CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="vi" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Số nguyên tố – Wikipedia tiếng Việt</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )viwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"vi normal","wgMonthNames":["","tháng 1","tháng 2","tháng 3","tháng 4","tháng 5","tháng 6","tháng 7","tháng 8","tháng 9","tháng 10","tháng 11","tháng 12"],"wgRequestId":"4e0a6f57-5e5a-477e-9768-8ea11008fece","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Số_nguyên_tố","wgTitle":"Số nguyên tố","wgCurRevisionId":71941440,"wgRevisionId":71941440,"wgArticleId":48401,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Nguồn CS1 tiếng Pháp (fr)","Nguồn CS1 tiếng Ý (it)","Bản mẫu webarchive dùng liên kết wayback","Bài viết chứa nhận dạng BNF","Bài viết chứa nhận dạng GND","Bài viết chứa nhận dạng LCCN","Bài viết chứa nhận dạng LNB","Bài viết chứa nhận dạng NDL","Bài viết chứa nhận dạng NKC","Bài viết chất lượng tốt","Số nguyên tố","Lý thuyết số", "Chuỗi số nguyên"],"wgPageViewLanguage":"vi","wgPageContentLanguage":"vi","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Số_nguyên_tố","wgRelevantArticleId":48401,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":false,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"vi","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"vi"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":100000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q49008","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands", "architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.charinsert-styles":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","ext.scribunto.logs","site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible", "mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.did_you_mean","ext.gadget.ReferenceTooltips","ext.gadget.AVIM","ext.gadget.AVIM_portlet","ext.gadget.charinsert","ext.gadget.refToolbar","ext.gadget.wikibugs","ext.gadget.purgetab","ext.gadget.switcher","ext.gadget.AdvancedSiteNotices","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=vi&modules=ext.cite.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=vi&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=vi&modules=ext.gadget.charinsert-styles&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=vi&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Primes-vs-composites_vi.svg/1200px-Primes-vs-composites_vi.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1687"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Primes-vs-composites_vi.svg/800px-Primes-vs-composites_vi.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="1125"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Primes-vs-composites_vi.svg/640px-Primes-vs-composites_vi.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="900"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Số nguyên tố – Wikipedia tiếng Việt"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//vi.m.wikipedia.org/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Sửa đổi" href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (vi)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//vi.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://vi.wikipedia.org/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.vi"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Nguồn cấp Atom của Wikipedia" href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Thay_%C4%91%E1%BB%95i_g%E1%BA%A7n_%C4%91%C3%A2y&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Số_nguyên_tố rootpage-Số_nguyên_tố skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Bước tới nội dung</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Trang Web"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Trình đơn chính" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Trình đơn chính </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Trình đơn chính</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">chuyển sang thanh bên</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ẩn</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Điều hướng </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Trang_Ch%C3%ADnh" title="Xem trang chính [z]" accesskey="z">Trang Chính</a></li><li id="n-wikipedia-featuredcontent" class="mw-list-item"><a href="/wiki/C%E1%BB%95ng_th%C3%B4ng_tin:N%E1%BB%99i_dung_ch%E1%BB%8Dn_l%E1%BB%8Dc">Nội dung chọn lọc</a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ng%E1%BA%ABu_nhi%C3%AAn" title="Xem trang ngẫu nhiên [x]" accesskey="x">Bài viết ngẫu nhiên</a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Thay_%C4%91%E1%BB%95i_g%E1%BA%A7n_%C4%91%C3%A2y" title="Danh sách thay đổi gần đây trong wiki [r]" accesskey="r">Thay đổi gần đây</a></li><li id="n-bug_in_article" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:B%C3%A1o_l%E1%BB%97i_b%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt">Báo lỗi nội dung</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikipedia-interaction" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikipedia-interaction" > <div class="vector-menu-heading"> Tương tác </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-wikipedia-helppage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:S%C3%A1ch_h%C6%B0%E1%BB%9Bng_d%E1%BA%ABn">Hướng dẫn</a></li><li id="n-aboutsite" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Gi%E1%BB%9Bi_thi%E1%BB%87u">Giới thiệu Wikipedia</a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:C%E1%BB%99ng_%C4%91%E1%BB%93ng" title="Giới thiệu dự án, cách sử dụng và tìm kiếm thông tin ở đây">Cộng đồng</a></li><li id="n-wikipedia-villagepump" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn">Thảo luận chung</a></li><li id="n-wikipedia-helpdesk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Gi%C3%BAp_s%E1%BB%AD_d%E1%BB%A5ng_Wikipedia">Giúp sử dụng</a></li><li id="n-contactpage" class="mw-list-item"><a href="//vi.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Liên_lạc">Liên lạc</a></li><li id="n-upload" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tr%C3%ACnh_t%E1%BA%A3i_l%C3%AAn_t%E1%BA%ADp_tin">Tải lên tập tin</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Trang_Ch%C3%ADnh" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="Bách khoa toàn thư mở" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-vi.svg" width="120" height="10" style="width: 7.5em; height: 0.625em;"> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:T%C3%ACm_ki%E1%BA%BFm" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Tìm kiếm Wikipedia [f]" accesskey="f"> Tìm kiếm </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Tìm kiếm trên Wikipedia" aria-label="Tìm kiếm trên Wikipedia" autocapitalize="sentences" title="Tìm kiếm Wikipedia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > </div> <input type="hidden" name="title" value="Đặc_biệt:Tìm_kiếm"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Tìm kiếm</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Công cụ cá nhân"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Giao diện"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Giao diện" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Giao diện </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_vi.wikipedia.org&uselang=vi" class="">Quyên góp</a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:M%E1%BB%9F_t%C3%A0i_kho%E1%BA%A3n&returnto=S%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" title="Bạn được khuyến khích mở tài khoản và đăng nhập; tuy nhiên, không bắt buộc phải có tài khoản" class="">Tạo tài khoản</a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:%C4%90%C4%83ng_nh%E1%BA%ADp&returnto=S%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" title="Đăng nhập sẽ có lợi hơn, tuy nhiên không bắt buộc. [o]" accesskey="o" class="">Đăng nhập</a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Thêm tùy chọn" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Công cụ cá nhân" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Công cụ cá nhân </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Bảng chọn thành viên" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_vi.wikipedia.org&uselang=vi">Quyên góp</a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:M%E1%BB%9F_t%C3%A0i_kho%E1%BA%A3n&returnto=S%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" title="Bạn được khuyến khích mở tài khoản và đăng nhập; tuy nhiên, không bắt buộc phải có tài khoản"> Tạo tài khoản</a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:%C4%90%C4%83ng_nh%E1%BA%ADp&returnto=S%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" title="Đăng nhập sẽ có lợi hơn, tuy nhiên không bắt buộc. [o]" accesskey="o"> Đăng nhập</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Trang dành cho người dùng chưa đăng nhập <a href="/wiki/Tr%E1%BB%A3_gi%C3%BAp:Gi%E1%BB%9Bi_thi%E1%BB%87u" aria-label="Tìm hiểu thêm về sửa đổi">tìm hiểu thêm</a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:%C4%90%C3%B3ng_g%C3%B3p_c%E1%BB%A7a_t%C3%B4i" title="Danh sách các sửa đổi được thực hiện qua địa chỉ IP này [y]" accesskey="y">Đóng góp</a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn_t%C3%B4i" title="Thảo luận với địa chỉ IP này [n]" accesskey="n">Thảo luận cho địa chỉ IP này</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Trang Web"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Nội dung" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Nội dung</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">chuyển sang thanh bên</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ẩn</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Đầu</div> </a> </li> <li id="toc-Định_nghĩa_và_ví_dụ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Định_nghĩa_và_ví_dụ"> <div class="vector-toc-text"> 1 Định nghĩa và ví dụ </div> </a> <ul id="toc-Định_nghĩa_và_ví_dụ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Lịch_sử" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Lịch_sử"> <div class="vector-toc-text"> 2 Lịch sử </div> </a> <button aria-controls="toc-Lịch_sử-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Hiện/ẩn mục Lịch sử </button> <ul id="toc-Lịch_sử-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Tính_nguyên_tố_của_số_1" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Tính_nguyên_tố_của_số_1"> <div class="vector-toc-text"> 2.1 Tính nguyên tố của số 1 </div> </a> <ul id="toc-Tính_nguyên_tố_của_số_1-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Tính_chất_cơ_bản" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Tính_chất_cơ_bản"> <div class="vector-toc-text"> 3 Tính chất cơ bản </div> </a> <button aria-controls="toc-Tính_chất_cơ_bản-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Hiện/ẩn mục Tính chất cơ bản </button> <ul id="toc-Tính_chất_cơ_bản-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Sự_phân_tích_duy_nhất" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Sự_phân_tích_duy_nhất"> <div class="vector-toc-text"> 3.1 Sự phân tích duy nhất </div> </a> <ul id="toc-Sự_phân_tích_duy_nhất-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Sự_tồn_tại_vô_số_số_nguyên_tố" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Sự_tồn_tại_vô_số_số_nguyên_tố"> <div class="vector-toc-text"> 3.2 Sự tồn tại vô số số nguyên tố </div> </a> <ul id="toc-Sự_tồn_tại_vô_số_số_nguyên_tố-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Công_thức_số_nguyên_tố" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Công_thức_số_nguyên_tố"> <div class="vector-toc-text"> 3.3 Công thức số nguyên tố </div> </a> <ul id="toc-Công_thức_số_nguyên_tố-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Các_bài_toán_mở" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Các_bài_toán_mở"> <div class="vector-toc-text"> 3.4 Các bài toán mở </div> </a> <ul id="toc-Các_bài_toán_mở-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Tính_chất_trong_giải_tích" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Tính_chất_trong_giải_tích"> <div class="vector-toc-text"> 4 Tính chất trong giải tích </div> </a> <button aria-controls="toc-Tính_chất_trong_giải_tích-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Hiện/ẩn mục Tính chất trong giải tích </button> <ul id="toc-Tính_chất_trong_giải_tích-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Chứng_minh_định_lý_Euclid_bằng_giải_tích" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Chứng_minh_định_lý_Euclid_bằng_giải_tích"> <div class="vector-toc-text"> 4.1 Chứng minh định lý Euclid bằng giải tích </div> </a> <ul id="toc-Chứng_minh_định_lý_Euclid_bằng_giải_tích-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Số_lượng_số_nguyên_tố_nằm_dưới_một_số_cho_trước" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Số_lượng_số_nguyên_tố_nằm_dưới_một_số_cho_trước"> <div class="vector-toc-text"> 4.2 Số lượng số nguyên tố nằm dưới một số cho trước </div> </a> <ul id="toc-Số_lượng_số_nguyên_tố_nằm_dưới_một_số_cho_trước-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Cấp_số_cộng" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Cấp_số_cộng"> <div class="vector-toc-text"> 4.3 Cấp số cộng </div> </a> <ul id="toc-Cấp_số_cộng-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Giá_trị_nguyên_tố_của_đa_thức_bậc_hai" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Giá_trị_nguyên_tố_của_đa_thức_bậc_hai"> <div class="vector-toc-text"> 4.4 Giá trị nguyên tố của đa thức bậc hai </div> </a> <ul id="toc-Giá_trị_nguyên_tố_của_đa_thức_bậc_hai-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Hàm_zeta_và_giả_thuyết_Riemann" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Hàm_zeta_và_giả_thuyết_Riemann"> <div class="vector-toc-text"> 4.5 Hàm zeta và giả thuyết Riemann </div> </a> <ul id="toc-Hàm_zeta_và_giả_thuyết_Riemann-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Đại_số_trừu_tượng" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Đại_số_trừu_tượng"> <div class="vector-toc-text"> 5 Đại số trừu tượng </div> </a> <button aria-controls="toc-Đại_số_trừu_tượng-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Hiện/ẩn mục Đại số trừu tượng </button> <ul id="toc-Đại_số_trừu_tượng-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Số_học_mô_đun_và_trường_hữu_hạn" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Số_học_mô_đun_và_trường_hữu_hạn"> <div class="vector-toc-text"> 5.1 Số học mô đun và trường hữu hạn </div> </a> <ul id="toc-Số_học_mô_đun_và_trường_hữu_hạn-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Số_p-adic" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Số_p-adic"> <div class="vector-toc-text"> 5.2 Số p-adic </div> </a> <ul id="toc-Số_p-adic-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Phần_tử_nguyên_tố_trong_vành" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Phần_tử_nguyên_tố_trong_vành"> <div class="vector-toc-text"> 5.3 Phần tử nguyên tố trong vành </div> </a> <ul id="toc-Phần_tử_nguyên_tố_trong_vành-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-I-đê-an_nguyên_tố" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#I-đê-an_nguyên_tố"> <div class="vector-toc-text"> 5.4 I-đê-an nguyên tố </div> </a> <ul id="toc-I-đê-an_nguyên_tố-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Lý_thuyết_nhóm" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Lý_thuyết_nhóm"> <div class="vector-toc-text"> 5.5 Lý thuyết nhóm </div> </a> <ul id="toc-Lý_thuyết_nhóm-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Phương_pháp_tính" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Phương_pháp_tính"> <div class="vector-toc-text"> 6 Phương pháp tính </div> </a> <button aria-controls="toc-Phương_pháp_tính-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Hiện/ẩn mục Phương pháp tính </button> <ul id="toc-Phương_pháp_tính-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Giải_thuật_chia_thử" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Giải_thuật_chia_thử"> <div class="vector-toc-text"> 6.1 Giải thuật chia thử </div> </a> <ul id="toc-Giải_thuật_chia_thử-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Sàng" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Sàng"> <div class="vector-toc-text"> 6.2 Sàng </div> </a> <ul id="toc-Sàng-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Kiểm_tra_tính_nguyên_tố_và_chứng_minh_tính_nguyên_tố" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Kiểm_tra_tính_nguyên_tố_và_chứng_minh_tính_nguyên_tố"> <div class="vector-toc-text"> 6.3 Kiểm tra tính nguyên tố và chứng minh tính nguyên tố </div> </a> <ul id="toc-Kiểm_tra_tính_nguyên_tố_và_chứng_minh_tính_nguyên_tố-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Các_thuật_toán_đặc_biệt_và_số_nguyên_tố_lớn_nhất_đã_biết" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Các_thuật_toán_đặc_biệt_và_số_nguyên_tố_lớn_nhất_đã_biết"> <div class="vector-toc-text"> 6.4 Các thuật toán đặc biệt và số nguyên tố lớn nhất đã biết </div> </a> <ul id="toc-Các_thuật_toán_đặc_biệt_và_số_nguyên_tố_lớn_nhất_đã_biết-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Phân_tích_số_nguyên" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Phân_tích_số_nguyên"> <div class="vector-toc-text"> 6.5 Phân tích số nguyên </div> </a> <ul id="toc-Phân_tích_số_nguyên-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ứng_dụng_khác_trong_điện_toán" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ứng_dụng_khác_trong_điện_toán"> <div