.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.6.7.1"></eq><apply id="S2.Ex33.m1.6.7.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex33.m1.6.7.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.6.7.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex33.m1.6.7.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex33.m1.6.7.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.6.7.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex33.m1.6.7.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.6.7.2.2.2">𝜆</ci><list id="S2.Ex33.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.6.6.2.4"><ci id="S2.Ex33.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.5.5.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex33.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.6.6.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.Ex33.m1.6.7.2.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.6.7.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Ex33.m1.6.7.3.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex33.m1.6.7.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.4.4.5">cases</csymbol><apply id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"></plus><apply id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2"><divide id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2"></divide><apply id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2"><partialdiff id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.1"></partialdiff><ci id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.2.2">𝐿</ci></apply><apply id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3"><partialdiff id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></partialdiff><apply id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3"><plus id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.3">subscript</csymbol><cn id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.3.2.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.2.2">𝑐</ci><list id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4"><ci id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2"><eq id="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.1"></eq><apply id="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.2.2"><abs id="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.2.2.1"></abs><ci id="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.1">𝐼</ci></apply><ci id="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5"><plus id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.1"></plus><apply id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2"><divide id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2"></divide><apply id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.2"><partialdiff id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.2.1"></partialdiff><ci id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.2.2">𝐿</ci></apply><apply id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3"><partialdiff id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.1"></partialdiff><apply id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3"><plus id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.3">subscript</csymbol><cn id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.2.3.2.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3"><times id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.2.2">𝐷</ci><ci id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3.2.2">𝜆</ci><ci id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.3.3.2.3">𝛼</ci></apply><list id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2"><apply id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1"><plus id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.2">𝐼</ci><apply id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.3">subscript</csymbol><cn id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1">𝑘</ci></list></apply></apply><apply id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4.2.2">𝑐</ci><list id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.4"><ci id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.3.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.4.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.3.3.3.3.1.1.5.1.4.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2"><and id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1a.cmml" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2"></and><apply id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1b.cmml" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2"><leq id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.3"></leq><cn id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.2">0</cn><apply id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.4.2"><abs id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.4.2.1"></abs><ci id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.1">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1c.cmml" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2"><lt id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.5.cmml" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.4.cmml" id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1d.cmml" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2"></share><ci id="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.6.cmml" xref="S2.Ex33.m1.4.4.4.4.2.1.2.1.6">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex33.m1.6c">\lambda^{I,i}_{\alpha}=\begin{cases}\displaystyle\frac{\partial L}{\partial u^% {\alpha}_{I+1_{i}}}+c^{I,i}_{\alpha},&\lvert I\rvert=k,\\ \displaystyle\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{I+1_{i}}}+D_{k}\lambda_{% \alpha}^{I+1_{i},k}+c^{I,i}_{\alpha},&0\leq\lvert I\rvert<k,\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex33.m1.6d">italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT = { start_ROW start_CELL divide start_ARG ∂ italic_L end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT , end_CELL start_CELL | italic_I | = italic_k , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG ∂ italic_L end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_k end_POSTSUPERSCRIPT + italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT , end_CELL start_CELL 0 ≤ | italic_I | < italic_k , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.4.p2.9">where the arbitrary functions <math alttext="c^{I,i}_{\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2"><semantics id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2a"><msubsup id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3" xref="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3.2.2" xref="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3.3" xref="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.2.2.4" xref="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.4.p2.4.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.4.p2.4.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2b"><apply id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3.2.2">𝑐</ci><list id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.SS3.4.p2.4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.4.m1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.4.m1.2.3.3">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2c">c^{I,i}_{\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.4.p2.4.m1.2d">italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are only constrained by the requirement of having zero symmetric part, namely <math alttext="c^{\left(I,i\right)}_{\alpha}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2"><semantics id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2a"><mrow id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.cmml"><msubsup id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2.2.2" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2.3" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.2.2.4" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.4.p2.5.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.2.2.4.2" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.2.2.4.3" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.1" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.3" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2b"><apply id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3"><eq id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.1"></eq><apply id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2.2.2">𝑐</ci><interval closure="open" id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.2.2.4"><ci id="S2.SS3.4.p2.5.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.2.2.2">𝑖</ci></interval></apply><ci id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.2.3">𝛼</ci></apply><cn id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.4.p2.5.m2.2.3.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2c">c^{\left(I,i\right)}_{\alpha}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.4.p2.5.m2.2d">italic_c start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_I , italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, and <math alttext="D_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.4.p2.6.m3.1"><semantics id="S2.SS3.4.p2.6.m3.1a"><msub id="S2.SS3.4.p2.6.m3.1.1" xref="S2.SS3.4.p2.6.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.4.p2.6.m3.1.1.2" xref="S2.SS3.4.p2.6.m3.1.1.2.cmml">D</mi><mi id="S2.SS3.4.p2.6.m3.1.1.3" xref="S2.SS3.4.p2.6.m3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.4.p2.6.m3.1b"><apply id="S2.SS3.4.p2.6.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.6.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.4.p2.6.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.6.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.4.p2.6.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.6.m3.1.1.2">𝐷</ci><ci id="S2.SS3.4.p2.6.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.6.m3.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.4.p2.6.m3.1c">D_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.4.p2.6.m3.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the total derivative operator. Thus, using these definitions we can construct the section <math alttext="w" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.4.p2.7.m4.1"><semantics id="S2.SS3.4.p2.7.m4.1a"><mi id="S2.SS3.4.p2.7.m4.1.1" xref="S2.SS3.4.p2.7.m4.1.1.cmml">w</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.4.p2.7.m4.1b"><ci id="S2.SS3.4.p2.7.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.7.m4.1.1">𝑤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.4.p2.7.m4.1c">w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.4.p2.7.m4.1d">italic_w</annotation></semantics></math> that allows us to lift an extremal of <math alttext="A_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.4.p2.8.m5.1"><semantics id="S2.SS3.4.p2.8.m5.1a"><msub id="S2.SS3.4.p2.8.m5.1.1" xref="S2.SS3.4.p2.8.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.4.p2.8.m5.1.1.2" xref="S2.SS3.4.p2.8.m5.1.1.2.cmml">A</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.4.p2.8.m5.1.1.3" xref="S2.SS3.4.p2.8.m5.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.4.p2.8.m5.1b"><apply id="S2.SS3.4.p2.8.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.8.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.4.p2.8.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.8.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.4.p2.8.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.8.m5.1.1.2">𝐴</ci><ci id="S2.SS3.4.p2.8.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.8.m5.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.4.p2.8.m5.1c">A_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.4.p2.8.m5.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to an extremal for <math alttext="A_{\Theta_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1"><semantics id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1a"><msub id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1" xref="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.2" xref="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.2.cmml">A</mi><msub id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.3" xref="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.3.3" xref="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1b"><apply id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.2">𝐴</ci><apply id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.4.p2.9.m6.1.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1c">A_{\Theta_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.4.p2.9.m6.1d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_thm" id="Thmthm1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm1.1.1.1">Theorem 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmthm1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmthm1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmthm1.p1.2.2">The projection <math alttext="\tau_{\mathcal{L}}:\widetilde{W_{\mathcal{L}}}\to J^{k+1}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><msub id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.2" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.3" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mrow id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><msup id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">J</mi><mrow id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3.2" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3.1" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3.3" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">π</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.1">:</ci><apply id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2.2">𝜏</ci><ci id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2.3">ℒ</ci></apply><apply id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.1">→</ci><apply id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2"><ci id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.1">~</ci><apply id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3"><times id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1"></times><apply id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.2">𝐽</ci><apply id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3"><plus id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3.1"></plus><ci id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3">𝜋</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1c">\tau_{\mathcal{L}}:\widetilde{W_{\mathcal{L}}}\to J^{k+1}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT : over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG → italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math> establishes a one-to-one correspondence between solutions of the Euler-Lagrange equations for <math alttext="{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1c">{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math> and the solutions of the Lagrangian-Hamiltonian problem of Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc1" title="Definition 1 (Unified formalism for 𝑘+1-order field theories). ‣ 2.2. The unified formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p3.1">A key feature of Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc1" title="Definition 1 (Unified formalism for 𝑘+1-order field theories). ‣ 2.2. The unified formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> for the unified formalism is that no symmetry properties for the multimomenta are prescribed in advance. Rather, they have an arbitrary non symmetric part that does not play any role in the equations of motion.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.4. </span>Hamiltonian formalism</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.p1.4">In the present section we will discuss how to relate the solutions of the Lagrangian-Hamiltonian problem with the solutions of the so called <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S2.SS4.p1.4.1">Hamilton equations of motion</em> (see Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc2" title="Definition 2 (Hamilton equations for higher order field theories). ‣ 2.4.1. A space of multimomenta ‣ 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> below). Unlike with what happened in Lagrangian mechanics, things are not very straightforward in the Hamiltonian side, because up to now we do not have a projection from <math alttext="\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS4.p1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S2.SS4.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.1.m1.1.1"><ci id="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.1">~</ci><apply id="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.p1.1.m1.1.1.2.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p1.1.m1.1c">\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p1.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> onto a space of forms (<math alttext="\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS4.p1.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1"><ci id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.1">~</ci><apply id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.p1.2.m2.1.1.2.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p1.2.m2.1c">\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p1.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> is a space of forms, but it contains too many velocities; we need a space of forms on <math alttext="J^{k}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS4.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.cmml"><msup id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">J</mi><mi id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1"><times id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.1"></times><apply id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.p1.3.m3.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p1.3.m3.1c">J^{k}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p1.3.m3.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math> instead of on <math alttext="J^{k+1}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS4.p1.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.cmml"><msup id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.3.2" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.3.1" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.3.3" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.p1.4.m4.1b"><apply id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1"><times id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.1"></times><apply id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.3"><plus id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.p1.4.m4.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.p1.4.m4.1c">J^{k+1}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.p1.4.m4.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math>).</p> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS4.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">2.4.1. </span>A space of multimomenta</h4> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS1.p1.6">In order to define the space of multimomentum, let us define the map</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex34"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="R:\widetilde{W_{\mathcal{L}}}\to J^{k+1}\pi\times_{J^{k}\pi}\wedge_{2}^{m}% \left(J^{k}\pi\right)" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S2.Ex34.m1.1"><semantics id="S2.Ex34.m1.1a"><mrow id="S2.Ex34.m1.1b"><mi id="S2.Ex34.m1.1.1">R</mi><mo id="S2.Ex34.m1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mover accent="true" id="S2.Ex34.m1.1.3"><msub id="S2.Ex34.m1.1.3.2"><mi id="S2.Ex34.m1.1.3.2.2">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex34.m1.1.3.2.3">ℒ</mi></msub><mo id="S2.Ex34.m1.1.3.1">~</mo></mover><mo id="S2.Ex34.m1.1.4" stretchy="false">→</mo><msup id="S2.Ex34.m1.1.5"><mi id="S2.Ex34.m1.1.5.2">J</mi><mrow id="S2.Ex34.m1.1.5.3"><mi id="S2.Ex34.m1.1.5.3.2">k</mi><mo id="S2.Ex34.m1.1.5.3.1">+</mo><mn id="S2.Ex34.m1.1.5.3.3">1</mn></mrow></msup><mi id="S2.Ex34.m1.1.6">π</mi><msub id="S2.Ex34.m1.1.7"><mo id="S2.Ex34.m1.1.7.2" lspace="0.222em" rspace="0em">×</mo><mrow id="S2.Ex34.m1.1.7.3"><msup id="S2.Ex34.m1.1.7.3.2"><mi id="S2.Ex34.m1.1.7.3.2.2">J</mi><mi id="S2.Ex34.m1.1.7.3.2.3">k</mi></msup><mo id="S2.Ex34.m1.1.7.3.1">⁢</mo><mi id="S2.Ex34.m1.1.7.3.3">π</mi></mrow></msub><msubsup id="S2.Ex34.m1.1.8"><mo id="S2.Ex34.m1.1.8.2.2" lspace="0em">∧</mo><mn id="S2.Ex34.m1.1.8.2.3">2</mn><mi id="S2.Ex34.m1.1.8.3">m</mi></msubsup><mrow id="S2.Ex34.m1.1.9"><mo id="S2.Ex34.m1.1.9.1">(</mo><msup id="S2.Ex34.m1.1.9.2"><mi id="S2.Ex34.m1.1.9.2.2">J</mi><mi id="S2.Ex34.m1.1.9.2.3">k</mi></msup><mi id="S2.Ex34.m1.1.9.3">π</mi><mo id="S2.Ex34.m1.1.9.4">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex34.m1.1c">R:\widetilde{W_{\mathcal{L}}}\to J^{k+1}\pi\times_{J^{k}\pi}\wedge_{2}^{m}% \left(J^{k}\pi\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex34.m1.1d">italic_R : over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG → italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π × start_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π end_POSTSUBSCRIPT ∧ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS1.p1.7">by the condition</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex35"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="R\left(\rho\right)=\left(j_{x}^{k+1}s,\rho^{\prime}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex35.m1.3"><semantics id="S2.Ex35.m1.3a"><mrow id="S2.Ex35.m1.3.3" xref="S2.Ex35.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex35.m1.3.3.4" xref="S2.Ex35.m1.3.3.4.cmml"><mi id="S2.Ex35.m1.3.3.4.2" xref="S2.Ex35.m1.3.3.4.2.cmml">R</mi><mo id="S2.Ex35.m1.3.3.4.1" xref="S2.Ex35.m1.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex35.m1.3.3.4.3.2" xref="S2.Ex35.m1.3.3.4.cmml"><mo id="S2.Ex35.m1.3.3.4.3.2.1" xref="S2.Ex35.m1.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex35.m1.1.1" xref="S2.Ex35.m1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S2.Ex35.m1.3.3.4.3.2.2" xref="S2.Ex35.m1.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex35.m1.3.3.3" xref="S2.Ex35.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex35.m1.3.3.2.2" xref="S2.Ex35.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.3" xref="S2.Ex35.m1.3.3.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">x</mi><mrow id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.4" xref="S2.Ex35.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msup id="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.2" xref="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.5" xref="S2.Ex35.m1.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex35.m1.3b"><apply id="S2.Ex35.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex35.m1.3.3"><eq id="S2.Ex35.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex35.m1.3.3.3"></eq><apply id="S2.Ex35.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex35.m1.3.3.4"><times id="S2.Ex35.m1.3.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex35.m1.3.3.4.1"></times><ci id="S2.Ex35.m1.3.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex35.m1.3.3.4.2">𝑅</ci><ci id="S2.Ex35.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex35.m1.1.1">𝜌</ci></apply><interval closure="open" id="S2.Ex35.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex35.m1.3.3.2.2"><apply id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1"><times id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.3"><plus id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex35.m1.2.2.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex35.m1.3.3.2.2.2.3">′</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex35.m1.3c">R\left(\rho\right)=\left(j_{x}^{k+1}s,\rho^{\prime}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex35.m1.3d">italic_R ( italic_ρ ) = ( italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s , italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS1.p1.8">if and only if</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex36"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tau_{\mathcal{L}}\left(\rho\right)=j_{x}^{k+1}s\quad\text{ and }\quad\rho^{% \prime}\circ T_{j_{x}^{k+1}s}\pi_{k+1,k}=\rho." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex36.m1.5"><semantics id="S2.Ex36.m1.5a"><mrow id="S2.Ex36.m1.5.5.1"><mrow id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex36.m1.3.3" xref="S2.Ex36.m1.3.3.cmml">ρ</mi><mo id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">x</mi><mrow id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mspace id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" width="1em" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"></mspace><mtext id="S2.Ex36.m1.4.4" xref="S2.Ex36.m1.4.4a.cmml"> and </mtext></mrow></mrow><mspace id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.3" width="1em" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml"><msup id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml">∘</mo><msub id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml"><msubsup id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.2.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.2.3" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.2.3.cmml">x</mi><mrow id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3.1" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3.3" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.1" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.3" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.1" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.cmml">π</mi><mrow id="S2.Ex36.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex36.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex36.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex36.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex36.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mi id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">ρ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex36.m1.5.5.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex36.m1.5b"><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1"><eq id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2">𝜏</ci><ci id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="S2.Ex36.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex36.m1.3.3">𝜌</ci></apply><list id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.Ex36.m1.4.4a.cmml" xref="S2.Ex36.m1.4.4"><mtext id="S2.Ex36.m1.4.4.cmml" xref="S2.Ex36.m1.4.4"> and </mtext></ci></list></apply><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2"><eq id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2"><times id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2"><compose id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1"></compose><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑇</ci><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3"><times id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.1"></times><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3"><plus id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2">𝜋</ci><list id="S2.Ex36.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex36.m1.2.2.2.2"><apply id="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.1"><plus id="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.1.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex36.m1.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex36.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex36.m1.1.1.1.1">𝑘</ci></list></apply></apply><ci id="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex36.m1.5.5.1.1.2.2.3">𝜌</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex36.m1.5c">\tau_{\mathcal{L}}\left(\rho\right)=j_{x}^{k+1}s\quad\text{ and }\quad\rho^{% \prime}\circ T_{j_{x}^{k+1}s}\pi_{k+1,k}=\rho.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex36.m1.5d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ρ ) = italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s and italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 , italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_ρ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS1.p1.3">Locally, a <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS4.SSS1.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS1.p1.1.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS1.p1.1.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form <math alttext="\rho^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1a"><msup id="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1c">\rho^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS1.p1.2.m2.1d">italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> in <math alttext="\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.2.2" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mi id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1"><apply id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.2.2"></and><ci id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1"><times id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1c">\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS1.p1.3.m3.1d">∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π )</annotation></semantics></math> can be written as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex37"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\rho^{\prime}=q\eta+q^{I,i}du_{I}^{\alpha}\wedge\eta_{i},\quad\lvert I\rvert\leq k" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex37.m1.5"><semantics id="S2.Ex37.m1.5a"><mrow id="S2.Ex37.m1.5.5.2" xref="S2.Ex37.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.2.1" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.2.3" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml"><msup id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.cmml">q</mi><mrow id="S2.Ex37.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex37.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex37.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex37.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex37.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex37.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex37.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex37.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msup><mo id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.1" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.3" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.1a" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.cmml"><mi id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.2.2" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.2.3" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.2.3.cmml">I</mi><mi id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.3" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">∧</mo><msub id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml">η</mi><mi id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex37.m1.5.5.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.Ex37.m1.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex37.m1.5.5.2.2" xref="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.2.1.cmml"><mo id="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex37.m1.3.3" xref="S2.Ex37.m1.3.3.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.1" xref="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.3" xref="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.3.cmml">k</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex37.m1.5b"><apply id="S2.Ex37.m1.5.5.3.cmml" xref="S2.Ex37.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex37.m1.5.5.3a.cmml" xref="S2.Ex37.m1.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1"><eq id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.1"></eq><apply id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.2.2">𝜌</ci><ci id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3"><and id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.1"></and><apply id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2"><plus id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.2"><times id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.2.2">𝑞</ci><ci id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.2.3">𝜂</ci></apply><apply id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3"><times id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.1"></times><apply id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2">𝑞</ci><list id="S2.Ex37.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex37.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.Ex37.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex37.m1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex37.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex37.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.3">𝑑</ci><apply id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.2.3">𝐼</ci></apply><ci id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.3.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.3">𝛼</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.3.2">𝜂</ci><ci id="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex37.m1.4.4.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S2.Ex37.m1.5.5.2.2"><leq id="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.1"></leq><apply id="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.2.2"><abs id="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.2.2.1"></abs><ci id="S2.Ex37.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex37.m1.3.3">𝐼</ci></apply><ci id="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex37.m1.5.5.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex37.m1.5c">\rho^{\prime}=q\eta+q^{I,i}du_{I}^{\alpha}\wedge\eta_{i},\quad\lvert I\rvert\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex37.m1.5d">italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_q italic_η + italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , | italic_I | ≤ italic_k</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS1.p1.4">and so for <math alttext="j_{x}^{k+1}s\in J^{k+1}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1"><semantics id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1a"><mrow id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.2.3.cmml">x</mi><mrow id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.1" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.1" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.3.cmml">π</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1b"><apply id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1"><in id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.1"></in><apply id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2"><times id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3"><plus id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3"><times id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3"><plus id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1.1.3.3">𝜋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1c">j_{x}^{k+1}s\in J^{k+1}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS1.p1.4.m1.1d">italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s ∈ italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math> it results that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex38"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\rho^{\prime}\circ T_{j_{x}^{k+1}s}\pi_{k+1,k}=q\eta+q_{\alpha}^{I,i}du_{I}^{% \alpha}\wedge\eta_{i}=\left(q+q_{\alpha}^{\left(I,i\right)}u_{I+1_{i}}^{\alpha% }\right)\eta+p^{I,i}_{\alpha}\theta^{\alpha}_{I}\wedge\eta_{i};" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex38.m1.9"><semantics id="S2.Ex38.m1.9a"><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.cmml"><msup id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.2.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.1.cmml">∘</mo><msub id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.cmml"><msubsup id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.2.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.2.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.2.3.cmml">x</mi><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.3.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.3.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.3.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.3.2.cmml">π</mi><mrow id="S2.Ex38.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex38.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex38.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex38.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex38.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.4" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.cmml"><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.cmml"><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.2.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.2.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.2.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.cmml"><msubsup id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2.2.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2.2.2.cmml">q</mi><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2.2.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex38.m1.4.4.2.4" xref="S2.Ex38.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex38.m1.3.3.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex38.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.Ex38.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex38.m1.4.4.2.2" xref="S2.Ex38.m1.4.4.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.1a" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.2.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.2.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.2.3.cmml">I</mi><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.1.cmml">∧</mo><msub id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.3.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.3.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.3.2.cmml">η</mi><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.3.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.6" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">q</mi><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex38.m1.6.6.2.4" xref="S2.Ex38.m1.6.6.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex38.m1.6.6.2.4.1" xref="S2.Ex38.m1.6.6.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex38.m1.5.5.1.1" xref="S2.Ex38.m1.5.5.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex38.m1.6.6.2.4.2" xref="S2.Ex38.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex38.m1.6.6.2.2" xref="S2.Ex38.m1.6.6.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex38.m1.6.6.2.4.3" xref="S2.Ex38.m1.6.6.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex38.m1.8.8.2.4" xref="S2.Ex38.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.7.7.1.1" xref="S2.Ex38.m1.7.7.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex38.m1.8.8.2.4.1" xref="S2.Ex38.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex38.m1.8.8.2.2" xref="S2.Ex38.m1.8.8.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.3.cmml">I</mi><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">∧</mo><msub id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mi id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex38.m1.9.9.1.2" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex38.m1.9b"><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1"><and id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1a.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1"></and><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1b.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1"><eq id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.4"></eq><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3"><times id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2"><compose id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.1"></compose><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.2.2">𝜌</ci><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.2">𝑇</ci><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3"><times id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.1"></times><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.3"><plus id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.3.3.2">𝜋</ci><list id="S2.Ex38.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.2.2.2.2"><apply id="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.1"><plus id="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex38.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.1.1.1.1">𝑘</ci></list></apply></apply><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5"><and id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.1"></and><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2"><plus id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.1"></plus><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.2"><times id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.2.1"></times><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.2.2">𝑞</ci><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.2.3">𝜂</ci></apply><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3"><times id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.1"></times><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2.2.2">𝑞</ci><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><list id="S2.Ex38.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.Ex38.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.3.3.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex38.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.4.4.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.3">𝑑</ci><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.2.3">𝐼</ci></apply><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.2.3.4.3">𝛼</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.3.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.3.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.3.2">𝜂</ci><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.3.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1c.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1"><eq id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.6.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex38.m1.9.9.1.1.5.cmml" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1d.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1"></share><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1"><and id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.2"></and><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑞</ci><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑞</ci><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><interval closure="open" id="S2.Ex38.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.6.6.2.4"><ci id="S2.Ex38.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.5.5.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex38.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.6.6.2.2">𝑖</ci></interval></apply><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><plus id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">subscript</csymbol><cn id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝛼</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.1.3">𝜂</ci></apply><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑝</ci><list id="S2.Ex38.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.8.8.2.4"><ci id="S2.Ex38.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.7.7.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex38.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.8.8.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.3">𝐼</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex38.m1.9.9.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex38.m1.9c">\rho^{\prime}\circ T_{j_{x}^{k+1}s}\pi_{k+1,k}=q\eta+q_{\alpha}^{I,i}du_{I}^{% \alpha}\wedge\eta_{i}=\left(q+q_{\alpha}^{\left(I,i\right)}u_{I+1_{i}}^{\alpha% }\right)\eta+p^{I,i}_{\alpha}\theta^{\alpha}_{I}\wedge\eta_{i};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex38.m1.9d">italic_ρ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 , italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_q italic_η + italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_q + italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_I , italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_η + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS1.p1.5">therefore the map <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS1.p1.5.m1.1"><semantics id="S2.SS4.SSS1.p1.5.m1.1a"><mi id="S2.SS4.SSS1.p1.5.m1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p1.5.m1.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS1.p1.5.m1.1b"><ci id="S2.SS4.SSS1.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p1.5.m1.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS1.p1.5.m1.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS1.p1.5.m1.1d">italic_R</annotation></semantics></math> is locally given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.6)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="q=L-p^{\left(I,i\right)}_{\alpha}u_{I+1_{i}}^{\alpha},\qquad q^{I,i}_{\alpha}=% p^{I,i}_{\alpha}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E6.m1.7"><semantics id="S2.E6.m1.7a"><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1"><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.E6.m1.2.2.2.4" xref="S2.E6.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E6.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E6.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.E6.m1.2.2.2.4.2" xref="S2.E6.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E6.m1.2.2.2.2" xref="S2.E6.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E6.m1.2.2.2.4.3" xref="S2.E6.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml"><mn id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml">q</mi><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.E6.m1.4.4.2.4" xref="S2.E6.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.3.3.1.1" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.E6.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.E6.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E6.m1.4.4.2.2" xref="S2.E6.m1.4.4.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.1" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msubsup id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.E6.m1.6.6.2.4" xref="S2.E6.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.5.5.1.1" xref="S2.E6.m1.5.5.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.E6.m1.6.6.2.4.1" xref="S2.E6.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E6.m1.6.6.2.2" xref="S2.E6.m1.6.6.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.7.7.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E6.m1.7b"><apply id="S2.E6.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.7.7.1.1.3a.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1"><eq id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.2">𝑞</ci><apply id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3"><minus id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><apply id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3"><times id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑝</ci><interval closure="open" id="S2.E6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.E6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.E6.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></interval></apply><ci id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3"><plus id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3">subscript</csymbol><cn id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.2">1</cn><ci id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3">𝛼</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2"><eq id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2">𝑞</ci><list id="S2.E6.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.E6.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.E6.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3.2.2">𝑝</ci><list id="S2.E6.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.6.6.2.4"><ci id="S2.E6.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.5.5.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.E6.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.6.6.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.7.7.1.1.2.2.3.3">𝛼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E6.m1.7c">q=L-p^{\left(I,i\right)}_{\alpha}u_{I+1_{i}}^{\alpha},\qquad q^{I,i}_{\alpha}=% p^{I,i}_{\alpha}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E6.m1.7d">italic_q = italic_L - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_I , italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT , italic_q start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT = italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_note" id="Thmnote3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote3.1.1.1">Remark 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmnote3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmnote3.p1.4">The map <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote3.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmnote3.p1.1.m1.1a"><mi id="Thmnote3.p1.1.m1.1.1" xref="Thmnote3.p1.1.m1.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote3.p1.1.m1.1b"><ci id="Thmnote3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote3.p1.1.m1.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote3.p1.1.m1.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote3.p1.1.m1.1d">italic_R</annotation></semantics></math> establishes an isomorphism of bundles on <math alttext="J^{k}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote3.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmnote3.p1.2.m2.1a"><mrow id="Thmnote3.p1.2.m2.1.1" xref="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.cmml"><msup id="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.2" xref="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">J</mi><mi id="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.1" xref="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.3" xref="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote3.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmnote3.p1.2.m2.1.1"><times id="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.1"></times><apply id="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.2.2">𝐽</ci><ci id="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmnote3.p1.2.m2.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote3.p1.2.m2.1c">J^{k}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote3.p1.2.m2.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math> between <math alttext="\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote3.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmnote3.p1.3.m3.1a"><mover accent="true" id="Thmnote3.p1.3.m3.1.1" xref="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.cmml"><msub id="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.2" xref="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.1" xref="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote3.p1.3.m3.1b"><apply id="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmnote3.p1.3.m3.1.1"><ci id="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.1">~</ci><apply id="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="Thmnote3.p1.3.m3.1.1.2.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote3.p1.3.m3.1c">\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote3.p1.3.m3.1d">over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> and the subbundle <math alttext="W_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote3.p1.4.m4.1"><semantics id="Thmnote3.p1.4.m4.1a"><msub id="Thmnote3.p1.4.m4.1.1" xref="Thmnote3.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmnote3.p1.4.m4.1.1.2" xref="Thmnote3.p1.4.m4.1.1.2.cmml">W</mi><mn id="Thmnote3.p1.4.m4.1.1.3" xref="Thmnote3.p1.4.m4.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote3.p1.4.m4.1b"><apply id="Thmnote3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmnote3.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote3.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmnote3.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote3.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmnote3.p1.4.m4.1.1.2">𝑊</ci><cn id="Thmnote3.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote3.p1.4.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote3.p1.4.m4.1c">W_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote3.p1.4.m4.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> defined in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">1751-8121-42-47-475207</span>]</cite>.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.SSS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS1.p2.2">Then we can construct projections <math alttext="p_{\mathcal{L}}:\widetilde{W_{\mathcal{L}}}\to\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.2" rspace="0em" stretchy="false" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml">→</mo><mrow id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1"><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2">:</ci><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3">ℒ</ci></apply><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1"><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.2">→</ci><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3"><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.1">~</ci><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.3.2.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1"><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.2"></and><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1c">p_{\mathcal{L}}:\widetilde{W_{\mathcal{L}}}\to\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS1.p2.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT : over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG → ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π )</annotation></semantics></math> and <math alttext="p_{\mathcal{L}}^{\ddagger}:=\mu\circ p_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">‡</mo></msubsup><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml">∘</mo><msub id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.3">‡</ci></apply><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3"><compose id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.1"></compose><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.2">𝜇</ci><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1c">p_{\mathcal{L}}^{\ddagger}:=\mu\circ p_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS1.p2.2.m2.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT := italic_μ ∘ italic_p start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> making the following diagram commutative</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="0"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.7)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><svg class="ltx_picture ltx_markedasmath" height="226.1" id="S2.E7.m1.1.1.pic1" overflow="visible" version="1.1" width="250.22"><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="translate(0,226.1) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(125.11,0) translate(0,118.37)"><g stroke-width="0.4pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -125.11 -107.74)"><g class="ltx_tikzmatrix" transform="matrix(1 0 0 -1 0 204.335)"><g class="ltx_tikzmatrix_row" transform="matrix(1 0 0 1 0 17.21)"><g class="ltx_tikzmatrix_col ltx_nopad_l ltx_nopad_r" fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1 0 0 -1 11.69 0) translate(9.8,0) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -3.84 0)"><foreignobject height="9.99" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="7.69"><math alttext="{\widetilde{W_{\mathcal{L}}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">~</ci><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">{\widetilde{W_{\mathcal{L}}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g class="ltx_tikzmatrix_col ltx_nopad_l ltx_nopad_r" fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1 0 0 -1 42.99 0) translate(148.89,0) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -52.39 0)"><foreignobject height="15.61" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="104.77"><math alttext="{J^{k+1}\pi\times_{J^{k}\pi}\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><msup id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">J</mi><mrow id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">k</mi><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">+</mo><mn id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3">1</mn></mrow></msup><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.2">π</mi><msub id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.3"><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.3.2" lspace="0.222em" rspace="0em">×</mo><mrow id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.3.3"><msup id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.3.3.2"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.3.3.2.2">J</mi><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.3.3.2.3">k</mi></msup><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.3.3.1">⁢</mo><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.3.3.3">π</mi></mrow></msub><msubsup id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.4"><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.4.2.2" lspace="0em">∧</mo><mn id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.4.3">2</mn><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.4.2.3">m</mi></msubsup><mrow id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.5"><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.5.1">(</mo><msup id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.5.2"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.5.2.2">J</mi><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.5.2.3">k</mi></msup><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.5.3">π</mi><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.5.4">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">{J^{k+1}\pi\times_{J^{k}\pi}\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π × start_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π end_POSTSUBSCRIPT ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π )</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g class="ltx_tikzmatrix_row" transform="matrix(1 0 0 1 0 113.81)"><g class="ltx_tikzmatrix_col ltx_nopad_l ltx_nopad_r" fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(21.49,0) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -15.54 0)"><foreignobject height="12.15" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="31.07"><math alttext="{J^{k+1}\pi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><plus id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">{J^{k+1}\pi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g class="ltx_tikzmatrix_col ltx_nopad_l ltx_nopad_r" fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1 0 0 -1 71.39 0) translate(120.49,0) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -23.98 0)"><foreignobject height="15.61" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="47.96"><math alttext="{\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2"></and><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1"><times id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">{\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π )</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g class="ltx_tikzmatrix_row" transform="matrix(1 0 0 1 0 210.41)"><g class="ltx_tikzmatrix_col ltx_nopad_l ltx_nopad_r" fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1 0 0 -1 4.95 0) translate(16.54,0) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -10.58 0)"><foreignobject height="12.15" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="21.17"><math alttext="{{J^{k}\pi}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">{{J^{k}\pi}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g class="ltx_tikzmatrix_col ltx_nopad_l ltx_nopad_r" fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1 0 0 -1 78.11 0) translate(113.77,0) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -17.26 0)"><foreignobject height="12.15" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="34.51"><math alttext="{J^{k+1}\pi^{\ddagger}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><plus id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝜋</ci><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3">‡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">{J^{k+1}\pi^{\ddagger}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g></g></g><g stroke-width="0.39998pt"><path d="M -93.54 83.21 L 41.56 6.62" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" transform="matrix(0.86993 -0.49316 0.49316 0.86993 41.81 6.49)"><path d="M -2.88 3.32 C -2.35 1.33 -1.18 0.39 0 0 C -1.18 -0.39 -2.35 -1.33 -2.88 -3.32" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -22.49 49.93)"><foreignobject height="6.06" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="8.33"><math alttext="\scriptstyle{p_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msub id="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="71%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\scriptstyle{p_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g stroke-width="0.39998pt"><path d="M -103.62 80.12 L -103.62 6.9" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" transform="matrix(0.0 -1.0 1.0 0.0 -103.62 6.63)"><path d="M -2.88 3.32 C -2.35 1.33 -1.18 0.39 0 0 C -1.18 -0.39 -2.35 -1.33 -2.88 -3.32" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -114.57 42.1)"><foreignobject height="6.06" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="7.69"><math alttext="\scriptstyle{\tau_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msub id="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="71%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝜏</ci><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\scriptstyle{\tau_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g stroke-width="0.39998pt"><path d="M -93.54 88.92 L 7.6 88.92" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 7.87 88.92)"><path d="M -2.88 3.32 C -2.35 1.33 -1.18 0.39 0 0 C -1.18 -0.39 -2.35 -1.33 -2.88 -3.32" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -46.41 92.18)"><foreignobject height="6.62" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="7.43"><math alttext="\scriptstyle{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E7.m1.1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\scriptstyle{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_R</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g stroke-width="0.39998pt"><path d="M -95.86 80.12 L 54.04 -89.83" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" transform="matrix(0.66147 -0.74997 0.74997 0.66147 54.22 -90.04)"><path d="M -2.88 3.32 C -2.35 1.33 -1.18 0.39 0 0 C -1.18 -0.39 -2.35 -1.33 -2.88 -3.32" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -32.31 -14.41)"><foreignobject height="7.98" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="8.33"><math alttext="\scriptstyle{p_{\mathcal{L}}^{\ddagger}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msubsup id="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="71%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="71%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">‡</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\scriptstyle{p_{\mathcal{L}}^{\ddagger}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g stroke-width="0.39998pt"><path d="M 66.77 76.66 L 66.77 6.9" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" transform="matrix(0.0 -1.0 1.0 0.0 66.77 6.63)"><path d="M -2.88 3.32 C -2.35 1.33 -1.18 0.39 0 0 C -1.18 -0.39 -2.35 -1.33 -2.88 -3.32" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 70.02 40.36)"><foreignobject height="6.05" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.94"><math alttext="\scriptstyle{\text{pr}_{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msub id="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mtext id="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2a.cmml">pr</mtext><mn id="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="71%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2a.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><mtext id="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">pr</mtext></ci><cn id="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\scriptstyle{\text{pr}_{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">pr start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g stroke-width="0.39998pt"><path d="M -103.62 -16.48 L -103.62 -89.7" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" transform="matrix(0.0 -1.0 1.0 0.0 -103.62 -89.97)"><path d="M -2.88 3.32 C -2.35 1.33 -1.18 0.39 0 0 C -1.18 -0.39 -2.35 -1.33 -2.88 -3.32" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -100.36 -53.95)"><foreignobject height="7.17" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="20.24"><math alttext="\scriptstyle{\pi_{k+1,k}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2"><semantics id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2a"><msub id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.3" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.3.2.cmml">π</mi><mrow id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.1.2" mathsize="71%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1" mathsize="71%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3" mathsize="71%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.2" mathsize="71%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1" mathsize="71%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2b"><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.3.2">𝜋</ci><list id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2"><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.1"><plus id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.1.2">𝑘</ci><cn id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑘</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2c">\scriptstyle{\pi_{k+1,k}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.2d">italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 , italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g stroke-width="0.39998pt"><path d="M 66.77 -19.94 L 66.77 -89.7" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" transform="matrix(0.0 -1.0 1.0 0.0 66.77 -89.97)"><path d="M -2.88 3.32 C -2.35 1.33 -1.18 0.39 0 0 C -1.18 -0.39 -2.35 -1.33 -2.88 -3.32" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 70.02 -56.24)"><foreignobject height="6.05" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="5.84"><math alttext="\scriptstyle{\mu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E7.m1.1.1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\scriptstyle{\mu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_μ</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g stroke-width="0.39998pt"><path d="M 43.28 -104.28 L -86.25 -104.28" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" transform="matrix(-1.0 0.0 0.0 -1.0 -86.52 -104.28)"><path d="M -2.88 3.32 C -2.35 1.33 -1.18 0.39 0 0 C -1.18 -0.39 -2.35 -1.33 -2.88 -3.32" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -25.22 -115.39)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\scriptstyle{\overline{\tau_{k}^{m}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2" mathsize="70%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3" mathsize="71%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="71%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mo id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2">𝜏</ci><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\scriptstyle{\overline{\tau_{k}^{m}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.1.1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g></g></svg></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS1.p2.3">where <math alttext="\mu:\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)\to J^{k+1}\pi^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1"><semantics id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1a"><mrow id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0em" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.2.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.2.cmml">→</mo><mrow id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">π</mi><mo id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1b"><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1"><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.2">:</ci><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.3">𝜇</ci><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1"><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.2">→</ci><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1"><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.2.2"></and><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3"><times id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.3"><plus id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.3.2">𝜋</ci><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1.1.1.3.3.3">‡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1c">\mu:\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)\to J^{k+1}\pi^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS1.p2.3.m1.1d">italic_μ : ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π ) → italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the quotient map onto</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex39"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="J^{k+1}\pi^{\ddagger}:=\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)/\wedge^{m}_{1}\left% (J^{k}\pi\right)," class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S2.Ex39.m1.1"><semantics id="S2.Ex39.m1.1a"><mrow id="S2.Ex39.m1.1b"><msup id="S2.Ex39.m1.1.1"><mi id="S2.Ex39.m1.1.1.2">J</mi><mrow id="S2.Ex39.m1.1.1.3"><mi id="S2.Ex39.m1.1.1.3.2">k</mi><mo id="S2.Ex39.m1.1.1.3.1">+</mo><mn id="S2.Ex39.m1.1.1.3.3">1</mn></mrow></msup><msup id="S2.Ex39.m1.1.2"><mi id="S2.Ex39.m1.1.2.2">π</mi><mo id="S2.Ex39.m1.1.2.3">‡</mo></msup><mo id="S2.Ex39.m1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0em">:=</mo><msubsup id="S2.Ex39.m1.1.4"><mo id="S2.Ex39.m1.1.4.2.2" lspace="0em">∧</mo><mn id="S2.Ex39.m1.1.4.3">2</mn><mi id="S2.Ex39.m1.1.4.2.3">m</mi></msubsup><mrow id="S2.Ex39.m1.1.5"><mo id="S2.Ex39.m1.1.5.1">(</mo><msup id="S2.Ex39.m1.1.5.2"><mi id="S2.Ex39.m1.1.5.2.2">J</mi><mi id="S2.Ex39.m1.1.5.2.3">k</mi></msup><mi id="S2.Ex39.m1.1.5.3">π</mi><mo id="S2.Ex39.m1.1.5.4">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex39.m1.1.6" rspace="0em">/</mo><msubsup id="S2.Ex39.m1.1.7"><mo id="S2.Ex39.m1.1.7.2.2" lspace="0em">∧</mo><mn id="S2.Ex39.m1.1.7.3">1</mn><mi id="S2.Ex39.m1.1.7.2.3">m</mi></msubsup><mrow id="S2.Ex39.m1.1.8"><mo id="S2.Ex39.m1.1.8.1">(</mo><msup id="S2.Ex39.m1.1.8.2"><mi id="S2.Ex39.m1.1.8.2.2">J</mi><mi id="S2.Ex39.m1.1.8.2.3">k</mi></msup><mi id="S2.Ex39.m1.1.8.3">π</mi><mo id="S2.Ex39.m1.1.8.4">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex39.m1.1.9">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex39.m1.1c">J^{k+1}\pi^{\ddagger}:=\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)/\wedge^{m}_{1}\left% (J^{k}\pi\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex39.m1.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT := ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π ) / ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS1.p2.5">and we have introduced the handy notation</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex40"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\overline{\tau^{m}_{k}}:J^{k+1}\pi^{\ddagger}\to J^{k}\pi." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex40.m1.1"><semantics id="S2.Ex40.m1.1a"><mrow id="S2.Ex40.m1.1.1.1" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mo id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">π</mi><mo id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow><mo id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mrow id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">J</mi><mi id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">π</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex40.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex40.m1.1b"><apply id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1"><ci id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.1">:</ci><apply id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2"><ci id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.1">¯</ci><apply id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜏</ci><ci id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3"><ci id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.1">→</ci><apply id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.3"><plus id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝜋</ci><ci id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">‡</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex40.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝜋</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex40.m1.1c">\overline{\tau^{m}_{k}}:J^{k+1}\pi^{\ddagger}\to J^{k}\pi.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex40.m1.1d">over¯ start_ARG italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG : italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT → italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS1.p2.4">The map <math alttext="p_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1"><semantics id="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1a"><msub id="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1b"><apply id="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1c">p_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS1.p2.4.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> has nice properties regarding the canonical form on these bundles.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lem" id="Thmlem4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem4.1.1.1">Lemma 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem4.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlem4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlem4.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlem4.p1.3.3">Let <math alttext="\Theta\in\Omega^{m}\left(\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">Θ</mi><mo id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">Ω</mi><mi id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msup><mo id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.2" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mi id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1"><in id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.2"></in><ci id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.3">Θ</ci><apply id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1"><times id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2">Ω</ci><ci id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1"><apply id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></and><ci id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><ci id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1c">\Theta\in\Omega^{m}\left(\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem4.p1.1.1.m1.1d">roman_Θ ∈ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π ) )</annotation></semantics></math> be the canonical <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem4.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlem4.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmlem4.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlem4.p1.2.2.m2.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem4.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmlem4.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlem4.p1.2.2.m2.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem4.p1.2.2.m2.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem4.p1.2.2.m2.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form on <math alttext="\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><msubsup id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.3" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mi id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1"><apply id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><and id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2"></and><ci id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1"><times id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><ci id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1c">\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem4.p1.3.3.m3.1d">∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π )</annotation></semantics></math>. Then</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex41"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p_{\mathcal{L}}^{*}\Theta=\Theta_{\mathcal{L}}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex41.m1.1"><semantics id="S2.Ex41.m1.1a"><mrow id="S2.Ex41.m1.1.1.1" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">Θ</mi></mrow><mo id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex41.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex41.m1.1b"><apply id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">ℒ</ci></apply><times id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.2.3"></times></apply><ci id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.2.3">Θ</ci></apply><apply id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex41.m1.1.1.1.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex41.m1.1c">p_{\mathcal{L}}^{*}\Theta=\Theta_{\mathcal{L}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex41.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ = roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.SSS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS1.p3.3">Now, consider a section</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex42"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="h:\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)/\wedge^{m}_{1}\left(J^{k}\pi\right)\to% \wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S2.Ex42.m1.1"><semantics id="S2.Ex42.m1.1a"><mrow id="S2.Ex42.m1.1b"><mi id="S2.Ex42.m1.1.1">h</mi><mo id="S2.Ex42.m1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0em">:</mo><msubsup id="S2.Ex42.m1.1.3"><mo id="S2.Ex42.m1.1.3.2.2" lspace="0em">∧</mo><mn id="S2.Ex42.m1.1.3.3">2</mn><mi id="S2.Ex42.m1.1.3.2.3">m</mi></msubsup><mrow id="S2.Ex42.m1.1.4"><mo id="S2.Ex42.m1.1.4.1">(</mo><msup id="S2.Ex42.m1.1.4.2"><mi id="S2.Ex42.m1.1.4.2.2">J</mi><mi id="S2.Ex42.m1.1.4.2.3">k</mi></msup><mi id="S2.Ex42.m1.1.4.3">π</mi><mo id="S2.Ex42.m1.1.4.4">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex42.m1.1.5" rspace="0em">/</mo><msubsup id="S2.Ex42.m1.1.6"><mo id="S2.Ex42.m1.1.6.2.2" lspace="0em">∧</mo><mn id="S2.Ex42.m1.1.6.3">1</mn><mi id="S2.Ex42.m1.1.6.2.3">m</mi></msubsup><mrow id="S2.Ex42.m1.1.7"><mo id="S2.Ex42.m1.1.7.1">(</mo><msup id="S2.Ex42.m1.1.7.2"><mi id="S2.Ex42.m1.1.7.2.2">J</mi><mi id="S2.Ex42.m1.1.7.2.3">k</mi></msup><mi id="S2.Ex42.m1.1.7.3">π</mi><mo id="S2.Ex42.m1.1.7.4">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex42.m1.1.8" rspace="0em" stretchy="false">→</mo><msubsup id="S2.Ex42.m1.1.9"><mo id="S2.Ex42.m1.1.9.2.2" lspace="0em">∧</mo><mn id="S2.Ex42.m1.1.9.3">2</mn><mi id="S2.Ex42.m1.1.9.2.3">m</mi></msubsup><mrow id="S2.Ex42.m1.1.10"><mo id="S2.Ex42.m1.1.10.1">(</mo><msup id="S2.Ex42.m1.1.10.2"><mi id="S2.Ex42.m1.1.10.2.2">J</mi><mi id="S2.Ex42.m1.1.10.2.3">k</mi></msup><mi id="S2.Ex42.m1.1.10.3">π</mi><mo id="S2.Ex42.m1.1.10.4">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex42.m1.1c">h:\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)/\wedge^{m}_{1}\left(J^{k}\pi\right)\to% \wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex42.m1.1d">italic_h : ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π ) / ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π ) → ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS1.p3.2">for the quotient map <math alttext="\mu:\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)\to\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)/% \wedge^{m}_{1}\left(J^{k}\pi\right)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1b"><mi id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.1">μ</mi><mo id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0em">:</mo><msubsup id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.3"><mo id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.3.2.2" lspace="0em">∧</mo><mn id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.3.3">2</mn><mi id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.3.2.3">m</mi></msubsup><mrow id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.4"><mo id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.4.1">(</mo><msup id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.4.2"><mi id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.4.2.2">J</mi><mi id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.4.2.3">k</mi></msup><mi id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.4.3">π</mi><mo id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.4.4">)</mo></mrow><mo id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.5" rspace="0em" stretchy="false">→</mo><msubsup id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.6"><mo id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.6.2.2" lspace="0em">∧</mo><mn id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.6.3">2</mn><mi id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.6.2.3">m</mi></msubsup><mrow id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.7"><mo id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.7.1">(</mo><msup id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.7.2"><mi id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.7.2.2">J</mi><mi id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.7.2.3">k</mi></msup><mi id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.7.3">π</mi><mo id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.7.4">)</mo></mrow><mo id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.8" rspace="0em">/</mo><msubsup id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.9"><mo id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.9.2.2" lspace="0em">∧</mo><mn id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.9.3">1</mn><mi id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.9.2.3">m</mi></msubsup><mrow id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.10"><mo id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.10.1">(</mo><msup id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.10.2"><mi id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.10.2.2">J</mi><mi id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.10.2.3">k</mi></msup><mi id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.10.3">π</mi><mo id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1.10.4">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1c">\mu:\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)\to\wedge^{m}_{2}\left(J^{k}\pi\right)/% \wedge^{m}_{1}\left(J^{k}\pi\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS1.p3.1.m1.1d">italic_μ : ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π ) → ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π ) / ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π )</annotation></semantics></math>, that will be called <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S2.SS4.SSS1.p3.2.1">Hamiltonian section associated to <math alttext="{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS1.p3.2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS4.SSS1.p3.2.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.SSS1.p3.2.1.m1.1.1" xref="S2.SS4.SSS1.p3.2.1.m1.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS1.p3.2.1.m1.1b"><ci id="S2.SS4.SSS1.p3.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS1.p3.2.1.m1.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS1.p3.2.1.m1.1c">{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS1.p3.2.1.m1.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math></em>. Having a Hamiltonian section allows us to write down Hamilton equations of motion.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defc" id="Thmdefc2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc2.1.1.1">Definition 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc2.2.2"> </span>(Hamilton equations for higher order field theories)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc2.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefc2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefc2.p1.2">Let <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc2.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmdefc2.p1.1.m1.1a"><mi id="Thmdefc2.p1.1.m1.1.1" xref="Thmdefc2.p1.1.m1.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc2.p1.1.m1.1b"><ci id="Thmdefc2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.1.m1.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc2.p1.1.m1.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc2.p1.1.m1.1d">italic_h</annotation></semantics></math> be a Hamiltonian section for <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc2.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmdefc2.p1.2.m2.1a"><mi id="Thmdefc2.p1.2.m2.1.1" xref="Thmdefc2.p1.2.m2.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc2.p1.2.m2.1b"><ci id="Thmdefc2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.2.m2.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc2.p1.2.m2.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc2.p1.2.m2.1d">italic_μ</annotation></semantics></math>; define</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex43"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Theta_{h}:=h^{*}\Theta." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex43.m1.1"><semantics id="S2.Ex43.m1.1a"><mrow id="S2.Ex43.m1.1.1.1" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">h</mi></msub><mo id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">Θ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex43.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex43.m1.1b"><apply id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3">ℎ</ci></apply><apply id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.2">ℎ</ci><times id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><ci id="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex43.m1.1.1.1.1.3.3">Θ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex43.m1.1c">\Theta_{h}:=h^{*}\Theta.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex43.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT := italic_h start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmdefc2.p1.4">A section <math alttext="\psi:U\subset M\to J^{k+1}\pi^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc2.p1.3.m1.1"><semantics id="Thmdefc2.p1.3.m1.1a"><mrow id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.2" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.2" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.3" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.3.cmml">⊂</mo><mi id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.4" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.4.cmml">M</mi><mo id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.5" stretchy="false" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.5.cmml">→</mo><mrow id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.cmml"><msup id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.cmml"><mi id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.2" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.2.cmml">J</mi><mrow id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.3" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.3.cmml"><mi id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.3.2" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.3.1" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.3.3" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.1" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.3" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.3.cmml"><mi id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.3.2" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.3.2.cmml">π</mi><mo id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.3.3" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc2.p1.3.m1.1b"><apply id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1"><ci id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.1">:</ci><ci id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.2">𝜓</ci><apply id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3"><and id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3a.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3"></and><apply id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3b.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3"><subset id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.3"></subset><ci id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.4.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.4">𝑀</ci></apply><apply id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3c.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3"><ci id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.5.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.4.cmml" id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3d.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3"></share><apply id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6"><times id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.1"></times><apply id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.2">𝐽</ci><apply id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.3.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.3"><plus id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.3.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.3.1"></plus><ci id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.3.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.3.2">𝑘</ci><cn id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.3.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.3.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.3">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.3.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.3.2">𝜋</ci><ci id="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.3.3.cmml" xref="Thmdefc2.p1.3.m1.1.1.3.6.3.3">‡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc2.p1.3.m1.1c">\psi:U\subset M\to J^{k+1}\pi^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc2.p1.3.m1.1d">italic_ψ : italic_U ⊂ italic_M → italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is a <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmdefc2.p1.4.1">solution for the Hamilton equations posed by the Hamiltonian section <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc2.p1.4.1.m1.1"><semantics id="Thmdefc2.p1.4.1.m1.1a"><mi id="Thmdefc2.p1.4.1.m1.1.1" xref="Thmdefc2.p1.4.1.m1.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc2.p1.4.1.m1.1b"><ci id="Thmdefc2.p1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.4.1.m1.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc2.p1.4.1.m1.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc2.p1.4.1.m1.1d">italic_h</annotation></semantics></math></em> if and only if</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex44"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi^{*}\left(X\lrcorner d\Theta_{h}\right)=0" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex44.m1.1"><semantics id="S2.Ex44.m1.1a"><mrow id="S2.Ex44.m1.1.1" xref="S2.Ex44.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex44.m1.1.1.1" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex44.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex44.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.Ex44.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex44.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">h</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex44.m1.1.1.2" xref="S2.Ex44.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex44.m1.1.1.3" xref="S2.Ex44.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex44.m1.1b"><apply id="S2.Ex44.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1"><eq id="S2.Ex44.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1.2"></eq><apply id="S2.Ex44.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex44.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex44.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex44.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex44.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><times id="S2.Ex44.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.5.3">ℎ</ci></apply></apply></apply><cn id="S2.Ex44.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex44.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex44.m1.1c">\psi^{*}\left(X\lrcorner d\Theta_{h}\right)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex44.m1.1d">italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT ) = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmdefc2.p1.5">for every <math alttext="X\in\mathfrak{X}^{V\left(\pi_{k}\circ\overline{\tau^{m}_{k}}\right)}\left(J^{k% +1}\pi^{\ddagger}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc2.p1.5.m1.2"><semantics id="Thmdefc2.p1.5.m1.2a"><mrow id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.cmml"><mi id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.3" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.3.cmml">X</mi><mo id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.2" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.cmml"><msup id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.3" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.3.2" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.3.2.cmml">𝔛</mi><mrow id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.3" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.3.cmml">V</mi><mo id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.2" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">π</mi><mi id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><mover accent="true" id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">τ</mi><mi id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mo id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.2" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.2" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mo id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow><mo id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.3" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc2.p1.5.m1.2b"><apply id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2"><in id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.2"></in><ci id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.3">𝑋</ci><apply id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1"><times id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.2"></times><apply id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.3.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.3.2">𝔛</ci><apply id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1"><times id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.2"></times><ci id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.3">𝑉</ci><apply id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1"><compose id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.1"></compose><apply id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜋</ci><ci id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜏</ci><ci id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1"><times id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3"><plus id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝜋</ci><ci id="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc2.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">‡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc2.p1.5.m1.2c">X\in\mathfrak{X}^{V\left(\pi_{k}\circ\overline{\tau^{m}_{k}}\right)}\left(J^{k% +1}\pi^{\ddagger}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc2.p1.5.m1.2d">italic_X ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V ( italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∘ over¯ start_ARG italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS4.SSS2"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">2.4.2. </span>The Hamiltonian form associated to a Lagrangian density</h4> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.SSS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS2.p1.1">Given a Lagrangian density, the usual way to construct a Hamiltonian field theory is to construct a Hamiltonian section associated to this Lagrangian. The main drawback of this approach, when one have in mind the generalization of this procedure to general variational problems, is that no notion of extended multimomentum bundle can be found in the general setting. So it is necessary to find a way to avoid this difficulty; a close examination of the construction of Hamilton equations tells us that the only role of the Hamiltonian section is to provide a manner to define the Hamiltonian section. In this vein, it could be advantageous to find a procedure allowing us to construct the Hamiltonian form directly from the Lagrangian-Hamiltonian formalism, without recurring to the Hamiltonian section.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defc" id="Thmdefc3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc3.1.1.1">Definition 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefc3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefc3.p1.1">The <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmdefc3.p1.1.1">first constraint manifold</em> <math alttext="P_{0}\subset\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc3.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmdefc3.p1.1.m1.1a"><mrow id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mn id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.1" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⊂</mo><mover accent="true" id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc3.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1"><subset id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.1"></subset><apply id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑃</ci><cn id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3"><ci id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.1">~</ci><apply id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmdefc3.p1.1.m1.1.1.3.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc3.p1.1.m1.1c">P_{0}\subset\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc3.p1.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⊂ over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> is the set</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex45"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P_{0}:=\left\{\rho\in\widetilde{W_{\mathcal{L}}}:\left({\mathcal{L}}_{Z}\Theta% _{\mathcal{L}}\right)\left(\rho\right)=0\text{ for all }Z\in\mathfrak{X}^{Vp_{% \mathcal{L}}^{\ddagger}}\left(\widetilde{W_{\mathcal{L}}}\right)\right\}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex45.m1.3"><semantics id="S2.Ex45.m1.3a"><mrow id="S2.Ex45.m1.3.3.1" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.4" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mi id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.4.2.cmml">P</mi><mn id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.4.3" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.3.cmml">:=</mo><mrow id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mover accent="true" id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">Z</mi></msub><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.3.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml"><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.3.2.1" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex45.m1.1.1" xref="S2.Ex45.m1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.3.2.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.cmml"><mn id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.2.cmml">0</mn><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.3" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.3a.cmml"> for all </mtext><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.1a" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.4" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.4.cmml">Z</mi></mrow><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.5" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.5.cmml">∈</mo><mrow id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.cmml"><msup id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.cmml"><mi id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.2.cmml">𝔛</mi><mrow id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.2.cmml">V</mi><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.1" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.2.2" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.2.2.cmml">p</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.2.3" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.2.3.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.3" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.3.cmml">‡</mo></msubsup></mrow></msup><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.1" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.3.2" xref="S2.Ex45.m1.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.3.2.1" xref="S2.Ex45.m1.2.2.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S2.Ex45.m1.2.2" xref="S2.Ex45.m1.2.2.cmml"><msub id="S2.Ex45.m1.2.2.2" xref="S2.Ex45.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex45.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex45.m1.2.2.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex45.m1.2.2.2.3" xref="S2.Ex45.m1.2.2.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.Ex45.m1.2.2.1" xref="S2.Ex45.m1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.3.2.2" xref="S2.Ex45.m1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.5" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex45.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex45.m1.3b"><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.3">assign</csymbol><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.4.2">𝑃</ci><cn id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.4.3">0</cn></apply><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1"><in id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></in><ci id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><ci id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1">~</ci><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2"><and id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2a.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2"></and><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2b.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2"><eq id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.3"></eq><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1"><times id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2"></times><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1"><times id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2">ℒ</ci><ci id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑍</ci></apply><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex45.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.1.1">𝜌</ci></apply><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4"><times id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.1"></times><cn id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.2">0</cn><ci id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.3a.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.3"><mtext id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.3"> for all </mtext></ci><ci id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.4.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.4">𝑍</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2c.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2"><in id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.5.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.5"></in><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.cmml" id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2d.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2"></share><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6"><times id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.1"></times><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.2">𝔛</ci><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3"><times id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.1"></times><ci id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.2">𝑉</ci><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.2.3.3.3">‡</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex45.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.3.2"><ci id="S2.Ex45.m1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.2.2.1">~</ci><apply id="S2.Ex45.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex45.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex45.m1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex45.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex45.m1.2.2.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.Ex45.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex45.m1.2.2.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex45.m1.3c">P_{0}:=\left\{\rho\in\widetilde{W_{\mathcal{L}}}:\left({\mathcal{L}}_{Z}\Theta% _{\mathcal{L}}\right)\left(\rho\right)=0\text{ for all }Z\in\mathfrak{X}^{Vp_{% \mathcal{L}}^{\ddagger}}\left(\widetilde{W_{\mathcal{L}}}\right)\right\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex45.m1.3d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT := { italic_ρ ∈ over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG : ( caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_Z end_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_ρ ) = 0 for all italic_Z ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V italic_p start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_note" id="Thmnote4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote4.2.1.1">Remark 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote4.3.2"> </span>(Local description for <math alttext="P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote4.1.m1.1"><semantics id="Thmnote4.1.m1.1b"><msub id="Thmnote4.1.m1.1.1" xref="Thmnote4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmnote4.1.m1.1.1.2" xref="Thmnote4.1.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="Thmnote4.1.m1.1.1.3" xref="Thmnote4.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote4.1.m1.1c"><apply id="Thmnote4.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote4.1.m1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="Thmnote4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote4.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote4.1.m1.1d">P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote4.1.m1.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>)<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote4.4.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmnote4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmnote4.p1.2">In every set of adapted coordinates <math alttext="\left(x^{i},u^{\alpha},u^{\alpha}_{I},p_{\alpha}^{J,i}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote4.p1.1.m1.6"><semantics id="Thmnote4.p1.1.m1.6a"><mrow id="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4" xref="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.5.cmml"><mo id="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.5" xref="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.5.cmml">(</mo><msup id="Thmnote4.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="Thmnote4.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="Thmnote4.p1.1.m1.3.3.1.1.2" xref="Thmnote4.p1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="Thmnote4.p1.1.m1.3.3.1.1.3" xref="Thmnote4.p1.1.m1.3.3.1.1.3.cmml">i</mi></msup><mo id="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.6" xref="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.5.cmml">,</mo><msup id="Thmnote4.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="Thmnote4.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="Thmnote4.p1.1.m1.4.4.2.2.2" xref="Thmnote4.p1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="Thmnote4.p1.1.m1.4.4.2.2.3" xref="Thmnote4.p1.1.m1.4.4.2.2.3.cmml">α</mi></msup><mo id="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.7" xref="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.5.cmml">,</mo><msubsup id="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3" xref="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.cmml"><mi id="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.2.2" xref="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.3" xref="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.3.cmml">I</mi><mi id="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.2.3" xref="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.2.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.8" xref="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.5.cmml">,</mo><msubsup id="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4" xref="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4.cmml"><mi id="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4.2.2" xref="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4.2.2.cmml">p</mi><mi id="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4.2.3" xref="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4.2.3.cmml">α</mi><mrow id="Thmnote4.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="Thmnote4.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmnote4.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmnote4.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">J</mi><mo id="Thmnote4.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="Thmnote4.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmnote4.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmnote4.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.9" xref="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.5.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote4.p1.1.m1.6b"><vector id="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.5.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4"><apply id="Thmnote4.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote4.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmnote4.p1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.3.3.1.1.2">𝑥</ci><ci id="Thmnote4.p1.1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.3.3.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="Thmnote4.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote4.p1.1.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.4.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="Thmnote4.p1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.4.4.2.2.2">𝑢</ci><ci id="Thmnote4.p1.1.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.4.4.2.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.1.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3">subscript</csymbol><apply id="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.2.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.2.1.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.2.2.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.2.2">𝑢</ci><ci id="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.2.3.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.3.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.5.5.3.3.3">𝐼</ci></apply><apply id="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4.1.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4">superscript</csymbol><apply id="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4.2.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4.2.1.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4">subscript</csymbol><ci id="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4.2.2.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4.2.2">𝑝</ci><ci id="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4.2.3.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.6.6.4.4.2.3">𝛼</ci></apply><list id="Thmnote4.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="Thmnote4.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.1.1.1.1">𝐽</ci><ci id="Thmnote4.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmnote4.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote4.p1.1.m1.6c">\left(x^{i},u^{\alpha},u^{\alpha}_{I},p_{\alpha}^{J,i}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote4.p1.1.m1.6d">( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT , italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT , italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_J , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> on <math alttext="\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote4.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmnote4.p1.2.m2.1a"><mover accent="true" id="Thmnote4.p1.2.m2.1.1" xref="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.2" xref="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.1" xref="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote4.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmnote4.p1.2.m2.1.1"><ci id="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.1">~</ci><apply id="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Thmnote4.p1.2.m2.1.1.2.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote4.p1.2.m2.1c">\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote4.p1.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, the equations</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex46"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p^{\left(I,i\right)}_{\alpha}=\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{I+1_{i}}}% ,\qquad\lvert I\rvert=k," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex46.m1.4"><semantics id="S2.Ex46.m1.4a"><mrow id="S2.Ex46.m1.4.4.1"><mrow id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex46.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex46.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex46.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex46.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex46.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex46.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex46.m1.2.2.2.4.2" xref="S2.Ex46.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex46.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex46.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex46.m1.2.2.2.4.3" xref="S2.Ex46.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1" rspace="0em" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi></mrow><mrow id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mi id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mfrac></mrow><mo id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml"><mo id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex46.m1.3.3" xref="S2.Ex46.m1.3.3.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mi id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex46.m1.4.4.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex46.m1.4b"><apply id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1"><eq id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2">𝑝</ci><interval closure="open" id="S2.Ex46.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex46.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.Ex46.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex46.m1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex46.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex46.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></interval></apply><ci id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3"><divide id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><partialdiff id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1"></partialdiff><ci id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2">𝐿</ci></apply><apply id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3"><partialdiff id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1"></partialdiff><apply id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3"><plus id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3">subscript</csymbol><cn id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2"><eq id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.2.2"><abs id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1"></abs><ci id="S2.Ex46.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex46.m1.3.3">𝐼</ci></apply><ci id="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex46.m1.4.4.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex46.m1.4c">p^{\left(I,i\right)}_{\alpha}=\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha}_{I+1_{i}}}% ,\qquad\lvert I\rvert=k,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex46.m1.4d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_I , italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG ∂ italic_L end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , | italic_I | = italic_k ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmnote4.p1.3">are a local description for <math alttext="P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote4.p1.3.m1.1"><semantics id="Thmnote4.p1.3.m1.1a"><msub id="Thmnote4.p1.3.m1.1.1" xref="Thmnote4.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmnote4.p1.3.m1.1.1.2" xref="Thmnote4.p1.3.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="Thmnote4.p1.3.m1.1.1.3" xref="Thmnote4.p1.3.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote4.p1.3.m1.1b"><apply id="Thmnote4.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote4.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote4.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote4.p1.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote4.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote4.p1.3.m1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="Thmnote4.p1.3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote4.p1.3.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote4.p1.3.m1.1c">P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote4.p1.3.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_note" id="Thmnote5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote5.1.1.1">Remark 5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote5.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmnote5.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmnote5.p1.1">From the local expression for <math alttext="\Theta_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote5.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmnote5.p1.1.m1.1a"><msub id="Thmnote5.p1.1.m1.1.1" xref="Thmnote5.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmnote5.p1.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmnote5.p1.1.m1.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmnote5.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmnote5.p1.1.m1.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote5.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmnote5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote5.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote5.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote5.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote5.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote5.p1.1.m1.1.1.2">Θ</ci><ci id="Thmnote5.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmnote5.p1.1.m1.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote5.p1.1.m1.1c">\Theta_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote5.p1.1.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex47"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Theta_{\mathcal{L}}=\left(L-p^{\left(I,i\right)}_{\alpha}u^{\alpha}_{I+1_{i}}% \right)\eta+p^{I,i}_{\alpha}du^{\alpha}_{I}\wedge\eta_{i}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex47.m1.5"><semantics id="S2.Ex47.m1.5a"><mrow id="S2.Ex47.m1.5.5" xref="S2.Ex47.m1.5.5.cmml"><msub id="S2.Ex47.m1.5.5.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.3.cmml"><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex47.m1.5.5.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Ex47.m1.5.5.3.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.3.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.Ex47.m1.5.5.2" xref="S2.Ex47.m1.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex47.m1.5.5.1" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.cmml"><mrow id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex47.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex47.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex47.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex47.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex47.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex47.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex47.m1.2.2.2.4.2" xref="S2.Ex47.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex47.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex47.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex47.m1.2.2.2.4.3" xref="S2.Ex47.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex47.m1.4.4.2.4" xref="S2.Ex47.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex47.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex47.m1.3.3.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex47.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.Ex47.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex47.m1.4.4.2.2" xref="S2.Ex47.m1.4.4.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.1a" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.2.2" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.3.cmml">I</mi><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.2.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex47.m1.5.5.1.2" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.2.cmml">∧</mo><msub id="S2.Ex47.m1.5.5.1.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.1.3.2" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.3.2.cmml">η</mi><mi id="S2.Ex47.m1.5.5.1.3.3" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex47.m1.5b"><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5"><eq id="S2.Ex47.m1.5.5.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.2"></eq><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex47.m1.5.5.3.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.3.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.3.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.3.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.3.3">ℒ</ci></apply><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1"><and id="S2.Ex47.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.2"></and><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1"><plus id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.2"></plus><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1"><times id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">𝐿</ci><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑝</ci><interval closure="open" id="S2.Ex47.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.Ex47.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex47.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></interval></apply><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><plus id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></plus><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝐼</ci><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><cn id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.1.3">𝜂</ci></apply><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3"><times id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2.2.2">𝑝</ci><list id="S2.Ex47.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.Ex47.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.3.3.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex47.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.4.4.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.3">𝑑</ci><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.1.3.4.3">𝐼</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex47.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex47.m1.5.5.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S2.Ex47.m1.5.5.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex47.m1.5.5.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex47.m1.5c">\Theta_{\mathcal{L}}=\left(L-p^{\left(I,i\right)}_{\alpha}u^{\alpha}_{I+1_{i}}% \right)\eta+p^{I,i}_{\alpha}du^{\alpha}_{I}\wedge\eta_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex47.m1.5d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_L - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_I , italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) italic_η + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmnote5.p1.2">it follows that on <math alttext="P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote5.p1.2.m1.1"><semantics id="Thmnote5.p1.2.m1.1a"><msub id="Thmnote5.p1.2.m1.1.1" xref="Thmnote5.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmnote5.p1.2.m1.1.1.2" xref="Thmnote5.p1.2.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="Thmnote5.p1.2.m1.1.1.3" xref="Thmnote5.p1.2.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote5.p1.2.m1.1b"><apply id="Thmnote5.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote5.p1.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote5.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote5.p1.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote5.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote5.p1.2.m1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="Thmnote5.p1.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote5.p1.2.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote5.p1.2.m1.1c">P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote5.p1.2.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the local functions</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex48"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{H}\left(x^{i},u^{\alpha}_{I},p_{\beta}^{I,i}\right)=L\left(x^{i},u_{I% }^{\alpha}\right)-p^{\left(I,i\right)}_{\alpha}u^{\alpha}_{I+1_{i}}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex48.m1.9"><semantics id="S2.Ex48.m1.9a"><mrow id="S2.Ex48.m1.9.9" xref="S2.Ex48.m1.9.9.cmml"><mrow id="S2.Ex48.m1.7.7.3" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex48.m1.7.7.3.5" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.5.cmml"><mi id="S2.Ex48.m1.7.7.3.5.2" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.5.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Ex48.m1.7.7.3.5.1" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.5.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.Ex48.m1.7.7.3.4" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.4.cmml"><mo id="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.4" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.4.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex48.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.Ex48.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex48.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex48.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S2.Ex48.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex48.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.5" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2" xref="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml">I</mi><mi id="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.6" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3.2.2" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3.2.3" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3.2.3.cmml">β</mi><mrow id="S2.Ex48.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex48.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex48.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex48.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex48.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex48.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex48.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex48.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.7" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex48.m1.9.9.6" xref="S2.Ex48.m1.9.9.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex48.m1.9.9.5" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.cmml"><mrow id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.cmml"><mi id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.4" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.4.cmml">L</mi><mo id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.3" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.3" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex48.m1.8.8.4.1.1.1.1" xref="S2.Ex48.m1.8.8.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex48.m1.8.8.4.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex48.m1.8.8.4.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S2.Ex48.m1.8.8.4.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex48.m1.8.8.4.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.4" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.2.3.cmml">I</mi><mi id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.5" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex48.m1.9.9.5.3" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.3.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.cmml"><msubsup id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2.cmml"><mi id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2.2.2" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2.3" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex48.m1.4.4.2.4" xref="S2.Ex48.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex48.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.Ex48.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex48.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex48.m1.3.3.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex48.m1.4.4.2.4.2" xref="S2.Ex48.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex48.m1.4.4.2.2" xref="S2.Ex48.m1.4.4.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex48.m1.4.4.2.4.3" xref="S2.Ex48.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.1" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.cmml"><mi id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.2.2" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.2" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.2.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.1" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.3" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.3.2" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.3.3" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mi id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.2.3" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex48.m1.9b"><apply id="S2.Ex48.m1.9.9.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9"><eq id="S2.Ex48.m1.9.9.6.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.6"></eq><apply id="S2.Ex48.m1.7.7.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3"><times id="S2.Ex48.m1.7.7.3.4.cmml" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.4"></times><apply id="S2.Ex48.m1.7.7.3.5.cmml" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.5"><ci id="S2.Ex48.m1.7.7.3.5.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.5.1">^</ci><ci id="S2.Ex48.m1.7.7.3.5.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.5.2">𝐻</ci></apply><vector id="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3"><apply id="S2.Ex48.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex48.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.5.5.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex48.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.5.5.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S2.Ex48.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.5.5.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.6.6.2.2.2.2.3">𝐼</ci></apply><apply id="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.7.7.3.3.3.3.2.3">𝛽</ci></apply><list id="S2.Ex48.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.Ex48.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex48.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply></vector></apply><apply id="S2.Ex48.m1.9.9.5.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5"><minus id="S2.Ex48.m1.9.9.5.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.3"></minus><apply id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2"><times id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.3"></times><ci id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.4.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.4">𝐿</ci><interval closure="open" id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2"><apply id="S2.Ex48.m1.8.8.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.8.8.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex48.m1.8.8.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.8.8.4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex48.m1.8.8.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.8.8.4.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S2.Ex48.m1.8.8.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.8.8.4.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.2.3">𝐼</ci></apply><ci id="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.2.2.2.2.3">𝛼</ci></apply></interval></apply><apply id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4"><times id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.1"></times><apply id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2.2.2">𝑝</ci><interval closure="open" id="S2.Ex48.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.Ex48.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.3.3.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex48.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.4.4.2.2">𝑖</ci></interval></apply><ci id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3"><plus id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.1"></plus><ci id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.2">𝐼</ci><apply id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.3">subscript</csymbol><cn id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex48.m1.9.9.5.4.3.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex48.m1.9c">\widehat{H}\left(x^{i},u^{\alpha}_{I},p_{\beta}^{I,i}\right)=L\left(x^{i},u_{I% }^{\alpha}\right)-p^{\left(I,i\right)}_{\alpha}u^{\alpha}_{I+1_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex48.m1.9d">over^ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT , italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ) = italic_L ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT ) - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_I , italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmnote5.p1.3">are independent of the coordinates <math alttext="u^{\alpha}_{I},\lvert I\rvert=k+1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote5.p1.3.m1.3"><semantics id="Thmnote5.p1.3.m1.3a"><mrow id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.cmml"><mrow id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.2.2" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.2.3.cmml"><msubsup id="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1" xref="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.2.2" xref="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.3" xref="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">I</mi><mi id="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.2.2.3" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mrow id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.2.2.2.2" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.2.2.2.1.cmml"><mo id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.2.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="Thmnote5.p1.3.m1.1.1" xref="Thmnote5.p1.3.m1.1.1.cmml">I</mi><mo id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.2.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.3" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.4" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.4.cmml"><mi id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.4.2" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.4.2.cmml">k</mi><mo id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.4.1" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.4.1.cmml">+</mo><mn id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.4.3" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.4.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote5.p1.3.m1.3b"><apply id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.cmml" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3"><eq id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.3.cmml" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.3"></eq><list id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.2.3.cmml" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.2.2"><apply id="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmnote5.p1.3.m1.2.2.1.1.1.3">𝐼</ci></apply><apply id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.2.2.2.2"><abs id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.2.2.2.1.1.cmml" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.2.2.2.2.1"></abs><ci id="Thmnote5.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote5.p1.3.m1.1.1">𝐼</ci></apply></list><apply id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.4.cmml" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.4"><plus id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.4.1.cmml" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.4.1"></plus><ci id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.4.2.cmml" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.4.2">𝑘</ci><cn id="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.4.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote5.p1.3.m1.3.3.4.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote5.p1.3.m1.3c">u^{\alpha}_{I},\lvert I\rvert=k+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote5.p1.3.m1.3d">italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT , | italic_I | = italic_k + 1</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.SSS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS2.p2.2">Let <math alttext="i_{0}:P_{0}\hookrightarrow\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">i</mi><mn id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">↪</mo><mover accent="true" id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.1" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1"><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.1">:</ci><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.2">𝑖</ci><cn id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3"><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.1">↪</ci><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3"><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.1">~</ci><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1c">i_{0}:P_{0}\hookrightarrow\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.p2.1.m1.1d">italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT : italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ↪ over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> be the canonical immersion, and define <math alttext="p_{0}:=p_{\mathcal{L}}^{\ddagger}\circ i_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">p</mi><mn id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.2.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.2.2.cmml">p</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.2.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.2.3.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">‡</mo></msubsup><mo id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml">∘</mo><msub id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mn id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.2">𝑝</ci><cn id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3"><compose id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.1"></compose><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.2.3">‡</ci></apply><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.3.2">𝑖</ci><cn id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1c">p_{0}:=p_{\mathcal{L}}^{\ddagger}\circ i_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.p2.2.m2.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT := italic_p start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT ∘ italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>; also, define the set</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex49"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="C_{0}:=p_{0}\left(P_{0}\right)\subset J^{k+1}\pi^{\ddagger}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex49.m1.1"><semantics id="S2.Ex49.m1.1a"><mrow id="S2.Ex49.m1.1.1.1" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mn id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.4.cmml">:=</mo><mrow id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mn id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.5.cmml">⊂</mo><mrow id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.cmml"><msup id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.3.2" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.3.1" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.3.3" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.1" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml">π</mi><mo id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.3.3" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex49.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex49.m1.1b"><apply id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1"><and id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1"></and><apply id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.4">assign</csymbol><apply id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><cn id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply><apply id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑝</ci><cn id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply><apply id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1"><subset id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.5"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex49.m1.1.1.1.1.1.cmml" id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1"></share><apply id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6"><times id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.1"></times><apply id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.3"><plus id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.3.2">𝜋</ci><ci id="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S2.Ex49.m1.1.1.1.1.6.3.3">‡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex49.m1.1c">C_{0}:=p_{0}\left(P_{0}\right)\subset J^{k+1}\pi^{\ddagger}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex49.m1.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT := italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) ⊂ italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS2.p2.8">We will assume that this set is a submanifold of <math alttext="J^{k+1}\pi^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1"><semantics id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1a"><mrow id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.3.1" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.3.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mo id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1b"><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1"><times id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.3"><plus id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.3.2">𝜋</ci><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1.1.3.3">‡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1c">J^{k+1}\pi^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.p2.3.m1.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. From Remark <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmnote5" title="Remark 5. ‣ 2.4.2. The Hamiltonian form associated to a Lagrangian density ‣ 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> it results that this function induces a local function <math alttext="\widetilde{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1"><semantics id="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1a"><mover accent="true" id="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1b"><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1.1"><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1.1.1">~</ci><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1.1.2">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1c">\widetilde{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.p2.4.m2.1d">over~ start_ARG italic_H end_ARG</annotation></semantics></math> on <math alttext="C_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1"><semantics id="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1a"><msub id="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1b"><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1c">C_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.p2.5.m3.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. A crucial fact about the set <math alttext="P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1"><semantics id="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1a"><msub id="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1b"><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1c">P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.p2.6.m4.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is that it can be described as the maximal set in which the form <math alttext="\Theta_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1"><semantics id="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1a"><msub id="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1b"><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1.1.2">Θ</ci><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1c">\Theta_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.p2.7.m5.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is horizontal respect to the projection <math alttext="p_{\mathcal{L}}^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1"><semantics id="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1a"><msubsup id="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.2.2" xref="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.3.cmml">‡</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1b"><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1c">p_{\mathcal{L}}^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.p2.8.m6.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>; with this fact in mind, the following consequence of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmlem4" title="Lemma 4. ‣ 2.4.1. A space of multimomenta ‣ 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> can be derived.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lem" id="Thmlem5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem5.1.1.1">Lemma 5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem5.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlem5.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlem5.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlem5.p1.3.3">Let <math alttext="{\mathcal{L}}:J^{k+1}\pi\to\wedge^{m}\left(T^{*}M\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">ℒ</mi><mo id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">:</mo><mrow id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.cmml"><msup id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.2" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mrow id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.2" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.1" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.3" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.1" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.2" rspace="0em" stretchy="false" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml">→</mo><mrow id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">∧</mo><mi id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msup><mrow id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.2">:</ci><ci id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.3">ℒ</ci><apply id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1"><ci id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.2">→</ci><apply id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3"><times id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.1"></times><apply id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.2">𝐽</ci><apply id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3"><plus id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.1"></plus><ci id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3">𝜋</ci></apply><apply id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><apply id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.2"></and><ci id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><times id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem5.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑀</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1c">{\mathcal{L}}:J^{k+1}\pi\to\wedge^{m}\left(T^{*}M\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem5.p1.1.1.m1.1d">caligraphic_L : italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π → ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M )</annotation></semantics></math> be a Lagrangian density. Then, there exists an <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem5.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlem5.p1.2.2.m2.1a"><mi id="Thmlem5.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlem5.p1.2.2.m2.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem5.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmlem5.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.2.2.m2.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem5.p1.2.2.m2.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem5.p1.2.2.m2.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form <math alttext="\Theta^{\prime}\in\Omega^{m}\left(C_{0}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><msup id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mo id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml"><msup id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.3" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.3.2.cmml">Ω</mi><mi id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.3.3" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msup><mo id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.2" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1"><in id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.2"></in><apply id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.3.3">′</ci></apply><apply id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1"><times id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.2"></times><apply id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.3.2">Ω</ci><ci id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1c">\Theta^{\prime}\in\Omega^{m}\left(C_{0}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem5.p1.3.3.m3.1d">roman_Θ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> such that</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.8)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p_{0}^{*}\Theta^{\prime}=i_{0}^{*}\Theta_{\mathcal{L}}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E8.m1.1"><semantics id="S2.E8.m1.1a"><mrow id="S2.E8.m1.1.1.1" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.m1.1.1.1.1" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">0</mn><mo id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">Θ</mi><mo id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S2.E8.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">i</mi><mn id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">0</mn><mo id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E8.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E8.m1.1b"><apply id="S2.E8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1"><eq id="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">0</cn></apply><times id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.2.3"></times></apply><apply id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.3.2">Θ</ci><ci id="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.2.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑖</ci><cn id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">0</cn></apply><times id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.3.2">Θ</ci><ci id="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.3.3.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E8.m1.1c">p_{0}^{*}\Theta^{\prime}=i_{0}^{*}\Theta_{\mathcal{L}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E8.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.SSS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS2.p3.1">We will see that this lemma characterizes uniquely the Hamiltonian form, without the use of a Hamiltonian section.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_prop" id="Thmprop2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop2.1.1.1">Proposition 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop2.2.2"> </span>(Hamiltonian form in classical variational problems)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop2.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmprop2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmprop2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmprop2.p1.2.2">The form <math alttext="\Omega^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmprop2.p1.1.1.m1.1a"><msup id="Thmprop2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmprop2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmprop2.p1.1.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmprop2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">Ω</mi><mo id="Thmprop2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmprop2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmprop2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmprop2.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmprop2.p1.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmprop2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmprop2.p1.1.1.m1.1.1.2">Ω</ci><ci id="Thmprop2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmprop2.p1.1.1.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop2.p1.1.1.m1.1c">\Omega^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop2.p1.1.1.m1.1d">roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the Hamiltonian form associated to the Lagrangian density <math alttext="{\mathcal{L}}:J^{k+1}\pi\to\wedge^{m}\left(T^{*}M\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">ℒ</mi><mo id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">:</mo><mrow id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.cmml"><msup id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.2" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mrow id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.3" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.3.2" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.3.1" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.3.3" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.1" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.3" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.2" rspace="0em" stretchy="false" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.2.cmml">→</mo><mrow id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">∧</mo><mi id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msup><mrow id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1"><ci id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.2">:</ci><ci id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.3">ℒ</ci><apply id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1"><ci id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.2">→</ci><apply id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3"><times id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.1"></times><apply id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.2">𝐽</ci><apply id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.3"><plus id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.3.1"></plus><ci id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.3.3">𝜋</ci></apply><apply id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1"><apply id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.2"></and><ci id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1"><times id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><times id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmprop2.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑀</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1c">{\mathcal{L}}:J^{k+1}\pi\to\wedge^{m}\left(T^{*}M\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop2.p1.2.2.m2.1d">caligraphic_L : italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π → ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S2.SS4.SSS2.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.SSS2.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.1">Let us see that this definition gives rise to the usual Hamiltonian form in the case of a classical variational problem; namely, we will show that <math alttext="\Theta^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1a"><msup id="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">Θ</mi><mo id="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.2">Θ</ci><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1c">\Theta^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> from Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmlem5" title="Lemma 5. ‣ 2.4.2. The Hamiltonian form associated to a Lagrangian density ‣ 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> becomes the usual Hamiltonian form</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex50"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Theta_{h}=-\widetilde{H}\eta+p_{\alpha}^{\left(I,i\right)}du^{\alpha}_{I}% \wedge\eta_{i}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex50.m1.2"><semantics id="S2.Ex50.m1.2a"><mrow id="S2.Ex50.m1.2.3" xref="S2.Ex50.m1.2.3.cmml"><msub id="S2.Ex50.m1.2.3.2" xref="S2.Ex50.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex50.m1.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex50.m1.2.3.2.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.Ex50.m1.2.3.2.3" xref="S2.Ex50.m1.2.3.2.3.cmml">h</mi></msub><mo id="S2.Ex50.m1.2.3.1" xref="S2.Ex50.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex50.m1.2.3.3" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.cmml"><mrow id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2a" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.1" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.1" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.cmml"><msubsup id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2.2.2" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2.2.3" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex50.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex50.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex50.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex50.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex50.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex50.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex50.m1.2.2.2.4.2" xref="S2.Ex50.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex50.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex50.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex50.m1.2.2.2.4.3" xref="S2.Ex50.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.1" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.3" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.1a" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.cmml"><mi id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.2.2" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.3" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.3.cmml">I</mi><mi id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.2.3" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex50.m1.2.3.3.1" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.1.cmml">∧</mo><msub id="S2.Ex50.m1.2.3.3.3" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex50.m1.2.3.3.3.2" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.3.2.cmml">η</mi><mi id="S2.Ex50.m1.2.3.3.3.3" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex50.m1.2b"><apply id="S2.Ex50.m1.2.3.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3"><eq id="S2.Ex50.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.1"></eq><apply id="S2.Ex50.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex50.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex50.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.2.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex50.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.2.3">ℎ</ci></apply><apply id="S2.Ex50.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3"><and id="S2.Ex50.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.1"></and><apply id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2"><plus id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.1"></plus><apply id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2"><minus id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2"></minus><apply id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2"><times id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.1"></times><apply id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.2"><ci id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.2.2.3">𝜂</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3"><times id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.1"></times><apply id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><interval closure="open" id="S2.Ex50.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.Ex50.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex50.m1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex50.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></interval></apply><ci id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.3">𝑑</ci><apply id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.3.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.2.3.4.3">𝐼</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex50.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex50.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex50.m1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.3.2">𝜂</ci><ci id="S2.Ex50.m1.2.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex50.m1.2.3.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex50.m1.2c">\Theta_{h}=-\widetilde{H}\eta+p_{\alpha}^{\left(I,i\right)}du^{\alpha}_{I}% \wedge\eta_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex50.m1.2d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT = - over~ start_ARG italic_H end_ARG italic_η + italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_I , italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.2">Now, from Remark <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmnote5" title="Remark 5. ‣ 2.4.2. The Hamiltonian form associated to a Lagrangian density ‣ 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> and the local characterization for <math alttext="P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1"><semantics id="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1a"><msub id="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1b"><apply id="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1c">P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.2.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> given in Remark <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmnote4" title="Remark 4 (Local description for 𝑃₀). ‣ 2.4.2. The Hamiltonian form associated to a Lagrangian density ‣ 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, we have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex51"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Theta_{0}=\widehat{H}\left(x^{i},u^{\alpha}_{I},p^{J,i}_{\alpha},\frac{% \partial L}{\partial u_{I+1_{i}}}\right)\eta+p^{J,i}_{\alpha}du^{\alpha}_{J}% \wedge\eta_{i}+\left(p^{\left[I,i\right]}_{\alpha}+\frac{\partial L}{\partial u% _{I+1_{i}}}\right)du^{\alpha}_{I}\wedge\eta_{i}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex51.m1.8"><semantics id="S2.Ex51.m1.8a"><mrow id="S2.Ex51.m1.8.8.1" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.6" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.6.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.6.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.6.2.cmml">Θ</mi><mn id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.6.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.6.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.5" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.cmml"><mrow id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.cmml"><mrow id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.5" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.5.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.5.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.5.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.5.1" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.5.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.4" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.4.cmml"><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.4" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.4.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.5" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">I</mi><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.6" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.2.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex51.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex51.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex51.m1.1.1.1.1.cmml">J</mi><mo id="S2.Ex51.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex51.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex51.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex51.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.7" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mfrac id="S2.Ex51.m1.7.7" xref="S2.Ex51.m1.7.7.cmml"><mrow id="S2.Ex51.m1.7.7.2" xref="S2.Ex51.m1.7.7.2.cmml"><mo id="S2.Ex51.m1.7.7.2.1" rspace="0em" xref="S2.Ex51.m1.7.7.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S2.Ex51.m1.7.7.2.2" xref="S2.Ex51.m1.7.7.2.2.cmml">L</mi></mrow><mrow id="S2.Ex51.m1.7.7.3" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.cmml"><mo id="S2.Ex51.m1.7.7.3.1" rspace="0em" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.2" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.2" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.1" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.3" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.3.3" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></msub></mrow></mfrac><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.8" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.4a" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.6" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.6.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.4" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.cmml"><msubsup id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2.2.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex51.m1.4.4.2.4" xref="S2.Ex51.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex51.m1.3.3.1.1.cmml">J</mi><mo id="S2.Ex51.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.Ex51.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex51.m1.4.4.2.2" xref="S2.Ex51.m1.4.4.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.1" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.3.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.1a" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.2.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.3.cmml">J</mi><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.2.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.4" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.4.cmml">∧</mo><msub id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.5" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.5.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.5.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.5.2.cmml">η</mi><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.5.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.5.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.5" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.5.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.cmml"><mrow id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex51.m1.6.6.2.4" xref="S2.Ex51.m1.6.6.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex51.m1.6.6.2.4.1" xref="S2.Ex51.m1.6.6.2.3.cmml">[</mo><mi id="S2.Ex51.m1.5.5.1.1" xref="S2.Ex51.m1.5.5.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex51.m1.6.6.2.4.2" xref="S2.Ex51.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex51.m1.6.6.2.2" xref="S2.Ex51.m1.6.6.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Ex51.m1.6.6.2.4.3" xref="S2.Ex51.m1.6.6.2.3.cmml">]</mo></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.2.1" rspace="0em" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi></mrow><mrow id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><msub id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.3.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.2a" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.2.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.3.cmml">I</mi><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.2.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.5" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.5.cmml">∧</mo><msub id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.6" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.6.cmml"><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.6.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.6.2.cmml">η</mi><mi id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.6.3" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.6.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex51.m1.8.8.1.2" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex51.m1.8b"><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1"><eq id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.5"></eq><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.6.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.6.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.6.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.6.2">Θ</ci><cn id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.6.3">0</cn></apply><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4"><and id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.5.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.5"></and><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4"><plus id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.5.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.5"></plus><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3"><and id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.4"></and><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3"><plus id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.4"></plus><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3"><times id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.4"></times><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.5.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.5"><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.5.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.5.1">^</ci><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.5.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.5.2">𝐻</ci></apply><vector id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3"><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3">𝐼</ci></apply><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.2.2">𝑝</ci><list id="S2.Ex51.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.Ex51.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.1.1.1.1">𝐽</ci><ci id="S2.Ex51.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Ex51.m1.7.7.cmml" xref="S2.Ex51.m1.7.7"><divide id="S2.Ex51.m1.7.7.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.7.7"></divide><apply id="S2.Ex51.m1.7.7.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.7.7.2"><partialdiff id="S2.Ex51.m1.7.7.2.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.7.7.2.1"></partialdiff><ci id="S2.Ex51.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.7.7.2.2">𝐿</ci></apply><apply id="S2.Ex51.m1.7.7.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3"><partialdiff id="S2.Ex51.m1.7.7.3.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.1"></partialdiff><apply id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3"><plus id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.3">subscript</csymbol><cn id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.7.7.3.2.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></vector><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.6.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.6">𝜂</ci></apply><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5"><times id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.1"></times><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2.2.2">𝑝</ci><list id="S2.Ex51.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.Ex51.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.3.3.1.1">𝐽</ci><ci id="S2.Ex51.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.4.4.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.3">𝑑</ci><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.5.4.3">𝐽</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.5.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.5.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.5.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.5.2">𝜂</ci><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.5.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.3.3.3.5.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4"><times id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.2"></times><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1"><plus id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2.2.2">𝑝</ci><interval closure="closed" id="S2.Ex51.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.6.6.2.4"><ci id="S2.Ex51.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.5.5.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex51.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.6.6.2.2">𝑖</ci></interval></apply><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3"><divide id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3"></divide><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.2"><partialdiff id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.2.1"></partialdiff><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.2.2">𝐿</ci></apply><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3"><partialdiff id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.1"></partialdiff><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3"><plus id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3">subscript</csymbol><cn id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3.2">1</cn><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.3">𝑑</ci><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.4.4.4.3">𝐼</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.6.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.6.1.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.6">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.6.2.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.6.2">𝜂</ci><ci id="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.6.3.cmml" xref="S2.Ex51.m1.8.8.1.1.4.6.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex51.m1.8c">\Theta_{0}=\widehat{H}\left(x^{i},u^{\alpha}_{I},p^{J,i}_{\alpha},\frac{% \partial L}{\partial u_{I+1_{i}}}\right)\eta+p^{J,i}_{\alpha}du^{\alpha}_{J}% \wedge\eta_{i}+\left(p^{\left[I,i\right]}_{\alpha}+\frac{\partial L}{\partial u% _{I+1_{i}}}\right)du^{\alpha}_{I}\wedge\eta_{i},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex51.m1.8d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = over^ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_J , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT , divide start_ARG ∂ italic_L end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) italic_η + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_J , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_J end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + ( italic_p start_POSTSUPERSCRIPT [ italic_I , italic_i ] end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG ∂ italic_L end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.8">where we have employed the convention <math alttext="\lvert J\rvert<k,\lvert I\rvert=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5"><semantics id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5a"><mrow id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.cmml">J</mi><mo id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.3.3" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.3.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.3" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.2.1.cmml"><mo id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.2.2" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.2.2.cmml">I</mi><mo id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.1" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.3" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5b"><apply id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.3a.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1"><lt id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1.1"></lt><apply id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1.2.2"><abs id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.4.4.1.1.2.2.1"></abs><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1">𝐽</ci></apply><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.3.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2"><eq id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.1"></eq><apply id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.2.2"><abs id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.2.2.1"></abs><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.2.2">𝐼</ci></apply><cn id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5.5.2.2.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5c">\lvert J\rvert<k,\lvert I\rvert=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.5d">| italic_J | < italic_k , | italic_I | = 1</annotation></semantics></math> for the multiindices used in this expression. Because <math alttext="p_{\mathcal{L}}^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1"><semantics id="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1a"><msubsup id="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi><mo id="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.3.cmml">‡</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1b"><apply id="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1c">p_{\mathcal{L}}^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is surjective and <math alttext="\Theta_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1"><semantics id="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1a"><msub id="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1.2.cmml">Θ</mi><mn id="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1b"><apply id="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1.2">Θ</ci><cn id="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1c">\Theta_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is <math alttext="2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1"><semantics id="S2.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1a"><mn id="S2.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.cmml">2</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1b"><cn id="S2.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1c">2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1d">2</annotation></semantics></math>-vertical with respect to the projection <math alttext="\pi_{k+1}\circ\tau_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1"><semantics id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1a"><mrow id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.cmml"><msub id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.2" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.2.cmml">π</mi><mrow id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.3.2" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.3.1" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.3.3" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.1.cmml">∘</mo><msub id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.3.2" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.3.3" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1b"><apply id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1"><compose id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.1"></compose><apply id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.2">𝜋</ci><apply id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.3"><plus id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.3.2">𝜏</ci><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1c">\pi_{k+1}\circ\tau_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.7.m5.1d">italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the form <math alttext="\Theta^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1"><semantics id="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1a"><msup id="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1.1.2.cmml">Θ</mi><mo id="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1b"><apply id="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1.1.2">Θ</ci><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1c">\Theta^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.8.m6.1d">roman_Θ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> should have the form</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex52"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Theta^{\prime}=M\eta+N^{I,i}_{\alpha}du^{\alpha}_{I}\wedge\eta_{i}+S^{\alpha,% j}_{I,i}dp^{I,i}_{\alpha}\wedge\eta_{j}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex52.m1.9"><semantics id="S2.Ex52.m1.9a"><mrow id="S2.Ex52.m1.9.9.1" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.2" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.2.2.cmml">Θ</mi><mo id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.2.3" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.1" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml">M</mi><mo id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.1" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><msubsup id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2.2.2" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2.2.2.cmml">N</mi><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2.3" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex52.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex52.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex52.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex52.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex52.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex52.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex52.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex52.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.1a" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.cmml"><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.2.2" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.3" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.3.cmml">I</mi><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.2.3" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.1" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.1.cmml">∧</mo><msub id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.3" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.2.cmml">η</mi><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.cmml"><msubsup id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.2.2.2" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml">S</mi><mrow id="S2.Ex52.m1.6.6.2.4" xref="S2.Ex52.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex52.m1.5.5.1.1" xref="S2.Ex52.m1.5.5.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex52.m1.6.6.2.4.1" xref="S2.Ex52.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex52.m1.6.6.2.2" xref="S2.Ex52.m1.6.6.2.2.cmml">i</mi></mrow><mrow id="S2.Ex52.m1.4.4.2.4" xref="S2.Ex52.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex52.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex52.m1.3.3.1.1.cmml">α</mi><mo id="S2.Ex52.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.Ex52.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex52.m1.4.4.2.2" xref="S2.Ex52.m1.4.4.2.2.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.1" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.3" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.1a" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.cmml"><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.2.2" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.3" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex52.m1.8.8.2.4" xref="S2.Ex52.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex52.m1.7.7.1.1" xref="S2.Ex52.m1.7.7.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex52.m1.8.8.2.4.1" xref="S2.Ex52.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex52.m1.8.8.2.2" xref="S2.Ex52.m1.8.8.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.1" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.1.cmml">∧</mo><msub id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.3" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.3.2.cmml">η</mi><mi id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.Ex52.m1.9.9.1.2" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex52.m1.9b"><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1"><eq id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.1"></eq><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.2.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3"><and id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.1"></and><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2"><plus id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2"><and id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.1"></and><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2"><plus id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.1"></plus><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2"><times id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2.1"></times><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.2.3">𝜂</ci></apply><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2.2.2">𝑁</ci><list id="S2.Ex52.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.Ex52.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex52.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.3">𝑑</ci><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.2.3.4.3">𝐼</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.2">𝜂</ci><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3"><times id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.1"></times><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.2.2.2">𝑆</ci><list id="S2.Ex52.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.Ex52.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.3.3.1.1">𝛼</ci><ci id="S2.Ex52.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.4.4.2.2">𝑗</ci></list></apply><list id="S2.Ex52.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.6.6.2.4"><ci id="S2.Ex52.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.5.5.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex52.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.6.6.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.3">𝑑</ci><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.2.2">𝑝</ci><list id="S2.Ex52.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.8.8.2.4"><ci id="S2.Ex52.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.7.7.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex52.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.8.8.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.3">𝛼</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.3.2">𝜂</ci><ci id="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex52.m1.9.9.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex52.m1.9c">\Theta^{\prime}=M\eta+N^{I,i}_{\alpha}du^{\alpha}_{I}\wedge\eta_{i}+S^{\alpha,% j}_{I,i}dp^{I,i}_{\alpha}\wedge\eta_{j},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex52.m1.9d">roman_Θ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_M italic_η + italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_α , italic_j end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.10">and so it results</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex53"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="M=\widetilde{H},\qquad N^{I,i}_{\alpha}=p^{I,i}_{\alpha},\qquad S^{\alpha,j}_{% I,i}=0," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex53.m1.9"><semantics id="S2.Ex53.m1.9a"><mrow id="S2.Ex53.m1.9.9.1"><mrow id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mover accent="true" id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover></mrow><mo id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">N</mi><mi id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex53.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex53.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex53.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex53.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex53.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex53.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex53.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex53.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><msubsup id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">α</mi><mrow id="S2.Ex53.m1.4.4.2.4" xref="S2.Ex53.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex53.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex53.m1.3.3.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex53.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.Ex53.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex53.m1.4.4.2.2" xref="S2.Ex53.m1.4.4.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3" rspace="2.167em" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">S</mi><mrow id="S2.Ex53.m1.8.8.2.4" xref="S2.Ex53.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex53.m1.7.7.1.1" xref="S2.Ex53.m1.7.7.1.1.cmml">I</mi><mo id="S2.Ex53.m1.8.8.2.4.1" xref="S2.Ex53.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex53.m1.8.8.2.2" xref="S2.Ex53.m1.8.8.2.2.cmml">i</mi></mrow><mrow id="S2.Ex53.m1.6.6.2.4" xref="S2.Ex53.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex53.m1.5.5.1.1" xref="S2.Ex53.m1.5.5.1.1.cmml">α</mi><mo id="S2.Ex53.m1.6.6.2.4.1" xref="S2.Ex53.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex53.m1.6.6.2.2" xref="S2.Ex53.m1.6.6.2.2.cmml">j</mi></mrow></msubsup><mo id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex53.m1.9.9.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex53.m1.9b"><apply id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1"><eq id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.2">𝑀</ci><apply id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.3"><ci id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.3.1">~</ci><ci id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.1.1.3.2">𝐻</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1"><eq id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.2">𝑁</ci><list id="S2.Ex53.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex53.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.Ex53.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex53.m1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex53.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex53.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝑝</ci><list id="S2.Ex53.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex53.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.Ex53.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex53.m1.3.3.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex53.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex53.m1.4.4.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2"><eq id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1"></eq><apply id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2">𝑆</ci><list id="S2.Ex53.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S2.Ex53.m1.6.6.2.4"><ci id="S2.Ex53.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex53.m1.5.5.1.1">𝛼</ci><ci id="S2.Ex53.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S2.Ex53.m1.6.6.2.2">𝑗</ci></list></apply><list id="S2.Ex53.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S2.Ex53.m1.8.8.2.4"><ci id="S2.Ex53.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S2.Ex53.m1.7.7.1.1">𝐼</ci><ci id="S2.Ex53.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S2.Ex53.m1.8.8.2.2">𝑖</ci></list></apply><cn id="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex53.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex53.m1.9c">M=\widetilde{H},\qquad N^{I,i}_{\alpha}=p^{I,i}_{\alpha},\qquad S^{\alpha,j}_{% I,i}=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex53.m1.9d">italic_M = over~ start_ARG italic_H end_ARG , italic_N start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT = italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT , italic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_α , italic_j end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUBSCRIPT = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.9">giving rise to the Hamiltonian form <math alttext="\Theta_{h}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1"><semantics id="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1a"><msub id="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1.1" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1.1.3.cmml">h</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1b"><apply id="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1.1.2">Θ</ci><ci id="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1.1.3">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1c">\Theta_{h}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS2.1.p1.9.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> from Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc2" title="Definition 2 (Hamilton equations for higher order field theories). ‣ 2.4.1. A space of multimomenta ‣ 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.SSS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS2.p4.1">Therefore, Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc10" title="Definition 10 (Hamiltonian form). ‣ 3.2.1. Hamiltonian form from 𝑝_𝜆 ‣ 3.2. Hamilton equations for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a> provides us with a correct generalization for this form, without having to appeal to a Hamiltonian section, which is hard to define in the general case.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS4.SSS3"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">2.4.3. </span>The projection of solutions of the Lagrangian-Hamiltonian problem</h4> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.SSS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS3.p1.1">We are ready to prove the easier part of the relationship between the unified formalism and its Hamiltonian counterpart. It is analogous to the situation discussed in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS3" title="2.3. Lagrangian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.3</span></a>, where you first prove that solutions project adequately, and then attack the (in general harder) problem of lift them.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_prop" id="Thmprop3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop3.1.1.1">Proposition 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmprop3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmprop3.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmprop3.p1.3.3">Let <math alttext="\sigma:U\subset M\to P_{0}\subset\widetilde{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">⊂</mo><mi id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.4" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.4.cmml">M</mi><mo id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.5" stretchy="false" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.5.cmml">→</mo><msub id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.6" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.6.cmml"><mi id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.6.2" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.6.2.cmml">P</mi><mn id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.6.3" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.6.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.7" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.7.cmml">⊂</mo><mover accent="true" id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.cmml"><msub id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.2" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.2.cmml"><mi id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.2.2" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.2.3" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.1" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.1.cmml">~</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.1">:</ci><ci id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.2">𝜎</ci><apply id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3"><and id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3"></and><apply id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3b.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3"><subset id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.3"></subset><ci id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.4.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.4">𝑀</ci></apply><apply id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3c.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.5.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.4.cmml" id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3d.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3"></share><apply id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.6.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.6.1.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.6">subscript</csymbol><ci id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.6.2.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.6.2">𝑃</ci><cn id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.6.3.cmml" type="integer" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.6.3">0</cn></apply></apply><apply id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3e.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3"><subset id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.7.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.7"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.6.cmml" id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3f.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3"></share><apply id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8"><ci id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.1.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.1">~</ci><apply id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.2.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.2.1.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.2">subscript</csymbol><ci id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.2.2.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.2.3.cmml" xref="Thmprop3.p1.1.1.m1.1.1.3.8.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1c">\sigma:U\subset M\to P_{0}\subset\widetilde{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop3.p1.1.1.m1.1d">italic_σ : italic_U ⊂ italic_M → italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⊂ over~ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> be a solution for the Lagrangian-Hamiltonian problem posed by <math alttext="{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmprop3.p1.2.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmprop3.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmprop3.p1.2.2.m2.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop3.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmprop3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmprop3.p1.2.2.m2.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop3.p1.2.2.m2.1c">{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop3.p1.2.2.m2.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math> with associated Hamiltonian form <math alttext="\Omega_{h}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop3.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmprop3.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmprop3.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmprop3.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmprop3.p1.3.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmprop3.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">Ω</mi><mi id="Thmprop3.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmprop3.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">h</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop3.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmprop3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmprop3.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop3.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmprop3.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmprop3.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmprop3.p1.3.3.m3.1.1.2">Ω</ci><ci id="Thmprop3.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmprop3.p1.3.3.m3.1.1.3">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop3.p1.3.3.m3.1c">\Omega_{h}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop3.p1.3.3.m3.1d">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then the section</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex54"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi:=p_{0}\circ\sigma:U\to C_{0}\subset J^{k+1}\pi^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex54.m1.1"><semantics id="S2.Ex54.m1.1a"><mrow id="S2.Ex54.m1.1.1" xref="S2.Ex54.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex54.m1.1.1.2" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex54.m1.1.1.2.2" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.Ex54.m1.1.1.2.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.1.cmml">:=</mo><mrow id="S2.Ex54.m1.1.1.2.3" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">p</mi><mn id="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.2.3" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.1.cmml">∘</mo><mi id="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.3.cmml">σ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.Ex54.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex54.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.Ex54.m1.1.1.3" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex54.m1.1.1.3.2" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="S2.Ex54.m1.1.1.3.3" stretchy="false" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.3.cmml">→</mo><msub id="S2.Ex54.m1.1.1.3.4" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.Ex54.m1.1.1.3.4.2" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.4.2.cmml">C</mi><mn id="S2.Ex54.m1.1.1.3.4.3" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.Ex54.m1.1.1.3.5" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.5.cmml">⊂</mo><mrow id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.cmml"><msup id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.cmml"><mi id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.2" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.3" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.3.2" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.3.1" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.3.3" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.1" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.3" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.3.cmml"><mi id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.3.2" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.3.2.cmml">π</mi><mo id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.3.3" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex54.m1.1b"><apply id="S2.Ex54.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1"><ci id="S2.Ex54.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.1">:</ci><apply id="S2.Ex54.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex54.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.1">assign</csymbol><ci id="S2.Ex54.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.2">𝜓</ci><apply id="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.3"><compose id="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.1"></compose><apply id="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.2.2">𝑝</ci><cn id="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.2.3">0</cn></apply><ci id="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.2.3.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex54.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3"><and id="S2.Ex54.m1.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3"></and><apply id="S2.Ex54.m1.1.1.3b.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3"><ci id="S2.Ex54.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.3">→</ci><ci id="S2.Ex54.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.2">𝑈</ci><apply id="S2.Ex54.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex54.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex54.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.4.2">𝐶</ci><cn id="S2.Ex54.m1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.4.3">0</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex54.m1.1.1.3c.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3"><subset id="S2.Ex54.m1.1.1.3.5.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.5"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex54.m1.1.1.3.4.cmml" id="S2.Ex54.m1.1.1.3d.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3"></share><apply id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6"><times id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.1.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.1"></times><apply id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.1.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.2.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.3.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.3"><plus id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.3.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.3.1.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.3.2.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.3.2">𝜋</ci><ci id="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.3.3.cmml" xref="S2.Ex54.m1.1.1.3.6.3.3">‡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex54.m1.1c">\psi:=p_{0}\circ\sigma:U\to C_{0}\subset J^{k+1}\pi^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex54.m1.1d">italic_ψ := italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_σ : italic_U → italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⊂ italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmprop3.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmprop3.p1.4.1">is a solution for the Hamilton equations determined by the Hamiltonian form <math alttext="\Omega_{h}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop3.p1.4.1.m1.1"><semantics id="Thmprop3.p1.4.1.m1.1a"><msub id="Thmprop3.p1.4.1.m1.1.1" xref="Thmprop3.p1.4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmprop3.p1.4.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmprop3.p1.4.1.m1.1.1.2.cmml">Ω</mi><mi id="Thmprop3.p1.4.1.m1.1.1.3" xref="Thmprop3.p1.4.1.m1.1.1.3.cmml">h</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop3.p1.4.1.m1.1b"><apply id="Thmprop3.p1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmprop3.p1.4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop3.p1.4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmprop3.p1.4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmprop3.p1.4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmprop3.p1.4.1.m1.1.1.2">Ω</ci><ci id="Thmprop3.p1.4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmprop3.p1.4.1.m1.1.1.3">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop3.p1.4.1.m1.1c">\Omega_{h}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop3.p1.4.1.m1.1d">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S2.SS4.SSS3.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S2.SS4.SSS3.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.11">We have to prove that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.9)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi^{*}\left(X\lrcorner d\Theta_{h}\right)=0" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E9.m1.1"><semantics id="S2.E9.m1.1a"><mrow id="S2.E9.m1.1.1" xref="S2.E9.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.1.1.1" xref="S2.E9.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E9.m1.1.1.1.3" xref="S2.E9.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E9.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.E9.m1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E9.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.E9.m1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.E9.m1.1.1.1.2" xref="S2.E9.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">h</mi></msub></mrow><mo id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E9.m1.1.1.2" xref="S2.E9.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S2.E9.m1.1.1.3" xref="S2.E9.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E9.m1.1b"><apply id="S2.E9.m1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1"><eq id="S2.E9.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.2"></eq><apply id="S2.E9.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1"><times id="S2.E9.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E9.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E9.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><times id="S2.E9.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1.1.1.1.1.5.3">ℎ</ci></apply></apply></apply><cn id="S2.E9.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E9.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E9.m1.1c">\psi^{*}\left(X\lrcorner d\Theta_{h}\right)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E9.m1.1d">italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT ) = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4">for every <math alttext="X\in\mathfrak{X}^{V\left(\pi_{k}\circ\overline{\tau^{m}_{k}}\right)}\left(C_{0% }\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.3.cmml">X</mi><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.cmml"><msup id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3.2.cmml">𝔛</mi><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">V</mi><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">π</mi><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><mover accent="true" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2b"><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2"><in id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.2"></in><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.3">𝑋</ci><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1"><times id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.3.2">𝔛</ci><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1"><times id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3">𝑉</ci><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><compose id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></compose><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜋</ci><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜏</ci><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2c">X\in\mathfrak{X}^{V\left(\pi_{k}\circ\overline{\tau^{m}_{k}}\right)}\left(C_{0% }\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.1.m1.2d">italic_X ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V ( italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∘ over¯ start_ARG italic_τ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, using the fact that <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS4.SSS3.1.p1.2.m2.1a"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.2.m2.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.2.m2.1b"><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.2.m2.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.2.m2.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.2.m2.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> is a solution for the Lagrangian-Hamiltonian problem associated to <math alttext="{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.SS4.SSS3.1.p1.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.3.m3.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.3.m3.1b"><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.3.m3.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.3.m3.1c">{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.3.m3.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math>. Now, the map <math alttext="p_{0}:P_{0}\to C_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">p</mi><mn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.2.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">→</mo><msub id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">C</mi><mn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1b"><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1"><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.1">:</ci><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.2.2">𝑝</ci><cn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3"><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.1">→</ci><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.2.3">0</cn></apply><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.3.2">𝐶</ci><cn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1.1.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1c">p_{0}:P_{0}\to C_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.4.m4.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT : italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT → italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a surjective submersion, and so we can restrict the vector fields in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.E9" title="Equation 2.9 ‣ Proof. ‣ 2.4.3. The projection of solutions of the Lagrangian-Hamiltonian problem ‣ 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.9</span></a>) to be of the form</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex55"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="X:=Tp_{0}\circ Y" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex55.m1.1"><semantics id="S2.Ex55.m1.1a"><mrow id="S2.Ex55.m1.1.1" xref="S2.Ex55.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex55.m1.1.1.2" xref="S2.Ex55.m1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.Ex55.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.Ex55.m1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S2.Ex55.m1.1.1.3" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex55.m1.1.1.3.2" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">p</mi><mn id="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S2.Ex55.m1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.1.cmml">∘</mo><mi id="S2.Ex55.m1.1.1.3.3" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.3.cmml">Y</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex55.m1.1b"><apply id="S2.Ex55.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex55.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex55.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex55.m1.1.1.1">assign</csymbol><ci id="S2.Ex55.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex55.m1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S2.Ex55.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3"><compose id="S2.Ex55.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.1"></compose><apply id="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.2"><times id="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex55.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex55.m1.1.1.3.3">𝑌</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex55.m1.1c">X:=Tp_{0}\circ Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex55.m1.1d">italic_X := italic_T italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_Y</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.9">for <math alttext="Y\in\mathfrak{X}^{V\left(\pi_{k+1}\circ\tau_{0}\right)}\left(P_{0}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2"><semantics id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2a"><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.3.cmml">Y</mi><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.cmml"><msup id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.3.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.3.2.cmml">𝔛</mi><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.3.cmml">V</mi><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">π</mi><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msub id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2b"><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2"><in id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.2"></in><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.3">𝑌</ci><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1"><times id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.3.2">𝔛</ci><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1"><times id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.3">𝑉</ci><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1"><compose id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.1"></compose><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜋</ci><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><cn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2.2.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2c">Y\in\mathfrak{X}^{V\left(\pi_{k+1}\circ\tau_{0}\right)}\left(P_{0}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.5.m1.2d">italic_Y ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V ( italic_π start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, with <math alttext="\tau_{0}:P_{0}\to J^{k+1}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1"><semantics id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1a"><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.cmml"><msub id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.2.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.2.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.1.cmml">→</mo><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.cmml"><msup id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.3.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.3.cmml">π</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1b"><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1"><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.1">:</ci><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.2.2">𝜏</ci><cn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3"><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.1">→</ci><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.2.3">0</cn></apply><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3"><times id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.1"></times><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.2">𝐽</ci><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.3"><plus id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1.1.3.3.3">𝜋</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1c">\tau_{0}:P_{0}\to J^{k+1}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.6.m2.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT : italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT → italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math> the restriction of <math alttext="\tau_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1"><semantics id="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1a"><msub id="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1.1.2.cmml">τ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1b"><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1.1.2">𝜏</ci><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1c">\tau_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.7.m3.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to <math alttext="P_{0}\subset\widetilde{W}_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1"><semantics id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1a"><mrow id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.cmml"><msub id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.2.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.2.2.cmml">P</mi><mn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.2.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.1.cmml">⊂</mo><msub id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.2.2" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mo id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.2.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.3" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1b"><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1"><subset id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.1"></subset><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.2.2">𝑃</ci><cn id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.2"><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.2.2">𝑊</ci></apply><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1.1.3.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1c">P_{0}\subset\widetilde{W}_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.8.m4.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⊂ over~ start_ARG italic_W end_ARG start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Therefore the Hamilton equations for <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.9.m5.1"><semantics id="S2.SS4.SSS3.1.p1.9.m5.1a"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.9.m5.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.9.m5.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.9.m5.1b"><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.9.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.9.m5.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.9.m5.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.9.m5.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> will read</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx2"> <tbody id="S2.Ex56"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\psi^{*}\left(X\lrcorner d\Theta_{h}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex56.m1.1"><semantics id="S2.Ex56.m1.1a"><mrow id="S2.Ex56.m1.1.1" xref="S2.Ex56.m1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex56.m1.1.1.3" xref="S2.Ex56.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex56.m1.1.1.3.2" xref="S2.Ex56.m1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.Ex56.m1.1.1.3.3" xref="S2.Ex56.m1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex56.m1.1.1.2" xref="S2.Ex56.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">h</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex56.m1.1b"><apply id="S2.Ex56.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex56.m1.1.1"><times id="S2.Ex56.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex56.m1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex56.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex56.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex56.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex56.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex56.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex56.m1.1.1.3.2">𝜓</ci><times id="S2.Ex56.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex56.m1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.Ex56.m1.1.1.1.1.1.5.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex56.m1.1c">\displaystyle\psi^{*}\left(X\lrcorner d\Theta_{h}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex56.m1.1d">italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(p_{0}\circ\sigma\right)^{*}\left(\left(Tp_{0}\circ Y\right% )\lrcorner d\Theta_{h}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex56.m2.2"><semantics id="S2.Ex56.m2.2a"><mrow id="S2.Ex56.m2.2.2" xref="S2.Ex56.m2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex56.m2.2.2.4" xref="S2.Ex56.m2.2.2.4.cmml"></mi><mo id="S2.Ex56.m2.2.2.3" xref="S2.Ex56.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex56.m2.2.2.2" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.cmml"><msup id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mn id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><mi id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mo id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex56.m2.2.2.2.3" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.2" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mn id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><mi id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">Y</mi></mrow><mo id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.2a" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.4" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.2b" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.5" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.5.cmml"><mi id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.5.3" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.5.3.cmml">h</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.3" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex56.m2.2b"><apply id="S2.Ex56.m2.2.2.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2"><eq id="S2.Ex56.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex56.m2.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.4">absent</csymbol><apply id="S2.Ex56.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2"><times id="S2.Ex56.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.3"></times><apply id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1"><compose id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></compose><apply id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑝</ci><cn id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜎</ci></apply><times id="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex56.m2.1.1.1.1.3"></times></apply><apply id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1"><times id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1"><compose id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"></compose><apply id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><apply id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑌</ci></apply><ci id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.3">⌟</ci><ci id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.5.2.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.5.3.cmml" xref="S2.Ex56.m2.2.2.2.2.1.1.5.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex56.m2.2c">\displaystyle=\left(p_{0}\circ\sigma\right)^{*}\left(\left(Tp_{0}\circ Y\right% )\lrcorner d\Theta_{h}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex56.m2.2d">= ( italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_σ ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( ( italic_T italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_Y ) ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex57"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sigma^{*}\left(Y\lrcorner d\left(p_{0}\right)^{*}\Theta_{h}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex57.m1.1"><semantics id="S2.Ex57.m1.1a"><mrow id="S2.Ex57.m1.1.1" xref="S2.Ex57.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex57.m1.1.1.3" xref="S2.Ex57.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S2.Ex57.m1.1.1.2" xref="S2.Ex57.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex57.m1.1.1.1" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex57.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex57.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex57.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex57.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Y</mi><mo id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">⌟</mi><mo id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mn id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.2c" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.6.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.6.3" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml">h</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex57.m1.1b"><apply id="S2.Ex57.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1"><eq id="S2.Ex57.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex57.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S2.Ex57.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex57.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex57.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex57.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex57.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><times id="S2.Ex57.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑌</ci><ci id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.4">⌟</ci><ci id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.5">𝑑</ci><apply id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑝</ci><cn id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><times id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply><apply id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.6.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S2.Ex57.m1.1.1.1.1.1.1.6.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex57.m1.1c">\displaystyle=\sigma^{*}\left(Y\lrcorner d\left(p_{0}\right)^{*}\Theta_{h}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex57.m1.1d">= italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Y ⌟ italic_d ( italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex58"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sigma^{*}\left(Y\lrcorner d\Theta_{0}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex58.m1.1"><semantics id="S2.Ex58.m1.1a"><mrow id="S2.Ex58.m1.1.1" xref="S2.Ex58.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex58.m1.1.1.3" xref="S2.Ex58.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S2.Ex58.m1.1.1.2" xref="S2.Ex58.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex58.m1.1.1.1" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex58.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex58.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex58.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex58.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mn id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex58.m1.1b"><apply id="S2.Ex58.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1"><eq id="S2.Ex58.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex58.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S2.Ex58.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex58.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex58.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex58.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex58.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><times id="S2.Ex58.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.5.2">Θ</ci><cn id="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.5.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex58.m1.1c">\displaystyle=\sigma^{*}\left(Y\lrcorner d\Theta_{0}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex58.m1.1d">= italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Y ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.12">where Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmlem5" title="Lemma 5. ‣ 2.4.2. The Hamiltonian form associated to a Lagrangian density ‣ 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> was used. Then</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex59"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi^{*}\left(X\lrcorner d\Theta_{h}\right)=\sigma^{*}\left(Y\lrcorner d\Theta% _{0}\right)=0," class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex59.m1.1"><semantics id="S2.Ex59.m1.1a"><mrow id="S2.Ex59.m1.1.1.1" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">h</mi></msub></mrow><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1a" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1b" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mn id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5.3" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.5" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.6" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.Ex59.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex59.m1.1b"><apply id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1"><and id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1"></and><apply id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><times id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3">ℎ</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝜎</ci><times id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.3.3"></times></apply><apply id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5.2">Θ</ci><cn id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5.3">0</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.Ex59.m1.1.1.1.1.2.cmml" id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1"></share><cn id="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S2.Ex59.m1.1.1.1.1.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex59.m1.1c">\psi^{*}\left(X\lrcorner d\Theta_{h}\right)=\sigma^{*}\left(Y\lrcorner d\Theta% _{0}\right)=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex59.m1.1d">italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Y ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.10">and so <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.10.m1.1"><semantics id="S2.SS4.SSS3.1.p1.10.m1.1a"><mi id="S2.SS4.SSS3.1.p1.10.m1.1.1" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.10.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.10.m1.1b"><ci id="S2.SS4.SSS3.1.p1.10.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS4.SSS3.1.p1.10.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.10.m1.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS4.SSS3.1.p1.10.m1.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> is a solution for the Hamilton equations, as required. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_note" id="Thmnote6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote6.1.1.1">Remark 6</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote6.2.2"> </span>(On singular Lagrangians)<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote6.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmnote6.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmnote6.p1.1">This result should be compared with Proposition <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote6.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmnote6.p1.1.m1.1a"><mn id="Thmnote6.p1.1.m1.1.1" xref="Thmnote6.p1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote6.p1.1.m1.1b"><cn id="Thmnote6.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmnote6.p1.1.m1.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote6.p1.1.m1.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote6.p1.1.m1.1d">1</annotation></semantics></math> from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Prieto-Martinez2015203</span>]</cite>. According to these authors, in the singular Lagrangian case, the construction of the solution of Hamilton equations require the projection onto the Lagrangian side and the translation along the Legendre transformation. The proof given here seems to work well without having regularity conditions imposed on the Lagrangian.</p> </div> </div> </section> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3. </span>The Hamilton equations for general variational problems</h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.1">We will devote this section to construct a set of Hamilton-like equations of motion for a general variational problem <math alttext="\left(\pi:W\to M,\lambda,{\mathcal{I}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.1.m1.4"><semantics id="S3.p1.1.m1.4a"><mrow id="S3.p1.1.m1.4.4.1" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mo id="S3.p1.1.m1.4.4.1.2" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p1.1.m1.4.4.1.1" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">W</mi><mo id="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">→</mo><mrow id="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.1.1.cmml">M</mi><mo id="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.3.2.1" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p1.1.m1.2.2" xref="S3.p1.1.m1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.p1.1.m1.3.3" xref="S3.p1.1.m1.3.3.cmml">ℐ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.p1.1.m1.4.4.1.3" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.1.m1.4b"><apply id="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1"><ci id="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.1">:</ci><ci id="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.2">𝜋</ci><apply id="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3"><ci id="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.1">→</ci><ci id="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.2">𝑊</ci><list id="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.4.4.1.1.3.3.2"><ci id="S3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1">𝑀</ci><ci id="S3.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.p1.1.m1.3.3">ℐ</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.1.m1.4c">\left(\pi:W\to M,\lambda,{\mathcal{I}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.1.m1.4d">( italic_π : italic_W → italic_M , italic_λ , caligraphic_I )</annotation></semantics></math>. With the aim of carry out this task, we will use the general construction devised in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">GotayCartan</span>]</cite> in order to formulate a unified formalism for a general variational problem. As we showed in the previous section for the classical variational problem case, the Hamilton equations can be obtained directly from this formulation, without the need of defining a Hamiltonian section.