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<div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ページツール"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="表示"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">表示</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">サイドバーに移動</button> <button 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#a2a9b1;font-size:90%}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .hatnote>table{color:inherit}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .hatnote>table{color:inherit}}</style><div class="hatnote dablink noprint"><table style="width:100%; background:transparent;"> <tbody><tr><td style="width:25px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Disambig_gray.svg" class="mw-file-description" title="曖昧さ回避"><img alt="曖昧さ回避" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png" decoding="async" width="25" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/38px-Disambig_gray.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/50px-Disambig_gray.svg.png 2x" data-file-width="220" data-file-height="168" /></a></span></td> <td>この項目では、関数解析学におけるについて説明しています。位相空間論におけるについては「<a href="/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93" title="T1空間">T1空間</a>」を、列型空間の一種については「<a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%83%AA%E3%82%BE%E3%83%BC%E3%83%B3%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&redlink=1" class="new" title="「フレシェ・ウリゾーン空間」 (存在しないページ)">フレシェ・ウリゾーン空間</a>」をご覧ください。</td> </tr></tbody></table></div> <p><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>の<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" title="関数解析学">関数解析学</a>周辺分野における<b>フレシェ空間</b>（フレシェくうかん、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>Fréchet spaces</i></span>）は、<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7" class="mw-redirect" title="モーリス・フレシェ">モーリス・フレシェ</a>に名を因む、<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93" title="位相空間">位相空間</a>の一種である。フレシェ空間は（<a href="/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0" title="ノルム">ノルム</a>の導く<a href="/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E9%96%A2%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="距離関数">距離</a>に関して<a href="/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93" title="完備距離空間">完備</a>な<a href="/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0%E4%BB%98%E3%81%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="ノルム付き線型空間">ノルム付き線型空間</a>である）<a href="/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%E7%A9%BA%E9%96%93" title="バナッハ空間">バナッハ空間</a>を一般化するもので、<a href="/w/index.php?title=%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E7%A7%BB%E5%8B%95%E4%B8%8D%E5%A4%89%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E9%96%A2%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「平行移動不変距離関数」 (存在しないページ)">平行移動不変距離関数</a>に関して完備な<a href="/wiki/%E5%B1%80%E6%89%80%E5%87%B8%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="局所凸空間">局所凸空間</a>を言う。バナッハ空間との違いは、その距離がノルムから生じるものでなくともよいことである。 </p><p>フレシェ空間の<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E6%A7%8B%E9%80%A0" class="mw-redirect" title="位相構造">位相構造</a>は、バナッハ空間のと比べてノルムがない分だけより複雑なものではあるけれども、<a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="ハーン・バナッハの定理">ハーン・バナッハの定理</a>や<a href="/wiki/%E9%96%8B%E5%86%99%E5%83%8F%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90)" title="開写像定理 (関数解析)">開写像定理</a>、<a href="/w/index.php?title=%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「バナッハ・シュタインハウスの定理」 (存在しないページ)">バナッハ・シュタインハウスの定理</a>などの関数解析学における重要な結果の多くが、フレシェ空間においてもやはり成り立つ。 </p><p><a href="/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E9%96%A2%E6%95%B0" title="滑らかな関数">無限階微分可能</a>な関数の成す空間などは、フレシェ空間の典型例である。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="定義"><span id=".E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>定義</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&section=1" title="節を編集: 定義"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>フレシェ空間の定義には主に大きく二つの流儀があり、ひとつは<a href="/w/index.php?title=%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E7%A7%BB%E5%8B%95%E4%B8%8D%E5%A4%89%E8%B7%9D%E9%9B%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="「平行移動不変距離」 (存在しないページ)">平行移動不変距離</a>を用いるもので、もうひとつは<a href="/wiki/%E5%8D%8A%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0" title="半ノルム">半ノルム</a>の可算族を用いるものである。 </p><p>位相線型空間 <i>X</i> が<b>フレシェ空間</b>であるとは、以下の三条件を満たすことを言う： </p> <ul><li><i>X</i> は<a href="/wiki/%E5%B1%80%E6%89%80%E5%87%B8%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="局所凸位相ベクトル空間">局所凸</a>である。</li> <li><i>X</i> の位相は平行移動不変距離（即ち、距離関数 <i>d</i>: <i>X</i> × <i>X</i> → <b>R</b> で、任意の <i>a</i>, <i>x</i>, <i>y</i> に対して <i>d</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) = <i>d</i>(<i>x</i>+<i>a</i>, <i>y</i>+<i>a</i>) を満たすもの）から導かれる。これは、<i>X</i> の部分集合 <i>U</i> が<a href="/wiki/%E9%96%8B%E9%9B%86%E5%90%88" title="開集合">開集合</a>であることと、<i>U</i> の各点 <i>u</i> に対して適当な ε > 0 を選べば、集合 {<i>v</i> : <i>d</i>(<i>u</i>, <i>v</i>) < ε} が <i>U</i> に含まれるようにできることとが同値であることを意味する。</li> <li><i>X</i> は先の <i>d</i> に関して<a href="/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93" title="完備距離空間">完備距離空間</a>である。</li></ul> <p>ここで注意すべきは、フレシェ空間の二点間の距離として自然なものは存在しないことで、多くの異なる平行移動不変距離が同じ位相を誘導しうる。 </p><p>先の定義とは別に、ある意味でより実用的な定義が以下のように与えられる。位相線型空間 <i>X</i> が<b>フレシェ空間</b>であるとは以下の三条件を満たすことを言う： </p> <ul><li><i>X</i> は<a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ハウスドルフ空間">ハウスドルフ空間</a>である。</li> <li><i>X</i> の位相は半ノルムの可算族 ‖•‖<sub><i>k</i></sub> (<i>k</i> = 0,1,2,…) から誘導される。これは、<i>X</i> の部分集合 <i>U</i> が開であることと、<i>U</i> の各点 <i>u</i> において適当な <i>K</i> ≥ 0 と ε > 0 を選べば、集合 {<i>v</i> : ‖<i>u</i> - <i>v</i>‖<sub><i>k</i></sub> < ε for all <i>k</i> ≤ <i>K</i>} が <i>U</i> に含まれるようにすることができることとが同値となることを意味する。