class="vector-toc-text"> 6.6 Ứng dụng khác trong điện toán </div> </a> <ul id="toc-Ứng_dụng_khác_trong_điện_toán-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Các_ứng_dụng_khác" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Các_ứng_dụng_khác"> <div class="vector-toc-text"> 7 Các ứng dụng khác </div> </a> <button aria-controls="toc-Các_ứng_dụng_khác-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Hiện/ẩn mục Các ứng dụng khác </button> <ul id="toc-Các_ứng_dụng_khác-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Đa_giác_vẽ_được_và_phân_chia_đa_giác" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Đa_giác_vẽ_được_và_phân_chia_đa_giác"> <div class="vector-toc-text"> 7.1 Đa giác vẽ được và phân chia đa giác </div> </a> <ul id="toc-Đa_giác_vẽ_được_và_phân_chia_đa_giác-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Cơ_học_lượng_tử" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Cơ_học_lượng_tử"> <div class="vector-toc-text"> 7.2 Cơ học lượng tử </div> </a> <ul id="toc-Cơ_học_lượng_tử-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Sinh_học" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Sinh_học"> <div class="vector-toc-text"> 7.3 Sinh học </div> </a> <ul id="toc-Sinh_học-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Nghệ_thuật_và_văn_học" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Nghệ_thuật_và_văn_học"> <div class="vector-toc-text"> 7.4 Nghệ thuật và văn học </div> </a> <ul id="toc-Nghệ_thuật_và_văn_học-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Xem_thêm" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Xem_thêm"> <div class="vector-toc-text"> 8 Xem thêm </div> </a> <ul id="toc-Xem_thêm-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ghi_chú" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Ghi_chú"> <div class="vector-toc-text"> 9 Ghi chú </div> </a> <ul id="toc-Ghi_chú-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Chú_thích" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Chú_thích"> <div class="vector-toc-text"> 10 Chú thích </div> </a> <ul id="toc-Chú_thích-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liên_kết_ngoài" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Liên_kết_ngoài"> <div class="vector-toc-text"> 11 Liên kết ngoài </div> </a> <ul id="toc-Liên_kết_ngoài-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Nội dung" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Đóng mở mục lục" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Đóng mở mục lục </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Số nguyên tố</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Xem bài viết trong ngôn ngữ khác. Bài có sẵn trong 138 ngôn ngữ" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-138" aria-hidden="true" > 138 ngôn ngữ </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Priemgetal" title="Priemgetal – Tiếng Afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Priemgetal" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="Tiếng Afrikaans" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Primzahl" title="Primzahl – Tiếng Đức (Thụy Sĩ)" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Primzahl" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="Tiếng Đức (Thụy Sĩ)" class="interlanguage-link-target">Alemannisch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ang mw-list-item"><a href="https://ang.wikipedia.org/wiki/Frumt%C3%A6l" title="Frumtæl – Tiếng Anh cổ" lang="ang" hreflang="ang" data-title="Frumtæl" data-language-autonym="Ænglisc" data-language-local-name="Tiếng Anh cổ" class="interlanguage-link-target">Ænglisc</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%A3%D9%88%D9%84%D9%8A" title="عدد أولي – Tiếng Ả Rập" lang="ar" hreflang="ar" data-title="عدد أولي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="Tiếng Ả Rập" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Numero_primero" title="Numero primero – Tiếng Aragon" lang="an" hreflang="an" data-title="Numero primero" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="Tiếng Aragon" class="interlanguage-link-target">Aragonés</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hyw mw-list-item"><a href="https://hyw.wikipedia.org/wiki/%D5%8A%D5%A1%D6%80%D5%A6_%D5%A9%D5%AB%D6%82" title="Պարզ թիւ – Western Armenian" lang="hyw" hreflang="hyw" data-title="Պարզ թիւ" data-language-autonym="Արեւմտահայերէն" data-language-local-name="Western Armenian" class="interlanguage-link-target">Արեւմտահայերէն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AE%E0%A7%8C%E0%A6%B2%E0%A6%BF%E0%A6%95_%E0%A6%B8%E0%A6%82%E0%A6%96%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE" title="মৌলিক সংখ্যা – Tiếng Assam" lang="as" hreflang="as" data-title="মৌলিক সংখ্যা" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="Tiếng Assam" class="interlanguage-link-target">অসমীয়া</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmberu_primu" title="Númberu primu – Tiếng Asturias" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Númberu primu" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="Tiếng Asturias" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Sad%C9%99_%C9%99d%C9%99d" title="Sadə ədəd – Tiếng Azerbaijan" lang="az" hreflang="az" data-title="Sadə ədəd" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="Tiếng Azerbaijan" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%D8%A7%D8%AF%D9%87_%D8%B9%D8%AF%D8%AF" title="ساده عدد – South Azerbaijani" lang="azb" hreflang="azb" data-title="ساده عدد" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target">تۆرکجه</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_prima" title="Bilangan prima – Tiếng Indonesia" lang="id" hreflang="id" data-title="Bilangan prima" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="Tiếng Indonesia" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Nombor_perdana" title="Nombor perdana – Tiếng Mã Lai" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Nombor perdana" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="Tiếng Mã Lai" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AE%E0%A7%8C%E0%A6%B2%E0%A6%BF%E0%A6%95_%E0%A6%B8%E0%A6%82%E0%A6%96%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE" title="মৌলিক সংখ্যা – Tiếng Bangla" lang="bn" hreflang="bn" data-title="মৌলিক সংখ্যা" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="Tiếng Bangla" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/S%C3%B2%CD%98-s%C3%B2%CD%98" title="Sò͘-sò͘ – Tiếng Mân Nam" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Sò͘-sò͘" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="Tiếng Mân Nam" class="interlanguage-link-target">閩南語 / Bân-lâm-gú</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%D0%B1%D0%B0%D0%B9_%D2%BB%D0%B0%D0%BD" title="Ябай һан – Tiếng Bashkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Ябай һан" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="Tiếng Bashkir" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8B_%D0%BB%D1%96%D0%BA" title="Просты лік – Tiếng Belarus" lang="be" hreflang="be" data-title="Просты лік" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="Tiếng Belarus" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8B_%D0%BB%D1%96%D0%BA" title="Просты лік – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Просты лік" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target">Беларуская (тарашкевіца)</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Prost_broj" title="Prost broj – Tiếng Bosnia" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Prost broj" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="Tiếng Bosnia" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Niver_kentael" title="Niver kentael – Tiếng Breton" lang="br" hreflang="br" data-title="Niver kentael" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="Tiếng Breton" class="interlanguage-link-target">Brezhoneg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Просто число – Tiếng Bulgaria" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Просто число" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="Tiếng Bulgaria" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_primer" title="Nombre primer – Tiếng Catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Nombre primer" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="Tiếng Catalan" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D1%81%D0%B0%D1%82_%D1%85%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BF" title="Ансат хисеп – Tiếng Chuvash" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Ансат хисеп" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="Tiếng Chuvash" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Prvo%C4%8D%C3%ADslo" title="Prvočíslo – Tiếng Séc" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Prvočíslo" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="Tiếng Séc" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Rhif_cysefin" title="Rhif cysefin – Tiếng Wales" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Rhif cysefin" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="Tiếng Wales" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Primtal" title="Primtal – Tiếng Đan Mạch" lang="da" hreflang="da" data-title="Primtal" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="Tiếng Đan Mạch" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ary mw-list-item"><a href="https://ary.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D8%A7%D8%AF_%D9%84%D9%88%D9%84%D9%8A" title="عاداد لولي – Moroccan Arabic" lang="ary" hreflang="ary" data-title="عاداد لولي" data-language-autonym="الدارجة" data-language-local-name="Moroccan Arabic" class="interlanguage-link-target">الدارجة</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl" title="Primzahl – Tiếng Đức" lang="de" hreflang="de" data-title="Primzahl" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="Tiếng Đức" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Algarv" title="Algarv – Tiếng Estonia" lang="et" hreflang="et" data-title="Algarv" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="Tiếng Estonia" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CF%81%CF%8E%CF%84%CE%BF%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Πρώτος αριθμός – Tiếng Hy Lạp" lang="el" hreflang="el" data-title="Πρώτος αριθμός" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="Tiếng Hy Lạp" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eml mw-list-item"><a href="https://eml.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9mer_prim" title="Nùmer prim – Emiliano-Romagnolo" lang="egl" hreflang="egl" data-title="Nùmer prim" data-language-autonym="Emiliàn e rumagnòl" data-language-local-name="Emiliano-Romagnolo" class="interlanguage-link-target">Emiliàn e rumagnòl</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="bài viết tốt"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number" title="Prime number – Tiếng Anh" lang="en" hreflang="en" data-title="Prime number" data-language-autonym="English" data-language-local-name="Tiếng Anh" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="bài viết tốt"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo" title="Número primo – Tiếng Tây Ban Nha" lang="es" hreflang="es" data-title="Número primo" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="Tiếng Tây Ban Nha" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Primo" title="Primo – Tiếng Quốc Tế Ngữ" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Primo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="Tiếng Quốc Tế Ngữ" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Zenbaki_lehen" title="Zenbaki lehen – Tiếng Basque" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Zenbaki lehen" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="Tiếng Basque" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%A7%D9%88%D9%84" title="عدد اول – Tiếng Ba Tư" lang="fa" hreflang="fa" data-title="عدد اول" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="Tiếng Ba Tư" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Primtal" title="Primtal – Tiếng Faroe" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Primtal" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="Tiếng Faroe" class="interlanguage-link-target">Føroyskt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier" title="Nombre premier – Tiếng Pháp" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Nombre premier" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Tiếng Pháp" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Uimhir_phr%C3%ADomha" title="Uimhir phríomha – Tiếng Ireland" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Uimhir phríomha" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="Tiếng Ireland" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo" title="Número primo – Tiếng Galician" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Número primo" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="Tiếng Galician" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E8%B3%AA%E6%95%B8" title="質數 – Tiếng Cám" lang="gan" hreflang="gan" data-title="質數" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="Tiếng Cám" class="interlanguage-link-target">贛語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gu mw-list-item"><a href="https://gu.wikipedia.org/wiki/%E0%AA%85%E0%AA%B5%E0%AA%BF%E0%AA%AD%E0%AA%BE%E0%AA%9C%E0%AB%8D%E0%AA%AF_%E0%AA%B8%E0%AA%82%E0%AA%96%E0%AB%8D%E0%AA%AF%E0%AA%BE" title="અવિભાજ્ય સંખ્યા – Tiếng Gujarati" lang="gu" hreflang="gu" data-title="અવિભાજ્ય સંખ્યા" data-language-autonym="ગુજરાતી" data-language-local-name="Tiếng Gujarati" class="interlanguage-link-target">ગુજરાતી</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D0%BD_%D1%82%D0%BE%D0%B9%D0%B3" title="Экн тойг – Tiếng Kalmyk" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Экн тойг" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="Tiếng Kalmyk" class="interlanguage-link-target">Хальмг</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%86%8C%EC%88%98_(%EC%88%98%EB%A1%A0)" title="소수 (수론) – Tiếng Hàn" lang="ko" hreflang="ko" data-title="소수 (수론)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Tiếng Hàn" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-haw mw-list-item"><a href="https://haw.wikipedia.org/wiki/Helu_kumu" title="Helu kumu – Tiếng Hawaii" lang="haw" hreflang="haw" data-title="Helu kumu" data-language-autonym="Hawaiʻi" data-language-local-name="Tiếng Hawaii" class="interlanguage-link-target">Hawaiʻi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8A%D5%A1%D6%80%D5%A6_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Պարզ թիվ – Tiếng Armenia" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Պարզ թիվ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="Tiếng Armenia" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%AD%E0%A4%BE%E0%A4%9C%E0%A5%8D%E0%A4%AF_%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="अभाज्य संख्या – Tiếng Hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="अभाज्य संख्या" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="Tiếng Hindi" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hsb mw-list-item"><a href="https://hsb.wikipedia.org/wiki/Primowa_li%C4%8Dba" title="Primowa ličba – Tiếng Thượng Sorbia" lang="hsb" hreflang="hsb" data-title="Primowa ličba" data-language-autonym="Hornjoserbsce" data-language-local-name="Tiếng Thượng Sorbia" class="interlanguage-link-target">Hornjoserbsce</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Prosti_broj" title="Prosti broj – Tiếng Croatia" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Prosti broj" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="Tiếng Croatia" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Numero_prime" title="Numero prime – Tiếng Khoa Học Quốc Tế" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Numero prime" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="Tiếng Khoa Học Quốc Tế" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Frumtala" title="Frumtala – Tiếng Iceland" lang="is" hreflang="is" data-title="Frumtala" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="Tiếng Iceland" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="huy hiệu bài viết chọn lọc"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_primo" title="Numero primo – Tiếng Italy" lang="it" hreflang="it" data-title="Numero primo" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="Tiếng Italy" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%95%D7%A0%D7%99" title="מספר ראשוני – Tiếng Do Thái" lang="he" hreflang="he" data-title="מספר ראשוני" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="Tiếng Do Thái" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Wilangan_prima" title="Wilangan prima – Tiếng Java" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Wilangan prima" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="Tiếng Java" class="interlanguage-link-target">Jawa</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%85%E0%B2%B5%E0%B2%BF%E0%B2%AD%E0%B2%BE%E0%B2%9C%E0%B3%8D%E0%B2%AF_%E0%B2%B8%E0%B2%82%E0%B2%96%E0%B3%8D%E0%B2%AF%E0%B3%86" title="ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ – Tiếng Kannada" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="Tiếng