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vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">目次</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">サイドバーに移動</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">非表示</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">ページ先頭</div> </a> </li> <li id="toc-名称表記の歴史" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#名称表記の歴史"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>名称表記の歴史</span> </div> </a> <ul id="toc-名称表記の歴史-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-概要" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#概要"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>概要</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-概要-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>概要サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-概要-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-素朴な定式化" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#素朴な定式化"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>素朴な定式化</span> </div> </a> <ul id="toc-素朴な定式化-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-現代的解釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#現代的解釈"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>現代的解釈</span> </div> </a> <ul id="toc-現代的解釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-記法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#記法"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>記法</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-記法-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>記法サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-記法-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-函数記法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#函数記法"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>函数記法</span> </div> </a> <ul id="toc-函数記法-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-矢印記法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#矢印記法"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>矢印記法</span> </div> </a> <ul id="toc-矢印記法-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-添字記法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#添字記法"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>添字記法</span> </div> </a> <ul id="toc-添字記法-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-点記法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#点記法"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4</span> <span>点記法</span> </div> </a> <ul id="toc-点記法-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-特殊化された記法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#特殊化された記法"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.5</span> <span>特殊化された記法</span> </div> </a> <ul id="toc-特殊化された記法-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-関数を特定するには" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#関数を特定するには"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>関数を特定するには</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-関数を特定するには-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>関数を特定するにはサブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-関数を特定するには-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-値を書き並べる" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#値を書き並べる"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>値を書き並べる</span> </div> </a> <ul id="toc-値を書き並べる-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-式を与える" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#式を与える"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>式を与える</span> </div> </a> <ul id="toc-式を与える-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-逆函数や陰伏函数として定める" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#逆函数や陰伏函数として定める"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>逆函数や陰伏函数として定める</span> </div> </a> <ul id="toc-逆函数や陰伏函数として定める-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-微積分学的な条件によって指定する" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#微積分学的な条件によって指定する"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.4</span> <span>微積分学的な条件によって指定する</span> </div> </a> <ul id="toc-微積分学的な条件によって指定する-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-漸化式を与える" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#漸化式を与える"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.5</span> <span>漸化式を与える</span> </div> </a> <ul id="toc-漸化式を与える-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-表示法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#表示法"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>表示法</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-表示法-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>表示法サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-表示法-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-グラフ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#グラフ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>グラフ</span> </div> </a> <ul id="toc-グラフ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-値の表" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#値の表"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>値の表</span> </div> </a> <ul id="toc-値の表-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-棒グラフ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#棒グラフ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>棒グラフ</span> </div> </a> <ul id="toc-棒グラフ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-解析学" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#解析学"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>解析学</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-解析学-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>解析学サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-解析学-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-実函数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#実函数"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>実函数</span> </div> </a> <ul id="toc-実函数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-ベクトル値函数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#ベクトル値函数"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>ベクトル値函数</span> </div> </a> <ul id="toc-ベクトル値函数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-関数空間" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#関数空間"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.3</span> <span>関数空間</span> </div> </a> <ul id="toc-関数空間-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-多変数関数と多価関数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#多変数関数と多価関数"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>多変数関数と多価関数</span> </div> </a> <ul id="toc-多変数関数と多価関数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-陽表式と陰伏式" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#陽表式と陰伏式"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>陽表式と陰伏式</span> </div> </a> <ul id="toc-陽表式と陰伏式-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-特殊化と一般化" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#特殊化と一般化"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>特殊化と一般化</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-特殊化と一般化-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>特殊化と一般化サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-特殊化と一般化-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-数列" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#数列"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.1</span> <span>数列</span> </div> </a> <ul id="toc-数列-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-汎関数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#汎関数"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.2</span> <span>汎関数</span> </div> </a> <ul id="toc-汎関数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-超関数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#超関数"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.3</span> <span>超関数</span> </div> </a> <ul id="toc-超関数-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-「関数」と「函数」の違いについて" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#「関数」と「函数」の違いについて"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>「関数」と「函数」の違いについて</span> </div> </a> <ul id="toc-「関数」と「函数」の違いについて-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>脚注</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-脚注-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>脚注サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-注釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#注釈"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11.1</span> <span>注釈</span> </div> </a> <ul id="toc-注釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11.2</span> <span>出典</span> </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">12</span> <span>参考文献</span> </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">13</span> <span>関連項目</span> </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-外部リンク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#外部リンク"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">14</span> <span>外部リンク</span> </div> </a> <ul id="toc-外部リンク-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="目次" > <input type="checkbox" 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href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Funkc%C4%97j%C4%97" title="サモギティア語: Funkcėjė" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Funkcėjė" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="サモギティア語" class="interlanguage-link-target"><span>Žemaitėška</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%8B%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%BA%D0%B0)" title="ベラルーシ語: Функцыя (матэматыка)" lang="be" hreflang="be" data-title="Функцыя (матэматыка)" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="ベラルーシ語" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%8B%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%BA%D0%B0)" title="Belarusian (Taraškievica orthography): Функцыя (матэматыка)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Функцыя (матэматыка)" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="ブルガリア語: Функция" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Функция" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="ブルガリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8_(%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4)" title="Bhojpuri: फंक्शन (गणित)" lang="bh" hreflang="bh" data-title="फंक्शन (गणित)" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target"><span>भोजपुरी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%87%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%B7%E0%A6%95_(%E0%A6%97%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%A4)" title="ベンガル語: অপেক্ষক (গণিত)" lang="bn" hreflang="bn" data-title="অপেক্ষক (গণিত)" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="ベンガル語" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="ボスニア語: Funkcija (matematika)" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="ボスニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3" title="カタロニア語: Funció" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Funció" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="カタロニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%A7%D9%86%DA%A9%D8%B4%D9%86_(%D9%85%D8%A7%D8%AA%D9%85%D8%A7%D8%AA%DB%8C%DA%A9)" title="中央クルド語: فانکشن (ماتماتیک)" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="فانکشن (ماتماتیک)" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="中央クルド語" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Funkce_(matematika)" title="チェコ語: Funkce (matematika)" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Funkce (matematika)" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="チェコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="チュヴァシ語: Функци (математика)" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Функци (математика)" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="チュヴァシ語" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Ffwythiant" title="ウェールズ語: Ffwythiant" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Ffwythiant" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="ウェールズ語" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Funktion_(matematik)" title="デンマーク語: Funktion (matematik)" lang="da" hreflang="da" data-title="Funktion (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="デンマーク語" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)" title="ドイツ語: Funktion (Mathematik)" lang="de" hreflang="de" data-title="Funktion (Mathematik)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="ドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="ギリシャ語: Συνάρτηση" lang="el" hreflang="el" data-title="Συνάρτηση" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="ギリシャ語" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)" title="英語: Function (mathematics)" lang="en" hreflang="en" data-title="Function (mathematics)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="英語" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Funkcio_(matematiko)" title="エスペラント語: Funkcio (matematiko)" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Funkcio (matematiko)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="エスペラント語" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="スペイン語: Función (matemática)" lang="es" hreflang="es" data-title="Función (matemática)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="スペイン語" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Funktsioon_(matemaatika)" title="エストニア語: Funktsioon (matemaatika)" lang="et" hreflang="et" data-title="Funktsioon (matemaatika)" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="エストニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Funtzio_(matematika)" title="バスク語: Funtzio (matematika)" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Funtzio (matematika)" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="バスク語" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9" title="ペルシア語: تابع" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تابع" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="ペルシア語" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Funktio" title="フィンランド語: Funktio" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Funktio" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="フィンランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Cakacaka_(fika)" title="フィジー語: Cakacaka (fika)" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Cakacaka (fika)" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="フィジー語" class="interlanguage-link-target"><span>Na Vosa Vakaviti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Funksj%C3%B3n" title="フェロー語: Funksjón" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Funksjón" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="フェロー語" class="interlanguage-link-target"><span>Føroyskt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_(math%C3%A9matiques)" title="フランス語: Fonction (mathématiques)" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Fonction (mathématiques)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Funksion" title="北フリジア語: Funksion" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Funksion" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="北フリジア語" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Feidhm_(matamaitic)" title="アイルランド語: Feidhm (matamaitic)" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Feidhm (matamaitic)" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="アイルランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B8" title="贛語: 函數" lang="gan" hreflang="gan" data-title="函數" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="贛語" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Fonksyon_(mat%C3%A9matik)" title="Guianan Creole: Fonksyon (matématik)" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Fonksyon (matématik)" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n" title="ガリシア語: Función" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Función" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="ガリシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94" title="ヘブライ語: פונקציה" lang="he" hreflang="he" data-title="פונקציה" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ヘブライ語" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A4%B2%E0%A4%A8" title="ヒンディー語: फलन" lang="hi" hreflang="hi" data-title="फलन" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="ヒンディー語" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Function" title="フィジー・ヒンディー語: Function" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Function" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="フィジー・ヒンディー語" class="interlanguage-link-target"><span>Fiji Hindi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="クロアチア語: Funkcija (matematika)" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/F%C3%BCggv%C3%A9ny_(matematika)" title="ハンガリー語: Függvény (matematika)" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Függvény (matematika)" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ハンガリー語" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%96%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%A1_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="アルメニア語: Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="アルメニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematica)" title="インターリングア: Function (mathematica)" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Function (mathematica)" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="インターリングア" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)" title="インドネシア語: Fungsi (matematika)" lang="id" hreflang="id" data-title="Fungsi (matematika)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="インドネシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Funciono" title="イド語: Funciono" lang="io" hreflang="io" data-title="Funciono" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="イド語" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Fall_(st%C3%A6r%C3%B0fr%C3%A6%C3%B0i)" title="アイスランド語: Fall (stærðfræði)" lang="is" hreflang="is" data-title="Fall (stærðfræði)" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="アイスランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_(matematica)" title="イタリア語: Funzione (matematica)" lang="it" hreflang="it" data-title="Funzione (matematica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="イタリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Fongshan_(matimatix)" title="ジャマイカ・クレオール語: Fongshan (matimatix)" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Fongshan (matimatix)" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="ジャマイカ・クレオール語" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jbo mw-list-item"><a href="https://jbo.wikipedia.org/wiki/fancu" title="ロジバン語: fancu" lang="jbo" hreflang="jbo" data-title="fancu" data-language-autonym="La .lojban." data-language-local-name="ロジバン語" class="interlanguage-link-target"><span>La .lojban.