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<span>注意</span> </div> </a> <ul id="toc-注意-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-例" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#例"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>例</span> </div> </a> <ul id="toc-例-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-性質" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#性質"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>性質</span> </div> </a> <ul id="toc-性質-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-一般化" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#一般化"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>一般化</span> </div> </a> <ul id="toc-一般化-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-脚注" 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aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ja" dir="ltr"><p><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>の一分野、<a href="/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" class="mw-redirect" title="函数解析学">函数解析学</a>における<b>ユニタリ作用素</b>（ユニタリさようそ、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>unitary operator</i></span>）は、<a href="/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ヒルベルト空間">ヒルベルト空間</a>上の<a href="/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="自己同型">自己同型写像</a>、すなわち構造（今の場合は、作用する対象となる空間の線型空間の構造、内積構造およびそこから定まる<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93" title="位相空間">位相構造</a>）を保つ<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%8D%98%E5%B0%84" title="全単射">全単射</a>である。与えられたヒルベルト空間 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">H</span> からそれ自身へのユニタリ作用素全体の成す集合は<a href="/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="群 (数学)">群</a>を成し、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">H</span> の<b>ヒルベルト群</b> <span lang="en" class="texhtml">Hilb(<i>H</i>)</span> と呼ばれることもある。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="定義と注意"><span id=".E5.AE.9A.E7.BE.A9.E3.81.A8.E6.B3.A8.E6.84.8F"></span>定義と注意</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&section=1" title="節を編集: 定義と注意"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ヒルベルト空間">ヒルベルト空間</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">H</span> 上の<a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%95%8C%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" class="mw-redirect" title="有界線型作用素">有界線型作用素</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>U</i>: <i>H</i> → <i>H</i></span> が<b>ユニタリ作用素</b>であるとは、それが <span lang="en" class="texhtml"><i>U</i><sup>∗</sup> <i>U</i> = <i>UU</i><sup>∗</sup> = Id</span> を満足するときに言う。ただし、<span lang="en" class="texhtml"><i>U</i><sup>∗</sup></span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> の<a href="/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="随伴作用素">エルミート共軛</a>で <span lang="en" class="texhtml">Id: <i>H</i> → <i>H</i></span> は<a href="/wiki/%E6%81%92%E7%AD%89%E5%86%99%E5%83%8F" title="恒等写像">恒等作用素</a>である。 </p><p>上記よりも弱く、条件 <span lang="en" class="texhtml"><i>U</i><sup>∗</sup> <i>U</i> = Id</span> のみを満たすものは<b>等距作用素</b> <span lang="en">(<i>isometry</i>)</span> と呼ばれ、条件 <span lang="en" class="texhtml"><i>UU</i><sup>∗</sup> = Id</span> を満たすものは<b>余等距作用素</b> <span lang="en">(<i>coisometry</i>)</span> と呼ばれる。即ち、ユニタリ作用素は等距かつ余等距なる有界作用素である<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>内積を用いれば、この定義は以下のように書き直すことができる。 </p><p>ヒルベルト空間 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">H</span> 上の有界線型作用素 <span lang="en" class="texhtml"><i>U</i>: <i>H</i> → <i>H</i></span> がユニタリであるとは、 </p> <ul><li><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> は<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%B0%84" title="全射">全射</a>であり、かつ</li> <li><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> はヒルベルト空間 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">H</span> の<a href="/wiki/%E5%86%85%E7%A9%8D" title="内積">内積</a>を保つ。即ち、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">H</span> の任意のベクトル <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>, <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> に対して<div style="margin:1ex 2em;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>U</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>U</mi> <mi>y</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>H</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>H</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53fefdaf509d224c63fd640fd8a4a50ed66522ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.703ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}}"></span></div>を満足する</li></ul> <p>ときにいう。