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次元解析 - Wikipedia
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</button> <ul id="toc-次元一致の原理-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-数学的表現" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#数学的表現"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>数学的表現</span> </div> </a> <ul id="toc-数学的表現-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-バッキンガムのπ定理" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#バッキンガムのπ定理"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>バッキンガムのπ定理</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-バッキンガムのπ定理-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>バッキンガムのπ定理サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-バッキンガムのπ定理-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-定式化" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" 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id="toc-例" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#例"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>例</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-例-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>例サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-例-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-調和振動" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#調和振動"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>調和振動</span> </div> </a> <ul id="toc-調和振動-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-減衰振動" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#減衰振動"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>減衰振動</span> </div> </a> <ul id="toc-減衰振動-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-流体機械" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#流体機械"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>流体機械</span> </div> </a> <ul id="toc-流体機械-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-原子構造" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#原子構造"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4</span> <span>原子構造</span> </div> </a> <ul id="toc-原子構造-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-拡張" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#拡張"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>拡張</span> </div> </a> <ul id="toc-拡張-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>脚注</span> </div> </a> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>関連項目</span> </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-外部リンク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#外部リンク"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>外部リンク</span> </div> </a> <ul id="toc-外部リンク-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">目次の表示・非表示を切り替え</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">次元解析</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="特定の記事の別の言語版に移動します。 利用可能な言語34件" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-34" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">34の言語版</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%AD%D9%84%D9%8A%D9%84_%D8%A8%D8%B9%D8%AF%D9%8A" title="アラビア語: تحليل بعدي" lang="ar" hreflang="ar" data-title="تحليل بعدي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="アラビア語" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%81%D1%86%D0%B5%D0%B9" title="ベラルーシ語: Аналіз размернасцей" lang="be" hreflang="be" data-title="Аналіз размернасцей" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="ベラルーシ語" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AE%E0%A6%BE%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A6%BE_%E0%A6%B8%E0%A6%AE%E0%A7%80%E0%A6%95%E0%A6%B0%E0%A6%A3" title="ベンガル語: মাত্রা সমীকরণ" lang="bn" hreflang="bn" 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class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B0%A8%EC%9B%90_%ED%95%B4%EC%84%9D" title="韓国語: 차원 해석" lang="ko" hreflang="ko" data-title="차원 해석" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Dimensjonsanalyse" title="ノルウェー語(ニーノシュク): Dimensjonsanalyse" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Dimensjonsanalyse" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="ノルウェー語(ニーノシュク)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Analiza_wymiarowa" title="ポーランド語: Analiza wymiarowa" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Analiza wymiarowa" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" 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lang="ru" hreflang="ru" data-title="Анализ размерности" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Dimensional_analysis" title="シンプル英語: Dimensional analysis" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Dimensional analysis" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Razse%C5%BEnostna_analiza" title="スロベニア語: Razsežnostna analiza" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Razsežnostna analiza" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Dimensionsanalys" title="スウェーデン語: Dimensionsanalys" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Dimensionsanalys" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="スウェーデン語" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Boyut_analizi" title="トルコ語: Boyut analizi" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Boyut analizi" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="トルコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7%D1%83_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D1%96%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9" title="ウクライナ語: Метод аналізу розмірностей" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Метод аналізу розмірностей" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ウクライナ語" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C3%A2n_t%C3%ADch_th%E1%BB%A9_nguy%C3%AAn" title="ベトナム語: Phân tích thứ nguyên" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Phân tích thứ nguyên" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="ベトナム語" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%A0%E6%AC%A1%E5%88%86%E6%9E%90" title="中国語: 因次分析" lang="zh" hreflang="zh" data-title="因次分析" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="中国語" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q217113#sitelinks-wikipedia" title="言語間リンクを編集" 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href="/wiki/%E8%B3%AA%E9%87%8F" title="質量">質量</a>、<a href="/wiki/%E6%99%82%E9%96%93" title="時間">時間</a>、<a href="/wiki/%E9%9B%BB%E8%8D%B7" title="電荷">電荷</a>などの<a href="/wiki/%E9%87%8F%E3%81%AE%E6%AC%A1%E5%85%83" title="量の次元">次元</a>から、複数の物理量の間の関係を予測することである。 </p><p>物理的な関係を表す<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%BC%8F" title="数式">数式</a>においては、両辺や各項の次元が一致しなくてはならない。この規則を逆に利用すると、既知の量を組み合わせ、求めたい未知の物理量の次元に一致するように式を立てれば、それは正しい関係式になっている可能性が高い。これを<b>レイリーの方法</b>（<span lang="en">Rayleigh's method</span>）という<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>次元解析を用いると、一般解を得ることが困難な（ときには不可能な）現象に対して、物理量間の関係を推測することができる。一方で、未知の物理量を決めるのに既知の物理量では不十分な場合にそれとわかることもある<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。また、次元の不一致といったミスの防止にも役立つ。