</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A4%E1%83%A3%E1%83%9C%E1%83%A5%E1%83%AA%E1%83%98%E1%83%90_(%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90)" title="ジョージア語: ფუნქცია (მათემატიკა)" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ფუნქცია (მათემატიკა)" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="ジョージア語" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kab mw-list-item"><a href="https://kab.wikipedia.org/wiki/Tas%C9%A3ent_(tusnakt)" title="カビル語: Tasɣent (tusnakt)" 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href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%A8%EC%88%98" title="韓国語: 함수" lang="ko" hreflang="ko" data-title="함수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Functio" title="ラテン語: Functio" lang="la" hreflang="la" data-title="Functio" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="ラテン語" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Funktioun_(Mathematik)" title="ルクセンブルク語: Funktioun (Mathematik)" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Funktioun (Mathematik)" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="ルクセンブルク語" class="interlanguage-link-target"><span>Lëtzebuergesch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Fonzion_(matematega)" title="ロンバルド語: Fonzion (matematega)" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Fonzion (matematega)" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="ロンバルド語" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="リトアニア語: Funkcija (matematika)" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="リトアニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Funkcija" title="ラトビア語: Funkcija" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Funkcija" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="ラトビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="マケドニア語: Функција (математика)" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Функција (математика)" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="マケドニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AB%E0%B4%99%E0%B5%8D%E0%B4%B7%E0%B5%BB" title="マラヤーラム語: ഫങ്ഷൻ" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ഫങ്ഷൻ" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="マラヤーラム語" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA)" title="モンゴル語: Функц (математик)" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Функц (математик)" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="モンゴル語" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A4%B2_(%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4)" title="マラーティー語: फल (गणित)" lang="mr" hreflang="mr" data-title="फल (गणित)" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="マラーティー語" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Fungsi" title="マレー語: Fungsi" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Fungsi" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="マレー語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Funzjonijiet_(matematika)" title="マルタ語: Funzjonijiet (matematika)" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Funzjonijiet (matematika)" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="マルタ語" class="interlanguage-link-target"><span>Malti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%96%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%9B%E1%80%BE%E1%80%84%E1%80%BA" title="ミャンマー語: ဖန်ရှင်" lang="my" hreflang="my" data-title="ဖန်ရှင်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="ミャンマー語" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Afbillen_(Mathematik)" title="低地ドイツ語: Afbillen (Mathematik)" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Afbillen (Mathematik)" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="低地ドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Functie_(wiskunde)" title="オランダ語: Functie (wiskunde)" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Functie (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="オランダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Matematisk_funksjon" title="ノルウェー語(ニーノシュク): Matematisk funksjon" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Matematisk funksjon" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="ノルウェー語(ニーノシュク)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Funksjon_(matematikk)" title="ノルウェー語(ブークモール): Funksjon (matematikk)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Funksjon (matematikk)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="ノルウェー語(ブークモール)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Aplicacion_(matematicas)" title="オック語: Aplicacion (matematicas)" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Aplicacion (matematicas)" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="オック語" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Warroomii_(faankishinii)" title="オロモ語: Warroomii (faankishinii)" lang="om" hreflang="om" data-title="Warroomii (faankishinii)" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="オロモ語" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%AB%E0%A9%B0%E0%A8%95%E0%A8%B8%E0%A8%BC%E0%A8%A8_(%E0%A8%B9%E0%A8%BF%E0%A8%B8%E0%A8%BE%E0%A8%AC)" title="パンジャブ語: ਫੰਕਸ਼ਨ (ਹਿਸਾਬ)" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਫੰਕਸ਼ਨ (ਹਿਸਾਬ)" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="パンジャブ語" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja" title="ポーランド語: Funkcja" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Funkcja" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Fonsion" title="ピエモンテ語: Fonsion" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Fonsion" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="ピエモンテ語" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D9%86%DA%A9%D8%B4%D9%86" title="Western Punjabi: فنکشن" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="فنکشن" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" title="ポルトガル語: Função (matemática)" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Função (matemática)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="ポルトガル語" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Kinraysuyu" title="ケチュア語: Kinraysuyu" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Kinraysuyu" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="ケチュア語" class="interlanguage-link-target"><span>Runa Simi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Func%C8%9Bie" title="ルーマニア語: Funcție" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Funcție" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="ルーマニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="ロシア語: Функция (математика)" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F._%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%87%D1%8D%D1%80%D1%87%D0%B8%D1%82%D1%8D,_%D1%81%D1%83%D0%BE%D0%BB%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%80%D1%8B%D0%BD_%D1%82%D2%AF%D0%BC%D1%81%D1%8D%D1%8D%D0%BD%D1%8D" title="サハ語: Функция. Функция чэрчитэ, суолталарын түмсээнэ" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Функция. Функция чэрчитэ, суолталарын түмсээнэ" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="サハ語" class="interlanguage-link-target"><span>Саха тыла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Funzioni_(matim%C3%A0tica)" title="シチリア語: Funzioni (matimàtica)" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Funzioni (matimàtica)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="シチリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)" title="スコットランド語: Function (mathematics)" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Function (mathematics)" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="スコットランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="セルボ・クロアチア語: Funkcija (matematika)" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="セルボ・クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)" title="シンプル英語: Function (mathematics)" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Function (mathematics)" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Zobrazenie_(matematika)" title="スロバキア語: Zobrazenie (matematika)" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Zobrazenie (matematika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="スロバキア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="スロベニア語: Funkcija (matematika)" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-smn mw-list-item"><a href="https://smn.wikipedia.org/wiki/Funktio" title="イナリ・サーミ語: Funktio" lang="smn" hreflang="smn" data-title="Funktio" data-language-autonym="Anarâškielâ" data-language-local-name="イナリ・サーミ語" class="interlanguage-link-target"><span>Anarâškielâ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Murimo_(Masvomhu)" title="ショナ語: Murimo (Masvomhu)" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Murimo (Masvomhu)" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="ショナ語" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Shaqada_(xisaabta)" title="ソマリ語: Shaqada (xisaabta)" lang="so" hreflang="so" data-title="Shaqada (xisaabta)" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="ソマリ語" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Funksioni" title="アルバニア語: Funksioni" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Funksioni" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="アルバニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="セルビア語: Функција (математика)" lang="sr" 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data-title="Funkcyjo" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="シレジア語" class="interlanguage-link-target"><span>Ślůnski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%9A%E0%AE%BE%E0%AE%B0%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%81" title="タミル語: சார்பு" lang="ta" hreflang="ta" data-title="சார்பு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="タミル語" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99_(%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C)" title="タイ語: ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)" lang="th" hreflang="th" data-title="ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="タイ語" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Punsiyon_(matematika)" title="タガログ語: Punsiyon (matematika)" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Punsiyon (matematika)" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="タガログ語" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Fonksiyon" title="トルコ語: Fonksiyon" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Fonksiyon" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="トルコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="タタール語: Функция (математика)" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="タタール語" 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href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="ウクライナ語: Функція (математика)" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Функція (математика)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ウクライナ語" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B9%D9%84_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)" title="ウルドゥー語: تفاعل (ریاضیات)" lang="ur" hreflang="ur" data-title="تفاعل (ریاضیات)" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="ウルドゥー語" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Funksiya_(matematika)" title="ウズベク語: Funksiya (matematika)" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Funksiya (matematika)" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="ウズベク語" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vep mw-list-item"><a href="https://vep.wikipedia.org/wiki/Funkcii_(matematik)" title="ヴェプス語: Funkcii (matematik)" lang="vep" hreflang="vep" data-title="Funkcii (matematik)" data-language-autonym="Vepsän kel’" data-language-local-name="ヴェプス語" class="interlanguage-link-target"><span>Vepsän kel’</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91" title="ベトナム語: Hàm số" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Hàm số" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="ベトナム語" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Funsiyon_(matematika)" title="ワライ語: Funsiyon (matematika)" lang="war" hreflang="war" 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data-title="פונקציע" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="イディッシュ語" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zgh mw-list-item"><a href="https://zgh.wikipedia.org/wiki/%E2%B5%9C%E2%B4%B0%E2%B5%99%E2%B5%96%E2%B5%8F%E2%B5%9C_(%E2%B5%9C%E2%B5%93%E2%B5%99%E2%B5%8F%E2%B4%B0%E2%B4%BD%E2%B5%9C)" title="標準モロッコタマジクト語: ⵜⴰⵙⵖⵏⵜ (ⵜⵓⵙⵏⴰⴽⵜ)" lang="zgh" hreflang="zgh" data-title="ⵜⴰⵙⵖⵏⵜ (ⵜⵓⵙⵏⴰⴽⵜ)" data-language-autonym="ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ" data-language-local-name="標準モロッコタマジクト語" class="interlanguage-link-target"><span>ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0" title="中国語: 函数" lang="zh" hreflang="zh" data-title="函数" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="中国語" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E6%98%A0%E5%B0%84" title="漢文: 映射" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="映射" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="漢文" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/H%C3%A2m-s%C3%B2%CD%98" title="閩南語: Hâm-sò͘" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Hâm-sò͘" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="閩南語" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B8" title="広東語: 函數" lang="yue" hreflang="yue" data-title="函數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="広東語" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a 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3.3em}@media(max-width:640px){body.mediawiki .mw-parser-output .sidebar{width:100%!important;clear:both;float:none!important;margin-left:0!important;margin-right:0!important}}body.skin--responsive .mw-parser-output .sidebar a>img{max-width:none!important}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .sidebar:not(.notheme) .sidebar-list-title,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .sidebar:not(.notheme) .sidebar-title-with-pretitle{background:transparent!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .sidebar:not(.notheme) .sidebar-title-with-pretitle a{color:var(--color-progressive)!important}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .sidebar:not(.notheme) .sidebar-list-title,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .sidebar:not(.notheme) .sidebar-title-with-pretitle{background:transparent!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .sidebar:not(.notheme) .sidebar-title-with-pretitle a{color:var(--color-progressive)!important}}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .sidebar{display:none!important}}</style><table class="sidebar nomobile nowraplinks"><tbody><tr><th class="sidebar-title" style="letter-spacing:0.0125em; background-color:#FFCC99"><a href="/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="函数">函数</a></th></tr><tr><td class="sidebar-image"><span lang="en" class="texhtml texhtml-big" style="font-size:250%;"><i>x</i> ↦ <i>f</i> (<i>x</i>)</span></td></tr><tr><th class="sidebar-heading" style="font-size:117%; letter-spacing:0.0125em; font-weight:500; text-decoration:overline; padding:5px 0 3px"> <a href="/wiki/%E5%AE%9A%E7%BE%A9%E5%9F%9F" title="定義域">始域</a>と<a href="/wiki/%E7%B5%82%E5%9F%9F" title="終域">終域</a>の例</th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <table cellpadding="5"> <tbody><tr> <td title="arbitrary set" style="color:gray; padding-left:0.5em"><span lang="en" class="texhtml"><b>X</b></span></td><td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em"><a href="/wiki/%E3%83%96%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%80%A4%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="ブール値函数">→</a></td> <td title="Boolean codomain"><span lang="en" class="texhtml"><b>B</b>,</span></td><td title="Boolean domain"><span lang="en" class="texhtml"><b>B</b></span></td> <td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em"><a href="/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%AF%BE" title="順序対">→</a></td><td title="arbitrary set" style="color:gray"><span lang="en" class="texhtml"><b>X</b>,</span></td> <td title="several Boolean variables, or finite Boolean algebra"> <span lang="en" class="texhtml"><b>B</b><sup><i>n</i></sup></span></td><td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em"><a href="/wiki/%E3%83%96%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="ブール函数">→</a></td><td title="Boolean codomain"><span lang="en" class="texhtml"><b>B</b></span></td> </tr> <tr> <td title="arbitrary set" style="color:gray; padding-left:0.5em"><span lang="en" class="texhtml"><b>X</b></span></td><td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em; padding:5px"><a href="/w/index.php?title=%E6%95%B4%E6%95%B0%E5%80%A4%E5%87%BD%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="整数値函数 (存在しないページ)">→</a></td> <td title="integers"><span lang="en" class="texhtml"><b>Z</b>,</span></td><td title="integers"><span lang="en" class="texhtml"><b>Z</b></span></td> <td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em; padding:5px"><a href="/wiki/%E5%88%97_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="列 (数学)">→</a></td><td title="arbitrary set" style="color:gray"><span lang="en" class="texhtml"><b>X</b></span></td> </tr> <tr> <td title="arbitrary set" style="color:gray; padding-left:0.5em"><span lang="en" class="texhtml"><b>X</b></span></td><td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em; padding:5px"><a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E5%80%A4%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="実数値函数">→</a></td> <td title="real numbers"><span lang="en" class="texhtml"><b>R</b>,</span></td><td title="real numbers"><span lang="en" class="texhtml"><b>R</b></span></td> <td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em; padding:5px"><a href="/w/index.php?title=%E5%AE%9F%E5%A4%89%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="実変数函数 (存在しないページ)">→</a></td><td title="arbitrary set" style="color:gray"><span lang="en" class="texhtml"><b>X</b>,</span></td> <td title="real coordinate (or Euclidean) space"><span lang="en" class="texhtml"><b>R</b><sup><i>n</i></sup></span></td><td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em; padding:5px"><a href="/w/index.php?title=%E5%AE%9F%E5%A4%9A%E5%A4%89%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="実多変数函数 (存在しないページ)">→</a></td><td title="arbitrary set" style="color:gray"><span lang="en" class="texhtml"><b>X</b></span></td> </tr> <tr> <td title="arbitrary set" style="color:gray; padding-left:0.5em"><span lang="en" class="texhtml"><b>X</b></span></td><td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em; padding:5px"><a href="/w/index.php?title=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%80%A4%E5%87%BD%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="複素数値函数 (存在しないページ)">→</a></td> <td title="complex numbers"><span lang="en" class="texhtml"><b>C</b>,</span></td><td title="complex numbers"><span lang="en" class="texhtml"><b>C</b></span></td> <td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em; padding:5px"><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%A4%89%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="複素変数函数">→</a></td><td title="arbitrary set" style="color:gray"><span lang="en" class="texhtml"><b>X</b>,</span></td> <td title="complex coordinate space"><span lang="en" class="texhtml"><b>C</b><sup><i>n</i></sup></span></td><td style="font-size:150%; letter-spacing:-0.125em"><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%A4%9A%E5%A4%89%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="複素多変数函数">→</a></td><td title="arbitrary set" style="color:gray"><span lang="en" class="texhtml"><b>X</b></span></td> </tr> </tbody></table></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading" style="font-size:117%; letter-spacing:0.0125em; font-weight:500; text-decoration:overline; padding:5px 0 3px"> <a href="/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="函数空間">分類/性質</a> </th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%AE%9A%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="定数函数">定数</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E6%81%92%E7%AD%89%E5%86%99%E5%83%8F" title="恒等写像">恒等</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E5%87%BD%E6%95%B0" title="多項式函数">多項式</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="有理函数">有理</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="代数函数">代数的</a></li> <li> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="解析函数">解析的</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="滑らかな函数">滑らか</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="連続函数">連続</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%B8%AC%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="可測函数">可測</a></li> <li> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%B0%84" title="単射">単射的</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%B0%84" title="全射">全射的</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%8D%98%E5%B0%84" title="全単射">双射的</a></li></ul></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading" style="font-size:117%; letter-spacing:0.0125em; font-weight:500; text-decoration:overline; padding:5px 0 3px"> 構成 </th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <a href="/wiki/%E5%88%B6%E9%99%90_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="制限 (数学)">制限</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90" title="写像の合成">合成</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%83%80%E8%A8%88%E7%AE%97" title="ラムダ計算">λ式</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E9%80%86%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="逆函数">逆</a></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading" style="font-size:117%; letter-spacing:0.0125em; font-weight:500; text-decoration:overline; padding:5px 0 3px"> 一般化 </th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <a href="/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E5%86%99%E5%83%8F" title="部分写像">部分</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E5%A4%9A%E4%BE%A1%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="多価函数">多価</a> <b>·</b>  <a href="/wiki/%E9%99%B0%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="陰函数">陰伏</a></td> </tr><tr><td class="sidebar-navbar"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r103358373">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist 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.navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}.mw-parser-output .infobox .navbar{font-size:88%}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:88%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-view"><a href="/wiki/Template:Functions" title="Template:Functions"><abbr title="参照先のページを表示します。">表</abbr></a></li><li class="nv-talk"><a href="/wiki/Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:Functions" title="Template‐ノート:Functions"><abbr title="参照先のノートを表示します。">話</abbr></a></li><li class="nv-edit"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:Functions&action=edit"><abbr title="参照先のページを編集します。">編</abbr></a></li><li class="nv-hist"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:Functions&action=history"><abbr title="参照先のページの履歴を表示します。">歴</abbr></a></li></ul></div></td></tr></tbody></table> <p><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>における<b>関数</b>（かんすう、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i><a href="https://ja.wiktionary.org/wiki/function" class="extiw" title="wikt:function">function</a></i></span>、<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B9%E8%AA%9E" title="フランス語">仏</a>: <span lang="fr"><i><a href="https://ja.wiktionary.org/wiki/fonction" class="extiw" title="wikt:fonction">fonction</a></i></span>、<a href="/wiki/%E3%83%89%E3%82%A4%E3%83%84%E8%AA%9E" title="ドイツ語">独</a>: <span lang="de"><i><a href="https://ja.wiktionary.org/wiki/Funktion" class="extiw" title="wikt:Funktion">Funktion</a></i></span>、 <a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E8%AA%9E" title="オランダ語">蘭</a>: <i><a href="https://ja.wiktionary.org/wiki/functie" class="extiw" title="wikt:functie">functie</a></i>、<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%83%86%E3%83%B3%E8%AA%9E" title="ラテン語">羅</a>: <span lang="la"><i>functio</i></span>、<b>函数</b>とも書かれる）とは、かつてはある<a href="/wiki/%E5%A4%89%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="変数 (数学)">変数</a>に依存して決まる値あるいはその対応を表す式のことであった。