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="注意"><span id=".E6.B3.A8.E6.84.8F"></span>注意</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&section=2" title="節を編集: 注意"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>実は上記定義における条件を、以下のように一見緩いものに取り換えても、同値な定義が得られる。 </p> <dl><dd>ヒルベルト空間 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">H</span> 上の有界線型作用素 <span lang="en" class="texhtml"><i>U</i>: <i>H</i> → <i>H</i></span> がユニタリであるとは、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> の値域が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">H</span> において稠密、かつ <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> がヒルベルト空間 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">H</span> の内積を保つときにいう。</dd></dl> <p>同値であることを見るには、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> が内積を保つことから <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> が等距（したがって<a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%95%8C%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" class="mw-redirect" title="有界線型作用素">有界線型作用素</a>）となることに注意すればよい。実は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> の値域が稠密であることよりそれが有界な逆作用素 <span lang="en" class="texhtml"><i>U</i><sup>−1</sup></span> を持つことが保証されるが、それは明らかに <span lang="en" class="texhtml"><i>U</i><sup>−1</sup> = <i>U</i><sup>∗</sup></span> を満たす。 </p><p>またユニタリ作用素の定義において、作用素の線型性は内積の線型性および正定値性から従うので、定義の意味を変えることなく作用素が線型であるという仮定は落とすことができる。実際、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\|\lambda U(x)-U(\lambda x)\|^{2}&=\langle \lambda U(x)-U(\lambda x),\lambda U(x)-U(\lambda x)\rangle \\&=\|\lambda U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-\langle U(\lambda x),\lambda U(x)\rangle -\langle \lambda U(x),U(\lambda x)\rangle \\&=|\lambda |^{2}\|U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle U(\lambda x),U(x)\rangle -\lambda \langle U(x),U(\lambda x)\rangle \\&=|\lambda |^{2}\|x\|^{2}+\|\lambda x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle \lambda x,x\rangle -\lambda \langle x,\lambda x\rangle \\&=0\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>λ</mi> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>λ</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>λ</mi> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>λ</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>λ</mi> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>λ</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>λ</mi> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>λ</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>λ</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>λ</mi> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>−</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>λ</mi> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>λ</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>λ</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>λ</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>λ</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>λ</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>−</mo> <mi>λ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>λ</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>λ</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>λ</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>λ</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>λ</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>−</mo> <mi>λ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>λ</mi> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\|\lambda U(x)-U(\lambda x)\|^{2}&=\langle \lambda U(x)-U(\lambda x),\lambda U(x)-U(\lambda x)\rangle \\&=\|\lambda U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-\langle U(\lambda x),\lambda U(x)\rangle -\langle \lambda U(x),U(\lambda x)\rangle \\&=|\lambda |^{2}\|U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle U(\lambda x),U(x)\rangle -\lambda \langle U(x),U(\lambda x)\rangle \\&=|\lambda |^{2}\|x\|^{2}+\|\lambda x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle \lambda x,x\rangle -\lambda \langle x,\lambda x\rangle \\&=0\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d40ff3806838a93e76cd6b33c3c6a2857eb754e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.838ex; margin-top: -0.259ex; width:83.713ex; height:16.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\|\lambda U(x)-U(\lambda x)\|^{2}&=\langle \lambda U(x)-U(\lambda x),\lambda U(x)-U(\lambda x)\rangle \\&=\|\lambda U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-\langle U(\lambda x),\lambda U(x)\rangle -\langle \lambda U(x),U(\lambda x)\rangle \\&=|\lambda |^{2}\|U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle U(\lambda x),U(x)\rangle -\lambda \langle U(x),U(\lambda x)\rangle \\&=|\lambda |^{2}\|x\|^{2}+\|\lambda x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle \lambda x,x\rangle -\lambda \langle x,\lambda x\rangle \\&=0\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>という計算が成り立つから、斉次性が従う。