Kannada" class="interlanguage-link-target">ಕನ್ನಡ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A0%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%95%E1%83%98_%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%AA%E1%83%AE%E1%83%95%E1%83%98" title="მარტივი რიცხვი – Tiếng Georgia" lang="ka" hreflang="ka" data-title="მარტივი რიცხვი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="Tiếng Georgia" class="interlanguage-link-target">ქართული</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%96%D0%B0%D0%B9_%D1%81%D0%B0%D0%BD" title="Жай сан – Tiếng Kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Жай сан" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="Tiếng Kazakh" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kw mw-list-item"><a href="https://kw.wikipedia.org/wiki/Pennriv" title="Pennriv – Tiếng Cornwall" lang="kw" hreflang="kw" data-title="Pennriv" data-language-autonym="Kernowek" data-language-local-name="Tiếng Cornwall" class="interlanguage-link-target">Kernowek</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%96%D3%A9%D0%BD%D3%A9%D0%BA%D3%A9%D0%B9_%D1%81%D0%B0%D0%BD" title="Жөнөкөй сан – Tiếng Kyrgyz" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Жөнөкөй сан" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="Tiếng Kyrgyz" class="interlanguage-link-target">Кыргызча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Namba_tasa" title="Namba tasa – Tiếng Swahili" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Namba tasa" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="Tiếng Swahili" class="interlanguage-link-target">Kiswahili</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ht mw-list-item"><a href="https://ht.wikipedia.org/wiki/Nonm_premye" title="Nonm premye – Tiếng Haiti" lang="ht" hreflang="ht" data-title="Nonm premye" data-language-autonym="Kreyòl ayisyen" data-language-local-name="Tiếng Haiti" class="interlanguage-link-target">Kreyòl ayisyen</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Nonm_pr%C3%A9my%C3%A9" title="Nonm prémyé – Guianan Creole" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Nonm prémyé" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target">Kriyòl gwiyannen</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a href="https://ku.wikipedia.org/wiki/Hejmar%C3%AAn_h%C3%AEm%C3%AE" title="Hejmarên hîmî – Tiếng Kurd" lang="ku" hreflang="ku" data-title="Hejmarên hîmî" data-language-autonym="Kurdî" data-language-local-name="Tiếng Kurd" class="interlanguage-link-target">Kurdî</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%95%E0%BA%BB%E0%BA%A7%E0%BB%80%E0%BA%A5%E0%BA%81%E0%BA%AB%E0%BA%BC%E0%BA%B1%E0%BA%81" title="ຕົວເລກຫຼັກ – Tiếng Lào" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ຕົວເລກຫຼັກ" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="Tiếng Lào" class="interlanguage-link-target">ລາວ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Numerus_primus" title="Numerus primus – Tiếng La-tinh" lang="la" hreflang="la" data-title="Numerus primus" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="Tiếng La-tinh" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Pirmskaitlis" title="Pirmskaitlis – Tiếng Latvia" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Pirmskaitlis" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="Tiếng Latvia" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Primzuel" title="Primzuel – Tiếng Luxembourg" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Primzuel" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="Tiếng Luxembourg" class="interlanguage-link-target">Lëtzebuergesch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Pirminis_skai%C4%8Dius" title="Pirminis skaičius – Tiếng Litva" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Pirminis skaičius" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="Tiếng Litva" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-li mw-list-item"><a href="https://li.wikipedia.org/wiki/Priemgetaal" title="Priemgetaal – Tiếng Limburg" lang="li" hreflang="li" data-title="Priemgetaal" data-language-autonym="Limburgs" data-language-local-name="Tiếng Limburg" class="interlanguage-link-target">Limburgs</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jbo mw-list-item"><a href="https://jbo.wikipedia.org/wiki/nalfendi_kacna%27u" title="nalfendi kacna'u – Tiếng Lojban" lang="jbo" hreflang="jbo" data-title="nalfendi kacna'u" data-language-autonym="La .lojban." data-language-local-name="Tiếng Lojban" class="interlanguage-link-target">La .lojban.</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="huy hiệu bài viết chọn lọc"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Numer_primm" title="Numer primm – Tiếng Lombard" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Numer primm" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="Tiếng Lombard" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%ADmsz%C3%A1mok" title="Prímszámok – Tiếng Hungary" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Prímszámok" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="Tiếng Hungary" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98" title="Прост број – Tiếng Macedonia" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Прост број" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="Tiếng Macedonia" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Isa_tsy_azo_tsinjaraina" title="Isa tsy azo tsinjaraina – Tiếng Malagasy" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Isa tsy azo tsinjaraina" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="Tiếng Malagasy" class="interlanguage-link-target">Malagasy</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%85%E0%B4%AD%E0%B4%BE%E0%B4%9C%E0%B5%8D%E0%B4%AF%E0%B4%B8%E0%B4%82%E0%B4%96%E0%B5%8D%E0%B4%AF" title="അഭാജ്യസംഖ്യ – Tiếng Malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="അഭാജ്യസംഖ്യ" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="Tiếng Malayalam" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Numru_l-ewwel" title="Numru l-ewwel – Tiếng Malta" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Numru l-ewwel" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="Tiếng Malta" class="interlanguage-link-target">Malti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AE%E0%A5%82%E0%A4%B3_%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="मूळ संख्या – Tiếng Marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="मूळ संख्या" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="Tiếng Marathi" class="interlanguage-link-target">मराठी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-arz mw-list-item"><a href="https://arz.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%A7%D9%88%D9%84%D9%89" title="عدد اولى – Tiếng Ả Rập Ai Cập" lang="arz" hreflang="arz" data-title="عدد اولى" data-language-autonym="مصرى" data-language-local-name="Tiếng Ả Rập Ai Cập" class="interlanguage-link-target">مصرى</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D1%85%D0%BD%D1%8B_%D1%82%D0%BE%D0%BE" title="Анхны тоо – Tiếng Mông Cổ" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Анхны тоо" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="Tiếng Mông Cổ" class="interlanguage-link-target">Монгол</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%9E%E1%80%AF%E1%80%92%E1%80%B9%E1%80%93%E1%80%80%E1%80%AD%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8" title="သုဒ္ဓကိန်း – Tiếng Miến Điện" lang="my" hreflang="my" data-title="သုဒ္ဓကိန်း" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="Tiếng Miến Điện" class="interlanguage-link-target">မြန်မာဘာသာ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Naba_taumada" title="Naba taumada – Tiếng Fiji" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Naba taumada" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="Tiếng Fiji" class="interlanguage-link-target">Na Vosa Vakaviti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Priemgetal" title="Priemgetal – Tiếng Hà Lan" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Priemgetal" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Tiếng Hà Lan" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BE%E0%A4%87%E0%A4%AE_%E0%A4%B8%E0%A4%99%E0%A5%8D%E0%A4%96%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="प्राइम सङ्ख्या – Tiếng Nepal" lang="ne" hreflang="ne" data-title="प्राइम सङ्ख्या" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="Tiếng Nepal" class="interlanguage-link-target">नेपाली</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="素数 – Tiếng Nhật" lang="ja" hreflang="ja" data-title="素数" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Tiếng Nhật" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Primtaal" title="Primtaal – Tiếng Frisia Miền Bắc" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Primtaal" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="Tiếng Frisia Miền Bắc" class="interlanguage-link-target">Nordfriisk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Primtall" title="Primtall – Tiếng Na Uy (Bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Primtall" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="Tiếng Na Uy (Bokmål)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Primtal" title="Primtal – Tiếng Na Uy (Nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Primtal" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Tiếng Na Uy (Nynorsk)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Nombre_primi%C3%A8r" title="Nombre primièr – Tiếng Occitan" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Nombre primièr" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="Tiếng Occitan" class="interlanguage-link-target">Occitan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-or mw-list-item"><a href="https://or.wikipedia.org/wiki/%E0%AC%AE%E0%AD%8C%E0%AC%B3%E0%AC%BF%E0%AC%95_%E0%AC%B8%E0%AC%82%E0%AC%96%E0%AD%8D%E0%AD%9F%E0%AC%BE" title="ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା – Tiếng Odia" lang="or" hreflang="or" data-title="ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା" data-language-autonym="ଓଡ଼ିଆ" data-language-local-name="Tiếng Odia" class="interlanguage-link-target">ଓଡ଼ିଆ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Tub_son" title="Tub son – Tiếng Uzbek" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Tub son" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="Tiếng Uzbek" class="interlanguage-link-target">Oʻzbekcha / ўзбекча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%85%E0%A8%AD%E0%A8%BE%E0%A8%9C_%E0%A8%B8%E0%A9%B0%E0%A8%96%E0%A8%BF%E0%A8%86" title="ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ – Tiếng Punjab" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="Tiếng Punjab" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D8%A7%D8%A6%D9%85_%D9%86%D9%85%D8%A8%D8%B1" title="پرائم نمبر – Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="پرائم نمبر" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target">پنجابی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Praim_nomba" title="Praim nomba – Tiếng Anh Jamaica Creole" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Praim nomba" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="Tiếng Anh Jamaica Creole" class="interlanguage-link-target">Patois</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%85%E1%9F%86%E1%9E%93%E1%9E%BD%E1%9E%93%E1%9E%94%E1%9E%8B%E1%9E%98" title="ចំនួនបឋម – Tiếng Khmer" lang="km" hreflang="km" data-title="ចំនួនបឋម" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="Tiếng Khmer" class="interlanguage-link-target">ភាសាខ្មែរ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9mer_prim" title="Nùmer prim – Piedmontese" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Nùmer prim" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piedmontese" class="interlanguage-link-target">Piemontèis</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Primtall" title="Primtall – Tiếng Hạ Giéc-man" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Primtall" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="Tiếng Hạ Giéc-man" class="interlanguage-link-target">Plattdüütsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_pierwsze" title="Liczby pierwsze – Tiếng Ba Lan" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Liczby pierwsze" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="Tiếng Ba Lan" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo" title="Número primo – Tiếng Bồ Đào Nha" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Número primo" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="Tiếng Bồ Đào Nha" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_prim" title="Număr prim – Tiếng Romania" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Număr prim" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="Tiếng Romania" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Простое число – Tiếng Nga" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Простое число" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Tiếng Nga" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Простое число – Tiếng Sakha" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Простое число" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="Tiếng Sakha" class="interlanguage-link-target">Саха тыла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Numri_i_thjesht%C3%AB" title="Numri i thjeshtë – Tiếng Albania" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Numri i thjeshtë" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="Tiếng Albania" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9mmuru_primu" title="Nùmmuru primu – Tiếng Sicilia" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Nùmmuru primu" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="Tiếng Sicilia" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%B4%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BB%E0%B6%AE%E0%B6%B8%E0%B6%9A_%E0%B7%83%E0%B6%82%E0%B6%9B%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B7%8F" title="ප්‍රථමක සංඛ්‍යා – Tiếng Sinhala" lang="si" hreflang="si" data-title="ප්‍රථමක සංඛ්‍යා" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="Tiếng Sinhala" class="interlanguage-link-target">සිංහල</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Prime_number" title="Prime number – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Prime number" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Prvo%C4%8D%C3%ADslo" title="Prvočíslo – Tiếng Slovak" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Prvočíslo" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Tiếng Slovak" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Pra%C5%A1tevilo" title="Praštevilo – Tiếng Slovenia" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Praštevilo" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Tiếng Slovenia" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/Pjyrszo_n%C5%AFmera" title="Pjyrszo nůmera – Silesian" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Pjyrszo nůmera" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="Silesian" class="interlanguage-link-target">Ślůnski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Thiin_mutuxan" title="Thiin mutuxan – Tiếng Somali" lang="so" hreflang="so" data-title="Thiin mutuxan" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="Tiếng Somali" class="interlanguage-link-target">Soomaaliga</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%98%D9%85%D8%A7%D8%B1%DB%95%DB%8C_%D8%B3%DB%95%D8%B1%DB%95%D8%AA%D8%A7%DB%8C%DB%8C" title="ژمارەی سەرەتایی – Tiếng Kurd Miền Trung" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ژمارەی سەرەتایی" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="Tiếng Kurd Miền Trung" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98" title="Прост број – Tiếng Serbia" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Прост број" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="Tiếng Serbia" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Prost_broj" title="Prost broj – Tiếng Serbo-Croatia" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Prost broj" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="Tiếng Serbo-Croatia" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Alkuluku" title="Alkuluku – Tiếng Phần Lan" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Alkuluku" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="Tiếng Phần Lan" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Primtal" title="Primtal – Tiếng Thụy Điển" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Primtal" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="Tiếng Thụy Điển" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-shi mw-list-item"><a href="https://shi.wikipedia.org/wiki/Am%E1%B8%8Dan_amnzu" title="Amḍan amnzu – Tiếng Tachelhit" lang="shi" hreflang="shi" data-title="Amḍan amnzu" data-language-autonym="Taclḥit" data-language-local-name="Tiếng Tachelhit" class="interlanguage-link-target">Taclḥit</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Pangunahing_bilang" title="Pangunahing bilang – Tiếng Tagalog" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Pangunahing bilang" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="Tiếng Tagalog" class="interlanguage-link-target">Tagalog</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AA%E0%AE%95%E0%AE%BE_%E0%AE%8E%E0%AE%A3%E0%AF%8D" title="பகா எண் – Tiếng Tamil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="பகா எண்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="Tiếng Tamil" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%AA%E0%B1%8D%E0%B0%B0%E0%B0%A7%E0%B0%BE%E0%B0%A8_%E0%B0%B8%E0%B0%82%E0%B0%96%E0%B1%8D%E0%B0%AF" title="ప్రధాన సంఖ్య – Tiếng Telugu" lang="te" hreflang="te" data-title="ప్రధాన సంఖ్య" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="Tiếng Telugu" class="interlanguage-link-target">తెలుగు</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%89%E0%B8%9E%E0%B8%B2%E0%B8%B0" title="จำนวนเฉพาะ – Tiếng Thái" lang="th" hreflang="th" data-title="จำนวนเฉพาะ" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="Tiếng Thái" class="interlanguage-link-target">ไทย</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B4%D0%B0%D0%B4%D2%B3%D0%BE%D0%B8_%D1%81%D0%BE%D0%B4%D0%B0" title="Ададҳои сода – Tiếng Tajik" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Ададҳои сода" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="Tiếng Tajik" class="interlanguage-link-target">Тоҷикӣ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Asal_say%C4%B1" title="Asal sayı – Tiếng Thổ Nhĩ Kỳ" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Asal sayı" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="Tiếng Thổ Nhĩ Kỳ" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Просте число – Tiếng Ukraina" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Просте число" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="Tiếng Ukraina" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D9%81%D8%B1%D8%AF_%D8%B9%D8%AF%D8%AF" title="مفرد عدد – Tiếng Urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="مفرد عدد" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="Tiếng Urdu" class="interlanguage-link-target">اردو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ug mw-list-item"><a href="https://ug.