この言葉は<a href="/wiki/%E3%82%B4%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%95%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%97%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%84" title="ゴットフリート・ライプニッツ">ゴットフリート・ライプニッツ</a>によって導入された。その後<a href="/wiki/%E5%AE%9A%E7%BE%A9" title="定義">定義</a>が一般化され、現代では<a href="/wiki/%E6%95%B0" title="数">数</a>の<a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88" title="集合">集合</a>に値をとる<a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F" title="写像">写像</a>の一種であると理解されるものとなった。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="名称表記の歴史"><span id=".E5.90.8D.E7.A7.B0.E8.A1.A8.E8.A8.98.E3.81.AE.E6.AD.B4.E5.8F.B2"></span>名称表記の歴史</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=1" title="節を編集: 名称表記の歴史"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%AA%9E" title="日本語">日本語</a>としての<b><a href="https://ja.wiktionary.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0" class="extiw" title="wikt:関数">関数</a></b>はもともと「<b><a href="https://ja.wiktionary.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0" class="extiw" title="wikt:函数">函数</a></b>」（<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r100007858">.mw-parser-output .lang-ja-serif{font-family:YuMincho,"Yu Mincho","ヒラギノ明朝","Noto Serif JP","Noto Sans CJK JP",serif}.mw-parser-output .lang-ja-sans{font-family:YuGothic,"Yu Gothic","ヒラギノ角ゴ","Noto Sans CJK JP",sans-serif}</style><a href="/wiki/%E6%97%A7%E5%AD%97%E4%BD%93" title="旧字体">旧字体</a>：<span lang="ja" class="lang-ja-serif"><a href="https://ja.wiktionary.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B8" class="extiw" title="wikt:函數">函數</a></span>）と書いた。函数という語は中国語から輸入されたものであり、<a href="/wiki/%E4%B8%AD%E8%8F%AF%E4%BA%BA%E6%B0%91%E5%85%B1%E5%92%8C%E5%9B%BD" title="中華人民共和国">中国</a>での初出は1859年に出版された<a href="/wiki/%E6%9D%8E%E5%96%84%E8%98%AD" title="李善蘭">李善蘭</a>の『<span lang="zh-hant">代微積拾級</span>』といわれる。既にオランダを通じて西洋数学（特に微積分）を勉強していた<a href="/wiki/%E7%A5%9E%E7%94%B0%E5%AD%9D%E5%B9%B3" title="神田孝平">神田孝平</a>らが翻訳の際に参考にしたとされる<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-kouda_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-kouda-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>微積分について日本語で書かれた最初の本、花井静校・福田半編『筆算微積入門』(1880年) では「函数」が用いられている<sup id="cite_ref-k1988_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-k1988-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-k2003_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-k2003-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。それに続く<a href="/wiki/%E9%95%B7%E6%BE%A4%E9%BE%9C%E4%B9%8B%E5%8A%A9" title="長澤龜之助">長澤龜之助</a>訳『微分学』(1881年)、<a href="/wiki/%E5%B2%A1%E6%9C%AC%E5%89%87%E9%8C%B2" title="岡本則録">岡本則録</a>訳『査氏微分積分学』(1883年) のいずれも用語を『<span lang="zh-hant">代微積拾級</span>』、『<span lang="zh-hant">微積遡源</span>』(1874年) などによっている<sup id="cite_ref-k2003_4-1" class="reference"><a href="#cite_note-k2003-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。明治初期に東京數學會社で数学用語の日本語訳を検討する譯語會が毎月開催され、その結果が『東京數學會社雑誌』で逐次報告されている。この報告に <span lang="en">function</span> の訳語は第62号 (1884年) の「原數」<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>と第64号 (1884年) の「三角法函數」<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>の二種類が登場する。一方、同誌の本文では61号 (1884年) や63号 (1884年) で「函數」が用いられている<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>「函」が漢字制限による<a href="/wiki/%E5%BD%93%E7%94%A8%E6%BC%A2%E5%AD%97" title="当用漢字">当用漢字</a>に含まれなかったことから、1950年代以降同音の「関」へと書き換えがすすめられた<sup id="cite_ref-:0_8-0" class="reference"><a href="#cite_note-:0-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。この他、「干数」案もあった<sup id="cite_ref-:1_9-0" class="reference"><a href="#cite_note-:1-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。<a href="/wiki/%E5%AD%A6%E7%BF%92%E6%8C%87%E5%B0%8E%E8%A6%81%E9%A0%98" title="学習指導要領">学習指導要領</a>に「関数」が登場するのは中学校で1958年、高等学校で1960年であり、それまでは「函数」が用いられている<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。「関数」表記は 1985 年頃までには日本の初等教育の段階でほぼ定着した<sup id="cite_ref-komatsu_11-0" class="reference"><a href="#cite_note-komatsu-11"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>「函数」の中国語における発音は(<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r99057670">.mw-parser-output .pinyin{font-family:system-ui,"Helvetica Neue","Helvetica","Arial","Arial Unicode MS",sans-serif}.mw-parser-output .jyutping{font-family:"Helvetica Neue","Helvetica","Arial","Arial Unicode MS",sans-serif}</style><a href="/wiki/%E6%8B%BC%E9%9F%B3" title="拼音">拼音</a>: <span lang="zh-Latn"><span class="pinyin"><i>hánshù</i></span></span>) であり、<a href="/wiki/%E5%BF%97%E8%B3%80%E6%B5%A9%E4%BA%8C" title="志賀浩二">志賀浩二</a>や<a href="/wiki/%E5%B0%8F%E6%9D%BE%E5%8B%87%E4%BD%9C" title="小松勇作">小松勇作</a>によればこれはfunctionの音訳であるという<sup id="cite_ref-komatsu_11-1" class="reference"><a href="#cite_note-komatsu-11"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。一方、『代微積拾級』には「<span lang="zh-hant">凡此變數中函彼變數則此爲彼之函數</span>」<sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>とあり、これは変数を包む、含む式という意味で定義されていると解釈できる<sup id="cite_ref-kouda_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-kouda-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。また変数に天、地などの文字を用いて「天 = 函(地)」という表記もある。<a href="/w/index.php?title=%E7%89%87%E9%87%8E%E5%96%84%E4%B8%80%E9%83%8E&action=edit&redlink=1" class="new" title="片野善一郎 (存在しないページ)">片野善一郎</a>によれば、「函」の字義はつつむ、つつみこむであるから、「天 = 函(地)」という表現は「天は地を函む」ようにみえ<sup id="cite_ref-k1988_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-k1988-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>、従属変数（の表現）に独立変数が容れられている<sup id="cite_ref-k2003_4-2" class="reference"><a href="#cite_note-k2003-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>という意味であるという。 </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Function_machine2.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/Function_machine2.svg/220px-Function_machine2.svg.png" decoding="async" width="220" height="218" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/Function_machine2.svg/330px-Function_machine2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/Function_machine2.svg/440px-Function_machine2.svg.png 2x" data-file-width="191" data-file-height="189" /></a><figcaption>入力 <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i></span> に対して、「<a href="/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%9C%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9" title="ブラックボックス">ブラックボックス</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i></span>」が <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i> (x)</span> を出力する</figcaption></figure> <p>なお、現代の初等教育の場においてはしばしば関数を<a href="/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%9C%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9" title="ブラックボックス">ブラックボックス</a>のたとえで説明することがある<sup id="cite_ref-k2003_4-3" class="reference"><a href="#cite_note-k2003-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-a_14-0" class="reference"><a href="#cite_note-a-14"><span class="cite-bracket">[</span>13<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-15" class="reference"><a href="#cite_note-15"><span class="cite-bracket">[</span>14<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。この説明では、「函」を「はこ」と読むことと関連付けて説明されることもあるが、「函数」の語の初出は1859年なのに対し、「ブラックボックス」の語の初出は1945年ごろとされることに注意を要する。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="概要"><span id=".E6.A6.82.E8.A6.81"></span>概要</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=2" title="節を編集: 概要"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="素朴な定式化"><span id=".E7.B4.A0.E6.9C.B4.E3.81.AA.E5.AE.9A.E5.BC.8F.E5.8C.96"></span>素朴な定式化</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=3" title="節を編集: 素朴な定式化"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>二つの変数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> と <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> があり、入力 <i><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span></i> に対して、出力 <i><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span></i> の値を決定する規則（<i><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span></i> に特定の値を代入するごとに <i><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span></i> の値が確定する）が与えられているとき、変数 <i><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span></i> を「<i><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span></i> を<b>独立変数</b> (independent variable) とする<b>関数</b>」或いは簡単に「<i><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span></i> の関数」という。対応規則を明示するときは、適当な文字列（特に何か理由がなければ、function の頭文字から <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> が選ばれることが多い）を使って <span lang="en" class="texhtml"><i>y</i> = <i>f</i> (<i>x</i>)</span> と書いて、<span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> = <i>a</i></span> を代入したときに決まる関数の値を <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i> (<i>a</i>)</span> と表す。しかしここで、定数関数の例に示されるように、個々の <i><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span></i> の値について対応する <i><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span></i> の値が一つに決まるとは限らない事に注意しなければならない。この <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i> (<i>x</i>)</span> という表記法は18世紀の<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85" title="数学者">数学者</a><a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC" title="レオンハルト・オイラー">レオンハルト・オイラー</a>によるものである。オイラーは、変数や<a href="/wiki/%E5%AE%9A%E6%95%B0" title="定数">定数</a>を組み合わせてできた数式のことを関数と定義していたが、<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%AB%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC" title="オーギュスタン＝ルイ・コーシー">コーシー</a>は、上に述べたように <i><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span></i> という変数を関数と定義した。 </p><p><i><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span></i> が <i><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span></i> の関数であることの別の表現として、変数 <i><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span></i> は変数 <i><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span></i> に<b>従属</b>するとも言い、<i><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span></i> を<b>従属変数</b> (dependent variable) と言い表す。独立変数がとりうる値の全体（変域）を、この関数の<b><a href="/wiki/%E5%AE%9A%E7%BE%A9%E5%9F%9F" title="定義域">定義域</a></b> (domain) といい、独立変数が定義域のあらゆる値をとるときに、従属変数がとりうる値（変域）を、この関数の<b><a href="/wiki/%E5%80%A4%E5%9F%9F" title="値域">値域</a></b> (range) という。 </p><p>関数の<a href="/wiki/%E7%B5%82%E5%9F%9F" title="終域">終域</a>は実数体 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span> や複素数体 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"></span> の部分集合であることが多い。終域が実数の集合となる関数を<b><a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E5%80%A4%E9%96%A2%E6%95%B0" title="実数値関数">実数値関数</a></b> (real valued function) といい、終域が複素数の集合となる関数を<b>複素数値関数</b> (complex valued function) という。それぞれ定義域がどのような集合であるかは問わないが、定義域も終域も実数の集合であるような関数を<b>実関数</b> (real function) といい、定義域も終域も複素数の集合であるような関数を<b>複素関数</b> (complex function) という。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="現代的解釈"><span id=".E7.8F.BE.E4.BB.A3.E7.9A.84.E8.A7.A3.E9.87.88"></span>現代的解釈</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=4" title="節を編集: 現代的解釈"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC" title="ペーター・グスタフ・ディリクレ">ディリクレ</a>は、<i><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span></i> と <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i> (<i>x</i>)</span> の対応関係に対して一定の法則性を持たせる必要はないとした。つまり、個々の独立変数と従属変数の対応そのものが関数であり、その対応は数式などで表す必要はないという、オイラーとは異なる立場をとっている。 </p><p>集合論的立場に立つ現代数学では、ディリクレのように関数を対応規則 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> のことであると解釈する。それは<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E9%96%A2%E4%BF%82" title="二項関係">二項関係</a>の特別の場合として関数を定義するということであり、その意味で関数は<a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F" title="写像">写像</a>の同義語である<sup id="cite_ref-17" class="reference"><a href="#cite_note-17"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。より細かく、「<a href="/wiki/%E6%95%B0" title="数">数</a>」の集合への写像に限る場合もある<sup id="cite_ref-19" class="reference"><a href="#cite_note-19"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。写像に用いる言葉、例えば </p> <ul><li><a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F#合成" title="写像">合成</a>（合成関数）</li> <li><a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%B0%84" title="全射">全射</a>、<a href="/wiki/%E5%8D%98%E5%B0%84" title="単射">単射</a>（一対一ともいう）、<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%8D%98%E5%B0%84" title="全単射">全単射</a>（双射、<b>一対一対応</b>ともいう）</li> <li><a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F#逆写像" title="写像">逆</a>（逆関数）</li></ul> <p>などはそのまま用いることができる。「数」に値を取る関数に特有の（つまり、一般の写像では成り立つとは限らない）性質もある。たとえば、<a href="/wiki/%E5%83%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="像 (数学)">像</a>を用いて値毎の演算と呼ばれる函数同士の演算が定義できる： <i>x</i> を任意として、 </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a790adafcf445287604d6b49ec1a08714b2c7e67" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.088ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x),}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f-g)(x):=f(x)-g(x),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>−</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f-g)(x):=f(x)-g(x),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17e4b9ed6fcdf93b04db215103d6c84e35a0f4e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.088ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f-g)(x):=f(x)-g(x),}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (fg)(x):=f(x)g(x),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (fg)(x):=f(x)g(x),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f6c22704987dfc55bb394c89282f3532f5cd1a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.408ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (fg)(x):=f(x)g(x),}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)(x):={\frac {f(x)}{g(x)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>f</mi> <mi>g</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)(x):={\frac {f(x)}{g(x)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd2f7ac8d32c6fdab6014e44e4ac0bbf41c4876" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:18.061ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)(x):={\frac {f(x)}{g(x)}}}"></span>　（ただし<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x)\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x)\neq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/304c689556e38a33dde280823338d0ef90735d89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.516ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(x)\neq 0}"></span>）</li></ul> <p>と定義できる。あるいはまた、実函数（実一変数で実数値の函数）<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3a10a3ad05781f5cf9c2d875a02227e21a8448" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.186ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }"></span> は<a href="/wiki/%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95_(%E9%96%A2%E6%95%B0)" title="グラフ (関数)">グラフ</a>と呼ばれる<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%9B%B3%E8%A1%A8&action=edit&redlink=1" class="new" title="平面上の図表 (存在しないページ)">平面上の図表</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Two-dimensional_graph" class="extiw" title="en:Two-dimensional graph">英語版</a>）</span></span>で特徴づけられる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="記法"><span id=".E8.A8.98.E6.B3.95"></span>記法</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=5" title="節を編集: 記法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>函数を書き表すために標準的な方法がいくつかある。 </p><p>一般的によく知られる記法は、函数名と引数を明示する式を用いて函数を定義する、いわゆる<a href="#函数記法">函数記法</a>である。しかし函数記法には、「函数それ自身」と「函数の値」の区別ができないという問題点がある。 </p><p>函数は<a href="/wiki/%E3%82%A4%E3%82%BF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF%E4%BD%93" title="イタリック体">イタリック体</a>の文字一つで表すか（例えば <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>, <i>g</i>, <i>h</i>, ...</span> ）、<a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E4%BD%93" title="ローマン体">ローマン体</a>の文字を複数用いて表す（例えば <a href="/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0" title="三角関数">三角関数</a>: <span lang="en" class="texhtml">sin</span>, <a href="/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="指数関数">指数関数</a>: <span lang="en" class="texhtml">exp</span>, <a href="/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0" title="対数">対数</a>: <span lang="en" class="texhtml">log</span>, <a href="/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0%E7%A9%8D%E5%88%86" title="対数積分">対数積分</a>: <span lang="en" class="texhtml">Li, li</span>, <a href="/wiki/%E8%B7%A1_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="跡 (線型代数学)">跡</a>: <span lang="en" class="texhtml">tr, Sp</span> など）。後者のローマン体は例えば函数名の省略形で函数を表記する際などに用いられる。イタリック体でなくローマン体を函数に用いることで、通常イタリック体で表記される変数との混同を避けることができる<sup id="cite_ref-20" class="reference"><a href="#cite_note-20"><span class="cite-bracket">[</span>17<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="函数記法"><span id=".E5.87.BD.E6.95.B0.E8.A8.98.E6.B3.95"></span>函数記法</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=6" title="節を編集: 函数記法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>函数記法で <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2311a6a75c54b0ea085a381ba472c31d59321514" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.672ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=f(x)}"></span>（「<span lang="en" class="texhtml"><i>f</i></span> の <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i></span> における値が <span lang="en" class="texhtml"><i>y</i></span> である」）と書けば、これは順序対 <span lang="en" class="texhtml">(<i>x</i>, <i>y</i>)</span> が函数を定義する順序対の集合に属することを意味する（より具体的に函数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の定義域を <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> とすれば、函数を定義する順序対の集合とは、<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E5%86%85%E5%8C%85%E7%9A%84%E8%A8%98%E6%B3%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="集合の内包的記法 (存在しないページ)">集合の内包的記法</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/set-builder_notation" class="extiw" title="en:set-builder notation">英語版</a>）</span></span>で <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{(x,f(x));\ x\in X\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> <mtext> </mtext> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{(x,f(x));\ x\in X\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918b45c91d84d44478a387d57eabb059f17b0dd3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.68ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{(x,f(x));\ x\in X\}}"></span>と書ける）。 </p><p>しばしば函数の定義は、函数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> が明示された引数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> に対して何をするのかという形で行われる。例えば <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> を任意の実数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> に対して成り立つ等式 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x):=\sin(x^{2}+1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x):=\sin(x^{2}+1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1b308a4b6509a0de1b0a8e31f40070a46fd518d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.215ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x):=\sin(x^{2}+1)}"></span> によって定義するものとすれば、これは <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> を<a href="/wiki/%E8%87%AA%E4%B9%97" title="自乗">自乗</a>して 1 を加えその正弦をとるというより単純な複数の手続きの<a href="/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90" class="mw-redirect" title="函数の合成">合成</a>として考えることができる。 </p><p>誤解のおそれのない場合、例えば複数文字の函数記号を用いる函数について、引数を明示する丸括弧は省略してよい。つまり <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a990a5545cac26c1c6821dca95d898bc80fe3a8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.995ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sin(x)}"></span> と書く代わりに <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b4b55580d6a821a07ad9fe35be88976917b10b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.572ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \sin x}"></span> と書いてもよい。 </p><p>函数記法を用いたのは<a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC" title="レオンハルト・オイラー">レオンハルト・オイラー</a>が最初（1734年）とされる<sup id="cite_ref-21" class="reference"><a href="#cite_note-21"><span class="cite-bracket">[</span>18<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="矢印記法"><span id=".E7.9F.A2.E5.8D.B0.E8.A8.98.E6.B3.95"></span>矢印記法</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=7" title="節を編集: 矢印記法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>函数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の定義域 <span lang="en" class="texhtml"><i>X</i></span> と終域 <span lang="en" class="texhtml"><i>Y</i></span> を明示する目的では、矢印記法 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y}"></span> や <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X{\stackrel {f}{{}\to {}}}Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-REL"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </mover> </mrow> </mrow> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X{\stackrel {f}{{}\to {}}}Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b2e76cc053dbd07ac771416f40c7f85c045549" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.367ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle X{\stackrel {f}{{}\to {}}}Y}"></span>（「<span lang="en" class="texhtml"><i>f</i></span> は <span lang="en" class="texhtml"><i>X</i></span> から <span lang="en" class="texhtml"><i>Y</i></span> への函数」「<span lang="en" class="texhtml"><i>f</i></span> は <span lang="en" class="texhtml"><i>X</i></span> の元を <span lang="en" class="texhtml"><i>Y</i></span> の元に写す」）が用いられる。これに重ねて、元の間の関係を示すため「<span lang="en" class="texhtml"><i>f</i></span> が <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i></span> を <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i> (<i>x</i>)</span> に写す」ことを意味する <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> ↦ <i>f</i> (<i>x</i>)</span> をしばしば書き加える。 </p><p>例えば、積の定義された集合 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> 上で各元を平方する函数 <span lang="en" class="texhtml">sqr</span> を紛れなく定義するには <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon X&\to X\\x&\mapsto x\cdot x,\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>sqr</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>X</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon X&\to X\\x&\mapsto x\cdot x,\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12fb95b9ea694b9b1ca40283792fe94b749969cc" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.42ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon X&\to X\\x&\mapsto x\cdot x,\end{aligned}}}"></span> のように書けばよい。元の対応は <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> ↦ <i>x</i><sup>2</sup></span> と書いても良い。 </p><p>しばしば函数記号や定義域および終域については省略される。そのような記法は、函数の任意の引数における値だけが等式で与えられている状況がよくあるので、その際に特別な函数記号を用意しなくてよいため有用である。例えば、二変数の函数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> <mo>;</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74aa51a3f14c082713cf147dda855df0f735f459" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.097ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)}"></span> が与えられていて、第二引数を値 <span lang="en" class="texhtml"><i>t</i><sub>0</sub></span> に固定して得られる<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E9%83%A8%E5%88%86%E9%81%A9%E7%94%A8&action=edit&redlink=1" class="new" title="部分適用 (存在しないページ)">偏函数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_application" class="extiw" title="en:Partial application">英語版</a>）</span></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\to Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290b16963d52e4a7995aae01ee854b97a6ea10c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.367ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X\to Y}"></span> に言及したいとき、この函数に新たに名前を付けなくても、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7063c8d624a28d6798322fb19c71a580adfcbd68" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.289ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}"></span> という元の対応を表す矢印記法を用いれば扱うことができる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="添字記法"><span id=".E6.B7.BB.E5.AD.97.E8.A8.98.E6.B3.95"></span>添字記法</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=8" title="節を編集: 添字記法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>添字記法も函数記法と並んでよく用いられる記法で、函数記法の <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i> (<i>x</i>)</span> は添字記法では <span lang="en" class="texhtml"><i>f<sub>x</sub></i></span>のように書かれる。 </p> <ul><li>定義域が<a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0" title="自然数">自然数</a>の場合（つまり、<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%88%97" title="数列">数列</a>の場合）には添字記法を使うのが典型的で、各値 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f<sub>n</sub></span> は数列の <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> 番目の項と呼ばれる。</li> <li>複数の引数を持つ函数において、それら引数が「真の変数」と<a href="/wiki/%E5%AA%92%E4%BB%8B%E5%A4%89%E6%95%B0" title="媒介変数">媒介変数</a>（パラメータ）に分けられるとき、真の変数ではないことを区別するために助変数を添字にすることがしばしば行われる（実際にはパラメータというものは、一つの問題を考察している間は何らかの値に固定されているものと見なされるような変数を言うのである）。例えば、先の例でもみた二変数函数の偏函数 <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> ↦ <i>f</i>(<i>x</i>, <i>t</i>)</span> を添字記法で <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874c306411e808e8191e8aeb95e3440e1c68d6e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.965ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{t}}"></span> と書けば、定義式 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{t}(x):=f(x,t)\ (x,t\in X)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{t}(x):=f(x,t)\ (x,t\in X)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6c3d95d8cc392782eb1fe26e74974d909f98d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.554ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{t}(x):=f(x,t)\ (x,t\in X)}"></span> によって一変数函数の族 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{f_{t}\colon X\to X;\ t\in X\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>X</mi> <mo>;</mo> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{f_{t}\colon X\to X;\ t\in X\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ac93eefff2da2ee93877ffc7c29cf138729e84" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.173ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{f_{t}\colon X\to X;\ t\in X\}}"></span>が定義される。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="点記法"><span id=".E7.82.B9.E8.A8.98.E6.B3.95"></span>点記法</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=9" title="節を編集: 点記法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>矢印記法 <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> ↦ <i>f</i>(<i>x</i>)</span> において、記号 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> は特定の値を表さず、単なる<a href="/w/index.php?title=%E3%83%97%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%83%9B%E3%83%AB%E3%83%80&action=edit&redlink=1" class="new" title="プレースホルダ (存在しないページ)">プレースホルダ</a>として、左辺の <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> を任意の値に置き換えた際に右辺の <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> も同じ値で置き換える必要があることを示すために、用いられている。したがって、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> の代わりにどんな記号を使ってもよく、数式中の特定の値を表す文字との混同を避けるため、<a href="/wiki/%E4%B8%AD%E9%BB%92" title="中黒">中黒</a> "<span lang="en" class="texhtml">⋅</span>" がよく用いられる。中黒を使用することで、例えば函数自身 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i> (⋅)</span> と任意の点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> における函数の値 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i> (<i>x</i>)</span> とを区別することができる。 </p><p>その他の例として、<span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> ↦ <i>ax</i><sup>2</sup></span> を表すのに <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a(\cdot )^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(\cdot )^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8095cc4a24833a2d13ab6afe89cf29873c13b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.74ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a(\cdot )^{2}}"></span> と書く場合や、上の限界が変数である定積分 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22cf8f66117c671b38d7f98bd64d4ba2b7925a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.318ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}"></span> を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{a}^{(\cdot )}f(u)\,du}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{(\cdot )}f(u)\,du}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd369dda5da8295f2848291f9ccc175f25a48ad8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.17ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{(\cdot )}f(u)\,du}"></span> と書く場合などが挙げられる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="特殊化された記法"><span id=".E7.89.B9.E6.AE.8A.E5.8C.96.E3.81.95.E3.82.8C.E3.81.9F.E8.A8.98.E6.B3.95"></span>特殊化された記法</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=10" title="節を編集: 特殊化された記法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>数学の特定の分野では、その他の特別な記法が使われたりもする。例えば<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="線型代数学">線型代数学</a>や<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" title="関数解析学">関数解析学</a>では<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型写像</a>を<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" class="mw-disambig" title="ベクトル">ベクトル</a><sup class="noprint Inline-Template nowrap">[<i><a href="/wiki/Wikipedia:%E6%9B%96%E6%98%A7%E3%81%95%E5%9B%9E%E9%81%BF#曖昧さ回避ページへのリンクは極力避ける" title="Wikipedia:曖昧さ回避"><span title="このリンクには曖昧さ回避が必要です。（2021年7月）">要曖昧さ回避</span></a></i>]</sup>に作用させるときに、それらの間に成り立つ双対性を明らかにするために<a href="/wiki/%E5%86%85%E7%A9%8D" title="内積">内積</a>の記法が用いられる（<a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="量子力学">量子力学</a>でも同様の<a href="/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95" title="ブラ-ケット記法">ブラ-ケット記法</a>が用いられる）。<a href="/wiki/%E6%95%B0%E7%90%86%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6" title="数理論理学">数理論理学</a>や<a href="/wiki/%E8%A8%88%E7%AE%97%E7%90%86%E8%AB%96" title="計算理論">計算理論</a>では<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%83%80%E8%A8%88%E7%AE%97" title="ラムダ計算">ラムダ計算</a>の記法が、函数の<a href="/wiki/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E5%8C%96_(%E8%A8%88%E7%AE%97%E6%A9%9F%E7%A7%91%E5%AD%A6)" title="抽象化 (計算機科学)">抽象化</a>や<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%87%BD%E6%95%B0%E9%81%A9%E7%94%A8&action=edit&redlink=1" class="new" title="函数適用 (存在しないページ)">適用</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Function_application" class="extiw" title="en:Function application">英語版</a>）</span></span>などの基本概念を明示的に表すために用いられる。<a href="/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96" title="圏論">圏論</a>や<a href="/wiki/%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="ホモロジー代数学">ホモロジー代数学</a>では、上で見た函数の矢印記法を延長あるいは一般化するように、函数からなる図式およびそれらの合成が<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E5%9B%B3%E5%BC%8F" title="可換図式">可換図式</a>を満たすという意味でどのような可換性を持つかという形で記述される。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関数を特定するには"><span id=".E9.96.A2.E6.95.B0.E3.82.92.E7.89.B9.E5.AE.9A.E3.81.99.E3.82.8B.E3.81.AB.E3.81.AF"></span>関数を特定するには</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=11" title="節を編集: 関数を特定するには"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>函数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> が与えられたとき、定義により、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の定義域の各点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> に対して <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> における値 <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>x</i>)</span> がただ一つ割り当てられる。<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> を <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>x</i>)</span> に（陰に陽に）関係付ける方法を特定あるいは記述するやり方は様々である。場合によっては、（函数が具体的にどのような姿かたちをしているかについては一切言及せずに）適当な性質を持つ函数の存在を定理や<a href="/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86" title="公理">公理</a>によって保証することもあるが、大抵は函数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の定義の一部としてその特定法や記述法は言及される。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="値を書き並べる"><span id=".E5.80.A4.E3.82.92.E6.9B.B8.E3.81.8D.E4.B8.A6.E3.81.B9.E3.82.8B"></span>値を書き並べる</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=12" title="節を編集: 値を書き並べる"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>有限集合上で定義された函数の場合には、定義域の各点に割り当てられる終域の元を全て書き並べることで函数を定義することができる。例えば <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A:=\{1,2,3\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A:=\{1,2,3\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d17b84f69f7993447730d036fb7217ad0a18a8f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.369ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A:=\{1,2,3\}}"></span> のとき函数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b96eb73b42abe3f9b5fc1b9a94dece18f9abf5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.251ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }"></span> を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8518031f267124ccb018619fb764e612948369ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.602ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4}"></span> として与えることができる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="式を与える"><span id=".E5.BC.8F.E3.82.92.E4.B8.8E.E3.81.88.E3.82.8B"></span>式を与える</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=13" title="節を編集: 式を与える"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93" title="算術">算術</a>やその他既知の函数を組み合わせた式（ただし手続き的な操作や無限個の組み合わせではない<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E9%96%89%E3%81%98%E3%81%9F%E5%BD%A2%E3%81%AE%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="閉じた形の式 (存在しないページ)">閉じた形の式</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/closed-form_expression" class="extiw" title="en:closed-form expression">英語版</a>）</span></span>）によって函数が与えられることも多い。そのような式からは、定義域の任意の元の値から函数の値を計算することができる。例えば、一つ前の例の <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle f(n):=n+1\ (n\in \{1,2,3\})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle f(n):=n+1\ (n\in \{1,2,3\})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef3e07c3a3f6ca44f4c27ed7b9849d6f54fbb7c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.131ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle f(n):=n+1\ (n\in \{1,2,3\})}"></span> とも定義できる。 </p><p>この方法で函数を定義したとき、その函数がどのような集合上で定義されているかの決定が難しい場合がときどき生じる。例えば定義式が割り算を含む場合には、分母が零になるような変数の値は定義域から除かなければならない。同様に、実函数の定義に<a href="/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9" title="平方根">平方根</a>が含まれる場合には、平方根の引数が非負となるような変数の値の集合に定義域が収まるようにしなければならない。 </p><p><br /> </p> <table class="wikitable" style="text-align:center; float: right; margin:1ex 0 1ex 1em; width: 30%;"> <tbody><tr> <th colspan="5">関数</th> <th>形式 </th></tr> <tr> <th rowspan="15" style="width: 1em;"><a href="/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E9%96%A2%E6%95%B0" title="初等関数">初等関数</a> </th> <th rowspan="9" style="width: 1em;"><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="代数関数">代数関数</a> </th></tr> <tr> <th rowspan="7" style="width: 1em;"><a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E9%96%A2%E6%95%B0" title="有理関数">有理関数</a> </th></tr> <tr> <th rowspan="5" style="width: 1em;"><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E9%96%A2%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="多項式関数">多項式関数</a> </th></tr> <tr> <td><span class="nowrap"><a href="/wiki/%E5%AE%9A%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="定数関数">定数関数</a></span> </td> <td><span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a</i></span> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%E4%B8%80%E6%AC%A1%E9%96%A2%E6%95%B0" title="一次関数">一次関数</a> </td> <td><span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i> + <i>b</i></span> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E9%96%A2%E6%95%B0" title="二次関数">二次関数</a> </td> <td><span lang="en" class="texhtml"><i>ax</i><sup>2</sup> + <i>bx</i> + <i>c</i></span> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E9%96%A2%E6%95%B0" title="三次関数">三次関数</a> </td> <td><span lang="en" class="texhtml"><i>ax</i><sup>3</sup> + <i>bx</i><sup>2</sup> + <i>cx</i> + <i>d</i></span> </td></tr> <tr> <td colspan="2"><a href="/w/index.php?title=%E5%88%86%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="分数関数 (存在しないページ)">分数関数</a> </td> <td><span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>x</i>) = <i><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r89142261">.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}</style><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">a</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">x</span></span></i></span> </td></tr> <tr> <td colspan="3"><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E7%90%86%E9%96%A2%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="無理関数 (存在しないページ)">無理関数</a> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62b24be305beff66cba9bfbcc01a362ba390f44" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.266ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {x}}}"></span> </td></tr> <tr> <th rowspan="6" style="width: 1em;">初等<a href="/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E9%96%A2%E6%95%B0" title="超越関数">超越関数</a> </th></tr> <tr> <td colspan="3"><a href="/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="指数関数">指数関数</a> </td> <td><i>a<sup>x</sup></i>, <i>e<sup>x</sup></i>, 2<sup><i>x</i></sup> </td></tr> <tr> <td colspan="3"><a href="/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="対数関数">対数関数</a> </td> <td>log(<i>x</i>), ln(<i>x</i>), log<sub><i>a</i></sub>(<i>x</i>) </td></tr> <tr> <td colspan="3"><a href="/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0" title="三角関数">三角関数</a> </td> <td>sin(<i>x</i>), cos(<i>x</i>), tan(<i>x</i>) </td></tr> <tr> <td colspan="3"><a href="/wiki/%E9%80%86%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0" title="逆三角関数">逆三角関数</a> </td> <td>sin<sup>−1</sup>(<i>x</i>), cos<sup>−1</sup>(<i>x</i>), tan<sup>−1</sup>(<i>x</i>) </td></tr> <tr> <td colspan="3"><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0" title="双曲線関数">双曲線関数</a> </td> <td>sinh(<i>x</i>), cosh(<i>x</i>), tanh(<i>x</i>) </td></tr> <tr> <th colspan="2" rowspan="7" style="width: 1em;"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E9%96%A2%E6%95%B0" title="特殊関数">特殊関数</a> </th></tr> <tr> <td colspan="3"><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0" title="ガンマ関数">ガンマ関数</a> </td> <td>Γ(<i>x</i>) </td></tr> <tr> <td colspan="3"><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0" title="ベータ関数">ベータ関数</a> </td> <td>Β(<i>x</i>, <i>y</i>) </td></tr> <tr> <td colspan="3"><a href="/wiki/%E8%AA%A4%E5%B7%AE%E9%96%A2%E6%95%B0" title="誤差関数">誤差関数</a> </td> <td>erf(<i>x</i>) </td></tr> <tr> <td colspan="3"><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0" title="テータ関数">テータ関数</a> </td> <td> </td></tr> <tr> <td colspan="3"><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="リーマンゼータ函数">ゼータ関数</a> </td> <td>ζ(<i>x</i>) </td></tr> <tr> <td colspan="3"><a href="/wiki/%E3%83%9E%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E5%87%BD%E6%95%B0" title="マシュー函数">マチウ関数</a> </td></tr> <tr> <td colspan="6">* 代表的な関数とその具体例の一覧表を掲げる<sup id="cite_ref-a_14-1" class="reference"><a href="#cite_note-a-14"><span class="cite-bracket">[</span>13<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-22" class="reference"><a href="#cite_note-22"><span class="cite-bracket">[</span>19<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。全てのものを網羅しているわけではないことに注意されたい。<div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→「<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E4%B8%80%E8%A6%A7" title="関数一覧">関数一覧</a>」も参照</div> </td></tr></tbody></table> <p>式によって函数を定義する場合、それらの式が持つ性質・特性によって函数を分類することもしばしば行われる </p> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E9%96%A2%E6%95%B0" title="二次関数">二次関数</a>は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fca4dfe28e7b4a4a336578daaab18c87397073" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.145ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}"></span> の形（ただし <span lang="en" class="texhtml"><i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i></span> は <a href="/wiki/%E5%AE%9A%E6%95%B0" title="定数">定数</a>）と書ける函数を言う。</li> <li>より一般に、<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E5%87%BD%E6%95%B0" title="多項式函数">多項式函数</a>は加法・減法・乗法と非負整数<a href="/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97" title="冪乗">冪乗</a>のみを含む式で定義することができる函数である。例えば <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f7a70ffe2450e80f1d0a91cb1279ecf82ffe0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.235ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1}"></span> や <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/329ca932140f4c467b17cf1426e063090257e515" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.244ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1}"></span> など。</li> <li><a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E9%96%A2%E6%95%B0" title="有理関数">有理関数</a>は多項式函数と同じ条件からさらに除法を許すようなものである。例えば <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a76efb299af98911321a6abe49716df93102cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:11.393ex; height:3.843ex;" alt="{\textstyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}}}"></span> や <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mi>x</mi> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc18fb3869cd328720a7a9249f4490c0fde11d4e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:22.727ex; height:3.676ex;" alt="{\textstyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}}"></span> など。</li> <li><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="代数関数">代数関数</a>はさらに<a href="/wiki/%E5%86%AA%E6%A0%B9" title="冪根">冪根</a>や<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E3%81%AE%E6%A0%B9" title="多項式の根">多項式の根</a>をとる操作が許される。</li> <li>上記をすべて含む<a href="/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E9%96%A2%E6%95%B0" title="初等関数">初等関数</a><sup id="cite_ref-23" class="reference"><a href="#cite_note-23"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>には、さらに<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0" title="対数">対数</a>や<a href="/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="指数関数">指数関数</a>などが含まれる。