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|U(x+y)-(Ux+Uy)\|=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>U</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>U</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|U(x+y)-(Ux+Uy)\|=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81e2c8c62eee2cd7f1693692fde5596b240547e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.044ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|U(x+y)-(Ux+Uy)\|=0}"></span></dd></dl> <p>も同様に示せるから、加法性も成り立つ。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="例"><span id=".E4.BE.8B"></span>例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&section=3" title="節を編集: 例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E6%81%92%E7%AD%89%E5%86%99%E5%83%8F" title="恒等写像">恒等写像</a>がユニタリ作用素であることは自明である。</li> <li>非自明なユニタリ作用素の例として最も簡単なものは <span lang="en" class="texhtml"><b>R</b><sup>2</sup></span> における<a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E5%A4%89%E6%8F%9B" class="mw-redirect" title="回転変換">回転</a>である。実際、回転はベクトルの長さも二ベクトル間の角度も変えない。<span lang="en" class="texhtml"><b>R</b><sup>3</sup></span> の回転についても同様。</li> <li><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a>全体の成す<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a> <span lang="en" class="texhtml"><b>C</b></span> 上で、<a href="/wiki/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%80%A4" title="絶対値">絶対値</a> 1 の複素数（つまり、適当な <span lang="en" class="texhtml">θ ∈ <b>R</b></span> に対して <span lang="en" class="texhtml"><i>e</i><sup><i>i</i>θ</sup></span> の形に書ける数）を掛ける操作はユニタリ作用素である。注意すべきは <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">θ</span> の値は <span lang="en" class="texhtml">2<i>π</i></span> の<a href="/wiki/%E9%81%95%E3%81%84%E3%82%92%E9%99%A4%E3%81%84%E3%81%A6" title="違いを除いて">違いを除いて</a>この乗法の結果には影響しないこと、またそれゆえに <span lang="en" class="texhtml"><b>C</b></span> の独立なユニタリ作用素の全体は単位円で径数付けることができるということである。ゆえにこの場合のユニタリ作用素全体の成す群（<span lang="en" class="texhtml">U(1)</span>と呼ばれる）は、集合としては単位円と見做すことができる。</li> <li>より一般に、<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ユニタリ行列">ユニタリ行列</a>はちょうど有限次元ヒルベルト空間上のユニタリ作用素となっているから、ユニタリ作用素の概念はユニタリ行列の概念の一般化である。また、<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E8%A1%8C%E5%88%97" title="直交行列">直交行列</a>は、成分が全て実数という特別の場合のユニタリ行列であるから、<span lang="en" class="texhtml"><b>R</b><sup><i>n</i></sup></span> 上のユニタリ作用素である。</li> <li><a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a>全体で添字付けられた<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%88%97%E7%A9%BA%E9%96%93" title="数列空間">数列空間</a> <span lang="en" class="texhtml">ℓ<sup>2</sup></span> 上の<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%B8%A1%E5%81%B4%E3%81%9A%E3%82%89%E3%81%97%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「両側ずらし作用素」 (存在しないページ)">両側ずらし作用素</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/bilateral_shift" class="extiw" title="en:bilateral shift">英語版</a>）</span></span>はユニタリである。一般に、ヒルベルト空間上で<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%9F%BA%E5%BA%95" title="正規直交基底">正規直交基底</a>を並べ替えることによって作用する任意の作用素はユニタリになる。有限次元の場合、それらの作用素は<a href="/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E8%A1%8C%E5%88%97" title="置換行列">置換行列</a>である。一方、<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%89%87%E5%81%B4%E3%81%9A%E3%82%89%E3%81%97%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「片側ずらし作用素」 (存在しないページ)">片側ずらし作用素</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/unilateral_shift" class="extiw" title="en:unilateral shift">英語版</a>）</span></span>は等距、その共軛は余等距である。</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「フーリエ作用素」 (存在しないページ)">フーリエ作用素</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_operator" class="extiw" title="en:Fourier operator">英語版</a>）</span></span>、すなわち<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="フーリエ変換">フーリエ変換</a>（に適当な正規化を施したもの）を作用させる操作は、ユニタリ作用素である。これは<a href="/wiki/%E3%83%91%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="パーシヴァルの定理">パーシヴァルの定理</a>から従う。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="性質"><span id=".E6.80.A7.E8.B3.AA"></span>性質</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&section=4" title="節を編集: 性質"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>ユニタリ作用素 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> の<a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%9A%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB_(%E5%87%BD%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6)" class="mw-redirect" title="スペクトル (函数解析学)">スペクトル</a>は単位円上に載っている。つまり、スペクトルに入る任意の複素数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">λ</span> に対して <span lang="en" class="texhtml">|<i>λ</i>| = 1</span> が成り立つ。