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%DB%88%D9%BE_%D8%B3%D8%A7%D9%86" title="تۈپ سان – Tiếng Uyghur" lang="ug" hreflang="ug" data-title="تۈپ سان" data-language-autonym="ئۇيغۇرچە / Uyghurche" data-language-local-name="Tiếng Uyghur" class="interlanguage-link-target">ئۇيغۇرچە / Uyghurche</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9maro_primo" title="Nùmaro primo – Venetian" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Nùmaro primo" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="Venetian" class="interlanguage-link-target">Vèneto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vep mw-list-item"><a href="https://vep.wikipedia.org/wiki/Palatoi_lugu" title="Palatoi lugu – Veps" lang="vep" hreflang="vep" data-title="Palatoi lugu" data-language-autonym="Vepsän kel’" data-language-local-name="Veps" class="interlanguage-link-target">Vepsän kel’</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fiu-vro mw-list-item"><a href="https://fiu-vro.wikipedia.org/wiki/Algarv" title="Algarv – Võro" lang="vro" hreflang="vro" data-title="Algarv" data-language-autonym="Võro" data-language-local-name="Võro" class="interlanguage-link-target">Võro</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wa mw-list-item"><a href="https://wa.wikipedia.org/wiki/Nombe_prum%C3%AE" title="Nombe prumî – Tiếng Walloon" lang="wa" hreflang="wa" data-title="Nombe prumî" data-language-autonym="Walon" data-language-local-name="Tiếng Walloon" class="interlanguage-link-target">Walon</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E8%B3%AA%E6%95%B8" title="質數 – Literary Chinese" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="質數" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Literary Chinese" class="interlanguage-link-target">文言</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vls mw-list-item"><a href="https://vls.wikipedia.org/wiki/Priemgetal" title="Priemgetal – West Flemish" lang="vls" hreflang="vls" data-title="Priemgetal" data-language-autonym="West-Vlams" data-language-local-name="West Flemish" class="interlanguage-link-target">West-Vlams</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Panguna_nga_ihap" title="Panguna nga ihap – Tiếng Waray" lang="war" hreflang="war" data-title="Panguna nga ihap" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="Tiếng Waray" class="interlanguage-link-target">Winaray</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%A8%E6%95%B0" title="质数 – Tiếng Ngô" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="质数" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="Tiếng Ngô" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9E%D7%A6%D7%90%D7%9C" title="פרימצאל – Tiếng Yiddish" lang="yi" hreflang="yi" data-title="פרימצאל" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="Tiếng Yiddish" class="interlanguage-link-target">ייִדיש</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yo mw-list-item"><a href="https://yo.wikipedia.org/wiki/N%E1%BB%8D%CC%81mb%C3%A0_%C3%A0k%E1%BB%8D%CC%81k%E1%BB%8D%CC%81" title="Nọ́mbà àkọ́kọ́ – Tiếng Yoruba" lang="yo" hreflang="yo" data-title="Nọ́mbà àkọ́kọ́" data-language-autonym="Yorùbá" data-language-local-name="Tiếng Yoruba" class="interlanguage-link-target">Yorùbá</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E8%B3%AA%E6%95%B8" title="質數 – Tiếng Quảng Đông" lang="yue" hreflang="yue" data-title="質數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="Tiếng Quảng Đông" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-diq mw-list-item"><a href="https://diq.wikipedia.org/wiki/Amaro_primal" title="Amaro primal – Zazaki" lang="diq" hreflang="diq" data-title="Amaro primal" data-language-autonym="Zazaki" data-language-local-name="Zazaki" class="interlanguage-link-target">Zazaki</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/P%C4%97rm%C4%97nis_skaitlios" title="Pėrmėnis skaitlios – Samogitian" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Pėrmėnis skaitlios" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="Samogitian" class="interlanguage-link-target">Žemaitėška</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%A8%E6%95%B0" title="质数 – Tiếng Trung" lang="zh" hreflang="zh" data-title="质数" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="Tiếng Trung" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zgh mw-list-item"><a href="https://zgh.wikipedia.org/wiki/%E2%B4%B0%E2%B5%8E%E2%B4%B9%E2%B4%B0%E2%B5%8F_%E2%B4%B0%E2%B5%8E%E2%B5%8F%E2%B5%A3%E2%B5%93" title="ⴰⵎⴹⴰⵏ ⴰⵎⵏⵣⵓ – Tiếng Tamazight Chuẩn của Ma-rốc" lang="zgh" hreflang="zgh" data-title="ⴰⵎⴹⴰⵏ ⴰⵎⵏⵣⵓ" data-language-autonym="ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ" data-language-local-name="Tiếng Tamazight Chuẩn của Ma-rốc" class="interlanguage-link-target">ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q49008#sitelinks-wikipedia" title="Sửa liên kết giữa ngôn ngữ" class="wbc-editpage">Sửa liên kết</a></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Không gian tên"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Xem bài viết [c]" accesskey="c">Bài viết</a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" rel="discussion" title="Thảo luận về trang này [t]" accesskey="t">Thảo luận</a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Thay đổi biến thể ngôn ngữ" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >Tiếng Việt </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Giao diện"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91">Đọc</a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit" title="Sửa đổi trang này [v]" accesskey="v">Sửa đổi</a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit" title="Sửa đổi mã nguồn của trang này [e]" accesskey="e">Sửa mã nguồn</a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=history" title="Các phiên bản cũ của trang này [h]" accesskey="h">Xem lịch sử</a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Công cụ trang"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Công cụ" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >Công cụ </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Công cụ</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">chuyển sang thanh bên</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ẩn</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Thêm tùy chọn" > <div class="vector-menu-heading"> Tác vụ </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91">Đọc</a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit" title="Sửa đổi trang này [v]" accesskey="v">Sửa đổi</a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit" title="Sửa đổi mã nguồn của trang này [e]" accesskey="e">Sửa mã nguồn</a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=history">Xem lịch sử</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Chung </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Li%C3%AAn_k%E1%BA%BFt_%C4%91%E1%BA%BFn_%C4%91%C3%A2y/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Các trang liên kết đến đây [j]" accesskey="j">Các liên kết đến đây</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Thay_%C4%91%E1%BB%95i_li%C3%AAn_quan/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" rel="nofollow" title="Thay đổi gần đây của các trang liên kết đến đây [k]" accesskey="k">Thay đổi liên quan</a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Trang_%C4%91%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t" title="Một danh sách chứa tất cả trang đặc biệt [q]" accesskey="q">Trang đặc biệt</a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&oldid=71941440" title="Liên kết thường trực đến phiên bản này của trang">Liên kết thường trực</a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=info" title="Thêm chi tiết về trang này">Thông tin trang</a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Tr%C3%ADch_d%E1%BA%ABn&page=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&id=71941440&wpFormIdentifier=titleform" title="Hướng dẫn cách trích dẫn trang này">Trích dẫn trang này</a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fvi.wikipedia.org%2Fwiki%2FS%25E1%25BB%2591_nguy%25C3%25AAn_t%25E1%25BB%2591">Lấy URL ngắn gọn</a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:QrCode&url=https%3A%2F%2Fvi.wikipedia.org%2Fwiki%2FS%25E1%25BB%2591_nguy%25C3%25AAn_t%25E1%25BB%2591">Tải mã QR</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> In và xuất </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:S%C3%A1ch&bookcmd=book_creator&referer=S%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91">Tạo một quyển sách</a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:DownloadAsPdf&page=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=show-download-screen">Tải dưới dạng PDF</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&printable=yes" title="Bản để in ra của trang [p]" accesskey="p">Bản để in ra</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Tại dự án khác </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Prime_numbers" hreflang="en">Wikimedia Commons</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q49008" title="Liên kết đến khoản mục kết nối trong kho dữ liệu [g]" accesskey="g">Khoản mục Wikidata</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Công cụ trang"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Giao diện"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Giao diện</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">chuyển sang thanh bên</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ẩn</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> <div id="mw-indicator-featured-star" class="mw-indicator"><div class="mw-parser-output"><a href="/wiki/Wikipedia:B%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt_t%E1%BB%91t" title="Đây là một bài viết tốt. Nhấn vào đây để biết thêm thông tin."><img alt="Đây là một bài viết tốt. Nhấn vào đây để biết thêm thông tin." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Symbol_star_2ca02c.svg/19px-Symbol_star_2ca02c.svg.png" decoding="async" width="19" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Symbol_star_2ca02c.svg/29px-Symbol_star_2ca02c.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Symbol_star_2ca02c.svg/39px-Symbol_star_2ca02c.svg.png 2x" data-file-width="180" data-file-height="185" /></a></div></div> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Bách khoa toàn thư mở Wikipedia</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="vi" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Primes-vs-composites_vi.svg" class="mw-file-description"><img alt="Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but the prime numbers cannot" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Primes-vs-composites_vi.svg/220px-Primes-vs-composites_vi.svg.png" decoding="async" width="220" height="309" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Primes-vs-composites_vi.svg/330px-Primes-vs-composites_vi.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Primes-vs-composites_vi.svg/440px-Primes-vs-composites_vi.svg.png 2x" data-file-width="468" data-file-height="658" /></a><figcaption> Hợp số có thể được sắp xếp thành các hình chữ nhật, còn số nguyên tố thì không</figcaption></figure> Số nguyên tố là <a href="/wiki/S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn" title="Số tự nhiên">số tự nhiên</a> lớn hơn 1 không phải là <a href="/wiki/T%C3%ADch_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Tích (toán học)">tích</a> của hai số tự nhiên nhỏ hơn chính nó. Nói cách khác, số nguyên tố là những số chỉ có đúng hai <a href="/wiki/Chia_h%E1%BA%BFt" title="Chia hết">ước số</a> là 1 và chính nó. Các số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là <a href="/wiki/H%E1%BB%A3p_s%E1%BB%91" title="Hợp số">hợp số</a>. Chẳng hạn, 5 là số nguyên tố bởi vì cách duy nhất để viết nó dưới dạng một <a href="/wiki/T%C3%ADch_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Tích (toán học)">tích</a>, 1 × 5 hoặc 5 × 1, có một thừa số là chính số 5. Tuy nhiên, 6 là hợp số vì nó là tích của hai số (2 × 3) mà cả hai số đều nhỏ hơn 6. Số nguyên tố là nội dung trọng tâm trong <a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91" title="Lý thuyết số">lý thuyết số</a> theo <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_c%C6%A1_b%E1%BA%A3n_c%E1%BB%A7a_s%E1%BB%91_h%E1%BB%8Dc" title="Định lý cơ bản của số học">định lý cơ bản của số học</a>: mọi số tự nhiên lớn hơn 1 hoặc là số nguyên tố hoặc có thể được <a href="/wiki/Ph%C3%A2n_t%C3%ADch_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn" title="Phân tích số nguyên">phân tích ra thừa số nguyên tố</a> một cách duy nhất <a href="/wiki/X%C3%AA_x%C3%ADch" title="Xê xích">xê xích</a> một phép hoán vị. Tính chất nguyên tố của một số được gọi là tính nguyên tố. Một phương pháp đơn giản để kiểm tra tính nguyên tố của một số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">, được gọi là <a href="/wiki/Chia_th%E1%BB%AD" title="Chia thử">giải thuật chia thử</a>, kiểm tra xem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> có phải là bội số của bất kỳ số nguyên nào giữa 2 và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>n</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {n}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2994734eae382ce30100fb17b9447fd8e99f81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.331ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {n}}}"> hay không. Một số thuật toán khác bao gồm <a href="/wiki/Ki%E1%BB%83m_tra_Miller-Rabin" title="Kiểm tra Miller-Rabin">phép kiểm tra Miller–Rabin</a>, tuy nhanh nhưng có xác suất nhỏ cho kết quả sai và <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_ki%E1%BB%83m_tra_t%C3%ADnh_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_AKS" title="Phép kiểm tra tính nguyên tố AKS">phép kiểm tra tính nguyên tố AKS</a>, vốn luôn cho lời giải đúng trong khoảng <a href="/w/index.php?title=Th%E1%BB%9Di_gian_%C4%91a_th%E1%BB%A9c&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thời gian đa thức (trang không tồn tại)">thời gian đa thức</a> nhưng quá chậm để áp dụng trong thực tế. Ngoài ra, còn có một số thuật toán nhanh dành cho các số có dạng đặc biệt, chẳng hạn như <a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Mersenne" title="Số nguyên tố Mersenne">số nguyên tố Mersenne</a>. Đến nay, số nguyên tố lớn nhất đã biết là một số nguyên tố Mersenne có 41.024.320 chữ số, được khám phá vào tháng 10 năm 2024.