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="次元一致の原理"><span id=".E6.AC.A1.E5.85.83.E4.B8.80.E8.87.B4.E3.81.AE.E5.8E.9F.E7.90.86"></span>次元一致の原理</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&section=1" title="節を編集: 次元一致の原理"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>数式の左右両辺の各項の次元が等しい式は<b>次元的に健全</b><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>または<b>次元的に斉一</b>（<span lang="en">homogeneous</span>）<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>であると呼ばれる。物理法則に基いて理論的に導かれる理論式は次元的に健全であり、次元的に健全な式のみ物理では意味があると考える。すなわち物理現象を支配する物理方程式の各項の次元は次元的に健全でなければならない。この原理を<b>次元一致の原理</b>（<span lang="en">principle of dimensional consistency</span>）という<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="数学的表現"><span id=".E6.95.B0.E5.AD.A6.E7.9A.84.E8.A1.A8.E7.8F.BE"></span>数学的表現</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&section=2" title="節を編集: 数学的表現"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>物理量<i>Q</i> が<i>n</i> 個の物理量<i>x<sub>i</sub></i> によって決定されるとき、それらの関係を表す式 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q=F(x_{1},\dots ,x_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q=F(x_{1},\dots ,x_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ddcdba9dcbdef8a6caf17c861f783cc6453df26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.597ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q=F(x_{1},\dots ,x_{n})}"></span></dd></dl> <p>が次元的に健全であるということは、次のように変形できることを意味する<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i}[X_{i}]^{a_{i}}\times F^{*}(x_{1}^{*},\dots ,x_{n}^{*})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∏<!-- ∏ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mo>×<!-- × --></mo> <msup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗<!-- ∗ --></mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗<!-- ∗ --></mo> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗<!-- ∗ --></mo> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i}[X_{i}]^{a_{i}}\times F^{*}(x_{1}^{*},\dots ,x_{n}^{*})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c5900e5b22c057879842d2431d238688069969" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:43.102ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i}[X_{i}]^{a_{i}}\times F^{*}(x_{1}^{*},\dots ,x_{n}^{*})}"></span></dd></dl> <p>ここで<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [X_{i}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [X_{i}]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb4f86c2ef09e8684131a9da8e15dff00b7717d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.018ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [X_{i}]}"></span>は物理量<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}"></span>の単位または次元、*付きの変数は無次元量を意味する。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="バッキンガムのπ定理"><span id=".E3.83.90.E3.83.83.E3.82.AD.E3.83.B3.E3.82.AC.E3.83.A0.E3.81.AE.CF.80.E5.AE.9A.E7.90.86"></span>バッキンガムのπ定理</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&section=3" title="節を編集: バッキンガムのπ定理"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>バッキンガムのπ定理</b>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Buckingham_%CF%80_theorem" class="extiw" title="en:Buckingham π theorem">Buckingham Π theorem</a>）とは、<a href="/wiki/%E6%95%B0%E7%90%86%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="数理物理学">数理物理学</a>の分野において、次元解析の基礎となる理論である。大雑把に言うと、物理的な関係式が<a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E9%87%8F" title="物理量">物理変数</a>を<i>n</i> 個含み、それらの変数が<i>k</i> 種類の独立な<a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%8D%98%E4%BD%8D" class="mw-redirect" title="基本単位">基本単位</a>を持つならば、その式は元の物理変数で構成される<i>p</i> = <i>n</i> - <i>k</i> 個の<a href="/wiki/%E7%84%A1%E6%AC%A1%E5%85%83%E9%87%8F" title="無次元量">無次元パラメータ</a>を含む式と等価であるという定理である。この定理により、与えられた物理変数から、たとえ関係式の形が不明であっても無次元パラメータを求めることができる。物理量を無次元量で書き直せば、式の次元の一致・不一致をチェックする必要がなくなり、解析が簡単になる。ただし、無次元パラメータの選び方は一意ではない。バッキンガムのΠ定理は無次元パラメータを求める方法を与えるだけであり、物理的に意味のあるものを選ぶわけではない。 </p><p>2つの物理的な系の無次元パラメータが一致するとき、それらの系は<b><a href="/wiki/%E7%9B%B8%E4%BC%BC" class="mw-disambig" title="相似">相似</a></b>であるという（大きさのみが異なる三角形を相似と呼ぶのと同様である）。これらの系は数学的には等価であるため、解析をするために便利な（実験などがしやすい）系を選ぶことができる。 </p><p>より正確に表現すると、無次元パラメータの個数<i>p</i> は次元行列<i>M</i> の<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%95%B0#線型写像の階数" title="行列の階数">退化次数</a> null <i>M</i> に等しく、<i>k</i> はその<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%95%B0" title="行列の階数">階数</a> rank <i>M</i> に等しい。物理的に異なる系に対して、無次元パラメータが等しくなるなら、それらの系は数学的に等価である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="定式化"><span id=".E5.AE.9A.E5.BC.8F.E5.8C.96"></span>定式化</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&section=4" title="節を編集: 定式化"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>次のような物理的な関係式があるとする： </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d0c1ebb03992bb03bc4c7e9ec973ef6b8abc5cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.999ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})=0}"></span></dd></dl> <p>ここで<i>q</i><sub>1</sub>, ..., <i>q<sub>n</sub></i> は<i>n</i> 個の物理変数であり、<i>k</i> 種類の独立な基本単位で表されている。このとき、上式は次の数学的に等価な式に書き換えることができる： </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{p})=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>π<!-- π --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>π<!-- π --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>π<!-- π --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{p})=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4bcbdc9b8f8b9d758c4562e24b1790ba601088" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.166ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F(\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{p})=0}"></span></dd></dl> <p>ここでπ<sub>1</sub>, ..., π<sub><i>p</i></sub> は<i>q</i><sub>1</sub>, ..., <i>q<sub>n</sub></i> で構成される<i>p</i> = <i>n</i> - <i>k</i> 個の 無次元パラメータである： </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},\quad i=1,\dots ,p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>π<!-- π --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mspace width="thinmathspace" /> <msubsup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo> <msubsup> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},\quad i=1,\dots ,p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/223349433b4b714a9d10c566ddead42457332871" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:33.047ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},\quad i=1,\dots ,p}"></span></dd></dl> <p>ここで指数<i>a<sub>i</sub></i> は<a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" title="有理数">有理数</a>である（適当に<a href="/wiki/%E3%81%B9%E3%81%8D%E4%B9%97" class="mw-redirect" title="べき乗">べき乗</a>すれば常に<a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a>としてよい）。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="証明"><span id=".E8.A8.BC.E6.98.8E"></span>証明</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&section=5" title="節を編集: 証明"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101304250">.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid #fc3}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output 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src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/20px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png" decoding="async" width="20" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/30px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/40px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png 2x" data-file-width="44" data-file-height="31" /></a></span></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span">この節の<a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit">加筆</a>が望まれています。