CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-sticky-header-enabled vector-toc-available" lang="pl" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Liczba – Wikipedia, wolna encyklopedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-sticky-header-enabled vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )plwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","styczeń","luty","marzec","kwiecień","maj","czerwiec","lipiec","sierpień","wrzesień","październik","listopad","grudzień"],"wgRequestId":"7d2d4efc-d8ed-4ae1-9523-49060b2bb0b3","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Liczba","wgTitle":"Liczba","wgCurRevisionId":73722921,"wgRevisionId":73722921,"wgArticleId":3289,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Artykuły z brakującymi przypisami od 2021-08","Szablon cytowania książki – brak numeru strony","Byłe Dobre Artykuły","Liczby"],"wgPageViewLanguage":"pl","wgPageContentLanguage":"pl","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Liczba","wgRelevantArticleId":3289,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":73722921,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"pl","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"pl"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":40000,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q11563","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false}; RLSTATE={"ext.gadget.wikiflex":"ready","ext.gadget.infobox":"ready","ext.gadget.hlist":"ready","ext.gadget.darkmode-overrides":"ready","ext.gadget.small-references":"ready","ext.gadget.citation-access-info":"ready","ext.gadget.sprawdz-problemy-szablony":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","ext.scribunto.logs","site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.ll-script-loader","ext.gadget.veKeepParameters","ext.gadget.szablon-galeria","ext.gadget.NavFrame","ext.gadget.citoid-overrides","ext.gadget.maps","ext.gadget.padlock-indicators","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.gadget.edit-summaries","ext.gadget.edit-first-section","ext.gadget.wikibugs","ext.gadget.map-toggler","ext.gadget.narrowFootnoteColumns","ext.gadget.WDsearch","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=pl&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.gadget.citation-access-info%2Cdarkmode-overrides%2Chlist%2Cinfobox%2Csmall-references%2Csprawdz-problemy-szablony%2Cwikiflex&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.22"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Liczby.svg/1200px-Liczby.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1822"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Liczby.svg/800px-Liczby.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="1215"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Liczby.svg/640px-Liczby.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="972"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Liczba – Wikipedia, wolna encyklopedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//pl.m.wikipedia.org/wiki/Liczba"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Edytuj" href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (pl)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//pl.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczba"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Kanał Atom Wikipedii" href="/w/index.php?title=Specjalna:Ostatnie_zmiany&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="auth.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Liczba rootpage-Liczba skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Przejdź do zawartości</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" title="Główne menu" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menu główne" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menu główne</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menu główne</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Nawigacja </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" title="Przejdź na stronę główną [z]" accesskey="z"><span>Strona główna</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Losowa_strona" title="Załaduj losową stronę [x]" accesskey="x"><span>Losuj artykuł</span></a></li><li id="n-Kategorie" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Kategorie_G%C5%82%C3%B3wne"><span>Kategorie artykułów</span></a></li><li id="n-Featured-articles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Wyr%C3%B3%C5%BCniona_zawarto%C5%9B%C4%87_Wikipedii"><span>Najlepsze artykuły</span></a></li><li id="n-FAQ" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:FAQ"><span>Częste pytania (FAQ)</span></a></li><li id="n-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne"><span>Strony specjalne</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-zmiany" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-zmiany" > <div class="vector-menu-heading"> Dla czytelników </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-czytelnicy" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii"><span>O Wikipedii</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kontakt_z_wikipedystami"><span>Kontakt</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-edytorzy" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-edytorzy" > <div class="vector-menu-heading"> Dla wikipedystów </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-pierwsze-kroki" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki"><span>Pierwsze kroki</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Portal_wikipedyst%C3%B3w" title="O projekcie – co możesz zrobić, gdzie możesz znaleźć informacje"><span>Portal wikipedystów</span></a></li><li id="n-Noticeboard" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tablica_og%C5%82osze%C5%84"><span>Ogłoszenia</span></a></li><li id="n-Guidelines" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Zasady"><span>Zasady</span></a></li><li id="n-helppage-name" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Spis_tre%C5%9Bci"><span>Pomoc</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Ostatnie_zmiany" title="Lista ostatnich zmian w Wikipedii. [r]" accesskey="r"><span>Ostatnie zmiany</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="wolna encyklopedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-pl.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Specjalna:Szukaj" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Szukaj</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Przeszukaj Wikipedię" aria-label="Przeszukaj Wikipedię" autocapitalize="sentences" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Specjalna:Szukaj"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Szukaj</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Narzędzia osobiste"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Zmień rozmiar czcionki, szerokość oraz kolorystykę strony" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Wygląd" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Wygląd</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=pl.wikipedia.org&uselang=pl" class=""><span>Wspomóż Wikipedię</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Liczba" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe." class=""><span>Utwórz konto</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Liczba" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o" class=""><span>Zaloguj się</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Więcej opcji" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia osobiste" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia osobiste</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menu użytkownika" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=pl.wikipedia.org&uselang=pl"><span>Wspomóż Wikipedię</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Liczba" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Utwórz konto</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Liczba" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Zaloguj się</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Strony dla anonimowych edytorów <a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki" aria-label="Dowiedz się więcej na temat edytowania"><span>dowiedz się więcej</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:M%C3%B3j_wk%C5%82ad" title="Lista edycji wykonanych z tego adresu IP [y]" accesskey="y"><span>Edycje</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Moja_dyskusja" title="Dyskusja użytkownika dla tego adresu IP [n]" accesskey="n"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Spis treści" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Spis treści</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ukryj</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Początek</div> </a> </li> <li id="toc-Zastosowania" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Zastosowania"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Zastosowania</span> </div> </a> <ul id="toc-Zastosowania-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Opis_intuicyjny" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Opis_intuicyjny"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Opis intuicyjny</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Opis_intuicyjny-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Opis intuicyjny</span> </button> <ul id="toc-Opis_intuicyjny-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Liczby_naturalne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liczby_naturalne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Liczby naturalne</span> </div> </a> <ul id="toc-Liczby_naturalne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liczby_całkowite" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liczby_całkowite"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Liczby całkowite</span> </div> </a> <ul id="toc-Liczby_całkowite-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liczby_wymierne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liczby_wymierne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Liczby wymierne</span> </div> </a> <ul id="toc-Liczby_wymierne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liczby_rzeczywiste" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liczby_rzeczywiste"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4</span> <span>Liczby rzeczywiste</span> </div> </a> <ul id="toc-Liczby_rzeczywiste-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liczby_zespolone" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liczby_zespolone"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.5</span> <span>Liczby zespolone</span> </div> </a> <ul id="toc-Liczby_zespolone-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liczby_algebraiczne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liczby_algebraiczne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.6</span> <span>Liczby algebraiczne</span> </div> </a> <ul id="toc-Liczby_algebraiczne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liczby_przestępne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liczby_przestępne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.7</span> <span>Liczby przestępne</span> </div> </a> <ul id="toc-Liczby_przestępne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liczby_dualne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liczby_dualne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.8</span> <span>Liczby dualne</span> </div> </a> <ul id="toc-Liczby_dualne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liczby_podwójne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liczby_podwójne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.9</span> <span>Liczby podwójne</span> </div> </a> <ul id="toc-Liczby_podwójne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Oznaczenia_zbiorów_liczbowych" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Oznaczenia_zbiorów_liczbowych"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Oznaczenia zbiorów liczbowych</span> </div> </a> <ul id="toc-Oznaczenia_zbiorów_liczbowych-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Własności_algebraiczne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Własności_algebraiczne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Własności algebraiczne</span> </div> </a> <ul id="toc-Własności_algebraiczne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ścisłe_definicje_liczb" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Ścisłe_definicje_liczb"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Ścisłe definicje liczb</span> </div> </a> <ul id="toc-Ścisłe_definicje_liczb-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Moce_zbiorów_liczbowych" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Moce_zbiorów_liczbowych"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Moce zbiorów liczbowych</span> </div> </a> <ul id="toc-Moce_zbiorów_liczbowych-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Systemy_liczbowe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Systemy_liczbowe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Systemy liczbowe</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Systemy_liczbowe-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Systemy liczbowe</span> </button> <ul id="toc-Systemy_liczbowe-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Pozycyjne_systemy_liczbowe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Pozycyjne_systemy_liczbowe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>Pozycyjne systemy liczbowe</span> </div> </a> <ul id="toc-Pozycyjne_systemy_liczbowe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Addytywne_systemy_liczbowe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Addytywne_systemy_liczbowe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2</span> <span>Addytywne systemy liczbowe</span> </div> </a> <ul id="toc-Addytywne_systemy_liczbowe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Reprezentacje_liczb_w_informatyce" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Reprezentacje_liczb_w_informatyce"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Reprezentacje liczb w informatyce</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Reprezentacje_liczb_w_informatyce-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Reprezentacje liczb w informatyce</span> </button> <ul id="toc-Reprezentacje_liczb_w_informatyce-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Liczby_naturalne_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liczby_naturalne_2"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.1</span> <span>Liczby naturalne</span> </div> </a> <ul id="toc-Liczby_naturalne_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liczby_całkowite_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liczby_całkowite_2"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.2</span> <span>Liczby całkowite</span> </div> </a> <ul id="toc-Liczby_całkowite_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liczby_rzeczywiste_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liczby_rzeczywiste_2"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.3</span> <span>Liczby rzeczywiste</span> </div> </a> <ul id="toc-Liczby_rzeczywiste_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liczby_zespolone_i_kwaterniony" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liczby_zespolone_i_kwaterniony"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.4</span> <span>Liczby zespolone i kwaterniony</span> </div> </a> <ul id="toc-Liczby_zespolone_i_kwaterniony-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Historia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Historia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Historia</span> </div> </a> <ul id="toc-Historia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Zobacz_też" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Zobacz_też"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Zobacz też</span> </div> </a> <ul id="toc-Zobacz_też-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Uwagi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Uwagi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>Uwagi</span> </div> </a> <ul id="toc-Uwagi-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">12</span> <span>Przypisy</span> </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Literatura_dodatkowa" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Literatura_dodatkowa"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">13</span> <span>Literatura dodatkowa</span> </div> </a> <ul id="toc-Literatura_dodatkowa-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Linki_zewnętrzne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Linki_zewnętrzne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">14</span> <span>Linki zewnętrzne</span> </div> </a> <ul id="toc-Linki_zewnętrzne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="Spis treści" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Liczba</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 191 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-191" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">191 języków</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Getal" title="Getal – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Getal" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Zahl" title="Zahl – szwajcarski niemiecki" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Zahl" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="szwajcarski niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%89%81%E1%8C%A5%E1%88%AD" title="ቁጥር – amharski" lang="am" hreflang="am" data-title="ቁጥር" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="amharski" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-anp mw-list-item"><a href="https://anp.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="संख्या – angika" lang="anp" hreflang="anp" data-title="संख्या" data-language-autonym="अंगिका" data-language-local-name="angika" class="interlanguage-link-target"><span>अंगिका</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ang mw-list-item"><a href="https://ang.wikipedia.org/wiki/R%C4%ABm" title="Rīm – staroangielski" lang="ang" hreflang="ang" data-title="Rīm" data-language-autonym="Ænglisc" data-language-local-name="staroangielski" class="interlanguage-link-target"><span>Ænglisc</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF" title="عدد – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="عدد" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Numero" title="Numero – aragoński" lang="an" hreflang="an" data-title="Numero" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="aragoński" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-arc mw-list-item"><a href="https://arc.wikipedia.org/wiki/%DC%A1%DC%A2%DC%9D%DC%A2%DC%90" title="ܡܢܝܢܐ – aramejski" lang="arc" hreflang="arc" data-title="ܡܢܝܢܐ" data-language-autonym="ܐܪܡܝܐ" data-language-local-name="aramejski" class="interlanguage-link-target"><span>ܐܪܡܝܐ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hyw mw-list-item"><a href="https://hyw.wikipedia.org/wiki/%D4%B9%D5%AB%D6%82" title="Թիւ – Western Armenian" lang="hyw" hreflang="hyw" data-title="Թիւ" data-language-autonym="Արեւմտահայերէն" data-language-local-name="Western Armenian" class="interlanguage-link-target"><span>Արեւմտահայերէն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-roa-rup mw-list-item"><a href="https://roa-rup.wikipedia.org/wiki/Numiru" title="Numiru – arumuński" lang="rup" hreflang="rup" data-title="Numiru" data-language-autonym="Armãneashti" data-language-local-name="arumuński" class="interlanguage-link-target"><span>Armãneashti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frp mw-list-item"><a href="https://frp.wikipedia.org/wiki/Nombro" title="Nombro – franko-prowansalski" lang="frp" hreflang="frp" data-title="Nombro" data-language-autonym="Arpetan" data-language-local-name="franko-prowansalski" class="interlanguage-link-target"><span>Arpetan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A6%82%E0%A6%96%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE" title="সংখ্যা – asamski" lang="as" hreflang="as" data-title="সংখ্যা" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="asamski" class="interlanguage-link-target"><span>অসমীয়া</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmberu" title="Númberu – asturyjski" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Númberu" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-atj mw-list-item"><a href="https://atj.wikipedia.org/wiki/Akitasowin" title="Akitasowin – atikamekw" lang="atj" hreflang="atj" data-title="Akitasowin" data-language-autonym="Atikamekw" data-language-local-name="atikamekw" class="interlanguage-link-target"><span>Atikamekw</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gn mw-list-item"><a href="https://gn.wikipedia.org/wiki/Papapy" title="Papapy – guarani" lang="gn" hreflang="gn" data-title="Papapy" data-language-autonym="Avañe'ẽ" data-language-local-name="guarani" class="interlanguage-link-target"><span>Avañe'ẽ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/%C6%8Fd%C9%99d" title="Ədəd – azerbejdżański" lang="az" hreflang="az" data-title="Ədəd" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbejdżański" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF" title="عدد – South Azerbaijani" lang="azb" hreflang="azb" data-title="عدد" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target"><span>تۆرکجه</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A6%82%E0%A6%96%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE" title="সংখ্যা – bengalski" lang="bn" hreflang="bn" data-title="সংখ্যা" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalski" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bjn mw-list-item"><a href="https://bjn.wikipedia.org/wiki/Wilangan" title="Wilangan – banjar" lang="bjn" hreflang="bjn" data-title="Wilangan" data-language-autonym="Banjar" data-language-local-name="banjar" class="interlanguage-link-target"><span>Banjar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/S%C3%B2%CD%98-ba%CC%8Dk" title="Sò͘-ba̍k – minnański" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Sò͘-ba̍k" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnański" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D2%BA%D0%B0%D0%BD" title="Һан – baszkirski" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Һан" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baszkirski" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BA" title="Лік – białoruski" lang="be" hreflang="be" data-title="Лік" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="białoruski" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BA" title="Лік – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Лік" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%A8%E0%A4%82%E0%A4%AC%E0%A4%B0" title="नंबर – Bhojpuri" lang="bh" hreflang="bh" data-title="नंबर" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target"><span>भोजपुरी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Bilang" title="Bilang – Central Bikol" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Bilang" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="Central Bikol" class="interlanguage-link-target"><span>Bikol Central</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Число – bułgarski" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Число" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bułgarski" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bar mw-list-item"><a href="https://bar.wikipedia.org/wiki/Zoih" title="Zoih – bawarski" lang="bar" hreflang="bar" data-title="Zoih" data-language-autonym="Boarisch" data-language-local-name="bawarski" class="interlanguage-link-target"><span>Boarisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bo mw-list-item"><a href="https://bo.wikipedia.org/wiki/%E0%BD%82%E0%BE%B2%E0%BD%84%E0%BD%A6%E0%BC%8B%E0%BD%80%E0%BC%8D" title="གྲངས་ཀ། – tybetański" lang="bo" hreflang="bo" data-title="གྲངས་ཀ།" data-language-autonym="བོད་ཡིག" data-language-local-name="tybetański" class="interlanguage-link-target"><span>བོད་ཡིག</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Broj" title="Broj – bośniacki" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Broj" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bośniacki" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Niver" title="Niver – bretoński" lang="br" hreflang="br" data-title="Niver" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="bretoński" class="interlanguage-link-target"><span>Brezhoneg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bxr mw-list-item"><a href="https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BE" title="Тоо – Russia Buriat" lang="bxr" hreflang="bxr" data-title="Тоо" data-language-autonym="Буряад" data-language-local-name="Russia Buriat" class="interlanguage-link-target"><span>Буряад</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="dobry artykuł"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre" title="Nombre – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Nombre" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BF" title="Хисеп – czuwaski" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Хисеп" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="czuwaski" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/%C4%8C%C3%ADslo" title="Číslo – czeski" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Číslo" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="czeski" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cbk-zam mw-list-item"><a href="https://cbk-zam.wikipedia.org/wiki/Numero" title="Numero – Chavacano" lang="cbk" hreflang="cbk" data-title="Numero" data-language-autonym="Chavacano de Zamboanga" data-language-local-name="Chavacano" class="interlanguage-link-target"><span>Chavacano de Zamboanga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Nhamba" title="Nhamba – shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Nhamba" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="shona" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tum mw-list-item"><a href="https://tum.wikipedia.org/wiki/Chipendero" title="Chipendero – tumbuka" lang="tum" hreflang="tum" data-title="Chipendero" data-language-autonym="ChiTumbuka" data-language-local-name="tumbuka" class="interlanguage-link-target"><span>ChiTumbuka</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cho mw-list-item"><a href="https://cho.wikipedia.org/wiki/Hohltina" title="Hohltina – czoktawski" lang="cho" hreflang="cho" data-title="Hohltina" data-language-autonym="Chahta anumpa" data-language-local-name="czoktawski" class="interlanguage-link-target"><span>Chahta anumpa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-co mw-list-item"><a href="https://co.wikipedia.org/wiki/Numeru" title="Numeru – korsykański" lang="co" hreflang="co" data-title="Numeru" data-language-autonym="Corsu" data-language-local-name="korsykański" class="interlanguage-link-target"><span>Corsu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Rhif" title="Rhif – walijski" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Rhif" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="walijski" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-dag mw-list-item"><a href="https://dag.wikipedia.org/wiki/Kalinli" title="Kalinli – Dagbani" lang="dag" hreflang="dag" data-title="Kalinli" data-language-autonym="Dagbanli" data-language-local-name="Dagbani" class="interlanguage-link-target"><span>Dagbanli</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Tal" title="Tal – duński" lang="da" hreflang="da" data-title="Tal" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="duński" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Zahl" title="Zahl – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Zahl" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-dty mw-list-item"><a href="https://dty.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%BE" title="अंका – Doteli" lang="dty" hreflang="dty" data-title="अंका" data-language-autonym="डोटेली" data-language-local-name="Doteli" class="interlanguage-link-target"><span>डोटेली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Arv" title="Arv – estoński" lang="et" hreflang="et" data-title="Arv" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estoński" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Αριθμός – grecki" lang="el" hreflang="el" data-title="Αριθμός" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grecki" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eml mw-list-item"><a href="https://eml.wikipedia.org/wiki/N%C3%B3mmer" title="Nómmer – Emiliano-Romagnolo" lang="egl" hreflang="egl" data-title="Nómmer" data-language-autonym="Emiliàn e rumagnòl" data-language-local-name="Emiliano-Romagnolo" class="interlanguage-link-target"><span>Emiliàn e rumagnòl</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Number" title="Number – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Number" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero" title="Número – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Número" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Nombro" title="Nombro – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Nombro" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ext mw-list-item"><a href="https://ext.