<a href="#cite_note-toptwenty-1">[1]</a> Có <a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_v%C3%B4_h%E1%BA%A1n" title="Tập hợp vô hạn">vô số</a> số nguyên tố, như đã <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Euclid" title="Định lý Euclid">được Euclid chứng minh</a> vào khoảng năm 300 TCN. Hầu như không có công thức đơn giản nào để phân biệt số nguyên tố và hợp số. Tuy nhiên, sự phân phối các số nguyên tố trong tập hợp các số tự nhiên có trong một khoảng giá trị lớn có thể được mô hình hóa theo thống kê. Kết quả đầu tiên theo hướng đó là <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Định lý số nguyên tố">định lý số nguyên tố</a>, được chứng minh vào cuối thế kỷ 19, cho rằng <a href="/wiki/X%C3%A1c_su%E1%BA%A5t" title="Xác suất">xác suất</a> để một số bất kỳ là số nguyên tố <a href="/wiki/T%E1%BB%89_l%E1%BB%87_ngh%E1%BB%8Bch" title="Tỉ lệ nghịch">tỉ lệ nghịch</a> với số chữ số của nó, nghĩa là với <a href="/wiki/Logarit" title="Logarit">logarit</a> của nó. Một số bài toán lịch sử liên quan đến số nguyên tố vẫn chưa có lời giải. Chúng bao gồm <a href="/wiki/Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Goldbach" title="Giả thuyết Goldbach">giả thuyết Goldbach</a>, cho rằng mọi số nguyên chẵn lớn hơn 2 có thể được biểu diễn thành tổng của hai số nguyên tố, và phỏng đoán về số <a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_sinh_%C4%91%C3%B4i" title="Số nguyên tố sinh đôi">nguyên tố sinh đôi</a>, cho rằng có vô số cặp số nguyên tố chỉ có một số chẵn giữa chúng. Những bài toán như thế đã góp phần thúc đẩy sự phát triển của nhiều nhánh trong lý thuyết số tập trung vào khía cạnh <a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91" title="Lý thuyết số đại số">đại số</a> và <a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91_gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch" title="Lý thuyết số giải tích">giải tích</a> của các số. Số nguyên tố cũng có ứng dụng trong một số lĩnh vực của <a href="/wiki/C%C3%B4ng_ngh%E1%BB%87_th%C3%B4ng_tin" title="Công nghệ thông tin">công nghệ thông tin</a>, chẳng hạn như <a href="/wiki/M%E1%BA%ADt_m%C3%A3_h%C3%B3a_kh%C3%B3a_c%C3%B4ng_khai" title="Mật mã hóa khóa công khai">mật mã hóa khóa công khai</a>, dựa vào sự phức tạp trong việc <a href="/wiki/Ph%C3%A2n_t%C3%ADch_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn" title="Phân tích số nguyên">phân tích</a> các số nguyên lớn ra thừa số nguyên tố. Trong <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_tr%E1%BB%ABu_t%C6%B0%E1%BB%A3ng" title="Đại số trừu tượng">đại số trừu tượng</a>, còn có một số đối tượng khác có đặc điểm và tính chất giống với số nguyên tố, trong đó gồm <a href="/w/index.php?title=Ph%E1%BA%A7n_t%E1%BB%AD_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Phần tử nguyên tố (trang không tồn tại)">phần tử nguyên tố</a> và <a href="/wiki/I-%C4%91%C3%AA-an_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="I-đê-an nguyên tố">i-đê-an nguyên tố</a>. <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Định_nghĩa_và_ví_dụ">Định nghĩa và ví dụ</h2>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=1" title="Sửa đổi phần “Định nghĩa và ví dụ”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=1" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Định nghĩa và ví dụ">sửa mã nguồn</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/wiki/Danh_s%C3%A1ch_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Danh sách số nguyên tố">Danh sách số nguyên tố</a></div> Một <a href="/wiki/S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn" title="Số tự nhiên">số tự nhiên</a> (1, 2, 3, 4, 5, 6,...) được gọi là số nguyên tố nếu nó lớn hơn 1 và không thể được biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn khác 1. Các số lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là <a href="/wiki/H%E1%BB%A3p_s%E1%BB%91" title="Hợp số">hợp số</a>.<a href="#cite_note-:0-2">[2]</a> Nói cách khác, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> là số nguyên tố nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> vật không thể chia đều thành nhiều nhóm nhỏ gồm nhiều hơn một vật,<a href="#cite_note-:1-3">[3]</a> hoặc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> dấu chấm không thể được sắp xếp thành một hình chữ nhật có <a href="/wiki/Chi%E1%BB%81u_d%C3%A0i" title="Chiều dài">chiều dài</a> và chiều rộng nhiều hơn một dấu chấm.<a href="#cite_note-:2-4">[4]</a> Chẳng hạn, trong các số từ 1 đến 6, số 2, 3 và 5 là số nguyên tố vì không có số nào khác có thể chia hết được chúng (số dư bằng 0).<a href="#cite_note-:3-5">[5]</a> 1 không phải là số nguyên tố vì nó đã được loại trừ ra khỏi định nghĩa. 4 = 2 × 2 và 6 = 2 × 3 đều là hợp số. <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Prime_number_Cuisenaire_rods_7.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Prime_number_Cuisenaire_rods_7.png/260px-Prime_number_Cuisenaire_rods_7.png" decoding="async" width="260" height="174" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Prime_number_Cuisenaire_rods_7.png/390px-Prime_number_Cuisenaire_rods_7.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Prime_number_Cuisenaire_rods_7.png/520px-Prime_number_Cuisenaire_rods_7.png 2x" data-file-width="580" data-file-height="388" /></a><figcaption>Hình minh họa cho thấy 7 là số nguyên tố vì không có số nào trong các số 2, 3, 4, 5, 6 có thể chia hết 7</figcaption></figure> <a href="/wiki/%C6%AF%E1%BB%9Bc_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Ước số">Ước số</a> của một số tự nhiên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> là các số tự nhiên có thể chia hết được <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">. Mọi số tự nhiên đều có ít nhất hai ước số là 1 và chính nó. Nếu nó còn có thêm một ước số khác thì nó không thể là số nguyên tố. Từ ý tưởng đó mà ta có một định nghĩa khác về số nguyên tố: đó là những số chỉ có đúng hai ước số dương là 1 và chính nó.<a href="#cite_note-6">[6]</a> Ngoài ra, còn có một cách diễn đạt khác nữa: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> là số nguyên tố nếu nó lớn hơn 1 và không có số nào trong các số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2,3,\dots ,n-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2,3,\dots ,n-1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc661ca19f3a62fb3fcf54e9e2ba22bfae50edda" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.935ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2,3,\dots ,n-1}"> có thể chia hết được nó.<a href="#cite_note-7">[7]</a> 25 số nguyên tố đầu tiên (tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn 100) là:<a href="#cite_note-ziegler-8">[8]</a> <dl><dd><a href="/wiki/2_(s%E1%BB%91)" title="2 (số)">2</a>, <a href="/wiki/3_(s%E1%BB%91)" title="3 (số)">3</a>, <a href="/wiki/5_(s%E1%BB%91)" title="5 (số)">5</a>, <a href="/wiki/7_(s%E1%BB%91)" title="7 (số)">7</a>, <a href="/wiki/11_(s%E1%BB%91)" title="11 (số)">11</a>, <a href="/wiki/13_(s%E1%BB%91)" title="13 (số)">13</a>, <a href="/wiki/17_(s%E1%BB%91)" title="17 (số)">17</a>, <a href="/wiki/19_(s%E1%BB%91)" title="19 (số)">19</a>, <a href="/wiki/23_(s%E1%BB%91)" title="23 (số)">23</a>, <a href="/wiki/29_(s%E1%BB%91)" title="29 (số)">29</a>, <a href="/wiki/31_(s%E1%BB%91)" title="31 (số)">31</a>, <a href="/wiki/37_(s%E1%BB%91)" title="37 (số)">37</a>, <a href="/wiki/41_(s%E1%BB%91)" title="41 (số)">41</a>, <a href="/wiki/43_(s%E1%BB%91)" title="43 (số)">43</a>, <a href="/wiki/47_(s%E1%BB%91)" title="47 (số)">47</a>, <a href="/wiki/53_(s%E1%BB%91)" title="53 (số)">53</a>, <a href="/wiki/59_(s%E1%BB%91)" title="59 (số)">59</a>, <a href="/wiki/61_(s%E1%BB%91)" title="61 (số)">61</a>, <a href="/wiki/67_(s%E1%BB%91)" title="67 (số)">67</a>, <a href="/wiki/71_(s%E1%BB%91)" title="71 (số)">71</a>, <a href="/wiki/73_(s%E1%BB%91)" title="73 (số)">73</a>, <a href="/wiki/79_(s%E1%BB%91)" title="79 (số)">79</a>, <a href="/wiki/83_(s%E1%BB%91)" title="83 (số)">83</a>, <a href="/wiki/89_(s%E1%BB%91)" title="89 (số)">89</a>, <a href="/wiki/97_(s%E1%BB%91)" title="97 (số)">97</a> (dãy số <a href="//oeis.org/A000040" class="extiw" title="oeis:A000040">A000040</a> trong bảng <a href="/wiki/B%E1%BA%A3ng_tra_c%E1%BB%A9u_d%C3%A3y_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_tr%E1%BB%B1c_tuy%E1%BA%BFn" title="Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến">OEIS</a>).</dd></dl> Không có <a href="/wiki/S%E1%BB%91_ch%E1%BA%B5n" title="Số chẵn">số chẵn</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> lớn hơn 2 nào là số nguyên tố vì một số chẵn bất kỳ có thể được biểu diễn thành <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\times {\frac {n}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\times {\frac {n}{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b45380dc42bedbb46fc9441a1f33cfd99586cc80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.234ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle 2\times {\frac {n}{2}}}">. Do đó, số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất; tất cả số nguyên tố ngoài số 2 là <a href="/wiki/S%E1%BB%91_l%E1%BA%BB" class="mw-redirect" title="Số lẻ">số lẻ</a> và được gọi là số nguyên tố lẻ.<a href="#cite_note-9">[9]</a> Tương tự, khi được viết trong <a href="/wiki/H%E1%BB%87_th%E1%BA%ADp_ph%C3%A2n" title="Hệ thập phân">hệ thập phân</a>, tất cả số nguyên tố lớn hơn 5 đều có tận cùng là 1, 3, 7 hoặc 9. Các số có tận cùng là chữ số khác đều là hợp số: số có tận cùng là 0, 2, 4, 6 hoặc 8 là số chẵn, và số có tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.<a href="#cite_note-10">[10]</a> <a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Tập hợp (toán học)">Tập hợp</a> các số nguyên tố được ký hiệu là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {P} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">P</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {P} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c250ef2a112c86b93c637dfa288c6d7f34ac3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {P} }"> (chữ P viết hoa, in đậm)<a href="#cite_note-11">[11]</a> hoặc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {P} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">P</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {P} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1053af9e662ceaf56c4455f90e0f67273422eded" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.42ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {P} }"> (chữ P viết hoa, in đậm bảng đen).<a href="#cite_note-12">[12]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lịch_sử">Lịch sử</h2>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=2" title="Sửa đổi phần “Lịch sử”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=2" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Lịch sử">sửa mã nguồn</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg/220px-Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg" decoding="async" width="220" height="132" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg/330px-Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg/440px-Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg 2x" data-file-width="750" data-file-height="449" /></a><figcaption>Cuộn giấy Rhind</figcaption></figure> <a href="/wiki/Cu%E1%BB%99n_gi%E1%BA%A5y_Rhind" title="Cuộn giấy Rhind">Cuộn giấy Rhind</a> (từ khoảng năm 1550 trước Công nguyên) có chứa các khai triển <a href="/wiki/Ph%C3%A2n_s%E1%BB%91_Ai_C%E1%BA%ADp" title="Phân số Ai Cập">phân số Ai Cập</a> theo nhiều dạng khác nhau cho số nguyên tố và hợp số.<a href="#cite_note-13">[13]</a> Tuy nhiên, các công trình nghiên cứu cụ thể về số nguyên tố được lưu lại sớm nhất đến từ <a href="/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc_Hy_L%E1%BA%A1p" title="Toán học Hy Lạp">toán học Hy Lạp</a> cổ đại. Bộ <a href="/wiki/C%C6%A1_s%E1%BB%9F_(Euclid)" title="Cơ sở (Euclid)">Cơ sở</a> của <a href="/wiki/Euclid" title="Euclid">Euclid</a> (khoảng 300 TCN) có phần chứng minh <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Euclid" title="Định lý Euclid">sự tồn tại vô số số nguyên tố</a> và định lý cơ bản của số học, đồng thời nêu cách tạo ra một <a href="/wiki/S%E1%BB%91_ho%C3%A0n_thi%E1%BB%87n" title="Số hoàn thiện">số hoàn thiện</a> từ <a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Mersenne" title="Số nguyên tố Mersenne">số nguyên tố Mersenne</a>.<a href="#cite_note-14">[14]</a><a href="#cite_note-stillwell-2010-p40-15">[15]</a> Một phát minh khác từ Hy Lạp là <a href="/wiki/S%C3%A0ng_Eratosthenes" title="Sàng Eratosthenes">sàng Eratosthenes</a> vẫn còn được dùng để lập danh sách các số nguyên tố.<a href="#cite_note-pomerance-sciam-16">[16]</a><a href="#cite_note-mollin-17">[17]</a> Khoảng năm 1000, nhà <a href="/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc_H%E1%BB%93i_gi%C3%A1o_Trung_C%E1%BB%95" title="Toán học Hồi giáo Trung Cổ">toán học Hồi giáo</a> <a href="/wiki/Alhazen" title="Alhazen">Ibn al-Haytham</a> (Alhazen) tìm ra <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Wilson" title="Định lý Wilson">định lý Wilson</a>, xác định số nguyên tố là các số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> chia hết <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-1)!+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-1)!+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5241d2022a4a3e94d24081a5cfb9b7b5fbf98b16" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.857ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-1)!+1}">. Ông cũng phỏng đoán rằng tất cả số hoàn thiện chẵn đều có thể được tạo ra từ số Mersenne theo cách xây dựng của Euclid, nhưng không chứng minh được.<a href="#cite_note-18">[18]</a> Một nhà toán học Hồi giáo khác, <a href="/w/index.php?title=Ibn_al-Banna%27_al-Marrakushi&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ibn al-Banna' al-Marrakushi (trang không tồn tại)">Ibn al-Banna' al-Marrakushi</a> tìm ra rằng sàng Eratosthenes có thể được đẩy nhanh khi chỉ kiểm tra các ước số lớn đến căn bậc hai của số lớn nhất được kiểm tra. <a href="/wiki/Fibonacci" title="Fibonacci">Fibonacci</a> sau đó đã mang những ý tưởng mới này từ toán học Hồi giáo về châu Âu. Cuốn <a href="/w/index.php?title=Liber_Abaci&action=edit&redlink=1" class="new" title="Liber Abaci (trang không tồn tại)">Liber Abaci</a> (1202) của ông là cuốn sách đầu tiên mô tả phép <a href="/wiki/Chia_th%E1%BB%AD" title="Chia thử">chia thử</a> để kiểm tra tính nguyên tố chỉ bằng việc kiểm tra các ước số lớn đến căn bậc hai của số cần kiểm tra.<a href="#cite_note-mollin-17">[17]</a> Năm 1640, <a href="/wiki/Pierre_de_Fermat" title="Pierre de Fermat">Pierre de Fermat</a> phát biểu <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_nh%E1%BB%8F_Fermat" title="Định lý nhỏ Fermat">định lý nhỏ Fermat</a> (về sau được <a href="/wiki/Gottfried_Leibniz" title="Gottfried Leibniz">Leibniz</a> và <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a> chứng minh).<a href="#cite_note-19">[19]</a> Fermat cũng đã nghiên cứu và kiểm tra tính nguyên tố của <a href="/wiki/S%E1%BB%91_Fermat" title="Số Fermat">số Fermat</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{2^{n}}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{2^{n}}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27f57a4191be088259902a790ef2fb093ffb812" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.184ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2^{2^{n}}+1}">,<a href="#cite_note-20">[20]</a> và <a href="/wiki/Marin_Mersenne" title="Marin Mersenne">Marin Mersenne</a> nghiên cứu <a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Mersenne" title="Số nguyên tố Mersenne">số nguyên tố Mersenne</a>, số nguyên tố có dạng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{p}-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{p}-1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c5977dbf385ba719fbb90f67b0a3d91e1da6d9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.224ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2^{p}-1}"> với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> cũng là số nguyên tố.<a href="#cite_note-21">[21]</a> Trong thư gửi Euler năm 1742, <a href="/wiki/Christian_Goldbach" title="Christian Goldbach">Christian Goldbach</a> đã phát biểu <a href="/wiki/Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Goldbach" title="Giả thuyết Goldbach">giả thuyết Goldbach</a> cho rằng mọi số chẵn đều là tổng của hai số nguyên tố.<a href="#cite_note-22">[22]</a> Euler chứng minh được giả thuyết của Alhazen (về sau gọi là <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Euclid%E2%80%93Euler" title="Định lý Euclid–Euler">định lý Euclid–Euler</a>) rằng mọi số hoàn thiện chẵn có thể được tạo ra từ số nguyên tố Mersenne.<a href="#cite_note-stillwell-2010-p40-15">[15]</a> Ông cũng giới thiệu các phương pháp được ứng dụng từ <a href="/wiki/Gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc" title="Giải tích toán học">giải tích toán học</a> trong lĩnh vực này khi chứng minh sự tồn tại vô số số nguyên tố và <a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_ph%C3%A2n_k%E1%BB%B3_c%E1%BB%A7a_t%E1%BB%95ng_ngh%E1%BB%8Bch_%C4%91%E1%BA%A3o_c%C3%A1c_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Tính phân kỳ của tổng nghịch đảo các số nguyên tố (trang không tồn tại)">tính phân kỳ của tổng nghịch đảo các số nguyên tố</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>11</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e57e94d60efb5ad04a9ddebe807c98fff5d6d2a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:26.038ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots }">.