</div></td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="概要"><span id=".E6.A6.82.E8.A6.81"></span>概要</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&section=6" title="節を編集: 概要"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>前提として、与えられた基本単位は<a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" title="有理数">有理数</a>体上の<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a>（物理次元ベクトル空間と呼ぶ）の<a href="/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="基底 (線型代数学)">基底</a>であり、物理単位の積はベクトルの和で表され、べき乗はスカラー倍を表すとする。有次元の物理変数を必要な基本単位の指数の組で表す（現れない基本単位に対しては指数はゼロとする）。例えば、<a href="/wiki/%E9%87%8D%E5%8A%9B%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="重力加速度">重力加速度</a><i>g</i> は<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {LT}}^{-2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {LT}}^{-2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b97e6c408c598a31aac2cd4621ca28c690ae6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.176ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {LT}}^{-2}}"></span>（長さ÷時間<sup>2</sup>）の<a href="/wiki/%E9%87%8F%E3%81%AE%E6%AC%A1%E5%85%83" title="量の次元">次元</a>を持つ。したがってこれは基底（長さ，時間）に関してベクトル(1, -2)で表される。 </p><p>物理的単位を物理的関係式の両辺で一致させることは、物理次元ベクトル空間で<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E5%BE%93%E5%B1%9E" class="mw-redirect" title="線形従属">線形従属</a>性を課すこととみなすことができる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="正式な証明"><span id=".E6.AD.A3.E5.BC.8F.E3.81.AA.E8.A8.BC.E6.98.8E"></span>正式な証明</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&section=7" title="節を編集: 正式な証明"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>有次元の物理変数<i>n</i> 個で表される系を考える。基本単位は<i>k</i> 種類とする。<b>次元行列</b> <i>M</i> ∈ R<sup><i>k</i>×<i>n</i></sup> を(<i>i</i> , <i>j</i> )成分が<i>j</i> 番目の物理変数の<i>i</i> 番目の基本単位の指数である行列とする。例えば </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋮<!-- ⋮ --></mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e208fbe7aa29578d74e3ef238bff02dbc5ad37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:12.807ex; height:10.509ex;" alt="{\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}}"></span></dd></dl> <p>は物理変数 <span lang="en" class="texhtml"><i>q</i><sub>1</sub><sup><i>a</i><sub>1</sub></sup>, <i>q</i><sub>2</sub><sup><i>a</i><sub>2</sub></sup>, …, <i>q<sub>n</sub><sup>a<sub>n</sub></sup></i></span> の次元行列である。 </p><p>無次元量は単位のべきが全てゼロとなる（すなわち次元がない）組み合わせであり、次元行列の<a href="/wiki/%E9%9B%B6%E7%A9%BA%E9%96%93" title="零空間">零空間</a>に相当する。無次元変数は有次元変数間の単位の<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%B5%90%E5%90%88" title="線型結合">線型結合</a>である。 </p><p><a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%95%B0#線型写像の階数" title="行列の階数">階数・退化次数公式</a>により、<i>k</i> 個の（必要な）次元を持つ<i>n</i> 個のベクトルから成る系は関係の<i>p</i> (= <i>n</i> - <i>k</i> )-次元空間を満足する。任意の基底の選択は<i>p</i> 個の無次元数の要素を持つ。 </p><p>無次元変数は（分母を払うことで）いつも有次元変数の整数の組み合わせになるように取られる。不自然な有次元数の選択が数学的にはある。いくつかの無次元変数の選択は物理的により意味があり、理想的に使われるものがある。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="例"><span id=".E4.BE.8B"></span>例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&section=8" title="節を編集: 例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="調和振動"><span id=".E8.AA.BF.E5.92.8C.E6.8C.AF.E5.8B.95"></span>調和振動</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&section=9" title="節を編集: 調和振動"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>例としてばねにつないだ物体の<a href="/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E9%81%8B%E5%8B%95" class="mw-redirect" title="振動運動">振動運動</a>について考える。<a href="/wiki/%E6%B0%B4%E5%B9%B3%E9%9D%A2" class="mw-redirect" title="水平面">水平面</a>上に質量 <span lang="en" class="texhtml"><i>m</i></span> の物体をおき、垂直に立った壁と物体との間を<a href="/wiki/%E3%81%B0%E3%81%AD%E5%AE%9A%E6%95%B0" title="ばね定数">ばね定数</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>k</i></span> の<a href="/wiki/%E3%81%B0%E3%81%AD" title="ばね">ばね</a>で結ぶ。ばねの自然長の状態から物体を <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i></span> だけずらし、静かに手を離すと物体は振動運動を始める。このときの振動の<a href="/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F" title="周期">周期</a>（１振動にかかる時間）<span lang="en" class="texhtml"><i>T</i></span> を与える式を推測する。水平面との摩擦や空気抵抗は考えない。 </p><p>式に含まれるであろう定数は、物体の質量 <span lang="en" class="texhtml"><i>m</i></span>、ばね定数 <span lang="en" class="texhtml"><i>k</i></span>、初期変位 <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i></span> の3つである。長さの次元を<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {L}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {L}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d25704a85c37e68d78dd9f549587912bf314b3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.26ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {L}}}"></span>、質量の<a href="/wiki/%E9%87%8F%E3%81%AE%E6%AC%A1%E5%85%83" title="量の次元">次元</a>を<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {M}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {M}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2825874b1ad46c9fab585139f2f5e6e6b3b200" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.033ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {M}}}"></span>、時間の次元を<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7860e4d66c67ce669b88f07a796b143537193daf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {T}}}"></span>とすれば、それぞれの定数および周期 <span lang="en" class="texhtml"><i>T</i></span> の次元は<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [m]={\mathsf {M}},[k]={\mathsf {MT}}^{-2},[x]={\mathsf {L}},[T]={\mathsf {T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [m]={\mathsf {M}},[k]={\mathsf {MT}}^{-2},[x]={\mathsf {L}},[T]={\mathsf {T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687c7f4bf78862dec1b1c5f121b39c352e419e89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.713ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [m]={\mathsf {M}},[k]={\mathsf {MT}}^{-2},[x]={\mathsf {L}},[T]={\mathsf {T}}}"></span>である。この中で長さの次元<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {L}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {L}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d25704a85c37e68d78dd9f549587912bf314b3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.26ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {L}}}"></span>を含んでいるのは初期変位 <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i></span> のみなので、式に含めることができない。なぜなら式の左辺と右辺では次元が一致しなくてはならず、初期変位を含めるならば両辺に同じだけかける必要があり、それならば無くても同じだからである。 </p><p>次元が<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7860e4d66c67ce669b88f07a796b143537193daf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {T}}}"></span>になるように <span lang="en" class="texhtml"><i>m</i></span> と <span lang="en" class="texhtml"><i>k</i></span> を組み合わせる方法は一つしかない。結果次の式が求まる。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=A{\sqrt {\frac {m}{k}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=A{\sqrt {\frac {m}{k}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9b7f504af21ef61a0ace029c5f2b5b2d75dfd53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:11.678ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle T=A{\sqrt {\frac {m}{k}}}}"></span></dd></dl> <p>比例係数 <span lang="en" class="texhtml"><i>A</i></span> は<a href="/wiki/%E7%84%A1%E6%AC%A1%E5%85%83%E9%87%8F" title="無次元量">無次元量</a>の定数で次元解析から求めることはできない。