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="逆函数や陰伏函数として定める"><span id=".E9.80.86.E5.87.BD.E6.95.B0.E3.82.84.E9.99.B0.E4.BC.8F.E5.87.BD.E6.95.B0.E3.81.A8.E3.81.97.E3.81.A6.E5.AE.9A.E3.82.81.E3.82.8B"></span>逆函数や陰伏函数として定める</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=14" title="節を編集: 逆函数や陰伏函数として定める"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>函数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y}"></span> が<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%8D%98%E5%B0%84" title="全単射">全単射</a>とは、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> の各元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> に対し、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> の元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> がちょうど一つ（少なくとも一つ、かつ、高々一つ）存在して <span lang="en" class="texhtml"><i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>)</span> と書けることであった。この場合、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の逆函数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle f^{-1}\colon Y\to X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>:</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle f^{-1}\colon Y\to X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe5705dfebad0a3ec2fd5b6ff2dae77a7bda65f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.055ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle f^{-1}\colon Y\to X}"></span> が、任意の <span lang="en" class="texhtml"><i>y</i> ∈ <i>Y</i></span> を <span lang="en" class="texhtml"><i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>)</span> を満たす <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> ∈ <i>X</i></span> に写す函数として定まる。例えば<a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%AF%BE%E6%95%B0" title="自然対数">自然対数</a>函数は正の実数全体の成す集合から実数全体の成す集合への全単射であるから、逆を持ち、それは指数函数と呼ばれる実数全体から正の実数全体への函数である。 </p><p>函数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y}"></span> が全単射でなくとも、適当な部分集合 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E\subseteq X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>⊆</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E\subseteq X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4359fae89639fe08a113bd9154bff6b52047c7c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.854ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle E\subseteq X}"></span> および <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\subseteq Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo>⊆</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\subseteq Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26bfc0333372b856bcce14daf66a1086ca46270" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.613ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle F\subseteq Y}"></span> を選んで、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">E</span> への<a href="/wiki/%E5%88%B6%E9%99%90_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="制限 (数学)">制限</a>が <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">E</span> から <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">F</span> への全単射となり、その意味での逆函数を持つということは起こり得る。<a href="/wiki/%E9%80%86%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0" title="逆三角関数">逆三角関数</a>はこのような仕方で定義される。 </p><p>より一般に、ふたつの集合 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X, Y</span> の間の<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E9%96%A2%E4%BF%82" title="二項関係">二項関係</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">R</span> が与えられ、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> の部分集合 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">E</span> は各元 <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> ∈ <i>E</i></span> に対して適当な <span lang="en" class="texhtml"><i>y</i> ∈ <i>Y</i></span> が存在して <span lang="en" class="texhtml"><i>x R y</i></span> とできるものとする。どの <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> ∈ <i>E</i></span> に対してそのような <span lang="en" class="texhtml"><i>y</i> ∈ <i>Y</i></span> をひとつ選び出す判定法がわかっているものとすれば、函数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon E\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon E\to Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338e3061555a34e64ff41138520b2367e38014c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.476ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon E\to Y}"></span> を定義することができ、関係 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">R</span> から陰伏的に定まるとの意味で<a href="/wiki/%E9%99%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="陰関数">陰関数</a>と呼ぶ。<sup id="cite_ref-24" class="reference"><a href="#cite_note-24"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p><a href="/wiki/%E9%99%B0%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86" title="陰函数定理">陰函数定理</a>は点の近傍における陰函数の存在と一意性を保証する緩やかな可微分性条件を提供するものである。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="微積分学的な条件によって指定する"><span id=".E5.BE.AE.E7.A9.8D.E5.88.86.E5.AD.A6.E7.9A.84.E3.81.AA.E6.9D.A1.E4.BB.B6.E3.81.AB.E3.82.88.E3.81.A3.E3.81.A6.E6.8C.87.E5.AE.9A.E3.81.99.E3.82.8B"></span>微積分学的な条件によって指定する</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=15" title="節を編集: 微積分学的な条件によって指定する"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>適当な函数の原始函数として沢山の函数が定義できる。例えば<a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%AF%BE%E6%95%B0" title="自然対数">自然対数</a>函数は逆数函数 <span lang="en" class="texhtml">1/<i>x</i></span> の原始函数で <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> = 1</span> における値が <span lang="en" class="texhtml">0</span> となるものとして定義される。<a href="/wiki/%E8%AA%A4%E5%B7%AE%E9%96%A2%E6%95%B0" title="誤差関数">誤差関数</a> <span lang="en" class="texhtml">erf</span> もこのような方法で定義される函数の例である。 </p><p>より一般に、ほとんどの<a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E9%96%A2%E6%95%B0" title="特殊関数">特殊関数</a>を含めた多くの函数は<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="微分方程式">微分方程式</a>の解として定義される。最も単純な例として、指数函数はその微分が自分自身に等しいような函数の中で <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> = 0</span> における値が <span lang="en" class="texhtml">1</span> となる唯一の函数として定義することができる。 </p><p><a href="/wiki/%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="冪級数">冪級数</a>はその収束域を定義域として函数を定義することに利用できる。例えば指数函数は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{x}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <munderover> <mo movablelimits="false">∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{x}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de185f4ac033c18eebae3a4dd54f2cd6e8e8770" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:12.213ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle e^{x}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}}}"></span> と定義できる。しかし、冪級数の係数列は極めて任意に決めることができるから、「収束冪級数の和として書ける函数」は大抵既にどこか別の場所で定義されていたり、係数列もその別な定義に基づく何らかの計算できまるなどしているものである。冪級数はそのような函数の定義域を拡大することに利用できる。典型的には、実変数の函数が適当な区間上で<a href="/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B" title="テイラー展開">テイラー展開</a>の和と等しいとき、その級数を用いて直ちに適当な複素領域（つまり、級数の収束円板）上の複素変数函数に定義域を拡大することができる。これはさらに<a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%8E%A5%E7%B6%9A" title="解析接続">解析接続</a>を用いて<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%B9%B3%E9%9D%A2" title="複素平面">複素平面</a>上のさらに大きな領域へ拡大できる。この方法は、複素変数の指数函数・対数函数及び三角函数の定義に一般的に用いられる方法である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="漸化式を与える"><span id=".E6.BC.B8.E5.8C.96.E5.BC.8F.E3.82.92.E4.B8.8E.E3.81.88.E3.82.8B"></span>漸化式を与える</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=16" title="節を編集: 漸化式を与える"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E6%BC%B8%E5%8C%96%E5%BC%8F" title="漸化式">漸化式</a>」を参照</div> <p>定義域が非負整数であるような函数（つまり<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%88%97" title="数列">数列</a>）はしばしば漸化式によって定義される。 </p><p>基本的な例として、非負整数にその<a href="/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97" title="階乗">階乗</a>を対応させる函数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\mapsto n!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\mapsto n!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43615cae2b2eb2b4402bcd0b2bd7642eb855e5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.05ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\mapsto n!}"></span> は漸化式 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle n!=n(n-1)!\quad (n>0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle n!=n(n-1)!\quad (n>0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39fa496a57d2a1b61792385c48b7033ecc4aab0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.176ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle n!=n(n-1)!\quad (n>0)}"></span> と初期条件 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0!=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0!=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22956a0fa255c6c9562eab440f8c23c2954a6cf4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.07ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0!=1}"></span> によって決まる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="表示法"><span id=".E8.A1.A8.E7.A4.BA.E6.B3.95"></span>表示法</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=17" title="節を編集: 表示法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95_(%E9%96%A2%E6%95%B0)" title="グラフ (関数)">グラフ</a>は函数の直観的描像を与えるために広く用いられる。グラフからは、例えば函数がどのように増減するかといった函数の性質を読み取ることができて、函数の理解に役立つ。函数によっては、その表現に<a href="/wiki/%E6%A3%92%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95" title="棒グラフ">棒グラフ</a>なども利用できる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="グラフ"><span id=".E3.82.B0.E3.83.A9.E3.83.95"></span>グラフ</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=18" title="節を編集: グラフ"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0%E3%81%AE%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95" class="mw-redirect" title="函数のグラフ">函数のグラフ</a>」を参照</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Motor_vehicle_deaths_in_the_US.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Motor_vehicle_deaths_in_the_US.svg/220px-Motor_vehicle_deaths_in_the_US.svg.png" decoding="async" width="220" height="149" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Motor_vehicle_deaths_in_the_US.svg/330px-Motor_vehicle_deaths_in_the_US.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Motor_vehicle_deaths_in_the_US.svg/440px-Motor_vehicle_deaths_in_the_US.svg.png 2x" data-file-width="692" data-file-height="469" /></a><figcaption>各年のアメリカにおける交通事故死者数を<a href="/wiki/%E6%8A%98%E3%82%8C%E7%B7%9A%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95" title="折れ線グラフ">折れ線グラフ</a>で示した函数</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Motor_vehicle_deaths_in_the_US_histogram.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Motor_vehicle_deaths_in_the_US_histogram.svg/220px-Motor_vehicle_deaths_in_the_US_histogram.svg.png" decoding="async" width="220" height="126" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Motor_vehicle_deaths_in_the_US_histogram.svg/330px-Motor_vehicle_deaths_in_the_US_histogram.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/Motor_vehicle_deaths_in_the_US_histogram.svg/440px-Motor_vehicle_deaths_in_the_US_histogram.svg.png 2x" data-file-width="700" data-file-height="400" /></a><figcaption>同上（棒グラフ版）</figcaption></figure> <p>与えられた函数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y}"></span> のグラフとは、形式的な集合 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle G:=\{(x,f(x)):x\in X\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>:=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle G:=\{(x,f(x)):x\in X\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225f22f2746b9cd5459bd356bea8668dc403787d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.575ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle G:=\{(x,f(x)):x\in X\}}"></span> のことである。 </p><p>よくある場合として <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">X</span> および <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Y</span> が<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>全体（あるいはその特定の部分集合、例えば<a href="/wiki/%E5%8C%BA%E9%96%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="区間 (数学)">区間</a>など）の部分集合となっているとき、実数の組 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)\in G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)\in G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124f43d066e62e8deeb05b6a0c75922786573fad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.996ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)\in G}"></span> を二次元の座標系（例えば<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%87%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%88%E5%B9%B3%E9%9D%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="デカルト平面 (存在しないページ)">デカルト平面</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_plane" class="extiw" title="en:Cartesian plane">英語版</a>）</span></span>において座標 <span lang="en" class="texhtml">(<i>x</i>, <i>y</i>)</span> を持つ点と同一視することができる。このような函数（の一部分）の表示法の一環として、<a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%88%E5%9B%B3" title="プロット図">プロット図</a>を書くことができる（こういったプロット図もまた「函数のグラフ」として至る所で良く用いられる）。また違った座標系を使って函数の図示をすることもできる。例えば平方函数 <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> ↦ <i>x</i><sup>2</sup></span> のグラフは座標 <span lang="en" class="texhtml">(<i>x</i>, <i>x</i><sup>2</sup>) (<i>x</i> ∈ <b>ℝ</b>)</span> を持つ点の全体で、直交座標系に表せばよく知られたように<a href="/wiki/%E6%94%BE%E7%89%A9%E7%B7%9A" title="放物線">放物線</a>になる。これをもし<a href="/wiki/%E6%A5%B5%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" title="極座標系">極座標系</a>を用いて、極座標 <span lang="en" class="texhtml">(<i>r</i>, <i>θ</i>) = (<i>x</i>. <i>x</i><sup>2</sup>)</span> を持つ点をプロットしたならば、この場合のグラフは<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E8%9E%BA%E6%97%8B&action=edit&redlink=1" class="new" title="フェルマー螺旋 (存在しないページ)">フェルマー螺旋</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_spiral" class="extiw" title="en:Fermat's spiral">英語版</a>）</span></span>になる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="値の表"><span id=".E5.80.A4.E3.81.AE.E8.A1.A8"></span>値の表</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=19" title="節を編集: 値の表"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E6%95%B0%E8%A1%A8" title="数表">数表</a>」を参照</div> <p>引数のとる値と函数のとる値を表の形に書きならべることに依って函数を表現することもできる。定義域が有限ならば、このやり方で函数を完全に特定することができる。例えば、掛け算をする函数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} ;\;f(x,y):=xy}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>;</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} ;\;f(x,y):=xy}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac3968682e15a0b42b24c97199b72da88119db9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.004ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f\colon \{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} ;\;f(x,y):=xy}"></span> は馴染みの<a href="/wiki/%E7%A9%8D%E8%A1%A8" title="積表">積表</a> </p> <table class="wikitable" style="text-align: center; margin: 1ex auto;"> <tbody><tr> <th><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>＼<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> </th> <th>1</th> <th>2</th> <th>3</th> <th>4</th> <th>5 </th></tr> <tr> <th>1 </th> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5 </td></tr> <tr> <th>2 </th> <td>2</td> <td>4</td> <td>6</td> <td>8</td> <td>10 </td></tr> <tr> <th>3 </th> <td>3</td> <td>6</td> <td>9</td> <td>12</td> <td>15 </td></tr> <tr> <th>4 </th> <td>4</td> <td>8</td> <td>12</td> <td>16</td> <td>20 </td></tr> <tr> <th>5 </th> <td>5</td> <td>10</td> <td>15</td> <td>20</td> <td>25 </td></tr></tbody></table> <p>によって表すことができる。 </p><p>しかし、定義域が連続的な場合には、定義域の特定の値に対する函数の値しか表には表示することができない。中間の値が必要となったときには、補間を使って函数の値を評価することは可能である。例えば正弦函数の小数第6位までで丸めた値を並べた数表の一部を以下のように与えることができる: </p> <table class="wikitable" style="text-align: center; margin: 1ex auto;"> <tbody><tr> <th><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span></th> <th><span lang="en" class="texhtml">sin <i>x</i></span> </th></tr> <tr> <td>1.289</td> <td>0.960557 </td></tr> <tr> <td>1.290</td> <td>0.960835 </td></tr> <tr> <td>1.291</td> <td>0.961112 </td></tr> <tr> <td>1.292</td> <td>0.961387 </td></tr> <tr> <td>1.293</td> <td>0.961662 </td></tr></tbody></table> <p>計算機や電卓の登場以前には、対数や三角函数などの函数に対するこのような数表がしばしば編纂され出版されていた。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="棒グラフ"><span id=".E6.A3.92.E3.82.B0.E3.83.A9.E3.83.95"></span>棒グラフ</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=20" title="節を編集: 棒グラフ"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E6%A3%92%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95" title="棒グラフ">棒グラフ</a>」を参照</div> <p>有限集合、あるいは<a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0" title="自然数">自然数</a>または<a href="/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0" title="整数">整数</a>全体で定義された函数を表示するのに、棒グラフもまたよく用いられる。この場合、各元 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span>-軸上の区間を表しており、函数の値は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> の表す区間を底辺とする高さ <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>x</i>)</span> の<a href="/wiki/%E9%95%B7%E6%96%B9%E5%BD%A2" title="長方形">長方形</a>として表現できる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="解析学"><span id=".E8.A7.A3.E6.9E.90.E5.AD.A6"></span>解析学</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=21" title="節を編集: 解析学"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>17世紀にはじまった函数の概念は、新しい<a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E9%99%90%E5%B0%8F%E8%A7%A3%E6%9E%90&action=edit&redlink=1" class="new" title="無限小解析 (存在しないページ)">無限小解析</a>の基礎付けとなった（<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%A6%82%E5%BF%B5%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="函数概念の歴史 (存在しないページ)">函数概念の歴史</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_function_concept" class="extiw" title="en:History of the function concept">英語版</a>）</span></span>を参照）。当時は、<a href="/w/index.php?title=%E5%AE%9F%E5%A4%89%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="実変数函数 (存在しないページ)">実変数</a>の<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E5%80%A4%E9%96%A2%E6%95%B0" title="実数値関数">実数値関数</a>しか考えられておらず、どの函数も<a href="/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E9%96%A2%E6%95%B0" title="滑らかな関数">滑らかな関数</a>であることが仮定されていたが、直に<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E5%A4%89%E6%95%B0%E8%A4%87%E7%B4%A0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="多変数複素関数">多変数複素関数</a>に定義が拡張されていった。19世紀後半には数学的に厳密な函数の定義が導入され、任意の定義域および終域を持つ函数も扱われ始めた。 </p><p>いまや函数は数学のあらゆる分野において用いられる。初歩の<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6" title="微分積分学">基礎解析学</a>では単に「函数」といえば一変数の実数値函数の意味である。より一般の定義が導入され厳密な設定のもとで函数を扱うようになるのは<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="実解析">実解析</a>や<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="複素解析">複素解析</a>においてであろう。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="実函数"><span id=".E5.AE.9F.E5.87.BD.E6.95.B0"></span>実函数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=22" title="節を編集: 実函数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→「<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="実解析">実解析</a>」も参照</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Gerade.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/Gerade.svg/220px-Gerade.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/Gerade.svg/330px-Gerade.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/Gerade.svg/440px-Gerade.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a><figcaption>一次函数のグラフ</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Polynomialdeg2.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Polynomialdeg2.svg/220px-Polynomialdeg2.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Polynomialdeg2.svg/330px-Polynomialdeg2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Polynomialdeg2.svg/440px-Polynomialdeg2.svg.png 2x" data-file-width="320" data-file-height="320" /></a><figcaption>多項式函数（ここでは二次函数）のグラフ</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Sine_cosine_one_period.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Sine_cosine_one_period.svg/220px-Sine_cosine_one_period.svg.png" decoding="async" width="220" height="88" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Sine_cosine_one_period.svg/330px-Sine_cosine_one_period.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Sine_cosine_one_period.svg/440px-Sine_cosine_one_period.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="240" /></a><figcaption>二つの三角函数（正弦と余弦）のグラフ</figcaption></figure> <p>実函数とは「実変数」「実数値」の函数、つまり実数全体の成す集合を終域とし実数からなる適当な<a href="/wiki/%E5%8C%BA%E9%96%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="区間 (数学)">区間</a>を含む部分集合を定義域とする函数を言う。以下本節では、そのような函数を単に函数と呼ぶことにする。 </p><p>数学及びその応用分野において最もよく扱われる函数はさらに適当な正則性条件（<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="連続 (数学)">連続</a>や<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%96%A2%E6%95%B0" title="微分可能関数">微分可能関数</a>あるいは<a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E9%96%A2%E6%95%B0" title="解析関数">解析関数</a>など）が課せられる。このような正則性があることによって、函数はそのグラフを用いてよく視覚化することができる。以下、適当な区間上で微分可能であるような函数だけを扱う。 </p><p>函数は<a href="/w/index.php?title=%E7%82%B9%E3%81%94%E3%81%A8%E3%81%AE%E6%BC%94%E7%AE%97&action=edit&redlink=1" class="new" title="点ごとの演算 (存在しないページ)">点ごとの演算</a>が備わっている。