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmiru" title="Númiru – estremadurski" lang="ext" hreflang="ext" data-title="Númiru" data-language-autonym="Estremeñu" data-language-local-name="estremadurski" class="interlanguage-link-target"><span>Estremeñu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Zenbaki" title="Zenbaki – baskijski" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Zenbaki" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="baskijski" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF" title="عدد – perski" lang="fa" hreflang="fa" data-title="عدد" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perski" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Ginti" title="Ginti – hindi fidżyjskie" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Ginti" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="hindi fidżyjskie" class="interlanguage-link-target"><span>Fiji Hindi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Tal" title="Tal – farerski" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Tal" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="farerski" class="interlanguage-link-target"><span>Føroyskt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre" title="Nombre – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Nombre" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fy mw-list-item"><a href="https://fy.wikipedia.org/wiki/Getal" title="Getal – zachodniofryzyjski" lang="fy" hreflang="fy" data-title="Getal" data-language-autonym="Frysk" data-language-local-name="zachodniofryzyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Frysk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ff mw-list-item"><a href="https://ff.wikipedia.org/wiki/Limle" title="Limle – fulani" lang="ff" hreflang="ff" data-title="Limle" data-language-autonym="Fulfulde" data-language-local-name="fulani" class="interlanguage-link-target"><span>Fulfulde</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Uimhir" title="Uimhir – irlandzki" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Uimhir" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gd mw-list-item"><a href="https://gd.wikipedia.org/wiki/%C3%80ireamh" title="Àireamh – szkocki gaelicki" lang="gd" hreflang="gd" data-title="Àireamh" data-language-autonym="Gàidhlig" data-language-local-name="szkocki gaelicki" class="interlanguage-link-target"><span>Gàidhlig</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero" title="Número – galicyjski" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Número" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B8" title="數 – gan" lang="gan" hreflang="gan" data-title="數" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="gan" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%B9%D0%B3" title="Тойг – kałmucki" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Тойг" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="kałmucki" class="interlanguage-link-target"><span>Хальмг</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%88%98_(%EC%88%98%ED%95%99)" title="수 (수학) – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="수 (수학)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ha mw-list-item"><a href="https://ha.wikipedia.org/wiki/Lamba" title="Lamba – hausa" lang="ha" hreflang="ha" data-title="Lamba" data-language-autonym="Hausa" data-language-local-name="hausa" class="interlanguage-link-target"><span>Hausa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-haw mw-list-item"><a href="https://haw.wikipedia.org/wiki/N%C4%81_helu" title="Nā helu – hawajski" lang="haw" hreflang="haw" data-title="Nā helu" data-language-autonym="Hawaiʻi" data-language-local-name="hawajski" class="interlanguage-link-target"><span>Hawaiʻi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B9%D5%AB%D5%BE" title="Թիվ – ormiański" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Թիվ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ormiański" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="संख्या – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="संख्या" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Broj" title="Broj – chorwacki" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Broj" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="chorwacki" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Nombro" title="Nombro – ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Nombro" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ilo mw-list-item"><a href="https://ilo.wikipedia.org/wiki/Numero" title="Numero – ilokano" lang="ilo" hreflang="ilo" data-title="Numero" data-language-autonym="Ilokano" data-language-local-name="ilokano" class="interlanguage-link-target"><span>Ilokano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan" title="Bilangan – indonezyjski" lang="id" hreflang="id" data-title="Bilangan" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonezyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Numero" title="Numero – interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Numero" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-os mw-list-item"><a href="https://os.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%8B%D0%BC%C3%A6%D1%86" title="Нымæц – osetyjski" lang="os" hreflang="os" data-title="Нымæц" data-language-autonym="Ирон" data-language-local-name="osetyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Ирон</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xh mw-list-item"><a href="https://xh.wikipedia.org/wiki/INANI" title="INANI – khosa" lang="xh" hreflang="xh" data-title="INANI" data-language-autonym="IsiXhosa" data-language-local-name="khosa" class="interlanguage-link-target"><span>IsiXhosa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zu mw-list-item"><a href="https://zu.wikipedia.org/wiki/Inombolo" title="Inombolo – zulu" lang="zu" hreflang="zu" data-title="Inombolo" data-language-autonym="IsiZulu" data-language-local-name="zulu" class="interlanguage-link-target"><span>IsiZulu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Tala_(st%C3%A6r%C3%B0fr%C3%A6%C3%B0i)" title="Tala (stærðfræði) – islandzki" lang="is" hreflang="is" data-title="Tala (stærðfræði)" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero" title="Numero – włoski" lang="it" hreflang="it" data-title="Numero" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="włoski" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8" title="מספר – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="מספר" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Wilangan_(mat%C3%A9matika)" title="Wilangan (matématika) – jawajski" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Wilangan (matématika)" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="jawajski" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kbp mw-list-item"><a href="https://kbp.wikipedia.org/wiki/%C3%91%CA%8A%CA%8A_(t%CA%8A%CA%8Az%CA%8A%CA%8A)" title="Ñʊʊ (tʊʊzʊʊ) – Kabiye" lang="kbp" hreflang="kbp" data-title="Ñʊʊ (tʊʊzʊʊ)" data-language-autonym="Kabɩyɛ" data-language-local-name="Kabiye" class="interlanguage-link-target"><span>Kabɩyɛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%B8%E0%B2%82%E0%B2%96%E0%B3%8D%E0%B2%AF%E0%B3%86" title="ಸಂಖ್ಯೆ – kannada" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಸಂಖ್ಯೆ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="kannada" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%AA%E1%83%AE%E1%83%95%E1%83%98" title="რიცხვი – gruziński" lang="ka" hreflang="ka" data-title="რიცხვი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="gruziński" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ks mw-list-item"><a href="https://ks.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D9%8E%D9%9B%D9%86%D9%9B%D8%AF" title="گرَٛنٛد – kaszmirski" lang="ks" hreflang="ks" data-title="گرَٛنٛد" data-language-autonym="कॉशुर / کٲشُر" data-language-local-name="kaszmirski" class="interlanguage-link-target"><span>कॉशुर / کٲشُر</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B0%D0%BD" title="Сан – kazachski" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Сан" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazachski" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kw mw-list-item"><a href="https://kw.wikipedia.org/wiki/Niver" title="Niver – kornijski" lang="kw" hreflang="kw" data-title="Niver" data-language-autonym="Kernowek" data-language-local-name="kornijski" class="interlanguage-link-target"><span>Kernowek</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Namba" title="Namba – suahili" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Namba" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="suahili" class="interlanguage-link-target"><span>Kiswahili</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ht mw-list-item"><a href="https://ht.wikipedia.org/wiki/Nonm" title="Nonm – kreolski haitański" lang="ht" hreflang="ht" data-title="Nonm" data-language-autonym="Kreyòl ayisyen" data-language-local-name="kreolski haitański" class="interlanguage-link-target"><span>Kreyòl ayisyen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Nomm" title="Nomm – Guianan Creole" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Nomm" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a href="https://ku.wikipedia.org/wiki/Hejmar" title="Hejmar – kurdyjski" lang="ku" hreflang="ku" data-title="Hejmar" data-language-autonym="Kurdî" data-language-local-name="kurdyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Kurdî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lbe mw-list-item"><a href="https://lbe.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%8C%D0%B4%D0%B0%D0%B4" title="Аьдад – Lak" lang="lbe" hreflang="lbe" data-title="Аьдад" data-language-autonym="Лакку" data-language-local-name="Lak" class="interlanguage-link-target"><span>Лакку</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%88%E0%BA%B3%E0%BA%99%E0%BA%A7%E0%BA%99" title="ຈຳນວນ – laotański" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ຈຳນວນ" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="laotański" class="interlanguage-link-target"><span>ລາວ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Numerus" title="Numerus – łaciński" lang="la" hreflang="la" data-title="Numerus" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="łaciński" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Skaitlis" title="Skaitlis – łotewski" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Skaitlis" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="łotewski" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Zuel" title="Zuel – luksemburski" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Zuel" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="luksemburski" class="interlanguage-link-target"><span>Lëtzebuergesch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Skai%C4%8Dius" title="Skaičius – litewski" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Skaičius" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="litewski" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-li mw-list-item"><a href="https://li.wikipedia.org/wiki/Getal" title="Getal – limburski" lang="li" hreflang="li" data-title="Getal" data-language-autonym="Limburgs" data-language-local-name="limburski" class="interlanguage-link-target"><span>Limburgs</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lfn mw-list-item"><a href="https://lfn.wikipedia.org/wiki/Numero" title="Numero – Lingua Franca Nova" lang="lfn" hreflang="lfn" data-title="Numero" data-language-autonym="Lingua Franca Nova" data-language-local-name="Lingua Franca Nova" class="interlanguage-link-target"><span>Lingua Franca Nova</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jbo mw-list-item"><a href="https://jbo.wikipedia.org/wiki/namcu" title="namcu – lojban" lang="jbo" hreflang="jbo" data-title="namcu" data-language-autonym="La .lojban." data-language-local-name="lojban" class="interlanguage-link-target"><span>La .lojban.</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lg mw-list-item"><a href="https://lg.wikipedia.org/wiki/Ennamba" title="Ennamba – ganda" lang="lg" hreflang="lg" data-title="Ennamba" data-language-autonym="Luganda" data-language-local-name="ganda" class="interlanguage-link-target"><span>Luganda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Numer" title="Numer – lombardzki" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Numer" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombardzki" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Sz%C3%A1m" title="Szám – węgierski" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Szám" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="węgierski" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mai mw-list-item"><a href="https://mai.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95" title="अंक – maithili" lang="mai" hreflang="mai" data-title="अंक" data-language-autonym="मैथिली" data-language-local-name="maithili" class="interlanguage-link-target"><span>मैथिली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%BE%D1%98" title="Број – macedoński" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Број" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedoński" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Isa" title="Isa – malgaski" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Isa" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="malgaski" class="interlanguage-link-target"><span>Malagasy</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B8%E0%B4%82%E0%B4%96%E0%B5%8D%E0%B4%AF" title="സംഖ്യ – malajalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="സംഖ്യ" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malajalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="संख्या – marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="संख्या" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xmf mw-list-item"><a href="https://xmf.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%AA%E1%83%AE%E1%83%A3" title="რიცხუ – megrelski" lang="xmf" hreflang="xmf" data-title="რიცხუ" data-language-autonym="მარგალური" data-language-local-name="megrelski" class="interlanguage-link-target"><span>მარგალური</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mzn mw-list-item"><a href="https://mzn.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D8%B4%D9%85%D8%A7%D8%B1%DA%A9" title="اشمارک – mazanderański" lang="mzn" hreflang="mzn" data-title="اشمارک" data-language-autonym="مازِرونی" data-language-local-name="mazanderański" class="interlanguage-link-target"><span>مازِرونی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Nombor" title="Nombor – malajski" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Nombor" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malajski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mwl mw-list-item"><a href="https://mwl.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmaro" title="Númaro – mirandyjski" lang="mwl" hreflang="mwl" data-title="Númaro" data-language-autonym="Mirandés" data-language-local-name="mirandyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Mirandés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BE" title="Тоо – mongolski" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Тоо" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongolski" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%80%E1%80%AD%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8" title="ကိန်း – birmański" lang="my" hreflang="my" data-title="ကိန်း" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birmański" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nah mw-list-item"><a href="https://nah.wikipedia.org/wiki/Tlapohualli" title="Tlapohualli – Nahuatl" lang="nah" hreflang="nah" data-title="Tlapohualli" data-language-autonym="Nāhuatl" data-language-local-name="Nahuatl" class="interlanguage-link-target"><span>Nāhuatl</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Naba" title="Naba – fidżijski" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Naba" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="fidżijski" class="interlanguage-link-target"><span>Na Vosa Vakaviti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Getal_(wiskunde)" title="Getal (wiskunde) – niderlandzki" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Getal (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="niderlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cr mw-list-item"><a href="https://cr.wikipedia.org/wiki/%E1%90%8A%E1%91%AD%E1%90%A6%E1%91%96%E1%93%B1%E1%90%A3" title="ᐊᑭᐦᑖᓱᐣ – kri" lang="cr" hreflang="cr" data-title="ᐊᑭᐦᑖᓱᐣ" data-language-autonym="Nēhiyawēwin / ᓀᐦᐃᔭᐍᐏᐣ" data-language-local-name="kri" class="interlanguage-link-target"><span>Nēhiyawēwin / ᓀᐦᐃᔭᐍᐏᐣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%99%E0%A5%8D%E0%A4%95" title="अङ्क – nepalski" lang="ne" hreflang="ne" data-title="अङ्क" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="nepalski" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-new mw-list-item"><a href="https://new.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B2%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE%E0%A4%83" title="ल्याः – newarski" lang="new" hreflang="new" data-title="ल्याः" data-language-autonym="नेपाल भाषा" data-language-local-name="newarski" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाल भाषा</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0" title="数 – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="数" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Taal" title="Taal – północnofryzyjski" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Taal" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="północnofryzyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Tall" title="Tall – norweski (bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Tall" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norweski (bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Tal" title="Tal – norweski (nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Tal" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norweski (nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nrm mw-list-item"><a href="https://nrm.wikipedia.org/wiki/Neunm%C3%A9tho" title="Neunmétho – Norman" lang="nrf" hreflang="nrf" data-title="Neunmétho" data-language-autonym="Nouormand" data-language-local-name="Norman" class="interlanguage-link-target"><span>Nouormand</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nov mw-list-item"><a href="https://nov.wikipedia.org/wiki/Nombre" title="Nombre – novial" lang="nov" hreflang="nov" data-title="Nombre" data-language-autonym="Novial" data-language-local-name="novial" class="interlanguage-link-target"><span>Novial</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Nombre" title="Nombre – oksytański" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Nombre" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="oksytański" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mhr mw-list-item"><a href="https://mhr.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D0%BE%D1%82%D0%BF%D0%B0%D0%BB" title="Шотпал – Eastern Mari" lang="mhr" hreflang="mhr" data-title="Шотпал" data-language-autonym="Олык марий" data-language-local-name="Eastern Mari" class="interlanguage-link-target"><span>Олык марий</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Son" title="Son – uzbecki" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Son" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbecki" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%85%E0%A9%B0%E0%A8%95" title="ਅੰਕ – pendżabski" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਅੰਕ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pendżabski" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D9%85%D8%A8%D8%B1" title="نمبر – Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="نمبر" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ps mw-list-item"><a href="https://ps.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF" title="عدد – paszto" lang="ps" hreflang="ps" data-title="عدد" data-language-autonym="پښتو" data-language-local-name="paszto" class="interlanguage-link-target"><span>پښتو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Nomba" title="Nomba – jamajski" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Nomba" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="jamajski" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9mer" title="Nùmer – piemoncki" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Nùmer" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="piemoncki" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Tahl" title="Tahl – dolnoniemiecki" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Tahl" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="dolnoniemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero" title="Número – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Número" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kaa mw-list-item"><a href="https://kaa.wikipedia.org/wiki/San" title="San – karakałpacki" lang="kaa" hreflang="kaa" data-title="San" data-language-autonym="Qaraqalpaqsha" data-language-local-name="karakałpacki" class="interlanguage-link-target"><span>Qaraqalpaqsha</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r" title="Număr – rumuński" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Număr" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumuński" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Yupay" title="Yupay – keczua" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Yupay" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="keczua" class="interlanguage-link-target"><span>Runa Simi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-rue mw-list-item"><a href="https://rue.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D1%96%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Чісло – rusiński" lang="rue" hreflang="rue" data-title="Чісло" data-language-autonym="Русиньскый" data-language-local-name="rusiński" class="interlanguage-link-target"><span>Русиньскый</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Число – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Число" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%85%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BD" title="Ахсаан – jakucki" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Ахсаан" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="jakucki" class="interlanguage-link-target"><span>Саха тыла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sa mw-list-item"><a href="https://sa.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE%E0%A4%83" title="संख्याः – sanskryt" lang="sa" hreflang="sa" data-title="संख्याः" data-language-autonym="संस्कृतम्" data-language-local-name="sanskryt" class="interlanguage-link-target"><span>संस्कृतम्</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sg mw-list-item"><a href="https://sg.wikipedia.org/wiki/N%C3%B6m%C3%B6r%C3%B6" title="Nömörö – sango" lang="sg" hreflang="sg" data-title="Nömörö" data-language-autonym="Sängö" data-language-local-name="sango" class="interlanguage-link-target"><span>Sängö</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nso mw-list-item"><a href="https://nso.wikipedia.org/wiki/Nomoro" title="Nomoro – sotho północny" lang="nso" hreflang="nso" data-title="Nomoro" data-language-autonym="Sesotho sa Leboa" data-language-local-name="sotho północny" class="interlanguage-link-target"><span>Sesotho sa Leboa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Numri" title="Numri – albański" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Numri" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albański" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9mmuru" title="Nùmmuru – sycylijski" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Nùmmuru" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sycylijski" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Number" title="Number – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Number" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sd mw-list-item"><a href="https://sd.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%86%DA%AF" title="انگ – sindhi" lang="sd" hreflang="sd" data-title="انگ" data-language-autonym="سنڌي" data-language-local-name="sindhi" class="interlanguage-link-target"><span>سنڌي</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/%C4%8C%C3%ADslo_(matematika)" title="Číslo (matematika) – słowacki" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Číslo (matematika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="słowacki" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/%C5%A0tevilo" title="Število – słoweński" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Število" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="słoweński" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cu mw-list-item"><a href="https://cu.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BC%D1%A7" title="Чисмѧ – cerkiewnosłowiański" lang="cu" hreflang="cu" data-title="Чисмѧ" data-language-autonym="Словѣньскъ / ⰔⰎⰑⰂⰡⰐⰠⰔⰍⰟ" data-language-local-name="cerkiewnosłowiański" class="interlanguage-link-target"><span>Словѣньскъ / ⰔⰎⰑⰂⰡⰐⰠⰔⰍⰟ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/N%C5%AFmera" title="Nůmera – śląski" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Nůmera" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="śląski" class="interlanguage-link-target"><span>Ślůnski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Thiin_(cillanaad)" title="Thiin (cillanaad) – somalijski" lang="so" hreflang="so" data-title="Thiin (cillanaad)" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="somalijski" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%98%D9%85%D8%A7%D8%B1%DB%95" title="ژمارە – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ژمارە" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%BE%D1%98" title="Број – serbski" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Број" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbski" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Broj" title="Broj – serbsko-chorwacki" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Broj" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbsko-chorwacki" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Wilangan" title="Wilangan – sundajski" lang="su" hreflang="su" data-title="Wilangan" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="sundajski" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Luku" title="Luku – fiński" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Luku" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="fiński" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Tal" title="Tal – szwedzki" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Tal" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="szwedzki" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Bilang" title="Bilang – tagalski" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Bilang" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalski" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%8E%E0%AE%A3%E0%AF%8D" title="எண் – tamilski" lang="ta" hreflang="ta" data-title="எண்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamilski" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-shi mw-list-item"><a href="https://shi.wikipedia.org/wiki/Am%E1%B8%8Dan" title="Amḍan – tashelhiyt" lang="shi" hreflang="shi" data-title="Amḍan" data-language-autonym="Taclḥit" data-language-local-name="tashelhiyt" class="interlanguage-link-target"><span>Taclḥit</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kab mw-list-item"><a href="https://kab.wikipedia.org/wiki/Am%E1%B8%8Dan" title="Amḍan – kabylski" lang="kab" hreflang="kab" data-title="Amḍan" data-language-autonym="Taqbaylit" data-language-local-name="kabylski" class="interlanguage-link-target"><span>Taqbaylit</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-roa-tara mw-list-item"><a href="https://roa-tara.wikipedia.org/wiki/Numere" title="Numere – Tarantino" lang="nap-x-tara" hreflang="nap-x-tara" data-title="Numere" data-language-autonym="Tarandíne" data-language-local-name="Tarantino" class="interlanguage-link-target"><span>Tarandíne</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B0%D0%BD" title="Сан – tatarski" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Сан" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tatarski" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%B8%E0%B0%82%E0%B0%96%E0%B1%8D%E0%B0%AF" title="సంఖ్య – telugu" lang="te" hreflang="te" data-title="సంఖ్య" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="telugu" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99" title="จำนวน – tajski" lang="th" hreflang="th" data-title="จำนวน" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tajski" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ti mw-list-item"><a href="https://ti.wikipedia.org/wiki/%E1%89%81%E1%8C%BD%E1%88%AA" title="ቁጽሪ – tigrinia" lang="ti" hreflang="ti" data-title="ቁጽሪ" data-language-autonym="ትግርኛ" data-language-local-name="tigrinia" class="interlanguage-link-target"><span>ትግርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B4%D0%B0%D0%B4" title="Адад – tadżycki" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Адад" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="tadżycki" class="interlanguage-link-target"><span>Тоҷикӣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tcy mw-list-item"><a href="https://tcy.