この運動の<a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="運動方程式">運動方程式</a>を直接解くと周期は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe96d957f67cf00dd80be7aceee0c7d89b306ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:12.429ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}"></span></dd></dl> <p>となり、<span lang="en" class="texhtml"><i>A</i> = 2π</span> のもとで両者は見事に一致している（<a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E6%8C%AF%E5%8B%95" title="固有振動">固有振動</a>も参照）。このように簡単な問題ならば次元を考えるだけで見通しが立つ。式の次元が合うことは必須の要請であるので、式の間違いをチェックする場合にも使える。 </p><p>バッキンガムのΠ定理にしたがって考えると、物理量が <span lang="en" class="texhtml"><i>m</i>, <i>k</i>, <i>x</i></span> および <span lang="en" class="texhtml"><i>T</i></span> の4つで、次元が<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {M}},{\mathsf {T}},{\mathsf {L}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {M}},{\mathsf {T}},{\mathsf {L}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923021d9010854c4198453fd8a73c7677a40038a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.944ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {M}},{\mathsf {T}},{\mathsf {L}}}"></span>の3種類なので、次元行列は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M={\begin{pmatrix}\cdot &m&k&x&T\\{\mathsf {M}}&1&1&0&0\\{\mathsf {T}}&0&-2&0&1\\{\mathsf {L}}&0&0&1&0\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> </mtd> <mtd> <mi>m</mi> </mtd> <mtd> <mi>k</mi> </mtd> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mi>T</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M={\begin{pmatrix}\cdot &m&k&x&T\\{\mathsf {M}}&1&1&0&0\\{\mathsf {T}}&0&-2&0&1\\{\mathsf {L}}&0&0&1&0\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e4db49c1d0fe2c50bab1f86f1b64752be4c7884" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:29.66ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle M={\begin{pmatrix}\cdot &m&k&x&T\\{\mathsf {M}}&1&1&0&0\\{\mathsf {T}}&0&-2&0&1\\{\mathsf {L}}&0&0&1&0\end{pmatrix}}}"></span></dd></dl> <p>となる（便宜的に列が <span lang="en" class="texhtml"><i>m</i>, <i>k</i>, <i>x</i>, <i>T</i></span> 、行が<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {M}},{\mathsf {T}},{\mathsf {L}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {M}},{\mathsf {T}},{\mathsf {L}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923021d9010854c4198453fd8a73c7677a40038a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.944ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {M}},{\mathsf {T}},{\mathsf {L}}}"></span>に対応していることを明記しているが、本来の次元行列には含まれない）。<span lang="en" class="texhtml">null <i>M</i> = 1</span> から、1個の無次元量があることが分かる。関係式はすなわちこの無次元量が定数ということである。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {T}{\sqrt {m/k}}}=A(=2\pi )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>T</mi> <msqrt> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>k</mi> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π<!-- π --></mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {T}{\sqrt {m/k}}}=A(=2\pi )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c502096aabf9de229b58aae2103fbec2f3fa897" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:19.173ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {T}{\sqrt {m/k}}}=A(=2\pi )}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="減衰振動"><span id=".E6.B8.9B.E8.A1.B0.E6.8C.AF.E5.8B.95"></span>減衰振動</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&section=10" title="節を編集: 減衰振動"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E3%81%B0%E3%81%AD" title="ばね">ばね</a>につながれた物体が、速度に比例した大きさの抵抗（粘性抵抗力）を受けながら一次元運動することを考える。<a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="運動方程式">運動方程式</a>は以下である<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></p><div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E6%B8%9B%E8%A1%B0%E6%8C%AF%E5%8B%95" title="減衰振動">減衰振動</a>」を参照</div> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m{\ddot {x}}=-c{\dot {x}}-kx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>¨<!-- ¨ --></mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙<!-- ˙ --></mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\ddot {x}}=-c{\dot {x}}-kx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13feac1d7546168f562d771dcfbd23015faa5274" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:15.995ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle m{\ddot {x}}=-c{\dot {x}}-kx}"></span></dd></dl> <p>式に現れる定数は、物体の<a href="/wiki/%E8%B3%AA%E9%87%8F" title="質量">質量</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>m</i></span>、<a href="/wiki/%E7%B2%98%E6%80%A7%E4%BF%82%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="粘性係数">粘性抵抗の比例係数</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>c</i></span>、<a href="/wiki/%E3%81%B0%E3%81%AD%E5%AE%9A%E6%95%B0" title="ばね定数">ばね定数</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>k</i></span> の3つで、それぞれの次元は<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [m]={\mathsf {M}},[c]={\mathsf {MT}}^{-1},[k]=[{\mathsf {MT}}^{-2}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [m]={\mathsf {M}},[c]={\mathsf {MT}}^{-1},[k]=[{\mathsf {MT}}^{-2}]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e0e425960bf91000a1b9a4af5d57fe959946e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.728ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [m]={\mathsf {M}},[c]={\mathsf {MT}}^{-1},[k]=[{\mathsf {MT}}^{-2}]}"></span>である。 </p><p>この運動では、<b>特徴的な時間尺度</b> (characteristic time scale) が2つ存在する。即ち、 </p> <ul><li>減衰時間：<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau ={\frac {m}{c}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ<!-- τ --></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>m</mi> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau ={\frac {m}{c}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe0d5b4c19de6f5e60d9ab86fa8ce238d06ea4e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:7.177ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \tau ={\frac {m}{c}}}"></span></li> <li>固有周期：<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{\omega }}={\sqrt {\frac {m}{k}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>ω<!-- ω --></mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{\omega }}={\sqrt {\frac {m}{k}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/865cb556e4b624f55337bb1fec0c2a8658bcb283" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:10.581ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{\omega }}={\sqrt {\frac {m}{k}}}}"></span></li></ul> <p>の2つの時間が現象を特徴づけており、時間尺度の競合が起こる。つまり <span lang="en" class="texhtml">τ</span> と <span lang="en" class="texhtml">1/ω</span> の大きさのバランスによって運動の様子が変わることが予想される。 </p><p>Π定理からは、物理量が <span lang="en" class="texhtml"><i>m</i>, <i>c</i>, <i>k</i></span> の3つで次元が<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {M}},{\mathsf {T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {M}},{\mathsf {T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe23aabd07e73c762a134bceb2113bb2d086615a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.65ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {M}},{\mathsf {T}}}"></span>の2種類である（調和振動のときと同じ理由によって初期変位は入れなくても良い）から、次元行列が </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M={\begin{pmatrix}\cdot &m&c&k\\{\mathsf {M}}&1&1&1\\{\mathsf {T}}&0&-1&-2\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> </mtd> <mtd> <mi>m</mi> </mtd> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mi>k</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M={\begin{pmatrix}\cdot &m&c&k\\{\mathsf {M}}&1&1&1\\{\mathsf {T}}&0&-1&-2\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b2e82fd50d94bd30dd8cc0a821f7cb5c8cdb20f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:27.342ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle M={\begin{pmatrix}\cdot &m&c&k\\{\mathsf {M}}&1&1&1\\{\mathsf {T}}&0&-1&-2\end{pmatrix}}}"></span></dd></dl> <p>となる。したがって1つの無次元量でこの現象を特徴づけられることがわかる。この無次元量には通常、減衰比と呼ばれる </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta =1/2\tau \omega =c/2{\sqrt {mk}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ζ<!-- ζ --></mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mi>τ<!-- τ --></mi> <mi>ω<!-- ω --></mi> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta =1/2\tau \omega =c/2{\sqrt {mk}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2bf57429df5d42d1338ab3cdb0ee91c8928a73" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.946ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \zeta =1/2\tau \omega =c/2{\sqrt {mk}}}"></span></dd></dl> <p>が用いられ、実際に運動方程式を<a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E8%A7%A3" class="mw-redirect" title="解析解">解析的に解く</a>と、<span lang="en" class="texhtml">ζ < 1</span> のとき減衰振動、<span lang="en" class="texhtml">ζ = 1</span> のとき臨界減衰、<span lang="en" class="texhtml">ζ > 1</span> のとき過減衰となり、運動が<a href="/wiki/%E5%AE%9A%E6%80%A7%E7%9A%84" class="mw-redirect" title="定性的">定性的</a>にも変化する。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="流体機械"><span id=".E6.B5.81.E4.BD.93.E6.A9.9F.E6.A2.B0"></span>流体機械</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&section=11" title="節を編集: 流体機械"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%83%B3%E3%83%97" title="ポンプ">ポンプ</a>、<a href="/wiki/%E9%80%81%E9%A2%A8%E6%A9%9F" title="送風機">送風機</a>や<a href="/wiki/%E7%99%BA%E9%9B%BB%E7%94%A8%E6%B0%B4%E8%BB%8A" title="発電用水車">発電用水車</a>などの<a href="/wiki/%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%9C%E6%A9%9F%E6%A2%B0" title="ターボ機械">ターボ機械</a>は内部流れが複雑であるため、その挙動を表す<a href="/wiki/%E3%83%8A%E3%83%93%E3%82%A8-%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%82%B9%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="ナビエ-ストークス方程式">ナビエ-ストークス方程式</a>を直接解くことができない。しかしその運転状態は以下の条件を与えるとおおよそ決まることが分かっている： </p> <ul><li>作動流体の<a href="/wiki/%E5%AF%86%E5%BA%A6" title="密度">密度</a> <span lang="en" class="texhtml">ρ</span> （次元は<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\rho ]={\mathsf {ML}}^{-3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>ρ<!-- ρ --></mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\rho ]={\mathsf {ML}}^{-3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9b182b0c6fe3e792153588309175176fc8fe1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.22ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [\rho ]={\mathsf {ML}}^{-3}}"></span>）</li> <li>機械の大きさ <span lang="en" class="texhtml"><i>D</i></span> （<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [D]={\mathsf {L}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>D</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [D]={\mathsf {L}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc39674b6cd20c29ba576004b9dd23296c4407c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.576ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [D]={\mathsf {L}}}"></span>）</li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="回転速度">回転速度</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>N</i></span> （<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [N]={\mathsf {T^{-1}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo mathvariant="sans-serif">−<!-- − --></mo> <mn mathvariant="sans-serif">1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [N]={\mathsf {T^{-1}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ea4a6aaef36020800d9967b9d44c60bc085c57d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.371ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [N]={\mathsf {T^{-1}}}}"></span>）</li> <li><a href="/wiki/%E6%B5%81%E9%87%8F" title="流量">流量</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>Q</i></span> （<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [Q]={\mathsf {L}}^{3}{\mathsf {T}}^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [Q]={\mathsf {L}}^{3}{\mathsf {T}}^{-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63f05e11c62a59175d88b50fe69b14597b1d2e12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.46ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [Q]={\mathsf {L}}^{3}{\mathsf {T}}^{-1}}"></span>）</li></ul> <p>このとき、次の未知量を推測する： </p> <ul><li><a href="/wiki/%E5%9C%A7%E5%8A%9B" title="圧力">圧力</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>P</i></span> （<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [P]={\mathsf {ML}}^{-1}{\mathsf {T}}^{-2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [P]={\mathsf {ML}}^{-1}{\mathsf {T}}^{-2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43f5d71261fd04f7727c8afe5079ef77cf8a80a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.679ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [P]={\mathsf {ML}}^{-1}{\mathsf {T}}^{-2}}"></span>）</li> <li><a href="/wiki/%E5%8B%95%E5%8A%9B" title="動力">出力</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>L</i></span> （<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [L]={\mathsf {ML}}^{2}{\mathsf {T}}^{-3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [L]={\mathsf {ML}}^{2}{\mathsf {T}}^{-3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d238ed4b103cdc6975822fb86c12e1993611f44" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.238ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [L]={\mathsf {ML}}^{2}{\mathsf {T}}^{-3}}"></span>）</li></ul> <p>この場合は物理量は6つ、次元が3種類である。 </p><p>次元が一致するように各変数のべきを調整すると、（変数が多いので一意ではないが）以下のように関係式を推測できる： </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P=A\rho N^{2}D^{2}\left({\frac {Q}{ND^{3}}}\right)^{\alpha }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>ρ<!-- ρ --></mi> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>N</mi> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α<!-- α --></mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P=A\rho N^{2}D^{2}\left({\frac {Q}{ND^{3}}}\right)^{\alpha }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bda79f79c8c92e5f68751d78fea041da927e9a86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.528ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle P=A\rho N^{2}D^{2}\left({\frac {Q}{ND^{3}}}\right)^{\alpha }}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=B\rho N^{3}D^{5}\left({\frac {Q}{ND^{3}}}\right)^{\beta }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mi>B</mi> <mi>ρ<!-- ρ --></mi> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>N</mi> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β<!