</li> <li><i>X</i> はこの半ノルム族に関して完備である。</li></ul> <p>半ノルム族で定義されるフレシェ空間 <i>X</i> においては、<i>X</i> 内の点列 (<i>x<sub>n</sub></i>) が <i>x</i> に収束することと、その点列が所与の半ノルムの各々に関して <i>x</i> に収束することとが同値になる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="フレシェ空間の構成法"><span id=".E3.83.95.E3.83.AC.E3.82.B7.E3.82.A7.E7.A9.BA.E9.96.93.E3.81.AE.E6.A7.8B.E6.88.90.E6.B3.95"></span>フレシェ空間の構成法</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&section=2" title="節を編集: フレシェ空間の構成法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>半ノルム ǁ ⋅ ǁ とはベクトル空間 <i>X</i> から実数全体の成す集合への写像で、任意のベクトル <i>x</i>, <i>y</i> とスカラー <i>c</i> について、以下の三条件 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|x\|\geq 0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|x\|\geq 0,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f086b2fd11cbbf399514cdf6ca2479696fd7754" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.562ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|x\|\geq 0,}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>≤</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f5f49534ac1be1d5b588e924dde8048fa3ad57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.371ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|,}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|c\cdot x\|=|c|\|x\|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>c</mi> <mo>⋅</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|c\cdot x\|=|c|\|x\|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c26171ed845b28d2c9469550ea05a1ec6d97b19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.394ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|c\cdot x\|=|c|\|x\|}"></span></dd></dl> <p>を満たすもののことであったのを思い出そう。ここでさらに ǁ<i>x</i>ǁ = 0 が実は <i>x</i> = 0 を導くならば ǁ ⋅ ǁ はノルムになるが、以下の如くフレシェ空間の構成を可能にするという点において半ノルムのほうが有効である。 </p><p>フレシェ空間の構成にあたって、ベクトル空間 <i>X</i> と <i>X</i> 上の半ノルム族 ǁ ⋅ ǁ<sub><i>k</i></sub> で以下の二性質を満たすものから始めるのが典型的である。 </p> <ul><li>点 <i>x</i> ∈ <i>X</i> が ǁ<i>x</i>ǁ<sub><i>k</i></sub> = 0 を全ての <i>k</i> ≥ 0 に対して満たすならば <i>x</i> = 0 である。</li> <li><i>X</i> 内の点列 (<i>x</i><sub><i>n</i></sub>) が各半ノルム ǁ ⋅ ǁ<sub><i>k</i></sub> に関して<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97" title="コーシー列">コーシー列</a>を成すならば、適当な点 <i>x</i> ∈ <i>X</i> が存在して (<i>x<sub>n</sub></i>) が各半ノルム ǁ ⋅ ǁ<sub><i>k</i></sub> に関して <i>x</i> に収束する。</li></ul> <p>このとき、これらの半ノルムから（上述の如く）導かれる位相によって <i>X</i> はフレシェ空間になる。実際、半ノルムに関する条件の前者からはハウスドルフ性が、後者からは完備性がそれぞれ保証される。これと同じ位相を誘導する平行移動不変かつ完備な距離関数を </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\|x-y\|_{k}}{1+\|x-y\|_{k}}}\;2^{-k},\quad (x,y\in X)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\|x-y\|_{k}}{1+\|x-y\|_{k}}}\;2^{-k},\quad (x,y\in X)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824822c7ce4f366632dd1b53d46f8a83c5ca7c34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:44.644ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\|x-y\|_{k}}{1+\|x-y\|_{k}}}\;2^{-k},\quad (x,y\in X)}"></span></dd></dl> <p>で定義することができる。 </p><p>関数 <i>u</i> → <i>u</i>/(1+<i>u</i>) は [0, ∞) を単調に [0, 1) に写すことに注意すれば、故に上記定義からは <i>d</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) が「十分小さい」ことと「十分大きな」<i>K</i> が存在して <i>k</i> = 0, …, <i>K</i> に対する ǁ<i>x</i> - <i>y</i>ǁ<sub><i>k</i></sub> が何れも「小さい」こととが同値になることが保証されることがわかる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="例"><span id=".E4.BE.8B"></span>例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&section=3" title="節を編集: 例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>任意のバナッハ空間は、ノルムが平行移動不変距離を導き、ノルムの導く距離に関して完備であるから、フレシェ空間である。</li> <li><div style="margin:8px 0px;">無限階微分可能関数 ƒ: [0,1] → <b>R</b> 全体の成す<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a> <i>C</i><sup>∞</sup>([0, 1]) は、非負整数 <i>k</i> で添字づけられる半ノルム族<div style="margin:1ex 2em"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|f\|_{k}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [0,1]\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>f</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|f\|_{k}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [0,1]\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e71bec38c5b679288ebc4e2a710a1423bb62f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.498ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \|f\|_{k}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [0,1]\}}"></span></div>によってフレシェ空間になる。ただし、ƒ<sup>(<i>k</i>)</sup> は ƒ の <i>k</i>-階導関数で ƒ<sup>(0)</sup> = ƒ とする。</div><div style="margin:8px 0px;">このフレシェ空間において、関数列 (ƒ<sub><i>n</i></sub>) が <i>C</i><sup>∞</sup>([0, 1]) の元 ƒ に収束する必要十分条件は、各非負整数 <i>k</i> に対して関数列 (<i>f</i><span style="display:inline-block;margin-bottom:-0.3em;vertical-align:-0.4em;line-height:1.2em;font-size:80%;text-align:left">(<i>k</i>)<br /><i>n</i></span>) が ƒ<sup>(<i>k</i>)</sup> に<a href="/wiki/%E4%B8%80%E6%A7%98%E5%8F%8E%E6%9D%9F" title="一様収束">一様収束</a>することである。</div></li> <li>無限階微分可能関数 ƒ: <b>R</b> → <b>R</b> 全体の成すベクトル空間 <i>C</i><sup>∞</sup>(<b>R</b>) は、非負整数 <i>k</i>, <i>n</i> ≥ 0 で添字づけられる半ノルム族<div style="margin:1ex 2em"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>f</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8038f82837d932ee25e0e72b0ef3e3d8670a88" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:36.214ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}}"></span></div>に関してフレシェ空間を成す。</li> <li><i>m</i>-回連続的微分可能関数 ƒ: <b>R</b> → <b>R</b> 全体の成すベクトル空間 <i>C</i><sup><i>m</i></sup>(<b>R</b>) は、非負整数 <i>n</i> ≥ 0 および <i>k</i> = 0, …,<i>m</i> で添字づけられる半ノルム族<div style="margin:1ex 2em;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>f</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8038f82837d932ee25e0e72b0ef3e3d8670a88" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:36.214ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}}"></span></div>によってフレシェ空間になる。