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.1. </span>Unified formalism for general variational problems</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.7">Let us suppose that we have a general variational problem given by the triple</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left(\pi:W\to M,\lambda,{\mathcal{I}}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E1.m1.4"><semantics id="S3.E1.m1.4a"><mrow id="S3.E1.m1.4.4.1"><mrow id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mo id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mrow id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.cmml">M</mi><mo id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E1.m1.2.2" xref="S3.E1.m1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E1.m1.3.3" xref="S3.E1.m1.3.3.cmml">ℐ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E1.m1.4.4.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E1.m1.4b"><apply id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1"><ci id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.1">:</ci><ci id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3"><ci id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.1">→</ci><ci id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">𝑊</ci><list id="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S3.E1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1">𝑀</ci><ci id="S3.E1.m1.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.E1.m1.3.3.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3">ℐ</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E1.m1.4c">\left(\pi:W\to M,\lambda,{\mathcal{I}}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E1.m1.4d">( italic_π : italic_W → italic_M , italic_λ , caligraphic_I ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.4">where <math alttext="\pi:W\to M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1">:</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3"><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1">→</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.1.m1.1c">\pi:W\to M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.1.m1.1d">italic_π : italic_W → italic_M</annotation></semantics></math> is a bundle, <math alttext="\lambda\in\Omega^{m}\left(W\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.cmml"><msup id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2.2.cmml">Ω</mi><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2.3" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.cmml">m</mi></msup><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.3.2.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">W</mi><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2"><in id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.1"></in><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.2">𝜆</ci><apply id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3"><times id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2.2">Ω</ci><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.2.3.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1">𝑊</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.2.m2.1c">\lambda\in\Omega^{m}\left(W\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.2.m2.1d">italic_λ ∈ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W )</annotation></semantics></math> is the so called <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S3.SS1.p1.4.1">Lagrangian form</em> and <math alttext="{\mathcal{I}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p1.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.3.m3.1c">{\mathcal{I}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.3.m3.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math> is an ideal in <math alttext="\Omega^{\bullet}\left(W\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.cmml"><msup id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.2.cmml">Ω</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.cmml">∙</mo></msup><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.3.2.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml">W</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2"><times id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.1"></times><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.2">Ω</ci><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.2.2.3">∙</ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.4.m4.1c">\Omega^{\bullet}\left(W\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.4.m4.1d">roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT ∙ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W )</annotation></semantics></math> closed by exterior differentiation. The underlying variational problem is given by the action</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="S\left[\sigma\right]:=\int_{K}\sigma^{*}\lambda,\qquad K\subset M" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex1.m1.3"><semantics id="S3.Ex1.m1.3a"><mrow id="S3.Ex1.m1.3.3.2" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.3.2.1" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex1.m1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" rspace="0.278em" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1.2" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1.3" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1.3.cmml">K</mi></msub><mrow id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><msup id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.3.3.2.2" xref="S3.Ex1.m1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex1.m1.3.3.2.2.2.cmml">K</mi><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.2.2.1" xref="S3.Ex1.m1.3.3.2.2.1.cmml">⊂</mo><mi id="S3.Ex1.m1.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex1.m1.3.3.2.2.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex1.m1.3b"><apply id="S3.Ex1.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.3.3.3a.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2"><times id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.2">𝑆</ci><apply id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3"><apply id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1.2"></int><ci id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2"><times id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2.2">𝜎</ci><times id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.2.3"></times></apply><ci id="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex1.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.2.2"><subset id="S3.Ex1.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.2.2.1"></subset><ci id="S3.Ex1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.2.2.2">𝐾</ci><ci id="S3.Ex1.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.2.2.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex1.m1.3c">S\left[\sigma\right]:=\int_{K}\sigma^{*}\lambda,\qquad K\subset M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex1.m1.3d">italic_S [ italic_σ ] := ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_K end_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ , italic_K ⊂ italic_M</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.6">restricted to sections <math alttext="\sigma:M\to W" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.5.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.5.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.3.2.cmml">M</mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.3.3.cmml">W</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.5.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1"><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.1">:</ci><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.2">𝜎</ci><apply id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.3"><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.3.1">→</ci><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.3.2">𝑀</ci><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.3.3">𝑊</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.5.m1.1c">\sigma:M\to W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.5.m1.1d">italic_σ : italic_M → italic_W</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\sigma^{*}{\mathcal{I}}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.6.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.6.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.cmml"><msup id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.2.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.3.cmml">ℐ</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.6.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1"><eq id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2"><times id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.1"></times><apply id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.2.2">𝜎</ci><times id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.2.3"></times></apply><ci id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.2.3">ℐ</ci></apply><cn id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.6.m2.1c">\sigma^{*}{\mathcal{I}}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.6.m2.1d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_I = 0</annotation></semantics></math> (these kind of sections will be called <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S3.SS1.p1.6.1">admissible sections</em>).</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_example" id="Thmexample1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmexample1.1.1.1">Example 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmexample1.2.2"> </span>(Classical variational problem)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmexample1.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmexample1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmexample1.p1.4">When <math alttext="W=J^{k+1}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample1.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmexample1.p1.1.m1.1a"><mrow id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.1" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mrow id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.3" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">π</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample1.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1"><eq id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.2">𝑊</ci><apply id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3"><times id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.1"></times><apply id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.2">𝐽</ci><apply id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.3"><plus id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1"></plus><ci id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.1.m1.1.1.3.3">𝜋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample1.p1.1.m1.1c">W=J^{k+1}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample1.p1.1.m1.1d">italic_W = italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math>, <math alttext="\lambda={\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample1.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmexample1.p1.2.m2.1a"><mrow id="Thmexample1.p1.2.m2.1.1" xref="Thmexample1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.2.m2.1.1.2" xref="Thmexample1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="Thmexample1.p1.2.m2.1.1.1" xref="Thmexample1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmexample1.p1.2.m2.1.1.3" xref="Thmexample1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">ℒ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample1.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmexample1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.2.m2.1.1"><eq id="Thmexample1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="Thmexample1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.2.m2.1.1.2">𝜆</ci><ci id="Thmexample1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.2.m2.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample1.p1.2.m2.1c">\lambda={\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample1.p1.2.m2.1d">italic_λ = caligraphic_L</annotation></semantics></math> and <math alttext="{\mathcal{I}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample1.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmexample1.p1.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmexample1.p1.3.m3.1.1" xref="Thmexample1.p1.3.m3.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample1.p1.3.m3.1b"><ci id="Thmexample1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.3.m3.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample1.p1.3.m3.1c">{\mathcal{I}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample1.p1.3.m3.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math> is the differential ideal on <math alttext="J^{k+1}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample1.p1.4.m4.1"><semantics id="Thmexample1.p1.4.m4.1a"><mrow id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.cmml"><msup id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.3.2" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.3.1" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.3.3" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.1" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.3" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample1.p1.4.m4.1b"><apply id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1"><times id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.1"></times><apply id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.3"><plus id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.3.1"></plus><ci id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmexample1.p1.4.m4.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample1.p1.4.m4.1c">J^{k+1}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample1.p1.4.m4.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math> generated by the contact forms, this variational problem reduces to the classical variational problem considered in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2" title="2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>.</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_example" id="Thmexample2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmexample2.1.1.1">Example 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmexample2.2.2"> </span>(Vakonomic Herglotz variational problem)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmexample2.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmexample2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmexample2.p1.1">Let us consider the Herglotz variational problem for this viewpoint <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">gaset2022herglotz</span>]</cite>. For <math alttext="\pi:P\to M" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample2.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmexample2.p1.1.m1.1a"><mrow id="Thmexample2.p1.1.m1.1.1" xref="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample2.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.1.m1.1.1"><ci id="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.1">:</ci><ci id="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.3"><ci id="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.3.1">→</ci><ci id="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample2.p1.1.m1.1c">\pi:P\to M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample2.p1.1.m1.1d">italic_π : italic_P → italic_M</annotation></semantics></math> let us define the <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmexample2.p1.1.1">Herglotz bundle</em></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="H_{\pi}:=J^{1}\pi\times_{M}\wedge^{m-1}\left(T^{*}M\right)." class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.Ex2.m1.1"><semantics id="S3.Ex2.m1.1a"><mrow id="S3.Ex2.m1.1b"><msub id="S3.Ex2.m1.1.1"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.2">H</mi><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.3">π</mi></msub><mo id="S3.Ex2.m1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:=</mo><msup id="S3.Ex2.m1.1.3"><mi id="S3.Ex2.m1.1.3.2">J</mi><mn id="S3.Ex2.m1.1.3.3">1</mn></msup><mi id="S3.Ex2.m1.1.4">π</mi><msub id="S3.Ex2.m1.1.5"><mo id="S3.Ex2.m1.1.5.2" lspace="0.222em" rspace="0em">×</mo><mi id="S3.Ex2.m1.1.5.3">M</mi></msub><msup id="S3.Ex2.m1.1.6"><mo id="S3.Ex2.m1.1.6.2" lspace="0em">∧</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.1.6.3"><mi id="S3.Ex2.m1.1.6.3.2">m</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.6.3.1">−</mo><mn id="S3.Ex2.m1.1.6.3.3">1</mn></mrow></msup><mrow id="S3.Ex2.m1.1.7"><mo id="S3.Ex2.m1.1.7.1">(</mo><msup id="S3.Ex2.m1.1.7.2"><mi id="S3.Ex2.m1.1.7.2.2">T</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.7.2.3">∗</mo></msup><mi id="S3.Ex2.m1.1.7.3">M</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.7.4">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.1.8" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2.m1.1c">H_{\pi}:=J^{1}\pi\times_{M}\wedge^{m-1}\left(T^{*}M\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_π end_POSTSUBSCRIPT := italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π × start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmexample2.p1.2">In terms of local coordinates, any element <math alttext="z\in\wedge^{m-1}\left(T^{*}M\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample2.p1.2.m1.1"><semantics id="Thmexample2.p1.2.m1.1a"><mrow id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.3.cmml">z</mi><mo id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.2" rspace="0em" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.2.cmml">∧</mo><mrow id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.3" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.3.2" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.3.1" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.3.3" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mrow id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample2.p1.2.m1.1b"><apply id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1"><in id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.2"></in><ci id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.3">𝑧</ci><apply id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1"><apply id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.2"></and><apply id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.3"><minus id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.3.1"></minus><ci id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.3.2">𝑚</ci><cn id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1"><times id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><times id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.2.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑀</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample2.p1.2.m1.1c">z\in\wedge^{m-1}\left(T^{*}M\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample2.p1.2.m1.1d">italic_z ∈ ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M )</annotation></semantics></math> can be written as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="z=z^{i}\eta_{i}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex3.m1.1"><semantics id="S3.Ex3.m1.1a"><mrow id="S3.Ex3.m1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3.m1.1b"><apply id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3.m1.1c">z=z^{i}\eta_{i}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3.m1.1d">italic_z = italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmexample2.p1.10">Note that we have a canonical <math alttext="\left(m-1\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample2.p1.3.m1.1"><semantics id="Thmexample2.p1.3.m1.1a"><mrow id="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample2.p1.3.m1.1b"><apply id="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1"><minus id="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><cn id="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample2.p1.3.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample2.p1.3.m1.1c">\left(m-1\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample2.p1.3.m1.1d">( italic_m - 1 )</annotation></semantics></math>-form <math alttext="\Theta_{m-1}\in\Omega^{m-1}\left(\wedge^{m-1}\left(T^{*}M\right)\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample2.p1.4.m2.1"><semantics id="Thmexample2.p1.4.m2.1a"><mrow id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.cmml"><msub id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mrow id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.3" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.3.2" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.3.1" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.3.3" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.cmml"><msup id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.2.cmml">Ω</mi><mrow id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.3" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.3.2" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.3.1" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∧</mo><mrow id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mrow id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample2.p1.4.m2.1b"><apply id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1"><in id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.2"></in><apply id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.2">Θ</ci><apply id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.3"><minus id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.3.1"></minus><ci id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1"><times id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.2"></times><apply id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.2">Ω</ci><apply id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.3"><minus id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.3.1"></minus><ci id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1"><apply id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.2"></and><apply id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3"><minus id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></minus><ci id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑚</ci><cn id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><times id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑀</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample2.p1.4.m2.1c">\Theta_{m-1}\in\Omega^{m-1}\left(\wedge^{m-1}\left(T^{*}M\right)\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample2.p1.4.m2.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT ∈ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M ) )</annotation></semantics></math> that can be pulled back to <math alttext="H_{\pi}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample2.p1.5.m3.1"><semantics id="Thmexample2.p1.5.m3.1a"><msub id="Thmexample2.p1.5.m3.1.1" xref="Thmexample2.p1.5.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.5.m3.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.5.m3.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="Thmexample2.p1.5.m3.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.5.m3.1.1.3.cmml">π</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample2.p1.5.m3.1b"><apply id="Thmexample2.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p1.5.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmexample2.p1.5.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.5.m3.1.1.2">𝐻</ci><ci id="Thmexample2.p1.5.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.5.m3.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample2.p1.5.m3.1c">H_{\pi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample2.p1.5.m3.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_π end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>; we will indicate this pullback with the same symbol. Also, given a Lagrangian density <math alttext="{\mathcal{L}}:J^{1}\pi\to\wedge^{m}\left(T^{*}M\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample2.p1.6.m4.1"><semantics id="Thmexample2.p1.6.m4.1a"><mrow id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.3.cmml">ℒ</mi><mo id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.2.cmml">:</mo><mrow id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.cmml"><msup id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.2" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.2.2" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mn id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.2.3" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.1" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.3" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.2" rspace="0em" stretchy="false" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.2.cmml">→</mo><mrow id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.2.2.cmml">∧</mo><mi id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.2.3" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msup><mrow id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample2.p1.6.m4.1b"><apply id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1"><ci id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.2">:</ci><ci id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.3">ℒ</ci><apply id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1"><ci id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.2">→</ci><apply id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3"><times id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.1"></times><apply id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.2.2">𝐽</ci><cn id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.3.3">𝜋</ci></apply><apply id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1"><apply id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.2.2"></and><ci id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1"><times id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><times id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑀</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample2.p1.6.m4.1c">{\mathcal{L}}:J^{1}\pi\to\wedge^{m}\left(T^{*}M\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample2.p1.6.m4.1d">caligraphic_L : italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π → ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M )</annotation></semantics></math> considered as a horizontal <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample2.p1.7.m5.1"><semantics id="Thmexample2.p1.7.m5.1a"><mi id="Thmexample2.p1.7.m5.1.1" xref="Thmexample2.p1.7.m5.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample2.p1.7.m5.1b"><ci id="Thmexample2.p1.7.m5.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.7.m5.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample2.p1.7.m5.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample2.p1.7.m5.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form on <math alttext="J^{1}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample2.p1.8.m6.1"><semantics id="Thmexample2.p1.8.m6.1a"><mrow id="Thmexample2.p1.8.m6.1.1" xref="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.cmml"><msup id="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.2.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.2.2" xref="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.2.3" xref="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.1" xref="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample2.p1.8.m6.1b"><apply id="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.8.m6.1.1"><times id="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.1"></times><apply id="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.2.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.2.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.8.m6.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample2.p1.8.m6.1c">J^{1}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample2.p1.8.m6.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math>, we can also pull it back to the Herglotz bundle. Therefore, we can define a <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample2.p1.9.m7.1"><semantics id="Thmexample2.p1.9.m7.1a"><mi id="Thmexample2.p1.9.m7.1.1" xref="Thmexample2.p1.9.m7.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample2.p1.9.m7.1b"><ci id="Thmexample2.p1.9.m7.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.9.m7.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample2.p1.9.m7.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample2.p1.9.m7.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form on <math alttext="H_{\pi}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample2.p1.10.m8.1"><semantics id="Thmexample2.p1.10.m8.1a"><msub id="Thmexample2.p1.10.m8.1.1" xref="Thmexample2.p1.10.m8.1.1.cmml"><mi id="Thmexample2.p1.10.m8.1.1.2" xref="Thmexample2.p1.10.m8.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="Thmexample2.p1.10.m8.1.1.3" xref="Thmexample2.p1.10.m8.1.1.3.cmml">π</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample2.p1.10.m8.1b"><apply id="Thmexample2.p1.10.m8.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.10.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p1.10.m8.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p1.10.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmexample2.p1.10.m8.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p1.10.m8.1.1.2">𝐻</ci><ci id="Thmexample2.p1.10.m8.1.1.3.cmml" xref="Thmexample2.p1.10.m8.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample2.p1.10.m8.1c">H_{\pi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample2.p1.10.m8.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_π end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Phi:={\mathcal{L}}-d\Theta_{m-1}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex4.m1.1"><semantics id="S3.Ex4.m1.1a"><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.cmml">Φ</mi><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">Θ</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex4.m1.1b"><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1">assign</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2">Φ</ci><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2">ℒ</ci><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">Θ</ci><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"><minus id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1"></minus><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex4.m1.1c">\Phi:={\mathcal{L}}-d\Theta_{m-1}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex4.m1.1d">roman_Φ := caligraphic_L - italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defc" id="Thmdefc4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc4.1.1.1">Definition 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc4.2.2"> </span>(Vakonomic Herglotz variational problem)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc4.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefc4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefc4.p1.5">The <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmdefc4.p1.5.1">Vakonomic Herglotz variational problem</em> is the triple</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left(H_{\pi}\to M,d\Theta_{m-1},{\mathcal{J}}_{H}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex5.m1.2"><semantics id="S3.Ex5.m1.2a"><mrow id="S3.Ex5.m1.2.2.1" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.2.2.1.2" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.4" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.4.2" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.4.2.cmml">H</mi><mi id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.4.3" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.4.3.cmml">π</mi></msub><mo id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.3.cmml">→</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml">M</mi><mo id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mrow id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">𝒥</mi><mi id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">H</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.2.2.1.3" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m1.2b"><apply id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1"><ci id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.3">→</ci><apply id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.4.2">𝐻</ci><ci id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.4.3">𝜋</ci></apply><list id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1">𝑀</ci><apply id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">Θ</ci><apply id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2.2.2">𝒥</ci><ci id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.2.2.2.3">𝐻</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex5.m1.2c">\left(H_{\pi}\to M,d\Theta_{m-1},{\mathcal{J}}_{H}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5.m1.2d">( italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_π end_POSTSUBSCRIPT → italic_M , italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT , caligraphic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmdefc4.p1.4">where <math alttext="{\mathcal{J}}_{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc4.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmdefc4.p1.1.m1.1a"><msub id="Thmdefc4.p1.1.m1.1.1" xref="Thmdefc4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc4.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmdefc4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝒥</mi><mi id="Thmdefc4.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmdefc4.p1.1.m1.1.1.3.cmml">H</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc4.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmdefc4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc4.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc4.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc4.p1.1.m1.1.1.2">𝒥</ci><ci id="Thmdefc4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc4.p1.1.m1.1.1.3">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc4.p1.1.m1.1c">{\mathcal{J}}_{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc4.p1.1.m1.1d">caligraphic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the exterior differential system on <math alttext="H_{\pi}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc4.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmdefc4.p1.2.m2.1a"><msub id="Thmdefc4.p1.2.m2.1.1" xref="Thmdefc4.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc4.p1.2.m2.1.1.2" xref="Thmdefc4.p1.2.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mi id="Thmdefc4.p1.2.m2.1.1.3" xref="Thmdefc4.p1.2.m2.1.1.3.cmml">π</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc4.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmdefc4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefc4.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc4.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc4.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc4.p1.2.m2.1.1.2">𝐻</ci><ci id="Thmdefc4.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc4.p1.2.m2.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc4.p1.2.m2.1c">H_{\pi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc4.p1.2.m2.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_π end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> generated by the (pullback of) contact forms on <math alttext="J^{1}\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc4.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmdefc4.p1.3.m3.1a"><mrow id="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1" xref="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.cmml"><msup id="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.2" xref="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.1" xref="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.3" xref="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc4.p1.3.m3.1b"><apply id="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1"><times id="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.1"></times><apply id="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc4.p1.3.m3.1.1.3">𝜋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc4.p1.3.m3.1c">J^{1}\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc4.p1.3.m3.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Phi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc4.p1.4.m4.1"><semantics id="Thmdefc4.p1.4.m4.1a"><mi id="Thmdefc4.p1.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmdefc4.p1.4.m4.1.1.cmml">Φ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc4.p1.4.m4.1b"><ci id="Thmdefc4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmdefc4.p1.4.m4.1.1">Φ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc4.p1.4.m4.1c">\Phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc4.p1.4.m4.1d">roman_Φ</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="Thmexample2.p2"> <p class="ltx_p" id="Thmexample2.p2.2">In local coordinates, it means that <math alttext="\lambda=dz^{i}\wedge\eta_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample2.p2.1.m1.1"><semantics id="Thmexample2.p2.1.m1.1a"><mrow id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.2" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.1" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.2" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.1" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.3" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.2" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">z</mi><mi id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.3" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">i</mi></msup></mrow><mo id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">∧</mo><msub id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.3.2" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">η</mi><mi id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.3.3" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample2.p2.1.m1.1b"><apply id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1"><eq id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3"><and id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.1"></and><apply id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2"><times id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.1"></times><ci id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.2">𝑑</ci><apply id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.2">𝑧</ci><ci id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.3.2">𝜂</ci><ci id="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmexample2.p2.1.m1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample2.p2.1.m1.1c">\lambda=dz^{i}\wedge\eta_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample2.p2.1.m1.1d">italic_λ = italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and every section <math alttext="\sigma\left(x\right)=\left(x,f^{\alpha}\left(x\right),f^{\alpha}_{i}\left(x% \right),\zeta^{i}\left(x\right)\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample2.p2.2.m2.8"><semantics id="Thmexample2.p2.2.m2.8a"><mrow id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.cmml"><mrow id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5.cmml"><mi id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5.2.cmml">σ</mi><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5.1" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5.3.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5.cmml"><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5.3.2.1" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5.cmml">(</mo><mi id="Thmexample2.p2.2.m2.1.1" xref="Thmexample2.p2.2.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5.3.2.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.4" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.4.cmml">=</mo><mrow id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.4.cmml"><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.4" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.4.cmml">(</mo><mi id="Thmexample2.p2.2.m2.5.5" xref="Thmexample2.p2.2.m2.5.5.cmml">x</mi><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.5" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1" xref="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.cmml"><msup id="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mi id="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.3" xref="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.3.cmml">α</mi></msup><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.1" xref="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.3.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.3.2.1" xref="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmexample2.p2.2.m2.2.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.2.2.cmml">x</mi><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.3.2.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.6" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.cmml"><msubsup id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.3" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.3" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.1" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.3.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.cmml"><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.3.2.1" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="Thmexample2.p2.2.m2.3.3" xref="Thmexample2.p2.2.m2.3.3.cmml">x</mi><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.3.2.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.7" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.cmml"><msup id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2.cmml"><mi id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2.2.cmml">ζ</mi><mi id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2.3" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2.3.cmml">i</mi></msup><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.1" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.3.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.cmml"><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.3.2.1" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="Thmexample2.p2.2.m2.4.4" xref="Thmexample2.p2.2.m2.4.4.cmml">x</mi><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.3.2.2" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.8" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample2.p2.2.m2.8b"><apply id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8"><eq id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.4.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.4"></eq><apply id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5"><times id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5.1.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5.1"></times><ci id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5.2.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.5.2">𝜎</ci><ci id="Thmexample2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.1.1">𝑥</ci></apply><vector id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.4.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3"><ci id="Thmexample2.p2.2.m2.5.5.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.5.5">𝑥</ci><apply id="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1"><times id="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.1"></times><apply id="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="Thmexample2.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2"><times id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.1"></times><apply id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.2">𝑓</ci><ci id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="Thmexample2.p2.2.m2.3.3.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.3.3">𝑥</ci></apply><apply id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3"><times id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.1.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.1"></times><apply id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2.1.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2.2.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2.2">𝜁</ci><ci id="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2.3.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="Thmexample2.p2.2.m2.4.4.cmml" xref="Thmexample2.p2.2.m2.4.4">𝑥</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample2.p2.2.m2.8c">\sigma\left(x\right)=\left(x,f^{\alpha}\left(x\right),f^{\alpha}_{i}\left(x% \right),\zeta^{i}\left(x\right)\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample2.p2.2.m2.8d">italic_σ ( italic_x ) = ( italic_x , italic_f start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x ) , italic_f start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) , italic_ζ start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x ) )</annotation></semantics></math> will be admissible if and only if</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="f^{\alpha}_{i}=\frac{\partial f^{\alpha}}{\partial x^{i}},\qquad\frac{\partial% \zeta^{i}}{\partial x^{i}}=L." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex6.m1.1"><semantics id="S3.Ex6.m1.1a"><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1"><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" rspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">∂</mo><msup id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">α</mi></msup></mrow><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">i</mi></msup></mrow></mfrac></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" rspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">∂</mo><msup id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">ζ</mi><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">i</mi></msup></mrow><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml">i</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">L</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m1.1b"><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><partialdiff id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><partialdiff id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2"><divide id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2"></divide><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><partialdiff id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝜁</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"><partialdiff id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝐿</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6.m1.1c">f^{\alpha}_{i}=\frac{\partial f^{\alpha}}{\partial x^{i}},\qquad\frac{\partial% \zeta^{i}}{\partial x^{i}}=L.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6.m1.1d">italic_f start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG ∂ italic_f start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG , divide start_ARG ∂ italic_ζ start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = italic_L .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmexample2.p2.3">The action on any section will read</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="S\left[\sigma\right]=\int_{K}\sigma^{*}d\Theta_{m-1}=\int_{\partial K}\sigma^{% *}\Theta_{m-1}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex7.m1.2"><semantics id="S3.Ex7.m1.2a"><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.2.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex7.m1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.cmml"><msub id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.1.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.1.3" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.1.3.cmml">K</mi></msub><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.cmml"><msup id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.1" lspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.1.cmml">𝑑</mo><msub id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.2.cmml">Θ</mi><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.3" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.3.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.3.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.3.3" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.5" rspace="0.111em" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.cmml"><msub id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.2.cmml">∫</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.3" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.3.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.3.2.cmml">K</mi></mrow></msub><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.cmml"><msup id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.2.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.2.cmml">Θ</mi><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.3" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.3.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.3.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.3.3" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m1.2b"><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1"><and id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1"></and><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1"><eq id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.3"></eq><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2"><times id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.2">𝑆</ci><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4"><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.1">subscript</csymbol><int id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.1.2"></int><ci id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2"><times id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.1"></times><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.2.2">𝜎</ci><times id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.2.3"></times></apply><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.1">differential-d</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.2">Θ</ci><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.3"><minus id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.3.1"></minus><ci id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1c.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1"><eq id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.Ex7.m1.2.2.1.1.4.cmml" id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1d.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1"></share><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6"><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1">subscript</csymbol><int id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.2"></int><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.3"><partialdiff id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.3.1"></partialdiff><ci id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.1.3.2">𝐾</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2"><times id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.1"></times><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.2.2">𝜎</ci><times id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.2.3"></times></apply><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.2">Θ</ci><apply id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.3"><minus id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.3.1"></minus><ci id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.6.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m1.2c">S\left[\sigma\right]=\int_{K}\sigma^{*}d\Theta_{m-1}=\int_{\partial K}\sigma^{% *}\Theta_{m-1}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m1.2d">italic_S [ italic_σ ] = ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_K end_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT = ∫ start_POSTSUBSCRIPT ∂ italic_K end_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.1">In order to apply the Gotay procedure <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">GotayCartan</span>]</cite> for the construction of an unified formalism for a variational problem of this kind, a regularity condition for the ideal <math alttext="{\mathcal{I}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.1.m1.1c">{\mathcal{I}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.1.m1.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math> is needed.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defc" id="Thmdefc5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc5.1.1.1">Definition 5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc5.2.2"> </span>(Regular variational problem)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc5.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefc5.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefc5.p1.3">We will say that the variational problem (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.E1" title="Equation 3.1 ‣ 3.1. Unified formalism for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a>) is <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmdefc5.p1.3.1">regular</em> if and only if the set of <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc5.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmdefc5.p1.1.m1.1a"><mi id="Thmdefc5.p1.1.m1.1.1" xref="Thmdefc5.p1.1.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc5.p1.1.m1.1b"><ci id="Thmdefc5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc5.p1.1.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc5.p1.1.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc5.p1.1.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-forms in <math alttext="{\mathcal{I}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc5.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmdefc5.p1.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc5.p1.2.m2.1.1" xref="Thmdefc5.p1.2.m2.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc5.p1.2.m2.1b"><ci id="Thmdefc5.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefc5.p1.2.m2.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc5.p1.2.m2.1c">{\mathcal{I}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc5.p1.2.m2.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math> that are <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc5.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmdefc5.p1.3.m3.1a"><mi id="Thmdefc5.p1.3.m3.1.1" xref="Thmdefc5.p1.3.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc5.p1.3.m3.1b"><ci id="Thmdefc5.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmdefc5.p1.3.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc5.p1.3.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc5.p1.3.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-vertical, namely</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="{\mathcal{I}}^{m}_{k}:={\mathcal{I}}\cap\Omega^{m}_{k}\left(W\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex8.m1.2"><semantics id="S3.Ex8.m1.2a"><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">ℐ</mi><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">k</mi><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">ℐ</mi><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">∩</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.2.cmml">Ω</mi><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex8.m1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.cmml">W</mi><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex8.m1.2b"><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.2.2">ℐ</ci><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3"><intersect id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.1"></intersect><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.2">ℐ</ci><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3"><times id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.1"></times><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.2">Ω</ci><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1">𝑊</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex8.m1.2c">{\mathcal{I}}^{m}_{k}:={\mathcal{I}}\cap\Omega^{m}_{k}\left(W\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex8.m1.2d">caligraphic_I start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT := caligraphic_I ∩ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_W ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmdefc5.p1.5">can be generated by the sections of a bundle of <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc5.p1.4.m1.1"><semantics id="Thmdefc5.p1.4.m1.1a"><mi id="Thmdefc5.p1.4.m1.1.1" xref="Thmdefc5.p1.4.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc5.p1.4.m1.1b"><ci id="Thmdefc5.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc5.p1.4.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc5.p1.4.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc5.p1.4.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-forms <math alttext="I^{m}_{K}\subset\Omega^{m}\left(W\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc5.p1.5.m2.1"><semantics id="Thmdefc5.p1.5.m2.1a"><mrow id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.cmml"><msubsup id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.cmml"><mi id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.2.2" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.2.2.cmml">I</mi><mi id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.3" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.3.cmml">K</mi><mi id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.2.3" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mo id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.1" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.1.cmml">⊂</mo><mrow id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.cmml"><msup id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.2" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.2.cmml"><mi id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.2.2.cmml">Ω</mi><mi id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.2.3" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.2.3.cmml">m</mi></msup><mo id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.1" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.3.2" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.cmml"><mo id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.3.2.1" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.1" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.1.cmml">W</mi><mo id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.3.2.2" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc5.p1.5.m2.1b"><apply id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.cmml" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2"><subset id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.1"></subset><apply id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.1.cmml" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.2.cmml" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.2.1.cmml" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.2.2">𝐼</ci><ci id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.3.cmml" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.2.3">𝐾</ci></apply><apply id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3"><times id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.1.cmml" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.1"></times><apply id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.2.cmml" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.2.2">Ω</ci><ci id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.2.3.cmml" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.2.3.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="Thmdefc5.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefc5.p1.5.m2.1.1">𝑊</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc5.p1.5.m2.1c">I^{m}_{K}\subset\Omega^{m}\left(W\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc5.p1.5.m2.1d">italic_I start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_K end_POSTSUBSCRIPT ⊂ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W )</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p3.6">Assuming that we are working with a regular variational problem, we can construct the affine subbundle</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W_{\lambda}:=\lambda+I_{k}^{m}\subset\wedge^{m}\left(T^{*}W\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex9.m1.1"><semantics id="S3.Ex9.m1.1a"><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.4.cmml">:=</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.1.cmml">+</mo><msubsup id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.2.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml">I</mi><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.2.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">m</mi></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.6" rspace="0em" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.6.cmml">⊂</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∧</mo><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msup><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex9.m1.1b"><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1"><and id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1"></and><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.4">assign</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5"><plus id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.1"></plus><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2">𝜆</ci><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.2.2">𝐼</ci><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1"><subset id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.6"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.Ex9.m1.1.1.1.1.5.cmml" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1"></share><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.2"></and><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><times id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑊</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex9.m1.1c">W_{\lambda}:=\lambda+I_{k}^{m}\subset\wedge^{m}\left(T^{*}W\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex9.m1.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT := italic_λ + italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ⊂ ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_W ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p3.5">Because it is a submanifold of a set of <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p3.1.m1.1a"><mi id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.1.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.1.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-forms, it results that we can pull the canonical <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p3.2.m2.1a"><mi id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.2.m2.1b"><ci id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.2.m2.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.2.m2.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form on <math alttext="\wedge^{m}\left(T^{*}W\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p3.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml">∧</mo><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml">m</mi></msup><mrow id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1"><apply id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.2"></and><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1"><times id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><times id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.1.1.3">𝑊</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.3.m3.1c">\wedge^{m}\left(T^{*}W\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.3.m3.1d">∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_W )</annotation></semantics></math> back to <math alttext="W_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p3.4.m4.1a"><msub id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.4.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.4.m4.1c">W_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.4.m4.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>; we will indicate this pullback with the symbol <math alttext="\Theta_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.5.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p3.5.m5.1a"><msub id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.5.m5.1b"><apply id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.2">Θ</ci><ci id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.5.m5.1c">\Theta_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.5.m5.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defc" id="Thmdefc6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc6.1.1.1">Definition 6</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc6.2.2"> </span>(Unified formalism for regular variational problems)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc6.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefc6.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefc6.p1.1">The <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmdefc6.p1.1.1">unified formalism for general variational problems of regular nature</em> is the variational problem posed by the following data</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left(W_{\lambda}\to M,\Theta_{\lambda},0\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex10.m1.3"><semantics id="S3.Ex10.m1.3a"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">→</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.cmml">M</mi><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mn id="S3.Ex10.m1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex10.m1.3b"><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1"><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2">→</ci><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply><list id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1">𝑀</ci><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜆</ci></apply><cn id="S3.Ex10.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.2.2">0</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex10.m1.3c">\left(W_{\lambda}\to M,\Theta_{\lambda},0\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex10.m1.3d">( italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT → italic_M , roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT , 0 ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_note" id="Thmnote7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote7.1.1.1">Remark 7</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote7.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmnote7.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmnote7.p1.3">It is an invariant procedure that allows us to incorporate the set of restrictions in <math alttext="{\mathcal{I}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote7.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmnote7.p1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmnote7.p1.1.m1.1.1" xref="Thmnote7.p1.1.m1.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote7.p1.1.m1.1b"><ci id="Thmnote7.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote7.p1.1.m1.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote7.p1.1.m1.1c">{\mathcal{I}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote7.p1.1.m1.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math> as part of the Lagrangian through Lagrange multipliers. These multipliers play the role of (multi) momentum from this point of view. From this viewpoint, the <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmnote7.p1.3.1">regularity order</em> <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote7.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmnote7.p1.2.m2.1a"><mi id="Thmnote7.p1.2.m2.1.1" xref="Thmnote7.p1.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote7.p1.2.m2.1b"><ci id="Thmnote7.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmnote7.p1.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote7.p1.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote7.p1.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math> in the previous definition is a measure of the number of multimomentum necessary to allow the resulting unified formalism to be able to represent the Lagrangian equations of motion, and it is (more or less) described by the order of verticality of the forms generating <math alttext="{\mathcal{I}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote7.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmnote7.p1.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmnote7.p1.3.m3.1.1" xref="Thmnote7.p1.3.m3.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote7.p1.3.m3.1b"><ci id="Thmnote7.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmnote7.p1.3.m3.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote7.p1.3.m3.1c">{\mathcal{I}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote7.p1.3.m3.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_example" id="Thmexample3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmexample3.1.1.1">Example 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmexample3.2.2"> </span>(Unified formalism for vakonomic Herglotz variational problem)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmexample3.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmexample3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmexample3.p1.4">Because we have found a formulation of the Herglotz variational problem as a general variational problem (see Example <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmexample2" title="Example 2 (Vakonomic Herglotz variational problem). ‣ 3.1. Unified formalism for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>), Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc6" title="Definition 6 (Unified formalism for regular variational problems). ‣ 3.1. Unified formalism for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a> will allow us to define a unified formalism for it. The set of restrictions <math alttext="{\mathcal{J}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample3.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmexample3.p1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmexample3.p1.1.m1.1.1" xref="Thmexample3.p1.1.m1.1.1.cmml">𝒥</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample3.p1.1.m1.1b"><ci id="Thmexample3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmexample3.p1.1.m1.1.1">𝒥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample3.p1.1.m1.1c">{\mathcal{J}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample3.p1.1.m1.1d">caligraphic_J</annotation></semantics></math> are regular for <math alttext="k=2" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample3.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmexample3.p1.2.m2.1a"><mrow id="Thmexample3.p1.2.m2.1.1" xref="Thmexample3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmexample3.p1.2.m2.1.1.2" xref="Thmexample3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="Thmexample3.p1.2.m2.1.1.1" xref="Thmexample3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="Thmexample3.p1.2.m2.1.1.3" xref="Thmexample3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample3.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmexample3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmexample3.p1.2.m2.1.1"><eq id="Thmexample3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmexample3.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="Thmexample3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmexample3.p1.2.m2.1.1.2">𝑘</ci><cn id="Thmexample3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample3.p1.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample3.p1.2.m2.1c">k=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample3.p1.2.m2.1d">italic_k = 2</annotation></semantics></math>, because the set of <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample3.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmexample3.p1.3.m3.1a"><mi id="Thmexample3.p1.3.m3.1.1" xref="Thmexample3.p1.3.m3.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample3.p1.3.m3.1b"><ci id="Thmexample3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmexample3.p1.3.m3.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample3.p1.3.m3.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample3.p1.3.m3.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-forms which are <math alttext="2" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample3.p1.4.m4.1"><semantics id="Thmexample3.p1.4.m4.1a"><mn id="Thmexample3.p1.4.m4.1.1" xref="Thmexample3.p1.4.m4.1.1.cmml">2</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample3.p1.4.m4.1b"><cn id="Thmexample3.p1.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmexample3.p1.4.m4.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample3.p1.4.m4.1c">2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample3.p1.4.m4.1d">2</annotation></semantics></math>-vertical in this ideal is generated by sections of the subbundle</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="J^{m}_{H}:=\left\{p_{\alpha}^{i}\left(du^{\alpha}-u^{\alpha}_{k}dx^{k}\right)+% \mu\left(dz^{i}\wedge\eta_{i}-L\eta\right):p_{\alpha}^{i},\mu\in\mathbb{R}% \right\}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex11.m1.2"><semantics id="S3.Ex11.m1.2a"><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.2.2.cmml">J</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.3.cmml">H</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.cmml">:=</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">α</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">x</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">k</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">∧</mo><msub id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3" rspace="0.278em" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.4" rspace="0.278em" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex11.m1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.cmml">μ</mi></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">∈</mo><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">ℝ</mi></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.5" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex11.m1.2b"><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.3">assign</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.2.2">𝐽</ci><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.4.3">𝐻</ci></apply><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑥</ci><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2"></times><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝜇</ci><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1"><minus id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><and id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1"></and><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2"><times id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><times id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">𝜂</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2"><in id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"></in><list id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1"><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1">𝜇</ci></list><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.2.2.2.3">ℝ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex11.m1.2c">J^{m}_{H}:=\left\{p_{\alpha}^{i}\left(du^{\alpha}-u^{\alpha}_{k}dx^{k}\right)+% \mu\left(dz^{i}\wedge\eta_{i}-L\eta\right):p_{\alpha}^{i},\mu\in\mathbb{R}% \right\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex11.m1.2d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT := { italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT - italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_μ ( italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_L italic_η ) : italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_μ ∈ blackboard_R } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmexample3.p1.9">Therefore, we can define the subbundle</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W_{H}:=d\Theta_{m-1}+J^{m}_{H}\subset\wedge^{m}\left(T^{*}H_{\pi}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex12.m1.1"><semantics id="S3.Ex12.m1.1a"><mrow id="S3.Ex12.m1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.1.1.3.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.Ex12.m1.1.1.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex12.m1.1.1.4.cmml">:=</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.1.1.5" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.2" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.2.cmml">Θ</mi><mrow id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.3.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.1.1.5.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.1.cmml">+</mo><msubsup id="S3.Ex12.m1.1.1.5.3" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.2.2.cmml">J</mi><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.3" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.3.cmml">H</mi><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.2.3" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.2.3.cmml">m</mi></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.1.1.6" rspace="0em" xref="S3.Ex12.m1.1.1.6.cmml">⊂</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex12.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.2.2.cmml">∧</mo><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></msup><mrow id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">H</mi><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">π</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex12.m1.1b"><apply id="S3.Ex12.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1"><and id="S3.Ex12.m1.1.1a.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1"></and><apply id="S3.Ex12.m1.1.1b.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex12.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.4">assign</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.3.3">𝐻</ci></apply><apply id="S3.Ex12.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5"><plus id="S3.Ex12.m1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.1"></plus><apply id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2"><times id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.1"></times><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.2">Θ</ci><apply id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.3"><minus id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.3.1"></minus><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.2.2">𝐽</ci><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.5.3.3">𝐻</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.1.1c.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1"><subset id="S3.Ex12.m1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.6"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.Ex12.m1.1.1.5.cmml" id="S3.Ex12.m1.1.1d.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1"></share><apply id="S3.Ex12.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1"><apply id="S3.Ex12.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S3.Ex12.m1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.2.2"></and><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><times id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐻</ci><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜋</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex12.m1.1c">W_{H}:=d\Theta_{m-1}+J^{m}_{H}\subset\wedge^{m}\left(T^{*}H_{\pi}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex12.m1.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT := italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ⊂ ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_π end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmexample3.p1.8">and pullback the canonical <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample3.p1.5.m1.1"><semantics id="Thmexample3.p1.5.m1.1a"><mi id="Thmexample3.p1.5.m1.1.1" xref="Thmexample3.p1.5.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample3.p1.5.m1.1b"><ci id="Thmexample3.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="Thmexample3.p1.5.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample3.p1.5.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample3.p1.5.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form on <math alttext="\wedge^{m}\left(T^{*}H_{\pi}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample3.p1.6.m2.1"><semantics id="Thmexample3.p1.6.m2.1a"><mrow id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.cmml"><msup id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.2" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.2.cmml"><mo id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.2.2" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.2.2.cmml">∧</mo><mi id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.2.3" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.2.3.cmml">m</mi></msup><mrow id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.2" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.2" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.3" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">H</mi><mi id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">π</mi></msub></mrow><mo id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.3" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample3.p1.6.m2.1b"><apply id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1"><apply id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.2">superscript</csymbol><and id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.2.2"></and><ci id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1"><times id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><times id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝐻</ci><ci id="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmexample3.p1.6.m2.1.1.1.1.1.3.3">𝜋</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample3.p1.6.m2.1c">\wedge^{m}\left(T^{*}H_{\pi}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample3.p1.6.m2.1d">∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_π end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> to <math alttext="W_{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample3.p1.7.m3.1"><semantics id="Thmexample3.p1.7.m3.1a"><msub id="Thmexample3.p1.7.m3.1.1" xref="Thmexample3.p1.7.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmexample3.p1.7.m3.1.1.2" xref="Thmexample3.p1.7.m3.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="Thmexample3.p1.7.m3.1.1.3" xref="Thmexample3.p1.7.m3.1.1.3.cmml">H</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample3.p1.7.m3.1b"><apply id="Thmexample3.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="Thmexample3.p1.7.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample3.p1.7.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmexample3.p1.7.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmexample3.p1.7.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmexample3.p1.7.m3.1.1.2">𝑊</ci><ci id="Thmexample3.p1.7.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmexample3.p1.7.m3.1.1.3">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample3.p1.7.m3.1c">W_{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample3.p1.7.m3.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, giving rise to the Lagrangian form <math alttext="\Theta_{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample3.p1.8.m4.1"><semantics id="Thmexample3.p1.8.m4.1a"><msub id="Thmexample3.p1.8.m4.1.1" xref="Thmexample3.p1.8.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmexample3.p1.8.m4.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmexample3.p1.8.m4.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="Thmexample3.p1.8.m4.1.1.3" xref="Thmexample3.p1.8.m4.1.1.3.cmml">H</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample3.p1.8.m4.1b"><apply id="Thmexample3.p1.8.m4.1.1.cmml" xref="Thmexample3.p1.8.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample3.p1.8.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmexample3.p1.8.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmexample3.p1.8.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmexample3.p1.8.m4.1.1.2">Θ</ci><ci id="Thmexample3.p1.8.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmexample3.p1.8.m4.1.1.3">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample3.p1.8.m4.1c">\Theta_{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample3.p1.8.m4.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> which in local coordinates reads</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Theta_{H}=dz^{i}\wedge\eta_{i}+p_{\alpha}^{i}\left(du^{\alpha}-u^{\alpha}_{k}% dx^{k}\right)+\mu\left(dz^{i}\wedge\eta_{i}-L\eta\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex13.m1.1"><semantics id="S3.Ex13.m1.1a"><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.3.cmml">i</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">∧</mo><msub id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">α</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">x</mi><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">k</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">∧</mo><msub id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex13.m1.1b"><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.4.3">𝐻</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2"><plus id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4"><and id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.1"></and><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2"><times id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.1"></times><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑥</ci><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2"></times><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝜇</ci><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><minus id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"><and id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1"></and><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2"><times id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><times id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3">𝜂</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex13.m1.1c">\Theta_{H}=dz^{i}\wedge\eta_{i}+p_{\alpha}^{i}\left(du^{\alpha}-u^{\alpha}_{k}% dx^{k}\right)+\mu\left(dz^{i}\wedge\eta_{i}-L\eta\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex13.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT = italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT - italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_μ ( italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_L italic_η ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defc" id="Thmdefc7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc7.1.1.1">Definition 7</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc7.2.2"> </span>(Unified formalism for Herglotz variational problem)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc7.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefc7.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefc7.p1.1">The <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmdefc7.p1.1.1">unified formalism for the vakonomic Herglotz variational problem</em> is the variational problem posed by the data</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="V_{H}^{\prime}:=\left(p_{H}:W_{H}\to M,\Theta_{H},0\right)" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.Ex14.m1.1"><semantics id="S3.Ex14.m1.1a"><mrow id="S3.Ex14.m1.1b"><msubsup id="S3.Ex14.m1.1.1"><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.2.2">V</mi><mi id="S3.Ex14.m1.1.1.2.3">H</mi><mo id="S3.Ex14.m1.1.1.3">′</mo></msubsup><mo id="S3.Ex14.m1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:=</mo><mrow id="S3.Ex14.m1.1.3"><mo id="S3.Ex14.m1.1.3.1">(</mo><msub id="S3.Ex14.m1.1.3.2"><mi id="S3.Ex14.m1.1.3.2.2">p</mi><mi id="S3.Ex14.m1.1.3.2.3">H</mi></msub><mo id="S3.Ex14.m1.1.3.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><msub id="S3.Ex14.m1.1.3.4"><mi id="S3.Ex14.m1.1.3.4.2">W</mi><mi id="S3.Ex14.m1.1.3.4.3">H</mi></msub><mo id="S3.Ex14.m1.1.3.5" stretchy="false">→</mo><mi id="S3.Ex14.m1.1.3.6">M</mi><mo id="S3.Ex14.m1.1.3.7">,</mo><msub id="S3.Ex14.m1.1.3.8"><mi id="S3.Ex14.m1.1.3.8.2" mathvariant="normal">Θ</mi><mi id="S3.Ex14.m1.1.3.8.3">H</mi></msub><mo id="S3.Ex14.m1.1.3.9">,</mo><mn id="S3.Ex14.m1.1.3.10">0</mn><mo id="S3.Ex14.m1.1.3.11">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex14.m1.1c">V_{H}^{\prime}:=\left(p_{H}:W_{H}\to M,\Theta_{H},0\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex14.m1.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT := ( italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT : italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT → italic_M , roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT , 0 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="Thmexample3.p2"> <p class="ltx_p" id="Thmexample3.p2.2">Please note that the form <math alttext="\Theta_{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample3.p2.1.m1.1"><semantics id="Thmexample3.p2.1.m1.1a"><msub id="Thmexample3.p2.1.m1.1.1" xref="Thmexample3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmexample3.p2.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmexample3.p2.1.m1.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="Thmexample3.p2.1.m1.1.1.3" xref="Thmexample3.p2.1.m1.1.1.3.cmml">H</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample3.p2.1.m1.1b"><apply id="Thmexample3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmexample3.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample3.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmexample3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample3.p2.1.m1.1.1.2">Θ</ci><ci id="Thmexample3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmexample3.p2.1.m1.1.1.3">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample3.p2.1.m1.1c">\Theta_{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample3.p2.1.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> found here coincides with the (multicontact) <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmexample3.p2.2.1">Lagrangian form</em> <math alttext="\Theta_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample3.p2.2.m2.1"><semantics id="Thmexample3.p2.2.m2.1a"><msub id="Thmexample3.p2.2.m2.1.1" xref="Thmexample3.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmexample3.p2.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmexample3.p2.2.m2.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmexample3.p2.2.m2.1.1.3" xref="Thmexample3.p2.2.m2.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample3.p2.2.m2.1b"><apply id="Thmexample3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmexample3.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample3.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmexample3.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmexample3.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmexample3.p2.2.m2.1.1.2">Θ</ci><ci id="Thmexample3.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmexample3.p2.2.m2.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample3.p2.2.m2.1c">\Theta_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample3.p2.2.m2.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> constructed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">leon23:_multic</span>]</cite>. The equations describing the extremals of this variational problem are</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex15"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sigma^{*}\left(Z\lrcorner d\Theta_{H}\right)=0,\qquad Z\in\mathfrak{X}^{Vp_{H% }}\left(W_{H}\right);" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex15.m1.1"><semantics id="S3.Ex15.m1.1a"><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1"><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Z</mi><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">H</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">Z</mi><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><msup id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml">𝔛</mi><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml">V</mi><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.3.cmml">H</mi></msub></mrow></msup><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.2">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex15.m1.1b"><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><times id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3">𝐻</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2"><in id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.2"></in><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑍</ci><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1"><times id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.2"></times><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2">𝔛</ci><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3"><times id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2">𝑉</ci><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.3">𝐻</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3">𝐻</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex15.m1.1c">\sigma^{*}\left(Z\lrcorner d\Theta_{H}\right)=0,\qquad Z\in\mathfrak{X}^{Vp_{H% }}\left(W_{H}\right);</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex15.m1.1d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Z ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ) = 0 , italic_Z ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ) ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmexample3.p2.3">Then we can establish the following result (see also <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">gaset2022herglotz</span>]</cite>).</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_thm" id="Thmthm2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm2.1.1.1">Theorem 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmthm2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmthm2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmthm2.p1.2.2">A section of <math alttext="p_{H}:W_{H}\to M" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mi id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.1">:</ci><apply id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2.3">𝐻</ci></apply><apply id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.1">→</ci><apply id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1c">p_{H}:W_{H}\to M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT : italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT → italic_M</annotation></semantics></math> is an extremal for the variational problem <math alttext="V_{H}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1a"><msubsup id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">V</mi><mi id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.2.3" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml">H</mi><mo id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝑉</ci><ci id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1c">V_{H}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> if and only if the following equations hold</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx3"> <tbody id="S3.Ex16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle d\mu\wedge\eta_{i}+\mu\frac{\partial L}{\partial z^{i}}\eta=0,% \qquad dz^{i}\wedge\eta_{i}-L\eta=0,\qquad du^{\alpha}\wedge\eta_{i}-u^{\alpha% }_{i}\eta=0," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex16.m1.1"><semantics id="S3.Ex16.m1.1a"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">μ</mi></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">∧</mo><msub id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3a" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1" rspace="0em" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">L</mi></mrow><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.3.cmml">i</mi></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml">i</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">∧</mo><msub id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">α</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">∧</mo><msub id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.2" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex16.m1.1b"><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><and id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></and><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝜇</ci></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜇</ci><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><divide id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"></divide><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2"><partialdiff id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1"></partialdiff><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">𝐿</ci></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3"><partialdiff id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4">𝜂</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><eq id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><minus id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1"></minus><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2"><and id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1"></and><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2"><times id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3"><times id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3">𝜂</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><eq id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></eq><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><minus id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"></minus><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2"><and id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1"></and><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><times id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3"><times id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3">𝜂</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex16.m1.1c">\displaystyle d\mu\wedge\eta_{i}+\mu\frac{\partial L}{\partial z^{i}}\eta=0,% \qquad dz^{i}\wedge\eta_{i}-L\eta=0,\qquad du^{\alpha}\wedge\eta_{i}-u^{\alpha% }_{i}\eta=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex16.m1.1d">italic_d italic_μ ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_μ divide start_ARG ∂ italic_L end_ARG start_ARG ∂ italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_η = 0 , italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_L italic_η = 0 , italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_η = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle dp_{\alpha}^{i}\wedge\eta_{i}-\mu\frac{\partial L}{\partial u^{% \alpha}}\eta=0,\qquad\left(p_{\alpha}^{i}-\mu\frac{\partial L}{\partial u^{% \alpha}_{i}}\right)\eta=0." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex17.m1.1"><semantics id="S3.Ex17.m1.1a"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">i</mi></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">∧</mo><msub id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3a" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1" rspace="0em" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">L</mi></mrow><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.3.cmml">α</mi></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3a" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.1" rspace="0em" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">L</mi></mrow><mrow id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S3.Ex17.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex17.m1.1b"><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><and id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></and><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜇</ci><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><divide id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"></divide><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2"><partialdiff id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1"></partialdiff><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">𝐿</ci></apply><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3"><partialdiff id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.3">𝛼</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4">𝜂</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2"></eq><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1"><times id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.2"></times><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><minus id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3"><divide id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3"></divide><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2"><partialdiff id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.1"></partialdiff><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.2">𝐿</ci></apply><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3"><partialdiff id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3">𝜂</ci></apply><cn id="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex17.m1.1c">\displaystyle dp_{\alpha}^{i}\wedge\eta_{i}-\mu\frac{\partial L}{\partial u^{% \alpha}}\eta=0,\qquad\left(p_{\alpha}^{i}-\mu\frac{\partial L}{\partial u^{% \alpha}_{i}}\right)\eta=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex17.m1.1d">italic_d italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_μ divide start_ARG ∂ italic_L end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_η = 0 , ( italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT - italic_μ divide start_ARG ∂ italic_L end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) italic_η = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.2. </span>Hamilton equations for general variational problems</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.6">The first obstruction when dealing with general variational problems is the Hamiltonian section, as it plays a central role in the construction of the form <math alttext="\Omega_{h}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">Ω</mi><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">h</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2">Ω</ci><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.1.m1.1c">\Omega_{h}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.1.m1.1d">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. It is evident that this problem is related with the fact that the set <math alttext="W_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p1.2.m2.1a"><msub id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.2.m2.1c">W_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.2.m2.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is akin to the first constraint submanifold <math alttext="W_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p1.3.m3.1a"><msub id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">W</mi><mn id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.2">𝑊</ci><cn id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.3.m3.1c">W_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.3.m3.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of the usual approach to the unified formalism <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">Prieto-Martinez2015203</span>]</cite>, and this submanifold projects onto the restricted multimomentum bundle <math alttext="J^{k+1}\pi^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml"><msup id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.1" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.3" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">π</mi><mo id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1"><times id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.1"></times><apply id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3"><plus id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2">𝜋</ci><ci id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3">‡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.4.m4.1c">J^{k+1}\pi^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.4.m4.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>; therefore, as we do not have a natural candidate in the generalized context for the extended multimomentum bundle, it becomes problematic to define a meaningful substitute for the Hamiltonian section. For this reason, we will suppose here that we have a map <math alttext="p_{\lambda}:W_{\lambda}\to W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p1.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml">→</mo><msup id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mo id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1"><ci id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.1">:</ci><apply id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3"><ci id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.1">→</ci><apply id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.3">‡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.5.m5.1c">p_{\lambda}:W_{\lambda}\to W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.5.m5.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT : italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT → italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> analogous to the map <math alttext="p_{\mathcal{L}}^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p1.6.m6.1a"><msubsup id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi><mo id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.3.cmml">‡</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.6.m6.1b"><apply id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.6.m6.1c">p_{\mathcal{L}}^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.6.m6.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and we will try to formulate the Hamilton equations using only this structure.</p> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S3.SS2.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">3.2.1. </span>Hamiltonian form from <math alttext="p_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.1.m1.1b"><msub id="S3.SS2.SSS1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.1.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="S3.SS2.SSS1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.1.m1.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.1.m1.1c"><apply id="S3.SS2.SSS1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.1.m1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.1.m1.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.1.m1.1d">p_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.1.m1.1e">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </h4> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p1.1">The main property of the Hamiltonian form regarding the equations of motion is Corollary <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmlem5" title="Lemma 5. ‣ 2.4.2. The Hamiltonian form associated to a Lagrangian density ‣ 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>. In order to proceed, it is necessary to ensure that the equations defining <math alttext="P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1c">P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> exists. Thus, let us consider the following definition.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defc" id="Thmdefc8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc8.1.1.1">Definition 8</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc8.2.2"> </span>(Compatibility between a form and a projection)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc8.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefc8.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefc8.p1.2">We will say that <math alttext="p_{\lambda}:W\to W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc8.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmdefc8.p1.1.m1.1a"><mrow id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mo id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><msup id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mo id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc8.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1"><ci id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.1">:</ci><apply id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3"><ci id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.1">→</ci><ci id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑊</ci><apply id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑊</ci><ci id="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.1.m1.1.1.3.3.3">‡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc8.p1.1.m1.1c">p_{\lambda}:W\to W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc8.p1.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT : italic_W → italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Theta_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc8.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmdefc8.p1.2.m2.1a"><msub id="Thmdefc8.p1.2.m2.1.1" xref="Thmdefc8.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc8.p1.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmdefc8.p1.2.m2.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="Thmdefc8.p1.2.m2.1.1.3" xref="Thmdefc8.p1.2.m2.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc8.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmdefc8.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc8.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc8.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.2.m2.1.1.2">Θ</ci><ci id="Thmdefc8.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.2.m2.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc8.p1.2.m2.1c">\Theta_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc8.p1.2.m2.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmdefc8.p1.2.1">compatible</em> if and only if</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Y\lrcorner\left({\mathcal{L}}_{Z}\Theta_{\lambda}\right)=0,\qquad Z\lrcorner% \Theta_{\lambda}=0," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex19.m1.1"><semantics id="S3.Ex19.m1.1a"><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1"><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Y</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">⌟</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">Z</mi></msub><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">Z</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">⌟</mi><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.1a" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex19.m1.1b"><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑌</ci><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.4">⌟</ci><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">ℒ</ci><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑍</ci></apply><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">⌟</ci><apply id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3">𝜆</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex19.m1.1c">Y\lrcorner\left({\mathcal{L}}_{Z}\Theta_{\lambda}\right)=0,\qquad Z\lrcorner% \Theta_{\lambda}=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex19.m1.1d">italic_Y ⌟ ( caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_Z end_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ) = 0 , italic_Z ⌟ roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmdefc8.p1.4">for all <math alttext="Y\in\mathfrak{X}^{V\left(\pi\circ\tau_{\lambda}\right)}\left(W_{\lambda}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc8.p1.3.m1.2"><semantics id="Thmdefc8.p1.3.m1.2a"><mrow id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.cmml"><mi id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.3" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.3.cmml">Y</mi><mo id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.2" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.cmml"><msup id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.3" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.3.2" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.3.2.cmml">𝔛</mi><mrow id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.3" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.3.cmml">V</mi><mo id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.2" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msub id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mi id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.2" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.2" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.3" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc8.p1.3.m1.2b"><apply id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2"><in id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.2"></in><ci id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.3">𝑌</ci><apply id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1"><times id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.2"></times><apply id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.3.2">𝔛</ci><apply id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1"><times id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.2"></times><ci id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.3">𝑉</ci><apply id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1"><compose id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1"></compose><ci id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><ci id="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.3.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc8.p1.3.m1.2c">Y\in\mathfrak{X}^{V\left(\pi\circ\tau_{\lambda}\right)}\left(W_{\lambda}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc8.p1.3.m1.2d">italic_Y ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V ( italic_π ∘ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="Z\in\mathfrak{X}^{Vp_{\lambda}}\left(W_{\lambda}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc8.p1.4.m2.1"><semantics id="Thmdefc8.p1.4.m2.1a"><mrow id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.3" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.3.cmml">Z</mi><mo id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.2" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.cmml"><msup id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.2" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.2.cmml">𝔛</mi><mrow id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.2" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.2.cmml">V</mi><mo id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.1" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3.2" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">p</mi><mi id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3.3" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow></msup><mo id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.2" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.3" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc8.p1.4.m2.1b"><apply id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1"><in id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.2"></in><ci id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.3">𝑍</ci><apply id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1"><times id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.2"></times><apply id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.2">𝔛</ci><apply id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3"><times id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.2">𝑉</ci><apply id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3.2">𝑝</ci><ci id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.3.3.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><apply id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc8.p1.4.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc8.p1.4.m2.1c">Z\in\mathfrak{X}^{Vp_{\lambda}}\left(W_{\lambda}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc8.p1.4.m2.1d">italic_Z ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_note" id="Thmnote8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote8.1.1.1">Remark 8</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote8.2.2"> </span>(The compatibility condition in local coordinates)<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote8.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmnote8.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmnote8.p1.5">Let us suppose that <math alttext="W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote8.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmnote8.p1.1.m1.1a"><msup id="Thmnote8.p1.1.m1.1.1" xref="Thmnote8.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmnote8.p1.1.m1.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="Thmnote8.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmnote8.p1.1.m1.1.1.3.cmml">‡</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote8.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmnote8.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.1.m1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="Thmnote8.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.1.m1.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote8.p1.1.m1.1c">W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote8.p1.1.m1.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is fibred on <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote8.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmnote8.p1.2.m2.1a"><mi id="Thmnote8.p1.2.m2.1.1" xref="Thmnote8.p1.2.m2.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote8.p1.2.m2.1b"><ci id="Thmnote8.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.2.m2.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote8.p1.2.m2.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote8.p1.2.m2.1d">italic_M</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\left(x^{i},z^{A},w^{P}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote8.p1.3.m3.3"><semantics id="Thmnote8.p1.3.m3.3a"><mrow id="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3" xref="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.4.cmml"><mo id="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.4" xref="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.4.cmml">(</mo><msup id="Thmnote8.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="Thmnote8.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.3.m3.1.1.1.1.2" xref="Thmnote8.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="Thmnote8.p1.3.m3.1.1.1.1.3" xref="Thmnote8.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msup><mo id="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.5" xref="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="Thmnote8.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="Thmnote8.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.3.m3.2.2.2.2.2" xref="Thmnote8.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="Thmnote8.p1.3.m3.2.2.2.2.3" xref="Thmnote8.p1.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">A</mi></msup><mo id="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.6" xref="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.3" xref="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.3.2" xref="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.3.2.cmml">w</mi><mi id="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.3.3" xref="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.3.3.cmml">P</mi></msup><mo id="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.7" xref="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote8.p1.3.m3.3b"><vector id="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.4.cmml" xref="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3"><apply id="Thmnote8.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.3.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.3.m3.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="Thmnote8.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.3.m3.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="Thmnote8.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.3.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.3.m3.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.3.m3.2.2.2.2.2">𝑧</ci><ci id="Thmnote8.p1.3.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.3.m3.2.2.2.2.3">𝐴</ci></apply><apply id="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.3.2">𝑤</ci><ci id="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.3.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.3.m3.3.3.3.3.3">𝑃</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote8.p1.3.m3.3c">\left(x^{i},z^{A},w^{P}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote8.p1.3.m3.3d">( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT , italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_P end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is a set of local coordinates adapted to the projections <math alttext="p_{\lambda}:W\to W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote8.p1.4.m4.1"><semantics id="Thmnote8.p1.4.m4.1a"><mrow id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.cmml"><msub id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.2" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">W</mi><mo id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">→</mo><msup id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.3.2" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mo id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.3.3" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote8.p1.4.m4.1b"><apply id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1"><ci id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.1">:</ci><apply id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3"><ci id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.1">→</ci><ci id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.2">𝑊</ci><apply id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.3.2">𝑊</ci><ci id="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.4.m4.1.1.3.3.3">‡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote8.p1.4.m4.1c">p_{\lambda}:W\to W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote8.p1.4.m4.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT : italic_W → italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="W^{\ddagger}\to M" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote8.p1.5.m5.1"><semantics id="Thmnote8.p1.5.m5.1a"><mrow id="Thmnote8.p1.5.m5.1.1" xref="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.cmml"><msup id="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.2" xref="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml">W</mi><mo id="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.2.3" xref="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml">‡</mo></msup><mo id="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.3" xref="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote8.p1.5.m5.1b"><apply id="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.5.m5.1.1"><ci id="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.1">→</ci><apply id="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.2.3">‡</ci></apply><ci id="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.5.m5.1.1.3">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote8.p1.5.m5.1c">W^{\ddagger}\to M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote8.p1.5.m5.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT → italic_M</annotation></semantics></math>, in such a way that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p_{\lambda}\left(x^{i},z^{A},w^{P}\right)=\left(x^{i},w^{P}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex20.m1.1"><semantics id="S3.Ex20.m1.1a"><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.5" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.5.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.5.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.4" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.5" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">A</mi></msup><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.6" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">P</mi></msup><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.7" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.3.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1.1.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1.1.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.4" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.2.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.2.3" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.2.3.cmml">P</mi></msup><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.5" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex20.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex20.m1.1b"><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.6"></eq><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.4"></times><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.5.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.5.3">𝜆</ci></apply><vector id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3"><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝐴</ci></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑤</ci><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">𝑃</ci></apply></vector></apply><interval closure="open" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2"><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.4.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.2.2">𝑤</ci><ci id="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1.1.1.5.2.2.3">𝑃</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex20.m1.1c">p_{\lambda}\left(x^{i},z^{A},w^{P}\right)=\left(x^{i},w^{P}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex20.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT , italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_P end_POSTSUPERSCRIPT ) = ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_P end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmnote8.p1.11">and so</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Vp_{\lambda}=\left<\frac{\partial}{\partial z^{A}}\right>,\qquad V\left(\pi% \circ\tau_{\lambda}\right)=\left<\frac{\partial}{\partial z^{A}},\frac{% \partial}{\partial w^{P}}\right>." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex21.m1.4"><semantics id="S3.Ex21.m1.4a"><mrow id="S3.Ex21.m1.4.4.1"><mrow id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.cmml">⟨</mo><mfrac id="S3.Ex21.m1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.1.1.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex21.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex21.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S3.Ex21.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex21.m1.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex21.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex21.m1.1.1.3.2.3.cmml">A</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.3" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.cmml">V</mi><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msub id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.1" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">⟨</mo><mfrac id="S3.Ex21.m1.2.2" xref="S3.Ex21.m1.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex21.m1.2.2.2" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2.cmml">∂</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.2.2.3" xref="S3.Ex21.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex21.m1.2.2.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex21.m1.2.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S3.Ex21.m1.2.2.3.2" xref="S3.Ex21.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex21.m1.2.2.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex21.m1.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex21.m1.2.2.3.2.3.cmml">A</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">,</mo><mfrac id="S3.Ex21.m1.3.3" xref="S3.Ex21.m1.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex21.m1.3.3.2" xref="S3.Ex21.m1.3.3.2.cmml">∂</mo><mrow id="S3.Ex21.m1.3.3.3" xref="S3.Ex21.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex21.m1.3.3.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex21.m1.3.3.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S3.Ex21.m1.3.3.3.2" xref="S3.Ex21.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex21.m1.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex21.m1.3.3.3.2.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Ex21.m1.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex21.m1.3.3.3.2.3.cmml">P</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex21.m1.4.4.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex21.m1.4b"><apply id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">𝑉</ci><apply id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3">𝜆</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1"><divide id="S3.Ex21.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1"></divide><partialdiff id="S3.Ex21.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.3"><partialdiff id="S3.Ex21.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex21.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.3.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex21.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1.3.2.3">𝐴</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2"><eq id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.2"></eq><apply id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1"><times id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.2"></times><ci id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.3">𝑉</ci><apply id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1"><compose id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1"></compose><ci id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><ci id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><list id="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.4.4.1.1.2.2.3.2"><apply id="S3.Ex21.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2"><divide id="S3.Ex21.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2"></divide><partialdiff id="S3.Ex21.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.2"></partialdiff><apply id="S3.Ex21.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.3"><partialdiff id="S3.Ex21.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.3.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex21.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.3.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex21.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.2.2.3.2.3">𝐴</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex21.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.3.3"><divide id="S3.Ex21.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.3.3"></divide><partialdiff id="S3.Ex21.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.3.3.2"></partialdiff><apply id="S3.Ex21.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.3.3.3"><partialdiff id="S3.Ex21.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.3.3.3.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex21.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m1.3.3.3.2.2">𝑤</ci><ci id="S3.Ex21.m1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex21.m1.3.3.3.2.3">𝑃</ci></apply></apply></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex21.m1.4c">Vp_{\lambda}=\left<\frac{\partial}{\partial z^{A}}\right>,\qquad V\left(\pi% \circ\tau_{\lambda}\right)=\left<\frac{\partial}{\partial z^{A}},\frac{% \partial}{\partial w^{P}}\right>.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex21.m1.4d">italic_V italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT = ⟨ divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ , italic_V ( italic_π ∘ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ) = ⟨ divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_A end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG , divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_P end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmnote8.p1.12">Then we can write</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="Thmnote8.p1.6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Theta_{\lambda}=\sum_{p+r+s=m}F_{i_{1},\cdots,i_{p},A_{1},\cdots,A_{r},P_{1},% \cdots,P_{s}}\cdot\\ \cdot dx^{i_{1}}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{p}}\wedge dz^{A_{1}}\wedge\cdots% \wedge dz^{A_{r}}\wedge dw^{P_{1}}\wedge\cdots\wedge dw^{P_{s}}," class="ltx_Math" display="block" id="Thmnote8.p1.6.m1.40"><semantics id="Thmnote8.p1.6.m1.40a"><mtable displaystyle="true" id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2" rowspacing="0pt"><mtr id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2a"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2b"><mrow id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7"><msub id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.8"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmnote8.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">Θ</mi><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">λ</mi></msub><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.3.3.3.3.3.3" rspace="0.111em" xref="Thmnote8.p1.6.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">=</mo><munder id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.9"><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.4.4.4.4.4.4" movablelimits="false" xref="Thmnote8.p1.6.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">∑</mo><mrow id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml"><mrow id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.1.cmml">+</mo><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.3" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.3.cmml">r</mi><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.1a" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.1.cmml">+</mo><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.4" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.4.cmml">s</mi></mrow><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.cmml">=</mo><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.3" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.cmml">m</mi></mrow></munder><msub id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.10"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.6.6.6.6.6.6" xref="Thmnote8.p1.6.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">F</mi><mrow id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.10.cmml"><msub id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.1.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.1.2" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.1.2.cmml">i</mi><mn id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.1.3" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.7" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.10.cmml">,</mo><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.cmml">⋯</mi><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.8" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.10.cmml">,</mo><msub id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2.2" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2.2.cmml">i</mi><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2.3" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.9" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.10.cmml">,</mo><msub id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.6.3" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.6.3.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.6.3.2" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.6.3.2.cmml">A</mi><mn id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.6.3.3" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.6.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.10" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.10.cmml">,</mo><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.2.cmml">⋯</mi><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.11" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.10.cmml">,</mo><msub id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.7.4" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.7.4.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.7.4.2" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.7.4.2.cmml">A</mi><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.7.4.3" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.7.4.3.cmml">r</mi></msub><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.12" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.10.cmml">,</mo><msub id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.8.5" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.8.5.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.8.5.2" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.8.5.2.cmml">P</mi><mn id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.8.5.3" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.8.5.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.13" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.10.cmml">,</mo><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.3" mathvariant="normal" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.3.cmml">⋯</mi><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.14" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.10.cmml">,</mo><msub id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.6" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.6.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.6.2" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.6.2.cmml">P</mi><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.6.3" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.6.3.cmml">s</mi></msub></mrow></msub><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11" lspace="0.222em" xref="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.cmml">⋅</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2c"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2d"><mrow id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32"><mrow id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.cmml"></mi><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.8.8.8.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmnote8.p1.6.m1.8.8.8.1.1.1.cmml">⋅</mo><mrow id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2"><mrow id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.1"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.9.9.9.2.2.2" xref="Thmnote8.p1.6.m1.9.9.9.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.1.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.1.2"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.10.10.10.3.3.3" xref="Thmnote8.p1.6.m1.10.10.10.3.3.3.cmml">x</mi><msub id="Thmnote8.p1.6.m1.11.11.11.4.4.4.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.11.11.11.4.4.4.1.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.11.11.11.4.4.4.1.2" xref="Thmnote8.p1.6.m1.11.11.11.4.4.4.1.2.cmml">i</mi><mn id="Thmnote8.p1.6.m1.11.11.11.4.4.4.1.3" xref="Thmnote8.p1.6.m1.11.11.11.4.4.4.1.3.cmml">1</mn></msub></msup></mrow><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5" xref="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5.cmml">∧</mo><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.13.13.13.6.6.6" mathvariant="normal" xref="Thmnote8.p1.6.m1.13.13.13.6.6.6.cmml">⋯</mi><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5a" xref="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5.cmml">∧</mo><mrow id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.2"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.15.15.15.8.8.8" xref="Thmnote8.p1.6.m1.15.15.15.8.8.8.cmml">d</mi><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.2.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.2.2"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.16.16.16.9.9.9" xref="Thmnote8.p1.6.m1.16.16.16.9.9.9.cmml">x</mi><msub id="Thmnote8.p1.6.m1.17.17.17.10.10.10.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.17.17.17.10.10.10.1.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.17.17.17.10.10.10.1.2" xref="Thmnote8.p1.6.m1.17.17.17.10.10.10.1.2.cmml">i</mi><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.17.17.17.10.10.10.1.3" xref="Thmnote8.p1.6.m1.17.17.17.10.10.10.1.3.cmml">p</mi></msub></msup></mrow><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5b" xref="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5.cmml">∧</mo><mrow id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.3"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.19.19.19.12.12.12" xref="Thmnote8.p1.6.m1.19.19.19.12.12.12.cmml">d</mi><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.3.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.3.2"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.20.20.20.13.13.13" xref="Thmnote8.p1.6.m1.20.20.20.13.13.13.cmml">z</mi><msub id="Thmnote8.p1.6.m1.21.21.21.14.14.14.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.21.21.21.14.14.14.1.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.21.21.21.14.14.14.1.2" xref="Thmnote8.p1.6.m1.21.21.21.14.14.14.1.2.cmml">A</mi><mn id="Thmnote8.p1.6.m1.21.21.21.14.14.14.1.3" xref="Thmnote8.p1.6.m1.21.21.21.14.14.14.1.3.cmml">1</mn></msub></msup></mrow><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5c" xref="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5.cmml">∧</mo><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.23.23.23.16.16.16" mathvariant="normal" xref="Thmnote8.p1.6.m1.23.23.23.16.16.16.cmml">⋯</mi><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5d" xref="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5.cmml">∧</mo><mrow id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.4"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.25.25.25.18.18.18" xref="Thmnote8.p1.6.m1.25.25.25.18.18.18.cmml">d</mi><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.4.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.4.2"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.26.26.26.19.19.19" xref="Thmnote8.p1.6.m1.26.26.26.19.19.19.cmml">z</mi><msub id="Thmnote8.p1.6.m1.27.27.27.20.20.20.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.27.27.27.20.20.20.1.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.27.27.27.20.20.20.1.2" xref="Thmnote8.p1.6.m1.27.27.27.20.20.20.1.2.cmml">A</mi><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.27.27.27.20.20.20.1.3" xref="Thmnote8.p1.6.m1.27.27.27.20.20.20.1.3.cmml">r</mi></msub></msup></mrow><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5e" xref="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5.cmml">∧</mo><mrow id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.5"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.29.29.29.22.22.22" xref="Thmnote8.p1.6.m1.29.29.29.22.22.22.cmml">d</mi><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.5.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.5.2"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.30.30.30.23.23.23" xref="Thmnote8.p1.6.m1.30.30.30.23.23.23.cmml">w</mi><msub id="Thmnote8.p1.6.m1.31.31.31.24.24.24.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.31.31.31.24.24.24.1.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.31.31.31.24.24.24.1.2" xref="Thmnote8.p1.6.m1.31.31.31.24.24.24.1.2.cmml">P</mi><mn id="Thmnote8.p1.6.m1.31.31.31.24.24.24.1.3" xref="Thmnote8.p1.6.m1.31.31.31.24.24.24.1.3.cmml">1</mn></msub></msup></mrow><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5f" xref="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5.cmml">∧</mo><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.33.33.33.26.26.26" mathvariant="normal" xref="Thmnote8.p1.6.m1.33.33.33.26.26.26.cmml">⋯</mi><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5g" xref="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5.cmml">∧</mo><mrow id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.6"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.35.35.35.28.28.28" xref="Thmnote8.p1.6.m1.35.35.35.28.28.28.cmml">d</mi><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.6.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmnote8.p1.6.m1.40.40.2.39.32.32.32.1.2.6.2"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.36.36.36.29.29.29" xref="Thmnote8.p1.6.m1.36.36.36.29.29.29.cmml">w</mi><msub id="Thmnote8.p1.6.m1.37.37.37.30.30.30.1" xref="Thmnote8.p1.6.m1.37.37.37.30.30.30.1.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.37.37.37.30.30.30.1.2" xref="Thmnote8.p1.6.m1.37.37.37.30.30.30.1.2.cmml">P</mi><mi id="Thmnote8.p1.6.m1.37.37.37.30.30.30.1.3" xref="Thmnote8.p1.6.m1.37.37.37.30.30.30.1.3.cmml">s</mi></msub></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmnote8.p1.6.m1.38.38.38.31.31.31" xref="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote8.p1.6.m1.40b"><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><eq id="Thmnote8.p1.6.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.3.3.3.3.3.3"></eq><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.1.1.1.1.1.1">Θ</ci><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.2.2.2.2.2.2.1">𝜆</ci></apply><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><and id="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.12.12.12.5.5.5"></and><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11">subscript</csymbol><sum id="Thmnote8.p1.6.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.4.4.4.4.4.4"></sum><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1"><eq id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.1"></eq><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2"><plus id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.1"></plus><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2">𝑝</ci><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.3">𝑟</ci><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.4.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.4">𝑠</ci></apply><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.5.5.5.5.5.5.1.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><times id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"></times><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.8.8.8.1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.8.8.8.1.1.1">⋅</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.6.6.6.6.6.6.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.6.6.6.6.6.6">𝐹</ci><list id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.10.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9"><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.1.2">𝑖</ci><cn id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.1.3">1</cn></apply><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.1">⋯</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2.2">𝑖</ci><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.6.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.6.3.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.6.3.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.6.3.2">𝐴</ci><cn id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.6.3.3">1</cn></apply><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.2">⋯</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.7.4.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.7.4.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.7.4">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.7.4.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.7.4.2">𝐴</ci><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.7.4.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.7.4.3">𝑟</ci></apply><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.8.5.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.8.5"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.8.5.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.8.5">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.8.5.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.8.5.2">𝑃</ci><cn id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.8.5.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.8.5.3">1</cn></apply><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.3">⋯</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.6.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.6"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.6.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.6">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.6.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.6.2">𝑃</ci><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.6.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.7.1.9.6.3">𝑠</ci></apply></list></apply><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.9.9.9.2.2.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.9.9.9.2.2.2">𝑑</ci></apply><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11">superscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.10.10.10.3.3.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.10.10.10.3.3.3">𝑥</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.11.11.11.4.4.4.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.11.11.11.4.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.11.11.11.4.4.4.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.11.11.11.4.4.4.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.11.11.11.4.4.4.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.11.11.11.4.4.4.1.2">𝑖</ci><cn id="Thmnote8.p1.6.m1.11.11.11.4.4.4.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote8.p1.6.m1.11.11.11.4.4.4.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.13.13.13.6.6.6.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.13.13.13.6.6.6">⋯</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.4.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><times id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"></times><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.15.15.15.8.8.8.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.15.15.15.8.8.8">𝑑</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11">superscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.16.16.16.9.9.9.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.16.16.16.9.9.9">𝑥</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.17.17.17.10.10.10.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.17.17.17.10.10.10.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.17.17.17.10.10.10.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.17.17.17.10.10.10.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.17.17.17.10.10.10.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.17.17.17.10.10.10.1.2">𝑖</ci><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.17.17.17.10.10.10.1.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.17.17.17.10.10.10.1.3">𝑝</ci></apply></apply></apply><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.5.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><times id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"></times><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.19.19.19.12.12.12.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.19.19.19.12.12.12">𝑑</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.5.3.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11">superscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.20.20.20.13.13.13.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.20.20.20.13.13.13">𝑧</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.21.21.21.14.14.14.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.21.21.21.14.14.14.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.21.21.21.14.14.14.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.21.21.21.14.14.14.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.21.21.21.14.14.14.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.21.21.21.14.14.14.1.2">𝐴</ci><cn id="Thmnote8.p1.6.m1.21.21.21.14.14.14.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote8.p1.6.m1.21.21.21.14.14.14.1.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.23.23.23.16.16.16.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.23.23.23.16.16.16">⋯</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.7.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><times id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.7.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"></times><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.25.25.25.18.18.18.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.25.25.25.18.18.18">𝑑</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.7.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.7.3.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11">superscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.26.26.26.19.19.19.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.26.26.26.19.19.19">𝑧</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.27.27.27.20.20.20.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.27.27.27.20.20.20.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.27.27.27.20.20.20.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.27.27.27.20.20.20.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.27.27.27.20.20.20.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.27.27.27.20.20.20.1.2">𝐴</ci><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.27.27.27.20.20.20.1.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.27.27.27.20.20.20.1.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.8.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><times id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.8.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"></times><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.29.29.29.22.22.22.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.29.29.29.22.22.22">𝑑</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.8.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.8.3.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11">superscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.30.30.30.23.23.23.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.30.30.30.23.23.23">𝑤</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.31.31.31.24.24.24.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.31.31.31.24.24.24.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.31.31.31.24.24.24.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.31.31.31.24.24.24.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.31.31.31.24.24.24.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.31.31.31.24.24.24.1.2">𝑃</ci><cn id="Thmnote8.p1.6.m1.31.31.31.24.24.24.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote8.p1.6.m1.31.31.31.24.24.24.1.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.33.33.33.26.26.26.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.33.33.33.26.26.26">⋯</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.10.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><times id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.10.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"></times><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.35.35.35.28.28.28.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.35.35.35.28.28.28">𝑑</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.10.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.39.39.1.1.1.3.10.3.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.7.7.7.7.7.11">superscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.36.36.36.29.29.29.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.36.36.36.29.29.29">𝑤</ci><apply id="Thmnote8.p1.6.m1.37.37.37.30.30.30.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.37.37.37.30.30.30.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.6.m1.37.37.37.30.30.30.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.37.37.37.30.30.30.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.37.37.37.30.30.30.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.37.37.37.30.30.30.1.2">𝑃</ci><ci id="Thmnote8.p1.6.m1.37.37.37.30.30.30.1.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.6.m1.37.37.37.30.30.30.1.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote8.p1.6.m1.40c">\Theta_{\lambda}=\sum_{p+r+s=m}F_{i_{1},\cdots,i_{p},A_{1},\cdots,A_{r},P_{1},% \cdots,P_{s}}\cdot\\ \cdot dx^{i_{1}}\wedge\cdots\wedge dx^{i_{p}}\wedge dz^{A_{1}}\wedge\cdots% \wedge dz^{A_{r}}\wedge dw^{P_{1}}\wedge\cdots\wedge dw^{P_{s}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote8.p1.6.m1.40d">start_ROW start_CELL roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_p + italic_r + italic_s = italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_i start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , ⋯ , italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT , italic_A start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , ⋯ , italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT , italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , ⋯ , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⋅ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ⋅ italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∧ ⋯ ∧ italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∧ ⋯ ∧ italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∧ ⋯ ∧ italic_d italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmnote8.p1.13">and the conditions</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex22"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Z\lrcorner\Theta_{\lambda}=0" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex22.m1.1"><semantics id="S3.Ex22.m1.1a"><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex22.m1.1.1.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.2.2" xref="S3.Ex22.m1.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.2.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex22.m1.1.1.2.3.cmml">⌟</mi><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.2.1a" xref="S3.Ex22.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex22.m1.1.1.2.4" xref="S3.Ex22.m1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex22.m1.1.1.2.4.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex22.m1.1.1.2.4.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.2.4.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex22.m1.1.1.1" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex22.m1.1.1.3" xref="S3.Ex22.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex22.m1.1b"><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1"><eq id="S3.Ex22.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.2"><times id="S3.Ex22.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.2.3">⌟</ci><apply id="S3.Ex22.m1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex22.m1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.2.4.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex22.m1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex22.m1.1.1.2.4.3">𝜆</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex22.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex22.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex22.m1.1c">Z\lrcorner\Theta_{\lambda}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex22.m1.1d">italic_Z ⌟ roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmnote8.p1.14">translate into</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex23"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Theta_{\lambda}=\sum_{p+r=m}F^{i_{1},\cdots,i_{p}}_{P_{1},\cdots,P_{r}}\eta_{% i_{1},\cdots,i_{p}}\wedge dw^{P_{1}}\wedge\cdots\wedge dw^{P_{s}}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex23.m1.9"><semantics id="S3.Ex23.m1.9a"><mrow id="S3.Ex23.m1.9.10" xref="S3.Ex23.m1.9.10.cmml"><msub id="S3.Ex23.m1.9.10.2" xref="S3.Ex23.m1.9.10.2.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.9.10.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex23.m1.9.10.2.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex23.m1.9.10.2.3" xref="S3.Ex23.m1.9.10.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S3.Ex23.m1.9.10.1" rspace="0.111em" xref="S3.Ex23.m1.9.10.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.9.10.3" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.cmml"><mrow id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.cmml"><munder id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.2" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.2.2" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.2.2.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.2.1" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.2.1.cmml">+</mo><mi id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.2.3" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.2.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.1" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.1.cmml">=</mo><mi id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.3" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.3.cmml">m</mi></mrow></munder><mrow id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.2" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.2.2.2.cmml">F</mi><mrow id="S3.Ex23.m1.6.6.3.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.3.4.cmml"><msub id="S3.Ex23.m1.5.5.2.2.1" xref="S3.Ex23.m1.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.5.5.2.2.1.2" xref="S3.Ex23.m1.5.5.2.2.1.2.cmml">P</mi><mn id="S3.Ex23.m1.5.5.2.2.1.3" xref="S3.Ex23.m1.5.5.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.3.3.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex23.m1.4.4.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Ex23.m1.4.4.1.1.cmml">⋯</mi><mo id="S3.Ex23.m1.6.6.3.3.4" xref="S3.Ex23.m1.6.6.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex23.m1.6.6.3.3.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.3.3.2.2" xref="S3.Ex23.m1.6.6.3.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex23.m1.6.6.3.3.2.3" xref="S3.Ex23.m1.6.6.3.3.2.3.cmml">r</mi></msub></mrow><mrow id="S3.Ex23.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex23.m1.3.3.3.4.cmml"><msub id="S3.Ex23.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex23.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex23.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mn id="S3.Ex23.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex23.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex23.m1.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex23.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.cmml">⋯</mi><mo id="S3.Ex23.m1.3.3.3.3.4" xref="S3.Ex23.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex23.m1.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex23.m1.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.3.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex23.m1.3.3.3.3.2.2.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex23.m1.3.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex23.m1.3.3.3.3.2.3.cmml">p</mi></msub></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.1" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.3" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.3.2" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S3.Ex23.m1.9.9.3.3" xref="S3.Ex23.m1.9.9.3.4.cmml"><msub id="S3.Ex23.m1.8.8.2.2.1" xref="S3.Ex23.m1.8.8.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.8.8.2.2.1.2" xref="S3.Ex23.m1.8.8.2.2.1.2.cmml">i</mi><mn id="S3.Ex23.m1.8.8.2.2.1.3" xref="S3.Ex23.m1.8.8.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex23.m1.9.9.3.3.3" xref="S3.Ex23.m1.9.9.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex23.m1.7.7.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Ex23.m1.7.7.1.1.cmml">⋯</mi><mo id="S3.Ex23.m1.9.9.3.3.4" xref="S3.Ex23.m1.9.9.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex23.m1.9.9.3.3.2" xref="S3.Ex23.m1.9.9.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.9.9.3.3.2.2" xref="S3.Ex23.m1.9.9.3.3.2.2.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex23.m1.9.9.3.3.2.3" xref="S3.Ex23.m1.9.9.3.3.2.3.cmml">p</mi></msub></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex23.m1.9.10.3.1" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.1.cmml">∧</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.2" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.1" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.2" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.2.cmml">w</mi><msub id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.3" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.3.2.cmml">P</mi><mn id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></msub></msup></mrow><mo id="S3.Ex23.m1.9.10.3.1a" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.1.cmml">∧</mo><mi id="S3.Ex23.m1.9.10.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.4.cmml">⋯</mi><mo id="S3.Ex23.m1.9.10.3.1b" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.1.cmml">∧</mo><mrow id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.2" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.1" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.2" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.2.cmml">w</mi><msub id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.3" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.3.2" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.3.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.3.3" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.3.3.cmml">s</mi></msub></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex23.m1.9b"><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10"><eq id="S3.Ex23.m1.9.10.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.1"></eq><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.9.10.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.9.10.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.2.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex23.m1.9.10.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3"><and id="S3.Ex23.m1.9.10.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.1"></and><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2"><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.2"></sum><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3"><eq id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.1"></eq><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.2"><plus id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.2.1"></plus><ci id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2"><times id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.1"></times><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.2.2.2">𝐹</ci><list id="S3.Ex23.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex23.m1.3.3.3.3"><apply id="S3.Ex23.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.2.2.2.2.1.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex23.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex23.m1.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex23.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.1.1.1.1">⋯</ci><apply id="S3.Ex23.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.3.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.3.3.3.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex23.m1.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.3.3.3.3.2.3">𝑝</ci></apply></list></apply><list id="S3.Ex23.m1.6.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.3.3"><apply id="S3.Ex23.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.5.5.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.5.5.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.5.5.2.2.1.2">𝑃</ci><cn id="S3.Ex23.m1.5.5.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex23.m1.5.5.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex23.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.4.4.1.1">⋯</ci><apply id="S3.Ex23.m1.6.6.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.6.6.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.3.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex23.m1.6.6.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.6.6.3.3.2.3">𝑟</ci></apply></list></apply><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.2.2.3.2">𝜂</ci><list id="S3.Ex23.m1.9.9.3.4.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.9.3.3"><apply id="S3.Ex23.m1.8.8.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.8.8.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.8.8.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.8.8.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.8.8.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.8.8.2.2.1.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex23.m1.8.8.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex23.m1.8.8.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex23.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.7.7.1.1">⋯</ci><apply id="S3.Ex23.m1.9.9.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.9.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.9.9.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.9.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.9.9.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.9.3.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex23.m1.9.9.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.9.3.3.2.3">𝑝</ci></apply></list></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3"><times id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.2">𝑤</ci><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.3.2">𝑃</ci><cn id="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex23.m1.9.10.3.4.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.4">⋯</ci><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5"><times id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.1"></times><ci id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.2">𝑤</ci><apply id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex23.m1.9.10.3.5.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex23.m1.9c">\Theta_{\lambda}=\sum_{p+r=m}F^{i_{1},\cdots,i_{p}}_{P_{1},\cdots,P_{r}}\eta_{% i_{1},\cdots,i_{p}}\wedge dw^{P_{1}}\wedge\cdots\wedge dw^{P_{s}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex23.m1.9d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_p + italic_r = italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_F start_POSTSUPERSCRIPT italic_i start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , ⋯ , italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , ⋯ , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , ⋯ , italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∧ ⋯ ∧ italic_d italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmnote8.p1.15">and so</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="{\mathcal{L}}_{\partial/\partial z^{B}}\Theta_{\lambda}=\sum_{p+r=m}\frac{% \partial F^{i_{1},\cdots,i_{p}}_{P_{1},\cdots,P_{r}}}{\partial z^{B}}\eta_{i_{% 1},\cdots,i_{p}}\wedge dw^{P_{1}}\wedge\cdots\wedge dw^{P_{s}}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex24.m1.9"><semantics id="S3.Ex24.m1.9a"><mrow id="S3.Ex24.m1.9.10" xref="S3.Ex24.m1.9.10.cmml"><mrow id="S3.Ex24.m1.9.10.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.cmml"><msub id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.2.cmml">ℒ</mi><mrow id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.2" rspace="0em" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.2.cmml">∂</mo><mo id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.1" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.1.cmml">/</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.2.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.2.3" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.2.3.cmml">B</mi></msup></mrow></mrow></msub><mo id="S3.Ex24.m1.9.10.2.1" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex24.m1.9.10.2.3" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.9.10.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex24.m1.9.10.2.3.3" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.9.10.1" rspace="0.111em" xref="S3.Ex24.m1.9.10.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.9.10.3" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.cmml"><mrow id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.cmml"><munder id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.2.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.2.2.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.2.1" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.2.1.cmml">+</mo><mi id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.2.3" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.2.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.1" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.1.cmml">=</mo><mi id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.3" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.3.cmml">m</mi></mrow></munder><mrow id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex24.m1.6.6" xref="S3.Ex24.m1.6.6.cmml"><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.6" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.cmml"><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.6.7" rspace="0em" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.7.cmml">∂</mo><msubsup id="S3.Ex24.m1.6.6.6.8" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.8.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.6.8.2.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.8.2.2.cmml">F</mi><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.4.cmml"><msub id="S3.Ex24.m1.5.5.5.5.2.2.1" xref="S3.Ex24.m1.5.5.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.5.5.5.5.2.2.1.2" xref="S3.Ex24.m1.5.5.5.5.2.2.1.2.cmml">P</mi><mn id="S3.Ex24.m1.5.5.5.5.2.2.1.3" xref="S3.Ex24.m1.5.5.5.5.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex24.m1.4.4.4.4.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.4.1.1.cmml">⋯</mi><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3.4" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3.2.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3.2.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3.2.3.cmml">r</mi></msub></mrow><mrow id="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.4.cmml"><msub id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mn id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⋯</mi><mo id="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3.4" xref="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3.2.2.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3.2.3.cmml">p</mi></msub></mrow></msubsup></mrow><mrow id="S3.Ex24.m1.6.6.8" xref="S3.Ex24.m1.6.6.8.cmml"><mo id="S3.Ex24.m1.6.6.8.1" rspace="0em" xref="S3.Ex24.m1.6.6.8.1.cmml">∂</mo><msup id="S3.Ex24.m1.6.6.8.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.8.2.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.8.2.2" xref="S3.Ex24.m1.6.6.8.2.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex24.m1.6.6.8.2.3" xref="S3.Ex24.m1.6.6.8.2.3.cmml">B</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2.1" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S3.Ex24.m1.9.9.3.3" xref="S3.Ex24.m1.9.9.3.4.cmml"><msub id="S3.Ex24.m1.8.8.2.2.1" xref="S3.Ex24.m1.8.8.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.8.8.2.2.1.2" xref="S3.Ex24.m1.8.8.2.2.1.2.cmml">i</mi><mn id="S3.Ex24.m1.8.8.2.2.1.3" xref="S3.Ex24.m1.8.8.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex24.m1.9.9.3.3.3" xref="S3.Ex24.m1.9.9.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex24.m1.7.7.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Ex24.m1.7.7.1.1.cmml">⋯</mi><mo id="S3.Ex24.m1.9.9.3.3.4" xref="S3.Ex24.m1.9.9.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex24.m1.9.9.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.9.9.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.9.9.3.3.2.2" xref="S3.Ex24.m1.9.9.3.3.2.2.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex24.m1.9.9.3.3.2.3" xref="S3.Ex24.m1.9.9.3.3.2.3.cmml">p</mi></msub></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.9.10.3.1" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.1.cmml">∧</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.1" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.2.cmml">w</mi><msub id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.3" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.3.2.cmml">P</mi><mn id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></msub></msup></mrow><mo id="S3.Ex24.m1.9.10.3.1a" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.1.cmml">∧</mo><mi id="S3.Ex24.m1.9.10.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.4.cmml">⋯</mi><mo id="S3.Ex24.m1.9.10.3.1b" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.1.cmml">∧</mo><mrow id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.1" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.2.cmml">w</mi><msub id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.3" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.3.2" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.3.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.3.3" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.3.3.cmml">s</mi></msub></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex24.m1.9b"><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10"><eq id="S3.Ex24.m1.9.10.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.1"></eq><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2"><times id="S3.Ex24.m1.9.10.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.1"></times><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.2">ℒ</ci><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3"><divide id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.1"></divide><partialdiff id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.2"></partialdiff><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3"><partialdiff id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.2.3.3.2.3">𝐵</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.2.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.9.10.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.3.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.2.3.3">𝜆</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3"><and id="S3.Ex24.m1.9.10.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.1"></and><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2"><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.2"></sum><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3"><eq id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.1"></eq><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.2"><plus id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.2.1"></plus><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2"><times id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2.1"></times><apply id="S3.Ex24.m1.6.6.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6"><divide id="S3.Ex24.m1.6.6.7.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6"></divide><apply id="S3.Ex24.m1.6.6.6.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6"><partialdiff id="S3.Ex24.m1.6.6.6.7.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.7"></partialdiff><apply id="S3.Ex24.m1.6.6.6.8.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.6.6.6.8.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.8">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex24.m1.6.6.6.8.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.6.6.6.8.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.8">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.6.6.6.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.8.2.2">𝐹</ci><list id="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3"><apply id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.1.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1">⋯</ci><apply id="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.3.3.3.3.3.3.2.3">𝑝</ci></apply></list></apply><list id="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3"><apply id="S3.Ex24.m1.5.5.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.5.5.5.5.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.5.5.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.5.5.5.5.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.5.5.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.5.5.5.5.2.2.1.2">𝑃</ci><cn id="S3.Ex24.m1.5.5.5.5.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex24.m1.5.5.5.5.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex24.m1.4.4.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.4.4.4.4.1.1">⋯</ci><apply id="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.6.6.3.3.2.3">𝑟</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.Ex24.m1.6.6.8.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.8"><partialdiff id="S3.Ex24.m1.6.6.8.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.8.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex24.m1.6.6.8.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.6.6.8.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.8.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.6.6.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.8.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex24.m1.6.6.8.2.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.6.6.8.2.3">𝐵</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.2.2.2.2">𝜂</ci><list id="S3.Ex24.m1.9.9.3.4.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.9.3.3"><apply id="S3.Ex24.m1.8.8.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.8.8.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.8.8.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.8.8.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.8.8.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.8.8.2.2.1.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex24.m1.8.8.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex24.m1.8.8.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex24.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.7.7.1.1">⋯</ci><apply id="S3.Ex24.m1.9.9.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.9.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.9.9.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.9.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.9.9.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.9.3.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex24.m1.9.9.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.9.3.3.2.3">𝑝</ci></apply></list></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3"><times id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.2">𝑤</ci><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.3.2">𝑃</ci><cn id="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.3.4.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.4">⋯</ci><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5"><times id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.1"></times><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.2">𝑤</ci><apply id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex24.m1.9.10.3.5.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex24.m1.9c">{\mathcal{L}}_{\partial/\partial z^{B}}\Theta_{\lambda}=\sum_{p+r=m}\frac{% \partial F^{i_{1},\cdots,i_{p}}_{P_{1},\cdots,P_{r}}}{\partial z^{B}}\eta_{i_{% 1},\cdots,i_{p}}\wedge dw^{P_{1}}\wedge\cdots\wedge dw^{P_{s}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex24.m1.9d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT ∂ / ∂ italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_p + italic_r = italic_m end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ∂ italic_F start_POSTSUPERSCRIPT italic_i start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , ⋯ , italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , ⋯ , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , ⋯ , italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∧ ⋯ ∧ italic_d italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmnote8.p1.7">therefore, the conditions <math alttext="Y\lrcorner\left({\mathcal{L}}_{Z}\Theta_{\lambda}\right)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote8.p1.7.m1.1"><semantics id="Thmnote8.p1.7.m1.1a"><mrow id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.cmml"><mrow id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.3" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.3.cmml">Y</mi><mo id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.2" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.4.cmml">⌟</mi><mo id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.2a" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ℒ</mi><mi id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">Z</mi></msub><mo id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.2" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.3" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote8.p1.7.m1.1b"><apply id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1"><eq id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.2"></eq><apply id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1"><times id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.2"></times><ci id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.3">𝑌</ci><ci id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.4.cmml" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.4">⌟</ci><apply id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1"><times id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">ℒ</ci><ci id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑍</ci></apply><apply id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><cn id="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote8.p1.7.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote8.p1.7.m1.1c">Y\lrcorner\left({\mathcal{L}}_{Z}\Theta_{\lambda}\right)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote8.p1.7.m1.1d">italic_Y ⌟ ( caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_Z end_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ) = 0</annotation></semantics></math> become</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx4"> <tbody id="S3.Ex25"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{\partial F^{i_{1},\cdots,i_{p}}_{P_{1},\cdots,P_{r}}}{% \partial z^{B}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex25.m1.6"><semantics id="S3.Ex25.m1.6a"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex25.m1.6.6" xref="S3.Ex25.m1.6.6.cmml"><mfrac id="S3.Ex25.m1.6.6a" xref="S3.Ex25.m1.6.6.cmml"><mrow id="S3.Ex25.m1.6.6.6" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.cmml"><mo id="S3.Ex25.m1.6.6.6.7" rspace="0em" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.7.cmml">∂</mo><msubsup id="S3.Ex25.m1.6.6.6.8" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.8.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.6.6.6.8.2.2" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.8.2.2.cmml">F</mi><mrow id="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.4.cmml"><msub id="S3.Ex25.m1.5.5.5.5.2.2.1" xref="S3.Ex25.m1.5.5.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.5.5.5.5.2.2.1.2" xref="S3.Ex25.m1.5.5.5.5.2.2.1.2.cmml">P</mi><mn id="S3.Ex25.m1.5.5.5.5.2.2.1.3" xref="S3.Ex25.m1.5.5.5.5.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3.3" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.1.1.cmml">⋯</mi><mo id="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3.4" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3.2" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3.2.2" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3.2.3" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3.2.3.cmml">r</mi></msub></mrow><mrow id="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.4.cmml"><msub id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mn id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⋯</mi><mo id="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3.4" xref="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3.2.2.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3.2.3.cmml">p</mi></msub></mrow></msubsup></mrow><mrow id="S3.Ex25.m1.6.6.8" xref="S3.Ex25.m1.6.6.8.cmml"><mo id="S3.Ex25.m1.6.6.8.1" rspace="0em" xref="S3.Ex25.m1.6.6.8.1.cmml">∂</mo><msup id="S3.Ex25.m1.6.6.8.2" xref="S3.Ex25.m1.6.6.8.2.cmml"><mi id="S3.Ex25.m1.6.6.8.2.2" xref="S3.Ex25.m1.6.6.8.2.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex25.m1.6.6.8.2.3" xref="S3.Ex25.m1.6.6.8.2.3.cmml">B</mi></msup></mrow></mfrac></mstyle><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex25.m1.6b"><apply id="S3.Ex25.m1.6.6.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6"><divide id="S3.Ex25.m1.6.6.7.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6"></divide><apply id="S3.Ex25.m1.6.6.6.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6"><partialdiff id="S3.Ex25.m1.6.6.6.7.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.7"></partialdiff><apply id="S3.Ex25.m1.6.6.6.8.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m1.6.6.6.8.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.8">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex25.m1.6.6.6.8.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m1.6.6.6.8.2.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.8">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex25.m1.6.6.6.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.8.2.2">𝐹</ci><list id="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3"><apply id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.2.1.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex25.m1.2.2.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1">⋯</ci><apply id="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex25.m1.3.3.3.3.3.3.2.3">𝑝</ci></apply></list></apply><list id="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3"><apply id="S3.Ex25.m1.5.5.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.5.5.5.5.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m1.5.5.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.5.5.5.5.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex25.m1.5.5.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.5.5.5.5.2.2.1.2">𝑃</ci><cn id="S3.Ex25.m1.5.5.5.5.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex25.m1.5.5.5.5.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.4.4.4.4.1.1">⋯</ci><apply id="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.6.6.3.3.2.3">𝑟</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.Ex25.m1.6.6.8.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.8"><partialdiff id="S3.Ex25.m1.6.6.8.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.8.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex25.m1.6.6.8.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m1.6.6.8.2.1.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.8.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex25.m1.6.6.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.8.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex25.m1.6.6.8.2.3.cmml" xref="S3.Ex25.m1.6.6.8.2.3">𝐵</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex25.m1.6c">\displaystyle\frac{\partial F^{i_{1},\cdots,i_{p}}_{P_{1},\cdots,P_{r}}}{% \partial z^{B}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex25.m1.6d">divide start_ARG ∂ italic_F start_POSTSUPERSCRIPT italic_i start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , ⋯ , italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , ⋯ , italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_B end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=0,\qquad p<m,p+r=m." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex25.m2.2"><semantics id="S3.Ex25.m2.2a"><mrow id="S3.Ex25.m2.2.2.1"><mrow id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S3.Ex25.m2.1.1" xref="S3.Ex25.m2.1.1.cmml">m</mi></mrow><mo id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">+</mo><mi id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mi id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">m</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex25.m2.2.2.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex25.m2.2b"><apply id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><cn id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.1.1"><lt id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.1.1.1"></lt><ci id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex25.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex25.m2.1.1">𝑚</ci></apply><apply id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2"><eq id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.1"></eq><apply id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><plus id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1"></plus><ci id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex25.m2.2.2.1.1.2.2.2.2.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex25.m2.2c">\displaystyle=0,\qquad p<m,p+r=m.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex25.m2.2d">= 0 , italic_p < italic_m , italic_p + italic_r = italic_m .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmnote8.p1.8">For example, using the local expressions found in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.SS2.SSS1" title="2.2.1. Local expressions ‣ 2.2. The unified formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2.1</span></a> for the unified formalism associated to the classical variational problem for a Lagrangian density <math alttext="{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote8.p1.8.m1.1"><semantics id="Thmnote8.p1.8.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmnote8.p1.8.m1.1.1" xref="Thmnote8.p1.8.m1.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote8.p1.8.m1.1b"><ci id="Thmnote8.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.8.m1.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote8.p1.8.m1.1c">{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote8.p1.8.m1.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math>, Eq. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S2.E2" title="Equation 2.2 ‣ 2.2.1. Local expressions ‣ 2.2. The unified formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>) can be written as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Theta_{\mathcal{L}}=\left({L}-p^{I,i}_{\alpha}{u}_{I+1_{j}}^{\alpha}\right)% \eta+\sum_{i=1}^{m}\sum_{0\leq\lvert I\rvert\leq k}p_{\alpha}^{I,i}du^{\alpha}% _{I}\wedge\eta_{i}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex26.m1.6"><semantics id="S3.Ex26.m1.6a"><mrow id="S3.Ex26.m1.6.6.1" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.3.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S3.Ex26.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex26.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex26.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex26.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex26.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex26.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex26.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><msub id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.2" rspace="0.055em" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><munderover id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.3.cmml">m</mi></munderover><mrow id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml"><munder id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.cmml"><mn id="S3.Ex26.m1.3.3.1.3" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.3.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.4" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Ex26.m1.3.3.1.5.2" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.5.1.cmml"><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.5.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.5.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.3.3.1.6" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.6.cmml">≤</mo><mi id="S3.Ex26.m1.3.3.1.7" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.7.cmml">k</mi></mrow></munder><mrow id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S3.Ex26.m1.5.5.2.4" xref="S3.Ex26.m1.5.5.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.cmml">I</mi><mo id="S3.Ex26.m1.5.5.2.4.1" xref="S3.Ex26.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex26.m1.5.5.2.2" xref="S3.Ex26.m1.5.5.2.2.cmml">i</mi></mrow></msubsup><mo id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.1a" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml">I</mi><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">∧</mo><msub id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex26.m1.6.6.1.2" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex26.m1.6b"><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1"><eq id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.3.3">ℒ</ci></apply><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1"><and id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.2"></and><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐿</ci><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑝</ci><list id="S3.Ex26.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex26.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S3.Ex26.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><plus id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">subscript</csymbol><cn id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2">1</cn><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝛼</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.1.3">𝜂</ci></apply><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3"><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2"><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1.2"></sum><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1"><and id="S3.Ex26.m1.3.3.1a.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1"></and><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1b.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1"><leq id="S3.Ex26.m1.3.3.1.4.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.4"></leq><cn id="S3.Ex26.m1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.3">0</cn><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.5.2"><abs id="S3.Ex26.m1.3.3.1.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.5.2.1"></abs><ci id="S3.Ex26.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.1">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex26.m1.3.3.1c.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1"><leq id="S3.Ex26.m1.3.3.1.6.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.Ex26.m1.3.3.1.5.cmml" id="S3.Ex26.m1.3.3.1d.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1"></share><ci id="S3.Ex26.m1.3.3.1.7.cmml" xref="S3.Ex26.m1.3.3.1.7">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3">𝛼</ci></apply><list id="S3.Ex26.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.5.5.2.4"><ci id="S3.Ex26.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.4.4.1.1">𝐼</ci><ci id="S3.Ex26.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.5.5.2.2">𝑖</ci></list></apply><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑑</ci><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2.4.3">𝐼</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex26.m1.6.6.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex26.m1.6c">\Theta_{\mathcal{L}}=\left({L}-p^{I,i}_{\alpha}{u}_{I+1_{j}}^{\alpha}\right)% \eta+\sum_{i=1}^{m}\sum_{0\leq\lvert I\rvert\leq k}p_{\alpha}^{I,i}du^{\alpha}% _{I}\wedge\eta_{i},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex26.m1.6d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_L - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_η + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT 0 ≤ | italic_I | ≤ italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_I , italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmnote8.p1.10">and these conditions are met, proving that <math alttext="p^{\ddagger}_{\mathcal{L}}:\widetilde{W}_{\mathcal{L}}\to J^{k+1}\pi^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote8.p1.9.m1.1"><semantics id="Thmnote8.p1.9.m1.1a"><mrow id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.cmml"><msubsup id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.2.2" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.3" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi><mo id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.2.3" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.2.3.cmml">‡</mo></msubsup><mo id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.cmml"><msub id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.2" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.2.2" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">W</mi><mo id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.2.1" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.3" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mrow id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.cmml"><msup id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.2" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">J</mi><mrow id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.3" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.3.2" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.3.1" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.3.3" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.1" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.3" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.3.2" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">π</mi><mo id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.3.3" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote8.p1.9.m1.1b"><apply id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1"><ci id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.1">:</ci><apply id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.2.2">𝑝</ci><ci id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.2.3">‡</ci></apply><ci id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.2.3">ℒ</ci></apply><apply id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3"><ci id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.1">→</ci><apply id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.2"><ci id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.2.2">𝑊</ci></apply><ci id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.2.3">ℒ</ci></apply><apply id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3"><times id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.1"></times><apply id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.2">𝐽</ci><apply id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.3"><plus id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.3.1"></plus><ci id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.3.2">𝜋</ci><ci id="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.9.m1.1.1.3.3.3.3">‡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote8.p1.9.m1.1c">p^{\ddagger}_{\mathcal{L}}:\widetilde{W}_{\mathcal{L}}\to J^{k+1}\pi^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote8.p1.9.m1.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT : over~ start_ARG italic_W end_ARG start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT → italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and the canonical form <math alttext="\Theta_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote8.p1.10.m2.1"><semantics id="Thmnote8.p1.10.m2.1a"><msub id="Thmnote8.p1.10.m2.1.1" xref="Thmnote8.p1.10.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmnote8.p1.10.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmnote8.p1.10.m2.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmnote8.p1.10.m2.1.1.3" xref="Thmnote8.p1.10.m2.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote8.p1.10.m2.1b"><apply id="Thmnote8.p1.10.m2.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.10.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote8.p1.10.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmnote8.p1.10.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote8.p1.10.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmnote8.p1.10.m2.1.1.2">Θ</ci><ci id="Thmnote8.p1.10.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmnote8.p1.10.m2.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote8.p1.10.m2.1c">\Theta_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote8.p1.10.m2.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are in this case compatible.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p2.4">Intuitively, it amounts for the form <math alttext="\Theta_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.2">Θ</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1c">\Theta_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to be <math alttext="p_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1c">p_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p2.2.m2.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-semibasic, and the forms <math alttext="{\mathcal{L}}_{Z}\Theta_{\lambda},Z\in\mathfrak{X}^{Vp_{\lambda}}\left(W_{% \lambda}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml">Z</mi></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml">Z</mi></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.cmml"><msup id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.2.cmml">𝔛</mi><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.2.cmml">V</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.3.2.cmml">p</mi><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow></msup><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3"><in id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.3"></in><list id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1"><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.2">ℒ</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.3">𝑍</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1">𝑍</ci></list><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2"><times id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.2"></times><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.2">𝔛</ci><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3"><times id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.2">𝑉</ci><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.3.3.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3.3.2.1.1.1.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3c">{\mathcal{L}}_{Z}\Theta_{\lambda},Z\in\mathfrak{X}^{Vp_{\lambda}}\left(W_{% \lambda}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p2.3.m3.3d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_Z end_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT , italic_Z ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> to be horizontal forms with respect to the projection onto the base manifold <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.1a"><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.1b"><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p2.4.m4.1d">italic_M</annotation></semantics></math>. Therefore, we can introduce the following definition, analogous to Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc3" title="Definition 3. ‣ 2.4.2. The Hamiltonian form associated to a Lagrangian density ‣ 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defc" id="Thmdefc9"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc9.1.1.1">Definition 9</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc9.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefc9.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefc9.p1.3">Suppose that <math alttext="p_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc9.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmdefc9.p1.1.m1.1a"><msub id="Thmdefc9.p1.1.m1.1.1" xref="Thmdefc9.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc9.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmdefc9.p1.1.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="Thmdefc9.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmdefc9.p1.1.m1.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc9.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmdefc9.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc9.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc9.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc9.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc9.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc9.p1.1.m1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="Thmdefc9.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc9.p1.1.m1.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc9.p1.1.m1.1c">p_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc9.p1.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Theta_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc9.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmdefc9.p1.2.m2.1a"><msub id="Thmdefc9.p1.2.m2.1.1" xref="Thmdefc9.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc9.p1.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmdefc9.p1.2.m2.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="Thmdefc9.p1.2.m2.1.1.3" xref="Thmdefc9.p1.2.m2.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc9.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmdefc9.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefc9.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc9.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc9.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc9.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc9.p1.2.m2.1.1.2">Θ</ci><ci id="Thmdefc9.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc9.p1.2.m2.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc9.p1.2.m2.1c">\Theta_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc9.p1.2.m2.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are compatible. The <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmdefc9.p1.3.1">first constraint manifold</em> <math alttext="P_{0}\subset W_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc9.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmdefc9.p1.3.m3.1a"><mrow id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.cmml"><msub id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.2" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">P</mi><mn id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.1" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⊂</mo><msub id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.3" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc9.p1.3.m3.1b"><apply id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1"><subset id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.1"></subset><apply id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.2.2">𝑃</ci><cn id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc9.p1.3.m3.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc9.p1.3.m3.1c">P_{0}\subset W_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc9.p1.3.m3.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⊂ italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the set</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex27"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P_{0}:=\left\{\rho\in W_{\lambda}:\left({\mathcal{L}}_{Z}\Theta_{\lambda}% \right)\left(\rho\right)=0\text{ and }\left(Z\lrcorner\Theta_{\lambda}\right)% \left(\rho\right)=0\text{ for all }Z\in\mathfrak{X}^{Vp_{\lambda}}\left(W_{% \lambda}\right)\right\}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex27.m1.3"><semantics id="S3.Ex27.m1.3a"><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.4" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.4.2.cmml">P</mi><mn id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.4.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.3.cmml">:=</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">Z</mi></msub><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.3.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.3.2.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex27.m1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.3.2.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.5" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4a.cmml"> and </mtext><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2a" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">Z</mi><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1a" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2b" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.5.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.5.2.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex27.m1.2.2" xref="S3.Ex27.m1.2.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.5.2.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.6" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.cmml"><mn id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.2.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.3a.cmml"> for all </mtext><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.1a" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.4" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.4.cmml">Z</mi></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.8" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.8.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">𝔛</mi><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.2.cmml">V</mi><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.3.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow></msup><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.1" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.3" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.5" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex27.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex27.m1.3b"><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.3">assign</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.4.2">𝑃</ci><cn id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.4.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1"><in id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></in><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2"><and id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2a.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2"></and><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2b.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2"><eq id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.5.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.5"></eq><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1"><times id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2"></times><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1"><times id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2">ℒ</ci><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑍</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex27.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.1.1">𝜌</ci></apply><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><times id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2"></times><cn id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3">0</cn><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4a.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4"><mtext id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.4"> and </mtext></ci><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1"><times id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3">⌟</ci><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3">𝜆</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex27.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.2.2">𝜌</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2c.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2"><eq id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.6.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2d.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2"></share><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7"><times id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.1"></times><cn id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.2">0</cn><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.3a.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.3"><mtext id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.3"> for all </mtext></ci><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.4.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.4">𝑍</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2e.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2"><in id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.8.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.8"></in><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.7.cmml" id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2f.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2"></share><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3"><times id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2"></times><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.2">𝔛</ci><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3"><times id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.2">𝑉</ci><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.3.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex27.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.1.1.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex27.m1.3c">P_{0}:=\left\{\rho\in W_{\lambda}:\left({\mathcal{L}}_{Z}\Theta_{\lambda}% \right)\left(\rho\right)=0\text{ and }\left(Z\lrcorner\Theta_{\lambda}\right)% \left(\rho\right)=0\text{ for all }Z\in\mathfrak{X}^{Vp_{\lambda}}\left(W_{% \lambda}\right)\right\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex27.m1.3d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT := { italic_ρ ∈ italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT : ( caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_Z end_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_ρ ) = 0 and ( italic_Z ⌟ roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_ρ ) = 0 for all italic_Z ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ) } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_note" id="Thmnote9"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote9.1.1.1">Remark 9</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote9.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmnote9.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmnote9.p1.4">Please note that this definition is indeed analogous to Definition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc3" title="Definition 3. ‣ 2.4.2. The Hamiltonian form associated to a Lagrangian density ‣ 2.4. Hamiltonian formalism ‣ 2. The unified formalism for higher order field theories ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>). Also, it can be said that <math alttext="P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote9.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmnote9.p1.1.m1.1a"><msub id="Thmnote9.p1.1.m1.1.1" xref="Thmnote9.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmnote9.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmnote9.p1.1.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="Thmnote9.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmnote9.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote9.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmnote9.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote9.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote9.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote9.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote9.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote9.p1.1.m1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="Thmnote9.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote9.p1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote9.p1.1.m1.1c">P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote9.p1.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the biggest set in <math alttext="W_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote9.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmnote9.p1.2.m2.1a"><msub id="Thmnote9.p1.2.m2.1.1" xref="Thmnote9.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmnote9.p1.2.m2.1.1.2" xref="Thmnote9.p1.2.m2.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="Thmnote9.p1.2.m2.1.1.3" xref="Thmnote9.p1.2.m2.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote9.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmnote9.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmnote9.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote9.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmnote9.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote9.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmnote9.p1.2.m2.1.1.2">𝑊</ci><ci id="Thmnote9.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmnote9.p1.2.m2.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote9.p1.2.m2.1c">W_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote9.p1.2.m2.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> where <math alttext="\Theta_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote9.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmnote9.p1.3.m3.1a"><msub id="Thmnote9.p1.3.m3.1.1" xref="Thmnote9.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmnote9.p1.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmnote9.p1.3.m3.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="Thmnote9.p1.3.m3.1.1.3" xref="Thmnote9.p1.3.m3.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote9.p1.3.m3.1b"><apply id="Thmnote9.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmnote9.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote9.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmnote9.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote9.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmnote9.p1.3.m3.1.1.2">Θ</ci><ci id="Thmnote9.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmnote9.p1.3.m3.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote9.p1.3.m3.1c">\Theta_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote9.p1.3.m3.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is <math alttext="p_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote9.p1.4.m4.1"><semantics id="Thmnote9.p1.4.m4.1a"><msub id="Thmnote9.p1.4.m4.1.1" xref="Thmnote9.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmnote9.p1.4.m4.1.1.2" xref="Thmnote9.p1.4.m4.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="Thmnote9.p1.4.m4.1.1.3" xref="Thmnote9.p1.4.m4.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote9.p1.4.m4.1b"><apply id="Thmnote9.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmnote9.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote9.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmnote9.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote9.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmnote9.p1.4.m4.1.1.2">𝑝</ci><ci id="Thmnote9.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmnote9.p1.4.m4.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote9.p1.4.m4.1c">p_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote9.p1.4.m4.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-basic.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p3.2">Let us indicate with <math alttext="i_{0}:P_{0}\hookrightarrow W_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml">i</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml">↪</mo><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.1">:</ci><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2.2">𝑖</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3"><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.1">↪</ci><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1.1.3.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1c">i_{0}:P_{0}\hookrightarrow W_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p3.1.m1.1d">italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT : italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ↪ italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the canonical immersion; define the <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1a"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1b"><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p3.2.m2.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex28"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Theta_{0}:=i_{0}^{*}\Theta_{\lambda}\in\Omega^{m}\left(P_{0}\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex28.m1.1"><semantics id="S3.Ex28.m1.1a"><mrow id="S3.Ex28.m1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mn id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.4.cmml">:=</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.cmml"><msubsup id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.2.2" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.cmml">i</mi><mn id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.2.3" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.2.3.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.6.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Ω</mi><mi id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msup><mo id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex28.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex28.m1.1b"><apply id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1"><and id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1"></and><apply id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.4">assign</csymbol><apply id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2">Θ</ci><cn id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5"><times id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.1"></times><apply id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.2.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.2.3">0</cn></apply><times id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.2.3"></times></apply><apply id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.3.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1"><in id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.6"></in><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.Ex28.m1.1.1.1.1.5.cmml" id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1"></share><apply id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.2">Ω</ci><ci id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex28.m1.1c">\Theta_{0}:=i_{0}^{*}\Theta_{\lambda}\in\Omega^{m}\left(P_{0}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex28.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT := italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ∈ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p3.6">Let us suppose further that the set <math alttext="C_{0}:=p_{\lambda}\left(P_{0}\right)\subset W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.4.cmml">:=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.5" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.5.cmml">⊂</mo><msup id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.6" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.6.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.6.2.cmml">W</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.6.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.6.3.cmml">‡</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1"><and id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1a.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1"></and><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1b.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.4">assign</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.3.2">𝐶</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.3.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1c.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1"><subset id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.5"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.1.cmml" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1d.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1"></share><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.6.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.6.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1.1.6.3">‡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1c">C_{0}:=p_{\lambda}\left(P_{0}\right)\subset W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p3.3.m1.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT := italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) ⊂ italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is a submanifold; let us indicate with <math alttext="p_{0}:P_{0}\to C_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.2.2.cmml">p</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.1.cmml">→</mo><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.3.2.cmml">C</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1"><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.1">:</ci><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.2.2">𝑝</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3"><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.1">→</ci><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.3.2">𝐶</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1.1.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1c">p_{0}:P_{0}\to C_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p3.4.m2.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT : italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT → italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the restriction of the map <math alttext="p_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1c">p_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p3.5.m3.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to <math alttext="P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1c">P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p3.6.m4.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then we have the following result.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lem" id="Thmlem6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem6.1.1.1">Lemma 6</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem6.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlem6.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlem6.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlem6.p1.1.1">There exists <math alttext="\Theta_{h}\in\Omega^{m}\left(C_{0}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">h</mi></msub><mo id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">Ω</mi><mi id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msup><mo id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.2" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1"><in id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.2"></in><apply id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.3.3">ℎ</ci></apply><apply id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1"><times id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.3.2">Ω</ci><ci id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlem6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1c">\Theta_{h}\in\Omega^{m}\left(C_{0}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem6.p1.1.1.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT ∈ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> such that</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex29"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p_{0}^{*}\Theta_{h}=\Theta_{0}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex29.m1.1"><semantics id="S3.Ex29.m1.1a"><mrow id="S3.Ex29.m1.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">h</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mn id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex29.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex29.m1.1b"><apply id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">0</cn></apply><times id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.2.3"></times></apply><apply id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.2.3.3">ℎ</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2">Θ</ci><cn id="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex29.m1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex29.m1.1c">p_{0}^{*}\Theta_{h}=\Theta_{0}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex29.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT = roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.SS2.SSS1.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS1.3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.2">We need to prove that <math alttext="\Theta_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">Θ</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.2">Θ</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1c">\Theta_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.1.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a <math alttext="p_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1a"><msub id="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">p</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.2">𝑝</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1c">p_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.2.m2.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-basic form. According to Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc9" title="Definition 9. ‣ 3.2.1. Hamiltonian form from 𝑝_𝜆 ‣ 3.2. Hamilton equations for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>, we know already that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex30"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Z\lrcorner\Theta_{0}=0\qquad\text{ for all }Z\in\mathfrak{X}^{Vp_{0}}\left(P_{% 0}\right);" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex30.m1.1"><semantics id="S3.Ex30.m1.1a"><mrow id="S3.Ex30.m1.1.1.1"><mrow id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mo id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⌟</mi><mo id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">Θ</mi><mn id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mspace id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.3" width="2em" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mtext id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3.2a.cmml"> for all </mtext><mo id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">Z</mi></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><msup id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml">𝔛</mi><mrow id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml">V</mi><mo id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.2" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.2.cmml">p</mi><mn id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></msup><mo id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex30.m1.1.1.1.2">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex30.m1.1b"><apply id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑍</ci><ci id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">⌟</ci><apply id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">Θ</ci><cn id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">0</cn></apply></apply><cn id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2"><in id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.2"></in><apply id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3.2a.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><mtext id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"> for all </mtext></ci><ci id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑍</ci></apply><apply id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1"><times id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.2"></times><apply id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.2">𝔛</ci><apply id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3"><times id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.2">𝑉</ci><apply id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex30.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex30.m1.1c">Z\lrcorner\Theta_{0}=0\qquad\text{ for all }Z\in\mathfrak{X}^{Vp_{0}}\left(P_{% 0}\right);</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex30.m1.1d">italic_Z ⌟ roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = 0 for all italic_Z ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.6">so we also have to prove that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex31"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="{\mathcal{L}}_{Z}\Theta_{0}=0." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex31.m1.1"><semantics id="S3.Ex31.m1.1a"><mrow id="S3.Ex31.m1.1.1.1" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">Z</mi></msub><mo id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">Θ</mi><mn id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex31.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex31.m1.1b"><apply id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2.2">ℒ</ci><ci id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑍</ci></apply><apply id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3.2">Θ</ci><cn id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><cn id="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex31.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex31.m1.1c">{\mathcal{L}}_{Z}\Theta_{0}=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex31.m1.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_Z end_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3">But for <math alttext="Z\in\mathfrak{X}^{Vp_{0}}\left(P_{0}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.3.cmml">Z</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.2.cmml">𝔛</mi><mrow id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">V</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">p</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></msup><mo id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1"><in id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.2"></in><ci id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.3">𝑍</ci><apply id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.2">𝔛</ci><apply id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3"><times id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.2">𝑉</ci><apply id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.3.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1c">Z\in\mathfrak{X}^{Vp_{0}}\left(P_{0}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.3.m1.1d">italic_Z ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> we have that the image of</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex32"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Z_{0}:=Ti_{0}\circ Z" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex32.m1.1"><semantics id="S3.Ex32.m1.1a"><mrow id="S3.Ex32.m1.1.1" xref="S3.Ex32.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex32.m1.1.1.2" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex32.m1.1.1.2.2" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mn id="S3.Ex32.m1.1.1.2.3" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex32.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex32.m1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S3.Ex32.m1.1.1.3" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex32.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mn id="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex32.m1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.1.cmml">∘</mo><mi id="S3.Ex32.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.3.cmml">Z</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex32.m1.1b"><apply id="S3.Ex32.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex32.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S3.Ex32.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex32.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex32.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2.2">𝑍</ci><cn id="S3.Ex32.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex32.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex32.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3"><compose id="S3.Ex32.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.1"></compose><apply id="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.2"><times id="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.2.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex32.