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%B8%E0%B2%82%E0%B2%96%E0%B3%8D%E0%B2%AF%E0%B3%86" title="ಸಂಖ್ಯೆ – tulu" lang="tcy" hreflang="tcy" data-title="ಸಂಖ್ಯೆ" data-language-autonym="ತುಳು" data-language-local-name="tulu" class="interlanguage-link-target"><span>ತುಳು</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Say%C4%B1" title="Sayı – turecki" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Sayı" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turecki" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tk mw-list-item"><a href="https://tk.wikipedia.org/wiki/San" title="San – turkmeński" lang="tk" hreflang="tk" data-title="San" data-language-autonym="Türkmençe" data-language-local-name="turkmeński" class="interlanguage-link-target"><span>Türkmençe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-udm mw-list-item"><a href="https://udm.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%8B%D0%B4" title="Лыд – udmurcki" lang="udm" hreflang="udm" data-title="Лыд" data-language-autonym="Удмурт" data-language-local-name="udmurcki" class="interlanguage-link-target"><span>Удмурт</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Число – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Число" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF" title="عدد – urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="عدد" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9maro" title="Nùmaro – wenecki" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Nùmaro" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="wenecki" class="interlanguage-link-target"><span>Vèneto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vep mw-list-item"><a href="https://vep.wikipedia.org/wiki/Lugu" title="Lugu – wepski" lang="vep" hreflang="vep" data-title="Lugu" data-language-autonym="Vepsän kel’" data-language-local-name="wepski" class="interlanguage-link-target"><span>Vepsän kel’</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/S%E1%BB%91" title="Số – wietnamski" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Số" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="wietnamski" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fiu-vro mw-list-item"><a href="https://fiu-vro.wikipedia.org/wiki/Arv" title="Arv – võro" lang="vro" hreflang="vro" data-title="Arv" data-language-autonym="Võro" data-language-local-name="võro" class="interlanguage-link-target"><span>Võro</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-guc mw-list-item"><a href="https://guc.wikipedia.org/wiki/Nuumerokana" title="Nuumerokana – wayúu" lang="guc" hreflang="guc" data-title="Nuumerokana" data-language-autonym="Wayuunaiki" data-language-local-name="wayúu" class="interlanguage-link-target"><span>Wayuunaiki</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B8" title="數 – chiński klasyczny" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="數" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="chiński klasyczny" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Ihap" title="Ihap – waraj" lang="war" hreflang="war" data-title="Ihap" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="waraj" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0" title="数 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="数" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ts mw-list-item"><a href="https://ts.wikipedia.org/wiki/Nomboro" title="Nomboro – tsonga" lang="ts" hreflang="ts" data-title="Nomboro" data-language-autonym="Xitsonga" data-language-local-name="tsonga" class="interlanguage-link-target"><span>Xitsonga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A6%D7%90%D7%9C" title="צאל – jidysz" lang="yi" hreflang="yi" data-title="צאל" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="jidysz" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yo mw-list-item"><a href="https://yo.wikipedia.org/wiki/N%E1%BB%8D%CC%81mb%C3%A0" title="Nọ́mbà – joruba" lang="yo" hreflang="yo" data-title="Nọ́mbà" data-language-autonym="Yorùbá" data-language-local-name="joruba" class="interlanguage-link-target"><span>Yorùbá</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B8" title="數 – kantoński" lang="yue" hreflang="yue" data-title="數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoński" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Skaitlios" title="Skaitlios – żmudzki" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Skaitlios" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="żmudzki" class="interlanguage-link-target"><span>Žemaitėška</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0" title="数 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="数" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-iba mw-list-item"><a href="https://iba.wikipedia.org/wiki/Lumur" title="Lumur – iban" lang="iba" hreflang="iba" data-title="Lumur" data-language-autonym="Jaku Iban" data-language-local-name="iban" class="interlanguage-link-target"><span>Jaku Iban</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zgh mw-list-item"><a href="https://zgh.wikipedia.org/wiki/%E2%B4%B0%E2%B5%8E%E2%B4%B9%E2%B4%B0%E2%B5%8F" title="ⴰⵎⴹⴰⵏ – standardowy marokański tamazight" lang="zgh" hreflang="zgh" data-title="ⴰⵎⴹⴰⵏ" data-language-autonym="ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ" data-language-local-name="standardowy marokański tamazight" class="interlanguage-link-target"><span>ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11563#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Liczba" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c"><span>Artykuł</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Dyskusja:Liczba" rel="discussion" title="Dyskusja o zawartości tej strony [t]" accesskey="t"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Zmień wariant języka" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">polski</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Widok"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Liczba"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=history" title="Starsze wersje tej strony [h]" accesskey="h"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Narzędzia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Więcej opcji" > <div class="vector-menu-heading"> Działania </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Liczba"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=history"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ogólne </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Liczba" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j"><span>Linkujące</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Liczba" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k"><span>Zmiany w linkowanych</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u"><span>Prześlij plik</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Liczba&oldid=73722921" title="Stały link do tej wersji tej strony"><span>Link do tej wersji</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=info" title="Więcej informacji na temat tej strony"><span>Informacje o tej stronie</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=Liczba&id=73722921&wpFormIdentifier=titleform" title="Informacja o tym jak należy cytować tę stronę"><span>Cytowanie tego artykułu</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FLiczba"><span>Zobacz skrócony adres URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FLiczba"><span>Pobierz kod QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Liczba"><span>Utwórz książkę</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Liczba&action=show-download-screen"><span>Pobierz jako PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Liczba&printable=yes" title="Wersja do wydruku [p]" accesskey="p"><span>Wersja do druku</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Numbers" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikiquote mw-list-item"><a href="https://pl.wikiquote.org/wiki/Liczba" hreflang="pl"><span>Wikicytaty</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11563" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g"><span>Element Wikidanych</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><div class="noprint noexcerpt disambig navigation-not-searchable" style="line-height:1.5em; padding: 3px 6px; background-color: var(--background-color-interactive-subtle, #f8f9fa); color: inherit; border-bottom: 1px solid var(--border-color-subtle, #c8ccd1); font-size: 95%; margin-bottom: 1em; display: flex; gap: 4px; align-items: center;"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_ujednoznaczniaj%C4%85ca" title="Inne znaczenia"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/25px-Disambig.svg.png" decoding="async" width="25" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/38px-Disambig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/50px-Disambig.svg.png 2x" data-file-width="230" data-file-height="183" /></a></span><span>Ten artykuł dotyczy pojęcia <i>liczby</i> w matematyce. Zobacz też: <a href="/wiki/Liczba_(ujednoznacznienie)" class="mw-disambig" title="Liczba (ujednoznacznienie)">inne znaczenia</a>.</span></div> <div class="metadata plainlinks mbox mbox-content" tabindex="0"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r75537638">.mw-parser-output .mbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);border-left:10px solid var(--color-progressive,#36c);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa);box-sizing:border-box;margin:0 10%0.5em 10%;display:grid;padding:.3em;gap:.3em;grid-template-columns:60px 1fr;align-items:center;word-break:break-word}.mw-parser-output .mbox.with-iconright{grid-template-columns:60px 1fr min-content}.mw-parser-output .mbox.without-icon{grid-template-columns:1fr}.mw-parser-output .mbox.without-icon.with-iconright{grid-template-columns:1fr min-content}.mw-parser-output .mbox-iconright,.mw-parser-output .mbox-icon{justify-self:center}.mw-parser-output .mbox-icon img{max-width:100%;object-fit:contain}.mw-parser-output .mbox p{font-size:inherit;padding:0;margin:0.5em 0}.mw-parser-output .mbox-text>p:first-child{margin-top:0}.mw-parser-output .mbox-text>p:last-child{margin-bottom:0}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .mbox{margin-left:0;margin-right:0}}@media(max-width:600px){.mw-parser-output .mbox{width:100%}}@media(max-width:450px){.mw-parser-output .mbox-iconright{grid-row:2;grid-column:1/span 2;justify-self:end}.mw-parser-output .mbox.with-iconright{grid-template-columns:40px 1fr}.mw-parser-output .mbox.without-icon.with-iconright{grid-template-columns:1fr}.mw-parser-output .mbox{grid-template-columns:40px 1fr;font-size:0.85rem}}.mw-parser-output .mbox+.mbox{margin-top:calc(-0.5em + 2px)}.mw-parser-output .mbox.mbox-serious{border-left-color:#d33}.mw-parser-output .mbox.mbox-content{border-left-color:#f28500}.mw-parser-output .mbox.mbox-notice{border-left-color:var(--color-progressive,#36c)}.mw-parser-output .mbox.mbox-merge{border-left-color:#9932cc}body.ns-6 .mw-parser-output .mbox{width:unset;max-width:unset;margin-left:0;margin-right:0}</style> <div class="mbox-icon"> <div><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/00/REF_new_%28questionmark%29.svg/60px-REF_new_%28questionmark%29.svg.png" decoding="async" width="50" height="50" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/00/REF_new_%28questionmark%29.svg/120px-REF_new_%28questionmark%29.svg.png 1.5x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></span></span></div></div> <div class="mbox-text"> <b>Ten artykuł od 2021-08 zawiera treści, przy których <a href="/wiki/Wikipedia:Weryfikowalno%C5%9B%C4%87" title="Wikipedia:Weryfikowalność">brakuje odnośników do źródeł</a>.</b><div class="hide-when-compact">Należy dodać <b><a href="/wiki/Pomoc:Przypisy" title="Pomoc:Przypisy">przypisy</a></b> do treści niemających odnośników do źródeł. Dodanie listy <a href="/wiki/Wikipedia:Bibliografia" title="Wikipedia:Bibliografia">źródeł bibliograficznych</a> jest problematyczne, ponieważ nie wiadomo, które treści one uźródławiają.<br /><small><i>Sprawdź w źródłach:</i> <span class="plainlinks"> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/szukaj/Liczba.html">Encyklopedia PWN</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?as_brr=0&as_pub=-icon&q=%22Liczba%22">Google Books</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://scholar.google.com/scholar?q=%22Liczba%22">Google Scholar</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://fbc.pionier.net.pl/search#fq={!tag=dcterms_accessRights}dcterms_accessRights%3A%22Dost%C4%99p%20otwarty%22&q=%22Liczba%22">Federacja Bibliotek Cyfrowych</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://bazhum.muzhp.pl/simple_search_results?search_phrase=%22Liczba%22">BazHum</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://yadda.icm.edu.pl/baztech/search/page.action?qt=SEARCH&q=c_0language_0eq.all*sc.article*c_0keywords_0eq.Liczba*l_0*c_0fulltext_0eq.all">BazTech</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://rcin.org.pl/dlibra/results?q=%22Liczba%22&action=SimpleSearchAction&type=-6&p=0">RCIN</a> • Internet Archive (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/texts?query=%22Liczba%22">texts</a> / <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/inlibrary?query=%22Liczba%22">inlibrary</a>)</span></small><br /><span style="color: var(--color-subtle, #54595d); font-size:80%">Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w <a href="/wiki/Dyskusja:Liczba" title="Dyskusja:Liczba">dyskusji tego artykułu</a>.</span><br /><span style="color: var(--color-subtle, #54595d); font-size:80%"> Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon <a href="/wiki/Szablon:Dopracowa%C4%87" title="Szablon:Dopracować">{{Dopracować}}</a> z tego artykułu.</span></div> </div> </div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Liczby.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Liczby.svg/330px-Liczby.svg.png" decoding="async" width="270" height="410" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Liczby.svg/500px-Liczby.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Liczby.svg/540px-Liczby.svg.png 2x" data-file-width="957" data-file-height="1453" /></a><figcaption><a href="/wiki/Diagram_Hassego" title="Diagram Hassego">Diagram Hassego</a> przedstawiający zawieranie się zbiorów i ogólniej – klas liczbowych w sobie. Symbol <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {X} \subset \mathbb {Y} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">X</mi> </mrow> <mo>⊂</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Y</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {X} \subset \mathbb {Y} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a84f0364538d38a6b82f7fb62837901b276d577b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.455ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {X} \subset \mathbb {Y} }" /></span> oznacza tu, że można skonstruować <a href="/wiki/Klasa_(matematyka)" title="Klasa (matematyka)">klasę</a> liczb <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {X} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">X</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {X} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c0954f67c8e841542d7ac6a8472c4ea739824b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {X} }" /></span> tak, aby była podklasą klasy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Y} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Y</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Y} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1659a198e3dbdda77bbf4598522ab029c1de516" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Y} .}" /></span> Zbiory umieszczone na rysunku powyżej liczb zespolonych noszą wspólną nazwę <a href="/wiki/Liczby_hiperzespolone" title="Liczby hiperzespolone">liczb hiperzespolonych</a>. Na niebiesko oznaczone są rodzaje liczb, które nie tworzą zbiorów, lecz klasy właściwe. Liczby algebraiczne całkowite nie są szczególnym przypadkiem liczb algebraicznych rzeczywistych – to nie jest pomyłka. Zobacz sekcję <a href="/wiki/Aksjomaty_i_konstrukcje_liczb#Liczby_algebraiczne" title="Aksjomaty i konstrukcje liczb">Liczby algebraiczne</a>.</figcaption></figure> <table class="infobox noprint plainlinks" cellpadding="4" role="presentation"> <tbody><tr> <td style="vertical-align:middle; text-align:center; width:30px;"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/28px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png" decoding="async" width="28" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/42px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/56px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png 2x" data-file-width="122" data-file-height="117" /></span></span> </td> <td style="line-height:normal; vertical-align:middle; text-align:center; flex:unset;"><a href="https://pl.wiktionary.org/wiki/liczba" class="extiw" title="wikt:liczba"><strong>Zobacz hasło</strong> <em>liczba</em> w Wikisłowniku</a> </td></tr></tbody></table> <p><b>Liczba</b> – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w <a href="/wiki/Matematyka" title="Matematyka">matematyce</a>. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (<a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczby naturalne</a>), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań. </p><p>W matematyce określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite” itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą <a href="/wiki/Aksjomaty_i_konstrukcje_liczb" title="Aksjomaty i konstrukcje liczb">aksjomatów</a> lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, jak <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r" title="Zbiór">zbiór</a>, czy typy liczb prostsze od konstruowanego. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zastosowania">Zastosowania</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Zastosowania" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zastosowania"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Najprostsze rodzaje liczb, jak <a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczby naturalne</a> czy <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">rzeczywiste</a>, są w powszechnym użyciu jako oznaczenia ilości przedmiotów (np. pięć jabłek) lub mnożnika pewnej <a href="/wiki/Jednostka_miary" title="Jednostka miary">jednostki miary</a> (np. dwa i pół metra). Zapisy liczb naturalnych są używane także jako <a href="/wiki/Znak_(semiotyka)" title="Znak (semiotyka)">identyfikatory</a>, np. <a href="/wiki/Numer_telefonu" class="mw-redirect" title="Numer telefonu">numery telefonów</a>, dróg, <a href="/wiki/PESEL" title="PESEL">PESEL</a>, <a href="/wiki/Mi%C4%99dzynarodowy_znormalizowany_numer_ksi%C4%85%C5%BCki" title="Międzynarodowy znormalizowany numer książki">ISBN</a>. </p><p>W matematyce pojęcie liczby zostało rozszerzone z poznawanych w szkole podstawowej liczb naturalnych, wymiernych i rzeczywistych na takie abstrakcje, jak <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczby zespolone</a>, <a href="/wiki/Liczby_p-adyczne" title="Liczby p-adyczne">p-adyczne</a>, <a href="/wiki/Kwaterniony" title="Kwaterniony">kwaterniony</a>, czy <a href="/wiki/Sedeniony" title="Sedeniony">sedeniony</a>. Liczby zespolone okazały się przydatne w wielu dziedzinach od <a href="/wiki/Grafika_komputerowa" title="Grafika komputerowa">grafiki komputerowej</a><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>a<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, przez <a href="/wiki/Elektronika" title="Elektronika">elektronikę</a><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>b<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, <a href="/wiki/Mechanika_p%C5%82yn%C3%B3w" title="Mechanika płynów">teorię płynów</a>, aż do <a href="/wiki/Mechanika_kwantowa" title="Mechanika kwantowa">fizyki kwantowej</a><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>c<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> i <a href="/wiki/Teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci" title="Teoria względności">teorii względności</a>. Kwaterniony znalazły zastosowanie w <a href="/wiki/Grafika_3D" title="Grafika 3D">grafice trójwymiarowej</a> do prostego obliczania obrotów w przestrzeni (zob. <a href="/wiki/Wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dne_jednorodne" title="Współrzędne jednorodne">współrzędne jednorodne</a>). <a href="/wiki/Liczby_p-adyczne" title="Liczby p-adyczne">Liczby p-adyczne</a> znalazły zastosowanie w <a href="/wiki/Kryptologia" title="Kryptologia">kryptografii</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Opis_intuicyjny">Opis intuicyjny</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Opis intuicyjny" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Opis intuicyjny"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Poniższe opisy w żadnym wypadku nie są ścisłymi definicjami. Liczby są jednak w matematyce definiowane ściśle, i definicje te są przedstawione w <a href="/wiki/Aksjomaty_i_konstrukcje_liczb" title="Aksjomaty i konstrukcje liczb">wydzielonym artykule</a>. Poniżej podane są opisy tylko kilku najprostszych zbiorów liczbowych. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liczby_naturalne">Liczby naturalne</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Liczby naturalne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Liczby naturalne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczby naturalne</a>.</i></div> <p>Najczęściej używanymi liczbami są liczby naturalne. Wśród matematyków istnieją dwie szkoły: </p> <ul><li>Jedni uważają, że zero powinno zaliczać się do liczb naturalnych (a więc liczby naturalne to <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0,1,2,3,4,\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0,1,2,3,4,\dots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4321abdddb88ec75d24bea59edb99d62d07cc61a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.705ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0,1,2,3,4,\dots }" /></span>). Takie podejście jest związane z najbardziej „naturalnym” zastosowaniem liczb naturalnych – zliczaniem elementów skończonych zbiorów. W życiu codziennym używa się liczb naturalnych głównie w tym właśnie celu, aby określić liczbę przedmiotów w jakiejś grupie. Zero odpowiada wtedy liczności <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_pusty" title="Zbiór pusty">zbioru pustego</a>.</li> <li>Inni uznają, że liczby naturalne zaczynają się od jedynki. Liczba zero weszła do matematyki stosunkowo późno. Dopiero w XVII wieku zero było powszechnie rozpoznawane jako liczba w Europie<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, być może więc wydaje się „mniej naturalna” od pozostałych liczb naturalnych.</li></ul> <p>Z punktu widzenia aksjomatyki kwestia zaliczenia zera do liczb naturalnych jest czysto umowna i nie sprawia żadnych problemów pod warunkiem konsekwentnego trzymania się tej umowy podczas rozumowania. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liczby_całkowite"><span id="Liczby_ca.C5.82kowite"></span>Liczby całkowite</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Liczby całkowite" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Liczby całkowite"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">liczby całkowite</a>.</i></div> <p><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">Liczby ujemne</a> to liczby mniejsze od zera. Dla każdej dodatniej liczby (czyli większej od zera) można wskazać liczbę do niej przeciwną, czyli liczbę ujemną leżącą na osi liczbowej w tej samej odległości od zera. Ich suma zawsze daje zero: jeśli na konto wpłynie 100 zł, to w rachunkach można ten fakt zaznaczyć jako 100, wypłatę 100 zł można wtedy oznaczać liczbą ujemną –100. Liczby naturalne <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1,2,3,\dots ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1,2,3,\dots ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdffdd8741a45ac3f7a64d4711ba7f74d3cfd05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.346ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1,2,3,\dots ,}" /></span> zero oraz <a href="/wiki/Liczba_przeciwna" title="Liczba przeciwna">liczby przeciwne</a> do naturalnych <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1,-2,-3,\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1,-2,-3,\dots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06e635abd902fed4dc9198616ea190bb3b896ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.737ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -1,-2,-3,\dots }" /></span> znane są właśnie jako liczby całkowite. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liczby_wymierne">Liczby wymierne</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Liczby wymierne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Liczby wymierne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczby wymierne</a>.</i></div> <p>Liczby wymierne to intuicyjnie <a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">ułamki</a> powstające przez podzielenie liczby całkowitej (zwanej <b>licznikiem</b>) przez liczbę całkowitą różną od zera (zwaną <b>mianownikiem</b>), np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {-3}{5}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mn>3</mn> </mrow> <mn>5</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {-3}{5}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e208ed107143d774a291952cf836bcb00abcc88d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:3.583ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {-3}{5}}.}" /></span> <a href="/wiki/Dzielenie_przez_zero" title="Dzielenie przez zero">Dzielenie przez zero</a> jest operacją niewykonalną. </p><p>Ułamek <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>m</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4d59ffec7a1176fd50f43970de08240094378a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.279ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}" /></span> dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<n\leqslant m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>n</mi> <mo>⩽</mo> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<n\leqslant m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de6fdb287fba01dc2cab6d44e68677c595e4ada" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.794ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0<n\leqslant m}" /></span> reprezentuje wielkość otrzymaną po podzieleniu całości na <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" /></span> równych części, a następnie wybraniu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /></span> spośród nich. Dwa różne ułamki mogą reprezentować tę samą liczbę wymierną, np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {2}{4}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {2}{4}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38678c99faa6cc9e854bf698e05da9ab17c06e39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:7.062ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {2}{4}}.}" /></span> Dla każdego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\neq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be27396bd0e62003728d08329a8767eee94409e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.268ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle c\neq 0}" /></span> ułamek <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e9c32a14514b5b975a4666af015884bc93b0b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:1.706ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}" /></span> jest równy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {ac}{bc}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mi>c</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {ac}{bc}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a0805430ad42ee02437fd1e06d9485ff584b22" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:3.065ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {ac}{bc}}.