つまり、函数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f, g</span> に対して、それらの和・差・積を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&:=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&:=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&:=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>:=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>−</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>:=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>⋅</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>:=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&:=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&:=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&:=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd72a9e363b9f1e6b7b82473b8070f1cc84621a2" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:26.193ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&:=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&:=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&:=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}}"></span> で定義すれば、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f, g</span> の定義域の交わりを定義域とする函数が得られる。同様にこれらの商を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {f}{g}}(x):={\frac {f(x)}{g(x)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>f</mi> <mi>g</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {f}{g}}(x):={\frac {f(x)}{g(x)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce902ea9bb7e7ecb719257c7a02fa3b6079df209" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:14.253ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {f}{g}}(x):={\frac {f(x)}{g(x)}}}"></span> と定義することができるが、この場合定義域は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f, g</span> の定義域の交わりから <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">g</span> の<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%9B%B6%E7%82%B9" title="関数の零点">関数の零点</a>を除いたものになる。 </p><p><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F" title="多項式">多項式</a>からは実数全体で定義された<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E5%87%BD%E6%95%B0" title="多項式函数">多項式函数</a>が定まる。これには<a href="/wiki/%E5%AE%9A%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="定数関数">定数関数</a>・一次函数・二次函数などが含まれる。ふたつの多項式函数の商である有理函数は（<a href="/wiki/%E3%82%BC%E3%83%AD%E9%99%A4%E7%AE%97" title="ゼロ除算">ゼロ除算</a>が起きないように）<a href="/wiki/%E8%A3%9C%E6%9C%89%E9%99%90" title="補有限">補有限</a>の実数を定義域とする。もっとも単純な有理函数 <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> ↦ <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261"><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">1</span><span class="sr-only">/</span><span class="den"><i>x</i></span></span></span> のグラフは<a href="/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="双曲線">双曲線</a>で <span lang="en" class="texhtml">0</span> を除く<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E7%9B%B4%E7%B7%9A" title="実数直線">実数直線</a>全体を定義域に持つ。 </p><p>実可微分函数の導函数もまた実函数である。実連続函数の原始函数はもとの函数が連続となる任意の開区間上で可微分な実函数を与える。例えば逆数函数 <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> ↦ 1/<i>x</i></span> は正の実数全体の成す集合上で連続（さらに微分可能）であるから、その原始函数で <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> = 1</span> において零となるもの（<a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%AF%BE%E6%95%B0" title="自然対数">自然対数</a>函数）は正の実数全体の成す集合上で微分可能である。 </p><p>実函数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> がある区間上で<a href="/wiki/%E5%8D%98%E8%AA%BF%E5%86%99%E5%83%8F" title="単調写像">単調写像</a>となるのは、平均の変化率 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57eb0026f4216150785da4d6f0dd049183ab0647" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:8.239ex; height:4.509ex;" alt="{\textstyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}"></span> の符号が、その区間内の点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x, y</span> の選び方に依らず一定であるときである。その函数がその区間で微分可能ならば、その区間上で微分係数の符号が一定であるときに単調となる。実函数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> が区間 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">I</span> において単調であるならば、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> の逆函数が <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>(<i>I</i>)</span> から <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">I</span> への函数として定まる。このような方法で、逆三角函数は三角函数が単調となる区間上で三角函数の逆函数として与えられる。あるいはまた、自然対数函数は正の実軸上で単調で<a href="/wiki/%E5%80%A4%E5%9F%9F" title="値域">値域</a>は実数直線全体となるから、その逆函数である指数函数は実数全体から正の実数全体への<a href="/wiki/%E5%85%A8%E5%8D%98%E5%B0%84" title="全単射">全単射</a>であることが分かる。 </p><p>他にも多くの実函数が<a href="/wiki/%E9%99%B0%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86" title="陰函数定理">陰函数定理</a>（逆函数は陰函数の特別の場合）から、あるいは<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="微分方程式">微分方程式</a>の解として、定義される。例えば正弦函数 <span lang="en" class="texhtml">sin</span> や余弦函数 <span lang="en" class="texhtml">cos</span> は<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="線型微分方程式">線型微分方程式</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle y''+y=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle y''+y=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e689e1c8517fc8d46394a33dffd7687c2ebc76a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.554ex; height:2.676ex;" alt="{\textstyle y''+y=0}"></span> の解として初期条件 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin 0=0,\cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,{\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin 0=0,\cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,{\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cccb1ccda76e7b6bed197a1843cf1b81bd56b08d" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:51.96ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \sin 0=0,\cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,{\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0}"></span> から定まる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="ベクトル値函数"><span id=".E3.83.99.E3.82.AF.E3.83.88.E3.83.AB.E5.80.A4.E5.87.BD.E6.95.B0"></span>ベクトル値函数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=23" title="節を編集: ベクトル値函数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E5%80%A4%E5%87%BD%E6%95%B0" title="ベクトル値函数">ベクトル値函数</a>」および「<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E5%A0%B4" title="ベクトル場">ベクトル場</a>」を参照</div> <p>終域の元が<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" class="mw-disambig" title="ベクトル">ベクトル</a><sup class="noprint Inline-Template nowrap">[<i><a href="/wiki/Wikipedia:%E6%9B%96%E6%98%A7%E3%81%95%E5%9B%9E%E9%81%BF#曖昧さ回避ページへのリンクは極力避ける" title="Wikipedia:曖昧さ回避"><span title="このリンクには曖昧さ回避が必要です。（2021年7月）">要曖昧さ回避</span></a></i>]</sup>となっているような函数はベクトル値函数と呼ばれる。ベクトル値函数は、（例えば物理的性質をモデル化するような）応用において特に有用で、例えば流束の各点においてその点での<a href="/wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="速度">速度</a>ベクトルを割り当てる函数はベクトル値函数になる。 </p><p><span lang="en" class="texhtml"><b>ℝ</b><sup><i>n</i></sup></span>（あるいは<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="多様体">多様体</a>のように <span lang="en" class="texhtml"><b>ℝ</b><sup><i>n</i></sup></span> と似た幾何学的または位相的性質を持つ空間）上で定義されたベクトル値函数を考えることもできて、そのようなベクトル値函数はベクトル場と呼ばれる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="関数空間"><span id=".E9.96.A2.E6.95.B0.E7.A9.BA.E9.96.93"></span>関数空間</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=24" title="節を編集: 関数空間"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%96%93" title="関数空間">関数空間</a>」および「<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" title="関数解析学">関数解析学</a>」を参照</div> <p><a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" title="解析学">解析学</a>あるいはより具体的に<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" title="関数解析学">関数解析学</a>において、特定の性質を共有する<a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%A0%B4" title="スカラー場">スカラー場</a>またはベクトル値の函数からなり<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93" title="線型位相空間">線型位相空間</a>を成すような集合を<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E7%A9%BA%E9%96%93" title="関数空間">関数空間</a>と呼ぶ。例えば、<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%8F%B0" title="関数の台">関数の台</a>付き（つまり、適当な<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93" title="コンパクト空間">コンパクト空間</a>の外側では常に零となる）滑らかな実函数全体の成す集合は、<a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E8%B6%85%E5%87%BD%E6%95%B0" title="シュワルツ超函数">シュワルツ超函数</a>論の基盤となる函数空間を成す。 </p><p>函数空間ではその代数的および位相的性質を利用して函数の性質を調べることができるようになるから、より進んだ解析学において函数空間は基本的な役割を果たすことになる。例えば、<a href="/wiki/%E5%B8%B8%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="常微分方程式">常微分方程式</a>や<a href="/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="偏微分方程式">偏微分方程式</a>における解の存在や一意性を言うすべての定理は函数空間を調べることで得られた結果である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="多変数関数と多価関数"><span id=".E5.A4.9A.E5.A4.89.E6.95.B0.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.A8.E5.A4.9A.E4.BE.A1.E9.96.A2.E6.95.B0"></span>多変数関数と多価関数</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=25" title="節を編集: 多変数関数と多価関数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>複数の変数によって値が決定される関数を<b>多変数関数</b>という。これは複数の数の集合たちの<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88" title="直積集合">直積集合</a>から数の集合への写像であると解釈される。<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" class="mw-disambig" title="ベクトル">ベクトル</a><sup class="noprint Inline-Template nowrap">[<i><a href="/wiki/Wikipedia:%E6%9B%96%E6%98%A7%E3%81%95%E5%9B%9E%E9%81%BF#曖昧さ回避ページへのリンクは極力避ける" title="Wikipedia:曖昧さ回避"><span title="このリンクには曖昧さ回避が必要です。（2021年7月）">要曖昧さ回避</span></a></i>]</sup>の集合を<a href="/wiki/%E5%AE%9A%E7%BE%A9%E5%9F%9F" title="定義域">定義域</a>とする独立変数をもつ関数と解釈することもある。<span lang="en" class="texhtml"><i>n</i></span> 個の変数で決まる関数であれば、<span lang="en" class="texhtml"><i>n</i></span> 変数関数とも呼ばれ </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028579be25b95d7ea02beb6d3e0cec42ea600358" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.87ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}"></span></dd></dl> <p>のように書かれる。例えば </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11a241491f32351a3acdd29d1d0bc07be9ebf36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.862ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}"></span></dd></dl> <p>は二変数関数である。 </p><p>一つの入力に複数の出力を返すような対応規則を関数の仲間として捉えるとき<b><a href="/wiki/%E5%A4%9A%E4%BE%A1%E9%96%A2%E6%95%B0" title="多価関数">多価関数</a></b> (multi-valued function) という。常に <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i></span> 個の出力を得る関数は <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i></span> 価であるといい、その <span lang="en" class="texhtml"><i>n</i></span> を多価関数の<b>価数</b>と呼ぶ。例えば正の実数にその平方根を与える操作は正と負の二つ値を持つので、二価関数である。多価関数に対し、普通の一つの値しか返さない関数は<b>一価関数</b>といわれる。 </p><p>多変数関数は独立変数がベクトルに値をとるものと解釈できるということを上に述べたが、逆に従属変数がベクトルの値を持つような写像も考えられ、それを<b>ベクトル値関数</b>という。ベクトル値関数が与えられたとき、像のベクトルに対してその各成分をとり出す写像を合成することにより、通常の一価関数が複数得られる。つまり、定義域を共有するいくつかの関数を一つのベクトルとしてまとめて扱ったものがベクトル値関数であるということができる。 </p><p>一つの例として、実数体 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span> で定義された二価の関数 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x):=\pm {\sqrt {1+x^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mo>±</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x):=\pm {\sqrt {1+x^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1e5c014d1a9f659fd51ac757b22d05f3576a43" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.682ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle f(x):=\pm {\sqrt {1+x^{2}}}}"></span></dd></dl> <p>はベクトル値関数 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2};\ x\to f(x)=({\sqrt {1+x^{2}}},-{\sqrt {1+x^{2}}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>;</mo> <mtext> </mtext> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2};\ x\to f(x)=({\sqrt {1+x^{2}}},-{\sqrt {1+x^{2}}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed2dfe75c673f0d029af60584e3d335a63270f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:46.484ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2};\ x\to f(x)=({\sqrt {1+x^{2}}},-{\sqrt {1+x^{2}}})}"></span></dd></dl> <p>として扱うことができる。また、定義域の "コピー" を作って定義域を広げてやることで、その拡張された定義域上の一価の関数 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon A\sqcup B\to \mathbb {R} \quad (A=B=\mathbb {R} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo>⊔</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon A\sqcup B\to \mathbb {R} \quad (A=B=\mathbb {R} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45300c3a0fe07957357111945d80562fdf32d780" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.208ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon A\sqcup B\to \mathbb {R} \quad (A=B=\mathbb {R} )}"></span> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)={\begin{cases}-{\sqrt {1+x^{2}}}&(x\in A),\\{\sqrt {1+x^{2}}}&(x\in B)\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mtd> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)={\begin{cases}-{\sqrt {1+x^{2}}}&(x\in A),\\{\sqrt {1+x^{2}}}&(x\in B)\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd44e34c5083e18421bc1b8788fbefe01f3f682d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:31.351ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle f(x)={\begin{cases}-{\sqrt {1+x^{2}}}&(x\in A),\\{\sqrt {1+x^{2}}}&(x\in B)\end{cases}}}"></span></dd></dl></dd></dl> <p>と見なすこともある。複素変数の対数関数 <span lang="en" class="texhtml">log</span> は素朴には無限多価関数であるが、これを <span lang="en" class="texhtml">log</span> の<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E9%9D%A2" title="リーマン面">リーマン面</a>上の一価関数と見なすなど、定義域を広げて一価にする手法は解析的な関数に対してしばしば用いられる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="陽表式と陰伏式"><span id=".E9.99.BD.E8.A1.A8.E5.BC.8F.E3.81.A8.E9.99.B0.E4.BC.8F.E5.BC.8F"></span>陽表式と陰伏式</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=26" title="節を編集: 陽表式と陰伏式"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>多変数方程式がいくつかの関数関係を定義することもある。例えば </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c910dd64922e23f212bc46e970af0540811c48f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.33ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x,y)=0}"></span></dd></dl> <p>のような式が与えられているとき、<i>x</i> と <i>y</i> は独立に別々の値をとることはできない。<i>x</i> に勝手な値を与えるならば、<i>y</i> は <i>x</i> の値によってとりうる値の制約を受けるからである。このことを以って、独立変数 <i>x</i> と従属変数 <i>y</i> が対応付けられると考えるとき、方程式 F (<i>x</i>, <i>y</i>) = 0 は <i>x</i> の関数 <i>y</i> を<b>陰</b> (implicit) に定めるといい、<i>y</i> を <i>x</i> の<b>陰伏関数</b>または<a href="/wiki/%E9%99%B0%E9%96%A2%E6%95%B0" title="陰関数">陰関数</a> (implicit function) という。これに対して、<i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>) と表されるような関数関係を、<i>y</i> は <i>x</i> の<b>陽関数</b> (explicit function) である、あるいは <i>y</i> は <i>x</i> で<b>陽</b> (explicit) に表されているなどと言い表す。 </p><p>陰伏的な関数関係が F (<i>x</i>, <i>y</i>) = 0 によって与えられていて、陽な関数関係 <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>) が適当な集合 <i>D</i> を定義域として F (<i>x</i>, <i>f</i>(<i>x</i>)) = 0 を満たすなら、この陽関数 <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>) は <i>D</i> 上で関係式 F (<i>x</i>, <i>y</i>) = 0 から陰伏的に得られるという。関数の概念を広くとらず、一価で連続である場合や一価正則な場合などに考察を限ることはしばしば行われることであるが、そのような仮定のもとでは陰関数から陰伏的に得られる陽関数は一つとは限らず、一般に一つの陰関数は（定義域や値域でより分けることにより）複数の陽関数に分解される。このとき、陰伏的に得られた個々の陽関数をもとの陰関数の<b>枝</b>という。また、陰関数の複数の枝を総じて扱うならば、陰関数の概念から多価関数の概念を得ることになる。例えば、方程式 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2abebd04178a7a604de7086b4be7140469194ae0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.7ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}"></span></dd></dl> <p>が定める陰関数 <i>y</i> は全域で 2 つの一価連続な枝 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{1}(x):={\sqrt {1+x^{2}}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}(x):={\sqrt {1+x^{2}}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7cdccdc27a756bb2da5d1b683b5b1b2c1e362c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.435ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle f_{1}(x):={\sqrt {1+x^{2}}},}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{2}(x):=-{\sqrt {1+x^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{2}(x):=-{\sqrt {1+x^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c20139371442b932c527e5f050535838f9f4a37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.596ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle f_{2}(x):=-{\sqrt {1+x^{2}}}}"></span></dd></dl> <p>をもつ二価関数である。 </p><p>また、<a href="/wiki/%E5%AA%92%E4%BB%8B%E5%A4%89%E6%95%B0" title="媒介変数">媒介変数</a>を導入して関係式を分解し、各変数を媒介変数の陽関数として表すことによって、陰関数を表すこともある。例えば、方程式 2<i>x</i> − 3<i>y</i> = 0 は、媒介変数 <i>t</i> を導入して </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{cases}x=3t,\\y=2t\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mi>t</mi> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>t</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{cases}x=3t,\\y=2t\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc7b2255f998a0146b714aa03b5780521bd81ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:9.572ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{cases}x=3t,\\y=2t\end{cases}}}"></span></dd></dl> <p>と表すことができるが、これによって <i>y</i> と <i>x</i> の陰伏的な関数関係が表されていると考えるのである。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="特殊化と一般化"><span id=".E7.89.B9.E6.AE.8A.E5.8C.96.E3.81.A8.E4.B8.80.E8.88.AC.E5.8C.96"></span><span id="特殊化と一般化"></span><span id="特殊化"></span><span id="一般化"></span>特殊化と一般化</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=27" title="節を編集: 特殊化と一般化"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="数列"><span id=".E6.95.B0.E5.88.97"></span>数列</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=28" title="節を編集: 数列"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>有限集合からの関数は実質的に数の組あるいは<a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%88%97" title="数列">数列</a>と呼ばれるものになる（適当な演算をいれてベクトルと見ることもできる）。それはつまり、集合の各元に序列を与えて {1, 2, ..., <i>n</i>} と並べるとき、<i>k</i> = 1, 2, ..., <i>n</i> に対して <i>x</i><sub><i>k</i></sub> = <i>x</i>(<i>k</i>) を対応付ける関数 <i>x</i> を </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22a40b0d88dd28ccb2d60a934461d4b41942fbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.075ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}"></span></dd></dl> <p>のかたちに表すのである。これは有限列であるが、無限列 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce5a1bb609f885669b43492c8069051d94c8113d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.557ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}"></span></dd></dl> <p>を考えれば、それは各自然数 <i>n</i> に対して、数 <i>s</i><sub><i>n</i></sub> を対応させる </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} ;\,n\mapsto s_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>;</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} ;\,n\mapsto s_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e2237f49c3551d2e6d935ae1e7042fddbe9bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.833ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle s\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} ;\,n\mapsto s_{n}}"></span></dd></dl> <p>という関数を考えていることに他ならない。もっと一般に数の<a href="/wiki/%E6%97%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="族 (数学)">族</a>を考慮に入れれば、通常の実関数 <i>f</i> = <i>f</i>(<i>x</i>) を <i>x</i> を添字に持つ実数の族 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f_{x})_{x\in \mathbb {R} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f_{x})_{x\in \mathbb {R} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8cdd65b2ae589c727b7421de4390c406d46aa2e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.514ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (f_{x})_{x\in \mathbb {R} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}"></span></dd></dl> <p>と読みかえることができる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="汎関数"><span id=".E6.B1.8E.E9.96.A2.E6.95.B0"></span>汎関数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=29" title="節を編集: 汎関数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E6%B1%8E%E5%87%BD%E6%95%B0" title="汎函数">汎函数</a>」を参照</div> <p>関数を変数に取る関数はとくに<b>汎関数</b> (functional) と呼ばれる。特にある集合上の関数の作る<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a>から係数体への<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型写像</a>を<b><a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%B1%8E%E5%87%BD%E6%95%B0" title="線型汎函数">線型汎函数</a></b> (linear functional) という。文脈によっては単に汎関数といえば線型汎関数を指すこともある。たとえば積分 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(f)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(f)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2bcf1fd856700241f084465d447b1cd51ebcb4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.724ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle F(f)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx}"></span></dd></dl> <p>は可積分関数 <i>f</i> を変数と見なして様々に取り替えることによって汎関数 <i>F</i> を与える。積分は<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%80%A7" title="線型性">線型性</a>を持つから、<i>F</i> は線型汎関数である。 </p><p>有限個の変数の組を考えることも関数の一種であったから、汎関数 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}(f)={\mathcal {F}}(f(x))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}(f)={\mathcal {F}}(f(x))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ffb85208eb4c8a5d47eaf46dd4ffae28dc436c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.266ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}(f)={\mathcal {F}}(f(x))}"></span></dd></dl> <p>はひとつまたは複数のパラメータで添字付けられる一般には無限個の変数をもつ関数の一種 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}\left((f_{x})_{x\in \mathbb {R} }\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}\left((f_{x})_{x\in \mathbb {R} }\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e8567eecf50da4e9403512c6608aad890d8c25" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.699ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}\left((f_{x})_{x\in \mathbb {R} }\right)}"></span></dd></dl> <p>と見なすことができる。