</li> <li><i>H</i> を<a href="/wiki/%E6%95%B4%E9%96%A2%E6%95%B0" title="整関数">整関数</a>（ガウス平面上至る所<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E9%96%A2%E6%95%B0" title="正則関数">正則</a>な関数）全体の成すベクトル空間とすると、半ノルム族<div style="margin: 1ex 2em;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|f\|_{n}=\sup\{|f(z)|:|z|\leq n\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>f</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|f\|_{n}=\sup\{|f(z)|:|z|\leq n\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b36dcecdb400dcec003824f29d6d104cfb68c91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.029ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|f\|_{n}=\sup\{|f(z)|:|z|\leq n\}}"></span></div>によって <i>H</i> はフレシェ空間を成す。</li> <li><i>H</i> を<a href="/w/index.php?title=%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%9E%8B&action=edit&redlink=1" class="new" title="「指数型」 (存在しないページ)">指数型</a> τ の整関数全体の成す空間とすると、半ノルム族<div style="margin: 1ex 2em"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\,\exp \!\left(-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right)|f(z)|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>f</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mrow> </munder> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>exp</mi> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>τ</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\,\exp \!\left(-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right)|f(z)|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea7d75bfecf92b3f8e31e2917bb737e306d4765" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:39.685ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\,\exp \!\left(-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right)|f(z)|}"></span></div>によって <i>H</i> はフレシェ空間になる。</li> <li><div style="margin:8px 0px;"><i>M</i> をコンパクト <i>C</i><sup>∞</sup>-<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="多様体">多様体</a>、<i>B</i> を<a href="/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%E7%A9%BA%E9%96%93" title="バナッハ空間">バナッハ空間</a>とすると、無限階微分可能写像 ƒ: <i>M</i> → <i>B</i> 全てからなる集合 <i>C</i><sup>∞</sup>(<i>M</i>, <i>B</i>) は、各関数の任意の偏導関数のノルムの上限を半ノルムとしてフレシェ空間になる。また、<i>M</i> が（必ずしもコンパクトでない）<i>C</i><sup>∞</sup>-多様体で、コンパクト部分集合からなる可算列 <i>K</i><sub><i>n</i></sub> で尽くされる（従って <i>M</i> の任意のコンパクト部分集合が少なくとも一つの <i>K</i><sub><i>n</i></sub> に含まれる）ならば、各空間 <i>C</i><sup><i>m</i></sup>(<i>M</i>, <i>B</i>) および <i>C</i><sup>∞</sup>(<i>M</i>, <i>B</i>) は自然な仕方でフレシェ空間になる。</div><div style="margin:8px 0px;">実は、どんな有限次元の滑らかな多様体 <i>M</i> も同様のコンパクト部分集合の入れ子になった和に分解できる。<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E8%A8%88%E9%87%8F" class="mw-redirect" title="リーマン計量">リーマン計量</a> <i>g</i> があるならば、それが導く距離を <i>d</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) とし、<i>M</i> の点 <i>x</i> を選んで、<div style="margin: 1ex 2em"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K_{n}=\{y\in M|d(x,y)\leq n\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K_{n}=\{y\in M|d(x,y)\leq n\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c49644365afdfd416bdf805d188e7a486d2972" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.738ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K_{n}=\{y\in M|d(x,y)\leq n\}}"></span></div>とすればよい。</div><div style="margin:8px 0px;"><i>M</i> をコンパクト <i>C</i><sup>∞</sup>-多様体、<i>V</i> を <i>M</i> 上のベクトル束とし、<i>M</i> 上定義された <i>V</i> の滑らかな切断全体の成す空間を <i>C</i><sup>∞</sup>(<i>M</i>, <i>V</i>) で表す。接束 <i>TM</i> および束 <i>V</i> 上の（存在が保証された）リーマン計量および接続を選んで固定する。切断 <i>s</i> と、その <i>j</i>-階共変導関数 <i>D</i><sup><i>j</i></sup><i>s</i> に対して<div style="margin: 1ex 2em"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|s\|_{n}=\sum _{j=0}^{n}\sup _{x\in M}|D^{j}s|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>s</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>M</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|s\|_{n}=\sum _{j=0}^{n}\sup _{x\in M}|D^{j}s|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd4dfef18abb94da739af3f8e485ea1bfb79fbf3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:20.843ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \|s\|_{n}=\sum _{j=0}^{n}\sup _{x\in M}|D^{j}s|}"></span></div>（右辺の |⋅| はリーマン計量の導くノルム）と定めると、この半ノルム族に関して<i>C</i><sup>∞</sup>(<i>M</i>, <i>V</i>) はフレシェ空間になる。</div></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E5%AE%9F%E6%95%B0%E5%88%97%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&redlink=1" class="new" title="「実数列空間」 (存在しないページ)">実数列空間</a> <b>R</b><sup>ω</sup> は、数列の第 <i>k</i>-項の<a href="/wiki/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%80%A4" title="絶対値">絶対値</a>を <i>k</i>-番目の半ノルムとしてフレシェ空間になる。このフレシェ空間における収束は各項収束を意味する。</li></ul> <p>完備な平行移動不変距離を持つベクトル空間のすべてがフレシェ空間になるわけではない。例えば、<i>p</i> < 1 に対する<a href="/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="ルベーグ空間"> <i>L</i><sup><i>p</i></sup>([0, 1])</a> は局所凸ではないのでフレシェ空間でない（<a href="/wiki/F%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="F空間">F空間</a>になる）。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="性質および諸概念"><span id=".E6.80.A7.E8.B3.AA.E3.81.8A.E3.82.88.E3.81.B3.E8.AB.B8.E6.A6.82.E5.BF.B5"></span>性質および諸概念</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&section=4" title="節を編集: 性質および諸概念"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>フレシェ空間に連続ノルムが存在するときには、半ノルム族の各半ノルムに連続ノルムを加えて、ノルムにすることができる。<i>C</i><sup>∞</sup>([a,b]) や <i>X</i> がコンパクトなときの <i>C</i><sup>∞</sup>(<i>X</i>, <i>V</i>) あるいは <i>H</i> などのバナッハ空間はノルムを持っているが、 <b>R</b><sup>ω</sup> や <i>C</i>(<b>R</b>) は持っていない。 </p><p>フレシェ空間の閉部分空間はフレシェ空間である。また、フレシェ空間の閉部分空間による商はフレシェ空間である。フレシェ空間の有限個の直和もフレシェ空間になる。 </p><p><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E7%AF%84%E7%96%87%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ベールの範疇定理">ベールの範疇定理</a>に基づく関数解析学の重要な主張のいくらかはフレシェ空間においても成立する。例えば、<a href="/wiki/%E9%96%89%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95%E5%AE%9A%E7%90%86" title="閉グラフ定理">閉グラフ定理</a>、<a href="/wiki/%E9%96%8B%E5%86%99%E5%83%8F%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90)" title="開写像定理 (関数解析)">開写像定理</a>など。 </p><p><i>X</i> と <i>Y</i> がともにフレシェ空間のとき、<i>X</i> から <i>Y</i> への<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F" title="連続写像">連続</a><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" class="mw-redirect" title="線型作用素">線型作用素</a>全体の成す空間 L(<i>X</i>,<i>Y</i>) は自然にフレシェ空間になることは<b>ない</b>。これはバナッハ空間論とフレシェ空間論との大きな違いであり、フレシェ空間上の写像の連続的微分可能の定義を改めることが必要となる（<a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%83%88%E3%83%BC%E5%BE%AE%E5%88%86" title="ガトー微分">ガトー微分</a>）： </p><p><i>X</i> と <i>Y</i> がフレシェ空間、<i>U</i> が <i>X</i> の開部分集合とし、写像 <i>P</i>: <i>U</i> → <i>Y</i> および <i>x</i> ∈ <i>U</i>, <i>h</i> ∈ <i>X</i> をとる。写像 <i>P</i> が点 <i>x</i> において <i>h</i> の方向へ微分可能であるとは、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(P)(x)(h)=\lim _{t\to 0}\,{\frac {1}{t}}{\Big (}P(x+th)-P(x){\Big )}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>t</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(P)(x)(h)=\lim _{t\to 0}\,{\frac {1}{t}}{\Big (}P(x+th)-P(x){\Big )}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051a39160e1dd0c3147f370f031cabf9dbdb4b00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:41.271ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle D(P)(x)(h)=\lim _{t\to 0}\,{\frac {1}{t}}{\Big (}P(x+th)-P(x){\Big )}}"></span></dd></dl> <p>なる極限が存在することを言う。さらに写像 <i>P</i> が <i>U</i> において<b>連続的微分可能</b>であるとは </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(P):U\times X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>U</mi> <mo>×</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(P):U\times X\to Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cfab9c7687590f63bdd57f419eed6414e8e17c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.407ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D(P):U\times X\to Y}"></span></dd></dl> <p>が連続であることとする。フレシェ空間の<a href="/wiki/%E7%A9%8D%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="積位相空間">積</a>はやはりフレシェ空間になるので、さらに D(<i>P</i>) を微分することを考えることができて、この方法論で <i>P</i> の高階導関数を定義することができる。 </p><p><i>P</i>(ƒ) = ƒ′ で定義される微分作用素 <i>P</i>: <i>C</i><sup>∞</sup>([0,1]) → <i>C</i><sup>∞</sup>([0,1]) はそれ自身無限階微分可能であり、一階導関数は <i>C</i><sup>∞</sup>([0,1]) の任意の二元 ƒ および <i>h</i> に対して </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D(P)(f)(h)=h'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>h</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D(P)(f)(h)=h'}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a55c31f426ef5a72cc267ddcc063a39fb6b3cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.837ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle D(P)(f)(h)=h'}"></span></dd></dl> <p>で与えられる。これはフレシェ空間 <i>C</i><sup>∞</sup>([0,1]) の（有限な <i>k</i> に対する）バナッハ空間 <i>C</i><sup><i>k</i></sup>([0,1]) に対する優位性である。 </p><p>連続的微分可能写像 <i>P</i>: <i>U</i> → <i>Y</i> に対して、<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="微分方程式">微分方程式</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'(t)=P(x(t)),\quad x(0)=x_{0}\in U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'(t)=P(x(t)),\quad x(0)=x_{0}\in U}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92383e4dae70fde6a0087fbe7337abe597f63d19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.059ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x'(t)=P(x(t)),\quad x(0)=x_{0}\in U}"></span></dd></dl> <p>は解を持たないかもしれないし、持ったとしても必ずしも一意ではない。これもバナッハ空間の場合との明確な違いである。 </p><p><a href="/wiki/%E9%80%86%E5%86%99%E5%83%8F%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="逆写像定理">逆写像定理</a>はフレシェ空間においては成り立たない（部分的には<a href="/w/index.php?title=%E3%83%8A%E3%83%83%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ナッシュ・モーザーの定理」 (存在しないページ)">ナッシュ・モーザーの定理</a>で置き換えられる）。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="フレシェ多様体とリー群"><span id=".E3.83.95.E3.83.AC.E3.82.B7.E3.82.A7.E5.A4.9A.E6.A7.98.E4.BD.93.E3.81.A8.E3.83.AA.E3.83.BC.E7.BE.A4"></span>フレシェ多様体とリー群</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&section=5" title="節を編集: フレシェ多様体とリー群"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93&action=edit&redlink=1" class="new" title="「フレシェ多様体」 (存在しないページ)">フレシェ多様体</a>」を参照</div> <p>（通常の多様体が局所的に<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ユークリッド空間">ユークリッド空間</a>であるのと同様にして）「局所的に」フレシェ空間であるような空間として<b>フレシェ多様体</b>の概念を考えることができる。また<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="リー群">リー群</a>の概念をフレシェ多様体に対するものへ拡張することもできる。これは例えば（通常の）コンパクト <i>C</i><sup>∞</sup>-多様体 <i>M</i> が与えられれば、その上の <i>C</i><sup>∞</sup>-<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%90%8C%E7%9B%B8" class="mw-redirect" title="微分同相">微分同相</a> ƒ: <i>M</i> → <i>M</i> の全体が、いま言った意味での一般化されたリー群を成すことから有用で、この意味でのリー群によって <i>M</i> の対称性の群をとらえることができるようになる。リー群と<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="リー環">リー環</a>との間の関係も、いくらかはこの拡張された意味のリー群についても成り立つ。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="一般化"><span id=".E4.B8.80.E8.88.AC.E5.8C.96"></span>一般化</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&section=6" title="節を編集: 一般化"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>フレシェ空間に対して局所凸という条件を落とせば、<a href="/wiki/F%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="F空間">F空間</a>が得られる（これはつまり、平行移動不変で完備な距離を持つベクトル空間である）。 </p><p><a href="/wiki/LF%E7%A9%BA%E9%96%93" title="LF空間">LF空間</a>はフレシェ空間の可算帰納極限として得られる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&section=7" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFRudin1991"><a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%B3" title="ウォルター・ルーディン">Rudin, Walter</a> (1991), <i>Functional Analysis</i>, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration 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.mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-07-054236-5" title="特別:文献資料/978-0-07-054236-5">978-0-07-054236-5</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Functional+Analysis&rft.aulast=Rudin&rft.aufirst=Walter&rft.au=Rudin%2C%26%2332%3BWalter&rft.date=1991&rft.pub=McGraw-Hill+Science%2FEngineering%2FMath&rft.isbn=978-0-07-054236-5&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E7%A9%BA%E9%96%93"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFTreves1967">Treves, François (1967), <i>Topological vector spaces, distributions and kernels</i>, Boston, MA: <a href="/w/index.php?title=Academic_Press&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Academic Press」 (存在しないページ)">Academic Press</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Topological+vector+spaces%2C+distributions+and+kernels&rft.aulast=Treves&rft.aufirst=Fran%C3%A7ois&rft.au=Treves%2C%26%2332%3BFran%C3%A7ois&rft.date=1967&rft.place=Boston%2C+MA&rft.pub=%5B%5BAcademic+Press%5D%5D&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E7%A9%BA%E9%96%93"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div class="navbox" aria-labelledby="関数解析学" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:Functional_Analysis" title="Template:Functional Analysis"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:Functional_Analysis&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:Functional Analysis」 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3AFunctional_Analysis&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3AFunctional_Analysis&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="関数解析学" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" title="関数解析学">関数解析学</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">集合 / 部分集合のタイプ</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%9D%87%E8%A1%A1%E9%9B%86%E5%90%88" title="均衡集合">均衡</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%98%9F%E7%8A%B6%E9%A0%98%E5%9F%9F" title="星状領域">星状</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%87%B8%E9%9B%86%E5%90%88" title="絶対凸集合">絶対凸</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%87%B8%E9%9B%86%E5%90%88" title="凸集合">凸</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%B5%E5%91%91%E9%9B%86%E5%90%88" title="併呑集合">併呑</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%95%8C%E9%9B%86%E5%90%88_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「有界集合 (線型位相空間)」 (存在しないページ)">有界</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_set_(topological_vector_space)" class="extiw" title="en:Bounded set (topological vector space)">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Radial_set&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Radial set」 (存在しないページ)">放射状</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Radial_set" class="extiw" title="en:Radial set">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E9%9B%86%E5%90%88&action=edit&redlink=1" class="new" title="「対称集合」 (存在しないページ)">対称</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_set" class="extiw" title="en:Symmetric set">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E9%8C%90_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" class="mw-redirect" title="錐 (線型代数学)">線型錐<span style="font-size:smaller;">（部分集合）</span></a></li> <li><a href="/wiki/%E5%87%B8%E9%8C%90" title="凸錐">凸錐<span style="font-size:smaller;">（部分集合）</span></a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93" title="線型位相空間">線型位相空間</a>のタイプ</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%E7%A9%BA%E9%96%93" title="バナッハ空間">バナッハ</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A8%BD%E5%9E%8B%E7%A9%BA%E9%96%93" title="樽型空間">樽型</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%95%8C%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="界相空間">界相</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Brauner%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Brauner空間」 (存在しないページ)">Brauner</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Brauner_space" class="extiw" title="en:Brauner space">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/F-%E7%A9%BA%E9%96%93" title="F-空間">F-空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ユークリッド空間">有限次元</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">フレシェ</a> (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_in_Frechet_spaces#Tame_Frechet_spaces" class="extiw" title="en:Differentiation in Frechet spaces">tame</a>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ヒルベルト空間">ヒルベルト</a></li> <li><a href="/wiki/LF%E7%A9%BA%E9%96%93" title="LF空間">LF空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B1%80%E6%89%80%E5%87%B8%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="局所凸位相ベクトル空間">局所凸</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9E%E3%83%83%E3%82%AD%E3%83%BC%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&redlink=1" class="new" title="「マッキー空間」 (存在しないページ)">マッキー</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Mackey_space" class="extiw" title="en:Mackey space">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="モンテル空間">モンテル</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A0%B8%E5%9E%8B%E7%A9%BA%E9%96%93" title="核型空間">核型</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ノルム線型空間">ノルム付き</a>（<a