<a href="#cite_note-23">[23]</a> Đầu thế kỷ 19, <a href="/wiki/Adrien-Marie_Legendre" title="Adrien-Marie Legendre">Legendre</a> và <a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F" title="Carl Friedrich Gauß">Gauss</a> đưa ra phỏng đoán rằng khi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> tiến về <a href="/wiki/V%C3%B4_t%E1%BA%ADn" title="Vô tận">vô hạn</a> thì số lượng số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> <a href="/wiki/Ti%E1%BB%87m_c%E1%BA%ADn_(gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch)" title="Tiệm cận (giải tích)">tiệm cận</a> về <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x/\log x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x/\log x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dcc3d89d9a592249b29d9ec90ec429423fc3db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.568ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x/\log x}"> với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d453de713a8c45f7bf99108752531ed7d6dd05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.689ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \log x}"> là <a href="/wiki/Logarit_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn" title="Logarit tự nhiên">logarit tự nhiên</a> của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">. Một hệ quả yếu hơn từ kết quả về mật độ số nguyên tố nói trên là <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_%C4%91%E1%BB%81_Bertrand" title="Định đề Bertrand">định đề Bertrand</a> rằng với một số nguyên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>1}"> bất kỳ thì tồn tại một số nguyên tố nằm giữa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/134afa8ff09fdddd24b06f289e92e3a045092bd1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.557ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2n}">, được <a href="/wiki/Pafnuty_Chebyshev" class="mw-redirect" title="Pafnuty Chebyshev">Pafnuty Chebyshev</a> chứng minh vào năm 1852.<a href="#cite_note-24">[24]</a> Ý tưởng của <a href="/wiki/Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Bernhard Riemann</a> trong <a href="/w/index.php?title=Ueber_die_Anzahl_der_Primzahlen_unter_einer_gegebenen_Gr%C3%B6sse&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (trang không tồn tại)">bài báo năm 1859 về hàm zeta của mình</a> đã góp phần vạch ra hướng đi để chứng minh phỏng đoán đó. Mặc dù một phỏng đoán liên quan là <a href="/wiki/Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann" title="Giả thuyết Riemann">giả thuyết Riemann</a> vẫn chưa có lời giải, đại cương của Riemann đã được hoàn thành vào năm 1896 bởi <a href="/wiki/Jacques_Hadamard" title="Jacques Hadamard">Hadamard</a> và <a href="/w/index.php?title=Charles_Jean_de_la_Vall%C3%A9e_Poussin&action=edit&redlink=1" class="new" title="Charles Jean de la Vallée Poussin (trang không tồn tại)">de la Vallée Poussin</a> và kết quả này hiện được biết đến với tên gọi <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Định lý số nguyên tố">định lý số nguyên tố</a>.<a href="#cite_note-25">[25]</a> Một thành tựu quan trọng khác trong thế kỷ 19 là <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Dirichlet_v%E1%BB%81_c%E1%BA%A5p_s%E1%BB%91_c%E1%BB%99ng" class="mw-redirect" title="Định lý Dirichlet về cấp số cộng">định lý Dirichlet về cấp số cộng</a> cho rằng một cấp số cộng nhất định chứa vô số số nguyên tố.<a href="#cite_note-26">[26]</a> Nhiều nhà toán học đã nghiên cứu các thuật toán <a href="/wiki/Ki%E1%BB%83m_tra_t%C3%ADnh_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Kiểm tra tính nguyên tố">kiểm tra tính nguyên tố</a> với các số lớn hơn so với các số mà giải thuật chia thử có thể áp dụng được. Các thuật toán giới hạn về một dạng số cụ thể bao gồm <a href="/w/index.php?title=Ki%E1%BB%83m_tra_P%C3%A9pin&action=edit&redlink=1" class="new" title="Kiểm tra Pépin (trang không tồn tại)">kiểm tra Pépin</a> cho số Fermat (1877),<a href="#cite_note-27">[27]</a> <a href="/wiki/Ki%E1%BB%83m_tra_Proth" title="Kiểm tra Proth">định lý Proth</a> (khoảng 1878),<a href="#cite_note-28">[28]</a> <a href="/wiki/Ki%E1%BB%83m_tra_Lucas-Lehmer" class="mw-redirect" title="Kiểm tra Lucas-Lehmer">kiểm tra Lucas–Lehmer</a> (1856) và dạng tổng quát của nó, <a href="/w/index.php?title=Ki%E1%BB%83m_tra_Lucas&action=edit&redlink=1" class="new" title="Kiểm tra Lucas (trang không tồn tại)">kiểm tra Lucas</a>.<a href="#cite_note-mollin-17">[17]</a> Từ năm 1951, tất cả các <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_l%E1%BB%9Bn_nh%E1%BA%A5t_%C4%91%C3%A3_bi%E1%BA%BFt&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố lớn nhất đã biết (trang không tồn tại)">số nguyên tố lớn nhất đã biết</a> đều được tìm ra thông qua các thuật toán trên <a href="/wiki/M%C3%A1y_t%C3%ADnh" title="Máy tính">máy tính</a>.<a href="#cite_note-30">[a]</a> Công cuộc tìm ra số nguyên tố lớn hơn thế đã gây chú ý ngoài phạm vi toán học với dự án <a href="/wiki/Great_Internet_Mersenne_Prime_Search" title="Great Internet Mersenne Prime Search">Great Internet Mersenne Prime Search</a> và nhiều dự án <a href="/wiki/%C4%90i%E1%BB%87n_to%C3%A1n_ph%C3%A2n_t%C3%A1n" title="Điện toán phân tán">điện toán phân tán</a> khác.<a href="#cite_note-ziegler-8">[8]</a><a href="#cite_note-31">[30]</a> Quan niệm rằng số nguyên tố ít được ứng dụng ngoài <a href="/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc_thu%E1%BA%A7n_t%C3%BAy" title="Toán học thuần túy">toán học thuần túy</a><a href="#cite_note-pure-34">[b]</a> đã bị xóa bỏ vào những năm 1970 khi <a href="/wiki/M%E1%BA%ADt_m%C3%A3_h%C3%B3a_kh%C3%B3a_c%C3%B4ng_khai" title="Mật mã hóa khóa công khai">mật mã hóa khóa công khai</a> và mã hóa <a href="/wiki/RSA_(m%C3%A3_h%C3%B3a)" title="RSA (mã hóa)">RSA</a> được phát minh dựa trên số nguyên tố.<a href="#cite_note-ent-7-35">[33]</a> Tầm quan trọng ngày càng lớn của việc kiểm tra tính nguyên tố và phân tích số nguyên tố trên máy tính dẫn đến sự phát triển của nhiều thuật toán khác có thể thực hiện được với các số rất lớn không thuộc bất kỳ dạng đặc biệt nào.<a href="#cite_note-pomerance-sciam-16">[16]</a><a href="#cite_note-36">[34]</a><a href="#cite_note-37">[35]</a> Lý thuyết toán học về số nguyên tố cũng tiếp tục phát triển trong thời kỳ hiện đại với <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Green%E2%80%93Tao" title="Định lý Green–Tao">định lý Green–Tao</a> (2004) phát biểu rằng tồn tại các cấp số cộng dài bất kỳ chỉ chứa số nguyên tố, và chứng minh của <a href="/w/index.php?title=Yitang_Zhang&action=edit&redlink=1" class="new" title="Yitang Zhang (trang không tồn tại)">Yitang Zhang</a> năm 2013 rằng tồn tại vô số <a href="/wiki/Kho%E1%BA%A3ng_c%C3%A1ch_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Khoảng cách số nguyên tố">khoảng cách số nguyên tố</a> với kích thước giới hạn.<a href="#cite_note-:5-38">[36]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tính_nguyên_tố_của_số_1">Tính nguyên tố của số 1</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=3" title="Sửa đổi phần “Tính nguyên tố của số 1”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=3" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Tính nguyên tố của số 1">sửa mã nguồn</a>]</div> Đa số nhà toán học Hy Lạp cổ không cho rằng 1 là một số nên họ không thể xét được tính nguyên tố của nó.<a href="#cite_note-crxk-34-39">[37]</a><a href="#cite_note-40">[38]</a> Một số nhà toán học thời điểm đó cũng cho rằng số nguyên tố có được từ sự chia nhỏ các số lẻ nên họ không xem số 2 là số nguyên tố. Tuy nhiên, Euclid và đa số nhà toán học Hy Lạp cổ xem 2 là số nguyên tố. Các nhà toán học Hồi giáo cũng nối tiếp theo Hy Lạp, không công nhận 1 là một số.<a href="#cite_note-crxk-34-39">[37]</a> Đến thời <a href="/wiki/Trung_C%E1%BB%95" title="Trung Cổ">Trung Cổ</a> và <a href="/wiki/Ph%E1%BB%A5c_H%C6%B0ng" title="Phục Hưng">Phục Hưng</a>, các nhà toán học bắt đầu thừa nhận 1 là một số, và một vài trong số đó cho rằng số 1 là số nguyên tố đầu tiên.<a href="#cite_note-41">[39]</a> Giữa thế kỷ 18, <a href="/wiki/Christian_Goldbach" title="Christian Goldbach">Christian Goldbach</a> công nhận số 1 là số nguyên tố trong thư gửi <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a>, nhưng Euler lại không thừa nhận như thế.<a href="#cite_note-42">[40]</a> Nhiều nhà toán học thế kỷ 19 vẫn cho rằng 1 là số nguyên tố,<a href="#cite_note-cx-43">[41]</a> và danh sách số nguyên tố có chứa số 1 vẫn tiếp tục được xuất bản cho đến năm 1956.<a href="#cite_note-44">[42]</a><a href="#cite_note-cg-bon-129-130-45">[43]</a> Nếu định nghĩa số nguyên tố bị thay đổi để công nhận 1 là số nguyên tố, nhiều định lý liên quan đến nó sẽ phải được diễn đạt lại một cách rắc rối. Chẳng hạn, định lý cơ bản của số học khi đó sẽ bị sửa lại về mặt phân tích thành các số nguyên tố lớn hơn 1, vì mọi số đều có vô số cách phân tích mà trong đó số 1 xuất hiện với số lần bất kỳ.<a href="#cite_note-cx-43">[41]</a> Tương tự, <a href="/wiki/S%C3%A0ng_Eratosthenes" title="Sàng Eratosthenes">sàng Eratosthenes</a> cũng sẽ không hoạt động đúng cách, vì khi đó nó loại bỏ tất cả các bội của 1 (tức là tất cả các số khác) và cho đầu ra chỉ có duy nhất số 1.<a href="#cite_note-cg-bon-129-130-45">[43]</a> Một số tính chất của số nguyên tố cũng không đúng đối với số 1: ví dụ, công thức của <a href="/wiki/H%C3%A0m_phi_Euler" title="Hàm phi Euler">hàm phi Euler</a> hoặc <a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_%C6%B0%E1%BB%9Bc_s%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm ước số (trang không tồn tại)">hàm tổng các ước số</a> khác nhau với số nguyên tố so với số 1.<a href="#cite_note-46">[44]</a> Đến đầu thế kỷ 20, các nhà toán học bắt đầu thừa nhận rằng số 1 không nên nằm trong danh sách số nguyên tố, mà thay vào đó cần nằm ở một thể loại đặc biệt: "<a href="/w/index.php?title=%C4%90%C6%A1n_v%E1%BB%8B_(l%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_v%C3%A0nh)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Đơn vị (lý thuyết vành) (trang không tồn tại)">đơn vị</a>" trong lý thuyết vành.<a href="#cite_note-cx-43">[41]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tính_chất_cơ_bản">Tính chất cơ bản</h2>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=4" title="Sửa đổi phần “Tính chất cơ bản”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=4" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Tính chất cơ bản">sửa mã nguồn</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sự_phân_tích_duy_nhất">Sự phân tích duy nhất</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=5" title="Sửa đổi phần “Sự phân tích duy nhất”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=5" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Sự phân tích duy nhất">sửa mã nguồn</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_c%C6%A1_b%E1%BA%A3n_c%E1%BB%A7a_s%E1%BB%91_h%E1%BB%8Dc" title="Định lý cơ bản của số học">Định lý cơ bản của số học</a></div> Viết một số thành tích của các số nguyên tố được gọi là phân tích nguyên tố của số đó. Chẳng hạn: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}34866&=2\cdot 3\cdot 3\cdot 13\cdot 149\\&=2\cdot 3^{2}\cdot 13\cdot 149.\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mn>34866</mn> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mn>13</mn> <mo>⋅</mo> <mn>149</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mn>13</mn> <mo>⋅</mo> <mn>149.</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}34866&=2\cdot 3\cdot 3\cdot 13\cdot 149\\&=2\cdot 3^{2}\cdot 13\cdot 149.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aec85752340e2f4b8a200e8e26b96bbfe23584b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:25.678ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}34866&=2\cdot 3\cdot 3\cdot 13\cdot 149\\&=2\cdot 3^{2}\cdot 13\cdot 149.\end{aligned}}}"></dd></dl> Các thừa số trong tích được gọi là thừa số nguyên tố. Một thừa số nguyên tố có thể xuất hiện nhiều lần, khi đó có thể dùng <a href="/wiki/L%C5%A9y_th%E1%BB%ABa" title="Lũy thừa">lũy thừa</a> để gộp nhiều thừa số giống nhau đó lại thành một. Trong ví dụ trên, số 3 xuất hiện hai lần và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84cba38173d6b69364f2016245721c333282e0d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.217ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 3^{2}}"> là <a href="/wiki/B%C3%ACnh_ph%C6%B0%C6%A1ng" title="Bình phương">bình phương</a> hay lũy thừa bậc hai của 3. Tầm quan trọng thiết yếu của số nguyên tố trong lý thuyết số và toán học nói chung có được từ định lý cơ bản của số học.<a href="#cite_note-47">[45]</a> Định lý này phát biểu rằng bất kỳ số nguyên nào lớn hơn 1 đều có thể được viết thành tích của một hoặc nhiều số nguyên tố. Hơn nữa, tích đó là duy nhất, vì dễ thấy trong hai phân tích nguyên tố của cùng một số, các thừa số nguyên tố luôn xuất hiện với số lần bằng nhau dù thứ tự của chúng có thể khác nhau.<a href="#cite_note-48">[46]</a> Do đó, mặc dù có nhiều cách khác nhau để tìm cách phân tích một số thông qua thuật toán <a href="/wiki/Ph%C3%A2n_t%C3%ADch_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn" title="Phân tích số nguyên">phân tích số nguyên</a> nhưng chúng đều phải cho cùng một kết quả. Số nguyên tố vì vậy còn được gọi là "khối gạch cơ bản" của số tự nhiên.<a href="#cite_note-49">[47]</a> Một số chứng minh về tính duy nhất của phân tích nguyên tố được dựa trên <a href="/wiki/B%E1%BB%95_%C4%91%E1%BB%81_Euclid" title="Bổ đề Euclid">bổ đề Euclid</a>: Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> là số nguyên tố và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> chia hết một tích <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49337c5cf256196e2292f7047cb5da68c24ca95d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.227ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab}"> với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> là số nguyên thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> cũng chia hết <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> hoặc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> (hoặc cả hai).<a href="#cite_note-50">[48]</a> Ngược lại, nếu một số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> có tính chất khi chia hết một tích thì nó cũng chia hết ít nhất một thừa số trong tích, thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> phải là số nguyên tố.<a href="#cite_note-51">[49]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sự_tồn_tại_vô_số_số_nguyên_tố">Sự tồn tại vô số số nguyên tố</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=6" title="Sửa đổi phần “Sự tồn tại vô số số nguyên tố”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=6" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Sự tồn tại vô số số nguyên tố">sửa mã nguồn</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Euclid" title="Định lý Euclid">Định lý Euclid</a></div> Có <a href="/wiki/V%C3%B4_t%E1%BA%ADn" title="Vô tận">vô số</a> số nguyên tố. Nói cách khác, dãy các số nguyên tố <dl><dd>2, 3, 5, 7, 11, 13,...</dd></dl> không bao giờ kết thúc. Phát biểu trên còn được gọi là định lý Euclid theo tên của nhà toán học Hy Lạp cổ đại <a href="/wiki/Euclid" title="Euclid">Euclid</a> vì ông là người đầu tiên chứng minh được phát biểu này. Một số cách chứng minh khác về sự tồn tại vô số số nguyên tố bao gồm một chứng minh bằng <a href="/wiki/Gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc" title="Giải tích toán học">giải tích</a> của <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a>, chứng minh của <a href="/wiki/Christian_Goldbach" title="Christian Goldbach">Goldbach</a> dựa trên <a href="/wiki/S%E1%BB%91_Fermat" title="Số Fermat">số Fermat</a>,<a href="#cite_note-52">[50]</a> <a href="/w/index.php?title=Ch%E1%BB%A9ng_minh_c%E1%BB%A7a_Furstenberg_v%E1%BB%81_s%E1%BB%B1_t%E1%BB%93n_t%E1%BA%A1i_v%C3%B4_s%E1%BB%91_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Chứng minh của Furstenberg về sự tồn tại vô số số nguyên tố (trang không tồn tại)">chứng minh từ tô pô học</a> của <a href="/wiki/Hillel_Furstenberg" title="Hillel Furstenberg">Furstenberg</a>,<a href="#cite_note-53">[51]</a> hay cách chứng minh đơn giản của <a href="/wiki/Ernst_Kummer" title="Ernst Kummer">Kummer</a>.<a href="#cite_note-Ribenboim2004-54">[52]</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Euclid" title="Định lý Euclid">Chứng minh của Euclid</a> cho thấy rằng một tập hợp hữu hạn các số nguyên tố bất kỳ là chưa hoàn thành.<a href="#cite_note-55">[53]</a> Thật vậy, xét một tập hợp hữu hạn gồm các số nguyên tố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/285783ff056a02278bbcce0a1f1d01cd50b11540" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:13.137ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}">. Khi nhân các số đó với nhau và cộng thêm 1 thì ta được <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd1d057bffd1dbbc94420d3a0b32703cc3205f29" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.824ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.}"></dd></dl> Theo định lý cơ bản của số học thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"> có một phân tích nguyên tố <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>⋅</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>⋯</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606c652811e0772e18cccc88c216bb3647958d53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.63ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}"></dd></dl> với một hoặc nhiều thừa số nguyên tố. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"> có thể được chia hết bởi bất kỳ thừa số nào trong tích trên, nhưng lại có phần dư bằng 1 khi được chia bởi bất kỳ số nguyên tố nào trong tập hợp đã cho, nên không có thừa số nguyên tố nào của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"> có trong tập hợp đó. Vì không tồn tại một tập hợp hữu hạn nào chứa tất cả các số nguyên tố nên phải có vô số số nguyên tố. Các số được tạo ra khi cộng thêm 1 vào tích của các số nguyên tố nhỏ nhất được gọi là <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_Euclid&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số Euclid (trang không tồn tại)">số Euclid</a>.