また、有限次元ベクトル空間は<a href="/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="基底 (線型代数学)">基底</a>を固定することにより、その<a href="/wiki/%E5%BA%A7%E6%A8%99" title="座標">座標</a>で表される係数体の<a href="/wiki/%E5%8A%A0%E7%BE%A4%E3%81%AE%E7%9B%B4%E5%92%8C" title="加群の直和">加群の直和</a>と<a href="/wiki/%E5%90%8C%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="同型写像">同型写像</a>であるから、そこからの汎関数は多変数関数 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2194622476b66bc94c5660d97b157f35d05a1f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.496ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})}"></span></dd></dl> <p>と同一視できる。 </p><p>関数に対して数を対応付けるという汎関数の概念は、さらに関数に関数を対応付ける<a href="/wiki/%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0_(%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6)" title="作用素 (関数解析学)">作用素</a>の概念に一般化される。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="超関数"><span id=".E8.B6.85.E9.96.A2.E6.95.B0"></span>超関数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=30" title="節を編集: 超関数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E8%B6%85%E9%96%A2%E6%95%B0" title="超関数">超関数</a>」を参照</div> <p><b><a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E8%B6%85%E5%87%BD%E6%95%B0" title="シュワルツ超函数">シュワルツの超関数</a></b>（分布、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">distribution</span>）の理論は、汎関数の一種（コンパクトな台を持つ無限階微分可能関数の作る空間上の連続線型汎関数）として<a href="/wiki/%E8%B6%85%E9%96%A2%E6%95%B0" title="超関数">超関数</a>を定義する。通常の局所可積分関数に測度を掛けて積分作用素として見ると、この意味で超関数と見なされる。 </p><p>この様な連続線型汎関数を用いた定式化の方向で <span lang="en">distribution</span> よりも大きいクラスとしては、<b>超分布</b> <span lang="en">(ultradistribution)</span> が知られている。 </p><p>一方、<b><a href="/wiki/%E4%BD%90%E8%97%A4%E8%B6%85%E5%87%BD%E6%95%B0" title="佐藤超函数">佐藤超関数</a></b>（<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">hyperfunction</span>）は<a href="/wiki/%E5%B1%A4%E4%BF%82%E6%95%B0%E3%82%B3%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC" title="層係数コホモロジー">層係数コホモロジー</a>等の代数的手法を用いて定義される。この代数的手法の解析学への導入により、線型微分方程式系の代数化である <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">D</span> 加群の理論等、代数解析学と呼ばれる分野が開かれた。以上の超関数のクラスは局所化可能、言い換えれば層を成すという事が重要である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="「関数」と「函数」の違いについて"><span id=".E3.80.8C.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.80.8D.E3.81.A8.E3.80.8C.E5.87.BD.E6.95.B0.E3.80.8D.E3.81.AE.E9.81.95.E3.81.84.E3.81.AB.E3.81.A4.E3.81.84.E3.81.A6"></span>「関数」と「函数」の違いについて</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=31" title="節を編集: 「関数」と「函数」の違いについて"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>「函」が漢字制限による<a href="/wiki/%E5%BD%93%E7%94%A8%E6%BC%A2%E5%AD%97" title="当用漢字">当用漢字</a>に含まれなかったことから、1950年代以降同音の「関」へと書き換えがすすめられた<sup id="cite_ref-:0_8-1" class="reference"><a href="#cite_note-:0-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。この他、「干数」案もあった<sup id="cite_ref-:1_9-1" class="reference"><a href="#cite_note-:1-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。<a href="/wiki/%E5%AD%A6%E7%BF%92%E6%8C%87%E5%B0%8E%E8%A6%81%E9%A0%98" title="学習指導要領">学習指導要領</a>に「関数」が登場するのは中学校で1958年、高等学校で1960年であり、それまでは「函数」が用いられている<sup id="cite_ref-25" class="reference"><a href="#cite_note-25"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。「関数」表記は 1985 年頃までには日本の初等教育の段階でほぼ定着した<sup id="cite_ref-komatsu_11-2" class="reference"><a href="#cite_note-komatsu-11"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=32" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け"><span title="この欄の操作法">脚注の使い方</span></a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="注釈"><span id=".E6.B3.A8.E9.87.88"></span>注釈</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=33" title="節を編集: 注釈"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-10"><b><a href="#cite_ref-10">^</a></b> <span class="reference-text">但し、1958年の中学校学習指導要領では用語として「一次関数(一次函(かん)数)」と併記しており、「関数」のみになるのは1969年の中学校学習指導要領である。</span> </li> <li id="cite_note-17"><b><a href="#cite_ref-17">^</a></b> <span class="reference-text">数学の多くの文脈では函数 (function) と写像 (map) は同じ意味で用いられる。<sup id="cite_ref-FOOTNOTE松坂196828_16-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE松坂196828-16"><span class="cite-bracket">[</span>15<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></span> </li> <li id="cite_note-19"><b><a href="#cite_ref-19">^</a></b> <span class="reference-text">例えば <a href="/wiki/Serge_Lang" class="mw-redirect" title="Serge Lang">Serge Lang</a><sup id="cite_ref-18" class="reference"><a href="#cite_note-18"><span class="cite-bracket">[</span>16<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> などは "function" を<a href="/wiki/%E7%B5%82%E5%9F%9F" title="終域">終域</a>が数の集合 (すなわち<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>体 <span lang="en" class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">R</span></span> や<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a>体 <span lang="en" class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">C</span></span> などの<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93" title="可換体">体</a>の部分集合) となる写像を指す場合に限り、より一般の場合には "mapping" を用いている</span> </li> <li id="cite_note-23"><b><a href="#cite_ref-23">^</a></b> <span class="reference-text">ここでいう「初等的」は必ずしも日常会話的な意味で初等的とは限らない。初等的な数学において遭遇するほとんどの函数は初等函数だが、例えば高次多項式の根を含むなどして日常的な意味で初等的ではないような初等函数も存在する。</span> </li> <li id="cite_note-24"><b><a href="#cite_ref-24">^</a></b> <span class="reference-text">例えば<a href="/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%86%86" title="単位円">単位円</a>の方程式 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec84b90236512e8d27ff1a8f7707b60b63327de1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.7ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}"></span> は実数全体の成す集合上の二項関係を定める。<span lang="en" class="texhtml">–1 < <i>x</i> < 1</span> ならば <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> として二つの値が可能で、一方は正他方は負である。<span lang="en" class="texhtml"><i>x</i> = ± 1</span> のときは二つの値はともに <span lang="en" class="texhtml">0</span> になる。それ以外では <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> は値を持たない。このことから、この方程式は <span lang="en" class="texhtml">[–1, 1]</span> を定義域とするふたつの陰函数を定義し、それらの値域はそれぞれ <span lang="en" class="texhtml">[0, +∞)</span> および <span lang="en" class="texhtml">(–∞, 0]</span> である。この例では方程式は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> について解くことができて <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mo>±</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ad4bf70686019ba9c9e6ef6e8140956183b787" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.773ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}}"></span> と陽に書けるが、より複雑な例ではこのようなことが不可能なものも出てくる。例えば方程式 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y^{5}+x+1=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{5}+x+1=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e7560676a595a13407dc0d28fc7f8cd12ac09d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.649ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y^{5}+x+1=0}"></span> は <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span> を<a href="/wiki/%E8%B6%85%E5%86%AA%E6%A0%B9" title="超冪根">超冪根</a> と呼ばれる <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> の陰函数としてさだめる（定義域・値域ともに <span lang="en" class="texhtml"><span style="font-weight: bold;">R</span></span>）。超冪根は四則演算と冪根をとる操作によって表すことができない。</span> </li> <li id="cite_note-25"><b><a href="#cite_ref-25">^</a></b> <span class="reference-text">但し、1958年の中学校学習指導要領では用語として「一次関数(一次函(かん)数)」と併記しており、「関数」のみになるのは1969年の中学校学習指導要領である。</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=34" title="節を編集: 出典"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2; -moz-column-width: 20em; -webkit-column-width: 20em; column-width: 20em; list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text"> <cite style="font-style:normal" class="citation journal" id="CITEREF馮1999">馮, 立升「<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.wasan.jp/sugakusipdf/162.pdf">『<span lang="zh-hant">代微積拾級</span>』の日本への伝播と影響について</a>」『数学史研究』第162号、日本数学史学会、1999年9月、15–28、<a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.11501%2F3202759">10.11501/3202759</a>、<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration 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.mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISSN" title="ISSN">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://search.worldcat.org/ja/search?fq=x0:jrnl&q=n2:0386-9555">0386-9555</a>、<span class="reference-accessdate"><span title="">2022年11月2日</span>閲覧</span>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%E3%80%8E%3Cspan+lang%3D%22zh-hant%22%3E%E4%BB%A3%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E6%8B%BE%E7%B4%9A%3C%2Fspan%3E%E3%80%8F%E3%81%AE%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%B8%E3%81%AE%E4%BC%9D%E6%92%AD%E3%81%A8%E5%BD%B1%E9%9F%BF%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6&rft.jtitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6&rft.aulast=%E9%A6%AE&rft.aufirst=%E7%AB%8B%E5%8D%87&rft.au=%E9%A6%AE%2C%26%2332%3B%E7%AB%8B%E5%8D%87&rft.date=1999-09&rft.issue=162&rft.pages=15%26ndash%3B28&rft.pub=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2%E5%AD%A6%E4%BC%9A&rft_id=info:doi/10.11501%2F3202759&rft.issn=0386-9555&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.wasan.jp%2Fsugakusipdf%2F162.pdf&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-kouda-2">^ <a href="#cite_ref-kouda_2-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-kouda_2-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation journal" id="CITEREF公田藏2012">公田藏「<a rel="nofollow" class="external text" href="https://hdl.handle.net/2433/172764">近代日本における, 函数の概念とそれに関連したことがらの受容と普及 (数学史の研究)</a>」『数理解析研究所講究録』第1787巻、京都大学数理解析研究所、2012年4月、265-279頁、<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/CRID_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="CRID (識別子)">CRID</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://cir.nii.ac.jp/crid/1050282810743929856">1050282810743929856</a>、<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/Hdl_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Hdl (識別子)">hdl</a>:<span><a rel="nofollow" class="external text" href="//hdl.handle.net/2433%2F172764">2433/172764</a></span>、<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISSN" title="ISSN">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://search.worldcat.org/ja/search?fq=x0:jrnl&q=n2:1880-2818">1880-2818</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%E8%BF%91%E4%BB%A3%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%2C+%E5%87%BD%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%A6%82%E5%BF%B5%E3%81%A8%E3%81%9D%E3%82%8C%E3%81%AB%E9%96%A2%E9%80%A3%E3%81%97%E3%81%9F%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%8C%E3%82%89%E3%81%AE%E5%8F%97%E5%AE%B9%E3%81%A8%E6%99%AE%E5%8F%8A+%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2%E3%81%AE%E7%A0%94%E7%A9%B6%29&rft.jtitle=%E6%95%B0%E7%90%86%E8%A7%A3%E6%9E%90%E7%A0%94%E7%A9%B6%E6%89%80%E8%AC%9B%E7%A9%B6%E9%8C%B2&rft.aulast=%E5%85%AC%E7%94%B0%E8%97%8F&rft.au=%E5%85%AC%E7%94%B0%E8%97%8F&rft.date=2012-04&rft.volume=1787&rft.pages=265-279%E9%A0%81&rft.pub=%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E6%95%B0%E7%90%86%E8%A7%A3%E6%9E%90%E7%A0%94%E7%A9%B6%E6%89%80&rft_dat=crid/1050282810743929856&rft_id=info:hdl/2433%2F172764&rft.issn=1880-2818&rft_id=https%3A%2F%2Fhdl.handle.net%2F2433%2F172764&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-k1988-3">^ <a href="#cite_ref-k1988_3-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-k1988_3-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF片野1988">片野, 善一郎『数学用語の由来』明治図書出版、1988年。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4-18-543002-7" title="特別:文献資料/4-18-543002-7">4-18-543002-7</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%94%A8%E8%AA%9E%E3%81%AE%E7%94%B1%E6%9D%A5&rft.aulast=%E7%89%87%E9%87%8E&rft.aufirst=%E5%96%84%E4%B8%80%E9%83%8E&rft.au=%E7%89%87%E9%87%8E%2C%26%2332%3B%E5%96%84%E4%B8%80%E9%83%8E&rft.date=1988&rft.pub=%E6%98%8E%E6%B2%BB%E5%9B%B3%E6%9B%B8%E5%87%BA%E7%89%88&rft.isbn=4-18-543002-7&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-k2003-4">^ <a href="#cite_ref-k2003_4-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-k2003_4-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-k2003_4-2"><sup><i><b>c</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-k2003_4-3"><sup><i><b>d</b></i></sup></a> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF片野2003">片野, 善一郎『数学用語と記号ものがたり』裳華房、2003年。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" 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href="http://www.journalarchive.jst.go.jp/jnlpdf.php?cdjournal=sugakukaisya1877&cdvol=1884&noissue=62&startpage=8&lang=ja&from=jnltoc">譯語會記事</a>」『東京數學會社雑誌』第62号、數學會社假事務所、9頁、<a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.11429%2Fsugakukaisya1877.1884.62_8">10.11429/sugakukaisya1877.1884.62_8</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%E8%AD%AF%E8%AA%9E%E6%9C%83%E8%A8%98%E4%BA%8B&rft.jtitle=%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%9C%83%E7%A4%BE%E9%9B%91%E8%AA%8C&rft.issue=62&rft.pages=9%E9%A0%81&rft.pub=%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%9C%83%E7%A4%BE%E5%81%87%E4%BA%8B%E5%8B%99%E6%89%80&rft_id=info:doi/10.11429%2Fsugakukaisya1877.1884.62_8&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.journalarchive.jst.go.jp%2Fjnlpdf.php%3Fcdjournal%3Dsugakukaisya1877%26cdvol%3D1884%26noissue%3D62%26startpage%3D8%26lang%3Dja%26from%3Djnltoc&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-6"><b><a href="#cite_ref-6">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation journal">「<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.journalarchive.jst.go.jp/jnlpdf.php?cdjournal=sugakukaisya1877&cdvol=1884&noissue=64&startpage=14&lang=ja&from=jnltoc">譯語會記事</a>」『東京數學會社雑誌』第64号、數學會社假事務所、14頁、<a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.11429%2Fsugakukaisya1877.1884.64_14">10.11429/sugakukaisya1877.1884.64_14</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%E8%AD%AF%E8%AA%9E%E6%9C%83%E8%A8%98%E4%BA%8B&rft.jtitle=%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%9C%83%E7%A4%BE%E9%9B%91%E8%AA%8C&rft.issue=64&rft.pages=14%E9%A0%81&rft.pub=%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%9C%83%E7%A4%BE%E5%81%87%E4%BA%8B%E5%8B%99%E6%89%80&rft_id=info:doi/10.11429%2Fsugakukaisya1877.1884.64_14&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.journalarchive.jst.go.jp%2Fjnlpdf.php%3Fcdjournal%3Dsugakukaisya1877%26cdvol%3D1884%26noissue%3D64%26startpage%3D14%26lang%3Dja%26from%3Djnltoc&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-7"><b><a href="#cite_ref-7">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation journal">菊池大麓「<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.journalarchive.jst.go.jp/jnlpdf.php?cdjournal=sugakukaisya1877&cdvol=1883&noissue=61&startpage=1&lang=ja&from=jnltoc">雜録</a>」『東京數學會社雑誌』第61号、數學會社假事務所、1頁、<a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.11429%2Fsugakukaisya1877.1883.61_1">10.11429/sugakukaisya1877.1883.61_1</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%E9%9B%9C%E9%8C%B2&rft.jtitle=%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%9C%83%E7%A4%BE%E9%9B%91%E8%AA%8C&rft.aulast=%E8%8F%8A%E6%B1%A0%E5%A4%A7%E9%BA%93&rft.au=%E8%8F%8A%E6%B1%A0%E5%A4%A7%E9%BA%93&rft.issue=61&rft.pages=1%E9%A0%81&rft.pub=%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%9C%83%E7%A4%BE%E5%81%87%E4%BA%8B%E5%8B%99%E6%89%80&rft_id=info:doi/10.11429%2Fsugakukaisya1877.1883.61_1&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.journalarchive.jst.go.jp%2Fjnlpdf.php%3Fcdjournal%3Dsugakukaisya1877%26cdvol%3D1883%26noissue%3D61%26startpage%3D1%26lang%3Dja%26from%3Djnltoc&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span><cite style="font-style:normal" class="citation journal">菊池大麓「<a rel="nofollow" class="external text" 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%E9%9B%9C%E9%8C%B2&rft.jtitle=%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%9C%83%E7%A4%BE%E9%9B%91%E8%AA%8C&rft.aulast=%E8%8F%8A%E6%B1%A0%E5%A4%A7%E9%BA%93&rft.au=%E8%8F%8A%E6%B1%A0%E5%A4%A7%E9%BA%93&rft.issue=63&rft.pages=1%E9%A0%81&rft.pub=%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%9C%83%E7%A4%BE%E5%81%87%E4%BA%8B%E5%8B%99%E6%89%80&rft_id=info:doi/10.11429%2Fsugakukaisya1877.1884.63_1&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.journalarchive.jst.go.jp%2Fjnlpdf.php%3Fcdjournal%3Dsugakukaisya1877%26cdvol%3D1884%26noissue%3D63%26startpage%3D1%26lang%3Dja%26from%3Djnltoc&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-:0-8">^ <a href="#cite_ref-:0_8-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-:0_8-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text">この経緯については、島田茂 (1981)「学校数学での用語と記号」福原満州雄他『数学と日本語』共立出版 <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4320013158" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-320-01315-8</a> pp.135-169 に詳しい。</span> </li> <li id="cite_note-:1-9">^ <a href="#cite_ref-:1_9-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-:1_9-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text">一松信 (1999)「当用漢字による書き替え」数学セミナー編集部編『数学の言葉づかい100』日本評論社 <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4535606137" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-535-60613-7</a> p.5</span> </li> <li id="cite_note-komatsu-11">^ <a href="#cite_ref-komatsu_11-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-komatsu_11-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-komatsu_11-2"><sup><i><b>c</b></i></sup></a> <span class="reference-text">小松勇作「関数」『数学100の慣用語』数学セミナー1985 年9月増刊、数学セミナー編集部編『数学の言葉づかい100』日本評論社 <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4535606137" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 4-535-60613-7</a> p. 58 に再録</span> </li> <li id="cite_note-12"><b><a href="#cite_ref-12">^</a></b> <span class="reference-text">志賀浩二『数学が生まれる物語／第4週座標とグラフ』岩波書店、70頁（1992年）</span> </li> <li id="cite_note-13"><b><a href="#cite_ref-13">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">(美国) 羅密士撰『代微積拾級』 巻十、(英国) 偉烈亜力口訳、(清) 李善蘭筆述、咸豊9年、1丁裏頁。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E4%BB%A3%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E6%8B%BE%E7%B4%9A&rft.aulast=%28%E7%BE%8E%E5%9B%BD%29+%E7%BE%85%E5%AF%86%E5%A3%AB%E6%92%B0&rft.au=%28%E7%BE%8E%E5%9B%BD%29+%E7%BE%85%E5%AF%86%E5%A3%AB%E6%92%B0&rft.date=%E5%92%B8%E8%B1%8A9%E5%B9%B4&rft.pages=1%E4%B8%81%E8%A3%8F%E9%A0%81&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span>東北大学附属図書館林文庫蔵。<a rel="nofollow" class="external text" href="http://dbr.library.tohoku.ac.jp/infolib/meta_pub/G0000002wasan">東北大学和算資料データベース</a>で『<span lang="zh-hant">代微積拾級</span>』を検索することにより、画像ファイルを見ることができる。</span> </li> <li id="cite_note-a-14">^ <a href="#cite_ref-a_14-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-a_14-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text">飯島徹穂編著、『<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320017283">数の単語帖</a>』、共立出版、2003年、「関数」より。<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784320017283" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4-320-01728-3</a></span> </li> <li id="cite_note-15"><b><a href="#cite_ref-15">^</a></b> <span class="reference-text">遠山啓、『<a rel="nofollow" class="external autonumber" href="http://www.iwanami.co.jp/cgi-bin/isearch?isbn=ISBN978-4-00-603215-9 関数を考える">[1]</a>』、岩波書店、〈岩波現代文庫〉、2011年。<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784006032159" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4-00-603215-9</a></span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE松坂196828-16"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTE松坂196828_16-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF松坂1968">松坂 1968</a>, p. 28—「<i>A</i>, <i>B</i> が一般の集合である場合にも、<i>A</i> から <i>B</i> への写像を、<i>A</i> から <i>B</i> への<b>関数</b>（中略）ということがある。」</span> </li> <li id="cite_note-18"><b><a href="#cite_ref-18">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFLang1971">Lang, Serge (1971), <i>Linear Algebra</i> (2nd ed.), Addison-Wesley, p. 83</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Linear+Algebra&rft.aulast=Lang&rft.aufirst=Serge&rft.au=Lang%2C%26%2332%3BSerge&rft.date=1971&rft.pages=p.%26nbsp%3B83&rft.edition=2nd&rft.pub=Addison-Wesley&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-20"><b><a href="#cite_ref-20">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFLetourneauSharp2017">Letourneau, Mary; Sharp, Jennifer Wright (2017-10), <i>AMS Style Guide</i>, American Mathematical Society</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=AMS+Style+Guide&rft.aulast=Letourneau&rft.aufirst=Mary&rft.au=Letourneau%2C%26%2332%3BMary&rft.au=Sharp%2C%26%2332%3BJennifer+Wright&rft.date=2017-10&rft.pub=American+Mathematical+Society&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span>, p. 98, §13.3. Standard abbreviated forms of mathematical expressions and functions.</span> </li> <li id="cite_note-21"><b><a href="#cite_ref-21">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFRon_Larson,_Bruce_H._Edwards2010">Ron Larson, Bruce H. 