href="/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0" title="ノルム">ノルム</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E6%BA%96%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0" title="準ノルム">準ノルム付き</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E7%9A%84%E7%A9%BA%E9%96%93" title="回帰的空間">回帰的</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%B9%E7%A9%BA%E9%96%93" title="リース空間">リース</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B9%E3%83%9F%E3%82%B9%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&redlink=1" class="new" title="「スミス空間」 (存在しないページ)">スミス</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Smith_space" class="extiw" title="en:Smith space">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Stereotype_space&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Stereotype space」 (存在しないページ)">Stereotype</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Stereotype_space" class="extiw" title="en:Stereotype space">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%96%E4%BB%98%E3%81%8D%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ウェブ付き空間">ウェブ付き</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D&action=edit&redlink=1" class="new" title="「位相テンソル積」 (存在しないページ)">位相テンソル積</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_tensor_product" class="extiw" title="en:Topological tensor product">英語版</a>）</span></span>（<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ヒルベルト空間のテンソル積」 (存在しないページ)">ヒルベルト空間の</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product_of_Hilbert_spaces" class="extiw" title="en:Tensor product of Hilbert spaces">英語版</a>）</span></span>）</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">位相</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E4%BD%8D%E7%9B%B8" title="双対位相">双対</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="双対ベクトル空間">双対空間</a></li> <li><a href="/wiki/%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0%E4%BD%8D%E7%9B%B8" title="作用素位相">作用素</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BC%B7%E4%BD%8D%E7%9B%B8" title="強位相">強</a>（<a href="/wiki/%E5%BC%B7%E4%BD%8D%E7%9B%B8_(%E6%A5%B5%E4%BD%8D%E7%9B%B8)" title="強位相 (極位相)">極</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BC%B7%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0%E4%BD%8D%E7%9B%B8" title="強作用素位相">作用素</a>）</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Ultrastrong_topology&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Ultrastrong topology」 (存在しないページ)">Ultrastrong</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ultrastrong_topology" class="extiw" title="en:Ultrastrong topology">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%BC%B1%E4%BD%8D%E7%9B%B8" title="弱位相">弱</a>（<a href="/wiki/%E5%BC%B1%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0%E4%BD%8D%E7%9B%B8" title="弱作用素位相">作用素</a>）</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Ultraweak_topology&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Ultraweak topology」 (存在しないページ)">Ultraweak</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ultraweak_topology" class="extiw" title="en:Ultraweak topology">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%BA%83%E7%BE%A9%E4%B8%80%E6%A7%98%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E3%81%AE%E4%BD%8D%E7%9B%B8&action=edit&redlink=1" class="new" title="「広義一様収束の位相」 (存在しないページ)">一様収束</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Topology_of_uniform_convergence" class="extiw" title="en:Topology of uniform convergence">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型作用素</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="随伴作用素">随伴</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="双線型写像">双線型</a>（<a href="/wiki/%E5%8F%8C%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="双線型形式">形式</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%95%8C%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="有界作用素">有界</a> / <a href="/wiki/%E9%9D%9E%E6%9C%89%E7%95%8C%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="非有界作用素">非有界</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E9%96%89%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「閉線型作用素」 (存在しないページ)">閉</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Closed_linear_operator" class="extiw" title="en:Closed linear operator">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="連続線形作用素">連続</a> / <a href="/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="不連続線型写像">不連続</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="コンパクト作用素">コンパクト</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%89%E3%83%9B%E3%83%AB%E3%83%A0%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="フレドホルム作用素">フレドホルム</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%9F%E3%83%83%E3%83%88%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="ヒルベルト＝シュミット作用素">ヒルベルト＝シュミット</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%B1%8E%E5%87%BD%E6%95%B0" title="線型汎函数">汎関数</a>（<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%AD%A3%E5%80%A4%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%B1%8E%E9%96%A2%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「正値線型汎関数」 (存在しないページ)">正</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Positive_linear_functional" class="extiw" title="en:Positive linear functional">英語版</a>）</span></span>）</li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="正規作用素">正規</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A0%B8%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="核作用素">核</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%88%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="エルミート作用素">自己共役</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%BC%B7%E7%89%B9%E7%95%B0%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「強特異作用素」 (存在しないページ)">Strictly