}" /></span> Operację zamiany <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e9c32a14514b5b975a4666af015884bc93b0b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:1.706ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}" /></span> na <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {ac}{bc}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mi>c</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {ac}{bc}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6707688e9a88d1bebb4893444e7f09beceb3f87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.418ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {ac}{bc}}}" /></span> nazywa się <i>rozszerzeniem ułamka</i>, odwrotną zaś <i>skróceniem ułamka</i>. </p><p>Jeśli licznik i mianownik są jednocześnie dodatnie lub jednocześnie ujemne, to reprezentowana przez ułamek liczba wymierna jest dodatnia. Jeśli licznik jest zerem, to liczba wymierna jest zerem. Jeśli licznik ma znak przeciwny do znaku mianownika, to liczba wymierna nim wyrażona jest ujemna. </p><p>Jeśli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n,m>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n,m>0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a5597c5067a4f2d83f72061f2b024d6c445136c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.73ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n,m>0}" /></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>m,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>m,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e55fd464102d10bc5b8685a9c31eae0495e79079" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.18ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>m,}" /></span> to ułamek reprezentuje liczbę większą od 1. Jeśli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=km}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=km}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1645879dc35ab812df3d8928505ac28d8870f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=km}" /></span> (gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" /></span> jest liczbą całkowitą), to ułamek reprezentuje liczbę całkowitą <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb6778a29f576eb23da1dbddffb73b2571359ac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.858ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k.}" /></span> </p><p>Liczby wymierne są <a href="/wiki/Porz%C4%85dek_liniowy" title="Porządek liniowy">uporządkowane liniowo</a> (każde dwie liczby wymierne są porównywalne). Jest to porządek gęsty: między dwiema różnymi liczbami można zawsze znaleźć inną liczbę (a nawet nieskończenie wiele liczb). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liczby_rzeczywiste">Liczby rzeczywiste</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: Liczby rzeczywiste" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Liczby rzeczywiste"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczby rzeczywiste</a>.</i></div> <p>Już starożytni <a href="/wiki/Pitagorejczycy" title="Pitagorejczycy">pitagorejczycy</a> odkryli, że istnieją liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>m</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4d59ffec7a1176fd50f43970de08240094378a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.279ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}" /></span> (takie jak np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74847cf19189c725cee56e0e5b513d59f6eb9402" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.745ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}},}" /></span> czyli długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym), a więc nie są liczbami wymiernymi. Pitagorejczycy czcili liczby jako doskonałość i to odkrycie było dla nich szokiem. Fakt istnienia liczb niewymiernych był ich najgłębiej skrywaną tajemnicą<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>d<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p><p>Liczby rzeczywiste to liczby wymierne oraz <a href="/wiki/Liczby_niewymierne" title="Liczby niewymierne">liczby niewymierne</a> znajdujące się pomiędzy liczbami wymiernymi, lecz nie dające wyrazić się w postaci ułamka, takie jak <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {3}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {3}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b19c09494138b5082459afac7f9a8d99c546fcd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {3}}}" /></span> czy <a href="/wiki/Pi" title="Pi">π</a>. Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada <a href="/wiki/Punkt_(geometria)" title="Punkt (geometria)">punkt</a> na <a href="/wiki/Prosta" title="Prosta">prostej</a> (tzw. <a href="/wiki/O%C5%9B_liczbowa" title="Oś liczbowa">oś liczbowa</a>). </p><p>Każda liczba rzeczywista jest <a href="/wiki/Punkt_skupienia_zbioru" title="Punkt skupienia zbioru">punktem skupienia</a> zbioru liczb wymiernych i liczby wymierne są <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_g%C4%99sty" title="Zbiór gęsty">gęstym</a> <a href="/wiki/Podzbi%C3%B3r" title="Podzbiór">podzbiorem</a> zbioru liczb rzeczywistych. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liczby_zespolone">Liczby zespolone</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=7" title="Edytuj sekcję: Liczby zespolone" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=7" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Liczby zespolone"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczby zespolone</a>.</i></div> <p><a href="/wiki/Liczby_urojone" title="Liczby urojone">Liczby urojone</a> to liczby, których <a href="/wiki/Pot%C4%99gowanie" title="Potęgowanie">kwadraty</a> są niedodatnimi liczbami rzeczywistymi. W szczególności jedną z nich jest tzw. <a href="/wiki/Jednostka_urojona" title="Jednostka urojona">jednostka urojona</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.449ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i,}" /></span> dla której <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i^{2}=-1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i^{2}=-1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ca91534578075175b2088069fb6a9a414eaa7b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.573ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i^{2}=-1.}" /></span> Żadna liczba urojona oprócz zera nie jest równocześnie liczbą rzeczywistą. </p><p>Liczby zespolone to liczby powstające przez zsumowanie liczby rzeczywistej i liczby urojonej, np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2+3i.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>i</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2+3i.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105726488bd4877878697a051def3f1724986e89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.615ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2+3i.}" /></span> W szczególności liczby rzeczywiste oraz liczby urojone także są liczbami zespolonymi (np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5=5+0i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> <mo>=</mo> <mn>5</mn> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5=5+0i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c7ff0a6b4d25b8f394fc7582d46cd2b9665780" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.229ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 5=5+0i}" /></span>). Każdej liczbie zespolonej odpowiada punkt na <a href="/wiki/P%C5%82aszczyzna" title="Płaszczyzna">płaszczyźnie</a> (tzw. <a href="/wiki/P%C5%82aszczyzna_zespolona" title="Płaszczyzna zespolona">płaszczyzna zespolona</a>), a dodawanie i mnożenie są interpretowane geometrycznie. </p><p>Liczby zespolone są szczególnymi przypadkami <a href="/wiki/Kwaterniony" title="Kwaterniony">kwaternionów</a>, <a href="/wiki/Tessariny" title="Tessariny">tessarinów</a> i <a href="/wiki/Kokwaterniony" title="Kokwaterniony">kokwaternionów</a> dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ee918699d0cb4b8c633cc1f520a8a7a174f44a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.268ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c=0}" /></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87f7389ad2498c0f93551ec4fc92a882548484f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.477ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d=0}" /></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liczby_algebraiczne">Liczby algebraiczne</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=8" title="Edytuj sekcję: Liczby algebraiczne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=8" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Liczby algebraiczne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Liczby_algebraiczne" title="Liczby algebraiczne">liczby algebraiczne</a>.</i></div> <p>Liczba algebraiczna to taka liczba zespolona, która podstawiona do jakiegoś <a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">wielomianu</a> o wymiernych współczynnikach (np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}x^{5}-4x^{4}+{\tfrac {7}{8}}x^{3}+{\tfrac {1}{116}}x-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>7</mn> <mn>8</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>116</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}x^{5}-4x^{4}+{\tfrac {7}{8}}x^{3}+{\tfrac {1}{116}}x-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ed13b4875e511330ddff9c3a287012cbbe3c5b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:28.786ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {3}{5}}x^{5}-4x^{4}+{\tfrac {7}{8}}x^{3}+{\tfrac {1}{116}}x-1}" /></span>) da w wyniku zero. W szczególności każda liczba wymierna <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b38d2684323653daafdd152b7e988594003897d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:1.663ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}" /></span> jest algebraiczna, bo jest pierwiastkiem wielomianu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle qx-p.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>p</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle qx-p.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ece64c52731d08b4be94e1d072fecc52e1c2235" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.056ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle qx-p.}" /></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liczby_przestępne"><span id="Liczby_przest.C4.99pne"></span>Liczby przestępne</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=9" title="Edytuj sekcję: Liczby przestępne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=9" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Liczby przestępne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Liczba_przest%C4%99pna" title="Liczba przestępna">liczba przestępna</a>.</i></div> <p>Liczby przestępne to liczby zespolone niebędące algebraicznymi. Słynnymi przykładami liczb przestępnych są <a href="/wiki/Pi" title="Pi">π</a> oraz <i><a href="/wiki/Podstawa_logarytmu_naturalnego" title="Podstawa logarytmu naturalnego">e</a></i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liczby_dualne">Liczby dualne</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=10" title="Edytuj sekcję: Liczby dualne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=10" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Liczby dualne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Liczby_dualne" title="Liczby dualne">liczby dualne</a>.</i></div> <p><a href="/wiki/Element_nilpotentny" title="Element nilpotentny">Nilpotent</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \epsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϵ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \epsilon }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3837cad72483d97bcdde49c85d3b7b859fb3fd2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.944ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \epsilon }" /></span> to taki element, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \epsilon ^{2}=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ϵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \epsilon ^{2}=0.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc8c7c7fde1f031bb0a6a34fcc544e00ee2aa90" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.906ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \epsilon ^{2}=0.}" /></span> </p><p>Liczby dualne powstają analogicznie do liczb zespolonych poprzez zsumowanie części rzeczywistej i wielokrotności nilpotenta. Mają one postać <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=a+b\epsilon ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>ϵ</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=a+b\epsilon ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4612c957eb3798310a3aa0ca45665eea18c5514e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.845ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z=a+b\epsilon ,}" /></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" /></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" /></span> to liczby rzeczywiste. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liczby_podwójne"><span id="Liczby_podw.C3.B3jne"></span>Liczby podwójne</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=11" title="Edytuj sekcję: Liczby podwójne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=11" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Liczby podwójne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Liczby_podw%C3%B3jne" title="Liczby podwójne">liczby podwójne</a>.</i></div> <p>Przy konstrukcji liczb podwójnych używa się jednostki <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \jmath }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ȷ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \jmath }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c743f50c2e539d854ec742a9aa93fd29df45d17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.073ex; width:0.845ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \jmath }" /></span> niebędącej liczbą rzeczywistą. Różni się ona od jednostki urojonej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" /></span> w tym, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \jmath ^{2}=+1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ȷ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>+</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \jmath ^{2}=+1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/439b69b676cec0d59e11d7741cf9913d9f70ea82" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.073ex; width:8.616ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \jmath ^{2}=+1.}" /></span> </p><p>Liczby podwójne powstają poprzez zsumowanie części rzeczywistej i wielokrotności jednostki <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \jmath .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ȷ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \jmath .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b34e98ba3ab7ccd0667ed03964ef385dbfd9bf0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.073ex; width:1.492ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \jmath .}" /></span> Mają one postać <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=a+b\jmath ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>ȷ</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=a+b\jmath ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f750782330582c505ffb6fd00194c4ad99e61b83" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.673ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z=a+b\jmath ,}" /></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" /></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" /></span> to liczby rzeczywiste. </p><p>Liczby rzeczywiste są szczególnymi przypadkami liczb podwójnych, dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=0.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09f7a3e6a6c615ae3253973f17fa59686eb20931" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.905ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b=0.}" /></span> Liczby podwójne są natomiast szczególnymi przypadkami tessarinów i kokwaternionów (ale nie kwaternionów). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Oznaczenia_zbiorów_liczbowych"><span id="Oznaczenia_zbior.C3.B3w_liczbowych"></span>Oznaczenia zbiorów liczbowych</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=12" title="Edytuj sekcję: Oznaczenia zbiorów liczbowych" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=12" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Oznaczenia zbiorów liczbowych"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>W matematyce powszechnie przyjęte są pewne oznaczenia zbiorów liczbowych. W polskich gimnazjach i szkołach średnich korzysta się z symboli nawiązujących do polskich nazw zbiorów, jednak w szkołach wyższych i środowisku naukowym (a także tym i pozostałych artykułach Wikipedii) korzysta się z oznaczeń międzynarodowych. </p> <dl><dd><table class="wikitable" style="text-align: center; padding: 0 5pt"> <tbody><tr> <th>Zbiór </th> <th>Oznaczenie „szkolne” </th> <th>Oznaczenie standardowe </th> <th>Uwagi </th></tr> <tr> <td align="left">Liczby naturalne bez zera </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {N} _{+}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {N} _{+}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47df3a657efbcc21cdbc9723415a24ef03d810dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.602ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {N} _{+}}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1252d3e79f5246bb7650b1beb5c0336cd48d66" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.325ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} ,}" /></span> czasem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} _{+}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} _{+}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905334d6338bdfd1c5d27c3ca0400ada1964fa7f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.189ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} _{+}}" /></span> </td> <td align="left">rzadziej używane oznaczenia: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} _{1},\mathbb {N} ^{+},\mathbb {N} _{>0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} _{1},\mathbb {N} ^{+},\mathbb {N} _{>0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ead3bc61617c8cdda0db83f2feefc223135bf81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} _{1},\mathbb {N} ^{+},\mathbb {N} _{>0}}" /></span> </td></tr> <tr> <td align="left">Liczby naturalne z zerem </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {N} _{0},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {N} _{0},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00734597079cff0bc0b253f0729b78f5a322c025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.793ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {N} _{0},}" /></span> czasem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f63b6cd6d63ee9b7be0b7e4d14099d7153bd43" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.091ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {N} }" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} _{0},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} _{0},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e71e60dbbde7b8f6e0c432491f72ac8bff0007" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.379ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} _{0},}" /></span> czasem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }" /></span> </td> <td align="left">w <a href="/wiki/Teoria_mnogo%C5%9Bci" title="Teoria mnogości">teorii mnogości</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" /></span> </td></tr> <tr> <td align="left">Liczby całkowite </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11de80478fce9090e43eed19100b37cc841661e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.931ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {C} }" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }" /></span> </td> <td align="left">od <a href="/wiki/J%C4%99zyk_niemiecki" title="Język niemiecki">niem.</a> <i>Zahlen</i> – liczby </td></tr> <tr> <td align="left">Liczby wymierne </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {W} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {W} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04749f1e87cca59c094da23c79cc64b085b0df12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.763ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {W} }" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" /></span> </td> <td align="left">od <a href="/wiki/J%C4%99zyk_niemiecki" title="Język niemiecki">niem.</a> <i>Quotient</i> – iloraz<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </td></tr> <tr> <td align="left">Liczby niewymierne </td> <td>czasem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {N} \mathbf {W} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {N} \mathbf {W} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755ecf9684782d96109ed8ae684edb5494ee59ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.854ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {N} \mathbf {W} }" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6fd71ef4234ec6b082406bf213894f4592bdf1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.681ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }" /></span> </td> <td> </td></tr> <tr> <td align="left">Liczby rzeczywiste </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de85fcc2a00d8ba14aae84aeef812d7fef4b3d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.003ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {R} }" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" /></span> </td> <td align="left">od ang. <i>real numbers</i> </td></tr> <tr> <td align="left">Liczby algebraiczne </td> <td> </td> <td>czasem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {A} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">A</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {A} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb423c16a5f403edbaf66438b75e7a36e725af6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {A} }" /></span> </td> <td> </td></tr> <tr> <td align="left">Liczby zespolone </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b776aaf12c2da4b78ca777cb8295c2000bfd51f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.634ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Z} }" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" /></span> </td> <td align="left">od ang. <i>complex numbers</i> </td></tr> <tr> <td align="left">Kwaterniony </td> <td> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {H} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">H</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {H} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e050965453c42bcc6bd544546703c836bdafeac9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {H} }" /></span> </td> <td align="left">od ang. <i>Hamilton numbers</i> – liczby Hamiltona </td></tr> <tr> <td align="left">Oktoniony </td> <td> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {O} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">O</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {O} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ed2664a4fe515e6fbed25a7193ce663b82920c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {O} }" /></span> </td> <td align="left">znane również jako oktawy Cayleya </td></tr> <tr> <td align="left">Sedeniony </td> <td> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {S} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">S</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {S} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9d5874c5d7f68eba1cec9da9ccbe53903303bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {S} }" /></span> </td> <td> </td></tr> <tr> <td align="left">Liczby p-adyczne </td> <td> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f44bc6894c682710705f3ea74f33042e0acc3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.867ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}" /></span> </td> <td> </td></tr></tbody></table></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Własności_algebraiczne"><span id="W.C5.82asno.C5.9Bci_algebraiczne"></span>Własności algebraiczne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=13" title="Edytuj sekcję: Własności algebraiczne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=13" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Własności algebraiczne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">Działania</a> na liczbach, takie jak <a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawanie</a>, <a href="/wiki/Odejmowanie" title="Odejmowanie">odejmowanie</a>, <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Mnożenie">mnożenie</a> czy <a href="/wiki/Dzielenie" title="Dzielenie">dzielenie</a>, można zdefiniować także w zbiorach, które nie mają z liczbami wiele wspólnego, jak <a href="/wiki/Symetria_figury" title="Symetria figury">symetrie</a> <a href="/wiki/Wielo%C5%9Bcian" title="Wielościan">wielościanów</a> w przestrzeni, o ile tylko działania te będą tam miały podobne właściwości, np. będą <a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemienne</a>, czy <a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączne</a>. <a href="/wiki/Algebra_og%C3%B3lna" title="Algebra ogólna">Struktury algebraiczne</a>, w których działania mają pewne określone właściwości, posiadają w <a href="/wiki/Algebra" title="Algebra">algebrze</a> własne nazwy, takie jak <a href="/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka)">grupa</a>, <a href="/wiki/Pier%C5%9Bcie%C5%84_(matematyka)" title="Pierścień (matematyka)">pierścień</a> czy <a href="/wiki/Cia%C5%82o_(matematyka)" title="Ciało (matematyka)">ciało</a>. </p><p>Liczby na ogół definiowane są krok po kroku. Rozpoczyna się od liczb naturalnych, następnie rozszerza ich algebrę na liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone… </p><p><a href="/wiki/Algebra_og%C3%B3lna" title="Algebra ogólna">Struktury algebraiczne</a> liczb całkowitych i wymiernych rozszerzają kolejno strukturę liczb naturalnych tak, aby najprostsze <a href="/wiki/Arytmetyka_elementarna" title="Arytmetyka elementarna">działania arytmetyczne</a> dawały się w nich wykonać dla dowolnych dwóch liczb (z wyjątkiem <a href="/wiki/Dzielenie_przez_zero" title="Dzielenie przez zero">dzielenia przez zero</a>). Działania takie nazywa się <a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działaniami wewnętrznymi</a> danego zbioru liczbowego, gdyż ich wynik zawsze będzie zawarty w tym zbiorze, dlatego mówi się też, że zbiór jest <i>zamknięty ze względu na</i> dane <i>działanie</i>. Kolejne rozszerzenia – na liczby rzeczywiste i zespolone – wzbogacają strukturę algebraiczną o dalsze interesujące właściwości. </p> <ul><li>Dla <b>liczb naturalnych</b> (z zerem lub bez niego) działaniami wewnętrznymi są np. dodawanie i mnożenie. Dodanie lub pomnożenie przez siebie dwóch liczb naturalnych daje zawsze liczbę naturalną. Dla dodawania i mnożenia można skonstruować działania odwrotne – odejmowanie i dzielenie. Jednak odejmowanie większej liczby od mniejszej nie daje się wykonać w zbiorze liczb naturalnych, odejmowanie nie jest zatem działaniem wewnętrznym tego zbioru. Podobnie jest z dzieleniem.</li> <li>Rozszerzenie liczb naturalnych tak, aby odejmowanie było zawsze wykonalne, daje w rezultacie <a href="/wiki/Dziedzina_ca%C5%82kowito%C5%9Bci" title="Dziedzina całkowitości">pierścień</a> <b>liczb całkowitych</b>. Odejmowanie jest już dla nich działaniem wewnętrznym.</li> <li>Powiększenie pierścienia liczb całkowitych tak, aby wykonalne było dzielenie dowolnej liczby całkowitej przez dowolną niezerową liczbę całkowitą, prowadzi do tzw. <a href="/wiki/Cia%C5%82o_(matematyka)" title="Ciało (matematyka)">ciała</a> <b>liczb wymiernych</b>. Jego działaniami wewnętrznymi są dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie przez liczbę niezerową.</li> <li>Liczby wymierne nie wyczerpują wszystkich możliwości. Jak już wspomniano wcześniej, <a href="/wiki/Przek%C4%85tna" title="Przekątna">przekątna</a> <a href="/wiki/Kwadrat" title="Kwadrat">kwadratu</a> o boku jednostkowym ma długość nie dającą się wyrazić liczbą wymierną. Również <a href="/wiki/Pole_powierzchni" title="Pole powierzchni">pole powierzchni</a> <a href="/wiki/Ko%C5%82o" title="Koło">koła</a> o <a href="/wiki/Promie%C5%84_(geometria)" title="Promień (geometria)">promieniu</a> jednostkowym nie daje się wyrazić taką liczbą. Pole to można jednak z dowolną dokładnością przybliżyć, pokrywając koło siatką przystających kwadratów o bokach będących liczbami wymiernymi i zliczając pola kwadratów mieszczących się w całości w tym kole. Następnie powtarzając tę operację dla coraz mniejszych kwadratów można utworzyć <a href="/wiki/Ci%C4%85g_(matematyka)" title="Ciąg (matematyka)">ciąg</a> liczb wymiernych coraz lepiej przybliżających pole danego koła. Żądanie, aby dowolna skończona <a href="/wiki/Granica_ci%C4%85gu" title="Granica ciągu">granica ciągu</a> liczb wymiernych dawała się wyrazić liczbowo, prowadzi do rozszerzenia ciała liczb wymiernych do ciała <b>liczb rzeczywistych</b>.</li> <li><a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">Wielomiany</a> w zbiorze liczb rzeczywistych nie zawsze mają <a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">pierwiastki</a> rzeczywiste – matematycy mówią, że <i>ciało liczb rzeczywistych nie jest <a href="/wiki/Cia%C5%82o_algebraicznie_domkni%C4%99te" title="Ciało algebraicznie domknięte">algebraicznie domknięte</a></i>. Na przykład równanie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+1=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+1=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01c67127b28bb80e2102c934d0d01daa5c20a61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.648ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+1=0}" /></span> nie ma w tym zbiorze rozwiązań. Na mocy twierdzenia, iż każde ciało jest podciałem pewnego ciała algebraicznie domkniętego, zbiór liczb rzeczywistych można rozszerzyć tak, aby każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej miał pierwiastek w <i>nowym</i> ciele. Powyższa propozycja usprawiedliwia użycie tzw. <b>liczb zespolonych</b>.