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex32.m1.1.1.3.3">𝑍</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex32.m1.1c">Z_{0}:=Ti_{0}\circ Z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex32.m1.1d">italic_Z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT := italic_T italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_Z</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4">belongs to <math alttext="Vp_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mi id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1"><times id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.2">𝑉</ci><apply id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1c">Vp_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.4.m1.1d">italic_V italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, because</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex33"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Tp_{\lambda}\circ Z_{0}=Tp_{\lambda}\circ Ti_{0}\circ Z=Tp_{0}\circ Z=0." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex33.m1.1"><semantics id="S3.Ex33.m1.1a"><mrow id="S3.Ex33.m1.1.1.1" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">∘</mo><msub id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">Z</mi><mn id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mrow id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.1" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml">∘</mo><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">T</mi></mrow><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">i</mi><mn id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">∘</mo><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">Z</mi></mrow><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mrow id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.1" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.3.2" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml">p</mi><mn id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.3.3" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">∘</mo><mi id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.3.cmml">Z</mi></mrow><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.7" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.7.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.8" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.8.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex33.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex33.m1.1b"><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1"><and id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1"></and><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2"><compose id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.1"></compose><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑇</ci><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝜆</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑍</ci><cn id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4"><compose id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.1"></compose><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2"><times id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.1"></times><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2"><compose id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.1"></compose><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2"><times id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2">𝑇</ci><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.3">𝜆</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.3">𝑍</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.Ex33.m1.1.1.1.1.4.cmml" id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1"></share><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6"><compose id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.1"></compose><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2"><times id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.1"></times><ci id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.2">𝑇</ci><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.2.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.3">𝑍</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1e.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.Ex33.m1.1.1.1.1.6.cmml" id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1f.cmml" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1"></share><cn id="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.8.cmml" type="integer" xref="S3.Ex33.m1.1.1.1.1.8">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex33.m1.1c">Tp_{\lambda}\circ Z_{0}=Tp_{\lambda}\circ Ti_{0}\circ Z=Tp_{0}\circ Z=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex33.m1.1d">italic_T italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_Z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = italic_T italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_T italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_Z = italic_T italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_Z = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5">Therefore, <math alttext="{\mathcal{L}}_{Z_{0}}\Theta_{\lambda}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2.cmml">ℒ</mi><msub id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">Z</mi><mn id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">0</mn></msub></msub><mo id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.1" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1"><eq id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2"><times id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2">ℒ</ci><apply id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.2">𝑍</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.3.2">Θ</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.2.3.3">𝜆</ci></apply></apply><cn id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1c">{\mathcal{L}}_{Z_{0}}\Theta_{\lambda}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.5.m1.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_Z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> and so</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex34"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="0=i_{0}^{*}\left({\mathcal{L}}_{Z_{0}}\Theta_{\lambda}\right)={\mathcal{L}}_{Z% }\Theta_{0}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex34.m1.1"><semantics id="S3.Ex34.m1.1a"><mrow id="S3.Ex34.m1.1.1" xref="S3.Ex34.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex34.m1.1.1.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.3.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex34.m1.1.1.4" xref="S3.Ex34.m1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex34.m1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex34.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">i</mi><mn id="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Ex34.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ℒ</mi><msub id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">Z</mi><mn id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></msub></msub><mo id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex34.m1.1.1.5" xref="S3.Ex34.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex34.m1.1.1.6" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.cmml"><msub id="S3.Ex34.m1.1.1.6.2" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex34.m1.1.1.6.2.2" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.2.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.Ex34.m1.1.1.6.2.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.2.3.cmml">Z</mi></msub><mo id="S3.Ex34.m1.1.1.6.1" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex34.m1.1.1.6.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex34.m1.1.1.6.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.3.2.cmml">Θ</mi><mn id="S3.Ex34.m1.1.1.6.3.3" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex34.m1.1b"><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1"><and id="S3.Ex34.m1.1.1a.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1"></and><apply id="S3.Ex34.m1.1.1b.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1"><eq id="S3.Ex34.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.4"></eq><cn id="S3.Ex34.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex34.m1.1.1.3">0</cn><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1"><times id="S3.Ex34.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.2.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><times id="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">ℒ</ci><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑍</ci><cn id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex34.m1.1.1c.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1"><eq id="S3.Ex34.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.Ex34.m1.1.1.1.cmml" id="S3.Ex34.m1.1.1d.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1"></share><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6"><times id="S3.Ex34.m1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.1"></times><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.2.2">ℒ</ci><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.2.3">𝑍</ci></apply><apply id="S3.Ex34.m1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex34.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex34.m1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.3.2">Θ</ci><cn id="S3.Ex34.m1.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex34.m1.1.1.6.3.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex34.m1.1c">0=i_{0}^{*}\left({\mathcal{L}}_{Z_{0}}\Theta_{\lambda}\right)={\mathcal{L}}_{Z% }\Theta_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex34.m1.1d">0 = italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_Z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ) = caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_Z end_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.3.p1.7">as required. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defc" id="Thmdefc10"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc10.1.1.1">Definition 10</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc10.2.2"> </span>(Hamiltonian form)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc10.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefc10.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefc10.p1.3">The form <math alttext="\Theta_{h}\in\Omega^{m}\left(C_{0}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc10.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmdefc10.p1.1.m1.1a"><mrow id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">h</mi></msub><mo id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><msup id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">Ω</mi><mi id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.3.3" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">m</mi></msup><mo id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc10.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1"><in id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.2"></in><apply id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.3.3">ℎ</ci></apply><apply id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1"><times id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.3.2">Ω</ci><ci id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.3.3">𝑚</ci></apply><apply id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmdefc10.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc10.p1.1.m1.1c">\Theta_{h}\in\Omega^{m}\left(C_{0}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc10.p1.1.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT ∈ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> will be called <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmdefc10.p1.3.1">Hamiltonian form</em> associated to the variational problem <math alttext="\left(\pi:W\to M,\lambda,{\mathcal{I}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc10.p1.2.m2.4"><semantics id="Thmdefc10.p1.2.m2.4a"><mrow id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.cmml"><mo id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.2" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.2" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.2" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.2.cmml">W</mi><mo id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.1.cmml">→</mo><mrow id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.3.2" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="Thmdefc10.p1.2.m2.1.1" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.1.1.cmml">M</mi><mo id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.3.2.1" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmdefc10.p1.2.m2.2.2" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.3.2.2" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc10.p1.2.m2.3.3" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.3.3.cmml">ℐ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.3" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc10.p1.2.m2.4b"><apply id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.cmml" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1"><ci id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.1">:</ci><ci id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.2">𝜋</ci><apply id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3"><ci id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.1">→</ci><ci id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.2">𝑊</ci><list id="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.4.4.1.1.3.3.2"><ci id="Thmdefc10.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.1.1">𝑀</ci><ci id="Thmdefc10.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.2.2">𝜆</ci><ci id="Thmdefc10.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="Thmdefc10.p1.2.m2.3.3">ℐ</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc10.p1.2.m2.4c">\left(\pi:W\to M,\lambda,{\mathcal{I}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc10.p1.2.m2.4d">( italic_π : italic_W → italic_M , italic_λ , caligraphic_I )</annotation></semantics></math> and the projection <math alttext="p_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc10.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmdefc10.p1.3.m3.1a"><msub id="Thmdefc10.p1.3.m3.1.1" xref="Thmdefc10.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc10.p1.3.m3.1.1.2" xref="Thmdefc10.p1.3.m3.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="Thmdefc10.p1.3.m3.1.1.3" xref="Thmdefc10.p1.3.m3.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc10.p1.3.m3.1b"><apply id="Thmdefc10.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmdefc10.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc10.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc10.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc10.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc10.p1.3.m3.1.1.2">𝑝</ci><ci id="Thmdefc10.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc10.p1.3.m3.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc10.p1.3.m3.1c">p_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc10.p1.3.m3.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_note" id="Thmnote10"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote10.1.1.1">Remark 10</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote10.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmnote10.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmnote10.p1.3">In line with Remark <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmnote9" title="Remark 9. ‣ 3.2.1. Hamiltonian form from 𝑝_𝜆 ‣ 3.2. Hamilton equations for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>, the Hamiltonian form is nothing but the form on <math alttext="C_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote10.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmnote10.p1.1.m1.1a"><msub id="Thmnote10.p1.1.m1.1.1" xref="Thmnote10.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmnote10.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmnote10.p1.1.m1.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="Thmnote10.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmnote10.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote10.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmnote10.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote10.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote10.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote10.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote10.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote10.p1.1.m1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="Thmnote10.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote10.p1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote10.p1.1.m1.1c">C_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote10.p1.1.m1.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> whose pullback along <math alttext="p_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote10.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmnote10.p1.2.m2.1a"><msub id="Thmnote10.p1.2.m2.1.1" xref="Thmnote10.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmnote10.p1.2.m2.1.1.2" xref="Thmnote10.p1.2.m2.1.1.2.cmml">p</mi><mn id="Thmnote10.p1.2.m2.1.1.3" xref="Thmnote10.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote10.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmnote10.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmnote10.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote10.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmnote10.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote10.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmnote10.p1.2.m2.1.1.2">𝑝</ci><cn id="Thmnote10.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote10.p1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote10.p1.2.m2.1c">p_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote10.p1.2.m2.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> gives rise to <math alttext="\Theta_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote10.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmnote10.p1.3.m3.1a"><msub id="Thmnote10.p1.3.m3.1.1" xref="Thmnote10.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmnote10.p1.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmnote10.p1.3.m3.1.1.2.cmml">Θ</mi><mn id="Thmnote10.p1.3.m3.1.1.3" xref="Thmnote10.p1.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote10.p1.3.m3.1b"><apply id="Thmnote10.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmnote10.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote10.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmnote10.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmnote10.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmnote10.p1.3.m3.1.1.2">Θ</ci><cn id="Thmnote10.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote10.p1.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote10.p1.3.m3.1c">\Theta_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote10.p1.3.m3.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S3.SS2.SSS2"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">3.2.2. </span>Hamilton equations for general variational problems</h4> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS2.p1.3">Using the notation of the previous section, Suppose that <math alttext="q:W^{\ddagger}\to M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">‡</mo></msup><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.1">:</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.2">𝑞</ci><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3"><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.1">→</ci><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2.3">‡</ci></apply><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1c">q:W^{\ddagger}\to M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p1.1.m1.1d">italic_q : italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT → italic_M</annotation></semantics></math> gives <math alttext="W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1a"><msup id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">‡</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1c">W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p1.2.m2.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> a fiber bundle structure on <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p1.3.m3.1d">italic_M</annotation></semantics></math> such that the next diagram commutes</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex35"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><svg class="ltx_picture ltx_markedasmath" height="115.41" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1" overflow="visible" version="1.1" width="152.33"><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="translate(0,115.41) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(76.16,0) translate(0,57.71)"><g stroke-width="0.4pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -76.16 -57.71)"><g class="ltx_tikzmatrix" transform="matrix(1 0 0 -1 0 105.62)"><g class="ltx_tikzmatrix_row" transform="matrix(1 0 0 1 0 17.21)"><g class="ltx_tikzmatrix_col ltx_nopad_l ltx_nopad_r" fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(15.71,0) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -9.76 0)"><foreignobject height="12.15" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="19.51"><math alttext="{W_{\lambda}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msub id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">{W_{\lambda}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g class="ltx_tikzmatrix_col ltx_nopad_l ltx_nopad_r" fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1 0 0 -1 31.43 0) translate(105.73,0) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -9.22 0)"><foreignobject height="12.15" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="18.43"><math alttext="{W^{\ddagger}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msup id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">‡</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">{W^{\ddagger}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g class="ltx_tikzmatrix_row" transform="matrix(1 0 0 1 0 110.35)"><g class="ltx_tikzmatrix_col ltx_nopad_l ltx_nopad_r" fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1 0 0 -1 33.18 0) translate(103.97,0) matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -7.47 0)"><foreignobject height="9.46" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="14.93"><math alttext="{M}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">{M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_M</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g></g></g><g stroke-width="0.39998pt"><path d="M -44.46 38.89 L 44.98 38.89" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 45.26 38.89)"><path d="M -2.88 3.32 C -2.35 1.33 -1.18 0.39 0 0 C -1.18 -0.39 -2.35 -1.33 -2.88 -3.32" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -3.51 44.07)"><foreignobject height="6.09" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="8.1"><math alttext="\scriptstyle{p_{\lambda}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msub id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="71%" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\scriptstyle{p_{\lambda}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g stroke-width="0.39998pt"><path d="M -45.47 27.4 L 46.85 -43.41" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" transform="matrix(0.79346 -0.60863 0.60863 0.79346 47.07 -43.58)"><path d="M -2.88 3.32 C -2.35 1.33 -1.18 0.39 0 0 C -1.18 -0.39 -2.35 -1.33 -2.88 -3.32" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -20.18 -15.73)"><foreignobject height="6.23" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="17.83"><math alttext="\scriptstyle{\pi\circ\tau_{\lambda}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" mathsize="70%" rspace="0.222em" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">∘</mo><msub id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="70%" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mi id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3" mathsize="71%" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><compose id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></compose><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝜏</ci><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\scriptstyle{\pi\circ\tau_{\lambda}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_π ∘ italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g><g stroke-width="0.39998pt"><path d="M 60.99 30.09 L 60.99 -42.36" style="fill:none"></path><g stroke-dasharray="none" stroke-dashoffset="0.0pt" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" transform="matrix(0.0 -1.0 1.0 0.0 60.99 -42.63)"><path d="M -2.88 3.32 C -2.35 1.33 -1.18 0.39 0 0 C -1.18 -0.39 -2.35 -1.33 -2.88 -3.32" style="fill:none"></path></g><g fill="#000000" stroke="#000000" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 53.06 -7.55)"><foreignobject height="6.05" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="4.67"><math alttext="\scriptstyle{q}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\scriptstyle{q}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex35.m1.1.1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_q</annotation></semantics></math></foreignobject></g></g></g></svg></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS2.p1.4">With the help of the Hamiltonian form <math alttext="\Omega_{h}:=d\Theta_{h}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.2.2.cmml">Ω</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.2.3.cmml">h</mi></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3.cmml">h</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.2.2">Ω</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.2.3">ℎ</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3"><times id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.2">𝑑</ci><apply id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.3.2">Θ</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1.1.3.3.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1c">\Omega_{h}:=d\Theta_{h}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p1.4.m1.1d">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT := italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> we can set the <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S3.SS2.SSS2.p1.4.1">Hamilton equations</em><span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote1"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">1</span>The Hamilton-Cartan equations for classical variational problems have the additional requirement that its sections should be holonomic; this condition cannot be reproduced in the general case, because we do not have a double fibration structure such as <math alttext="J^{k+1}\pi\to J^{k}\pi\to M" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote1.m1.1"><semantics id="footnote1.m1.1b"><mrow id="footnote1.m1.1.1" xref="footnote1.m1.1.1.cmml"><mrow id="footnote1.m1.1.1.2" xref="footnote1.m1.1.1.2.cmml"><msup id="footnote1.m1.1.1.2.2" xref="footnote1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="footnote1.m1.1.1.2.2.2" xref="footnote1.m1.1.1.2.2.2.cmml">J</mi><mrow id="footnote1.m1.1.1.2.2.3" xref="footnote1.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="footnote1.m1.1.1.2.2.3.2" xref="footnote1.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="footnote1.m1.1.1.2.2.3.1" xref="footnote1.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="footnote1.m1.1.1.2.2.3.3" xref="footnote1.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="footnote1.m1.1.1.2.1" xref="footnote1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="footnote1.m1.1.1.2.3" xref="footnote1.m1.1.1.2.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="footnote1.m1.1.1.3" stretchy="false" xref="footnote1.m1.1.1.3.cmml">→</mo><mrow id="footnote1.m1.1.1.4" xref="footnote1.m1.1.1.4.cmml"><msup id="footnote1.m1.1.1.4.2" xref="footnote1.m1.1.1.4.2.cmml"><mi id="footnote1.m1.1.1.4.2.2" xref="footnote1.m1.1.1.4.2.2.cmml">J</mi><mi id="footnote1.m1.1.1.4.2.3" xref="footnote1.m1.1.1.4.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="footnote1.m1.1.1.4.1" xref="footnote1.m1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="footnote1.m1.1.1.4.3" xref="footnote1.m1.1.1.4.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="footnote1.m1.1.1.5" stretchy="false" xref="footnote1.m1.1.1.5.cmml">→</mo><mi id="footnote1.m1.1.1.6" xref="footnote1.m1.1.1.6.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote1.m1.1c"><apply id="footnote1.m1.1.1.cmml" xref="footnote1.m1.1.1"><and id="footnote1.m1.1.1a.cmml" xref="footnote1.m1.1.1"></and><apply id="footnote1.m1.1.1b.cmml" xref="footnote1.m1.1.1"><ci id="footnote1.m1.1.1.3.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.3">→</ci><apply id="footnote1.m1.1.1.2.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.2"><times id="footnote1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="footnote1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="footnote1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.2.2.2">𝐽</ci><apply id="footnote1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.2.2.3"><plus id="footnote1.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.2.2.3.1"></plus><ci id="footnote1.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="footnote1.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="footnote1.m1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="footnote1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.2.3">𝜋</ci></apply><apply id="footnote1.m1.1.1.4.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.4"><times id="footnote1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.4.1"></times><apply id="footnote1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.4.2">superscript</csymbol><ci id="footnote1.m1.1.1.4.2.2.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.4.2.2">𝐽</ci><ci id="footnote1.m1.1.1.4.2.3.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.4.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="footnote1.m1.1.1.4.3.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.4.3">𝜋</ci></apply></apply><apply id="footnote1.m1.1.1c.cmml" xref="footnote1.m1.1.1"><ci id="footnote1.m1.1.1.5.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#footnote1.m1.1.1.4.cmml" id="footnote1.m1.1.1d.cmml" xref="footnote1.m1.1.1"></share><ci id="footnote1.m1.1.1.6.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.6">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote1.m1.1d">J^{k+1}\pi\to J^{k}\pi\to M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote1.m1.1e">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π → italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT italic_π → italic_M</annotation></semantics></math> in the latter.</span></span></span>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defc" id="Thmdefc11"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc11.1.1.1">Definition 11</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc11.2.2"> </span>(Hamilton equations for a general variational problem)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc11.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefc11.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefc11.p1.3">Let <math alttext="i:C\hookrightarrow W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc11.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmdefc11.p1.1.m1.1a"><mrow id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mo id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">↪</mo><msup id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mo id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc11.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1"><ci id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.1">:</ci><ci id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.2">𝑖</ci><apply id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3"><ci id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.1">↪</ci><ci id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.2">𝐶</ci><apply id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑊</ci><ci id="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmdefc11.p1.1.m1.1.1.3.3.3">‡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc11.p1.1.m1.1c">i:C\hookrightarrow W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc11.p1.1.m1.1d">italic_i : italic_C ↪ italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> a subbundle. The <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmdefc11.p1.2.1">Hamilton equations on <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc11.p1.2.1.m1.1"><semantics id="Thmdefc11.p1.2.1.m1.1a"><mi id="Thmdefc11.p1.2.1.m1.1.1" xref="Thmdefc11.p1.2.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc11.p1.2.1.m1.1b"><ci id="Thmdefc11.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc11.p1.2.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc11.p1.2.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc11.p1.2.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math> for a (regular) general variational problem</em> <math alttext="\left(W\to M,\lambda,{\mathcal{I}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc11.p1.3.m2.4"><semantics id="Thmdefc11.p1.3.m2.4a"><mrow id="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.cmml"><mo id="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.2" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.2" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.1.cmml">→</mo><mrow id="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.3.2" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.3.1.cmml"><mi id="Thmdefc11.p1.3.m2.1.1" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.1.1.cmml">M</mi><mo id="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.3.2.1" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmdefc11.p1.3.m2.2.2" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.3.2.2" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmdefc11.p1.3.m2.3.3" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.3.3.cmml">ℐ</mi></mrow></mrow><mo id="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.3" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc11.p1.3.m2.4b"><apply id="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.cmml" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1"><ci id="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.1">→</ci><ci id="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.2">𝑊</ci><list id="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.4.4.1.1.3.2"><ci id="Thmdefc11.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.1.1">𝑀</ci><ci id="Thmdefc11.p1.3.m2.2.2.cmml" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.2.2">𝜆</ci><ci id="Thmdefc11.p1.3.m2.3.3.cmml" xref="Thmdefc11.p1.3.m2.3.3">ℐ</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc11.p1.3.m2.4c">\left(W\to M,\lambda,{\mathcal{I}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc11.p1.3.m2.4d">( italic_W → italic_M , italic_λ , caligraphic_I )</annotation></semantics></math> is the set of equations given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\psi^{*}\left(X\lrcorner\left(i^{*}\Omega_{h}\right)\right)=0\qquad\forall X% \in\mathfrak{X}\left(C\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E2.m1.2"><semantics id="S3.E2.m1.2a"><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1"><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">X</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">⌟</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Ω</mi><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">h</mi></msub></mrow><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mspace id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.3" width="2.167em" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">X</mi></mrow><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">𝔛</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.1" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E2.m1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.cmml">C</mi><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E2.m1.2.2.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E2.m1.2b"><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1"><eq id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><times id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑋</ci><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4">⌟</ci><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑖</ci><times id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Ω</ci><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2"><in id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.1"></in><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.2.2">𝑋</ci></apply><apply id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3"><times id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2.1.1.2.2.3.2">𝔛</ci><ci id="S3.E2.m1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1">𝐶</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E2.m1.2c">\psi^{*}\left(X\lrcorner\left(i^{*}\Omega_{h}\right)\right)=0\qquad\forall X% \in\mathfrak{X}\left(C\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E2.m1.2d">italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X ⌟ ( italic_i start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT ) ) = 0 ∀ italic_X ∈ fraktur_X ( italic_C ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS2.p2.8">We will indicate with <math alttext="H_{C}\subset\Gamma\left(\left.q\right|_{C}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.3.2.cmml">H</mi><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.3.3.cmml">C</mi></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.2.cmml">⊂</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.3.cmml">Γ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.cmml">q</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.2.2.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.2.2.1.cmml">C</mi></msub><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3"><subset id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.2"></subset><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.3.2">𝐻</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.3.3">𝐶</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1"><times id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.3">Γ</ci><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1">evaluated-at</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1">𝑞</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.2.2.1">𝐶</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3c">H_{C}\subset\Gamma\left(\left.q\right|_{C}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p2.1.m1.3d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT ⊂ roman_Γ ( italic_q | start_POSTSUBSCRIPT italic_C end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> the set of (local) solutions for these equations. Accordingly, <math alttext="C^{\prime}\subset C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml">C</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1"><subset id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.1"></subset><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.2">𝐶</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1.1.3">𝐶</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1c">C^{\prime}\subset C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p2.2.m2.1d">italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⊂ italic_C</annotation></semantics></math> will be the set on which the solutions of the Hamilton equations should live; we will call <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S3.SS2.SSS2.p2.8.1">solution set</em> to this set. We will say that <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1a"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1b"><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p2.3.m3.1d">italic_C</annotation></semantics></math> is <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S3.SS2.SSS2.p2.8.2">final</em> if for every <math alttext="\rho\in C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1.1.3.cmml">C</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1.1"><in id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1.1.3">𝐶</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1c">\rho\in C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p2.4.m4.1d">italic_ρ ∈ italic_C</annotation></semantics></math> there exists an open set <math alttext="U\subset M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1.1"><subset id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1.1.1"></subset><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1.1.2">𝑈</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1.1.3">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1c">U\subset M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p2.5.m5.1d">italic_U ⊂ italic_M</annotation></semantics></math> and a solution <math alttext="\psi:U\to C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.3.3.cmml">C</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1"><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.1">:</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.2">𝜓</ci><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.3"><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.3.1">→</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1.1.3.3">𝐶</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1c">\psi:U\to C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p2.6.m6.1d">italic_ψ : italic_U → italic_C</annotation></semantics></math> for the Hamilton equations such that <math alttext="\rho\in\mathop{\text{Im}}{\psi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.3.cmml"><mtext id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.3.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.3.1a.cmml">Im</mtext><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml">ψ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1"><in id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.1"></in><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.3"><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.3.1a.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.3.1"><mtext id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.3.1">Im</mtext></ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1.1.3.2">𝜓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1c">\rho\in\mathop{\text{Im}}{\psi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p2.7.m7.1d">italic_ρ ∈ Im italic_ψ</annotation></semantics></math>, namely, if <math alttext="C=C^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1"><semantics id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.3.2.cmml">C</mi><mo id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1b"><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1"><eq id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1c">C=C^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS2.p2.8.m8.1d">italic_C = italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S3.SS2.SSS3"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">3.2.3. </span>Hamiltonian field theory for (vakonomic) Herglotz variational problem</h4> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS3.p1.6">Recall from Example <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmexample3" title="Example 3 (Unified formalism for vakonomic Herglotz variational problem). ‣ 3.1. Unified formalism for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> that the variational problem</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex36"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="V^{\prime}_{H}:=\left(W_{H}\to M,\Theta_{H},0\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex36.m1.3"><semantics id="S3.Ex36.m1.3a"><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex36.m1.3.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.3.2.2.cmml">V</mi><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.3.3.cmml">H</mi><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.3.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex36.m1.3.3.2.cmml">:=</mo><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">→</mo><mrow id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.1.1.cmml">M</mi><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mn id="S3.Ex36.m1.2.2" xref="S3.Ex36.m1.2.2.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex36.m1.3b"><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex36.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.2">assign</csymbol><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.3.2.2">𝑉</ci><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.3.3">𝐻</ci></apply><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1"><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.2">→</ci><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.3.3">𝐻</ci></apply><list id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1"><ci id="S3.Ex36.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.1.1">𝑀</ci><apply id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex36.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝐻</ci></apply><cn id="S3.Ex36.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex36.m1.2.2">0</cn></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex36.m1.3c">V^{\prime}_{H}:=\left(W_{H}\to M,\Theta_{H},0\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex36.m1.3d">italic_V start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT := ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT → italic_M , roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT , 0 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS3.p1.7">provide us with a unified formalism for Herglotz variational problem. The construction just described will allow us to formulate a Hamiltonina field theory for this variatinal problem. So, let us define</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex37"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W^{\ddagger}:=\wedge^{m}_{2}\left(T^{*}P\right)\times_{M}\wedge^{m-1}\left(T^{% *}M\right)." class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.Ex37.m1.1"><semantics id="S3.Ex37.m1.1a"><mrow id="S3.Ex37.m1.1b"><msup id="S3.Ex37.m1.1.1"><mi id="S3.Ex37.m1.1.1.2">W</mi><mo id="S3.Ex37.m1.1.1.3">‡</mo></msup><mo id="S3.Ex37.m1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0em">:=</mo><msubsup id="S3.Ex37.m1.1.3"><mo id="S3.Ex37.m1.1.3.2.2" lspace="0em">∧</mo><mn id="S3.Ex37.m1.1.3.3">2</mn><mi id="S3.Ex37.m1.1.3.2.3">m</mi></msubsup><mrow id="S3.Ex37.m1.1.4"><mo id="S3.Ex37.m1.1.4.1">(</mo><msup id="S3.Ex37.m1.1.4.2"><mi id="S3.Ex37.m1.1.4.2.2">T</mi><mo id="S3.Ex37.m1.1.4.2.3">∗</mo></msup><mi id="S3.Ex37.m1.1.4.3">P</mi><mo id="S3.Ex37.m1.1.4.4" rspace="0.055em">)</mo></mrow><msub id="S3.Ex37.m1.1.5"><mo id="S3.Ex37.m1.1.5.2" rspace="0em">×</mo><mi id="S3.Ex37.m1.1.5.3">M</mi></msub><msup id="S3.Ex37.m1.1.6"><mo id="S3.Ex37.m1.1.6.2" lspace="0em">∧</mo><mrow id="S3.Ex37.m1.1.6.3"><mi id="S3.Ex37.m1.1.6.3.2">m</mi><mo id="S3.Ex37.m1.1.6.3.1">−</mo><mn id="S3.Ex37.m1.1.6.3.3">1</mn></mrow></msup><mrow id="S3.Ex37.m1.1.7"><mo id="S3.Ex37.m1.1.7.1">(</mo><msup id="S3.Ex37.m1.1.7.2"><mi id="S3.Ex37.m1.1.7.2.2">T</mi><mo id="S3.Ex37.m1.1.7.2.3">∗</mo></msup><mi id="S3.Ex37.m1.1.7.3">M</mi><mo id="S3.Ex37.m1.1.7.4">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex37.m1.1.8" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex37.m1.1c">W^{\ddagger}:=\wedge^{m}_{2}\left(T^{*}P\right)\times_{M}\wedge^{m-1}\left(T^{% *}M\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex37.m1.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT := ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_P ) × start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_T start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS3.p1.8">Then we have the following projection map</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex38"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p_{H}^{\ddagger}:W_{H}\to W^{\ddagger}:\rho_{\left(j_{x}^{1}s,\sigma\right)}% \mapsto\left(\alpha,\beta,\nu\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex38.m1.5"><semantics id="S3.Ex38.m1.5a"><mrow id="S3.Ex38.m1.5.6" xref="S3.Ex38.m1.5.6.cmml"><msubsup id="S3.Ex38.m1.5.6.2" xref="S3.Ex38.m1.5.6.2.cmml"><mi id="S3.Ex38.m1.5.6.2.2.2" xref="S3.Ex38.m1.5.6.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex38.m1.5.6.2.2.3" xref="S3.Ex38.m1.5.6.2.2.3.cmml">H</mi><mo id="S3.Ex38.m1.5.6.2.3" xref="S3.Ex38.m1.5.6.2.3.cmml">‡</mo></msubsup><mo id="S3.Ex38.m1.5.6.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex38.m1.5.6.3.cmml">:</mo><mrow id="S3.Ex38.m1.5.6.4" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.cmml"><msub id="S3.Ex38.m1.5.6.4.2" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.2.cmml"><mi id="S3.Ex38.m1.5.6.4.2.2" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.2.2.cmml">W</mi><mi id="S3.Ex38.m1.5.6.4.2.3" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.Ex38.m1.5.6.4.1" stretchy="false" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.1.cmml">→</mo><msup id="S3.Ex38.m1.5.6.4.3" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex38.m1.5.6.4.3.2" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.3.2.cmml">W</mi><mo id="S3.Ex38.m1.5.6.4.3.3" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex38.m1.5.6.5" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex38.m1.5.6.5.cmml">:</mo><mrow id="S3.Ex38.m1.5.6.6" xref="S3.Ex38.m1.5.6.6.cmml"><msub id="S3.Ex38.m1.5.6.6.2" xref="S3.Ex38.m1.5.6.6.2.cmml"><mi id="S3.Ex38.m1.5.6.6.2.2" xref="S3.Ex38.m1.5.6.6.2.2.cmml">ρ</mi><mrow id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.2.2" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.2.3" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.2.3.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex38.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex38.m1.1.1.1.1.cmml">σ</mi><mo id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S3.Ex38.m1.5.6.6.1" stretchy="false" xref="S3.Ex38.m1.5.6.6.1.cmml">↦</mo><mrow id="S3.Ex38.m1.5.6.6.3.2" xref="S3.Ex38.m1.5.6.6.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex38.m1.5.6.6.3.2.1" xref="S3.Ex38.m1.5.6.6.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex38.m1.3.3" xref="S3.Ex38.m1.3.3.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex38.m1.5.6.6.3.2.2" xref="S3.Ex38.m1.5.6.6.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex38.m1.4.4" xref="S3.Ex38.m1.4.4.cmml">β</mi><mo id="S3.Ex38.m1.5.6.6.3.2.3" xref="S3.Ex38.m1.5.6.6.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex38.m1.5.5" xref="S3.Ex38.m1.5.5.cmml">ν</mi><mo id="S3.Ex38.m1.5.6.6.3.2.4" xref="S3.Ex38.m1.5.6.6.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex38.m1.5b"><apply id="S3.Ex38.m1.5.6.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6"><and id="S3.Ex38.m1.5.6a.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6"></and><apply id="S3.Ex38.m1.5.6b.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6"><ci id="S3.Ex38.m1.5.6.3.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.3">:</ci><apply id="S3.Ex38.m1.5.6.2.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex38.m1.5.6.2.1.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex38.m1.5.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex38.m1.5.6.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex38.m1.5.6.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex38.m1.5.6.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.2.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S3.Ex38.m1.5.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.2.3">‡</ci></apply><apply id="S3.Ex38.m1.5.6.4.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4"><ci id="S3.Ex38.m1.5.6.4.1.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.1">→</ci><apply id="S3.Ex38.m1.5.6.4.2.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex38.m1.5.6.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex38.m1.5.6.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.2.2">𝑊</ci><ci id="S3.Ex38.m1.5.6.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.2.3">𝐻</ci></apply><apply id="S3.Ex38.m1.5.6.4.3.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex38.m1.5.6.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex38.m1.5.6.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.3.2">𝑊</ci><ci id="S3.Ex38.m1.5.6.4.3.3.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.4.3.3">‡</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex38.m1.5.6c.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6"><ci id="S3.Ex38.m1.5.6.5.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.5">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.Ex38.m1.5.6.4.cmml" id="S3.Ex38.m1.5.6d.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6"></share><apply id="S3.Ex38.m1.5.6.6.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex38.m1.5.6.6.1.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.6.1">maps-to</csymbol><apply id="S3.Ex38.m1.5.6.6.2.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex38.m1.5.6.6.2.1.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.6.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex38.m1.5.6.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.6.2.2">𝜌</ci><interval closure="open" id="S3.Ex38.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2"><apply id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1"><times id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.1"></times><apply id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex38.m1.2.2.2.2.1.3">𝑠</ci></apply><ci id="S3.Ex38.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex38.m1.1.1.1.1">𝜎</ci></interval></apply><vector id="S3.Ex38.m1.5.6.6.3.1.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.6.6.3.2"><ci id="S3.Ex38.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex38.m1.3.3">𝛼</ci><ci id="S3.Ex38.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex38.m1.4.4">𝛽</ci><ci id="S3.Ex38.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex38.m1.5.5">𝜈</ci></vector></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex38.m1.5c">p_{H}^{\ddagger}:W_{H}\to W^{\ddagger}:\rho_{\left(j_{x}^{1}s,\sigma\right)}% \mapsto\left(\alpha,\beta,\nu\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex38.m1.5d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT : italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT → italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT : italic_ρ start_POSTSUBSCRIPT ( italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s , italic_σ ) end_POSTSUBSCRIPT ↦ ( italic_α , italic_β , italic_ν )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS3.p1.1">if and only if <math alttext="\beta=\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">σ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1"><eq id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.2">𝛽</ci><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1.1.3">𝜎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1c">\beta=\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS3.p1.1.m1.1d">italic_β = italic_σ</annotation></semantics></math> and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex39"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\rho=\alpha\circ T_{\left(\alpha,\beta,\nu\right)}\left(\text{pr}_{1}\circ\pi_% {10}\right)+\left(1-\nu\right)\left.d\Theta_{m-1}\right|_{\beta}\circ T_{\left% (\alpha,\beta,\nu\right)}\text{pr}_{2}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex39.m1.8"><semantics id="S3.Ex39.m1.8a"><mrow id="S3.Ex39.m1.8.8.1" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.4" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.4.cmml">ρ</mi><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.3" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.1.cmml">∘</mo><msub id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.Ex39.m1.3.3.3.5" xref="S3.Ex39.m1.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex39.m1.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex39.m1.3.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex39.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex39.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex39.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex39.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex39.m1.2.2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S3.Ex39.m1.3.3.3.5.3" xref="S3.Ex39.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex39.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex39.m1.3.3.3.3.cmml">ν</mi><mo id="S3.Ex39.m1.3.3.3.5.4" xref="S3.Ex39.m1.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mtext id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2a.cmml">pr</mtext><mn id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msub id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">π</mi><mn id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">10</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.3" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.cmml"><msub id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ν</mi></mrow><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml">Θ</mi><mrow id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.2" rspace="0.055em" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S3.Ex39.m1.7.7.1" xref="S3.Ex39.m1.7.7.1.cmml">β</mi></msub><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.2.cmml">∘</mo><msub id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.3" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.3.2" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S3.Ex39.m1.6.6.3.5" xref="S3.Ex39.m1.6.6.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex39.m1.6.6.3.5.1" xref="S3.Ex39.m1.6.6.3.4.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex39.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex39.m1.4.4.1.1.cmml">α</mi><mo id="S3.Ex39.m1.6.6.3.5.2" xref="S3.Ex39.m1.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex39.m1.5.5.2.2" xref="S3.Ex39.m1.5.5.2.2.cmml">β</mi><mo id="S3.Ex39.m1.6.6.3.5.3" xref="S3.Ex39.m1.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex39.m1.6.6.3.3" xref="S3.Ex39.m1.6.6.3.3.cmml">ν</mi><mo id="S3.Ex39.m1.6.6.3.5.4" xref="S3.Ex39.m1.6.6.3.4.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml"><mtext id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.3.2a.cmml">pr</mtext><mn id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex39.m1.8.8.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex39.m1.8b"><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1"><eq id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.3"></eq><ci id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.4">𝜌</ci><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2"><plus id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.3"></plus><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1"><times id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3"><compose id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.1"></compose><ci id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2">𝑇</ci><vector id="S3.Ex39.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex39.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.1.1.1.1">𝛼</ci><ci id="S3.Ex39.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.2.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S3.Ex39.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex39.m1.3.3.3.3">𝜈</ci></vector></apply></apply><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1"><compose id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1"></compose><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2a.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mtext id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2">pr</mtext></ci><cn id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜋</ci><cn id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.3">10</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2"><times id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.2"></times><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1"><compose id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.2"></compose><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.2">evaluated-at</csymbol><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜈</ci></apply><ci id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.2">Θ</ci><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.3"><minus id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.1"></minus><ci id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑚</ci><cn id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex39.m1.7.7.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.7.7.1">𝛽</ci></apply><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.1.3.2">𝑇</ci><vector id="S3.Ex39.m1.6.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex39.m1.6.6.3.5"><ci id="S3.Ex39.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.4.4.1.1">𝛼</ci><ci id="S3.Ex39.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.5.5.2.2">𝛽</ci><ci id="S3.Ex39.m1.6.6.3.3.cmml" xref="S3.Ex39.m1.6.6.3.3">𝜈</ci></vector></apply></apply><apply id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.3.2a.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.3.2"><mtext id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.3.2">pr</mtext></ci><cn id="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex39.m1.8.8.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex39.m1.8c">\rho=\alpha\circ T_{\left(\alpha,\beta,\nu\right)}\left(\text{pr}_{1}\circ\pi_% {10}\right)+\left(1-\nu\right)\left.d\Theta_{m-1}\right|_{\beta}\circ T_{\left% (\alpha,\beta,\nu\right)}\text{pr}_{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex39.m1.8d">italic_ρ = italic_α ∘ italic_T start_POSTSUBSCRIPT ( italic_α , italic_β , italic_ν ) end_POSTSUBSCRIPT ( pr start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_π start_POSTSUBSCRIPT 10 end_POSTSUBSCRIPT ) + ( 1 - italic_ν ) italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_T start_POSTSUBSCRIPT ( italic_α , italic_β , italic_ν ) end_POSTSUBSCRIPT pr start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS3.p1.3">In coordinates, if <math alttext="\alpha=q\eta+q_{\alpha}^{i}du^{\alpha}\wedge\eta_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.1" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.cmml"><msubsup id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml">q</mi><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.1a" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.4" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.4.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.4.2" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.4.2.cmml">u</mi><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.4.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.4.3.cmml">α</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.1.cmml">∧</mo><msub id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1"><eq id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3"><and id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.1"></and><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2"><plus id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.2"><times id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.2">𝑞</ci><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.2.3">𝜂</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3"><times id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.1"></times><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.2.2">𝑞</ci><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.3">𝑑</ci><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.4.2">𝑢</ci><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.4.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.2.3.4.3">𝛼</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1c">\alpha=q\eta+q_{\alpha}^{i}du^{\alpha}\wedge\eta_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS3.p1.2.m1.1d">italic_α = italic_q italic_η + italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\beta=w^{i}\eta_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.cmml"><msup id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1b"><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1"><eq id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.2">𝛽</ci><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3"><times id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.2.2">𝑤</ci><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1c">\beta=w^{i}\eta_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS3.p1.3.m2.1d">italic_β = italic_w start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, this map is defined by the equations</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex40"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="q=\mu L-p_{\alpha}^{i}u^{\alpha}_{i},\qquad q_{\alpha}^{i}=p_{\alpha}^{i},% \qquad\nu=\mu." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex40.m1.1"><semantics id="S3.Ex40.m1.1a"><mrow id="S3.Ex40.m1.1.1.1"><mrow id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">L</mi></mrow><mo id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">q</mi><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><msubsup id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">i</mi></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" rspace="2.167em" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mi id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">μ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex40.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex40.m1.1b"><apply id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑞</ci><apply id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜇</ci><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝐿</ci></apply><apply id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><eq id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2">𝑞</ci><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><eq id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></eq><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜈</ci><ci id="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex40.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝜇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex40.m1.1c">q=\mu L-p_{\alpha}^{i}u^{\alpha}_{i},\qquad q_{\alpha}^{i}=p_{\alpha}^{i},% \qquad\nu=\mu.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex40.m1.1d">italic_q = italic_μ italic_L - italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_q start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT = italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_ν = italic_μ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS3.p1.9">We have that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex41"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Vp_{H}^{\ddagger}=\left<\frac{\partial}{\partial u_{i}^{\alpha}}\right>" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex41.m1.1"><semantics id="S3.Ex41.m1.1a"><mrow id="S3.Ex41.m1.1.2" xref="S3.Ex41.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex41.m1.1.2.2" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex41.m1.1.2.2.2" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2.2.cmml">V</mi><mo id="S3.Ex41.m1.1.2.2.1" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex41.m1.1.2.2.3" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.2.3.cmml">H</mi><mo id="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.3.cmml">‡</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex41.m1.1.2.1" xref="S3.Ex41.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex41.m1.1.2.3.2" xref="S3.Ex41.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex41.m1.1.2.3.2.1" xref="S3.Ex41.m1.1.2.3.1.1.cmml">⟨</mo><mfrac id="S3.Ex41.m1.1.1" xref="S3.Ex41.m1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex41.m1.1.1.2" xref="S3.Ex41.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S3.Ex41.m1.1.1.3" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex41.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S3.Ex41.m1.1.1.3.2" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex41.m1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex41.m1.1.2.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex41.m1.1b"><apply id="S3.Ex41.m1.1.2.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.2"><eq id="S3.Ex41.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.2.1"></eq><apply id="S3.Ex41.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2"><times id="S3.Ex41.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex41.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2.2">𝑉</ci><apply id="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.2.2.3.3">‡</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex41.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex41.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.2.3.2.1">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S3.Ex41.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.1"><divide id="S3.Ex41.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.1"></divide><partialdiff id="S3.Ex41.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S3.Ex41.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3"><partialdiff id="S3.Ex41.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex41.m1.1.1.3.2.3">𝛼</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex41.m1.1c">Vp_{H}^{\ddagger}=\left<\frac{\partial}{\partial u_{i}^{\alpha}}\right></annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex41.m1.1d">italic_V italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT = ⟨ divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS3.p1.5">and is can be seen that <math alttext="p_{H}^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1a"><msubsup id="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3.cmml">H</mi><mo id="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.3.cmml">‡</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1c">p_{H}^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS3.p1.4.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Theta_{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1a"><msub id="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1.1.3.cmml">H</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1b"><apply id="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1.1.2">Θ</ci><ci id="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1.1.3">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1c">\Theta_{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS3.p1.5.m2.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are compatible in the sense of Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc8" title="Definition 8 (Compatibility between a form and a projection). ‣ 3.2.1. Hamiltonian form from 𝑝_𝜆 ‣ 3.2. Hamilton equations for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>, and so it is possible to construct a Hamiltonian field theory from this unified formulation.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS3.p2.10">So the first constraint submanifold is this case will become</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex42"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P_{0}=\left\{\left(x^{i},u^{\alpha},u_{i}^{\alpha},p_{\alpha}^{i},z^{i},\mu% \right)\in W^{\dagger}:p_{\alpha}^{i}=\mu\frac{\partial L}{\partial u_{i}^{% \alpha}}\right\};" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex42.m1.2"><semantics id="S3.Ex42.m1.2a"><mrow id="S3.Ex42.m1.2.2.1" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.4" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.4.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.4.2.cmml">P</mi><mn id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.4.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.6.cmml"><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.6" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.6.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.7" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">α</mi></msup><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.8" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msubsup id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.9" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msubsup id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.10" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.5" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.5.cmml"><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.5.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.5.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.5.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.5.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.11" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex42.m1.1.1" xref="S3.Ex42.m1.1.1.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.12" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.6.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.cmml">∈</mo><msup id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.7" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.2.cmml">W</mi><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.3.cmml">†</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.1" rspace="0em" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.2.cmml">L</mi></mrow><mrow id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.5" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex42.m1.2.2.1.2" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex42.m1.2b"><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1"><eq id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.3"></eq><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.4.2">𝑃</ci><cn id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.4.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1"><in id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.6"></in><vector id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.6.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5"><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝛼</ci></apply><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.5.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.5.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.5">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.5.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.5.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.5.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.5.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex42.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.1.1">𝜇</ci></vector><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.7">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.2">𝑊</ci><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.3">†</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2"><eq id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.1"></eq><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3"><times id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2">𝜇</ci><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3"><divide id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3"></divide><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2"><partialdiff id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.1"></partialdiff><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.2">𝐿</ci></apply><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3"><partialdiff id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.3">𝛼</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex42.m1.2c">P_{0}=\left\{\left(x^{i},u^{\alpha},u_{i}^{\alpha},p_{\alpha}^{i},z^{i},\mu% \right)\in W^{\dagger}:p_{\alpha}^{i}=\mu\frac{\partial L}{\partial u_{i}^{% \alpha}}\right\};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex42.m1.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = { ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_μ ) ∈ italic_W start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT : italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT = italic_μ divide start_ARG ∂ italic_L end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG } ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS3.p2.1">the phase space for the Hamiltonian field theory can be obtained from projection of this set along <math alttext="p_{H}^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1a"><msubsup id="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">H</mi><mo id="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml">‡</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1c">p_{H}^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS3.p2.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, namely</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx5"> <tbody id="S3.Ex43"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle C_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex43.m1.1"><semantics id="S3.Ex43.m1.1a"><msub id="S3.Ex43.m1.1.1" xref="S3.Ex43.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex43.m1.1.1.2" xref="S3.Ex43.m1.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S3.Ex43.m1.1.1.3" xref="S3.Ex43.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex43.m1.1b"><apply id="S3.Ex43.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex43.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex43.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex43.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex43.m1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S3.Ex43.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex43.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex43.m1.1c">\displaystyle C_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex43.m1.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle:=p_{H}^{\ddagger}\left(P_{0}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex43.m2.1"><semantics id="S3.Ex43.m2.1a"><mrow id="S3.Ex43.m2.1.1" xref="S3.Ex43.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex43.m2.1.1.3" xref="S3.Ex43.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex43.m2.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex43.m2.1.1.2.cmml">:=</mo><mrow id="S3.Ex43.m2.1.1.1" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.Ex43.m2.1.1.1.3" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.2.3.cmml">H</mi><mo id="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.3.cmml">‡</mo></msubsup><mo id="S3.Ex43.m2.1.1.1.2" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex43.m2.1b"><apply id="S3.Ex43.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex43.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex43.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex43.m2.1.1.2">assign</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex43.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex43.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex43.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1"><times id="S3.Ex43.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.3.3">‡</ci></apply><apply id="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex43.m2.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex43.m2.1c">\displaystyle:=p_{H}^{\ddagger}\left(P_{0}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex43.m2.1d">:= italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex44"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left\{\left(x^{i},u^{\alpha},p_{\alpha}^{i},z^{i},\mu\right)\in W% ^{\dagger}:p_{\alpha}^{i}=\mu\frac{\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha}}\right\}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex44.m1.2"><semantics id="S3.Ex44.m1.2a"><mrow id="S3.Ex44.m1.2.2.1" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.4" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.5.cmml"><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.5" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.5.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.6" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">α</mi></msup><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.7" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.8" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.2" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.3" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.9" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex44.m1.1.1" xref="S3.Ex44.m1.1.1.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.10" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.5.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.5" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.cmml">∈</mo><msup id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.2.cmml">W</mi><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.3" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.3.cmml">†</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><msubsup id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3a" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml"><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.1" rspace="0em" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.2" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.2.cmml">L</mi></mrow><mrow id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.5" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex44.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex44.m1.2b"><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1"><eq id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1"><in id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.5"></in><vector id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4"><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.4.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex44.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.1.1">𝜇</ci></vector><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.2">𝑊</ci><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.3">†</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2"><eq id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.1"></eq><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3"><times id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2">𝜇</ci><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3"><divide id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3"></divide><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2"><partialdiff id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.1"></partialdiff><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.2">𝐿</ci></apply><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3"><partialdiff id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex44.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.3">𝛼</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex44.m1.2c">\displaystyle=\left\{\left(x^{i},u^{\alpha},p_{\alpha}^{i},z^{i},\mu\right)\in W% ^{\dagger}:p_{\alpha}^{i}=\mu\frac{\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha}}\right\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex44.m1.2d">= { ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_μ ) ∈ italic_W start_POSTSUPERSCRIPT † end_POSTSUPERSCRIPT : italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT = italic_μ divide start_ARG ∂ italic_L end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS3.p2.4">In order to construct the Hamiltonian form, we must pull the <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS3.p2.2.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS3.p2.2.m1.1a"><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.2.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p2.2.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS3.p2.2.m1.1b"><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.2.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS3.p2.2.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS3.p2.2.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math>-form <math alttext="\Theta_{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1a"><msub id="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1.1.3.cmml">H</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1b"><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1.1.2">Θ</ci><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1.1.3">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1c">\Theta_{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS3.p2.3.m2.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> back to <math alttext="P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1"><semantics id="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1a"><msub id="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1b"><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1c">P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS3.p2.4.m3.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>; it turns out that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex45"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="i_{0}^{*}\Theta_{H}=-H_{0}\eta+p_{\alpha}^{i}du^{\alpha}\wedge\eta_{i}+\left(1% -\mu\right)dz^{i}\wedge\eta_{i}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex45.m1.1"><semantics id="S3.Ex45.m1.1a"><mrow id="S3.Ex45.m1.1.1.1" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">i</mi><mn id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">H</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2a" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1a" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.3.cmml">α</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∧</mo><msub id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi></mrow><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">∧</mo><msub id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex45.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex45.m1.1b"><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">0</cn></apply><times id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝐻</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1"><and id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2"></and><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3"><and id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></and><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><plus id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><minus id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"></minus><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2"><times id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1"></times><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2">𝐻</ci><cn id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">𝜂</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑑</ci><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.4.3">𝛼</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜇</ci></apply><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex45.m1.1c">i_{0}^{*}\Theta_{H}=-H_{0}\eta+p_{\alpha}^{i}du^{\alpha}\wedge\eta_{i}+\left(1% -\mu\right)dz^{i}\wedge\eta_{i},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex45.m1.1d">italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT = - italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_η + italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + ( 1 - italic_μ ) italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS3.p2.6">where <math alttext="H_{0}=p_{\alpha}^{i}u_{i}^{\alpha}-\mu L" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.1" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">α</mi></msubsup></mrow><mo id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.3.1" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.3.3.cmml">L</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1"><eq id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.2.2">𝐻</ci><cn id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3"><minus id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.1"></minus><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2"><times id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.2.3.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.3"><times id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.3.2">𝜇</ci><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1.1.3.3.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1c">H_{0}=p_{\alpha}^{i}u_{i}^{\alpha}-\mu L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS3.p2.5.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT - italic_μ italic_L</annotation></semantics></math> is the energy function on <math alttext="P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1a"><msub id="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1b"><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1c">P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS3.p2.6.m2.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Therefore the Hamiltonian form will result</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex46"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Theta_{h}=-\widetilde{H}_{0}\eta+p_{\alpha}^{i}du^{\alpha}\wedge\eta_{i}+% \left(1-\mu\right)dz^{i}\wedge\eta_{i}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex46.m1.1"><semantics id="S3.Ex46.m1.1a"><mrow id="S3.Ex46.m1.1.1" xref="S3.Ex46.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex46.m1.1.1.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex46.m1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.3.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.3.3.cmml">h</mi></msub><mo id="S3.Ex46.m1.1.1.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex46.m1.1.1.1" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2a" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.1a" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.4" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.4.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.4.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.4.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.4.3.cmml">α</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">∧</mo><msub id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi></mrow><mo id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex46.m1.1.1.1.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.2.cmml">∧</mo><msub id="S3.Ex46.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex46.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex46.m1.1b"><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1"><eq id="S3.Ex46.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex46.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.3.2">Θ</ci><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.3.3">ℎ</ci></apply><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1"><and id="S3.Ex46.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.2"></and><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1"><plus id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3"><and id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.1"></and><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2"><plus id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2"><minus id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2"></minus><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2"><times id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1"></times><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2"><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2">𝐻</ci></apply><cn id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">𝜂</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑑</ci><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.4.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.4.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.4.3.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.2.3.4.3">𝛼</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜇</ci></apply><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.4.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex46.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex46.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex46.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex46.m1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex46.m1.1c">\Theta_{h}=-\widetilde{H}_{0}\eta+p_{\alpha}^{i}du^{\alpha}\wedge\eta_{i}+% \left(1-\mu\right)dz^{i}\wedge\eta_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex46.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT = - over~ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT italic_η + italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + ( 1 - italic_μ ) italic_d italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS3.p2.9">where <math alttext="\widetilde{H}_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1a"><msub id="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.2.1" xref="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.2"><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><cn id="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1c">\widetilde{H}_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS3.p2.7.m1.1d">over~ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the function on <math alttext="C_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1a"><msub id="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1b"><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1c">C_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS3.p2.8.m2.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> induced by <math alttext="H_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1"><semantics id="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1a"><msub id="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1b"><apply id="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1c">H_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS3.p2.9.m3.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_thm" id="Thmthm3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm3.1.1.1">Theorem 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm3.2.2"> </span>(Hamiltonian field theory for Herglotz variational problem)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm3.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmthm3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmthm3.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmthm3.p1.1.1">The <em class="ltx_emph ltx_font_upright" id="Thmthm3.p1.1.1.1">Hamiltonian field theory for the Herglotz variatinal problem</em> is the pair <math alttext="\left(C_{0},\Omega_{h}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.3" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="Thmthm3.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmthm3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="Thmthm3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.4" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">Ω</mi><mi id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">h</mi></msub><mo id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.5" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2b"><interval closure="open" id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2"><apply id="Thmthm3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmthm3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="Thmthm3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2">Ω</ci><ci id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmthm3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3">ℎ</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2c">\left(C_{0},\Omega_{h}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm3.p1.1.1.m1.2d">( italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. In this setting the Hamilton equations become</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx6"> <tbody id="S3.Ex47"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle dp_{\alpha}^{i}\wedge\eta_{i}+\frac{\partial\widetilde{H}_{1}}{% \partial u^{\alpha}}\eta=0,\quad du^{\alpha}\wedge\eta_{i}-\frac{\partial% \widetilde{H}_{1}}{\partial p_{\alpha}^{i}}\eta=0," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex47.m1.1"><semantics id="S3.Ex47.m1.1a"><mrow id="S3.Ex47.m1.1.1.1"><mrow id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">i</mi></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">∧</mo><msub id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2a" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1" rspace="0em" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml">∂</mo><msub id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mrow id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3.cmml">α</mi></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">α</mi></msup></mrow><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">∧</mo><msub id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2a" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.1" rspace="0em" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.1.cmml">∂</mo><msub id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mrow id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.2.2" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.2.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.2.3.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.3.cmml">i</mi></msubsup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S3.Ex47.m1.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex47.m1.1b"><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><and id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></and><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><divide id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"></divide><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2"><partialdiff id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2"><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.2">𝐻</ci></apply><cn id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><partialdiff id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3">𝛼</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝜂</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"></minus><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><and id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></and><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><times id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2"><divide id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2"></divide><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2"><partialdiff id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.2"><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.2.2">𝐻</ci></apply><cn id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.2.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3"><partialdiff id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.2.3">𝛼</ci></apply><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝜂</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex47.m1.1.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex47.m1.1c">\displaystyle dp_{\alpha}^{i}\wedge\eta_{i}+\frac{\partial\widetilde{H}_{1}}{% \partial u^{\alpha}}\eta=0,\quad du^{\alpha}\wedge\eta_{i}-\frac{\partial% \widetilde{H}_{1}}{\partial p_{\alpha}^{i}}\eta=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex47.m1.1d">italic_d italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_η = 0 , italic_d italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_η = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex48"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle d\mu\wedge\eta_{i}-\frac{\partial\widetilde{H}_{1}}{\partial z^{% i}}\eta=0,\quad dz-Ldt=0." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex48.m1.1"><semantics id="S3.Ex48.m1.1a"><mrow id="S3.Ex48.m1.1.1.1"><mrow id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">μ</mi></mrow><mo id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">∧</mo><msub id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">η</mi><mi id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2a" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1" rspace="0em" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml">∂</mo><msub id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.3" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mrow id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2.cmml">z</mi><mi id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3.cmml">i</mi></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1a" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.4" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S3.Ex48.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex48.m1.1b"><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><and id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></and><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝜇</ci></apply><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜂</ci><ci id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><divide id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"></divide><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2"><partialdiff id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2"><ci id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.2.2">𝐻</ci></apply><cn id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><partialdiff id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></partialdiff><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2">𝑧</ci><ci id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝜂</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"></minus><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><times id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑧</ci></apply><apply id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑑</ci><ci id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex48.m1.1c">\displaystyle d\mu\wedge\eta_{i}-\frac{\partial\widetilde{H}_{1}}{\partial z^{% i}}\eta=0,\quad dz-Ldt=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex48.m1.1d">italic_d italic_μ ∧ italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG ∂ over~ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_η = 0 , italic_d italic_z - italic_L italic_d italic_t = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> </section> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4. </span>Hamilton equations for general relativity with basis</h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.1">In this section a novel multisymplectic Hamiltonian scheme for gravity with basis (in the full frame bundle, whose structure group is <math alttext="GL\left(n\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.p1.1.m1.1.2" xref="S4.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.1.2.2" xref="S4.p1.1.m1.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.p1.1.m1.1.2.1" xref="S4.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p1.1.m1.1.2.3" xref="S4.p1.1.m1.1.2.3.cmml">L</mi><mo id="S4.p1.1.m1.1.2.1a" xref="S4.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p1.1.m1.1.2.4.2" xref="S4.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.p1.1.m1.1.2.4.2.1" xref="S4.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.p1.1.m1.1.2.4.2.2" xref="S4.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.2"><times id="S4.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S4.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.2.2">𝐺</ci><ci id="S4.p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.2.3">𝐿</ci><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.1.m1.1c">GL\left(n\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.1.m1.1d">italic_G italic_L ( italic_n )</annotation></semantics></math>) is developed using the method described above. The idea is to extract this formalism using the description for GR with basis from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">doi:10.1142/S0219887818500445</span>]</cite>; we will borrow the notation from this article. This construction can be compared with the formulation devised in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">0264-9381-32-9-095005</span>]</cite>, which requires the structure group of the underlying principal bundle to be the Lorentz group, and uses in its design a classical variational problem. Another construction of a Hamiltonian theory for a first order version of gravity, in this case metric-affine gravity, is presented in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">gaset19:_new_metric_affin_einst_palat</span>]</cite>; it should be noted that some extra constraints found in this article are absent in our scheme, because the general nature of the variational problem used in building the Hamiltonian theory below allows us to avoid the appearance of these constraints. Another important characteristic of this approach is that no Legendre transformation is needed in order to build the Hamilton equations; on the downside, it is necessary for the construction to be able to find a projection compatible with the multisymplectic form of the unified problem.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.1. </span>Introduction and basic notation</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.19">Let</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tau:LM\to M" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex1.m1.1"><semantics id="S4.Ex1.m1.1a"><mrow id="S4.Ex1.m1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.Ex1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex1.m1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex1.m1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex1.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex1.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex1.m1.1.1.3.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S4.Ex1.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex1.m1.1.1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex1.m1.1b"><apply id="S4.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1"><ci id="S4.Ex1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1">:</ci><ci id="S4.Ex1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S4.Ex1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.3"><ci id="S4.Ex1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.3.1">→</ci><apply id="S4.Ex1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S4.Ex1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.3.2.2">𝐿</ci><ci id="S4.Ex1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.3.2.3">𝑀</ci></apply><ci id="S4.Ex1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex1.m1.1c">\tau:LM\to M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex1.m1.1d">italic_τ : italic_L italic_M → italic_M</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.1">be the frame bundle on the manifold <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.1.m1.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.1.m1.1d">italic_M</annotation></semantics></math>. Therefore, we can define an unified problem on</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{W_{\mathcal{L}}}=J^{1}\tau\times_{M}E_{2}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex2.m1.1"><semantics id="S4.Ex2.m1.1a"><mrow id="S4.Ex2.m1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex2.m1.1.1.2" xref="S4.Ex2.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex2.m1.1.1.2.2" xref="S4.Ex2.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex2.m1.1.1.2.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.Ex2.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex2.m1.1.1.2.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S4.Ex2.m1.1.1.2.1" xref="S4.Ex2.m1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.Ex2.m1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.1.1.3" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex2.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.3.cmml">τ</mi></mrow><msub id="S4.Ex2.m1.1.1.3.1" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.1.1.3.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.1.2.cmml">×</mo><mi id="S4.Ex2.m1.1.1.3.1.3" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.1.3.cmml">M</mi></msub><msub id="S4.Ex2.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.3.2.cmml">E</mi><mn id="S4.Ex2.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex2.m1.1b"><apply id="S4.Ex2.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1"><eq id="S4.Ex2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.2"><ci id="S4.Ex2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.2.1">^</ci><apply id="S4.Ex2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.2.2.2">𝑊</ci><ci id="S4.Ex2.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.2.2.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3"><apply id="S4.Ex2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.1">subscript</csymbol><times id="S4.Ex2.m1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.1.2"></times><ci id="S4.Ex2.m1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.1.3">𝑀</ci></apply><apply id="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.2.2">𝐽</ci><cn id="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.2.3">𝜏</ci></apply><apply id="S4.Ex2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.3.2">𝐸</ci><cn id="S4.Ex2.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex2.m1.1c">\widehat{W_{\mathcal{L}}}=J^{1}\tau\times_{M}E_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex2.m1.1d">over^ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ × start_POSTSUBSCRIPT italic_M end_POSTSUBSCRIPT italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.20">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="E_{2}:=\wedge^{m-1}M\otimes S^{*}\left(m\right),\qquad S^{*}\left(m\right):=% \left(\mathbb{R}^{m}\right)^{*}\odot\left(\mathbb{R}^{m}\right)^{*}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex3.m1.3"><semantics id="S4.Ex3.m1.3a"><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1"><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mn id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0em" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∧</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">M</mi><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⊗</mo><msup id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">∗</mo></msup></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex3.m1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml"><msup id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.2.cmml">S</mi><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.2.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex3.m1.2.2" xref="S4.Ex3.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.2.2" rspace="0.278em" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.3" rspace="0.278em" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><msup id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msup><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" rspace="0.222em" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">⊙</mo><msup id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">m</mi></msup><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.3.3.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex3.m1.3b"><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝐸</ci><cn id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3"><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><and id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2"></and><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3"><minus id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.1"></minus><ci id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.1">tensor-product</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑀</ci><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑆</ci><times id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.3"></times></apply></apply><ci id="S4.Ex3.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1">𝑚</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.3">assign</csymbol><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4"><times id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.1"></times><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.2">𝑆</ci><times id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.3"></times></apply><ci id="S4.Ex3.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.2.2">𝑚</ci></apply><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.3">direct-product</csymbol><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply><times id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3"></times></apply><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑚</ci></apply><times id="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3"></times></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex3.m1.3c">E_{2}:=\wedge^{m-1}M\otimes S^{*}\left(m\right),\qquad S^{*}\left(m\right):=% \left(\mathbb{R}^{m}\right)^{*}\odot\left(\mathbb{R}^{m}\right)^{*}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex3.m1.3d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT := ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_M ⊗ italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m ) , italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m ) := ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ⊙ ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.21">The Lagrangian form on this space is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda_{\mathcal{L}}:=\eta^{kl}\theta_{kp}\wedge\Omega^{p}_{l}+\eta^{ql}% \Theta_{pq}\wedge\omega^{p}_{l}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex4.m1.1"><semantics id="S4.Ex4.m1.1a"><mrow id="S4.Ex4.m1.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><msup id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml">l</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.1" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">∧</mo><msubsup id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">Ω</mi><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">l</mi><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><msup id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">q</mi><mo id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml">l</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">Θ</mi><mrow id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.1" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.3.cmml">q</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">∧</mo><msubsup id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">l</mi><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex4.m1.1b"><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.2.3">ℒ</ci></apply><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3"><and id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.1"></and><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2"><plus id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2"><and id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.1"></and><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2"><times id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1"></times><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3"><times id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2">𝜃</ci><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3"><times id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2">Ω</ci><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3"><times id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2">𝑞</ci><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2">Θ</ci><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3"><times id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.3">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝜔</ci><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex4.m1.1c">\lambda_{\mathcal{L}}:=\eta^{kl}\theta_{kp}\wedge\Omega^{p}_{l}+\eta^{ql}% \Theta_{pq}\wedge\omega^{p}_{l},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex4.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT := italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_p end_POSTSUBSCRIPT ∧ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_q italic_l end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.12">where <math alttext="\Theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.2.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p1.2.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.cmml">Θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.2.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m1.1.1">Θ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.2.m1.1c">\Theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.2.m1.1d">roman_Θ</annotation></semantics></math> is the <math alttext="S^{*}\left(m\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.3.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p1.3.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.3.m2.1.2" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.cmml"><msup id="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.1" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.3.2.1" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.3.2.2" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.3.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.2"><times id="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.2.2">𝑆</ci><times id="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.2.2.3"></times></apply><ci id="S4.SS1.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m2.1.1">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.3.m2.1c">S^{*}\left(m\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.3.m2.1d">italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m )</annotation></semantics></math>-valued <math alttext="\left(m-1\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.4.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p1.4.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.4.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1"><minus id="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.4.m3.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.4.m3.1c">\left(m-1\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.4.m3.1d">( italic_m - 1 )</annotation></semantics></math>-form on <math alttext="E_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.5.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p1.5.m4.1a"><msub id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.2.cmml">E</mi><mn id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.5.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.2">𝐸</ci><cn id="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.5.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.5.m4.1c">E_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.5.m4.1d">italic_E start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\omega" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.6.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p1.6.m5.1a"><mi id="S4.SS1.p1.6.m5.1.1" xref="S4.SS1.p1.6.m5.1.1.cmml">ω</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.6.m5.1b"><ci id="S4.SS1.p1.6.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m5.1.1">𝜔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.6.m5.1c">\omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.6.m5.1d">italic_ω</annotation></semantics></math> is the canonical connection form on <math alttext="J^{1}\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.7.m6.1"><semantics id="S4.SS1.p1.7.m6.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.cmml"><msup id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.7.m6.1b"><apply id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1"><times id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.1"></times><apply id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m6.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.7.m6.1c">J^{1}\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.7.m6.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Omega" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.8.m7.1"><semantics id="S4.SS1.p1.8.m7.1a"><mi id="S4.SS1.p1.8.m7.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.cmml">Ω</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.8.m7.1b"><ci id="S4.SS1.p1.8.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m7.1.1">Ω</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.8.m7.1c">\Omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.8.m7.1d">roman_Ω</annotation></semantics></math> its curvature form; <math alttext="\theta_{pqr\cdots}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.9.m8.1"><semantics id="S4.SS1.p1.9.m8.1a"><msub id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.1" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.3.cmml">q</mi><mo id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.1a" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.4" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.4.cmml">r</mi><mo id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.1b" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.5" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.5.cmml">⋯</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.9.m8.1b"><apply id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.2">𝜃</ci><apply id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3"><times id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.3">𝑞</ci><ci id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.4">𝑟</ci><ci id="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.5.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m8.1.1.3.5">⋯</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.9.m8.1c">\theta_{pqr\cdots}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.9.m8.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q italic_r ⋯ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> indicate the Spalding forms of different orders, and <math alttext="\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.10.m9.1"><semantics id="S4.SS1.p1.10.m9.1a"><mi id="S4.SS1.p1.10.m9.1.1" xref="S4.SS1.p1.10.m9.1.1.cmml">η</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.10.m9.1b"><ci id="S4.SS1.p1.10.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m9.1.1">𝜂</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.10.m9.1c">\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.10.m9.1d">italic_η</annotation></semantics></math> is a matrix defining a Lorentz group in <math alttext="GL\left(m\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.11.m10.1"><semantics id="S4.SS1.p1.11.m10.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.11.m10.1.2" xref="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.1" xref="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.3" xref="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.3.cmml">L</mi><mo id="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.1a" xref="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.4.2" xref="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.4.2.1" xref="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.11.m10.1.1" xref="S4.SS1.p1.11.m10.1.1.cmml">m</mi><mo id="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.4.2.2" xref="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.11.m10.1b"><apply id="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m10.1.2"><times id="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.2">𝐺</ci><ci id="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m10.1.2.3">𝐿</ci><ci id="S4.SS1.p1.11.m10.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m10.1.1">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.11.m10.1c">GL\left(m\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.11.m10.1d">italic_G italic_L ( italic_m )</annotation></semantics></math>. Given the affine structure of the jet bundle, the vertical spaces <math alttext="V_{j_{x}^{1}s}\tau_{10}\subset T_{j_{x}^{1}s}\left(J^{1}\tau\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.12.m11.1"><semantics id="S4.SS1.p1.12.m11.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.2.cmml">V</mi><mrow id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml">x</mi><mn id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.3" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.1" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.1" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.3.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.3.3.cmml">10</mn></msub></mrow><mo id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.2.cmml">⊂</mo><mrow id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">x</mi><mn id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.1" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.12.m11.1b"><apply id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1"><subset id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.2"></subset><apply id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3"><times id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.2">𝑉</ci><apply id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3"><times id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.3.2">𝜏</ci><cn id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.3.3.3">10</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1"><times id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.2">𝑇</ci><apply id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3"><times id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m11.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.12.m11.1c">V_{j_{x}^{1}s}\tau_{10}\subset T_{j_{x}^{1}s}\left(J^{1}\tau\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.12.m11.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 10 end_POSTSUBSCRIPT ⊂ italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ )</annotation></semantics></math> are spanned by the vectors</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left(\theta^{r},\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\right)^{V}\left(j_{x}^{1}s\right)% :=\left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right|_{t=0}\left[j_{x}^{1}s+t\left.\theta^% {r}\right|_{s\left(x\right)}\otimes\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\left(s\left(x% \right)\right)\right]," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex5.m1.5"><semantics id="S4.Ex5.m1.5a"><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.5" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml">V</mi></msup><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.4" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.3" rspace="0.278em" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.5" rspace="0.278em" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.5.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.cmml"><msub id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.3.1.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.3.2.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.3.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex5.m1.2.2" xref="S4.Ex5.m1.2.2.cmml"><mtext id="S4.Ex5.m1.2.2.2" xref="S4.Ex5.m1.2.2.2a.cmml">d</mtext><mrow id="S4.Ex5.m1.2.2.3" xref="S4.Ex5.m1.2.2.3.cmml"><mtext id="S4.Ex5.m1.2.2.3.2" xref="S4.Ex5.m1.2.2.3.2a.cmml">d</mtext><mo id="S4.Ex5.m1.2.2.3.1" xref="S4.Ex5.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex5.m1.2.2.3.3" xref="S4.Ex5.m1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.3.2.2.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S4.Ex5.m1.3.3.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.3.3.1.2" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex5.m1.3.3.1.3" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.3.cmml">0</mn></mrow></msub><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.cmml"><msubsup id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.2.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.2.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.2.3.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.4" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msup></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.055em" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.4.2.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.3" rspace="0.222em" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.3.cmml">⊗</mo><msub id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex5.m1.4.4" xref="S4.Ex5.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.5.5.1.2" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex5.m1.5b"><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.5">assign</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3"><times id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.4"></times><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2"><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3"><times id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply></interval><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.2.2.4">𝑉</ci></apply><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1"><times id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4"><times id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.2"></times><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.3.2.2.1">evaluated-at</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.2"><divide id="S4.Ex5.m1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.2"></divide><ci id="S4.Ex5.m1.2.2.2a.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.2.2"><mtext id="S4.Ex5.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.2.2">d</mtext></ci><apply id="S4.Ex5.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.2.3"><times id="S4.Ex5.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex5.m1.2.2.3.2a.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.2.3.2"><mtext id="S4.Ex5.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.2.3.2">d</mtext></ci><ci id="S4.Ex5.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex5.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1"><eq id="S4.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.1"></eq><ci id="S4.Ex5.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.2">𝑡</ci><cn id="S4.Ex5.m1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.3.3.1.3">0</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1"><plus id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.4"></plus><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5"><times id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.1"></times><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.5.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3"><times id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.4"></times><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.3">tensor-product</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">evaluated-at</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex5.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1"><times id="S4.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.3">𝑠</ci><ci id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1"><times id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.1"></times><ci id="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.5.5.1.1.4.1.1.1.3.3.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S4.Ex5.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex5.m1.4.4">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex5.m1.5c">\left(\theta^{r},\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\right)^{V}\left(j_{x}^{1}s\right)% :=\left.\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right|_{t=0}\left[j_{x}^{1}s+t\left.\theta^% {r}\right|_{s\left(x\right)}\otimes\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\left(s\left(x% \right)\right)\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex5.m1.5d">( italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT , ( italic_E start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L italic_M end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s ) := divide start_ARG d end_ARG start_ARG d italic_t end_ARG | start_POSTSUBSCRIPT italic_t = 0 end_POSTSUBSCRIPT [ italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s + italic_t italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_s ( italic_x ) end_POSTSUBSCRIPT ⊗ ( italic_E start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L italic_M end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ( italic_x ) ) ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.22">and the map</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="j_{x}^{1}s\mapsto\left(\theta^{r},\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\right)^{V}\left(% j_{x}^{1}s\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex6.m1.3"><semantics id="S4.Ex6.m1.3a"><mrow id="S4.Ex6.m1.3.3" xref="S4.Ex6.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.3.3.5" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5.cmml"><msubsup id="S4.Ex6.m1.3.3.5.2" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.2.3" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.2.3.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.3" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.Ex6.m1.3.3.5.1" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex6.m1.3.3.5.3" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.3.3.4.cmml">↦</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.3.3.3" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.cmml"><msup id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.5" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.4.cmml">V</mi></msup><mo id="S4.Ex6.m1.3.3.3.4" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.2" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.3" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.3" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex6.m1.3b"><apply id="S4.Ex6.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex6.m1.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.4">maps-to</csymbol><apply id="S4.Ex6.m1.3.3.5.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5"><times id="S4.Ex6.m1.3.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5.1"></times><apply id="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex6.m1.3.3.5.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.5.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex6.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3"><times id="S4.Ex6.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.4"></times><apply id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2"><apply id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3"><times id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply></interval><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.4">𝑉</ci></apply><apply id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1"><times id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.3.3.3.3.1.1.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex6.m1.3c">j_{x}^{1}s\mapsto\left(\theta^{r},\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\right)^{V}\left(% j_{x}^{1}s\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex6.m1.3d">italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s ↦ ( italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT , ( italic_E start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L italic_M end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.17">defines a <math alttext="\tau_{10}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.13.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p1.13.m1.1a"><msub id="S4.SS1.p1.13.m1.1.1" xref="S4.SS1.p1.13.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.13.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.13.m1.1.1.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.SS1.p1.13.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.13.m1.1.1.3.cmml">10</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.13.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p1.13.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.13.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.13.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m1.1.1.2">𝜏</ci><cn id="S4.SS1.p1.13.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.13.m1.1.1.3">10</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.13.m1.1c">\tau_{10}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.13.m1.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 10 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-vertical vector field on <math alttext="J^{1}\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.14.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p1.14.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.14.m2.1.1" xref="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.14.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m2.1.1"><times id="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.1"></times><apply id="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m2.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.14.m2.1c">J^{1}\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.14.m2.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ</annotation></semantics></math> (and also on <math alttext="\widehat{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.15.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p1.15.m3.1a"><mover accent="true" id="S4.SS1.p1.15.m3.1.1" xref="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.15.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.15.m3.1.1"><ci id="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.1">^</ci><apply id="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.15.m3.1.1.2.3">ℒ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.15.m3.1c">\widehat{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.15.m3.1d">over^ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>). Recall that in the coordinates <math alttext="\left(x^{i},e_{j}^{\mu}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.16.m4.2"><semantics id="S4.SS1.p1.16.m4.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S4.SS1.p1.16.m4.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.16.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.16.m4.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.16.m4.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS1.p1.16.m4.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.16.m4.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi><mi id="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.3.cmml">μ</mi></msubsup><mo id="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.5" xref="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.16.m4.2b"><interval closure="open" id="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p1.16.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.16.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.16.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.16.m4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.16.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.16.m4.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS1.p1.16.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.16.m4.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.16.m4.2.2.2.2.3">𝜇</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.16.m4.2c">\left(x^{i},e_{j}^{\mu}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.16.m4.2d">( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, the infinitesimal generators for the <math alttext="GL\left(m\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.17.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p1.17.m5.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.17.m5.1.2" xref="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.1" xref="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.3" xref="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.3.cmml">L</mi><mo id="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.1a" xref="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.4.2" xref="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.4.2.1" xref="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.17.m5.1.1" xref="S4.SS1.p1.17.m5.1.1.cmml">m</mi><mo id="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.4.2.2" xref="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.17.m5.1b"><apply id="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.17.m5.1.2"><times id="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.2">𝐺</ci><ci id="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.17.m5.1.2.3">𝐿</ci><ci id="S4.SS1.p1.17.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.17.m5.1.1">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.17.m5.1c">GL\left(m\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.17.m5.1d">italic_G italic_L ( italic_m )</annotation></semantics></math>-action become</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left(E_{p}^{q}\right)_{LM}\left(x^{i},e_{j}^{\mu}\right):=-e_{p}^{\sigma}% \frac{\partial}{\partial e^{\sigma}_{q}};" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex7.m1.1"><semantics id="S4.Ex7.m1.1a"><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">M</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.4" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml">j</mi><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">μ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.5" rspace="0.278em" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.4" rspace="0.278em" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.4.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5a" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.3.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.1" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.2.3.cmml">σ</mi></msubsup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex7.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex7.m1.1b"><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.4">assign</csymbol><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.4"></times><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2"><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝜇</ci></apply></interval></apply><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5"><minus id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5"></minus><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2"><times id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.1"></times><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3"><divide id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3"></divide><partialdiff id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.2"></partialdiff><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3"><partialdiff id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.2.3">𝜎</ci></apply><ci id="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex7.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.3">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex7.m1.1c">\left(E_{p}^{q}\right)_{LM}\left(x^{i},e_{j}^{\mu}\right):=-e_{p}^{\sigma}% \frac{\partial}{\partial e^{\sigma}_{q}};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex7.m1.1d">( italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L italic_M end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT ) := - italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.23">it means that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx7"> <tbody id="S4.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle j_{x}^{1}s+t\left.\theta^{r}\right|_{s\left(x\right)}\otimes% \left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\left(s\left(x\right)\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E1.m1.5"><semantics id="S4.E1.m1.5a"><mrow id="S4.E1.m1.5.5" xref="S4.E1.m1.5.5.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.5.5.5" xref="S4.E1.m1.5.5.5.cmml"><msubsup id="S4.E1.m1.5.5.5.2" xref="S4.E1.m1.5.5.5.2.cmml"><mi id="S4.E1.m1.5.5.5.2.2.2" xref="S4.E1.m1.5.5.5.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S4.E1.m1.5.5.5.2.2.3" xref="S4.E1.m1.5.5.5.2.2.3.cmml">x</mi><mn id="S4.E1.m1.5.5.5.2.3" xref="S4.E1.m1.5.5.5.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.E1.m1.5.5.5.1" xref="S4.E1.m1.5.5.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E1.m1.5.5.5.3" xref="S4.E1.m1.5.5.5.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S4.E1.m1.5.5.4" xref="S4.E1.m1.5.5.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.E1.m1.5.5.3" xref="S4.E1.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.4.4.2.2" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.cmml"><msub id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msup></mrow><mo id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" rspace="0.055em" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S4.E1.m1.1.1.1" xref="S4.E1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E1.m1.1.1.1.3" xref="S4.E1.m1.1.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="S4.E1.m1.1.1.1.2" xref="S4.E1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E1.m1.1.1.1.4.2" xref="S4.E1.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.1.1.1.4.2.1" xref="S4.E1.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E1.m1.1.1.1.1" xref="S4.E1.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E1.m1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E1.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S4.E1.m1.4.4.2.2.3" rspace="0.222em" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.3.cmml">⊗</mo><msub id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.3.cmml">q</mi><mi id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.3.2" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.3.1" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.3.3" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E1.m1.5.5.3.4" xref="S4.E1.m1.5.5.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E1.m1.5.5.3.3.1" xref="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.2" xref="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1" xref="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.2" xref="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.1" xref="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.3.2" xref="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.3.2.1" xref="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E1.m1.2.2" xref="S4.E1.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.3" xref="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E1.m1.5b"><apply id="S4.E1.m1.5.5.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5"><plus id="S4.E1.m1.5.5.4.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5.4"></plus><apply id="S4.E1.m1.5.5.5.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5.5"><times id="S4.E1.m1.5.5.5.1.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5.5.1"></times><apply id="S4.E1.m1.5.5.5.2.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.5.5.5.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5.5.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E1.m1.5.5.5.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.5.5.5.2.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5.5.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.5.5.5.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5.5.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.E1.m1.5.5.5.2.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5.5.2.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S4.E1.m1.5.5.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.5.5.5.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.E1.m1.5.5.5.3.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5.5.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.E1.m1.5.5.3.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5.3"><times id="S4.E1.m1.5.5.3.4.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5.3.4"></times><apply id="S4.E1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E1.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.3">tensor-product</csymbol><apply id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">evaluated-at</csymbol><apply id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.E1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.1.1.1"><times id="S4.E1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E1.m1.1.1.1.3">𝑠</ci><ci id="S4.E1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.1.1.1.1">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.3"><times id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E1.m1.4.4.2.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5.3.3.1"><times id="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.1"></times><ci id="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.5.5.3.3.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S4.E1.m1.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.2.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E1.m1.5c">\displaystyle j_{x}^{1}s+t\left.\theta^{r}\right|_{s\left(x\right)}\otimes% \left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\left(s\left(x\right)\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E1.m1.5d">italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s + italic_t italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_s ( italic_x ) end_POSTSUBSCRIPT ⊗ ( italic_E start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L italic_M end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ( italic_x ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left[\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\mapsto\frac{\partial}{% \partial x^{\mu}}+e^{\nu}_{k\mu}\frac{\partial}{\partial e^{\nu}_{k}}-te^{r}_{% \mu}e^{\nu}_{q}\frac{\partial}{\partial e^{\nu}_{p}}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E1.m2.1"><semantics id="S4.E1.m2.1a"><mrow id="S4.E1.m2.1.1" xref="S4.E1.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.E1.m2.1.1.3" xref="S4.E1.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.E1.m2.1.1.2" xref="S4.E1.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E1.m2.1.1.1.1" xref="S4.E1.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">μ</mi></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">↦</mo><mrow id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2a" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">μ</mi></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><msubsup id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml">μ</mi></mrow><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mfrac id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3a" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml"><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.2.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.2.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.2.3.cmml">ν</mi></msubsup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">μ</mi><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.2.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml">q</mi><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.2.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.1b" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.cmml"><mfrac id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5a" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.cmml"><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml"><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.1" rspace="0em" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.cmml"><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.2.2" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.3.cmml">p</mi><mi id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.2.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.2.3.cmml">ν</mi></msubsup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E1.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.E1.m2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E1.m2.1b"><apply id="S4.E1.m2.1.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1"><eq id="S4.E1.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.E1.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E1.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.1">maps-to</csymbol><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2"><divide id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2"></divide><partialdiff id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.2"></partialdiff><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3"><partialdiff id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝜇</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3"><minus id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2"><plus id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2"><divide id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2"></divide><partialdiff id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.2"></partialdiff><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><partialdiff id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3">𝜇</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3"><times id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3">𝜇</ci></apply></apply><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3"><divide id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3"></divide><partialdiff id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2"></partialdiff><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3"><partialdiff id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.2.3">𝜈</ci></apply><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑡</ci><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝜇</ci></apply><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.2.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.2.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.2.3">𝜈</ci></apply><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.4.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5"><divide id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5"></divide><partialdiff id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.2"></partialdiff><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3"><partialdiff id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.2.3">𝜈</ci></apply><ci id="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.3.cmml" xref="S4.E1.m2.1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E1.m2.1c">\displaystyle=\left[\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\mapsto\frac{\partial}{% \partial x^{\mu}}+e^{\nu}_{k\mu}\frac{\partial}{\partial e^{\nu}_{k}}-te^{r}_{% \mu}e^{\nu}_{q}\frac{\partial}{\partial e^{\nu}_{p}}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E1.m2.1d">= [ divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ↦ divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_μ end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG - italic_t italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left[\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\mapsto\frac{\partial}{% \partial x^{\mu}}+\left(e^{\nu}_{k\mu}-te^{r}_{\mu}e_{q}^{\nu}\delta^{p}_{k}% \right)\frac{\partial}{\partial e^{\nu}_{k}}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E2.m1.1"><semantics id="S4.E2.m1.1a"><mrow id="S4.E2.m1.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.3" xref="S4.E2.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E2.m1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">μ</mi></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">↦</mo><mrow id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">μ</mi></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">μ</mi></mrow><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">μ</mi><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">q</mi><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">k</mi><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">ν</mi></msubsup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E2.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E2.m1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E2.m1.1b"><apply id="S4.E2.m1.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1"><eq id="S4.E2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.E2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E2.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.2">maps-to</csymbol><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3"></divide><partialdiff id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.2"></partialdiff><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3"><partialdiff id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝜇</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><partialdiff id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"></partialdiff><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><partialdiff id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝜇</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝜇</ci></apply></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝜇</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">𝜈</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5">superscript</csymbol><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><partialdiff id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></partialdiff><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><partialdiff id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></partialdiff><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝜈</ci></apply><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E2.m1.1c">\displaystyle=\left[\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\mapsto\frac{\partial}{% \partial x^{\mu}}+\left(e^{\nu}_{k\mu}-te^{r}_{\mu}e_{q}^{\nu}\delta^{p}_{k}% \right)\frac{\partial}{\partial e^{\nu}_{k}}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E2.m1.1d">= [ divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ↦ divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_μ end_POSTSUBSCRIPT - italic_t italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.24">for</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="j_{x}^{1}s:\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\mapsto\frac{\partial}{\partial x^% {\mu}}+e^{\nu}_{k\mu}\frac{\partial}{\partial e^{\nu}_{k}}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex8.m1.1"><semantics id="S4.Ex8.m1.1a"><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">μ</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">↦</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml">μ</mi></msup></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml">μ</mi></mrow><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.cmml">ν</mi></msubsup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex8.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex8.m1.1b"><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1"><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.1">:</ci><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.1">maps-to</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2"></divide><partialdiff id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.2"></partialdiff><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3"><partialdiff id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3">𝜇</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2"><divide id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2"></divide><partialdiff id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.2"></partialdiff><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3"><partialdiff id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3">𝜇</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3"><times id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3">𝜇</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"><divide id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"></divide><partialdiff id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2"></partialdiff><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3"><partialdiff id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.2.3">𝜈</ci></apply><ci id="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex8.m1.1c">j_{x}^{1}s:\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\mapsto\frac{\partial}{\partial x^% {\mu}}+e^{\nu}_{k\mu}\frac{\partial}{\partial e^{\nu}_{k}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex8.m1.1d">italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s : divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ↦ divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_μ end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.18">Therefore, in the canonical coordinates <math alttext="\left(x^{i},e^{\mu}_{k},e^{\mu}_{k\nu}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.18.m1.3"><semantics id="S4.SS1.p1.18.m1.3a"><mrow id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.4.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.4" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.4.cmml">(</mo><msup id="S4.SS1.p1.18.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.18.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.18.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.18.m1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS1.p1.18.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.18.m1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.5" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">μ</mi></msubsup><mo id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.6" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.3" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.3.2" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.3.1" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.2.3" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.2.3.cmml">μ</mi></msubsup><mo id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.7" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.18.m1.3b"><vector id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.4.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3"><apply id="S4.SS1.p1.18.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.18.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.18.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS1.p1.18.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.2.3">𝜇</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.3"><times id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.18.m1.3.3.3.3.3.3">𝜈</ci></apply></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.18.m1.3c">\left(x^{i},e^{\mu}_{k},e^{\mu}_{k\nu}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.18.m1.3d">( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT , italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_ν end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> these vertical vectors are given by the formula</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left(\theta^{r},\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\right)^{V}\left(j_{x}^{1}s\right)% =-e^{r}_{\nu}e^{\mu}_{q}\frac{\partial}{\partial e^{\mu}_{p\nu}}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex9.m1.1"><semantics id="S4.Ex9.m1.1a"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.5" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml">V</mi></msup><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5a" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.3.cmml">ν</mi><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.3.cmml">μ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.1a" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.cmml"><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.2.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.3.2" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.3.1" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.3.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.2.3" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.2.3.cmml">μ</mi></msubsup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex9.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex9.m1.1b"><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.4"></times><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3"><times id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply></interval><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.2.2.4">𝑉</ci></apply><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1"><times id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5"><minus id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5"></minus><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2"><times id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.1"></times><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.3.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4"><divide id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4"></divide><partialdiff id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.2"></partialdiff><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3"><partialdiff id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.2.3">𝜇</ci></apply><apply id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.3"><times id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex9.m1.1.1.1.1.5.2.4.3.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex9.m1.1c">\left(\theta^{r},\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\right)^{V}\left(j_{x}^{1}s\right)% =-e^{r}_{\nu}e^{\mu}_{q}\frac{\partial}{\partial e^{\mu}_{p\nu}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex9.m1.1d">( italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT , ( italic_E start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L italic_M end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s ) = - italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_ν end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lem" id="Thmlem7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem7.1.1.1">Lemma 7</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem7.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlem7.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlem7.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlem7.p1.2.2">There exists an action of the abelian group (under addition) <math alttext="A:=\mathbb{R}^{m}\otimes\left(\mathbb{R}^{m}\right)^{*}\otimes\left(\mathbb{R}% ^{m}\right)^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.4" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.4.cmml">A</mi><mo id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml">:=</mo><mrow id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.cmml"><msup id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.4" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2.cmml">ℝ</mi><mi id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3.cmml">m</mi></msup><mo id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">⊗</mo><msup id="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msup><mo id="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.3a" rspace="0.222em" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">⊗</mo><msup id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">m</mi></msup><mo id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2b"><apply id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.3">assign</csymbol><ci id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.4">𝐴</ci><apply id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.3">tensor-product</csymbol><apply id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2">ℝ</ci><ci id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3">𝑚</ci></apply><apply id="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply><times id="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3"></times></apply><apply id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.2">ℝ</ci><ci id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑚</ci></apply><times id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmlem7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3"></times></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2c">A:=\mathbb{R}^{m}\otimes\left(\mathbb{R}^{m}\right)^{*}\otimes\left(\mathbb{R}% ^{m}\right)^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem7.p1.1.1.m1.2d">italic_A := blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ⊗ ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ⊗ ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> on <math alttext="J^{1}\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><msup id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.2.3" xref="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1"><times id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.1"></times><apply id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmlem7.p1.2.2.m2.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1c">J^{1}\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem7.p1.2.2.m2.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ</annotation></semantics></math> given by the formula</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="c\cdot j_{x}^{1}s:=j_{x}^{1}s+c^{i}_{jk}\left.\theta^{j}\right|_{s\left(x% \right)}\otimes\left(E^{k}_{i}\right)_{LM}\left(s\left(x\right)\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex10.m1.5"><semantics id="S4.Ex10.m1.5a"><mrow id="S4.Ex10.m1.5.5" xref="S4.Ex10.m1.5.5.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.5.5.5" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.2" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.1.cmml">⋅</mo><msubsup id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.2.2" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.2.2.cmml">j</mi><mi id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.2.3" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.2.3.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.3" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.3.cmml">1</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.5.5.5.1" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex10.m1.5.5.5.3" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.5.5.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex10.m1.5.5.4.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.5.5.3" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.cmml"><msubsup id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.2.2" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.2.2.cmml">j</mi><mi id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.2.3" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.2.3.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.3" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.3.cmml">1</mn></msubsup><mo id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.1" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.3" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.5.5.3.4" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.5.5.3.3" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></mrow><mi id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msup></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.055em" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.4.2.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.Ex10.m1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.3" rspace="0.222em" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">⊗</mo><msub id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msubsup><mo id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.4" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.2" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.3.2" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex10.m1.2.2" xref="S4.Ex10.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.3" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex10.m1.5b"><apply id="S4.Ex10.m1.5.5.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex10.m1.5.5.4.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.4">assign</csymbol><apply id="S4.Ex10.m1.5.5.5.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5"><times id="S4.Ex10.m1.5.5.5.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.1"></times><apply id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2"><ci id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.1">⋅</ci><ci id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.Ex10.m1.5.5.5.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.5.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex10.m1.5.5.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3"><plus id="S4.Ex10.m1.5.5.3.4.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.4"></plus><apply id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5"><times id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.1"></times><apply id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.2.3">𝑥</ci></apply><cn id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.5.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.3"><times id="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.4"></times><apply id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.3">tensor-product</csymbol><apply id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">evaluated-at</csymbol><apply id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex10.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1"><times id="S4.Ex10.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.3">𝑠</ci><ci id="S4.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.1.1.1.1">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.3"><times id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex10.m1.4.4.2.2.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1"><times id="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.1"></times><ci id="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.5.5.3.3.3.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S4.Ex10.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex10.m1.2.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex10.m1.5c">c\cdot j_{x}^{1}s:=j_{x}^{1}s+c^{i}_{jk}\left.\theta^{j}\right|_{s\left(x% \right)}\otimes\left(E^{k}_{i}\right)_{LM}\left(s\left(x\right)\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex10.m1.5d">italic_c ⋅ italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s := italic_j start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_s + italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_s ( italic_x ) end_POSTSUBSCRIPT ⊗ ( italic_E start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L italic_M end_POSTSUBSCRIPT ( italic_s ( italic_x ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlem7.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlem7.p1.3.1">where <math alttext="c=\left(c_{ij}^{k}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1"><semantics id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1a"><mrow id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.3" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi><mo id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.2" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mrow id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow><mi id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msubsup><mo id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1b"><apply id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1"><eq id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.2"></eq><ci id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.3">𝑐</ci><apply id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑐</ci><apply id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem7.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1c">c=\left(c_{ij}^{k}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem7.p1.3.1.m1.1d">italic_c = ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_note" id="Thmnote11"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote11.1.1.1">Remark 11</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote11.2.2"> </span>(The action in coordinates)<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote11.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmnote11.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmnote11.p1.1">Let us see how this action operates at coordinate level. By Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.E2" title="Equation 4.2 ‣ 4.1. Introduction and basic notation ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.2</span></a>), we will obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="c\cdot e^{\nu}_{k\mu}=e^{\nu}_{k\mu}-c_{rk}^{q}e^{r}_{\mu}e^{\nu}_{q}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex11.m1.1"><semantics id="S4.Ex11.m1.1a"><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⋅</mo><msubsup id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">μ</mi></mrow><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">ν</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">μ</mi></mrow><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml">k</mi></mrow><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">μ</mi><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.cmml">ν</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex11.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex11.m1.1b"><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.1">⋅</ci><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝜇</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜇</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3"><times id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝜇</ci></apply><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3">𝜈</ci></apply><ci id="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex11.m1.1.1.1.1.3.3.4.3">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex11.m1.1c">c\cdot e^{\nu}_{k\mu}=e^{\nu}_{k\mu}-c_{rk}^{q}e^{r}_{\mu}e^{\nu}_{q}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex11.m1.1d">italic_c ⋅ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_μ end_POSTSUBSCRIPT = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_μ end_POSTSUBSCRIPT - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p2.2">Please note that the Lie algebra <math alttext="\mathfrak{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p2.1.m1.1a"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">𝔞</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.1.m1.1b"><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1">𝔞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.1.m1.1c">\mathfrak{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.1.m1.1d">fraktur_a</annotation></semantics></math> coincides with the space <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p2.2.m2.1a"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.2.m2.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.2.m2.1d">italic_A</annotation></semantics></math>; the infinitesimal generators for this action are the vertical vector fields</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="c_{J^{1}\tau}:=c_{rp}^{q}\left(\theta^{r},\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\right)^{% V},\qquad c\in\mathfrak{a}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex12.m1.1"><semantics id="S4.Ex12.m1.1a"><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><msup id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">J</mi><mn id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml">V</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">𝔞</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex12.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex12.m1.1b"><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.3">assign</csymbol><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2">𝐽</ci><cn id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝜏</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3"><times id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3"><times id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply></interval><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4">𝑉</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2"><in id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.1"></in><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex12.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝔞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex12.m1.1c">c_{J^{1}\tau}:=c_{rp}^{q}\left(\theta^{r},\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\right)^{% V},\qquad c\in\mathfrak{a}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex12.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT := italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT , ( italic_E start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L italic_M end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_V end_POSTSUPERSCRIPT , italic_c ∈ fraktur_a .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p2.5">Now, we are searching for a projection <math alttext="p^{\ddagger}:\widehat{W_{\mathcal{L}}}\to W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.3.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p2.3.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.2.3.cmml">‡</mo></msup><mo id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><msup id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mo id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.3.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1"><ci id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.1">:</ci><apply id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.2.3">‡</ci></apply><apply id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3"><ci id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.1">→</ci><apply id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2"><ci id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.1">^</ci><apply id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.2.2">𝑊</ci><ci id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.2.2.3">ℒ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3.2">𝑊</ci><ci id="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.3.m1.1.1.3.3.3">‡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.3.m1.1c">p^{\ddagger}:\widehat{W_{\mathcal{L}}}\to W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.3.m1.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT : over^ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG → italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> compatible with the form <math alttext="\lambda_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.4.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p2.4.m2.1a"><msub id="S4.SS1.p2.4.m2.1.1" xref="S4.SS1.p2.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.4.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.4.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS1.p2.4.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.4.m2.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.4.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p2.4.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p2.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p2.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m2.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S4.SS1.p2.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.4.m2.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.4.m2.1c">\lambda_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.4.m2.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>; the idea is to construct this projection by quotienting out by a subspace <math alttext="B\subset A" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.5.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p2.5.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p2.5.m3.1.1" xref="S4.SS1.p2.5.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.5.m3.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.5.m3.1.1.2.cmml">B</mi><mo id="S4.SS1.p2.5.m3.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.5.m3.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi id="S4.SS1.p2.5.m3.1.1.3" xref="S4.SS1.p2.5.m3.1.1.3.cmml">A</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.5.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p2.5.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m3.1.1"><subset id="S4.SS1.p2.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m3.1.1.1"></subset><ci id="S4.SS1.p2.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m3.1.1.2">𝐵</ci><ci id="S4.SS1.p2.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p2.5.m3.1.1.3">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.5.m3.1c">B\subset A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.5.m3.1d">italic_B ⊂ italic_A</annotation></semantics></math>. In order to proceed, we need the following lemma.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lem" id="Thmlem8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem8.1.1.1">Lemma 8</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem8.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlem8.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlem8.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlem8.p1.1.1">It is true that</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left(\theta^{r},\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\right)^{V}\lrcorner\omega=0=\left% (\theta^{r},\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\right)^{V}\lrcorner\theta=\left(\theta% ^{r},\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\right)^{V}\lrcorner T." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex13.m1.1"><semantics id="S4.Ex13.m1.1a"><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.5" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml">V</mi></msup><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4" mathvariant="normal" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.cmml">⌟</mi><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.5" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.5.cmml">ω</mi></mrow><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.8" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.8.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.9" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.9.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.10" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.10.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.cmml"><msup id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.4" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.5" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.4" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.4.cmml">V</mi></msup><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.4" mathvariant="normal" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.4.cmml">⌟</mi><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.3a" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.5" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.5.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.11" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.11.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.cmml"><msup id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.cmml"><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.4" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.5" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.4" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.4.cmml">V</mi></msup><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.4" mathvariant="normal" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.4.cmml">⌟</mi><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.3a" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.5" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.5.cmml">T</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex13.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex13.m1.1b"><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1"><and id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1"></and><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.8"></eq><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3"><times id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply></interval><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.2.4">𝑉</ci></apply><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.4">⌟</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.2.5">𝜔</ci></apply><cn id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.9.cmml" type="integer" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.9">0</cn></apply><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.10.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.10"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.Ex13.m1.1.1.1.1.9.cmml" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4"><times id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.3"></times><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2"><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3"><times id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply></interval><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.4.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.2.4">𝑉</ci></apply><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.4">⌟</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.5">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1e.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.11.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.11"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.Ex13.m1.1.1.1.1.4.cmml" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1f.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6"><times id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.3"></times><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2"><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.5.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3"><times id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply></interval><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.4.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.2.4">𝑉</ci></apply><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.4.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.4">⌟</ci><ci id="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.5.cmml" xref="S4.Ex13.m1.1.1.1.1.6.5">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex13.m1.1c">\left(\theta^{r},\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\right)^{V}\lrcorner\omega=0=\left% (\theta^{r},\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\right)^{V}\lrcorner\theta=\left(\theta% ^{r},\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\right)^{V}\lrcorner T.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex13.m1.1d">( italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT , ( italic_E start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L italic_M end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ⌟ italic_ω = 0 = ( italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT , ( italic_E start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L italic_M end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ⌟ italic_θ = ( italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT , ( italic_E start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L italic_M end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ⌟ italic_T .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlem8.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlem8.p1.2.1">Also</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left(\theta^{r},\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\right)^{V}\lrcorner\Omega^{i}_{j}% =-\delta^{p}_{j}\delta^{i}_{q}\theta^{r}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex14.m1.1"><semantics id="S4.Ex14.m1.1a"><mrow id="S4.Ex14.m1.1.1.1" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></msup><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">E</mi><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">M</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.5" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml">V</mi></msup><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.4" mathvariant="normal" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.4.cmml">⌟</mi><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.2.2.cmml">Ω</mi><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">j</mi><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.2.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.2.3.cmml">i</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4a" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">j</mi><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.1a" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.4" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.4.2" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.4.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.4.3" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.4.3.cmml">r</mi></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex14.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex14.m1.1b"><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3"><times id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply></interval><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.4">𝑉</ci></apply><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.4">⌟</ci><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.2.2">Ω</ci><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.2.5.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4"><minus id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4"></minus><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2"><times id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.1"></times><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.3.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.4.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.4.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex14.m1.1.1.1.1.4.2.4.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex14.m1.1c">\left(\theta^{r},\left(E^{p}_{q}\right)_{LM}\right)^{V}\lrcorner\Omega^{i}_{j}% =-\delta^{p}_{j}\delta^{i}_{q}\theta^{r}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex14.m1.1d">( italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT , ( italic_E start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_L italic_M end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_V end_POSTSUPERSCRIPT ⌟ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = - italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p3.1">It is important to have at our disposal the following expression for the differential of the Lagrangian form.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_prop" id="Thmprop4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop4.1.1.1">Proposition 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop4.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmprop4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmprop4.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmprop4.p1.6.1">The differential of the Lagrangian form for GR is given by</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.3)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left.d\lambda_{\mathcal{L}}\right|_{\rho}=\left[2\eta^{kp}\left(\omega_{% \mathfrak{p}}\right)_{k}^{i}\wedge\theta_{il}-\left(\omega_{\mathfrak{p}}% \right)^{s}_{s}\wedge\eta^{kp}\theta_{kl}+\eta^{kp}T^{i}\wedge\theta_{kli}+% \eta^{ip}\left.\Theta_{il}\right|_{\beta}\right]\wedge\Omega^{l}_{p}+\\ +\eta^{ik}\left[\left.d\Theta_{ij}\right|_{\beta}+\eta^{rq}\eta_{li}\left.% \Theta_{rj}\right|_{\beta}\wedge\left(\omega_{\mathfrak{k}}\right)^{l}_{q}-% \left.\Theta_{ip}\right|_{\beta}\wedge\left(\omega_{\mathfrak{k}}\right)^{p}_{% j}\right]\wedge\left(\omega_{\mathfrak{p}}\right)^{j}_{k}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E3.m1.101"><semantics id="S4.E3.m1.101a"><mtable displaystyle="true" id="S4.E3.m1.101.101.4" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.E3.m1.101.101.4a"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E3.m1.101.101.4b"><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53"><msub id="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1"><mrow id="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1"><mrow id="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1"><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.2"><mi id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E3.m1.3.3.3.3.3.3.1" xref="S4.E3.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S4.E3.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S4.E3.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="S4.E3.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml">ρ</mi></msub><mo id="S4.E3.m1.6.6.6.6.6.6" xref="S4.E3.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53"><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1"><mo id="S4.E3.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1"><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.2"><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.2.2"><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.2.2.2"><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.2.2.2.2"><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mn id="S4.E3.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S4.E3.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">2</mn><mo id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S4.E3.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S4.E3.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">η</mi><mrow id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.2" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.1" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.3" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.3.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E3.m1.11.11.11.11.11.11" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E3.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S4.E3.m1.12.12.12.12.12.12.cmml">ω</mi><mi id="S4.E3.m1.13.13.13.13.13.13.1" xref="S4.E3.m1.13.13.13.13.13.13.1.cmml">𝔭</mi></msub><mo id="S4.E3.m1.14.14.14.14.14.14" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E3.m1.15.15.15.15.15.15.1" xref="S4.E3.m1.15.15.15.15.15.15.1.cmml">k</mi><mi id="S4.E3.m1.16.16.16.16.16.16.1" xref="S4.E3.m1.16.16.16.16.16.16.1.cmml">i</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17" xref="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">∧</mo><msub id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E3.m1.18.18.18.18.18.18" xref="S4.E3.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">θ</mi><mrow id="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1" xref="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1.2" xref="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1.1" xref="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1.3" xref="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E3.m1.20.20.20.20.20.20" xref="S4.E3.m1.20.20.20.20.20.20.cmml">−</mo><msubsup id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.2.2.2.2.2"><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1"><mo id="S4.E3.m1.21.21.21.21.21.21" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1"><mi id="S4.E3.m1.22.22.22.22.22.22" xref="S4.E3.m1.22.22.22.22.22.22.cmml">ω</mi><mi id="S4.E3.m1.23.23.23.23.23.23.1" xref="S4.E3.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml">𝔭</mi></msub><mo id="S4.E3.m1.24.24.24.24.24.24" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E3.m1.26.26.26.26.26.26.1" xref="S4.E3.m1.26.26.26.26.26.26.1.cmml">s</mi><mi id="S4.E3.m1.25.25.25.25.25.25.1" xref="S4.E3.m1.25.25.25.25.25.25.1.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E3.m1.27.27.27.27.27.27" xref="S4.E3.m1.27.27.27.27.27.27.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.2.2.2.3"><msup id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.2.2.2.3.2"><mi id="S4.E3.m1.28.28.28.28.28.28" xref="S4.E3.m1.28.28.28.28.28.28.cmml">η</mi><mrow id="S4.E3.m1.29.29.29.29.29.29.1" xref="S4.E3.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.29.29.29.29.29.29.1.2" xref="S4.E3.m1.29.29.29.29.29.29.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E3.m1.29.29.29.29.29.29.1.1" xref="S4.E3.m1.29.29.29.29.29.29.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.29.29.29.29.29.29.1.3" xref="S4.E3.m1.29.29.29.29.29.29.1.3.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.2.2.2.3.3"><mi id="S4.E3.m1.30.30.30.30.30.30" xref="S4.E3.m1.30.30.30.30.30.30.cmml">θ</mi><mrow id="S4.E3.m1.31.31.31.31.31.31.1" xref="S4.E3.m1.31.31.31.31.31.31.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.31.31.31.31.31.31.1.2" xref="S4.E3.m1.31.31.31.31.31.31.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E3.m1.31.31.31.31.31.31.1.1" xref="S4.E3.m1.31.31.31.31.31.31.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.31.31.31.31.31.31.1.3" xref="S4.E3.m1.31.31.31.31.31.31.1.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E3.m1.32.32.32.32.32.32" xref="S4.E3.m1.32.32.32.32.32.32.cmml">+</mo><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.2.2.3"><msup id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.2.2.3.2"><mi id="S4.E3.m1.33.33.33.33.33.33" xref="S4.E3.m1.33.33.33.33.33.33.cmml">η</mi><mrow id="S4.E3.m1.34.34.34.34.34.34.1" xref="S4.E3.m1.34.34.34.34.34.34.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.34.34.34.34.34.34.1.2" xref="S4.E3.m1.34.34.34.34.34.34.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E3.m1.34.34.34.34.34.34.1.1" xref="S4.E3.m1.34.34.34.34.34.34.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.34.34.34.34.34.34.1.3" xref="S4.E3.m1.34.34.34.34.34.34.1.3.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.2.2.3.3"><mi id="S4.E3.m1.35.35.35.35.35.35" xref="S4.E3.m1.35.35.35.35.35.35.cmml">T</mi><mi id="S4.E3.m1.36.36.36.36.36.36.1" xref="S4.E3.m1.36.36.36.36.36.36.1.cmml">i</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E3.m1.37.37.37.37.37.37" xref="S4.E3.m1.37.37.37.37.37.37.cmml">∧</mo><msub id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.2.3"><mi id="S4.E3.m1.38.38.38.38.38.38" xref="S4.E3.m1.38.38.38.38.38.38.cmml">θ</mi><mrow id="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1" xref="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.2" xref="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.1" xref="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.3" xref="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.3.cmml">l</mi><mo id="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.1a" xref="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.4" xref="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.4.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E3.m1.40.40.40.40.40.40" xref="S4.E3.m1.40.40.40.40.40.40.cmml">+</mo><msub id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.3.1"><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.3.1.1"><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.3.1.1.1"><msup id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.3.1.1.1.2"><mi id="S4.E3.m1.41.41.41.41.41.41" xref="S4.E3.m1.41.41.41.41.41.41.cmml">η</mi><mrow id="S4.E3.m1.42.42.42.42.42.42.1" xref="S4.E3.m1.42.42.42.42.42.42.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.42.42.42.42.42.42.1.2" xref="S4.E3.m1.42.42.42.42.42.42.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E3.m1.42.42.42.42.42.42.1.1" xref="S4.E3.m1.42.42.42.42.42.42.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.42.42.42.42.42.42.1.3" xref="S4.E3.m1.42.42.42.42.42.42.1.3.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.1.1.1.3.1.1.1.3"><mi id="S4.E3.m1.43.43.43.43.43.43" mathvariant="normal" xref="S4.E3.m1.43.43.43.43.43.43.cmml">Θ</mi><mrow id="S4.E3.m1.44.44.44.44.44.44.1" xref="S4.E3.m1.44.44.44.44.44.44.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.44.44.44.44.44.44.1.2" xref="S4.E3.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E3.m1.44.44.44.44.44.44.1.1" xref="S4.E3.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.44.44.44.44.44.44.1.3" xref="S4.E3.m1.44.44.44.44.44.44.1.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E3.m1.45.45.45.45.45.45" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S4.E3.m1.46.46.46.46.46.46.1" xref="S4.E3.m1.46.46.46.46.46.46.1.cmml">β</mi></msub></mrow><mo id="S4.E3.m1.47.47.47.47.47.47" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.E3.m1.48.48.48.48.48.48" xref="S4.E3.m1.48.48.48.48.48.48.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.2"><msubsup id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.2.2"><mi id="S4.E3.m1.49.49.49.49.49.49" mathvariant="normal" xref="S4.E3.m1.49.49.49.49.49.49.cmml">Ω</mi><mi id="S4.E3.m1.51.51.51.51.51.51.1" xref="S4.E3.m1.51.51.51.51.51.51.1.cmml">p</mi><mi id="S4.E3.m1.50.50.50.50.50.50.1" xref="S4.E3.m1.50.50.50.50.50.50.1.cmml">l</mi></msubsup><mo id="S4.E3.m1.100.100.3.99.53.53.53.2.3" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">+</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E3.m1.101.101.4c"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E3.m1.101.101.4d"><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47"><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1"><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1"><mo id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1a" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1"><msup id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.3"><mi id="S4.E3.m1.53.53.53.2.2.2" xref="S4.E3.m1.53.53.53.2.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.E3.m1.54.54.54.3.3.3.1" xref="S4.E3.m1.54.54.54.3.3.3.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.54.54.54.3.3.3.1.2" xref="S4.E3.m1.54.54.54.3.3.3.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E3.m1.54.54.54.3.3.3.1.1" xref="S4.E3.m1.54.54.54.3.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.54.54.54.3.3.3.1.3" xref="S4.E3.m1.54.54.54.3.3.3.1.3.cmml">k</mi></mrow></msup><mo id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.2" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E3.m1.55.55.55.4.4.4" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.4"><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.3.3"><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><msub id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E3.m1.56.56.56.5.5.5" xref="S4.E3.m1.56.56.56.5.5.5.cmml">d</mi><mo id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E3.m1.57.57.57.6.6.6" mathvariant="normal" xref="S4.E3.m1.57.57.57.6.6.6.cmml">Θ</mi><mrow id="S4.E3.m1.58.58.58.7.7.7.1" xref="S4.E3.m1.58.58.58.7.7.7.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.58.58.58.7.7.7.1.2" xref="S4.E3.m1.58.58.58.7.7.7.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E3.m1.58.58.58.7.7.7.1.1" xref="S4.E3.m1.58.58.58.7.7.7.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.58.58.58.7.7.7.1.3" xref="S4.E3.m1.58.58.58.7.7.7.1.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E3.m1.59.59.59.8.8.8" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S4.E3.m1.60.60.60.9.9.9.1" xref="S4.E3.m1.60.60.60.9.9.9.1.cmml">β</mi></msub><mo id="S4.E3.m1.61.61.61.10.10.10" xref="S4.E3.m1.61.61.61.10.10.10.cmml">+</mo><msub id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1"><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1"><msup id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2"><mi id="S4.E3.m1.62.62.62.11.11.11" xref="S4.E3.m1.62.62.62.11.11.11.cmml">η</mi><mrow id="S4.E3.m1.63.63.63.12.12.12.1" xref="S4.E3.m1.63.63.63.12.12.12.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.63.63.63.12.12.12.1.2" xref="S4.E3.m1.63.63.63.12.12.12.1.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E3.m1.63.63.63.12.12.12.1.1" xref="S4.E3.m1.63.63.63.12.12.12.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.63.63.63.12.12.12.1.3" xref="S4.E3.m1.63.63.63.12.12.12.1.3.cmml">q</mi></mrow></msup><mo id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3"><mi id="S4.E3.m1.64.64.64.13.13.13" xref="S4.E3.m1.64.64.64.13.13.13.cmml">η</mi><mrow id="S4.E3.m1.65.65.65.14.14.14.1" xref="S4.E3.m1.65.65.65.14.14.14.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.65.65.65.14.14.14.1.2" xref="S4.E3.m1.65.65.65.14.14.14.1.2.cmml">l</mi><mo id="S4.E3.m1.65.65.65.14.14.14.1.1" xref="S4.E3.m1.65.65.65.14.14.14.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.65.65.65.14.14.14.1.3" xref="S4.E3.m1.65.65.65.14.14.14.1.3.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4"><mi id="S4.E3.m1.66.66.66.15.15.15" mathvariant="normal" xref="S4.E3.m1.66.66.66.15.15.15.cmml">Θ</mi><mrow id="S4.E3.m1.67.67.67.16.16.16.1" xref="S4.E3.m1.67.67.67.16.16.16.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.67.67.67.16.16.16.1.2" xref="S4.E3.m1.67.67.67.16.16.16.1.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E3.m1.67.67.67.16.16.16.1.1" xref="S4.E3.m1.67.67.67.16.16.16.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.67.67.67.16.16.16.1.3" xref="S4.E3.m1.67.67.67.16.16.16.1.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E3.m1.68.68.68.17.17.17" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S4.E3.m1.69.69.69.18.18.18.1" xref="S4.E3.m1.69.69.69.18.18.18.1.cmml">β</mi></msub></mrow><mo id="S4.E3.m1.70.70.70.19.19.19" xref="S4.E3.m1.70.70.70.19.19.19.cmml">∧</mo><msubsup id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1"><mo id="S4.E3.m1.71.71.71.20.20.20" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1"><mi id="S4.E3.m1.72.72.72.21.21.21" xref="S4.E3.m1.72.72.72.21.21.21.cmml">ω</mi><mi id="S4.E3.m1.73.73.73.22.22.22.1" xref="S4.E3.m1.73.73.73.22.22.22.1.cmml">𝔨</mi></msub><mo id="S4.E3.m1.74.74.74.23.23.23" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E3.m1.76.76.76.25.25.25.1" xref="S4.E3.m1.76.76.76.25.25.25.1.cmml">q</mi><mi id="S4.E3.m1.75.75.75.24.24.24.1" xref="S4.E3.m1.75.75.75.24.24.24.1.cmml">l</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E3.m1.77.77.77.26.26.26" xref="S4.E3.m1.77.77.77.26.26.26.cmml">−</mo><msub id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.4.4.1"><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.4.4.1.1"><msub id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.4.4.1.1.1"><mi id="S4.E3.m1.78.78.78.27.27.27" mathvariant="normal" xref="S4.E3.m1.78.78.78.27.27.27.cmml">Θ</mi><mrow id="S4.E3.m1.79.79.79.28.28.28.1" xref="S4.E3.m1.79.79.79.28.28.28.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.79.79.79.28.28.28.1.2" xref="S4.E3.m1.79.79.79.28.28.28.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E3.m1.79.79.79.28.28.28.1.1" xref="S4.E3.m1.79.79.79.28.28.28.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E3.m1.79.79.79.28.28.28.1.3" xref="S4.E3.m1.79.79.79.28.28.28.1.3.cmml">p</mi></mrow></msub><mo id="S4.E3.m1.80.80.80.29.29.29" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S4.E3.m1.81.81.81.30.30.30.1" xref="S4.E3.m1.81.81.81.30.30.30.1.cmml">β</mi></msub></mrow><mo id="S4.E3.m1.82.82.82.31.31.31" xref="S4.E3.m1.82.82.82.31.31.31.cmml">∧</mo><msubsup id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.5"><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.5.1.1.1"><mo id="S4.E3.m1.83.83.83.32.32.32" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.1.1.1.1.1.5.1.1.1.1"><mi id="S4.E3.m1.84.84.84.33.33.33" xref="S4.E3.m1.84.84.84.33.33.33.cmml">ω</mi><mi id="S4.E3.m1.85.85.85.34.34.34.1" xref="S4.E3.m1.85.85.85.34.34.34.1.cmml">𝔨</mi></msub><mo id="S4.E3.m1.86.86.86.35.35.35" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E3.m1.88.88.88.37.37.37.1" xref="S4.E3.m1.88.88.88.37.37.37.1.cmml">j</mi><mi id="S4.E3.m1.87.87.87.36.36.36.1" xref="S4.E3.m1.87.87.87.36.36.36.1.cmml">p</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E3.m1.89.89.89.38.38.38" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E3.m1.90.90.90.39.39.39" xref="S4.E3.m1.90.90.90.39.39.39.cmml">∧</mo><msubsup id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.2"><mrow id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.2.1.1.1"><mo id="S4.E3.m1.91.91.91.40.40.40" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E3.m1.101.101.4.100.47.47.47.1.2.1.1.1.1"><mi id="S4.E3.m1.92.92.92.41.41.41" xref="S4.E3.m1.92.92.92.41.41.41.cmml">ω</mi><mi id="S4.E3.m1.93.93.93.42.42.42.1" xref="S4.E3.m1.93.93.93.42.42.42.1.cmml">𝔭</mi></msub><mo id="S4.E3.m1.94.94.94.43.43.43" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E3.m1.96.96.96.45.45.45.1" xref="S4.E3.m1.96.96.96.45.45.45.1.cmml">k</mi><mi id="S4.E3.m1.95.95.95.44.44.44.1" xref="S4.E3.m1.95.95.95.44.44.44.1.cmml">j</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E3.m1.97.97.97.46.46.46" xref="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E3.m1.101b"><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><eq id="S4.E3.m1.6.6.6.6.6.6.cmml" xref="S4.E3.m1.6.6.6.6.6.6"></eq><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">evaluated-at</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><times id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.1">𝑑</ci><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.2.2.2.2.2.2">𝜆</ci><ci id="S4.E3.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.3.3.3.3.3.3.1">ℒ</ci></apply></apply><ci id="S4.E3.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml" xref="S4.E3.m1.5.5.5.5.5.5.1">𝜌</ci></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><and id="S4.E3.m1.90.90.90.39.39.39.cmml" xref="S4.E3.m1.90.90.90.39.39.39"></and><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><plus id="S4.E3.m1.52.52.52.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><and id="S4.E3.m1.48.48.48.48.48.48.cmml" xref="S4.E3.m1.48.48.48.48.48.48"></and><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><plus id="S4.E3.m1.40.40.40.40.40.40.cmml" xref="S4.E3.m1.40.40.40.40.40.40"></plus><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><and id="S4.E3.m1.37.37.37.37.37.37.cmml" xref="S4.E3.m1.37.37.37.37.37.37"></and><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><plus id="S4.E3.m1.32.32.32.32.32.32.cmml" xref="S4.E3.m1.32.32.32.32.32.32"></plus><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><and id="S4.E3.m1.27.27.27.27.27.27.cmml" xref="S4.E3.m1.27.27.27.27.27.27"></and><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><minus id="S4.E3.m1.20.20.20.20.20.20.cmml" xref="S4.E3.m1.20.20.20.20.20.20"></minus><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><and id="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17.cmml" xref="S4.E3.m1.17.17.17.17.17.17"></and><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><times id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"></times><cn id="S4.E3.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" type="integer" xref="S4.E3.m1.8.8.8.8.8.8">2</cn><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="S4.E3.m1.9.9.9.9.9.9">𝜂</ci><apply id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1"><times id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.10.10.10.10.10.10.1.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.12.12.12.12.12.12.cmml" xref="S4.E3.m1.12.12.12.12.12.12">𝜔</ci><ci id="S4.E3.m1.13.13.13.13.13.13.1.cmml" xref="S4.E3.m1.13.13.13.13.13.13.1">𝔭</ci></apply><ci id="S4.E3.m1.15.15.15.15.15.15.1.cmml" xref="S4.E3.m1.15.15.15.15.15.15.1">𝑘</ci></apply><ci id="S4.E3.m1.16.16.16.16.16.16.1.cmml" xref="S4.E3.m1.16.16.16.16.16.16.1">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.18.18.18.18.18.18.cmml" xref="S4.E3.m1.18.18.18.18.18.18">𝜃</ci><apply id="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1.cmml" xref="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1"><times id="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.19.19.19.19.19.19.1.3">𝑙</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.22.22.22.22.22.22.cmml" xref="S4.E3.m1.22.22.22.22.22.22">𝜔</ci><ci id="S4.E3.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml" xref="S4.E3.m1.23.23.23.23.23.23.1">𝔭</ci></apply><ci id="S4.E3.m1.25.25.25.25.25.25.1.cmml" xref="S4.E3.m1.25.25.25.25.25.25.1">𝑠</ci></apply><ci id="S4.E3.m1.26.26.26.26.26.26.1.cmml" xref="S4.E3.m1.26.26.26.26.26.26.1">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><times id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.28.28.28.28.28.28.cmml" xref="S4.E3.m1.28.28.28.28.28.28">𝜂</ci><apply id="S4.E3.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.29.29.29.29.1"><times id="S4.E3.m1.29.29.29.29.29.29.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.29.29.29.29.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.29.29.29.29.29.29.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.29.29.29.29.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.E3.m1.29.29.29.29.29.29.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.29.29.29.29.29.29.1.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.30.30.30.30.30.30.cmml" xref="S4.E3.m1.30.30.30.30.30.30">𝜃</ci><apply id="S4.E3.m1.31.31.31.31.31.31.1.cmml" xref="S4.E3.m1.31.31.31.31.31.31.1"><times id="S4.E3.m1.31.31.31.31.31.31.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.31.31.31.31.31.31.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.31.31.31.31.31.31.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.31.31.31.31.31.31.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.E3.m1.31.31.31.31.31.31.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.31.31.31.31.31.31.1.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><times id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.33.33.33.33.33.33.cmml" xref="S4.E3.m1.33.33.33.33.33.33">𝜂</ci><apply id="S4.E3.m1.34.34.34.34.34.34.1.cmml" xref="S4.E3.m1.34.34.34.34.34.34.1"><times id="S4.E3.m1.34.34.34.34.34.34.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.34.34.34.34.34.34.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.34.34.34.34.34.34.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.34.34.34.34.34.34.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.E3.m1.34.34.34.34.34.34.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.34.34.34.34.34.34.1.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.35.35.35.35.35.35.cmml" xref="S4.E3.m1.35.35.35.35.35.35">𝑇</ci><ci id="S4.E3.m1.36.36.36.36.36.36.1.cmml" xref="S4.E3.m1.36.36.36.36.36.36.1">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.38.38.38.38.38.38.cmml" xref="S4.E3.m1.38.38.38.38.38.38">𝜃</ci><apply id="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.cmml" xref="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1"><times id="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.3">𝑙</ci><ci id="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.4.cmml" xref="S4.E3.m1.39.39.39.39.39.39.1.4">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">evaluated-at</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><times id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.41.41.41.41.41.41.cmml" xref="S4.E3.m1.41.41.41.41.41.41">𝜂</ci><apply id="S4.E3.m1.42.42.42.42.42.42.1.cmml" xref="S4.E3.m1.42.42.42.42.42.42.1"><times id="S4.E3.m1.42.42.42.42.42.42.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.42.42.42.42.42.42.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.42.42.42.42.42.42.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.42.42.42.42.42.42.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.E3.m1.42.42.42.42.42.42.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.42.42.42.42.42.42.1.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.43.43.43.43.43.43.cmml" xref="S4.E3.m1.43.43.43.43.43.43">Θ</ci><apply id="S4.E3.m1.44.44.44.44.44.44.1.cmml" xref="S4.E3.m1.44.44.44.44.44.44.1"><times id="S4.E3.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.44.44.44.44.44.44.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.44.44.44.44.44.44.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.E3.m1.44.44.44.44.44.44.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.44.44.44.44.44.44.1.3">𝑙</ci></apply></apply></apply><ci id="S4.E3.m1.46.46.46.46.46.46.1.cmml" xref="S4.E3.m1.46.46.46.46.46.46.1">𝛽</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.49.49.49.49.49.49.cmml" xref="S4.E3.m1.49.49.49.49.49.49">Ω</ci><ci id="S4.E3.m1.50.50.50.50.50.50.1.cmml" xref="S4.E3.m1.50.50.50.50.50.50.1">𝑙</ci></apply><ci id="S4.E3.m1.51.51.51.51.51.51.1.cmml" xref="S4.E3.m1.51.51.51.51.51.51.1">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><times id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.53.53.53.2.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.53.53.53.2.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.E3.m1.54.54.54.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.54.54.54.3.3.3.1"><times id="S4.E3.m1.54.54.54.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.54.54.54.3.3.3.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.54.54.54.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.54.54.54.3.3.3.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.E3.m1.54.54.54.3.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.54.54.54.3.3.3.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><and id="S4.E3.m1.82.82.82.31.31.31.cmml" xref="S4.E3.m1.82.82.82.31.31.31"></and><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><minus id="S4.E3.m1.77.77.77.26.26.26.cmml" xref="S4.E3.m1.77.77.77.26.26.26"></minus><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><and id="S4.E3.m1.70.70.70.19.19.19.cmml" xref="S4.E3.m1.70.70.70.19.19.19"></and><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><plus id="S4.E3.m1.61.61.61.10.10.10.cmml" xref="S4.E3.m1.61.61.61.10.10.10"></plus><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">evaluated-at</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><times id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.56.56.56.5.5.5.cmml" xref="S4.E3.m1.56.56.56.5.5.5">𝑑</ci><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.57.57.57.6.6.6.cmml" xref="S4.E3.m1.57.57.57.6.6.6">Θ</ci><apply id="S4.E3.m1.58.58.58.7.7.7.1.cmml" xref="S4.E3.m1.58.58.58.7.7.7.1"><times id="S4.E3.m1.58.58.58.7.7.7.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.58.58.58.7.7.7.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.58.58.58.7.7.7.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.58.58.58.7.7.7.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.E3.m1.58.58.58.7.7.7.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.58.58.58.7.7.7.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="S4.E3.m1.60.60.60.9.9.9.1.cmml" xref="S4.E3.m1.60.60.60.9.9.9.1">𝛽</ci></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">evaluated-at</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><times id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.62.62.62.11.11.11.cmml" xref="S4.E3.m1.62.62.62.11.11.11">𝜂</ci><apply id="S4.E3.m1.63.63.63.12.12.12.1.cmml" xref="S4.E3.m1.63.63.63.12.12.12.1"><times id="S4.E3.m1.63.63.63.12.12.12.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.63.63.63.12.12.12.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.63.63.63.12.12.12.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.63.63.63.12.12.12.1.2">𝑟</ci><ci id="S4.E3.m1.63.63.63.12.12.12.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.63.63.63.12.12.12.1.3">𝑞</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.64.64.64.13.13.13.cmml" xref="S4.E3.m1.64.64.64.13.13.13">𝜂</ci><apply id="S4.E3.m1.65.65.65.14.14.14.1.cmml" xref="S4.E3.m1.65.65.65.14.14.14.1"><times id="S4.E3.m1.65.65.65.14.14.14.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.65.65.65.14.14.14.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.65.65.65.14.14.14.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.65.65.65.14.14.14.1.2">𝑙</ci><ci id="S4.E3.m1.65.65.65.14.14.14.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.65.65.65.14.14.14.1.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.66.66.66.15.15.15.cmml" xref="S4.E3.m1.66.66.66.15.15.15">Θ</ci><apply id="S4.E3.m1.67.67.67.16.16.16.1.cmml" xref="S4.E3.m1.67.67.67.16.16.16.1"><times id="S4.E3.m1.67.67.67.16.16.16.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.67.67.67.16.16.16.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.67.67.67.16.16.16.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.67.67.67.16.16.16.1.2">𝑟</ci><ci id="S4.E3.m1.67.67.67.16.16.16.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.67.67.67.16.16.16.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><ci id="S4.E3.m1.69.69.69.18.18.18.1.cmml" xref="S4.E3.m1.69.69.69.18.18.18.1">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.72.72.72.21.21.21.cmml" xref="S4.E3.m1.72.72.72.21.21.21">𝜔</ci><ci id="S4.E3.m1.73.73.73.22.22.22.1.cmml" xref="S4.E3.m1.73.73.73.22.22.22.1">𝔨</ci></apply><ci id="S4.E3.m1.75.75.75.24.24.24.1.cmml" xref="S4.E3.m1.75.75.75.24.24.24.1">𝑙</ci></apply><ci id="S4.E3.m1.76.76.76.25.25.25.1.cmml" xref="S4.E3.m1.76.76.76.25.25.25.1">𝑞</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.4.4.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">evaluated-at</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.78.78.78.27.27.27.cmml" xref="S4.E3.m1.78.78.78.27.27.27">Θ</ci><apply id="S4.E3.m1.79.79.79.28.28.28.1.cmml" xref="S4.E3.m1.79.79.79.28.28.28.1"><times id="S4.E3.m1.79.79.79.28.28.28.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.79.79.79.28.28.28.1.1"></times><ci id="S4.E3.m1.79.79.79.28.28.28.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.79.79.79.28.28.28.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.E3.m1.79.79.79.28.28.28.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.79.79.79.28.28.28.1.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.E3.m1.81.81.81.30.30.30.1.cmml" xref="S4.E3.m1.81.81.81.30.30.30.1">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.5.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.3.2.2.1.1.1.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.84.84.84.33.33.33.cmml" xref="S4.E3.m1.84.84.84.33.33.33">𝜔</ci><ci id="S4.E3.m1.85.85.85.34.34.34.1.cmml" xref="S4.E3.m1.85.85.85.34.34.34.1">𝔨</ci></apply><ci id="S4.E3.m1.87.87.87.36.36.36.1.cmml" xref="S4.E3.m1.87.87.87.36.36.36.1">𝑝</ci></apply><ci id="S4.E3.m1.88.88.88.37.37.37.1.cmml" xref="S4.E3.m1.88.88.88.37.37.37.1">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.4.3.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.4.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.98.98.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.99.99.2.98.52.52.52.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.92.92.92.41.41.41.cmml" xref="S4.E3.m1.92.92.92.41.41.41">𝜔</ci><ci id="S4.E3.m1.93.93.93.42.42.42.1.cmml" xref="S4.E3.m1.93.93.93.42.42.42.1">𝔭</ci></apply><ci id="S4.E3.m1.95.95.95.44.44.44.1.cmml" xref="S4.E3.m1.95.95.95.44.44.44.1">𝑗</ci></apply><ci id="S4.E3.m1.96.96.96.45.45.45.1.cmml" xref="S4.E3.m1.96.96.96.45.45.45.1">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E3.m1.101c">\left.d\lambda_{\mathcal{L}}\right|_{\rho}=\left[2\eta^{kp}\left(\omega_{% \mathfrak{p}}\right)_{k}^{i}\wedge\theta_{il}-\left(\omega_{\mathfrak{p}}% \right)^{s}_{s}\wedge\eta^{kp}\theta_{kl}+\eta^{kp}T^{i}\wedge\theta_{kli}+% \eta^{ip}\left.\Theta_{il}\right|_{\beta}\right]\wedge\Omega^{l}_{p}+\\ +\eta^{ik}\left[\left.d\Theta_{ij}\right|_{\beta}+\eta^{rq}\eta_{li}\left.% \Theta_{rj}\right|_{\beta}\wedge\left(\omega_{\mathfrak{k}}\right)^{l}_{q}-% \left.\Theta_{ip}\right|_{\beta}\wedge\left(\omega_{\mathfrak{k}}\right)^{p}_{% j}\right]\wedge\left(\omega_{\mathfrak{p}}\right)^{j}_{k},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E3.m1.101d">start_ROW start_CELL italic_d italic_λ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT = [ 2 italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT fraktur_p end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_l end_POSTSUBSCRIPT - ( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT fraktur_p end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_p end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUBSCRIPT + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_p end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_l italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_p end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_l end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ] ∧ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT + end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_r italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_i end_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_j end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ∧ ( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT fraktur_k end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT - roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_p end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ∧ ( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT fraktur_k end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ] ∧ ( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT fraktur_p end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmprop4.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmprop4.p1.5.5">where <math alttext="\omega_{\mathfrak{k}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop4.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmprop4.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmprop4.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmprop4.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmprop4.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmprop4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="Thmprop4.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmprop4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">𝔨</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop4.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmprop4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmprop4.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmprop4.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmprop4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmprop4.p1.1.1.m1.1.1.2">𝜔</ci><ci id="Thmprop4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmprop4.p1.1.1.m1.1.1.3">𝔨</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop4.p1.1.1.m1.1c">\omega_{\mathfrak{k}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop4.p1.1.1.m1.1d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT fraktur_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (resp. <math alttext="\omega_{\mathfrak{p}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop4.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmprop4.p1.2.2.m2.1a"><msub id="Thmprop4.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmprop4.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmprop4.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmprop4.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="Thmprop4.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmprop4.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">𝔭</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop4.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmprop4.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmprop4.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop4.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmprop4.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmprop4.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmprop4.p1.2.2.m2.1.1.2">𝜔</ci><ci id="Thmprop4.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmprop4.p1.2.2.m2.1.1.3">𝔭</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop4.p1.2.2.m2.1c">\omega_{\mathfrak{p}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop4.p1.2.2.m2.1d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT fraktur_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>) are <math alttext="\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop4.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmprop4.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmprop4.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmprop4.p1.3.3.m3.1.1.cmml">η</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop4.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmprop4.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmprop4.p1.3.3.m3.1.1">𝜂</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop4.p1.3.3.m3.1c">\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop4.p1.3.3.m3.1d">italic_η</annotation></semantics></math>-antisymmetric (resp. <math alttext="\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop4.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmprop4.p1.4.4.m4.1a"><mi id="Thmprop4.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmprop4.p1.4.4.m4.1.1.cmml">η</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop4.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmprop4.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmprop4.p1.4.4.m4.1.1">𝜂</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop4.p1.4.4.m4.1c">\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop4.p1.4.4.m4.1d">italic_η</annotation></semantics></math>-symmetric) components of <math alttext="\omega" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop4.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmprop4.p1.5.5.m5.1a"><mi id="Thmprop4.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmprop4.p1.5.5.m5.1.1.cmml">ω</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop4.p1.5.5.m5.1b"><ci id="Thmprop4.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmprop4.p1.5.5.m5.1.1">𝜔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop4.p1.5.5.m5.1c">\omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop4.p1.5.5.m5.1d">italic_ω</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.2. </span>Compatibility in the affine action</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.2">We will use the affine action defined above in order to find a projection compatible with <math alttext="\lambda_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.1.m1.1a"><msub id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.1.m1.1c">\lambda_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and thus Hamiltonian equations. To this end, let us explore the conditions for compatibility for the form <math alttext="\lambda_{{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.2.m2.1a"><msub id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.2.m2.1c">\lambda_{{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.2.m2.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. We have the formulas</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx8"> <tbody id="S4.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.4)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle 0=c_{J^{1}\tau}\lrcorner\lambda_{{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E4.m1.1"><semantics id="S4.E4.m1.1a"><mrow id="S4.E4.m1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.E4.m1.1.1.2" xref="S4.E4.m1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S4.E4.m1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E4.m1.1.1.3" xref="S4.E4.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E4.m1.1.1.3.2" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E4.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.cmml"><msup id="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">J</mi><mn id="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="S4.E4.m1.1.1.3.1" xref="S4.E4.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.E4.m1.1.1.3.3.cmml">⌟</mi><mo id="S4.E4.m1.1.1.3.1a" xref="S4.E4.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E4.m1.1.1.3.4" xref="S4.E4.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.E4.m1.1.1.3.4.2" xref="S4.E4.m1.1.1.3.4.2.cmml">λ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E4.m1.1.1.3.4.3" xref="S4.E4.m1.1.1.3.4.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E4.m1.1b"><apply id="S4.E4.m1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1"><eq id="S4.E4.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1"></eq><cn id="S4.E4.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.1.1.2">0</cn><apply id="S4.E4.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.3"><times id="S4.E4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2.3"><times id="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.1"></times><apply id="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.2.2">𝐽</ci><cn id="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.3.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><ci id="S4.E4.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.3.3">⌟</ci><apply id="S4.E4.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.3.4.2">𝜆</ci><ci id="S4.E4.m1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.3.4.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E4.m1.1c">\displaystyle 0=c_{J^{1}\tau}\lrcorner\lambda_{{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E4.m1.1d">0 = italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ⌟ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(-1\right)^{n+1}\eta^{kl}c_{rt}^{s}\delta^{p}_{s}\delta^{t}% _{l}\theta_{kp}\wedge\theta^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E4.m2.1"><semantics id="S4.E4.m2.1a"><mrow id="S4.E4.m2.1.1" xref="S4.E4.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.E4.m2.1.1.3" xref="S4.E4.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.E4.m2.1.1.2" xref="S4.E4.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E4.m2.1.1.1" xref="S4.E4.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E4.m2.1.1.1.1" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E4.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E4.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msup><mo id="S4.E4.m2.1.1.1.1.2a" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S4.E4.m2.1.1.1.1.2b" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E4.m2.1.1.1.1.5" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.2.2" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.3.cmml">s</mi><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.2.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.2.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.E4.m2.1.1.1.1.2c" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E4.m2.1.1.1.1.6" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.2.2" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.3.cmml">l</mi><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.2.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.2.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.E4.m2.1.1.1.1.2d" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E4.m2.1.1.1.1.7" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.2" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.3.cmml"><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.3.2" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.3.1" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.3.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E4.m2.1.1.1.2" xref="S4.E4.m2.1.1.1.2.cmml">∧</mo><msup id="S4.E4.m2.1.1.1.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.3.2" xref="S4.E4.m2.1.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.E4.m2.1.1.1.3.3" xref="S4.E4.m2.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E4.m2.1b"><apply id="S4.E4.m2.1.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1"><eq id="S4.E4.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.E4.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1"><and id="S4.E4.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.2"></and><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1"><times id="S4.E4.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.3"><times id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.4.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.5.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.6.3">𝑙</ci></apply><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.7">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.2">𝜃</ci><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.3"><times id="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.3.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.3.1"></times><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.3.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.3.3.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.1.7.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E4.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.E4.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E4.m2.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E4.m2.1c">\displaystyle=\left(-1\right)^{n+1}\eta^{kl}c_{rt}^{s}\delta^{p}_{s}\delta^{t}% _{l}\theta_{kp}\wedge\theta^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E4.m2.1d">= ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_p end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.5)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(-1\right)^{n+1}\eta^{kt}c_{rt}^{s}\theta_{ks}\wedge\theta^% {r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E5.m1.1"><semantics id="S4.E5.m1.1a"><mrow id="S4.E5.m1.1.1" xref="S4.E5.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E5.m1.1.1.3" xref="S4.E5.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.E5.m1.1.1.2" xref="S4.E5.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E5.m1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E5.m1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E5.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.1.2b" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E5.