<a href="#cite_note-56">[54]</a> Năm số Euclid đầu tiên là số nguyên tố, nhưng số Euclid thứ sáu, <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <mn>7</mn> <mo>⋅</mo> <mn>11</mn> <mo>⋅</mo> <mn>13</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>30031</mn> <mo>=</mo> <mn>59</mn> <mo>⋅</mo> <mn>509</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24968a289b6e1411be6a5825a10543603d4613b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:43.975ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,}"></dd></dl> là hợp số. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Công_thức_số_nguyên_tố">Công thức số nguyên tố</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=7" title="Sửa đổi phần “Công thức số nguyên tố”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=7" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Công thức số nguyên tố">sửa mã nguồn</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/w/index.php?title=C%C3%B4ng_th%E1%BB%A9c_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Công thức số nguyên tố (trang không tồn tại)">Công thức số nguyên tố</a></div> Không có công thức số nguyên tố hiệu quả nào được biết đến. Chẳng hạn, không có <a href="/wiki/%C4%90a_th%E1%BB%A9c" title="Đa thức">đa thức</a> khác hằng số nào, kể cả đa thức đa biến, chỉ cho duy nhất các giá trị nguyên tố.<a href="#cite_note-matiyasevich2-57">[55]</a> Tuy nhiên, có một số biểu thức có thể tạo ra các giá trị nguyên tố, nhưng hiệu quả hoạt động khá thấp. Một công thức như thế được dựa trên <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Wilson" title="Định lý Wilson">định lý Wilson</a> và có thể cho giá trị 2 nhiều lần, các giá trị nguyên tố khác đúng một lần.<a href="#cite_note-58">[56]</a> Một hệ <a href="/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_Diophantos" title="Phương trình Diophantos">phương trình Diophantine</a> gồm 9 biến và một tham số cũng tồn tại với tính chất: tham số đó là số nguyên tố khi và chỉ khi hệ phương trình thu được có một nghiệm trên tập hợp số tự nhiên. Tính chất đó có thể được dùng để suy ra một công thức với tính chất là tất cả các giá trị dương của nó đều là số nguyên tố.<a href="#cite_note-matiyasevich2-57">[55]</a> Hai công thức số nguyên tố khác đến từ <a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Mills&action=edit&redlink=1" class="new" title="Định lý Mills (trang không tồn tại)">định lý Mills</a> và một định lý của <a href="/w/index.php?title=E._M._Wright&action=edit&redlink=1" class="new" title="E. M. Wright (trang không tồn tại)">Wright</a>, cho rằng tồn tại hằng số thực <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A>1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A>1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f763115cc85f7fd1d4ffd590bdc135c74a58afec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.004ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A>1}"> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"> sao cho giá trị của <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ và }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>⌊</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>⌋</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> và </mtext> </mrow> <mrow> <mo>⌊</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mo>⋯</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>⌋</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ và }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c61d4225cf11a7319c0f8643b6f3d1611873ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.398ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ và }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }"></dd></dl> là số nguyên tố với mọi số tự nhiên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> bất kỳ ở công thức thứ nhất và bất kỳ số lũy thừa nào trong công thức thứ hai.<a href="#cite_note-59">[57]</a> Ở đây <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lfloor {}\cdot {}\rfloor }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⌊</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⌋</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lfloor {}\cdot {}\rfloor }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a17bb92075611951d0ca47b9ab7876515c2507" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.744ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lfloor {}\cdot {}\rfloor }"> là <a href="/wiki/Ph%E1%BA%A7n_nguy%C3%AAn" title="Phần nguyên">hàm sàn</a>, số lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng với số được xét. Tuy nhiên, các công thức này không hữu ích vì cần phải tạo ra các số nguyên tố trước tiên để tính <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> hoặc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }">.<a href="#cite_note-matiyasevich2-57">[55]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Các_bài_toán_mở">Các bài toán mở</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=8" title="Sửa đổi phần “Các bài toán mở”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=8" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Các bài toán mở">sửa mã nguồn</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Xem thêm: <a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Ph%E1%BB%8Fng_%C4%91o%C3%A1n_v%E1%BB%81_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Thể loại:Phỏng đoán về số nguyên tố">Thể loại:Phỏng đoán về số nguyên tố</a></div> Đã có nhiều giả thuyết được đặt ra liên quan đến số nguyên tố, và đa số giả thuyết như vậy không được chứng minh trong nhiều thập kỷ: cả bốn <a href="/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_c%E1%BB%A7a_Landau&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bài toán của Landau (trang không tồn tại)">bài toán của Landau</a> từ năm 1912 vẫn chưa có lời giải.<a href="#cite_note-60">[58]</a> Một trong số đó là <a href="/wiki/Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Goldbach" title="Giả thuyết Goldbach">giả thuyết Goldbach</a> cho rằng mọi số nguyên chẵn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> lớn hơn 2 có thể được viết thành tổng của hai số nguyên tố.<a href="#cite_note-61">[59]</a> Tính đến năm 2014, giả thuyết này đã được xác nhận là đúng với các số lớn đến <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=4\cdot 10^{18}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>18</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=4\cdot 10^{18}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ab6ef71a8dfe3a50093be97c31e7b7d75ebd1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.536ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle n=4\cdot 10^{18}}">.<a href="#cite_note-62">[60]</a> Một số giả thuyết tương tự như vậy đã được chúng minh, chẳng hạn, <a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Vinogradov&action=edit&redlink=1" class="new" title="Định lý Vinogradov (trang không tồn tại)">định lý Vinogradov</a> cho rằng một số nguyên lẻ đủ lớn có thể được viết thành tổng của ba số nguyên tố.<a href="#cite_note-63">[61]</a> Còn theo <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Chen" title="Định lý Chen">định lý Chen</a>, một số nguyên chẵn đủ lớn có thể được biểu diễn thành tổng của một số nguyên tố và một <a href="/wiki/S%E1%BB%91_n%E1%BB%ADa_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Số nửa nguyên tố">số nửa nguyên tố</a> (tích của hai số nguyên tố).<a href="#cite_note-64">[62]</a> Đồng thời, một số nguyên chẵn lớn hơn 10 có thể được viết thành tổng của 6 số nguyên tố.<a href="#cite_note-65">[63]</a> Nhánh của lý thuyết số nghiên cứu những bài toán như thế được gọi là <a href="/w/index.php?title=L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_c%E1%BB%99ng_t%C3%ADnh_s%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lý thuyết cộng tính số (trang không tồn tại)">lý thuyết cộng tính số</a>.<a href="#cite_note-66">[64]</a> Một dạng bài toán khác có liên quan đến <a href="/wiki/Kho%E1%BA%A3ng_c%C3%A1ch_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Khoảng cách số nguyên tố">khoảng cách số nguyên tố</a>, tức là chênh lệch giữa hai số nguyên tố liên tiếp. Có thể thấy được sự tồn tại của các khoảng cách số nguyên tố lớn tùy ý bằng cách chú ý rằng dãy số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!+2,n!+3,\dots ,n!+n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!+2,n!+3,\dots ,n!+n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf39c77f9ee05de53b4ae8bcf69ab8e5bbc0d119" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.578ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n!+2,n!+3,\dots ,n!+n}"> chứa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-1}"> hợp số với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> là số tự nhiên.<a href="#cite_note-67">[65]</a> Tuy nhiên, khoảng cách số nguyên tố lớn này bắt đầu xuất hiện sớm hơn so với thời điểm mà lập luận này đã cho.<a href="#cite_note-riesel-gaps-68">[66]</a> Chẳng hạn, khoảng cách số nguyên tố đầu tiên với độ dài bằng 8 nằm giữa hai số nguyên tố 89 và 97, nhỏ hơn nhiều so với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8!=40320}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>8</mn> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mn>40320</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8!=40320}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1815a215f1bc5584f26881e12724573fd11aa125" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.72ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 8!=40320}">.<a href="#cite_note-69">[67]</a> Có giả thuyết cho rằng có vô số cặp <a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_sinh_%C4%91%C3%B4i" title="Số nguyên tố sinh đôi">số nguyên tố sinh đôi</a>, tức là cặp số nguyên tố với chênh lệch bằng 2; đó chính là <a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_sinh_%C4%91%C3%B4i" title="Số nguyên tố sinh đôi">giả thuyết số nguyên tố sinh đôi</a>. <a href="/wiki/Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Polignac" title="Giả thuyết Polignac">Giả thuyết Polignac</a> phát biểu tổng quát hơn rằng với một số nguyên dương <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> bất kỳ, tồn tại vô số các cặp số nguyên tố liên tiếp sai khác nhau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab358eb7defb4d2b0fc1f9e8a4e2d189fe600eb6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.374ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2k}">.<a href="#cite_note-:4-70">[68]</a> <a href="/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Andrica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Giả thuyết Andrica (trang không tồn tại)">Giả thuyết Andrica</a>,<a href="#cite_note-:4-70">[68]</a> <a href="/wiki/Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Brocard" title="Giả thuyết Brocard">giả thuyết Brocard</a>,<a href="#cite_note-rib-183-71">[69]</a> <a href="/wiki/Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Legendre" title="Giả thuyết Legendre">giả thuyết Legendre</a><a href="#cite_note-chan-72">[70]</a> và <a href="/wiki/Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Oppermann" title="Giả thuyết Oppermann">giả thuyết Oppermann</a><a href="#cite_note-rib-183-71">[69]</a> đều cho rằng khoảng cách lớn nhất giữa các số nguyên tố từ 1 đến <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> phải là xấp xỉ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>n</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {n}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2994734eae382ce30100fb17b9447fd8e99f81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.331ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {n}}}">, một kết quả được cho là suy ra từ giả thuyết Riemann, trong khi <a href="/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Cram%C3%A9r&action=edit&redlink=1" class="new" title="Giả thuyết Cramér (trang không tồn tại)">giả thuyết Cramér</a> đặt khoảng cách lớn nhất bằng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O((\log n)^{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O((\log n)^{2})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbaf92b0d7a525c08aabd077e01c00d356581e65" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.2ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle O((\log n)^{2})}">.<a href="#cite_note-:4-70">[68]</a> Khoảng cách số nguyên tố có thể được khái quát hóa thành <a href="/w/index.php?title=B%E1%BB%99_k_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bộ k số nguyên tố (trang không tồn tại)">bộ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> số nguyên tố</a>, thể hiện những dãy lặp lại khoảng cách giữa nhiều hơn hai số nguyên tố. Tính vô hạn và mật độ của chúng là vấn đề chính trong <a href="/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Hardy%E2%80%93Littlewood_%C4%91%E1%BA%A7u_ti%C3%AAn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Giả thuyết Hardy–Littlewood đầu tiên (trang không tồn tại)">giả thuyết Hardy–Littlewood đầu tiên</a>, vốn có thể được suy ra từ thuật giải <a href="/wiki/Heuristic" title="Heuristic">heuristic</a> rằng dãy số nguyên tố hành xử tương tự như một dãy số ngẫu nhiên với mật độ được cho bởi định lý số nguyên tố.<a href="#cite_note-73">[71]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tính_chất_trong_giải_tích">Tính chất trong giải tích</h2>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=9" title="Sửa đổi phần “Tính chất trong giải tích”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=9" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Tính chất trong giải tích">sửa mã nguồn</a>]</div> <a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91_gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch" title="Lý thuyết số giải tích">Lý thuyết số giải tích</a> nghiên cứu lý thuyết số qua các khái niệm <a href="/wiki/H%C3%A0m_li%C3%AAn_t%E1%BB%A5c" title="Hàm liên tục">hàm số liên tục</a>, <a href="/wiki/Gi%E1%BB%9Bi_h%E1%BA%A1n_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Giới hạn (toán học)">giới hạn</a>, <a href="/wiki/Chu%E1%BB%97i_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Chuỗi (toán học)">chuỗi vô hạn</a> và các khái niệm liên quan đến <a href="/wiki/V%C3%B4_t%E1%BA%ADn" title="Vô tận">vô hạn</a> và <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nh%E1%BB%8F_v%C3%B4_h%E1%BA%A1n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nhỏ vô hạn (trang không tồn tại)">số nhỏ vô hạn</a>. <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> là người đầu tiên khởi xướng ra ngành nghiên cứu này với thành tựu quan trọng đầu tiên là lời giải cho <a href="/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_Basel&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bài toán Basel (trang không tồn tại)">bài toán Basel</a>. Bài toán yêu cầu tìm giá trị của tổng vô hạn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>16</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233ea4cde4841c7f781ff7a6bc640ea2c2c0bf18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:21.044ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots }"> mà ngày nay được công nhận là giá trị <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta (2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ζ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (2)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff246e5aba5259593186618c576a3b7e14bc3c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.067ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \zeta (2)}"> của <a href="/wiki/H%C3%A0m_zeta_Riemann" title="Hàm zeta Riemann">hàm zeta Riemann</a>. Hàm này có liên hệ mật thiết với số nguyên tố và <a href="/wiki/Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann" title="Giả thuyết Riemann">giả thuyết Riemann</a>, một trong những bài toán chưa được giải có ý nghĩa quan trọng nhất trong toán học. Euler chứng minh được rằng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ζ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>6</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780b5b024e5d868b7e89ce95dd4cb682919623f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.879ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}">.<a href="#cite_note-74">[72]</a> Nghịch đảo của số đó, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6/\pi ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>6</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6/\pi ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a29a93991c7d0dfd47e0c5b4ea3468fc2e41f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.713ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 6/\pi ^{2}}">, là giới hạn của xác suất để hai số được chọn ngẫu nhiên từ một khoảng giá trị lớn là hai <a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_c%C3%B9ng_nhau" title="Số nguyên tố cùng nhau">số nguyên tố cùng nhau</a> (không có thừa số chung nào).