</li> <li>Zbiory liczbowe można rozszerzać w dalszym stopniu otrzymując tzw. <a href="/wiki/Liczby_hiperzespolone" title="Liczby hiperzespolone">liczby hiperzespolone</a>, w tym: <a href="/wiki/Kwaterniony" title="Kwaterniony">kwaterniony</a>, <a href="/wiki/Oktawy_Cayleya" title="Oktawy Cayleya">oktawy Cayleya</a> i <a href="/wiki/Sedeniony" title="Sedeniony">sedeniony</a>. Zbiory te mają jednak coraz gorsze właściwości algebraiczne: kwaterniony nie tworzą już ciała, ponieważ mnożenie przestaje być przemienne, a w oktawach mnożenie przestaje być nawet łączne. Mimo wszystko liczby te znajdują swoje zastosowania. Więcej na ten temat znajduje się w artykule <a href="/wiki/Aksjomaty_i_konstrukcje_liczb" title="Aksjomaty i konstrukcje liczb">aksjomaty i konstrukcje liczb</a>.</li></ul> <p>Odpowiednie własności działań w podstawowych zbiorach liczbowych zostały ujęte w tabeli (niżej legenda, oznaczenia wprowadzono wyłącznie na potrzeby artykułu): </p> <dl><dd><table class="wikitable" style="text-align: center; padding: 0 5pt"> <tbody><tr> <th>Zbiór liczbowy </th> <th>Dodawanie </th> <th>Odejmowanie </th> <th>Mnożenie </th> <th>Dzielenie </th></tr> <tr> <td align="left">Liczby naturalne bez zera </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {WPL--} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> <mi mathvariant="bold">P</mi> <mi mathvariant="bold">L</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {WPL--} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d7bb02765d33a4220ac61f5ec67195a84b6ef2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.553ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {WPL--} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {-----} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {-----} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07465fd15fb62b678fd62c3aac234403584af1e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0; margin-bottom: -0.671ex; width:7.578ex; height:1.009ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {-----} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {WPLN-} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> <mi mathvariant="bold">P</mi> <mi mathvariant="bold">L</mi> <mi mathvariant="bold">N</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {WPLN-} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95596d59a6471dfa2de77c6b1d65bf9a291f6283" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.563ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {WPLN-} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {---no} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">n</mi> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {---no} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c79e0b0830e2bc600e340be6b72f7ba0cb664ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.635ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {---no} }}" /></span> </td></tr> <tr> <td align="left">Liczby naturalne z zerem </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {WPLN-} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> <mi mathvariant="bold">P</mi> <mi mathvariant="bold">L</mi> <mi mathvariant="bold">N</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {WPLN-} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95596d59a6471dfa2de77c6b1d65bf9a291f6283" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.563ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {WPLN-} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {---nO} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">n</mi> <mi mathvariant="bold">O</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {---nO} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5d701a8c8bd6c599f812af6a1a69af4fd4b95e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.109ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {---nO} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {WPLN-} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> <mi mathvariant="bold">P</mi> <mi mathvariant="bold">L</mi> <mi mathvariant="bold">N</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {WPLN-} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95596d59a6471dfa2de77c6b1d65bf9a291f6283" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.563ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {WPLN-} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {---no} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">n</mi> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {---no} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c79e0b0830e2bc600e340be6b72f7ba0cb664ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.635ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {---no} }}" /></span> </td></tr> <tr> <td align="left">Liczby całkowite </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {WPLNO} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> <mi mathvariant="bold">P</mi> <mi mathvariant="bold">L</mi> <mi mathvariant="bold">N</mi> <mi mathvariant="bold">O</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {WPLNO} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44aa41443fe865f10dfaf80644bc3837ea10fc99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.513ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {WPLNO} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {W--nO} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">n</mi> <mi mathvariant="bold">O</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {W--nO} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2489be120dcf4e2e833e7e0da64352bd0a696c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.594ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {W--nO} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {WPLN-} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> <mi mathvariant="bold">P</mi> <mi mathvariant="bold">L</mi> <mi mathvariant="bold">N</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {WPLN-} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95596d59a6471dfa2de77c6b1d65bf9a291f6283" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.563ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {WPLN-} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {---no} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">n</mi> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {---no} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c79e0b0830e2bc600e340be6b72f7ba0cb664ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.635ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {---no} }}" /></span> </td></tr> <tr> <td align="left">Liczby wymierne </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {WPLNO} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> <mi mathvariant="bold">P</mi> <mi mathvariant="bold">L</mi> <mi mathvariant="bold">N</mi> <mi mathvariant="bold">O</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {WPLNO} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44aa41443fe865f10dfaf80644bc3837ea10fc99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.513ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {WPLNO} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {W--nO} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">n</mi> <mi mathvariant="bold">O</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {W--nO} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2489be120dcf4e2e833e7e0da64352bd0a696c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.594ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {W--nO} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {WPLNo} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> <mi mathvariant="bold">P</mi> <mi mathvariant="bold">L</mi> <mi mathvariant="bold">N</mi> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {WPLNo} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa66bd62dc97ff9a078d6dbce8774c014a1ce9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.039ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {WPLNo} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {w--no} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">w</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">n</mi> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {w--no} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cbf057739cff1c0a1bafb3bf9e0ea25e70d928d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.531ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {w--no} }}" /></span> </td></tr> <tr> <td align="left">Liczby rzeczywiste </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {WPLNO} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> <mi mathvariant="bold">P</mi> <mi mathvariant="bold">L</mi> <mi mathvariant="bold">N</mi> <mi mathvariant="bold">O</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {WPLNO} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44aa41443fe865f10dfaf80644bc3837ea10fc99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.513ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {WPLNO} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {W--nO} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">n</mi> <mi mathvariant="bold">O</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {W--nO} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2489be120dcf4e2e833e7e0da64352bd0a696c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.594ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {W--nO} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {WPLNo} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> <mi mathvariant="bold">P</mi> <mi mathvariant="bold">L</mi> <mi mathvariant="bold">N</mi> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {WPLNo} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa66bd62dc97ff9a078d6dbce8774c014a1ce9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.039ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {WPLNo} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {w--no} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">w</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">n</mi> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {w--no} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cbf057739cff1c0a1bafb3bf9e0ea25e70d928d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.531ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {w--no} }}" /></span> </td></tr> <tr> <td align="left">Liczby zespolone </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {WPLNO} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> <mi mathvariant="bold">P</mi> <mi mathvariant="bold">L</mi> <mi mathvariant="bold">N</mi> <mi mathvariant="bold">O</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {WPLNO} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44aa41443fe865f10dfaf80644bc3837ea10fc99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.513ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {WPLNO} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {W--nO} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">n</mi> <mi mathvariant="bold">O</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {W--nO} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2489be120dcf4e2e833e7e0da64352bd0a696c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.594ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {W--nO} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {WPLNo} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> <mi mathvariant="bold">P</mi> <mi mathvariant="bold">L</mi> <mi mathvariant="bold">N</mi> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {WPLNo} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa66bd62dc97ff9a078d6dbce8774c014a1ce9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.039ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {WPLNo} }}" /></span> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {w--no} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">w</mi> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mo mathvariant="bold">−</mo> <mi mathvariant="bold">n</mi> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {w--no} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cbf057739cff1c0a1bafb3bf9e0ea25e70d928d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.531ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {w--no} }}" /></span> </td></tr></tbody></table></dd></dl> <dl><dd><table class="wikitable" style="padding: 0 5pt"> <tbody><tr> <th>Symbol </th> <th>Własność </th> <th>Definicja </th></tr> <tr> <td colspan="3" style="text-align: center"><b>Legenda</b>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \diamondsuit }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">♢</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \diamondsuit }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4b9f727c53c7a5146318355922aa861e1c6804" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \diamondsuit }" /></span> oznacza opisywane działanie, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" /></span> to dany zbiór liczbowy </td></tr> <tr> <td style="text-align: center"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {W} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {W} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ea086522627bde30ed560d6c8d79e76c18045c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.186ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {W} }}" /></span> </td> <td><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">Zamkniętość</a> zbioru na działanie. </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bigwedge _{a,b\in X}a\diamondsuit b\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>⋀</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mrow> </munder> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">♢</mi> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigwedge _{a,b\in X}a\diamondsuit b\in X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e03d55c0c6e9e94dbcb1088de5e42808986a62" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:13.772ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \bigwedge _{a,b\in X}a\diamondsuit b\in X}" /></span> </td></tr> <tr> <td style="text-align: center"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {w} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">w</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {w} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e579d24e702fae9e63ec53b02400a901ea15bdc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.598ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {w} }}" /></span> </td> <td><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">Zamkniętość</a> zbioru na dzielenie z wyłączeniem dzielenia przez zero. </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bigwedge _{a\in X}\bigwedge _{b\in X\setminus \{0\}}{\tfrac {a}{b}}\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>⋀</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mrow> </munder> <munder> <mo>⋀</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigwedge _{a\in X}\bigwedge _{b\in X\setminus \{0\}}{\tfrac {a}{b}}\in X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6df5be3c2fd101dfa8e0394be829a617e5b698" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:17.156ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \bigwedge _{a\in X}\bigwedge _{b\in X\setminus \{0\}}{\tfrac {a}{b}}\in X}" /></span> </td></tr> <tr> <td style="text-align: center"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {p} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {p} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea5ebf145317e8bc15a6da98081fdde133fecef7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.283ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {p} }}" /></span> </td> <td><a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">Przemienność</a> działania </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bigwedge _{a,b\in X}a\diamondsuit b=b\diamondsuit a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>⋀</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mrow> </munder> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">♢</mi> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mi mathvariant="normal">♢</mi> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigwedge _{a,b\in X}a\diamondsuit b=b\diamondsuit a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206aa2864eb144a9b3d5d651c2652f4bab2c2042" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:16.085ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \bigwedge _{a,b\in X}a\diamondsuit b=b\diamondsuit a}" /></span> </td></tr> <tr> <td style="text-align: center"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {L} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">L</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {L} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4c8aba836ade8a42ad4d8eebaf38c3090007c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.37ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {L} }}" /></span> </td> <td><a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">Łączność</a> działania </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bigwedge _{a,b,c\in X}a\diamondsuit (b\diamondsuit c)=(a\diamondsuit b)\diamondsuit c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>⋀</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mrow> </munder> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">♢</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mi mathvariant="normal">♢</mi> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">♢</mi> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi mathvariant="normal">♢</mi> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigwedge _{a,b,c\in X}a\diamondsuit (b\diamondsuit c)=(a\diamondsuit b)\diamondsuit c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ba215d995ebd549f5c7487731b14c5c5bfe9bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:26.503ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \bigwedge _{a,b,c\in X}a\diamondsuit (b\diamondsuit c)=(a\diamondsuit b)\diamondsuit c}" /></span> </td></tr> <tr> <td style="text-align: center"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {N} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e601c78113a4fdf53f1da179d4ff98a480dd2926" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.711ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {N} }}" /></span> </td> <td>Obustronny <a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">element neutralny</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" /></span> działania w tym zbiorze. </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bigvee _{e\in X}\bigwedge _{a\in X}e\diamondsuit a=a\diamondsuit e=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>⋁</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mrow> </munder> <munder> <mo>⋀</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mrow> </munder> <mi>e</mi> <mi mathvariant="normal">♢</mi> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">♢</mi> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigvee _{e\in X}\bigwedge _{a\in X}e\diamondsuit a=a\diamondsuit e=a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e0d446ba9662e598972f61a5c4bac4fb1294df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:23.072ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \bigvee _{e\in X}\bigwedge _{a\in X}e\diamondsuit a=a\diamondsuit e=a}" /></span> </td></tr> <tr> <td style="text-align: center"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {n} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {n} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7b794c1be59bf349e1ff91c0cc3bc60a606c91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.283ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {n} }}" /></span> </td> <td>Wyłącznie prawostronny <a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">element neutralny</a> dla wszystkich elementów zbioru. </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bigwedge _{a\in X}a\diamondsuit e=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>⋀</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mrow> </munder> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">♢</mi> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigwedge _{a\in X}a\diamondsuit e=a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a519b7f17192003027df1cdf4674c3e82561be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:12.203ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \bigwedge _{a\in X}a\diamondsuit e=a}" /></span> </td></tr> <tr> <td style="text-align: center"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {O} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">O</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {O} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00713aaea81489bf1af20e653301aca1e58f84c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.652ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {O} }}" /></span> </td> <td>Obustronny <a href="/wiki/Element_odwrotny" title="Element odwrotny">element odwrotny</a> dla wszystkich elementów zbioru. </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bigwedge _{a\in X}\bigvee _{b\in X}a\diamondsuit b=b\diamondsuit a=e,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>⋀</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mrow> </munder> <munder> <mo>⋁</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mrow> </munder> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">♢</mi> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mi mathvariant="normal">♢</mi> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigwedge _{a\in X}\bigvee _{b\in X}a\diamondsuit b=b\diamondsuit a=e,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a2738af1dfd311a214f4d316f6ab553532c78fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:23.34ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \bigwedge _{a\in X}\bigvee _{b\in X}a\diamondsuit b=b\diamondsuit a=e,}" /></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" /></span> jest elementem neutralnym </td></tr> <tr> <td style="text-align: center"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle _{\mathbf {o} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle _{\mathbf {o} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae3e6e8a96320c9f832c61fe8b9f2902aee60f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.177ex; height:1.343ex;" alt="{\displaystyle _{\mathbf {o} }}" /></span> </td> <td>Obustronny <a href="/wiki/Element_odwrotny" title="Element odwrotny">element odwrotny</a> dla wszystkich niezerowych elementów zbioru. </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bigwedge _{a\in X\setminus \{0\}}\bigvee _{b\in X}a\diamondsuit b=b\diamondsuit a=e,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>⋀</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mrow> </munder> <munder> <mo>⋁</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mrow> </munder> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">♢</mi> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mi mathvariant="normal">♢</mi> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigwedge _{a\in X\setminus \{0\}}\bigvee _{b\in X}a\diamondsuit b=b\diamondsuit a=e,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd33c54eea08789f98e34bf0c2eae8def5e0242" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:26.628ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \bigwedge _{a\in X\setminus \{0\}}\bigvee _{b\in X}a\diamondsuit b=b\diamondsuit a=e,}" /></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" /></span> jest elementem neutralnym </td></tr></tbody></table></dd></dl> <p>Rodzaje struktur algebraicznych tworzonych przez poszczególne zbiory liczbowe z odpowiednimi działaniami: </p> <ul><li>Dodawanie w zbiorze liczb naturalnych bez zera (jako działaniem łącznym i wewnętrznym) jest przykładem tzw. <a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82grupa" title="Półgrupa">półgrupy</a>.</li> <li>W zbiorze liczb naturalnych z zerem istnieje dodatkowo element neutralny dodawania (zero), w związku z czym ten zbiór z dodawaniem stanowi tzw. <a href="/wiki/Monoid" title="Monoid">monoid</a>.</li> <li>W zbiorze liczb całkowitych i szerszych, dodawanie jest odwracalne (dla każdego elementu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" /></span> istnieje element <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" /></span> taki, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+y=0;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+y=0;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681e28f689adaa7644399fc3d7891a4e5111518c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.233ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x+y=0;}" /></span> element ten nazywa się <i>elementem przeciwnym</i> do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" /></span> i oznacza przez <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae55e66aeffc525917eed885b4b753ba5a7f8b3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.138ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -x}" /></span>). Zatem zbiór liczb całkowitych z dodawaniem tworzy <a href="/wiki/Grupa_przemienna" title="Grupa przemienna">grupę przemienną</a>.</li> <li>Mnożenie we wszystkich tych zbiorach jest łączne, wewnętrzne i ma dokładnie jeden element neutralny, działanie to jednak nie jest odwracalne (zero nie ma elementu odwrotnego). Tworzy więc <a href="/wiki/Monoid" title="Monoid">monoid</a>.</li> <li>Dodawanie i mnożenie razem tworzą w zbiorze liczb naturalnych tzw. <a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82pier%C5%9Bcie%C5%84" title="Półpierścień">półpierścień</a></li> <li>Zbiór liczb całkowitych z dodawaniem i mnożeniem tworzy <a href="/wiki/Dziedzina_ca%C5%82kowito%C5%9Bci" title="Dziedzina całkowitości">dziedzinę całkowitości</a>.</li> <li>Począwszy od liczb wymiernych, zbiory z dodawaniem i mnożeniem razem tworzą już ciało – mnożenie z wyłączeniem zera jest odwracalne.</li> <li>Zbiory liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych bez zera z mnożeniem tworzą grupę przemienną.</li> <li>Zbiór liczb rzeczywistych tworzy <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa">przestrzeń liniową</a> nad ciałem liczb wymiernych.</li> <li>Ciało liczb rzeczywistych (i każde jego podciało) jest <i><a href="/wiki/Cia%C5%82o_(formalnie)_rzeczywiste" title="Ciało (formalnie) rzeczywiste">ciałem formalnie rzeczywistym</a></i>, tj. element przeciwny jedynki nie jest sumą kwadratów niezerowych elementów ciała: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bigwedge _{x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\neq -1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>⋀</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>≠</mo> <mo>−</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigwedge _{x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\neq -1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7f5d248df1d8f0e071a3a8565d0514847b6b25" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:32.527ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \bigwedge _{x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\neq -1.}" /></span></li> <li>Ciało <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" /></span> liczb rzeczywistych i ciało <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {A} \cap \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">A</mi> </mrow> <mo>∩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {A} \cap \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb8ec5267dc36e21ec7e931be6cc656653c5fda5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.939ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {A} \cap \mathbb {R} }" /></span> liczb rzeczywistych algebraicznych są ciałami <i><a href="/wiki/Cia%C5%82o_(formalnie)_rzeczywiste" title="Ciało (formalnie) rzeczywiste">rzeczywiście domkniętymi</a></i>:, tj. są ciałami formalnie rzeczywistymi, które nie posiadają rozszerzenia algebraicznego będącego ciałem formalnie rzeczywistym.</li> <li>Zbiór liczb zespolonych tworzy przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych.</li> <li>Ciało <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" /></span> liczb zespolonych i ciało <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {A} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">A</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {A} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb423c16a5f403edbaf66438b75e7a36e725af6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {A} }" /></span> liczb algebraicznych są ciałami <a href="/wiki/Cia%C5%82o_algebraicznie_domkni%C4%99te" title="Ciało algebraicznie domknięte">algebraicznie domkniętymi</a>, tzn. każdy <a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">wielomian</a> <a href="/wiki/Stopie%C5%84_wielomianu" title="Stopień wielomianu">stopnia</a> co najmniej pierwszego jednej zmiennej ze współczynnikami w <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" /></span> albo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {A} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">A</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {A} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb423c16a5f403edbaf66438b75e7a36e725af6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {A} }" /></span> ma pierwiastek w odpowiednym ciele. W szczególności istnieje <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\in \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\in \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169fae60c23a2027ece2aa7fd4b5047492887e91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.607ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z\in \mathbb {C} }" /></span> takie, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z^{2}=-1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z^{2}=-1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd6b87b0eebb42f122b594d63ba738bb9c45bc0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.86ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z^{2}=-1.