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.3.1" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E5.m1.1.1.1.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.2.cmml">∧</mo><msup id="S4.E5.m1.1.1.1.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.E5.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E5.m1.1b"><apply id="S4.E5.m1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1"><eq id="S4.E5.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.E5.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.E5.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1"><and id="S4.E5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.2"></and><apply id="S4.E5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1"><times id="S4.E5.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3"><times id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.4.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.2">𝜃</ci><apply id="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.3"><times id="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.3.1"></times><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.1.5.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.E5.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E5.m1.1c">\displaystyle=\left(-1\right)^{n+1}\eta^{kt}c_{rt}^{s}\theta_{ks}\wedge\theta^% {r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E5.m1.1d">= ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.6)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\eta^{kt}c_{rt}^{s}\left(\delta^{r}_{k}\theta_{s}-\delta^{r}_{s}% \theta_{s}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E6.m1.1"><semantics id="S4.E6.m1.1a"><mrow id="S4.E6.m1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.3" xref="S4.E6.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.E6.m1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E6.m1.1.1.1.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E6.m1.1.1.1.4" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.4.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.2a" xref="S4.E6.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msub></mrow><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">s</mi><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E6.m1.1b"><apply id="S4.E6.m1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1"><eq id="S4.E6.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.E6.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1"><times id="S4.E6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E6.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.3"><times id="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.4.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E6.m1.1c">\displaystyle=\eta^{kt}c_{rt}^{s}\left(\delta^{r}_{k}\theta_{s}-\delta^{r}_{s}% \theta_{s}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E6.m1.1d">= italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT - italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.7)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(\eta^{kt}c_{kt}^{s}-\eta^{st}c_{rt}^{r}\right)\theta_{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E7.m1.1"><semantics id="S4.E7.m1.1a"><mrow id="S4.E7.m1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.E7.m1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msup><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E7.m1.1b"><apply id="S4.E7.m1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1"><eq id="S4.E7.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.E7.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1"><times id="S4.E7.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E7.m1.1c">\displaystyle=\left(\eta^{kt}c_{kt}^{s}-\eta^{st}c_{rt}^{r}\right)\theta_{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E7.m1.1d">= ( italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT - italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_s italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.12">and</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx9"> <tbody id="S4.E8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.8)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle c_{J^{1}\tau}\lrcorner d\lambda_{{\mathcal{L}}}=" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E8.m1.1"><semantics id="S4.E8.m1.1a"><mrow id="S4.E8.m1.1.1" xref="S4.E8.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E8.m1.1.1.2" xref="S4.E8.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E8.m1.1.1.2.2" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E8.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E8.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.cmml"><msup id="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">J</mi><mn id="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><mo id="S4.E8.m1.1.1.2.1" xref="S4.E8.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E8.m1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E8.m1.1.1.2.3.cmml">⌟</mi><mo id="S4.E8.m1.1.1.2.1a" xref="S4.E8.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E8.m1.1.1.2.4" xref="S4.E8.m1.1.1.2.4.cmml">d</mi><mo id="S4.E8.m1.1.1.2.1b" xref="S4.E8.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E8.m1.1.1.2.5" xref="S4.E8.m1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S4.E8.m1.1.1.2.5.2" xref="S4.E8.m1.1.1.2.5.2.cmml">λ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E8.m1.1.1.2.5.3" xref="S4.E8.m1.1.1.2.5.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S4.E8.m1.1.1.1" xref="S4.E8.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.E8.m1.1.1.3" xref="S4.E8.m1.1.1.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E8.m1.1b"><apply id="S4.E8.m1.1.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1"><eq id="S4.E8.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E8.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2"><times id="S4.E8.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E8.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E8.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2.3"><times id="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.2.2">𝐽</ci><cn id="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2.2.3.3">𝜏</ci></apply></apply><ci id="S4.E8.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2.3">⌟</ci><ci id="S4.E8.m1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2.4">𝑑</ci><apply id="S4.E8.m1.1.1.2.5.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.m1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E8.m1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2.5.2">𝜆</ci><ci id="S4.E8.m1.1.1.2.5.3.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.2.5.3">ℒ</ci></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.E8.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.E8.m1.1.1.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E8.m1.1c">\displaystyle c_{J^{1}\tau}\lrcorner d\lambda_{{\mathcal{L}}}=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E8.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ⌟ italic_d italic_λ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.9)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(-1\right)^{n+1}\left[2\eta^{kp}\left(\omega_{\mathfrak{p}}% \right)_{k}^{i}\wedge\theta_{il}-\left(\omega_{\mathfrak{p}}\right)^{s}_{s}% \wedge\eta^{kp}\theta_{kl}+\eta^{kp}T^{i}\wedge\theta_{kli}+\eta^{ip}\left.% \Theta_{il}\right|_{\beta}\right]\wedge c_{rs}^{t}\delta^{r}_{p}\delta^{l}_{t}% \theta^{s}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E9.m1.2"><semantics id="S4.E9.m1.2a"><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.4" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><msup id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔭</mi></msub><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∧</mo><msub id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><msubsup id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">𝔭</mi></msub><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">s</mi><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.cmml"><msup id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.3.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.3.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.3.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.3.3.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.3.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.3.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.3.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.cmml"><msup id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.3.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.3.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.3.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.3.3.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.3.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.3.2.cmml">T</mi><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.3.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.3.3.cmml">i</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml">∧</mo><msub id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.3.cmml">l</mi><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.1a" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.4" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.4.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.4" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml">+</mo><msub id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.3.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S4.E9.m1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.1.1.1.cmml">β</mi></msub></mrow><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.cmml"><msubsup id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.3.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.3.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.3.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.1" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.3.cmml">p</mi><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.2.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.1a" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.3.cmml">t</mi><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.2.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.2.3.cmml">l</mi></msubsup><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.1b" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.5" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.5.cmml"><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.5.2" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.5.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.5.3" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.5.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E9.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E9.m1.2b"><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1"><eq id="S4.E9.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2"><and id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.3"></and><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2"><times id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.3"></times><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1"><plus id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.4"></plus><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2"><and id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.3"></and><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2"><plus id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3"></plus><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2"><and id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.3"></and><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2"><minus id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.3"></minus><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><and id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"></and><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜂</ci><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝔭</ci></apply><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜃</ci><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝔭</ci></apply><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.3">𝑠</ci></apply><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4"><times id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.1"></times><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.3"><times id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.3.1"></times><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.2">𝜃</ci><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.3"><times id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.3.1"></times><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.4.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4"><times id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.1"></times><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.3"><times id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.3.1"></times><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.3.2">𝑇</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.2.4.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.2">𝜃</ci><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3"><times id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.1"></times><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.3">𝑙</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.4.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.4.3.4">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.2">evaluated-at</csymbol><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1"><times id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3"><times id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.2">Θ</ci><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3"><times id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1">𝛽</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4"><times id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.1"></times><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.3"><times id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.5.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.5.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.5">superscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.5.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.5.2">𝜃</ci><ci id="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.5.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.1.1.2.4.5.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E9.m1.2c">\displaystyle=\left(-1\right)^{n+1}\left[2\eta^{kp}\left(\omega_{\mathfrak{p}}% \right)_{k}^{i}\wedge\theta_{il}-\left(\omega_{\mathfrak{p}}\right)^{s}_{s}% \wedge\eta^{kp}\theta_{kl}+\eta^{kp}T^{i}\wedge\theta_{kli}+\eta^{ip}\left.% \Theta_{il}\right|_{\beta}\right]\wedge c_{rs}^{t}\delta^{r}_{p}\delta^{l}_{t}% \theta^{s}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E9.m1.2d">= ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUPERSCRIPT [ 2 italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT fraktur_p end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_l end_POSTSUBSCRIPT - ( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT fraktur_p end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_p end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUBSCRIPT + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_p end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_l italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_p end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_l end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ] ∧ italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.3">The last two terms give rise to horizontal forms, so they are admissible; on the other hand, the remaining terms should annihilate for compatibility. Then the element <math alttext="c\in\mathfrak{a}=A" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.3.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.3.m1.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.3.cmml">∈</mo><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.4" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.4.cmml">𝔞</mi><mo id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.5" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.6" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.6.cmml">A</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.3.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1"><and id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1a.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1"></and><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1b.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1"><in id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.3"></in><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.4.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.4">𝔞</ci></apply><apply id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1c.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1"><eq id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.5.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.SS2.p1.3.m1.1.1.4.cmml" id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1d.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1"></share><ci id="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.6.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m1.1.1.6">𝐴</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.3.m1.1c">c\in\mathfrak{a}=A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.3.m1.1d">italic_c ∈ fraktur_a = italic_A</annotation></semantics></math> must be chosen such that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx10"> <tbody id="S4.Ex15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex15.m1.1"><semantics id="S4.Ex15.m1.1a"><mn id="S4.Ex15.m1.1.1" xref="S4.Ex15.m1.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex15.m1.1b"><cn id="S4.Ex15.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex15.m1.1.1">0</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex15.m1.1c">\displaystyle 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\eta^{ks}c_{rs}^{l}\eta^{ks}\left[2\left(\omega_{\mathfrak{p}}% \right)^{i}_{k}\wedge\theta_{is}\wedge\theta^{r}-\left(\omega_{\mathfrak{p}}% \right)^{i}_{i}\wedge\theta_{kl}\wedge\theta^{r}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex15.m2.1"><semantics id="S4.Ex15.m2.1a"><mrow id="S4.Ex15.m2.1.1" xref="S4.Ex15.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex15.m2.1.1.1" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex15.m2.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.3.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.3.1" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.3.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.3.cmml">l</mi></msubsup><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.2a" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex15.m2.1.1.1.5" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.cmml"><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.3.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.3.1" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.3.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.3.3.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.2b" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔭</mi></msub><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∧</mo><msub id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∧</mo><msup id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">r</mi></msup></mrow><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><msubsup id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">𝔭</mi></msub><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml">i</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∧</mo><msub id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∧</mo><msup id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">r</mi></msup></mrow><mo id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex15.m2.1b"><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1"><eq id="S4.Ex15.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex15.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1"><times id="S4.Ex15.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.3"><times id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.4.3">𝑙</ci></apply><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.3"><times id="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.3.1"></times><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.5.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1"><and id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.3"></and><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.3"></minus><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"><and id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></and><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝔭</ci></apply><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜃</ci><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3">𝔭</ci></apply><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜃</ci><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.5.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.Ex15.m2.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex15.m2.1c">\displaystyle=\eta^{ks}c_{rs}^{l}\eta^{ks}\left[2\left(\omega_{\mathfrak{p}}% \right)^{i}_{k}\wedge\theta_{is}\wedge\theta^{r}-\left(\omega_{\mathfrak{p}}% \right)^{i}_{i}\wedge\theta_{kl}\wedge\theta^{r}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex15.m2.1d">= italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUPERSCRIPT [ 2 ( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT fraktur_p end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_s end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT fraktur_p end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=2\left(\eta^{ks}c_{rs}^{r}\theta_{i}-\eta^{ks}c_{is}^{l}\theta_{% l}\right)\wedge\left(\omega_{\mathfrak{p}}\right)^{i}_{k}-\left(\eta^{ks}c_{rs% }^{r}\theta_{k}-\eta^{ks}c_{ks}^{l}\theta_{l}\right)\wedge\left(\omega_{% \mathfrak{p}}\right)^{i}_{i}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex16.m1.1"><semantics id="S4.Ex16.m1.1a"><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.6.cmml"></mi><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></msubsup><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">∧</mo><msubsup id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">𝔭</mi></msub><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml">i</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.1a" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.4" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.4.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></msubsup><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.1a" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.4" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.4.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.4.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.5" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.5.cmml">∧</mo><msubsup id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">𝔭</mi></msub><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.3" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.3.cmml">i</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex16.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex16.m1.1b"><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.6">absent</csymbol><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4"><and id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.5"></and><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.4"></minus><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2"><and id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"></and><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝔭</ci></apply><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1"><minus id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2"><times id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.4.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.4.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3"><times id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.4.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.1.3.4.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.1.3">𝔭</ci></apply><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.1.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex16.m1.1.1.1.1.4.4.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex16.m1.1c">\displaystyle=2\left(\eta^{ks}c_{rs}^{r}\theta_{i}-\eta^{ks}c_{is}^{l}\theta_{% l}\right)\wedge\left(\omega_{\mathfrak{p}}\right)^{i}_{k}-\left(\eta^{ks}c_{rs% }^{r}\theta_{k}-\eta^{ks}c_{ks}^{l}\theta_{l}\right)\wedge\left(\omega_{% \mathfrak{p}}\right)^{i}_{i}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex16.m1.1d">= 2 ( italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) ∧ ( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT fraktur_p end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - ( italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) ∧ ( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT fraktur_p end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.4">The second term in this equation is equivalent to Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.E7" title="Equation 4.7 ‣ 4.2. Compatibility in the affine action ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.7</span></a>); therefore, <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.4.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.4.m1.1a"><mi id="S4.SS2.p1.4.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.4.m1.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.4.m1.1b"><ci id="S4.SS2.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.4.m1.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.4.m1.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.4.m1.1d">italic_c</annotation></semantics></math> should be selected in order to ensure the following equation holds</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left(\eta^{ks}c_{rs}^{r}\theta_{i}-\eta^{ks}c_{is}^{l}\theta_{l}\right)\wedge% \left(\omega_{\mathfrak{p}}\right)^{i}_{k}=0." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex17.m1.1"><semantics id="S4.Ex17.m1.1a"><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></msubsup><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">∧</mo><msubsup id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">𝔭</mi></msub><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml">i</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.4.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex17.m1.1b"><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2"><and id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.3"></and><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">𝑙</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3">𝔭</ci></apply><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.1.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex17.m1.1c">\left(\eta^{ks}c_{rs}^{r}\theta_{i}-\eta^{ks}c_{is}^{l}\theta_{l}\right)\wedge% \left(\omega_{\mathfrak{p}}\right)^{i}_{k}=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex17.m1.1d">( italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) ∧ ( italic_ω start_POSTSUBSCRIPT fraktur_p end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.9">When contracting with an infinitesimal generator for the <math alttext="GL\left(m\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.5.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.5.m1.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.5.m1.1.2" xref="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.1" xref="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.3.cmml">L</mi><mo id="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.1a" xref="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.4.2" xref="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.4.2.1" xref="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p1.5.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.5.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.4.2.2" xref="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.5.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m1.1.2"><times id="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.2">𝐺</ci><ci id="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m1.1.2.3">𝐿</ci><ci id="S4.SS2.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.5.m1.1.1">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.5.m1.1c">GL\left(m\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.5.m1.1d">italic_G italic_L ( italic_m )</annotation></semantics></math>-action on <math alttext="J^{1}\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.6.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.6.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.6.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.6.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m2.1.1"><times id="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.1"></times><apply id="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.6.m2.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.6.m2.1c">J^{1}\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.6.m2.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ</annotation></semantics></math>, the form <math alttext="\omega_{\mathfrak{p}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.7.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p1.7.m3.1a"><msub id="S4.SS2.p1.7.m3.1.1" xref="S4.SS2.p1.7.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.7.m3.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.7.m3.1.1.2.cmml">ω</mi><mi id="S4.SS2.p1.7.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.7.m3.1.1.3.cmml">𝔭</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.7.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m3.1.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.SS2.p1.7.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.7.m3.1.1.3">𝔭</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.7.m3.1c">\omega_{\mathfrak{p}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.7.m3.1d">italic_ω start_POSTSUBSCRIPT fraktur_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> gives an element in the subspace <math alttext="\mathfrak{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.8.m4.1"><semantics id="S4.SS2.p1.8.m4.1a"><mi id="S4.SS2.p1.8.m4.1.1" xref="S4.SS2.p1.8.m4.1.1.cmml">𝔭</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.8.m4.1b"><ci id="S4.SS2.p1.8.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.8.m4.1.1">𝔭</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.8.m4.1c">\mathfrak{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.8.m4.1d">fraktur_p</annotation></semantics></math>, which means that the term between parenthesis must live in <math alttext="\mathfrak{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.9.m5.1"><semantics id="S4.SS2.p1.9.m5.1a"><mi id="S4.SS2.p1.9.m5.1.1" xref="S4.SS2.p1.9.m5.1.1.cmml">𝔨</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.9.m5.1b"><ci id="S4.SS2.p1.9.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.9.m5.1.1">𝔨</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.9.m5.1c">\mathfrak{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.9.m5.1d">fraktur_k</annotation></semantics></math>. Therefore, this condition translates into</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.10)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="c_{pq}^{l}+c_{qp}^{l}-c^{r}_{rq}\delta_{p}^{l}-c^{r}_{rp}\delta_{q}^{l}=0." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E10.m1.1"><semantics id="S4.E10.m1.1a"><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">l</mi></msubsup><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">q</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">l</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msubsup id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml">p</mi><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">l</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><msubsup id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.3.cmml">q</mi><mi id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">l</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.E10.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E10.m1.1b"><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1"><eq id="S4.E10.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2"><plus id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.1"></plus><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><times id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3"><times id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2">𝑞</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4"><times id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.1"></times><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.3"><times id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.1"></times><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.2.4.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E10.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E10.m1.1c">c_{pq}^{l}+c_{qp}^{l}-c^{r}_{rq}\delta_{p}^{l}-c^{r}_{rp}\delta_{q}^{l}=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E10.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT + italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_q italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT - italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_q end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT - italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.11">Contracting it with <math alttext="\eta^{pq}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.10.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.10.m1.1a"><msup id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.3.3.cmml">q</mi></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.10.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.2">𝜂</ci><apply id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.3"><times id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.10.m1.1.1.3.3">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.10.m1.1c">\eta^{pq}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.10.m1.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, it reduces to Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.E7" title="Equation 4.7 ‣ 4.2. Compatibility in the affine action ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.7</span></a>), so that this condition is sufficient to define the subspace <math alttext="B\subset A" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.11.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.11.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.p1.11.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.11.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p1.11.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p1.11.m2.1.1.2.cmml">B</mi><mo id="S4.SS2.p1.11.m2.1.1.1" xref="S4.SS2.p1.11.m2.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi id="S4.SS2.p1.11.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p1.11.m2.1.1.3.cmml">A</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.11.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p1.11.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m2.1.1"><subset id="S4.SS2.p1.11.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m2.1.1.1"></subset><ci id="S4.SS2.p1.11.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m2.1.1.2">𝐵</ci><ci id="S4.SS2.p1.11.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p1.11.m2.1.1.3">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.11.m2.1c">B\subset A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.11.m2.1d">italic_B ⊂ italic_A</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lem" id="Thmlem9"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem9.1.1.1">Lemma 9</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmlem9.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmlem9.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlem9.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlem9.p1.1.1">The solutions of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.E10" title="Equation 4.10 ‣ 4.2. Compatibility in the affine action ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.10</span></a>) are elements <math alttext="c\in A" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem9.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmlem9.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmlem9.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlem9.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmlem9.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmlem9.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="Thmlem9.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmlem9.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmlem9.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmlem9.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">A</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem9.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmlem9.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlem9.p1.1.1.m1.1.1"><in id="Thmlem9.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem9.p1.1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="Thmlem9.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem9.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="Thmlem9.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem9.p1.1.1.m1.1.1.3">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem9.p1.1.1.m1.1c">c\in A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem9.p1.1.1.m1.1d">italic_c ∈ italic_A</annotation></semantics></math> of the form</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="c_{pq}^{r}=b_{p}\delta_{q}^{r}+b_{q}\delta_{p}^{r}+a_{pq}^{r}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex18.m1.1"><semantics id="S4.Ex18.m1.1a"><mrow id="S4.Ex18.m1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex18.m1.1.1.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.2.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.1.1.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.3.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">q</mi></msub><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.3.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.3.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.3.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex18.m1.1b"><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1"><eq id="S4.Ex18.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3"><plus id="S4.Ex18.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.3"><times id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.3.4.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex18.m1.1c">c_{pq}^{r}=b_{p}\delta_{q}^{r}+b_{q}\delta_{p}^{r}+a_{pq}^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex18.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT = italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT + italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlem9.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlem9.p1.3.2">where <math alttext="b_{p}=\left(1/2\right)c_{sp}^{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1"><semantics id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1a"><mrow id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.3" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.3.2.cmml">b</mi><mi id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.3.3.cmml">p</mi></msub><mo id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.2" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.2" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.2" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.3" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.3.2" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.3.1" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.3.3" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.3" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1b"><apply id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1"><eq id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.2"></eq><apply id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1"><times id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1"><divide id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><cn id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.2">𝑐</ci><apply id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.3"><times id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.3.2">𝑠</ci><ci id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlem9.p1.2.1.m1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1c">b_{p}=\left(1/2\right)c_{sp}^{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem9.p1.2.1.m1.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT = ( 1 / 2 ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and the components <math alttext="a_{pq}^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1"><semantics id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1a"><msubsup id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.2.cmml">a</mi><mrow id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.3" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.3.2" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.3.1" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.3.3" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.3" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.3.cmml">r</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1b"><apply id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.2">𝑎</ci><apply id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.3"><times id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.3.2">𝑝</ci><ci id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmlem9.p1.3.2.m2.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1c">a_{pq}^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlem9.p1.3.2.m2.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> satisfy the conditions</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="a_{pq}^{r}+a_{qp}^{r}=0,\qquad a_{rq}^{r}=\frac{1-n}{2}c_{rq}^{r}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex19.m1.1"><semantics id="S4.Ex19.m1.1a"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">q</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml"><mn id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml">n</mi></mrow><mn id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex19.m1.1b"><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑞</ci><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><times id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><divide id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"></divide><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2"><minus id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1"></minus><cn id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2">1</cn><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3"><times id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex19.m1.1c">a_{pq}^{r}+a_{qp}^{r}=0,\qquad a_{rq}^{r}=\frac{1-n}{2}c_{rq}^{r}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex19.m1.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_q italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT = 0 , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 - italic_n end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.SS2.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.1.p1.1">We split <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.1.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.SS2.1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.1.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.SS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.1.p1.1.m1.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.1.p1.1.m1.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.1.p1.1.m1.1d">italic_c</annotation></semantics></math> into symmetric and antisymmetric parts</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="c_{pq}^{r}=s_{pq}^{r}+a_{pq}^{r},\qquad s_{pq}^{r}=\frac{1}{2}\left(c_{pq}^{r}% +c_{qp}^{r}\right),\quad a_{pq}^{r}=\frac{1}{2}\left(c_{pq}^{r}-c_{qp}^{r}% \right)." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex20.m1.1"><semantics id="S4.Ex20.m1.1a"><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1"><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">q</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">q</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex20.m1.1b"><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑠</ci><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><eq id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><times id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑞</ci><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><eq id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"></eq><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3"><times id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"><times id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2"></times><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3"><divide id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3"></divide><cn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1"><minus id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑞</ci><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex20.m1.1c">c_{pq}^{r}=s_{pq}^{r}+a_{pq}^{r},\qquad s_{pq}^{r}=\frac{1}{2}\left(c_{pq}^{r}% +c_{qp}^{r}\right),\quad a_{pq}^{r}=\frac{1}{2}\left(c_{pq}^{r}-c_{qp}^{r}% \right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex20.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT = italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT , italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT + italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_q italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT - italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_q italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.1.p1.2">According to Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.E10" title="Equation 4.10 ‣ 4.2. Compatibility in the affine action ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.10</span></a>), we have that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="s_{pq}^{r}=\frac{1}{2}\left(c_{sp}^{s}\delta_{q}^{r}+c_{sq}^{s}\delta_{p}^{r}% \right);" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex21.m1.1"><semantics id="S4.Ex21.m1.1a"><mrow id="S4.Ex21.m1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex21.m1.1b"><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑠</ci><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex21.m1.1c">s_{pq}^{r}=\frac{1}{2}\left(c_{sp}^{s}\delta_{q}^{r}+c_{sq}^{s}\delta_{p}^{r}% \right);</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex21.m1.1d">italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT + italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.1.p1.3">therefore, from</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex22"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="c_{tq}^{t}=s_{tq}^{t}+a_{tq}^{t}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex22.m1.1"><semantics id="S4.Ex22.m1.1a"><mrow id="S4.Ex22.m1.1.1" xref="S4.Ex22.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex22.m1.1.1.2" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex22.m1.1.1.2.3" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex22.m1.1.1.1" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex22.m1.1.1.3" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">s</mi><mrow id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex22.m1.1.1.3.1" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex22.m1.1b"><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1"><eq id="S4.Ex22.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex22.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3"><plus id="S4.Ex22.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.2">𝑠</ci><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.3"><times id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex22.m1.1c">c_{tq}^{t}=s_{tq}^{t}+a_{tq}^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex22.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT = italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.1.p1.4">we obtain the equation</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex23"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="c_{tq}^{t}=\frac{n+1}{2}c_{tq}^{t}+a_{tq}^{t}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex23.m1.1"><semantics id="S4.Ex23.m1.1a"><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex23.m1.1.1.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.2.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.3.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex23.m1.1b"><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1"><eq id="S4.Ex23.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex23.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3"><plus id="S4.Ex23.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2"><divide id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2"></divide><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.2"><plus id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.2.1"></plus><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.2.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.3"><times id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex23.m1.1c">c_{tq}^{t}=\frac{n+1}{2}c_{tq}^{t}+a_{tq}^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex23.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_n + 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.1.p1.5">for the trace of the antisymmetric part. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_cor" id="Thmcor1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmcor1.1.1.1">Corollary 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmcor1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmcor1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmcor1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmcor1.p1.1.1">Any element <math alttext="e\in A" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmcor1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmcor1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmcor1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmcor1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmcor1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmcor1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">e</mi><mo id="Thmcor1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmcor1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmcor1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmcor1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">A</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmcor1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmcor1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmcor1.p1.1.1.m1.1.1"><in id="Thmcor1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmcor1.p1.1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="Thmcor1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmcor1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑒</ci><ci id="Thmcor1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmcor1.p1.1.1.m1.1.1.3">𝐴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmcor1.p1.1.1.m1.1c">e\in A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmcor1.p1.1.1.m1.1d">italic_e ∈ italic_A</annotation></semantics></math> can be written as</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="e_{pq}^{r}=\frac{1}{2}\left(e_{pq}^{r}+e_{qp}^{r}\right)-\frac{1}{2}\left(e_{% sp}^{s}\delta_{q}^{r}+e_{sq}^{s}\delta_{p}^{r}\right)+a_{q}\delta_{p}^{r}-a_{p% }\delta_{q}^{r}+c_{pq}^{r}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex24.m1.2"><semantics id="S4.Ex24.m1.2a"><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex24.m1.2.2.4" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.3.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.3.1" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.3.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.4.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">q</mi><mo id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.cmml"><msub id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml">q</mi></msub><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.1" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.2.3.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.cmml"><msub id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.1" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.2.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.3.2" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.3.1" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.3.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex24.m1.2b"><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2"><eq id="S4.Ex24.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.3"></eq><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.3"><times id="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.4.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2"><plus id="S4.Ex24.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.3"></plus><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2"><minus id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.3"></minus><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2"><plus id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.3"></plus><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2"><minus id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.3"></minus><apply id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑞</ci><ci id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2"><times id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.3"><divide id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.3"></divide><cn id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1"><plus id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4"><times id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.1"></times><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.2.4.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4"><times id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.1"></times><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.2.4.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.3"><times id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex24.m1.2.2.2.4.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex24.m1.2c">e_{pq}^{r}=\frac{1}{2}\left(e_{pq}^{r}+e_{qp}^{r}\right)-\frac{1}{2}\left(e_{% sp}^{s}\delta_{q}^{r}+e_{sq}^{s}\delta_{p}^{r}\right)+a_{q}\delta_{p}^{r}-a_{p% }\delta_{q}^{r}+c_{pq}^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex24.m1.2d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT + italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_q italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT + italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT - italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT + italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmcor1.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmcor1.p1.4.3">where <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmcor1.p1.2.1.m1.1"><semantics id="Thmcor1.p1.2.1.m1.1a"><mi id="Thmcor1.p1.2.1.m1.1.1" xref="Thmcor1.p1.2.1.m1.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmcor1.p1.2.1.m1.1b"><ci id="Thmcor1.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmcor1.p1.2.1.m1.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmcor1.p1.2.1.m1.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmcor1.p1.2.1.m1.1d">italic_c</annotation></semantics></math> is a solution of Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.E10" title="Equation 4.10 ‣ 4.2. Compatibility in the affine action ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.10</span></a>) and <math alttext="a_{q}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmcor1.p1.3.2.m2.1"><semantics id="Thmcor1.p1.3.2.m2.1a"><msub id="Thmcor1.p1.3.2.m2.1.1" xref="Thmcor1.p1.3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmcor1.p1.3.2.m2.1.1.2" xref="Thmcor1.p1.3.2.m2.1.1.2.cmml">a</mi><mi id="Thmcor1.p1.3.2.m2.1.1.3" xref="Thmcor1.p1.3.2.m2.1.1.3.cmml">q</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmcor1.p1.3.2.m2.1b"><apply id="Thmcor1.p1.3.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmcor1.p1.3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmcor1.p1.3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmcor1.p1.3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmcor1.p1.3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmcor1.p1.3.2.m2.1.1.2">𝑎</ci><ci id="Thmcor1.p1.3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmcor1.p1.3.2.m2.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmcor1.p1.3.2.m2.1c">a_{q}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmcor1.p1.3.2.m2.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is chosen to adjust the trace of the antisymmetric part of <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmcor1.p1.4.3.m3.1"><semantics id="Thmcor1.p1.4.3.m3.1a"><mi id="Thmcor1.p1.4.3.m3.1.1" xref="Thmcor1.p1.4.3.m3.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmcor1.p1.4.3.m3.1b"><ci id="Thmcor1.p1.4.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmcor1.p1.4.3.m3.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmcor1.p1.4.3.m3.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmcor1.p1.4.3.m3.1d">italic_c</annotation></semantics></math>, namely</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="a_{q}=\frac{1}{2}e_{sq}^{s}+\frac{1}{2\left(n-1\right)}\left(e_{sq}^{s}-e_{qs}% ^{s}\right)=\frac{n}{2\left(n-1\right)}e_{sq}^{s}-\frac{1}{2\left(n-1\right)}e% _{qs}^{s}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex25.m1.4"><semantics id="S4.Ex25.m1.4a"><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">q</mi></msub><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.4" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex25.m1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex25.m1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex25.m1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex25.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex25.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">q</mi><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.5" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex25.m1.2.2" xref="S4.Ex25.m1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.2.2.3" xref="S4.Ex25.m1.2.2.3.cmml">n</mi><mrow id="S4.Ex25.m1.2.2.1" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1.cmml"><mn id="S4.Ex25.m1.2.2.1.3" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1.3.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex25.m1.2.2.1.2" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex25.m1.3.3" xref="S4.Ex25.m1.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex25.m1.3.3.3" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.1" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.cmml"><mn id="S4.Ex25.m1.3.3.1.3" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.1.2" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.3.2.cmml">q</mi><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex25.m1.4b"><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1"><and id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1a.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1"></and><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1b.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1"><eq id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.4"></eq><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.3.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1"><plus id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3"><times id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.2"><divide id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.2.2">1</cn><cn id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex25.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.1.1"><divide id="S4.Ex25.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.1.1"></divide><cn id="S4.Ex25.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex25.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S4.Ex25.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1"><times id="S4.Ex25.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.2"></times><cn id="S4.Ex25.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex25.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑞</ci><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1c.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1"><eq id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.Ex25.m1.4.4.1.1.1.cmml" id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1d.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1"></share><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6"><minus id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.1"></minus><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2"><times id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.1"></times><apply id="S4.Ex25.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2"><divide id="S4.Ex25.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2"></divide><ci id="S4.Ex25.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.3">𝑛</ci><apply id="S4.Ex25.m1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1"><times id="S4.Ex25.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1.2"></times><cn id="S4.Ex25.m1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1.3">2</cn><apply id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1"><minus id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex25.m1.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3"><times id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.2.2.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3"><times id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.1"></times><apply id="S4.Ex25.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3"><divide id="S4.Ex25.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3"></divide><cn id="S4.Ex25.m1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex25.m1.3.3.3">1</cn><apply id="S4.Ex25.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1"><times id="S4.Ex25.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.2"></times><cn id="S4.Ex25.m1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.3">2</cn><apply id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1"><minus id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.3"><times id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.3.2">𝑞</ci><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.1.1.6.3.2.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex25.m1.4c">a_{q}=\frac{1}{2}e_{sq}^{s}+\frac{1}{2\left(n-1\right)}\left(e_{sq}^{s}-e_{qs}% ^{s}\right)=\frac{n}{2\left(n-1\right)}e_{sq}^{s}-\frac{1}{2\left(n-1\right)}e% _{qs}^{s}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex25.m1.4d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 ( italic_n - 1 ) end_ARG ( italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT - italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_q italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) = divide start_ARG italic_n end_ARG start_ARG 2 ( italic_n - 1 ) end_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 ( italic_n - 1 ) end_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_q italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.3. </span>The quotient bundle and its primary constraint submanifold</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p1.1">It is now necessary to define the bundle where the Hamilton equations should live; it will be done through quotient. After that, the primary constraint submanifold could be defined and so the Hamiltonian form.</p> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S4.SS3.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">4.3.1. </span>A projection compatible with <math alttext="\lambda_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.m1.1b"><msub id="S4.SS3.SSS1.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS3.SSS1.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.m1.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.m1.1c"><apply id="S4.SS3.SSS1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.m1.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.m1.1d">\lambda_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.m1.1e">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </h4> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS1.p1.6">We will define</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W^{\ddagger}:=\widehat{W_{\mathcal{L}}}/B" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex26.m1.1"><semantics id="S4.Ex26.m1.1a"><mrow id="S4.Ex26.m1.1.1" xref="S4.Ex26.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex26.m1.1.1.2" xref="S4.Ex26.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.1.1.2.2" xref="S4.Ex26.m1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mo id="S4.Ex26.m1.1.1.2.3" xref="S4.Ex26.m1.1.1.2.3.cmml">‡</mo></msup><mo id="S4.Ex26.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex26.m1.1.1.3" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.Ex26.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.Ex26.m1.1.1.3.1" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S4.Ex26.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3.3.cmml">B</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex26.m1.1b"><apply id="S4.Ex26.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex26.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S4.Ex26.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex26.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.2.3">‡</ci></apply><apply id="S4.Ex26.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3"><divide id="S4.Ex26.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3.1"></divide><apply id="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3.2"><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.1">^</ci><apply id="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.2.2">𝑊</ci><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3.2.2.3">ℒ</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1.3.3">𝐵</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex26.m1.1c">W^{\ddagger}:=\widehat{W_{\mathcal{L}}}/B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex26.m1.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT := over^ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG / italic_B</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS1.p1.1">with canonical projection <math alttext="p^{\ddagger}:=p^{\widehat{W}_{\mathcal{L}}}_{B}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">‡</mo></msup><mo id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">:=</mo><msubsup id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">B</mi><msub id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">W</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.3">‡</ci></apply><apply id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2"><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.1">^</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.2.2">𝑊</ci></apply><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.3">ℒ</ci></apply></apply><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.3">𝐵</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1c">p^{\ddagger}:=p^{\widehat{W}_{\mathcal{L}}}_{B}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.p1.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT := italic_p start_POSTSUPERSCRIPT over^ start_ARG italic_W end_ARG start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_B end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. We can use Corollary <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmcor1" title="Corollary 1. ‣ 4.2. Compatibility in the affine action ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> in order to define coordinates on this quotient bundle. Using the definition</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex27"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="-e^{\mu}_{q}e^{\nu}_{p}e_{\sigma}^{r}M_{\mu\nu}^{\sigma}=\frac{1}{2}\left(e_{% pq}^{r}+e_{qp}^{r}\right)-\frac{1}{2}\left(e_{sp}^{s}\delta_{q}^{r}+e_{sq}^{s}% \delta_{p}^{r}\right)+a_{q}\delta_{p}^{r}-a_{p}\delta_{q}^{r}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex27.m1.2"><semantics id="S4.Ex27.m1.2a"><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.4" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.cmml"><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.4a" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.2.3.cmml">μ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.3.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.2.3.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.1a" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.2.3.cmml">σ</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.1b" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.3.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.3.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.3.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.3.cmml">σ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">q</mi><mo id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.cmml"><msub id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.2.3.cmml">q</mi></msub><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.2.3.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.cmml"><msub id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.2.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.2.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex27.m1.2b"><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2"><eq id="S4.Ex27.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.3"></eq><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4"><minus id="S4.Ex27.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4"></minus><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2"><times id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.1"></times><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.2.3">𝜈</ci></apply><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.2.3">𝜎</ci></apply><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.4.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.2">𝑀</ci><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.3"><times id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.4.2.5.3">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2"><minus id="S4.Ex27.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.3"></minus><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2"><plus id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.3"></plus><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2"><minus id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.3"></minus><apply id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑞</ci><ci id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2"><times id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.3"><divide id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.3"></divide><cn id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1"><plus id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4"><times id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.1"></times><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.2.4.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4"><times id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.1"></times><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.2.2.2.4.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex27.m1.2c">-e^{\mu}_{q}e^{\nu}_{p}e_{\sigma}^{r}M_{\mu\nu}^{\sigma}=\frac{1}{2}\left(e_{% pq}^{r}+e_{qp}^{r}\right)-\frac{1}{2}\left(e_{sp}^{s}\delta_{q}^{r}+e_{sq}^{s}% \delta_{p}^{r}\right)+a_{q}\delta_{p}^{r}-a_{p}\delta_{q}^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex27.m1.2d">- italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT + italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_q italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT + italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT - italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS1.p1.3">for the part in an element in <math alttext="\mathfrak{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.p1.2.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.p1.2.m1.1a"><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.2.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.p1.2.m1.1.1.cmml">𝔞</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.p1.2.m1.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.2.m1.1.1">𝔞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.p1.2.m1.1c">\mathfrak{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.p1.2.m1.1d">fraktur_a</annotation></semantics></math> complementary to <math alttext="\mathfrak{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.p1.3.m2.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.p1.3.m2.1a"><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.3.m2.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.p1.3.m2.1.1.cmml">𝔟</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.p1.3.m2.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.3.m2.1.1">𝔟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.p1.3.m2.1c">\mathfrak{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.p1.3.m2.1d">fraktur_b</annotation></semantics></math>, and recalling that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex28"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="e_{pq}^{r}=-e_{p}^{\nu}e_{\mu}^{r}e_{q}^{\sigma}\Gamma_{\sigma\nu}^{\mu}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex28.m1.1"><semantics id="S4.Ex28.m1.1a"><mrow id="S4.Ex28.m1.1.1.1" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3a" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">μ</mi><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.2" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.3" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.3" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.1b" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.3" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.3.2" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.3.1" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.3.3" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.3" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.3.cmml">μ</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex28.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex28.m1.1b"><apply id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.4.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.2">Γ</ci><apply id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.3"><times id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.3.2">𝜎</ci><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.3.cmml" xref="S4.Ex28.m1.1.1.1.1.3.2.5.3">𝜇</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex28.m1.1c">e_{pq}^{r}=-e_{p}^{\nu}e_{\mu}^{r}e_{q}^{\sigma}\Gamma_{\sigma\nu}^{\mu},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex28.m1.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT = - italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS1.p1.7">we obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex29"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="M_{\mu\nu}^{\sigma}=\frac{1}{2}\left(\Gamma_{\mu\nu}^{\sigma}+\Gamma_{\nu\mu}^% {\sigma}\right)+\frac{1}{2\left(n-1\right)}\left(\Gamma_{\rho\nu}^{\rho}-% \Gamma_{\nu\rho}^{\rho}\right)\delta_{\mu}^{\sigma}+\frac{1}{2\left(n-1\right)% }\left(\Gamma_{\rho\mu}^{\rho}-\Gamma_{\mu\rho}^{\rho}\right)\delta_{\nu}^{% \sigma}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex29.m1.3"><semantics id="S4.Ex29.m1.3a"><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.3.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.3.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.3.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.4" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ν</mi><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">μ</mi></mrow><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">σ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.4" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex29.m1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex29.m1.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex29.m1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex29.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex29.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">ρ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ν</mi><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">ρ</mi></mrow><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">ρ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.2a" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.cmml">μ</mi><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">σ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.4a" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex29.m1.2.2" xref="S4.Ex29.m1.2.2.cmml"><mn id="S4.Ex29.m1.2.2.3" xref="S4.Ex29.m1.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex29.m1.2.2.1" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1.cmml"><mn id="S4.Ex29.m1.2.2.1.3" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1.3.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex29.m1.2.2.1.2" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml">μ</mi></mrow><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">ρ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.3.cmml">ρ</mi></mrow><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">ρ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.2a" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.3.cmml">ν</mi><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml">σ</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex29.m1.3b"><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1"><eq id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.4"></eq><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.2">𝑀</ci><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.3"><times id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.5.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3"><plus id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.4"></plus><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">Γ</ci><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">Γ</ci><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝜈</ci><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜇</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2"><times id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex29.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.1.1"><divide id="S4.Ex29.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.1.1"></divide><cn id="S4.Ex29.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex29.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S4.Ex29.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1"><times id="S4.Ex29.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1.2"></times><cn id="S4.Ex29.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1"><minus id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2">Γ</ci><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2">𝜌</ci><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3">𝜌</ci></apply><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2">Γ</ci><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝜈</ci><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.3">𝜌</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3">𝜌</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.2.3.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3"><times id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.2"></times><apply id="S4.Ex29.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.2.2"><divide id="S4.Ex29.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.2.2"></divide><cn id="S4.Ex29.m1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex29.m1.2.2.3">1</cn><apply id="S4.Ex29.m1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1"><times id="S4.Ex29.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1.2"></times><cn id="S4.Ex29.m1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1.3">2</cn><apply id="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1"><minus id="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex29.m1.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1"><minus id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2">Γ</ci><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.2">𝜌</ci><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.3">𝜇</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2.3">𝜌</ci></apply><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2">Γ</ci><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.3">𝜌</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3.3">𝜌</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.3">𝜈</ci></apply><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.3.3.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex29.m1.3c">M_{\mu\nu}^{\sigma}=\frac{1}{2}\left(\Gamma_{\mu\nu}^{\sigma}+\Gamma_{\nu\mu}^% {\sigma}\right)+\frac{1}{2\left(n-1\right)}\left(\Gamma_{\rho\nu}^{\rho}-% \Gamma_{\nu\rho}^{\rho}\right)\delta_{\mu}^{\sigma}+\frac{1}{2\left(n-1\right)% }\left(\Gamma_{\rho\mu}^{\rho}-\Gamma_{\mu\rho}^{\rho}\right)\delta_{\nu}^{% \sigma}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex29.m1.3d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT + roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 ( italic_n - 1 ) end_ARG ( roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT - roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 ( italic_n - 1 ) end_ARG ( roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT - roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS1.p1.5">Therefore we can consider <math alttext="\left(x^{\mu},e^{\mu}_{k},M_{\mu\nu}^{\sigma},\beta_{pq}^{r}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4"><semantics id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.5.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.5" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.5.cmml">(</mo><msup id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi></msup><mo id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.6" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">μ</mi></msubsup><mo id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.7" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.3" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.3.1" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.8" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.3" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.3.1" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.3" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.9" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.5.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4b"><vector id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.5.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4"><apply id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.1.1.1.1.3">𝜇</ci></apply><apply id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.2">𝑀</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.3"><times id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.3.3.3.3.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.3"><times id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.3.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4.4.4.4.3">𝑟</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4c">\left(x^{\mu},e^{\mu}_{k},M_{\mu\nu}^{\sigma},\beta_{pq}^{r}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.p1.4.m1.4d">( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> as a set of coordinates on the quotient bundle <math alttext="W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1a"><msup id="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1.1.3.cmml">‡</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1b"><apply id="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1c">W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.p1.5.m2.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>; we need to know the primary constraint submanifold in order to construct the Hamiltonian form associated to this projection.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S4.SS3.SSS2"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">4.3.2. </span>On the geometrical interpretation of the phase space for Hamilton equations</h4> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.SSS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS2.p1.4">In the discussion we will carry out in the next sections, it will be assumed that the <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS2.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS2.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS2.p1.1.m1.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS2.p1.1.m1.1d">italic_M</annotation></semantics></math>-variables in the phase space <math alttext="W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1a"><msup id="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">‡</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1c">W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS2.p1.2.m2.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> correspond to connection symbols for some affine connection on the spacetime <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.SSS2.p1.3.m3.1a"><mi id="S4.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS2.p1.3.m3.1b"><ci id="S4.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p1.3.m3.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS2.p1.3.m3.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS2.p1.3.m3.1d">italic_M</annotation></semantics></math>. It seems necessary to explain why it is possible to do so; after all, the phase space was created through a quotient procedure, and any individual with experience in this kind of operations knows that it tends to obliterate any structure that the original space possesses. The key is to interpret geometrically the action of the group <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.SS3.SSS2.p1.4.m4.1a"><mi id="S4.SS3.SSS2.p1.4.m4.1.1" xref="S4.SS3.SSS2.p1.4.m4.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS2.p1.4.m4.1b"><ci id="S4.SS3.SSS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p1.4.m4.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS2.p1.4.m4.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS2.p1.4.m4.1d">italic_B</annotation></semantics></math>; in order to proceed in this direction, the following concept could be helpful <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">MR532831</span>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defc" id="Thmdefc12"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc12.1.1.1">Definition 12</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc12.2.2"> </span>(Projectively equivalent connections)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc12.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefc12.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefc12.p1.2">Connections <math alttext="\nabla,\nabla^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc12.p1.1.m1.2"><semantics id="Thmdefc12.p1.1.m1.2a"><mrow id="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1" xref="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="Thmdefc12.p1.1.m1.1.1" xref="Thmdefc12.p1.1.m1.1.1.cmml">∇</mo><mo id="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1.2" xref="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.2.cmml">,</mo><msup id="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">∇</mo><mo id="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc12.p1.1.m1.2b"><list id="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1"><ci id="Thmdefc12.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc12.p1.1.m1.1.1">∇</ci><apply id="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1.1.2">∇</ci><ci id="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc12.p1.1.m1.2.2.1.1.3">′</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc12.p1.1.m1.2c">\nabla,\nabla^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc12.p1.1.m1.2d">∇ , ∇ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> on a manifold <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc12.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmdefc12.p1.2.m2.1a"><mi id="Thmdefc12.p1.2.m2.1.1" xref="Thmdefc12.p1.2.m2.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc12.p1.2.m2.1b"><ci id="Thmdefc12.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefc12.p1.2.m2.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc12.p1.2.m2.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc12.p1.2.m2.1d">italic_P</annotation></semantics></math> are <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmdefc12.p1.2.1">projectively equivalent</em> if and only if they share the same unparametrized geodesics.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.SSS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS2.p2.1">In this vein, the following result is useful in characterizing projectively equivalent connections.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_prop" id="Thmprop5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop5.1.1.1">Proposition 5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop5.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmprop5.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmprop5.p1.5"><math alttext="\nabla,\nabla^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop5.p1.1.m1.2"><semantics id="Thmprop5.p1.1.m1.2a"><mrow id="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1" xref="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="Thmprop5.p1.1.m1.1.1" xref="Thmprop5.p1.1.m1.1.1.cmml">∇</mo><mo id="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1.2" xref="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.2.cmml">,</mo><msup id="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">∇</mo><mo id="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop5.p1.1.m1.2b"><list id="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1"><ci id="Thmprop5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmprop5.p1.1.m1.1.1">∇</ci><apply id="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1.1.2">∇</ci><ci id="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="Thmprop5.p1.1.m1.2.2.1.1.3">′</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop5.p1.1.m1.2c">\nabla,\nabla^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop5.p1.1.m1.2d">∇ , ∇ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmprop5.p1.5.4"> connections on <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop5.p1.2.1.m1.1"><semantics id="Thmprop5.p1.2.1.m1.1a"><mi id="Thmprop5.p1.2.1.m1.1.1" xref="Thmprop5.p1.2.1.m1.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop5.p1.2.1.m1.1b"><ci id="Thmprop5.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmprop5.p1.2.1.m1.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop5.p1.2.1.m1.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop5.p1.2.1.m1.1d">italic_P</annotation></semantics></math> are projectively equivalent if and only if there exists a <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop5.p1.3.2.m2.1"><semantics id="Thmprop5.p1.3.2.m2.1a"><mn id="Thmprop5.p1.3.2.m2.1.1" xref="Thmprop5.p1.3.2.m2.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop5.p1.3.2.m2.1b"><cn id="Thmprop5.p1.3.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmprop5.p1.3.2.m2.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop5.p1.3.2.m2.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop5.p1.3.2.m2.1d">1</annotation></semantics></math>-form <math alttext="\omega" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop5.p1.4.3.m3.1"><semantics id="Thmprop5.p1.4.3.m3.1a"><mi id="Thmprop5.p1.4.3.m3.1.1" xref="Thmprop5.p1.4.3.m3.1.1.cmml">ω</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop5.p1.4.3.m3.1b"><ci id="Thmprop5.p1.4.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmprop5.p1.4.3.m3.1.1">𝜔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop5.p1.4.3.m3.1c">\omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop5.p1.4.3.m3.1d">italic_ω</annotation></semantics></math> on <math alttext="P" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop5.p1.5.4.m4.1"><semantics id="Thmprop5.p1.5.4.m4.1a"><mi id="Thmprop5.p1.5.4.m4.1.1" xref="Thmprop5.p1.5.4.m4.1.1.cmml">P</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop5.p1.5.4.m4.1b"><ci id="Thmprop5.p1.5.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmprop5.p1.5.4.m4.1.1">𝑃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop5.p1.5.4.m4.1c">P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop5.p1.5.4.m4.1d">italic_P</annotation></semantics></math> such that</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex30"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\nabla^{\prime}_{X}Y=\nabla_{X}Y+\omega\left(X\right)Y+\omega\left(Y\right)X" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex30.m1.2"><semantics id="S4.Ex30.m1.2a"><mrow id="S4.Ex30.m1.2.3" xref="S4.Ex30.m1.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m1.2.3.2" xref="S4.Ex30.m1.2.3.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex30.m1.2.3.2.1" xref="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.2.2" xref="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.2.2.cmml">∇</mo><mi id="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.3" xref="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.3.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.2.3" xref="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mi id="S4.Ex30.m1.2.3.2.2" xref="S4.Ex30.m1.2.3.2.2.cmml">Y</mi></mrow><mo id="S4.Ex30.m1.2.3.1" xref="S4.Ex30.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex30.m1.2.3.3" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m1.2.3.3.2" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.cmml"><msub id="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.1" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.1.2" rspace="0.167em" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.1.2.cmml">∇</mo><mi id="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.1.3" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.1.3.cmml">X</mi></msub><mi id="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.2.cmml">Y</mi></mrow><mo id="S4.Ex30.m1.2.3.3.1" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex30.m1.2.3.3.3" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.2" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.1" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.3.2.1" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex30.m1.1.1" xref="S4.Ex30.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.1a" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.4" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.4.cmml">Y</mi></mrow><mo id="S4.Ex30.m1.2.3.3.1a" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex30.m1.2.3.3.4" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.2" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.1" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.3.2" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.cmml"><mo id="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.3.2.1" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex30.m1.2.2" xref="S4.Ex30.m1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.3.2.2" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.1a" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.4" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.4.cmml">X</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex30.m1.2b"><apply id="S4.Ex30.m1.2.3.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3"><eq id="S4.Ex30.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.1"></eq><apply id="S4.Ex30.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.2"><apply id="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.2.2">∇</ci><ci id="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.2.1.3">𝑋</ci></apply><ci id="S4.Ex30.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.2.2">𝑌</ci></apply><apply id="S4.Ex30.m1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3"><plus id="S4.Ex30.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.1"></plus><apply id="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.2"><apply id="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.1.2">∇</ci><ci id="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.1.3">𝑋</ci></apply><ci id="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.2.2">𝑌</ci></apply><apply id="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.3"><times id="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.2">𝜔</ci><ci id="S4.Ex30.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.1.1">𝑋</ci><ci id="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.3.4">𝑌</ci></apply><apply id="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.4"><times id="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.1"></times><ci id="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.2">𝜔</ci><ci id="S4.Ex30.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.4.cmml" xref="S4.Ex30.m1.2.3.3.4.4">𝑋</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex30.m1.2c">\nabla^{\prime}_{X}Y=\nabla_{X}Y+\omega\left(X\right)Y+\omega\left(Y\right)X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex30.m1.2d">∇ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT italic_Y = ∇ start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT italic_Y + italic_ω ( italic_X ) italic_Y + italic_ω ( italic_Y ) italic_X</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmprop5.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmprop5.p1.6.1">for every <math alttext="X,Y\in\mathfrak{X}\left(P\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3"><semantics id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3a"><mrow id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.cmml"><mrow id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.2.2" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.2.1.cmml"><mi id="Thmprop5.p1.6.1.m1.2.2" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.2.2.cmml">X</mi><mo id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.2.2.1" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.2.1.cmml">,</mo><mi id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.3" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.3.cmml">Y</mi></mrow><mo id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.1" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3.cmml"><mi id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3.2" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3.2.cmml">𝔛</mi><mo id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3.1" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3.3.2" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3.cmml"><mo id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3.3.2.1" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3.cmml">(</mo><mi id="Thmprop5.p1.6.1.m1.1.1" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.1.1.cmml">P</mi><mo id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3.3.2.2" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3b"><apply id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.cmml" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4"><in id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.1.cmml" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.1"></in><list id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.2.2"><ci id="Thmprop5.p1.6.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.2.2">𝑋</ci><ci id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.3">𝑌</ci></list><apply id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3.cmml" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3"><times id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3.1"></times><ci id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3.2.cmml" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.3.4.3.2">𝔛</ci><ci id="Thmprop5.p1.6.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmprop5.p1.6.1.m1.1.1">𝑃</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3c">X,Y\in\mathfrak{X}\left(P\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop5.p1.6.1.m1.3d">italic_X , italic_Y ∈ fraktur_X ( italic_P )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.SSS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS2.p3.6">At Christoffel symbols level it means that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex31"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left(\Gamma^{\prime}\right)_{ij}^{k}=\Gamma_{ij}^{k}+b_{i}\delta_{j}^{k}+b_{j% }\delta_{i}^{k}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex31.m1.1"><semantics id="S4.Ex31.m1.1a"><mrow id="S4.Ex31.m1.1.1.1" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Γ</mi><mo id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msubsup><mo id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">j</mi></mrow><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msubsup><mo id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">j</mi><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">k</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><msub id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.1" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.2" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.3" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml">k</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex31.m1.1b"><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">Γ</ci><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">Γ</ci><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4"><times id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.1"></times><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.3.4.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex31.m1.1c">\left(\Gamma^{\prime}\right)_{ij}^{k}=\Gamma_{ij}^{k}+b_{i}\delta_{j}^{k}+b_{j% }\delta_{i}^{k},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex31.m1.1d">( roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT = roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT + italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT + italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS2.p3.5">where <math alttext="b_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1a"><msub id="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">b</mi><mi id="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1.1.2">𝑏</ci><ci id="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1c">b_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS2.p3.1.m1.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the components of the <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.SSS2.p3.2.m2.1a"><mn id="S4.SS3.SSS2.p3.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.SSS2.p3.2.m2.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS2.p3.2.m2.1b"><cn id="S4.SS3.SSS2.p3.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS2.p3.2.m2.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS2.p3.2.m2.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS2.p3.2.m2.1d">1</annotation></semantics></math>-form <math alttext="\omega" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS2.p3.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.SSS2.p3.3.m3.1a"><mi id="S4.SS3.SSS2.p3.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.SSS2.p3.3.m3.1.1.cmml">ω</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS2.p3.3.m3.1b"><ci id="S4.SS3.SSS2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p3.3.m3.1.1">𝜔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS2.p3.3.m3.1c">\omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS2.p3.3.m3.1d">italic_ω</annotation></semantics></math> in the chosen coordinates. So, essentially, each class in <math alttext="W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1"><semantics id="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1a"><msup id="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1.1" xref="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1.1.3.cmml">‡</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1b"><apply id="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1c">W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS2.p3.4.m4.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> represents a connection up to a torsion and a reparametrization of its geodesics. But it should be kept in mind that the trace of the antisymmetric part of any element in <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS2.p3.5.m5.1"><semantics id="S4.SS3.SSS2.p3.5.m5.1a"><mi id="S4.SS3.SSS2.p3.5.m5.1.1" xref="S4.SS3.SSS2.p3.5.m5.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS2.p3.5.m5.1b"><ci id="S4.SS3.SSS2.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS2.p3.5.m5.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS2.p3.5.m5.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS2.p3.5.m5.1d">italic_B</annotation></semantics></math> is fixed by the form associated to the reparametrization part. It is this fact that fixes the right parametrization for a geodesic once the torsion vanishes (it is ultimately obtained from the Hamilton equations, see Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmthm4" title="Theorem 4. ‣ 4.4.2. The Hamilton equations for GR with basis ‣ 4.4. Hamiltonian form and Hamilton equations for gravity with basis ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>).</p> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S4.SS3.SSS3"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">4.3.3. </span>The primary constraint submanifold</h4> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.SSS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.p1.3">As we know, the vector subbundle <math alttext="Vp^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1"><times id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.2">𝑉</ci><apply id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1.1.3.3">‡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1c">Vp^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.p1.1.m1.1d">italic_V italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is spanned by elements of the form <math alttext="c_{J^{1}\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1a"><msub id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><msup id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mn id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">τ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.2">𝑐</ci><apply id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3"><times id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.2.2">𝐽</ci><cn id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1.1.3.3">𝜏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1c">c_{J^{1}\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.p1.2.m2.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, with <math alttext="c\in B" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1.1"><in id="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1.1.1"></in><ci id="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1c">c\in B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.p1.3.m3.1d">italic_c ∈ italic_B</annotation></semantics></math>. From Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.E7" title="Equation 4.7 ‣ 4.2. Compatibility in the affine action ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.7</span></a>) we have that there are no constraints associated to the equation</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex32"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Z\lrcorner\lambda_{\mathcal{L}}=0." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex32.m1.1"><semantics id="S4.Ex32.m1.1a"><mrow id="S4.Ex32.m1.1.1.1" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">Z</mi><mo id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⌟</mi><mo id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">λ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex32.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex32.m1.1b"><apply id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.2">𝑍</ci><ci id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.3">⌟</ci><apply id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.4.2">𝜆</ci><ci id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.2.4.3">ℒ</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex32.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex32.m1.1c">Z\lrcorner\lambda_{\mathcal{L}}=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex32.m1.1d">italic_Z ⌟ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.p1.6">From Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.E9" title="Equation 4.9 ‣ 4.2. Compatibility in the affine action ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.9</span></a>) the other constraints become</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx11"> <tbody id="S4.Ex33"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle 0=" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex33.m1.1"><semantics id="S4.Ex33.m1.1a"><mrow id="S4.Ex33.m1.1.1" xref="S4.Ex33.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex33.m1.1.1.2" xref="S4.Ex33.m1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex33.m1.1.1.1" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.Ex33.m1.1.1.3" xref="S4.Ex33.m1.1.1.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex33.m1.1b"><apply id="S4.Ex33.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1"><eq id="S4.Ex33.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1"></eq><cn id="S4.Ex33.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex33.m1.1.1.2">0</cn><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex33.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex33.m1.1c">\displaystyle 0=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex33.m1.1d">0 =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\eta^{kp}T^{i}\wedge\theta_{kli}+\eta^{ip}\left.\Theta_{il}% \right|_{\beta}\right)\wedge c_{rs}^{t}\delta^{r}_{p}\delta^{l}_{t}\theta^{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex33.m2.2"><semantics id="S4.Ex33.m2.2a"><mrow id="S4.Ex33.m2.2.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">T</mi><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">i</mi></msup></mrow><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">∧</mo><msub id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.1a" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.4" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.4.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><msub id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mrow id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S4.Ex33.m2.1.1.1" xref="S4.Ex33.m2.1.1.1.cmml">β</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.2.cmml">∧</mo><mrow id="S4.Ex33.m2.2.2.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.3.1" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex33.m2.2.2.3.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.3.cmml">p</mi><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.3.1a" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex33.m2.2.2.3.4" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.2.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.3.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.2.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.2.3.cmml">l</mi></msubsup><mo id="S4.Ex33.m2.2.2.3.1b" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex33.m2.2.2.3.5" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.5.cmml"><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.3.5.2" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.5.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex33.m2.2.2.3.5.3" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.5.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex33.m2.2b"><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2"><and id="S4.Ex33.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.2"></and><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1"><plus id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3"><and id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.1"></and><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.2">𝜃</ci><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3"><times id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.3">𝑙</ci><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.3.3.3.4">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">evaluated-at</csymbol><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Θ</ci><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply><ci id="S4.Ex33.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.1.1.1">𝛽</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3"><times id="S4.Ex33.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.1"></times><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.3"><times id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex33.m2.2.2.3.5.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m2.2.2.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.5">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.3.5.2.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.5.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex33.m2.2.2.3.5.3.cmml" xref="S4.Ex33.m2.2.2.3.5.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex33.m2.2c">\displaystyle\left(\eta^{kp}T^{i}\wedge\theta_{kli}+\eta^{ip}\left.\Theta_{il}% \right|_{\beta}\right)\wedge c_{rs}^{t}\delta^{r}_{p}\delta^{l}_{t}\theta^{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex33.m2.2d">( italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_p end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_l italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_p end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_l end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT ) ∧ italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_l end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex34"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=c_{rs}^{t}\left(\eta^{kr}T^{i}\wedge\theta_{kti}+\eta^{ir}\beta_% {it}^{q}\theta_{q}\right)\wedge\theta^{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex34.m1.1"><semantics id="S4.Ex34.m1.1a"><mrow id="S4.Ex34.m1.1.1" xref="S4.Ex34.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex34.m1.1.1.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex34.m1.1.1.1" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msup id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">T</mi><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msup></mrow><mo id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∧</mo><msub id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1a" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.4" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.4.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">q</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex34.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.2.cmml">∧</mo><msup id="S4.Ex34.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex34.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex34.m1.1b"><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1"><eq id="S4.Ex34.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex34.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1"><and id="S4.Ex34.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.2"></and><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><and id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></and><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜃</ci><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑡</ci><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.4">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex34.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex34.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex34.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex34.m1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex34.m1.1c">\displaystyle=c_{rs}^{t}\left(\eta^{kr}T^{i}\wedge\theta_{kti}+\eta^{ir}\beta_% {it}^{q}\theta_{q}\right)\wedge\theta^{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex34.m1.1d">= italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT ) ∧ italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex35"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(-1\right)^{n+1}c_{rs}^{t}\left[\eta^{kr}T^{i}_{pq}\theta^{% p}\wedge\theta^{q}\wedge\left(\theta_{kt}\delta_{i}^{s}-\theta_{ki}\delta_{t}^% {s}+\theta_{ti}\delta_{k}^{s}\right)+\eta^{ir}\beta_{it}^{q}\delta_{q}^{s}% \sigma_{0}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex35.m1.2"><semantics id="S4.Ex35.m1.2a"><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.4" xref="S4.Ex35.m1.2.2.4.cmml"></mi><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.cmml"><msup id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.3.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.3.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.3a" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4.3.cmml">p</mi></msup></mrow><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">∧</mo><msup id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.4" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml">q</mi></msup><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.2a" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">∧</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.1a" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.cmml">q</mi><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.1b" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.5" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.5.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.5.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.5.2.cmml">σ</mi><mn id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.5.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.5.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex35.m1.2b"><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2"><eq id="S4.Ex35.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex35.m1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.4">absent</csymbol><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2"><times id="S4.Ex35.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.3"></times><apply id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex35.m1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.3"><times id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1"><plus id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.2"></plus><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1"><and id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.2"></and><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3"><times id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.3">𝑞</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.4.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜃</ci><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝜃</ci><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜃</ci><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3"><times id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.5.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.5.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.5.2">𝜎</ci><cn id="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex35.m1.2.2.2.2.1.1.3.5.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex35.m1.2c">\displaystyle=\left(-1\right)^{n+1}c_{rs}^{t}\left[\eta^{kr}T^{i}_{pq}\theta^{% p}\wedge\theta^{q}\wedge\left(\theta_{kt}\delta_{i}^{s}-\theta_{ki}\delta_{t}^% {s}+\theta_{ti}\delta_{k}^{s}\right)+\eta^{ir}\beta_{it}^{q}\delta_{q}^{s}% \sigma_{0}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex35.m1.2d">= ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT ∧ ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT - italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.p1.7">where we have written</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex36"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="T^{i}:=T^{i}_{pq}\theta^{p}\wedge\theta^{q}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex36.m1.1"><semantics id="S4.Ex36.m1.1a"><mrow id="S4.Ex36.m1.1.1.1" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mi id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">p</mi></msup></mrow><mo id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">∧</mo><msup id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">q</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex36.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex36.m1.1b"><apply id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3"><and id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.1"></and><apply id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑞</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex36.m1.1c">T^{i}:=T^{i}_{pq}\theta^{p}\wedge\theta^{q}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex36.m1.1d">italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT := italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.p1.8">But now</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx12"> <tbody id="S4.Ex37"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\theta^{p}\wedge\theta^{q}\wedge" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex37.m1.1"><semantics id="S4.Ex37.m1.1a"><mrow id="S4.Ex37.m1.1.1" xref="S4.Ex37.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex37.m1.1.1.2" xref="S4.Ex37.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex37.m1.1.1.2.2" xref="S4.Ex37.m1.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex37.m1.1.1.2.3" xref="S4.Ex37.m1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msup><mo id="S4.Ex37.m1.1.1.1" xref="S4.Ex37.m1.1.1.1.cmml">∧</mo><mrow id="S4.Ex37.m1.1.1.3" xref="S4.Ex37.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex37.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex37.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex37.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex37.m1.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex37.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex37.m1.1.1.3.2.3.cmml">q</mi></msup><mo id="S4.Ex37.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex37.m1.1.1.3.3.cmml">∧</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex37.m1.1b"><apply id="S4.Ex37.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1"><and id="S4.Ex37.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1.1"></and><apply id="S4.Ex37.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex37.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex37.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex37.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.Ex37.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex37.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1.3">limit-from</csymbol><apply id="S4.Ex37.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex37.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex37.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1.3.2.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex37.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1.3.2.3">𝑞</ci></apply><and id="S4.Ex37.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex37.m1.1.1.3.3"></and></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex37.m1.1c">\displaystyle\theta^{p}\wedge\theta^{q}\wedge</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex37.m1.1d">italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT ∧</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\theta_{kt}\delta_{i}^{s}-\theta_{ki}\delta_{t}^{s}+\theta_% {ti}\delta_{k}^{s}\right)=" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex37.m2.1"><semantics id="S4.Ex37.m2.1a"><mrow id="S4.Ex37.m2.1.1" xref="S4.Ex37.m2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mrow id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex37.m2.1.1.2" xref="S4.Ex37.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mi id="S4.Ex37.m2.1.1.3" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex37.m2.1b"><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1"><eq id="S4.Ex37.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜃</ci><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝜃</ci><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜃</ci><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex37.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex37.m2.1.1.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex37.m2.1c">\displaystyle\left(\theta_{kt}\delta_{i}^{s}-\theta_{ki}\delta_{t}^{s}+\theta_% {ti}\delta_{k}^{s}\right)=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex37.m2.1d">( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT - italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex38"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\theta^{p}\wedge\left[\left(\delta_{t}^{q}\theta_{k}-\delta_{k}^% {q}\theta_{t}\right)\delta_{i}^{s}-\left(\delta_{i}^{q}\theta_{k}-\delta_{k}^{% q}\theta_{i}\right)\delta_{t}^{s}+\left(\delta_{i}^{q}\theta_{t}-\delta_{t}^{q% }\theta_{i}\right)\delta_{k}^{s}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex38.m1.1"><semantics id="S4.Ex38.m1.1a"><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex38.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></msup><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.2.cmml">∧</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex38.m1.1b"><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1"><eq id="S4.Ex38.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex38.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1"><and id="S4.Ex38.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.2"></and><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.4"></plus><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"></minus><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1"><minus id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><times id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"></times><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><minus id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2"><times id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><times id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.2">𝜃</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex38.m1.1c">\displaystyle=\theta^{p}\wedge\left[\left(\delta_{t}^{q}\theta_{k}-\delta_{k}^% {q}\theta_{t}\right)\delta_{i}^{s}-\left(\delta_{i}^{q}\theta_{k}-\delta_{k}^{% q}\theta_{i}\right)\delta_{t}^{s}+\left(\delta_{i}^{q}\theta_{t}-\delta_{t}^{q% }\theta_{i}\right)\delta_{k}^{s}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex38.m1.1d">= italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ∧ [ ( italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + ( italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex39"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(\delta_{t}^{q}\delta^{p}_{k}-\delta_{k}^{q}\delta_{t}^{p}% \right)\delta_{i}^{s}-\left(\delta_{i}^{q}\delta^{p}_{k}-\delta_{k}^{q}\delta^% {p}_{i}\right)\delta_{t}^{s}+\left(\delta_{i}^{q}\delta^{p}_{t}-\delta_{t}^{q}% \delta^{p}_{i}\right)\delta_{k}^{s}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex39.m1.1"><semantics id="S4.Ex39.m1.1a"><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.5.cmml"></mi><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex39.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex39.m1.1b"><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.5">absent</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.4"></plus><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2"><minus id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.3"></minus><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><minus id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.2"></times><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1"><minus id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2"><times id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3"><times id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex39.m1.1c">\displaystyle=\left(\delta_{t}^{q}\delta^{p}_{k}-\delta_{k}^{q}\delta_{t}^{p}% \right)\delta_{i}^{s}-\left(\delta_{i}^{q}\delta^{p}_{k}-\delta_{k}^{q}\delta^% {p}_{i}\right)\delta_{t}^{s}+\left(\delta_{i}^{q}\delta^{p}_{t}-\delta_{t}^{q}% \delta^{p}_{i}\right)\delta_{k}^{s}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex39.m1.1d">= ( italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + ( italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.p1.4">Replacing in the previous equation and taking into account the antisymmetry of <math alttext="T_{pq}^{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1a"><msubsup id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1b"><apply id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3"><times id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1c">T_{pq}^{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.p1.4.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, we obtain</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx13"> <tbody id="S4.Ex40"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex40.m1.1"><semantics id="S4.Ex40.m1.1a"><mn id="S4.Ex40.m1.1.1" xref="S4.Ex40.m1.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex40.m1.1b"><cn id="S4.Ex40.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex40.m1.1.1">0</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex40.m1.1c">\displaystyle 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=c_{rs}^{t}\left[2\eta^{kr}T^{i}_{pq}\left(\delta_{t}^{q}\delta_{% k}^{p}\delta_{i}^{s}-\delta_{i}^{q}\delta_{k}^{p}\delta_{t}^{s}+\delta_{i}^{q}% \delta_{t}^{p}\delta_{k}^{s}\right)+\eta^{ir}\beta_{it}^{q}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex40.m2.1"><semantics id="S4.Ex40.m2.1a"><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">q</mi></msubsup><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">p</mi></msubsup><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">q</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex40.m2.1b"><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1"><eq id="S4.Ex40.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex40.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1"><times id="S4.Ex40.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.2.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3"><times id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1"></times><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3.3">𝑞</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex40.m2.1c">\displaystyle=c_{rs}^{t}\left[2\eta^{kr}T^{i}_{pq}\left(\delta_{t}^{q}\delta_{% k}^{p}\delta_{i}^{s}-\delta_{i}^{q}\delta_{k}^{p}\delta_{t}^{s}+\delta_{i}^{q}% \delta_{t}^{p}\delta_{k}^{s}\right)+\eta^{ir}\beta_{it}^{q}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex40.m2.1d">= italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT [ 2 italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT ( italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT - italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_i italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex41"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\eta^{kr}\left(2c_{rs}^{t}T_{kt}^{s}-2c_{rt}^{t}T_{ki}^{i}+2c_{% rk}^{t}T_{ti}^{i}+c_{rs}^{t}\beta_{kt}^{s}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex41.m1.1"><semantics id="S4.Ex41.m1.1a"><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex41.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3.3.cmml">i</mi></mrow><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.3.cmml">i</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">k</mi></mrow><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.3.cmml">i</mi></mrow><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">i</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><msubsup id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.1" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex41.m1.1b"><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1"><eq id="S4.Ex41.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex41.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1"><times id="S4.Ex41.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><cn id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3"><times id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3"><times id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><cn id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">2</cn><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3"><times id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3"><times id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3"><times id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3"><times id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3"><times id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex41.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex41.m1.1c">\displaystyle=\eta^{kr}\left(2c_{rs}^{t}T_{kt}^{s}-2c_{rt}^{t}T_{ki}^{i}+2c_{% rk}^{t}T_{ti}^{i}+c_{rs}^{t}\beta_{kt}^{s}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex41.m1.1d">= italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT + 2 italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT + italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex42"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=2\eta^{kr}\left(-\eta^{kr}c_{rt}^{t}+\eta^{rl}c_{rl}^{k}\right)T% _{ki}^{i}+\eta^{kr}\left(2c_{rs}^{t}T_{kt}^{s}+c_{rs}^{t}\beta_{kt}^{s}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex42.m1.2"><semantics id="S4.Ex42.m1.2a"><mrow id="S4.Ex42.m1.2.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.4" xref="S4.Ex42.m1.2.2.4.cmml"></mi><mo id="S4.Ex42.m1.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.2.2.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">l</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">l</mi></mrow><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2b" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml">i</mi></mrow><mi id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.3" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.3.cmml">i</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex42.m1.2.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.cmml"><msup id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.3.1" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1a" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex42.m1.2b"><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2"><eq id="S4.Ex42.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex42.m1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.4">absent</csymbol><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2"><plus id="S4.Ex42.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.3"></plus><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.3"><times id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.4.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3"><times id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.3"><times id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.1.1.1.1.5.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2"><times id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.3"><times id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1"><plus id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.3"><times id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex42.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex42.m1.2c">\displaystyle=2\eta^{kr}\left(-\eta^{kr}c_{rt}^{t}+\eta^{rl}c_{rl}^{k}\right)T% _{ki}^{i}+\eta^{kr}\left(2c_{rs}^{t}T_{kt}^{s}+c_{rs}^{t}\beta_{kt}^{s}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex42.m1.2d">= 2 italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( - italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_r italic_l end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex43"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\eta^{kr}c_{rs}^{t}\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^{s}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex43.m1.1"><semantics id="S4.Ex43.m1.1a"><mrow id="S4.Ex43.m1.1.1" xref="S4.Ex43.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex43.m1.1.1.2" xref="S4.Ex43.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex43.m1.1.1.1" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex43.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex43.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex43.m1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex43.m1.1b"><apply id="S4.Ex43.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1"><eq id="S4.Ex43.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex43.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex43.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1"><times id="S4.Ex43.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.3"><times id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex43.m1.1c">\displaystyle=\eta^{kr}c_{rs}^{t}\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^{s}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex43.m1.1d">= italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.p1.5">where the first term annihilates because <math alttext="c\in B" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1b"><apply id="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1.1"><in id="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1.1.1"></in><ci id="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1c">c\in B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.p1.5.m1.1d">italic_c ∈ italic_B</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_prop" id="Thmprop6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop6.1.1.1">Proposition 6</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop6.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmprop6.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmprop6.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmprop6.p1.1.1">An element <math alttext="\left(x^{\mu},e^{\mu}_{k},e_{k\nu}^{\sigma},\beta_{pq}^{r}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4"><semantics id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4a"><mrow id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.5.cmml"><mo id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.5" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.5.cmml">(</mo><msup id="Thmprop6.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmprop6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="Thmprop6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi></msup><mo id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.6" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">μ</mi></msubsup><mo id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.7" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.2" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.2" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.1" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.3" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.8" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.cmml"><mi id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.2" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.2.cmml">β</mi><mrow id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.2" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.1" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.3" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.3" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.9" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.5.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4b"><vector id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.5.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4"><apply id="Thmprop6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmprop6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="Thmprop6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3">𝜇</ci></apply><apply id="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.2">𝑒</ci><apply id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3"><times id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.1"></times><ci id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3">𝜎</ci></apply><apply id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.1.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.2">𝛽</ci><apply id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3"><times id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.1.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.1"></times><ci id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.2.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.2">𝑝</ci><ci id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.3.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.3.cmml" xref="Thmprop6.p1.1.1.m1.4.4.4.4.3">𝑟</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4c">\left(x^{\mu},e^{\mu}_{k},e_{k\nu}^{\sigma},\beta_{pq}^{r}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop6.p1.1.1.m1.4d">( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> belongs to the primary constraint submanifold if and only if</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex44"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\eta^{kr}c_{rs}^{t}\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^{s}\right)=0" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex44.m1.1"><semantics id="S4.Ex44.m1.1a"><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex44.m1.1.1.2" xref="S4.Ex44.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex44.m1.1.1.3" xref="S4.Ex44.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex44.m1.1b"><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1"><eq id="S4.Ex44.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1"><times id="S4.Ex44.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.3"><times id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex44.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex44.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex44.m1.1c">\eta^{kr}c_{rs}^{t}\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^{s}\right)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex44.m1.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmprop6.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmprop6.p1.2.1">for every <math alttext="c\in B" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop6.p1.2.1.m1.1"><semantics id="Thmprop6.p1.2.1.m1.1a"><mrow id="Thmprop6.p1.2.1.m1.1.1" xref="Thmprop6.p1.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmprop6.p1.2.1.m1.1.1.2" xref="Thmprop6.p1.2.1.m1.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="Thmprop6.p1.2.1.m1.1.1.1" xref="Thmprop6.p1.2.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmprop6.p1.2.1.m1.1.1.3" xref="Thmprop6.p1.2.1.m1.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop6.p1.2.1.m1.1b"><apply id="Thmprop6.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmprop6.p1.2.1.m1.1.1"><in id="Thmprop6.p1.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmprop6.p1.2.1.m1.1.1.1"></in><ci id="Thmprop6.p1.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmprop6.p1.2.1.m1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="Thmprop6.p1.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmprop6.p1.2.1.m1.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop6.p1.2.1.m1.1c">c\in B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop6.p1.2.1.m1.1d">italic_c ∈ italic_B</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_note" id="Thmnote12"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote12.1.1.1">Remark 12</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote12.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmnote12.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmnote12.p1.3">We will indicate the primary constraint submanifold with the symbol</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex45"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W_{0}:=\left\{\left(x^{\mu},e^{\mu}_{k},e_{k\nu}^{\sigma},\beta_{pq}^{r}\right% )\in\widehat{W_{\mathcal{L}}}:\eta^{kr}c_{rs}^{t}\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^% {s}\right)=0\right\}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex45.m1.1"><semantics id="S4.Ex45.m1.1a"><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">W</mi><mn id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.3.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml"><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.5" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">(</mo><msup id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi></msup><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.6" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">μ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.7" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.8" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.9" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">∈</mo><mover accent="true" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><msub id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><msup id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.3.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.3.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.3.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2a" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.5" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex45.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex45.m1.1b"><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.3">assign</csymbol><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.4.2">𝑊</ci><cn id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.4.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1"><in id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.5"></in><vector id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4"><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜇</ci></apply><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3"><times id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3"><times id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.3">𝑟</ci></apply></vector><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6"><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.1">^</ci><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.2">𝑊</ci><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.1.6.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2"><eq id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"></eq><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"><times id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2"></times><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3"><times id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.3"><times id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"><plus id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex45.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex45.m1.1c">W_{0}:=\left\{\left(x^{\mu},e^{\mu}_{k},e_{k\nu}^{\sigma},\beta_{pq}^{r}\right% )\in\widehat{W_{\mathcal{L}}}:\eta^{kr}c_{rs}^{t}\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^% {s}\right)=0\right\},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex45.m1.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT := { ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) ∈ over^ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG : italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) = 0 } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmnote12.p1.2">and we will use <math alttext="p_{0}:W_{0}\to W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote12.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmnote12.p1.1.m1.1a"><mrow id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mn id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mn id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><msup id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mo id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote12.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1"><ci id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.1">:</ci><apply id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑝</ci><cn id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3"><ci id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.1">→</ci><apply id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑊</ci><cn id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><apply id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑊</ci><ci id="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmnote12.p1.1.m1.1.1.3.3.3">‡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote12.p1.1.m1.1c">p_{0}:W_{0}\to W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote12.p1.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT : italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT → italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for the restriction of the projection <math alttext="p^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote12.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmnote12.p1.2.m2.1a"><msup id="Thmnote12.p1.2.m2.1.1" xref="Thmnote12.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmnote12.p1.2.m2.1.1.2" xref="Thmnote12.p1.2.m2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="Thmnote12.p1.2.m2.1.1.3" xref="Thmnote12.p1.2.m2.1.1.3.cmml">‡</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote12.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmnote12.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmnote12.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmnote12.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmnote12.p1.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmnote12.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmnote12.p1.2.m2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="Thmnote12.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmnote12.p1.2.m2.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote12.p1.2.m2.1c">p^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote12.p1.2.m2.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to this submanifold.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.SSS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.p2.1">There are some important properties of the elements of the primary constraint submanifold.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_prop" id="Thmprop7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop7.1.1.1">Proposition 7</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop7.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmprop7.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmprop7.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmprop7.p1.1.1">If <math alttext="\left(x^{\mu},e^{\mu}_{k},M_{\mu\nu}^{\sigma},\beta_{pq}^{r}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4"><semantics id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4a"><mrow id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.5.cmml"><mo id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.5" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.5.cmml">(</mo><msup id="Thmprop7.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmprop7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="Thmprop7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi></msup><mo id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.6" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">μ</mi></msubsup><mo id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.7" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.2" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.2" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.1" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.3" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.8" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.cmml"><mi id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.2" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.2.cmml">β</mi><mrow id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.2" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.1" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.3" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.3" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.9" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.5.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4b"><vector id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.5.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4"><apply id="Thmprop7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmprop7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="Thmprop7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3">𝜇</ci></apply><apply id="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.2">𝑀</ci><apply id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3"><times id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.1"></times><ci id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.2">𝜇</ci><ci id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3">𝜎</ci></apply><apply id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.1.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.2">𝛽</ci><apply id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3"><times id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.1.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.1"></times><ci id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.2.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.2">𝑝</ci><ci id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.3.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.3.cmml" xref="Thmprop7.p1.1.1.m1.4.4.4.4.3">𝑟</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4c">\left(x^{\mu},e^{\mu}_{k},M_{\mu\nu}^{\sigma},\beta_{pq}^{r}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop7.p1.1.1.m1.4d">( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is an element of the primary constraint submanifold, then</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex46"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\eta^{kr}\beta_{kr}^{s}=0=T_{kt}^{t}=\beta_{kt}^{t}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex46.m1.1"><semantics id="S4.Ex46.m1.1a"><mrow id="S4.Ex46.m1.1.1.1" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">r</mi></mrow><mi id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.4.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><msubsup id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.3.2" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.3.1" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.3.3" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.7" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.7.cmml">=</mo><msubsup id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.2" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.3" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.3.2" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.3.1" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.3.3" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.3" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex46.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex46.m1.1b"><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1"><and id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1"></and><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.4">0</cn></apply><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.Ex46.m1.1.1.1.1.4.cmml" id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.3"><times id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1e.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.Ex46.m1.1.1.1.1.6.cmml" id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1f.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.3"><times id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.3.cmml" xref="S4.Ex46.m1.1.1.1.1.8.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex46.m1.1c">\eta^{kr}\beta_{kr}^{s}=0=T_{kt}^{t}=\beta_{kt}^{t}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex46.m1.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT = 0 = italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT = italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.SS3.SSS3.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.SSS3.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.3">We will try with different elements in <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.1.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.1.m1.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.1.m1.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.1.m1.1d">italic_B</annotation></semantics></math> in order to obtain constraints on <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.1.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.2.m2.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.2.m2.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.2.m2.1c">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.2.m2.1d">italic_β</annotation></semantics></math> and <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.1.p1.3.m3.1a"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.3.m3.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.3.m3.1b"><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.3.m3.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.3.m3.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.3.m3.1d">italic_T</annotation></semantics></math>. For example, consider</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex47"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="c^{t}_{rs}=b_{r}\delta_{s}^{t}+b_{s}\delta_{r}^{t}+a_{r}\delta_{s}^{t}-a_{s}% \delta_{r}^{t}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex47.m1.1"><semantics id="S4.Ex47.m1.1a"><mrow id="S4.Ex47.m1.1.1" xref="S4.Ex47.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex47.m1.1.1.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex47.m1.1.1.2.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex47.m1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2.2.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex47.m1.1.1.1" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.1.1.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml">s</mi><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.cmml"><msub id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml">r</mi><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.1a" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.cmml"><msub id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.2.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.2.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.1" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.2.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.2.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.2.3.cmml">s</mi><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex47.m1.1.1.3.1" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">r</mi><mi id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex47.m1.1b"><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1"><eq id="S4.Ex47.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex47.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3"><minus id="S4.Ex47.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.1"></minus><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2"><plus id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2"><times id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.1"></times><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4"><times id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.1"></times><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.2.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex47.m1.1.1.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex47.m1.1c">c^{t}_{rs}=b_{r}\delta_{s}^{t}+b_{s}\delta_{r}^{t}+a_{r}\delta_{s}^{t}-a_{s}% \delta_{r}^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex47.m1.1d">italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT = italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT - italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.6">where <math alttext="b_{r}=(1/2)c^{s}_{rs}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.3.2.cmml">b</mi><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1b"><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1"><eq id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.2"></eq><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1"><times id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><cn id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.3"><times id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1c">b_{r}=(1/2)c^{s}_{rs}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.4.m1.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT = ( 1 / 2 ) italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="a_{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1a"><msub id="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1.1.2.cmml">a</mi><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1.1.3.cmml">r</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1b"><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1c">a_{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.5.m2.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is chosen to ensure that <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.6.m3.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.1.p1.6.m3.1a"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.6.m3.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.6.m3.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.6.m3.1b"><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.6.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.6.m3.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.6.m3.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.6.m3.1d">italic_c</annotation></semantics></math> has the right trace properties, namely</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx14"> <tbody id="S4.Ex48"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle c_{rs}^{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex48.m1.1"><semantics id="S4.Ex48.m1.1a"><msubsup id="S4.Ex48.m1.1.1" xref="S4.Ex48.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.1.1.2.2" xref="S4.Ex48.m1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex48.m1.1.1.2.3" xref="S4.Ex48.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex48.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex48.m1.1.1.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex48.m1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex48.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex48.m1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex48.m1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex48.m1.1.1.3" xref="S4.Ex48.m1.1.1.3.cmml">s</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex48.m1.1b"><apply id="S4.Ex48.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex48.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex48.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex48.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex48.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex48.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex48.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex48.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex48.m1.1.1.3">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex48.m1.1c">\displaystyle c_{rs}^{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex48.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(n+1\right)b_{r}+\left(n-1\right)a_{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex48.m2.2"><semantics id="S4.Ex48.m2.2a"><mrow id="S4.Ex48.m2.2.2" xref="S4.Ex48.m2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex48.m2.2.2.4" xref="S4.Ex48.m2.2.2.4.cmml"></mi><mo id="S4.Ex48.m2.2.2.3" xref="S4.Ex48.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex48.m2.2.2.2" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex48.m2.2.2.2.3" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.3.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex48.m2.2b"><apply id="S4.Ex48.m2.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m2.2.2"><eq id="S4.Ex48.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex48.m2.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex48.m2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex48.m2.2.2.4">absent</csymbol><apply id="S4.Ex48.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2"><plus id="S4.Ex48.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.3"></plus><apply id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1"><times id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex48.m2.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2"><times id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1"><minus id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.3.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex48.m2.2.2.2.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex48.m2.2c">\displaystyle=\left(n+1\right)b_{r}+\left(n-1\right)a_{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex48.m2.2d">= ( italic_n + 1 ) italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT + ( italic_n - 1 ) italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex49"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{n+1}{2}c_{rs}^{s}+\left(n-1\right)a_{r}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex49.m1.1"><semantics id="S4.Ex49.m1.1a"><mrow id="S4.Ex49.m1.1.1.1" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex49.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex49.m1.1b"><apply id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.2"><plus id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1"></plus><ci id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex49.m1.1c">\displaystyle=\frac{n+1}{2}c_{rs}^{s}+\left(n-1\right)a_{r},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex49.m1.1d">= divide start_ARG italic_n + 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + ( italic_n - 1 ) italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.15">implying that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex50"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="a_{r}=-\left(1/2\right)c_{rs}^{s}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex50.m1.1"><semantics id="S4.Ex50.m1.1a"><mrow id="S4.Ex50.m1.1.1.1" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex50.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex50.m1.1b"><apply id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><cn id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex50.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex50.m1.1c">a_{r}=-\left(1/2\right)c_{rs}^{s}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex50.m1.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT = - ( 1 / 2 ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.16">Using it in Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmprop6" title="Proposition 6. ‣ 4.3.3. The primary constraint submanifold ‣ 4.3. The quotient bundle and its primary constraint submanifold ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a> gives us</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx15"> <tbody id="S4.Ex51"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex51.m1.1"><semantics id="S4.Ex51.m1.1a"><mn id="S4.Ex51.m1.1.1" xref="S4.Ex51.m1.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex51.m1.1b"><cn id="S4.Ex51.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex51.m1.1.1">0</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex51.m1.1c">\displaystyle 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\eta^{kr}\left(b_{r}\delta_{s}^{t}+b_{s}\delta_{r}^{t}+a_{r}% \delta_{s}^{t}-a_{s}\delta_{r}^{t}\right)\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^{s}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex51.m2.2"><semantics id="S4.Ex51.m2.2a"><mrow id="S4.Ex51.m2.2.2" xref="S4.Ex51.m2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex51.m2.2.2.4" xref="S4.Ex51.m2.2.2.4.cmml"></mi><mo id="S4.Ex51.m2.2.2.3" xref="S4.Ex51.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex51.m2.2.2.2" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.cmml"><msup id="S4.Ex51.m2.2.2.2.4" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.3.2" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.3.1" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex51.m2.2.2.2.3" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">s</mi><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml">r</mi><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><msub id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.1" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.2" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.3.cmml">s</mi><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">r</mi><mi id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex51.m2.2.2.2.3a" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex51.m2.2b"><apply id="S4.Ex51.m2.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2"><eq id="S4.Ex51.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex51.m2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.4">absent</csymbol><apply id="S4.Ex51.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2"><times id="S4.Ex51.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.3"></times><apply id="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.3"><times id="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.4.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4"><times id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.1"></times><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1"><plus id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2"><times id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex51.m2.2.2.2.2.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex51.m2.2c">\displaystyle=\eta^{kr}\left(b_{r}\delta_{s}^{t}+b_{s}\delta_{r}^{t}+a_{r}% \delta_{s}^{t}-a_{s}\delta_{r}^{t}\right)\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^{s}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex51.m2.2d">= italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT - italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ) ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex52"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\eta^{kr}b_{r}\left(2T_{ks}^{s}+\beta_{ks}^{s}\right)+b_{s}\eta^% {kr}\left(2T_{kr}^{s}+\beta_{kr}^{s}\right)+\eta^{kr}a_{r}\left(2T_{ks}^{s}+% \beta_{ks}^{s}\right)-a_{s}\eta^{kr}\left(2T_{kr}^{s}+\beta_{kr}^{s}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex52.m1.4"><semantics id="S4.Ex52.m1.4a"><mrow id="S4.Ex52.m1.4.4" xref="S4.Ex52.m1.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.4.4.6" xref="S4.Ex52.m1.4.4.6.cmml"></mi><mo id="S4.Ex52.m1.4.4.5" xref="S4.Ex52.m1.4.4.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex52.m1.4.4.4" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.4" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.3.2" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.3.1" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.2a" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">r</mi></mrow><mi id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">r</mi></mrow><mi id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.4a" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.cmml"><msup id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.3.1" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.4" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.4.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.4.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.4.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.4.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.2a" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.4.4.4.5" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.5.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.cmml"><msub id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.3" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.3.2" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.3.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.3.3" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.3.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.2" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.2" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.3" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.3.2" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.3.1" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.3.3" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.2a" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.2" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">r</mi></mrow><mi id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3.3.cmml">r</mi></mrow><mi id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.3" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex52.m1.4b"><apply id="S4.Ex52.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4"><eq id="S4.Ex52.m1.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex52.m1.4.4.6.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.6">absent</csymbol><apply id="S4.Ex52.m1.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4"><minus id="S4.Ex52.m1.4.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.5"></minus><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3"><plus id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.4"></plus><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.4.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.4.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2"><times id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.3.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.3"><times id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.4.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1"><plus id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3"><times id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.2"></times><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.3"><times id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.4.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.4.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1"><plus id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2"><times id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.3.3.3.3.3.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4"><times id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.2"></times><apply id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.3.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.3"><times id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.4.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1"><plus id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2"><times id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex52.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex52.m1.4c">\displaystyle=\eta^{kr}b_{r}\left(2T_{ks}^{s}+\beta_{ks}^{s}\right)+b_{s}\eta^% {kr}\left(2T_{kr}^{s}+\beta_{kr}^{s}\right)+\eta^{kr}a_{r}\left(2T_{ks}^{s}+% \beta_{ks}^{s}\right)-a_{s}\eta^{kr}\left(2T_{kr}^{s}+\beta_{kr}^{s}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex52.m1.4d">= italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) - italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex53"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\eta^{kr}\left(2T_{ks}^{s}+\beta_{ks}^{s}\right)\left(a_{r}+b_{r% }\right)+\eta^{kr}\beta_{kr}^{s}\left(b_{s}-a_{s}\right)," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex53.m1.1"><semantics id="S4.Ex53.m1.1a"><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.5.cmml"></mi><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msup id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.3.cmml">r</mi></mrow><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.2a" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex53.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex53.m1.1b"><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.5">absent</csymbol><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.4"></plus><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.3"></times><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.3"><times id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"><plus id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.2"></times><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"><times id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3"><times id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.4.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1"><minus id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex53.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex53.m1.1c">\displaystyle=\eta^{kr}\left(2T_{ks}^{s}+\beta_{ks}^{s}\right)\left(a_{r}+b_{r% }\right)+\eta^{kr}\beta_{kr}^{s}\left(b_{s}-a_{s}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex53.m1.1d">= italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT + italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT - italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.17">namely,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.11)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\eta^{kr}\beta_{kr}^{s}=0." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E11.m1.1"><semantics id="S4.E11.m1.1a"><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">r</mi></mrow><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E11.m1.1b"><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1"><eq id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E11.m1.1c">\eta^{kr}\beta_{kr}^{s}=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E11.m1.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7">Also, any element of the form <math alttext="a_{pq}^{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1a"><msubsup id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.3.cmml">r</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1b"><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.3"><times id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1.1.3">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1c">a_{pq}^{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.7.m1.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with the properties</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex54"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="a_{pq}^{r}+a_{qp}^{r},\qquad a_{pr}^{r}=0" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex54.m1.2"><semantics id="S4.Ex54.m1.2a"><mrow id="S4.Ex54.m1.2.2" xref="S4.Ex54.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">q</mi><mo id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.3" rspace="2.167em" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">r</mi></mrow><mi id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex54.m1.2.2.3" xref="S4.Ex54.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex54.m1.2.2.4" xref="S4.Ex54.m1.2.2.4.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex54.m1.2b"><apply id="S4.Ex54.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2"><eq id="S4.Ex54.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.3"></eq><list id="S4.Ex54.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2"><apply id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑞</ci><ci id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex54.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.3"><times id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex54.m1.2.2.2.2.2.3">𝑟</ci></apply></list><cn id="S4.Ex54.m1.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S4.Ex54.m1.2.2.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex54.m1.2c">a_{pq}^{r}+a_{qp}^{r},\qquad a_{pr}^{r}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex54.m1.2d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_q italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.8">belongs to <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.8.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.1.p1.8.m1.1a"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.8.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.8.m1.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.8.m1.1b"><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.8.m1.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.8.m1.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.8.m1.1d">italic_B</annotation></semantics></math>; as a particular element with these properties, we can use</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex55"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="a_{rs}^{t}=m_{rs}b^{t}+a_{r}\delta_{s}^{t}-a_{s}\delta_{r}^{t}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex55.m1.1"><semantics id="S4.Ex55.m1.1a"><mrow id="S4.Ex55.m1.1.1" xref="S4.Ex55.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex55.m1.1.1.2" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.2.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex55.m1.1.1.1" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex55.m1.1.1.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></msup></mrow><mo id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.cmml"><msub id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml">s</mi><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex55.m1.1.1.3.1" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">r</mi><mi id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex55.m1.1b"><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1"><eq id="S4.Ex55.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex55.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3"><minus id="S4.Ex55.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.1"></minus><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2"><plus id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2"><times id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.2">𝑚</ci><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.3.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.1"></times><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex55.m1.1.1.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex55.m1.1c">a_{rs}^{t}=m_{rs}b^{t}+a_{r}\delta_{s}^{t}-a_{s}\delta_{r}^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex55.m1.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT = italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT - italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.10">with <math alttext="m_{pq}+m_{qp}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">q</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.3.2.cmml">q</mi><mo id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.3.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.3.3.cmml">p</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1b"><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1"><eq id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2"><plus id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.2">𝑚</ci><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.3"><times id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.2">𝑚</ci><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.3"><times id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.3.2">𝑞</ci><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.2.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1c">m_{pq}+m_{qp}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.9.m1.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_q italic_p end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="a_{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1a"><msub id="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1.1.2.cmml">a</mi><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1.1.3.cmml">s</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1b"><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1.1.3">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1c">a_{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.10.m2.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is chosen to ensure this element has zero trace, so that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex56"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="0=m_{rs}b^{s}+\left(n-1\right)a_{r}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex56.m1.1"><semantics id="S4.Ex56.m1.1a"><mrow id="S4.Ex56.m1.1.1.1" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></msup></mrow><mo id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex56.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex56.m1.1b"><apply id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.2"></eq><cn id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.3">0</cn><apply id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑚</ci><apply id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex56.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex56.m1.1c">0=m_{rs}b^{s}+\left(n-1\right)a_{r}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex56.m1.1d">0 = italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + ( italic_n - 1 ) italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.18">Then</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx16"> <tbody id="S4.Ex57"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex57.m1.1"><semantics id="S4.Ex57.m1.1a"><mn id="S4.Ex57.m1.1.1" xref="S4.Ex57.m1.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex57.m1.1b"><cn id="S4.Ex57.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex57.m1.1.1">0</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex57.m1.1c">\displaystyle 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\eta^{kr}\left(m_{rs}b^{t}+a_{r}\delta_{s}^{t}-a_{s}\delta_{r}^{% t}\right)\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^{s}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex57.m2.2"><semantics id="S4.Ex57.m2.2a"><mrow id="S4.Ex57.m2.2.2" xref="S4.Ex57.m2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex57.m2.2.2.4" xref="S4.Ex57.m2.2.2.4.cmml"></mi><mo id="S4.Ex57.m2.2.2.3" xref="S4.Ex57.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex57.m2.2.2.2" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.cmml"><msup id="S4.Ex57.m2.2.2.2.4" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.3.2" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.3.1" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex57.m2.2.2.2.3" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></msup></mrow><mo id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msub id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml">s</mi><mi id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">r</mi><mi id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex57.m2.2.2.2.3a" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex57.m2.2b"><apply id="S4.Ex57.m2.2.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2"><eq id="S4.Ex57.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex57.m2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.4">absent</csymbol><apply id="S4.Ex57.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2"><times id="S4.Ex57.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.3"></times><apply id="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.3"><times id="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.4.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑚</ci><apply id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1"><plus id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2"><times id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex57.m2.2.2.2.2.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex57.m2.2c">\displaystyle=\eta^{kr}\left(m_{rs}b^{t}+a_{r}\delta_{s}^{t}-a_{s}\delta_{r}^{% t}\right)\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^{s}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex57.m2.2d">= italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_b start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT - italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ) ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex58"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\eta^{kr}\left[m_{rs}\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^{s}\right)-% \frac{1}{n-1}m_{rt}\left(2T_{ks}^{s}+\beta_{ks}^{s}\right)+\frac{1}{n-1}m_{st}% \left(2T_{kr}^{s}+\beta_{kr}^{s}\right)\right]b^{t}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex58.m1.1"><semantics id="S4.Ex58.m1.1a"><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3a" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">r</mi></mrow><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.3.cmml">r</mi></mrow><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex58.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex58.m1.1b"><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"></plus><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></minus><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><divide id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"></divide><cn id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">1</cn><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3"><minus id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1"></minus><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2">𝑚</ci><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1"><plus id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></times><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><divide id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"></divide><cn id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">1</cn><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><minus id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></minus><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑚</ci><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><plus id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.4.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex58.m1.1.1.1.1.1.4.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex58.m1.1c">\displaystyle=\eta^{kr}\left[m_{rs}\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^{s}\right)-% \frac{1}{n-1}m_{rt}\left(2T_{ks}^{s}+\beta_{ks}^{s}\right)+\frac{1}{n-1}m_{st}% \left(2T_{kr}^{s}+\beta_{kr}^{s}\right)\right]b^{t},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex58.m1.1d">= italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_n - 1 end_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_n - 1 end_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) ] italic_b start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.11">and it is true for any <math alttext="b^{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1a"><msup id="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1.1.2.cmml">b</mi><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1b"><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1.1.2">𝑏</ci><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1c">b^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.11.m1.1d">italic_b start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, we obtain the identity</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex59"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\eta^{kr}m_{rs}\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^{s}\right)-\frac{1}{n-1}\eta^{kr}m% _{rt}\left(2T_{ks}^{s}+\beta_{ks}^{s}\right)+\frac{1}{n-1}\eta^{kr}m_{st}\left% (2T_{kr}^{s}+\beta_{kr}^{s}\right)=0." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex59.m1.1"><semantics id="S4.Ex59.m1.1a"><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.2a" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.2b" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.2a" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.2b" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">r</mi></mrow><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.3.cmml">r</mi></mrow><mi id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.5.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex59.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex59.m1.1b"><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.4"></plus><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2"><minus id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.3"></minus><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑚</ci><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"><divide id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"></divide><cn id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">1</cn><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3"><minus id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.1"></minus><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.2">𝑚</ci><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.3"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.1"></times><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.5.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><plus id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.2"></times><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3"><divide id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3"></divide><cn id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">1</cn><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"><minus id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1"></minus><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.3"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.2">𝑚</ci><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.3"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.1"></times><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1"><plus id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.5.cmml" type="integer" xref="S4.Ex59.m1.1.1.1.1.5">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex59.m1.1c">\eta^{kr}m_{rs}\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^{s}\right)-\frac{1}{n-1}\eta^{kr}m% _{rt}\left(2T_{ks}^{s}+\beta_{ks}^{s}\right)+\frac{1}{n-1}\eta^{kr}m_{st}\left% (2T_{kr}^{s}+\beta_{kr}^{s}\right)=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex59.m1.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_n - 1 end_ARG italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_n - 1 end_ARG italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.19">Using Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.E11" title="Equation 4.11 ‣ Proof. ‣ 4.3.3. The primary constraint submanifold ‣ 4.3. The quotient bundle and its primary constraint submanifold ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.11</span></a>) we can get rid of the last term, obtaining</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex60"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="m_{rs}\left[\eta^{kr}\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^{s}\right)-\frac{1}{n-1}\eta% ^{kr}\delta^{s}_{t}\left(2T_{kp}^{p}+\beta_{kp}^{p}\right)\right]=0." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex60.m1.1"><semantics id="S4.Ex60.m1.1a"><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">t</mi><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2b" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex60.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex60.m1.1b"><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><divide id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></divide><cn id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">1</cn><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><minus id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></minus><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3"><times id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><plus id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex60.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex60.m1.1c">m_{rs}\left[\eta^{kr}\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^{s}\right)-\frac{1}{n-1}\eta% ^{kr}\delta^{s}_{t}\left(2T_{kp}^{p}+\beta_{kp}^{p}\right)\right]=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex60.m1.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT [ italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_n - 1 end_ARG italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.12">Because <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.12.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.1.p1.12.m1.1a"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.12.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.12.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.12.m1.1b"><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.12.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.12.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.12.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.12.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math> is an arbitrary antisymmetric matrix, it implies that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.12)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\eta^{kr}\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^{s}\right)+\eta^{ks}\left(2T_{kt}^{r}+% \beta_{kt}^{r}\right)-\frac{1}{n-1}\left(\eta^{kr}\delta^{s}_{t}+\eta^{ks}% \delta^{r}_{t}\right)\left(2T_{kp}^{p}+\beta_{kp}^{p}\right)=0;" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E12.m1.55"><semantics id="S4.E12.m1.55a"><mtable displaystyle="true" id="S4.E12.m1.55.55.2"><mtr id="S4.E12.m1.55.55.2a"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E12.m1.55.55.2b"><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54"><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1"><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.4"><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.2.2"><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1"><msup id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.3"><mi id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">η</mi><mrow id="S4.E12.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E12.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E12.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E12.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1"><mn id="S4.E12.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S4.E12.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">2</mn><mo id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E12.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S4.E12.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">T</mi><mrow id="S4.E12.m1.6.6.6.6.6.6.1" xref="S4.E12.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml"><mi id="S4.E12.m1.6.6.6.6.6.6.1.2" xref="S4.E12.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E12.m1.6.6.6.6.6.6.1.1" xref="S4.E12.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E12.m1.6.6.6.6.6.6.1.3" xref="S4.E12.m1.6.6.6.6.6.6.1.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.E12.m1.7.7.7.7.7.7.1" xref="S4.E12.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E12.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S4.E12.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">+</mo><msubsup id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E12.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S4.E12.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">β</mi><mrow id="S4.E12.m1.10.10.10.10.10.10.1" xref="S4.E12.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml"><mi id="S4.E12.m1.10.10.10.10.10.10.1.2" xref="S4.E12.m1.10.10.10.10.10.10.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E12.m1.10.10.10.10.10.10.1.1" xref="S4.E12.m1.10.10.10.10.10.10.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E12.m1.10.10.10.10.10.10.1.3" xref="S4.E12.m1.10.10.10.10.10.10.1.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.E12.m1.11.11.11.11.11.11.1" xref="S4.E12.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E12.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E12.m1.13.13.13.13.13.13" xref="S4.E12.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">+</mo><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.2.2.2"><msup id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.2.2.2.3"><mi id="S4.E12.m1.14.14.14.14.14.14" xref="S4.E12.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">η</mi><mrow id="S4.E12.m1.15.15.15.15.15.15.1" xref="S4.E12.m1.15.15.15.15.15.15.1.cmml"><mi id="S4.E12.m1.15.15.15.15.15.15.1.2" xref="S4.E12.m1.15.15.15.15.15.15.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E12.m1.15.15.15.15.15.15.1.1" xref="S4.E12.m1.15.15.15.15.15.15.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E12.m1.15.15.15.15.15.15.1.3" xref="S4.E12.m1.15.15.15.15.15.15.1.3.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.2.2.2.2" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.2.2.2.1.1"><mo id="S4.E12.m1.16.16.16.16.16.16" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.2.2.2.1.1.1"><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.2.2.2.1.1.1.1"><mn id="S4.E12.m1.17.17.17.17.17.17" xref="S4.E12.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">2</mn><mo id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.2.2.2.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E12.m1.18.18.18.18.18.18" xref="S4.E12.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">T</mi><mrow id="S4.E12.m1.19.19.19.19.19.19.1" xref="S4.E12.m1.19.19.19.19.19.19.1.cmml"><mi id="S4.E12.m1.19.19.19.19.19.19.1.2" xref="S4.E12.m1.19.19.19.19.19.19.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E12.m1.19.19.19.19.19.19.1.1" xref="S4.E12.m1.19.19.19.19.19.19.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E12.m1.19.19.19.19.19.19.1.3" xref="S4.E12.m1.19.19.19.19.19.19.1.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.E12.m1.20.20.20.20.20.20.1" xref="S4.E12.m1.20.20.20.20.20.20.1.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E12.m1.21.21.21.21.21.21" xref="S4.E12.m1.21.21.21.21.21.21.cmml">+</mo><msubsup id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.2.2.2.1.1.1.2"><mi id="S4.E12.m1.22.22.22.22.22.22" xref="S4.E12.m1.22.22.22.22.22.22.cmml">β</mi><mrow id="S4.E12.m1.23.23.23.23.23.23.1" xref="S4.E12.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml"><mi id="S4.E12.m1.23.23.23.23.23.23.1.2" xref="S4.E12.m1.23.23.23.23.23.23.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E12.m1.23.23.23.23.23.23.1.1" xref="S4.E12.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E12.m1.23.23.23.23.23.23.1.3" xref="S4.E12.m1.23.23.23.23.23.23.1.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.E12.m1.24.24.24.24.24.24.1" xref="S4.E12.m1.24.24.24.24.24.24.1.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E12.m1.25.25.25.25.25.25" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E12.m1.26.26.26.26.26.26" xref="S4.E12.m1.26.26.26.26.26.26.cmml">−</mo><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.4.4"><mfrac id="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27" xref="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.cmml"><mn id="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.2" xref="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.3" xref="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.3.cmml"><mi id="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.3.2" xref="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.3.1" xref="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.3.3" xref="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.4.4.3" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.3.3.1.1"><mo id="S4.E12.m1.28.28.28.28.28.28" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.3.3.1.1.1"><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.3.3.1.1.1.1"><msup id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.3.3.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E12.m1.29.29.29.29.29.29" xref="S4.E12.m1.29.29.29.29.29.29.cmml">η</mi><mrow id="S4.E12.m1.30.30.30.30.30.30.1" xref="S4.E12.m1.30.30.30.30.30.30.1.cmml"><mi id="S4.E12.m1.30.30.30.30.30.30.1.2" xref="S4.E12.m1.30.30.30.30.30.30.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E12.m1.30.30.30.30.30.30.1.1" xref="S4.E12.m1.30.30.30.30.30.30.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E12.m1.30.30.30.30.30.30.1.3" xref="S4.E12.m1.30.30.30.30.30.30.1.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.3.3.1.1.1.1.3"><mi id="S4.E12.m1.31.31.31.31.31.31" xref="S4.E12.m1.31.31.31.31.31.31.cmml">δ</mi><mi id="S4.E12.m1.33.33.33.33.33.33.1" xref="S4.E12.m1.33.33.33.33.33.33.1.cmml">t</mi><mi id="S4.E12.m1.32.32.32.32.32.32.1" xref="S4.E12.m1.32.32.32.32.32.32.1.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E12.m1.34.34.34.34.34.34" xref="S4.E12.m1.34.34.34.34.34.34.cmml">+</mo><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.3.3.1.1.1.2"><msup id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.3.3.1.1.1.2.2"><mi id="S4.E12.m1.35.35.35.35.35.35" xref="S4.E12.m1.35.35.35.35.35.35.cmml">η</mi><mrow id="S4.E12.m1.36.36.36.36.36.36.1" xref="S4.E12.m1.36.36.36.36.36.36.1.cmml"><mi id="S4.E12.m1.36.36.36.36.36.36.1.2" xref="S4.E12.m1.36.36.36.36.36.36.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E12.m1.36.36.36.36.36.36.1.1" xref="S4.E12.m1.36.36.36.36.36.36.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E12.m1.36.36.36.36.36.36.1.3" xref="S4.E12.m1.36.36.36.36.36.36.1.3.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.3.3.1.1.1.2.1" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.3.3.1.1.1.2.3"><mi id="S4.E12.m1.37.37.37.37.37.37" xref="S4.E12.m1.37.37.37.37.37.37.cmml">δ</mi><mi id="S4.E12.m1.39.39.39.39.39.39.1" xref="S4.E12.m1.39.39.39.39.39.39.1.cmml">t</mi><mi id="S4.E12.m1.38.38.38.38.38.38.1" xref="S4.E12.m1.38.38.38.38.38.38.1.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E12.m1.40.40.40.40.40.40" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.4.4.3a" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.4.4.2.1"><mo id="S4.E12.m1.41.41.41.41.41.41" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.4.4.2.1.1"><mrow id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.4.4.2.1.1.1"><mn id="S4.E12.m1.42.42.42.42.42.42" xref="S4.E12.m1.42.42.42.42.42.42.cmml">2</mn><mo id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.4.4.2.1.1.1.2"><mi id="S4.E12.m1.43.43.43.43.43.43" xref="S4.E12.m1.43.43.43.43.43.43.cmml">T</mi><mrow id="S4.E12.m1.44.44.44.44.44.44.1" xref="S4.E12.m1.44.44.44.44.44.44.1.cmml"><mi id="S4.E12.m1.44.44.44.44.44.44.1.2" xref="S4.E12.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E12.m1.44.44.44.44.44.44.1.1" xref="S4.E12.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E12.m1.44.44.44.44.44.44.1.3" xref="S4.E12.m1.44.44.44.44.44.44.1.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.E12.m1.45.45.45.45.45.45.1" xref="S4.E12.m1.45.45.45.45.45.45.1.cmml">p</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E12.m1.46.46.46.46.46.46" xref="S4.E12.m1.46.46.46.46.46.46.cmml">+</mo><msubsup id="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.4.4.2.1.1.2"><mi id="S4.E12.m1.47.47.47.47.47.47" xref="S4.E12.m1.47.47.47.47.47.47.cmml">β</mi><mrow id="S4.E12.m1.48.48.48.48.48.48.1" xref="S4.E12.m1.48.48.48.48.48.48.1.cmml"><mi id="S4.E12.m1.48.48.48.48.48.48.1.2" xref="S4.E12.m1.48.48.48.48.48.48.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E12.m1.48.48.48.48.48.48.1.1" xref="S4.E12.m1.48.48.48.48.48.48.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E12.m1.48.48.48.48.48.48.1.3" xref="S4.E12.m1.48.48.48.48.48.48.1.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.E12.m1.49.49.49.49.49.49.1" xref="S4.E12.m1.49.49.49.49.49.49.1.cmml">p</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E12.m1.50.50.50.50.50.50" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E12.m1.51.51.51.51.51.51" xref="S4.E12.m1.51.51.51.51.51.51.cmml">=</mo><mn id="S4.E12.m1.52.52.52.52.52.52" xref="S4.E12.m1.52.52.52.52.52.52.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.E12.m1.53.53.53.53.53.53" xref="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml">;</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E12.m1.55b"><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><eq id="S4.E12.m1.51.51.51.51.51.51.cmml" xref="S4.E12.m1.51.51.51.51.51.51"></eq><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><minus id="S4.E12.m1.26.26.26.26.26.26.cmml" xref="S4.E12.m1.26.26.26.26.26.26"></minus><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><plus id="S4.E12.m1.13.13.13.13.13.13.cmml" xref="S4.E12.m1.13.13.13.13.13.13"></plus><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><times id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1">𝜂</ci><apply id="S4.E12.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.2.2.1"><times id="S4.E12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="S4.E12.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.2.2.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.E12.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.2.2.1.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><plus id="S4.E12.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" xref="S4.E12.m1.8.8.8.8.8.8"></plus><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><times id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"></times><cn id="S4.E12.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" type="integer" xref="S4.E12.m1.4.4.4.4.4.4">2</cn><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="S4.E12.m1.5.5.5.5.5.5">𝑇</ci><apply id="S4.E12.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml" xref="S4.E12.m1.6.6.6.6.6.6.1"><times id="S4.E12.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.6.6.6.6.6.6.1.1"></times><ci id="S4.E12.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.6.6.6.6.6.6.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.E12.m1.6.6.6.6.6.6.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.6.6.6.6.6.6.1.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.E12.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml" xref="S4.E12.m1.7.7.7.7.7.7.1">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="S4.E12.m1.9.9.9.9.9.9">𝛽</ci><apply id="S4.E12.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml" xref="S4.E12.m1.10.10.10.10.10.10.1"><times id="S4.E12.m1.10.10.10.10.10.10.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.10.10.10.10.10.10.1.1"></times><ci id="S4.E12.m1.10.10.10.10.10.10.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.10.10.10.10.10.10.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.E12.m1.10.10.10.10.10.10.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.10.10.10.10.10.10.1.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.E12.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml" xref="S4.E12.m1.11.11.11.11.11.11.1">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><times id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.14.14.14.14.14.14.cmml" xref="S4.E12.m1.14.14.14.14.14.14">𝜂</ci><apply id="S4.E12.m1.15.15.15.15.15.15.1.cmml" xref="S4.E12.m1.15.15.15.15.15.15.1"><times id="S4.E12.m1.15.15.15.15.15.15.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.15.15.15.15.15.15.1.1"></times><ci id="S4.E12.m1.15.15.15.15.15.15.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.15.15.15.15.15.15.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.E12.m1.15.15.15.15.15.15.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.15.15.15.15.15.15.1.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><plus id="S4.E12.m1.21.21.21.21.21.21.cmml" xref="S4.E12.m1.21.21.21.21.21.21"></plus><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><times id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"></times><cn id="S4.E12.m1.17.17.17.17.17.17.cmml" type="integer" xref="S4.E12.m1.17.17.17.17.17.17">2</cn><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.18.18.18.18.18.18.cmml" xref="S4.E12.m1.18.18.18.18.18.18">𝑇</ci><apply id="S4.E12.m1.19.19.19.19.19.19.1.cmml" xref="S4.E12.m1.19.19.19.19.19.19.1"><times id="S4.E12.m1.19.19.19.19.19.19.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.19.19.19.19.19.19.1.1"></times><ci id="S4.E12.m1.19.19.19.19.19.19.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.19.19.19.19.19.19.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.E12.m1.19.19.19.19.19.19.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.19.19.19.19.19.19.1.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.E12.m1.20.20.20.20.20.20.1.cmml" xref="S4.E12.m1.20.20.20.20.20.20.1">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.22.22.22.22.22.22.cmml" xref="S4.E12.m1.22.22.22.22.22.22">𝛽</ci><apply id="S4.E12.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml" xref="S4.E12.m1.23.23.23.23.23.23.1"><times id="S4.E12.m1.23.23.23.23.23.23.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.23.23.23.23.23.23.1.1"></times><ci id="S4.E12.m1.23.23.23.23.23.23.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.23.23.23.23.23.23.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.E12.m1.23.23.23.23.23.23.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.23.23.23.23.23.23.1.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.E12.m1.24.24.24.24.24.24.1.cmml" xref="S4.E12.m1.24.24.24.24.24.24.1">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.4.4.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><times id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.4.4.3.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.cmml" xref="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27"><divide id="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.1.cmml" xref="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27"></divide><cn id="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.2.cmml" type="integer" xref="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.2">1</cn><apply id="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.3.cmml" xref="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.3"><minus id="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.3.1"></minus><ci id="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E12.m1.27.27.27.27.27.27.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><plus id="S4.E12.m1.34.34.34.34.34.34.cmml" xref="S4.E12.m1.34.34.34.34.34.34"></plus><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><times id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.29.29.29.29.29.29.cmml" xref="S4.E12.m1.29.29.29.29.29.29">𝜂</ci><apply id="S4.E12.m1.30.30.30.30.30.30.1.cmml" xref="S4.E12.m1.30.30.30.30.30.30.1"><times id="S4.E12.m1.30.30.30.30.30.30.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.30.30.30.30.30.30.1.1"></times><ci id="S4.E12.m1.30.30.30.30.30.30.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.30.30.30.30.30.30.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.E12.m1.30.30.30.30.30.30.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.30.30.30.30.30.30.1.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.31.31.31.31.31.31.cmml" xref="S4.E12.m1.31.31.31.31.31.31">𝛿</ci><ci id="S4.E12.m1.32.32.32.32.32.32.1.cmml" xref="S4.E12.m1.32.32.32.32.32.32.1">𝑠</ci></apply><ci id="S4.E12.m1.33.33.33.33.33.33.1.cmml" xref="S4.E12.m1.33.33.33.33.33.33.1">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><times id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.35.35.35.35.35.35.cmml" xref="S4.E12.m1.35.35.35.35.35.35">𝜂</ci><apply id="S4.E12.m1.36.36.36.36.36.36.1.cmml" xref="S4.E12.m1.36.36.36.36.36.36.1"><times id="S4.E12.m1.36.36.36.36.36.36.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.36.36.36.36.36.36.1.1"></times><ci id="S4.E12.m1.36.36.36.36.36.36.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.36.36.36.36.36.36.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.E12.m1.36.36.36.36.36.36.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.36.36.36.36.36.36.1.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.3.3.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.37.37.37.37.37.37.cmml" xref="S4.E12.m1.37.37.37.37.37.37">𝛿</ci><ci id="S4.E12.m1.38.38.38.38.38.38.1.cmml" xref="S4.E12.m1.38.38.38.38.38.38.1">𝑟</ci></apply><ci id="S4.E12.m1.39.39.39.39.39.39.1.cmml" xref="S4.E12.m1.39.39.39.39.39.39.1">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.4.4.2.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><plus id="S4.E12.m1.46.46.46.46.46.46.cmml" xref="S4.E12.m1.46.46.46.46.46.46"></plus><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><times id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.4.4.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"></times><cn id="S4.E12.m1.42.42.42.42.42.42.cmml" type="integer" xref="S4.E12.m1.42.42.42.42.42.42">2</cn><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.4.4.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.4.4.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.4.4.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.4.4.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.43.43.43.43.43.43.cmml" xref="S4.E12.m1.43.43.43.43.43.43">𝑇</ci><apply id="S4.E12.m1.44.44.44.44.44.44.1.cmml" xref="S4.E12.m1.44.44.44.44.44.44.1"><times id="S4.E12.m1.44.44.44.44.44.44.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.44.44.44.44.44.44.1.1"></times><ci id="S4.E12.m1.44.44.44.44.44.44.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.44.44.44.44.44.44.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.E12.m1.44.44.44.44.44.44.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.44.44.44.44.44.44.1.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.E12.m1.45.45.45.45.45.45.1.cmml" xref="S4.E12.m1.45.45.45.45.45.45.1">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.4.4.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.4.4.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.4.4.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.54.54.1.1.1.4.4.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.55.55.2.54.54.54.54.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.47.47.47.47.47.47.cmml" xref="S4.E12.m1.47.47.47.47.47.47">𝛽</ci><apply id="S4.E12.m1.48.48.48.48.48.48.1.cmml" xref="S4.E12.m1.48.48.48.48.48.48.1"><times id="S4.E12.m1.48.48.48.48.48.48.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.48.48.48.48.48.48.1.1"></times><ci id="S4.E12.m1.48.48.48.48.48.48.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.48.48.48.48.48.48.1.2">𝑘</ci><ci id="S4.E12.m1.48.48.48.48.48.48.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.48.48.48.48.48.48.1.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.E12.m1.49.49.49.49.49.49.1.cmml" xref="S4.E12.m1.49.49.49.49.49.49.1">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S4.E12.m1.52.52.52.52.52.52.cmml" type="integer" xref="S4.E12.m1.52.52.52.52.52.52">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E12.m1.55c">\eta^{kr}\left(2T_{kt}^{s}+\beta_{kt}^{s}\right)+\eta^{ks}\left(2T_{kt}^{r}+% \beta_{kt}^{r}\right)-\frac{1}{n-1}\left(\eta^{kr}\delta^{s}_{t}+\eta^{ks}% \delta^{r}_{t}\right)\left(2T_{kp}^{p}+\beta_{kp}^{p}\right)=0;</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E12.m1.55d">start_ROW start_CELL italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_n - 1 end_ARG ( italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT + italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ) ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ) = 0 ; end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.13">Making <math alttext="r=t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1b"><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1.1"><eq id="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1.1.2">𝑟</ci><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1c">r=t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.13.m1.1d">italic_r = italic_t</annotation></semantics></math> and summing over this index we obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex61"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\eta^{ks}\left(2T_{kt}^{t}+\beta_{kt}^{t}\right)-\frac{1}{n-1}\eta^{ks}\left(n% +1\right)\left(2T_{kp}^{p}+\beta_{kp}^{p}\right)=0," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex61.m1.1"><semantics id="S4.Ex61.m1.1a"><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mn id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.3.cmml">s</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.3a" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.3b" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.3" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.5.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex61.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex61.m1.1b"><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.4"></minus><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.3"></times><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4"><divide id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4"></divide><cn id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.2">1</cn><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.3"><minus id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1"></minus><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.3"><times id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.1"></times><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><plus id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"></plus><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1"><plus id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2"><times id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.5.cmml" type="integer" xref="S4.Ex61.m1.1.1.1.1.5">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex61.m1.1c">\eta^{ks}\left(2T_{kt}^{t}+\beta_{kt}^{t}\right)-\frac{1}{n-1}\eta^{ks}\left(n% +1\right)\left(2T_{kp}^{p}+\beta_{kp}^{p}\right)=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex61.m1.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_n - 1 end_ARG italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n + 1 ) ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ) = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.20">that is,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex62"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="2T_{kt}^{t}+\beta_{kt}^{t}=0." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex62.m1.1"><semantics id="S4.Ex62.m1.1a"><mrow id="S4.Ex62.m1.1.1.1" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex62.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex62.m1.1b"><apply id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2"><plus id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.1"></times><cn id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3"><times id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex62.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex62.m1.1c">2T_{kt}^{t}+\beta_{kt}^{t}=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex62.m1.1d">2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14">Also, multiplying each side of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.E12" title="Equation 4.12 ‣ Proof. ‣ 4.3.3. The primary constraint submanifold ‣ 4.3. The quotient bundle and its primary constraint submanifold ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.12</span></a>) by <math alttext="\eta_{rs}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1a"><msub id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.3.3.cmml">s</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1b"><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.2">𝜂</ci><apply id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.3"><times id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1c">\eta_{rs}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.14.m1.1d">italic_η start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and summing up every term, we obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex63"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="2\left(2T_{st}^{s}+\beta_{st}^{s}\right)-\frac{2}{n-1}\left(2T_{tp}^{p}+\beta_% {tp}^{p}\right)=0." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex63.m1.1"><semantics id="S4.Ex63.m1.1a"><mrow id="S4.Ex63.m1.1.1.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">2</mn><mrow id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml">p</mi></mrow><mi id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.4.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex63.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex63.m1.1b"><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.3"></minus><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3"><divide id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3"></divide><cn id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">2</cn><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><minus id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1"></minus><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><plus id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S4.Ex63.m1.1.1.1.1.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex63.m1.1c">2\left(2T_{st}^{s}+\beta_{st}^{s}\right)-\frac{2}{n-1}\left(2T_{tp}^{p}+\beta_% {tp}^{p}\right)=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex63.m1.1d">2 ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_s italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) - divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_n - 1 end_ARG ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ) = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.1.p1.21">Therefore,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex64"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="T_{kt}^{t}=0=\beta_{kt}^{t}.\qed" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex64.m1.1"><semantics id="S4.Ex64.m1.1a"><mrow id="S4.Ex64.m1.1.1.1" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.4.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><msubsup id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.3.2" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.3.1" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.3.3" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex64.m1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0.0835em" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo><mo class="ltx_mathvariant_italic" id="S4.Ex64.m1.1.1.1.3" lspace="0.0835em" mathvariant="italic" separator="true" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.cmml">∎</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex64.m1.1b"><apply id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1"><and id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1"></and><apply id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.4">0</cn></apply><apply id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.Ex64.m1.1.1.1.1.4.cmml" id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.3"><times id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S4.Ex64.m1.1.1.1.1.6.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex64.m1.1c">T_{kt}^{t}=0=\beta_{kt}^{t}.\qed</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex64.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT = 0 = italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT . italic_∎</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_cor" id="Thmcor2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmcor2.1.1.1">Corollary 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmcor2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmcor2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmcor2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmcor2.p1.1.1">When restricted to the primary constraint submanifold, the components of the torsion tensor are elements in <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmcor2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmcor2.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmcor2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmcor2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmcor2.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmcor2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmcor2.p1.1.1.m1.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmcor2.p1.1.1.m1.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmcor2.p1.1.1.m1.1d">italic_B</annotation></semantics></math>. Also, on this submanifold,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex65"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="M_{\mu\nu}^{\sigma}=\frac{1}{2}\left(\Gamma_{\mu\nu}^{\sigma}+\Gamma_{\nu\mu}^% {\sigma}\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex65.m1.1"><semantics id="S4.Ex65.m1.1a"><mrow id="S4.Ex65.m1.1.1.1" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ν</mi><mo id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">μ</mi></mrow><mi id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">σ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex65.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex65.m1.1b"><apply id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑀</ci><apply id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.3.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">Γ</ci><apply id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">Γ</ci><apply id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝜈</ci><ci id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜇</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex65.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex65.m1.1c">M_{\mu\nu}^{\sigma}=\frac{1}{2}\left(\Gamma_{\mu\nu}^{\sigma}+\Gamma_{\nu\mu}^% {\sigma}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex65.m1.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT + roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν italic_μ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.SS3.SSS3.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.SSS3.2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS3.2.p1.1">They are antisymmetric, and by the previous result, also traceless. ∎</p> </div> </div> </section> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.4. </span>Hamiltonian form and Hamilton equations for gravity with basis</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.p1.1">We have constructed a projection compatible with the Lagrangian form <math alttext="\lambda_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS4.p1.1.m1.1a"><msub id="S4.SS4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS4.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS4.p1.1.m1.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.p1.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S4.SS4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.p1.1.m1.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.p1.1.m1.1c">\lambda_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.p1.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>; according to the scheme developed previously, it will be possible to find a Hamiltonian form and so a set of Hamilton equations for GR with basis.</p> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S4.SS4.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">4.4.1. </span>The Hamiltonian form</h4> <div class="ltx_para" id="S4.SS4.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS1.p1.7">In order to proceed, let us introduce some notation; we will indicate with <math alttext="L\subset GL\left(n\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⊂</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml">G</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.1" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.3" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.3.cmml">L</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.1a" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.4.2" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.4.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.4.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2"><subset id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.1"></subset><ci id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.2">𝐿</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3"><times id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.2">𝐺</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.2.3.3">𝐿</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1c">L\subset GL\left(n\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p1.1.m1.1d">italic_L ⊂ italic_G italic_L ( italic_n )</annotation></semantics></math> the Lorentz group defined by <math alttext="\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml">η</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.2.m2.1.1">𝜂</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p1.2.m2.1c">\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p1.2.m2.1d">italic_η</annotation></semantics></math>. Then the <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p1.3.m3.1a"><mi id="S4.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p1.3.m3.1b"><ci id="S4.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.3.m3.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p1.3.m3.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p1.3.m3.1d">italic_L</annotation></semantics></math>-invariance of the Lagrangian <math alttext="\lambda_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1a"><msub id="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">λ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1c">\lambda_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p1.4.m4.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> allows us to prove the following result. Also, as always, let <math alttext="d^{n}x" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1a"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.cmml"><msup id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml">d</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.3" xref="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1b"><apply id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.2">𝑑</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1.1.3">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1c">d^{n}x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p1.5.m5.1d">italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x</annotation></semantics></math> be the canonical volume on <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p1.6.m6.1a"><mi id="S4.SS4.SSS1.p1.6.m6.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p1.6.m6.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p1.6.m6.1b"><ci id="S4.SS4.SSS1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.6.m6.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p1.6.m6.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p1.6.m6.1d">italic_M</annotation></semantics></math> associated with the coordinates <math alttext="\left(x^{\mu}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1a"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1b"><apply id="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1.1.1.1.3">𝜇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1c">\left(x^{\mu}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p1.7.m7.1d">( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and define</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex66"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="dx_{\mu_{1}\cdots\mu_{k}}:=\frac{\partial}{\partial x^{\mu_{1}}}\lrcorner\frac% {\partial}{\partial x^{\mu_{2}}}\lrcorner\cdots\frac{\partial}{\partial x^{\mu% _{k}}}\lrcorner d^{n}x." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex66.m1.1"><semantics id="S4.Ex66.m1.1a"><mrow id="S4.Ex66.m1.1.1.1" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><msub id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">μ</mi><mn id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">⋯</mi><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.1a" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.4" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.2.cmml">μ</mi><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.3" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">x</mi><msub id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">μ</mi><mn id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub></msup></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">⌟</mi><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.2.cmml">x</mi><msub id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3.2.cmml">μ</mi><mn id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3.3" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3.3.cmml">2</mn></msub></msup></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1b" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.5" mathvariant="normal" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.5.cmml">⌟</mi><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1c" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.6" mathvariant="normal" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.6.cmml">⋯</mi><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1d" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.cmml"><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.cmml"><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.2.cmml">x</mi><msub id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.3" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.3.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.3.2.cmml">μ</mi><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.3.3" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.3.3.cmml">k</mi></msub></msup></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1e" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.8" mathvariant="normal" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.8.cmml">⌟</mi><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1f" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.9" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.9.cmml"><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.9.2" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.9.2.cmml">d</mi><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.9.3" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.9.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1g" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.10" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.10.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex66.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex66.m1.1b"><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">𝜇</ci><cn id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.3">⋯</ci><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.2.3.3.4.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2"></divide><partialdiff id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.2"></partialdiff><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3"><partialdiff id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑥</ci><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.2">𝜇</ci><cn id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.3">⌟</ci><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4"><divide id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4"></divide><partialdiff id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.2"></partialdiff><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3"><partialdiff id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.2">𝑥</ci><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3.2">𝜇</ci><cn id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.4.3.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.5">⌟</ci><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.6.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.6">⋯</ci><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7"><divide id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7"></divide><partialdiff id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.2"></partialdiff><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3"><partialdiff id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.2">𝑥</ci><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.7.