-- β --></mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=B\rho N^{3}D^{5}\left({\frac {Q}{ND^{3}}}\right)^{\beta }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dca260cfb94424b0b928ef780e2d492331a5bcae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.277ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle L=B\rho N^{3}D^{5}\left({\frac {Q}{ND^{3}}}\right)^{\beta }}"></span></dd></dl> <p>ここで、<span lang="en" class="texhtml"><i>A</i>, <i>B</i>, α, β</span> は次元解析から求めることはできないが、条件で考慮していない流体の<a href="/wiki/%E7%B2%98%E5%BA%A6" title="粘度">粘度</a>や機械の各部寸法バランスなどに依存する無次元量である。 </p><p>この場合の次元行列は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M={\begin{pmatrix}\cdot &\rho &D&N&Q&P&L\\{\mathsf {M}}&1&0&0&0&1&1\\{\mathsf {T}}&0&0&-1&-1&-2&-3\\{\mathsf {L}}&-3&1&0&3&-1&2\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo> </mtd> <mtd> <mi>ρ<!-- ρ --></mi> </mtd> <mtd> <mi>D</mi> </mtd> <mtd> <mi>N</mi> </mtd> <mtd> <mi>Q</mi> </mtd> <mtd> <mi>P</mi> </mtd> <mtd> <mi>L</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>3</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>3</mn> </mtd> <mtd> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M={\begin{pmatrix}\cdot &\rho &D&N&Q&P&L\\{\mathsf {M}}&1&0&0&0&1&1\\{\mathsf {T}}&0&0&-1&-1&-2&-3\\{\mathsf {L}}&-3&1&0&3&-1&2\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1575fdbd727f90e1793d771538d532aa60595078" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:43.105ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle M={\begin{pmatrix}\cdot &\rho &D&N&Q&P&L\\{\mathsf {M}}&1&0&0&0&1&1\\{\mathsf {T}}&0&0&-1&-1&-2&-3\\{\mathsf {L}}&-3&1&0&3&-1&2\end{pmatrix}}}"></span></dd></dl> <p>であるため無次元数は <span lang="en" class="texhtml">null <i>M</i> = </span>3つ存在する。よく用いられるのはそれぞれ流量係数、圧力係数、出力係数と呼ばれる以下の3つである： </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi ={\frac {Q}{ND^{3}}},\quad \psi ={\frac {P}{\rho N^{2}D^{2}}},\quad \tau ={\frac {L}{\rho N^{3}D^{5}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ<!-- ϕ --></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>N</mi> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>ψ<!-- ψ --></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>P</mi> <mrow> <mi>ρ<!-- ρ --></mi> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>τ<!-- τ --></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>L</mi> <mrow> <mi>ρ<!-- ρ --></mi> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ={\frac {Q}{ND^{3}}},\quad \psi ={\frac {P}{\rho N^{2}D^{2}}},\quad \tau ={\frac {L}{\rho N^{3}D^{5}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd33ade29d789be84bf2ce80f94c3501a6cbeb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:42.375ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \phi ={\frac {Q}{ND^{3}}},\quad \psi ={\frac {P}{\rho N^{2}D^{2}}},\quad \tau ={\frac {L}{\rho N^{3}D^{5}}}}"></span></dd></dl> <p>無次元の関係式 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>, <i>g</i></span> で表すと </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi =f(\phi ),\quad \tau =g(\phi )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ<!-- ψ --></mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ<!-- ϕ --></mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>τ<!-- τ --></mi> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ<!-- ϕ --></mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi =f(\phi ),\quad \tau =g(\phi )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e19715fbb6423a9b34b37511b23e7c2f87258f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.053ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi =f(\phi ),\quad \tau =g(\phi )}"></span></dd></dl> <p>となる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="原子構造"><span id=".E5.8E.9F.E5.AD.90.E6.A7.8B.E9.80.A0"></span>原子構造</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&section=12" title="節を編集: 原子構造"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>原子構造を<a href="/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="古典物理学">古典物理学</a>が説明できないということも次元解析から理解できる<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p><a href="/wiki/%E6%B0%B4%E7%B4%A0%E5%8E%9F%E5%AD%90" title="水素原子">水素原子</a>は<a href="/wiki/%E9%9B%BB%E5%AD%90" title="電子">電子</a>が<a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%BC%E3%83%AD%E3%83%B3%E5%8A%9B" class="mw-redirect" title="クーロン力">クーロン力</a>で惑星のように<a href="/wiki/%E9%99%BD%E5%AD%90" title="陽子">陽子</a>に束縛されている。その軌道の半径 <span lang="en" class="texhtml"><i>a</i></span> （<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a]={\mathsf {L}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a]={\mathsf {L}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f693e6571d269431e28651694e156f1ab221ee9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.882ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a]={\mathsf {L}}}"></span>）は、 </p> <ul><li>電子の質量<i>m</i> （次元は<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [m]={\mathsf {M}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [m]={\mathsf {M}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d4f92305d343056e184890ed84656f215ff2bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.466ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [m]={\mathsf {M}}}"></span>）</li> <li><a href="/wiki/%E9%9B%BB%E6%B0%97%E7%B4%A0%E9%87%8F" title="電気素量">電気素量</a><i>e</i> （<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [e]={\mathsf {TI}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> <mi mathvariant="sans-serif">I</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [e]={\mathsf {TI}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c85bfe676e570099a5b3afdf231a9ae2b5b6859" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.705ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [e]={\mathsf {TI}}}"></span>）</li> <li><a href="/wiki/%E7%9C%9F%E7%A9%BA%E3%81%AE%E8%AA%98%E9%9B%BB%E7%8E%87" class="mw-redirect" title="真空の誘電率">真空の誘電率</a>ε<sub>0</sub> （<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\varepsilon _{0}]={\mathsf {M}}^{-1}{\mathsf {L}}^{-3}{\mathsf {T}}^{4}{\mathsf {I}}^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>ε<!-- ε --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">I</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\varepsilon _{0}]={\mathsf {M}}^{-1}{\mathsf {L}}^{-3}{\mathsf {T}}^{4}{\mathsf {I}}^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80709521aa2fc26cbc5eb255b9e802eadad727fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.827ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [\varepsilon _{0}]={\mathsf {M}}^{-1}{\mathsf {L}}^{-3}{\mathsf {T}}^{4}{\mathsf {I}}^{2}}"></span>）</li></ul> <p>で表されると考えられる。