}" /></span> W ciele liczb zespolonych istnieją dokładnie dwie liczby o tej własności oznaczane <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" /></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -i.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -i.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2712f3f03e79f9422bcba945d28eb4f6701356f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.257ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -i.}" /></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ścisłe_definicje_liczb"><span id=".C5.9Acis.C5.82e_definicje_liczb"></span>Ścisłe definicje liczb</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=14" title="Edytuj sekcję: Ścisłe definicje liczb" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=14" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Ścisłe definicje liczb"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Główny artykuł: <a href="/wiki/Aksjomaty_i_konstrukcje_liczb" title="Aksjomaty i konstrukcje liczb">Aksjomaty i konstrukcje liczb</a>.</i></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Moce_zbiorów_liczbowych"><span id="Moce_zbior.C3.B3w_liczbowych"></span>Moce zbiorów liczbowych</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=15" title="Edytuj sekcję: Moce zbiorów liczbowych" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=15" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Moce zbiorów liczbowych"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych oraz algebraicznych są równoliczne, czyli mają tę samą <a href="/wiki/Moc_zbioru" title="Moc zbioru">moc</a>; oznacza się ją za pomocą <a href="/wiki/Alfabet_hebrajski" title="Alfabet hebrajski">hebrajskiej litery</a> <i><a href="/wiki/Alef" title="Alef">alef</a></i> z zerem w indeksie (czyt. <i>alef-zero</i>), czyli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \aleph _{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">ℵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \aleph _{0}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e923931b35d43724d1476718cc78e813be053b07" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.121ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \aleph _{0}.}" /></span> </p><p>Zbiory o mocy nie większej niż <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \aleph _{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">ℵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \aleph _{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721cd7f8c15a2e72ad162bdfa5baea8eef98aab1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.475ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \aleph _{0}}" /></span> (w szczególności <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_sko%C5%84czony" title="Zbiór skończony">zbiory skończone</a>) nazywane są <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_przeliczalny" title="Zbiór przeliczalny">zbiorami przeliczalnymi</a>. </p><p>Zbiory liczb rzeczywistych, zespolonych, kwaternionów, oktonionów, sedenionów oraz liczb p-adycznych mają większą moc<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>e<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> – <a href="/wiki/Continuum_(teoria_mnogo%C5%9Bci)#Teoria_mnogości" title="Continuum (teoria mnogości)">continuum</a> – oznaczaną symbolem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {c}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">c</mi> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {c}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dcc5360afa3bd774bd5b0b6f4376515b4850abb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.551ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {c}}.}" /></span> Kwestia, czy pomiędzy liczbą kardynalną <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \aleph _{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">ℵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \aleph _{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721cd7f8c15a2e72ad162bdfa5baea8eef98aab1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.475ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \aleph _{0}}" /></span> a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {c}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">c</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {c}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21924b960341255be18e538e51404718f29cbc0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.905ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {c}}}" /></span> jest jakakolwiek inna liczba kardynalna (<a href="/wiki/Hipoteza_continuum" title="Hipoteza continuum">hipoteza continuum</a>), okazała się niemożliwa do wyprowadzenia z pozostałych <a href="/wiki/Aksjomaty_Zermela-Fraenkla" title="Aksjomaty Zermela-Fraenkla">aksjomatów teorii mnogości</a>. </p><p>Liczby kardynalne i opisane dalej liczby porządkowe nie tworzą w ogóle zbiorów. Założenie, że można utworzyć zbiór wszystkich liczb kardynalnych lub porządkowych, prowadzi do sprzeczności (<a href="/wiki/Paradoks_Buralego-Fortiego" title="Paradoks Buralego-Fortiego">paradoks Buralego-Fortiego</a>). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Systemy_liczbowe">Systemy liczbowe</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=16" title="Edytuj sekcję: Systemy liczbowe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=16" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Systemy liczbowe"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/System_liczbowy" title="System liczbowy">system liczbowy</a>.</i></div> <p>System liczbowy to zbiór reguł do jednolitego zapisywania liczb. Generalnie systemy liczbowe można podzielić na <b>pozycyjne</b> i <b>addytywne</b>. </p> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Maya.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Maya.svg/250px-Maya.svg.png" decoding="async" width="250" height="320" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Maya.svg/375px-Maya.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Maya.svg/500px-Maya.svg.png 2x" data-file-width="250" data-file-height="320" /></a><figcaption>System zapisu liczb prekolumbijskich <a href="/wiki/Majowie" title="Majowie">Majów</a> opierał się na systemie piątkowym dla liczb 0–19. Większe liczby zapisywano używając potęg dwudziestki i powyższych symboli jako cyfr systemu dwudziestkowego</figcaption></figure> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Pozycyjne_systemy_liczbowe">Pozycyjne systemy liczbowe</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=17" title="Edytuj sekcję: Pozycyjne systemy liczbowe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=17" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Pozycyjne systemy liczbowe"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>W <a href="/wiki/System_liczbowy" title="System liczbowy">pozycyjnych systemach liczbowych</a> ten sam symbol (<a href="/wiki/Cyfra" title="Cyfra">cyfra</a>) ma różną wartość w zależności od pozycji, jaką zawiera w danej liczbie. Na przykład w dziesiętnym zapisie liczby 11, pierwsza jedynka ma wartość 10, a druga 1, ze względu na inną ich pozycję w zapisie liczby. </p><p>Przykłady: </p> <ul><li><a href="/wiki/Dziesi%C4%99tny_system_liczbowy" title="Dziesiętny system liczbowy">dziesiętny system liczbowy</a>, który jest współcześnie w powszechnym użyciu <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 109_{10}=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+9\cdot 10^{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>109</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>9</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 109_{10}=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+9\cdot 10^{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b212e4cc530504959ae9f0606143ad24dcf88c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:32.805ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 109_{10}=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+9\cdot 10^{0}}" /></span></dd></dl></li> <li><a href="/wiki/Dw%C3%B3jkowy_system_liczbowy" title="Dwójkowy system liczbowy">dwójkowy system liczbowy</a>, czyli o podstawie 2, stosowany w <a href="/wiki/Elektronika_cyfrowa" title="Elektronika cyfrowa">elektronice cyfrowej</a>, np. w <a href="/wiki/Komputer" title="Komputer">komputerach</a>. Przyczyną jest prostsza budowa i większa odporność na błędy <a href="/wiki/Bramka_logiczna" title="Bramka logiczna">bramek logicznych</a> (elementów z których budowany jest <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_cyfrowy" title="Układ cyfrowy">układ cyfrowy</a>) przy mniejszej liczbie możliwych stanów. Ponieważ najmniejsza użyteczna liczba stanów to dwa, więc najtaniej i najprościej zbudować układy cyfrowe oparte na systemie dwójkowym. <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10011101_{2}=1\cdot 2^{7}+0\cdot 2^{6}+0\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>10011101</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10011101_{2}=1\cdot 2^{7}+0\cdot 2^{6}+0\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3831bd6eb6d64c6b468311d0f2a270997d3774a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:42.207ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 10011101_{2}=1\cdot 2^{7}+0\cdot 2^{6}+0\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}}" /></span><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=157_{10}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mn>157</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=157_{10}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3482346e24543786102054a71211c2515b709e3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:39.024ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle +1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=157_{10}}" /></span></dd></dl></li> <li><a href="/wiki/Szesnastkowy_system_liczbowy" title="Szesnastkowy system liczbowy">szesnastkowy system liczbowy</a>, w którym liczbom 10 do 15 odpowiadają cyfry oznaczane pierwszymi (małymi lub dużymi) literami alfabetu. Najczęściej używany w informatyce ze względu na oszczędność miejsca przy notowaniu, ponieważ każdy <a href="/wiki/Bajt" title="Bajt">bajt</a> może być zakodowany dwiema cyframi szesnastkowymi oraz łatwe konwersje do/z systemu dwójkowego – cyfrze szesnastkowej odpowiadają cztery cyfry dwójkowe (z podobnych względów używa się czasem <a href="/wiki/%C3%93semkowy_system_liczbowy" title="Ósemkowy system liczbowy">ósemkowego systemu liczbowego</a>). <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1AF_{16}=1\cdot 16^{2}+10\cdot 16^{1}+15\cdot 16^{0}=431_{10}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mi>A</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>16</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>16</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>10</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>16</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>15</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>16</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mn>431</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1AF_{16}=1\cdot 16^{2}+10\cdot 16^{1}+15\cdot 16^{0}=431_{10}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e84b9b39f4db1e4bcda37c0a7847a7e17304015" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:44.505ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 1AF_{16}=1\cdot 16^{2}+10\cdot 16^{1}+15\cdot 16^{0}=431_{10}}" /></span></dd></dl></li></ul> <p>W pozycyjnych systemach liczbowych o podstawie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" /></span> każda nieujemna liczba rzeczywista <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" /></span> może być rozwinięta przy pomocy szeregu: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=c_{n}k^{n}+c_{n-1}k^{n-1}+\ldots +c_{1}k+c_{0}+c_{-1}k^{-1}+c_{-2}k^{-2}+\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=c_{n}k^{n}+c_{n-1}k^{n-1}+\ldots +c_{1}k+c_{0}+c_{-1}k^{-1}+c_{-2}k^{-2}+\ldots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba90c2c0944e084cda31c064fc88124fae8ea03" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:62.369ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x=c_{n}k^{n}+c_{n-1}k^{n-1}+\ldots +c_{1}k+c_{0}+c_{-1}k^{-1}+c_{-2}k^{-2}+\ldots }" /></span></dd></dl> <p>gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01acb7953ba52c2aa44264b5d0f8fd223aa178a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.807ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{i}}" /></span> to cyfry będące liczbami naturalnymi z przedziału od 0 do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k-1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k-1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c51f394a0e0100cf4d267b3d9858960b408cfc85" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.861ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle k-1.}" /></span> </p><p>Skrótowo liczbę nieujemną zapisuje się jako <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{n}c_{n-1}\ldots c_{1}c_{0},c_{-1}c_{-2}\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}c_{n-1}\ldots c_{1}c_{0},c_{-1}c_{-2}\ldots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f051bd7ea6c59276f15312db59738dc62c334246" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.994ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{n}c_{n-1}\ldots c_{1}c_{0},c_{-1}c_{-2}\ldots }" /></span> W krajach anglosaskich zamiast przecinka zarezerwowanego do oddzielania tysięcy używana jest kropka. Dla liczb ujemnych zapisujemy ich <a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna">moduł</a>, dodając z przodu znak <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7363422f6855d1910aeb4922a790ea855288a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.455ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -,}" /></span> np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -25,4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mn>25</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -25,4}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008b973ca45977b5f6640b6f5c80c1e809fe237b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.329ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -25,4}" /></span><sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>f<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Przez analogię dla liczb dodatnich można dodać z przodu znak <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafaaac9b5cec3b5650ab9e35f27af90f449cae6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.455ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +.}" /></span> W księgowości stosuje się też inne notacje, na przykład liczby ujemne ujmuje się w nawiasy. </p><p>Liczby rzeczywiste często wymagają nieskończenie wielu cyfr do swego zapisu. Zapis liczb wymiernych zawsze wykazuje okresowość, to znaczy od pewnego momentu ciąg cyfr zaczyna się cyklicznie powtarzać. Liczby naturalne są zapisywane skończoną liczbą cyfr, gdyż wszystkie cyfry <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01acb7953ba52c2aa44264b5d0f8fd223aa178a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.807ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{i}}" /></span> dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i<0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i<0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2211a8fa50853fffd51a8da66b8f0881522e7e80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.063ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i<0}" /></span> są zerami, więc ich zapis można pominąć. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Addytywne_systemy_liczbowe">Addytywne systemy liczbowe</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=18" title="Edytuj sekcję: Addytywne systemy liczbowe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=18" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Addytywne systemy liczbowe"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>W <a href="/wiki/System_liczbowy" title="System liczbowy">addytywnych systemach liczbowych</a> symbole mają zawsze tę samą wartość, a liczbę uzyskuje się przez ich sumowanie. Tym samym musi ich być odpowiednio więcej. Przykłady: </p> <ul><li><a href="/wiki/Rzymski_system_zapisywania_liczb" title="Rzymski system zapisywania liczb">rzymski system liczbowy</a> – używany śladowo do dziś, np. do zapisu stulecia.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Reprezentacje_liczb_w_informatyce">Reprezentacje liczb w informatyce</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=19" title="Edytuj sekcję: Reprezentacje liczb w informatyce" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=19" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Reprezentacje liczb w informatyce"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dane w <a href="/wiki/Pami%C4%99%C4%87_komputerowa" title="Pamięć komputerowa">pamięci komputera</a> i w <a href="/wiki/Plik_danych" title="Plik danych">plikach</a> zapisane są w postaci ciągu tak zwanych <a href="/wiki/Bajt" title="Bajt">bajtów</a>. Każdy bajt składa się z ośmiu cyfr systemu dwójkowego (0 lub 1), zwanych <a href="/wiki/Bit" title="Bit">bitami</a>. Pojedynczy bajt może przyjmować jeden z <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{8}=256}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>256</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{8}=256}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ce4c9b006679322bda6c0c82fe41a2907e19a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.803ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{8}=256}" /></span> stanów. Powstaje konieczność zakodowania liczb w postaci ciągu bajtów, tak aby komputery mogły je przetwarzać. Można to zrobić na wiele sposobów, jednak w praktyce używanych jest kilka standardów: </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liczby_naturalne_2">Liczby naturalne</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=20" title="Edytuj sekcję: Liczby naturalne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=20" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Liczby naturalne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Typ_danych" title="Typ danych">Typ</a> obejmujący przedział liczb naturalnych z zerem zwany jest w informatyce <b>liczbami bez znaku</b> (ang. <i>unsigned integers</i>). W informatyce zawsze zalicza się zero do liczb bez znaku i – w odróżnieniu od matematyki – elementy <a href="/wiki/Ci%C4%85g_(matematyka)" title="Ciąg (matematyka)">ciągu</a>, zwanego tu <a href="/wiki/Tablica_(informatyka)" title="Tablica (informatyka)">tablicą jednowymiarową</a>, w najpopularniejszych <a href="/wiki/J%C4%99zyk_programowania" title="Język programowania">językach</a> numeruje się konsekwentnie od zera<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>g<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p><p>Liczby naturalne z przedziału 0–255 można po prostu zakodować jako wartość jednego bajta. </p><p>Na dwóch bajtach można już zapisać liczby naturalne z przedziału 0–65 535 (mamy do dyspozycji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 65\ 536=256^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>65</mn> <mtext> </mtext> <mn>536</mn> <mo>=</mo> <msup> <mn>256</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 65\ 536=256^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a3f77d83403674724e7c9bf9d8b03174a8eeb8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.033ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 65\ 536=256^{2}}" /></span> stanów). Każdą taką liczbę można zapisać w postaci <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=256h+l,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>256</mn> <mi>h</mi> <mo>+</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=256h+l,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2060461032e2ed3d019068c727b06d00f6f38dde" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.435ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x=256h+l,}" /></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" /></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}" /></span> to wartości tzw. <b>starszego bajta</b> i <b>młodszego bajta</b>, z przedziału od 0 do 255 każda. Wartości te można zapisać w pamięci na dwa sposoby: albo pierwszy jest starszy bajt, a drugi młodszy (tzw. notacja <i><a href="/wiki/Kolejno%C5%9B%C4%87_bajt%C3%B3w" title="Kolejność bajtów">big endian</a></i>), albo odwrotnie (<i><a href="/wiki/Kolejno%C5%9B%C4%87_bajt%C3%B3w" title="Kolejność bajtów">little endian</a></i>). W procesorach kompatybilnych z architekturą <a href="/wiki/Intel" title="Intel">Intela</a> (czyli np. w komputerach <a href="/wiki/Komputer_osobisty" title="Komputer osobisty">PC</a>) stosowana jest notacja <i>little endian</i>, a w wielu innych procesorach (np. na większości rozwiązań serwerowych) <i>big endian</i>. Istnieją także procesory, w których kolejność bajtów można zmieniać. Jednak kolejność ta nie ma większego znaczenia, dopóki nie zapiszemy liczby do pliku albo nie prześlemy jej siecią i nie przeniesiemy w ten sposób na komputer stosujący inny standard. Z tego powodu np. maszyny wirtualne <a href="/wiki/Java" title="Java">Java</a> wykorzystują w plikach format <i>big endian</i> niezależnie od procesora. </p><p>Na czterech bajtach można zapisać liczby z przedziału od 0 do 4 294 967 295. Analogicznie jak poprzednio, przedstawienie danej liczby w systemie 256-kowym pozycyjnym jako <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=256^{3}a_{3}+256^{2}a_{2}+256a_{1}+a_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msup> <mn>256</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mn>256</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>256</mn> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=256^{3}a_{3}+256^{2}a_{2}+256a_{1}+a_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce99ed74d7eafc0406dbb0b2b87108e999eb930a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:34.656ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x=256^{3}a_{3}+256^{2}a_{2}+256a_{1}+a_{0}}" /></span> uzyskuje się cztery bajty <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f34965d75275dbfc79d67a1459a1ce26b25e19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.885ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}.}" /></span> Kolejność ich zapisu w pamięci, tak jak poprzednio, zależy od procesora – w przypadku <i>little endian</i> od bajta <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/693ad9f934775838bd72406b41ada4a59785d7ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{0}}" /></span> do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{3},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{3},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33caae4332796ccca0c32c3435c5c776cbaa8b77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.931ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{3},}" /></span> w przypadku <i>big endian</i> – odwrotnie. </p><p>Do niektórych zastosowań konieczne są jeszcze większe liczby naturalne, np. zapisywane na 8 bajtach (w rodzinie języków C oznaczane <code>unsigned _int64</code> lub <code>unsigned long long int</code>). </p><p>Istnieją także inne sposoby zapisu liczb naturalnych, bardzo rzadko jednak stosowane. Należy do nich <a href="/wiki/Kod_BCD" title="Kod BCD">kod BCD</a> (od ang. <i>binary coded decimal</i>), gdzie kolejne cyfry dziesiętne są zapisywane w kolejnych półbajtach (inaczej <a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82bajt" title="Półbajt">nibblach</a>, porcjach danych długości 4 bitów). Komplikuje to arytmetykę, ale upraszcza przeliczanie na system dziesiętny, kod BCD jest więc czasem stosowany w licznikach cyfrowych. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liczby_całkowite_2"><span id="Liczby_ca.C5.82kowite_2"></span>Liczby całkowite</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=21" title="Edytuj sekcję: Liczby całkowite" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=21" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Liczby całkowite"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Liczba_ca%C5%82kowita_(typ_danych)" title="Liczba całkowita (typ danych)">liczba całkowita (typ danych)</a>.</i></div> <p>Typ obejmujący przedział liczb całkowitych zwany jest w informatyce <b>liczbami ze znakiem</b> (ang. <i>signed integers</i>). </p><p>Stosuje się tu tzw. <a href="/wiki/Kod_uzupe%C5%82nie%C5%84_do_dw%C3%B3ch" title="Kod uzupełnień do dwóch">kod uzupełnień do dwóch</a> (ZU2). Liczba <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.977ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x,}" /></span> która ma zostać zapisana w postaci <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /></span> bajtów jest przekształcana w następujący sposób: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'={\begin{cases}x&{\text{dla }}x\geqslant 0\\256^{n}+x&{\text{dla }}x<0\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>dla </mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mo>⩾</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mn>256</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>dla </mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'={\begin{cases}x&{\text{dla }}x\geqslant 0\\256^{n}+x&{\text{dla }}x<0\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677882b4a5dbd4cf7da0d26fbec1a9b4517af65a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.079ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle x'={\begin{cases}x&{\text{dla }}x\geqslant 0\\256^{n}+x&{\text{dla }}x<0\end{cases}}}" /></span></dd></dl> <p>Następnie liczba <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac74959896052e160a5953102e4bc3850fe93b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.014ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x'}" /></span> jest zapisywana jako liczba naturalna. W ten sposób na jednym bajcie można zapisywać liczby z przedziału od <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -128}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mn>128</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -128}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cacf2a06d21aaf446bd31d83508f69ec93e3238" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.296ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -128}" /></span> do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 127,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>127</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 127,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea9f33e6db8cb63f2d84119d372743bba62a995" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.134ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 127,}" /></span> na dwóch od <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -32\,768}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mn>32</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>768</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -32\,768}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43772af5d7e663f15890774915f9ee534da072a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.008ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -32\,768}" /></span> do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 32\,767,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>32</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>767</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 32\,767,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68afb1b6aafd8f32c89ed066696c20df2a2950d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.846ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 32\,767,}" /></span> i ogólnie na <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /></span> bajtach liczby od <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -2^{8n-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -2^{8n-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65fcc74916693fbd5599afe25437a42cf1c2d64f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.112ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -2^{8n-1}}" /></span> do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{8n-1}-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{8n-1}-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd88a8f3f0876851ed169b62b346f92a29854b76" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.306ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2^{8n-1}-1}" /></span> włącznie. </p><p>Istnieją również inne metody zapisu (np. <a href="/wiki/Kod_uzupe%C5%82nie%C5%84_do_jedno%C5%9Bci" title="Kod uzupełnień do jedności">kod uzupełnień do jedności</a>), obecnie jednak nie stosowane. </p><p>W celu zapisywania dużych liczb naturalnych lub całkowitych buduje się odpowiednie <a href="/wiki/Klasa_(programowanie_obiektowe)" title="Klasa (programowanie obiektowe)">klasy</a>, np. <code>java.math.BigInteger</code> w języku <a href="/wiki/Java" title="Java">Java</a><sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liczby_rzeczywiste_2">Liczby rzeczywiste</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=22" title="Edytuj sekcję: Liczby rzeczywiste" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=22" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Liczby rzeczywiste"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Liczby rzeczywiste mogą być zapisywane jako: </p> <ul><li><a href="/wiki/Kod_sta%C5%82opozycyjny" title="Kod stałopozycyjny">liczby stałoprzecinkowe</a>, kiedy liczba mnożona jest przez pewną ustaloną z góry stałą, po czym <a href="/wiki/Zaokr%C4%85glanie" title="Zaokrąglanie">zaokrąglana</a> do najbliższej liczby całkowitej i jako taka zapisywana;</li> <li><a href="/wiki/Liczba_zmiennoprzecinkowa" title="Liczba zmiennoprzecinkowa">liczby zmiennoprzecinkowe</a>, gdy stała ta dobierana jest w zależności od kodowanej liczby, co czyni tę metodę bardziej uniwersalną.