これは<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="正規作用素">正規作用素</a>に対する<a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%9A%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E5%AE%9A%E7%90%86" title="スペクトル定理">スペクトル定理</a>からの帰結である。実際、定理によれば <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> は適当な有限測度空間 <span lang="en" class="texhtml">(<i>X</i>, <i>μ</i>)</span> に対する <span lang="en" class="texhtml"><i>L</i><sup>2</sup>(<i>μ</i>)</span> 上のボレル可測函数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> による乗算作用素とユニタリ同値であり、いま <span lang="en" class="texhtml"><i>UU</i><sup>∗</sup> = Id</span> から <span lang="en" class="texhtml">|<i>f</i>(<i>x</i>)|<sup>2</sup> = 1</span> (<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">μ</span>-a.e) が従うから、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の本質的値域、従って <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> のスペクトルが単位円上にあることがわかる。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="一般化"><span id=".E4.B8.80.E8.88.AC.E5.8C.96"></span>一般化</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&section=5" title="節を編集: 一般化"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ユニタリ作用素を一般化するものとして、<b>ユニタリ元</b> <span lang="en">(<i>unitary element</i>)</span> がある。<a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%9A%84%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" title="単位的多元環">単位的</a><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E5%90%88%E7%92%B0" title="対合環">*-環</a>において、その元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> がユニタリ元であるとは、<span lang="en" class="texhtml"><i>U</i><sup>∗</sup> <i>U</i> = <i>UU</i><sup>∗</sup> = <i>I</i></span> を満たすときに言う<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup class="reference" style="white-space:nowrap;">:55</sup>。ただし、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">I</span> は<a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83" title="単位元">単位元</a>である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&section=6" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け"><span title="この欄の操作法">脚注の使い方</span></a>]</div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFHalmos1982">Halmos 1982</a>, Sect. 127, page 69)</span> </li> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text"> <cite style="font-style:normal" class="citation book">Doran, Robert S.; Victor A. Belfi (1986). <i>Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems</i>. New York: Marcel Dekker. <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:var(--color-success,#3a3);margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0-8247-7569-4" title="特別:文献資料/0-8247-7569-4">0-8247-7569-4</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Characterizations+of+C%2A-Algebras%3A+The+Gelfand-Naimark+Theorems&rft.aulast=Doran&rft.aufirst=Robert+S.&rft.au=Doran%2C%26%2332%3BRobert+S.&rft.au=Victor+A.+Belfi&rft.date=1986&rft.place=New+York&rft.pub=Marcel+Dekker&rft.isbn=0-8247-7569-4&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&section=7" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book"><a href="/wiki/Serge_Lang" class="mw-redirect" title="Serge Lang">Lang, Serge</a> (1972). <i>Differential manifolds</i>. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Differential+manifolds&rft.aulast=Lang&rft.aufirst=Serge&rft.au=Lang%2C%26%2332%3BSerge&rft.date=1972&rft.place=Reading%2C+Mass.%26ndash%3BLondon%26ndash%3BDon+Mills%2C+Ont.&rft.pub=Addison-Wesley+Publishing+Co.%2C+Inc.&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book"><a href="/wiki/Paul_Halmos" class="mw-redirect" title="Paul Halmos">Halmos, Paul</a> (1982). <i>A Hilbert space problem book</i>. Springer</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+Hilbert+space+problem+book&rft.aulast=Halmos&rft.aufirst=Paul&rft.au=Halmos%2C%26%2332%3BPaul&rft.date=1982&rft.pub=Springer&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0&action=edit&section=8" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E8%A1%8C%E5%88%97" title="ユニタリ行列">ユニタリ行列</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="ユニタリ変換">ユニタリ変換</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8D%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA&action=edit&redlink=1" class="new" title="「反ユニタリ」 (存在しないページ)">反ユニタリ</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Antiunitary" class="extiw" title="en:Antiunitary">英語版</a>）</span></span></li></ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=ユニタリ作用素&oldid=92056382">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=ユニタリ作用素&oldid=92056382</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a 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