ここで、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {M}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {M}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2825874b1ad46c9fab585139f2f5e6e6b3b200" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.033ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {M}}}"></span> は質量、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {L}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {L}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d25704a85c37e68d78dd9f549587912bf314b3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.26ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {L}}}"></span> は長さ、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7860e4d66c67ce669b88f07a796b143537193daf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {T}}}"></span> は時間、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {I}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">I</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {I}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878f98bf0bd7d51626d3e31ac531de48f5092654" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {I}}}"></span> は<a href="/wiki/%E9%9B%BB%E6%B5%81" title="電流">電流</a>の次元を表す。ところが、これらの量をどう組み合わせても、長さの次元 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {L}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {L}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d25704a85c37e68d78dd9f549587912bf314b3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.26ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {L}}}"></span> を持った量を構成することができない。すなわち、水素原子は一定の大きさをとることができない。そこで<a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%82%A2" title="ニールス・ボーア">ニールス・ボーア</a>は、このようなミクロの世界では次元が <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {ML}}^{2}{\mathsf {T}}^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {ML}}^{2}{\mathsf {T}}^{-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb6a65088da2fc2231493fa34d14cd548010b74" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.263ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {ML}}^{2}{\mathsf {T}}^{-1}}"></span> の<a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AF%E5%AE%9A%E6%95%B0" title="プランク定数">プランク定数</a> <i>h</i> が関係していると考えた。以上の4つの物理量を組み合わせて長さの次元を持つ量を作ると、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a={\frac {\epsilon _{0}h^{2}}{me^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>ϵ<!-- ϵ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a={\frac {\epsilon _{0}h^{2}}{me^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072fff3e02a4d4fe3126f3c00bf80d65d0c1b23c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:9.556ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle a={\frac {\epsilon _{0}h^{2}}{me^{2}}}}"></span></dd></dl> <p>が導かれる。これは<a href="/wiki/%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%82%A2%E5%8D%8A%E5%BE%84" title="ボーア半径">ボーア半径</a>の <span lang="en" class="texhtml">π</span> 倍である。 </p><p>以上の次元解析的議論により、ボーアは <span lang="en" class="texhtml"><i>h</i></span> が必須であることを確信した。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="拡張"><span id=".E6.8B.A1.E5.BC.B5"></span>拡張</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&section=13" title="節を編集: 拡張"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>次元解析を行う際に用いる次元は<a href="/wiki/%E5%9B%BD%E9%9A%9B%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB#SI基本単位" title="国際単位系">国際単位系の基本単位</a>に対応する7つの次元に限る必要はなく、扱う問題に応じて独立した次元を選ぶことができる<sup id="cite_ref-hirose_9-0" class="reference"><a href="#cite_note-hirose-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。たとえば加速度のない流れでは質量、長さ、時間に加えて力を独立次元とみなすことでより厳密な情報が得られるというブリッジマン(1921)に由来する方法がある。 </p><p>また長さの次元 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {L}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {L}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d25704a85c37e68d78dd9f549587912bf314b3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.26ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {L}}}"></span> に対して、3方向 <span lang="en" class="texhtml">(<i>x</i> , <i>y</i> , <i>z</i>)</span> を区別して次元解析してもよい。この方法はHuntley(1955)に由来し<sup id="cite_ref-hirose_9-1" class="reference"><a href="#cite_note-hirose-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>、<b>方向性次元解析</b>（<span lang="en">vectorial dimensional analysis</span><sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>またはCosta(1971)によって<b>指向解析</b> (directional analysis)<sup id="cite_ref-hirose_9-2" class="reference"><a href="#cite_note-hirose-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>と呼ばれる。<a href="/wiki/%E9%87%8D%E5%8A%9B" title="重力">重力</a>や<a href="/wiki/%E5%A2%83%E7%95%8C%E5%B1%A4" title="境界層">境界層</a>など、特別な方向をもつ物理現象に対しては方向性次元解析が有効になる場合がある。 </p><p>例として、流れの中に、流れに平行に置かれた平板が受ける抗力の問題を考える<sup id="cite_ref-hirose_9-3" class="reference"><a href="#cite_note-hirose-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。抗力 <span lang="en" class="texhtml"><i>F</i></span>、平板の面積 <span lang="en" class="texhtml"><i>S</i></span>、流速 <span lang="en" class="texhtml"><i>u</i></span>、流体の密度 <span lang="en" class="texhtml">ρ</span>、粘性 <span lang="en" class="texhtml">μ</span>、平板前縁から流れに沿って測った距離を <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i></span> とする。独立次元として<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {MLT}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">M</mi> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> <mi mathvariant="sans-serif">T</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {MLT}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a892e64dc38e469c9a34ef3c4cd3fa801e08ed94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.876ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {MLT}}}"></span>を用いる通常の次元解析では2つの無次元数：抗力係数 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i></span> とレイノルズ数 <span lang="en" class="texhtml"><i>Re</i></span> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f={\frac {F}{S\rho u^{2}}},\quad Re={\frac {xu\rho }{\mu }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>F</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>ρ<!-- ρ --></mi> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>R</mi> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mi>u</mi> <mi>ρ<!-- ρ --></mi> </mrow> <mi>μ<!-- μ --></mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f={\frac {F}{S\rho u^{2}}},\quad Re={\frac {xu\rho }{\mu }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba0e757c499344033706ff77f3b1622fa81f93d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.298ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle f={\frac {F}{S\rho u^{2}}},\quad Re={\frac {xu\rho }{\mu }}}"></span></dd></dl> <p>が得られるが、これらの間に成り立つ関係式の具体形は分からない。しかし平板に平行な2方向 <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i>, <i>y</i></span> の長さの次元<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {L}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {L}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d25704a85c37e68d78dd9f549587912bf314b3c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.26ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {L}}}"></span>と、平板に直交する <span lang="en" class="texhtml"><i>z</i></span> 方向の長さの次元<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathsf {L}}_{z}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="sans-serif">L</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {L}}_{z}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40c4fa927eb072e286045b3856dd8747b168045" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.262ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {L}}_{z}}"></span>を独立と考えることによって、層流の場合には </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle fRe^{1/2}={\text{const.