</li></ul> <p>Powszechnie stosuje się zmiennoprzecinkowy zapis liczby rzeczywistej w standardzie <a href="/wiki/IEEE_754" title="IEEE 754">IEEE 754</a>. Przybliżenie liczby rzeczywistej jest zapisywane w postaci <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=s\cdot 2^{w}\cdot m,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>w</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mi>m</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=s\cdot 2^{w}\cdot m,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9cc616b01f941b246edfe2d03c27a36fbd2be8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.135ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x=s\cdot 2^{w}\cdot m,}" /></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s\in \{1,-1\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> <mo>∈</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s\in \{1,-1\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d90d43b81c0f33c6e16fad90d1803ff134b7517" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.423ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s\in \{1,-1\}}" /></span> jest nazywany <b>znakiem</b>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>w</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" /></span> – <b>wykładnikiem</b>, a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\in [0,1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\in [0,1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357b136ae771dc9010b888a3370e0e7ba6a3ee18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.791ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m\in [0,1)}" /></span> – <b>mantysą</b>. Zero, które można by zakodować na wiele sposobów jest kodowane jako <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=+1,w=0,m=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=+1,w=0,m=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c738f894d1ac66408deb409756f73e05c5e5c9ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.454ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle s=+1,w=0,m=0}" /></span> </p> <dl><dd><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Reprezentacja_bitowa.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Reprezentacja_bitowa.svg/300px-Reprezentacja_bitowa.svg.png" decoding="async" width="300" height="63" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Reprezentacja_bitowa.svg/450px-Reprezentacja_bitowa.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Reprezentacja_bitowa.svg/600px-Reprezentacja_bitowa.svg.png 2x" data-file-width="673" data-file-height="142" /></a></span></dd></dl> <p>Znak jest zapisywany jako jeden bit, równy 0 dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/062261785446129907c44618616bc7c8dca7bd5b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.16ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle s=+1}" /></span> i 1 dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=-1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=-1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6714570aafbac7680d6289616859031c5f5beb7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.806ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle s=-1.}" /></span> Wykładnik jest zapisywany jak każda inna liczba całkowita w kodzie uzupełnień do dwóch. Mantysa jest mnożona przez <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{f},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{f},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c11e15ef95d3dac05025166e0b3d5aaf87bc37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.946ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 2^{f},}" /></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" /></span> to liczba bitów przeznaczona na nią i zapisywana jako liczba naturalna. </p><p>Całość zajmuje kolejnych 4, 8 albo 16 bajtów (w zależności od wymaganej precyzji). Ich kolejność umieszczenia w pamięci jest zależna od procesora, identycznie jak w przypadku liczb naturalnych i całkowitych. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liczby_zespolone_i_kwaterniony">Liczby zespolone i kwaterniony</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=23" title="Edytuj sekcję: Liczby zespolone i kwaterniony" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=23" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Liczby zespolone i kwaterniony"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Niektóre <a href="/wiki/J%C4%99zyk_programowania" title="Język programowania">języki programowania</a> posiadają arytmetykę liczb zespolonych. W nowoczesnych językach zwykle jest to realizowane za pomocą odpowiednich klas, np. <code>Complex</code> ze standardowej biblioteki <a href="/wiki/C%2B%2B" title="C++">C++</a>. Jedną z przyczyn dawnej popularności <a href="/wiki/Fortran" title="Fortran">Fortranu</a> był fakt, iż język ten jako pierwszy posiadał <a href="/wiki/Typ_danych" title="Typ danych">typ</a> liczb zespolonych. </p><p>Klasa obsługująca kwaterniony zdefiniowana jest w pakiecie <a href="/wiki/DirectX" title="DirectX">DirectX</a><sup id="cite_ref-DirectX_13-0" class="reference"><a href="#cite_note-DirectX-13"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, będąc sposobem na użycie tzw. <a href="/wiki/Wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dne_jednorodne" title="Współrzędne jednorodne">współrzędnych jednorodnych</a> do opisu <a href="/wiki/Punkt_(geometria)" title="Punkt (geometria)">punktów</a> modelowanej <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_(matematyka)" title="Przestrzeń (matematyka)">przestrzeni</a> <a href="/wiki/Wymiar_(matematyka)" title="Wymiar (matematyka)">trójwymiarowej</a> (<a href="/wiki/Wierzcho%C5%82ek_(grafika_3D)" title="Wierzchołek (grafika 3D)">wierzchołków</a> trójwymiarowej <a href="/w/index.php?title=Scena_(grafika_3D)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Scena (grafika 3D) (strona nie istnieje)">sceny</a>) w <a href="/wiki/Grafika_3D" title="Grafika 3D">grafice 3D</a>; podobne typy istnieją również w innych pakietach grafiki trójwymiarowej. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Historia">Historia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=24" title="Edytuj sekcję: Historia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=24" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Historia"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Historia_liczb" title="Historia liczb">Historia liczb</a>.</i></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zobacz_też"><span id="Zobacz_te.C5.BC"></span>Zobacz też</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=25" title="Edytuj sekcję: Zobacz też" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=25" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="infobox noprint plainlinks" cellpadding="4" role="presentation"> <tbody><tr> <td style="vertical-align:middle; text-align:center; width:30px;"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/24px-Wikiquote-logo.svg.png" decoding="async" width="24" height="28" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/35px-Wikiquote-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/47px-Wikiquote-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="355" /></span></span> </td> <td style="line-height:normal; vertical-align:middle; text-align:center; flex:unset;"><a href="https://pl.wikiquote.org/wiki/Liczba" class="extiw" title="q:Liczba"><strong>Zobacz kolekcję cytatów</strong> <em>związanych z liczbą</em> w Wikicytatach</a> </td></tr></tbody></table> <ul><li><a href="/wiki/Cyfra" title="Cyfra">cyfra</a></li> <li><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">znak liczby</a></li> <li><a href="/wiki/Moc_zbioru" title="Moc zbioru">moc zbioru</a></li> <li><a href="/wiki/Liczebniki_g%C5%82%C3%B3wne_pot%C4%99g_tysi%C4%85ca" title="Liczebniki główne potęg tysiąca">liczebniki główne potęg tysiąca</a></li></ul> <p><b>liczby</b> </p> <table cellpadding="0" cellspacing="0" border="0" width="100%"> <tbody><tr> <td width="50%" valign="top"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_algebraiczne" title="Liczby algebraiczne">algebraiczne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_automorficzne" title="Liczby automorficzne">automorficzne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_bli%C5%BAniacze" title="Liczby bliźniacze">bliźniacze</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">całkowite</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_doskona%C5%82e" title="Liczby doskonałe">doskonałe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_dualne" title="Liczby dualne">dualne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Fermata" title="Liczby Fermata">Fermata</a></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_Fibonacciego" title="Ciąg Fibonacciego">Fibonacciego</a></li> <li><a href="/wiki/Moc_zbioru" title="Moc zbioru">kardynalne</a></li> <li><a href="/wiki/Kwaterniony" title="Kwaterniony">kwaterniony</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_Mersenne%E2%80%99a" title="Liczby Mersenne’a">Mersenne’a</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">naturalne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_niewymierne" title="Liczby niewymierne">niewymierne</a></li> <li><a href="/wiki/Oktawy_Cayleya" title="Oktawy Cayleya">oktawy Cayleya</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_p-adyczne" title="Liczby p-adyczne">p-adyczne</a></li> <li><a href="/wiki/Parzysto%C5%9B%C4%87_liczb" title="Parzystość liczb">parzyste i nieparzyste</a></li></ul> </td> <td width="50%" valign="top"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_pierwsze" title="Liczby pierwsze">pierwsze</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_piramidalne" title="Liczby piramidalne">piramidalne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_podobie%C5%84stwa" title="Liczby podobieństwa">podobieństwa</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_podw%C3%B3jne" title="Liczby podwójne">podwójne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_porz%C4%85dkowe" title="Liczby porządkowe">porządkowe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_nadrzeczywiste" title="Liczby nadrzeczywiste">nadrzeczywiste</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_p%C3%B3%C5%82pierwsze" title="Liczby półpierwsze">półpierwsze</a></li> <li><a href="/wiki/Liczba_przest%C4%99pna" title="Liczba przestępna">przestępne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">rzeczywiste</a></li> <li><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">ujemne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_urojone" title="Liczby urojone">urojone</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">wymierne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_zaprzyja%C5%BAnione" title="Liczby zaprzyjaźnione">zaprzyjaźnione</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">zespolone</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_z%C5%82o%C5%BCone" title="Liczby złożone">złożone</a></li></ul> </td></tr></tbody></table> <table class="infobox noprint plainlinks" cellpadding="4" role="presentation"> <tbody><tr> <td style="vertical-align:middle; text-align:center; width:30px;"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/28px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png" decoding="async" width="28" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/42px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/56px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png 2x" data-file-width="122" data-file-height="117" /></span></span> </td> <td style="line-height:normal; vertical-align:middle; text-align:center; flex:unset;">Zobacz hasła <a href="https://pl.wiktionary.org/wiki/liczba" class="extiw" title="wikt:liczba"><b>liczba</b></a> i <a href="https://pl.wiktionary.org/wiki/liczby" class="extiw" title="wikt:liczby"><b>liczby</b></a> w Wikisłowniku </td></tr></tbody></table> <ul><li><span class="selfreference">Występowanie tekstu <a href="/wiki/Specjalna:Szukaj/intitle:liczba" title="Specjalna:Szukaj/intitle:liczba">„liczba” w tytułach artykułów i w przekierowaniach</a></span></li> <li><span class="selfreference">Artykuły i przekierowania do artykułów zaczynające się od „<a href="/wiki/Specjalna:Strony_wed%C5%82ug_prefiksu/liczba" title="Specjalna:Strony według prefiksu/liczba">liczba</a>”</span></li> <li><span class="selfreference">Występowanie tekstu <a href="/wiki/Specjalna:Szukaj/intitle:liczby" title="Specjalna:Szukaj/intitle:liczby">„liczby” w tytułach artykułów i w przekierowaniach</a></span></li> <li><span class="selfreference">Artykuły i przekierowania do artykułów zaczynające się od „<a href="/wiki/Specjalna:Strony_wed%C5%82ug_prefiksu/liczby" title="Specjalna:Strony według prefiksu/liczby">liczby</a>”</span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Uwagi">Uwagi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=26" title="Edytuj sekcję: Uwagi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=26" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Uwagi"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection refsection-uwagi ll-script ll-script-uwagi"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Np. <a href="/wiki/Fraktal" title="Fraktal">fraktale</a>.</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Zob. <a href="/wiki/Zastosowanie_liczb_zespolonych_w_analizie_obwod%C3%B3w_elektrycznych" title="Zastosowanie liczb zespolonych w analizie obwodów elektrycznych">zastosowanie liczb zespolonych w analizie obwodów elektrycznych</a>, ponadto stosowane są one również w <a href="/wiki/Przetwarzanie_sygna%C5%82%C3%B3w" title="Przetwarzanie sygnałów">teorii sygnałów</a>.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Np. <a href="/wiki/Funkcja_falowa" title="Funkcja falowa">funkcja falowa</a>.</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">Zdaniem pitagorejczyków odkrycie to zaprzeczało głoszonej przez nich doskonałości wszelkich liczb – liczby niewymierne uznali za niedoskonałe. Zobacz też <a href="/wiki/Pierwiastek_kwadratowy_z_2#Dowód_niewymierności" title="Pierwiastek kwadratowy z 2">dowód niewymierności pierwiastka z dwóch</a>.</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text">Co udowodnił <a href="/wiki/Georg_Cantor" title="Georg Cantor">Georg Cantor</a> w 1874; zobacz też <a href="/wiki/Twierdzenie_Cantora" title="Twierdzenie Cantora">twierdzenie Cantora</a>.</span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text">Typografia wyróżnia cztery różne znaki: - (<a href="/wiki/Dywiz" title="Dywiz">dywiz, łącznik</a>), – (<a href="/wiki/Pauza_i_p%C3%B3%C5%82pauza" title="Pauza i półpauza">półpauza</a>), — (<a href="/wiki/Pauza_i_p%C3%B3%C5%82pauza" title="Pauza i półpauza">pauza</a>) oraz − (<a href="/wiki/Plus_i_minus" title="Plus i minus">minus</a>), który od półpauzy różni się wyglądem oraz położeniem (zgodnym z innymi znakami matematycznymi).</span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a></span> <span class="reference-text">Na przykład w <a href="/wiki/C_(j%C4%99zyk_programowania)" title="C (język programowania)">C</a>, <a href="/wiki/C%2B%2B" title="C++">C++</a>, <a href="/wiki/Java" title="Java">Java</a>, <a href="/wiki/JavaScript" title="JavaScript">JavaScript</a>, <a href="/wiki/C" title="C">C#</a>, w <a href="/wiki/Asembler" title="Asembler">asemblerach</a>, <a href="/wiki/PHP" title="PHP">PHP</a> (przy wywołaniu funkcji <code>array</code> z domyślnymi parametrami), <a href="/wiki/Perl" title="Perl">Perl</a>, choć istnieją starsze języki w których numeruje się je od jedynki (wiele dialektów <a href="/wiki/BASIC" title="BASIC">Basica</a>, <a href="/wiki/Fortran" title="Fortran">Fortran</a>), lub zakres numeracji można samodzielnie zdefiniować (<a href="/wiki/Pascal_(j%C4%99zyk_programowania)" title="Pascal (język programowania)">Pascal</a>, <a href="/wiki/SAS_4GL" title="SAS 4GL">SAS 4GL</a>, <a href="/wiki/ALGOL" title="ALGOL">Algol</a>, <a href="/wiki/Ada_(j%C4%99zyk_programowania)" title="Ada (język programowania)">Ada</a>).</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=27" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=27" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3932346"><i>Liczba</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2021-07-23]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=Liczba&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3932346" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20170828121346/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html">A history of Zero</a>. [dostęp 2008-04-19]. [zarchiwizowane z <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html">tego adresu</a> (2017-08-28)].</cite></span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Witold_Wi%C4%99s%C5%82aw" title="Witold Więsław">Witold Więsław</a> stwierdza: <i>Pitagorejczycy udowodnili, że przekątna kwadratu nie jest współmierna z jego bokiem, tzn. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}" /></span> jest liczbą niewymierną. Byłoby interesujące dowiedzieć się, kto pierwszy tego dowiódł. Zapewne nigdy się już tego nie dowiemy. Jedno jest pewne: Pitagoras pod koniec V w. p.n.e. wiedział, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}" /></span> jest liczbą niewymierną.</i> (Zob.: Więsław, Witold: <i>Matematyka i jej historia</i>, Wydawnictwo NOWIK, Opole 1997, <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/8390545675" title="Specjalna:Książki/8390545675">ISBN <span class="isbn">83-905456-7-5</span></a>, strona 36.).</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation open-access"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Eric W.</span><span class="cite-name-initials" title="Eric W." style="display:none">E.W.</span> </span><span class="cite-lastname">Weisstein</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Eric W.</span><span class="cite-name-initials" title="Eric W.">E.W.</span></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html"><i>Rational Number</i></a>, [w:] <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>, <a href="/wiki/Wolfram_Research" title="Wolfram Research">Wolfram Research</a><span class="accessdate"> [dostęp 2007-04-12]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=bookitem&rft.aufirst=Eric+W.&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=%5B%5BMathWorld%5D%5D&rft.atitle=Rational+Number&rft.aulast=Weisstein&rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FRationalNumber.html" style="display:none"> </span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a></span> <span class="reference-text">Dokumentacja: <a rel="nofollow" class="external free" href="https://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/math/BigInteger.html">https://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/math/BigInteger.html</a></span> </li> <li id="cite_note-DirectX-13"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-DirectX_13-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Dokumentacja: <a rel="nofollow" class="external free" href="https://learn.microsoft.com/en-us/previous-versions/ms128741(v=vs.100)">https://learn.microsoft.com/en-us/previous-versions/ms128741(v=vs.100)</a></span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatura_dodatkowa">Literatura dodatkowa</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=28" title="Edytuj sekcję: Literatura dodatkowa" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=28" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Literatura dodatkowa"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation book">Jerzy Klukowski, I. Nabiałek: <i>Algebra dla studentów</i>. Wyd. 4. <a href="/wiki/Wydawnictwa_Naukowo-Techniczne" title="Wydawnictwa Naukowo-Techniczne">Wydawnictwa Naukowo-Techniczne</a>, 2004. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/8320431247" title="Specjalna:Książki/8320431247">ISBN <span class="isbn">83-204-3124-7</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebra+dla+student%C3%B3w&rft.aulast=Klukowski&rft.aufirst=Jerzy&rft.edition=4&rft.pub=%5B%5BWydawnictwa+Naukowo-Techniczne%5D%5D&rft.isbn=83-204-3124-7"></span></cite><span class="problemy" aria-hidden="true" data-nosnippet=""> Brak numerów stron w książce</span></li> <li><cite class="citation book"><a href="/wiki/Franciszek_Leja" title="Franciszek Leja">Franciszek Leja</a>: <i>Rachunek różniczkowy i całkowy</i>. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Państwowe Wydawnictwo Naukowe</a>, 1976.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Rachunek+r%C3%B3%C5%BCniczkowy+i+ca%C5%82kowy&rft.aulast=Leja&rft.aufirst=Franciszek&rft.pub=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%7CPa%C5%84stwowe+Wydawnictwo+Naukowe%5D%5D&rft.place=Warszawa"></span></cite><span class="problemy" aria-hidden="true" data-nosnippet=""> Brak numerów stron w książce</span></li> <li><cite class="citation book"><a href="/wiki/Krzysztof_Maurin" title="Krzysztof Maurin">Krzysztof Maurin</a>: <i>Analiza – Część I – Elementy</i>. Warszawa: PWN, 1976.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Analiza+%E2%80%93+Cz%C4%99%C5%9B%C4%87+I+%E2%80%93+Elementy&rft.aulast=Maurin&rft.aufirst=Krzysztof&rft.pub=PWN&rft.place=Warszawa"></span></cite><span class="problemy" aria-hidden="true" data-nosnippet=""> Brak numerów stron w książce</span></li> <li><cite class="citation book">Helena Musielak, Julian Musielak: <i>Analiza matematyczna</i>. Poznań: <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_UAM" title="Wydawnictwo Naukowe UAM">Wydawnictwo Naukowe UAM</a>, 2000. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/8323210497" title="Specjalna:Książki/8323210497">ISBN <span class="isbn">83-232-1049-7</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Analiza+matematyczna&rft.aulast=Musielak&rft.aufirst=Helena&rft.pub=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+UAM%5D%5D&rft.place=Pozna%C5%84&rft.isbn=83-232-1049-7"></span></cite><span class="problemy" aria-hidden="true" data-nosnippet=""> Brak numerów stron w książce</span></li> <li><cite class="citation book">Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: <i>Atlas matematyki</i>. <a href="/wiki/Pr%C3%B3szy%C5%84ski_i_S-ka" title="Prószyński i S-ka">Prószyński i S-ka</a>, 2003. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/8374691891" title="Specjalna:Książki/8374691891">ISBN <span class="isbn">83-7469-189-1</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Atlas+matematyki&rft.aulast=Reinhardt&rft.aufirst=Fritz&rft.pub=%5B%5BPr%C3%B3szy%C5%84ski+i+S-ka%5D%5D&rft.isbn=83-7469-189-1"></span></cite><span class="problemy" aria-hidden="true" data-nosnippet=""> Brak numerów stron w książce</span></li> <li><cite class="citation book">Jerzy Rutkowski: <i>Algebra abstrakcyjna w zadaniach</i>. Wyd. 5. PWN, 2006. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/8301143886" title="Specjalna:Książki/8301143886">ISBN <span class="isbn">83-01-14388-6</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebra+abstrakcyjna+w+zadaniach&rft.aulast=Rutkowski&rft.aufirst=Jerzy&rft.edition=5&rft.pub=PWN&rft.isbn=83-01-14388-6"></span></cite><span class="problemy" aria-hidden="true" data-nosnippet=""> Brak numerów stron w książce</span></li> <li><cite class="citation book">J. Widomski: <i>Ontologia liczby</i>. Kraków: 1996.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Ontologia+liczby&rft.aulast=Widomski&rft.aufirst=J.&rft.place=Krak%C3%B3w"></span></cite><span class="problemy" aria-hidden="true" data-nosnippet=""> Brak numerów stron w książce</span></li></ul> <p>Wyprowadzenie wszystkich algebr liczbowych od liczb naturalnych do oktaw Cayleya włącznie, w sposób zrozumiały dla uczniów gimnazjum, znajduje się w książce: </p> <ul><li><cite class="citation book"><a href="/wiki/Bogdan_Mi%C5%9B" title="Bogdan Miś">Bogdan Miś</a>: <i>Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki</i>. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwa_Naukowo-Techniczne" title="Wydawnictwa Naukowo-Techniczne">Wydawnictwa Naukowo-Techniczne</a>, 1989.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Tajemnicza+liczba+e+i+inne+sekrety+matematyki&rft.aulast=Mi%C5%9B&rft.aufirst=Bogdan&rft.pub=%5B%5BWydawnictwa+Naukowo-Techniczne%5D%5D&rft.place=Warszawa"></span></cite><span class="problemy" aria-hidden="true" data-nosnippet=""> Brak numerów stron w książce</span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Linki_zewnętrzne"><span id="Linki_zewn.C4.99trzne"></span>Linki zewnętrzne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Liczba&veaction=edit&section=29" title="Edytuj sekcję: Linki zewnętrzne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Liczba&action=edit&section=29" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Linki zewnętrzne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span typeof="mw:File"><span title="Publikacja w zamkniętym dostępie – wymagana rejestracja, też płatna, lub wykupienie subskrypcji"><img alt="Publikacja w zamkniętym dostępie – wymagana rejestracja, też płatna, lub wykupienie subskrypcji" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Closed_Access_logo_alternative.svg/20px-Closed_Access_logo_alternative.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></span></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.rep.routledge.com/articles/thematic/numbers/v-1">Numbers</a></i> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>, <a href="/wiki/Routledge_Encyclopedia_of_Philosophy" title="Routledge Encyclopedia of Philosophy">Routledge Encyclopedia of Philosophy</a>, rep.routledge.com [dostęp 2023-05-10].