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.8.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.8">⌟</ci><apply id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.9.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.9.1.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.9">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.9.2.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.9.2">𝑑</ci><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.9.3.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.9.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.10.cmml" xref="S4.Ex66.m1.1.1.1.1.3.10">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex66.m1.1c">dx_{\mu_{1}\cdots\mu_{k}}:=\frac{\partial}{\partial x^{\mu_{1}}}\lrcorner\frac% {\partial}{\partial x^{\mu_{2}}}\lrcorner\cdots\frac{\partial}{\partial x^{\mu% _{k}}}\lrcorner d^{n}x.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex66.m1.1d">italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ⋯ italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT := divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⌟ divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⌟ ⋯ divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⌟ italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_prop" id="Thmprop8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop8.1.1.1">Proposition 8</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop8.2.2"> </span>(<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">capriotti14:_differ_palat</span>]</cite>)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop8.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmprop8.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmprop8.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmprop8.p1.5.5">Let <math alttext="\left(x^{\mu},e_{k}^{\nu},e^{\sigma}_{j\mu}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3"><semantics id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml"><mo id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.4" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">(</mo><msup id="Thmprop8.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmprop8.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="Thmprop8.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi></msup><mo id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.5" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.6" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.2" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.2.cmml">e</mi><mrow id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.2" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.1" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.3" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">μ</mi></mrow><mi id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.7" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3b"><vector id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3"><apply id="Thmprop8.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop8.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmprop8.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="Thmprop8.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3">𝜇</ci></apply><apply id="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.2">𝑒</ci><ci id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3"><times id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.1"></times><ci id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.2">𝑗</ci><ci id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="Thmprop8.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.3">𝜇</ci></apply></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3c">\left(x^{\mu},e_{k}^{\nu},e^{\sigma}_{j\mu}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop8.p1.1.1.m1.3d">( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT , italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_μ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> be the set of jet coordinates introduced above on <math alttext="J^{1}\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><msup id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.2.3" xref="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1"><times id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.1"></times><apply id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmprop8.p1.2.2.m2.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1c">J^{1}\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop8.p1.2.2.m2.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ</annotation></semantics></math>. Then we can introduce a set of <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop8.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmprop8.p1.3.3.m3.1a"><mi id="Thmprop8.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmprop8.p1.3.3.m3.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop8.p1.3.3.m3.1b"><ci id="Thmprop8.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.3.3.m3.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop8.p1.3.3.m3.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop8.p1.3.3.m3.1d">italic_L</annotation></semantics></math>-invariant functions <math alttext="g^{\mu\nu}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1a"><msup id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">g</mi><mrow id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.3.2" xref="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mo id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.3.1" xref="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.3.3" xref="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.2">𝑔</ci><apply id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.3"><times id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.3.1"></times><ci id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="Thmprop8.p1.4.4.m4.1.1.3.3">𝜈</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1c">g^{\mu\nu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop8.p1.4.4.m4.1d">italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> on <math alttext="J^{1}\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><msup id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.2.2" xref="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.2.3" xref="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1"><times id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.1"></times><apply id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmprop8.p1.5.5.m5.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1c">J^{1}\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop8.p1.5.5.m5.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ</annotation></semantics></math> through</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex67"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="{g}^{\mu\nu}:=\eta^{kl}e_{k}^{\mu}e_{l}^{\nu}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex67.m1.1"><semantics id="S4.Ex67.m1.1a"><mrow id="S4.Ex67.m1.1.1.1" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">l</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">μ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">l</mi><mi id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">ν</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex67.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex67.m1.1b"><apply id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝜇</ci></apply><apply id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex67.m1.1.1.1.1.3.4.3">𝜈</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex67.m1.1c">{g}^{\mu\nu}:=\eta^{kl}e_{k}^{\mu}e_{l}^{\nu}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex67.m1.1d">italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT := italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmprop8.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmprop8.p1.6.1">In terms of these functions the Lagrangian can be written as</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.13)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="{\lambda_{{\mathcal{L}}}}=\sqrt{-\det{{g}}}{g}^{\kappa\phi}\left(d\Gamma^{% \gamma}_{\rho\phi}\wedge dx^{\rho}+\Gamma^{\sigma}_{\delta\phi}\Gamma^{\gamma}% _{\beta\sigma}dx^{\beta}\wedge dx^{\delta}\right)\wedge dx_{\gamma\kappa}+\\ +\beta_{\mu\nu}^{\rho}\left(d{g}^{\mu\nu}+\left({g}^{\mu\sigma}{\Gamma}^{\nu}_% {\gamma\sigma}+{g}^{\nu\sigma}{\Gamma}^{\mu}_{\gamma\sigma}\right)dx^{\gamma}% \right)\wedge dx_{\rho}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E13.m1.68"><semantics id="S4.E13.m1.68a"><mtable displaystyle="true" id="S4.E13.m1.68.68.4" rowspacing="0pt" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mtr id="S4.E13.m1.68.68.4a" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E13.m1.68.68.4b" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mrow id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><msub id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.36" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">λ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E13.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S4.E13.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.E13.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mrow id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><msqrt id="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.cmml"><mrow id="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2" xref="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml"><mo id="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2a" xref="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2" xref="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml"><mo id="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2" xref="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.3" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S4.E13.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">g</mi><mrow id="S4.E13.m1.6.6.6.6.6.6.1" xref="S4.E13.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml"><mi id="S4.E13.m1.6.6.6.6.6.6.1.2" xref="S4.E13.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.E13.m1.6.6.6.6.6.6.1.1" xref="S4.E13.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E13.m1.6.6.6.6.6.6.1.3" xref="S4.E13.m1.6.6.6.6.6.6.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow></msup><mo id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.2a" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mo id="S4.E13.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mrow id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mrow id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mrow id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S4.E13.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">d</mi><mo id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.9.9.9.9.9.9" mathvariant="normal" xref="S4.E13.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1" xref="S4.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml"><mi id="S4.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.2" xref="S4.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.1" xref="S4.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.3" xref="S4.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.E13.m1.10.10.10.10.10.10.1" xref="S4.E13.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E13.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S4.E13.m1.12.12.12.12.12.12.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.13.13.13.13.13.13" xref="S4.E13.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">d</mi><mo id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.14.14.14.14.14.14" xref="S4.E13.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">x</mi><mi id="S4.E13.m1.15.15.15.15.15.15.1" xref="S4.E13.m1.15.15.15.15.15.15.1.cmml">ρ</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E13.m1.16.16.16.16.16.16" xref="S4.E13.m1.16.16.16.16.16.16.cmml">+</mo><mrow id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><msubsup id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.17.17.17.17.17.17" mathvariant="normal" xref="S4.E13.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.E13.m1.19.19.19.19.19.19.1" xref="S4.E13.m1.19.19.19.19.19.19.1.cmml"><mi id="S4.E13.m1.19.19.19.19.19.19.1.2" xref="S4.E13.m1.19.19.19.19.19.19.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S4.E13.m1.19.19.19.19.19.19.1.1" xref="S4.E13.m1.19.19.19.19.19.19.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E13.m1.19.19.19.19.19.19.1.3" xref="S4.E13.m1.19.19.19.19.19.19.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.E13.m1.18.18.18.18.18.18.1" xref="S4.E13.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.20.20.20.20.20.20" mathvariant="normal" xref="S4.E13.m1.20.20.20.20.20.20.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.E13.m1.22.22.22.22.22.22.1" xref="S4.E13.m1.22.22.22.22.22.22.1.cmml"><mi id="S4.E13.m1.22.22.22.22.22.22.1.2" xref="S4.E13.m1.22.22.22.22.22.22.1.2.cmml">β</mi><mo id="S4.E13.m1.22.22.22.22.22.22.1.1" xref="S4.E13.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E13.m1.22.22.22.22.22.22.1.3" xref="S4.E13.m1.22.22.22.22.22.22.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.E13.m1.21.21.21.21.21.21.1" xref="S4.E13.m1.21.21.21.21.21.21.1.cmml">γ</mi></msubsup><mo id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E13.m1.23.23.23.23.23.23" xref="S4.E13.m1.23.23.23.23.23.23.cmml">d</mi><mo id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.1.2.1b" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.24.24.24.24.24.24" xref="S4.E13.m1.24.24.24.24.24.24.cmml">x</mi><mi id="S4.E13.m1.25.25.25.25.25.25.1" xref="S4.E13.m1.25.25.25.25.25.25.1.cmml">β</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E13.m1.26.26.26.26.26.26" xref="S4.E13.m1.26.26.26.26.26.26.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.27.27.27.27.27.27" xref="S4.E13.m1.27.27.27.27.27.27.cmml">d</mi><mo id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.28.28.28.28.28.28" xref="S4.E13.m1.28.28.28.28.28.28.cmml">x</mi><mi id="S4.E13.m1.29.29.29.29.29.29.1" xref="S4.E13.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml">δ</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E13.m1.30.30.30.30.30.30" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E13.m1.31.31.31.31.31.31" xref="S4.E13.m1.31.31.31.31.31.31.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mrow id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.2.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.32.32.32.32.32.32" xref="S4.E13.m1.32.32.32.32.32.32.cmml">d</mi><mo id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.2.2.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.2.2.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.33.33.33.33.33.33" xref="S4.E13.m1.33.33.33.33.33.33.cmml">x</mi><mrow id="S4.E13.m1.34.34.34.34.34.34.1" xref="S4.E13.m1.34.34.34.34.34.34.1.cmml"><mi id="S4.E13.m1.34.34.34.34.34.34.1.2" xref="S4.E13.m1.34.34.34.34.34.34.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.E13.m1.34.34.34.34.34.34.1.1" xref="S4.E13.m1.34.34.34.34.34.34.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E13.m1.34.34.34.34.34.34.1.3" xref="S4.E13.m1.34.34.34.34.34.34.1.3.cmml">κ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E13.m1.67.67.3.65.35.35.35.2.3" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">+</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E13.m1.68.68.4c" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E13.m1.68.68.4d" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mrow id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mrow id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mo id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31a" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><msubsup id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.3" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.36.36.36.2.2.2" xref="S4.E13.m1.36.36.36.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.E13.m1.37.37.37.3.3.3.1" xref="S4.E13.m1.37.37.37.3.3.3.1.cmml"><mi id="S4.E13.m1.37.37.37.3.3.3.1.2" xref="S4.E13.m1.37.37.37.3.3.3.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E13.m1.37.37.37.3.3.3.1.1" xref="S4.E13.m1.37.37.37.3.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E13.m1.37.37.37.3.3.3.1.3" xref="S4.E13.m1.37.37.37.3.3.3.1.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.E13.m1.38.38.38.4.4.4.1" xref="S4.E13.m1.38.38.38.4.4.4.1.cmml">ρ</mi></msubsup><mo id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mo id="S4.E13.m1.39.39.39.5.5.5" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mrow id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.40.40.40.6.6.6" xref="S4.E13.m1.40.40.40.6.6.6.cmml">d</mi><mo id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.41.41.41.7.7.7" xref="S4.E13.m1.41.41.41.7.7.7.cmml">g</mi><mrow id="S4.E13.m1.42.42.42.8.8.8.1" xref="S4.E13.m1.42.42.42.8.8.8.1.cmml"><mi id="S4.E13.m1.42.42.42.8.8.8.1.2" xref="S4.E13.m1.42.42.42.8.8.8.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E13.m1.42.42.42.8.8.8.1.1" xref="S4.E13.m1.42.42.42.8.8.8.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E13.m1.42.42.42.8.8.8.1.3" xref="S4.E13.m1.42.42.42.8.8.8.1.3.cmml">ν</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.E13.m1.43.43.43.9.9.9" xref="S4.E13.m1.43.43.43.9.9.9.cmml">+</mo><mrow id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mrow id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mo id="S4.E13.m1.44.44.44.10.10.10" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mrow id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><msup id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.45.45.45.11.11.11" xref="S4.E13.m1.45.45.45.11.11.11.cmml">g</mi><mrow id="S4.E13.m1.46.46.46.12.12.12.1" xref="S4.E13.m1.46.46.46.12.12.12.1.cmml"><mi id="S4.E13.m1.46.46.46.12.12.12.1.2" xref="S4.E13.m1.46.46.46.12.12.12.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E13.m1.46.46.46.12.12.12.1.1" xref="S4.E13.m1.46.46.46.12.12.12.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E13.m1.46.46.46.12.12.12.1.3" xref="S4.E13.m1.46.46.46.12.12.12.1.3.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.47.47.47.13.13.13" mathvariant="normal" xref="S4.E13.m1.47.47.47.13.13.13.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.E13.m1.49.49.49.15.15.15.1" xref="S4.E13.m1.49.49.49.15.15.15.1.cmml"><mi id="S4.E13.m1.49.49.49.15.15.15.1.2" xref="S4.E13.m1.49.49.49.15.15.15.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.E13.m1.49.49.49.15.15.15.1.1" xref="S4.E13.m1.49.49.49.15.15.15.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E13.m1.49.49.49.15.15.15.1.3" xref="S4.E13.m1.49.49.49.15.15.15.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.E13.m1.48.48.48.14.14.14.1" xref="S4.E13.m1.48.48.48.14.14.14.1.cmml">ν</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E13.m1.50.50.50.16.16.16" xref="S4.E13.m1.50.50.50.16.16.16.cmml">+</mo><mrow id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><msup id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.51.51.51.17.17.17" xref="S4.E13.m1.51.51.51.17.17.17.cmml">g</mi><mrow id="S4.E13.m1.52.52.52.18.18.18.1" xref="S4.E13.m1.52.52.52.18.18.18.1.cmml"><mi id="S4.E13.m1.52.52.52.18.18.18.1.2" xref="S4.E13.m1.52.52.52.18.18.18.1.2.cmml">ν</mi><mo id="S4.E13.m1.52.52.52.18.18.18.1.1" xref="S4.E13.m1.52.52.52.18.18.18.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E13.m1.52.52.52.18.18.18.1.3" xref="S4.E13.m1.52.52.52.18.18.18.1.3.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.53.53.53.19.19.19" mathvariant="normal" xref="S4.E13.m1.53.53.53.19.19.19.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.E13.m1.55.55.55.21.21.21.1" xref="S4.E13.m1.55.55.55.21.21.21.1.cmml"><mi id="S4.E13.m1.55.55.55.21.21.21.1.2" xref="S4.E13.m1.55.55.55.21.21.21.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.E13.m1.55.55.55.21.21.21.1.1" xref="S4.E13.m1.55.55.55.21.21.21.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E13.m1.55.55.55.21.21.21.1.3" xref="S4.E13.m1.55.55.55.21.21.21.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.E13.m1.54.54.54.20.20.20.1" xref="S4.E13.m1.54.54.54.20.20.20.1.cmml">μ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E13.m1.56.56.56.22.22.22" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E13.m1.57.57.57.23.23.23" xref="S4.E13.m1.57.57.57.23.23.23.cmml">d</mi><mo id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.31.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.58.58.58.24.24.24" xref="S4.E13.m1.58.58.58.24.24.24.cmml">x</mi><mi id="S4.E13.m1.59.59.59.25.25.25.1" xref="S4.E13.m1.59.59.59.25.25.25.1.cmml">γ</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E13.m1.60.60.60.26.26.26" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E13.m1.61.61.61.27.27.27" xref="S4.E13.m1.61.61.61.27.27.27.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.32" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.62.62.62.28.28.28" xref="S4.E13.m1.62.62.62.28.28.28.cmml">d</mi><mo id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.32.1" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E13.m1.68.68.4.66.31.31.32.2" xref="S4.E13.m1.66.66.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.63.63.63.29.29.29" xref="S4.E13.m1.63.63.63.29.29.29.cmml">x</mi><mi id="S4.E13.m1.64.64.64.30.30.30.1" xref="S4.E13.m1.64.64.64.30.30.30.1.cmml">ρ</mi></msub></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E13.m1.68b"><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><eq id="S4.E13.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E13.m1.3.3.3.3.3.3"></eq><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.4.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.66.66.2.4.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1">𝜆</ci><ci id="S4.E13.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.2.2.1">ℒ</ci></apply><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><and id="S4.E13.m1.61.61.61.27.27.27.cmml" xref="S4.E13.m1.61.61.61.27.27.27"></and><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><plus id="S4.E13.m1.35.35.35.1.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"></plus><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><and id="S4.E13.m1.31.31.31.31.31.31.cmml" xref="S4.E13.m1.31.31.31.31.31.31"></and><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><times id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"></times><apply id="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4"><root id="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4a.cmml" xref="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4"></root><apply id="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml" xref="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2"><minus id="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2"></minus><apply id="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2"><determinant id="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.1"></determinant><ci id="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="S4.E13.m1.5.5.5.5.5.5">𝑔</ci><apply id="S4.E13.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml" xref="S4.E13.m1.6.6.6.6.6.6.1"><times id="S4.E13.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.6.6.6.6.6.6.1.1"></times><ci id="S4.E13.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.6.6.6.6.6.6.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.E13.m1.6.6.6.6.6.6.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.6.6.6.6.6.6.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><and id="S4.E13.m1.26.26.26.26.26.26.cmml" xref="S4.E13.m1.26.26.26.26.26.26"></and><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><plus id="S4.E13.m1.16.16.16.16.16.16.cmml" xref="S4.E13.m1.16.16.16.16.16.16"></plus><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><and id="S4.E13.m1.12.12.12.12.12.12.cmml" xref="S4.E13.m1.12.12.12.12.12.12"></and><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><times id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"></times><ci id="S4.E13.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" xref="S4.E13.m1.8.8.8.8.8.8">𝑑</ci><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="S4.E13.m1.9.9.9.9.9.9">Γ</ci><ci id="S4.E13.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml" xref="S4.E13.m1.10.10.10.10.10.10.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml" xref="S4.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1"><times id="S4.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.1"></times><ci id="S4.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><times id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"></times><ci id="S4.E13.m1.13.13.13.13.13.13.cmml" xref="S4.E13.m1.13.13.13.13.13.13">𝑑</ci><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.14.14.14.14.14.14.cmml" xref="S4.E13.m1.14.14.14.14.14.14">𝑥</ci><ci id="S4.E13.m1.15.15.15.15.15.15.1.cmml" xref="S4.E13.m1.15.15.15.15.15.15.1">𝜌</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><times id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"></times><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.17.17.17.17.17.17.cmml" xref="S4.E13.m1.17.17.17.17.17.17">Γ</ci><ci id="S4.E13.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml" xref="S4.E13.m1.18.18.18.18.18.18.1">𝜎</ci></apply><apply id="S4.E13.m1.19.19.19.19.19.19.1.cmml" xref="S4.E13.m1.19.19.19.19.19.19.1"><times id="S4.E13.m1.19.19.19.19.19.19.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.19.19.19.19.19.19.1.1"></times><ci id="S4.E13.m1.19.19.19.19.19.19.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.19.19.19.19.19.19.1.2">𝛿</ci><ci id="S4.E13.m1.19.19.19.19.19.19.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.19.19.19.19.19.19.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.20.20.20.20.20.20.cmml" xref="S4.E13.m1.20.20.20.20.20.20">Γ</ci><ci id="S4.E13.m1.21.21.21.21.21.21.1.cmml" xref="S4.E13.m1.21.21.21.21.21.21.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.E13.m1.22.22.22.22.22.22.1.cmml" xref="S4.E13.m1.22.22.22.22.22.22.1"><times id="S4.E13.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.22.22.22.22.22.22.1.1"></times><ci id="S4.E13.m1.22.22.22.22.22.22.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.22.22.22.22.22.22.1.2">𝛽</ci><ci id="S4.E13.m1.22.22.22.22.22.22.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.22.22.22.22.22.22.1.3">𝜎</ci></apply></apply><ci id="S4.E13.m1.23.23.23.23.23.23.cmml" xref="S4.E13.m1.23.23.23.23.23.23">𝑑</ci><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.24.24.24.24.24.24.cmml" xref="S4.E13.m1.24.24.24.24.24.24">𝑥</ci><ci id="S4.E13.m1.25.25.25.25.25.25.1.cmml" xref="S4.E13.m1.25.25.25.25.25.25.1">𝛽</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><times id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"></times><ci id="S4.E13.m1.27.27.27.27.27.27.cmml" xref="S4.E13.m1.27.27.27.27.27.27">𝑑</ci><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.28.28.28.28.28.28.cmml" xref="S4.E13.m1.28.28.28.28.28.28">𝑥</ci><ci id="S4.E13.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml" xref="S4.E13.m1.29.29.29.29.29.29.1">𝛿</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><times id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"></times><ci id="S4.E13.m1.32.32.32.32.32.32.cmml" xref="S4.E13.m1.32.32.32.32.32.32">𝑑</ci><apply id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.65.65.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.33.33.33.33.33.33.cmml" xref="S4.E13.m1.33.33.33.33.33.33">𝑥</ci><apply id="S4.E13.m1.34.34.34.34.34.34.1.cmml" xref="S4.E13.m1.34.34.34.34.34.34.1"><times id="S4.E13.m1.34.34.34.34.34.34.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.34.34.34.34.34.34.1.1"></times><ci id="S4.E13.m1.34.34.34.34.34.34.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.34.34.34.34.34.34.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.E13.m1.34.34.34.34.34.34.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.34.34.34.34.34.34.1.3">𝜅</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><times id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"></times><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.36.36.36.2.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.36.36.36.2.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.E13.m1.37.37.37.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.37.37.37.3.3.3.1"><times id="S4.E13.m1.37.37.37.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.37.37.37.3.3.3.1.1"></times><ci id="S4.E13.m1.37.37.37.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.37.37.37.3.3.3.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.E13.m1.37.37.37.3.3.3.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.37.37.37.3.3.3.1.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.E13.m1.38.38.38.4.4.4.1.cmml" xref="S4.E13.m1.38.38.38.4.4.4.1">𝜌</ci></apply><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><plus id="S4.E13.m1.43.43.43.9.9.9.cmml" xref="S4.E13.m1.43.43.43.9.9.9"></plus><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><times id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"></times><ci id="S4.E13.m1.40.40.40.6.6.6.cmml" xref="S4.E13.m1.40.40.40.6.6.6">𝑑</ci><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.41.41.41.7.7.7.cmml" xref="S4.E13.m1.41.41.41.7.7.7">𝑔</ci><apply id="S4.E13.m1.42.42.42.8.8.8.1.cmml" xref="S4.E13.m1.42.42.42.8.8.8.1"><times id="S4.E13.m1.42.42.42.8.8.8.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.42.42.42.8.8.8.1.1"></times><ci id="S4.E13.m1.42.42.42.8.8.8.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.42.42.42.8.8.8.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.E13.m1.42.42.42.8.8.8.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.42.42.42.8.8.8.1.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><times id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"></times><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><plus id="S4.E13.m1.50.50.50.16.16.16.cmml" xref="S4.E13.m1.50.50.50.16.16.16"></plus><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><times id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"></times><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.45.45.45.11.11.11.cmml" xref="S4.E13.m1.45.45.45.11.11.11">𝑔</ci><apply id="S4.E13.m1.46.46.46.12.12.12.1.cmml" xref="S4.E13.m1.46.46.46.12.12.12.1"><times id="S4.E13.m1.46.46.46.12.12.12.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.46.46.46.12.12.12.1.1"></times><ci id="S4.E13.m1.46.46.46.12.12.12.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.46.46.46.12.12.12.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.E13.m1.46.46.46.12.12.12.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.46.46.46.12.12.12.1.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.47.47.47.13.13.13.cmml" xref="S4.E13.m1.47.47.47.13.13.13">Γ</ci><ci id="S4.E13.m1.48.48.48.14.14.14.1.cmml" xref="S4.E13.m1.48.48.48.14.14.14.1">𝜈</ci></apply><apply id="S4.E13.m1.49.49.49.15.15.15.1.cmml" xref="S4.E13.m1.49.49.49.15.15.15.1"><times id="S4.E13.m1.49.49.49.15.15.15.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.49.49.49.15.15.15.1.1"></times><ci id="S4.E13.m1.49.49.49.15.15.15.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.49.49.49.15.15.15.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.E13.m1.49.49.49.15.15.15.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.49.49.49.15.15.15.1.3">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><times id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"></times><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.51.51.51.17.17.17.cmml" xref="S4.E13.m1.51.51.51.17.17.17">𝑔</ci><apply id="S4.E13.m1.52.52.52.18.18.18.1.cmml" xref="S4.E13.m1.52.52.52.18.18.18.1"><times id="S4.E13.m1.52.52.52.18.18.18.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.52.52.52.18.18.18.1.1"></times><ci id="S4.E13.m1.52.52.52.18.18.18.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.52.52.52.18.18.18.1.2">𝜈</ci><ci id="S4.E13.m1.52.52.52.18.18.18.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.52.52.52.18.18.18.1.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.53.53.53.19.19.19.cmml" xref="S4.E13.m1.53.53.53.19.19.19">Γ</ci><ci id="S4.E13.m1.54.54.54.20.20.20.1.cmml" xref="S4.E13.m1.54.54.54.20.20.20.1">𝜇</ci></apply><apply id="S4.E13.m1.55.55.55.21.21.21.1.cmml" xref="S4.E13.m1.55.55.55.21.21.21.1"><times id="S4.E13.m1.55.55.55.21.21.21.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.55.55.55.21.21.21.1.1"></times><ci id="S4.E13.m1.55.55.55.21.21.21.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.55.55.55.21.21.21.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.E13.m1.55.55.55.21.21.21.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.55.55.55.21.21.21.1.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.E13.m1.57.57.57.23.23.23.cmml" xref="S4.E13.m1.57.57.57.23.23.23">𝑑</ci><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.66.66.2.2.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.58.58.58.24.24.24.cmml" xref="S4.E13.m1.58.58.58.24.24.24">𝑥</ci><ci id="S4.E13.m1.59.59.59.25.25.25.1.cmml" xref="S4.E13.m1.59.59.59.25.25.25.1">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.4.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><times id="S4.E13.m1.66.66.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"></times><ci id="S4.E13.m1.62.62.62.28.28.28.cmml" xref="S4.E13.m1.62.62.62.28.28.28">𝑑</ci><apply id="S4.E13.m1.66.66.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.66.66.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.68.68.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.63.63.63.29.29.29.cmml" xref="S4.E13.m1.63.63.63.29.29.29">𝑥</ci><ci id="S4.E13.m1.64.64.64.30.30.30.1.cmml" xref="S4.E13.m1.64.64.64.30.30.30.1">𝜌</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E13.m1.68c">{\lambda_{{\mathcal{L}}}}=\sqrt{-\det{{g}}}{g}^{\kappa\phi}\left(d\Gamma^{% \gamma}_{\rho\phi}\wedge dx^{\rho}+\Gamma^{\sigma}_{\delta\phi}\Gamma^{\gamma}% _{\beta\sigma}dx^{\beta}\wedge dx^{\delta}\right)\wedge dx_{\gamma\kappa}+\\ +\beta_{\mu\nu}^{\rho}\left(d{g}^{\mu\nu}+\left({g}^{\mu\sigma}{\Gamma}^{\nu}_% {\gamma\sigma}+{g}^{\nu\sigma}{\Gamma}^{\mu}_{\gamma\sigma}\right)dx^{\gamma}% \right)\wedge dx_{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E13.m1.68d">start_ROW start_CELL italic_λ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT + roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_δ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_δ end_POSTSUPERSCRIPT ) ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_κ end_POSTSUBSCRIPT + end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT + ( italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT + italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT ) ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS4.SSS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS1.p2.1">Let <math alttext="i_{0}:W_{0}\hookrightarrow\widehat{W_{\mathcal{L}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">i</mi><mn id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mn id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">↪</mo><mover accent="true" id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">W</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">ℒ</mi></msub><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1"><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.1">:</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.1">↪</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2.2">𝑊</ci><cn id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3"><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.1">^</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.3.2.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1c">i_{0}:W_{0}\hookrightarrow\widehat{W_{\mathcal{L}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p2.1.m1.1d">italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT : italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ↪ over^ start_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> be the canonical immersion and define</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex68"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda_{0}:=i_{0}^{*}\lambda_{\mathcal{L}};" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex68.m1.1"><semantics id="S4.Ex68.m1.1a"><mrow id="S4.Ex68.m1.1.1.1" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">i</mi><mn id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">ℒ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex68.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex68.m1.1b"><apply id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.2.2">𝜆</ci><cn id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑖</ci><cn id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">0</cn></apply><times id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝜆</ci><ci id="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex68.m1.1.1.1.1.3.3.3">ℒ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex68.m1.1c">\lambda_{0}:=i_{0}^{*}\lambda_{\mathcal{L}};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex68.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT := italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS1.p2.15">please note that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex69"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="{\Gamma}^{\sigma}_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\left({\Gamma}^{\sigma}_{\mu\nu}+{\Gamma% }^{\sigma}_{\nu\mu}\right)+\frac{1}{2}\left({\Gamma}^{\sigma}_{\mu\nu}-{\Gamma% }^{\sigma}_{\nu\mu}\right)=\frac{1}{2}\left({\Gamma}^{\sigma}_{\mu\nu}+{\Gamma% }^{\sigma}_{\nu\mu}\right)+e^{\sigma}_{k}e^{i}_{\mu}e^{j}_{\nu}T_{ij}^{k}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex69.m1.1"><semantics id="S4.Ex69.m1.1a"><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.3.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ν</mi><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">μ</mi></mrow><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">σ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">ν</mi><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">μ</mi></mrow><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">σ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.7" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.3.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ν</mi><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml">μ</mi></mrow><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">σ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">μ</mi><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">i</mi></msubsup><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml">ν</mi><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.cmml">j</mi></msubsup><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.1b" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.1" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.3.cmml">j</mi></mrow><mi id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.3" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml">k</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex69.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex69.m1.1b"><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1"><and id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1"></and><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.6"></eq><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.2.2">Γ</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.3"><times id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.3.1"></times><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.5.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2"><plus id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">Γ</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">Γ</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜈</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝜇</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.3"><divide id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.3"></divide><cn id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><minus id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2">Γ</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.2">Γ</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2">𝜈</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3">𝜇</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.Ex69.m1.1.1.1.1.2.cmml" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.2"></plus><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1"><times id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.2"></times><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.3"><divide id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.3"></divide><cn id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1"><plus id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2">Γ</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.2">Γ</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.2">𝜈</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.3.3">𝜇</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝜎</ci></apply><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝜇</ci></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.4.3">𝜈</ci></apply><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3"><times id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml" xref="S4.Ex69.m1.1.1.1.1.3.3.5.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex69.m1.1c">{\Gamma}^{\sigma}_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\left({\Gamma}^{\sigma}_{\mu\nu}+{\Gamma% }^{\sigma}_{\nu\mu}\right)+\frac{1}{2}\left({\Gamma}^{\sigma}_{\mu\nu}-{\Gamma% }^{\sigma}_{\nu\mu}\right)=\frac{1}{2}\left({\Gamma}^{\sigma}_{\mu\nu}+{\Gamma% }^{\sigma}_{\nu\mu}\right)+e^{\sigma}_{k}e^{i}_{\mu}e^{j}_{\nu}T_{ij}^{k},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex69.m1.1d">roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT + roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ν italic_μ end_POSTSUBSCRIPT ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT - roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ν italic_μ end_POSTSUBSCRIPT ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT + roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ν italic_μ end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS1.p2.6">and that on <math alttext="W_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1a"><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1.1.2.cmml">W</mi><mn id="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1b"><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1.1.2">𝑊</ci><cn id="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1c">W_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p2.2.m1.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the matrix <math alttext="T" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p2.3.m2.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p2.3.m2.1a"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.3.m2.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.3.m2.1.1.cmml">T</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p2.3.m2.1b"><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.3.m2.1.1">𝑇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p2.3.m2.1c">T</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p2.3.m2.1d">italic_T</annotation></semantics></math> belongs to <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p2.4.m3.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p2.4.m3.1a"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.4.m3.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.4.m3.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p2.4.m3.1b"><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.4.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.4.m3.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p2.4.m3.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p2.4.m3.1d">italic_B</annotation></semantics></math>. By the <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p2.5.m4.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p2.5.m4.1a"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.5.m4.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.5.m4.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p2.5.m4.1b"><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.5.m4.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p2.5.m4.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p2.5.m4.1d">italic_B</annotation></semantics></math>-invariance of <math alttext="\lambda_{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1a"><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1.1.2.cmml">λ</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1.1.3.cmml">ℒ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1b"><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1.1.3">ℒ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1c">\lambda_{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p2.6.m5.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, it results that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.SS4.SSS1.p2.7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda_{0}=\frac{1}{2}\sqrt{-\det{{g}}}{g}^{\kappa\phi}\\ \left[d\left(\Gamma^{\gamma}_{\rho\phi}+\Gamma^{\gamma}_{\phi\rho}\right)% \wedge dx^{\rho}+\frac{1}{2}\left(\Gamma^{\sigma}_{\delta\phi}+\Gamma^{\sigma}% _{\phi\delta}\right)\left(\Gamma^{\gamma}_{\beta\sigma}+\Gamma^{\gamma}_{% \sigma\beta}\right)dx^{\beta}\wedge dx^{\delta}\right]\wedge dx_{\gamma\kappa}% +\\ +\beta_{\mu\nu}^{\rho}\left[d{g}^{\mu\nu}+\frac{1}{2}\left({g}^{\mu\sigma}% \left({\Gamma}^{\nu}_{\gamma\sigma}+{\Gamma}^{\nu}_{\sigma\gamma}\right)+{g}^{% \nu\sigma}\left({\Gamma}^{\mu}_{\gamma\sigma}+{\Gamma}^{\mu}_{\sigma\gamma}% \right)\right)dx^{\gamma}\right]\wedge dx_{\rho}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101a"><mtable displaystyle="true" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3a"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3b"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7"><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.8"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">λ</mi><mn id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9"><mfrac id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.4.4.4.4.4.4.cmml"><mn id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.4.4.4.4.4.4.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml">1</mn><mn id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.4.4.4.4.4.4.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.4.4.4.4.4.4.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.6.6.6.6.6.6" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.7.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.7.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.7.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.7.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.7.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.7.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3c"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3d"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.8.8.8.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.3"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.1.1.1"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.9.9.9.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.9.9.9.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.10.10.10.3.3.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.11.11.11.4.4.4" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.11.11.11.4.4.4.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.13.13.13.6.6.6.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.13.13.13.6.6.6.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.13.13.13.6.6.6.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.13.13.13.6.6.6.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.13.13.13.6.6.6.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.13.13.13.6.6.6.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.13.13.13.6.6.6.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.13.13.13.6.6.6.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.12.12.12.5.5.5.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.12.12.12.5.5.5.1.cmml">γ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.14.14.14.7.7.7" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.14.14.14.7.7.7.cmml">+</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.15.15.15.8.8.8" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.15.15.15.8.8.8.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.17.17.17.10.10.10.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.17.17.17.10.10.10.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.17.17.17.10.10.10.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.17.17.17.10.10.10.1.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.17.17.17.10.10.10.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.17.17.17.10.10.10.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.17.17.17.10.10.10.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.17.17.17.10.10.10.1.3.cmml">ρ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.16.16.16.9.9.9.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.16.16.16.9.9.9.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.18.18.18.11.11.11" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.19.19.19.12.12.12" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.19.19.19.12.12.12.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.20.20.20.13.13.13" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.20.20.20.13.13.13.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.21.21.21.14.14.14" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.21.21.21.14.14.14.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.22.22.22.15.15.15.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.22.22.22.15.15.15.1.cmml">ρ</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.23.23.23.16.16.16" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.23.23.23.16.16.16.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.3.3"><mfrac id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.24.24.24.17.17.17" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.24.24.24.17.17.17.cmml"><mn id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.24.24.24.17.17.17.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.24.24.24.17.17.17.2.cmml">1</mn><mn id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.24.24.24.17.17.17.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.24.24.24.17.17.17.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.3.3.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.2.2.1.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.25.25.25.18.18.18" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.2.2.1.1.1"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.2.2.1.1.1.1"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.26.26.26.19.19.19" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.26.26.26.19.19.19.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.28.28.28.21.21.21.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.28.28.28.21.21.21.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.28.28.28.21.21.21.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.28.28.28.21.21.21.1.2.cmml">δ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.28.28.28.21.21.21.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.28.28.28.21.21.21.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.28.28.28.21.21.21.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.28.28.28.21.21.21.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.27.27.27.20.20.20.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.27.27.27.20.20.20.1.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.29.29.29.22.22.22" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.29.29.29.22.22.22.cmml">+</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.2.2.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.30.30.30.23.23.23" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.30.30.30.23.23.23.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.32.32.32.25.25.25.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.32.32.32.25.25.25.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.32.32.32.25.25.25.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.32.32.32.25.25.25.1.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.32.32.32.25.25.25.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.32.32.32.25.25.25.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.32.32.32.25.25.25.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.32.32.32.25.25.25.1.3.cmml">δ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.31.31.31.24.24.24.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.31.31.31.24.24.24.1.cmml">σ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.33.33.33.26.26.26" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.3.3.3a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.3.3.2.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.34.34.34.27.27.27" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.3.3.2.1.1"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.3.3.2.1.1.1"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.35.35.35.28.28.28" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.35.35.35.28.28.28.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.37.37.37.30.30.30.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.37.37.37.30.30.30.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.37.37.37.30.30.30.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.37.37.37.30.30.30.1.2.cmml">β</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.37.37.37.30.30.30.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.37.37.37.30.30.30.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.37.37.37.30.30.30.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.37.37.37.30.30.30.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.36.36.36.29.29.29.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.36.36.36.29.29.29.1.cmml">γ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.38.38.38.31.31.31" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.38.38.38.31.31.31.cmml">+</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.3.3.2.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.39.39.39.32.32.32" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.39.39.39.32.32.32.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.41.41.41.34.34.34.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.41.41.41.34.34.34.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.41.41.41.34.34.34.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.41.41.41.34.34.34.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.41.41.41.34.34.34.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.41.41.41.34.34.34.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.41.41.41.34.34.34.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.41.41.41.34.34.34.1.3.cmml">β</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.40.40.40.33.33.33.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.40.40.40.33.33.33.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.42.42.42.35.35.35" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.3.3.3b" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.43.43.43.36.36.36" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.43.43.43.36.36.36.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.3.3.3c" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.3.3.4"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.44.44.44.37.37.37" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.44.44.44.37.37.37.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.45.45.45.38.38.38.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.45.45.45.38.38.38.1.cmml">β</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.46.46.46.39.39.39" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.46.46.46.39.39.39.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.4"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.47.47.47.40.40.40" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.47.47.47.40.40.40.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.4.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.48.1.1.4.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.48.48.48.41.41.41" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.48.48.48.41.41.41.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.49.49.49.42.42.42.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.49.49.49.42.42.42.1.cmml">δ</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.50.50.50.43.43.43" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.51.51.51.44.44.44" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.51.51.51.44.44.44.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.49"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.49.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.52.52.52.45.45.45" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.52.52.52.45.45.45.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.49.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.49.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.53.53.53.46.46.46" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.53.53.53.46.46.46.cmml">x</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.54.54.54.47.47.47.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.54.54.54.47.47.47.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.54.54.54.47.47.47.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.54.54.54.47.47.47.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.54.54.54.47.47.47.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.54.54.54.47.47.47.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.54.54.54.47.47.47.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.54.54.54.47.47.47.1.3.cmml">κ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.100.100.2.99.48.48.49.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">+</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3e"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3f"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.56.56.56.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.56.56.56.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.57.57.57.3.3.3.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.57.57.57.3.3.3.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.57.57.57.3.3.3.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.57.57.57.3.3.3.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.57.57.57.3.3.3.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.57.57.57.3.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.57.57.57.3.3.3.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.57.57.57.3.3.3.1.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.58.58.58.4.4.4.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.58.58.58.4.4.4.1.cmml">ρ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.59.59.59.5.5.5" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.60.60.60.6.6.6" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.60.60.60.6.6.6.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.61.61.61.7.7.7" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.61.61.61.7.7.7.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.62.62.62.8.8.8.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.62.62.62.8.8.8.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.62.62.62.8.8.8.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.62.62.62.8.8.8.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.62.62.62.8.8.8.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.62.62.62.8.8.8.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.62.62.62.8.8.8.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.62.62.62.8.8.8.1.3.cmml">ν</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.63.63.63.9.9.9" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.63.63.63.9.9.9.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1"><mfrac id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.64.64.64.10.10.10" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.64.64.64.10.10.10.cmml"><mn id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.64.64.64.10.10.10.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.64.64.64.10.10.10.2.cmml">1</mn><mn id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.64.64.64.10.10.10.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.64.64.64.10.10.10.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.65.65.65.11.11.11" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.66.66.66.12.12.12" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.66.66.66.12.12.12.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.67.67.67.13.13.13.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.67.67.67.13.13.13.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.67.67.67.13.13.13.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.67.67.67.13.13.13.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.67.67.67.13.13.13.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.67.67.67.13.13.13.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.67.67.67.13.13.13.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.67.67.67.13.13.13.1.3.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.68.68.68.14.14.14" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.69.69.69.15.15.15" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.69.69.69.15.15.15.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.71.71.71.17.17.17.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.71.71.71.17.17.17.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.71.71.71.17.17.17.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.71.71.71.17.17.17.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.71.71.71.17.17.17.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.71.71.71.17.17.17.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.71.71.71.17.17.17.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.71.71.71.17.17.17.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.70.70.70.16.16.16.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.70.70.70.16.16.16.1.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.72.72.72.18.18.18" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.72.72.72.18.18.18.cmml">+</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.73.73.73.19.19.19" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.73.73.73.19.19.19.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.75.75.75.21.21.21.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.75.75.75.21.21.21.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.75.75.75.21.21.21.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.75.75.75.21.21.21.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.75.75.75.21.21.21.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.75.75.75.21.21.21.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.75.75.75.21.21.21.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.75.75.75.21.21.21.1.3.cmml">γ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.74.74.74.20.20.20.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.74.74.74.20.20.20.1.cmml">ν</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.76.76.76.22.22.22" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.77.77.77.23.23.23" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.77.77.77.23.23.23.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.78.78.78.24.24.24" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.78.78.78.24.24.24.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.79.79.79.25.25.25.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.79.79.79.25.25.25.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.79.79.79.25.25.25.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.79.79.79.25.25.25.1.2.cmml">ν</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.79.79.79.25.25.25.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.79.79.79.25.25.25.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.79.79.79.25.25.25.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.79.79.79.25.25.25.1.3.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.80.80.80.26.26.26" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.81.81.81.27.27.27" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.81.81.81.27.27.27.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.83.83.83.29.29.29.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.83.83.83.29.29.29.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.83.83.83.29.29.29.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.83.83.83.29.29.29.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.83.83.83.29.29.29.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.83.83.83.29.29.29.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.83.83.83.29.29.29.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.83.83.83.29.29.29.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.82.82.82.28.28.28.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.82.82.82.28.28.28.1.cmml">μ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.84.84.84.30.30.30" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.84.84.84.30.30.30.cmml">+</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.85.85.85.31.31.31" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.85.85.85.31.31.31.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.87.87.87.33.33.33.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.87.87.87.33.33.33.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.87.87.87.33.33.33.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.87.87.87.33.33.33.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.87.87.87.33.33.33.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.87.87.87.33.33.33.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.87.87.87.33.33.33.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.87.87.87.33.33.33.1.3.cmml">γ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.86.86.86.32.32.32.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.86.86.86.32.32.32.1.cmml">μ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.88.88.88.34.34.34" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.89.89.89.35.35.35" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.90.90.90.36.36.36" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.90.90.90.36.36.36.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.91.91.91.37.37.37" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.91.91.91.37.37.37.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.92.92.92.38.38.38.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.92.92.92.38.38.38.1.cmml">γ</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.93.93.93.39.39.39" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.94.94.94.40.40.40" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.94.94.94.40.40.40.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.95.95.95.41.41.41" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.95.95.95.41.41.41.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101.101.3.100.45.45.45.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.96.96.96.42.42.42" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.96.96.96.42.42.42.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.97.97.97.43.43.43.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.97.97.97.43.43.43.1.cmml">ρ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.98.98.98.44.44.44" lspace="0em" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101b"><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><eq id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.3.3.3.3.3.3"></eq><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.1.1.1.1.1.1">𝜆</ci><cn id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.2.2.2.2.2.2.1">0</cn></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.94.94.94.40.40.40.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.94.94.94.40.40.40"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.55.55.55.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.51.51.51.44.44.44.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.51.51.51.44.44.44"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.4.4.4.4.4.4"><divide id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.4.4.4.4.4.4"></divide><cn id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.4.4.4.4.4.4.2">1</cn><cn id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.4.4.4.4.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.4.4.4.4.4.4.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5"><root id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5a.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5"></root><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2"><minus id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2"></minus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2.2"><determinant id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.1"></determinant><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.6.6.6.6.6.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.6.6.6.6.6.6">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.7.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.7.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.7.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.7.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.7.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.7.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.46.46.46.39.39.39.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.46.46.46.39.39.39"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.23.23.23.16.16.16.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.23.23.23.16.16.16"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.19.19.19.12.12.12.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.19.19.19.12.12.12"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.9.9.9.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.9.9.9.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.14.14.14.7.7.7.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.14.14.14.7.7.7"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.11.11.11.4.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.11.11.11.4.4.4">Γ</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.12.12.12.5.5.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.12.12.12.5.5.5.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.13.13.13.6.6.6.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.13.13.13.6.6.6.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.13.13.13.6.6.6.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.13.13.13.6.6.6.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.13.13.13.6.6.6.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.13.13.13.6.6.6.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.13.13.13.6.6.6.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.13.13.13.6.6.6.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.15.15.15.8.8.8.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.15.15.15.8.8.8">Γ</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.16.16.16.9.9.9.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.16.16.16.9.9.9.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.17.17.17.10.10.10.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.17.17.17.10.10.10.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.17.17.17.10.10.10.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.17.17.17.10.10.10.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.17.17.17.10.10.10.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.17.17.17.10.10.10.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.17.17.17.10.10.10.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.17.17.17.10.10.10.1.3">𝜌</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.20.20.20.13.13.13.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.20.20.20.13.13.13">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.21.21.21.14.14.14.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.21.21.21.14.14.14">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.22.22.22.15.15.15.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.22.22.22.15.15.15.1">𝜌</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.24.24.24.17.17.17.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.24.24.24.17.17.17"><divide id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.24.24.24.17.17.17.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.24.24.24.17.17.17"></divide><cn id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.24.24.24.17.17.17.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.24.24.24.17.17.17.2">1</cn><cn id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.24.24.24.17.17.17.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.24.24.24.17.17.17.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.29.29.29.22.22.22.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.29.29.29.22.22.22"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.26.26.26.19.19.19.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.26.26.26.19.19.19">Γ</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.27.27.27.20.20.20.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.27.27.27.20.20.20.1">𝜎</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.28.28.28.21.21.21.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.28.28.28.21.21.21.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.28.28.28.21.21.21.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.28.28.28.21.21.21.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.28.28.28.21.21.21.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.28.28.28.21.21.21.1.2">𝛿</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.28.28.28.21.21.21.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.28.28.28.21.21.21.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.30.30.30.23.23.23.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.30.30.30.23.23.23">Γ</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.31.31.31.24.24.24.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.31.31.31.24.24.24.1">𝜎</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.32.32.32.25.25.25.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.32.32.32.25.25.25.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.32.32.32.25.25.25.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.32.32.32.25.25.25.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.32.32.32.25.25.25.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.32.32.32.25.25.25.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.32.32.32.25.25.25.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.32.32.32.25.25.25.1.3">𝛿</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.38.38.38.31.31.31.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.38.38.38.31.31.31"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.35.35.35.28.28.28.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.35.35.35.28.28.28">Γ</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.36.36.36.29.29.29.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.36.36.36.29.29.29.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.37.37.37.30.30.30.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.37.37.37.30.30.30.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.37.37.37.30.30.30.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.37.37.37.30.30.30.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.37.37.37.30.30.30.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.37.37.37.30.30.30.1.2">𝛽</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.37.37.37.30.30.30.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.37.37.37.30.30.30.1.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.39.39.39.32.32.32.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.39.39.39.32.32.32">Γ</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.40.40.40.33.33.33.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.40.40.40.33.33.33.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.41.41.41.34.34.34.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.41.41.41.34.34.34.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.41.41.41.34.34.34.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.41.41.41.34.34.34.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.41.41.41.34.34.34.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.41.41.41.34.34.34.1.2">𝜎</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.41.41.41.34.34.34.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.41.41.41.34.34.34.1.3">𝛽</ci></apply></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.43.43.43.36.36.36.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.43.43.43.36.36.36">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.6.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.44.44.44.37.37.37.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.44.44.44.37.37.37">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.45.45.45.38.38.38.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.45.45.45.38.38.38.1">𝛽</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.47.47.47.40.40.40.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.47.47.47.40.40.40">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.48.48.48.41.41.41.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.48.48.48.41.41.41">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.49.49.49.42.42.42.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.49.49.49.42.42.42.1">𝛿</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.52.52.52.45.45.45.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.52.52.52.45.45.45">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.53.53.53.46.46.46.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.53.53.53.46.46.46">𝑥</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.54.54.54.47.47.47.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.54.54.54.47.47.47.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.54.54.54.47.47.47.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.54.54.54.47.47.47.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.54.54.54.47.47.47.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.54.54.54.47.47.47.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.54.54.54.47.47.47.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.54.54.54.47.47.47.1.3">𝜅</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.56.56.56.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.56.56.56.2.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.57.57.57.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.57.57.57.3.3.3.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.57.57.57.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.57.57.57.3.3.3.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.57.57.57.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.57.57.57.3.3.3.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.57.57.57.3.3.3.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.57.57.57.3.3.3.1.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.58.58.58.4.4.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.58.58.58.4.4.4.1">𝜌</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.63.63.63.9.9.9.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.63.63.63.9.9.9"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.60.60.60.6.6.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.60.60.60.6.6.6">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.61.61.61.7.7.7.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.61.61.61.7.7.7">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.62.62.62.8.8.8.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.62.62.62.8.8.8.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.62.62.62.8.8.8.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.62.62.62.8.8.8.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.62.62.62.8.8.8.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.62.62.62.8.8.8.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.62.62.62.8.8.8.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.62.62.62.8.8.8.1.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.64.64.64.10.10.10.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.64.64.64.10.10.10"><divide id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.64.64.64.10.10.10.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.64.64.64.10.10.10"></divide><cn id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.64.64.64.10.10.10.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.64.64.64.10.10.10.2">1</cn><cn id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.64.64.64.10.10.10.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.64.64.64.10.10.10.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.77.77.77.23.23.23.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.77.77.77.23.23.23"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.66.66.66.12.12.12.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.66.66.66.12.12.12">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.67.67.67.13.13.13.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.67.67.67.13.13.13.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.67.67.67.13.13.13.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.67.67.67.13.13.13.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.67.67.67.13.13.13.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.67.67.67.13.13.13.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.67.67.67.13.13.13.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.67.67.67.13.13.13.1.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.72.72.72.18.18.18.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.72.72.72.18.18.18"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.69.69.69.15.15.15.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.69.69.69.15.15.15">Γ</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.70.70.70.16.16.16.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.70.70.70.16.16.16.1">𝜈</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.71.71.71.17.17.17.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.71.71.71.17.17.17.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.71.71.71.17.17.17.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.71.71.71.17.17.17.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.71.71.71.17.17.17.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.71.71.71.17.17.17.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.71.71.71.17.17.17.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.71.71.71.17.17.17.1.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.73.73.73.19.19.19.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.73.73.73.19.19.19">Γ</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.74.74.74.20.20.20.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.74.74.74.20.20.20.1">𝜈</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.75.75.75.21.21.21.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.75.75.75.21.21.21.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.75.75.75.21.21.21.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.75.75.75.21.21.21.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.75.75.75.21.21.21.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.75.75.75.21.21.21.1.2">𝜎</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.75.75.75.21.21.21.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.75.75.75.21.21.21.1.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.78.78.78.24.24.24.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.78.78.78.24.24.24">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.79.79.79.25.25.25.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.79.79.79.25.25.25.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.79.79.79.25.25.25.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.79.79.79.25.25.25.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.79.79.79.25.25.25.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.79.79.79.25.25.25.1.2">𝜈</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.79.79.79.25.25.25.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.79.79.79.25.25.25.1.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.84.84.84.30.30.30.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.84.84.84.30.30.30"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.81.81.81.27.27.27.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.81.81.81.27.27.27">Γ</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.82.82.82.28.28.28.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.82.82.82.28.28.28.1">𝜇</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.83.83.83.29.29.29.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.83.83.83.29.29.29.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.83.83.83.29.29.29.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.83.83.83.29.29.29.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.83.83.83.29.29.29.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.83.83.83.29.29.29.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.83.83.83.29.29.29.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.83.83.83.29.29.29.1.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.85.85.85.31.31.31.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.85.85.85.31.31.31">Γ</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.86.86.86.32.32.32.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.86.86.86.32.32.32.1">𝜇</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.87.87.87.33.33.33.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.87.87.87.33.33.33.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.87.87.87.33.33.33.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.87.87.87.33.33.33.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.87.87.87.33.33.33.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.87.87.87.33.33.33.1.2">𝜎</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.87.87.87.33.33.33.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.87.87.87.33.33.33.1.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.90.90.90.36.36.36.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.90.90.90.36.36.36">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.91.91.91.37.37.37.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.91.91.91.37.37.37">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.92.92.92.38.38.38.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.92.92.92.38.38.38.1">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.95.95.95.41.41.41.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.95.95.95.41.41.41">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.99.99.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.7.7.7.7.7.9.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.96.96.96.42.42.42.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.96.96.96.42.42.42">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.97.97.97.43.43.43.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.97.97.97.43.43.43.1">𝜌</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101c">\lambda_{0}=\frac{1}{2}\sqrt{-\det{{g}}}{g}^{\kappa\phi}\\ \left[d\left(\Gamma^{\gamma}_{\rho\phi}+\Gamma^{\gamma}_{\phi\rho}\right)% \wedge dx^{\rho}+\frac{1}{2}\left(\Gamma^{\sigma}_{\delta\phi}+\Gamma^{\sigma}% _{\phi\delta}\right)\left(\Gamma^{\gamma}_{\beta\sigma}+\Gamma^{\gamma}_{% \sigma\beta}\right)dx^{\beta}\wedge dx^{\delta}\right]\wedge dx_{\gamma\kappa}% +\\ +\beta_{\mu\nu}^{\rho}\left[d{g}^{\mu\nu}+\frac{1}{2}\left({g}^{\mu\sigma}% \left({\Gamma}^{\nu}_{\gamma\sigma}+{\Gamma}^{\nu}_{\sigma\gamma}\right)+{g}^{% \nu\sigma}\left({\Gamma}^{\mu}_{\gamma\sigma}+{\Gamma}^{\mu}_{\sigma\gamma}% \right)\right)dx^{\gamma}\right]\wedge dx_{\rho}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p2.7.m1.101d">start_ROW start_CELL italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL [ italic_d ( roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT + roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT ) ∧ italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_δ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT + roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ italic_δ end_POSTSUBSCRIPT ) ( roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_σ end_POSTSUBSCRIPT + roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_β end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_δ end_POSTSUPERSCRIPT ] ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_κ end_POSTSUBSCRIPT + end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT + roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_γ end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT + roman_Γ start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_σ italic_γ end_POSTSUBSCRIPT ) ) italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT ] ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS1.p2.10">So there exists a <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p2.8.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p2.8.m1.1a"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.8.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.8.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p2.8.m1.1b"><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.8.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.8.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p2.8.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p2.8.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math>-form <math alttext="\lambda_{h}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1a"><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1.1.3.cmml">h</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1b"><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1.1.3">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1c">\lambda_{h}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p2.9.m2.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on <math alttext="W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1a"><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1.1.3.cmml">‡</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1b"><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1c">W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p2.10.m3.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, the <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S4.SS4.SSS1.p2.10.1">Hamiltonian potential form</em>, which is given locally by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx17"> <tbody id="S4.Ex70"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\lambda_{h}=\sqrt{-\det{{g}}}{g}^{\kappa\phi}\left(dM^{\gamma}_{% \rho\phi}\wedge dx^{\rho}+M^{\sigma}_{\delta\phi}M^{\gamma}_{\beta\sigma}dx^{% \beta}\wedge dx^{\delta}\right)\wedge dx_{\gamma\kappa}+" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex70.m1.1"><semantics id="S4.Ex70.m1.1a"><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex70.m1.1.1.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.3.3.cmml">h</mi></msub><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.cmml"><msqrt id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2a" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">ϕ</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml">γ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">ρ</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">δ</mi><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml">γ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1b" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.3.cmml">β</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∧</mo><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">δ</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.2.cmml">∧</mo><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.3.1" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">κ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.3.cmml">+</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex70.m1.1b"><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1"><eq id="S4.Ex70.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.3.3">ℎ</ci></apply><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1"><and id="S4.Ex70.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.2"></and><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3"><root id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3"></root><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2"><minus id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2"></minus><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2.2"><determinant id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2.2.1"></determinant><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3"><times id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.4.3.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1"><and id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></and><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><and id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></and><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3"><times id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2">𝜌</ci><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">𝜌</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3"><times id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.2">𝛽</ci><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.3">𝜎</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.4">𝑑</ci><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.5.3">𝛽</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝛿</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3">limit-from</csymbol><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.2">𝑥</ci><apply id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.3"><times id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.3.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.2.3.3.3">𝜅</ci></apply></apply></apply><plus id="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex70.m1.1.1.1.3.3"></plus></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex70.m1.1c">\displaystyle\lambda_{h}=\sqrt{-\det{{g}}}{g}^{\kappa\phi}\left(dM^{\gamma}_{% \rho\phi}\wedge dx^{\rho}+M^{\sigma}_{\delta\phi}M^{\gamma}_{\beta\sigma}dx^{% \beta}\wedge dx^{\delta}\right)\wedge dx_{\gamma\kappa}+</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex70.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_δ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_δ end_POSTSUPERSCRIPT ) ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_κ end_POSTSUBSCRIPT +</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex71"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle+\beta_{\mu\nu}^{\rho}\left[d{g}^{\mu\nu}+\left({g}^{\mu\sigma}{M% }^{\nu}_{\gamma\sigma}+{g}^{\nu\sigma}{M}^{\mu}_{\gamma\sigma}\right)dx^{% \gamma}\right]\wedge dx_{\rho}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex71.m1.1"><semantics id="S4.Ex71.m1.1a"><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1a" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">ρ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">ν</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ν</mi><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">μ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">γ</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.2.cmml">∧</mo><mrow id="S4.Ex71.m1.1.1.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex71.m1.1.1.3.1" xref="S4.Ex71.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex71.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex71.m1.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex71.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex71.m1.1.1.3.3.3.cmml">ρ</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex71.m1.1b"><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1"><and id="S4.Ex71.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.2"></and><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1"><plus id="S4.Ex71.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.3.3">𝜌</ci></apply><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝜈</ci><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝜇</ci></apply><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.3"><times id="S4.Ex71.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.3.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex71.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex71.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex71.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex71.m1.1.1.3.3.3">𝜌</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex71.m1.1c">\displaystyle+\beta_{\mu\nu}^{\rho}\left[d{g}^{\mu\nu}+\left({g}^{\mu\sigma}{M% }^{\nu}_{\gamma\sigma}+{g}^{\nu\sigma}{M}^{\mu}_{\gamma\sigma}\right)dx^{% \gamma}\right]\wedge dx_{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex71.m1.1d">+ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT + ( italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT + italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT ] ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS1.p2.12">in the coordinates <math alttext="\left(x^{\mu},e^{\mu}_{k},M_{\mu\nu}^{\sigma},\beta_{pq}^{r}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4a"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.5.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.5" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.5.cmml">(</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.6" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">μ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.7" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.3.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.3.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.3.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.8" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.5.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.3.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.3.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.3.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.9" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.5.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4b"><vector id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.5.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4"><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.1.1.1.1.3">𝜇</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.2">𝑀</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.3"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.3.3.3.3.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.3"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.3.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4.4.4.4.3">𝑟</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4c">\left(x^{\mu},e^{\mu}_{k},M_{\mu\nu}^{\sigma},\beta_{pq}^{r}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p2.11.m1.4d">( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> on <math alttext="W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1a"><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1.1.2.cmml">W</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1.1.3.cmml">‡</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1b"><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1c">W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p2.12.m2.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and such that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex72"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p_{0}^{*}\lambda_{h}=\lambda_{0}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex72.m1.1"><semantics id="S4.Ex72.m1.1a"><mrow id="S4.Ex72.m1.1.1.1" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mi id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">h</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S4.Ex72.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex72.m1.1b"><apply id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">0</cn></apply><times id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.2.3"></times></apply><apply id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝜆</ci><ci id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.2.3.3">ℎ</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><cn id="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex72.m1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex72.m1.1c">p_{0}^{*}\lambda_{h}=\lambda_{0}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex72.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS1.p2.16">Using the fact that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex73"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="dx^{\mu}\wedge dx_{\nu}=\delta^{\mu}_{\nu}d^{n}x" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex73.m1.1"><semantics id="S4.Ex73.m1.1a"><mrow id="S4.Ex73.m1.1.1" xref="S4.Ex73.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex73.m1.1.1.2" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex73.m1.1.1.2.2" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">μ</mi></msup></mrow><mo id="S4.Ex73.m1.1.1.2.1" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S4.Ex73.m1.1.1.2.3" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.3.3.cmml">ν</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex73.m1.1.1.1" xref="S4.Ex73.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex73.m1.1.1.3" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex73.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.3.cmml">ν</mi><mi id="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">μ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex73.m1.1.1.3.1" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex73.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex73.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.3.2.cmml">d</mi><mi id="S4.Ex73.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.Ex73.m1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex73.m1.1.1.3.4" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.4.cmml">x</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex73.m1.1b"><apply id="S4.Ex73.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1"><eq id="S4.Ex73.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex73.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2"><and id="S4.Ex73.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.1"></and><apply id="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.2.3.3">𝜇</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.2.3.3.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex73.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3"><times id="S4.Ex73.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S4.Ex73.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex73.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex73.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.3.2">𝑑</ci><ci id="S4.Ex73.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.Ex73.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex73.m1.1.1.3.4">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex73.m1.1c">dx^{\mu}\wedge dx_{\nu}=\delta^{\mu}_{\nu}d^{n}x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex73.m1.1d">italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT = italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS1.p2.17">and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex74"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="dx^{\mu}\wedge dx_{\nu\sigma}=\delta^{\mu}_{\nu}dx_{\sigma}-\delta^{\mu}_{% \sigma}dx_{\nu}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex74.m1.1"><semantics id="S4.Ex74.m1.1a"><mrow id="S4.Ex74.m1.1.1.1" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">μ</mi></msup></mrow><mo id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.2" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml">ν</mi><mo id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.1" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.3" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.3.cmml">σ</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">ν</mi><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">μ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.4" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.4.3" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml">σ</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">σ</mi><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">μ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.4.2" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.4.3" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml">ν</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex74.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex74.m1.1b"><apply id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2"><and id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.1"></and><apply id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝜇</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑥</ci><apply id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.3"><times id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.2">𝜈</ci><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.2.3.3.3.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝜈</ci></apply><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝑑</ci><apply id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.4.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.2.4.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝜎</ci></apply><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑑</ci><apply id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.4.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex74.m1.1.1.1.1.3.3.4.3">𝜈</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex74.m1.1c">dx^{\mu}\wedge dx_{\nu\sigma}=\delta^{\mu}_{\nu}dx_{\sigma}-\delta^{\mu}_{% \sigma}dx_{\nu},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex74.m1.1d">italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_ν italic_σ end_POSTSUBSCRIPT = italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT - italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS1.p2.18">we can simplify further the Hamiltonian potential form as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.SS4.SSS1.p2.13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lambda_{h}=\sqrt{-\det{{g}}}{g}^{\kappa\phi}\left[dM^{\gamma}_{\gamma\phi}% \wedge dx_{\kappa}-dM^{\gamma}_{\kappa\phi}\wedge dx_{\gamma}+\left(M^{\sigma}% _{\kappa\phi}M^{\beta}_{\beta\sigma}-M^{\sigma}_{\gamma\phi}M^{\gamma}_{\kappa% \sigma}\right)d^{n}x\right]+\\ +\beta_{\mu\nu}^{\rho}\left[d{g}^{\mu\nu}\wedge dx_{\rho}+2{g}^{\mu\sigma}{M}^% {\nu}_{\rho\sigma}d^{n}x\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71a"><mtable displaystyle="true" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3a"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3b"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45"><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.46"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">λ</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">h</mi></msub><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1"><msqrt id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.6.6.6.6.6.6.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.6.6.6.6.6.6.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.6.6.6.6.6.6.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.6.6.6.6.6.6.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.6.6.6.6.6.6.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.2"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.2.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.2.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.2.1.1.1"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.11.11.11.11.11.11.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.11.11.11.11.11.11.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.11.11.11.11.11.11.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.11.11.11.11.11.11.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.11.11.11.11.11.11.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.11.11.11.11.11.11.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.11.11.11.11.11.11.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.10.10.10.10.10.10.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.12.12.12.12.12.12.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.2.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.13.13.13.13.13.13" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.2.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.14.14.14.14.14.14" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.15.15.15.15.15.15.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.15.15.15.15.15.15.1.cmml">κ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.16.16.16.16.16.16" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.16.16.16.16.16.16.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.2.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.17.17.17.17.17.17" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.2.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.2.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.18.18.18.18.18.18" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.20.20.20.20.20.20.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.20.20.20.20.20.20.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.20.20.20.20.20.20.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.20.20.20.20.20.20.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.20.20.20.20.20.20.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.20.20.20.20.20.20.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.20.20.20.20.20.20.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.19.19.19.19.19.19.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.19.19.19.19.19.19.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.21.21.21.21.21.21" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.21.21.21.21.21.21.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.22.22.22.22.22.22" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.22.22.22.22.22.22.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.2.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.23.23.23.23.23.23" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.23.23.23.23.23.23.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.24.24.24.24.24.24.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.24.24.24.24.24.24.1.cmml">γ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.25.25.25.25.25.25" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.25.25.25.25.25.25.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.26.26.26.26.26.26" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.27.27.27.27.27.27" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.27.27.27.27.27.27.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.29.29.29.29.29.29.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.29.29.29.29.29.29.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.29.29.29.29.29.29.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.29.29.29.29.29.29.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.29.29.29.29.29.29.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.29.29.29.29.29.29.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.29.29.29.29.29.29.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.28.28.28.28.28.28.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.28.28.28.28.28.28.1.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.30.30.30.30.30.30" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.30.30.30.30.30.30.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.32.32.32.32.32.32.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.32.32.32.32.32.32.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.32.32.32.32.32.32.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.32.32.32.32.32.32.1.2.cmml">β</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.32.32.32.32.32.32.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.32.32.32.32.32.32.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.32.32.32.32.32.32.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.32.32.32.32.32.32.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.31.31.31.31.31.31.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.31.31.31.31.31.31.1.cmml">β</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.33.33.33.33.33.33" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.33.33.33.33.33.33.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.34.34.34.34.34.34" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.34.34.34.34.34.34.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.36.36.36.36.36.36.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.36.36.36.36.36.36.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.36.36.36.36.36.36.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.36.36.36.36.36.36.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.36.36.36.36.36.36.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.36.36.36.36.36.36.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.36.36.36.36.36.36.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.36.36.36.36.36.36.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.35.35.35.35.35.35.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.35.35.35.35.35.35.1.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.37.37.37.37.37.37" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.37.37.37.37.37.37.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.39.39.39.39.39.39.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.39.39.39.39.39.39.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.39.39.39.39.39.39.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.39.39.39.39.39.39.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.39.39.39.39.39.39.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.39.39.39.39.39.39.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.39.39.39.39.39.39.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.39.39.39.39.39.39.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.38.38.38.38.38.38.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.38.38.38.38.38.38.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.40.40.40.40.40.40" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.1.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.41.41.41.41.41.41" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.41.41.41.41.41.41.cmml">d</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.42.42.42.42.42.42.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.42.42.42.42.42.42.1.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.43.43.43.43.43.43" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.43.43.43.43.43.43.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.44.44.44.44.44.44" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">+</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3c"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3d"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.46.46.46.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.46.46.46.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.47.47.47.3.3.3.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.47.47.47.3.3.3.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.47.47.47.3.3.3.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.47.47.47.3.3.3.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.47.47.47.3.3.3.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.47.47.47.3.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.47.47.47.3.3.3.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.47.47.47.3.3.3.1.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.48.48.48.4.4.4.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.48.48.48.4.4.4.1.cmml">ρ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.49.49.49.5.5.5" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.50.50.50.6.6.6" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.50.50.50.6.6.6.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.51.51.51.7.7.7" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.51.51.51.7.7.7.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.52.52.52.8.8.8.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.52.52.52.8.8.8.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.52.52.52.8.8.8.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.52.52.52.8.8.8.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.52.52.52.8.8.8.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.52.52.52.8.8.8.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.52.52.52.8.8.8.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.52.52.52.8.8.8.1.3.cmml">ν</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.53.53.53.9.9.9" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.53.53.53.9.9.9.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.54.54.54.10.10.10" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.54.54.54.10.10.10.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.55.55.55.11.11.11" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.55.55.55.11.11.11.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.56.56.56.12.12.12.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.56.56.56.12.12.12.1.cmml">ρ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.57.57.57.13.13.13" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.57.57.57.13.13.13.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1.1.2"><mn id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.58.58.58.14.14.14" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.58.58.58.14.14.14.cmml">2</mn><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.59.59.59.15.15.15" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.59.59.59.15.15.15.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.60.60.60.16.16.16.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.60.60.60.16.16.16.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.60.60.60.16.16.16.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.60.60.60.16.16.16.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.60.60.60.16.16.16.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.60.60.60.16.16.16.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.60.60.60.16.16.16.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.60.60.60.16.16.16.1.3.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1.1.2.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.61.61.61.17.17.17" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.61.61.61.17.17.17.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.63.63.63.19.19.19.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.63.63.63.19.19.19.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.63.63.63.19.19.19.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.63.63.63.19.19.19.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.63.63.63.19.19.19.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.63.63.63.19.19.19.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.63.63.63.19.19.19.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.63.63.63.19.19.19.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.62.62.62.18.18.18.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.62.62.62.18.18.18.1.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1.1.2.1b" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1.1.2.4"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.64.64.64.20.20.20" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.64.64.64.20.20.20.cmml">d</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.65.65.65.21.21.21.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.65.65.65.21.21.21.1.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71.71.3.70.25.25.25.1.1.1.1.1.2.1c" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.66.66.66.22.22.22" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.66.66.66.22.22.22.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.67.67.67.23.23.23" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.68.68.68.24.24.24" lspace="0em" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71b"><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><eq id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.3.3.3.3.3.3"></eq><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.1.1.1.1.1.1">𝜆</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.2.2.2.2.2.2.1">ℎ</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.45.45.45.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4"><root id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4a.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4"></root><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2"><minus id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2"></minus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2"><determinant id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.1"></determinant><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.4.4.4.4.4.4.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.5.5.5.5.5.5">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.6.6.6.6.6.6.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.6.6.6.6.6.6.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.6.6.6.6.6.6.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.6.6.6.6.6.6.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.6.6.6.6.6.6.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.25.25.25.25.25.25.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.25.25.25.25.25.25"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.21.21.21.21.21.21.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.21.21.21.21.21.21"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><minus id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.16.16.16.16.16.16.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.16.16.16.16.16.16"></minus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.12.12.12.12.12.12.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.12.12.12.12.12.12"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.8.8.8.8.8.8">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.9.9.9.9.9.9">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.10.10.10.10.10.10.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.11.11.11.11.11.11.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.11.11.11.11.11.11.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.11.11.11.11.11.11.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.11.11.11.11.11.11.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.11.11.11.11.11.11.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.11.11.11.11.11.11.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.11.11.11.11.11.11.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.13.13.13.13.13.13.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.13.13.13.13.13.13">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.14.14.14.14.14.14.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.14.14.14.14.14.14">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.15.15.15.15.15.15.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.15.15.15.15.15.15.1">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.17.17.17.17.17.17.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.17.17.17.17.17.17">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.18.18.18.18.18.18.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.18.18.18.18.18.18">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.19.19.19.19.19.19.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.19.19.19.19.19.19.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.20.20.20.20.20.20.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.20.20.20.20.20.20.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.20.20.20.20.20.20.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.20.20.20.20.20.20.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.20.20.20.20.20.20.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.20.20.20.20.20.20.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.20.20.20.20.20.20.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.22.22.22.22.22.22.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.22.22.22.22.22.22">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.23.23.23.23.23.23.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.23.23.23.23.23.23">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.24.24.24.24.24.24.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.24.24.24.24.24.24.1">𝛾</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><minus id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.33.33.33.33.33.33.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.33.33.33.33.33.33"></minus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.27.27.27.27.27.27.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.27.27.27.27.27.27">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.28.28.28.28.28.28.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.28.28.28.28.28.28.1">𝜎</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.29.29.29.29.29.29.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.29.29.29.29.29.29.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.29.29.29.29.29.29.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.29.29.29.29.29.29.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.29.29.29.29.29.29.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.29.29.29.29.29.29.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.29.29.29.29.29.29.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.30.30.30.30.30.30.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.30.30.30.30.30.30">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.31.31.31.31.31.31.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.31.31.31.31.31.31.1">𝛽</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.32.32.32.32.32.32.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.32.32.32.32.32.32.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.32.32.32.32.32.32.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.32.32.32.32.32.32.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.32.32.32.32.32.32.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.32.32.32.32.32.32.1.2">𝛽</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.32.32.32.32.32.32.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.32.32.32.32.32.32.1.3">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.34.34.34.34.34.34.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.34.34.34.34.34.34">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.35.35.35.35.35.35.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.35.35.35.35.35.35.1">𝜎</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.36.36.36.36.36.36.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.36.36.36.36.36.36.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.36.36.36.36.36.36.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.36.36.36.36.36.36.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.36.36.36.36.36.36.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.36.36.36.36.36.36.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.36.36.36.36.36.36.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.36.36.36.36.36.36.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.37.37.37.37.37.37.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.37.37.37.37.37.37">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.38.38.38.38.38.38.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.38.38.38.38.38.38.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.39.39.39.39.39.39.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.39.39.39.39.39.39.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.39.39.39.39.39.39.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.39.39.39.39.39.39.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.39.39.39.39.39.39.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.39.39.39.39.39.39.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.39.39.39.39.39.39.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.39.39.39.39.39.39.1.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.41.41.41.41.41.41.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.41.41.41.41.41.41">𝑑</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.42.42.42.42.42.42.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.42.42.42.42.42.42.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.43.43.43.43.43.43.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.43.43.43.43.43.43">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.46.46.46.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.46.46.46.2.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.47.47.47.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.47.47.47.3.3.3.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.47.47.47.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.47.47.47.3.3.3.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.47.47.47.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.47.47.47.3.3.3.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.47.47.47.3.3.3.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.47.47.47.3.3.3.1.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.48.48.48.4.4.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.48.48.48.4.4.4.1">𝜌</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.57.57.57.13.13.13.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.57.57.57.13.13.13"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.53.53.53.9.9.9.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.53.53.53.9.9.9"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.50.50.50.6.6.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.50.50.50.6.6.6">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.51.51.51.7.7.7.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.51.51.51.7.7.7">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.52.52.52.8.8.8.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.52.52.52.8.8.8.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.52.52.52.8.8.8.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.52.52.52.8.8.8.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.52.52.52.8.8.8.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.52.52.52.8.8.8.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.52.52.52.8.8.8.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.52.52.52.8.8.8.1.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.54.54.54.10.10.10.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.54.54.54.10.10.10">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.55.55.55.11.11.11.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.55.55.55.11.11.11">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.56.56.56.12.12.12.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.56.56.56.12.12.12.1">𝜌</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"></times><cn id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.58.58.58.14.14.14.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.58.58.58.14.14.14">2</cn><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.59.59.59.15.15.15.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.59.59.59.15.15.15">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.60.60.60.16.16.16.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.60.60.60.16.16.16.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.60.60.60.16.16.16.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.60.60.60.16.16.16.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.60.60.60.16.16.16.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.60.60.60.16.16.16.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.60.60.60.16.16.16.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.60.60.60.16.16.16.1.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.61.61.61.17.17.17.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.61.61.61.17.17.17">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.62.62.62.18.18.18.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.62.62.62.18.18.18.1">𝜈</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.63.63.63.19.19.19.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.63.63.63.19.19.19.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.63.63.63.19.19.19.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.63.63.63.19.19.19.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.63.63.63.19.19.19.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.63.63.63.19.19.19.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.63.63.63.19.19.19.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.63.63.63.19.19.19.1.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.69.69.1.1.1.2.2.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.70.70.2.69.45.45.45.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.64.64.64.20.20.20.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.64.64.64.20.20.20">𝑑</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.65.65.65.21.21.21.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.65.65.65.21.21.21.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.66.66.66.22.22.22.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.66.66.66.22.22.22">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71c">\lambda_{h}=\sqrt{-\det{{g}}}{g}^{\kappa\phi}\left[dM^{\gamma}_{\gamma\phi}% \wedge dx_{\kappa}-dM^{\gamma}_{\kappa\phi}\wedge dx_{\gamma}+\left(M^{\sigma}% _{\kappa\phi}M^{\beta}_{\beta\sigma}-M^{\sigma}_{\gamma\phi}M^{\gamma}_{\kappa% \sigma}\right)d^{n}x\right]+\\ +\beta_{\mu\nu}^{\rho}\left[d{g}^{\mu\nu}\wedge dx_{\rho}+2{g}^{\mu\sigma}{M}^% {\nu}_{\rho\sigma}d^{n}x\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p2.13.m1.71d">start_ROW start_CELL italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT - italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT + ( italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_σ end_POSTSUBSCRIPT - italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ] + end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT + 2 italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ] . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS1.p2.19">The Hamiltonian form is the differential of this form, namely</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.SS4.SSS1.p2.14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Omega_{h}=\frac{1}{2}\sqrt{-\det{{g}}}{g}^{\kappa\phi}g_{\omega\eta}dg^{% \omega\eta}\wedge\\ \wedge\left[dM^{\gamma}_{\gamma\phi}\wedge dx_{\kappa}-dM^{\gamma}_{\kappa\phi% }\wedge dx_{\gamma}-\left(M^{\sigma}_{\kappa\phi}M^{\beta}_{\beta\sigma}-M^{% \sigma}_{\gamma\phi}M^{\gamma}_{\kappa\sigma}\right)d^{n}x\right]+\\ +\sqrt{-\det{{g}}}d{g}^{\kappa\phi}\wedge\left[dM^{\gamma}_{\gamma\phi}\wedge dx% _{\kappa}-dM^{\gamma}_{\kappa\phi}\wedge dx_{\gamma}-\left(M^{\sigma}_{\kappa% \phi}M^{\beta}_{\beta\sigma}-M^{\sigma}_{\gamma\phi}M^{\gamma}_{\kappa\sigma}% \right)d^{n}x\right]-\\ -\sqrt{-\det{{g}}}{g}^{\kappa\phi}\left(M^{\sigma}_{\kappa\phi}dM^{\beta}_{% \beta\sigma}+M^{\beta}_{\beta\sigma}dM^{\sigma}_{\kappa\phi}-M^{\sigma}_{% \gamma\phi}dM^{\gamma}_{\kappa\sigma}-M^{\gamma}_{\kappa\sigma}dM^{\sigma}_{% \gamma\phi}\right)\wedge d^{n}x+\\ +d\beta_{\mu\nu}^{\rho}\wedge\left[d{g}^{\mu\nu}\wedge dx_{\rho}+2{g}^{\mu% \sigma}{M}^{\nu}_{\rho\sigma}d^{n}x\right]+2\beta_{\mu\nu}^{\rho}{g}^{\mu% \sigma}d{M}^{\nu}_{\rho\sigma}\wedge d^{n}x+2\beta_{\mu\nu}^{\rho}{M}^{\nu}_{% \rho\sigma}d{g}^{\mu\sigma}\wedge d^{n}x." class="ltx_Math" display="block" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197"><semantics id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197a"><mtable displaystyle="true" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5a"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5b"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12"><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.13"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.1.1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">Ω</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">h</mi></msub><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2"><mfrac id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.4.4.4.4.4.4.cmml"><mn id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.4.4.4.4.4.4.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml">1</mn><mn id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.4.4.4.4.4.4.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.4.4.4.4.4.4.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.6.6.6.6.6.6" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.7.7.7.7.7.7.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.7.7.7.7.7.7.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.7.7.7.7.7.7.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.7.7.7.7.7.7.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.7.7.7.7.7.7.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.7.7.7.7.7.7.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1b" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.9.9.9.9.9.9.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.9.9.9.9.9.9.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.9.9.9.9.9.9.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.9.9.9.9.9.9.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.9.9.9.9.9.9.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.9.9.9.9.9.9.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.9.9.9.9.9.9.1.3.cmml">η</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1c" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.10.10.10.10.10.10" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.10.10.10.10.10.10.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1d" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.4"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.11.11.11.11.11.11" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.12.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.12.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.12.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.12.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.12.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.12.1.3.cmml">η</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">∧</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5c"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5d"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40a" rspace="0em" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.14.14.14.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.2"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.2.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.2.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.2.1.1.1"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.15.15.15.3.3.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.15.15.15.3.3.3.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.2.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.16.16.16.4.4.4" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.16.16.16.4.4.4.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.18.18.18.6.6.6.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.18.18.18.6.6.6.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.18.18.18.6.6.6.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.18.18.18.6.6.6.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.18.18.18.6.6.6.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.18.18.18.6.6.6.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.18.18.18.6.6.6.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.18.18.18.6.6.6.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.17.17.17.5.5.5.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.17.17.17.5.5.5.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.19.19.19.7.7.7" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.19.19.19.7.7.7.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.2.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.20.20.20.8.8.8" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.20.20.20.8.8.8.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.2.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.21.21.21.9.9.9" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.21.21.21.9.9.9.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.22.22.22.10.10.10.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.22.22.22.10.10.10.1.cmml">κ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.23.23.23.11.11.11" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.23.23.23.11.11.11.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.2.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.24.24.24.12.12.12" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.24.24.24.12.12.12.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.2.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.2.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.25.25.25.13.13.13" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.25.25.25.13.13.13.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.27.27.27.15.15.15.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.27.27.27.15.15.15.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.27.27.27.15.15.15.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.27.27.27.15.15.15.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.27.27.27.15.15.15.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.27.27.27.15.15.15.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.27.27.27.15.15.15.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.27.27.27.15.15.15.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.26.26.26.14.14.14.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.26.26.26.14.14.14.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.28.28.28.16.16.16" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.28.28.28.16.16.16.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.29.29.29.17.17.17" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.29.29.29.17.17.17.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.2.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.30.30.30.18.18.18" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.30.30.30.18.18.18.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.31.31.31.19.19.19.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.31.31.31.19.19.19.1.cmml">γ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.32.32.32.20.20.20" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.32.32.32.20.20.20.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.33.33.33.21.21.21" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.34.34.34.22.22.22" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.34.34.34.22.22.22.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.36.36.36.24.24.24.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.36.36.36.24.24.24.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.36.36.36.24.24.24.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.36.36.36.24.24.24.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.36.36.36.24.24.24.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.36.36.36.24.24.24.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.36.36.36.24.24.24.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.36.36.36.24.24.24.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.35.35.35.23.23.23.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.35.35.35.23.23.23.1.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.37.37.37.25.25.25" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.37.37.37.25.25.25.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.39.39.39.27.27.27.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.39.39.39.27.27.27.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.39.39.39.27.27.27.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.39.39.39.27.27.27.1.2.cmml">β</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.39.39.39.27.27.27.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.39.39.39.27.27.27.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.39.39.39.27.27.27.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.39.39.39.27.27.27.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.38.38.38.26.26.26.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.38.38.38.26.26.26.1.cmml">β</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.40.40.40.28.28.28" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.40.40.40.28.28.28.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.2"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.41.41.41.29.29.29" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.41.41.41.29.29.29.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.43.43.43.31.31.31.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.43.43.43.31.31.31.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.43.43.43.31.31.31.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.43.43.43.31.31.31.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.43.43.43.31.31.31.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.43.43.43.31.31.31.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.43.43.43.31.31.31.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.43.43.43.31.31.31.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.42.42.42.30.30.30.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.42.42.42.30.30.30.1.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.44.44.44.32.32.32" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.44.44.44.32.32.32.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.46.46.46.34.34.34.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.46.46.46.34.34.34.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.46.46.46.34.34.34.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.46.46.46.34.34.34.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.46.46.46.34.34.34.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.46.46.46.34.34.34.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.46.46.46.34.34.34.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.46.46.46.34.34.34.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.45.45.45.33.33.33.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.45.45.45.33.33.33.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.47.47.47.35.35.35" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.1.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.48.48.48.36.36.36" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.48.48.48.36.36.36.cmml">d</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.49.49.49.37.37.37.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.49.49.49.37.37.37.1.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.40.1.1.1.1.2a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.50.50.50.38.38.38" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.50.50.50.38.38.38.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.51.51.51.39.39.39" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.194.194.2.193.40.40.42" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">+</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5e"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5f"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.46"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.46a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.46.1"><msqrt id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.46.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.54.54.54.3.3.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.54.54.54.3.3.3.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.46.1.1a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.46.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.55.55.55.4.4.4" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.55.55.55.4.4.4.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.56.56.56.5.5.5.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.56.56.56.5.5.5.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.56.56.56.5.5.5.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.56.56.56.5.5.5.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.56.56.56.5.5.5.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.56.56.56.5.5.5.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.56.56.56.5.5.5.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.56.56.56.5.5.5.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.57.57.57.6.6.6" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.57.57.57.6.6.6.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.58.58.58.7.7.7" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.2"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.2.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.2.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.2.1.1.1"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.59.59.59.8.8.8" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.59.59.59.8.8.8.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.2.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.60.60.60.9.9.9" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.60.60.60.9.9.9.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.62.62.62.11.11.11.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.62.62.62.11.11.11.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.62.62.62.11.11.11.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.62.62.62.11.11.11.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.62.62.62.11.11.11.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.62.62.62.11.11.11.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.62.62.62.11.11.11.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.62.62.62.11.11.11.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.61.61.61.10.10.10.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.61.61.61.10.10.10.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.63.63.63.12.12.12" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.63.63.63.12.12.12.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.2.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.64.64.64.13.13.13" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.64.64.64.13.13.13.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.2.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.2.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.65.65.65.14.14.14" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.65.65.65.14.14.14.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.66.66.66.15.15.15.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.66.66.66.15.15.15.1.cmml">κ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.67.67.67.16.16.16" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.67.67.67.16.16.16.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.2.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.68.68.68.17.17.17" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.68.68.68.17.17.17.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.2.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.2.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.69.69.69.18.18.18" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.69.69.69.18.18.18.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.71.71.71.20.20.20.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.71.71.71.20.20.20.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.71.71.71.20.20.20.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.71.71.71.20.20.20.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.71.71.71.20.20.20.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.71.71.71.20.20.20.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.71.71.71.20.20.20.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.71.71.71.20.20.20.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.70.70.70.19.19.19.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.70.70.70.19.19.19.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.72.72.72.21.21.21" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.72.72.72.21.21.21.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.73.73.73.22.22.22" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.73.73.73.22.22.22.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.2.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.74.74.74.23.23.23" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.74.74.74.23.23.23.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.75.75.75.24.24.24.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.75.75.75.24.24.24.1.cmml">γ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.76.76.76.25.25.25" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.76.76.76.25.25.25.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.77.77.77.26.26.26" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.78.78.78.27.27.27" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.78.78.78.27.27.27.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.80.80.80.29.29.29.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.80.80.80.29.29.29.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.80.80.80.29.29.29.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.80.80.80.29.29.29.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.80.80.80.29.29.29.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.80.80.80.29.29.29.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.80.80.80.29.29.29.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.80.80.80.29.29.29.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.79.79.79.28.28.28.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.79.79.79.28.28.28.1.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.81.81.81.30.30.30" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.81.81.81.30.30.30.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.83.83.83.32.32.32.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.83.83.83.32.32.32.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.83.83.83.32.32.32.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.83.83.83.32.32.32.1.2.cmml">β</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.83.83.83.32.32.32.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.83.83.83.32.32.32.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.83.83.83.32.32.32.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.83.83.83.32.32.32.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.82.82.82.31.31.31.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.82.82.82.31.31.31.1.cmml">β</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.84.84.84.33.33.33" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.84.84.84.33.33.33.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.2"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.85.85.85.34.34.34" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.85.85.85.34.34.34.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.87.87.87.36.36.36.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.87.87.87.36.36.36.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.87.87.87.36.36.36.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.87.87.87.36.36.36.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.87.87.87.36.36.36.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.87.87.87.36.36.36.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.87.87.87.36.36.36.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.87.87.87.36.36.36.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.86.86.86.35.35.35.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.86.86.86.35.35.35.1.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.88.88.88.37.37.37" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.88.88.88.37.37.37.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.90.90.90.39.39.39.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.90.90.90.39.39.39.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.90.90.90.39.39.39.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.90.90.90.39.39.39.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.90.90.90.39.39.39.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.90.90.90.39.39.39.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.90.90.90.39.39.39.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.90.90.90.39.39.39.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.89.89.89.38.38.38.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.89.89.89.38.38.38.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.91.91.91.40.40.40" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.1.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.92.92.92.41.41.41" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.92.92.92.41.41.41.cmml">d</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.93.93.93.42.42.42.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.93.93.93.42.42.42.1.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.1.1.1.1.2a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.94.94.94.43.43.43" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.94.94.94.43.43.43.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.95.95.95.44.44.44" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.195.195.3.194.45.45.45.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">−</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5g"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5h"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1"><msqrt id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.98.98.98.3.3.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.98.98.98.3.3.3.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.99.99.99.4.4.4.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.99.99.99.4.4.4.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.99.99.99.4.4.4.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.99.99.99.4.4.4.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.99.99.99.4.4.4.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.99.99.99.4.4.4.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.99.99.99.4.4.4.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.99.99.99.4.4.4.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.2a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.100.100.100.5.5.5" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.1.1"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.101.101.101.6.6.6" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.101.101.101.6.6.6.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.103.103.103.8.8.8.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.103.103.103.8.8.8.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.103.103.103.8.8.8.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.103.103.103.8.8.8.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.103.103.103.8.8.8.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.103.103.103.8.8.8.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.103.103.103.8.8.8.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.103.103.103.8.8.8.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.102.102.102.7.7.7.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.102.102.102.7.7.7.1.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.104.104.104.9.9.9" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.104.104.104.9.9.9.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.105.105.105.10.10.10" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.105.105.105.10.10.10.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.107.107.107.12.12.12.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.107.107.107.12.12.12.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.107.107.107.12.12.12.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.107.107.107.12.12.12.1.2.cmml">β</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.107.107.107.12.12.12.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.107.107.107.12.12.12.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.107.107.107.12.12.12.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.107.107.107.12.12.12.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.106.106.106.11.11.11.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.106.106.106.11.11.11.1.cmml">β</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.108.108.108.13.13.13" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.108.108.108.13.13.13.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.1.2"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.109.109.109.14.14.14" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.109.109.109.14.14.14.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.111.111.111.16.16.16.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.111.111.111.16.16.16.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.111.111.111.16.16.16.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.111.111.111.16.16.16.1.2.cmml">β</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.111.111.111.16.16.16.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.111.111.111.16.16.16.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.111.111.111.16.16.16.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.111.111.111.16.16.16.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.110.110.110.15.15.15.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.110.110.110.15.15.15.1.cmml">β</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.112.112.112.17.17.17" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.112.112.112.17.17.17.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.1.2.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.113.113.113.18.18.18" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.113.113.113.18.18.18.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.115.115.115.20.20.20.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.115.115.115.20.20.20.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.115.115.115.20.20.20.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.115.115.115.20.20.20.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.115.115.115.20.20.20.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.115.115.115.20.20.20.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.115.115.115.20.20.20.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.115.115.115.20.20.20.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.114.114.114.19.19.19.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.114.114.114.19.19.19.1.cmml">σ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.116.116.116.21.21.21" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.116.116.116.21.21.21.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.2"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.117.117.117.22.22.22" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.117.117.117.22.22.22.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.119.119.119.24.24.24.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.119.119.119.24.24.24.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.119.119.119.24.24.24.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.119.119.119.24.24.24.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.119.119.119.24.24.24.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.119.119.119.24.24.24.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.119.119.119.24.24.24.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.119.119.119.24.24.24.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.118.118.118.23.23.23.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.118.118.118.23.23.23.1.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.120.120.120.25.25.25" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.120.120.120.25.25.25.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.2.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.121.121.121.26.26.26" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.121.121.121.26.26.26.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.123.123.123.28.28.28.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.123.123.123.28.28.28.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.123.123.123.28.28.28.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.123.123.123.28.28.28.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.123.123.123.28.28.28.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.123.123.123.28.28.28.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.123.123.123.28.28.28.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.123.123.123.28.28.28.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.122.122.122.27.27.27.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.122.122.122.27.27.27.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.116.116.116.21.21.21a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.116.116.116.21.21.21.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.3"><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.3.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.125.125.125.30.30.30" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.125.125.125.30.30.30.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.127.127.127.32.32.32.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.127.127.127.32.32.32.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.127.127.127.32.32.32.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.127.127.127.32.32.32.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.127.127.127.32.32.32.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.127.127.127.32.32.32.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.127.127.127.32.32.32.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.127.127.127.32.32.32.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.126.126.126.31.31.31.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.126.126.126.31.31.31.1.cmml">γ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.128.128.128.33.33.33" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.128.128.128.33.33.33.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.42.1.1.1.1.3.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.129.129.129.34.34.34" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.129.129.129.34.34.34.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.131.131.131.36.36.36.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.131.131.131.36.36.36.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.131.131.131.36.36.36.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.131.131.131.36.36.36.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.131.131.131.36.36.36.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.131.131.131.36.36.36.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.131.131.131.36.36.36.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.131.131.131.36.36.36.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.130.130.130.35.35.35.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.130.130.130.35.35.35.1.cmml">σ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.132.132.132.37.37.37" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.133.133.133.38.38.38" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.133.133.133.38.38.38.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.43"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.43.2"><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.43.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.134.134.134.39.39.39" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.134.134.134.39.39.39.cmml">d</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.135.135.135.40.40.40.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.135.135.135.40.40.40.1.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.43.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.136.136.136.41.41.41" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.136.136.136.41.41.41.cmml">x</mi></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.196.196.4.195.42.42.43.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">+</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5i"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5j"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.2"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.2.1"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.138.138.138.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.138.138.138.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.2.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.139.139.139.3.3.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.139.139.139.3.3.3.cmml">β</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.140.140.140.4.4.4.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.140.140.140.4.4.4.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.140.140.140.4.4.4.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.140.140.140.4.4.4.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.140.140.140.4.4.4.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.140.140.140.4.4.4.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.140.140.140.4.4.4.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.140.140.140.4.4.4.1.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.141.141.141.5.5.5.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.141.141.141.5.5.5.1.cmml">ρ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.142.142.142.6.6.6" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.142.142.142.6.6.6.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.143.143.143.7.7.7" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.144.144.144.8.8.8" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.144.144.144.8.8.8.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.145.145.145.9.9.9" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.145.145.145.9.9.9.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.146.146.146.10.10.10.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.146.146.146.10.10.10.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.146.146.146.10.10.10.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.146.146.146.10.10.10.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.146.146.146.10.10.10.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.146.146.146.10.10.10.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.146.146.146.10.10.10.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.146.146.146.10.10.10.1.3.cmml">ν</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.147.147.147.11.11.11" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.147.147.147.11.11.11.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.148.148.148.12.12.12" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.148.148.148.12.12.12.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.149.149.149.13.13.13" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.149.149.149.13.13.13.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.150.150.150.14.14.14.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.150.150.150.14.14.14.1.cmml">ρ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.151.151.151.15.15.15" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.151.151.151.15.15.15.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mn id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.152.152.152.16.16.16" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.152.152.152.16.16.16.cmml">2</mn><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.153.153.153.17.17.17" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.153.153.153.17.17.17.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.154.154.154.18.18.18.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.154.154.154.18.18.18.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.154.154.154.18.18.18.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.154.154.154.18.18.18.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.154.154.154.18.18.18.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.154.154.154.18.18.18.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.154.154.154.18.18.18.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.154.154.154.18.18.18.1.3.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.155.155.155.19.19.19" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.155.155.155.19.19.19.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.157.157.157.21.21.21.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.157.157.157.21.21.21.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.157.157.157.21.21.21.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.157.157.157.21.21.21.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.157.157.157.21.21.21.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.157.157.157.21.21.21.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.157.157.157.21.21.21.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.157.157.157.21.21.21.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.156.156.156.20.20.20.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.156.156.156.20.20.20.1.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1b" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.158.158.158.22.22.22" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.158.158.158.22.22.22.cmml">d</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.159.159.159.23.23.23.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.159.159.159.23.23.23.1.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1c" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.160.160.160.24.24.24" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.160.160.160.24.24.24.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.161.161.161.25.25.25" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.162.162.162.26.26.26" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.162.162.162.26.26.26.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.2"><mn id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.163.163.163.27.27.27" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.163.163.163.27.27.27.cmml">2</mn><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.164.164.164.28.28.28" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.164.164.164.28.28.28.cmml">β</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.165.165.165.29.29.29.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.165.165.165.29.29.29.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.165.165.165.29.29.29.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.165.165.165.29.29.29.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.165.165.165.29.29.29.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.165.165.165.29.29.29.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.165.165.165.29.29.29.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.165.165.165.29.29.29.1.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.166.166.166.30.30.30.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.166.166.166.30.30.30.1.cmml">ρ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.2.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.167.167.167.31.31.31" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.167.167.167.31.31.31.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.168.168.168.32.32.32.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.168.168.168.32.32.32.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.168.168.168.32.32.32.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.168.168.168.32.32.32.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.168.168.168.32.32.32.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.168.168.168.32.32.32.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.168.168.168.32.32.32.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.168.168.168.32.32.32.1.3.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.2.1b" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.169.169.169.33.33.33" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.169.169.169.33.33.33.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.2.1c" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.1.2.4"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.170.170.170.34.34.34" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.170.170.170.34.34.34.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.172.172.172.36.36.36.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.172.172.172.36.36.36.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.172.172.172.36.36.36.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.172.172.172.36.36.36.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.172.172.172.36.36.36.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.172.172.172.36.36.36.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.172.172.172.36.36.36.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.172.172.172.36.36.36.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.171.171.171.35.35.35.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.171.171.171.35.35.35.1.cmml">ν</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.173.173.173.37.37.37" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.173.173.173.37.37.37.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.2"><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.174.174.174.38.38.38" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.174.174.174.38.38.38.cmml">d</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.175.175.175.39.39.39.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.175.175.175.39.39.39.1.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.176.176.176.40.40.40" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.176.176.176.40.40.40.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.177.177.177.41.41.41" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.177.177.177.41.41.41.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.2"><mn id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.178.178.178.42.42.42" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.178.178.178.42.42.42.cmml">2</mn><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.179.179.179.43.43.43" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.179.179.179.43.43.43.cmml">β</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.180.180.180.44.44.44.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.180.180.180.44.44.44.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.180.180.180.44.44.44.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.180.180.180.44.44.44.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.180.180.180.44.44.44.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.180.180.180.44.44.44.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.180.180.180.44.44.44.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.180.180.180.44.44.44.1.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.181.181.181.45.45.45.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.181.181.181.45.45.45.1.cmml">ρ</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.2.1a" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.2.3"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.182.182.182.46.46.46" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.182.182.182.46.46.46.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.184.184.184.48.48.48.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.184.184.184.48.48.48.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.184.184.184.48.48.48.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.184.184.184.48.48.48.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.184.184.184.48.48.48.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.184.184.184.48.48.48.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.184.184.184.48.48.48.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.184.184.184.48.48.48.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.183.183.183.47.47.47.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.183.183.183.47.47.47.1.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.2.1b" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.185.185.185.49.49.49" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.185.185.185.49.49.49.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.2.1c" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.1.2.4"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.186.186.186.50.50.50" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.186.186.186.50.50.50.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.187.187.187.51.51.51.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.187.187.187.51.51.51.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.187.187.187.51.51.51.1.2" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.187.187.187.51.51.51.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.187.187.187.51.51.51.1.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.187.187.187.51.51.51.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.187.187.187.51.51.51.1.3" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.187.187.187.51.51.51.1.3.cmml">σ</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.188.188.188.52.52.52" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.188.188.188.52.52.52.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.2"><msup id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.2.2"><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.189.189.189.53.53.53" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.189.189.189.53.53.53.cmml">d</mi><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.190.190.190.54.54.54.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.190.190.190.54.54.54.1.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197.197.5.196.57.57.57.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.191.191.191.55.55.55" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.191.191.191.55.55.55.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.192.192.192.56.56.56" lspace="0em" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197b"><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><eq id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.3.3.3.3.3.3"></eq><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.1.1.1.1.1.1">Ω</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.2.2.2.2.2.2.1">ℎ</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.188.188.188.52.52.52.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.188.188.188.52.52.52"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.177.177.177.41.41.41.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.177.177.177.41.41.41"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.173.173.173.37.37.37.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.173.173.173.37.37.37"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.162.162.162.26.26.26.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.162.162.162.26.26.26"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.142.142.142.6.6.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.142.142.142.6.6.6"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.137.137.137.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.133.133.133.38.38.38.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.133.133.133.38.38.38"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><minus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.96.96.96.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></minus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.57.57.57.6.6.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.57.57.57.6.6.6"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.52.52.52.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.13.13.13.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.4.4.4.4.4.4"><divide id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.4.4.4.4.4.4"></divide><cn id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.4.4.4.4.4.4.2">1</cn><cn id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.4.4.4.4.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.4.4.4.4.4.4.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5"><root id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5a.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5"></root><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2"><minus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2"></minus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2"><determinant id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.1"></determinant><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.6.6.6.6.6.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.6.6.6.6.6.6">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.7.7.7.7.7.7.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.7.7.7.7.7.7.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.7.7.7.7.7.7.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.7.7.7.7.7.7.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.7.7.7.7.7.7.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.7.7.7.7.7.7.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.8.8.8.8.8.8">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.9.9.9.9.9.9.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.9.9.9.9.9.9.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.9.9.9.9.9.9.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.9.9.9.9.9.9.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.9.9.9.9.9.9.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.9.9.9.9.9.9.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.9.9.9.9.9.9.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.9.9.9.9.9.9.1.3">𝜂</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.10.10.10.10.10.10.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.10.10.10.10.10.10">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.7.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.7.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.11.11.11.11.11.11">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.12.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.12.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.12.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.12.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.12.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.12.1.3">𝜂</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><minus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.32.32.32.20.20.20.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.32.32.32.20.20.20"></minus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.28.28.28.16.16.16.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.28.28.28.16.16.16"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><minus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.23.23.23.11.11.11.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.23.23.23.11.11.11"></minus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.19.19.19.7.7.7.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.19.19.19.7.7.7"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.15.15.15.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.15.15.15.3.3.3">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.16.16.16.4.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.16.16.16.4.4.4">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.17.17.17.5.5.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.17.17.17.5.5.5.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.18.18.18.6.6.6.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.18.18.18.6.6.6.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.18.18.18.6.6.6.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.18.18.18.6.6.6.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.18.18.18.6.6.6.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.18.18.18.6.6.6.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.18.18.18.6.6.6.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.18.18.18.6.6.6.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.20.20.20.8.8.8.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.20.20.20.8.8.8">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.21.21.21.9.9.9.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.21.21.21.9.9.9">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.22.22.22.10.10.10.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.22.22.22.10.10.10.1">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.24.24.24.12.12.12.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.24.24.24.12.12.12">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.25.25.25.13.13.13.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.25.25.25.13.13.13">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.26.26.26.14.14.14.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.26.26.26.14.14.14.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.27.27.27.15.15.15.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.27.27.27.15.15.15.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.27.27.27.15.15.15.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.27.27.27.15.15.15.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.27.27.27.15.15.15.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.27.27.27.15.15.15.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.27.27.27.15.15.15.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.27.27.27.15.15.15.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.29.29.29.17.17.17.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.29.29.29.17.17.17">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.30.30.30.18.18.18.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.30.30.30.18.18.18">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.31.31.31.19.19.19.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.31.31.31.19.19.19.1">𝛾</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><minus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.40.40.40.28.28.28.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.40.40.40.28.28.28"></minus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.34.34.34.22.22.22.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.34.34.34.22.22.22">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.35.35.35.23.23.23.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.35.35.35.23.23.23.1">𝜎</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.36.36.36.24.24.24.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.36.36.36.24.24.24.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.36.36.36.24.24.24.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.36.36.36.24.24.24.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.36.36.36.24.24.24.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.36.36.36.24.24.24.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.36.36.36.24.24.24.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.36.36.36.24.24.24.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.37.37.37.25.25.25.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.37.37.37.25.25.25">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.38.38.38.26.26.26.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.38.38.38.26.26.26.1">𝛽</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.39.39.39.27.27.27.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.39.39.39.27.27.27.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.39.39.39.27.27.27.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.39.39.39.27.27.27.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.39.39.39.27.27.27.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.39.39.39.27.27.27.1.2">𝛽</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.39.39.39.27.27.27.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.39.39.39.27.27.27.1.3">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.41.41.41.29.29.29.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.41.41.41.29.29.29">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.42.42.42.30.30.30.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.42.42.42.30.30.30.1">𝜎</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.43.43.43.31.31.31.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.43.43.43.31.31.31.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.43.43.43.31.31.31.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.43.43.43.31.31.31.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.43.43.43.31.31.31.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.43.43.43.31.31.31.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.43.43.43.31.31.31.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.43.43.43.31.31.31.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.44.44.44.32.32.32.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.44.44.44.32.32.32">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.45.45.45.33.33.33.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.45.45.45.33.33.33.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.46.46.46.34.34.34.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.46.46.46.34.34.34.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.46.46.46.34.34.34.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.46.46.46.34.34.34.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.46.46.46.34.34.34.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.46.46.46.34.34.34.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.46.46.46.34.34.34.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.46.46.46.34.34.34.1.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.48.48.48.36.36.36.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.48.48.48.36.36.36">𝑑</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.49.49.49.37.37.37.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.49.49.49.37.37.37.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.50.50.50.38.38.38.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.50.50.50.38.38.38">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2"><root id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2a.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2"></root><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2"><minus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2"></minus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2.2"><determinant id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2.2.1"></determinant><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.53.53.53.2.2.2.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.54.54.54.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.54.54.54.3.3.3">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.55.55.55.4.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.55.55.55.4.4.4">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.56.56.56.5.5.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.56.56.56.5.5.5.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.56.56.56.5.5.5.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.56.56.56.5.5.5.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.56.56.56.5.5.5.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.56.56.56.5.5.5.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.56.56.56.5.5.5.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.56.56.56.5.5.5.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><minus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.76.76.76.25.25.25.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.76.76.76.25.25.25"></minus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.72.72.72.21.21.21.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.72.72.72.21.21.21"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><minus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.67.67.67.16.16.16.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.67.67.67.16.16.16"></minus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.63.63.63.12.12.12.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.63.63.63.12.12.12"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.59.59.59.8.8.8.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.59.59.59.8.8.8">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.60.60.60.9.9.9.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.60.60.60.9.9.9">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.61.61.61.10.10.10.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.61.61.61.10.10.10.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.62.62.62.11.11.11.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.62.62.62.11.11.11.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.62.62.62.11.11.11.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.62.62.62.11.11.11.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.62.62.62.11.11.11.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.62.62.62.11.11.11.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.62.62.62.11.11.11.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.62.62.62.11.11.11.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.64.64.64.13.13.13.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.64.64.64.13.13.13">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.65.65.65.14.14.14.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.65.65.65.14.14.14">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.66.66.66.15.15.15.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.66.66.66.15.15.15.1">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.68.68.68.17.17.17.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.68.68.68.17.17.17">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.69.69.69.18.18.18.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.69.69.69.18.18.18">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.70.70.70.19.19.19.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.70.70.70.19.19.19.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.71.71.71.20.20.20.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.71.71.71.20.20.20.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.71.71.71.20.20.20.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.71.71.71.20.20.20.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.71.71.71.20.20.20.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.71.71.71.20.20.20.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.71.71.71.20.20.20.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.71.71.71.20.20.20.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.73.73.73.22.22.22.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.73.73.73.22.22.22">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.74.74.74.23.23.23.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.74.74.74.23.23.23">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.75.75.75.24.24.24.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.75.75.75.24.24.24.1">𝛾</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><minus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.84.84.84.33.33.33.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.84.84.84.33.33.33"></minus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.78.78.78.27.27.27.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.78.78.78.27.27.27">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.79.79.79.28.28.28.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.79.79.79.28.28.28.1">𝜎</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.80.80.80.29.29.29.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.80.80.80.29.29.29.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.80.80.80.29.29.29.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.80.80.80.29.29.29.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.80.80.80.29.29.29.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.80.80.80.29.29.29.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.80.80.80.29.29.29.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.80.80.80.29.29.29.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.81.81.81.30.30.30.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.81.81.81.30.30.30">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.82.82.82.31.31.31.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.82.82.82.31.31.31.1">𝛽</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.83.83.83.32.32.32.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.83.83.83.32.32.32.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.83.83.83.32.32.32.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.83.83.83.32.32.32.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.83.83.83.32.32.32.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.83.83.83.32.32.32.1.2">𝛽</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.83.83.83.32.32.32.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.83.83.83.32.32.32.1.3">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.85.85.85.34.34.34.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.85.85.85.34.34.34">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.86.86.86.35.35.35.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.86.86.86.35.35.35.1">𝜎</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.87.87.87.36.36.36.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.87.87.87.36.36.36.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.87.87.87.36.36.36.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.87.87.87.36.36.36.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.87.87.87.36.36.36.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.87.87.87.36.36.36.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.87.87.87.36.36.36.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.87.87.87.36.36.36.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.88.88.88.37.37.37.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.88.88.88.37.37.37">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.89.89.89.38.38.38.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.89.89.89.38.38.38.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.90.90.90.39.39.39.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.90.90.90.39.39.39.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.90.90.90.39.39.39.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.90.90.90.39.39.39.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.90.90.90.39.39.39.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.90.90.90.39.39.39.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.90.90.90.39.39.39.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.90.90.90.39.39.39.1.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.92.92.92.41.41.41.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.92.92.92.41.41.41">𝑑</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.93.93.93.42.42.42.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.93.93.93.42.42.42.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.94.94.94.43.43.43.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.94.94.94.43.43.43">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2"><root id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2a.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2"></root><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2"><minus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2"></minus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2.2"><determinant id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2.2.1"></determinant><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.97.97.97.2.2.2.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.98.98.98.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.98.98.98.3.3.3">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.99.99.99.4.4.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.99.99.99.4.4.4.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.99.99.99.4.4.4.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.99.99.99.4.4.4.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.99.99.99.4.4.4.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.99.99.99.4.4.4.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.99.99.99.4.4.4.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.99.99.99.4.4.4.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><minus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.116.116.116.21.21.21.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.116.116.116.21.21.21"></minus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.108.108.108.13.13.13.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.108.108.108.13.13.13"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.101.101.101.6.6.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.101.101.101.6.6.6">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.102.102.102.7.7.7.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.102.102.102.7.7.7.1">𝜎</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.103.103.103.8.8.8.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.103.103.103.8.8.8.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.103.103.103.8.8.8.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.103.103.103.8.8.8.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.103.103.103.8.8.8.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.103.103.103.8.8.8.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.103.103.103.8.8.8.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.103.103.103.8.8.8.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.104.104.104.9.9.9.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.104.104.104.9.9.9">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.105.105.105.10.10.10.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.105.105.105.10.10.10">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.106.106.106.11.11.11.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.106.106.106.11.11.11.1">𝛽</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.107.107.107.12.12.12.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.107.107.107.12.12.12.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.107.107.107.12.12.12.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.107.107.107.12.12.12.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.107.107.107.12.12.12.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.107.107.107.12.12.12.1.2">𝛽</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.107.107.107.12.12.12.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.107.107.107.12.12.12.1.3">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.109.109.109.14.14.14.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.109.109.109.14.14.14">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.110.110.110.15.15.15.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.110.110.110.15.15.15.1">𝛽</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.111.111.111.16.16.16.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.111.111.111.16.16.16.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.111.111.111.16.16.16.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.111.111.111.16.16.16.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.111.111.111.16.16.16.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.111.111.111.16.16.16.1.2">𝛽</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.111.111.111.16.16.16.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.111.111.111.16.16.16.1.3">𝜎</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.112.112.112.17.17.17.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.112.112.112.17.17.17">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.4.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.3.4.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.113.113.113.18.18.18.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.113.113.113.18.18.18">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.114.114.114.19.19.19.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.114.114.114.19.19.19.1">𝜎</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.115.115.115.20.20.20.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.115.115.115.20.20.20.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.115.115.115.20.20.20.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.115.115.115.20.20.20.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.115.115.115.20.20.20.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.115.115.115.20.20.20.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.115.115.115.20.20.20.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.115.115.115.20.20.20.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.117.117.117.22.22.22.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.117.117.117.22.22.22">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.118.118.118.23.23.23.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.118.118.118.23.23.23.1">𝜎</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.119.119.119.24.24.24.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.119.119.119.24.24.24.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.119.119.119.24.24.24.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.119.119.119.24.24.24.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.119.119.119.24.24.24.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.119.119.119.24.24.24.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.119.119.119.24.24.24.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.119.119.119.24.24.24.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.120.120.120.25.25.25.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.120.120.120.25.25.25">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.121.121.121.26.26.26.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.121.121.121.26.26.26">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.122.122.122.27.27.27.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.122.122.122.27.27.27.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.123.123.123.28.28.28.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.123.123.123.28.28.28.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.123.123.123.28.28.28.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.123.123.123.28.28.28.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.123.123.123.28.28.28.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.123.123.123.28.28.28.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.123.123.123.28.28.28.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.123.123.123.28.28.28.1.3">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.125.125.125.30.30.30.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.125.125.125.30.30.30">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.126.126.126.31.31.31.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.126.126.126.31.31.31.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.127.127.127.32.32.32.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.127.127.127.32.32.32.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.127.127.127.32.32.32.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.127.127.127.32.32.32.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.127.127.127.32.32.32.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.127.127.127.32.32.32.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.127.127.127.32.32.32.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.127.127.127.32.32.32.1.3">𝜎</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.128.128.128.33.33.33.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.128.128.128.33.33.33">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.4.4.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.129.129.129.34.34.34.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.129.129.129.34.34.34">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.130.130.130.35.35.35.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.130.130.130.35.35.35.1">𝜎</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.131.131.131.36.36.36.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.131.131.131.36.36.36.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.131.131.131.36.36.36.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.131.131.131.36.36.36.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.131.131.131.36.36.36.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.131.131.131.36.36.36.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.131.131.131.36.36.36.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.131.131.131.36.36.36.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.5.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.5.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.5.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.134.134.134.39.39.39.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.134.134.134.39.39.39">𝑑</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.135.135.135.40.40.40.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.135.135.135.40.40.40.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.136.136.136.41.41.41.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.136.136.136.41.41.41">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.5.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.138.138.138.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.138.138.138.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.5.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.5.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.5.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.3.3.3.3.3.3.5.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.139.139.139.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.139.139.139.3.3.3">𝛽</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.140.140.140.4.4.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.140.140.140.4.4.4.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.140.140.140.4.4.4.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.140.140.140.4.4.4.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.140.140.140.4.4.4.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.140.140.140.4.4.4.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.140.140.140.4.4.4.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.140.140.140.4.4.4.1.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.141.141.141.5.5.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.141.141.141.5.5.5.1">𝜌</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><plus id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.151.151.151.15.15.15.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.151.151.151.15.15.15"></plus><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><and id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.147.147.147.11.11.11.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.147.147.147.11.11.11"></and><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.144.144.144.8.8.8.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.144.144.144.8.8.8">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.145.145.145.9.9.9.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.145.145.145.9.9.9">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.146.146.146.10.10.10.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.146.146.146.10.10.10.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.146.146.146.10.10.10.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.146.146.146.10.10.10.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.146.146.146.10.10.10.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.146.146.146.10.10.10.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.146.146.146.10.10.10.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.146.146.146.10.10.10.1.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.148.148.148.12.12.12.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.148.148.148.12.12.12">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.149.149.149.13.13.13.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.149.149.149.13.13.13">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.150.150.150.14.14.14.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.150.150.150.14.14.14.1">𝜌</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><cn id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.152.152.152.16.16.16.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.152.152.152.16.16.16">2</cn><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.153.153.153.17.17.17.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.153.153.153.17.17.17">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.154.154.154.18.18.18.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.154.154.154.18.18.18.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.154.154.154.18.18.18.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.154.154.154.18.18.18.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.154.154.154.18.18.18.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.154.154.154.18.18.18.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.154.154.154.18.18.18.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.154.154.154.18.18.18.1.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.155.155.155.19.19.19.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.155.155.155.19.19.19">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.156.156.156.20.20.20.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.156.156.156.20.20.20.1">𝜈</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.157.157.157.21.21.21.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.157.157.157.21.21.21.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.157.157.157.21.21.21.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.157.157.157.21.21.21.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.157.157.157.21.21.21.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.157.157.157.21.21.21.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.157.157.157.21.21.21.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.157.157.157.21.21.21.1.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.5.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.4.4.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.158.158.158.22.22.22.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.158.158.158.22.22.22">𝑑</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.159.159.159.23.23.23.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.159.159.159.23.23.23.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.160.160.160.24.24.24.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.160.160.160.24.24.24">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.6.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><cn id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.163.163.163.27.27.27.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.163.163.163.27.27.27">2</cn><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.6.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.6.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.6.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.6.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.164.164.164.28.28.28.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.164.164.164.28.28.28">𝛽</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.165.165.165.29.29.29.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.165.165.165.29.29.29.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.165.165.165.29.29.29.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.165.165.165.29.29.29.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.165.165.165.29.29.29.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.165.165.165.29.29.29.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.165.165.165.29.29.29.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.165.165.165.29.29.29.1.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.166.166.166.30.30.30.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.166.166.166.30.30.30.1">𝜌</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.6.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.6.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.167.167.167.31.31.31.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.167.167.167.31.31.31">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.168.168.168.32.32.32.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.168.168.168.32.32.32.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.168.168.168.32.32.32.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.168.168.168.32.32.32.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.168.168.168.32.32.32.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.168.168.168.32.32.32.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.168.168.168.32.32.32.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.168.168.168.32.32.32.1.3">𝜎</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.169.169.169.33.33.33.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.169.169.169.33.33.33">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.6.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.6.6.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.6.6.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.4.6.6.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.170.170.170.34.34.34.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.170.170.170.34.34.34">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.171.171.171.35.35.35.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.171.171.171.35.35.35.1">𝜈</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.172.172.172.36.36.36.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.172.172.172.36.36.36.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.172.172.172.36.36.36.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.172.172.172.36.36.36.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.172.172.172.36.36.36.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.172.172.172.36.36.36.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.172.172.172.36.36.36.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.172.172.172.36.36.36.1.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.6.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.6.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.4.6.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.174.174.174.38.38.38.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.174.174.174.38.38.38">𝑑</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.175.175.175.39.39.39.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.175.175.175.39.39.39.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.176.176.176.40.40.40.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.176.176.176.40.40.40">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.6.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><cn id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.178.178.178.42.42.42.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.178.178.178.42.42.42">2</cn><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.6.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.6.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.6.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.6.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.179.179.179.43.43.43.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.179.179.179.43.43.43">𝛽</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.180.180.180.44.44.44.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.180.180.180.44.44.44.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.180.180.180.44.44.44.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.180.180.180.44.44.44.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.180.180.180.44.44.44.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.180.180.180.44.44.44.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.180.180.180.44.44.44.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.180.180.180.44.44.44.1.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.181.181.181.45.45.45.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.181.181.181.45.45.45.1">𝜌</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.6.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.6.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.6.4.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.6.4.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.182.182.182.46.46.46.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.182.182.182.46.46.46">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.183.183.183.47.47.47.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.183.183.183.47.47.47.1">𝜈</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.184.184.184.48.48.48.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.184.184.184.48.48.48.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.184.184.184.48.48.48.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.184.184.184.48.48.48.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.184.184.184.48.48.48.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.184.184.184.48.48.48.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.184.184.184.48.48.48.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.184.184.184.48.48.48.1.3">𝜎</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.185.185.185.49.49.49.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.185.185.185.49.49.49">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.6.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.4.6.6.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.186.186.186.50.50.50.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.186.186.186.50.50.50">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.187.187.187.51.51.51.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.187.187.187.51.51.51.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.187.187.187.51.51.51.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.187.187.187.51.51.51.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.187.187.187.51.51.51.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.187.187.187.51.51.51.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.187.187.187.51.51.51.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.187.187.187.51.51.51.1.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><times id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.6.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.6.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.193.193.1.1.1.4.6.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.12.12.12.12.12.14.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.189.189.189.53.53.53.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.189.189.189.53.53.53">𝑑</ci><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.190.190.190.54.54.54.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.190.190.190.54.54.54.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.191.191.191.55.55.55.cmml" xref="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.191.191.191.55.55.55">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197c">\Omega_{h}=\frac{1}{2}\sqrt{-\det{{g}}}{g}^{\kappa\phi}g_{\omega\eta}dg^{% \omega\eta}\wedge\\ \wedge\left[dM^{\gamma}_{\gamma\phi}\wedge dx_{\kappa}-dM^{\gamma}_{\kappa\phi% }\wedge dx_{\gamma}-\left(M^{\sigma}_{\kappa\phi}M^{\beta}_{\beta\sigma}-M^{% \sigma}_{\gamma\phi}M^{\gamma}_{\kappa\sigma}\right)d^{n}x\right]+\\ +\sqrt{-\det{{g}}}d{g}^{\kappa\phi}\wedge\left[dM^{\gamma}_{\gamma\phi}\wedge dx% _{\kappa}-dM^{\gamma}_{\kappa\phi}\wedge dx_{\gamma}-\left(M^{\sigma}_{\kappa% \phi}M^{\beta}_{\beta\sigma}-M^{\sigma}_{\gamma\phi}M^{\gamma}_{\kappa\sigma}% \right)d^{n}x\right]-\\ -\sqrt{-\det{{g}}}{g}^{\kappa\phi}\left(M^{\sigma}_{\kappa\phi}dM^{\beta}_{% \beta\sigma}+M^{\beta}_{\beta\sigma}dM^{\sigma}_{\kappa\phi}-M^{\sigma}_{% \gamma\phi}dM^{\gamma}_{\kappa\sigma}-M^{\gamma}_{\kappa\sigma}dM^{\sigma}_{% \gamma\phi}\right)\wedge d^{n}x+\\ +d\beta_{\mu\nu}^{\rho}\wedge\left[d{g}^{\mu\nu}\wedge dx_{\rho}+2{g}^{\mu% \sigma}{M}^{\nu}_{\rho\sigma}d^{n}x\right]+2\beta_{\mu\nu}^{\rho}{g}^{\mu% \sigma}d{M}^{\nu}_{\rho\sigma}\wedge d^{n}x+2\beta_{\mu\nu}^{\rho}{M}^{\nu}_{% \rho\sigma}d{g}^{\mu\sigma}\wedge d^{n}x.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS1.p2.14.m1.197d">start_ROW start_CELL roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUPERSCRIPT ∧ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ∧ [ italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT - italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT - ( italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_σ end_POSTSUBSCRIPT - italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ] + end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL + square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUPERSCRIPT ∧ [ italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT - italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT - ( italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_σ end_POSTSUBSCRIPT - italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ] - end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_σ end_POSTSUBSCRIPT + italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT - italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT - italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ) ∧ italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x + end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL + italic_d italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT ∧ [ italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT + 2 italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ] + 2 italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x + 2 italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS1.p2.20">Because the Ricci forms</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex75"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="R_{\phi\kappa}:=dM^{\gamma}_{\gamma\phi}\wedge dx_{\kappa}-dM^{\gamma}_{\kappa% \phi}\wedge dx_{\gamma}-\left(M^{\sigma}_{\kappa\phi}M^{\beta}_{\beta\sigma}-M% ^{\sigma}_{\gamma\phi}M^{\gamma}_{\kappa\sigma}\right)d^{n}x" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex75.m1.1"><semantics id="S4.Ex75.m1.1a"><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex75.m1.1.1.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.3.3.cmml">κ</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex75.m1.1.1.2.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.cmml">γ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">κ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.2.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.3.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.3.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml">γ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.1.cmml">∧</mo><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">γ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">β</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">γ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.4.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex75.m1.1b"><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex75.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.2">assign</csymbol><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex75.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.3.3.3">𝜅</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1"><minus id="S4.Ex75.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.2"></minus><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3"><and id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.1"></and><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2"><minus id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.1"></minus><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2"><and id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.1"></and><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2"><times id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3"><times id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.2.3.3.3">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.3"><times id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.3.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.2.3.3.3.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.3.3.3.3">𝛾</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝛽</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex75.m1.1.1.1.1.4">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex75.m1.1c">R_{\phi\kappa}:=dM^{\gamma}_{\gamma\phi}\wedge dx_{\kappa}-dM^{\gamma}_{\kappa% \phi}\wedge dx_{\gamma}-\left(M^{\sigma}_{\kappa\phi}M^{\beta}_{\beta\sigma}-M% ^{\sigma}_{\gamma\phi}M^{\gamma}_{\kappa\sigma}\right)d^{n}x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex75.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ italic_κ end_POSTSUBSCRIPT := italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT - italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT - ( italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_σ end_POSTSUBSCRIPT - italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS1.p2.21">are independent of the metric, it is convenient to have at our disposal this version for the Hamiltonian form</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.14)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Omega_{h}=\frac{1}{2}\sqrt{-\det{{g}}}\left({g}^{\kappa\phi}g_{\omega\eta}dg^% {\omega\eta}+2d{g}^{\kappa\phi}\right)\wedge R_{\phi\kappa}+\sqrt{-\det{{g}}}{% g}^{\kappa\phi}dR_{\phi\kappa}+\\ +d\beta_{\mu\nu}^{\rho}\wedge\left[d{g}^{\mu\nu}\wedge dx_{\rho}+2{g}^{\mu% \sigma}{M}^{\nu}_{\rho\sigma}d^{n}x\right]+2\beta_{\mu\nu}^{\rho}{g}^{\mu% \sigma}d{M}^{\nu}_{\rho\sigma}\wedge d^{n}x+2\beta_{\mu\nu}^{\rho}{M}^{\nu}_{% \rho\sigma}d{g}^{\mu\sigma}\wedge d^{n}x." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E14.m1.88"><semantics id="S4.E14.m1.88a"><mtable displaystyle="true" id="S4.E14.m1.88.88.3" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.E14.m1.88.88.3a"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E14.m1.88.88.3b"><mrow id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30"><msub id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.31"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">Ω</mi><mi id="S4.E14.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E14.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">h</mi></msub><mo id="S4.E14.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.E14.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30"><mrow id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1"><mrow id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1"><mfrac id="S4.E14.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S4.E14.m1.4.4.4.4.4.4.cmml"><mn id="S4.E14.m1.4.4.4.4.4.4.2" xref="S4.E14.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml">1</mn><mn id="S4.E14.m1.4.4.4.4.4.4.3" xref="S4.E14.m1.4.4.4.4.4.4.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.cmml"><mrow id="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2" xref="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2.cmml"><mo id="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2a" xref="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2" xref="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.cmml"><mo id="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.2" xref="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2a" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.1.1"><mo id="S4.E14.m1.6.6.6.6.6.6" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.1.1.1.1"><msup id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E14.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S4.E14.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">g</mi><mrow id="S4.E14.m1.8.8.8.8.8.8.1" xref="S4.E14.m1.8.8.8.8.8.8.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.8.8.8.8.8.8.1.2" xref="S4.E14.m1.8.8.8.8.8.8.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.E14.m1.8.8.8.8.8.8.1.1" xref="S4.E14.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.8.8.8.8.8.8.1.3" xref="S4.E14.m1.8.8.8.8.8.8.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow></msup><mo id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S4.E14.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S4.E14.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">g</mi><mrow id="S4.E14.m1.10.10.10.10.10.10.1" xref="S4.E14.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.10.10.10.10.10.10.1.2" xref="S4.E14.m1.10.10.10.10.10.10.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.E14.m1.10.10.10.10.10.10.1.1" xref="S4.E14.m1.10.10.10.10.10.10.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.10.10.10.10.10.10.1.3" xref="S4.E14.m1.10.10.10.10.10.10.1.3.cmml">η</mi></mrow></msub><mo id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.11.11.11.11.11.11" xref="S4.E14.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">d</mi><mo id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.1.1.1.1.4"><mi id="S4.E14.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S4.E14.m1.12.12.12.12.12.12.cmml">g</mi><mrow id="S4.E14.m1.13.13.13.13.13.13.1" xref="S4.E14.m1.13.13.13.13.13.13.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.13.13.13.13.13.13.1.2" xref="S4.E14.m1.13.13.13.13.13.13.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.E14.m1.13.13.13.13.13.13.1.1" xref="S4.E14.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.13.13.13.13.13.13.1.3" xref="S4.E14.m1.13.13.13.13.13.13.1.3.cmml">η</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.E14.m1.14.14.14.14.14.14" xref="S4.E14.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">+</mo><mrow id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.1.1.1.2"><mn id="S4.E14.m1.15.15.15.15.15.15" xref="S4.E14.m1.15.15.15.15.15.15.cmml">2</mn><mo id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.16.16.16.16.16.16" xref="S4.E14.m1.16.16.16.16.16.16.cmml">d</mi><mo id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.E14.m1.17.17.17.17.17.17" xref="S4.E14.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">g</mi><mrow id="S4.E14.m1.18.18.18.18.18.18.1" xref="S4.E14.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.18.18.18.18.18.18.1.2" xref="S4.E14.m1.18.18.18.18.18.18.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.E14.m1.18.18.18.18.18.18.1.1" xref="S4.E14.m1.18.18.18.18.18.18.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.18.18.18.18.18.18.1.3" xref="S4.E14.m1.18.18.18.18.18.18.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E14.m1.19.19.19.19.19.19" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E14.m1.20.20.20.20.20.20" xref="S4.E14.m1.20.20.20.20.20.20.cmml">∧</mo><msub id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.2"><mi id="S4.E14.m1.21.21.21.21.21.21" xref="S4.E14.m1.21.21.21.21.21.21.cmml">R</mi><mrow id="S4.E14.m1.22.22.22.22.22.22.1" xref="S4.E14.m1.22.22.22.22.22.22.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.22.22.22.22.22.22.1.2" xref="S4.E14.m1.22.22.22.22.22.22.1.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E14.m1.22.22.22.22.22.22.1.1" xref="S4.E14.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.22.22.22.22.22.22.1.3" xref="S4.E14.m1.22.22.22.22.22.22.1.3.cmml">κ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E14.m1.23.23.23.23.23.23" xref="S4.E14.m1.23.23.23.23.23.23.cmml">+</mo><mrow id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.2"><mrow id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.2.2"><msqrt id="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24" xref="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.cmml"><mrow id="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2" xref="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2.cmml"><mo id="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2a" xref="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2.2" xref="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2.2.cmml"><mo id="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2.2.2" xref="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.2.2.1" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.2.2.2"><mi id="S4.E14.m1.25.25.25.25.25.25" xref="S4.E14.m1.25.25.25.25.25.25.cmml">g</mi><mrow id="S4.E14.m1.26.26.26.26.26.26.1" xref="S4.E14.m1.26.26.26.26.26.26.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.26.26.26.26.26.26.1.2" xref="S4.E14.m1.26.26.26.26.26.26.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.E14.m1.26.26.26.26.26.26.1.1" xref="S4.E14.m1.26.26.26.26.26.26.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.26.26.26.26.26.26.1.3" xref="S4.E14.m1.26.26.26.26.26.26.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow></msup><mo id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.2.2.1a" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.27.27.27.27.27.27" xref="S4.E14.m1.27.27.27.27.27.27.cmml">d</mi><mo id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.2.2.1b" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.2.2.3"><mi id="S4.E14.m1.28.28.28.28.28.28" xref="S4.E14.m1.28.28.28.28.28.28.cmml">R</mi><mrow id="S4.E14.m1.29.29.29.29.29.29.1" xref="S4.E14.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.29.29.29.29.29.29.1.2" xref="S4.E14.m1.29.29.29.29.29.29.1.