}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mi>R</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>const.</mtext> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle fRe^{1/2}={\text{const.}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8a6c7b04e776de49793888db07d17805cb7bff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.878ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle fRe^{1/2}={\text{const.}}}"></span></dd></dl> <p>という、より詳細な関係式を得ることができる。 </p><p>また、Moran(1967)によって<a href="/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96" title="群論">群論</a>的方法との関連も論じられている<sup id="cite_ref-hirose_9-4" class="reference"><a href="#cite_note-hirose-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&section=14" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREF神田佳一2016">神田佳一『水理学』実教出版、2016年、268頁。<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription 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rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-320-07189-6" title="特別:文献資料/978-4-320-07189-6">978-4-320-07189-6</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%B5%81%E4%BD%93%E5%B7%A5%E5%AD%A6%E3%81%A8%E4%BC%9D%E7%86%B1%E5%B7%A5%E5%AD%A6%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%82%81%E3%81%AE%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%B4%BB%E7%94%A8%E6%B3%95&rft.aulast=%E4%BA%94%E5%8D%81%E5%B5%90%E4%BF%9D&rft.au=%E4%BA%94%E5%8D%81%E5%B5%90%E4%BF%9D&rft.au=%E6%9D%89%E5%B1%B1%E5%9D%87&rft.date=2013&rft.pages=104%E9%A0%81&rft.pub=%E5%85%B1%E7%AB%8B%E5%87%BA%E7%89%88&rft.isbn=978-4-320-07189-6&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&section=15" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E9%87%8F%E3%81%AE%E6%AC%A1%E5%85%83" title="量の次元">量の次元</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D" title="単位">単位</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB" title="自然単位系">自然単位系</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%87%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="量方程式">量方程式</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%9C%E3%82%A6%E3%83%81%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9&action=edit&redlink=1" class="new" title="「レイリー・リアボウチンスキーのパラドックス」 (存在しないページ)">レイリー・リアボウチンスキーのパラドックス</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Rayleigh%E2%80%93Riabouchinskys_paradox" class="extiw" title="sv:Rayleigh–Riabouchinskys paradox">スウェーデン語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%9B%A0%E5%AD%90" title="スケール因子">スケール因子</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%82%BC%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8" title="ジョゼフ・フーリエ">ジョゼフ・フーリエ</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&section=16" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.ntnu.no/~hanche/notes/buckingham/buckingham-a5.pdf">Buckingham's pi-theorem</a></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r96783592">.mw-parser-output .asbox{position:relative;overflow:hidden}.mw-parser-output .asbox table{background:transparent}.mw-parser-output .asbox p{margin:0}.mw-parser-output .asbox p+p{margin-top:0.25em}.mw-parser-output .asbox{font-size:90%}.mw-parser-output .asbox-note{font-size:90%}.mw-parser-output .asbox .navbar{position:absolute;top:-0.90em;right:1em;display:none}</style><div role="note" class="metadata plainlinks asbox stub"><table role="presentation"><tbody><tr class="noresize"><td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Nuvola_apps_kalzium.png" class="mw-file-description"><img alt="スタブアイコン" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Nuvola_apps_kalzium.png/30px-Nuvola_apps_kalzium.png" decoding="async" width="30" height="30" class="mw-file-element" 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title="Portal:物理学">Portal:物理学</a>）。</p></td></tr></tbody></table><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r99966302">.mw-parser-output .hlist ul,.mw-parser-output .hlist ol{padding-left:0}.mw-parser-output .hlist li,.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt{margin-right:0;display:inline-block;white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dt:after,.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{white-space:normal}.mw-parser-output .hlist li:after,.mw-parser-output .hlist dd:after{content:" ·\a0 ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dt:after{content:": "}.mw-parser-output .hlist-pipe dd:after,.mw-parser-output .hlist-pipe li:after{content:" |\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-hyphen dd:after,.mw-parser-output .hlist-hyphen li:after{content:" -\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-comma dd:after,.mw-parser-output .hlist-comma li:after{content:"、";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-slash dd:after,.mw-parser-output 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aria-labelledby="典拠管理データベース_frameless&#124;text-top&#124;10px&#124;alt=ウィキデータを編集&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q217113#identifiers&#124;class=noprint&#124;ウィキデータを編集" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div id="典拠管理データベース_frameless&#124;text-top&#124;10px&#124;alt=ウィキデータを編集&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q217113#identifiers&#124;class=noprint&#124;ウィキデータを編集" style="font-size:110%;margin:0 4em"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a> <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q217113#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></span></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">全般</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.worldcat.org/fast/893849/">FAST</a></span></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">国立図書館</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span class="uid"><abbr title="Analyse dimensionnelle"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11978037k">フランス</a></abbr></span></li> <li><span class="uid"><abbr title="Analyse dimensionnelle"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb11978037k">BnF data</a></abbr></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4133116-3">ドイツ</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007555402605171">イスラエル</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85038036">アメリカ</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <!-- NewPP limit report Parsed by mw‐web.codfw.main‐7fc47fc68d‐2t9bn Cached time: 20241128160828 Cache expiry: 2592000 Reduced expiry: false Complications: [show‐toc] CPU time usage: 0.513 seconds Real time usage: 0.715 seconds Preprocessor visited node count: 13970/1000000 Post‐expand include size: 73564/2097152 bytes Template argument size: 14588/2097152 bytes Highest expansion depth: 25/100 Expensive parser function count: 7/500 Unstrip recursion depth: 1/20 Unstrip post‐expand size: 38737/5000000 bytes Lua time usage: 0.140/10.000 seconds Lua memory usage: 2484880/52428800 bytes Number of Wikibase entities loaded: 1/400 --> <!-- Transclusion expansion time report (%,ms,calls,template) 100.00% 531.055 1 -total 49.85% 264.719 1 Template:Reflist 35.02% 185.976 8 Template:Citation/core-ja-jp 31.86% 169.198 6 Template:Cite 18.58% 98.693 10 Template:Citation/identifier 16.43% 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