</li></ul> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r75675918">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy .before,.mw-parser-output .navbox.pionowy .after{padding:0.5em 0;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.caption,.mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background:#ccf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox .tnavbar{font-weight:normal;font-size:xx-small;white-space:nowrap;padding:0}.mw-parser-output .navbox>.tnavbar{margin-left:1em;float:left}.mw-parser-output .navbox .below>hr+.tnavbar{margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox .below>.tnavbar:before{content:"Ten szablon: "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:after{content:" · "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .navbox hr{margin:0.2em 1em}.mw-parser-output .navbox .title{background:#ddf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content:not(.grupa-szablonów-nawigacyjnych){margin-top:2px;padding:0;font-size:smaller;overflow:auto}.mw-parser-output .navbox .above+div,.mw-parser-output .navbox .above+.navbox-main-content,.mw-parser-output .navbox .below,.mw-parser-output .navbox .title+.grid{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below{background:#ddf;text-align:center;margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .navbox .flex>.before,.mw-parser-output .navbox .flex>.after{align-self:center;text-align:center}.mw-parser-output .navbox .flex>.navbox-main-content{flex-grow:1}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .before{margin-right:0.5em}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .after{margin-left:0.5em}.mw-parser-output .navbox .inner-columns,.mw-parser-output .navbox .inner-group,.mw-parser-output .navbox .inner-standard{border-spacing:0;border-collapse:collapse;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis{text-align:right;vertical-align:middle}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis+.spis{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td{padding:0;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td:first-child{text-align:center}.mw-parser-output .navbox .inner-standard .inner-standard>tbody>tr>td{text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-odd,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-even{padding:0 0.3em}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>th+td{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns{table-layout:fixed}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{padding:0;border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);border-right:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{vertical-align:top}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:first-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:first-child{border-left:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:last-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:last-child{border-right:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ul,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ol,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>dl{text-align:left;column-width:24em}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+table{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.opis,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.spis{padding:0.1em 1em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-toggle,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.mw-collapsible-toggle{width:4em;text-align:right;margin-right:0.4em}.mw-parser-output .navbox>.fakebar,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.fakebar{float:left;width:4em;height:1em}.mw-parser-output .navbox .opis{background:#ddf;padding:0 1em;white-space:nowrap;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox.pionowy .opis{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-even,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-odd{background:transparent}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-odd,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-even{background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div{background:transparent}.mw-parser-output .navbox p{margin:0;padding:0.3em 0}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:gold}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:silver}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#c96}.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ul,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>dl,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ol{column-width:24em;text-align:left}.mw-parser-output .navbox ul{list-style:none}.mw-parser-output .navbox .references{background:transparent}.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dd,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dt,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist li{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox .rok{display:inline-block;width:4em;padding-right:0.5em;text-align:right}.mw-parser-output .navbox .navbox-statistics{margin-top:2px;border-top:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);text-align:center;font-size:small}.mw-parser-output .navbox-summary>.title{font-weight:bold;font-size:larger}.mw-parser-output .navbox:not(.grupa-szablonów) .navbox{margin:0;border:0;padding:0}.mw-parser-output .navbox.grupa-szablonów>.grupa-szablonów-nawigacyjnych>.navbox:first-child{margin-top:2px}@media(max-width:800px){.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.before,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.after{display:none}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) table,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) tbody{display:block;overflow:visible;width:100%;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .inner-standard tbody tr{display:flex;flex-direction:column}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .inner-standard tbody tr .opis{text-align:left}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) table{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) table table{margin:0;padding:0;border:0 none #000;padding-left:2em;width:100%}}.mw-parser-output .navbox .opis img,.mw-parser-output .navbox .opis .flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.image{display:none}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}</style><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Arytmetyka_elementarna" title="Szablon:Arytmetyka elementarna"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Arytmetyka_elementarna&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Arytmetyka elementarna (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Arytmetyka_elementarna&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Arytmetyka_elementarna" title="Arytmetyka elementarna">Arytmetyka elementarna</a></div><div class="mw-collapsible-content"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">podstawowe<br />typy <a class="mw-selflink selflink">liczb</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">naturalne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">całkowite</a> <ul><li><a href="/wiki/Parzysto%C5%9B%C4%87_liczb" title="Parzystość liczb">parzyste i nieparzyste</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">wymierne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">rzeczywiste</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">dodatnie i ujemne</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działania</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a2_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">dwuargumentowe</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawanie</a> (+)</li> <li><a href="/wiki/Odejmowanie" title="Odejmowanie">odejmowanie</a> (− -)</li> <li><a href="/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Mnożenie">mnożenie</a> (· × *) <ul><li><a href="/wiki/Tabliczka_mno%C5%BCenia" title="Tabliczka mnożenia">tabliczka mnożenia</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Dzielenie" title="Dzielenie">dzielenie</a> (: ÷ /) <ul><li><a href="/wiki/Dzielenie_przez_zero" title="Dzielenie przez zero">przez zero</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_dzieleniu_z_reszt%C4%85" title="Twierdzenie o dzieleniu z resztą">z resztą</a></li> <li><a href="/wiki/Modulo" title="Modulo">modulo</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Pot%C4%99gowanie" title="Potęgowanie">potęgowanie</a> (^) <ul><li><a href="/wiki/Algorytm_szybkiego_pot%C4%99gowania" title="Algorytm szybkiego potęgowania">algorytm szybkiego potęgowania</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_jednoargumentowe" title="Działanie jednoargumentowe">jednoargumentowe</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Liczba_przeciwna" title="Liczba przeciwna">liczba przeciwna</a></li> <li><a href="/wiki/Liczba_odwrotna" title="Liczba odwrotna">liczba odwrotna</a></li> <li><a href="/wiki/Kwadrat_(algebra)" title="Kwadrat (algebra)">kwadrat</a> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_kwadratowe" title="Liczby kwadratowe">liczby kwadratowe</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Sze%C5%9Bcian_(algebra)" title="Sześcian (algebra)">sześcian</a></li> <li><a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna">wartość bezwzględna</a></li> <li><a href="/wiki/Zaokr%C4%85glanie" title="Zaokrąglanie">zaokrąglanie</a> <ul><li><a href="/wiki/Pod%C5%82oga_i_sufit" title="Podłoga i sufit">podłoga i sufit</a></li></ul></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">ułamki</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">zwykłe</a></li> <li><a href="/wiki/U%C5%82amek_dziesi%C4%99tny" title="Ułamek dziesiętny">dziesiętne</a> <ul><li><a href="/wiki/U%C5%82amek_dziesi%C4%99tny_niesko%C5%84czony" title="Ułamek dziesiętny nieskończony">nieskończone</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/U%C5%82amek_egipski" title="Ułamek egipski">egipskie</a></li> <li><a href="/wiki/Procent" title="Procent">procent</a> (%)</li> <li><a href="/wiki/Punkt_procentowy" title="Punkt procentowy">punkt procentowy</a></li> <li><a href="/wiki/Promil" title="Promil">promil</a> (‰)</li> <li><a href="/wiki/Punkt_bazowy" title="Punkt bazowy">punkt bazowy</a> (‱)</li> <li><a href="/wiki/Sposoby_zapisu_bezwymiarowego_stosunku_dw%C3%B3ch_wielko%C5%9Bci" title="Sposoby zapisu bezwymiarowego stosunku dwóch wielkości">ppm, ppb itp.</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Symbol" title="Symbol">symbole</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a5_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">liczb</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Cyfra" title="Cyfra">cyfry</a></li> <li><a href="/wiki/Plus_i_minus" title="Plus i minus">plus i minus</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_plus-minus" title="Znak plus-minus">plus-minus</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Separator_dziesi%C4%99tny" title="Separator dziesiętny">separator dziesiętny</a> <ul><li><a href="/wiki/Przecinek" title="Przecinek">przecinek</a></li> <li><a href="/wiki/Kropka" title="Kropka">kropka</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Procent_(symbol)" title="Procent (symbol)">symbol procenta</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">działań</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Plus_i_minus" title="Plus i minus">plus i minus</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_plus-minus" title="Znak plus-minus">plus-minus</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Znak_mno%C5%BCenia" title="Znak mnożenia">znak mnożenia</a> <ul><li><a href="/wiki/Kropka_%C5%9Brodkowa" title="Kropka środkowa">kropka środkowa</a></li> <li><a href="/wiki/Asterysk" title="Asterysk">asterysk</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Znak_dzielenia" title="Znak dzielenia">znak dzielenia</a> <ul><li><a href="/wiki/Dwukropek" title="Dwukropek">dwukropek</a></li> <li><a href="/wiki/Uko%C5%9Bnik" title="Ukośnik">ukośnik</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Kareta_(znak)" title="Kareta (znak)">kareta</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">relacji</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Znak_r%C3%B3wno%C5%9Bci" title="Znak równości">znak równości</a></li> <li><a href="/wiki/Znak_nier%C3%B3wno%C5%9Bci" title="Znak nierówności">znaki nierówności</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5_4"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Nawias" title="Nawias">nawiasy</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row">reguły zapisu</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/System_liczbowy" title="System liczbowy">systemy liczbowe</a></li> <li><a href="/wiki/Notacja_naukowa" title="Notacja naukowa">notacja naukowa</a> <ul><li><a href="/wiki/Cyfry_znacz%C4%85ce" title="Cyfry znaczące">cyfry znaczące</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Kolejno%C5%9B%C4%87_wykonywania_dzia%C5%82a%C5%84" title="Kolejność wykonywania działań">kolejność wykonywania działań</a></li></ul> </td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row">prawa działań</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemienność</a></li> <li><a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączność</a></li> <li><a href="/wiki/Rozdzielno%C5%9B%C4%87" title="Rozdzielność">rozdzielność</a></li> <li><a href="/wiki/Wzory_skr%C3%B3conego_mno%C5%BCenia" title="Wzory skróconego mnożenia">wzory skróconego mnożenia</a> <ul><li><a href="/wiki/Dwumian_Newtona" title="Dwumian Newtona">dwumian Newtona</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Narz%C4%99dzie" title="Narzędzie">narzędzia</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a8_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Liczyd%C5%82o" title="Liczydło">liczydła</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Abakus_(liczyd%C5%82o)" title="Abakus (liczydło)">abak</a></li> <li><a href="/wiki/Kostki_Napiera" title="Kostki Napiera">kostki Napiera</a></li> <li><a href="/wiki/Soroban" title="Soroban">soroban</a></li> <li><a href="/wiki/Suanpan" title="Suanpan">suanpan</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Kalkulator" title="Kalkulator">kalkulatory</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Arytmometr" title="Arytmometr">arytmometr</a></li> <li><a href="/wiki/Sumator_(maszyna_biurowa)" title="Sumator (maszyna biurowa)">sumator</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Suwak_logarytmiczny" title="Suwak logarytmiczny">suwak logarytmiczny</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row">powiązane pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Symbol_nieoznaczony" title="Symbol nieoznaczony">symbol nieoznaczony</a></li> <li><a href="/wiki/Obliczeniowiec" title="Obliczeniowiec">obliczeniowiec</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10"><th class="navbox-group opis" scope="row">rozszerzenia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Teoria_liczb" title="Teoria liczb">teoria liczb</a></li> <li><a href="/wiki/Arytmetyka_modularna" title="Arytmetyka modularna">arytmetyka modularna</a></li> <li><a href="/wiki/Rachunek_b%C5%82%C4%99d%C3%B3w" title="Rachunek błędów">rachunek błędów</a> <ul><li><a href="/wiki/Analiza_przedzia%C5%82owa" title="Analiza przedziałowa">analiza przedziałowa</a></li></ul></li></ul> </td></tr></tbody></table></div></div> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r75675918" /><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:G%C5%82%C3%B3wne_rodzaje_liczb" title="Szablon:Główne rodzaje liczb"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/wiki/Dyskusja_szablonu:G%C5%82%C3%B3wne_rodzaje_liczb" title="Dyskusja szablonu:Główne rodzaje liczb"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:G%C5%82%C3%B3wne_rodzaje_liczb&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption">Główne rodzaje <a class="mw-selflink selflink">liczb</a></div><div class="mw-collapsible-content"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">liczby tworzące<br /><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_(matematyka)" class="mw-redirect" title="Zbiór (matematyka)">zbiory</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a1_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">podstawowe</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">naturalne</a> (ℕ)</li> <li><a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">całkowite</a> (ℤ)</li> <li><a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">wymierne</a> (ℚ)</li> <li><a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">rzeczywiste</a> (ℝ)</li> <li><a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">zespolone</a> (ℂ)</li></ul> </td></tr><tr class="a1_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne <a href="/wiki/Uog%C3%B3lnienie" title="Uogólnienie">uogólnienia</a><br />liczb wymiernych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_p-adyczne" title="Liczby p-adyczne">p-adyczne</a> (ℚ<sub>p</sub>)</li></ul> </td></tr><tr class="a1_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne uogólnienia<br />liczb rzeczywistych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Rozszerzony_zbi%C3%B3r_liczb_rzeczywistych" title="Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych">rzeczywiste rozszerzone</a> <ul><li>afinicznie</li> <li>rzutowo</li></ul></li> <li><a href="/wiki/Liczby_hiperrzeczywiste" title="Liczby hiperrzeczywiste">hiperrzeczywiste</a> (ℝ*)</li> <li><a href="/wiki/Liczby_dualne" title="Liczby dualne">dualne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_podw%C3%B3jne" title="Liczby podwójne">podwójne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a1_4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Liczby_hiperzespolone" title="Liczby hiperzespolone">liczby hiperzespolone</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Kwaterniony" title="Kwaterniony">kwaterniony</a> (ℍ)</li> <li><a href="/wiki/Oktoniony" class="mw-redirect" title="Oktoniony">oktoniony</a> (𝕆)</li> <li><a href="/wiki/Sedeniony" title="Sedeniony">sedeniony</a></li> <li><a href="/wiki/Kokwaterniony" title="Kokwaterniony">kokwaterniony</a></li> <li><a href="/wiki/Bikwaterniony" title="Bikwaterniony">bikwaterniony</a></li> <li><a href="/wiki/Tessariny" title="Tessariny">tessariny</a></li></ul> </td></tr><tr class="a1_5"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne liczby</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Sfera_Riemanna" title="Sfera Riemanna">zespolone rozszerzone</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_grassmanowskie" title="Liczby grassmanowskie">grassmannowskie</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row">liczby tworzące<br /><a href="/wiki/Klasa_(matematyka)" title="Klasa (matematyka)">klasy właściwe</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Moc_zbioru" title="Moc zbioru">kardynalne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_porz%C4%85dkowe" title="Liczby porządkowe">porządkowe</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_nadrzeczywiste" title="Liczby nadrzeczywiste">nadrzeczywiste</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row">powiązane<br />pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Arytmetyka_modularna" title="Arytmetyka modularna">arytmetyka modularna</a> (ℤ<sub>n</sub>)</li> <li><a href="/wiki/Algebra_nad_cia%C5%82em" title="Algebra nad ciałem">algebra nad ciałem</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r75562624">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-s"><div><a href="/wiki/Kontrola_autorytatywna" title="Kontrola autorytatywna">Kontrola autorytatywna</a> (<span class="description"><a href="/wiki/Obiekt_matematyczny" title="Obiekt matematyczny">obiekt matematyczny</a></span>):</div><ul><li><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://lccn.loc.gov/sh85093206">sh85093206</a></span></li><li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4067271-2">4067271-2</a></span></li><li><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Web_NDL_Authorities" class="extiw" title="de:Web NDL Authorities">NDL</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00571509">00571509</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioth%C3%A8que_nationale" title="Bibliothèque nationale">BnF</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119326327">119326327</a></span></li><li><a href="/wiki/Centralna_Biblioteka_Narodowa_we_Florencji" title="Centralna Biblioteka Narodowa we Florencji">BNCF</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=5399">5399</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Republiki_Czeskiej" title="Biblioteka Narodowa Republiki Czeskiej">NKC</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://aut.nkp.cz/ph202644">ph202644</a></span></li><li><a href="/wiki/Hiszpa%C5%84ska_Biblioteka_Narodowa" title="Hiszpańska Biblioteka Narodowa">BNE</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogo.bne.es/uhtbin/authoritybrowse.cgi?action=display&authority_id=XX532169">XX532169</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Izraela" title="Biblioteka Narodowa Izraela">J9U</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007538634905171">987007538634905171</a></span></li></ul></div><div class="normdaten-andere"><div><a href="/wiki/Encyklopedia_internetowa" title="Encyklopedia internetowa">Encyklopedie internetowe</a>:</div> <ul><li><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">PWN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3932346.html">3932346</a></span></li> <li><a href="/wiki/Encyklopedia_Britannica" title="Encyklopedia Britannica">Britannica</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/number-mathematics">topic/number-mathematics</a></span></li> <li><a href="/wiki/Enciclopedia_Treccani" title="Enciclopedia Treccani">Treccani</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.treccani.it/enciclopedia/numero">numero</a></span></li> <li><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Property:P3219" class="extiw" title="d:Property:P3219">Universalis</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres/">nombres</a></span>, <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombre/">nombre</a></span></li></ul> </div></div></div><noscript><img src="https://auth.wikimedia.org/loginwiki/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Liczba&oldid=73722921">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Liczba&oldid=73722921</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategoria</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Liczby" title="Kategoria:Liczby">Liczby</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Ukryte kategorie: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Artyku%C5%82y_z_brakuj%C4%85cymi_przypisami_od_2021-08" title="Kategoria:Artykuły z brakującymi przypisami od 2021-08">Artykuły z brakującymi przypisami od 2021-08</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Szablon_cytowania_ksi%C4%85%C5%BCki_%E2%80%93_brak_numeru_strony" title="Kategoria:Szablon cytowania książki – brak numeru strony">Szablon cytowania książki – brak numeru strony</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:By%C5%82e_Dobre_Artyku%C5%82y" title="Kategoria:Byłe Dobre Artykuły">Byłe Dobre Artykuły</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Tę stronę ostatnio edytowano 7 maj 2024, 14:49.</li> <li id="footer-info-copyright">Tekst udostępniany na licencji <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl">Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach</a>, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/pl">warunkach korzystania</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Polityka prywatności</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii">O Wikipedii</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Korzystasz_z_Wikipedii_tylko_na_w%C5%82asn%C4%85_odpowiedzialno%C5%9B%C4%87">Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Powszechne Zasady Postępowania</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Dla deweloperów</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pl.wikipedia.org">Statystyki</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Oświadczenie o ciasteczkach</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Liczba&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Wersja mobilna</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://www.wikimedia.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><picture><source media="(min-width: 500px)" srcset="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29"><img src="/static/images/footer/wikimedia.svg" width="25" height="25" alt="Wikimedia Foundation" lang="en" loading="lazy"></picture></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><picture><source media="(min-width: 500px)" srcset="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" width="88" height="31"><img src="/w/resources/assets/mediawiki_compact.svg" alt="Powered by MediaWiki" lang="en" width="25" height="25" loading="lazy"></picture></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-header-container vector-sticky-header-container"> <div id="vector-sticky-header" class="vector-sticky-header"> <div class="vector-sticky-header-start"> <div class="vector-sticky-header-icon-start vector-button-flush-left vector-button-flush-right" aria-hidden="true"> <button class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-sticky-header-search-toggle" tabindex="-1" data-event-name="ui.vector-sticky-search-form.icon"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Szukaj</span> </button> </div> <div role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box"> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail"> <form action="/w/index.php" id="vector-sticky-search-form" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Przeszukaj Wikipedię"> <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Specjalna:Szukaj"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Szukaj</button> </form> </div> </div> </div> <div class="vector-sticky-header-context-bar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-sticky-header-toc" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-sticky-header-toc vector-sticky-header-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-sticky-header-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-sticky-header-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-sticky-header-toc-label" for="vector-sticky-header-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-sticky-header-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div class="vector-sticky-header-context-bar-primary" aria-hidden="true" ><span class="mw-page-title-main">Liczba</span></div> </div> </div> <div class="vector-sticky-header-end" aria-hidden="true"> <div class="vector-sticky-header-icons"> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-talk-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="talk-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-speechBubbles mw-ui-icon-wikimedia-speechBubbles"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-subject-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="subject-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-article mw-ui-icon-wikimedia-article"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-history-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="history-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-history mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-history"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only mw-watchlink" id="ca-watchstar-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="watch-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-star mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-star"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-ve-edit-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ve-edit-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-edit mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-edit"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-edit-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="wikitext-edit-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-wikiText mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-wikiText"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-viewsource-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ve-edit-protected-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-editLock mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-editLock"></span> <span></span> </a> </div> <div class="vector-sticky-header-buttons"> <button class="cdx-button cdx-button--weight-quiet mw-interlanguage-selector" id="p-lang-btn-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-language mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-language"></span> <span>191 języków</span> </button> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive" id="ca-addsection-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="addsection-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-speechBubbleAdd-progressive mw-ui-icon-wikimedia-speechBubbleAdd-progressive"></span> <span>Dodaj temat</span> </a> </div> <div class="vector-sticky-header-icon-end"> <div class="vector-user-links"> </div> </div> </div> </div> </div> <div class="mw-portlet mw-portlet-dock-bottom emptyPortlet" id="p-dock-bottom"> <ul> </ul> </div> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-65585cc8dc-k2rvd","wgBackendResponseTime":234,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.674","walltime":"1.230","ppvisitednodes":{"value":8001,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":84892,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":8795,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":12,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":19,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":36399,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":5,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 539.504 1 -total"," 24.62% 132.817 6 Szablon:Szablon_nawigacyjny"," 22.49% 121.349 1 Szablon:Arytmetyka_elementarna"," 14.37% 77.520 1 Szablon:Przypisy"," 12.28% 66.268 8 Szablon:Cytuj_książkę"," 9.64% 51.987 1 Szablon:Kontrola_autorytatywna"," 8.56% 46.179 3 Szablon:Projekt_siostrzany"," 8.44% 45.546 1 Szablon:Dopracować"," 8.24% 44.443 14 Szablon:Dmbox"," 8.12% 43.810 1 Szablon:Wikicytaty"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.247","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":5085852,"limit":52428800},"limitreport-logs":"required = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\nrequired = table#1 {\n}\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-697bc6cbd6-p2ztz","timestamp":"20250331131426","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Liczba","url":"https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Liczba","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11563","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11563","author":{"@type":"Organization","name":"Wsp\u00f3\u0142tw\u00f3rcy projekt\u00f3w Fundacji Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2001-12-05T10:30:33Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/e\/e3\/Liczby.svg","headline":"obiekt matematyczny s\u0142u\u017c\u0105cy m.in. do zliczania i mierzenia"}</script> </body> </html>