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E14.m1.29.29.29.29.29.29.1.1" xref="S4.E14.m1.29.29.29.29.29.29.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.29.29.29.29.29.29.1.3" xref="S4.E14.m1.29.29.29.29.29.29.1.3.cmml">κ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.2.3" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">+</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E14.m1.88.88.3c"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E14.m1.88.88.3d"><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57"><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1"><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1"><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1"><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1"><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.2"><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.2.1"><mi id="S4.E14.m1.31.31.31.2.2.2" xref="S4.E14.m1.31.31.31.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.2.1.2"><mi id="S4.E14.m1.32.32.32.3.3.3" xref="S4.E14.m1.32.32.32.3.3.3.cmml">β</mi><mrow id="S4.E14.m1.33.33.33.4.4.4.1" xref="S4.E14.m1.33.33.33.4.4.4.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.33.33.33.4.4.4.1.2" xref="S4.E14.m1.33.33.33.4.4.4.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E14.m1.33.33.33.4.4.4.1.1" xref="S4.E14.m1.33.33.33.4.4.4.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.33.33.33.4.4.4.1.3" xref="S4.E14.m1.33.33.33.4.4.4.1.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.E14.m1.34.34.34.5.5.5.1" xref="S4.E14.m1.34.34.34.5.5.5.1.cmml">ρ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E14.m1.35.35.35.6.6.6" xref="S4.E14.m1.35.35.35.6.6.6.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E14.m1.36.36.36.7.7.7" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E14.m1.37.37.37.8.8.8" xref="S4.E14.m1.37.37.37.8.8.8.cmml">d</mi><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E14.m1.38.38.38.9.9.9" xref="S4.E14.m1.38.38.38.9.9.9.cmml">g</mi><mrow id="S4.E14.m1.39.39.39.10.10.10.1" xref="S4.E14.m1.39.39.39.10.10.10.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.39.39.39.10.10.10.1.2" xref="S4.E14.m1.39.39.39.10.10.10.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E14.m1.39.39.39.10.10.10.1.1" xref="S4.E14.m1.39.39.39.10.10.10.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.39.39.39.10.10.10.1.3" xref="S4.E14.m1.39.39.39.10.10.10.1.3.cmml">ν</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.E14.m1.40.40.40.11.11.11" xref="S4.E14.m1.40.40.40.11.11.11.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E14.m1.41.41.41.12.12.12" xref="S4.E14.m1.41.41.41.12.12.12.cmml">d</mi><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.E14.m1.42.42.42.13.13.13" xref="S4.E14.m1.42.42.42.13.13.13.cmml">x</mi><mi id="S4.E14.m1.43.43.43.14.14.14.1" xref="S4.E14.m1.43.43.43.14.14.14.1.cmml">ρ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E14.m1.44.44.44.15.15.15" xref="S4.E14.m1.44.44.44.15.15.15.cmml">+</mo><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mn id="S4.E14.m1.45.45.45.16.16.16" xref="S4.E14.m1.45.45.45.16.16.16.cmml">2</mn><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.E14.m1.46.46.46.17.17.17" xref="S4.E14.m1.46.46.46.17.17.17.cmml">g</mi><mrow id="S4.E14.m1.47.47.47.18.18.18.1" xref="S4.E14.m1.47.47.47.18.18.18.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.47.47.47.18.18.18.1.2" xref="S4.E14.m1.47.47.47.18.18.18.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E14.m1.47.47.47.18.18.18.1.1" xref="S4.E14.m1.47.47.47.18.18.18.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.47.47.47.18.18.18.1.3" xref="S4.E14.m1.47.47.47.18.18.18.1.3.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mi id="S4.E14.m1.48.48.48.19.19.19" xref="S4.E14.m1.48.48.48.19.19.19.cmml">M</mi><mrow id="S4.E14.m1.50.50.50.21.21.21.1" xref="S4.E14.m1.50.50.50.21.21.21.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.50.50.50.21.21.21.1.2" xref="S4.E14.m1.50.50.50.21.21.21.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.E14.m1.50.50.50.21.21.21.1.1" xref="S4.E14.m1.50.50.50.21.21.21.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.50.50.50.21.21.21.1.3" xref="S4.E14.m1.50.50.50.21.21.21.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.E14.m1.49.49.49.20.20.20.1" xref="S4.E14.m1.49.49.49.20.20.20.1.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1b" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><mi id="S4.E14.m1.51.51.51.22.22.22" xref="S4.E14.m1.51.51.51.22.22.22.cmml">d</mi><mi id="S4.E14.m1.52.52.52.23.23.23.1" xref="S4.E14.m1.52.52.52.23.23.23.1.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1c" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.53.53.53.24.24.24" xref="S4.E14.m1.53.53.53.24.24.24.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E14.m1.54.54.54.25.25.25" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E14.m1.55.55.55.26.26.26" xref="S4.E14.m1.55.55.55.26.26.26.cmml">+</mo><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.2"><mn id="S4.E14.m1.56.56.56.27.27.27" xref="S4.E14.m1.56.56.56.27.27.27.cmml">2</mn><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.E14.m1.57.57.57.28.28.28" xref="S4.E14.m1.57.57.57.28.28.28.cmml">β</mi><mrow id="S4.E14.m1.58.58.58.29.29.29.1" xref="S4.E14.m1.58.58.58.29.29.29.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.58.58.58.29.29.29.1.2" xref="S4.E14.m1.58.58.58.29.29.29.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E14.m1.58.58.58.29.29.29.1.1" xref="S4.E14.m1.58.58.58.29.29.29.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.58.58.58.29.29.29.1.3" xref="S4.E14.m1.58.58.58.29.29.29.1.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.E14.m1.59.59.59.30.30.30.1" xref="S4.E14.m1.59.59.59.30.30.30.1.cmml">ρ</mi></msubsup><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.2.3"><mi id="S4.E14.m1.60.60.60.31.31.31" xref="S4.E14.m1.60.60.60.31.31.31.cmml">g</mi><mrow id="S4.E14.m1.61.61.61.32.32.32.1" xref="S4.E14.m1.61.61.61.32.32.32.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.61.61.61.32.32.32.1.2" xref="S4.E14.m1.61.61.61.32.32.32.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E14.m1.61.61.61.32.32.32.1.1" xref="S4.E14.m1.61.61.61.32.32.32.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.61.61.61.32.32.32.1.3" xref="S4.E14.m1.61.61.61.32.32.32.1.3.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.2.1b" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.62.62.62.33.33.33" xref="S4.E14.m1.62.62.62.33.33.33.cmml">d</mi><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.2.1c" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.1.2.4"><mi id="S4.E14.m1.63.63.63.34.34.34" xref="S4.E14.m1.63.63.63.34.34.34.cmml">M</mi><mrow id="S4.E14.m1.65.65.65.36.36.36.1" xref="S4.E14.m1.65.65.65.36.36.36.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.65.65.65.36.36.36.1.2" xref="S4.E14.m1.65.65.65.36.36.36.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.E14.m1.65.65.65.36.36.36.1.1" xref="S4.E14.m1.65.65.65.36.36.36.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.65.65.65.36.36.36.1.3" xref="S4.E14.m1.65.65.65.36.36.36.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.E14.m1.64.64.64.35.35.35.1" xref="S4.E14.m1.64.64.64.35.35.35.1.cmml">ν</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E14.m1.66.66.66.37.37.37" xref="S4.E14.m1.66.66.66.37.37.37.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.2"><msup id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.2.2"><mi id="S4.E14.m1.67.67.67.38.38.38" xref="S4.E14.m1.67.67.67.38.38.38.cmml">d</mi><mi id="S4.E14.m1.68.68.68.39.39.39.1" xref="S4.E14.m1.68.68.68.39.39.39.1.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.1.2.1" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.69.69.69.40.40.40" xref="S4.E14.m1.69.69.69.40.40.40.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E14.m1.70.70.70.41.41.41" xref="S4.E14.m1.70.70.70.41.41.41.cmml">+</mo><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.2"><mn id="S4.E14.m1.71.71.71.42.42.42" xref="S4.E14.m1.71.71.71.42.42.42.cmml">2</mn><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.2.1" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.2.2"><mi id="S4.E14.m1.72.72.72.43.43.43" xref="S4.E14.m1.72.72.72.43.43.43.cmml">β</mi><mrow id="S4.E14.m1.73.73.73.44.44.44.1" xref="S4.E14.m1.73.73.73.44.44.44.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.73.73.73.44.44.44.1.2" xref="S4.E14.m1.73.73.73.44.44.44.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E14.m1.73.73.73.44.44.44.1.1" xref="S4.E14.m1.73.73.73.44.44.44.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.73.73.73.44.44.44.1.3" xref="S4.E14.m1.73.73.73.44.44.44.1.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.E14.m1.74.74.74.45.45.45.1" xref="S4.E14.m1.74.74.74.45.45.45.1.cmml">ρ</mi></msubsup><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.2.1a" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.2.3"><mi id="S4.E14.m1.75.75.75.46.46.46" xref="S4.E14.m1.75.75.75.46.46.46.cmml">M</mi><mrow id="S4.E14.m1.77.77.77.48.48.48.1" xref="S4.E14.m1.77.77.77.48.48.48.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.77.77.77.48.48.48.1.2" xref="S4.E14.m1.77.77.77.48.48.48.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.E14.m1.77.77.77.48.48.48.1.1" xref="S4.E14.m1.77.77.77.48.48.48.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.77.77.77.48.48.48.1.3" xref="S4.E14.m1.77.77.77.48.48.48.1.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.E14.m1.76.76.76.47.47.47.1" xref="S4.E14.m1.76.76.76.47.47.47.1.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.2.1b" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.78.78.78.49.49.49" xref="S4.E14.m1.78.78.78.49.49.49.cmml">d</mi><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.2.1c" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.1.2.4"><mi id="S4.E14.m1.79.79.79.50.50.50" xref="S4.E14.m1.79.79.79.50.50.50.cmml">g</mi><mrow id="S4.E14.m1.80.80.80.51.51.51.1" xref="S4.E14.m1.80.80.80.51.51.51.1.cmml"><mi id="S4.E14.m1.80.80.80.51.51.51.1.2" xref="S4.E14.m1.80.80.80.51.51.51.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E14.m1.80.80.80.51.51.51.1.1" xref="S4.E14.m1.80.80.80.51.51.51.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.80.80.80.51.51.51.1.3" xref="S4.E14.m1.80.80.80.51.51.51.1.3.cmml">σ</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E14.m1.81.81.81.52.52.52" xref="S4.E14.m1.81.81.81.52.52.52.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.2"><msup id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.2.2"><mi id="S4.E14.m1.82.82.82.53.53.53" xref="S4.E14.m1.82.82.82.53.53.53.cmml">d</mi><mi id="S4.E14.m1.83.83.83.54.54.54.1" xref="S4.E14.m1.83.83.83.54.54.54.1.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.E14.m1.88.88.3.87.57.57.57.1.2.1" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E14.m1.84.84.84.55.55.55" xref="S4.E14.m1.84.84.84.55.55.55.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E14.m1.85.85.85.56.56.56" lspace="0em" xref="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E14.m1.88b"><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><eq id="S4.E14.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E14.m1.3.3.3.3.3.3"></eq><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1">Ω</ci><ci id="S4.E14.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.2.2.2.2.2.2.1">ℎ</ci></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><and id="S4.E14.m1.81.81.81.52.52.52.cmml" xref="S4.E14.m1.81.81.81.52.52.52"></and><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><plus id="S4.E14.m1.70.70.70.41.41.41.cmml" xref="S4.E14.m1.70.70.70.41.41.41"></plus><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><and id="S4.E14.m1.66.66.66.37.37.37.cmml" xref="S4.E14.m1.66.66.66.37.37.37"></and><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><plus id="S4.E14.m1.55.55.55.26.26.26.cmml" xref="S4.E14.m1.55.55.55.26.26.26"></plus><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><and id="S4.E14.m1.35.35.35.6.6.6.cmml" xref="S4.E14.m1.35.35.35.6.6.6"></and><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><plus id="S4.E14.m1.23.23.23.23.23.23.cmml" xref="S4.E14.m1.23.23.23.23.23.23"></plus><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><and id="S4.E14.m1.20.20.20.20.20.20.cmml" xref="S4.E14.m1.20.20.20.20.20.20"></and><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><times id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"></times><apply id="S4.E14.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S4.E14.m1.4.4.4.4.4.4"><divide id="S4.E14.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.4.4.4.4.4.4"></divide><cn id="S4.E14.m1.4.4.4.4.4.4.2.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.4.4.4.4.4.4.2">1</cn><cn id="S4.E14.m1.4.4.4.4.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.4.4.4.4.4.4.3">2</cn></apply><apply id="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5"><root id="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5a.cmml" xref="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5"></root><apply id="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2.cmml" xref="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2"><minus id="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2"></minus><apply id="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2"><determinant id="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.1"></determinant><ci id="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.5.5.5.5.5.5.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><plus id="S4.E14.m1.14.14.14.14.14.14.cmml" xref="S4.E14.m1.14.14.14.14.14.14"></plus><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><times id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"></times><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.7.7.7.7.7.7.cmml" xref="S4.E14.m1.7.7.7.7.7.7">𝑔</ci><apply id="S4.E14.m1.8.8.8.8.8.8.1.cmml" xref="S4.E14.m1.8.8.8.8.8.8.1"><times id="S4.E14.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.8.8.8.8.8.8.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.8.8.8.8.8.8.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.8.8.8.8.8.8.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.E14.m1.8.8.8.8.8.8.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.8.8.8.8.8.8.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="S4.E14.m1.9.9.9.9.9.9">𝑔</ci><apply id="S4.E14.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml" xref="S4.E14.m1.10.10.10.10.10.10.1"><times id="S4.E14.m1.10.10.10.10.10.10.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.10.10.10.10.10.10.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.10.10.10.10.10.10.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.10.10.10.10.10.10.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.E14.m1.10.10.10.10.10.10.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.10.10.10.10.10.10.1.3">𝜂</ci></apply></apply><ci id="S4.E14.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" xref="S4.E14.m1.11.11.11.11.11.11">𝑑</ci><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.12.12.12.12.12.12.cmml" xref="S4.E14.m1.12.12.12.12.12.12">𝑔</ci><apply id="S4.E14.m1.13.13.13.13.13.13.1.cmml" xref="S4.E14.m1.13.13.13.13.13.13.1"><times id="S4.E14.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.13.13.13.13.13.13.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.13.13.13.13.13.13.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.13.13.13.13.13.13.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.E14.m1.13.13.13.13.13.13.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.13.13.13.13.13.13.1.3">𝜂</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><times id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"></times><cn id="S4.E14.m1.15.15.15.15.15.15.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.15.15.15.15.15.15">2</cn><ci id="S4.E14.m1.16.16.16.16.16.16.cmml" xref="S4.E14.m1.16.16.16.16.16.16">𝑑</ci><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.17.17.17.17.17.17.cmml" xref="S4.E14.m1.17.17.17.17.17.17">𝑔</ci><apply id="S4.E14.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml" xref="S4.E14.m1.18.18.18.18.18.18.1"><times id="S4.E14.m1.18.18.18.18.18.18.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.18.18.18.18.18.18.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.18.18.18.18.18.18.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.18.18.18.18.18.18.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.E14.m1.18.18.18.18.18.18.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.18.18.18.18.18.18.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.21.21.21.21.21.21.cmml" xref="S4.E14.m1.21.21.21.21.21.21">𝑅</ci><apply id="S4.E14.m1.22.22.22.22.22.22.1.cmml" xref="S4.E14.m1.22.22.22.22.22.22.1"><times id="S4.E14.m1.22.22.22.22.22.22.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.22.22.22.22.22.22.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.22.22.22.22.22.22.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.22.22.22.22.22.22.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S4.E14.m1.22.22.22.22.22.22.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.22.22.22.22.22.22.1.3">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><times id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"></times><apply id="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.cmml" xref="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24"><root id="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24a.cmml" xref="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24"></root><apply id="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2.cmml" xref="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2"><minus id="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2"></minus><apply id="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2.2"><determinant id="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2.2.1"></determinant><ci id="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.24.24.24.24.24.24.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.25.25.25.25.25.25.cmml" xref="S4.E14.m1.25.25.25.25.25.25">𝑔</ci><apply id="S4.E14.m1.26.26.26.26.26.26.1.cmml" xref="S4.E14.m1.26.26.26.26.26.26.1"><times id="S4.E14.m1.26.26.26.26.26.26.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.26.26.26.26.26.26.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.26.26.26.26.26.26.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.26.26.26.26.26.26.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.E14.m1.26.26.26.26.26.26.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.26.26.26.26.26.26.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><ci id="S4.E14.m1.27.27.27.27.27.27.cmml" xref="S4.E14.m1.27.27.27.27.27.27">𝑑</ci><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.28.28.28.28.28.28.cmml" xref="S4.E14.m1.28.28.28.28.28.28">𝑅</ci><apply id="S4.E14.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml" xref="S4.E14.m1.29.29.29.29.29.29.1"><times id="S4.E14.m1.29.29.29.29.29.29.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.29.29.29.29.29.29.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.29.29.29.29.29.29.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.29.29.29.29.29.29.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S4.E14.m1.29.29.29.29.29.29.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.29.29.29.29.29.29.1.3">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><times id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"></times><ci id="S4.E14.m1.31.31.31.2.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.31.31.31.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.32.32.32.3.3.3.cmml" xref="S4.E14.m1.32.32.32.3.3.3">𝛽</ci><apply id="S4.E14.m1.33.33.33.4.4.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.33.33.33.4.4.4.1"><times id="S4.E14.m1.33.33.33.4.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.33.33.33.4.4.4.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.33.33.33.4.4.4.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.33.33.33.4.4.4.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.E14.m1.33.33.33.4.4.4.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.33.33.33.4.4.4.1.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.E14.m1.34.34.34.5.5.5.1.cmml" xref="S4.E14.m1.34.34.34.5.5.5.1">𝜌</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><plus id="S4.E14.m1.44.44.44.15.15.15.cmml" xref="S4.E14.m1.44.44.44.15.15.15"></plus><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><and id="S4.E14.m1.40.40.40.11.11.11.cmml" xref="S4.E14.m1.40.40.40.11.11.11"></and><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><times id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"></times><ci id="S4.E14.m1.37.37.37.8.8.8.cmml" xref="S4.E14.m1.37.37.37.8.8.8">𝑑</ci><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.38.38.38.9.9.9.cmml" xref="S4.E14.m1.38.38.38.9.9.9">𝑔</ci><apply id="S4.E14.m1.39.39.39.10.10.10.1.cmml" xref="S4.E14.m1.39.39.39.10.10.10.1"><times id="S4.E14.m1.39.39.39.10.10.10.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.39.39.39.10.10.10.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.39.39.39.10.10.10.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.39.39.39.10.10.10.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.E14.m1.39.39.39.10.10.10.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.39.39.39.10.10.10.1.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><times id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"></times><ci id="S4.E14.m1.41.41.41.12.12.12.cmml" xref="S4.E14.m1.41.41.41.12.12.12">𝑑</ci><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.42.42.42.13.13.13.cmml" xref="S4.E14.m1.42.42.42.13.13.13">𝑥</ci><ci id="S4.E14.m1.43.43.43.14.14.14.1.cmml" xref="S4.E14.m1.43.43.43.14.14.14.1">𝜌</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><times id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"></times><cn id="S4.E14.m1.45.45.45.16.16.16.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.45.45.45.16.16.16">2</cn><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.46.46.46.17.17.17.cmml" xref="S4.E14.m1.46.46.46.17.17.17">𝑔</ci><apply id="S4.E14.m1.47.47.47.18.18.18.1.cmml" xref="S4.E14.m1.47.47.47.18.18.18.1"><times id="S4.E14.m1.47.47.47.18.18.18.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.47.47.47.18.18.18.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.47.47.47.18.18.18.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.47.47.47.18.18.18.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.E14.m1.47.47.47.18.18.18.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.47.47.47.18.18.18.1.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.48.48.48.19.19.19.cmml" xref="S4.E14.m1.48.48.48.19.19.19">𝑀</ci><ci id="S4.E14.m1.49.49.49.20.20.20.1.cmml" xref="S4.E14.m1.49.49.49.20.20.20.1">𝜈</ci></apply><apply id="S4.E14.m1.50.50.50.21.21.21.1.cmml" xref="S4.E14.m1.50.50.50.21.21.21.1"><times id="S4.E14.m1.50.50.50.21.21.21.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.50.50.50.21.21.21.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.50.50.50.21.21.21.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.50.50.50.21.21.21.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.E14.m1.50.50.50.21.21.21.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.50.50.50.21.21.21.1.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.5.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.51.51.51.22.22.22.cmml" xref="S4.E14.m1.51.51.51.22.22.22">𝑑</ci><ci id="S4.E14.m1.52.52.52.23.23.23.1.cmml" xref="S4.E14.m1.52.52.52.23.23.23.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.E14.m1.53.53.53.24.24.24.cmml" xref="S4.E14.m1.53.53.53.24.24.24">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><times id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"></times><cn id="S4.E14.m1.56.56.56.27.27.27.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.56.56.56.27.27.27">2</cn><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.4.3.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.57.57.57.28.28.28.cmml" xref="S4.E14.m1.57.57.57.28.28.28">𝛽</ci><apply id="S4.E14.m1.58.58.58.29.29.29.1.cmml" xref="S4.E14.m1.58.58.58.29.29.29.1"><times id="S4.E14.m1.58.58.58.29.29.29.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.58.58.58.29.29.29.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.58.58.58.29.29.29.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.58.58.58.29.29.29.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.E14.m1.58.58.58.29.29.29.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.58.58.58.29.29.29.1.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.E14.m1.59.59.59.30.30.30.1.cmml" xref="S4.E14.m1.59.59.59.30.30.30.1">𝜌</ci></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.4.4.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.4.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.60.60.60.31.31.31.cmml" xref="S4.E14.m1.60.60.60.31.31.31">𝑔</ci><apply id="S4.E14.m1.61.61.61.32.32.32.1.cmml" xref="S4.E14.m1.61.61.61.32.32.32.1"><times id="S4.E14.m1.61.61.61.32.32.32.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.61.61.61.32.32.32.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.61.61.61.32.32.32.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.61.61.61.32.32.32.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.E14.m1.61.61.61.32.32.32.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.61.61.61.32.32.32.1.3">𝜎</ci></apply></apply><ci id="S4.E14.m1.62.62.62.33.33.33.cmml" xref="S4.E14.m1.62.62.62.33.33.33">𝑑</ci><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.4.6.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.4.6.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.4.6.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.2.4.6.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.63.63.63.34.34.34.cmml" xref="S4.E14.m1.63.63.63.34.34.34">𝑀</ci><ci id="S4.E14.m1.64.64.64.35.35.35.1.cmml" xref="S4.E14.m1.64.64.64.35.35.35.1">𝜈</ci></apply><apply id="S4.E14.m1.65.65.65.36.36.36.1.cmml" xref="S4.E14.m1.65.65.65.36.36.36.1"><times id="S4.E14.m1.65.65.65.36.36.36.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.65.65.65.36.36.36.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.65.65.65.36.36.36.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.65.65.65.36.36.36.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.E14.m1.65.65.65.36.36.36.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.65.65.65.36.36.36.1.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><times id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"></times><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.67.67.67.38.38.38.cmml" xref="S4.E14.m1.67.67.67.38.38.38">𝑑</ci><ci id="S4.E14.m1.68.68.68.39.39.39.1.cmml" xref="S4.E14.m1.68.68.68.39.39.39.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.E14.m1.69.69.69.40.40.40.cmml" xref="S4.E14.m1.69.69.69.40.40.40">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><times id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"></times><cn id="S4.E14.m1.71.71.71.42.42.42.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.71.71.71.42.42.42">2</cn><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.4.3.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.72.72.72.43.43.43.cmml" xref="S4.E14.m1.72.72.72.43.43.43">𝛽</ci><apply id="S4.E14.m1.73.73.73.44.44.44.1.cmml" xref="S4.E14.m1.73.73.73.44.44.44.1"><times id="S4.E14.m1.73.73.73.44.44.44.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.73.73.73.44.44.44.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.73.73.73.44.44.44.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.73.73.73.44.44.44.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.E14.m1.73.73.73.44.44.44.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.73.73.73.44.44.44.1.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.E14.m1.74.74.74.45.45.45.1.cmml" xref="S4.E14.m1.74.74.74.45.45.45.1">𝜌</ci></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.4.4.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.4.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.4.4.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.4.4.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.75.75.75.46.46.46.cmml" xref="S4.E14.m1.75.75.75.46.46.46">𝑀</ci><ci id="S4.E14.m1.76.76.76.47.47.47.1.cmml" xref="S4.E14.m1.76.76.76.47.47.47.1">𝜈</ci></apply><apply id="S4.E14.m1.77.77.77.48.48.48.1.cmml" xref="S4.E14.m1.77.77.77.48.48.48.1"><times id="S4.E14.m1.77.77.77.48.48.48.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.77.77.77.48.48.48.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.77.77.77.48.48.48.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.77.77.77.48.48.48.1.2">𝜌</ci><ci id="S4.E14.m1.77.77.77.48.48.48.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.77.77.77.48.48.48.1.3">𝜎</ci></apply></apply><ci id="S4.E14.m1.78.78.78.49.49.49.cmml" xref="S4.E14.m1.78.78.78.49.49.49">𝑑</ci><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.4.6.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.2.4.6.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.79.79.79.50.50.50.cmml" xref="S4.E14.m1.79.79.79.50.50.50">𝑔</ci><apply id="S4.E14.m1.80.80.80.51.51.51.1.cmml" xref="S4.E14.m1.80.80.80.51.51.51.1"><times id="S4.E14.m1.80.80.80.51.51.51.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.80.80.80.51.51.51.1.1"></times><ci id="S4.E14.m1.80.80.80.51.51.51.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.80.80.80.51.51.51.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.E14.m1.80.80.80.51.51.51.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.80.80.80.51.51.51.1.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><times id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"></times><apply id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.86.86.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.87.87.2.86.30.30.30.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.82.82.82.53.53.53.cmml" xref="S4.E14.m1.82.82.82.53.53.53">𝑑</ci><ci id="S4.E14.m1.83.83.83.54.54.54.1.cmml" xref="S4.E14.m1.83.83.83.54.54.54.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.E14.m1.84.84.84.55.55.55.cmml" xref="S4.E14.m1.84.84.84.55.55.55">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E14.m1.88c">\Omega_{h}=\frac{1}{2}\sqrt{-\det{{g}}}\left({g}^{\kappa\phi}g_{\omega\eta}dg^% {\omega\eta}+2d{g}^{\kappa\phi}\right)\wedge R_{\phi\kappa}+\sqrt{-\det{{g}}}{% g}^{\kappa\phi}dR_{\phi\kappa}+\\ +d\beta_{\mu\nu}^{\rho}\wedge\left[d{g}^{\mu\nu}\wedge dx_{\rho}+2{g}^{\mu% \sigma}{M}^{\nu}_{\rho\sigma}d^{n}x\right]+2\beta_{\mu\nu}^{\rho}{g}^{\mu% \sigma}d{M}^{\nu}_{\rho\sigma}\wedge d^{n}x+2\beta_{\mu\nu}^{\rho}{M}^{\nu}_{% \rho\sigma}d{g}^{\mu\sigma}\wedge d^{n}x.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E14.m1.88d">start_ROW start_CELL roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG ( italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUPERSCRIPT + 2 italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUPERSCRIPT ) ∧ italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ italic_κ end_POSTSUBSCRIPT + square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ italic_κ end_POSTSUBSCRIPT + end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL + italic_d italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT ∧ [ italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT + 2 italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ] + 2 italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x + 2 italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS1.p2.22">There is another way to write this multisympletic form (usually called Hamilton-Cartan form) that makes it easy to compare it with analogous structures found in the literature <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">0264-9381-32-9-095005</span>, <span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">gaset19:_new_metric_affin_einst_palat</span>]</cite>, namely</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E15"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.15)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Omega_{h}=\\ =dH\wedge d^{n}x+\frac{1}{2}\sqrt{-\det{{g}}}{g}^{\kappa\phi}g_{\omega\eta}dg^% {\omega\eta}\wedge\left(dM^{\gamma}_{\gamma\phi}\wedge dx_{\kappa}-dM^{\gamma}% _{\kappa\phi}\wedge dx_{\gamma}\right)+\\ +\sqrt{-\det{{g}}}d{g}^{\kappa\phi}\wedge\left(dM^{\gamma}_{\gamma\phi}\wedge dx% _{\kappa}-dM^{\gamma}_{\kappa\phi}\wedge dx_{\gamma}\right)+d\beta_{\mu\nu}^{% \rho}\wedge d{g}^{\mu\nu}\wedge dx_{\rho}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E15.m1.81"><semantics id="S4.E15.m1.81a"><mtable displaystyle="true" id="S4.E15.m1.81.81.4" rowspacing="0pt" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mtr id="S4.E15.m1.81.81.4a" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E15.m1.81.81.4b" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><msub id="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">Ω</mi><mi id="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">h</mi></msub><mo id="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">=</mo><mi id="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.5" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"></mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E15.m1.81.81.4c" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E15.m1.81.81.4d" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.39" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"></mi><mo id="S4.E15.m1.3.3.3.1.1.1" xref="S4.E15.m1.3.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.2.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.2.1.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.4.4.4.2.2.2" xref="S4.E15.m1.4.4.4.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.2.1.1.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E15.m1.5.5.5.3.3.3" xref="S4.E15.m1.5.5.5.3.3.3.cmml">H</mi></mrow><mo id="S4.E15.m1.6.6.6.4.4.4" xref="S4.E15.m1.6.6.6.4.4.4.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.2.1.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><msup id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.2.1.2.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.7.7.7.5.5.5" xref="S4.E15.m1.7.7.7.5.5.5.cmml">d</mi><mi id="S4.E15.m1.8.8.8.6.6.6.1" xref="S4.E15.m1.8.8.8.6.6.6.1.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.2.1.2.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E15.m1.9.9.9.7.7.7" xref="S4.E15.m1.9.9.9.7.7.7.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E15.m1.10.10.10.8.8.8" xref="S4.E15.m1.10.10.10.8.8.8.cmml">+</mo><mrow id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.2.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mfrac id="S4.E15.m1.11.11.11.9.9.9" xref="S4.E15.m1.11.11.11.9.9.9.cmml"><mn id="S4.E15.m1.11.11.11.9.9.9.2" xref="S4.E15.m1.11.11.11.9.9.9.2.cmml">1</mn><mn id="S4.E15.m1.11.11.11.9.9.9.3" xref="S4.E15.m1.11.11.11.9.9.9.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.2.2.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><msqrt id="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10" xref="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2" xref="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2.cmml"><mo id="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2a" xref="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2.2" xref="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2.2.cmml"><mo id="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2.2.2" xref="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.2.2.1a" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.2.2.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.13.13.13.11.11.11" xref="S4.E15.m1.13.13.13.11.11.11.cmml">g</mi><mrow id="S4.E15.m1.14.14.14.12.12.12.1" xref="S4.E15.m1.14.14.14.12.12.12.1.cmml"><mi id="S4.E15.m1.14.14.14.12.12.12.1.2" xref="S4.E15.m1.14.14.14.12.12.12.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.E15.m1.14.14.14.12.12.12.1.1" xref="S4.E15.m1.14.14.14.12.12.12.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E15.m1.14.14.14.12.12.12.1.3" xref="S4.E15.m1.14.14.14.12.12.12.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow></msup><mo id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.2.2.1b" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.2.2.3" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.15.15.15.13.13.13" xref="S4.E15.m1.15.15.15.13.13.13.cmml">g</mi><mrow id="S4.E15.m1.16.16.16.14.14.14.1" xref="S4.E15.m1.16.16.16.14.14.14.1.cmml"><mi id="S4.E15.m1.16.16.16.14.14.14.1.2" xref="S4.E15.m1.16.16.16.14.14.14.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.E15.m1.16.16.16.14.14.14.1.1" xref="S4.E15.m1.16.16.16.14.14.14.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E15.m1.16.16.16.14.14.14.1.3" xref="S4.E15.m1.16.16.16.14.14.14.1.3.cmml">η</mi></mrow></msub><mo id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.2.2.1c" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E15.m1.17.17.17.15.15.15" xref="S4.E15.m1.17.17.17.15.15.15.cmml">d</mi><mo id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.2.2.1d" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.2.2.4" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.18.18.18.16.16.16" xref="S4.E15.m1.18.18.18.16.16.16.cmml">g</mi><mrow id="S4.E15.m1.19.19.19.17.17.17.1" xref="S4.E15.m1.19.19.19.17.17.17.1.cmml"><mi id="S4.E15.m1.19.19.19.17.17.17.1.2" xref="S4.E15.m1.19.19.19.17.17.17.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.E15.m1.19.19.19.17.17.17.1.1" xref="S4.E15.m1.19.19.19.17.17.17.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E15.m1.19.19.19.17.17.17.1.3" xref="S4.E15.m1.19.19.19.17.17.17.1.3.cmml">η</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E15.m1.20.20.20.18.18.18" xref="S4.E15.m1.20.20.20.18.18.18.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.1.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mo id="S4.E15.m1.21.21.21.19.19.19" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.22.22.22.20.20.20" xref="S4.E15.m1.22.22.22.20.20.20.cmml">d</mi><mo id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.23.23.23.21.21.21" xref="S4.E15.m1.23.23.23.21.21.21.cmml">M</mi><mrow id="S4.E15.m1.25.25.25.23.23.23.1" xref="S4.E15.m1.25.25.25.23.23.23.1.cmml"><mi id="S4.E15.m1.25.25.25.23.23.23.1.2" xref="S4.E15.m1.25.25.25.23.23.23.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.E15.m1.25.25.25.23.23.23.1.1" xref="S4.E15.m1.25.25.25.23.23.23.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E15.m1.25.25.25.23.23.23.1.3" xref="S4.E15.m1.25.25.25.23.23.23.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.E15.m1.24.24.24.22.22.22.1" xref="S4.E15.m1.24.24.24.22.22.22.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E15.m1.26.26.26.24.24.24" xref="S4.E15.m1.26.26.26.24.24.24.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.27.27.27.25.25.25" xref="S4.E15.m1.27.27.27.25.25.25.cmml">d</mi><mo id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.28.28.28.26.26.26" xref="S4.E15.m1.28.28.28.26.26.26.cmml">x</mi><mi id="S4.E15.m1.29.29.29.27.27.27.1" xref="S4.E15.m1.29.29.29.27.27.27.1.cmml">κ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E15.m1.30.30.30.28.28.28" xref="S4.E15.m1.30.30.30.28.28.28.cmml">−</mo><mrow id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.31.31.31.29.29.29" xref="S4.E15.m1.31.31.31.29.29.29.cmml">d</mi><mo id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.32.32.32.30.30.30" xref="S4.E15.m1.32.32.32.30.30.30.cmml">M</mi><mrow id="S4.E15.m1.34.34.34.32.32.32.1" xref="S4.E15.m1.34.34.34.32.32.32.1.cmml"><mi id="S4.E15.m1.34.34.34.32.32.32.1.2" xref="S4.E15.m1.34.34.34.32.32.32.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.E15.m1.34.34.34.32.32.32.1.1" xref="S4.E15.m1.34.34.34.32.32.32.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E15.m1.34.34.34.32.32.32.1.3" xref="S4.E15.m1.34.34.34.32.32.32.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.E15.m1.33.33.33.31.31.31.1" xref="S4.E15.m1.33.33.33.31.31.31.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E15.m1.35.35.35.33.33.33" xref="S4.E15.m1.35.35.35.33.33.33.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.1.1.1.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.36.36.36.34.34.34" xref="S4.E15.m1.36.36.36.34.34.34.cmml">d</mi><mo id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.37.37.37.35.35.35" xref="S4.E15.m1.37.37.37.35.35.35.cmml">x</mi><mi id="S4.E15.m1.38.38.38.36.36.36.1" xref="S4.E15.m1.38.38.38.36.36.36.1.cmml">γ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E15.m1.39.39.39.37.37.37" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E15.m1.80.80.3.78.38.38.38.1.3" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">+</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E15.m1.81.81.4e" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E15.m1.81.81.4f" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mo id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.2a" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.2.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><msqrt id="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2" xref="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2" xref="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2a" xref="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2.2" xref="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.2.1.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E15.m1.42.42.42.3.3.3" xref="S4.E15.m1.42.42.42.3.3.3.cmml">d</mi><mo id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.2.1.1a" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.2.1.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.43.43.43.4.4.4" xref="S4.E15.m1.43.43.43.4.4.4.cmml">g</mi><mrow id="S4.E15.m1.44.44.44.5.5.5.1" xref="S4.E15.m1.44.44.44.5.5.5.1.cmml"><mi id="S4.E15.m1.44.44.44.5.5.5.1.2" xref="S4.E15.m1.44.44.44.5.5.5.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.E15.m1.44.44.44.5.5.5.1.1" xref="S4.E15.m1.44.44.44.5.5.5.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E15.m1.44.44.44.5.5.5.1.3" xref="S4.E15.m1.44.44.44.5.5.5.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E15.m1.45.45.45.6.6.6" xref="S4.E15.m1.45.45.45.6.6.6.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.1.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mo id="S4.E15.m1.46.46.46.7.7.7" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.47.47.47.8.8.8" xref="S4.E15.m1.47.47.47.8.8.8.cmml">d</mi><mo id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.48.48.48.9.9.9" xref="S4.E15.m1.48.48.48.9.9.9.cmml">M</mi><mrow id="S4.E15.m1.50.50.50.11.11.11.1" xref="S4.E15.m1.50.50.50.11.11.11.1.cmml"><mi id="S4.E15.m1.50.50.50.11.11.11.1.2" xref="S4.E15.m1.50.50.50.11.11.11.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.E15.m1.50.50.50.11.11.11.1.1" xref="S4.E15.m1.50.50.50.11.11.11.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E15.m1.50.50.50.11.11.11.1.3" xref="S4.E15.m1.50.50.50.11.11.11.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.E15.m1.49.49.49.10.10.10.1" xref="S4.E15.m1.49.49.49.10.10.10.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E15.m1.51.51.51.12.12.12" xref="S4.E15.m1.51.51.51.12.12.12.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.52.52.52.13.13.13" xref="S4.E15.m1.52.52.52.13.13.13.cmml">d</mi><mo id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.53.53.53.14.14.14" xref="S4.E15.m1.53.53.53.14.14.14.cmml">x</mi><mi id="S4.E15.m1.54.54.54.15.15.15.1" xref="S4.E15.m1.54.54.54.15.15.15.1.cmml">κ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E15.m1.55.55.55.16.16.16" xref="S4.E15.m1.55.55.55.16.16.16.cmml">−</mo><mrow id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.56.56.56.17.17.17" xref="S4.E15.m1.56.56.56.17.17.17.cmml">d</mi><mo id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.57.57.57.18.18.18" xref="S4.E15.m1.57.57.57.18.18.18.cmml">M</mi><mrow id="S4.E15.m1.59.59.59.20.20.20.1" xref="S4.E15.m1.59.59.59.20.20.20.1.cmml"><mi id="S4.E15.m1.59.59.59.20.20.20.1.2" xref="S4.E15.m1.59.59.59.20.20.20.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.E15.m1.59.59.59.20.20.20.1.1" xref="S4.E15.m1.59.59.59.20.20.20.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E15.m1.59.59.59.20.20.20.1.3" xref="S4.E15.m1.59.59.59.20.20.20.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.E15.m1.58.58.58.19.19.19.1" xref="S4.E15.m1.58.58.58.19.19.19.1.cmml">γ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E15.m1.60.60.60.21.21.21" xref="S4.E15.m1.60.60.60.21.21.21.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.1.1.1.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.61.61.61.22.22.22" xref="S4.E15.m1.61.61.61.22.22.22.cmml">d</mi><mo id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.62.62.62.23.23.23" xref="S4.E15.m1.62.62.62.23.23.23.cmml">x</mi><mi id="S4.E15.m1.63.63.63.24.24.24.1" xref="S4.E15.m1.63.63.63.24.24.24.1.cmml">γ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E15.m1.64.64.64.25.25.25" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E15.m1.65.65.65.26.26.26" xref="S4.E15.m1.65.65.65.26.26.26.cmml">+</mo><mrow id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.66.66.66.27.27.27" xref="S4.E15.m1.66.66.66.27.27.27.cmml">d</mi><mo id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.2.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.39.2.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.67.67.67.28.28.28" xref="S4.E15.m1.67.67.67.28.28.28.cmml">β</mi><mrow id="S4.E15.m1.68.68.68.29.29.29.1" xref="S4.E15.m1.68.68.68.29.29.29.1.cmml"><mi id="S4.E15.m1.68.68.68.29.29.29.1.2" xref="S4.E15.m1.68.68.68.29.29.29.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E15.m1.68.68.68.29.29.29.1.1" xref="S4.E15.m1.68.68.68.29.29.29.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E15.m1.68.68.68.29.29.29.1.3" xref="S4.E15.m1.68.68.68.29.29.29.1.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.E15.m1.69.69.69.30.30.30.1" xref="S4.E15.m1.69.69.69.30.30.30.1.cmml">ρ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E15.m1.70.70.70.31.31.31" xref="S4.E15.m1.70.70.70.31.31.31.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.40" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.71.71.71.32.32.32" xref="S4.E15.m1.71.71.71.32.32.32.cmml">d</mi><mo id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.40.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.40.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.72.72.72.33.33.33" xref="S4.E15.m1.72.72.72.33.33.33.cmml">g</mi><mrow id="S4.E15.m1.73.73.73.34.34.34.1" xref="S4.E15.m1.73.73.73.34.34.34.1.cmml"><mi id="S4.E15.m1.73.73.73.34.34.34.1.2" xref="S4.E15.m1.73.73.73.34.34.34.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E15.m1.73.73.73.34.34.34.1.1" xref="S4.E15.m1.73.73.73.34.34.34.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E15.m1.73.73.73.34.34.34.1.3" xref="S4.E15.m1.73.73.73.34.34.34.1.3.cmml">ν</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.E15.m1.70.70.70.31.31.31a" xref="S4.E15.m1.70.70.70.31.31.31.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.41" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.75.75.75.36.36.36" xref="S4.E15.m1.75.75.75.36.36.36.cmml">d</mi><mo id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.41.1" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E15.m1.81.81.4.79.39.39.41.2" xref="S4.E15.m1.79.79.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.76.76.76.37.37.37" xref="S4.E15.m1.76.76.76.37.37.37.cmml">x</mi><mi id="S4.E15.m1.77.77.77.38.38.38.1" xref="S4.E15.m1.77.77.77.38.38.38.1.cmml">ρ</mi></msub></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E15.m1.81b"><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><eq id="S4.E15.m1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.3.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.4.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.79.79.2.4.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1">Ω</ci><ci id="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.2.1">ℎ</ci></apply><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><and id="S4.E15.m1.70.70.70.31.31.31.cmml" xref="S4.E15.m1.70.70.70.31.31.31"></and><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><plus id="S4.E15.m1.65.65.65.26.26.26.cmml" xref="S4.E15.m1.65.65.65.26.26.26"></plus><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><and id="S4.E15.m1.45.45.45.6.6.6.cmml" xref="S4.E15.m1.45.45.45.6.6.6"></and><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><plus id="S4.E15.m1.40.40.40.1.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"></plus><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><and id="S4.E15.m1.20.20.20.18.18.18.cmml" xref="S4.E15.m1.20.20.20.18.18.18"></and><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><plus id="S4.E15.m1.10.10.10.8.8.8.cmml" xref="S4.E15.m1.10.10.10.8.8.8"></plus><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><and id="S4.E15.m1.6.6.6.4.4.4.cmml" xref="S4.E15.m1.6.6.6.4.4.4"></and><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><times id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"></times><ci id="S4.E15.m1.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.4.4.4.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S4.E15.m1.5.5.5.3.3.3.cmml" xref="S4.E15.m1.5.5.5.3.3.3">𝐻</ci></apply><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><times id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"></times><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.7.7.7.5.5.5.cmml" xref="S4.E15.m1.7.7.7.5.5.5">𝑑</ci><ci id="S4.E15.m1.8.8.8.6.6.6.1.cmml" xref="S4.E15.m1.8.8.8.6.6.6.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.E15.m1.9.9.9.7.7.7.cmml" xref="S4.E15.m1.9.9.9.7.7.7">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><times id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"></times><apply id="S4.E15.m1.11.11.11.9.9.9.cmml" xref="S4.E15.m1.11.11.11.9.9.9"><divide id="S4.E15.m1.11.11.11.9.9.9.1.cmml" xref="S4.E15.m1.11.11.11.9.9.9"></divide><cn id="S4.E15.m1.11.11.11.9.9.9.2.cmml" type="integer" xref="S4.E15.m1.11.11.11.9.9.9.2">1</cn><cn id="S4.E15.m1.11.11.11.9.9.9.3.cmml" type="integer" xref="S4.E15.m1.11.11.11.9.9.9.3">2</cn></apply><apply id="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.cmml" xref="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10"><root id="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10a.cmml" xref="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10"></root><apply id="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2.cmml" xref="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2"><minus id="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2"></minus><apply id="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2.2"><determinant id="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2.2.1"></determinant><ci id="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.12.12.12.10.10.10.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.13.13.13.11.11.11.cmml" xref="S4.E15.m1.13.13.13.11.11.11">𝑔</ci><apply id="S4.E15.m1.14.14.14.12.12.12.1.cmml" xref="S4.E15.m1.14.14.14.12.12.12.1"><times id="S4.E15.m1.14.14.14.12.12.12.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.14.14.14.12.12.12.1.1"></times><ci id="S4.E15.m1.14.14.14.12.12.12.1.2.cmml" xref="S4.E15.m1.14.14.14.12.12.12.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.E15.m1.14.14.14.12.12.12.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.14.14.14.12.12.12.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.3.3.5.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.3.3.5.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.15.15.15.13.13.13.cmml" xref="S4.E15.m1.15.15.15.13.13.13">𝑔</ci><apply id="S4.E15.m1.16.16.16.14.14.14.1.cmml" xref="S4.E15.m1.16.16.16.14.14.14.1"><times id="S4.E15.m1.16.16.16.14.14.14.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.16.16.16.14.14.14.1.1"></times><ci id="S4.E15.m1.16.16.16.14.14.14.1.2.cmml" xref="S4.E15.m1.16.16.16.14.14.14.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.E15.m1.16.16.16.14.14.14.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.16.16.16.14.14.14.1.3">𝜂</ci></apply></apply><ci id="S4.E15.m1.17.17.17.15.15.15.cmml" xref="S4.E15.m1.17.17.17.15.15.15">𝑑</ci><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.3.3.7.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.3.3.7.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.18.18.18.16.16.16.cmml" xref="S4.E15.m1.18.18.18.16.16.16">𝑔</ci><apply id="S4.E15.m1.19.19.19.17.17.17.1.cmml" xref="S4.E15.m1.19.19.19.17.17.17.1"><times id="S4.E15.m1.19.19.19.17.17.17.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.19.19.19.17.17.17.1.1"></times><ci id="S4.E15.m1.19.19.19.17.17.17.1.2.cmml" xref="S4.E15.m1.19.19.19.17.17.17.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.E15.m1.19.19.19.17.17.17.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.19.19.19.17.17.17.1.3">𝜂</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><and id="S4.E15.m1.35.35.35.33.33.33.cmml" xref="S4.E15.m1.35.35.35.33.33.33"></and><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><minus id="S4.E15.m1.30.30.30.28.28.28.cmml" xref="S4.E15.m1.30.30.30.28.28.28"></minus><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><and id="S4.E15.m1.26.26.26.24.24.24.cmml" xref="S4.E15.m1.26.26.26.24.24.24"></and><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><times id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"></times><ci id="S4.E15.m1.22.22.22.20.20.20.cmml" xref="S4.E15.m1.22.22.22.20.20.20">𝑑</ci><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.23.23.23.21.21.21.cmml" xref="S4.E15.m1.23.23.23.21.21.21">𝑀</ci><ci id="S4.E15.m1.24.24.24.22.22.22.1.cmml" xref="S4.E15.m1.24.24.24.22.22.22.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.E15.m1.25.25.25.23.23.23.1.cmml" xref="S4.E15.m1.25.25.25.23.23.23.1"><times id="S4.E15.m1.25.25.25.23.23.23.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.25.25.25.23.23.23.1.1"></times><ci id="S4.E15.m1.25.25.25.23.23.23.1.2.cmml" xref="S4.E15.m1.25.25.25.23.23.23.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.E15.m1.25.25.25.23.23.23.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.25.25.25.23.23.23.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><times id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"></times><ci id="S4.E15.m1.27.27.27.25.25.25.cmml" xref="S4.E15.m1.27.27.27.25.25.25">𝑑</ci><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.28.28.28.26.26.26.cmml" xref="S4.E15.m1.28.28.28.26.26.26">𝑥</ci><ci id="S4.E15.m1.29.29.29.27.27.27.1.cmml" xref="S4.E15.m1.29.29.29.27.27.27.1">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><times id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"></times><ci id="S4.E15.m1.31.31.31.29.29.29.cmml" xref="S4.E15.m1.31.31.31.29.29.29">𝑑</ci><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.32.32.32.30.30.30.cmml" xref="S4.E15.m1.32.32.32.30.30.30">𝑀</ci><ci id="S4.E15.m1.33.33.33.31.31.31.1.cmml" xref="S4.E15.m1.33.33.33.31.31.31.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.E15.m1.34.34.34.32.32.32.1.cmml" xref="S4.E15.m1.34.34.34.32.32.32.1"><times id="S4.E15.m1.34.34.34.32.32.32.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.34.34.34.32.32.32.1.1"></times><ci id="S4.E15.m1.34.34.34.32.32.32.1.2.cmml" xref="S4.E15.m1.34.34.34.32.32.32.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.E15.m1.34.34.34.32.32.32.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.34.34.34.32.32.32.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><times id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"></times><ci id="S4.E15.m1.36.36.36.34.34.34.cmml" xref="S4.E15.m1.36.36.36.34.34.34">𝑑</ci><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.37.37.37.35.35.35.cmml" xref="S4.E15.m1.37.37.37.35.35.35">𝑥</ci><ci id="S4.E15.m1.38.38.38.36.36.36.1.cmml" xref="S4.E15.m1.38.38.38.36.36.36.1">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><times id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"></times><apply id="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2"><root id="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2a.cmml" xref="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2"></root><apply id="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2"><minus id="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2"></minus><apply id="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2.2"><determinant id="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2.2.1"></determinant><ci id="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.41.41.41.2.2.2.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><ci id="S4.E15.m1.42.42.42.3.3.3.cmml" xref="S4.E15.m1.42.42.42.3.3.3">𝑑</ci><apply id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.78.78.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.43.43.43.4.4.4.cmml" xref="S4.E15.m1.43.43.43.4.4.4">𝑔</ci><apply id="S4.E15.m1.44.44.44.5.5.5.1.cmml" xref="S4.E15.m1.44.44.44.5.5.5.1"><times id="S4.E15.m1.44.44.44.5.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.44.44.44.5.5.5.1.1"></times><ci id="S4.E15.m1.44.44.44.5.5.5.1.2.cmml" xref="S4.E15.m1.44.44.44.5.5.5.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.E15.m1.44.44.44.5.5.5.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.44.44.44.5.5.5.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><and id="S4.E15.m1.60.60.60.21.21.21.cmml" xref="S4.E15.m1.60.60.60.21.21.21"></and><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><minus id="S4.E15.m1.55.55.55.16.16.16.cmml" xref="S4.E15.m1.55.55.55.16.16.16"></minus><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><and id="S4.E15.m1.51.51.51.12.12.12.cmml" xref="S4.E15.m1.51.51.51.12.12.12"></and><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><times id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"></times><ci id="S4.E15.m1.47.47.47.8.8.8.cmml" xref="S4.E15.m1.47.47.47.8.8.8">𝑑</ci><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.48.48.48.9.9.9.cmml" xref="S4.E15.m1.48.48.48.9.9.9">𝑀</ci><ci id="S4.E15.m1.49.49.49.10.10.10.1.cmml" xref="S4.E15.m1.49.49.49.10.10.10.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.E15.m1.50.50.50.11.11.11.1.cmml" xref="S4.E15.m1.50.50.50.11.11.11.1"><times id="S4.E15.m1.50.50.50.11.11.11.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.50.50.50.11.11.11.1.1"></times><ci id="S4.E15.m1.50.50.50.11.11.11.1.2.cmml" xref="S4.E15.m1.50.50.50.11.11.11.1.2">𝛾</ci><ci id="S4.E15.m1.50.50.50.11.11.11.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.50.50.50.11.11.11.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><times id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"></times><ci id="S4.E15.m1.52.52.52.13.13.13.cmml" xref="S4.E15.m1.52.52.52.13.13.13">𝑑</ci><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.53.53.53.14.14.14.cmml" xref="S4.E15.m1.53.53.53.14.14.14">𝑥</ci><ci id="S4.E15.m1.54.54.54.15.15.15.1.cmml" xref="S4.E15.m1.54.54.54.15.15.15.1">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><times id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"></times><ci id="S4.E15.m1.56.56.56.17.17.17.cmml" xref="S4.E15.m1.56.56.56.17.17.17">𝑑</ci><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.57.57.57.18.18.18.cmml" xref="S4.E15.m1.57.57.57.18.18.18">𝑀</ci><ci id="S4.E15.m1.58.58.58.19.19.19.1.cmml" xref="S4.E15.m1.58.58.58.19.19.19.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.E15.m1.59.59.59.20.20.20.1.cmml" xref="S4.E15.m1.59.59.59.20.20.20.1"><times id="S4.E15.m1.59.59.59.20.20.20.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.59.59.59.20.20.20.1.1"></times><ci id="S4.E15.m1.59.59.59.20.20.20.1.2.cmml" xref="S4.E15.m1.59.59.59.20.20.20.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.E15.m1.59.59.59.20.20.20.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.59.59.59.20.20.20.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><times id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"></times><ci id="S4.E15.m1.61.61.61.22.22.22.cmml" xref="S4.E15.m1.61.61.61.22.22.22">𝑑</ci><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.62.62.62.23.23.23.cmml" xref="S4.E15.m1.62.62.62.23.23.23">𝑥</ci><ci id="S4.E15.m1.63.63.63.24.24.24.1.cmml" xref="S4.E15.m1.63.63.63.24.24.24.1">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><times id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"></times><ci id="S4.E15.m1.66.66.66.27.27.27.cmml" xref="S4.E15.m1.66.66.66.27.27.27">𝑑</ci><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.79.79.2.2.2.4.3.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.67.67.67.28.28.28.cmml" xref="S4.E15.m1.67.67.67.28.28.28">𝛽</ci><apply id="S4.E15.m1.68.68.68.29.29.29.1.cmml" xref="S4.E15.m1.68.68.68.29.29.29.1"><times id="S4.E15.m1.68.68.68.29.29.29.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.68.68.68.29.29.29.1.1"></times><ci id="S4.E15.m1.68.68.68.29.29.29.1.2.cmml" xref="S4.E15.m1.68.68.68.29.29.29.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.E15.m1.68.68.68.29.29.29.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.68.68.68.29.29.29.1.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.E15.m1.69.69.69.30.30.30.1.cmml" xref="S4.E15.m1.69.69.69.30.30.30.1">𝜌</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.4.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><times id="S4.E15.m1.79.79.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"></times><ci id="S4.E15.m1.71.71.71.32.32.32.cmml" xref="S4.E15.m1.71.71.71.32.32.32">𝑑</ci><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.79.79.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.72.72.72.33.33.33.cmml" xref="S4.E15.m1.72.72.72.33.33.33">𝑔</ci><apply id="S4.E15.m1.73.73.73.34.34.34.1.cmml" xref="S4.E15.m1.73.73.73.34.34.34.1"><times id="S4.E15.m1.73.73.73.34.34.34.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.73.73.73.34.34.34.1.1"></times><ci id="S4.E15.m1.73.73.73.34.34.34.1.2.cmml" xref="S4.E15.m1.73.73.73.34.34.34.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.E15.m1.73.73.73.34.34.34.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.73.73.73.34.34.34.1.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.5.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><times id="S4.E15.m1.79.79.2.2.5.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"></times><ci id="S4.E15.m1.75.75.75.36.36.36.cmml" xref="S4.E15.m1.75.75.75.36.36.36">𝑑</ci><apply id="S4.E15.m1.79.79.2.2.5.3.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.79.79.2.2.5.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.81.81.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.76.76.76.37.37.37.cmml" xref="S4.E15.m1.76.76.76.37.37.37">𝑥</ci><ci id="S4.E15.m1.77.77.77.38.38.38.1.cmml" xref="S4.E15.m1.77.77.77.38.38.38.1">𝜌</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E15.m1.81c">\Omega_{h}=\\ =dH\wedge d^{n}x+\frac{1}{2}\sqrt{-\det{{g}}}{g}^{\kappa\phi}g_{\omega\eta}dg^% {\omega\eta}\wedge\left(dM^{\gamma}_{\gamma\phi}\wedge dx_{\kappa}-dM^{\gamma}% _{\kappa\phi}\wedge dx_{\gamma}\right)+\\ +\sqrt{-\det{{g}}}d{g}^{\kappa\phi}\wedge\left(dM^{\gamma}_{\gamma\phi}\wedge dx% _{\kappa}-dM^{\gamma}_{\kappa\phi}\wedge dx_{\gamma}\right)+d\beta_{\mu\nu}^{% \rho}\wedge d{g}^{\mu\nu}\wedge dx_{\rho}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E15.m1.81d">start_ROW start_CELL roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT = end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL = italic_d italic_H ∧ italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUPERSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUPERSCRIPT ∧ ( italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT - italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT ) + end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL + square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUPERSCRIPT ∧ ( italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT - italic_d italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_d italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS1.p2.23">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex76"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="H:=\sqrt{-\det{{g}}}{g}^{\kappa\phi}\left(M^{\sigma}_{\kappa\phi}M^{\beta}_{% \beta\sigma}-M^{\sigma}_{\gamma\phi}M^{\gamma}_{\kappa\sigma}\right)+2\beta^{% \sigma}_{\mu\nu}g^{\mu\sigma}M_{\rho\sigma}^{\nu}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex76.m1.1"><semantics id="S4.Ex76.m1.1a"><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.3.cmml">H</mi><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex76.m1.1.1.2.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.cmml"><msqrt id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2a" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">ϕ</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">β</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">γ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">σ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.3.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.3.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.3.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.3.3.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.1b" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.3.2" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.3.1" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.3.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.3.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.3" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.3.cmml">ν</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex76.m1.1b"><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex76.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.2">assign</csymbol><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.3">𝐻</ci><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1"><plus id="S4.Ex76.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3"><root id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3"></root><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2"><minus id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2"></minus><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2.2"><determinant id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2.2.1"></determinant><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.3"><times id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.4.3.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝛽</ci></apply><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝛽</ci><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝜎</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝛾</ci><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝜎</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.2">2</cn><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.2.2">𝛽</ci><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.2.3">𝜎</ci></apply><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.3"><times id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.3.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.3"><times id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.4.3.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.2">𝑀</ci><apply id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.3"><times id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.3.2">𝜌</ci><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.2.3.3">𝜎</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S4.Ex76.m1.1.1.1.3.5.3">𝜈</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex76.m1.1c">H:=\sqrt{-\det{{g}}}{g}^{\kappa\phi}\left(M^{\sigma}_{\kappa\phi}M^{\beta}_{% \beta\sigma}-M^{\sigma}_{\gamma\phi}M^{\gamma}_{\kappa\sigma}\right)+2\beta^{% \sigma}_{\mu\nu}g^{\mu\sigma}M_{\rho\sigma}^{\nu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex76.m1.1d">italic_H := square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_σ end_POSTSUBSCRIPT - italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_γ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT ) + 2 italic_β start_POSTSUPERSCRIPT italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS1.p2.24">is a local Hamiltonian function. This Hamiltonian form is similar to the one found by Gaset and Román-Roy, but has an additional term associated to the constraints employed in the formulation of the underlying general variational problem.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S4.SS4.SSS2"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">4.4.2. </span>The Hamilton equations for GR with basis</h4> <div class="ltx_para" id="S4.SS4.SSS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.p1.1">We are now ready to calculate the Hamilton equations (in the field theoretic sense) associated to the Hamiltonian form just found.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_thm" id="Thmthm4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm4.1.1.1">Theorem 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm4.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmthm4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmthm4.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmthm4.p1.1.1">The Hamilton equations associated to <math alttext="\Omega_{h}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm4.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmthm4.p1.1.1.m1.1a"><msub id="Thmthm4.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmthm4.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmthm4.p1.1.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmthm4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">Ω</mi><mi id="Thmthm4.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmthm4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">h</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm4.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmthm4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmthm4.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm4.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm4.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmthm4.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmthm4.p1.1.1.m1.1.1.2">Ω</ci><ci id="Thmthm4.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmthm4.p1.1.1.m1.1.1.3">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm4.p1.1.1.m1.1c">\Omega_{h}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm4.p1.1.1.m1.1d">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the vacuum Einstein equations.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.SS4.SSS2.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.SS4.SSS2.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.2">Let us calculate the equations of motion associated to this form. A local basis of vector fields can be constructed projecting <math alttext="W_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1a"><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">W</mi><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.2">𝑊</ci><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1c">W_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.1.m1.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> along <math alttext="p^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1a"><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">‡</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1c">p^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.2.m2.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>; the equation defining this set is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex77"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\eta^{kr}c_{rs}^{t}\left(2T_{kt}^{r}+\beta_{kt}^{r}\right)=0." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex77.m1.1"><semantics id="S4.Ex77.m1.1a"><mrow id="S4.Ex77.m1.1.1.1" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex77.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex77.m1.1b"><apply id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.3"><times id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex77.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex77.m1.1c">\eta^{kr}c_{rs}^{t}\left(2T_{kt}^{r}+\beta_{kt}^{r}\right)=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex77.m1.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6">Here we have used the underlying basis <math alttext="e_{k}^{\mu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1a"><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.3.cmml">μ</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1.1.3">𝜇</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1c">e_{k}^{\mu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.3.m1.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> in order to turn greek indices into latin indices; using this convention, any vector <math alttext="Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.cmml">Y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1.1">𝑌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1c">Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.4.m2.1d">italic_Y</annotation></semantics></math> tangent in <math alttext="p^{\ddagger}\left(w\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1a"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.cmml"><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.2.3.cmml">‡</mo></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.3.2.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1.cmml">w</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.3.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.1"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.2.2.3">‡</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1.1">𝑤</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1c">p^{\ddagger}\left(w\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.5.m3.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_w )</annotation></semantics></math> to <math alttext="p^{\ddagger}\left(W_{0}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1a"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.cmml"><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.3.3.cmml">‡</mo></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.2"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.3.3">‡</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.2">𝑊</ci><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1c">p^{\ddagger}\left(W_{0}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.6.m4.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> can be written as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex78"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Y=T_{w}p^{\ddagger}\left(X\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex78.m1.1"><semantics id="S4.Ex78.m1.1a"><mrow id="S4.Ex78.m1.1.2" xref="S4.Ex78.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex78.m1.1.2.2" xref="S4.Ex78.m1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex78.m1.1.2.1" xref="S4.Ex78.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex78.m1.1.2.3" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.cmml"><msub id="S4.Ex78.m1.1.2.3.2" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex78.m1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mi id="S4.Ex78.m1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.2.3.cmml">w</mi></msub><mo id="S4.Ex78.m1.1.2.3.1" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex78.m1.1.2.3.3" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex78.m1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex78.m1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.3.3.cmml">‡</mo></msup><mo id="S4.Ex78.m1.1.2.3.1a" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex78.m1.1.2.3.4.2" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex78.m1.1.2.3.4.2.1" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex78.m1.1.1" xref="S4.Ex78.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex78.m1.1.2.3.4.2.2" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex78.m1.1b"><apply id="S4.Ex78.m1.1.2.cmml" xref="S4.Ex78.m1.1.2"><eq id="S4.Ex78.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex78.m1.1.2.1"></eq><ci id="S4.Ex78.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex78.m1.1.2.2">𝑌</ci><apply id="S4.Ex78.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3"><times id="S4.Ex78.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.1"></times><apply id="S4.Ex78.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex78.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex78.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.2.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex78.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.2.3">𝑤</ci></apply><apply id="S4.Ex78.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex78.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex78.m1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex78.m1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex78.m1.1.2.3.3.3">‡</ci></apply><ci id="S4.Ex78.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex78.m1.1.1">𝑋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex78.m1.1c">Y=T_{w}p^{\ddagger}\left(X\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex78.m1.1d">italic_Y = italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_w end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.10">for some vector <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.7.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.7.m1.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.7.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.7.m1.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.7.m1.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.7.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.7.m1.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.7.m1.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.7.m1.1d">italic_X</annotation></semantics></math> tangent to <math alttext="W_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1a"><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1.1.2.cmml">W</mi><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1.1.2">𝑊</ci><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1c">W_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.8.m2.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in <math alttext="w" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.9.m3.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.9.m3.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.9.m3.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.9.m3.1.1.cmml">w</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.9.m3.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.9.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.9.m3.1.1">𝑤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.9.m3.1c">w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.9.m3.1d">italic_w</annotation></semantics></math>. For <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.10.m4.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.10.m4.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.10.m4.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.10.m4.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.10.m4.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.10.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.10.m4.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.10.m4.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.10.m4.1d">italic_X</annotation></semantics></math> of the form</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex79"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="X=\tau_{kt}^{r}\frac{\partial}{\partial\Gamma_{kt}^{r}}+B_{kt}^{r}\frac{% \partial}{\partial\beta_{kt}^{r}}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex79.m1.1"><semantics id="S4.Ex79.m1.1a"><mrow id="S4.Ex79.m1.1.1" xref="S4.Ex79.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex79.m1.1.1.1" xref="S4.Ex79.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex79.m1.1.1.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mfrac></mrow><mo id="S4.Ex79.m1.1.1.3.1" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">B</mi><mrow id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex79.m1.1b"><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1"><eq id="S4.Ex79.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3"><plus id="S4.Ex79.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.2">𝜏</ci><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3"><divide id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3"></divide><partialdiff id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.2"></partialdiff><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3"><partialdiff id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.2">Γ</ci><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.3"><times id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.2.3.3.2.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.2">𝐵</ci><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.3"><times id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3"><divide id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3"></divide><partialdiff id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.2"></partialdiff><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3"><partialdiff id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.3"><times id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex79.m1.1.1.3.3.3.3.2.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex79.m1.1c">X=\tau_{kt}^{r}\frac{\partial}{\partial\Gamma_{kt}^{r}}+B_{kt}^{r}\frac{% \partial}{\partial\beta_{kt}^{r}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex79.m1.1d">italic_X = italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.40">the tangency condition becomes</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E16"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.16)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\eta^{kr}c_{rs}^{t}\left[2\left(\tau_{kt}^{r}-\tau_{tk}^{r}\right)+B_{kt}^{r}% \right]=0" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E16.m1.1"><semantics id="S4.E16.m1.1a"><mrow id="S4.E16.m1.1.1" xref="S4.E16.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E16.m1.1.1.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E16.m1.1.1.1.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.E16.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E16.m1.1.1.1.4" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.4.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.2a" xref="S4.E16.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">k</mi></mrow><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><msubsup id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">B</mi><mrow id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E16.m1.1.1.2" xref="S4.E16.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S4.E16.m1.1.1.3" xref="S4.E16.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E16.m1.1b"><apply id="S4.E16.m1.1.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1"><eq id="S4.E16.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.2"></eq><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1"><times id="S4.E16.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E16.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E16.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E16.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.3"><times id="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.4.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E16.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜏</ci><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜏</ci><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐵</ci><apply id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S4.E16.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E16.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E16.m1.1c">\eta^{kr}c_{rs}^{t}\left[2\left(\tau_{kt}^{r}-\tau_{tk}^{r}\right)+B_{kt}^{r}% \right]=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E16.m1.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT [ 2 ( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ] = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.11">and the projection <math alttext="Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.11.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.11.m1.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.11.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.11.m1.1.1.cmml">Y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.11.m1.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.11.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.11.m1.1.1">𝑌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.11.m1.1c">Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.11.m1.1d">italic_Y</annotation></semantics></math> takes the form</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex80"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Y=T_{w}p^{\ddagger}\left(X\right)=\frac{1}{2}\left(\tau_{kt}^{r}+\tau_{tk}^{r}% \right)\frac{\partial}{\partial M_{kt}^{r}}+B_{kt}^{r}\frac{\partial}{\partial% \beta_{kt}^{r}}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex80.m1.2"><semantics id="S4.Ex80.m1.2a"><mrow id="S4.Ex80.m1.2.2.1" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.3.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.4" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.cmml"><msub id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.2.cmml"><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.2.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.2.2.cmml">T</mi><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.2.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.2.3.cmml">w</mi></msub><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.1" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.3.cmml"><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.3.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.3.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.3.3.cmml">‡</mo></msup><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.1a" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.4.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.cmml"><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.4.2.1" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex80.m1.1.1" xref="S4.Ex80.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.4.2.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.6" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">k</mi></mrow><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mfrac></mrow><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml">B</mi><mrow id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex80.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex80.m1.2b"><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1"><and id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1"></and><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1"><eq id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.4"></eq><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.3">𝑌</ci><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5"><times id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.1"></times><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.2.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.2.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.2.3">𝑤</ci></apply><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.3.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.3.3">‡</ci></apply><ci id="S4.Ex80.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.1.1">𝑋</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1c.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1"><eq id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.Ex80.m1.2.2.1.1.5.cmml" id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1d.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1"></share><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1"><plus id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜏</ci><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜏</ci><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4"><divide id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4"></divide><partialdiff id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.2"></partialdiff><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3"><partialdiff id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.2">𝑀</ci><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3"><times id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.1.4.3.2.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3"><times id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.2">𝐵</ci><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3"><divide id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3"></divide><partialdiff id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.2"></partialdiff><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3"><partialdiff id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.2">𝛽</ci><apply id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.3"><times id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex80.m1.2c">Y=T_{w}p^{\ddagger}\left(X\right)=\frac{1}{2}\left(\tau_{kt}^{r}+\tau_{tk}^{r}% \right)\frac{\partial}{\partial M_{kt}^{r}}+B_{kt}^{r}\frac{\partial}{\partial% \beta_{kt}^{r}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex80.m1.2d">italic_Y = italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_w end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT + italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ) divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12">Therefore, a local basis for vector tangent to <math alttext="p^{\ddagger}\left(W_{0}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1a"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.3.3.cmml">‡</mo></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.2"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.3.3">‡</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.2">𝑊</ci><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1c">p^{\ddagger}\left(W_{0}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.12.m1.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex81"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left\{\frac{\partial}{\partial M^{\zeta}_{\alpha\xi}},B_{\mu\nu}^{\rho}\frac{% \partial}{\partial\beta^{\rho}_{\mu\nu}},\frac{\partial}{\partial g^{\alpha\xi% }},\xi_{W^{\ddagger}}:\xi\in\mathfrak{l}\right\}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex81.m1.4"><semantics id="S4.Ex81.m1.4a"><mrow id="S4.Ex81.m1.4.4.2" xref="S4.Ex81.m1.4.4.3.cmml"><mo id="S4.Ex81.m1.4.4.2.3" xref="S4.Ex81.m1.4.4.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex81.m1.1.1" xref="S4.Ex81.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex81.m1.1.1.2" xref="S4.Ex81.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex81.m1.1.1.3" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex81.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">ξ</mi></mrow><mi id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">ζ</mi></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">B</mi><mrow id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">ρ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">ρ</mi></msubsup></mrow></mfrac></mrow><mo id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.4" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.3.cmml">,</mo><mfrac id="S4.Ex81.m1.2.2" xref="S4.Ex81.m1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex81.m1.2.2.2" xref="S4.Ex81.m1.2.2.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex81.m1.2.2.3" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex81.m1.2.2.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S4.Ex81.m1.2.2.3.2" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.2" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.3" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.3.3.cmml">ξ</mi></mrow></msup></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.5" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">ξ</mi><msup id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">W</mi><mo id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">‡</mo></msup></msub></mrow><mo id="S4.Ex81.m1.4.4.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex81.m1.4.4.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.Ex81.m1.4.4.2.2" xref="S4.Ex81.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex81.m1.4.4.2.2.2" xref="S4.Ex81.m1.4.4.2.2.2.cmml">ξ</mi><mo id="S4.Ex81.m1.4.4.2.2.1" xref="S4.Ex81.m1.4.4.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.Ex81.m1.4.4.2.2.3" xref="S4.Ex81.m1.4.4.2.2.3.cmml">𝔩</mi></mrow><mo id="S4.Ex81.m1.4.4.2.5" xref="S4.Ex81.m1.4.4.3.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex81.m1.4b"><apply id="S4.Ex81.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.4.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex81.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.4.4.2.3">conditional-set</csymbol><list id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2"><apply id="S4.Ex81.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.1.1"><divide id="S4.Ex81.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.1.1"></divide><partialdiff id="S4.Ex81.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S4.Ex81.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3"><partialdiff id="S4.Ex81.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.2.3">𝜁</ci></apply><apply id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.3.2">𝛼</ci><ci id="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.1.1.3.2.3.3">𝜉</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝐵</ci><apply id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">𝜌</ci></apply><apply id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3"></divide><partialdiff id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.2"></partialdiff><apply id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3"><partialdiff id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝜌</ci></apply><apply id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex81.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.2.2"><divide id="S4.Ex81.m1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.2.2"></divide><partialdiff id="S4.Ex81.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.2.2.2"></partialdiff><apply id="S4.Ex81.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3"><partialdiff id="S4.Ex81.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.3"><times id="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.3.2">𝛼</ci><ci id="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.2.2.3.2.3.3">𝜉</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.2">𝜉</ci><apply id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.3.2">𝑊</ci><ci id="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.3.3.1.1.2.2.3.3">‡</ci></apply></apply></list><apply id="S4.Ex81.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.4.4.2.2"><in id="S4.Ex81.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex81.m1.4.4.2.2.1"></in><ci id="S4.Ex81.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex81.m1.4.4.2.2.2">𝜉</ci><ci id="S4.Ex81.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex81.m1.4.4.2.2.3">𝔩</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex81.m1.4c">\left\{\frac{\partial}{\partial M^{\zeta}_{\alpha\xi}},B_{\mu\nu}^{\rho}\frac{% \partial}{\partial\beta^{\rho}_{\mu\nu}},\frac{\partial}{\partial g^{\alpha\xi% }},\xi_{W^{\ddagger}}:\xi\in\mathfrak{l}\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex81.m1.4d">{ divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_ξ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_β start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_α italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG , italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT : italic_ξ ∈ fraktur_l }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.17">where <math alttext="\mathfrak{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.13.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.13.m1.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.13.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.13.m1.1.1.cmml">𝔩</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.13.m1.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.13.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.13.m1.1.1">𝔩</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.13.m1.1c">\mathfrak{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.13.m1.1d">fraktur_l</annotation></semantics></math> is the Lie algebra of the Lorentz group <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.14.m2.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.14.m2.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.14.m2.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.14.m2.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.14.m2.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.14.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.14.m2.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.14.m2.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.14.m2.1d">italic_L</annotation></semantics></math> and the <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.15.m3.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.15.m3.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.15.m3.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.15.m3.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.15.m3.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.15.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.15.m3.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.15.m3.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.15.m3.1d">italic_B</annotation></semantics></math>-coefficients obey the tangency condition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.E16" title="Equation 4.16 ‣ Proof. ‣ 4.4.2. The Hamilton equations for GR with basis ‣ 4.4. Hamiltonian form and Hamilton equations for gravity with basis ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.16</span></a>); because of the <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.16.m4.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.16.m4.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.16.m4.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.16.m4.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.16.m4.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.16.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.16.m4.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.16.m4.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.16.m4.1d">italic_L</annotation></semantics></math>-invariance, no equation will rise from the contraction with these vectors, so the Hamilton equations will be consequence of the remaining ones. Also, keep in mind that because the previous discussion, there would be relationships between the vectors in the <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.17.m5.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.17.m5.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.17.m5.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.17.m5.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.17.m5.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.17.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.17.m5.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.17.m5.1c">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.17.m5.1d">italic_β</annotation></semantics></math>-directions. Let us first contract in these directions; we obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex82"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="B^{\rho}_{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial\beta^{\rho}_{\mu\nu}}\lrcorner\Omega% _{h}=B^{\rho}_{\mu\nu}\left[d{g}^{\mu\nu}\wedge dx_{\rho}+2{g}^{\mu\sigma}{M}^% {\nu}_{\rho\sigma}d^{n}x\right]" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex82.m1.1"><semantics id="S4.Ex82.m1.1a"><mrow id="S4.Ex82.m1.1.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex82.m1.1.1.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">B</mi><mrow id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">ρ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.3.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.1" rspace="0em" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.2.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml">ρ</mi></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.3.4" mathvariant="normal" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.4.cmml">⌟</mi><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.3.1b" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex82.m1.1.1.3.5" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.3.5.2" mathvariant="normal" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.5.2.cmml">Ω</mi><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.3.5.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.5.3.cmml">h</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.1.1.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">B</mi><mrow id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">ν</mi></mrow><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">ρ</mi></msubsup><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">ρ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.5" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml">d</mi><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.1c" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.6" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex82.m1.1b"><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1"><eq id="S4.Ex82.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3"><times id="S4.Ex82.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.2.2">𝐵</ci><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.2.3">𝜌</ci></apply><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3"><divide id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3"></divide><partialdiff id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.2"></partialdiff><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3"><partialdiff id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.1"></partialdiff><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.2.2">𝛽</ci><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.2.3">𝜌</ci></apply><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.3"><times id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.3.3.2.3.3">𝜈</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.4">⌟</ci><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.5.2">Ω</ci><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.3.5.3">ℎ</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1"><times id="S4.Ex82.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.2.2">𝐵</ci><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.2.3">𝜌</ci></apply><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.3.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2"><and id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></and><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3"><times id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝜌</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3"><times id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.2">𝜌</ci><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.5">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.2">𝑑</ci><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.5.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.6.cmml" xref="S4.Ex82.m1.1.1.1.1.1.1.3.6">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex82.m1.1c">B^{\rho}_{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial\beta^{\rho}_{\mu\nu}}\lrcorner\Omega% _{h}=B^{\rho}_{\mu\nu}\left[d{g}^{\mu\nu}\wedge dx_{\rho}+2{g}^{\mu\sigma}{M}^% {\nu}_{\rho\sigma}d^{n}x\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex82.m1.1d">italic_B start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_β start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⌟ roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT = italic_B start_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUBSCRIPT [ italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT + 2 italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21">where the <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.18.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.18.m1.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.18.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.18.m1.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.18.m1.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.18.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.18.m1.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.18.m1.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.18.m1.1d">italic_B</annotation></semantics></math>-coefficients are necessary because the <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.19.m2.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.19.m2.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.19.m2.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.19.m2.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.19.m2.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.19.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.19.m2.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.19.m2.1c">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.19.m2.1d">italic_β</annotation></semantics></math>-variables are not independent on <math alttext="p^{\ddagger}\left(W_{0}\right)\subset W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1a"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.cmml"><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.3.3.cmml">‡</mo></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.2.cmml">⊂</mo><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.3.2.cmml">W</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1"><subset id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.2"></subset><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.2"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.3.3">‡</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝑊</ci><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1.1.3.3">‡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1c">p^{\ddagger}\left(W_{0}\right)\subset W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.20.m3.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) ⊂ italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Using Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.E16" title="Equation 4.16 ‣ Proof. ‣ 4.4.2. The Hamilton equations for GR with basis ‣ 4.4. Hamiltonian form and Hamilton equations for gravity with basis ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.16</span></a>) with <math alttext="\tau_{kt}^{r}-\tau_{tk}^{r}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1a"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.1.cmml">−</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.2.cmml">τ</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.3.3.cmml">k</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1"><eq id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2"><minus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.1"></minus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.2">𝜏</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.3"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.2">𝜏</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1c">\tau_{kt}^{r}-\tau_{tk}^{r}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.21.m4.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, it results that these coefficients should be traceless, and it yields to the consequence</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.17)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="d{g}^{\mu\nu}\wedge dx_{\rho}+2{g}^{\mu\sigma}{M}^{\nu}_{\rho\sigma}d^{n}x=% \frac{1}{n-1}g^{\mu\nu}\left(g_{\omega\eta}dg^{\omega\eta}\wedge dx_{\rho}+2M_% {\beta\rho}^{\beta}d^{n}x\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E17.m1.1"><semantics id="S4.E17.m1.1a"><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">ρ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">σ</mi></mrow></msup><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2.cmml">ρ</mi><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3.cmml">σ</mi></mrow><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.cmml">ν</mi></msubsup><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1b" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.5.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml">d</mi><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.5.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1c" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.6" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.6.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">ν</mi></mrow></msup><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">η</mi></mrow></msub><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1a" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.3.cmml">η</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">ρ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">β</mi><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">ρ</mi></mrow><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">β</mi></msubsup><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">d</mi><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E17.m1.1b"><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1"><eq id="S4.E17.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2"><and id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.1"></and><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑔</ci><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1"></times><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3">𝜈</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3">𝜌</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.2">2</cn><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑔</ci><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1"></times><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.3">𝜈</ci></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.1"></times><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.2">𝜌</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.3">𝜎</ci></apply></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.5.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.5">superscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.5.2">𝑑</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.5.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.6.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.3.3.6">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.2">𝑔</ci><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><and id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></and><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑔</ci><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝜔</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝜂</ci></apply></apply><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑑</ci><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.2">𝑔</ci><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.1"></times><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.2">𝜔</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.3.3">𝜂</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝜌</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑀</ci><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝛽</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">𝜌</ci></apply></apply><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝛽</ci></apply><apply id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑑</ci><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E17.m1.1c">d{g}^{\mu\nu}\wedge dx_{\rho}+2{g}^{\mu\sigma}{M}^{\nu}_{\rho\sigma}d^{n}x=% \frac{1}{n-1}g^{\mu\nu}\left(g_{\omega\eta}dg^{\omega\eta}\wedge dx_{\rho}+2M_% {\beta\rho}^{\beta}d^{n}x\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E17.m1.1d">italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT + 2 italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_σ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ italic_σ end_POSTSUBSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_n - 1 end_ARG italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ν end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT + 2 italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.23">It means that the connection represented by the <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.22.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.22.m1.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.22.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.22.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.22.m1.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.22.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.22.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.22.m1.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.22.m1.1d">italic_M</annotation></semantics></math>-coordinates is a <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.23.1">Weyl connection</em>, namely, a torsionless connection that is metric up to a trace <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">10.1063/1.529582</span>]</cite>. For the contraction with the <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.23.m2.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.23.m2.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.23.m2.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.23.m2.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.23.m2.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.23.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.23.m2.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.23.m2.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.23.m2.1d">italic_M</annotation></semantics></math>-directions we obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\partial}{\partial M^{\zeta}_{\alpha\xi}}\lrcorner\Omega_{h}=\sqrt{-\det% {g}}\left[dg^{\alpha\xi}\wedge dx_{\zeta}+\left(g^{\alpha\phi}M_{\zeta\phi}^{% \xi}+g^{\kappa\xi}M_{\kappa\zeta}^{\alpha}\right)d^{n}x\right]-\\ -\sqrt{-\det{g}}\delta^{\alpha}_{\zeta}\left[dg^{\kappa\xi}\wedge dx_{\kappa}+% \left(g^{\kappa\phi}M_{\kappa\phi}^{\xi}+g^{\kappa\xi}M_{\kappa\beta}^{\beta}% \right)d^{n}x\right]-\\ -\frac{1}{2}\sqrt{-\det{g}}g^{\alpha\xi}\left(g_{\omega\eta}dg^{\omega\eta}% \wedge dx_{\zeta}+2M_{\beta\zeta}^{\beta}d^{n}x\right)+\\ +\frac{1}{2}\sqrt{-\det{g}}g^{\kappa\xi}\delta^{\alpha}_{\zeta}\left(g_{\omega% \eta}dg^{\omega\eta}\wedge dx_{\kappa}+2M_{\beta\kappa}^{\beta}d^{n}x\right)+2% g^{\mu\xi}\beta^{\alpha}_{\mu\zeta}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129a"><mtable displaystyle="true" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8" rowspacing="0pt" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mtr id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8b" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.34" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mfrac id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">ξ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">ζ</mi></msubsup></mrow></mfrac><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.34.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.2.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">⌟</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.34.1a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.34.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.3.3.3.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">Ω</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.4.4.4.4.4.4.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml">h</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><msqrt id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.2.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.10.10.10.10.10.10.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.10.10.10.10.10.10.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.10.10.10.10.10.10.1.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.10.10.10.10.10.10.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.10.10.10.10.10.10.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.10.10.10.10.10.10.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.10.10.10.10.10.10.1.3.cmml">ξ</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.11.11.11.11.11.11" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.12.12.12.12.12.12.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.13.13.13.13.13.13" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.14.14.14.14.14.14.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml">ζ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.15.15.15.15.15.15" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.15.15.15.15.15.15.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.16.16.16.16.16.16" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.17.17.17.17.17.17" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.18.18.18.18.18.18.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.18.18.18.18.18.18.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.18.18.18.18.18.18.1.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.18.18.18.18.18.18.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.18.18.18.18.18.18.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.18.18.18.18.18.18.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.18.18.18.18.18.18.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.19.19.19.19.19.19" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.19.19.19.19.19.19.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.20.20.20.20.20.20.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.20.20.20.20.20.20.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.20.20.20.20.20.20.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.20.20.20.20.20.20.1.2.cmml">ζ</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.20.20.20.20.20.20.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.20.20.20.20.20.20.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.20.20.20.20.20.20.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.21.21.21.21.21.21.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.21.21.21.21.21.21.1.cmml">ξ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.22.22.22.22.22.22" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.22.22.22.22.22.22.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.23.23.23.23.23.23" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.23.23.23.23.23.23.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.24.24.24.24.24.24.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.24.24.24.24.24.24.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.24.24.24.24.24.24.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.24.24.24.24.24.24.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.24.24.24.24.24.24.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.24.24.24.24.24.24.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.24.24.24.24.24.24.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.24.24.24.24.24.24.1.3.cmml">ξ</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.25.25.25.25.25.25" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.25.25.25.25.25.25.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.26.26.26.26.26.26.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.26.26.26.26.26.26.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.26.26.26.26.26.26.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.26.26.26.26.26.26.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.26.26.26.26.26.26.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.26.26.26.26.26.26.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.26.26.26.26.26.26.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.26.26.26.26.26.26.1.3.cmml">ζ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.27.27.27.27.27.27.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.27.27.27.27.27.27.1.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.28.28.28.28.28.28" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.29.29.29.29.29.29" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.29.29.29.29.29.29.cmml">d</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.30.30.30.30.30.30.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.30.30.30.30.30.30.1.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.31.31.31.31.31.31" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.31.31.31.31.31.31.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.32.32.32.32.32.32" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.126.126.5.122.33.33.33.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">−</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8c" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8d" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><msqrt id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.35.35.35.3.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.35.35.35.3.3.3.cmml">δ</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.37.37.37.5.5.5.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.37.37.37.5.5.5.1.cmml">ζ</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.36.36.36.4.4.4.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.36.36.36.4.4.4.1.cmml">α</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.2a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.38.38.38.6.6.6" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.39.39.39.7.7.7" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.39.39.39.7.7.7.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.2.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.40.40.40.8.8.8" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.40.40.40.8.8.8.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.41.41.41.9.9.9.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.41.41.41.9.9.9.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.41.41.41.9.9.9.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.41.41.41.9.9.9.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.41.41.41.9.9.9.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.41.41.41.9.9.9.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.41.41.41.9.9.9.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.41.41.41.9.9.9.1.3.cmml">ξ</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.42.42.42.10.10.10" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.42.42.42.10.10.10.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.43.43.43.11.11.11" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.43.43.43.11.11.11.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.44.44.44.12.12.12" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.44.44.44.12.12.12.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.45.45.45.13.13.13.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.45.45.45.13.13.13.1.cmml">κ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.46.46.46.14.14.14" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.46.46.46.14.14.14.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.47.47.47.15.15.15" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.48.48.48.16.16.16" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.48.48.48.16.16.16.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.49.49.49.17.17.17.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.49.49.49.17.17.17.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.49.49.49.17.17.17.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.49.49.49.17.17.17.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.49.49.49.17.17.17.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.49.49.49.17.17.17.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.49.49.49.17.17.17.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.49.49.49.17.17.17.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.50.50.50.18.18.18" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.50.50.50.18.18.18.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.51.51.51.19.19.19.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.51.51.51.19.19.19.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.51.51.51.19.19.19.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.51.51.51.19.19.19.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.51.51.51.19.19.19.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.51.51.51.19.19.19.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.51.51.51.19.19.19.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.51.51.51.19.19.19.1.3.cmml">ϕ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.52.52.52.20.20.20.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.52.52.52.20.20.20.1.cmml">ξ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.53.53.53.21.21.21" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.53.53.53.21.21.21.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.54.54.54.22.22.22" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.54.54.54.22.22.22.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.55.55.55.23.23.23.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.55.55.55.23.23.23.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.55.55.55.23.23.23.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.55.55.55.23.23.23.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.55.55.55.23.23.23.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.55.55.55.23.23.23.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.55.55.55.23.23.23.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.55.55.55.23.23.23.1.3.cmml">ξ</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.56.56.56.24.24.24" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.56.56.56.24.24.24.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.57.57.57.25.25.25.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.57.57.57.25.25.25.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.57.57.57.25.25.25.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.57.57.57.25.25.25.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.57.57.57.25.25.25.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.57.57.57.25.25.25.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.57.57.57.25.25.25.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.57.57.57.25.25.25.1.3.cmml">β</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.58.58.58.26.26.26.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.58.58.58.26.26.26.1.cmml">β</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.59.59.59.27.27.27" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.60.60.60.28.28.28" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.60.60.60.28.28.28.cmml">d</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.61.61.61.29.29.29.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.61.61.61.29.29.29.1.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.32.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.62.62.62.30.30.30" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.62.62.62.30.30.30.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.63.63.63.31.31.31" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.127.127.6.123.32.32.34" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">−</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8e" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8f" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mfrac id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.65.65.65.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.65.65.65.2.2.2.cmml"><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.65.65.65.2.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.65.65.65.2.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.65.65.65.2.2.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.65.65.65.2.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msqrt id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.2a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.67.67.67.4.4.4" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.67.67.67.4.4.4.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.68.68.68.5.5.5.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.68.68.68.5.5.5.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.68.68.68.5.5.5.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.68.68.68.5.5.5.1.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.68.68.68.5.5.5.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.68.68.68.5.5.5.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.68.68.68.5.5.5.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.68.68.68.5.5.5.1.3.cmml">ξ</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.2b" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.69.69.69.6.6.6" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.70.70.70.7.7.7" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.70.70.70.7.7.7.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.71.71.71.8.8.8.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.71.71.71.8.8.8.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.71.71.71.8.8.8.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.71.71.71.8.8.8.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.71.71.71.8.8.8.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.71.71.71.8.8.8.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.71.71.71.8.8.8.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.71.71.71.8.8.8.1.3.cmml">η</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.72.72.72.9.9.9" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.72.72.72.9.9.9.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.73.73.73.10.10.10" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.73.73.73.10.10.10.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.74.74.74.11.11.11.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.74.74.74.11.11.11.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.74.74.74.11.11.11.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.74.74.74.11.11.11.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.74.74.74.11.11.11.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.74.74.74.11.11.11.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.74.74.74.11.11.11.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.74.74.74.11.11.11.1.3.cmml">η</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.75.75.75.12.12.12" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.75.75.75.12.12.12.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.76.76.76.13.13.13" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.76.76.76.13.13.13.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.77.77.77.14.14.14" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.77.77.77.14.14.14.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.78.78.78.15.15.15.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.78.78.78.15.15.15.1.cmml">ζ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.79.79.79.16.16.16" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.79.79.79.16.16.16.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.80.80.80.17.17.17" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.80.80.80.17.17.17.cmml">2</mn><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.81.81.81.18.18.18" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.81.81.81.18.18.18.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.82.82.82.19.19.19.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.82.82.82.19.19.19.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.82.82.82.19.19.19.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.82.82.82.19.19.19.1.2.cmml">β</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.82.82.82.19.19.19.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.82.82.82.19.19.19.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.82.82.82.19.19.19.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.82.82.82.19.19.19.1.3.cmml">ζ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.83.83.83.20.20.20.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.83.83.83.20.20.20.1.cmml">β</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.84.84.84.21.21.21" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.84.84.84.21.21.21.cmml">d</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.85.85.85.22.22.22.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.85.85.85.22.22.22.1.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.25.1.1.1.1.2.1b" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.86.86.86.23.23.23" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.86.86.86.23.23.23.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.87.87.87.24.24.24" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.128.128.7.124.25.25.27" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">+</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8g" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8h" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mfrac id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.89.89.89.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.89.89.89.2.2.2.cmml"><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.89.89.89.2.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.89.89.89.2.2.2.2.cmml">1</mn><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.89.89.89.2.2.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.89.89.89.2.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msqrt id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.2a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.91.91.91.4.4.4" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.91.91.91.4.4.4.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.92.92.92.5.5.5.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.92.92.92.5.5.5.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.92.92.92.5.5.5.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.92.92.92.5.5.5.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.92.92.92.5.5.5.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.92.92.92.5.5.5.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.92.92.92.5.5.5.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.92.92.92.5.5.5.1.3.cmml">ξ</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.2b" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.4" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.93.93.93.6.6.6" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.93.93.93.6.6.6.cmml">δ</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.95.95.95.8.8.8.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.95.95.95.8.8.8.1.cmml">ζ</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.94.94.94.7.7.7.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.94.94.94.7.7.7.1.cmml">α</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.2c" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.96.96.96.9.9.9" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.97.97.97.10.10.10" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.97.97.97.10.10.10.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.98.98.98.11.11.11.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.98.98.98.11.11.11.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.98.98.98.11.11.11.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.98.98.98.11.11.11.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.98.98.98.11.11.11.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.98.98.98.11.11.11.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.98.98.98.11.11.11.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.98.98.98.11.11.11.1.3.cmml">η</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.99.99.99.12.12.12" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.99.99.99.12.12.12.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.100.100.100.13.13.13" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.100.100.100.13.13.13.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.101.101.101.14.14.14.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.101.101.101.14.14.14.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.101.101.101.14.14.14.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.101.101.101.14.14.14.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.101.101.101.14.14.14.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.101.101.101.14.14.14.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.101.101.101.14.14.14.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.101.101.101.14.14.14.1.3.cmml">η</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.102.102.102.15.15.15" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.102.102.102.15.15.15.cmml">∧</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.103.103.103.16.16.16" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.103.103.103.16.16.16.cmml">d</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.104.104.104.17.17.17" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.104.104.104.17.17.17.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.105.105.105.18.18.18.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.105.105.105.18.18.18.1.cmml">κ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.106.106.106.19.19.19" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.106.106.106.19.19.19.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.107.107.107.20.20.20" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.107.107.107.20.20.20.cmml">2</mn><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.108.108.108.21.21.21" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.108.108.108.21.21.21.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.109.109.109.22.22.22.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.109.109.109.22.22.22.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.109.109.109.22.22.22.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.109.109.109.22.22.22.1.2.cmml">β</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.109.109.109.22.22.22.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.109.109.109.22.22.22.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.109.109.109.22.22.22.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.109.109.109.22.22.22.1.3.cmml">κ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.110.110.110.23.23.23.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.110.110.110.23.23.23.1.cmml">β</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.111.111.111.24.24.24" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.111.111.111.24.24.24.cmml">d</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.112.112.112.25.25.25.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.112.112.112.25.25.25.1.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.35.1.1.1.1.2.1b" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.113.113.113.26.26.26" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.113.113.113.26.26.26.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.114.114.114.27.27.27" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.115.115.115.28.28.28" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.36" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.116.116.116.29.29.29" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.116.116.116.29.29.29.cmml">2</mn><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.36.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.36.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.117.117.117.30.30.30" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.117.117.117.30.30.30.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.118.118.118.31.31.31.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.118.118.118.31.31.31.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.118.118.118.31.31.31.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.118.118.118.31.31.31.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.118.118.118.31.31.31.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.118.118.118.31.31.31.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.118.118.118.31.31.31.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.118.118.118.31.31.31.1.3.cmml">ξ</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.36.1a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8.125.35.35.36.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.119.119.119.32.32.32" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.119.119.119.32.32.32.cmml">β</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.121.121.121.34.34.34.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.121.121.121.34.34.34.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.121.121.121.34.34.34.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.121.121.121.34.34.34.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.121.121.121.34.34.34.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.121.121.121.34.34.34.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.121.121.121.34.34.34.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.121.121.121.34.34.34.1.3.cmml">ζ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.120.120.120.33.33.33.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.120.120.120.33.33.33.1.cmml">α</mi></msubsup></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><eq id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.5.5.5.5.5.5"></eq><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.6.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1"><divide id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1"></divide><partialdiff id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3"><partialdiff id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝜁</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝛼</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝜉</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.2.2.2.2.2.2">⌟</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.6.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.6.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.3.3.3.3.3.3">Ω</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.4.4.4.4.4.4.1">ℎ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><plus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.88.88.88.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></plus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><minus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.33.33.33.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></minus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6"><root id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6a.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6"></root><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2"><minus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2"></minus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2.2"><determinant id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2.2.1"></determinant><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.6.6.6.6.6.6.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><plus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.15.15.15.15.15.15.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.15.15.15.15.15.15"></plus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><and id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.11.11.11.11.11.11"></and><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.8.8.8.8.8.8">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.9.9.9.9.9.9">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.10.10.10.10.10.10.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.10.10.10.10.10.10.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.10.10.10.10.10.10.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.10.10.10.10.10.10.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.10.10.10.10.10.10.1.2">𝛼</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.10.10.10.10.10.10.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.10.10.10.10.10.10.1.3">𝜉</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.12.12.12.12.12.12.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.12.12.12.12.12.12">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.13.13.13.13.13.13.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.13.13.13.13.13.13">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.14.14.14.14.14.14.1">𝜁</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><plus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.22.22.22.22.22.22.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.22.22.22.22.22.22"></plus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.17.17.17.17.17.17.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.17.17.17.17.17.17">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.18.18.18.18.18.18.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.18.18.18.18.18.18.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.18.18.18.18.18.18.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.18.18.18.18.18.18.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.18.18.18.18.18.18.1.2">𝛼</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.18.18.18.18.18.18.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.18.18.18.18.18.18.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.19.19.19.19.19.19.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.19.19.19.19.19.19">𝑀</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.20.20.20.20.20.20.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.20.20.20.20.20.20.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.20.20.20.20.20.20.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.20.20.20.20.20.20.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.20.20.20.20.20.20.1.2">𝜁</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.20.20.20.20.20.20.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.20.20.20.20.20.20.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.21.21.21.21.21.21.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.21.21.21.21.21.21.1">𝜉</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.23.23.23.23.23.23.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.23.23.23.23.23.23">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.24.24.24.24.24.24.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.24.24.24.24.24.24.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.24.24.24.24.24.24.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.24.24.24.24.24.24.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.24.24.24.24.24.24.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.24.24.24.24.24.24.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.24.24.24.24.24.24.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.24.24.24.24.24.24.1.3">𝜉</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.25.25.25.25.25.25.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.25.25.25.25.25.25">𝑀</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.26.26.26.26.26.26.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.26.26.26.26.26.26.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.26.26.26.26.26.26.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.26.26.26.26.26.26.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.26.26.26.26.26.26.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.26.26.26.26.26.26.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.26.26.26.26.26.26.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.26.26.26.26.26.26.1.3">𝜁</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.27.27.27.27.27.27.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.27.27.27.27.27.27.1">𝛼</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.122.122.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.29.29.29.29.29.29.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.29.29.29.29.29.29">𝑑</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.30.30.30.30.30.30.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.30.30.30.30.30.30.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.31.31.31.31.31.31.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.31.31.31.31.31.31">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2"><root id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2a.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2"></root><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2"><minus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2"></minus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2.2"><determinant id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2.2.1"></determinant><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.34.34.34.2.2.2.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.35.35.35.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.35.35.35.3.3.3">𝛿</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.36.36.36.4.4.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.36.36.36.4.4.4.1">𝛼</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.37.37.37.5.5.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.37.37.37.5.5.5.1">𝜁</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><plus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.46.46.46.14.14.14.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.46.46.46.14.14.14"></plus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><and id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.42.42.42.10.10.10.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.42.42.42.10.10.10"></and><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.39.39.39.7.7.7.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.39.39.39.7.7.7">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.40.40.40.8.8.8.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.40.40.40.8.8.8">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.41.41.41.9.9.9.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.41.41.41.9.9.9.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.41.41.41.9.9.9.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.41.41.41.9.9.9.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.41.41.41.9.9.9.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.41.41.41.9.9.9.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.41.41.41.9.9.9.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.41.41.41.9.9.9.1.3">𝜉</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.43.43.43.11.11.11.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.43.43.43.11.11.11">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.44.44.44.12.12.12.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.44.44.44.12.12.12">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.45.45.45.13.13.13.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.45.45.45.13.13.13.1">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><plus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.53.53.53.21.21.21.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.53.53.53.21.21.21"></plus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.48.48.48.16.16.16.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.48.48.48.16.16.16">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.49.49.49.17.17.17.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.49.49.49.17.17.17.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.49.49.49.17.17.17.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.49.49.49.17.17.17.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.49.49.49.17.17.17.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.49.49.49.17.17.17.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.49.49.49.17.17.17.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.49.49.49.17.17.17.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.50.50.50.18.18.18.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.50.50.50.18.18.18">𝑀</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.51.51.51.19.19.19.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.51.51.51.19.19.19.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.51.51.51.19.19.19.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.51.51.51.19.19.19.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.51.51.51.19.19.19.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.51.51.51.19.19.19.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.51.51.51.19.19.19.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.51.51.51.19.19.19.1.3">italic-ϕ</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.52.52.52.20.20.20.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.52.52.52.20.20.20.1">𝜉</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.54.54.54.22.22.22.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.54.54.54.22.22.22">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.55.55.55.23.23.23.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.55.55.55.23.23.23.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.55.55.55.23.23.23.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.55.55.55.23.23.23.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.55.55.55.23.23.23.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.55.55.55.23.23.23.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.55.55.55.23.23.23.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.55.55.55.23.23.23.1.3">𝜉</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.56.56.56.24.24.24.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.56.56.56.24.24.24">𝑀</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.57.57.57.25.25.25.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.57.57.57.25.25.25.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.57.57.57.25.25.25.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.57.57.57.25.25.25.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.57.57.57.25.25.25.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.57.57.57.25.25.25.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.57.57.57.25.25.25.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.57.57.57.25.25.25.1.3">𝛽</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.58.58.58.26.26.26.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.58.58.58.26.26.26.1">𝛽</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.123.123.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.60.60.60.28.28.28.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.60.60.60.28.28.28">𝑑</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.61.61.61.29.29.29.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.61.61.61.29.29.29.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.62.62.62.30.30.30.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.62.62.62.30.30.30">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.65.65.65.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.65.65.65.2.2.2"><divide id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.65.65.65.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.65.65.65.2.2.2"></divide><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.65.65.65.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.65.65.65.2.2.2.2">1</cn><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.65.65.65.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.65.65.65.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3"><root id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3a.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3"></root><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2"><minus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2"></minus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2.2"><determinant id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2.2.1"></determinant><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.66.66.66.3.3.3.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.5.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.67.67.67.4.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.67.67.67.4.4.4">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.68.68.68.5.5.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.68.68.68.5.5.5.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.68.68.68.5.5.5.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.68.68.68.5.5.5.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.68.68.68.5.5.5.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.68.68.68.5.5.5.1.2">𝛼</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.68.68.68.5.5.5.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.68.68.68.5.5.5.1.3">𝜉</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><plus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.79.79.79.16.16.16.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.79.79.79.16.16.16"></plus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><and id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.75.75.75.12.12.12.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.75.75.75.12.12.12"></and><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.70.70.70.7.7.7.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.70.70.70.7.7.7">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.71.71.71.8.8.8.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.71.71.71.8.8.8.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.71.71.71.8.8.8.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.71.71.71.8.8.8.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.71.71.71.8.8.8.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.71.71.71.8.8.8.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.71.71.71.8.8.8.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.71.71.71.8.8.8.1.3">𝜂</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.72.72.72.9.9.9.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.72.72.72.9.9.9">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.73.73.73.10.10.10.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.73.73.73.10.10.10">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.74.74.74.11.11.11.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.74.74.74.11.11.11.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.74.74.74.11.11.11.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.74.74.74.11.11.11.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.74.74.74.11.11.11.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.74.74.74.11.11.11.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.74.74.74.11.11.11.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.74.74.74.11.11.11.1.3">𝜂</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.76.76.76.13.13.13.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.76.76.76.13.13.13">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.77.77.77.14.14.14.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.77.77.77.14.14.14">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.78.78.78.15.15.15.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.78.78.78.15.15.15.1">𝜁</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.80.80.80.17.17.17.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.80.80.80.17.17.17">2</cn><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.81.81.81.18.18.18.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.81.81.81.18.18.18">𝑀</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.82.82.82.19.19.19.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.82.82.82.19.19.19.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.82.82.82.19.19.19.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.82.82.82.19.19.19.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.82.82.82.19.19.19.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.82.82.82.19.19.19.1.2">𝛽</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.82.82.82.19.19.19.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.82.82.82.19.19.19.1.3">𝜁</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.83.83.83.20.20.20.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.83.83.83.20.20.20.1">𝛽</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.124.124.3.3.3.3.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.84.84.84.21.21.21.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.84.84.84.21.21.21">𝑑</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.85.85.85.22.22.22.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.85.85.85.22.22.22.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.86.86.86.23.23.23.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.86.86.86.23.23.23">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.89.89.89.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.89.89.89.2.2.2"><divide id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.89.89.89.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.89.89.89.2.2.2"></divide><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.89.89.89.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.89.89.89.2.2.2.2">1</cn><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.89.89.89.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.89.89.89.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3"><root id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3a.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3"></root><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2"><minus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2"></minus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2.2"><determinant id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2.2.1"></determinant><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.90.90.90.3.3.3.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.5.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.91.91.91.4.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.91.91.91.4.4.4">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.92.92.92.5.5.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.92.92.92.5.5.5.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.92.92.92.5.5.5.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.92.92.92.5.5.5.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.92.92.92.5.5.5.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.92.92.92.5.5.5.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.92.92.92.5.5.5.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.92.92.92.5.5.5.1.3">𝜉</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.6.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.6.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.6.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.93.93.93.6.6.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.93.93.93.6.6.6">𝛿</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.94.94.94.7.7.7.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.94.94.94.7.7.7.1">𝛼</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.95.95.95.8.8.8.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.95.95.95.8.8.8.1">𝜁</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><plus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.106.106.106.19.19.19.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.106.106.106.19.19.19"></plus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><and id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.102.102.102.15.15.15.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.102.102.102.15.15.15"></and><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.97.97.97.10.10.10.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.97.97.97.10.10.10">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.98.98.98.11.11.11.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.98.98.98.11.11.11.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.98.98.98.11.11.11.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.98.98.98.11.11.11.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.98.98.98.11.11.11.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.98.98.98.11.11.11.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.98.98.98.11.11.11.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.98.98.98.11.11.11.1.3">𝜂</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.99.99.99.12.12.12.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.99.99.99.12.12.12">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.100.100.100.13.13.13.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.100.100.100.13.13.13">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.101.101.101.14.14.14.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.101.101.101.14.14.14.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.101.101.101.14.14.14.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.101.101.101.14.14.14.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.101.101.101.14.14.14.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.101.101.101.14.14.14.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.101.101.101.14.14.14.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.101.101.101.14.14.14.1.3">𝜂</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.103.103.103.16.16.16.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.103.103.103.16.16.16">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.104.104.104.17.17.17.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.104.104.104.17.17.17">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.105.105.105.18.18.18.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.105.105.105.18.18.18.1">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.107.107.107.20.20.20.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.107.107.107.20.20.20">2</cn><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.108.108.108.21.21.21.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.108.108.108.21.21.21">𝑀</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.109.109.109.22.22.22.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.109.109.109.22.22.22.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.109.109.109.22.22.22.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.109.109.109.22.22.22.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.109.109.109.22.22.22.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.109.109.109.22.22.22.1.2">𝛽</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.109.109.109.22.22.22.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.109.109.109.22.22.22.1.3">𝜅</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.110.110.110.23.23.23.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.110.110.110.23.23.23.1">𝛽</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.4.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.111.111.111.24.24.24.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.111.111.111.24.24.24">𝑑</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.112.112.112.25.25.25.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.112.112.112.25.25.25.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.113.113.113.26.26.26.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.113.113.113.26.26.26">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.6.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.6.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"></times><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.116.116.116.29.29.29.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.116.116.116.29.29.29">2</cn><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.6.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.6.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.117.117.117.30.30.30.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.117.117.117.30.30.30">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.118.118.118.31.31.31.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.118.118.118.31.31.31.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.118.118.118.31.31.31.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.118.118.118.31.31.31.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.118.118.118.31.31.31.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.118.118.118.31.31.31.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.118.118.118.31.31.31.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.118.118.118.31.31.31.1.3">𝜉</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.6.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.6.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.6.4.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.125.125.4.4.6.4.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129.129.8">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.119.119.119.32.32.32.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.119.119.119.32.32.32">𝛽</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.120.120.120.33.33.33.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.120.120.120.33.33.33.1">𝛼</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.121.121.121.34.34.34.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.121.121.121.34.34.34.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.121.121.121.34.34.34.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.121.121.121.34.34.34.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.121.121.121.34.34.34.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.121.121.121.34.34.34.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.121.121.121.34.34.34.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.121.121.121.34.34.34.1.3">𝜁</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129c">\frac{\partial}{\partial M^{\zeta}_{\alpha\xi}}\lrcorner\Omega_{h}=\sqrt{-\det% {g}}\left[dg^{\alpha\xi}\wedge dx_{\zeta}+\left(g^{\alpha\phi}M_{\zeta\phi}^{% \xi}+g^{\kappa\xi}M_{\kappa\zeta}^{\alpha}\right)d^{n}x\right]-\\ -\sqrt{-\det{g}}\delta^{\alpha}_{\zeta}\left[dg^{\kappa\xi}\wedge dx_{\kappa}+% \left(g^{\kappa\phi}M_{\kappa\phi}^{\xi}+g^{\kappa\xi}M_{\kappa\beta}^{\beta}% \right)d^{n}x\right]-\\ -\frac{1}{2}\sqrt{-\det{g}}g^{\alpha\xi}\left(g_{\omega\eta}dg^{\omega\eta}% \wedge dx_{\zeta}+2M_{\beta\zeta}^{\beta}d^{n}x\right)+\\ +\frac{1}{2}\sqrt{-\det{g}}g^{\kappa\xi}\delta^{\alpha}_{\zeta}\left(g_{\omega% \eta}dg^{\omega\eta}\wedge dx_{\kappa}+2M_{\beta\kappa}^{\beta}d^{n}x\right)+2% g^{\mu\xi}\beta^{\alpha}_{\mu\zeta}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.24.m1.129d">start_ROW start_CELL divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_M start_POSTSUPERSCRIPT italic_ζ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_α italic_ξ end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⌟ roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG [ italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_α italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_ζ end_POSTSUBSCRIPT + ( italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_α italic_ϕ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_ζ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_ζ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ] - end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ζ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT + ( italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_κ italic_β end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ] - end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_α italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_ζ end_POSTSUBSCRIPT + 2 italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_ζ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ) + end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ζ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT + 2 italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_κ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ) + 2 italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ζ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.41">Taking into account Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.E17" title="Equation 4.17 ‣ Proof. ‣ 4.4.2. The Hamilton equations for GR with basis ‣ 4.4. Hamiltonian form and Hamilton equations for gravity with basis ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.17</span></a>), we obtain the following formula</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="2g^{\mu\xi}\beta^{\alpha}_{\mu\zeta}=\frac{n-3}{n-1}\sqrt{-\det{g}}\Big{[}g^{% \kappa\xi}\delta^{\alpha}_{\zeta}\left(g_{\omega\eta}dg^{\omega\eta}\wedge dx_% {\kappa}+2M_{\beta\kappa}^{\beta}d^{n}x\right)-\\ -g^{\alpha\xi}\left(g_{\omega\eta}dg^{\omega\eta}\wedge dx_{\zeta}+2M_{\beta% \zeta}^{\beta}d^{n}x\right)\Big{]}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58a"><mtable displaystyle="true" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57" rowspacing="0pt" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mtr id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57b" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.34.34.34.34.34" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">2</mn><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.34.34.34.34.34.35" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.3.3.3.3.3.3.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.3.3.3.3.3.3.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.3.3.3.3.3.3.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.3.3.3.3.3.3.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.3.3.3.3.3.3.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.3.3.3.3.3.3.1.3.cmml">ξ</mi></mrow></msup><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.34.34.34.34.34.36" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">β</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.6.6.6.6.6.6.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.6.6.6.6.6.6.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.6.6.6.6.6.6.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.6.6.6.6.6.6.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.6.6.6.6.6.6.1.3.cmml">ζ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml">α</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">=</mo><mfrac id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.2.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.2.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.2.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.2.3.cmml">3</mn></mrow><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.3.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><msqrt id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2a" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2.2.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2.2.1" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2.2.1.cmml">det</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2.2.2.cmml">g</mi></mrow></mrow></msqrt><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.34.34.34.34.34.37" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.10.10.10.10.10.10" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml">[</mo><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.34.34.34.34.34.37.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.11.11.11.11.11.11" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.12.12.12.12.12.12.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.12.12.12.12.12.12.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.12.12.12.12.12.12.1.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.12.12.12.12.12.12.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.12.12.12.12.12.12.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.12.12.12.12.12.12.1.3.cmml">ξ</mi></mrow></msup><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.34.34.34.34.34.37.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.13.13.13.13.13.13" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">δ</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.15.15.15.15.15.15.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.15.15.15.15.15.15.1.cmml">ζ</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.14.14.14.14.14.14.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml">α</mi></msubsup><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.34.34.34.34.34.37.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.16.16.16.16.16.16" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.34.34.34.34.34.37.3.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.17.17.17.17.17.17" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.18.18.18.18.18.18.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.18.18.18.18.18.18.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.18.18.18.18.18.18.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.18.18.18.18.18.18.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.18.18.18.18.18.18.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.18.18.18.18.18.18.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.18.18.18.18.18.18.1.3.cmml">η</mi></mrow></msub><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.19.19.19.19.19.19" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.19.19.19.19.19.19.cmml">d</mi><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.34.34.34.34.34.37.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.20.20.20.20.20.20" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.20.20.20.20.20.20.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.21.21.21.21.21.21.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.21.21.21.21.21.21.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.21.21.21.21.21.21.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.21.21.21.21.21.21.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.21.21.21.21.21.21.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.21.21.21.21.21.21.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.21.21.21.21.21.21.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.21.21.21.21.21.21.1.3.cmml">η</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.22.22.22.22.22.22" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.22.22.22.22.22.22.cmml">∧</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.23.23.23.23.23.23" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.23.23.23.23.23.23.cmml">d</mi><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.34.34.34.34.34.37.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.24.24.24.24.24.24" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.24.24.24.24.24.24.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.25.25.25.25.25.25.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.25.25.25.25.25.25.1.cmml">κ</mi></msub><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.26.26.26.26.26.26" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.26.26.26.26.26.26.cmml">+</mo><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.27.27.27.27.27.27" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.27.27.27.27.27.27.cmml">2</mn><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.34.34.34.34.34.37.3.4" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.28.28.28.28.28.28" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.28.28.28.28.28.28.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.29.29.29.29.29.29.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.29.29.29.29.29.29.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.29.29.29.29.29.29.1.2.cmml">β</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.29.29.29.29.29.29.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.29.29.29.29.29.29.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.29.29.29.29.29.29.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.29.29.29.29.29.29.1.3.cmml">κ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.30.30.30.30.30.30.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.30.30.30.30.30.30.1.cmml">β</mi></msubsup><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.34.34.34.34.34.37.3.5" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.31.31.31.31.31.31" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.31.31.31.31.31.31.cmml">d</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.32.32.32.32.32.32.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.32.32.32.32.32.32.1.cmml">n</mi></msup><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.33.33.33.33.33.33" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.33.33.33.33.33.33.cmml">x</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.34.34.34.34.34.34" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.34.34.34.34.34.37.4" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml">−</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57c" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57d" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57.57.23.23" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.35.35.35.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.35.35.35.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57.57.23.23.24" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.36.36.36.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.36.36.36.2.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.37.37.37.3.3.3.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.37.37.37.3.3.3.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.37.37.37.3.3.3.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.37.37.37.3.3.3.1.2.cmml">α</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.37.37.37.3.3.3.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.37.37.37.3.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.37.37.37.3.3.3.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.37.37.37.3.3.3.1.3.cmml">ξ</mi></mrow></msup><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57.57.23.23.25" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.38.38.38.4.4.4" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml">(</mo><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57.57.23.23.25.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.39.39.39.5.5.5" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.39.39.39.5.5.5.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.40.40.40.6.6.6.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.40.40.40.6.6.6.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.40.40.40.6.6.6.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.40.40.40.6.6.6.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.40.40.40.6.6.6.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.40.40.40.6.6.6.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.40.40.40.6.6.6.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.40.40.40.6.6.6.1.3.cmml">η</mi></mrow></msub><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.41.41.41.7.7.7" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.41.41.41.7.7.7.cmml">d</mi><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57.57.23.23.25.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.42.42.42.8.8.8" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.42.42.42.8.8.8.cmml">g</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.43.43.43.9.9.9.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.43.43.43.9.9.9.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.43.43.43.9.9.9.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.43.43.43.9.9.9.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.43.43.43.9.9.9.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.43.43.43.9.9.9.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.43.43.43.9.9.9.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.43.43.43.9.9.9.1.3.cmml">η</mi></mrow></msup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.44.44.44.10.10.10" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.44.44.44.10.10.10.cmml">∧</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.45.45.45.11.11.11" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.45.45.45.11.11.11.cmml">d</mi><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57.57.23.23.25.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.46.46.46.12.12.12" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.46.46.46.12.12.12.cmml">x</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.47.47.47.13.13.13.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.47.47.47.13.13.13.1.cmml">ζ</mi></msub><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.48.48.48.14.14.14" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.48.48.48.14.14.14.cmml">+</mo><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.49.49.49.15.15.15" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.49.49.49.15.15.15.cmml">2</mn><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57.57.23.23.25.4" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.50.50.50.16.16.16" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.50.50.50.16.16.16.cmml">M</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.51.51.51.17.17.17.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.51.51.51.17.17.17.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.51.51.51.17.17.17.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.51.51.51.17.17.17.1.2.cmml">β</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.51.51.51.17.17.17.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.51.51.51.17.17.17.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.51.51.51.17.17.17.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.51.51.51.17.17.17.1.3.cmml">ζ</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.52.52.52.18.18.18.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.52.52.52.18.18.18.1.cmml">β</mi></msubsup><msup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57.57.23.23.25.5" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.53.53.53.19.19.19" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.53.53.53.19.19.19.cmml">d</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.54.54.54.20.20.20.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.54.54.54.20.20.20.1.cmml">n</mi></msup><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.55.55.55.21.21.21" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.55.55.55.21.21.21.cmml">x</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.56.56.56.22.22.22" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57.57.23.23.23" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml">]</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><eq id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.7.7.7.7.7.7.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.7.7.7.7.7.7"></eq><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"></times><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.1.1.1.1.1.1">2</cn><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.2.2.2.2.2.2">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.3.3.3.3.3.3.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.3.3.3.3.3.3.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.3.3.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.3.3.3.3.3.3.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.3.3.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.3.3.3.3.3.3.1.3">𝜉</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.3.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.3.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.3.4.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.4.4.4.4.4.4">𝛽</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.5.5.5.5.5.5.1">𝛼</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.6.6.6.6.6.6.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.6.6.6.6.6.6.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.6.6.6.6.6.6.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.6.6.6.6.6.6.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.6.6.6.6.6.6.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.6.6.6.6.6.6.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.6.6.6.6.6.6.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.6.6.6.6.6.6.1.3">𝜁</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8"><divide id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8"></divide><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.2"><minus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.2.1"></minus><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.2.2">𝑛</ci><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.2.3">3</cn></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.3"><minus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.3.1"></minus><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.8.8.8.8.8.8.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9"><root id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9a.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9"></root><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2"><minus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2"></minus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2.2"><determinant id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2.2.1"></determinant><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.9.9.9.9.9.9.2.2.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><minus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.35.35.35.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.35.35.35.1.1.1"></minus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.11.11.11.11.11.11">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.12.12.12.12.12.12.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.12.12.12.12.12.12.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.12.12.12.12.12.12.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.12.12.12.12.12.12.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.12.12.12.12.12.12.1.2">𝜅</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.12.12.12.12.12.12.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.12.12.12.12.12.12.1.3">𝜉</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">subscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.13.13.13.13.13.13.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.13.13.13.13.13.13">𝛿</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.14.14.14.14.14.14.1">𝛼</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.15.15.15.15.15.15.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.15.15.15.15.15.15.1">𝜁</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><plus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.26.26.26.26.26.26.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.26.26.26.26.26.26"></plus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><and id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.22.22.22.22.22.22.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.22.22.22.22.22.22"></and><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.17.17.17.17.17.17.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.17.17.17.17.17.17">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.18.18.18.18.18.18.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.18.18.18.18.18.18.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.18.18.18.18.18.18.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.18.18.18.18.18.18.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.18.18.18.18.18.18.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.18.18.18.18.18.18.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.18.18.18.18.18.18.1.3">𝜂</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.19.19.19.19.19.19.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.19.19.19.19.19.19">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.20.20.20.20.20.20.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.20.20.20.20.20.20">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.21.21.21.21.21.21.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.21.21.21.21.21.21.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.21.21.21.21.21.21.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.21.21.21.21.21.21.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.21.21.21.21.21.21.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.21.21.21.21.21.21.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.21.21.21.21.21.21.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.21.21.21.21.21.21.1.3">𝜂</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.23.23.23.23.23.23.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.23.23.23.23.23.23">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.24.24.24.24.24.24.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.24.24.24.24.24.24">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.25.25.25.25.25.25.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.25.25.25.25.25.25.1">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"></times><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.27.27.27.27.27.27.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.27.27.27.27.27.27">2</cn><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.28.28.28.28.28.28.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.28.28.28.28.28.28">𝑀</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.29.29.29.29.29.29.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.29.29.29.29.29.29.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.29.29.29.29.29.29.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.29.29.29.29.29.29.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.29.29.29.29.29.29.1.2">𝛽</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.29.29.29.29.29.29.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.29.29.29.29.29.29.1.3">𝜅</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.30.30.30.30.30.30.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.30.30.30.30.30.30.1">𝛽</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.31.31.31.31.31.31.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.31.31.31.31.31.31">𝑑</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.32.32.32.32.32.32.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.32.32.32.32.32.32.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.33.33.33.33.33.33.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.33.33.33.33.33.33">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.36.36.36.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.36.36.36.2.2.2">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.37.37.37.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.37.37.37.3.3.3.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.37.37.37.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.37.37.37.3.3.3.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.37.37.37.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.37.37.37.3.3.3.1.2">𝛼</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.37.37.37.3.3.3.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.37.37.37.3.3.3.1.3">𝜉</ci></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><plus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.48.48.48.14.14.14.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.48.48.48.14.14.14"></plus><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><and id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.44.44.44.10.10.10.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.44.44.44.10.10.10"></and><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.39.39.39.5.5.5.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.39.39.39.5.5.5">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.40.40.40.6.6.6.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.40.40.40.6.6.6.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.40.40.40.6.6.6.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.40.40.40.6.6.6.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.40.40.40.6.6.6.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.40.40.40.6.6.6.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.40.40.40.6.6.6.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.40.40.40.6.6.6.1.3">𝜂</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.41.41.41.7.7.7.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.41.41.41.7.7.7">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.42.42.42.8.8.8.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.42.42.42.8.8.8">𝑔</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.43.43.43.9.9.9.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.43.43.43.9.9.9.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.43.43.43.9.9.9.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.43.43.43.9.9.9.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.43.43.43.9.9.9.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.43.43.43.9.9.9.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.43.43.43.9.9.9.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.43.43.43.9.9.9.1.3">𝜂</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.45.45.45.11.11.11.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.45.45.45.11.11.11">𝑑</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.46.46.46.12.12.12.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.46.46.46.12.12.12">𝑥</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.47.47.47.13.13.13.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.47.47.47.13.13.13.1">𝜁</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"></times><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.49.49.49.15.15.15.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.49.49.49.15.15.15">2</cn><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.50.50.50.16.16.16.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.50.50.50.16.16.16">𝑀</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.51.51.51.17.17.17.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.51.51.51.17.17.17.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.51.51.51.17.17.17.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.51.51.51.17.17.17.1.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.51.51.51.17.17.17.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.51.51.51.17.17.17.1.2">𝛽</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.51.51.51.17.17.17.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.51.51.51.17.17.17.1.3">𝜁</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.52.52.52.18.18.18.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.52.52.52.18.18.18.1">𝛽</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58.58.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.57.57">superscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.53.53.53.19.19.19.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.53.53.53.19.19.19">𝑑</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.54.54.54.20.20.20.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.54.54.54.20.20.20.1">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.55.55.55.21.21.21.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.55.55.55.21.21.21">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58c">2g^{\mu\xi}\beta^{\alpha}_{\mu\zeta}=\frac{n-3}{n-1}\sqrt{-\det{g}}\Big{[}g^{% \kappa\xi}\delta^{\alpha}_{\zeta}\left(g_{\omega\eta}dg^{\omega\eta}\wedge dx_% {\kappa}+2M_{\beta\kappa}^{\beta}d^{n}x\right)-\\ -g^{\alpha\xi}\left(g_{\omega\eta}dg^{\omega\eta}\wedge dx_{\zeta}+2M_{\beta% \zeta}^{\beta}d^{n}x\right)\Big{]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.25.m1.58d">start_ROW start_CELL 2 italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT italic_β start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_μ italic_ζ end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_n - 3 end_ARG start_ARG italic_n - 1 end_ARG square-root start_ARG - roman_det italic_g end_ARG [ italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ζ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT + 2 italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_κ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ) - end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_α italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_ζ end_POSTSUBSCRIPT + 2 italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_ζ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ) ] end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.30">for the <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.26.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.26.m1.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.26.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.26.m1.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.26.m1.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.26.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.26.m1.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.26.m1.1c">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.26.m1.1d">italic_β</annotation></semantics></math>-variables. Let us suppose now that <math alttext="n\not=3" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1a"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1.1"><neq id="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1.1.1"></neq><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1c">n\not=3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.27.m2.1d">italic_n ≠ 3</annotation></semantics></math>. Summing up <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.28.m3.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.28.m3.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.28.m3.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.28.m3.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.28.m3.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.28.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.28.m3.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.28.m3.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.28.m3.1d">italic_α</annotation></semantics></math> with <math alttext="\zeta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.29.m4.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.29.m4.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.29.m4.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.29.m4.1.1.cmml">ζ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.29.m4.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.29.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.29.m4.1.1">𝜁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.29.m4.1c">\zeta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.29.m4.1d">italic_ζ</annotation></semantics></math> in the left hand side we obtain <math alttext="0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.30.m5.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.30.m5.1a"><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.30.m5.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.30.m5.1.1.cmml">0</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.30.m5.1b"><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.30.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.30.m5.1.1">0</cn></annotation-xml></semantics></math>; it gives us the equation</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex83"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="g^{\kappa\xi}\left(n-1\right)\left(g_{\omega\eta}dg^{\omega\eta}\wedge dx_{% \kappa}+2M_{\beta\kappa}^{\beta}d^{n}x\right)=0," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex83.m1.1"><semantics id="S4.Ex83.m1.1a"><mrow id="S4.Ex83.m1.1.1.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">κ</mi><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.3.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">ξ</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml">η</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1a" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.3.cmml">η</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.3.cmml">κ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.3.cmml">κ</mi></mrow><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">β</mi></msubsup><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1a" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.4" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.4.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.4.2.cmml">d</mi><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.4.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.4.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1b" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.5" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.5.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.4.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex83.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex83.m1.1b"><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.3"><times id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.3.2">𝜅</ci><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.4.3.3">𝜉</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1"><plus id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><and id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1"></and><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2"><times id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1"></times><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3"><times id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.2">𝜔</ci><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.3">𝜂</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3">𝑑</ci><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3"><times id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.2">𝜔</ci><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.4.3.3">𝜂</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3"><times id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.3">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><times id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><cn id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">2</cn><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.2">𝑀</ci><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3"><times id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.2">𝛽</ci><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.3.3">𝜅</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3">𝛽</ci></apply><apply id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.4.2">𝑑</ci><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.4.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.5.cmml" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.5">𝑥</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S4.Ex83.m1.1.1.1.1.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex83.m1.1c">g^{\kappa\xi}\left(n-1\right)\left(g_{\omega\eta}dg^{\omega\eta}\wedge dx_{% \kappa}+2M_{\beta\kappa}^{\beta}d^{n}x\right)=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex83.m1.1d">italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_κ italic_ξ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n - 1 ) ( italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT + 2 italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_κ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ) = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.31">and so every <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.31.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.31.m1.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.31.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.31.m1.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.31.m1.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.31.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.31.m1.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.31.m1.1c">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.31.m1.1d">italic_β</annotation></semantics></math> should annihilate. The same is true for the Weyl form</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex84"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Q_{\kappa}:=g_{\omega\eta}dg^{\omega\eta}\wedge dx_{\kappa}+2M_{\beta\kappa}^{% \beta}d^{n}x," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex84.m1.1"><semantics id="S4.Ex84.m1.1a"><mrow id="S4.Ex84.m1.1.1.1" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">κ</mi></msub><mo id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">η</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.1a" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.2" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml">g</mi><mrow id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.3" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.2" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.1" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.3" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.3.cmml">η</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">κ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">M</mi><mrow id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml">β</mi><mo id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml">κ</mi></mrow><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">β</mi></msubsup><mo id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.4.2" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml">d</mi><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.4.3" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.1b" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex84.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex84.m1.1b"><apply id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.2.3">𝜅</ci></apply><apply id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2"><and id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.1"></and><apply id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><apply id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2">𝜔</ci><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3">𝜂</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑑</ci><apply id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.2">𝑔</ci><apply id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.3"><times id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.2">𝜔</ci><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.3.3">𝜂</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3">𝜅</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.2">2</cn><apply id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝑀</ci><apply id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3"><times id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.2">𝛽</ci><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.3.3">𝜅</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝛽</ci></apply><apply id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.4.2">𝑑</ci><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.4.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml" xref="S4.Ex84.m1.1.1.1.1.3.3.5">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex84.m1.1c">Q_{\kappa}:=g_{\omega\eta}dg^{\omega\eta}\wedge dx_{\kappa}+2M_{\beta\kappa}^{% \beta}d^{n}x,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex84.m1.1d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT := italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_ω italic_η end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_κ end_POSTSUBSCRIPT + 2 italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_β italic_κ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_β end_POSTSUPERSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.32">meaning that the connection represented by the <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.32.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.32.m1.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.32.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.32.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.32.m1.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.32.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.32.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.32.m1.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.32.m1.1d">italic_M</annotation></semantics></math>-variables is metric. The equation defining the primary constraint submanifold then reduces to</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex85"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\eta^{kr}c_{rs}^{t}T^{s}_{kt}=0." class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex85.m1.1"><semantics id="S4.Ex85.m1.1a"><mrow id="S4.Ex85.m1.1.1.1" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.3.1" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.2.3" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex85.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex85.m1.1b"><apply id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.2.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.3"><times id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.2.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex85.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex85.m1.1c">\eta^{kr}c_{rs}^{t}T^{s}_{kt}=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex85.m1.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.42">Using Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmlem9" title="Lemma 9. ‣ 4.2. Compatibility in the affine action ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>, we obtain from here that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.18)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\eta^{kr}a_{rs}^{t}T^{s}_{kt}=0" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E18.m1.1"><semantics id="S4.E18.m1.1a"><mrow id="S4.E18.m1.1.1" xref="S4.E18.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E18.m1.1.1.2" xref="S4.E18.m1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.E18.m1.1.1.2.2" xref="S4.E18.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.E18.m1.1.1.2.2.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.E18.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.E18.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E18.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E18.m1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E18.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E18.m1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E18.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.E18.m1.1.1.2.1" xref="S4.E18.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E18.m1.1.1.2.3" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.E18.m1.1.1.2.3.3" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S4.E18.m1.1.1.2.1a" xref="S4.E18.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E18.m1.1.1.2.4" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.2.4.2.2" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.E18.m1.1.1.2.4.3" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S4.E18.m1.1.1.2.4.3.2" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E18.m1.1.1.2.4.3.1" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E18.m1.1.1.2.4.3.3" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.E18.m1.1.1.2.4.2.3" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4.2.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E18.m1.1.1.1" xref="S4.E18.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E18.m1.1.1.3" xref="S4.E18.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E18.m1.1b"><apply id="S4.E18.m1.1.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1"><eq id="S4.E18.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E18.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2"><times id="S4.E18.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E18.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E18.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.2.2">𝜂</ci><apply id="S4.E18.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.2.3"><times id="S4.E18.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E18.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E18.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.E18.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.3"><times id="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.E18.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S4.E18.m1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E18.m1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E18.m1.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E18.m1.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4.2.2">𝑇</ci><ci id="S4.E18.m1.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.E18.m1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4.3"><times id="S4.E18.m1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4.3.1"></times><ci id="S4.E18.m1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.E18.m1.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S4.E18.m1.1.1.2.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E18.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E18.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E18.m1.1c">\eta^{kr}a_{rs}^{t}T^{s}_{kt}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E18.m1.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.35">where <math alttext="a_{rs}^{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1a"><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.3.cmml">t</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.3"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1.1.3">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1c">a_{rs}^{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.33.m1.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is antisymmetric in the lower indices and has fixed trace <math alttext="a_{qr}^{r}=(n-1)c_{rq}^{r}/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1a"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.3.2.cmml">q</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.3.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.3.3.cmml">r</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.3.cmml">r</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">q</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.2.cmml">/</mo><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1"><eq id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.2"></eq><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.3"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.3.2">𝑞</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.3.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1"><divide id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.2"></divide><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1c">a_{qr}^{r}=(n-1)c_{rq}^{r}/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.34.m2.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_q italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT = ( italic_n - 1 ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT / 2</annotation></semantics></math>. Now, for any vector <math alttext="a_{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1a"><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1.1.2.cmml">a</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1.1.3.cmml">s</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1.1.3">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1c">a_{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.35.m3.1d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> we have that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex86"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\eta^{kr}\left(a_{r}\delta_{s}^{t}-a_{s}\delta_{r}^{t}\right)T^{s}_{kt}=0," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex86.m1.1"><semantics id="S4.Ex86.m1.1a"><mrow id="S4.Ex86.m1.1.1.1" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">s</mi><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">r</mi><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">s</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex86.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex86.m1.1b"><apply id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑇</ci><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.3"><times id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex86.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex86.m1.1c">\eta^{kr}\left(a_{r}\delta_{s}^{t}-a_{s}\delta_{r}^{t}\right)T^{s}_{kt}=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex86.m1.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT italic_k italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT - italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.39">so that Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.E18" title="Equation 4.18 ‣ Proof. ‣ 4.4.2. The Hamilton equations for GR with basis ‣ 4.4. Hamiltonian form and Hamilton equations for gravity with basis ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.18</span></a>) holds for any antisymmetric matrix (in the lower indices), without the restriction on the trace. Therefore we must have <math alttext="T_{kt}^{s}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1a"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.2.cmml">T</mi><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1"><eq id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.2">𝑇</ci><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.3"><times id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.2.3">𝑠</ci></apply><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1c">T_{kt}^{s}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.36.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_t end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> on solutions of the Hamilton equations; that is, the connection that is solution of these equations should be also torsionless. Using formula (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S4.E14" title="Equation 4.14 ‣ 4.4.1. The Hamiltonian form ‣ 4.4. Hamiltonian form and Hamilton equations for gravity with basis ‣ 4. Hamilton equations for general relativity with basis ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.14</span></a>) and the fact that <math alttext="\beta=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1a"><mrow id="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1.1.2" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1.1"><eq id="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1.1.2">𝛽</ci><cn id="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1c">\beta=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.37.m2.1d">italic_β = 0</annotation></semantics></math>, the contraction of <math alttext="\Omega_{h}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1a"><msub id="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1.1.2.cmml">Ω</mi><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1.1.3" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1.1.3.cmml">h</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1b"><apply id="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1.1.2">Ω</ci><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1.1.3">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1c">\Omega_{h}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.38.m3.1d">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with the <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.39.m4.1"><semantics id="S4.SS4.SSS2.1.p1.39.m4.1a"><mi id="S4.SS4.SSS2.1.p1.39.m4.1.1" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.39.m4.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.39.m4.1b"><ci id="S4.SS4.SSS2.1.p1.39.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS4.SSS2.1.p1.39.m4.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.39.m4.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS4.SSS2.1.p1.39.m4.1d">italic_g</annotation></semantics></math>-variables yields to the Einstein equations in vacuum, as required. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_note" id="Thmnote13"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote13.1.1.1">Remark 13</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote13.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmnote13.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmnote13.p1.7">The case <math alttext="n=3" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote13.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmnote13.p1.1.m1.1a"><mrow id="Thmnote13.p1.1.m1.1.1" xref="Thmnote13.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmnote13.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmnote13.p1.1.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Thmnote13.p1.1.m1.1.1.1" xref="Thmnote13.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="Thmnote13.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmnote13.p1.1.m1.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote13.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmnote13.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmnote13.p1.1.m1.1.1"><eq id="Thmnote13.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmnote13.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="Thmnote13.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmnote13.p1.1.m1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="Thmnote13.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote13.p1.1.m1.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote13.p1.1.m1.1c">n=3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote13.p1.1.m1.1d">italic_n = 3</annotation></semantics></math> is very interesting. We still have that <math alttext="\beta=0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote13.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmnote13.p1.2.m2.1a"><mrow id="Thmnote13.p1.2.m2.1.1" xref="Thmnote13.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmnote13.p1.2.m2.1.1.2" xref="Thmnote13.p1.2.m2.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="Thmnote13.p1.2.m2.1.1.1" xref="Thmnote13.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="Thmnote13.p1.2.m2.1.1.3" xref="Thmnote13.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote13.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmnote13.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmnote13.p1.2.m2.1.1"><eq id="Thmnote13.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmnote13.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="Thmnote13.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmnote13.p1.2.m2.1.1.2">𝛽</ci><cn id="Thmnote13.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote13.p1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote13.p1.2.m2.1c">\beta=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote13.p1.2.m2.1d">italic_β = 0</annotation></semantics></math> and so the contraction with elements in the <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote13.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmnote13.p1.3.m3.1a"><mi id="Thmnote13.p1.3.m3.1.1" xref="Thmnote13.p1.3.m3.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote13.p1.3.m3.1b"><ci id="Thmnote13.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmnote13.p1.3.m3.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote13.p1.3.m3.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote13.p1.3.m3.1d">italic_g</annotation></semantics></math>-directions also gives rise to the Einstein equations, but the connection does not reduce to a metric one; instead, it remains a connection of Weyl type. Additionally, it should be noted that this number depends on the signature of <math alttext="\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote13.p1.4.m4.1"><semantics id="Thmnote13.p1.4.m4.1a"><mi id="Thmnote13.p1.4.m4.1.1" xref="Thmnote13.p1.4.m4.1.1.cmml">η</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote13.p1.4.m4.1b"><ci id="Thmnote13.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmnote13.p1.4.m4.1.1">𝜂</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote13.p1.4.m4.1c">\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote13.p1.4.m4.1d">italic_η</annotation></semantics></math>, which we have chosen here to be <math alttext="\left(n-1,1\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote13.p1.5.m5.2"><semantics id="Thmnote13.p1.5.m5.2a"><mrow id="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1" xref="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.2.cmml"><mo id="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.2" xref="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.1" xref="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.1.cmml"><mi id="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.1.2" xref="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.1.1" xref="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.1.3" xref="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.3" xref="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.2.cmml">,</mo><mn id="Thmnote13.p1.5.m5.1.1" xref="Thmnote13.p1.5.m5.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.4" xref="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote13.p1.5.m5.2b"><interval closure="open" id="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.2.cmml" xref="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1"><apply id="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.1.cmml" xref="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.1"><minus id="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.1.1"></minus><ci id="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.1.2">𝑛</ci><cn id="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote13.p1.5.m5.2.2.1.1.3">1</cn></apply><cn id="Thmnote13.p1.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmnote13.p1.5.m5.1.1">1</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote13.p1.5.m5.2c">\left(n-1,1\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote13.p1.5.m5.2d">( italic_n - 1 , 1 )</annotation></semantics></math>. For a general signature <math alttext="\left(n-k,k\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote13.p1.6.m6.2"><semantics id="Thmnote13.p1.6.m6.2a"><mrow id="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1" xref="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.2.cmml"><mo id="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.2" xref="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.1" xref="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.1.cmml"><mi id="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.1.2" xref="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.1.1" xref="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.1.3" xref="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.3" xref="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="Thmnote13.p1.6.m6.1.1" xref="Thmnote13.p1.6.m6.1.1.cmml">k</mi><mo id="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.4" xref="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote13.p1.6.m6.2b"><interval closure="open" id="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.2.cmml" xref="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1"><apply id="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.1.cmml" xref="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.1"><minus id="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.1.1"></minus><ci id="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.1.2">𝑛</ci><ci id="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.1.3.cmml" xref="Thmnote13.p1.6.m6.2.2.1.1.3">𝑘</ci></apply><ci id="Thmnote13.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmnote13.p1.6.m6.1.1">𝑘</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote13.p1.6.m6.2c">\left(n-k,k\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote13.p1.6.m6.2d">( italic_n - italic_k , italic_k )</annotation></semantics></math>, the same feature will happen when <math alttext="n=k+2" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmnote13.p1.7.m7.1"><semantics id="Thmnote13.p1.7.m7.1a"><mrow id="Thmnote13.p1.7.m7.1.1" xref="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.2" xref="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.1" xref="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.3" xref="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.3.2" xref="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.3.1" xref="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.3.3" xref="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmnote13.p1.7.m7.1b"><apply id="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmnote13.p1.7.m7.1.1"><eq id="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.1"></eq><ci id="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.2">𝑛</ci><apply id="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.3"><plus id="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.3.1"></plus><ci id="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmnote13.p1.7.m7.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmnote13.p1.7.m7.1c">n=k+2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmnote13.p1.7.m7.1d">italic_n = italic_k + 2</annotation></semantics></math>. It seems to point out to an additional projective symmetry for the Hamilton equations in these dimensions.</p> </div> </div> </section> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">5. </span>Towards a constraint algorithm for general variational problems</h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.3">It is well known that when working with classical field theory and the Lagrangian of the theory is singular, a constraint algorithm is needed in order to relate the solutions of the Hamilton equations with the solutions of the original Lagrangian field theory. We will try to reproduce this procedure in the general case, with the original field theory given by a triple <math alttext="\left(\pi:W\to M,\lambda,{\mathcal{I}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.1.m1.4"><semantics id="S5.p1.1.m1.4a"><mrow id="S5.p1.1.m1.4.4.1" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mo id="S5.p1.1.m1.4.4.1.2" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.p1.1.m1.4.4.1.1" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.2" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">W</mi><mo id="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">→</mo><mrow id="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="S5.p1.1.m1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.1.1.cmml">M</mi><mo id="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.3.2.1" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.p1.1.m1.2.2" xref="S5.p1.1.m1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.p1.1.m1.3.3" xref="S5.p1.1.m1.3.3.cmml">ℐ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.p1.1.m1.4.4.1.3" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.1.m1.4b"><apply id="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1"><ci id="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.1">:</ci><ci id="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.2">𝜋</ci><apply id="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3"><ci id="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.1">→</ci><ci id="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.2">𝑊</ci><list id="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.4.4.1.1.3.3.2"><ci id="S5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1">𝑀</ci><ci id="S5.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S5.p1.1.m1.2.2">𝜆</ci><ci id="S5.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S5.p1.1.m1.3.3">ℐ</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.1.m1.4c">\left(\pi:W\to M,\lambda,{\mathcal{I}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.1.m1.4d">( italic_π : italic_W → italic_M , italic_λ , caligraphic_I )</annotation></semantics></math>; this generality has two reasons: On the one hand, it will allow us to apply the algorithm to some interesting examples, and on the other hand, as a way to show that some constructions that are central in the case of classical variational problems loss their special status when are considered from this generalized viewpoint. One of the main challenges of this generalization is the fact that we have no equivalent notion here of the concept of “singular Lagrangian”; because of this fact, we will call a general variational problem and a projection <math alttext="p^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.p1.2.m2.1a"><msup id="S5.p1.2.m2.1.1" xref="S5.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p1.2.m2.1.1.2" xref="S5.p1.2.m2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S5.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.p1.2.m2.1.1.3.cmml">‡</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S5.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p1.2.m2.1.1.3">‡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.2.m2.1c">p^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.2.m2.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S5.p1.3.1">regular</em> if a procedure is known in order to lift any solution of the Hamilton equations to a solution of the unified problem. For example, for classical field theory the inverse of the Legendre transformation provides us with such a procedure. Whenever this lifting problem is impossible in some regions of the phase space <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.p1.3.m3.1a"><mi id="S5.p1.3.m3.1.1" xref="S5.p1.3.m3.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.3.m3.1b"><ci id="S5.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p1.3.m3.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.3.m3.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.3.m3.1d">italic_C</annotation></semantics></math>, we will say that the problem (together with the projection used to define the Hamiltonian theory!) is <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S5.p1.3.2">singular</em>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.p2.2">Please note that, up to now, the subbundle <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.p2.1.m1.1a"><mi id="S5.p2.1.m1.1.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.1.m1.1b"><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math> involved in Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc11" title="Definition 11 (Hamilton equations for a general variational problem). ‣ 3.2.2. Hamilton equations for general variational problems ‣ 3.2. Hamilton equations for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a> is arbitrary, as long as we are only interested in the Hamilton equations; when we try to relate its solutions with the solutions of the underlying unified variational problem, some relationships arise between this submanifold and the set <math alttext="P_{0}\subset W_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.2.m2.1"><semantics id="S5.p2.2.m2.1a"><mrow id="S5.p2.2.m2.1.1" xref="S5.p2.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S5.p2.2.m2.1.1.2" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">P</mi><mn id="S5.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.p2.2.m2.1.1.1" xref="S5.p2.2.m2.1.1.1.cmml">⊂</mo><msub id="S5.p2.2.m2.1.1.3" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="S5.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.2.m2.1b"><apply id="S5.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1"><subset id="S5.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.1"></subset><apply id="S5.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2.2">𝑃</ci><cn id="S5.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.2.m2.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S5.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S5.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p2.2.m2.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.2.m2.1c">P_{0}\subset W_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.2.m2.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⊂ italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. This section explores these relations.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">5.1. </span>Final constraint submanifold and Hamilton equations</h3> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p1.8">Let us consider the basic setting of Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S3.SS2" title="3.2. Hamilton equations for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.2</span></a>; therefore, we have a map <math alttext="p_{\lambda}:W_{\lambda}\to W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><msup id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mo id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1"><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.1">:</ci><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3"><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.1">→</ci><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.1.m1.1.1.3.3.3">‡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.1.m1.1c">p_{\lambda}:W_{\lambda}\to W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT : italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT → italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, we will admit that this map is horizontal respect to the form <math alttext="\Theta_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS1.p1.2.m2.1a"><msub id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.2">Θ</ci><ci id="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.2.m2.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.2.m2.1c">\Theta_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.2.m2.