singular</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Strictly_singular_operator" class="extiw" title="en:Strictly singular operator">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%88%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9" title="トレースクラス">トレースクラス</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%BB%A2%E7%BD%AE%E5%86%99%E5%83%8F" title="転置写像">転置</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="ユニタリ作用素">ユニタリ</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">集合の操作</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%86%85%E9%83%A8" title="代数的内部">代数的内部（核）</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%85%E9%83%A8_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)" title="内部 (位相空間論)">内部</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B3%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E5%92%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ミンコフスキー和」 (存在しないページ)">ミンコフスキー和</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_addition" class="extiw" title="en:Minkowski addition">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E6%A5%B5%E9%9B%86%E5%90%88" title="極集合">極</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%E7%92%B0" title="バナッハ環">バナッハ環</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/C*-%E7%92%B0" title="C*-環">C*-環</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%9A%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB_(%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6)" title="スペクトル (関数解析学)">スペクトル</a>（<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=C*-%E7%92%B0%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%83%9A%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB&action=edit&redlink=1" class="new" title="「C*-環のスペクトル」 (存在しないページ)">C*-環</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_of_a_C*-algebra" class="extiw" title="en:Spectrum of a C*-algebra">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%9A%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E5%8D%8A%E5%BE%84" title="スペクトル半径">半径</a>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%9A%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%90%86%E8%AB%96" title="スペクトル理論">スペクトル理論</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">定理</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Eberlein%E2%80%93%C5%A0mulian_theorem&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Eberlein–Šmulian theorem」 (存在しないページ)">Eberlein–Šmulian</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Eberlein%E2%80%93%C5%A0mulian_theorem" class="extiw" title="en:Eberlein–Šmulian theorem">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E9%96%8B%E5%86%99%E5%83%8F%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90)" title="開写像定理 (関数解析)">開写像</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A7%92%E8%B0%B7%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%8B%95%E7%82%B9%E5%AE%9A%E7%90%86#無限次元への一般化" title="角谷の不動点定理">角谷の不動点</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%88%EF%BC%9D%E3%83%9E%E3%82%BA%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ゲルファント＝マズールの定理">ゲルファント＝マズール</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F" title="コーシー＝シュワルツの不等式">コーシー＝シュワルツの不等式</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Goldstine_theorem&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Goldstine theorem」 (存在しないページ)">Goldstine</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Goldstine_theorem" class="extiw" title="en:Goldstine theorem">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%82%A6%E3%83%80%E3%83%BC%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%8B%95%E7%82%B9%E5%AE%9A%E7%90%86" title="シャウダーの不動点定理">シャウダーの不動点</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%91%E3%83%BC%E3%82%BB%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%81%AE%E7%AD%89%E5%BC%8F" title="パーセヴァルの等式">パーセヴァルの等式</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%BC%E3%83%B3%E2%80%93%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ハーン–バナッハの定理">ハーン–バナッハ</a>（<a href="/wiki/%E5%88%86%E9%9B%A2%E8%B6%85%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%AE%9A%E7%90%86" title="分離超平面定理">分離超平面</a>）</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%EF%BC%9D%E3%82%A2%E3%83%A9%E3%82%AA%E3%82%B0%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="バナッハ＝アラオグルの定理">バナッハ＝アラオグル</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Banach%E2%80%93Saks_theorem&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Banach–Saks theorem」 (存在しないページ)">Banach–Saks</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Saks_theorem" class="extiw" title="en:Banach–Saks theorem">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Banach%E2%80%93Mazur_theorem&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Banach–Mazur theorem」 (存在しないページ)">Banach–Mazur</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Mazur_theorem" class="extiw" title="en:Banach–Mazur theorem">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%83%AD%E3%82%A4%E3%83%87%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%83%9A%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E5%AE%9A%E7%90%86" title="フロイデンタールのスペクトル定理">フロイデンタールのスペクトル</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%96%89%E5%80%A4%E5%9F%9F%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="閉値域の定理">閉値域</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%96%89%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95%E5%AE%9A%E7%90%86" title="閉グラフ定理">閉グラフ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F" title="ベッセルの不等式">ベッセルの不等式</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9E%E3%83%83%E3%82%AD%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「マッキー＝アレンスの定理」 (存在しないページ)">マッキー＝アレンス</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9E%E3%82%BA%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C" title="マズールの補題">マズールの補題</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%BC%B5%E5%AE%9A%E7%90%86" title="リースの拡張定理">リースの拡張</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Invariant_subspace_problem&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Invariant subspace problem」 (存在しないページ)">Lomonosov's invariant subspace</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_subspace_problem#Known_special_cases" class="extiw" title="en:Invariant subspace problem">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%93%E3%83%83%E3%83%81%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ニュートン＝カントロビッチの定理">ニュートン＝カントロビッチ</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">解析</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%9C%E3%83%9B%E3%83%8A%E3%83%BC%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ボホナー空間">ボホナー空間</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E5%BE%AE%E5%88%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「フレシェ空間における微分」 (存在しないページ)">フレシェ空間における微分</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_in_Frechet_spaces" class="extiw" title="en:Differentiation in Frechet spaces">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86" title="微分">微分</a>（<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E5%BE%AE%E5%88%86" title="フレシェ微分">フレシェ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%83%88%E3%83%BC%E5%BE%AE%E5%88%86" title="ガトー微分">ガトー</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%B1%8E%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%BE%AE%E5%88%86" title="汎函数微分">汎函数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Infinite-dimensional_holomorphy&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Infinite-dimensional holomorphy」 (存在しないページ)">holomorphic</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Infinite-dimensional_holomorphy" class="extiw" title="en:Infinite-dimensional holomorphy">英語版</a>）</span></span>）</li> <li><a href="/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86%E6%B3%95" title="積分法">積分</a>（<a href="/wiki/%E3%83%9C%E3%83%9B%E3%83%8A%E3%83%BC%E7%A9%8D%E5%88%86" title="ボホナー積分">ボホナー</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Dunford_integral&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Dunford integral」 (存在しないページ)">Dunford</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9A%E3%83%86%E3%82%A3%E3%82%B9%E7%A9%8D%E5%88%86" title="ペティス積分">ゲルファント＝ペティス</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%96%B9%E6%AD%A3%E7%A9%8D%E5%88%86" title="方正積分">方正</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9A%E3%83%86%E3%82%A3%E3%82%B9%E7%A9%8D%E5%88%86" title="ペティス積分">弱</a>)</li> <li><a href="/wiki/%E6%B1%8E%E5%87%BD%E6%95%B0%E8%A8%88%E7%AE%97" title="汎函数計算">汎函数計算</a>（<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Borel_functional_calculus&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Borel functional calculus」 (存在しないページ)">Borel</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Borel_functional_calculus" class="extiw" title="en:Borel functional calculus">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Continuous_functional_calculus&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Continuous functional calculus」 (存在しないページ)">continuous</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_functional_calculus" class="extiw" title="en:Continuous functional calculus">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Holomorphic_functional_calculus&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Holomorphic functional calculus」 (存在しないページ)">holomorphic</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Holomorphic_functional_calculus" class="extiw" title="en:Holomorphic functional calculus">英語版</a>）</span></span>）</li> <li><a href="/wiki/%E9%80%86%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86" title="逆函数定理">逆函数定理</a>（<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Nash%E2%80%93Moser_theorem&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Nash–Moser theorem」 (存在しないページ)">Nash–Moser theorem</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Nash%E2%80%93Moser_theorem" class="extiw" title="en:Nash–Moser theorem">英語版</a>）</span></span>）</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E6%B8%AC%E5%BA%A6" title="ベクトル測度">ベクトル測度</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">応用</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%AE%9A%E5%BC%8F%E5%8C%96" title="量子力学の数学的定式化">量子力学の数学的定式化</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E8%A6%81%E7%B4%A0%E6%B3%95" title="有限要素法">有限要素法</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="偏微分方程式">偏微分方程式</a>の解に対する<a href="/wiki/%E7%B2%BE%E5%BA%A6%E4%BF%9D%E8%A8%BC%E4%BB%98%E3%81%8D%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A8%88%E7%AE%97" title="精度保証付き数値計算">精度保証付き数値計算</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">日本人研究者</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a 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title="ダフィット・ヒルベルト">ダフィット・ヒルベルト</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A4%E3%82%BA%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%88" title="イズライル・ゲルファント">イズライル・ゲルファント</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%94%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9" title="ピーター・ラックス">ピーター・ラックス</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"> <span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Folder_Hexagonal_Icon.svg" class="mw-file-description" title="カテゴリ"><img alt="カテゴリ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 1.5x, 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