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href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/9784000803090" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-4-00-080309-0</a> C3541 </span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=35" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF日本数学会『岩波数学辞典』第4版2007"><a href="/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%BC%9A" title="日本数学会">日本数学会</a> 編『岩波数学辞典』（4版）岩波書店、2007年。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4000803090" title="特別:文献資料/978-4000803090">978-4000803090</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%BE%9E%E5%85%B8&rft.date=2007&rft.edition=4&rft.pub=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97&rft.isbn=978-4000803090&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF松坂1968"><a href="/wiki/%E6%9D%BE%E5%9D%82%E5%92%8C%E5%A4%AB" title="松坂和夫">松坂, 和夫</a>『集合・位相入門』岩波書店、1968年。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4-00-005424-4" title="特別:文献資料/4-00-005424-4">4-00-005424-4</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E9%9B%86%E5%90%88%E3%83%BB%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%85%A5%E9%96%80&rft.aulast=%E6%9D%BE%E5%9D%82&rft.aufirst=%E5%92%8C%E5%A4%AB&rft.au=%E6%9D%BE%E5%9D%82%2C%26%2332%3B%E5%92%8C%E5%A4%AB&rft.date=1968&rft.pub=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97&rft.isbn=4-00-005424-4&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation journal" id="CITEREF馮1999">馮, 立升「<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.wasan.jp/sugakusipdf/162.pdf">『<span lang="zh-hant">代微積拾級</span>』の日本への伝播と影響について</a>」『数学史研究』第162号、日本数学史学会、1999年9月、15–28、<a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.11501%2F3202759">10.11501/3202759</a>、<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISSN" title="ISSN">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://search.worldcat.org/ja/search?fq=x0:jrnl&q=n2:0386-9555">0386-9555</a>、<span class="reference-accessdate"><span title="">2022年11月2日</span>閲覧</span>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%E3%80%8E%3Cspan+lang%3D%22zh-hant%22%3E%E4%BB%A3%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E6%8B%BE%E7%B4%9A%3C%2Fspan%3E%E3%80%8F%E3%81%AE%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%B8%E3%81%AE%E4%BC%9D%E6%92%AD%E3%81%A8%E5%BD%B1%E9%9F%BF%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6&rft.jtitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2%E7%A0%94%E7%A9%B6&rft.aulast=%E9%A6%AE&rft.aufirst=%E7%AB%8B%E5%8D%87&rft.au=%E9%A6%AE%2C%26%2332%3B%E7%AB%8B%E5%8D%87&rft.date=1999-09&rft.issue=162&rft.pages=15%26ndash%3B28&rft.pub=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2%E5%AD%A6%E4%BC%9A&rft_id=info:doi/10.11501%2F3202759&rft.issn=0386-9555&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.wasan.jp%2Fsugakusipdf%2F162.pdf&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation journal" id="CITEREF公田2012">公田, 藏「<a rel="nofollow" class="external text" href="https://hdl.handle.net/2433/172764">近代日本における, 函数の概念とそれに関連したことがらの受容と普及</a>」『数理解析研究所講究録』第1787号、京都大学数理解析研究所、2012年4月、265–279、<span class="reference-accessdate"><span title="">2022年11月2日</span>閲覧</span>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%E8%BF%91%E4%BB%A3%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%2C+%E5%87%BD%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%A6%82%E5%BF%B5%E3%81%A8%E3%81%9D%E3%82%8C%E3%81%AB%E9%96%A2%E9%80%A3%E3%81%97%E3%81%9F%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%8C%E3%82%89%E3%81%AE%E5%8F%97%E5%AE%B9%E3%81%A8%E6%99%AE%E5%8F%8A&rft.jtitle=%E6%95%B0%E7%90%86%E8%A7%A3%E6%9E%90%E7%A0%94%E7%A9%B6%E6%89%80%E8%AC%9B%E7%A9%B6%E9%8C%B2&rft.aulast=%E5%85%AC%E7%94%B0&rft.aufirst=%E8%97%8F&rft.au=%E5%85%AC%E7%94%B0%2C%26%2332%3B%E8%97%8F&rft.date=2012-04&rft.issue=1787&rft.pages=265%26ndash%3B279&rft.pub=%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E6%95%B0%E7%90%86%E8%A7%A3%E6%9E%90%E7%A0%94%E7%A9%B6%E6%89%80&rft_id=https%3A%2F%2Fhdl.handle.net%2F2433%2F172764&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF片野1988">片野, 善一郎『数学用語の由来』明治図書出版、1988年。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4-18-543002-7" title="特別:文献資料/4-18-543002-7">4-18-543002-7</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%94%A8%E8%AA%9E%E3%81%AE%E7%94%B1%E6%9D%A5&rft.aulast=%E7%89%87%E9%87%8E&rft.aufirst=%E5%96%84%E4%B8%80%E9%83%8E&rft.au=%E7%89%87%E9%87%8E%2C%26%2332%3B%E5%96%84%E4%B8%80%E9%83%8E&rft.date=1988&rft.pub=%E6%98%8E%E6%B2%BB%E5%9B%B3%E6%9B%B8%E5%87%BA%E7%89%88&rft.isbn=4-18-543002-7&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF片野2003">片野, 善一郎『数学用語と記号ものがたり』裳華房、2003年。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4-7853-1533-4" title="特別:文献資料/4-7853-1533-4">4-7853-1533-4</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%94%A8%E8%AA%9E%E3%81%A8%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%82%82%E3%81%AE%E3%81%8C%E3%81%9F%E3%82%8A&rft.aulast=%E7%89%87%E9%87%8E&rft.aufirst=%E5%96%84%E4%B8%80%E9%83%8E&rft.au=%E7%89%87%E9%87%8E%2C%26%2332%3B%E5%96%84%E4%B8%80%E9%83%8E&rft.date=2003&rft.pub=%E8%A3%B3%E8%8F%AF%E6%88%BF&rft.isbn=4-7853-1533-4&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation journal">「<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.journalarchive.jst.go.jp/jnlpdf.php?cdjournal=sugakukaisya1877&cdvol=1884&noissue=62&startpage=8&lang=ja&from=jnltoc">譯語會記事</a>」『東京數學會社雑誌』第62号、數學會社假事務所、9頁。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%E8%AD%AF%E8%AA%9E%E6%9C%83%E8%A8%98%E4%BA%8B&rft.jtitle=%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%9C%83%E7%A4%BE%E9%9B%91%E8%AA%8C&rft.issue=62&rft.pages=9%E9%A0%81&rft.pub=%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%9C%83%E7%A4%BE%E5%81%87%E4%BA%8B%E5%8B%99%E6%89%80&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.journalarchive.jst.go.jp%2Fjnlpdf.php%3Fcdjournal%3Dsugakukaisya1877%26cdvol%3D1884%26noissue%3D62%26startpage%3D8%26lang%3Dja%26from%3Djnltoc&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation journal">「<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.journalarchive.jst.go.jp/jnlpdf.php?cdjournal=sugakukaisya1877&cdvol=1884&noissue=64&startpage=14&lang=ja&from=jnltoc">譯語會記事</a>」『東京數學會社雑誌』第64号、數學會社假事務所、14頁。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%E8%AD%AF%E8%AA%9E%E6%9C%83%E8%A8%98%E4%BA%8B&rft.jtitle=%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%9C%83%E7%A4%BE%E9%9B%91%E8%AA%8C&rft.issue=64&rft.pages=14%E9%A0%81&rft.pub=%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%9C%83%E7%A4%BE%E5%81%87%E4%BA%8B%E5%8B%99%E6%89%80&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.journalarchive.jst.go.jp%2Fjnlpdf.php%3Fcdjournal%3Dsugakukaisya1877%26cdvol%3D1884%26noissue%3D64%26startpage%3D14%26lang%3Dja%26from%3Djnltoc&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation journal">菊池大麓「<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.journalarchive.jst.go.jp/jnlpdf.php?cdjournal=sugakukaisya1877&cdvol=1883&noissue=61&startpage=1&lang=ja&from=jnltoc">雜録</a>」『東京數學會社雑誌』第61号、數學會社假事務所、1頁。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%E9%9B%9C%E9%8C%B2&rft.jtitle=%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%9C%83%E7%A4%BE%E9%9B%91%E8%AA%8C&rft.aulast=%E8%8F%8A%E6%B1%A0%E5%A4%A7%E9%BA%93&rft.au=%E8%8F%8A%E6%B1%A0%E5%A4%A7%E9%BA%93&rft.issue=61&rft.pages=1%E9%A0%81&rft.pub=%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%9C%83%E7%A4%BE%E5%81%87%E4%BA%8B%E5%8B%99%E6%89%80&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.journalarchive.jst.go.jp%2Fjnlpdf.php%3Fcdjournal%3Dsugakukaisya1877%26cdvol%3D1883%26noissue%3D61%26startpage%3D1%26lang%3Dja%26from%3Djnltoc&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation journal">菊池大麓「<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.journalarchive.jst.go.jp/jnlpdf.php?cdjournal=sugakukaisya1877&cdvol=1884&noissue=63&startpage=1&lang=ja&from=jnltoc">雜録</a>」『東京數學會社雑誌』第63号、數學會社假事務所、1頁。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%E9%9B%9C%E9%8C%B2&rft.jtitle=%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%9C%83%E7%A4%BE%E9%9B%91%E8%AA%8C&rft.aulast=%E8%8F%8A%E6%B1%A0%E5%A4%A7%E9%BA%93&rft.au=%E8%8F%8A%E6%B1%A0%E5%A4%A7%E9%BA%93&rft.issue=63&rft.pages=1%E9%A0%81&rft.pub=%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%9C%83%E7%A4%BE%E5%81%87%E4%BA%8B%E5%8B%99%E6%89%80&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.journalarchive.jst.go.jp%2Fjnlpdf.php%3Fcdjournal%3Dsugakukaisya1877%26cdvol%3D1884%26noissue%3D63%26startpage%3D1%26lang%3Dja%26from%3Djnltoc&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF福原1981">福原, 満洲雄 著「学校数学での用語と記号」、島田, 茂、田島, 一郎 編『数学と日本語』共立出版、1981年、135–169頁。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4-320-01315-8" title="特別:文献資料/4-320-01315-8">4-320-01315-8</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%A7%E3%81%AE%E7%94%A8%E8%AA%9E%E3%81%A8%E8%A8%98%E5%8F%B7&rft.atitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%A8%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%AA%9E&rft.aulast=%E7%A6%8F%E5%8E%9F&rft.aufirst=%E6%BA%80%E6%B4%B2%E9%9B%84&rft.au=%E7%A6%8F%E5%8E%9F%2C%26%2332%3B%E6%BA%80%E6%B4%B2%E9%9B%84&rft.date=1981&rft.pages=135%26ndash%3B169%E9%A0%81&rft.pub=%E5%85%B1%E7%AB%8B%E5%87%BA%E7%89%88&rft.isbn=4-320-01315-8&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF一松1999">一松, 信 著「当用漢字による書き替え」、数学セミナー編集部 編『数学の言葉づかい100』日本評論社、1999年、5頁。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4-535-60613-7" title="特別:文献資料/4-535-60613-7">4-535-60613-7</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=%E5%BD%93%E7%94%A8%E6%BC%A2%E5%AD%97%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E6%9B%B8%E3%81%8D%E6%9B%BF%E3%81%88&rft.atitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E8%A8%80%E8%91%89%E3%81%A5%E3%81%8B%E3%81%84100&rft.aulast=%E4%B8%80%E6%9D%BE&rft.aufirst=%E4%BF%A1&rft.au=%E4%B8%80%E6%9D%BE%2C%26%2332%3B%E4%BF%A1&rft.date=1999&rft.pages=5%E9%A0%81&rft.pub=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%A9%95%E8%AB%96%E7%A4%BE&rft.isbn=4-535-60613-7&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF小松1999">小松, 勇作 著「関数」、数学セミナー編集部 編『数学の言葉づかい100』日本評論社、1999年、58頁。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4-535-60613-7" title="特別:文献資料/4-535-60613-7">4-535-60613-7</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=%E9%96%A2%E6%95%B0&rft.atitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E8%A8%80%E8%91%89%E3%81%A5%E3%81%8B%E3%81%84100&rft.aulast=%E5%B0%8F%E6%9D%BE&rft.aufirst=%E5%8B%87%E4%BD%9C&rft.au=%E5%B0%8F%E6%9D%BE%2C%26%2332%3B%E5%8B%87%E4%BD%9C&rft.date=1999&rft.pages=58%E9%A0%81&rft.pub=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%A9%95%E8%AB%96%E7%A4%BE&rft.isbn=4-535-60613-7&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span> <ul><li>小松勇作「関数」『数学100の慣用語』数学セミナー1985 年9月増刊の再録</li></ul></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book">羅密士 著、偉烈亜力, 李善蘭訳『代微積拾級』 巻十、咸豊9年、1丁裏頁。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E4%BB%A3%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E6%8B%BE%E7%B4%9A&rft.aulast=%E7%BE%85%E5%AF%86%E5%A3%AB&rft.au=%E7%BE%85%E5%AF%86%E5%A3%AB&rft.date=%E5%92%B8%E8%B1%8A9%E5%B9%B4&rft.pages=1%E4%B8%81%E8%A3%8F%E9%A0%81&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=36" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96" title="集合論">集合論</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F" title="写像">写像</a></li> <li>関数の分類 <ul><li><a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="連続 (数学)">連続</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%81%B6%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%A5%87%E9%96%A2%E6%95%B0" title="偶関数と奇関数">偶関数と奇関数</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E9%96%A2%E6%95%B0" title="超越関数">超越関数</a> <ul><li><a href="/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E9%96%A2%E6%95%B0" title="初等関数">初等関数</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E9%96%A2%E6%95%B0" title="特殊関数">特殊関数</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E4%B8%80%E8%A6%A7" title="関数一覧">関数一覧</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%95%B3%E3%81%BF%E8%BE%BC%E3%81%BF" title="畳み込み">畳み込み</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E5%AE%9A%E7%82%B9%E9%80%9A%E9%81%8E&action=edit&redlink=1" class="new" title="定点通過 (存在しないページ)">定点通過</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)&action=edit&section=37" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r94202605">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}</style><div class="side-box side-box-right plainlinks sistersitebox noprint" style="width:22em;"> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Wikibooks-logo-en-noslogan.svg/40px-Wikibooks-logo-en-noslogan.svg.png" decoding="async" width="40" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Wikibooks-logo-en-noslogan.svg/60px-Wikibooks-logo-en-noslogan.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Wikibooks-logo-en-noslogan.svg/80px-Wikibooks-logo-en-noslogan.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="400" /></span></span></div> <div class="side-box-text plainlist" style="font-size:100%;">ウィキブックスに<b><a href="https://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E_%E9%96%A2%E6%95%B0" class="extiw" title="b:解析学基礎関数">関数</a></b>関連の解説書・教科書があります。</div></div> </div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation journal">公田, 藏「<a rel="nofollow" class="external text" href="https://hdl.handle.net/2433/172764">近代日本における, 函数の概念とそれに関連したことがらの受容と普及</a>」『数理解析研究所講究録』第1787巻、京都大学数理解析研究所、2012年4月、265–279。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%E8%BF%91%E4%BB%A3%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%2C+%E5%87%BD%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%A6%82%E5%BF%B5%E3%81%A8%E3%81%9D%E3%82%8C%E3%81%AB%E9%96%A2%E9%80%A3%E3%81%97%E3%81%9F%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%8C%E3%82%89%E3%81%AE%E5%8F%97%E5%AE%B9%E3%81%A8%E6%99%AE%E5%8F%8A&rft.jtitle=%E6%95%B0%E7%90%86%E8%A7%A3%E6%9E%90%E7%A0%94%E7%A9%B6%E6%89%80%E8%AC%9B%E7%A9%B6%E9%8C%B2&rft.aulast=%E5%85%AC%E7%94%B0&rft.aufirst=%E8%97%8F&rft.au=%E5%85%AC%E7%94%B0%2C%26%2332%3B%E8%97%8F&rft.volume=1787&rft.pages=265%26ndash%3B279&rft.pub=%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E6%95%B0%E7%90%86%E8%A7%A3%E6%9E%90%E7%A0%94%E7%A9%B6%E6%89%80&rft_id=https%3A%2F%2Fhdl.handle.net%2F2433%2F172764&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://curvas21.blogspot.com/">Curvas</a>数学関数のソフトウェア</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://fooplot.com/">FooPlot</a><span class="tmpl-language-icon" style="font-size:0.95em; font-weight:bold; color:#555">（英語）</span></li> <li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Function"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><cite id="CITEREFWeisstein" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Function.html">"Function"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Function&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FFunction.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E9%96%A2%E6%95%B0+%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29" class="Z3988"></span></span></li> <li><i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/function">function</a></i> - <a href="/wiki/PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath</a>.<span class="tmpl-language-icon" style="font-size:0.95em; font-weight:bold; color:#555">（英語）</span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFKudryavtsev2001">Kudryavtsev, L.D. (2001), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Function">“Function”</a>, in Hazewinkel, Michiel, <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Encyclopedia_of_Mathematics" class="extiw" title="en:Encyclopedia of Mathematics">Encyclopedia of Mathematics</a></i>, Springer, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-1-55608-010-4" title="特別:文献資料/978-1-55608-010-4">978-1-55608-010-4</a><span style="display:none;">, <a rel="nofollow" class="external free" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Function">https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Function</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Function&rft.atitle=%5B%5B%3Aen%3AEncyclopedia+of+Mathematics%7CEncyclopedia+of+Mathematics%5D%5D&rft.aulast=Kudryavtsev&rft.aufirst=L.D.&rft.au=Kudryavtsev%2C%26%2332%3BL.D.&rft.date=2001&rft.pub=Springer&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://ncatlab.org/nlab/show/function">function</a> in <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/nLab" class="extiw" title="en:nLab">nLab</a></i></li> <li><a href="https://proofwiki.org/wiki/Definition:Function" class="extiw" title="proofwiki:Definition:Function">Definition:Function</a> at <a rel="nofollow" class="external text" href="https://proofwiki.org/">ProofWiki</a></li> <li>『<a rel="nofollow" class="external text" href="//kotobank.jp/word/%E9%96%A2%E6%95%B0">関数</a>』 - <a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%88%E3%83%90%E3%83%B3%E3%82%AF" title="コトバンク">コトバンク</a></li></ul> <div class="navbox" aria-labelledby="解析学の主要なトピックス" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:Analysis-footer" title="Template:Analysis-footer"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:Analysis-footer&action=edit&redlink=1" class="new" title="Template‐ノート:Analysis-footer (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3AAnalysis-footer&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3AAnalysis-footer&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="解析学の主要なトピックス" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" title="解析学">解析学</a>の主要なトピックス</div></th></tr><tr><td colspan="2" class="navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6" title="微分積分学">微分積分学</a></b>: <a href="/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86%E6%B3%95" title="積分法">積分法</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95" title="微分法">微分法</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="微分方程式">微分方程式</a> (<a href="/wiki/%E5%B8%B8%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="常微分方程式">常</a> - <a href="/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="偏微分方程式">偏</a>)</li> <li><a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86" title="微分積分学の基本定理">基本定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%A4%89%E5%88%86%E6%B3%95" title="変分法">変分法</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="ベクトル解析">ベクトル解析</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="テンソル解析">テンソル解析</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7" title="原始関数の一覧">積分一覧</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%B0%8E%E9%96%A2%E6%95%B0%E4%B8%80%E8%A6%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="導関数一覧 (存在しないページ)">導関数一覧</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_derivatives" class="extiw" title="en:Table of derivatives">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></td></tr><tr><td colspan="2" class="navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E5%AE%9F%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="実解析">実解析</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="複素解析">複素解析</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90" class="mw-redirect" title="関数解析">関数解析</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E8%A7%A3%E6%9E%90" class="mw-redirect" title="フーリエ解析">フーリエ解析</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="調和解析">調和解析</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E8%AB%96" title="測度論">測度論</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96" title="表現論">表現論</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">関数</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F" title="連続写像">連続関数</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E9%96%A2%E6%95%B0" title="特殊関数">特殊関数</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90" title="極限">極限</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="級数">級数</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90" title="無限">無限</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow hlist" colspan="2"> <span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Portal.svg" class="mw-file-description" title="ポータル"><img alt="ポータル" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Portal.svg/16px-Portal.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Portal.svg/24px-Portal.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Portal.svg/32px-Portal.svg.png 2x" data-file-width="36" data-file-height="32" /></a></span> <a href="/wiki/Portal:%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="Portal:数学">ポータル</a>・<span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Folder_Hexagonal_Icon.svg" class="mw-file-description" title="カテゴリ"><img alt="カテゴリ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/32px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 2x" data-file-width="36" data-file-height="31" /></a></span> <a href="/wiki/Category:%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6" title="Category:解析学">カテゴリ</a></td></tr></tbody></table></div> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a>: 国立図書館 <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q11348#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 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