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and we will single out a subbundle <math alttext="P\subset P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">P</mi><mo id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⊂</mo><msub id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">P</mi><mn id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.3.m3.1b"><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1"><subset id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.1"></subset><ci id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.2">𝑃</ci><apply id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3.2">𝑃</ci><cn id="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS1.p1.3.m3.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.3.m3.1c">P\subset P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.3.m3.1d">italic_P ⊂ italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> projecting via <math alttext="p_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S5.SS1.p1.4.m4.1a"><msub id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.4.m4.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.4.m4.1c">p_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.4.m4.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> onto the submanifold <math alttext="C\subset W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S5.SS1.p1.5.m5.1a"><mrow id="S5.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.1" xref="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml">⊂</mo><msup id="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.3.2" xref="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml">W</mi><mo id="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.3.3" xref="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.5.m5.1b"><apply id="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.1.1"><subset id="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.1"></subset><ci id="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.5.m5.1.1.3.3">‡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.5.m5.1c">C\subset W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.5.m5.1d">italic_C ⊂ italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Given a solution for Hamilton equations on <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.6.m6.1"><semantics id="S5.SS1.p1.6.m6.1a"><mi id="S5.SS1.p1.6.m6.1.1" xref="S5.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.6.m6.1b"><ci id="S5.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.6.m6.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.6.m6.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.6.m6.1d">italic_C</annotation></semantics></math>, it should be interesting to find conditions under which this solution can be lifted to a solution for the unified problem on <math alttext="W_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.7.m7.1"><semantics id="S5.SS1.p1.7.m7.1a"><msub id="S5.SS1.p1.7.m7.1.1" xref="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.2" xref="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.7.m7.1b"><apply id="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.7.m7.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.7.m7.1c">W_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.7.m7.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> posed by the form <math alttext="\Theta_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.p1.8.m8.1"><semantics id="S5.SS1.p1.8.m8.1a"><msub id="S5.SS1.p1.8.m8.1.1" xref="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.3" xref="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.p1.8.m8.1b"><apply id="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.p1.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.2">Θ</ci><ci id="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.p1.8.m8.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.p1.8.m8.1c">\Theta_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.p1.8.m8.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. With this objective in mind, let us consider the following property.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defc" id="Thmdefc13"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc13.1.1.1">Definition 13</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc13.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefc13.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefc13.p1.7">Given <math alttext="\psi:U\subset M\to C" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc13.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmdefc13.p1.1.m1.1a"><mrow id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">⊂</mo><mi id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.4" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.4.cmml">M</mi><mo id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.5" stretchy="false" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.5.cmml">→</mo><mi id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.6" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.6.cmml">C</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc13.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1"><ci id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.1">:</ci><ci id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.2">𝜓</ci><apply id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3"><and id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3"></and><apply id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3b.cmml" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3"><subset id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.3"></subset><ci id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.4.cmml" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.4">𝑀</ci></apply><apply id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3c.cmml" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3"><ci id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.5.cmml" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.4.cmml" id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3d.cmml" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3"></share><ci id="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.6.cmml" xref="Thmdefc13.p1.1.m1.1.1.3.6">𝐶</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc13.p1.1.m1.1c">\psi:U\subset M\to C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc13.p1.1.m1.1d">italic_ψ : italic_U ⊂ italic_M → italic_C</annotation></semantics></math> solution for the Hamilton equations on <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc13.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmdefc13.p1.2.m2.1a"><mi id="Thmdefc13.p1.2.m2.1.1" xref="Thmdefc13.p1.2.m2.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc13.p1.2.m2.1b"><ci id="Thmdefc13.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.2.m2.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc13.p1.2.m2.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc13.p1.2.m2.1d">italic_C</annotation></semantics></math> and <math alttext="V\subset T_{P}W_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc13.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmdefc13.p1.3.m3.1a"><mrow id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.2" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.1" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⊂</mo><mrow id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><msub id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.2.2" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">T</mi><mi id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.2.3" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">P</mi></msub><mo id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.1" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.3.2" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mi id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.3.3" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc13.p1.3.m3.1b"><apply id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1"><subset id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.1"></subset><ci id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.2">𝑉</ci><apply id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3"><times id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.1"></times><apply id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.2.2">𝑇</ci><ci id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.2.3">𝑃</ci></apply><apply id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.3.2">𝑊</ci><ci id="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmdefc13.p1.3.m3.1.1.3.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc13.p1.3.m3.1c">V\subset T_{P}W_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc13.p1.3.m3.1d">italic_V ⊂ italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_P end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> complementary to <math alttext="TP+\ker{Tp_{\lambda}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc13.p1.4.m4.1"><semantics id="Thmdefc13.p1.4.m4.1a"><mrow id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.2" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.2.1" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml">P</mi></mrow><mo id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.1" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.1" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">ker</mi><mo id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.cmml">⁡</mo><mrow id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.2" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">T</mi><mo id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.1" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.3" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.3.2" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.3.2.cmml">p</mi><mi id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.3.3" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc13.p1.4.m4.1b"><apply id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1"><plus id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.1"></plus><apply id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.2"><times id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.2.1"></times><ci id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.2.3">𝑃</ci></apply><apply id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.1">kernel</csymbol><apply id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2"><times id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.1"></times><ci id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.2">𝑇</ci><apply id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.3.2">𝑝</ci><ci id="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="Thmdefc13.p1.4.m4.1.1.3.2.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc13.p1.4.m4.1c">TP+\ker{Tp_{\lambda}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc13.p1.4.m4.1d">italic_T italic_P + roman_ker italic_T italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, a <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmdefc13.p1.6.2"><math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc13.p1.5.1.m1.1"><semantics id="Thmdefc13.p1.5.1.m1.1a"><mi id="Thmdefc13.p1.5.1.m1.1.1" xref="Thmdefc13.p1.5.1.m1.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc13.p1.5.1.m1.1b"><ci id="Thmdefc13.p1.5.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.5.1.m1.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc13.p1.5.1.m1.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc13.p1.5.1.m1.1d">italic_V</annotation></semantics></math>-admissible lift for <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc13.p1.6.2.m2.1"><semantics id="Thmdefc13.p1.6.2.m2.1a"><mi id="Thmdefc13.p1.6.2.m2.1.1" xref="Thmdefc13.p1.6.2.m2.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc13.p1.6.2.m2.1b"><ci id="Thmdefc13.p1.6.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.6.2.m2.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc13.p1.6.2.m2.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc13.p1.6.2.m2.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math></em> is a section <math alttext="\widehat{\psi}:U\to P" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc13.p1.7.m5.1"><semantics id="Thmdefc13.p1.7.m5.1a"><mrow id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.2" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.2.2" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.2.1" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.3" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.3.2" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.3.3" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.3.3.cmml">P</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc13.p1.7.m5.1b"><apply id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1"><ci id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.1">:</ci><apply id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.2"><ci id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.2.1">^</ci><ci id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.3"><ci id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.3.1">→</ci><ci id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc13.p1.7.m5.1.1.3.3">𝑃</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc13.p1.7.m5.1c">\widehat{\psi}:U\to P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc13.p1.7.m5.1d">over^ start_ARG italic_ψ end_ARG : italic_U → italic_P</annotation></semantics></math> such that</p> <ol class="ltx_enumerate" id="S5.I1"> <li class="ltx_item" id="S5.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(1)</span> <div class="ltx_para" id="S5.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.I1.i1.p1.1"><math alttext="p_{\lambda}\circ\widehat{\psi}=\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">∘</mo><mover accent="true" id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.1" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mo id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">ψ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2"><compose id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.1"></compose><apply id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.1">^</ci><ci id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.2">𝜓</ci></apply></apply><ci id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3">𝜓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1c">p_{\lambda}\circ\widehat{\psi}=\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.I1.i1.p1.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ∘ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG = italic_ψ</annotation></semantics></math>, and</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S5.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(2)</span> <div class="ltx_para" id="S5.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.I1.i2.p1.2"><math alttext="\widehat{\psi}^{*}\left(Z\lrcorner d\Theta_{\lambda}\right)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Z</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1"><eq id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2"></eq><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1"><times id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.2.2">𝜓</ci></apply><times id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.5.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><cn id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1c">\widehat{\psi}^{*}\left(Z\lrcorner d\Theta_{\lambda}\right)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.I1.i2.p1.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Z ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ) = 0</annotation></semantics></math> for all <math alttext="Z\in\mathfrak{X}\left(W_{\lambda}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">Z</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml">𝔛</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.2" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1"><in id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2"></in><ci id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3">𝑍</ci><apply id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1"><times id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3">𝔛</ci><apply id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1c">Z\in\mathfrak{X}\left(W_{\lambda}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.I1.i2.p1.2.m2.1d">italic_Z ∈ fraktur_X ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> such that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Z\left(\rho\right)\in\left.V\right|_{\rho}+\ker{T_{\rho}p_{\lambda}}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex1.m1.3"><semantics id="S5.Ex1.m1.3a"><mrow id="S5.Ex1.m1.3.4" xref="S5.Ex1.m1.3.4.cmml"><mrow id="S5.Ex1.m1.3.4.2" xref="S5.Ex1.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.3.4.2.2" xref="S5.Ex1.m1.3.4.2.2.cmml">Z</mi><mo id="S5.Ex1.m1.3.4.2.1" xref="S5.Ex1.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex1.m1.3.4.2.3.2" xref="S5.Ex1.m1.3.4.2.cmml"><mo id="S5.Ex1.m1.3.4.2.3.2.1" xref="S5.Ex1.m1.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex1.m1.1.1" xref="S5.Ex1.m1.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S5.Ex1.m1.3.4.2.3.2.2" xref="S5.Ex1.m1.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex1.m1.3.4.1" xref="S5.Ex1.m1.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.Ex1.m1.3.4.3" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.cmml"><msub id="S5.Ex1.m1.3.4.3.2.2" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.2.1.cmml"><mrow id="S5.Ex1.m1.3.4.3.2.2.2" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.2.2" xref="S5.Ex1.m1.2.2.cmml">V</mi><mo id="S5.Ex1.m1.3.4.3.2.2.2.1" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S5.Ex1.m1.3.3.1" xref="S5.Ex1.m1.3.3.1.cmml">ρ</mi></msub><mo id="S5.Ex1.m1.3.4.3.1" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.1" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.1.cmml">ker</mi><mo id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3a" lspace="0.167em" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.cmml"><msub id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.2" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.2.2" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.2.2.cmml">T</mi><mi id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.2.3" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.2.3.cmml">ρ</mi></msub><mo id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.1" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.3" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.3.2" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.3.2.cmml">p</mi><mi id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.3.3" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex1.m1.3b"><apply id="S5.Ex1.m1.3.4.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4"><in id="S5.Ex1.m1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.1"></in><apply id="S5.Ex1.m1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.2"><times id="S5.Ex1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.2.1"></times><ci id="S5.Ex1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.2.2">𝑍</ci><ci id="S5.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex1.m1.1.1">𝜌</ci></apply><apply id="S5.Ex1.m1.3.4.3.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3"><plus id="S5.Ex1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.1"></plus><apply id="S5.Ex1.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex1.m1.3.4.3.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.2.2.2.1">evaluated-at</csymbol><ci id="S5.Ex1.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex1.m1.2.2">𝑉</ci><ci id="S5.Ex1.m1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.3.1">𝜌</ci></apply><apply id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.1">kernel</csymbol><apply id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2"><times id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.1"></times><apply id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.2.2">𝑇</ci><ci id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.2.3">𝜌</ci></apply><apply id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex1.m1.3.4.3.3.2.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex1.m1.3c">Z\left(\rho\right)\in\left.V\right|_{\rho}+\ker{T_{\rho}p_{\lambda}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex1.m1.3d">italic_Z ( italic_ρ ) ∈ italic_V | start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT + roman_ker italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.I1.i2.p1.3">for every <math alttext="\rho\in P" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.I1.i2.p1.3.m1.1"><semantics id="S5.I1.i2.p1.3.m1.1a"><mrow id="S5.I1.i2.p1.3.m1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.I1.i2.p1.3.m1.1.1.2" xref="S5.I1.i2.p1.3.m1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S5.I1.i2.p1.3.m1.1.1.1" xref="S5.I1.i2.p1.3.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S5.I1.i2.p1.3.m1.1.1.3" xref="S5.I1.i2.p1.3.m1.1.1.3.cmml">P</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.I1.i2.p1.3.m1.1b"><apply id="S5.I1.i2.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.3.m1.1.1"><in id="S5.I1.i2.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.3.m1.1.1.1"></in><ci id="S5.I1.i2.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.3.m1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S5.I1.i2.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.I1.i2.p1.3.m1.1.1.3">𝑃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.I1.i2.p1.3.m1.1c">\rho\in P</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.I1.i2.p1.3.m1.1d">italic_ρ ∈ italic_P</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p2.1">Let us introduce the following definition.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defc" id="Thmdefc14"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc14.1.1.1">Definition 14</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc14.2.2"> </span>(Final constraint submanifold)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmdefc14.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmdefc14.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmdefc14.p1.12">A subbundle <math alttext="P_{f}\subset P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc14.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmdefc14.p1.1.m1.1a"><mrow id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">f</mi></msub><mo id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.1" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⊂</mo><msub id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mn id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc14.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1"><subset id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.1"></subset><apply id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.3.2">𝑃</ci><cn id="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmdefc14.p1.1.m1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc14.p1.1.m1.1c">P_{f}\subset P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc14.p1.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ⊂ italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> projecting via <math alttext="p_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc14.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmdefc14.p1.2.m2.1a"><msub id="Thmdefc14.p1.2.m2.1.1" xref="Thmdefc14.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.2.m2.1.1.2" xref="Thmdefc14.p1.2.m2.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="Thmdefc14.p1.2.m2.1.1.3" xref="Thmdefc14.p1.2.m2.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc14.p1.2.m2.1b"><apply id="Thmdefc14.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.2.m2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="Thmdefc14.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.2.m2.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc14.p1.2.m2.1c">p_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc14.p1.2.m2.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> onto a submanifold <math alttext="C_{f}:=p_{\lambda}\left(P_{f}\right)\subset W^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc14.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmdefc14.p1.3.m3.1a"><mrow id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.cmml"><msub id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.3" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">f</mi></msub><mo id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.4.cmml">:=</mo><mrow id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.cmml"><msub id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.3.2" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mi id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.3.3" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.2" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi></msub><mo id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.5" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.5.cmml">⊂</mo><msup id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.6" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.6.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.6.2" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.6.2.cmml">W</mi><mo id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.6.3" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.6.3.cmml">‡</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc14.p1.3.m3.1b"><apply id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1"><and id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1a.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1"></and><apply id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1b.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.4.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.4">assign</csymbol><apply id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.3.3">𝑓</ci></apply><apply id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1"><times id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.2"></times><apply id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply><apply id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply></apply><apply id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1c.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1"><subset id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.5.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.5"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.1.cmml" id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1d.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1"></share><apply id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.6.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.6.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.6.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.6.2">𝑊</ci><ci id="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.6.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.3.m3.1.1.6.3">‡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc14.p1.3.m3.1c">C_{f}:=p_{\lambda}\left(P_{f}\right)\subset W^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc14.p1.3.m3.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT := italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ) ⊂ italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is a <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="Thmdefc14.p1.4.1">final constraint submanifold for <math alttext="p_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1"><semantics id="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1a"><msub id="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1.1" xref="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1.1.2" xref="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1.1.3" xref="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1b"><apply id="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1c">p_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc14.p1.4.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></em> if and only if <math alttext="C_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc14.p1.5.m4.1"><semantics id="Thmdefc14.p1.5.m4.1a"><msub id="Thmdefc14.p1.5.m4.1.1" xref="Thmdefc14.p1.5.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.5.m4.1.1.2" xref="Thmdefc14.p1.5.m4.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="Thmdefc14.p1.5.m4.1.1.3" xref="Thmdefc14.p1.5.m4.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc14.p1.5.m4.1b"><apply id="Thmdefc14.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.5.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.5.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.5.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.5.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.5.m4.1.1.2">𝐶</ci><ci id="Thmdefc14.p1.5.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.5.m4.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc14.p1.5.m4.1c">C_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc14.p1.5.m4.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is final for <math alttext="\Omega_{h}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc14.p1.6.m5.1"><semantics id="Thmdefc14.p1.6.m5.1a"><msub id="Thmdefc14.p1.6.m5.1.1" xref="Thmdefc14.p1.6.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.6.m5.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Thmdefc14.p1.6.m5.1.1.2.cmml">Ω</mi><mi id="Thmdefc14.p1.6.m5.1.1.3" xref="Thmdefc14.p1.6.m5.1.1.3.cmml">h</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc14.p1.6.m5.1b"><apply id="Thmdefc14.p1.6.m5.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.6.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.6.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.6.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.6.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.6.m5.1.1.2">Ω</ci><ci id="Thmdefc14.p1.6.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.6.m5.1.1.3">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc14.p1.6.m5.1c">\Omega_{h}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc14.p1.6.m5.1d">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and such that every solution <math alttext="\psi:U\subset M\to C_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc14.p1.7.m6.1"><semantics id="Thmdefc14.p1.7.m6.1a"><mrow id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.2" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.2" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.3" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.3.cmml">⊂</mo><mi id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.4" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.4.cmml">M</mi><mo id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.5" stretchy="false" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.5.cmml">→</mo><msub id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.6" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.6.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.6.2" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.6.2.cmml">C</mi><mi id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.6.3" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.6.3.cmml">f</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc14.p1.7.m6.1b"><apply id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1"><ci id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.1">:</ci><ci id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.2">𝜓</ci><apply id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3"><and id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3a.cmml" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3"></and><apply id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3b.cmml" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3"><subset id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.3"></subset><ci id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.2">𝑈</ci><ci id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.4.cmml" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.4">𝑀</ci></apply><apply id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3c.cmml" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3"><ci id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.5.cmml" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.4.cmml" id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3d.cmml" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3"></share><apply id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.6.cmml" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.6.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.6">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.6.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.6.2">𝐶</ci><ci id="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.6.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.7.m6.1.1.3.6.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc14.p1.7.m6.1c">\psi:U\subset M\to C_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc14.p1.7.m6.1d">italic_ψ : italic_U ⊂ italic_M → italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of the Hamilton equations on <math alttext="C_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc14.p1.8.m7.1"><semantics id="Thmdefc14.p1.8.m7.1a"><msub id="Thmdefc14.p1.8.m7.1.1" xref="Thmdefc14.p1.8.m7.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.8.m7.1.1.2" xref="Thmdefc14.p1.8.m7.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="Thmdefc14.p1.8.m7.1.1.3" xref="Thmdefc14.p1.8.m7.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc14.p1.8.m7.1b"><apply id="Thmdefc14.p1.8.m7.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.8.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.8.m7.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.8.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.8.m7.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.8.m7.1.1.2">𝐶</ci><ci id="Thmdefc14.p1.8.m7.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.8.m7.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc14.p1.8.m7.1c">C_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc14.p1.8.m7.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> admits a <math alttext="V_{\psi}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc14.p1.9.m8.1"><semantics id="Thmdefc14.p1.9.m8.1a"><msub id="Thmdefc14.p1.9.m8.1.1" xref="Thmdefc14.p1.9.m8.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.9.m8.1.1.2" xref="Thmdefc14.p1.9.m8.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="Thmdefc14.p1.9.m8.1.1.3" xref="Thmdefc14.p1.9.m8.1.1.3.cmml">ψ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc14.p1.9.m8.1b"><apply id="Thmdefc14.p1.9.m8.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.9.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.9.m8.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.9.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.9.m8.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.9.m8.1.1.2">𝑉</ci><ci id="Thmdefc14.p1.9.m8.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.9.m8.1.1.3">𝜓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc14.p1.9.m8.1c">V_{\psi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc14.p1.9.m8.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-admissible lift, for some complement <math alttext="V_{\psi}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc14.p1.10.m9.1"><semantics id="Thmdefc14.p1.10.m9.1a"><msub id="Thmdefc14.p1.10.m9.1.1" xref="Thmdefc14.p1.10.m9.1.1.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.10.m9.1.1.2" xref="Thmdefc14.p1.10.m9.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="Thmdefc14.p1.10.m9.1.1.3" xref="Thmdefc14.p1.10.m9.1.1.3.cmml">ψ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc14.p1.10.m9.1b"><apply id="Thmdefc14.p1.10.m9.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.10.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.10.m9.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.10.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.10.m9.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.10.m9.1.1.2">𝑉</ci><ci id="Thmdefc14.p1.10.m9.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.10.m9.1.1.3">𝜓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc14.p1.10.m9.1c">V_{\psi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc14.p1.10.m9.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of <math alttext="TP_{f}+\mathop{\text{ker}}{Tp_{\lambda}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc14.p1.11.m10.1"><semantics id="Thmdefc14.p1.11.m10.1a"><mrow id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.cmml"><mrow id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.2" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.1" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.3" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.3.2" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.3.2.cmml">P</mi><mi id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.3.3" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.1" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.cmml"><mtext id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.1" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.1a.cmml">ker</mtext><mrow id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.2" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.2.cmml">T</mi><mo id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.1" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.3" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.3.2" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.3.2.cmml">p</mi><mi id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.3.3" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc14.p1.11.m10.1b"><apply id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1"><plus id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.1"></plus><apply id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2"><times id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.1"></times><ci id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.2">𝑇</ci><apply id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.3.2">𝑃</ci><ci id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.3.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.2.3.3">𝑓</ci></apply></apply><apply id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3"><ci id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.1a.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.1"><mtext id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.1">ker</mtext></ci><apply id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2"><times id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.1"></times><ci id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.2">𝑇</ci><apply id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.3.2">𝑝</ci><ci id="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.11.m10.1.1.3.2.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc14.p1.11.m10.1c">TP_{f}+\mathop{\text{ker}}{Tp_{\lambda}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc14.p1.11.m10.1d">italic_T italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT + ker italic_T italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in <math alttext="T_{P_{f}}W_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmdefc14.p1.12.m11.1"><semantics id="Thmdefc14.p1.12.m11.1a"><mrow id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.cmml"><msub id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.2" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.2.cmml">T</mi><msub id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.3" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.3.2" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.3.2.cmml">P</mi><mi id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.3.3" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.3.3.cmml">f</mi></msub></msub><mo id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.1" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.3" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.3.cmml"><mi id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.3.2" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.3.3" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmdefc14.p1.12.m11.1b"><apply id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1"><times id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.1"></times><apply id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.2">𝑇</ci><apply id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.3.2">𝑃</ci><ci id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.3.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.2.3.3">𝑓</ci></apply></apply><apply id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.3.1.cmml" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.3.2.cmml" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.3.3.cmml" xref="Thmdefc14.p1.12.m11.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmdefc14.p1.12.m11.1c">T_{P_{f}}W_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmdefc14.p1.12.m11.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.p3.1">The relevance of this definition relies in the following property regarding the lifting of solutions of the Hamilton equations to the unified problem.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_thm" id="Thmthm5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm5.1.1.1">Theorem 5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm5.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmthm5.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmthm5.p1.9"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmthm5.p1.9.9">Let <math alttext="p_{f}:P_{f}\to C_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">f</mi></msub><mo id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msub id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">f</mi></msub><mo id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><msub id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1"><ci id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.1">:</ci><apply id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.1">→</ci><apply id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><ci id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2">𝐶</ci><ci id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1c">p_{f}:P_{f}\to C_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm5.p1.1.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT : italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT → italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be a final constraint submanifold; let <math alttext="\psi:U\to C_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml">→</mo><msub id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1"><ci id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.1">:</ci><ci id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.2">𝜓</ci><apply id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3"><ci id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.1">→</ci><ci id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.2">𝑈</ci><apply id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2">𝐶</ci><ci id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1c">\psi:U\to C_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm5.p1.2.2.m2.1d">italic_ψ : italic_U → italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be a solution for the Hamilton equations on <math alttext="C_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm5.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmthm5.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmthm5.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmthm5.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmthm5.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="Thmthm5.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmthm5.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm5.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmthm5.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm5.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmthm5.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.3.3.m3.1.1.2">𝐶</ci><ci id="Thmthm5.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.3.3.m3.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm5.p1.3.3.m3.1c">C_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm5.p1.3.3.m3.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="\widehat{\psi}:U\to P_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.2.2" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.2.1" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.2" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml">→</mo><msub id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.3" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">P</mi><mi id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.3" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1"><ci id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.1">:</ci><apply id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.2"><ci id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.2.1">^</ci><ci id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3"><ci id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.1">→</ci><ci id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.2">𝑈</ci><apply id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2">𝑃</ci><ci id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1c">\widehat{\psi}:U\to P_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm5.p1.4.4.m4.1d">over^ start_ARG italic_ψ end_ARG : italic_U → italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a solution for the unified variational problem on <math alttext="W_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm5.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmthm5.p1.5.5.m5.1a"><msub id="Thmthm5.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmthm5.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmthm5.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="Thmthm5.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmthm5.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm5.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmthm5.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm5.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.5.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmthm5.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.5.5.m5.1.1.2">𝑊</ci><ci id="Thmthm5.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.5.5.m5.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm5.p1.5.5.m5.1c">W_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm5.p1.5.5.m5.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Conversely, if <math alttext="\widehat{\psi}:U\to P_{f}\subset W_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.2.2" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.2.1" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.2" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.3" stretchy="false" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.3.cmml">→</mo><msub id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.4" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.4.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.4.2" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.4.2.cmml">P</mi><mi id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.4.3" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.4.3.cmml">f</mi></msub><mo id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.5" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.5.cmml">⊂</mo><msub id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.6" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.6.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.6.2" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.6.2.cmml">W</mi><mi id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.6.3" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.6.3.cmml">λ</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1b"><apply id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1"><ci id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.1">:</ci><apply id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.2"><ci id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.2.1">^</ci><ci id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3"><and id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3a.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3"></and><apply id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3b.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3"><ci id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.3">→</ci><ci id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.2">𝑈</ci><apply id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.4.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.4.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.4.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.4.2">𝑃</ci><ci id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.4.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.4.3">𝑓</ci></apply></apply><apply id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3c.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3"><subset id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.5.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.5"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.4.cmml" id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3d.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3"></share><apply id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.6.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.6.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.6">subscript</csymbol><ci id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.6.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.6.2">𝑊</ci><ci id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.6.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.6.6.m6.1.1.3.6.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1c">\widehat{\psi}:U\to P_{f}\subset W_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm5.p1.6.6.m6.1d">over^ start_ARG italic_ψ end_ARG : italic_U → italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ⊂ italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a solution of the unified variational problem on <math alttext="W_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm5.p1.7.7.m7.1"><semantics id="Thmthm5.p1.7.7.m7.1a"><msub id="Thmthm5.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmthm5.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="Thmthm5.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="Thmthm5.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="Thmthm5.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm5.p1.7.7.m7.1b"><apply id="Thmthm5.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.7.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm5.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.7.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmthm5.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.7.7.m7.1.1.2">𝑊</ci><ci id="Thmthm5.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.7.7.m7.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm5.p1.7.7.m7.1c">W_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm5.p1.7.7.m7.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> taking values in a final constraint submanifold, then <math alttext="\psi:=p\circ\widehat{\psi}:U\to C_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1"><semantics id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1a"><mrow id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.cmml"><mrow id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.2" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.1.cmml">:=</mo><mrow id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.2" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.1.cmml">∘</mo><mover accent="true" id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.3" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.3.2" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.3.1" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow></mrow><mo id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.2" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.1.cmml">→</mo><msub id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.3" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.3.2" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.3.3" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1b"><apply id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1"><ci id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.1">:</ci><apply id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.1">assign</csymbol><ci id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.2">𝜓</ci><apply id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3"><compose id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.1"></compose><ci id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.2">𝑝</ci><apply id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.3"><ci id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.3.1">^</ci><ci id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.2.3.3.2">𝜓</ci></apply></apply></apply><apply id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3"><ci id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.1">→</ci><ci id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.2">𝑈</ci><apply id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.3.2">𝐶</ci><ci id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.8.8.m8.1.1.3.3.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1c">\psi:=p\circ\widehat{\psi}:U\to C_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm5.p1.8.8.m8.1d">italic_ψ := italic_p ∘ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG : italic_U → italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a solution for the associated Hamilton equations on <math alttext="C_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm5.p1.9.9.m9.1"><semantics id="Thmthm5.p1.9.9.m9.1a"><msub id="Thmthm5.p1.9.9.m9.1.1" xref="Thmthm5.p1.9.9.m9.1.1.cmml"><mi id="Thmthm5.p1.9.9.m9.1.1.2" xref="Thmthm5.p1.9.9.m9.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="Thmthm5.p1.9.9.m9.1.1.3" xref="Thmthm5.p1.9.9.m9.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm5.p1.9.9.m9.1b"><apply id="Thmthm5.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.9.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm5.p1.9.9.m9.1.1.1.cmml" xref="Thmthm5.p1.9.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmthm5.p1.9.9.m9.1.1.2.cmml" xref="Thmthm5.p1.9.9.m9.1.1.2">𝐶</ci><ci id="Thmthm5.p1.9.9.m9.1.1.3.cmml" xref="Thmthm5.p1.9.9.m9.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm5.p1.9.9.m9.1c">C_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm5.p1.9.9.m9.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S5.SS1.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S5.SS1.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.1.p1.4">Any <math alttext="p_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS1.1.p1.1.m1.1a"><msub id="S5.SS1.1.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="S5.SS1.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.1.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.1.m1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S5.SS1.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.1.m1.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.1.p1.1.m1.1c">p_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.1.p1.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-projectable vector field <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS1.1.p1.2.m2.1a"><mi id="S5.SS1.1.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.2.m2.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.1.p1.2.m2.1b"><ci id="S5.SS1.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.2.m2.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.1.p1.2.m2.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.1.p1.2.m2.1d">italic_X</annotation></semantics></math> on <math alttext="P_{f}\subset W_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⊂</mo><msub id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1b"><apply id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1"><subset id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.1"></subset><apply id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.3.m3.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1c">P_{f}\subset W_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.1.p1.3.m3.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ⊂ italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, when restricted to <math alttext="P_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.1.p1.4.m4.1"><semantics id="S5.SS1.1.p1.4.m4.1a"><msub id="S5.SS1.1.p1.4.m4.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S5.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S5.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.1.p1.4.m4.1b"><apply id="S5.SS1.1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.4.m4.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S5.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.4.m4.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.1.p1.4.m4.1c">P_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.1.p1.4.m4.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, can be written as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="X\circ i_{f}=Ti_{f}\circ X_{f}+Z\circ i_{f}+W" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex2.m1.1"><semantics id="S5.Ex2.m1.1a"><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.2.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex2.m1.1.1.2.1.cmml">∘</mo><msub id="S5.Ex2.m1.1.1.2.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.2.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">i</mi><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.1.cmml">∘</mo><msub id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">X</mi><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.3.1" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex2.m1.1.1.3.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.2.cmml">Z</mi><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.1.cmml">∘</mo><msub id="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">i</mi><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex2.m1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S5.Ex2.m1.1.1.3.4" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.4.cmml">W</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex2.m1.1b"><apply id="S5.Ex2.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1"><eq id="S5.Ex2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.2"><compose id="S5.Ex2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.2.1"></compose><ci id="S5.Ex2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.2.2">𝑋</ci><apply id="S5.Ex2.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex2.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.Ex2.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.2.3.3">𝑓</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3"><plus id="S5.Ex2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2"><compose id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.1"></compose><apply id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2"><times id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.2">𝑇</ci><apply id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.2.3.3">𝑓</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.3.2">𝑋</ci><ci id="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.2.3.3">𝑓</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.3"><compose id="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.1"></compose><ci id="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.2">𝑍</ci><apply id="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.3.3.3">𝑓</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex2.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex2.m1.1.1.3.4">𝑊</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex2.m1.1c">X\circ i_{f}=Ti_{f}\circ X_{f}+Z\circ i_{f}+W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex2.m1.1d">italic_X ∘ italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT = italic_T italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT + italic_Z ∘ italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT + italic_W</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.1.p1.9">where <math alttext="X_{f}\in\mathfrak{X}\left(P_{f}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1"><semantics id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1a"><mrow id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.3" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.3.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3.cmml">𝔛</mi><mo id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1b"><apply id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1"><in id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.2"></in><apply id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.3.3">𝑓</ci></apply><apply id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1"><times id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3">𝔛</ci><apply id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1c">X_{f}\in\mathfrak{X}\left(P_{f}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.1.p1.5.m1.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ∈ fraktur_X ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> projects onto a vector field <math alttext="\overline{X}_{f}\in\mathfrak{X}\left(C_{f}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1"><semantics id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1a"><mrow id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.cmml"><msub id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.2" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.2.2" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.2.2.cmml">X</mi><mo id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.2.1" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.3" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.3" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.3.cmml">𝔛</mi><mo id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1b"><apply id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1"><in id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.2"></in><apply id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.2"><ci id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.2.2">𝑋</ci></apply><ci id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.3.3">𝑓</ci></apply><apply id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1"><times id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.3">𝔛</ci><apply id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝐶</ci><ci id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1c">\overline{X}_{f}\in\mathfrak{X}\left(C_{f}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.1.p1.6.m2.1d">over¯ start_ARG italic_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ∈ fraktur_X ( italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="Z\in\mathfrak{X}^{Vp_{\lambda}}\left(W_{\lambda}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1"><semantics id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1a"><mrow id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.3" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.3.cmml">Z</mi><mo id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.cmml"><msup id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.2" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.2.cmml">𝔛</mi><mrow id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.2" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.2.cmml">V</mi><mo id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.1" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.3" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.3.2.cmml">p</mi><mi id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow></msup><mo id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1b"><apply id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1"><in id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.2"></in><ci id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.3">𝑍</ci><apply id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1"><times id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.2">𝔛</ci><apply id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3"><times id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.2">𝑉</ci><apply id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1c">Z\in\mathfrak{X}^{Vp_{\lambda}}\left(W_{\lambda}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.1.p1.7.m3.1d">italic_Z ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="W\left(\rho\right)\in V_{\psi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1"><semantics id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1a"><mrow id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.cmml"><mrow id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2.2" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2.2.cmml">W</mi><mo id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2.1" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2.3.2" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2.cmml"><mo id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2.3.2.1" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.1.cmml">ρ</mi><mo id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2.3.2.2" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.1" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.3" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.3.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.3.2" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.3.2.cmml">V</mi><mi id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.3.3" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.3.3.cmml">ψ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1b"><apply id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2"><in id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.1"></in><apply id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2"><times id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2.1"></times><ci id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.2.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.1">𝜌</ci></apply><apply id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.3.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.3.2">𝑉</ci><ci id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.3.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.8.m4.1.2.3.3">𝜓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1c">W\left(\rho\right)\in V_{\psi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.1.p1.8.m4.1d">italic_W ( italic_ρ ) ∈ italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for every <math alttext="\rho\in P_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1"><semantics id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1a"><mrow id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.2" xref="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.1" xref="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.3" xref="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.3.2" xref="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.3.3" xref="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1b"><apply id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1"><in id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.1"></in><ci id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS1.1.p1.9.m5.1.1.3.3">𝑓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1c">\rho\in P_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS1.1.p1.9.m5.1d">italic_ρ ∈ italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then, using Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmlem6" title="Lemma 6. ‣ 3.2.1. Hamiltonian form from 𝑝_𝜆 ‣ 3.2. Hamilton equations for general variational problems ‣ 3. The Hamilton equations for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx18"> <tbody id="S5.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\widehat{\psi}^{*}\left(X\lrcorner d\Theta_{\lambda}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex3.m1.1"><semantics id="S5.Ex3.m1.1a"><mrow id="S5.Ex3.m1.1.1" xref="S5.Ex3.m1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex3.m1.1.1.3" xref="S5.Ex3.m1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex3.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex3.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex3.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex3.m1.1.1.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.Ex3.m1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex3.m1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.Ex3.m1.1.1.3.3" xref="S5.Ex3.m1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S5.Ex3.m1.1.1.2" xref="S5.Ex3.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex3.m1.1b"><apply id="S5.Ex3.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1"><times id="S5.Ex3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex3.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex3.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.3.2.2">𝜓</ci></apply><times id="S5.Ex3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S5.Ex3.m1.1.1.1.1.1.5.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex3.m1.1c">\displaystyle\widehat{\psi}^{*}\left(X\lrcorner d\Theta_{\lambda}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex3.m1.1d">over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\widehat{\psi}^{*}\left(\left(Ti_{f}\circ X_{f}\right)\lrcorner d% \Theta_{\lambda}\right)+\widehat{\psi}^{*}\left(\left(Z+W\right)\lrcorner d% \Theta_{\lambda}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex3.m2.2"><semantics id="S5.Ex3.m2.2a"><mrow id="S5.Ex3.m2.2.2" xref="S5.Ex3.m2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex3.m2.2.2.4" xref="S5.Ex3.m2.2.2.4.cmml"></mi><mo id="S5.Ex3.m2.2.2.3" xref="S5.Ex3.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex3.m2.2.2.2" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mi id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msub id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex3.m2.2.2.2.3" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.cmml"><msup id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.2.1" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Z</mi><mo id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow><mo id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.2a" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.4" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.2b" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.5" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.5.cmml"><mi id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.5.3" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.5.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex3.m2.2b"><apply id="S5.Ex3.m2.2.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2"><eq id="S5.Ex3.m2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex3.m2.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.4">absent</csymbol><apply id="S5.Ex3.m2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2"><plus id="S5.Ex3.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.3"></plus><apply id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1"><times id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.2.2">𝜓</ci></apply><times id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><compose id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></compose><apply id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><apply id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑓</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑓</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S5.Ex3.m2.1.1.1.1.1.1.1.5.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2"><times id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.2"></times><apply id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.2"><ci id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.2.2">𝜓</ci></apply><times id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.3.3"></times></apply><apply id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1"><times id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑊</ci></apply><ci id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.5.1.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.5.2.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.5.3.cmml" xref="S5.Ex3.m2.2.2.2.2.1.1.1.5.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex3.m2.2c">\displaystyle=\widehat{\psi}^{*}\left(\left(Ti_{f}\circ X_{f}\right)\lrcorner d% \Theta_{\lambda}\right)+\widehat{\psi}^{*}\left(\left(Z+W\right)\lrcorner d% \Theta_{\lambda}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex3.m2.2d">= over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( ( italic_T italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ) ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ) + over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( ( italic_Z + italic_W ) ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\widehat{\psi}^{*}\left(X_{f}\lrcorner\left(i_{f}^{*}\Omega_{% \lambda}\right)\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex4.m1.1"><semantics id="S5.Ex4.m1.1a"><mrow id="S5.Ex4.m1.1.1" xref="S5.Ex4.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex4.m1.1.1.3" xref="S5.Ex4.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S5.Ex4.m1.1.1.2" xref="S5.Ex4.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex4.m1.1.1.1" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex4.m1.1.1.1.3" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S5.Ex4.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">⌟</mi><mo id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">i</mi><mi id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">f</mi><mo id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Ω</mi><mi id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex4.m1.1b"><apply id="S5.Ex4.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1"><eq id="S5.Ex4.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex4.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S5.Ex4.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1"><times id="S5.Ex4.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.2.2">𝜓</ci></apply><times id="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑓</ci></apply><ci id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.4">⌟</ci><apply id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑖</ci><ci id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑓</ci></apply><times id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Ω</ci><ci id="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex4.m1.1c">\displaystyle=\widehat{\psi}^{*}\left(X_{f}\lrcorner\left(i_{f}^{*}\Omega_{% \lambda}\right)\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex4.m1.1d">= over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ⌟ ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\widehat{\psi}^{*}\left(X_{f}\lrcorner\left(p_{\lambda}^{*}% \Omega_{h}\right)\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex5.m1.1"><semantics id="S5.Ex5.m1.1a"><mrow id="S5.Ex5.m1.1.1" xref="S5.Ex5.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex5.m1.1.1.3" xref="S5.Ex5.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S5.Ex5.m1.1.1.2" xref="S5.Ex5.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex5.m1.1.1.1" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex5.m1.1.1.1.3" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S5.Ex5.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">⌟</mi><mo id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Ω</mi><mi id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">h</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex5.m1.1b"><apply id="S5.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1"><eq id="S5.Ex5.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex5.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S5.Ex5.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1"><times id="S5.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.2.2">𝜓</ci></apply><times id="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑓</ci></apply><ci id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.4">⌟</ci><apply id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝜆</ci></apply><times id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Ω</ci><ci id="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex5.m1.1c">\displaystyle=\widehat{\psi}^{*}\left(X_{f}\lrcorner\left(p_{\lambda}^{*}% \Omega_{h}\right)\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex5.m1.1d">= over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ⌟ ( italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(p_{\lambda}\circ\widehat{\psi}\right)^{*}\left[\left(Tp_{% \lambda}\circ X_{f}\right)\lrcorner\Omega_{h}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex6.m1.2"><semantics id="S5.Ex6.m1.2a"><mrow id="S5.Ex6.m1.2.2" xref="S5.Ex6.m1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex6.m1.2.2.4" xref="S5.Ex6.m1.2.2.4.cmml"></mi><mo id="S5.Ex6.m1.2.2.3" xref="S5.Ex6.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex6.m1.2.2.2" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.cmml"><msup id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><mover accent="true" id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mo id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S5.Ex6.m1.2.2.2.3" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mi id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">∘</mo><msub id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.2a" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.4" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.cmml">Ω</mi><mi id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.4.3" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.4.3.cmml">h</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex6.m1.2b"><apply id="S5.Ex6.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2"><eq id="S5.Ex6.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex6.m1.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.4">absent</csymbol><apply id="S5.Ex6.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2"><times id="S5.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.3"></times><apply id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1"><compose id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></compose><apply id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">^</ci><ci id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜓</ci></apply></apply><times id="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex6.m1.1.1.1.1.3"></times></apply><apply id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1"><times id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1"><compose id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"></compose><apply id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑇</ci><apply id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3">𝜆</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3">𝑓</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.3">⌟</ci><apply id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.4.2">Ω</ci><ci id="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="S5.Ex6.m1.2.2.2.2.1.1.4.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex6.m1.2c">\displaystyle=\left(p_{\lambda}\circ\widehat{\psi}\right)^{*}\left[\left(Tp_{% \lambda}\circ X_{f}\right)\lrcorner\Omega_{h}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex6.m1.2d">= ( italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ∘ over^ start_ARG italic_ψ end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT [ ( italic_T italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ∘ italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ) ⌟ roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\psi^{*}\left(\overline{X}_{f}\lrcorner\Omega_{h}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex7.m1.1"><semantics id="S5.Ex7.m1.1a"><mrow id="S5.Ex7.m1.1.1" xref="S5.Ex7.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex7.m1.1.1.3" xref="S5.Ex7.m1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S5.Ex7.m1.1.1.2" xref="S5.Ex7.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex7.m1.1.1.1" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex7.m1.1.1.1.3" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex7.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.Ex7.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S5.Ex7.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">Ω</mi><mi id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">h</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex7.m1.1b"><apply id="S5.Ex7.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1"><eq id="S5.Ex7.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex7.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S5.Ex7.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1"><times id="S5.Ex7.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex7.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex7.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex7.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.3.2">𝜓</ci><times id="S5.Ex7.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">¯</ci><ci id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci></apply><ci id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑓</ci></apply><ci id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><apply id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.4.2">Ω</ci><ci id="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.Ex7.m1.1.1.1.1.1.1.4.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex7.m1.1c">\displaystyle=\psi^{*}\left(\overline{X}_{f}\lrcorner\Omega_{h}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex7.m1.1d">= italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( over¯ start_ARG italic_X end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ⌟ roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex8.m1.1"><semantics id="S5.Ex8.m1.1a"><mrow id="S5.Ex8.m1.1.1" xref="S5.Ex8.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex8.m1.1.1.2" xref="S5.Ex8.m1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex8.m1.1.1.1" xref="S5.Ex8.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex8.m1.1.1.3" xref="S5.Ex8.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex8.m1.1b"><apply id="S5.Ex8.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex8.m1.1.1"><eq id="S5.Ex8.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex8.m1.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex8.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex8.m1.1.1.2">absent</csymbol><cn id="S5.Ex8.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex8.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex8.m1.1c">\displaystyle=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex8.m1.1d">= 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS1.1.p1.10">as required. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_note" id="Thmnote14"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote14.1.1.1">Remark 14</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote14.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmnote14.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmnote14.p1.1">There is a quite important case not covered by this theorem: Are there solutions of the unified variational problem not taking values in a final constraint submanifold?</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_example" id="Thmexample4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmexample4.1.1.1">Example 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmexample4.2.2"> </span>(The final constraint submanifold for the classical variational problem associated to a regular Lagrangian density)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmexample4.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmexample4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmexample4.p1.3">In this case we have that the projection map is <math alttext="p_{\lambda}:=p_{\mathcal{L}}^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample4.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmexample4.p1.1.m1.1a"><mrow id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.2" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.1.cmml">:=</mo><msubsup id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">ℒ</mi><mo id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">‡</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample4.p1.1.m1.1b"><apply id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.1">assign</csymbol><apply id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.1.m1.1.1.3.3">‡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample4.p1.1.m1.1c">p_{\lambda}:=p_{\mathcal{L}}^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample4.p1.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT := italic_p start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="P_{f}=P_{0},C_{f}=J^{k+1}\pi^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample4.p1.2.m2.2"><semantics id="Thmexample4.p1.2.m2.2a"><mrow id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.3.cmml"><mrow id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><msub id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">f</mi></msub><mo id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><mn id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.3" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml"><msub id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">C</mi><mi id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">f</mi></msub><mo id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.1" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml"><msup id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.2" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">J</mi><mrow id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.3" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.1" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.1" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.2" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">π</mi><mo id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample4.p1.2.m2.2b"><apply id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.3a.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1"><eq id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.1"></eq><apply id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><cn id="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample4.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2"><eq id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.1"></eq><apply id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.2">𝐶</ci><ci id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3"><times id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.2">𝐽</ci><apply id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.3"><plus id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.1"></plus><ci id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.2">𝜋</ci><ci id="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.2.m2.2.2.2.2.3.3.3">‡</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample4.p1.2.m2.2c">P_{f}=P_{0},C_{f}=J^{k+1}\pi^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample4.p1.2.m2.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT = italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT = italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and the section <math alttext="\gamma_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample4.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmexample4.p1.3.m3.1a"><msub id="Thmexample4.p1.3.m3.1.1" xref="Thmexample4.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.3.m3.1.1.2" xref="Thmexample4.p1.3.m3.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="Thmexample4.p1.3.m3.1.1.3" xref="Thmexample4.p1.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample4.p1.3.m3.1b"><apply id="Thmexample4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmexample4.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.3.m3.1.1.2">𝛾</ci><cn id="Thmexample4.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample4.p1.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample4.p1.3.m3.1c">\gamma_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample4.p1.3.m3.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is implicitly defined by the equations</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p_{\alpha}^{\left(I,i\right)}=\frac{\partial L}{\partial u_{I+1_{i}}}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex9.m1.3"><semantics id="S5.Ex9.m1.3a"><mrow id="S5.Ex9.m1.3.3.1" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">α</mi><mrow id="S5.Ex9.m1.2.2.2.4" xref="S5.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex9.m1.2.2.2.4.1" xref="S5.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex9.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex9.m1.2.2.2.4.2" xref="S5.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex9.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S5.Ex9.m1.2.2.2.4.3" xref="S5.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mo id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.2.1" rspace="0em" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">L</mi></mrow><mrow id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mo id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.2" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.1" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><msub id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mn id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.3" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mo id="S5.Ex9.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex9.m1.3b"><apply id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1"><eq id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝛼</ci></apply><interval closure="open" id="S5.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex9.m1.2.2.2.4"><ci id="S5.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex9.m1.1.1.1.1">𝐼</ci><ci id="S5.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex9.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></interval></apply><apply id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3"><divide id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3"></divide><apply id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.2"><partialdiff id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.2.1"></partialdiff><ci id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝐿</ci></apply><apply id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3"><partialdiff id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3"><plus id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3">subscript</csymbol><cn id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.2">1</cn><ci id="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex9.m1.3.3.1.1.3.3.2.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex9.m1.3c">p_{\alpha}^{\left(I,i\right)}=\frac{\partial L}{\partial u_{I+1_{i}}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex9.m1.3d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_α end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_I , italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG ∂ italic_L end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_I + 1 start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmexample4.p1.8">Namely, to give this section is to provide a set of functions <math alttext="u_{I}^{\alpha},\lvert I\rvert=k+1," class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample4.p1.4.m1.2"><semantics id="Thmexample4.p1.4.m1.2a"><mrow id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.2.2" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><msubsup id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">I</mi><mi id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">α</mi></msubsup><mo id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml"><mo id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="Thmexample4.p1.4.m1.1.1" xref="Thmexample4.p1.4.m1.1.1.cmml">I</mi><mo id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.3" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.4" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.4.2" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.4.2.cmml">k</mi><mo id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.4.1" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.4.1.cmml">+</mo><mn id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.4.3" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.4.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mo id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.2" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample4.p1.4.m1.2b"><apply id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1"><eq id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.3"></eq><list id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.2.2"><apply id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝐼</ci></apply><ci id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝛼</ci></apply><apply id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><abs id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1"></abs><ci id="Thmexample4.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.4.m1.1.1">𝐼</ci></apply></list><apply id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.4"><plus id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.4.1"></plus><ci id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.4.2">𝑘</ci><cn id="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample4.p1.4.m1.2.2.1.1.4.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample4.p1.4.m1.2c">u_{I}^{\alpha},\lvert I\rvert=k+1,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample4.p1.4.m1.2d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_I end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_POSTSUPERSCRIPT , | italic_I | = italic_k + 1 ,</annotation></semantics></math> on <math alttext="J^{k+1}\pi^{\ddagger}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample4.p1.5.m2.1"><semantics id="Thmexample4.p1.5.m2.1a"><mrow id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.cmml"><msup id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.2" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.2.cmml">J</mi><mrow id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.3" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.3.2" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.3.1" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.3.3" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.1" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.3" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.3.2" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.3.2.cmml">π</mi><mo id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.3.3" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample4.p1.5.m2.1b"><apply id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1"><times id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.1"></times><apply id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.2">𝐽</ci><apply id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.3"><plus id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.3.1"></plus><ci id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.3.2">𝜋</ci><ci id="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.5.m2.1.1.3.3">‡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample4.p1.5.m2.1c">J^{k+1}\pi^{\ddagger}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample4.p1.5.m2.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_π start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with the additional requirement that <math alttext="\mathop{\text{Im}}\gamma_{0}\subset P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample4.p1.6.m3.1"><semantics id="Thmexample4.p1.6.m3.1a"><mrow id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.cmml"><mrow id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.cmml"><mtext id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.1" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.1a.cmml">Im</mtext><msub id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.2" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.2.2" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mn id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.2.3" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.1" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.1.cmml">⊂</mo><msub id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.3" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.3.2" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.3.2.cmml">P</mi><mn id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.3.3" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample4.p1.6.m3.1b"><apply id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1"><subset id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.1"></subset><apply id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2"><ci id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.1a.cmml" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.1"><mtext id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.1">Im</mtext></ci><apply id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.2.2">𝛾</ci><cn id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply><apply id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.3.2">𝑃</ci><cn id="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample4.p1.6.m3.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample4.p1.6.m3.1c">\mathop{\text{Im}}\gamma_{0}\subset P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample4.p1.6.m3.1d">Im italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⊂ italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>; because of the regularity of <math alttext="{\mathcal{L}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample4.p1.7.m4.1"><semantics id="Thmexample4.p1.7.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmexample4.p1.7.m4.1.1" xref="Thmexample4.p1.7.m4.1.1.cmml">ℒ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample4.p1.7.m4.1b"><ci id="Thmexample4.p1.7.m4.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.7.m4.1.1">ℒ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample4.p1.7.m4.1c">{\mathcal{L}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample4.p1.7.m4.1d">caligraphic_L</annotation></semantics></math>, we can use the equations defining <math alttext="P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmexample4.p1.8.m5.1"><semantics id="Thmexample4.p1.8.m5.1a"><msub id="Thmexample4.p1.8.m5.1.1" xref="Thmexample4.p1.8.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmexample4.p1.8.m5.1.1.2" xref="Thmexample4.p1.8.m5.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="Thmexample4.p1.8.m5.1.1.3" xref="Thmexample4.p1.8.m5.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmexample4.p1.8.m5.1b"><apply id="Thmexample4.p1.8.m5.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.8.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmexample4.p1.8.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmexample4.p1.8.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmexample4.p1.8.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmexample4.p1.8.m5.1.1.2">𝑃</ci><cn id="Thmexample4.p1.8.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmexample4.p1.8.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmexample4.p1.8.m5.1c">P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmexample4.p1.8.m5.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to find these functions.</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">5.2. </span>The constraint algorithm for general variational problems</h3> <div class="ltx_para" id="S5.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.p1.15">We are now ready to formulate a version of the constraint algorithm working for general variational problems. Take <math alttext="P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS2.p1.1.m1.1a"><msub id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.1.m1.1c">P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as initial submanifold, <math alttext="C_{0}:=p_{\lambda}\left(P_{0}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">C</mi><mn id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">:=</mo><mrow id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mi id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.3.3" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.2">assign</csymbol><apply id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2">𝐶</ci><cn id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3">0</cn></apply><apply id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1"><times id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.3.3">𝜆</ci></apply><apply id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.2.m2.1c">C_{0}:=p_{\lambda}\left(P_{0}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.2.m2.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT := italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and define for every <math alttext="l=0,1,2,\cdots" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.3.m3.4"><semantics id="S5.SS2.p1.3.m3.4a"><mrow id="S5.SS2.p1.3.m3.4.5" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.2" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.2.cmml">l</mi><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.1" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.3.2" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.3.1.cmml"><mn id="S5.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.3.2.1" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS2.p1.3.m3.2.2" xref="S5.SS2.p1.3.m3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.3.2.2" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.SS2.p1.3.m3.3.3" xref="S5.SS2.p1.3.m3.3.3.cmml">2</mn><mo id="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.3.2.3" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.SS2.p1.3.m3.4.4" mathvariant="normal" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.cmml">⋯</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.3.m3.4b"><apply id="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.5"><eq id="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.1"></eq><ci id="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.2">𝑙</ci><list id="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.5.3.2"><cn id="S5.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.3.m3.1.1">0</cn><cn id="S5.SS2.p1.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.3.m3.2.2">1</cn><cn id="S5.SS2.p1.3.m3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.3.m3.3.3">2</cn><ci id="S5.SS2.p1.3.m3.4.4.cmml" xref="S5.SS2.p1.3.m3.4.4">⋯</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.3.m3.4c">l=0,1,2,\cdots</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.3.m3.4d">italic_l = 0 , 1 , 2 , ⋯</annotation></semantics></math> the set <math alttext="C_{l+1}\subset C_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S5.SS2.p1.4.m4.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.2" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.1" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.3" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml">⊂</mo><msub id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.4.m4.1b"><apply id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1"><subset id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.1"></subset><apply id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.2">𝐶</ci><apply id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3"><plus id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.4.m4.1c">C_{l+1}\subset C_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.4.m4.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l + 1 end_POSTSUBSCRIPT ⊂ italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> subject to the following requirement: <math alttext="C_{l+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.5.m5.1"><semantics id="S5.SS2.p1.5.m5.1a"><msub id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml">C</mi><mrow id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3.1" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.5.m5.1b"><apply id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3"><plus id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3.1"></plus><ci id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.5.m5.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.5.m5.1c">C_{l+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.5.m5.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the maximal set in <math alttext="C_{l}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.6.m6.1"><semantics id="S5.SS2.p1.6.m6.1a"><msubsup id="S5.SS2.p1.6.m6.1.1" xref="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.2.2" xref="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml">C</mi><mi id="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.2.3" xref="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml">l</mi><mo id="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.6.m6.1b"><apply id="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m6.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.2.2">𝐶</ci><ci id="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.6.m6.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.6.m6.1c">C_{l}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.6.m6.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (the solution set of <math alttext="C_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.7.m7.1"><semantics id="S5.SS2.p1.7.m7.1a"><msub id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.7.m7.1b"><apply id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.2">𝐶</ci><ci id="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.7.m7.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.7.m7.1c">C_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.7.m7.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>) such that there exists a complement <math alttext="V_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.8.m8.1"><semantics id="S5.SS2.p1.8.m8.1a"><msub id="S5.SS2.p1.8.m8.1.1" xref="S5.SS2.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.8.m8.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.8.m8.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="S5.SS2.p1.8.m8.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.8.m8.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.8.m8.1b"><apply id="S5.SS2.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.8.m8.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S5.SS2.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.8.m8.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.8.m8.1c">V_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.8.m8.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of <math alttext="\mathop{\text{ker}}{Tp_{\lambda}}+TP_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.9.m9.1"><semantics id="S5.SS2.p1.9.m9.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.cmml"><mtext id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.1" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.1a.cmml">ker</mtext><mrow id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.2" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.1" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.3" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.3.2" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mi id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.3.3" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.1" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.3" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.3.2" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.3.2.cmml">P</mi><mi id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.3.3" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.9.m9.1b"><apply id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1"><plus id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.1"></plus><apply id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2"><ci id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.1a.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.1"><mtext id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.1">ker</mtext></ci><apply id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2"><times id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.1"></times><ci id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.2">𝑇</ci><apply id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.2.2.3.3">𝜆</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3"><times id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.1"></times><ci id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.2">𝑇</ci><apply id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.3.2">𝑃</ci><ci id="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.9.m9.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.9.m9.1c">\mathop{\text{ker}}{Tp_{\lambda}}+TP_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.9.m9.1d">ker italic_T italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT + italic_T italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in <math alttext="T_{P_{l}}W_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.10.m10.1"><semantics id="S5.SS2.p1.10.m10.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.2" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.2.cmml">T</mi><msub id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.3" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.3.2" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.3.2.cmml">P</mi><mi id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.3.3" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.3.3.cmml">l</mi></msub></msub><mo id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.3.3" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.3.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.10.m10.1b"><apply id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1"><times id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.1"></times><apply id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.2">𝑇</ci><apply id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.3.2">𝑃</ci><ci id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.10.m10.1.1.3.3">𝜆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.10.m10.1c">T_{P_{l}}W_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.10.m10.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with the property that every <math alttext="\psi\in H_{C_{l}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.11.m11.1"><semantics id="S5.SS2.p1.11.m11.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.2.cmml">H</mi><msub id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.3" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.3.2" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.3.2.cmml">C</mi><mi id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.3.3" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></msub></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.11.m11.1b"><apply id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1"><in id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.1"></in><ci id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.2">𝜓</ci><apply id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.2">𝐻</ci><apply id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.3.2">𝐶</ci><ci id="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.11.m11.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.11.m11.1c">\psi\in H_{C_{l}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.11.m11.1d">italic_ψ ∈ italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> taking values in <math alttext="C_{l+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.12.m12.1"><semantics id="S5.SS2.p1.12.m12.1a"><msub id="S5.SS2.p1.12.m12.1.1" xref="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.2.cmml">C</mi><mrow id="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.3.1" xref="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.3.3" xref="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.12.m12.1b"><apply id="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.12.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.12.m12.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.3"><plus id="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.3.1"></plus><ci id="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.12.m12.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.12.m12.1c">C_{l+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.12.m12.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> has a <math alttext="V_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.13.m13.1"><semantics id="S5.SS2.p1.13.m13.1a"><msub id="S5.SS2.p1.13.m13.1.1" xref="S5.SS2.p1.13.m13.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.13.m13.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.13.m13.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="S5.SS2.p1.13.m13.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.13.m13.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.13.m13.1b"><apply id="S5.SS2.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.13.m13.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.13.m13.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.13.m13.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S5.SS2.p1.13.m13.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.13.m13.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.13.m13.1c">V_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.13.m13.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>-admissible lift with image in <math alttext="P_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.14.m14.1"><semantics id="S5.SS2.p1.14.m14.1a"><msub id="S5.SS2.p1.14.m14.1.1" xref="S5.SS2.p1.14.m14.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.14.m14.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.14.m14.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S5.SS2.p1.14.m14.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.14.m14.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.14.m14.1b"><apply id="S5.SS2.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.14.m14.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.14.m14.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.14.m14.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S5.SS2.p1.14.m14.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.14.m14.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.14.m14.1c">P_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.14.m14.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then define <math alttext="P_{l+1}:=p_{\lambda}^{-1}\left(C_{l+1}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.p1.15.m15.1"><semantics id="S5.SS2.p1.15.m15.1a"><mrow id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.cmml"><msub id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.2.cmml">P</mi><mrow id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.3" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.3.2" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.3.1" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.3.3" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.2.cmml">:=</mo><mrow id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.2.3" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.2.3.cmml">λ</mi><mrow id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.3" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.3a" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.3.2" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.2.cmml">C</mi><mrow id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.p1.15.m15.1b"><apply id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.2">assign</csymbol><apply id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.2">𝑃</ci><apply id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.3"><plus id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1"><times id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.2.3">𝜆</ci></apply><apply id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.3"><minus id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.3"></minus><cn id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.2">𝐶</ci><apply id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.p1.15.m15.1c">P_{l+1}:=p_{\lambda}^{-1}\left(C_{l+1}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.p1.15.m15.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_l + 1 end_POSTSUBSCRIPT := italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_l + 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_prop" id="Thmprop9"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop9.1.1.1">Proposition 9</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmprop9.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmprop9.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmprop9.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmprop9.p1.4.4">Let <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop9.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmprop9.p1.1.1.m1.1a"><mi id="Thmprop9.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmprop9.p1.1.1.m1.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop9.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmprop9.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmprop9.p1.1.1.m1.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop9.p1.1.1.m1.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop9.p1.1.1.m1.1d">italic_L</annotation></semantics></math> be the minimum integer such that <math alttext="C_{L}=C_{L+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><msub id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">C</mi><mi id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.2.3" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml">L</mi></msub><mo id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">C</mi><mrow id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">L</mi><mo id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1"><eq id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝐶</ci><ci id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><apply id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.2">𝐶</ci><apply id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.3"><plus id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1"></plus><ci id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2">𝐿</ci><cn id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmprop9.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1c">C_{L}=C_{L+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop9.p1.2.2.m2.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT = italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_L + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="P_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop9.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmprop9.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmprop9.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmprop9.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmprop9.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmprop9.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="Thmprop9.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmprop9.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop9.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmprop9.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmprop9.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop9.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmprop9.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmprop9.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmprop9.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑃</ci><ci id="Thmprop9.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmprop9.p1.3.3.m3.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop9.p1.3.3.m3.1c">P_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop9.p1.3.3.m3.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a final constraint submanifold for <math alttext="p_{\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmprop9.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmprop9.p1.4.4.m4.1a"><msub id="Thmprop9.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmprop9.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmprop9.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmprop9.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="Thmprop9.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmprop9.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">λ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmprop9.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmprop9.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmprop9.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmprop9.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmprop9.p1.4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmprop9.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmprop9.p1.4.4.m4.1.1.2">𝑝</ci><ci id="Thmprop9.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmprop9.p1.4.4.m4.1.1.3">𝜆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmprop9.p1.4.4.m4.1c">p_{\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmprop9.p1.4.4.m4.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S5.SS2.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S5.SS2.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS2.1.p1.4">When <math alttext="C_{L+1}=C_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.3.1" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mi id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">L</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝐶</ci><apply id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.3"><plus id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.3.2">𝐿</ci><cn id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.2">𝐶</ci><ci id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.1.m1.1.1.3.3">𝐿</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1c">C_{L+1}=C_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.1.p1.1.m1.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_L + 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, then <math alttext="C_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS2.1.p1.2.m2.1a"><msub id="S5.SS2.1.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS2.1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S5.SS2.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">C</mi><mi id="S5.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.1.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.SS2.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.2.m2.1.1.2">𝐶</ci><ci id="S5.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.2.m2.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.1.p1.2.m2.1c">C_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.1.p1.2.m2.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is final for <math alttext="\Theta_{h}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.1.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.SS2.1.p1.3.m3.1a"><msub id="S5.SS2.1.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS2.1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.1.p1.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS2.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="S5.SS2.1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS2.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">h</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.1.p1.3.m3.1b"><apply id="S5.SS2.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.3.m3.1.1.2">Θ</ci><ci id="S5.SS2.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.3.m3.1.1.3">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.1.p1.3.m3.1c">\Theta_{h}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.1.p1.3.m3.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and by Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#Thmdefc14" title="Definition 14 (Final constraint submanifold). ‣ 5.1. Final constraint submanifold and Hamilton equations ‣ 5. Towards a constraint algorithm for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a>, <math alttext="P_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS2.1.p1.4.m4.1"><semantics id="S5.SS2.1.p1.4.m4.1a"><msub id="S5.SS2.1.p1.4.m4.1.1" xref="S5.SS2.1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.SS2.1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S5.SS2.1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S5.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S5.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS2.1.p1.4.m4.1b"><apply id="S5.SS2.1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS2.1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS2.1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.4.m4.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S5.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.SS2.1.p1.4.m4.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS2.1.p1.4.m4.1c">P_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS2.1.p1.4.m4.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a final constraint submanifold. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_note" id="Thmnote15"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote15.1.1.1">Remark 15</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmnote15.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmnote15.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmnote15.p1.1">It could be possible for a map to have as final constraint submanifold the empty set.</p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S5.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">5.3. </span>Examples</h3> <div class="ltx_para" id="S5.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.p1.1">Let us apply the previous scheme to some well-known systems, in order to show how it allows us to extract the constraints associated to a singular Lagrangian.</p> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S5.SS3.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">5.3.1. </span>A pair of hanging springs</h4> <div class="ltx_para" id="S5.SS3.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.5">Let us consider an example from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">brown2023singular</span>]</cite>. It represents two springs (with spring constants <math alttext="k_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1c">k_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.1.m1.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="k_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">k</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1c">k_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.2.m2.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>) attached end-to-end and hanging from the roof; additionally, a mass <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1a"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1b"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.3.m3.1d">italic_m</annotation></semantics></math> is located at the free end of the composed spring. If we indicate with <math alttext="x_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1c">x_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.4.m4.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="x_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1c">x_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.5.m5.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the length of each of the springs, the Lagrangian of the system becomes</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="L\left(x,\dot{x}\right):=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{1}+\dot{x}^{2}\right)^{2}+% mg\left(x^{1}+x^{2}\right)-\frac{k_{1}}{2}\left(x^{1}-l_{1}\right)^{2}-\frac{k% _{2}}{2}\left(x^{2}-l_{2}\right)^{2}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex10.m1.3"><semantics id="S5.Ex10.m1.3a"><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.2.cmml">L</mi><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.3.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.3.2.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex10.m1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.3.2.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S5.Ex10.m1.2.2" xref="S5.Ex10.m1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.2.2.2" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex10.m1.2.2.1" xref="S5.Ex10.m1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.3.2.3" rspace="0.278em" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.5" rspace="0.278em" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.5.cmml">:=</mo><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.4" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.cmml">g</mi><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2a" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.5" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mfrac id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml"><msub id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.5a" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.5.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.cmml"><mfrac id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.cmml"><msub id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.2.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.2.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.cmml"><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.3" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex10.m1.3.3.1.2" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex10.m1.3b"><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.5">assign</csymbol><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6"><times id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.1"></times><ci id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.2">𝐿</ci><interval closure="open" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.6.3.2"><ci id="S5.Ex10.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.1.1">𝑥</ci><apply id="S5.Ex10.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.2.2"><ci id="S5.Ex10.m1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex10.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.2.2.2">𝑥</ci></apply></interval></apply><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4"><minus id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.5.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.5"></minus><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2"><plus id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3"></plus><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><divide id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2"><times id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"></times><ci id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3">𝑚</ci><ci id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.4">𝑔</ci><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1"><plus id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3"><times id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.2"></times><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3"><divide id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3"></divide><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.2.3">1</cn></apply><cn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1"><minus id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.3.3.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4"><times id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.2"></times><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3"><divide id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3"></divide><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1"><minus id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex10.m1.3.3.1.1.4.4.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex10.m1.3c">L\left(x,\dot{x}\right):=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{1}+\dot{x}^{2}\right)^{2}+% mg\left(x^{1}+x^{2}\right)-\frac{k_{1}}{2}\left(x^{1}-l_{1}\right)^{2}-\frac{k% _{2}}{2}\left(x^{2}-l_{2}\right)^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex10.m1.3d">italic_L ( italic_x , over˙ start_ARG italic_x end_ARG ) := divide start_ARG italic_m end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT + over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m italic_g ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) - divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_l start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_l start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.15">where <math alttext="l_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1.1.2.cmml">l</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1.1.2">𝑙</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1c">l_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.6.m1.1d">italic_l start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="l_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1.1.2.cmml">l</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1.1.2">𝑙</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1c">l_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.7.m2.1d">italic_l start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the equilibrium length for each of the springs. Thus we are dealing with a classical variational problem associated to the trivial bundle <math alttext="\text{pr}_{1}:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.2.cmml"><mtext id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.2.2a.cmml">pr</mtext><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.1.cmml">×</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.3.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.3.cmml">ℝ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.1">:</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.2.2a.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.2.2"><mtext id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.2.2">pr</mtext></ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.1">→</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.2">ℝ</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.3.2">ℝ</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1.1.3.3">ℝ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1c">\text{pr}_{1}:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.8.m3.1d">pr start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT : blackboard_R × blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT → blackboard_R</annotation></semantics></math>; therefore we need to consider the Lagrangian <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m4.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m4.1a"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m4.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.9.m4.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m4.1b"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.9.m4.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m4.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.9.m4.1d">italic_L</annotation></semantics></math> as defining a Lagrangian density <math alttext="{\mathcal{L}}=Ldt" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.1a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.2">ℒ</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1c">{\mathcal{L}}=Ldt</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.10.m5.1d">caligraphic_L = italic_L italic_d italic_t</annotation></semantics></math> on <math alttext="J^{1}\text{pr}_{1}=\mathbb{R}\times T\mathbb{R}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.3.cmml"><mtext id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.3.2a.cmml">pr</mtext><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.2.1.cmml">×</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.2.3.cmml">T</mi></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.3.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.2.2">𝐽</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.3.2a.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.3.2"><mtext id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.3.2">pr</mtext></ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.2.2">ℝ</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.3.2">ℝ</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1c">J^{1}\text{pr}_{1}=\mathbb{R}\times T\mathbb{R}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.11.m6.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT pr start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = blackboard_R × italic_T blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with coordinates <math alttext="\left(t,x^{1},x^{2},\dot{x}^{1},\dot{x}^{2}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.5.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.5" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.5.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.6" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.5.cmml">,</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.2.2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.2.2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.2.2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.7" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.5.cmml">,</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.3.3.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.3.3.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.3.3.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.3.3.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.8" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.5.cmml">,</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.9" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.5.cmml">,</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.10" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.5.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5b"><vector id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.1.1">𝑡</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.2.2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.2.2.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.2.2.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.3.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.3.3.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.3.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.4.4.3.3.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.2.1">˙</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5.5.4.4.3">2</cn></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5c">\left(t,x^{1},x^{2},\dot{x}^{1},\dot{x}^{2}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.12.m7.5d">( italic_t , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. The space of forms <math alttext="W_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1c">W_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.13.m8.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> has global coordinates <math alttext="\left(t,x^{1},x^{2},\dot{x}^{1},\dot{x}^{2},p_{1},p_{2}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.7.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.7" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.7.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.8" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.7.cmml">,</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.2.2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.2.2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.2.2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.9" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.7.cmml">,</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.3.3.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.3.3.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.3.3.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.3.3.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.10" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.7.cmml">,</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.11" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.7.cmml">,</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.12" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.7.cmml">,</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.6.6.5.5" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.6.6.5.5.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.6.6.5.5.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.6.6.5.5.2.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.6.6.5.5.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.6.6.5.5.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.13" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.7.cmml">,</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.6" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.6.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.6.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.6.2.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.6.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.6.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.14" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.7.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7b"><vector id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.7.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.1.1">𝑡</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.2.2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.2.2.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.2.2.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.3.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.3.3.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.3.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.4.4.3.3.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.2.1">˙</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.5.5.4.4.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.6.6.5.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.6.6.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.6.6.5.5.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.6.6.5.5">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.6.6.5.5.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.6.6.5.5.2">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.6.6.5.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.6.6.5.5.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.6.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.6.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.6">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.6.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.6.2">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7.7.6.6.3">2</cn></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7c">\left(t,x^{1},x^{2},\dot{x}^{1},\dot{x}^{2},p_{1},p_{2}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.14.m9.7d">( italic_t , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_p start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> in such a way that <math alttext="\rho\in W_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.3.2.cmml">W</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.3.3.cmml">L</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1"><in id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.1"></in><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.3.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1.1.3.3">𝐿</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1c">\rho\in W_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.15.m10.1d">italic_ρ ∈ italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> if and only if</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\rho=L\left(x,\dot{x}\right)dt+p_{i}\left(dx^{i}-\dot{x}^{i}dt\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex11.m1.3"><semantics id="S5.Ex11.m1.3a"><mrow id="S5.Ex11.m1.3.3.1" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.3.cmml">ρ</mi><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex11.m1.1.1" xref="S5.Ex11.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S5.Ex11.m1.2.2" xref="S5.Ex11.m1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex11.m1.2.2.2" xref="S5.Ex11.m1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex11.m1.2.2.1" xref="S5.Ex11.m1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.4.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.1b" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.5" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.5.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mi id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msup></mrow><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mi id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex11.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex11.m1.3b"><apply id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1"><eq id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.2"></eq><ci id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.3">𝜌</ci><apply id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1"><plus id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3"><times id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝐿</ci><interval closure="open" id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.3.2"><ci id="S5.Ex11.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex11.m1.1.1">𝑥</ci><apply id="S5.Ex11.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex11.m1.2.2"><ci id="S5.Ex11.m1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex11.m1.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex11.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex11.m1.2.2.2">𝑥</ci></apply></interval><ci id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.4">𝑑</ci><ci id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.5.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.3.5">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex11.m1.3c">\rho=L\left(x,\dot{x}\right)dt+p_{i}\left(dx^{i}-\dot{x}^{i}dt\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex11.m1.3d">italic_ρ = italic_L ( italic_x , over˙ start_ARG italic_x end_ARG ) italic_d italic_t + italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT - over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.42">The projection defining the Hamiltonian theory is in this case</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p_{\mathcal{L}}^{\ddagger}:W_{L}\to\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{2}\times\mathbb% {R}^{2}:\left(t,x^{1},x^{2},\dot{x}^{1},\dot{x}^{2},p_{1},p_{2}\right)\mapsto% \left(t,x^{1},x^{2},p_{1},p_{2}\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex12.m1.3"><semantics id="S5.Ex12.m1.3a"><mrow id="S5.Ex12.m1.3.3.1" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.cmml"><mi id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.2.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.2.2.cmml">p</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.2.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.2.3.cmml">ℒ</mi><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.3.cmml">‡</mo></msubsup><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.13" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.13.cmml">:</mo><mrow id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.cmml"><msub id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.2.cmml"><mi id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.2.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.2.2.cmml">W</mi><mi id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.2.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.2.3.cmml">L</mi></msub><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.1" stretchy="false" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.1.cmml">→</mo><mrow id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.cmml"><mi id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.1.cmml">×</mo><msup id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.3.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.3.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.3.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.1.cmml">×</mo><msup id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.4" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.4.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.4.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.4.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.15" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.15.cmml">:</mo><mrow id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.cmml"><mrow id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.7.cmml"><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.7" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.7.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex12.m1.1.1" xref="S5.Ex12.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.8" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.7.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.9" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.7.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.10" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.7.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.1" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.11" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.7.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2.1" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.12" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.7.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.5.5.5.5" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.cmml"><mi id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.13" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.7.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.6" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.cmml"><mi id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.14" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.7.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.11" stretchy="false" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.11.cmml">↦</mo><mrow id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.5.cmml"><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.5" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.5.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex12.m1.2.2" xref="S5.Ex12.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.6" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.5.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.7.7.1.1" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.7.7.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.7.7.1.1.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.7.7.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.7.7.1.1.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.7.7.1.1.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.7" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.5.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.8.8.2.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.8.8.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.8.8.2.2.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.8.8.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.8.8.2.2.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.8.8.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.8" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.5.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.9.9.3.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.9.9.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.9.9.3.3.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.9.9.3.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.9.9.3.3.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.9.9.3.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.9" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.5.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.4" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.4.2" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.4.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.4.3" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.4.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.10" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.5.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex12.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex12.m1.3b"><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1"><and id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1"></and><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1"><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.13.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.13">:</ci><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.2.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.2.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.2.3.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.3.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.12.3">‡</ci></apply><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14"><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.1">→</ci><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.2.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.2.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.2.2">𝑊</ci><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.2.3.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.2.3">𝐿</ci></apply><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3"><times id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.1"></times><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.2">ℝ</ci><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.3.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.3.2">ℝ</ci><cn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.4.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.4.2">ℝ</ci><cn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1c.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1"><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.15.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.15">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.Ex12.m1.3.3.1.1.14.cmml" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1d.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1"></share><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.11.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.11">maps-to</csymbol><vector id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.7.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6"><ci id="S5.Ex12.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.1.1">𝑡</ci><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2"><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2"><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.4.4.4.4.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.5.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.5.5.5.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.5.5.5.5.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.6">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.6.6.6.6.3">2</cn></apply></vector><vector id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.5.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4"><ci id="S5.Ex12.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.2.2">𝑡</ci><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.7.7.1.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.7.7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.7.7.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.7.7.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.7.7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.7.7.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.8.8.2.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.8.8.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.8.8.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.8.8.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.8.8.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.8.8.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.8.8.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.8.8.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.9.9.3.3.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.9.9.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.9.9.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.9.9.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.9.9.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.9.9.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.9.9.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.9.9.3.3.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.4.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.4.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex12.m1.3.3.1.1.10.10.4.4.3">2</cn></apply></vector></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex12.m1.3c">p_{\mathcal{L}}^{\ddagger}:W_{L}\to\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{2}\times\mathbb% {R}^{2}:\left(t,x^{1},x^{2},\dot{x}^{1},\dot{x}^{2},p_{1},p_{2}\right)\mapsto% \left(t,x^{1},x^{2},p_{1},p_{2}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex12.m1.3d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT : italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT → blackboard_R × blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT × blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT : ( italic_t , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_p start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ↦ ( italic_t , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_p start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.43">Then</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Vp_{\mathcal{L}}^{\ddagger}=\left<\frac{\partial}{\partial\dot{x}^{1}},\frac{% \partial}{\partial\dot{x}^{2}}\right>" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex13.m1.2"><semantics id="S5.Ex13.m1.2a"><mrow id="S5.Ex13.m1.2.3" xref="S5.Ex13.m1.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex13.m1.2.3.2" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex13.m1.2.3.2.2" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2.2.cmml">V</mi><mo id="S5.Ex13.m1.2.3.2.1" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.Ex13.m1.2.3.2.3" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.2.2" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.2.2.cmml">p</mi><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.2.3" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.2.3.cmml">ℒ</mi><mo id="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.3" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.3.cmml">‡</mo></msubsup></mrow><mo id="S5.Ex13.m1.2.3.1" xref="S5.Ex13.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex13.m1.2.3.3.2" xref="S5.Ex13.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex13.m1.2.3.3.2.1" xref="S5.Ex13.m1.2.3.3.1.cmml">⟨</mo><mfrac id="S5.Ex13.m1.1.1" xref="S5.Ex13.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex13.m1.1.1.2" xref="S5.Ex13.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S5.Ex13.m1.1.1.3" xref="S5.Ex13.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex13.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex13.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S5.Ex13.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msup></mrow></mfrac><mo id="S5.Ex13.m1.2.3.3.2.2" xref="S5.Ex13.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mfrac id="S5.Ex13.m1.2.2" xref="S5.Ex13.m1.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex13.m1.2.2.2" xref="S5.Ex13.m1.2.2.2.cmml">∂</mo><mrow id="S5.Ex13.m1.2.2.3" xref="S5.Ex13.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex13.m1.2.2.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex13.m1.2.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S5.Ex13.m1.2.2.3.2" xref="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.2.1" xref="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac><mo id="S5.Ex13.m1.2.3.3.2.3" xref="S5.Ex13.m1.2.3.3.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex13.m1.2b"><apply id="S5.Ex13.m1.2.3.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.3"><eq id="S5.Ex13.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.3.1"></eq><apply id="S5.Ex13.m1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2"><times id="S5.Ex13.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S5.Ex13.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2.2">𝑉</ci><apply id="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.2.3">ℒ</ci></apply><ci id="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.3.2.3.3">‡</ci></apply></apply><list id="S5.Ex13.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.3.3.2"><apply id="S5.Ex13.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex13.m1.1.1"><divide id="S5.Ex13.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex13.m1.1.1"></divide><partialdiff id="S5.Ex13.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex13.m1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S5.Ex13.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex13.m1.1.1.3"><partialdiff id="S5.Ex13.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex13.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex13.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex13.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.2"><ci id="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex13.m1.1.1.3.2.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex13.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.2"><divide id="S5.Ex13.m1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.2"></divide><partialdiff id="S5.Ex13.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.2.2"></partialdiff><apply id="S5.Ex13.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.2.3"><partialdiff id="S5.Ex13.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.2.3.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.2"><ci id="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex13.m1.2.2.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex13.m1.2c">Vp_{\mathcal{L}}^{\ddagger}=\left<\frac{\partial}{\partial\dot{x}^{1}},\frac{% \partial}{\partial\dot{x}^{2}}\right></annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex13.m1.2d">italic_V italic_p start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT = ⟨ divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG , divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.17">and because <math alttext="\Theta_{L}=L\left(x,\dot{x}\right)dt+p_{i}\left(dx^{i}-\dot{x}^{i}dt\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.3.3.cmml">L</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.3.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.1a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.4.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.1b" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.5" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.5.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">p</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msup></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.2"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.3.2">Θ</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.3.3">𝐿</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1"><plus id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.2"></plus><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.2">𝐿</ci><interval closure="open" id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.3.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.1.1">𝑥</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.2.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.2.2.2">𝑥</ci></apply></interval><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.4">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.3.5">𝑡</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1"><minus id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3c">\Theta_{L}=L\left(x,\dot{x}\right)dt+p_{i}\left(dx^{i}-\dot{x}^{i}dt\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.16.m1.3d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT = italic_L ( italic_x , over˙ start_ARG italic_x end_ARG ) italic_d italic_t + italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT - over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_i end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t )</annotation></semantics></math>, it follows that <math alttext="P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1c">P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.17.m2.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> will be defined by the equations</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left[m\left(\dot{x}^{1}+\dot{x}^{2}\right)-p_{1}\right]dt=0=\left[m\left(\dot% {x}^{1}+\dot{x}^{2}\right)-p_{2}\right]dt," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex14.m1.1"><semantics id="S5.Ex14.m1.1a"><mrow id="S5.Ex14.m1.1.1.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><msub id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.5.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.6" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">−</mo><msub id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2a" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex14.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex14.m1.1b"><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1"><and id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1"></and><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.1.4">𝑡</ci></apply><cn id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.5.cmml" type="integer" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.5">0</cn></apply><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.Ex14.m1.1.1.1.1.5.cmml" id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1"></share><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><minus id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"></minus><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><times id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">𝑚</ci><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><ci id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex14.m1.1.1.1.1.2.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex14.m1.1c">\left[m\left(\dot{x}^{1}+\dot{x}^{2}\right)-p_{1}\right]dt=0=\left[m\left(\dot% {x}^{1}+\dot{x}^{2}\right)-p_{2}\right]dt,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex14.m1.1d">[ italic_m ( over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT + over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) - italic_p start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ] italic_d italic_t = 0 = [ italic_m ( over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT + over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) - italic_p start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ] italic_d italic_t ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.44">namely,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex15"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P_{0}=\left\{\left(t,x^{1},x^{2},\dot{x}^{1},\dot{x}^{2},p_{1},p_{2}\right):p_% {1}=p_{2}=m\left(\dot{x}^{1}+\dot{x}^{2}\right)\right\}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex15.m1.2"><semantics id="S5.Ex15.m1.2a"><mrow id="S5.Ex15.m1.2.2.1" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.4" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.4.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.4.2.cmml">P</mi><mn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.4.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.cmml"><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.7" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex15.m1.1.1" xref="S5.Ex15.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.8" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.9" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.10" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.11" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.2.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.2.1" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.12" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.cmml"><mi id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.13" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.6" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.6.cmml"><mi id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.6.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.6.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.6.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.6.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.14" rspace="0.278em" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.4" rspace="0.278em" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.4" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.cmml">=</mo><msub id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.5" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.cmml"><mi id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.6" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml"><mi id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.5" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex15.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex15.m1.2b"><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1"><eq id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.3"></eq><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.4.2">𝑃</ci><cn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.4.3">0</cn></apply><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><vector id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6"><ci id="S5.Ex15.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.1.1">𝑡</ci><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.2"><ci id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.4.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.5.5.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.6.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.6.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.6">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.6.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.6.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.1.1.1.6.6.3">2</cn></apply></vector><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2"><and id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2a.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2"></and><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2b.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2"><eq id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.4"></eq><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2c.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2"><eq id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.6.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.cmml" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2d.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2"></share><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1"><times id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2"></times><ci id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3">𝑚</ci><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1"><plus id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2"><ci id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex15.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex15.m1.2c">P_{0}=\left\{\left(t,x^{1},x^{2},\dot{x}^{1},\dot{x}^{2},p_{1},p_{2}\right):p_% {1}=p_{2}=m\left(\dot{x}^{1}+\dot{x}^{2}\right)\right\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex15.m1.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = { ( italic_t , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_p start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) : italic_p start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_p start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_m ( over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT + over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.19">This submanifold can be parameterized through the coordinates <math alttext="\left(t,x^{1},x^{2},\dot{x}^{1},p\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.4.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.4.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.5" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.4.cmml">,</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.3.3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.3.3.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.3.3.1.1.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.6" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.4.cmml">,</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.4.4.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.4.4.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.4.4.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.4.4.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.4.4.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.7" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.4.cmml">,</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.8" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.4.cmml">,</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.9" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.4.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5b"><vector id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.1.1">𝑡</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.3.3.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.3.3.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.4.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.4.4.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.4.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.4.4.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5.5.3.3.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.2.2">𝑝</ci></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5c">\left(t,x^{1},x^{2},\dot{x}^{1},p\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.18.m1.5d">( italic_t , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p )</annotation></semantics></math> and we can embed it into <math alttext="W_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1.1.3.cmml">L</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1.1.3">𝐿</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1c">W_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.19.m2.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with the map</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex16"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="i_{0}\left(t,x^{1},x^{2},\dot{x}^{1},p\right)=\left(t,x^{1},x^{2},\dot{x}^{1},% \frac{p}{m}-\dot{x}^{1},p,p\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex16.m1.6"><semantics id="S5.Ex16.m1.6a"><mrow id="S5.Ex16.m1.6.6.1" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.5" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.5.cmml"><mi id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.5.2" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.5.2.cmml">i</mi><mn id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.5.3" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.5.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.4" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.4.cmml"><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.4" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex16.m1.1.1" xref="S5.Ex16.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.5" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.6" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.7" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.2" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.2.2" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.2.1" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.3" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.8" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex16.m1.2.2" xref="S5.Ex16.m1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.9" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.8" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.8.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.5.cmml"><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.5" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.5.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex16.m1.3.3" xref="S5.Ex16.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.6" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.5.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.4.1.1" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.4.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.4.1.1.2" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.4.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.4.1.1.3" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.4.1.1.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.7" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.5.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.5.2.2" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.5.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.5.2.2.2" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.5.2.2.3" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.5.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.8" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.5.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.2" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.2.2" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.2.1" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.3" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.9" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.5.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.cmml"><mfrac id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.2" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.2.2" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.2.3" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.2.3.cmml">m</mi></mfrac><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.1" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.1.cmml">−</mo><msup id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.2" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.2.2" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.2.1" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.3" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.10" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.5.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex16.m1.4.4" xref="S5.Ex16.m1.4.4.cmml">p</mi><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.11" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.5.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex16.m1.5.5" xref="S5.Ex16.m1.5.5.cmml">p</mi><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.12" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex16.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex16.m1.6b"><apply id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1"><eq id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.8.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.8"></eq><apply id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3"><times id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.4"></times><apply id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.5.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.5.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.5.2.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.5.2">𝑖</ci><cn id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.5.3">0</cn></apply><vector id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.4.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3"><ci id="S5.Ex16.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.1.1">𝑡</ci><apply id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.2"><ci id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply><ci id="S5.Ex16.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex16.m1.2.2">𝑝</ci></vector></apply><vector id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.5.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4"><ci id="S5.Ex16.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex16.m1.3.3">𝑡</ci><apply id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.4.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.4.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.4.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.5.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.5.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.5.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.5.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.5.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.5.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.2"><ci id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.6.3.3.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4"><minus id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.1"></minus><apply id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.2"><divide id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.2"></divide><ci id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.2"><ci id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex16.m1.6.6.1.1.7.4.4.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex16.m1.4.4.cmml" xref="S5.Ex16.m1.4.4">𝑝</ci><ci id="S5.Ex16.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex16.m1.5.5">𝑝</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex16.m1.6c">i_{0}\left(t,x^{1},x^{2},\dot{x}^{1},p\right)=\left(t,x^{1},x^{2},\dot{x}^{1},% \frac{p}{m}-\dot{x}^{1},p,p\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex16.m1.6d">italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p ) = ( italic_t , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , divide start_ARG italic_p end_ARG start_ARG italic_m end_ARG - over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p , italic_p ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.20">The Hamiltonian form <math alttext="\Theta_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1.1.2.cmml">Θ</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1.1.2">Θ</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1c">\Theta_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.20.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> should be retrieved from the pullback form</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx19"> <tbody id="S5.Ex17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Theta_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex17.m1.1"><semantics id="S5.Ex17.m1.1a"><msub id="S5.Ex17.m1.1.1" xref="S5.Ex17.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex17.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex17.m1.1.1.2.cmml">Θ</mi><mn id="S5.Ex17.m1.1.1.3" xref="S5.Ex17.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex17.m1.1b"><apply id="S5.Ex17.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex17.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex17.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex17.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex17.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex17.m1.1.1.2">Θ</ci><cn id="S5.Ex17.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex17.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex17.m1.1c">\displaystyle\Theta_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex17.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=i_{0}^{*}\Theta_{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex17.m2.1"><semantics id="S5.Ex17.m2.1a"><mrow id="S5.Ex17.m2.1.1" xref="S5.Ex17.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex17.m2.1.1.2" xref="S5.Ex17.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex17.m2.1.1.1" xref="S5.Ex17.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex17.m2.1.1.3" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.cmml"><msubsup id="S5.Ex17.m2.1.1.3.2" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.2.2.cmml">i</mi><mn id="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.2.3.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S5.Ex17.m2.1.1.3.1" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex17.m2.1.1.3.3" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex17.m2.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="S5.Ex17.m2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.3.3.cmml">L</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex17.m2.1b"><apply id="S5.Ex17.m2.1.1.cmml" xref="S5.Ex17.m2.1.1"><eq id="S5.Ex17.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex17.m2.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex17.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex17.m2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex17.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3"><times id="S5.Ex17.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.2.2">𝑖</ci><cn id="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.2.3">0</cn></apply><times id="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="S5.Ex17.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex17.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex17.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.3.2">Θ</ci><ci id="S5.Ex17.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex17.m2.1.1.3.3.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex17.m2.1c">\displaystyle=i_{0}^{*}\Theta_{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex17.m2.1d">= italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex18"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=L\left(x,\dot{x}\right)dt+p\left(dx^{1}-\dot{x}^{1}dt+dx^{2}-% \dot{x}^{2}dt\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex18.m1.3"><semantics id="S5.Ex18.m1.3a"><mrow id="S5.Ex18.m1.3.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex18.m1.3.3.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.3.cmml"></mi><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex18.m1.3.3.1" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.1" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.3.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex18.m1.1.1" xref="S5.Ex18.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S5.Ex18.m1.2.2" xref="S5.Ex18.m1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex18.m1.2.2.2" xref="S5.Ex18.m1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex18.m1.2.2.1" xref="S5.Ex18.m1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.1a" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.4" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.4.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.1b" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.5" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.5.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msup id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex18.m1.3b"><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3"><eq id="S5.Ex18.m1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex18.m1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.3">absent</csymbol><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1"><plus id="S5.Ex18.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.2"></plus><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3"><times id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.2">𝐿</ci><interval closure="open" id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.3.2"><ci id="S5.Ex18.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.1.1">𝑥</ci><apply id="S5.Ex18.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.2.2"><ci id="S5.Ex18.m1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex18.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.2.2.2">𝑥</ci></apply></interval><ci id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.4">𝑑</ci><ci id="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.5.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.3.5">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1"><times id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.2"></times><ci id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2"><minus id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1"></minus><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2"><ci id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex18.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex18.m1.3c">\displaystyle=L\left(x,\dot{x}\right)dt+p\left(dx^{1}-\dot{x}^{1}dt+dx^{2}-% \dot{x}^{2}dt\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex18.m1.3d">= italic_L ( italic_x , over˙ start_ARG italic_x end_ARG ) italic_d italic_t + italic_p ( italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT - over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t + italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex19"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left[L\left(x,\dot{x}\right)-p\left(\dot{x}^{1}+\dot{x}^{2}% \right)\right]dt+p\left(dx^{1}+dx^{2}\right);" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex19.m1.3"><semantics id="S5.Ex19.m1.3a"><mrow id="S5.Ex19.m1.3.3.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.4" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex19.m1.1.1" xref="S5.Ex19.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S5.Ex19.m1.2.2" xref="S5.Ex19.m1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.2.2.2" xref="S5.Ex19.m1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex19.m1.2.2.1" xref="S5.Ex19.m1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex19.m1.3.3.1.2" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex19.m1.3b"><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1"><eq id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2"><plus id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.3"></plus><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><interval closure="open" id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S5.Ex19.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.1.1">𝑥</ci><apply id="S5.Ex19.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.2.2"><ci id="S5.Ex19.m1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex19.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.2.2.2">𝑥</ci></apply></interval></apply><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.4">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2"><times id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.2"></times><ci id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝑝</ci><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1"><plus id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2"><times id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3"><times id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex19.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex19.m1.3c">\displaystyle=\left[L\left(x,\dot{x}\right)-p\left(\dot{x}^{1}+\dot{x}^{2}% \right)\right]dt+p\left(dx^{1}+dx^{2}\right);</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex19.m1.3d">= [ italic_L ( italic_x , over˙ start_ARG italic_x end_ARG ) - italic_p ( over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT + over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] italic_d italic_t + italic_p ( italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.45">now, because</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx20"> <tbody id="S5.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(5.1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle L\left(x,\dot{x}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E1.m1.2"><semantics id="S5.E1.m1.2a"><mrow id="S5.E1.m1.2.3" xref="S5.E1.m1.2.3.cmml"><mi id="S5.E1.m1.2.3.2" xref="S5.E1.m1.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S5.E1.m1.2.3.1" xref="S5.E1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E1.m1.2.3.3.2" xref="S5.E1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.E1.m1.2.3.3.2.1" xref="S5.E1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.E1.m1.1.1" xref="S5.E1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S5.E1.m1.2.3.3.2.2" xref="S5.E1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S5.E1.m1.2.2" xref="S5.E1.m1.2.2.cmml"><mi id="S5.E1.m1.2.2.2" xref="S5.E1.m1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.E1.m1.2.2.1" xref="S5.E1.m1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mo id="S5.E1.m1.2.3.3.2.3" xref="S5.E1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E1.m1.2b"><apply id="S5.E1.m1.2.3.cmml" xref="S5.E1.m1.2.3"><times id="S5.E1.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.E1.m1.2.3.1"></times><ci id="S5.E1.m1.2.3.2.cmml" xref="S5.E1.m1.2.3.2">𝐿</ci><interval closure="open" id="S5.E1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.E1.m1.2.3.3.2"><ci id="S5.E1.m1.1.1.cmml" xref="S5.E1.m1.1.1">𝑥</ci><apply id="S5.E1.m1.2.2.cmml" xref="S5.E1.m1.2.2"><ci id="S5.E1.m1.2.2.1.cmml" xref="S5.E1.m1.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.E1.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.E1.m1.2.2.2">𝑥</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E1.m1.2c">\displaystyle L\left(x,\dot{x}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E1.m1.2d">italic_L ( italic_x , over˙ start_ARG italic_x end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle-p\left(\dot{x}^{1}+\dot{x}^{2}\right)=" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E1.m2.1"><semantics id="S5.E1.m2.1a"><mrow id="S5.E1.m2.1.1" xref="S5.E1.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.E1.m2.1.1.1" xref="S5.E1.m2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E1.m2.1.1.1a" xref="S5.E1.m2.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.E1.m2.1.1.1.1" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E1.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S5.E1.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E1.m2.1.1.2" xref="S5.E1.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mi id="S5.E1.m2.1.1.3" xref="S5.E1.m2.1.1.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E1.m2.1b"><apply id="S5.E1.m2.1.1.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1"><eq id="S5.E1.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.2"></eq><apply id="S5.E1.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1"><minus id="S5.E1.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1"></minus><apply id="S5.E1.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1"><times id="S5.E1.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.E1.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E1.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="S5.E1.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.E1.m2.1.1.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E1.m2.1c">\displaystyle-p\left(\dot{x}^{1}+\dot{x}^{2}\right)=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E1.m2.1d">- italic_p ( over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT + over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(5.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{m}{2}\left(\frac{p}{m}\right)^{2}+mg\left(x^{1}+x^{2}% \right)-\frac{k_{1}}{2}\left(x^{1}-l_{1}\right)^{2}-\frac{k_{2}}{2}\left(x^{2}% -l_{2}\right)^{2}-\frac{p^{2}}{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E2.m1.4"><semantics id="S5.E2.m1.4a"><mrow id="S5.E2.m1.4.4" xref="S5.E2.m1.4.4.cmml"><mi id="S5.E2.m1.4.4.5" xref="S5.E2.m1.4.4.5.cmml"></mi><mo id="S5.E2.m1.4.4.4" xref="S5.E2.m1.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="S5.E2.m1.4.4.3" xref="S5.E2.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S5.E2.m1.2.2.1.1" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.2a" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S5.E2.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.1" xref="S5.E2.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E2.m1.1.1" xref="S5.E2.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.E2.m1.1.1a" xref="S5.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.E2.m1.1.1.2" xref="S5.E2.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="S5.E2.m1.1.1.3" xref="S5.E2.m1.1.1.3.cmml">m</mi></mfrac></mstyle><mo id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.2" xref="S5.E2.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E2.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.4" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.4.cmml">g</mi><mo id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E2.m1.4.4.3.4" xref="S5.E2.m1.4.4.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S5.E2.m1.3.3.2.2" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E2.m1.3.3.2.2.3" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mfrac id="S5.E2.m1.3.3.2.2.3a" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.cmml"><msub id="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.2" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.2.2" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.2.3" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mn id="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.3" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E2.m1.3.3.2.2.2" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.2" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mn id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.3" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.3" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E2.m1.4.4.3.4a" xref="S5.E2.m1.4.4.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S5.E2.m1.4.4.3.3" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E2.m1.4.4.3.3.3" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.cmml"><mfrac id="S5.E2.m1.4.4.3.3.3a" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.cmml"><msub id="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.2" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.2.cmml"><mi id="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.2.2" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.2.3" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mn id="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.3" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E2.m1.4.4.3.3.2" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.cmml"><mrow id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.2" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mn id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.3" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.3" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E2.m1.4.4.3.4b" xref="S5.E2.m1.4.4.3.4.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E2.m1.4.4.3.5" xref="S5.E2.m1.4.4.3.5.cmml"><mfrac id="S5.E2.m1.4.4.3.5a" xref="S5.E2.m1.4.4.3.5.cmml"><msup id="S5.E2.m1.4.4.3.5.2" xref="S5.E2.m1.4.4.3.5.2.cmml"><mi id="S5.E2.m1.4.4.3.5.2.2" xref="S5.E2.m1.4.4.3.5.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.E2.m1.4.4.3.5.2.3" xref="S5.E2.m1.4.4.3.5.2.3.cmml">2</mn></msup><mi id="S5.E2.m1.4.4.3.5.3" xref="S5.E2.m1.4.4.3.5.3.cmml">m</mi></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E2.m1.4b"><apply id="S5.E2.m1.4.4.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4"><eq id="S5.E2.m1.4.4.4.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.E2.m1.4.4.5.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.5">absent</csymbol><apply id="S5.E2.m1.4.4.3.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3"><minus id="S5.E2.m1.4.4.3.4.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.4"></minus><apply id="S5.E2.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1"><plus id="S5.E2.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.2"></plus><apply id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3"><times id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.2"><divide id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.2"></divide><ci id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.E2.m1.1.1.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.2"><divide id="S5.E2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.3.2.2"></divide><ci id="S5.E2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E2.m1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S5.E2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E2.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply><cn id="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1"><times id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.3">𝑚</ci><ci id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.4">𝑔</ci><apply id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E2.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E2.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2"><times id="S5.E2.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.2"></times><apply id="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.3"><divide id="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.3"></divide><apply id="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.2.3">1</cn></apply><cn id="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1"><minus id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E2.m1.3.3.2.2.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.E2.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3"><times id="S5.E2.m1.4.4.3.3.2.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.2"></times><apply id="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.3"><divide id="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.3"></divide><apply id="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.2.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.2.1.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.2.2.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.2.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1"><minus id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E2.m1.4.4.3.3.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.E2.m1.4.4.3.5.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.5"><divide id="S5.E2.m1.4.4.3.5.1.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.5"></divide><apply id="S5.E2.m1.4.4.3.5.2.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E2.m1.4.4.3.5.2.1.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.5.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E2.m1.4.4.3.5.2.2.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.5.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.E2.m1.4.4.3.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E2.m1.4.4.3.5.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.E2.m1.4.4.3.5.3.cmml" xref="S5.E2.m1.4.4.3.5.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E2.m1.4c">\displaystyle=\frac{m}{2}\left(\frac{p}{m}\right)^{2}+mg\left(x^{1}+x^{2}% \right)-\frac{k_{1}}{2}\left(x^{1}-l_{1}\right)^{2}-\frac{k_{2}}{2}\left(x^{2}% -l_{2}\right)^{2}-\frac{p^{2}}{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E2.m1.4d">= divide start_ARG italic_m end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( divide start_ARG italic_p end_ARG start_ARG italic_m end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m italic_g ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) - divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_l start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_l start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_m end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(5.3)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=mg\left(x^{1}+x^{2}\right)-\frac{k_{1}}{2}\left(x^{1}-l_{1}% \right)^{2}-\frac{k_{2}}{2}\left(x^{2}-l_{2}\right)^{2}-\frac{p^{2}}{2m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E3.m1.3"><semantics id="S5.E3.m1.3a"><mrow id="S5.E3.m1.3.3" xref="S5.E3.m1.3.3.cmml"><mi id="S5.E3.m1.3.3.5" xref="S5.E3.m1.3.3.5.cmml"></mi><mo id="S5.E3.m1.3.3.4" xref="S5.E3.m1.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="S5.E3.m1.3.3.3" xref="S5.E3.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S5.E3.m1.1.1.1.1" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E3.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="S5.E3.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E3.m1.1.1.1.1.4" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.4.cmml">g</mi><mo id="S5.E3.m1.1.1.1.1.2a" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.E3.m1.3.3.3.4" xref="S5.E3.m1.3.3.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S5.E3.m1.2.2.2.2" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E3.m1.2.2.2.2.3" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mfrac id="S5.E3.m1.2.2.2.2.3a" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.2.3" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mn id="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E3.m1.2.2.2.2.2" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mn id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E3.m1.3.3.3.4a" xref="S5.E3.m1.3.3.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S5.E3.m1.3.3.3.3" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E3.m1.3.3.3.3.3" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.cmml"><mfrac id="S5.E3.m1.3.3.3.3.3a" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.cmml"><msub id="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.2" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.2.2" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.2.3" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mn id="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S5.E3.m1.3.3.3.3.2" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.cmml"><mrow id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mn id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.3" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.E3.m1.3.3.3.4b" xref="S5.E3.m1.3.3.3.4.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.E3.m1.3.3.3.5" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.cmml"><mfrac id="S5.E3.m1.3.3.3.5a" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.cmml"><msup id="S5.E3.m1.3.3.3.5.2" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.2.cmml"><mi id="S5.E3.m1.3.3.3.5.2.2" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.E3.m1.3.3.3.5.2.3" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S5.E3.m1.3.3.3.5.3" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.3.cmml"><mn id="S5.E3.m1.3.3.3.5.3.2" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.E3.m1.3.3.3.5.3.1" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E3.m1.3.3.3.5.3.3" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.3.3.cmml">m</mi></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E3.m1.3b"><apply id="S5.E3.m1.3.3.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3"><eq id="S5.E3.m1.3.3.4.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.4"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.E3.m1.3.3.5.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.5">absent</csymbol><apply id="S5.E3.m1.3.3.3.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3"><minus id="S5.E3.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.4"></minus><apply id="S5.E3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1"><times id="S5.E3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.E3.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.3">𝑚</ci><ci id="S5.E3.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.4">𝑔</ci><apply id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.E3.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2"><times id="S5.E3.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.2"></times><apply id="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.3"><divide id="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.3"></divide><apply id="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.2.3">1</cn></apply><cn id="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1"><minus id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E3.m1.2.2.2.2.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.E3.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3"><times id="S5.E3.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.2"></times><apply id="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.3"><divide id="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.3"></divide><apply id="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1"><minus id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E3.m1.3.3.3.3.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.E3.m1.3.3.3.5.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5"><divide id="S5.E3.m1.3.3.3.5.1.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5"></divide><apply id="S5.E3.m1.3.3.3.5.2.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E3.m1.3.3.3.5.2.1.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E3.m1.3.3.3.5.2.2.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.E3.m1.3.3.3.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E3.m1.3.3.3.5.3.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.3"><times id="S5.E3.m1.3.3.3.5.3.1.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.3.1"></times><cn id="S5.E3.m1.3.3.3.5.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.3.2">2</cn><ci id="S5.E3.m1.3.3.3.5.3.3.cmml" xref="S5.E3.m1.3.3.3.5.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E3.m1.3c">\displaystyle=mg\left(x^{1}+x^{2}\right)-\frac{k_{1}}{2}\left(x^{1}-l_{1}% \right)^{2}-\frac{k_{2}}{2}\left(x^{2}-l_{2}\right)^{2}-\frac{p^{2}}{2m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E3.m1.3d">= italic_m italic_g ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) - divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_l start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_l start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_m end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(5.4)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=:-H_{0}\left(t,x,p\right)," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S5.E4.m1.3"><semantics id="S5.E4.m1.3a"><mrow id="S5.E4.m1.3b"><mo id="S5.E4.m1.1.1" rspace="0em">=</mo><mo id="S5.E4.m1.2.2" rspace="0em">:</mo><mo id="S5.E4.m1.3.3" lspace="0em">−</mo><msub id="S5.E4.m1.3.4"><mi id="S5.E4.m1.3.4.2">H</mi><mn id="S5.E4.m1.3.4.3">0</mn></msub><mrow id="S5.E4.m1.3.5"><mo id="S5.E4.m1.3.5.1">(</mo><mi id="S5.E4.m1.3.5.2">t</mi><mo id="S5.E4.m1.3.5.3">,</mo><mi id="S5.E4.m1.3.5.4">x</mi><mo id="S5.E4.m1.3.5.5">,</mo><mi id="S5.E4.m1.3.5.6">p</mi><mo id="S5.E4.m1.3.5.7">)</mo></mrow><mo id="S5.E4.m1.3.6">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E4.m1.3c">\displaystyle=:-H_{0}\left(t,x,p\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E4.m1.3d">= : - italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_x , italic_p ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.46">we obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Theta_{0}=-H_{0}\left(t,x,p\right)dt+p\left(dx^{1}+dx^{2}\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex20.m1.4"><semantics id="S5.Ex20.m1.4a"><mrow id="S5.Ex20.m1.4.4.1" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">Θ</mi><mn id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.2" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3a" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2.1" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex20.m1.1.1" xref="S5.Ex20.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex20.m1.2.2" xref="S5.Ex20.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex20.m1.3.3" xref="S5.Ex20.m1.3.3.cmml">p</mi><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2.4" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.1a" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.4" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.4.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.1b" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.5" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.5.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex20.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex20.m1.4b"><apply id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1"><eq id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3.2">Θ</ci><cn id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.3.3">0</cn></apply><apply id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1"><plus id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3"></minus><apply id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2"><times id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.2">𝐻</ci><cn id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.2.3">0</cn></apply><vector id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.3.2"><ci id="S5.Ex20.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S5.Ex20.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.2.2">𝑥</ci><ci id="S5.Ex20.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex20.m1.3.3">𝑝</ci></vector><ci id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.4">𝑑</ci><ci id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.5.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.3.2.5">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex20.m1.4c">\Theta_{0}=-H_{0}\left(t,x,p\right)dt+p\left(dx^{1}+dx^{2}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex20.m1.4d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = - italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_x , italic_p ) italic_d italic_t + italic_p ( italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.21">The Hamilton-Cartan equations on <math alttext="C_{0}=\left\{\left(t,x^{1},x^{2},p\right)\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.3.2.cmml">C</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">,</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.5" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">,</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.6" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.7" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.2"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.3.2">𝐶</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.3.3">0</cn></apply><set id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1"><vector id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.1.1">𝑡</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3.3.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.2.2">𝑝</ci></vector></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3c">C_{0}=\left\{\left(t,x^{1},x^{2},p\right)\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.21.m1.3d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = { ( italic_t , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p ) }</annotation></semantics></math> become</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx21"> <tbody id="S5.Ex21"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle dp-\frac{\partial H_{0}}{\partial x^{1}}dt=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex21.m1.1"><semantics id="S5.Ex21.m1.1a"><mrow id="S5.Ex21.m1.1.1" xref="S5.Ex21.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex21.m1.1.1.2" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex21.m1.1.1.2.2" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex21.m1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex21.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex21.m1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S5.Ex21.m1.1.1.2.1" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2a" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.1" rspace="0em" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.1.cmml">∂</mo><msub id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mrow id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.2.2" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.2.3" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.2.3.cmml">1</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.1" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.1a" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.4" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex21.m1.1.1.1" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex21.m1.1.1.3" xref="S5.Ex21.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex21.m1.1b"><apply id="S5.Ex21.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1"><eq id="S5.Ex21.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex21.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2"><minus id="S5.Ex21.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.1"></minus><apply id="S5.Ex21.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.2"><times id="S5.Ex21.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S5.Ex21.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex21.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3"><times id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2"><divide id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2"></divide><apply id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2"><partialdiff id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.2.2">𝐻</ci><cn id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.2.2.3">0</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3"><partialdiff id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.2.3.2.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S5.Ex21.m1.1.1.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex21.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex21.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex21.m1.1c">\displaystyle dp-\frac{\partial H_{0}}{\partial x^{1}}dt=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex21.m1.1d">italic_d italic_p - divide start_ARG ∂ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_d italic_t = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex22"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle dp-\frac{\partial H_{0}}{\partial x^{2}}dt=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex22.m1.1"><semantics id="S5.Ex22.m1.1a"><mrow id="S5.Ex22.m1.1.1" xref="S5.Ex22.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex22.m1.1.1.2" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex22.m1.1.1.2.2" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex22.m1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex22.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex22.m1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S5.Ex22.m1.1.1.2.1" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2a" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.1" rspace="0em" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.1.cmml">∂</mo><msub id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mrow id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.2.2" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.2.3" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.1" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.1a" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.4" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex22.m1.1.1.1" xref="S5.Ex22.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex22.m1.1.1.3" xref="S5.Ex22.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex22.m1.1b"><apply id="S5.Ex22.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1"><eq id="S5.Ex22.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex22.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2"><minus id="S5.Ex22.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.1"></minus><apply id="S5.Ex22.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.2"><times id="S5.Ex22.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S5.Ex22.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex22.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3"><times id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2"><divide id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2"></divide><apply id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2"><partialdiff id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.2.2">𝐻</ci><cn id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.2.2.3">0</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3"><partialdiff id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.2.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply><ci id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S5.Ex22.m1.1.1.2.3.4">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex22.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex22.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex22.m1.1c">\displaystyle dp-\frac{\partial H_{0}}{\partial x^{2}}dt=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex22.m1.1d">italic_d italic_p - divide start_ARG ∂ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_d italic_t = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex23"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(dx^{1}+dx^{2}\right)-\frac{\partial H_{0}}{\partial p}dt=0;" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex23.m1.1"><semantics id="S5.Ex23.m1.1a"><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" rspace="0em" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">∂</mo><msub id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mrow id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">p</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S5.Ex23.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex23.m1.1b"><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2"><partialdiff id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝐻</ci><cn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">0</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.3"><partialdiff id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></partialdiff><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑝</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex23.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex23.m1.1c">\displaystyle\left(dx^{1}+dx^{2}\right)-\frac{\partial H_{0}}{\partial p}dt=0;</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex23.m1.1d">( italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) - divide start_ARG ∂ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∂ italic_p end_ARG italic_d italic_t = 0 ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.47">using Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.E4" title="Equation 5.4 ‣ 5.3.1. A pair of hanging springs ‣ 5.3. Examples ‣ 5. Towards a constraint algorithm for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5.4</span></a>) it yields to</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx22"> <tbody id="S5.E5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(5.5)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle dp+\left[mg-k_{1}\left(x^{1}-l_{1}\right)\right]dt=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E5.m1.1"><semantics id="S5.E5.m1.1a"><mrow id="S5.E5.m1.1.1" xref="S5.E5.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E5.m1.1.1.1" xref="S5.E5.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E5.m1.1.1.1.3" xref="S5.E5.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E5.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.E5.m1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.E5.m1.1.1.1.3.1" xref="S5.E5.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E5.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.E5.m1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S5.E5.m1.1.1.1.2" xref="S5.E5.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.E5.m1.1.1.1.1" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">g</mi></mrow><mo id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mn id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.E5.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E5.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S5.E5.m1.1.1.1.1.2a" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E5.m1.1.1.1.1.4" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.E5.m1.1.1.2" xref="S5.E5.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S5.E5.m1.1.1.3" xref="S5.E5.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E5.m1.1b"><apply id="S5.E5.m1.1.1.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1"><eq id="S5.E5.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.2"></eq><apply id="S5.E5.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1"><plus id="S5.E5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.E5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.3"><times id="S5.E5.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.E5.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.E5.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S5.E5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1"><times id="S5.E5.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑔</ci></apply><apply id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S5.E5.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.3">𝑑</ci><ci id="S5.E5.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E5.m1.1.1.1.1.4">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S5.E5.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E5.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E5.m1.1c">\displaystyle dp+\left[mg-k_{1}\left(x^{1}-l_{1}\right)\right]dt=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E5.m1.1d">italic_d italic_p + [ italic_m italic_g - italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_l start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ] italic_d italic_t = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(5.6)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle dp+\left[mg-k_{2}\left(x^{2}-l_{2}\right)\right]dt=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E6.m1.1"><semantics id="S5.E6.m1.1a"><mrow id="S5.E6.m1.1.1" xref="S5.E6.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E6.m1.1.1.1" xref="S5.E6.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E6.m1.1.1.1.3" xref="S5.E6.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E6.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.E6.m1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.E6.m1.1.1.1.3.1" xref="S5.E6.m1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E6.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.E6.m1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S5.E6.m1.1.1.1.2" xref="S5.E6.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.E6.m1.1.1.1.1" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">g</mi></mrow><mo id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mn id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.E6.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E6.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S5.E6.m1.1.1.1.1.2a" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E6.m1.1.1.1.1.4" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.E6.m1.1.1.2" xref="S5.E6.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S5.E6.m1.1.1.3" xref="S5.E6.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E6.m1.1b"><apply id="S5.E6.m1.1.1.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1"><eq id="S5.E6.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.2"></eq><apply id="S5.E6.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1"><plus id="S5.E6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.E6.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.3"><times id="S5.E6.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.E6.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.E6.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S5.E6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1"><times id="S5.E6.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑔</ci></apply><apply id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S5.E6.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.3">𝑑</ci><ci id="S5.E6.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.E6.m1.1.1.1.1.4">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S5.E6.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E6.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E6.m1.1c">\displaystyle dp+\left[mg-k_{2}\left(x^{2}-l_{2}\right)\right]dt=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E6.m1.1d">italic_d italic_p + [ italic_m italic_g - italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_l start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ] italic_d italic_t = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.E7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(5.7)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(dx^{1}+dx^{2}\right)-\frac{p}{m}dt=0." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.E7.m1.1"><semantics id="S5.E7.m1.1a"><mrow id="S5.E7.m1.1.1.1" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E7.m1.1.1.1.1" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow><mo id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2a" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">m</mi></mfrac></mstyle><mo id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.E7.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S5.E7.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S5.E7.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E7.m1.1b"><apply id="S5.E7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1"><eq id="S5.E7.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><ci id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.1.3.4">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S5.E7.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.E7.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E7.m1.1c">\displaystyle\left(dx^{1}+dx^{2}\right)-\frac{p}{m}dt=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E7.m1.1d">( italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) - divide start_ARG italic_p end_ARG start_ARG italic_m end_ARG italic_d italic_t = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.24">Therefore, <math alttext="C_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1c">C_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.22.m1.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is not a final manifold for <math alttext="\Theta_{h}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1.1.3.cmml">h</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1.1.2">Θ</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1.1.3">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1c">\Theta_{h}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.23.m2.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, because any solution should live in the submanifold <math alttext="C_{1}\subset C_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.2.2.cmml">C</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.1.cmml">⊂</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.3.2.cmml">C</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1"><subset id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.1"></subset><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.2.2">𝐶</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.3.2">𝐶</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1c">C_{1}\subset C_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.24.m3.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ⊂ italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> given by the equation</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="k_{1}\left(x^{1}-l_{1}\right)-k_{2}\left(x^{2}-l_{2}\right)=0" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex24.m1.2"><semantics id="S5.Ex24.m1.2a"><mrow id="S5.Ex24.m1.2.2" xref="S5.Ex24.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex24.m1.2.2.2" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mn id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex24.m1.2.2.2.3" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mn id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex24.m1.2.2.3" xref="S5.Ex24.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex24.m1.2.2.4" xref="S5.Ex24.m1.2.2.4.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex24.m1.2b"><apply id="S5.Ex24.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2"><eq id="S5.Ex24.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.3"></eq><apply id="S5.Ex24.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2"><minus id="S5.Ex24.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.3"></minus><apply id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex24.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2"><times id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.2"></times><apply id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1"><minus id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex24.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><cn id="S5.Ex24.m1.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S5.Ex24.m1.2.2.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex24.m1.2c">k_{1}\left(x^{1}-l_{1}\right)-k_{2}\left(x^{2}-l_{2}\right)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex24.m1.2d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_l start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_l start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.48">obtained from the subtraction of the second to the first equation. Given that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\dot{x}^{2}=\frac{p}{m}-\dot{x}^{1}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex25.m1.1"><semantics id="S5.Ex25.m1.1a"><mrow id="S5.Ex25.m1.1.1.1" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">m</mi></mfrac><mo id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><msup id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex25.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex25.m1.1b"><apply id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.2"></divide><ci id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex25.m1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex25.m1.1c">\dot{x}^{2}=\frac{p}{m}-\dot{x}^{1},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex25.m1.1d">over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG italic_p end_ARG start_ARG italic_m end_ARG - over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.26">it results that <math alttext="TP_{0}=U_{0}^{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.3.2.cmml">P</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.2">𝑇</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.3.2">𝑃</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.2">𝑈</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1c">TP_{0}=U_{0}^{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.25.m1.1d">italic_T italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathop{\text{ker}}{Tp_{L}}=W_{0}^{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.cmml"><mtext id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.1a.cmml">ker</mtext><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.3.3.cmml">L</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.cmml">=</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.3.cmml">0</mn><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.3.cmml">0</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.1a.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.1"><mtext id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.1">ker</mtext></ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.2">𝑇</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.2.2.3.3">𝐿</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.2">𝑊</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.2.3">0</cn></apply><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1c">\mathop{\text{ker}}{Tp_{L}}=W_{0}^{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.26.m2.1d">ker italic_T italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT = italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx23"> <tbody id="S5.Ex26"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle U_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex26.m1.1"><semantics id="S5.Ex26.m1.1a"><msub id="S5.Ex26.m1.1.1" xref="S5.Ex26.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex26.m1.1.1.2" xref="S5.Ex26.m1.1.1.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex26.m1.1.1.3" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex26.m1.1b"><apply id="S5.Ex26.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex26.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex26.m1.1.1.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex26.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex26.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex26.m1.1c">\displaystyle U_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex26.m1.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left<d\dot{x}^{2}-\frac{1}{m}dp+d\dot{x}^{1},dp_{1}-dp_{2}\right>" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex26.m2.2"><semantics id="S5.Ex26.m2.2a"><mrow id="S5.Ex26.m2.2.2" xref="S5.Ex26.m2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex26.m2.2.2.4" xref="S5.Ex26.m2.2.2.4.cmml"></mi><mo id="S5.Ex26.m2.2.2.3" xref="S5.Ex26.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.2a" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">m</mi></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.1a" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.4" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml">p</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.4" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.5" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex26.m2.2b"><apply id="S5.Ex26.m2.2.2.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2"><eq id="S5.Ex26.m2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex26.m2.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.4">absent</csymbol><list id="S5.Ex26.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2"><apply id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2"><minus id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2"><ci id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.2"><divide id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.2"></divide><cn id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.2">1</cn><ci id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.2.3.4">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex26.m2.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2"><minus id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.1"></minus><apply id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2"><times id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex26.m2.2.2.2.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex26.m2.2c">\displaystyle=\left<d\dot{x}^{2}-\frac{1}{m}dp+d\dot{x}^{1},dp_{1}-dp_{2}\right></annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex26.m2.2d">= ⟨ italic_d over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_m end_ARG italic_d italic_p + italic_d over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d italic_p start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_d italic_p start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex27"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle W_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex27.m1.1"><semantics id="S5.Ex27.m1.1a"><msub id="S5.Ex27.m1.1.1" xref="S5.Ex27.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex27.m1.1.1.2" xref="S5.Ex27.m1.1.1.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex27.m1.1.1.3" xref="S5.Ex27.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex27.m1.1b"><apply id="S5.Ex27.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex27.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex27.m1.1.1.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex27.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex27.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex27.m1.1c">\displaystyle W_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex27.m1.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left<dx^{1},dx^{2},dp_{1},dp_{2}\right>." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex27.m2.1"><semantics id="S5.Ex27.m2.1a"><mrow id="S5.Ex27.m2.1.1.1" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.6" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.6.cmml"></mi><mo id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.5.cmml"><mo id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.5" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.5.cmml">⟨</mo><mrow id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.6" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.7" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.8" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.2" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.1" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.3" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.3.2" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.3.3" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.9" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.5.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex27.m2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex27.m2.1b"><apply id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1"><eq id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.5"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.6">absent</csymbol><list id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4"><apply id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4"><times id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.1"></times><ci id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex27.m2.1.1.1.1.4.4.4.3.3">2</cn></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex27.m2.1c">\displaystyle=\left<dx^{1},dx^{2},dp_{1},dp_{2}\right>.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex27.m2.1d">= ⟨ italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d italic_p start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_d italic_p start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.49">Then, because</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex28"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="U_{0}+W_{0}=\left<dx^{1},dx^{2},dp_{1},dp_{2},d\dot{x}^{2}-\frac{1}{m}dp+d\dot% {x}^{1}\right>," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex28.m1.1"><semantics id="S5.Ex28.m1.1a"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.cmml"><msub id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.2.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.1.cmml">+</mo><msub id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.3.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.6" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.6.cmml"><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.6" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.6.cmml">⟨</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.7" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.8" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.9" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.10" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.cmml"><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.2.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.cmml"><mfrac id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.2.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.2.3.cmml">m</mi></mfrac><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.1a" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.4" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.4.cmml">p</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.2.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.2.1" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.3" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.11" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.6.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex28.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex28.m1.1b"><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.6"></eq><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7"><plus id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.1"></plus><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.2.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.2.3">0</cn></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.3.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.7.3.3">0</cn></apply></apply><list id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.6.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5"><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4"><times id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.1"></times><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.4.4.4.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5"><plus id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.1"></plus><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2"><minus id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.1"></minus><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2"><times id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.1"></times><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.2"><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3"><times id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.2"><divide id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.2"></divide><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.2.2">1</cn><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.4.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.3.4">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3"><times id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.1"></times><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.2"><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex28.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex28.m1.1c">U_{0}+W_{0}=\left<dx^{1},dx^{2},dp_{1},dp_{2},d\dot{x}^{2}-\frac{1}{m}dp+d\dot% {x}^{1}\right>,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex28.m1.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = ⟨ italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d italic_p start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_d italic_p start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_d over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_m end_ARG italic_d italic_p + italic_d over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.50">we have that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex29"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="TP_{0}\cap\mathop{\text{ker}}{Tp_{L}}=\left(U_{0}+W_{0}\right)^{0}=\left<dx^{1% },dx^{2},dp_{1},dp_{2},d\dot{x}^{2}-\frac{1}{m}dp+d\dot{x}^{1}\right>^{0}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex29.m1.1"><semantics id="S5.Ex29.m1.1a"><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.cmml"><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.3.2.cmml">P</mi><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.1.cmml">∩</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.cmml"><mtext id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.1a.cmml">ker</mtext><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.3.2.cmml">p</mi><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.3.3.cmml">L</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.9" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.9.cmml">=</mo><msup id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msup><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.10" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.10.cmml">=</mo><msup id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.6.cmml"><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.6" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.6.cmml">⟨</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.7" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.8" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.9" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.10" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.6.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.cmml"><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.cmml"><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.2.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.cmml"><mfrac id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.2.cmml"><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.2.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.2.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.2.3.cmml">m</mi></mfrac><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.1a" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.4" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.4.cmml">p</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.2.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.2.1" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.3" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.11" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.6.cmml">⟩</mo></mrow><mn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.7" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.7.cmml">0</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex29.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex29.m1.1b"><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1"><and id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1"></and><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.9.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.9"></eq><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8"><intersect id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.1"></intersect><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2"><times id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.1"></times><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.2">𝑇</ci><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.3.2">𝑃</ci><cn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.2.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3"><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.1a.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.1"><mtext id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.1">ker</mtext></ci><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2"><times id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.1"></times><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.8.3.2.3.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply><cn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.10.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.10"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.Ex29.m1.1.1.1.1.1.cmml" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1"></share><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.6.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><list id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.6.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5"><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><times id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2"><times id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1"></times><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3"><times id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.1"></times><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4"><times id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.1"></times><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.5.4.4.4.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5"><plus id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.1"></plus><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2"><minus id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.1"></minus><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2"><times id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.1"></times><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.2"><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3"><times id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.2"><divide id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.2"></divide><cn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.2.2">1</cn><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.4.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.2.3.4">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3"><times id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.1"></times><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.2"><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.5.5.5.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></list><cn id="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.7.cmml" type="integer" xref="S5.Ex29.m1.1.1.1.1.6.7">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex29.m1.1c">TP_{0}\cap\mathop{\text{ker}}{Tp_{L}}=\left(U_{0}+W_{0}\right)^{0}=\left<dx^{1% },dx^{2},dp_{1},dp_{2},d\dot{x}^{2}-\frac{1}{m}dp+d\dot{x}^{1}\right>^{0},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex29.m1.1d">italic_T italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∩ ker italic_T italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT = ⟨ italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d italic_p start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_d italic_p start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_d over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_m end_ARG italic_d italic_p + italic_d over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.28">and so the complement <math alttext="V_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1.1.2.cmml">V</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1.1.2">𝑉</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1c">V_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.27.m1.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> should have dimension <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m2.1a"><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m2.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m2.1b"><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.28.m2.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m2.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.28.m2.1d">1</annotation></semantics></math>. Using as complement the subbundle</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex30"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="V_{0}:=\left<\frac{\partial}{\partial p_{1}}\right>," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex30.m1.2"><semantics id="S5.Ex30.m1.2a"><mrow id="S5.Ex30.m1.2.2.1" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">V</mi><mn id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">⟨</mo><mfrac id="S5.Ex30.m1.1.1" xref="S5.Ex30.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex30.m1.1.1.2" xref="S5.Ex30.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S5.Ex30.m1.1.1.3" xref="S5.Ex30.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex30.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex30.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S5.Ex30.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex30.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex30.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex30.m1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex30.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex30.m1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mfrac><mo id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex30.m1.2.2.1.2" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex30.m1.2b"><apply id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2.2">𝑉</ci><cn id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.2.2.1.1.3.2.1">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S5.Ex30.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1"><divide id="S5.Ex30.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1"></divide><partialdiff id="S5.Ex30.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S5.Ex30.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1.3"><partialdiff id="S5.Ex30.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex30.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex30.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex30.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex30.m1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex30.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex30.m1.1.1.3.2.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex30.m1.2c">V_{0}:=\left<\frac{\partial}{\partial p_{1}}\right>,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex30.m1.2d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT := ⟨ divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_p start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.30">we obtain that the lifting <math alttext="\widehat{\psi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1a"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1.1"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1.1.1">^</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1.1.2">𝜓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1c">\widehat{\psi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.29.m1.1d">over^ start_ARG italic_ψ end_ARG</annotation></semantics></math> for any solution <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m2.1a"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m2.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m2.1b"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.30.m2.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m2.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.30.m2.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> of the Hamilton equations should annihilate the form</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex31"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\alpha_{0}:=dx^{1}-\dot{x}^{1}dt." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex31.m1.1"><semantics id="S5.Ex31.m1.1a"><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">α</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex31.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex31.m1.1b"><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2.2">𝛼</ci><cn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.2"><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S5.Ex31.m1.1.1.1.1.3.3.4">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex31.m1.1c">\alpha_{0}:=dx^{1}-\dot{x}^{1}dt.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex31.m1.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT := italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT - over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.33">It means that if <math alttext="\psi\left(t\right)=\left(t,x^{1}\left(t\right),x^{2}\left(t\right),p\left(t% \right)\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.4.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.4.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.4.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.5.5" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.5" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.6" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.7" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3.2.cmml">p</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.4.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.8" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.4"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.5.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.1.1">𝑡</ci></apply><vector id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.5.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.5.5">𝑡</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.6.6.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.7.7.2.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8.8.3.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.4.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.4.4">𝑡</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8c">\psi\left(t\right)=\left(t,x^{1}\left(t\right),x^{2}\left(t\right),p\left(t% \right)\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.31.m1.8d">italic_ψ ( italic_t ) = ( italic_t , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) , italic_p ( italic_t ) )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\widehat{\psi}\left(t\right)=\left(t,x^{1}\left(t\right),x^{2}\left(t\right),% \dot{x}^{1}\left(t\right),p\left(t\right)\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.5" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.5.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.5.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.5" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.5.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.6.6" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.6.6.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.6" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.2.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.7" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.3.3.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.8" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.4.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.4.4.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.9" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4.2.cmml">p</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.5.5" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.10" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.5"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.2.1">^</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.6.2.2">𝜓</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.1.1">𝑡</ci></apply><vector id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.6.6.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.6.6">𝑡</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.7.7.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.8.8.2.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.9.9.3.3.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.4.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.4.4">𝑡</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10.10.4.4.4.2">𝑝</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.5.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.5.5">𝑡</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10c">\widehat{\psi}\left(t\right)=\left(t,x^{1}\left(t\right),x^{2}\left(t\right),% \dot{x}^{1}\left(t\right),p\left(t\right)\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.32.m2.10d">over^ start_ARG italic_ψ end_ARG ( italic_t ) = ( italic_t , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) , italic_p ( italic_t ) )</annotation></semantics></math>, then the function <math alttext="\dot{x}^{1}=\dot{x}^{1}\left(t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2"><eq id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.2.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1.1">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1c">\dot{x}^{1}=\dot{x}^{1}\left(t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.33.m3.1d">over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT = over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> is determined by the formula</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(5.8)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\dot{x}^{1}\left(t\right)=\frac{\text{d}x^{1}}{\text{d}t}\left(t\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S5.E8.m1.3"><semantics id="S5.E8.m1.3a"><mrow id="S5.E8.m1.3.3.1" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.E8.m1.3.3.1.1" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msup id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.2.1" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.3.2.1" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.E8.m1.1.1" xref="S5.E8.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.3.2.2" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.E8.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mfrac id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mtext id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.2a.cmml">d</mtext><mo id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.1" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow><mrow id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mtext id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3.2a.cmml">d</mtext><mo id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3.1" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3.3" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mfrac><mo id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S5.E8.m1.2.2" xref="S5.E8.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E8.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E8.m1.3b"><apply id="S5.E8.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1"><eq id="S5.E8.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2"><times id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.2"><ci id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.E8.m1.1.1.cmml" xref="S5.E8.m1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3"><times id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2"><divide id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2"></divide><apply id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2"><times id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.2a.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.2"><mtext id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.2">d</mtext></ci><apply id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3"><times id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3.2a.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3.2"><mtext id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3.2">d</mtext></ci><ci id="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.E8.m1.3.3.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S5.E8.m1.2.2.cmml" xref="S5.E8.m1.2.2">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E8.m1.3c">\dot{x}^{1}\left(t\right)=\frac{\text{d}x^{1}}{\text{d}t}\left(t\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E8.m1.3d">over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) = divide start_ARG d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG d italic_t end_ARG ( italic_t ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.35">Next, and according to the algorithm described in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.SS2" title="5.2. The constraint algorithm for general variational problems ‣ 5. Towards a constraint algorithm for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5.2</span></a>, we must define <math alttext="P_{1}:=\left(p_{L}^{\ddagger}\right)^{-1}\left(C_{1}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.4.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.4.2.cmml">P</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.4.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.3.cmml">:=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">L</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">‡</mo></msubsup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.3a" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.3">assign</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.4.2">𝑃</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.4.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.3"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐿</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">‡</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2.2.2.2.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2c">P_{1}:=\left(p_{L}^{\ddagger}\right)^{-1}\left(C_{1}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.34.m1.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT := ( italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, and consider the Hamilton equations on <math alttext="C_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1c">C_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.35.m2.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>; we obtain</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx24"> <tbody id="S5.Ex32"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Theta_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex32.m1.1"><semantics id="S5.Ex32.m1.1a"><msub id="S5.Ex32.m1.1.1" xref="S5.Ex32.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex32.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex32.m1.1.1.2.cmml">Θ</mi><mn id="S5.Ex32.m1.1.1.3" xref="S5.Ex32.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex32.m1.1b"><apply id="S5.Ex32.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m1.1.1.2">Θ</ci><cn id="S5.Ex32.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex32.m1.1c">\displaystyle\Theta_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex32.m1.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle:=i_{1}^{*}\Theta_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex32.m2.1"><semantics id="S5.Ex32.m2.1a"><mrow id="S5.Ex32.m2.1.1" xref="S5.Ex32.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.1.1.2" xref="S5.Ex32.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex32.m2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S5.Ex32.m2.1.1.3" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.cmml"><msubsup id="S5.Ex32.m2.1.1.3.2" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.2.2.cmml">i</mi><mn id="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S5.Ex32.m2.1.1.3.1" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex32.m2.1.1.3.3" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex32.m2.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.3.2.cmml">Θ</mi><mn id="S5.Ex32.m2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex32.m2.1b"><apply id="S5.Ex32.m2.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex32.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.1">assign</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex32.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex32.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3"><times id="S5.Ex32.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.2.2">𝑖</ci><cn id="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.2.3">1</cn></apply><times id="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.2.3"></times></apply><apply id="S5.Ex32.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex32.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex32.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.3.2">Θ</ci><cn id="S5.Ex32.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex32.m2.1.1.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex32.m2.1c">\displaystyle:=i_{1}^{*}\Theta_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex32.m2.1d">:= italic_i start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex33"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=-H_{1}\left(t,x_{1},p\right)dt+\frac{\left(k_{1}+k_{2}\right)p}{% k_{2}}dx^{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex33.m1.4"><semantics id="S5.Ex33.m1.4a"><mrow id="S5.Ex33.m1.4.4" xref="S5.Ex33.m1.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.4.4.3" xref="S5.Ex33.m1.4.4.3.cmml"></mi><mo id="S5.Ex33.m1.4.4.2" xref="S5.Ex33.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.4.4.1" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1a" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">H</mi><mn id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex33.m1.2.2" xref="S5.Ex33.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex33.m1.3.3" xref="S5.Ex33.m1.3.3.cmml">p</mi><mo id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.4" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.2b" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.5" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.5.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.4.4.1.2" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.4.4.1.3" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex33.m1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex33.m1.1.1a" xref="S5.Ex33.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex33.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><msub id="S5.Ex33.m1.1.1.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex33.m1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex33.m1.1.1.3.3" xref="S5.Ex33.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.1" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.2" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.1a" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.3" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.3.2" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.3.3" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex33.m1.4b"><apply id="S5.Ex33.m1.4.4.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4"><eq id="S5.Ex33.m1.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex33.m1.4.4.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.3">absent</csymbol><apply id="S5.Ex33.m1.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1"><plus id="S5.Ex33.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.2"></plus><apply id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1"><minus id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1"></minus><apply id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1"><times id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.3.2">𝐻</ci><cn id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.3.3">1</cn></apply><vector id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1"><ci id="S5.Ex33.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.2.2">𝑡</ci><apply id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S5.Ex33.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.3.3">𝑝</ci></vector><ci id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.4">𝑑</ci><ci id="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.1.1.5">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.3"><times id="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1"><divide id="S5.Ex33.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1"></divide><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1"><times id="S5.Ex33.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S5.Ex33.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex33.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex33.m1.4.4.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex33.m1.4c">\displaystyle=-H_{1}\left(t,x_{1},p\right)dt+\frac{\left(k_{1}+k_{2}\right)p}{% k_{2}}dx^{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex33.m1.4d">= - italic_H start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_p ) italic_d italic_t + divide start_ARG ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_p end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.51">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex34"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="H_{1}\left(t,x_{1},p\right)=-\frac{mg}{k_{2}}\left[\left(k_{1}+k_{2}\right)x_{% 1}+l_{2}k_{2}-k_{1}l_{1}\right]+\frac{k_{1}\left(k_{1}+k_{2}\right)}{2k_{2}}% \left(x^{1}-l_{1}\right)^{2}+\frac{p^{2}}{2m}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex34.m1.4"><semantics id="S5.Ex34.m1.4a"><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">H</mi><mn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex34.m1.2.2" xref="S5.Ex34.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex34.m1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.3.3.cmml">p</mi><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.4" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1a" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">g</mi></mrow><msub id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mfrac><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">l</mi><mn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex34.m1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex34.m1.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S5.Ex34.m1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex34.m1.1.1.3.1" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mfrac><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml"><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.3a" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">+</mo><mfrac id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.cmml"><msup id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.2.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.2.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.3.cmml"><mn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.3.2" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.3.1" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.3.3" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.3.3.cmml">m</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S5.Ex34.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex34.m1.4b"><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1"><eq id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.4"></eq><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1"><times id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.3.2">𝐻</ci><cn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.3.3">1</cn></apply><vector id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1"><ci id="S5.Ex34.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.2.2">𝑡</ci><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S5.Ex34.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.3.3">𝑝</ci></vector></apply><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3"><plus id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.3"></plus><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1"><minus id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1"></minus><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1"><times id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3"><divide id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3"></divide><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2"><times id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.2">𝑚</ci><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.3">𝑔</ci></apply><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑙</ci><cn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2"><times id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.2"></times><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1"><divide id="S5.Ex34.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1"></divide><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1"><times id="S5.Ex34.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3"><times id="S5.Ex34.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S5.Ex34.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.2">2</cn><apply id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1"><minus id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.2.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4"><divide id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4"></divide><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.3"><times id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.3.1"></times><cn id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.3.2">2</cn><ci id="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex34.m1.4.4.1.1.3.4.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex34.m1.4c">H_{1}\left(t,x_{1},p\right)=-\frac{mg}{k_{2}}\left[\left(k_{1}+k_{2}\right)x_{% 1}+l_{2}k_{2}-k_{1}l_{1}\right]+\frac{k_{1}\left(k_{1}+k_{2}\right)}{2k_{2}}% \left(x^{1}-l_{1}\right)^{2}+\frac{p^{2}}{2m}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex34.m1.4d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_p ) = - divide start_ARG italic_m italic_g end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG [ ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_l start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT - italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_l start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ] + divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG start_ARG 2 italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_l start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_m end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.37">It is nothing but the Hamiltonian given by Equation <math alttext="\left(15\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m1.1.2.2"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m1.1.2.2.1">(</mo><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m1.1.1.cmml">15</mn><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m1.1.2.2.2">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m1.1b"><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.36.m1.1.1">15</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m1.1c">\left(15\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.36.m1.1d">( 15 )</annotation></semantics></math> in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<span class="ltx_ref ltx_missing_citation ltx_ref_self">brown2023singular</span>]</cite>. The Hamilton equations on <math alttext="C_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1c">C_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.37.m2.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> become</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex35"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="-\left[\frac{mg\left(k_{1}+k_{2}\right)}{k_{2}}-\frac{k_{1}\left(k_{1}+k_{2}% \right)}{2k_{2}}\left(x^{1}-l_{1}\right)\right]dt+\frac{k_{1}+k_{2}}{k_{2}}dp=0" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex35.m1.3"><semantics id="S5.Ex35.m1.3a"><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex35.m1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.1.1.1.4" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.4.cmml">g</mi><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.2a" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msub id="S5.Ex35.m1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex35.m1.1.1.3.3" xref="S5.Ex35.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mfrac><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex35.m1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.2.2.1" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.cmml"><msub id="S5.Ex35.m1.2.2.1.3" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.2.2.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex35.m1.2.2.1.3.3" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex35.m1.2.2.1.2" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S5.Ex35.m1.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.2.2.3.cmml"><mn id="S5.Ex35.m1.2.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S5.Ex35.m1.2.2.3.1" xref="S5.Ex35.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex35.m1.2.2.3.3" xref="S5.Ex35.m1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex35.m1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex35.m1.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex35.m1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mfrac><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">l</mi><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.2a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.4" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.cmml"><mfrac id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.1.cmml">+</mo><msub id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><msub id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mfrac><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.1" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.1a" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.4" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.4.cmml">p</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex35.m1.3.3.2" xref="S5.Ex35.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex35.m1.3.3.3" xref="S5.Ex35.m1.3.3.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex35.m1.3b"><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3"><eq id="S5.Ex35.m1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.2"></eq><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1"><plus id="S5.Ex35.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.2"></plus><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1"><minus id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1"></minus><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1"><times id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1"><divide id="S5.Ex35.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1"></divide><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1"><times id="S5.Ex35.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.Ex35.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.3">𝑚</ci><ci id="S5.Ex35.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.4">𝑔</ci><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex35.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex35.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2"><divide id="S5.Ex35.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2"></divide><apply id="S5.Ex35.m1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1"><times id="S5.Ex35.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S5.Ex35.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex35.m1.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1"><plus id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.3"><times id="S5.Ex35.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.3.1"></times><cn id="S5.Ex35.m1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.2.2.3.2">2</cn><apply id="S5.Ex35.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.2.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex35.m1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.1.1.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3"><times id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2"><divide id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2"></divide><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2"><plus id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.1"></plus><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex35.m1.3.3.1.3.4">𝑝</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex35.m1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex35.m1.3.3.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex35.m1.3c">-\left[\frac{mg\left(k_{1}+k_{2}\right)}{k_{2}}-\frac{k_{1}\left(k_{1}+k_{2}% \right)}{2k_{2}}\left(x^{1}-l_{1}\right)\right]dt+\frac{k_{1}+k_{2}}{k_{2}}dp=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex35.m1.3d">- [ divide start_ARG italic_m italic_g ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG - divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG start_ARG 2 italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_l start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ] italic_d italic_t + divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_d italic_p = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.38">by contracting with <math alttext="\partial/\partial x^{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.2" rspace="0em" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.1.cmml">/</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1"><divide id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.1"></divide><partialdiff id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3"><partialdiff id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1.1.3.2.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1c">\partial/\partial x^{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.38.m1.1d">∂ / ∂ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex36"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{p}{m}dt-\frac{k_{1}+k_{2}}{k_{2}}dx^{1}=0" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex36.m1.1"><semantics id="S5.Ex36.m1.1a"><mrow id="S5.Ex36.m1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex36.m1.1.1.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex36.m1.1.1.2.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.2.3.cmml">m</mi></mfrac><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.1a" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.4" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.2.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.cmml"><mfrac id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.1.cmml">+</mo><msub id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><msub id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mfrac><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.1a" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.4" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.4.2" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.4.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.4.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.4.3.cmml">1</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex36.m1.1.1.1" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex36.m1.1.1.3" xref="S5.Ex36.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex36.m1.1b"><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1"><eq id="S5.Ex36.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2"><minus id="S5.Ex36.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.1"></minus><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.2"><times id="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.2"><divide id="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.2"></divide><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.2.4">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3"><times id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2"><divide id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2"></divide><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2"><plus id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.1"></plus><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.3">𝑑</ci><apply id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.4.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.1.1.2.3.4.3">1</cn></apply></apply></apply><cn id="S5.Ex36.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex36.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex36.m1.1c">\frac{p}{m}dt-\frac{k_{1}+k_{2}}{k_{2}}dx^{1}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex36.m1.1d">divide start_ARG italic_p end_ARG start_ARG italic_m end_ARG italic_d italic_t - divide start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p1.41">when contracting with <math alttext="\partial/\partial p" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.2" rspace="0em" xref="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.1.cmml">/</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.3.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.3.2.cmml">p</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1"><divide id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.1"></divide><partialdiff id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.3"><partialdiff id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.3.1"></partialdiff><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1.1.3.2">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1c">\partial/\partial p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.39.m1.1d">∂ / ∂ italic_p</annotation></semantics></math>; because no restriction is necessary to find solutions to these equations, we can conclude that <math alttext="C_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1c">C_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.40.m2.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a final submanifold for <math alttext="\Omega_{h}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1.1.2.cmml">Ω</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1.1.3.cmml">h</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1.1.2">Ω</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1.1.3">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1c">\Omega_{h}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p1.41.m3.1d">roman_Ω start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS3.SSS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p2.4">Now, it is necessary to prove that for every solution <math alttext="\psi\left(t\right)=\left(t,x^{1}\left(t\right),p\left(t\right)\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.3.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.4.4" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.4" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.5" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.6" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6"><eq id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.3"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.4.2">𝜓</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply><vector id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.4.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.4.4">𝑡</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.5.5.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6.6.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.3.3">𝑡</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6c">\psi\left(t\right)=\left(t,x^{1}\left(t\right),p\left(t\right)\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.1.m1.6d">italic_ψ ( italic_t ) = ( italic_t , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) , italic_p ( italic_t ) )</annotation></semantics></math> of the above equations we can construct a section <math alttext="\widehat{\psi}\left(t\right)=\left(t,x^{1}\left(t\right),\dot{x}^{1}\left(t% \right),p\left(t\right)\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.4" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.4.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.4.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.4" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.4.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.5.5" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.5.5.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.5" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.2.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.6" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.3.3.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.7" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2.cmml">p</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.4.4" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.4.4.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.8" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8"><eq id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.4"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.2.1">^</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.5.2.2">𝜓</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.1.1">𝑡</ci></apply><vector id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.5.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.5.5">𝑡</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.6.6.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.2.2">𝑡</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.1">˙</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.7.7.2.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8.8.3.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.4.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.4.4">𝑡</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8c">\widehat{\psi}\left(t\right)=\left(t,x^{1}\left(t\right),\dot{x}^{1}\left(t% \right),p\left(t\right)\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.2.m2.8d">over^ start_ARG italic_ψ end_ARG ( italic_t ) = ( italic_t , italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) , over˙ start_ARG italic_x end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) , italic_p ( italic_t ) )</annotation></semantics></math> of <math alttext="P_{1}\to\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">P</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.1" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.1">→</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.2">𝑃</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.3">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1c">P_{1}\to\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.3.m3.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT → blackboard_R</annotation></semantics></math> covering <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1a"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1b"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.4.m4.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math>, and such that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex37"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{\psi}^{*}\left(Z\lrcorner d\Theta_{L}\right)=0,\qquad Z\in V_{1}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex37.m1.2"><semantics id="S5.Ex37.m1.2a"><mrow id="S5.Ex37.m1.2.2.2" xref="S5.Ex37.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Z</mi><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">Θ</mi><mi id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">L</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S5.Ex37.m1.2.2.2.3" rspace="2.167em" xref="S5.Ex37.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex37.m1.2.2.2.2" xref="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.2.cmml">Z</mi><mo id="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><msub id="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">V</mi><mn id="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex37.m1.2b"><apply id="S5.Ex37.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.2.2.3a.cmml" xref="S5.Ex37.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1"><eq id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜓</ci></apply><times id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><apply id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2">Θ</ci><ci id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3">𝐿</ci></apply></apply></apply><cn id="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.2.2.2.2"><in id="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.1"></in><ci id="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.2">𝑍</ci><apply id="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.3.2">𝑉</ci><cn id="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex37.m1.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex37.m1.2c">\widehat{\psi}^{*}\left(Z\lrcorner d\Theta_{L}\right)=0,\qquad Z\in V_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex37.m1.2d">over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Z ⌟ italic_d roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT ) = 0 , italic_Z ∈ italic_V start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p2.7">for <math alttext="V_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1.1.2.cmml">V</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1.1.2">𝑉</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1c">V_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.5.m1.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> a complement of <math alttext="TP_{1}+\mathop{\text{ker}}{Tp_{L}^{\ddagger}}\subset T_{P_{1}}\left(W_{L}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.2.cmml">T</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3.2.cmml">P</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.cmml"><mtext id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.1a.cmml">ker</mtext><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">T</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml">p</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml">L</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.3.cmml">‡</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.2.cmml">⊂</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3.2.cmml">P</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">L</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1"><subset id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.2"></subset><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3"><plus id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3.2">𝑃</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.1a.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.1"><mtext id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.1">ker</mtext></ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.2.3">𝐿</ci></apply><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.3.3.2.3.3">‡</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.2">𝑇</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3.2">𝑃</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1c">TP_{1}+\mathop{\text{ker}}{Tp_{L}^{\ddagger}}\subset T_{P_{1}}\left(W_{L}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.6.m2.1d">italic_T italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + ker italic_T italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT ⊂ italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Because <math alttext="TP_{1}=U_{1}^{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.3.2.cmml">P</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msubsup id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.3.cmml">0</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.2">𝑇</ci><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.3.2">𝑃</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.2.2">𝑈</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.2.3">1</cn></apply><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1c">TP_{1}=U_{1}^{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.7.m3.1d">italic_T italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_U start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex38"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="U_{1}=U_{0}+\left<k_{1}dx^{1}-k_{2}dx^{2}\right>," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex38.m1.1"><semantics id="S5.Ex38.m1.1a"><mrow id="S5.Ex38.m1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">1</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">k</mi><mn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">x</mi><mn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex38.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex38.m1.1b"><apply id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply><apply id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-⟨⟩</csymbol><apply id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑑</ci><apply id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑘</ci><cn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑑</ci><apply id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝑥</ci><cn id="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex38.m1.1c">U_{1}=U_{0}+\left<k_{1}dx^{1}-k_{2}dx^{2}\right>,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex38.m1.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + ⟨ italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_k start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p2.13">it results that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex39"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="U_{1}+W_{0}=U_{0}+W_{0}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex39.m1.1"><semantics id="S5.Ex39.m1.1a"><mrow id="S5.Ex39.m1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">U</mi><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">W</mi><mn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex39.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex39.m1.1b"><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑈</ci><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><apply id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑊</ci><cn id="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex39.m1.1.1.1.1.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex39.m1.1c">U_{1}+W_{0}=U_{0}+W_{0},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex39.m1.1d">italic_U start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = italic_U start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS1.p2.12">and so <math alttext="V_{1}=V_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.3.2.cmml">V</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.2.2">𝑉</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.3.2">𝑉</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1c">V_{1}=V_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.8.m1.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_V start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, namely, <math alttext="\widehat{\psi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1a"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1.1"><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1.1.1">^</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1.1.2">𝜓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1c">\widehat{\psi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.9.m2.1d">over^ start_ARG italic_ψ end_ARG</annotation></semantics></math> can be constructed using Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.E8" title="Equation 5.8 ‣ 5.3.1. A pair of hanging springs ‣ 5.3. Examples ‣ 5. Towards a constraint algorithm for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5.8</span></a>) as before. Then <math alttext="C_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1c">C_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.10.m3.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is final for <math alttext="\Theta_{h}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1a"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1.1.3.cmml">h</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1.1.2">Θ</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1.1.3">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1c">\Theta_{h}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.11.m4.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and also <math alttext="P_{1}=P_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1"><semantics id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.2.2.cmml">P</mi><mn id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.3.2.cmml">P</mi><mi id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1b"><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.2.2">𝑃</ci><cn id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1.1.3.3">𝑓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1c">P_{1}=P_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS1.p2.12.m5.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, a final constraint submanifold.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S5.SS3.SSS2"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">5.3.2. </span>Wave equation</h4> <div class="ltx_para" id="S5.SS3.SSS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.26">Let us consider how can we get a non standard Hamiltonian theory for the wave equation. In order to proceed, consider the bundle</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex40"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\text{pr}_{12}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}:\left(t,x,u\right)\mapsto\left(% t,x\right);" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex40.m1.6"><semantics id="S5.Ex40.m1.6a"><mrow id="S5.Ex40.m1.6.6.1" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mtext id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2.2a.cmml">pr</mtext><mn id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.cmml">:</mo><mrow id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.cmml"><msup id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.2.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.2.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.2.3" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.2.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.1" stretchy="false" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.1.cmml">→</mo><msup id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.3" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.3.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.3.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.3.3" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.5" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.5.cmml">:</mo><mrow id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.cmml"><mrow id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.2.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.2.2.1" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.2.1.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex40.m1.1.1" xref="S5.Ex40.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.2.2.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.2.1.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex40.m1.2.2" xref="S5.Ex40.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.2.2.3" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.2.1.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex40.m1.3.3" xref="S5.Ex40.m1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.2.2.4" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.1" stretchy="false" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.1.cmml">↦</mo><mrow id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.3.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.3.2.1" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.3.1.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex40.m1.4.4" xref="S5.Ex40.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.3.2.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.3.1.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex40.m1.5.5" xref="S5.Ex40.m1.5.5.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.3.2.3" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex40.m1.6.6.1.2" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex40.m1.6b"><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1"><and id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1a.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1"></and><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1b.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1"><ci id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.3">:</ci><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2.2a.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2.2"><mtext id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2.2">pr</mtext></ci><cn id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4"><ci id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.1">→</ci><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.2.2">ℝ</ci><cn id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.2.3">3</cn></apply><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.3.2">ℝ</ci><cn id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1c.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1"><ci id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.5">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.Ex40.m1.6.6.1.1.4.cmml" id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1d.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1"></share><apply id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.1">maps-to</csymbol><vector id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.2.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.2.2"><ci id="S5.Ex40.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S5.Ex40.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex40.m1.2.2">𝑥</ci><ci id="S5.Ex40.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex40.m1.3.3">𝑢</ci></vector><interval closure="open" id="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex40.m1.6.6.1.1.6.3.2"><ci id="S5.Ex40.m1.4.4.cmml" xref="S5.Ex40.m1.4.4">𝑡</ci><ci id="S5.Ex40.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex40.m1.5.5">𝑥</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex40.m1.6c">\text{pr}_{12}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}:\left(t,x,u\right)\mapsto\left(% t,x\right);</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex40.m1.6d">pr start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT : blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT → blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT : ( italic_t , italic_x , italic_u ) ↦ ( italic_t , italic_x ) ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.1">then the wave equation can be represented by pulling back the contact structure on <math alttext="J^{2}\text{pr}_{12}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mtext id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2a.cmml">pr</mtext><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2a.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2"><mtext id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.2">pr</mtext></ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1.1.3.3">12</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1c">J^{2}\text{pr}_{12}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.1.m1.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT pr start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to the submanifold</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex41"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="R:=\left\{\left(t,x,u,u_{t},u_{x},u_{tt},u_{tx},u_{xx}\right)\in J^{2}\text{pr% }_{12}:u_{tt}=u_{xx}\right\}\subset J^{2}\text{pr}_{12}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex41.m1.4"><semantics id="S5.Ex41.m1.4a"><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.4" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.4.cmml">R</mi><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.5" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.5.cmml">:=</mo><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.6.cmml"><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.6" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.6.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex41.m1.1.1" xref="S5.Ex41.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.7" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex41.m1.2.2" xref="S5.Ex41.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.8" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex41.m1.3.3" xref="S5.Ex41.m1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.9" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.10" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.11" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.12" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3.1" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3.3.cmml">x</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.13" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.3.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.3.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.3.1" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.3.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.cmml">x</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.14" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.6.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.6" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.6.cmml">∈</mo><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.cmml"><msup id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.2.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.2.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.2.2.cmml">J</mi><mn id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.2.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.1" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.3.cmml"><mtext id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.3.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.3.2a.cmml">pr</mtext><mn id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.3.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.1" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.1" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml">x</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.5" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.6" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.6.cmml">⊂</mo><mrow id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.cmml"><msup id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.2.cmml"><mi id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.2.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.2.2.cmml">J</mi><mn id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.2.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.1" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.3.cmml"><mtext id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.3.2" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.3.2a.cmml">pr</mtext><mn id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.3.3" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex41.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex41.m1.4b"><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1"><and id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1a.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1"></and><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1b.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.5">assign</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.4">𝑅</ci><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1"><in id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.6"></in><vector id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.6.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5"><ci id="S5.Ex41.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S5.Ex41.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.2.2">𝑥</ci><ci id="S5.Ex41.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.3.3">𝑢</ci><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3"><times id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1"></times><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3"><times id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3.1"></times><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.4.4.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.3"><times id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.3.1"></times><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.3.2">𝑥</ci><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.5.5.5.3.3">𝑥</ci></apply></apply></vector><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7"><times id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.1"></times><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.2.2">𝐽</ci><cn id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.3.2a.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.3.2"><mtext id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.3.2">pr</mtext></ci><cn id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.1.1.1.7.3.3">12</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2"><eq id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.1"></eq><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3"><times id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.1"></times><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1c.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1"><subset id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.6"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.Ex41.m1.4.4.1.1.2.cmml" id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1d.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1"></share><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7"><times id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.1"></times><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.2.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.2.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.2.2">𝐽</ci><cn id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.3.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.3.1.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.3.2a.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.3.2"><mtext id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.3.2.cmml" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.3.2">pr</mtext></ci><cn id="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex41.m1.4.4.1.1.7.3.3">12</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex41.m1.4c">R:=\left\{\left(t,x,u,u_{t},u_{x},u_{tt},u_{tx},u_{xx}\right)\in J^{2}\text{pr% }_{12}:u_{tt}=u_{xx}\right\}\subset J^{2}\text{pr}_{12}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex41.m1.4d">italic_R := { ( italic_t , italic_x , italic_u , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x italic_x end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT pr start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT : italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_t end_POSTSUBSCRIPT = italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x italic_x end_POSTSUBSCRIPT } ⊂ italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT pr start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.4">Define <math alttext="\pi:R\to\mathbb{R}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.3.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.1">:</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.1">→</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.3.2">ℝ</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1c">\pi:R\to\mathbb{R}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.2.m1.1d">italic_π : italic_R → blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> as the restriction of <math alttext="\left(\text{pr}_{12}\right)_{02}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1a"><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2a.cmml">pr</mtext><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">12</mn></msub><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.3.cmml">02</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2a.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2"><mtext id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2">pr</mtext></ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.1.1.1.3">12</cn></apply><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1.1.3">02</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1c">\left(\text{pr}_{12}\right)_{02}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.3.m2.1d">( pr start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 02 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.4.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.4.m3.1a"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.4.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.4.m3.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.4.m3.1b"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.4.m3.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.4.m3.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.4.m3.1d">italic_R</annotation></semantics></math>; then a general variational problem representing this equation could be</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex42"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left(\pi:R\to\mathbb{R}^{2},0,{\mathcal{I}}_{R}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex42.m1.2"><semantics id="S5.Ex42.m1.2a"><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.1.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.4" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.4.cmml">π</mi><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.3.cmml">:</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.4" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.4.cmml">R</mi><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">→</mo><mrow id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><msup id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S5.Ex42.m1.1.1" xref="S5.Ex42.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.4" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ℐ</mi><mi id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">R</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex42.m1.2.2.1.3" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex42.m1.2b"><apply id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1"><ci id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.3">:</ci><ci id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.4">𝜋</ci><apply id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2"><ci id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.3">→</ci><ci id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.4.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.4">𝑅</ci><list id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2"><apply id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><cn id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="S5.Ex42.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.Ex42.m1.1.1">0</cn><apply id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2">ℐ</ci><ci id="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex42.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3">𝑅</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex42.m1.2c">\left(\pi:R\to\mathbb{R}^{2},0,{\mathcal{I}}_{R}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex42.m1.2d">( italic_π : italic_R → blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , 0 , caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.7">where <math alttext="{\mathcal{I}}_{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1a"><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.2.cmml">ℐ</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.3.cmml">R</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.2">ℐ</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1.1.3">𝑅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1c">{\mathcal{I}}_{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.5.m1.1d">caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the pullback of the contact structure on <math alttext="J^{2}\text{pr}_{12}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.3.cmml"><mtext id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.3.2a.cmml">pr</mtext><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.3.2a.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.3.2"><mtext id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.3.2">pr</mtext></ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1.1.3.3">12</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1c">J^{2}\text{pr}_{12}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.6.m2.1d">italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT pr start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1a"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1b"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.7.m3.1d">italic_R</annotation></semantics></math>. Using Gotay construction, we define the bundle</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex43"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W:=I_{R}^{m}\subset\wedge^{m}_{2}\left(J^{2}\text{pr}_{12}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex43.m1.1"><semantics id="S5.Ex43.m1.1a"><mrow id="S5.Ex43.m1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.3.cmml">W</mi><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex43.m1.1.1.4.cmml">:=</mo><msubsup id="S5.Ex43.m1.1.1.5" xref="S5.Ex43.m1.1.1.5.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.1.1.5.2.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.5.2.2.cmml">I</mi><mi id="S5.Ex43.m1.1.1.5.2.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.5.2.3.cmml">R</mi><mi id="S5.Ex43.m1.1.1.5.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.5.3.cmml">m</mi></msubsup><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.6" rspace="0em" xref="S5.Ex43.m1.1.1.6.cmml">⊂</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S5.Ex43.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.2.2" lspace="0em" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.2.2.cmml">∧</mo><mn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn><mi id="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.2.3.cmml">m</mi></msubsup><mrow id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">J</mi><mn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mtext id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2a.cmml">pr</mtext><mn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">12</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex43.m1.1b"><apply id="S5.Ex43.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1"><and id="S5.Ex43.m1.1.1a.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1"></and><apply id="S5.Ex43.m1.1.1b.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex43.m1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.4">assign</csymbol><ci id="S5.Ex43.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.3">𝑊</ci><apply id="S5.Ex43.m1.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex43.m1.1.1.5.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex43.m1.1.1.5.2.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex43.m1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex43.m1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.5.2.2">𝐼</ci><ci id="S5.Ex43.m1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.5.2.3">𝑅</ci></apply><ci id="S5.Ex43.m1.1.1.5.3.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.5.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex43.m1.1.1c.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1"><subset id="S5.Ex43.m1.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.6"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.Ex43.m1.1.1.5.cmml" id="S5.Ex43.m1.1.1d.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1"></share><apply id="S5.Ex43.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1"><apply id="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.2">superscript</csymbol><and id="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.2.2"></and><ci id="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.2.3">𝑚</ci></apply><cn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐽</ci><cn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2a.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><mtext id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">pr</mtext></ci><cn id="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">12</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex43.m1.1c">W:=I_{R}^{m}\subset\wedge^{m}_{2}\left(J^{2}\text{pr}_{12}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex43.m1.1d">italic_W := italic_I start_POSTSUBSCRIPT italic_R end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT ⊂ ∧ start_POSTSUPERSCRIPT italic_m end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_J start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT pr start_POSTSUBSCRIPT 12 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.8">and an element <math alttext="\rho\in W" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1.1"><in id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1.1.1"></in><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1.1.2">𝜌</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1c">\rho\in W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.8.m1.1d">italic_ρ ∈ italic_W</annotation></semantics></math> if and only if</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex44"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\rho=p^{1}\theta\wedge dx-p^{2}\theta\wedge dt+p^{11}\theta_{1}\wedge dx-p^{12% }\theta_{1}\wedge dt+p^{21}\theta_{2}\wedge dx-p^{22}\theta_{2}\wedge dt," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex44.m1.1"><semantics id="S5.Ex44.m1.1a"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.cmml">ρ</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><msup id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">θ</mi></mrow><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><msup id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">θ</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><msup id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">11</mn></msup><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><msup id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">12</mn></msup><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><msup id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.cmml">21</mn></msup><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><msup id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">22</mn></msup><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex44.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex44.m1.1b"><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.2">𝜌</ci><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3"><and id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.1"></and><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2"><minus id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.1"></minus><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2"><and id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2"><plus id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1"></plus><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2"><and id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2"><minus id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1"></minus><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2"><and id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2"><plus id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.1"></plus><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2"><and id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><minus id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1"></minus><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><and id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><times id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3">𝜃</ci></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.3.2">𝜃</ci><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.2">𝜃</ci><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.3">21</cn></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.2">𝜃</ci><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.3">22</cn></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.2">𝜃</ci><cn id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex44.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex44.m1.1c">\rho=p^{1}\theta\wedge dx-p^{2}\theta\wedge dt+p^{11}\theta_{1}\wedge dx-p^{12% }\theta_{1}\wedge dt+p^{21}\theta_{2}\wedge dx-p^{22}\theta_{2}\wedge dt,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex44.m1.1d">italic_ρ = italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ ∧ italic_d italic_x - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ ∧ italic_d italic_t + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 11 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 12 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_t + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 21 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 22 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_t ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.27">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex45"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\theta=du-u_{t}dt-u_{x}dx,\quad\theta_{1}=du_{t}-u_{tt}dt-u_{tx}dx,\quad\theta% _{2}=du_{x}-u_{tx}dt-u_{tt}dx" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex45.m1.2"><semantics id="S5.Ex45.m1.2a"><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mo id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><msub id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.1" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.1a" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.4" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.4.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S5.Ex45.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><msub id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.1" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1a" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.4" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.1a" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.cmml"><msub id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.1" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.1" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.1a" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.4" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.4.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mn id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.1" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml">x</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><msub id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.3.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.3.1" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.3.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.1" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.1a" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.4" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.4.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.1a" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.cmml"><msub id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.3.2" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.3.1" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.3.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.1" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.3" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.1a" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.4" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.4.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex45.m1.2b"><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.2.2.3a.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1"><eq id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.3.4">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4"><times id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.1"></times><apply id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.2.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.2.3">𝑥</ci></apply><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.4.cmml" xref="S5.Ex45.m1.1.1.1.1.3.4.4">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1"><eq id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.2.2">𝜃</ci><cn id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3"><minus id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.1"></minus><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2"><times id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3"><times id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.1"></times><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3"><times id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.4.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.4">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4"><times id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.1"></times><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3"><times id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.4.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.4.4">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2"><eq id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.1"></eq><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.2.2">𝜃</ci><cn id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3"><minus id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.1"></minus><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2"><times id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.1"></times><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3"><times id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.1"></times><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.3"><times id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.4.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.4">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4"><times id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.1"></times><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.3"><times id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.3.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.4.cmml" xref="S5.Ex45.m1.2.2.2.2.2.2.3.4.4">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex45.m1.2c">\theta=du-u_{t}dt-u_{x}dx,\quad\theta_{1}=du_{t}-u_{tt}dt-u_{tx}dx,\quad\theta% _{2}=du_{x}-u_{tx}dt-u_{tt}dx</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex45.m1.2d">italic_θ = italic_d italic_u - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_t - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_x , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_t - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_x end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_x , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_x end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_t - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_x</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.12">are the canonical generators for the contact structure on <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m1.1a"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m1.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m1.1b"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.9.m1.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m1.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.9.m1.1d">italic_R</annotation></semantics></math> (where <math alttext="u_{tt}=u_{xx}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.3.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.3.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.3.3.cmml">x</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1"><eq id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.1"></eq><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.2">𝑢</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.3"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.2">𝑢</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.3"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.3.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1.1.3.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1c">u_{tt}=u_{xx}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.10.m2.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_t end_POSTSUBSCRIPT = italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>). The canonical form <math alttext="\Theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m3.1a"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S5.SS3.SSS2.p1.11.m3.1.1.cmml">Θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m3.1b"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.11.m3.1.1">Θ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m3.1c">\Theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.11.m3.1d">roman_Θ</annotation></semantics></math> on <math alttext="W" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.12.m4.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.12.m4.1a"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.12.m4.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.12.m4.1.1.cmml">W</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.12.m4.1b"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.12.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.12.m4.1.1">𝑊</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.12.m4.1c">W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.12.m4.1d">italic_W</annotation></semantics></math> is thus given by the formula</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.SS3.SSS2.p1.13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Theta=\\ =-\left[p^{1}u_{t}+p^{2}u_{x}+\left(p^{11}+p^{22}\right)u_{tt}+\left(p^{12}+p^% {21}\right)u_{tx}\right]dt\wedge dx+p^{1}du\wedge dx-p^{2}du\wedge dt+\\ +p^{11}du_{t}\wedge dx-p^{12}du_{t}\wedge dt+p^{21}du_{x}\wedge dx-p^{22}du_{x% }\wedge dt." class="ltx_Math" display="block" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95a"><mtable displaystyle="true" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3" rowspacing="0pt"><mtr id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3a"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3b"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">Θ</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml"></mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3c"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3d"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.56" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.4.4.4.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">[</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.5.5.5.4.4.4" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.5.5.5.4.4.4.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.6.6.6.5.5.5.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.6.6.6.5.5.5.1.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.7.7.7.6.6.6" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.7.7.7.6.6.6.cmml">u</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.8.8.8.7.7.7.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.8.8.8.7.7.7.1.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.9.9.9.8.8.8" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.9.9.9.8.8.8.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.10.10.10.9.9.9" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.10.10.10.9.9.9.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.11.11.11.10.10.10.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.11.11.11.10.10.10.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.12.12.12.11.11.11" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.12.12.12.11.11.11.cmml">u</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.13.13.13.12.12.12.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.13.13.13.12.12.12.1.cmml">x</mi></msub></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.9.9.9.8.8.8a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.9.9.9.8.8.8.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.15.15.15.14.14.14" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.16.16.16.15.15.15" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.16.16.16.15.15.15.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.17.17.17.16.16.16.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.17.17.17.16.16.16.1.cmml">11</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.18.18.18.17.17.17" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.18.18.18.17.17.17.cmml">+</mo><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.19.19.19.18.18.18" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.19.19.19.18.18.18.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.20.20.20.19.19.19.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.20.20.20.19.19.19.1.cmml">22</mn></msup></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.21.21.21.20.20.20" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.22.22.22.21.21.21" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.22.22.22.21.21.21.cmml">u</mi><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.23.23.23.22.22.22.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.23.23.23.22.22.22.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.23.23.23.22.22.22.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.23.23.23.22.22.22.1.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.23.23.23.22.22.22.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.23.23.23.22.22.22.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.23.23.23.22.22.22.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.23.23.23.22.22.22.1.3.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.9.9.9.8.8.8b" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.9.9.9.8.8.8.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.25.25.25.24.24.24" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.26.26.26.25.25.25" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.26.26.26.25.25.25.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.27.27.27.26.26.26.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.27.27.27.26.26.26.1.cmml">12</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.28.28.28.27.27.27" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.28.28.28.27.27.27.cmml">+</mo><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.29.29.29.28.28.28" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.29.29.29.28.28.28.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.30.30.30.29.29.29.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.30.30.30.29.29.29.1.cmml">21</mn></msup></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.31.31.31.30.30.30" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.32.32.32.31.31.31" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.32.32.32.31.31.31.cmml">u</mi><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.33.33.33.32.32.32.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.33.33.33.32.32.32.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.33.33.33.32.32.32.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.33.33.33.32.32.32.1.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.33.33.33.32.32.32.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.33.33.33.32.32.32.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.33.33.33.32.32.32.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.33.33.33.32.32.32.1.3.cmml">x</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.34.34.34.33.33.33" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.35.35.35.34.34.34" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.35.35.35.34.34.34.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.36.36.36.35.35.35" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.36.36.36.35.35.35.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.37.37.37.36.36.36" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.37.37.37.36.36.36.cmml">∧</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.38.38.38.37.37.37" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.38.38.38.37.37.37.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.39.39.39.38.38.38" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.39.39.39.38.38.38.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.40.40.40.39.39.39" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.40.40.40.39.39.39.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.2"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.2.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.41.41.41.40.40.40" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.41.41.41.40.40.40.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.42.42.42.41.41.41.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.42.42.42.41.41.41.1.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.43.43.43.42.42.42" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.43.43.43.42.42.42.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.1.2.1a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.44.44.44.43.43.43" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.44.44.44.43.43.43.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.45.45.45.44.44.44" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.45.45.45.44.44.44.cmml">∧</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.46.46.46.45.45.45" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.46.46.46.45.45.45.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.47.47.47.46.46.46" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.47.47.47.46.46.46.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.48.48.48.47.47.47" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.48.48.48.47.47.47.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.2"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.2.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.49.49.49.48.48.48" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.49.49.49.48.48.48.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.50.50.50.49.49.49.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.50.50.50.49.49.49.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.51.51.51.50.50.50" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.51.51.51.50.50.50.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.1.2.1a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.52.52.52.51.51.51" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.52.52.52.51.51.51.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.53.53.53.52.52.52" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.53.53.53.52.52.52.cmml">∧</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.2"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.2.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.54.54.54.53.53.53" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.54.54.54.53.53.53.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.55.55.55.54.54.54" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.55.55.55.54.54.54.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.94.94.2.93.55.55.55.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">+</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3e"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3f"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.57.57.57.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.57.57.57.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.58.58.58.3.3.3.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.58.58.58.3.3.3.1.cmml">11</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.59.59.59.4.4.4" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.59.59.59.4.4.4.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.60.60.60.5.5.5" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.60.60.60.5.5.5.cmml">u</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.61.61.61.6.6.6.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.61.61.61.6.6.6.1.cmml">t</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.62.62.62.7.7.7" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.62.62.62.7.7.7.cmml">∧</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.63.63.63.8.8.8" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.63.63.63.8.8.8.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.64.64.64.9.9.9" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.64.64.64.9.9.9.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.65.65.65.10.10.10" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.65.65.65.10.10.10.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.1.2"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.66.66.66.11.11.11" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.66.66.66.11.11.11.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.67.67.67.12.12.12.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.67.67.67.12.12.12.1.cmml">12</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.68.68.68.13.13.13" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.68.68.68.13.13.13.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.1.2.3"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.69.69.69.14.14.14" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.69.69.69.14.14.14.cmml">u</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.70.70.70.15.15.15.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.70.70.70.15.15.15.1.cmml">t</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.71.71.71.16.16.16" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.71.71.71.16.16.16.cmml">∧</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.72.72.72.17.17.17" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.72.72.72.17.17.17.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.73.73.73.18.18.18" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.73.73.73.18.18.18.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.74.74.74.19.19.19" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.74.74.74.19.19.19.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.2"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.2.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.75.75.75.20.20.20" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.75.75.75.20.20.20.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.76.76.76.21.21.21.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.76.76.76.21.21.21.1.cmml">21</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.77.77.77.22.22.22" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.77.77.77.22.22.22.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.2.1a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.1.2.3"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.78.78.78.23.23.23" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.78.78.78.23.23.23.cmml">u</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.79.79.79.24.24.24.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.79.79.79.24.24.24.1.cmml">x</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.80.80.80.25.25.25" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.80.80.80.25.25.25.cmml">∧</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.81.81.81.26.26.26" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.81.81.81.26.26.26.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.82.82.82.27.27.27" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.82.82.82.27.27.27.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.83.83.83.28.28.28" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.83.83.83.28.28.28.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.2"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.2.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.84.84.84.29.29.29" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.84.84.84.29.29.29.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.85.85.85.30.30.30.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.85.85.85.30.30.30.1.cmml">22</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.86.86.86.31.31.31" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.86.86.86.31.31.31.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.2.1a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.1.2.3"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.87.87.87.32.32.32" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.87.87.87.32.32.32.cmml">u</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.88.88.88.33.33.33.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.88.88.88.33.33.33.1.cmml">x</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.89.89.89.34.34.34" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.89.89.89.34.34.34.cmml">∧</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.90.90.90.35.35.35" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.90.90.90.35.35.35.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95.95.3.94.38.38.38.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.91.91.91.36.36.36" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.91.91.91.36.36.36.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.92.92.92.37.37.37" lspace="0em" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><eq id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.2.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.1">Θ</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><and id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.89.89.89.34.34.34.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.89.89.89.34.34.34"></and><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.83.83.83.28.28.28.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.83.83.83.28.28.28"></minus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><and id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.80.80.80.25.25.25.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.80.80.80.25.25.25"></and><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.74.74.74.19.19.19.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.74.74.74.19.19.19"></plus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><and id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.71.71.71.16.16.16.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.71.71.71.16.16.16"></and><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.65.65.65.10.10.10.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.65.65.65.10.10.10"></minus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><and id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.62.62.62.7.7.7.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.62.62.62.7.7.7"></and><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.56.56.56.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><and id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.53.53.53.52.52.52.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.53.53.53.52.52.52"></and><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.48.48.48.47.47.47.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.48.48.48.47.47.47"></minus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><and id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.45.45.45.44.44.44.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.45.45.45.44.44.44"></and><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.40.40.40.39.39.39.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.40.40.40.39.39.39"></plus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><and id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.37.37.37.36.36.36.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.37.37.37.36.36.36"></and><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.9.9.9.8.8.8.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.9.9.9.8.8.8"></plus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.5.5.5.4.4.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.5.5.5.4.4.4">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.6.6.6.5.5.5.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.6.6.6.5.5.5.1">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.7.7.7.6.6.6.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.7.7.7.6.6.6">𝑢</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.8.8.8.7.7.7.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.8.8.8.7.7.7.1">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.10.10.10.9.9.9.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.10.10.10.9.9.9">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.11.11.11.10.10.10.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.11.11.11.10.10.10.1">2</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.12.12.12.11.11.11.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.12.12.12.11.11.11">𝑢</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.13.13.13.12.12.12.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.13.13.13.12.12.12.1">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.18.18.18.17.17.17.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.18.18.18.17.17.17"></plus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.16.16.16.15.15.15.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.16.16.16.15.15.15">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.17.17.17.16.16.16.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.17.17.17.16.16.16.1">11</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.19.19.19.18.18.18.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.19.19.19.18.18.18">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.20.20.20.19.19.19.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.20.20.20.19.19.19.1">22</cn></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.22.22.22.21.21.21.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.22.22.22.21.21.21">𝑢</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.23.23.23.22.22.22.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.23.23.23.22.22.22.1"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.23.23.23.22.22.22.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.23.23.23.22.22.22.1.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.23.23.23.22.22.22.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.23.23.23.22.22.22.1.2">𝑡</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.23.23.23.22.22.22.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.23.23.23.22.22.22.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.28.28.28.27.27.27.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.28.28.28.27.27.27"></plus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.26.26.26.25.25.25.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.26.26.26.25.25.25">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.27.27.27.26.26.26.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.27.27.27.26.26.26.1">12</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.29.29.29.28.28.28.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.29.29.29.28.28.28">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.30.30.30.29.29.29.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.30.30.30.29.29.29.1">21</cn></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.32.32.32.31.31.31.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.32.32.32.31.31.31">𝑢</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.33.33.33.32.32.32.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.33.33.33.32.32.32.1"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.33.33.33.32.32.32.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.33.33.33.32.32.32.1.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.33.33.33.32.32.32.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.33.33.33.32.32.32.1.2">𝑡</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.33.33.33.32.32.32.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.33.33.33.32.32.32.1.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.35.35.35.34.34.34.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.35.35.35.34.34.34">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.36.36.36.35.35.35.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.36.36.36.35.35.35">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.38.38.38.37.37.37.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.38.38.38.37.37.37">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.39.39.39.38.38.38.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.39.39.39.38.38.38">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.41.41.41.40.40.40.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.41.41.41.40.40.40">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.42.42.42.41.41.41.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.42.42.42.41.41.41.1">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.43.43.43.42.42.42.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.43.43.43.42.42.42">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.44.44.44.43.43.43.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.44.44.44.43.43.43">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.46.46.46.45.45.45.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.46.46.46.45.45.45">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.47.47.47.46.46.46.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.47.47.47.46.46.46">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.49.49.49.48.48.48.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.49.49.49.48.48.48">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.50.50.50.49.49.49.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.50.50.50.49.49.49.1">2</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.51.51.51.50.50.50.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.51.51.51.50.50.50">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.52.52.52.51.51.51.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.52.52.52.51.51.51">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.54.54.54.53.53.53.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.54.54.54.53.53.53">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.55.55.55.54.54.54.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.55.55.55.54.54.54">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.57.57.57.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.57.57.57.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.58.58.58.3.3.3.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.58.58.58.3.3.3.1">11</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.59.59.59.4.4.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.59.59.59.4.4.4">𝑑</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.60.60.60.5.5.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.60.60.60.5.5.5">𝑢</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.61.61.61.6.6.6.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.61.61.61.6.6.6.1">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.63.63.63.8.8.8.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.63.63.63.8.8.8">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.64.64.64.9.9.9.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.64.64.64.9.9.9">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.66.66.66.11.11.11.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.66.66.66.11.11.11">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.67.67.67.12.12.12.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.67.67.67.12.12.12.1">12</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.68.68.68.13.13.13.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.68.68.68.13.13.13">𝑑</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.69.69.69.14.14.14.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.69.69.69.14.14.14">𝑢</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.70.70.70.15.15.15.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.70.70.70.15.15.15.1">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.72.72.72.17.17.17.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.72.72.72.17.17.17">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.73.73.73.18.18.18.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.73.73.73.18.18.18">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.75.75.75.20.20.20.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.75.75.75.20.20.20">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.76.76.76.21.21.21.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.76.76.76.21.21.21.1">21</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.77.77.77.22.22.22.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.77.77.77.22.22.22">𝑑</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.78.78.78.23.23.23.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.78.78.78.23.23.23">𝑢</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.79.79.79.24.24.24.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.79.79.79.24.24.24.1">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.81.81.81.26.26.26.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.81.81.81.26.26.26">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.82.82.82.27.27.27.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.82.82.82.27.27.27">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.84.84.84.29.29.29.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.84.84.84.29.29.29">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.85.85.85.30.30.30.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.85.85.85.30.30.30.1">22</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.86.86.86.31.31.31.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.86.86.86.31.31.31">𝑑</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.87.87.87.32.32.32.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.87.87.87.32.32.32">𝑢</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.88.88.88.33.33.33.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.88.88.88.33.33.33.1">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.93.93.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.90.90.90.35.35.35.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.90.90.90.35.35.35">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.91.91.91.36.36.36.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.91.91.91.36.36.36">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95c">\Theta=\\ =-\left[p^{1}u_{t}+p^{2}u_{x}+\left(p^{11}+p^{22}\right)u_{tt}+\left(p^{12}+p^% {21}\right)u_{tx}\right]dt\wedge dx+p^{1}du\wedge dx-p^{2}du\wedge dt+\\ +p^{11}du_{t}\wedge dx-p^{12}du_{t}\wedge dt+p^{21}du_{x}\wedge dx-p^{22}du_{x% }\wedge dt.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.13.m1.95d">start_ROW start_CELL roman_Θ = end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL = - [ italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT + ( italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 11 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 22 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_t end_POSTSUBSCRIPT + ( italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 12 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 21 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_x end_POSTSUBSCRIPT ] italic_d italic_t ∧ italic_d italic_x + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_u ∧ italic_d italic_x - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_u ∧ italic_d italic_t + end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 11 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 12 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_t + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 21 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 22 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_t . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.14">We will use the following projection onto <math alttext="W^{\ddagger}:=\mathbb{R}^{10}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.2.2.cmml">W</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.2.3.cmml">‡</mo></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.1.cmml">:=</mo><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.3.3.cmml">10</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.2.3">‡</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1.1.3.3">10</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1c">W^{\ddagger}:=\mathbb{R}^{10}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.14.m1.1d">italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT := blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 10 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex46"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p:W\to W^{\ddagger}:\left(t,x,u,u_{t},u_{x},u_{tt},u_{tx},p^{I}\right)\mapsto% \left(t,x,u,u_{t},u_{x},p^{I}\right),\qquad\lvert I\rvert\leq 2," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex46.m1.8"><semantics id="S5.Ex46.m1.8a"><mrow id="S5.Ex46.m1.8.8.1" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.4" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.4.cmml">p</mi><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.5" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.5.cmml">:</mo><mrow id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.2.cmml">W</mi><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.1" stretchy="false" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.1.cmml">→</mo><msup id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.3" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.3.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.3.2.cmml">W</mi><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.3.3" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.3.3.cmml">‡</mo></msup></mrow><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.7" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.7.cmml">:</mo><mrow id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.6.cmml"><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.6" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.6.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex46.m1.1.1" xref="S5.Ex46.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.7" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex46.m1.2.2" xref="S5.Ex46.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.8" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex46.m1.3.3" xref="S5.Ex46.m1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.9" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.10" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.11" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.12" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.3" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.3.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.3.1" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.3.3" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.3.3.cmml">x</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.13" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.6.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.5" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.5.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.5.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.5.2.cmml">p</mi><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.5.3" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.5.3.cmml">I</mi></msup><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.14" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.6.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.9" stretchy="false" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.9.cmml">↦</mo><mrow id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.4.cmml"><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.4" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.4.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex46.m1.4.4" xref="S5.Ex46.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.5" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex46.m1.5.5" xref="S5.Ex46.m1.5.5.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.6" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.4.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex46.m1.6.6" xref="S5.Ex46.m1.6.6.cmml">u</mi><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.7" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.4.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.3" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.8" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.4.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.2.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.2.2.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.2.2.3" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.2.2.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.9" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.4.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.3" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.3.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.3.2.cmml">p</mi><mi id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.3.3" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.3.3.cmml">I</mi></msup><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.10" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.3" rspace="2.167em" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.Ex46.m1.7.7" xref="S5.Ex46.m1.7.7.cmml">I</mi><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mn id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex46.m1.8.8.1.2" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex46.m1.8b"><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1"><and id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1a.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1"></and><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1b.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1"><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.5">:</ci><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.4">𝑝</ci><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6"><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.1">→</ci><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.2">𝑊</ci><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.3.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.3.2">𝑊</ci><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.3.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.3.3">‡</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1c.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1"><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.7.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.7">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.Ex46.m1.8.8.1.1.6.cmml" id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1d.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1"></share><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.3a.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.9.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.9">maps-to</csymbol><vector id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.6.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5"><ci id="S5.Ex46.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S5.Ex46.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.2.2">𝑥</ci><ci id="S5.Ex46.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.3.3">𝑢</ci><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.3"><times id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1"></times><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.3"><times id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.3.1"></times><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.4.4.4.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.5.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.5.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.5">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.5.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.5.2">𝑝</ci><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.5.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.5.5.5.3">𝐼</ci></apply></vector><vector id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.4.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3"><ci id="S5.Ex46.m1.4.4.cmml" xref="S5.Ex46.m1.4.4">𝑡</ci><ci id="S5.Ex46.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex46.m1.5.5">𝑥</ci><ci id="S5.Ex46.m1.6.6.cmml" xref="S5.Ex46.m1.6.6">𝑢</ci><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.6.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.2.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.7.2.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.1.1.1.8.3.3.3">𝐼</ci></apply></vector></apply><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2"><leq id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.1"></leq><apply id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2"><abs id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.2.2.1"></abs><ci id="S5.Ex46.m1.7.7.cmml" xref="S5.Ex46.m1.7.7">𝐼</ci></apply><cn id="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex46.m1.8.8.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex46.m1.8c">p:W\to W^{\ddagger}:\left(t,x,u,u_{t},u_{x},u_{tt},u_{tx},p^{I}\right)\mapsto% \left(t,x,u,u_{t},u_{x},p^{I}\right),\qquad\lvert I\rvert\leq 2,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex46.m1.8d">italic_p : italic_W → italic_W start_POSTSUPERSCRIPT ‡ end_POSTSUPERSCRIPT : ( italic_t , italic_x , italic_u , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_I end_POSTSUPERSCRIPT ) ↦ ( italic_t , italic_x , italic_u , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_I end_POSTSUPERSCRIPT ) , | italic_I | ≤ 2 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.28">in order to construct the Hamilton equations. Then</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex47"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Vp=\left<\frac{\partial}{\partial u_{tt}},\frac{\partial}{\partial u_{tx}}% \right>," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex47.m1.3"><semantics id="S5.Ex47.m1.3a"><mrow id="S5.Ex47.m1.3.3.1" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.2" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">V</mi><mo id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.1" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⟨</mo><mfrac id="S5.Ex47.m1.1.1" xref="S5.Ex47.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex47.m1.1.1.2" xref="S5.Ex47.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S5.Ex47.m1.1.1.3" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex47.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S5.Ex47.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">,</mo><mfrac id="S5.Ex47.m1.2.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2.cmml">∂</mo><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.3" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S5.Ex47.m1.2.2.3.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.3" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.3.2" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.3.1" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.3.3" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex47.m1.3.3.1.2" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex47.m1.3b"><apply id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1"><eq id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.2"><times id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.2.1"></times><ci id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.2.2">𝑉</ci><ci id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><list id="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.3.3.1.1.3.2"><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1"><divide id="S5.Ex47.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1"></divide><partialdiff id="S5.Ex47.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3"><partialdiff id="S5.Ex47.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex47.m1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex47.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2"><divide id="S5.Ex47.m1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2"></divide><partialdiff id="S5.Ex47.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2.2"></partialdiff><apply id="S5.Ex47.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3"><partialdiff id="S5.Ex47.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.3"><times id="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex47.m1.2.2.3.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex47.m1.3c">Vp=\left<\frac{\partial}{\partial u_{tt}},\frac{\partial}{\partial u_{tx}}% \right>,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex47.m1.3d">italic_V italic_p = ⟨ divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_x end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⟩ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.15">and the first constraint manifold <math alttext="P_{0}\subset W" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.3.cmml">W</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1"><subset id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.1"></subset><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.2.2">𝑃</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1c">P_{0}\subset W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.15.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⊂ italic_W</annotation></semantics></math> becomes described by the equations</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex48"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p^{11}+p^{22}=0,\qquad p^{12}+p^{21}=0." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex48.m1.1"><semantics id="S5.Ex48.m1.1a"><mrow id="S5.Ex48.m1.1.1.1"><mrow id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">11</mn></msup><mo id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">22</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msup id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">12</mn></msup><mo id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">+</mo><msup id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">21</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S5.Ex48.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex48.m1.1b"><apply id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">22</cn></apply></apply><cn id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2"><plus id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"></plus><apply id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">21</cn></apply></apply><cn id="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex48.m1.1.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex48.m1.1c">p^{11}+p^{22}=0,\qquad p^{12}+p^{21}=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex48.m1.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 11 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 22 end_POSTSUPERSCRIPT = 0 , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 12 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 21 end_POSTSUPERSCRIPT = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.29">It means that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex49"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Vp=\left<dt,dx,du,du_{t},du_{x},dp^{I}\right>^{0},\qquad TP_{0}=\left<dp^{11}+% dp^{22},dp^{12}+dp^{21}\right>^{0}," class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex49.m1.1"><semantics id="S5.Ex49.m1.1a"><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1"><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.8" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.8.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.8.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.8.2.cmml">V</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.8.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.8.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.8.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.8.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.7" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml">=</mo><msup id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml"><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.7.cmml"><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.7" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.7.cmml">⟨</mo><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.8" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.7.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.9" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.7.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.10" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.7.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.3.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.3.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.3.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.11" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.7.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.3.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.3.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.3.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.3.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.3.3.cmml">x</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.12" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.7.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.3.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.3.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.3.2.cmml">p</mi><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.3.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.3.3.cmml">I</mi></msup></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.13" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.7.cmml">⟩</mo></mrow><mn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.8" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.8.cmml">0</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml">P</mi><mn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">=</mo><msup id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">11</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">22</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.4" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">12</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">21</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.5" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml">0</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex49.m1.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex49.m1.1b"><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.7"></eq><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.8"><times id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.8.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.8.1"></times><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.8.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.8.2">𝑉</ci><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.8.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.8.3">𝑝</ci></apply><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.7.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><list id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.7.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6"><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><times id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></times><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3"><times id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.1"></times><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4"><times id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.1"></times><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.3.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.3.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.4.4.4.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5"><times id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.1"></times><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.3.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.3.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.3.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.5.5.5.5.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6"><times id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.1"></times><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.3.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.3.2">𝑝</ci><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.3.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.6.6.6.3.3">𝐼</ci></apply></apply></list><cn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.8.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.1.1.6.8">0</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.3"></eq><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4"><times id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.1"></times><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.2">𝑇</ci><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.2">𝑃</ci><cn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><list id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"><plus id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.3">11</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.3">22</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2"><plus id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1"></plus><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><times id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.3">21</cn></apply></apply></apply></list><cn id="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S5.Ex49.m1.1.1.1.1.2.2.2.4">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex49.m1.1c">Vp=\left<dt,dx,du,du_{t},du_{x},dp^{I}\right>^{0},\qquad TP_{0}=\left<dp^{11}+% dp^{22},dp^{12}+dp^{21}\right>^{0},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex49.m1.1d">italic_V italic_p = ⟨ italic_d italic_t , italic_d italic_x , italic_d italic_u , italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_d italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_I end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_T italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = ⟨ italic_d italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 11 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_d italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 22 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 12 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_d italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 21 end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.16">and so <math alttext="Vp\subset TP_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.2.2.cmml">V</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.1.cmml">⊂</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.3.2.cmml">P</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1"><subset id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.1"></subset><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.2"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.2.2">𝑉</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.2">𝑇</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.3.2">𝑃</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1.1.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1c">Vp\subset TP_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.16.m1.1d">italic_V italic_p ⊂ italic_T italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>; then for the complementary subbundle</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(5.9)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="V_{0}=\left<\frac{\partial}{\partial p^{11}},\frac{\partial}{\partial p^{12}}\right>" class="ltx_Math" display="block" id="S5.E9.m1.2"><semantics id="S5.E9.m1.2a"><mrow id="S5.E9.m1.2.3" xref="S5.E9.m1.2.3.cmml"><msub id="S5.E9.m1.2.3.2" xref="S5.E9.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.E9.m1.2.3.2.2" xref="S5.E9.m1.2.3.2.2.cmml">V</mi><mn id="S5.E9.m1.2.3.2.3" xref="S5.E9.m1.2.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.E9.m1.2.3.1" xref="S5.E9.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.E9.m1.2.3.3.2" xref="S5.E9.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S5.E9.m1.2.3.3.2.1" xref="S5.E9.m1.2.3.3.1.cmml">⟨</mo><mfrac id="S5.E9.m1.1.1" xref="S5.E9.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.E9.m1.1.1.2" xref="S5.E9.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S5.E9.m1.1.1.3" xref="S5.E9.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.E9.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S5.E9.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S5.E9.m1.1.1.3.2" xref="S5.E9.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.E9.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.E9.m1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.E9.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.E9.m1.1.1.3.2.3.cmml">11</mn></msup></mrow></mfrac><mo id="S5.E9.m1.2.3.3.2.2" xref="S5.E9.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mfrac id="S5.E9.m1.2.2" xref="S5.E9.m1.2.2.cmml"><mo id="S5.E9.m1.2.2.2" xref="S5.E9.m1.2.2.2.cmml">∂</mo><mrow id="S5.E9.m1.2.2.3" xref="S5.E9.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S5.E9.m1.2.2.3.1" rspace="0em" xref="S5.E9.m1.2.2.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S5.E9.m1.2.2.3.2" xref="S5.E9.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S5.E9.m1.2.2.3.2.2" xref="S5.E9.m1.2.2.3.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.E9.m1.2.2.3.2.3" xref="S5.E9.m1.2.2.3.2.3.cmml">12</mn></msup></mrow></mfrac><mo id="S5.E9.m1.2.3.3.2.3" xref="S5.E9.m1.2.3.3.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E9.m1.2b"><apply id="S5.E9.m1.2.3.cmml" xref="S5.E9.m1.2.3"><eq id="S5.E9.m1.2.3.1.cmml" xref="S5.E9.m1.2.3.1"></eq><apply id="S5.E9.m1.2.3.2.cmml" xref="S5.E9.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E9.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E9.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.E9.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.E9.m1.2.3.2.2">𝑉</ci><cn id="S5.E9.m1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E9.m1.2.3.2.3">0</cn></apply><list id="S5.E9.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.E9.m1.2.3.3.2"><apply id="S5.E9.m1.1.1.cmml" xref="S5.E9.m1.1.1"><divide id="S5.E9.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.E9.m1.1.1"></divide><partialdiff id="S5.E9.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.E9.m1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S5.E9.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.E9.m1.1.1.3"><partialdiff id="S5.E9.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E9.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S5.E9.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E9.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E9.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.E9.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E9.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.E9.m1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.E9.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E9.m1.1.1.3.2.3">11</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.E9.m1.2.2.cmml" xref="S5.E9.m1.2.2"><divide id="S5.E9.m1.2.2.1.cmml" xref="S5.E9.m1.2.2"></divide><partialdiff id="S5.E9.m1.2.2.2.cmml" xref="S5.E9.m1.2.2.2"></partialdiff><apply id="S5.E9.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.E9.m1.2.2.3"><partialdiff id="S5.E9.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.E9.m1.2.2.3.1"></partialdiff><apply id="S5.E9.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.E9.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E9.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S5.E9.m1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E9.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S5.E9.m1.2.2.3.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.E9.m1.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.E9.m1.2.2.3.2.3">12</cn></apply></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E9.m1.2c">V_{0}=\left<\frac{\partial}{\partial p^{11}},\frac{\partial}{\partial p^{12}}\right></annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E9.m1.2d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = ⟨ divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 11 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG , divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 12 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.30">we have that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex50"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="T_{P_{0}}W=TP_{0}\oplus V_{0}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex50.m1.1"><semantics id="S5.Ex50.m1.1a"><mrow id="S5.Ex50.m1.1.1.1" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">T</mi><msub id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">P</mi><mn id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">0</mn></msub></msub><mo id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">W</mi></mrow><mo id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">T</mi><mo id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">P</mi><mn id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⊕</mo><msub id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">V</mi><mn id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex50.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex50.m1.1b"><apply id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1"><eq id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2"><times id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑇</ci><apply id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑃</ci><cn id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.2.3">𝑊</ci></apply><apply id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.1">direct-sum</csymbol><apply id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑇</ci><apply id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑃</ci><cn id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.2.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑉</ci><cn id="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex50.m1.1.1.1.1.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex50.m1.1c">T_{P_{0}}W=TP_{0}\oplus V_{0}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex50.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_W = italic_T italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ⊕ italic_V start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.31">The Hamiltonian form on</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex51"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="C_{0}:=p\left(P_{0}\right)=\left\{\left(t,x,u,u_{t},u_{x},p^{1},p^{2},p^{11},p% ^{12},-p^{12},-p^{11}\right)\right\}" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex51.m1.5"><semantics id="S5.Ex51.m1.5a"><mrow id="S5.Ex51.m1.5.5" xref="S5.Ex51.m1.5.5.cmml"><msub id="S5.Ex51.m1.5.5.4" xref="S5.Ex51.m1.5.5.4.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.5.5.4.2" xref="S5.Ex51.m1.5.5.4.2.cmml">C</mi><mn id="S5.Ex51.m1.5.5.4.3" xref="S5.Ex51.m1.5.5.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.5" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex51.m1.5.5.5.cmml">:=</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.4.4.1" xref="S5.Ex51.m1.4.4.1.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.4.4.1.3" xref="S5.Ex51.m1.4.4.1.3.cmml">p</mi><mo id="S5.Ex51.m1.4.4.1.2" xref="S5.Ex51.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.6" xref="S5.Ex51.m1.5.5.6.cmml">=</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.2" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.2.cmml">{</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.9.cmml"><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.9" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.9.cmml">(</mo><mi id="S5.Ex51.m1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.10" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.9.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex51.m1.2.2" xref="S5.Ex51.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.11" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.9.cmml">,</mo><mi id="S5.Ex51.m1.3.3" xref="S5.Ex51.m1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.12" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.9.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.1.1" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.13" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.9.cmml">,</mo><msub id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.2.2" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.2.2.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.14" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.9.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.3.3" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.3.3.2" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.3.3.3" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.15" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.9.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.4.4" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.4.4.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.4.4.2" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.4.4.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.4.4.3" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.4.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.16" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.9.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.5.5" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.5.5.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.5.5.2" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.5.5.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.5.5.3" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.5.5.3.cmml">11</mn></msup><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.17" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.9.cmml">,</mo><msup id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.6.6" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.6.6.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.6.6.2" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.6.6.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.6.6.3" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.6.6.3.cmml">12</mn></msup><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.18" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.9.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.cmml"><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7a" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.cmml">−</mo><msup id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.2" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.2.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.2.2" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.2.3" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.2.3.cmml">12</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.19" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.9.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.cmml"><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8a" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.cmml">−</mo><msup id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.2" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.2.cmml"><mi id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.2.2" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.2.3" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.2.3.cmml">11</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.20" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.9.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.3" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex51.m1.5b"><apply id="S5.Ex51.m1.5.5.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5"><and id="S5.Ex51.m1.5.5a.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5"></and><apply id="S5.Ex51.m1.5.5b.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5"><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex51.m1.5.5.5.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.5">assign</csymbol><apply id="S5.Ex51.m1.5.5.4.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex51.m1.5.5.4.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.4">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex51.m1.5.5.4.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.4.2">𝐶</ci><cn id="S5.Ex51.m1.5.5.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex51.m1.5.5.4.3">0</cn></apply><apply id="S5.Ex51.m1.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.4.4.1"><times id="S5.Ex51.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.4.4.1.2"></times><ci id="S5.Ex51.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S5.Ex51.m1.4.4.1.3">𝑝</ci><apply id="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex51.m1.4.4.1.1.1.1.3">0</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex51.m1.5.5c.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5"><eq id="S5.Ex51.m1.5.5.6.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.Ex51.m1.4.4.1.cmml" id="S5.Ex51.m1.5.5d.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5"></share><set id="S5.Ex51.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1"><vector id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.9.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8"><ci id="S5.Ex51.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S5.Ex51.m1.2.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.2.2">𝑥</ci><ci id="S5.Ex51.m1.3.3.cmml" xref="S5.Ex51.m1.3.3">𝑢</ci><apply id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.2.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.3.3.3">1</cn></apply><apply id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.4.4.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.4.4.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.4.4">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.4.4.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.4.4.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.4.4.3">2</cn></apply><apply id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.5.5.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.5.5.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.5.5">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.5.5.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.5.5.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.5.5.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.5.5.3">11</cn></apply><apply id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.6.6.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.6.6.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.6.6">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.6.6.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.6.6.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.6.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.6.6.3">12</cn></apply><apply id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7"><minus id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7"></minus><apply id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.2.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.2.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.7.7.2.3">12</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8"><minus id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8"></minus><apply id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.2.1.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.2.2.cmml" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex51.m1.5.5.2.1.1.8.8.2.3">11</cn></apply></apply></vector></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex51.m1.5c">C_{0}:=p\left(P_{0}\right)=\left\{\left(t,x,u,u_{t},u_{x},p^{1},p^{2},p^{11},p% ^{12},-p^{12},-p^{11}\right)\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex51.m1.5d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT := italic_p ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) = { ( italic_t , italic_x , italic_u , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 11 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 12 end_POSTSUPERSCRIPT , - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 12 end_POSTSUPERSCRIPT , - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 11 end_POSTSUPERSCRIPT ) }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.32">becomes</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.SS3.SSS2.p1.17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Theta_{h}=-\left(p^{1}u_{t}+p^{2}u_{x}\right)dt\wedge dx+p^{1}du\wedge dx-p^{% 2}du\wedge dt+\\ +p^{11}\left(du_{t}\wedge dx+du_{x}\wedge dt\right)-p^{12}\left(du_{t}\wedge dt% +du_{x}\wedge dx\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76a"><mtable displaystyle="true" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3" rowspacing="0pt"><mtr id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3a"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3b"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37"><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.38"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.1.1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">Θ</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">h</mi></msub><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.6.6.6.6.6.6" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.7.7.7.7.7.7.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">u</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.9.9.9.9.9.9.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.9.9.9.9.9.9.1.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.10.10.10.10.10.10" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.10.10.10.10.10.10.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.11.11.11.11.11.11" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.12.12.12.12.12.12.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.13.13.13.13.13.13" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">u</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.14.14.14.14.14.14.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml">x</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.15.15.15.15.15.15" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.16.16.16.16.16.16" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.16.16.16.16.16.16.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.17.17.17.17.17.17" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.18.18.18.18.18.18" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">∧</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.19.19.19.19.19.19" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.19.19.19.19.19.19.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.20.20.20.20.20.20" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.20.20.20.20.20.20.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.21.21.21.21.21.21" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.21.21.21.21.21.21.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.2"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.2.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.22.22.22.22.22.22" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.22.22.22.22.22.22.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.23.23.23.23.23.23.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.24.24.24.24.24.24" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.24.24.24.24.24.24.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.2.1a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.25.25.25.25.25.25" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.25.25.25.25.25.25.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.26.26.26.26.26.26" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.26.26.26.26.26.26.cmml">∧</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.27.27.27.27.27.27" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.27.27.27.27.27.27.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.28.28.28.28.28.28" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.28.28.28.28.28.28.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.29.29.29.29.29.29" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.29.29.29.29.29.29.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.2"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.2.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.30.30.30.30.30.30" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.30.30.30.30.30.30.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.31.31.31.31.31.31.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.31.31.31.31.31.31.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.32.32.32.32.32.32" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.32.32.32.32.32.32.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.2.1a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.33.33.33.33.33.33" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.33.33.33.33.33.33.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.34.34.34.34.34.34" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.34.34.34.34.34.34.cmml">∧</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.2"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.2.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.35.35.35.35.35.35" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.35.35.35.35.35.35.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.2.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.36.36.36.36.36.36" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.36.36.36.36.36.36.cmml">t</mi></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">+</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3c"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3d"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1a" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1.3"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.38.38.38.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.38.38.38.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.39.39.39.3.3.3.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.39.39.39.3.3.3.1.cmml">11</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1.1.1"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.40.40.40.4.4.4" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.41.41.41.5.5.5" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.41.41.41.5.5.5.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.42.42.42.6.6.6" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.42.42.42.6.6.6.cmml">u</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.43.43.43.7.7.7.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.43.43.43.7.7.7.1.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.44.44.44.8.8.8" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.44.44.44.8.8.8.cmml">∧</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.45.45.45.9.9.9" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.45.45.45.9.9.9.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.46.46.46.10.10.10" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.46.46.46.10.10.10.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.47.47.47.11.11.11" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.47.47.47.11.11.11.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.48.48.48.12.12.12" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.48.48.48.12.12.12.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.49.49.49.13.13.13" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.49.49.49.13.13.13.cmml">u</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.50.50.50.14.14.14.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.50.50.50.14.14.14.1.cmml">x</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.51.51.51.15.15.15" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.51.51.51.15.15.15.cmml">∧</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.52.52.52.16.16.16" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.52.52.52.16.16.16.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.53.53.53.17.17.17" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.53.53.53.17.17.17.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.54.54.54.18.18.18" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.55.55.55.19.19.19" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.55.55.55.19.19.19.cmml">−</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2.3"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.56.56.56.20.20.20" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.56.56.56.20.20.20.cmml">p</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.57.57.57.21.21.21.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.57.57.57.21.21.21.1.cmml">12</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2.1.1"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.58.58.58.22.22.22" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2.1.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2.1.1.1.1.1"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2.1.1.1.1.1.1"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.59.59.59.23.23.23" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.59.59.59.23.23.23.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.60.60.60.24.24.24" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.60.60.60.24.24.24.cmml">u</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.61.61.61.25.25.25.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.61.61.61.25.25.25.1.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.62.62.62.26.26.26" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.62.62.62.26.26.26.cmml">∧</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2.1.1.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.63.63.63.27.27.27" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.63.63.63.27.27.27.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.64.64.64.28.28.28" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.64.64.64.28.28.28.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.65.65.65.29.29.29" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.65.65.65.29.29.29.cmml">+</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2.1.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.66.66.66.30.30.30" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.66.66.66.30.30.30.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2.1.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2.1.1.1.1.2.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.67.67.67.31.31.31" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.67.67.67.31.31.31.cmml">u</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.68.68.68.32.32.32.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.68.68.68.32.32.32.1.cmml">x</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.69.69.69.33.33.33" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.69.69.69.33.33.33.cmml">∧</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2.1.1.1.2"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.70.70.70.34.34.34" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.70.70.70.34.34.34.cmml">d</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76.76.3.75.38.38.38.1.2.1.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.71.71.71.35.35.35" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.71.71.71.35.35.35.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.72.72.72.36.36.36" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.73.73.73.37.37.37" lspace="0em" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><eq id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.3.3.3.3.3.3"></eq><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.5.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.1.1.1.1.1.1">Θ</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.2.2.2.2.2.2.1">ℎ</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><minus id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.55.55.55.19.19.19.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.55.55.55.19.19.19"></minus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.37.37.37.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></plus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><and id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.34.34.34.34.34.34.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.34.34.34.34.34.34"></and><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><minus id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.29.29.29.29.29.29.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.29.29.29.29.29.29"></minus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><and id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.26.26.26.26.26.26.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.26.26.26.26.26.26"></and><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.21.21.21.21.21.21.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.21.21.21.21.21.21"></plus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><and id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.18.18.18.18.18.18.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.18.18.18.18.18.18"></and><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><minus id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></minus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.10.10.10.10.10.10.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.10.10.10.10.10.10"></plus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.6.6.6.6.6.6.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.6.6.6.6.6.6">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.7.7.7.7.7.7.1">1</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.8.8.8.8.8.8">𝑢</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.9.9.9.9.9.9.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.9.9.9.9.9.9.1">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.11.11.11.11.11.11">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.12.12.12.12.12.12.1">2</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.13.13.13.13.13.13.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.13.13.13.13.13.13">𝑢</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.14.14.14.14.14.14.1">𝑥</ci></apply></apply></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.16.16.16.16.16.16.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.16.16.16.16.16.16">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.17.17.17.17.17.17.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.17.17.17.17.17.17">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.19.19.19.19.19.19.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.19.19.19.19.19.19">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.20.20.20.20.20.20.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.20.20.20.20.20.20">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.22.22.22.22.22.22.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.22.22.22.22.22.22">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.23.23.23.23.23.23.1">1</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.24.24.24.24.24.24.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.24.24.24.24.24.24">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.25.25.25.25.25.25.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.25.25.25.25.25.25">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.27.27.27.27.27.27.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.27.27.27.27.27.27">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.28.28.28.28.28.28.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.28.28.28.28.28.28">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.30.30.30.30.30.30.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.30.30.30.30.30.30">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.31.31.31.31.31.31.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.31.31.31.31.31.31.1">2</cn></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.32.32.32.32.32.32.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.32.32.32.32.32.32">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.33.33.33.33.33.33.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.33.33.33.33.33.33">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.35.35.35.35.35.35.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.35.35.35.35.35.35">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.36.36.36.36.36.36.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.36.36.36.36.36.36">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.38.38.38.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.38.38.38.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.39.39.39.3.3.3.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.39.39.39.3.3.3.1">11</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><and id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.51.51.51.15.15.15.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.51.51.51.15.15.15"></and><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.47.47.47.11.11.11.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.47.47.47.11.11.11"></plus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><and id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.44.44.44.8.8.8.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.44.44.44.8.8.8"></and><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.41.41.41.5.5.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.41.41.41.5.5.5">𝑑</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.42.42.42.6.6.6.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.42.42.42.6.6.6">𝑢</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.43.43.43.7.7.7.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.43.43.43.7.7.7.1">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.45.45.45.9.9.9.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.45.45.45.9.9.9">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.46.46.46.10.10.10.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.46.46.46.10.10.10">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.48.48.48.12.12.12.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.48.48.48.12.12.12">𝑑</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.49.49.49.13.13.13.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.49.49.49.13.13.13">𝑢</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.50.50.50.14.14.14.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.50.50.50.14.14.14.1">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.52.52.52.16.16.16.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.52.52.52.16.16.16">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.53.53.53.17.17.17.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.53.53.53.17.17.17">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.56.56.56.20.20.20.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.56.56.56.20.20.20">𝑝</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.57.57.57.21.21.21.1.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.57.57.57.21.21.21.1">12</cn></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><and id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.69.69.69.33.33.33.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.69.69.69.33.33.33"></and><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><plus id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.65.65.65.29.29.29.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.65.65.65.29.29.29"></plus><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><and id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.62.62.62.26.26.26.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.62.62.62.26.26.26"></and><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.59.59.59.23.23.23.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.59.59.59.23.23.23">𝑑</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.60.60.60.24.24.24.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.60.60.60.24.24.24">𝑢</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.61.61.61.25.25.25.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.61.61.61.25.25.25.1">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.63.63.63.27.27.27.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.63.63.63.27.27.27">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.64.64.64.28.28.28.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.64.64.64.28.28.28">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.66.66.66.30.30.30.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.66.66.66.30.30.30">𝑑</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.67.67.67.31.31.31.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.67.67.67.31.31.31">𝑢</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.68.68.68.32.32.32.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.68.68.68.32.32.32.1">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.74.74.1.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.75.75.2.74.37.37.37.1.1.1.1.1a"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.70.70.70.34.34.34.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.70.70.70.34.34.34">𝑑</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.71.71.71.35.35.35.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.71.71.71.35.35.35">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76c">\Theta_{h}=-\left(p^{1}u_{t}+p^{2}u_{x}\right)dt\wedge dx+p^{1}du\wedge dx-p^{% 2}du\wedge dt+\\ +p^{11}\left(du_{t}\wedge dx+du_{x}\wedge dt\right)-p^{12}\left(du_{t}\wedge dt% +du_{x}\wedge dx\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.17.m1.76d">start_ROW start_CELL roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT = - ( italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_t ∧ italic_d italic_x + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_u ∧ italic_d italic_x - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_u ∧ italic_d italic_t + end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 11 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x + italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_t ) - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 12 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_t + italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x ) . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.18">The Hamilton equations on <math alttext="C_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1a"><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1c">C_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.18.m1.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S5.EGx25"> <tbody id="S5.Ex52"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial u}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex52.m1.1"><semantics id="S5.Ex52.m1.1a"><mrow id="S5.Ex52.m1.1.2.2" xref="S5.Ex52.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex52.m1.1.2.2.1" xref="S5.Ex52.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex52.m1.1.1" xref="S5.Ex52.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex52.m1.1.1a" xref="S5.Ex52.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex52.m1.1.1.2" xref="S5.Ex52.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S5.Ex52.m1.1.1.3" xref="S5.Ex52.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex52.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex52.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S5.Ex52.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex52.m1.1.1.3.2.cmml">u</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex52.m1.1.2.2.2" xref="S5.Ex52.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex52.m1.1b"><apply id="S5.Ex52.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex52.m1.1.2.2"><divide id="S5.Ex52.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex52.m1.1.2.2"></divide><partialdiff id="S5.Ex52.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex52.m1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S5.Ex52.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex52.m1.1.1.3"><partialdiff id="S5.Ex52.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex52.m1.1.1.3.1"></partialdiff><ci id="S5.Ex52.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex52.m1.1.1.3.2">𝑢</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex52.m1.1c">\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial u}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex52.m1.1d">( divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_u end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle:dp^{1}\wedge dx-dp^{2}\wedge dt=0," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex52.m2.1"><semantics id="S5.Ex52.m2.1a"><mrow id="S5.Ex52.m2.1.1.1" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msup></mrow><mo id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S5.Ex52.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex52.m2.1b"><apply id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1"><ci id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.1">:</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3"><eq id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.1"></eq><apply id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2"><and id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.1"></and><apply id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2"><minus id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.1"></minus><apply id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2"><and id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2"><times id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1"></times><ci id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex52.m2.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex52.m2.1c">\displaystyle:dp^{1}\wedge dx-dp^{2}\wedge dt=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex52.m2.1d">: italic_d italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x - italic_d italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_t = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex53"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial u_{t}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex53.m1.1"><semantics id="S5.Ex53.m1.1a"><mrow id="S5.Ex53.m1.1.2.2" xref="S5.Ex53.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex53.m1.1.2.2.1" xref="S5.Ex53.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex53.m1.1.1" xref="S5.Ex53.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex53.m1.1.1a" xref="S5.Ex53.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex53.m1.1.1.2" xref="S5.Ex53.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S5.Ex53.m1.1.1.3" xref="S5.Ex53.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex53.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex53.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S5.Ex53.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex53.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex53.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex53.m1.1.1.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex53.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex53.m1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex53.m1.1.2.2.2" xref="S5.Ex53.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex53.m1.1b"><apply id="S5.Ex53.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.2.2"><divide id="S5.Ex53.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.2.2"></divide><partialdiff id="S5.Ex53.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S5.Ex53.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.3"><partialdiff id="S5.Ex53.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex53.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex53.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex53.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex53.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex53.m1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex53.m1.1c">\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial u_{t}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex53.m1.1d">( divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle:-p^{1}dt\wedge dx-dp^{11}\wedge dx+dp^{12}\wedge dt=0," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex53.m2.1"><semantics id="S5.Ex53.m2.1a"><mrow id="S5.Ex53.m2.1.1.1" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2a" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><msup id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.1a" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.3.cmml">11</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">12</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S5.Ex53.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex53.m2.1b"><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1"><ci id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.1">:</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3"><eq id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.1"></eq><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2"><and id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.1"></and><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2"><plus id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.1"></plus><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2"><and id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2"><minus id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1"></minus><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2"><and id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2"><minus id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2"></minus><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2"><times id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.3">11</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3">12</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex53.m2.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex53.m2.1c">\displaystyle:-p^{1}dt\wedge dx-dp^{11}\wedge dx+dp^{12}\wedge dt=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex53.m2.1d">: - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t ∧ italic_d italic_x - italic_d italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 11 end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x + italic_d italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 12 end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_t = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex54"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial u_{x}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex54.m1.1"><semantics id="S5.Ex54.m1.1a"><mrow id="S5.Ex54.m1.1.2.2" xref="S5.Ex54.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex54.m1.1.2.2.1" xref="S5.Ex54.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex54.m1.1.1" xref="S5.Ex54.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex54.m1.1.1a" xref="S5.Ex54.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex54.m1.1.1.2" xref="S5.Ex54.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S5.Ex54.m1.1.1.3" xref="S5.Ex54.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex54.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex54.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msub id="S5.Ex54.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex54.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex54.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex54.m1.1.1.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex54.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex54.m1.1.1.3.2.3.cmml">x</mi></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex54.m1.1.2.2.2" xref="S5.Ex54.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex54.m1.1b"><apply id="S5.Ex54.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.2.2"><divide id="S5.Ex54.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.2.2"></divide><partialdiff id="S5.Ex54.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S5.Ex54.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1.3"><partialdiff id="S5.Ex54.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex54.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex54.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex54.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex54.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex54.m1.1.1.3.2.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex54.m1.1c">\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial u_{x}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex54.m1.1d">( divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle:-p^{2}dt\wedge dx-dp^{11}\wedge dt+dp^{12}\wedge dx=0," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex54.m2.1"><semantics id="S5.Ex54.m2.1a"><mrow id="S5.Ex54.m2.1.1.1" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2a" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><msup id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.1a" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.3.cmml">11</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">12</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S5.Ex54.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex54.m2.1b"><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1"><ci id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.1">:</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3"><eq id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.1"></eq><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2"><and id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.1"></and><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2"><plus id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.1"></plus><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2"><and id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2"><minus id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1"></minus><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2"><and id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2"><minus id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2"></minus><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2"><times id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.3">11</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3">12</cn></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex54.m2.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex54.m2.1c">\displaystyle:-p^{2}dt\wedge dx-dp^{11}\wedge dt+dp^{12}\wedge dx=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex54.m2.1d">: - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t ∧ italic_d italic_x - italic_d italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 11 end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_t + italic_d italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 12 end_POSTSUPERSCRIPT ∧ italic_d italic_x = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex55"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial p^{1}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex55.m1.1"><semantics id="S5.Ex55.m1.1a"><mrow id="S5.Ex55.m1.1.2.2" xref="S5.Ex55.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex55.m1.1.2.2.1" xref="S5.Ex55.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex55.m1.1.1" xref="S5.Ex55.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex55.m1.1.1a" xref="S5.Ex55.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex55.m1.1.1.2" xref="S5.Ex55.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S5.Ex55.m1.1.1.3" xref="S5.Ex55.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex55.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex55.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S5.Ex55.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex55.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex55.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex55.m1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex55.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex55.m1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex55.m1.1.2.2.2" xref="S5.Ex55.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex55.m1.1b"><apply id="S5.Ex55.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.2.2"><divide id="S5.Ex55.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.2.2"></divide><partialdiff id="S5.Ex55.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S5.Ex55.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.1.3"><partialdiff id="S5.Ex55.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex55.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex55.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex55.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex55.m1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex55.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex55.m1.1.1.3.2.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex55.m1.1c">\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial p^{1}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex55.m1.1d">( divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle:-u_{t}dt\wedge dx+du\wedge dx=0," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex55.m2.1"><semantics id="S5.Ex55.m2.1a"><mrow id="S5.Ex55.m2.1.1.1" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2a" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1a" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.4" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S5.Ex55.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex55.m2.1b"><apply id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1"><ci id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.1">:</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3"><eq id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.1"></eq><apply id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2"><and id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.1"></and><apply id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2"><plus id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.1"></plus><apply id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2"><and id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2"><minus id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2"></minus><apply id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2"><times id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex55.m2.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex55.m2.1c">\displaystyle:-u_{t}dt\wedge dx+du\wedge dx=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex55.m2.1d">: - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_t ∧ italic_d italic_x + italic_d italic_u ∧ italic_d italic_x = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex56"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial p^{2}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex56.m1.1"><semantics id="S5.Ex56.m1.1a"><mrow id="S5.Ex56.m1.1.2.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex56.m1.1.2.2.1" xref="S5.Ex56.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex56.m1.1.1" xref="S5.Ex56.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex56.m1.1.1a" xref="S5.Ex56.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S5.Ex56.m1.1.1.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex56.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex56.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S5.Ex56.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex56.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex56.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex56.m1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex56.m1.1.2.2.2" xref="S5.Ex56.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex56.m1.1b"><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.2.2"><divide id="S5.Ex56.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.2.2"></divide><partialdiff id="S5.Ex56.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.3"><partialdiff id="S5.Ex56.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex56.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex56.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex56.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex56.m1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex56.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex56.m1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex56.m1.1c">\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial p^{2}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex56.m1.1d">( divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle:-u_{x}dt\wedge dx-du\wedge dt=0," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex56.m2.1"><semantics id="S5.Ex56.m2.1a"><mrow id="S5.Ex56.m2.1.1.1" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2a" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1a" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.4" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S5.Ex56.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex56.m2.1b"><apply id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1"><ci id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.1">:</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3"><eq id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.1"></eq><apply id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2"><and id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.1"></and><apply id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2"><minus id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.1"></minus><apply id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2"><and id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2"><minus id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2"></minus><apply id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2"><times id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.2.3">𝑥</ci></apply><ci id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex56.m2.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex56.m2.1c">\displaystyle:-u_{x}dt\wedge dx-du\wedge dt=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex56.m2.1d">: - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_t ∧ italic_d italic_x - italic_d italic_u ∧ italic_d italic_t = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex57"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial p^{11}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex57.m1.1"><semantics id="S5.Ex57.m1.1a"><mrow id="S5.Ex57.m1.1.2.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex57.m1.1.2.2.1" xref="S5.Ex57.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex57.m1.1.1" xref="S5.Ex57.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex57.m1.1.1a" xref="S5.Ex57.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex57.m1.1.1.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S5.Ex57.m1.1.1.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex57.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex57.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S5.Ex57.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex57.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex57.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex57.m1.1.1.3.2.3.cmml">11</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex57.m1.1.2.2.2" xref="S5.Ex57.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex57.m1.1b"><apply id="S5.Ex57.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.2.2"><divide id="S5.Ex57.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.2.2"></divide><partialdiff id="S5.Ex57.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S5.Ex57.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.3"><partialdiff id="S5.Ex57.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex57.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex57.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex57.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex57.m1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex57.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex57.m1.1.1.3.2.3">11</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex57.m1.1c">\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial p^{11}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex57.m1.1d">( divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 11 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle:du_{t}\wedge dx+du_{x}\wedge dt=0," class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex57.m2.1"><semantics id="S5.Ex57.m2.1a"><mrow id="S5.Ex57.m2.1.1.1" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">x</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S5.Ex57.m2.1.1.1.2" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex57.m2.1b"><apply id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1"><ci id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.1">:</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3"><eq id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.1"></eq><apply id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2"><and id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.1"></and><apply id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2"><plus id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.1"></plus><apply id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2"><and id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2"><times id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1"></times><ci id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex57.m2.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex57.m2.1c">\displaystyle:du_{t}\wedge dx+du_{x}\wedge dt=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex57.m2.1d">: italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x + italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_t = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S5.Ex58"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial p^{12}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex58.m1.1"><semantics id="S5.Ex58.m1.1a"><mrow id="S5.Ex58.m1.1.2.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex58.m1.1.2.2.1" xref="S5.Ex58.m1.1.1.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S5.Ex58.m1.1.1" xref="S5.Ex58.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.Ex58.m1.1.1a" xref="S5.Ex58.m1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S5.Ex58.m1.1.1.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S5.Ex58.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S5.Ex58.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><msup id="S5.Ex58.m1.1.1.3.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex58.m1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mn id="S5.Ex58.m1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex58.m1.1.1.3.2.3.cmml">12</mn></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S5.Ex58.m1.1.2.2.2" xref="S5.Ex58.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex58.m1.1b"><apply id="S5.Ex58.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.2.2"><divide id="S5.Ex58.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.2.2"></divide><partialdiff id="S5.Ex58.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1.2"></partialdiff><apply id="S5.Ex58.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1.3"><partialdiff id="S5.Ex58.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1.3.1"></partialdiff><apply id="S5.Ex58.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex58.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.Ex58.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex58.m1.1.1.3.2.2">𝑝</ci><cn id="S5.Ex58.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex58.m1.1.1.3.2.3">12</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex58.m1.1c">\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial p^{12}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex58.m1.1d">( divide start_ARG ∂ end_ARG start_ARG ∂ italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 12 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle:du_{t}\wedge dt+du_{x}\wedge dx=0." class="ltx_Math" display="inline" id="S5.Ex58.m2.1"><semantics id="S5.Ex58.m2.1a"><mrow id="S5.Ex58.m2.1.1.1" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">x</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S5.Ex58.m2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex58.m2.1b"><apply id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1"><ci id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.1">:</ci><csymbol cd="latexml" id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3"><eq id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.1"></eq><apply id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2"><and id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.1"></and><apply id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2"><plus id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.1"></plus><apply id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2"><and id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2"><times id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.1"></times><ci id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3"><times id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3"><times id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex58.m2.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex58.m2.1c">\displaystyle:du_{t}\wedge dt+du_{x}\wedge dx=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex58.m2.1d">: italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_t + italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.22">No further restrictions are necessary in order to ensure that this system has solutions; therefore, <math alttext="C_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1a"><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1c">C_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.19.m1.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is final for <math alttext="\Theta_{h}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1a"><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1.1.3.cmml">h</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1.1.2">Θ</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1.1.3">ℎ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1c">\Theta_{h}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.20.m2.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_h end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Thus, the next step in the constraint algorithm is to construct a lift <math alttext="\widehat{\psi}:U\subset\mathbb{R}^{2}\to P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.3.cmml">⊂</mo><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.4" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.4.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.4.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.4.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.4.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.5" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.5.cmml">→</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.6" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.6.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.6.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.6.2.cmml">P</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.6.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.6.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.1">:</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.2"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.2.1">^</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.2.2">𝜓</ci></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3"><and id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3a.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3"></and><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3b.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3"><subset id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.3"></subset><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.2">𝑈</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.4.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.4.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.4.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.4.2">ℝ</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3c.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.5.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.4.cmml" id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3d.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3"></share><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.6.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.6.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.6">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.6.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.6.2">𝑃</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1.1.3.6.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1c">\widehat{\psi}:U\subset\mathbb{R}^{2}\to P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.21.m3.1d">over^ start_ARG italic_ψ end_ARG : italic_U ⊂ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT → italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for every solution <math alttext="\psi:U\to C_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.2.cmml">U</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.1.cmml">→</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.3.2.cmml">C</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.1">:</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.2">𝜓</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3"><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.1">→</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.2">𝑈</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.3.2">𝐶</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1.1.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1c">\psi:U\to C_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.22.m4.1d">italic_ψ : italic_U → italic_C start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of these equations, such that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex59"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{\psi}^{*}\left(Z\lrcorner d\Theta\right)=0" class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex59.m1.1"><semantics id="S5.Ex59.m1.1a"><mrow id="S5.Ex59.m1.1.1" xref="S5.Ex59.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex59.m1.1.1.1" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.Ex59.m1.1.1.1.3" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.2.1" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S5.Ex59.m1.1.1.1.2" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Z</mi><mo id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⌟</mi><mo id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5" mathvariant="normal" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">Θ</mi></mrow><mo id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S5.Ex59.m1.1.1.2" xref="S5.Ex59.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S5.Ex59.m1.1.1.3" xref="S5.Ex59.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex59.m1.1b"><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1"><eq id="S5.Ex59.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.2"></eq><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1"><times id="S5.Ex59.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.2"><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.2.2">𝜓</ci></apply><times id="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1"><times id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.3">⌟</ci><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.4">𝑑</ci><ci id="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S5.Ex59.m1.1.1.1.1.1.1.5">Θ</ci></apply></apply><cn id="S5.Ex59.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.Ex59.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex59.m1.1c">\widehat{\psi}^{*}\left(Z\lrcorner d\Theta\right)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex59.m1.1d">over^ start_ARG italic_ψ end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_Z ⌟ italic_d roman_Θ ) = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.23">for every <math alttext="Z\in\mathfrak{X}^{V_{0}}\left(W\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.2.cmml">Z</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.cmml"><msup id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.2.cmml">𝔛</mi><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.3.2.cmml">V</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.3.3.cmml">0</mn></msub></msup><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.3.2.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.1.cmml">W</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.3.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2"><in id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.1"></in><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.2">𝑍</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.1"></times><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.2">𝔛</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.3.2">𝑉</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.2.3.2.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1.1">𝑊</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1c">Z\in\mathfrak{X}^{V_{0}}\left(W\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.23.m1.1d">italic_Z ∈ fraktur_X start_POSTSUPERSCRIPT italic_V start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_W )</annotation></semantics></math>; using Equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2407.03991v2#S5.E9" title="Equation 5.9 ‣ 5.3.2. Wave equation ‣ 5.3. Examples ‣ 5. Towards a constraint algorithm for general variational problems ‣ A Hamiltonian formalism for general variational problems, with applications to first order gravity with basis"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5.9</span></a>), it follows that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex60"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\widehat{\psi}=\left(t,x,,u,u_{t},u_{x},u_{tt},u_{tx},p^{1},p^{2},p^{11},p^{12% },-p^{12},-p^{11}\right)" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S5.Ex60.m1.2"><semantics id="S5.Ex60.m1.2a"><mrow id="S5.Ex60.m1.2b"><mover accent="true" id="S5.Ex60.m1.2.3"><mi id="S5.Ex60.m1.2.3.2">ψ</mi><mo id="S5.Ex60.m1.2.3.1">^</mo></mover><mo id="S5.Ex60.m1.2.4">=</mo><mrow id="S5.Ex60.m1.2.5"><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.1">(</mo><mi id="S5.Ex60.m1.1.1">t</mi><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.2">,</mo><mi id="S5.Ex60.m1.2.2">x</mi><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.3">,</mo><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.4">,</mo><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.5">u</mi><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.6">,</mo><msub id="S5.Ex60.m1.2.5.7"><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.7.2">u</mi><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.7.3">t</mi></msub><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.8">,</mo><msub id="S5.Ex60.m1.2.5.9"><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.9.2">u</mi><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.9.3">x</mi></msub><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.10">,</mo><msub id="S5.Ex60.m1.2.5.11"><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.11.2">u</mi><mrow id="S5.Ex60.m1.2.5.11.3"><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.11.3.2">t</mi><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.11.3.1">⁢</mo><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.11.3.3">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.12">,</mo><msub id="S5.Ex60.m1.2.5.13"><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.13.2">u</mi><mrow id="S5.Ex60.m1.2.5.13.3"><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.13.3.2">t</mi><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.13.3.1">⁢</mo><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.13.3.3">x</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.14">,</mo><msup id="S5.Ex60.m1.2.5.15"><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.15.2">p</mi><mn id="S5.Ex60.m1.2.5.15.3">1</mn></msup><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.16">,</mo><msup id="S5.Ex60.m1.2.5.17"><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.17.2">p</mi><mn id="S5.Ex60.m1.2.5.17.3">2</mn></msup><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.18">,</mo><msup id="S5.Ex60.m1.2.5.19"><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.19.2">p</mi><mn id="S5.Ex60.m1.2.5.19.3">11</mn></msup><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.20">,</mo><msup id="S5.Ex60.m1.2.5.21"><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.21.2">p</mi><mn id="S5.Ex60.m1.2.5.21.3">12</mn></msup><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.22" rspace="0em">,</mo><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.23" lspace="0em">−</mo><msup id="S5.Ex60.m1.2.5.24"><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.24.2">p</mi><mn id="S5.Ex60.m1.2.5.24.3">12</mn></msup><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.25" rspace="0em">,</mo><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.26" lspace="0em">−</mo><msup id="S5.Ex60.m1.2.5.27"><mi id="S5.Ex60.m1.2.5.27.2">p</mi><mn id="S5.Ex60.m1.2.5.27.3">11</mn></msup><mo id="S5.Ex60.m1.2.5.28">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex60.m1.2c">\widehat{\psi}=\left(t,x,,u,u_{t},u_{x},u_{tt},u_{tx},p^{1},p^{2},p^{11},p^{12% },-p^{12},-p^{11}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex60.m1.2d">over^ start_ARG italic_ψ end_ARG = ( italic_t , italic_x , , italic_u , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 11 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 12 end_POSTSUPERSCRIPT , - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 12 end_POSTSUPERSCRIPT , - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 11 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.33">must be integral for the ideal generated by the forms</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.Ex61"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="-u_{tt}dt\wedge dx+du_{t}\wedge dx,\qquad-u_{tx}dt\wedge dx+du_{t}\wedge dt." class="ltx_Math" display="block" id="S5.Ex61.m1.1"><semantics id="S5.Ex61.m1.1a"><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1"><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1a" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="2.167em" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2a" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></msub><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1a" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.4" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.4.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">u</mi><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">∧</mo><mrow id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.Ex61.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.Ex61.m1.1b"><list id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2"><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1"><and id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.1"></and><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><and id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></minus><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><times id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2"><and id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2"><plus id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"></plus><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><and id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"></and><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><minus id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"></minus><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2"><times id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑢</ci><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3">𝑑</ci><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.4">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><times id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"><times id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.2">𝑢</ci><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S5.Ex61.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.Ex61.m1.1c">-u_{tt}dt\wedge dx+du_{t}\wedge dx,\qquad-u_{tx}dt\wedge dx+du_{t}\wedge dt.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.Ex61.m1.1d">- italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_t ∧ italic_d italic_x + italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_x , - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_x end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_t ∧ italic_d italic_x + italic_d italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∧ italic_d italic_t .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.SS3.SSS2.p1.25">It is straightforward to check that we can use the equations associated to these forms to choose the unknown functions <math alttext="u_{tt},u_{tx}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2a"><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.3.cmml"><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.3.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">x</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2b"><list id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.3"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.2">𝑢</ci><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.3"><times id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2.2.2.2.3.3">𝑥</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2c">u_{tt},u_{tx}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.24.m1.2d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_t end_POSTSUBSCRIPT , italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_t italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and also the lift is guaranteed; so, <math alttext="P_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1"><semantics id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1a"><msub id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1.1" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1.1.2" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1.1.3" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1b"><apply id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1c">P_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.SS3.SSS2.p1.25.m2.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a final constraint submanifold.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.SS3.SSS2.p2"> <span class="ltx_ERROR undefined" id="S5.SS3.SSS2.p2.1">\printbibliography</span> </div> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> </section> </section> </section> </article> </div> <footer class="ltx_page_footer"> <div class="ltx_page_logo">Generated on Sun Jan 19 14:12:45 2025 by <a class="ltx_LaTeXML_logo" href="http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/"><span style="letter-spacing:-0.2em; margin-right:0.1em;">L<span class="ltx_font_smallcaps" style="position:relative; bottom:2.2pt;">a</span>T<span class="ltx_font_smallcaps" style="font-size:120%;position:relative; bottom:-0.2ex;">e</span></span><span style="font-size:90%; position:relative; bottom:-0.2ex;">XML</span><img alt="Mascot Sammy" src="data:image/png;base64,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"/></a> </div></footer> </div> </body> </html>