<a href="#cite_note-75">[73]</a> Sự phân phối các số nguyên tố trong khoảng giá trị lớn đó, chẳng hạn như có bao nhiêu số nguyên tố nhỏ hơn một số lớn cho trước, được mô tả bởi <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Định lý số nguyên tố">định lý số nguyên tố</a>, nhưng không có <a href="/w/index.php?title=C%C3%B4ng_th%E1%BB%A9c_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Công thức số nguyên tố (trang không tồn tại)">công thức cho số nguyên tố thứ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></a> được biết đến. Ở dạng cơ bản nhất, <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Dirichlet_v%E1%BB%81_c%E1%BA%A5p_s%E1%BB%91_c%E1%BB%99ng" class="mw-redirect" title="Định lý Dirichlet về cấp số cộng">định lý Dirichlet về cấp số cộng</a> phát biểu rằng đa thức tuyến tính <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p(n)=a+bn}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(n)=a+bn}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ec0a7d51df349db548143b777ac3a56f88d8a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:14.024ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p(n)=a+bn}"></dd></dl> với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> nguyên tố cùng nhau cho vô số các giá trị nguyên tố. Dạng chặt chẽ hơn của định lý phát biểu rằng tổng của nghịch đảo các giá trị nguyên tố đó phân kỳ, và các đa thức tuyến tính khác nhau với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> bằng nhau có tỉ lệ số nguyên tố gần như nhau. Mặc dù đã có nhiều giả thuyết được đặt ra về tỉ lệ số nguyên tố trong các đa thức bậc cao nhưng chúng vẫn chưa được chứng minh, và không rõ có tồn tại một đa thức bậc hai nào có thể luôn cho các giá trị nguyên tố một cách thường xuyên hơn hay không. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Chứng_minh_định_lý_Euclid_bằng_giải_tích">Chứng minh định lý Euclid bằng giải tích</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=10" title="Sửa đổi phần “Chứng minh định lý Euclid bằng giải tích”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=10" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Chứng minh định lý Euclid bằng giải tích">sửa mã nguồn</a>]</div> <a href="/w/index.php?title=T%C3%ADnh_ph%C3%A2n_k%E1%BB%B3_c%E1%BB%A7a_t%E1%BB%95ng_ngh%E1%BB%8Bch_%C4%91%E1%BA%A3o_c%C3%A1c_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Tính phân kỳ của tổng nghịch đảo các số nguyên tố (trang không tồn tại)">Chứng minh của Euler về sự tồn tại vô số số nguyên tố</a> xét tổng <a href="/wiki/Ngh%E1%BB%8Bch_%C4%91%E1%BA%A3o_ph%C3%A9p_nh%C3%A2n" title="Nghịch đảo phép nhân">nghịch đảo</a> các số nguyên tố <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>p</mi> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398379c591d6687ff6a128f25a7cd2fd3b20cfc3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:27.572ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.}"></dd></dl> Euler chứng minh được rằng với một <a href="/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c" title="Số thực">số thực</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> bất kỳ, tồn tại một số nguyên tố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> sao cho tổng trên lớn hơn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">.<a href="#cite_note-76">[74]</a> Nếu chỉ có một số hữu hạn các số nguyên tố thì tổng này phải đạt giá trị lớn nhất tại số nguyên tố lớn nhất thay vì tăng dần qua các giá trị của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">, do đó có vô số số nguyên tố. Tốc độ gia tăng giá trị của tổng này được mô tả rõ hơn trong <a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_th%E1%BB%A9_hai_c%E1%BB%A7a_Mertens&action=edit&redlink=1" class="new" title="Định lý thứ hai của Mertens (trang không tồn tại)">định lý thứ hai của Mertens</a>.<a href="#cite_note-77">[75]</a> Để so sánh, tổng <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7be4306447ca3c94aa41f5683e7372ef912b72a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:26.528ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}"></dd></dl> không tăng đến vô hạn khi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> tiến đến vô hạn (xem <a href="/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_Basel&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bài toán Basel (trang không tồn tại)">bài toán Basel</a>). Trong trường hợp này, số nguyên tố xuất hiện thường xuyên hơn so với bình phương các số tự nhiên, mặc dù cả hai tập hợp đều là vô hạn.<a href="#cite_note-mtb-invitation-78">[76]</a> <a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Brun&action=edit&redlink=1" class="new" title="Định lý Brun (trang không tồn tại)">Định lý Brun</a> phát biểu rằng tổng nghịch đảo các <a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_sinh_%C4%91%C3%B4i" title="Số nguyên tố sinh đôi">số nguyên tố sinh đôi</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>11</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>13</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d142ed77edd124e96780ec719bd65850d134fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:44.346ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }"></dd></dl> là hữu hạn. Do định lý này nên không thể áp dụng cách của Euler để chứng minh <a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_sinh_%C4%91%C3%B4i" title="Số nguyên tố sinh đôi">giả thuyết số nguyên tố sinh đôi</a> rằng có vô số cặp số nguyên tố sinh đôi.<a href="#cite_note-mtb-invitation-78">[76]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Số_lượng_số_nguyên_tố_nằm_dưới_một_số_cho_trước">Số lượng số nguyên tố nằm dưới một số cho trước</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=11" title="Sửa đổi phần “Số lượng số nguyên tố nằm dưới một số cho trước”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=11" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Số lượng số nguyên tố nằm dưới một số cho trước">sửa mã nguồn</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Định lý số nguyên tố">Định lý số nguyên tố</a> và <a href="/wiki/H%C3%A0m_%C4%91%E1%BA%BFm_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Hàm đếm số nguyên tố">Hàm đếm số nguyên tố</a></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Prime-counting_relative_error_vi.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Prime-counting_relative_error_vi.svg/350px-Prime-counting_relative_error_vi.svg.png" decoding="async" width="350" height="301" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Prime-counting_relative_error_vi.svg/525px-Prime-counting_relative_error_vi.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Prime-counting_relative_error_vi.svg/700px-Prime-counting_relative_error_vi.svg.png 2x" data-file-width="1012" data-file-height="870" /></a><figcaption><a href="/w/index.php?title=Sai_s%E1%BB%91_x%E1%BA%A5p_x%E1%BB%89&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sai số xấp xỉ (trang không tồn tại)">Sai số tương đối</a> của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {n}{\log n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {n}{\log n}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e2170a63153dcf2978c9b4bb2e11db4fa09752" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:5.59ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {n}{\log n}}}"> và tích phân logarit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Li} (n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Li</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Li} (n)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c711c5eda9013c9c1d65e69f35f05b99f03629" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.304ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Li} (n)}">, hai xấp xỉ của <a href="/wiki/H%C3%A0m_%C4%91%E1%BA%BFm_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Hàm đếm số nguyên tố">hàm đếm số nguyên tố</a>. Cả hai sai số tương đối đều giảm dần về 0 khi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> tăng dần, nhưng tốc độ giảm này nhanh hơn nhiều đối với tích phân logarit.</figcaption></figure> <a href="/wiki/H%C3%A0m_%C4%91%E1%BA%BFm_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Hàm đếm số nguyên tố">Hàm đếm số nguyên tố</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi (n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi (n)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac42d38c71b368d5fbf1e05753e9c5c038cd671b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.536ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi (n)}"> được định nghĩa là số lượng số nguyên tố không lớn hơn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">.<a href="#cite_note-79">[77]</a> Ví dụ, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi (11)=5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>11</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi (11)=5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37a1ec8c22561cae405286228241267bec24e9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.727ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi (11)=5}">, nghĩa là có 5 số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 11. Có một số phương pháp để tính giá trị chính xác của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi (n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi (n)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac42d38c71b368d5fbf1e05753e9c5c038cd671b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.536ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi (n)}"> nhanh hơn so với khi liệt kê tất cả các số nguyên tố lớn đến <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">, chẳng hạn như <a href="/w/index.php?title=Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n_Meissel%E2%80%93Lehmer&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thuật toán Meissel–Lehmer (trang không tồn tại)">thuật toán Meissel–Lehmer</a>.<a href="#cite_note-80">[78]</a> Định lý số nguyên tố phát biểu rằng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi (n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi (n)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac42d38c71b368d5fbf1e05753e9c5c038cd671b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.536ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi (n)}"> tiệm cận với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n/\log n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n/\log n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf375088f1428c429e63be39e7852e8b39c77c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.698ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n/\log n}"> hay <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∼</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408b397046af4ade735aebb8995aa70ac2244838" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.871ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},}"></dd></dl> nghĩa là tỉ số giữa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi (n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi (n)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac42d38c71b368d5fbf1e05753e9c5c038cd671b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.536ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi (n)}"> và phân số ở vế phải <a href="/wiki/Gi%E1%BB%9Bi_h%E1%BA%A1n_c%E1%BB%A7a_m%E1%BB%99t_d%C3%A3y" title="Giới hạn của một dãy">tiến về</a> 1 khi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> tăng đến vô hạn.<a href="#cite_note-cranpom10-81">[79]</a> Kéo theo đó, xác suất để một số nhỏ hơn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> được chọn ngẫu nhiên là số nguyên tố tỉ lệ nghịch với số chữ số của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">.<a href="#cite_note-82">[80]</a> Đồng thời, số nguyên tố thứ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> tỉ lệ thuận với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\log n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\log n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560dfdce0353a330e03e4b3e0b7ca6e484bb40fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.535ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n\log n}"> và độ dài trung bình của khoảng cách nguyên tố tỉ lệ thuận với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/317ab5292da7c7935aec01a570461fe0613b21d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.754ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \log n}">.<a href="#cite_note-riesel-gaps-68">[66]</a><a href="#cite_note-83">[81]</a> Một xấp xỉ chính xác hơn của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi (n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi (n)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac42d38c71b368d5fbf1e05753e9c5c038cd671b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.536ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi (n)}"> được cho bởi <a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_t%C3%ADch_ph%C3%A2n_logarit&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm tích phân logarit (trang không tồn tại)">tích phân logarit bù</a><a href="#cite_note-cranpom10-81">[79]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∼</mo> <mi>Li</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b5a9dac3f86b36f631c01ed4aae859cdedf79c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:25.788ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cấp_số_cộng">Cấp số cộng</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=12" title="Sửa đổi phần “Cấp số cộng”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=12" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Cấp số cộng">sửa mã nguồn</a>]</div> <a href="/wiki/C%E1%BA%A5p_s%E1%BB%91_c%E1%BB%99ng" title="Cấp số cộng">Cấp số cộng</a> là một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn sao cho các số liên tiếp trong dãy đều có chênh lệch bằng nhau.<a href="#cite_note-84">[82]</a> Chênh lệch đó được gọi là <a href="/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%8Dc_m%C3%B4_%C4%91un" title="Số học mô đun">mô đun</a> (công sai) của cấp số cộng.<a href="#cite_note-85">[83]</a> Ví dụ, <dl><dd>3, 12, 21, 30, 39,...</dd></dl> là cấp số cộng vô hạn với mô đun 9. Trong một cấp số cộng, phép chia của tất cả các số cho mô đun đều cho số dư bằng nhau; trong ví dụ trên, số dư đó bằng 3. Vì cả mô đun 9 và số dư 3 đều là bội của 3 nên các phần tử khác trong dãy cũng vậy. Do đó, cấp số cộng đã cho chỉ chứa một số nguyên tố duy nhất, đó chính là số 3. Tổng quát, cấp số cộng vô hạn <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d16a7879ded2fe4112aae7ab945259fc40eda8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.833ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }"></dd></dl> có thể chứa nhiều hơn một số nguyên tố chỉ khi số dư <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> và mô đun <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"> nguyên tố cùng nhau. Khi đó, theo <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Dirichlet_v%E1%BB%81_c%E1%BA%A5p_s%E1%BB%91_c%E1%BB%99ng" class="mw-redirect" title="Định lý Dirichlet về cấp số cộng">định lý Dirichlet về cấp số cộng</a>, cấp số cộng đó chứa vô số số nguyên tố.<a href="#cite_note-86">[84]</a> <div class="thumb tnone" style="margin-left:auto;margin-right:auto;overflow:hidden;width:auto;max-width:823px"><div class="thumbinner"><div class="noresize" style="overflow:auto"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Prime_numbers_in_arithmetic_progression_mod_9_zoom_in.png" class="mw-file-description" title="Số nguyên tố trong cấp số cộng mô đun 9. Mỗi hàng trong thanh nhỏ nằm ngang chỉ một trong chín cấp số cộng mod 9 khác nhau, trong đó số nguyên tố được đánh dấu màu đỏ. Cấp số cộng 0, 3 hoặc 6 mod 9 chỉ chứa nhiều nhất một số nguyên tố (số 3); các cấp số cộng còn lại là 2, 4, 5, 7 và 8 mod 9 chứa vô số số nguyên tố với số lượng số nguyên tố như nhau trong mỗi cấp số cộng"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e3/Prime_numbers_in_arithmetic_progression_mod_9_zoom_in.png" decoding="async" width="815" height="385" class="mw-file-element" data-file-width="815" data-file-height="385" /></a></div><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Prime_numbers_in_arithmetic_progression_mod_9_zoom_in.png" title="Tập tin:Prime numbers in arithmetic progression mod 9 zoom in.png"> </a></div>Số nguyên tố trong cấp số cộng mô đun 9. Mỗi hàng trong thanh nhỏ nằm ngang chỉ một trong chín cấp số cộng mod 9 khác nhau, trong đó số nguyên tố được đánh dấu màu đỏ. Cấp số cộng 0, 3 hoặc 6 mod 9 chỉ chứa nhiều nhất một số nguyên tố (số 3); các cấp số cộng còn lại là 2, 4, 5, 7 và 8 mod 9 chứa vô số số nguyên tố với số lượng số nguyên tố như nhau trong mỗi cấp số cộng</div></div></div> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Green%E2%80%93Tao" title="Định lý Green–Tao">Định lý Green–Tao</a> cho thấy tồn tại các cấp số cộng hữu hạn dài tùy ý chỉ chứa các số nguyên tố.<a href="#cite_note-:5-38">[36]</a><a href="#cite_note-87">[85]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Giá_trị_nguyên_tố_của_đa_thức_bậc_hai">Giá trị nguyên tố của đa thức bậc hai</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=13" title="Sửa đổi phần “Giá trị nguyên tố của đa thức bậc hai”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=13" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Giá trị nguyên tố của đa thức bậc hai">sửa mã nguồn</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Ulam_2.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Ulam_2.png/240px-Ulam_2.png" decoding="async" width="240" height="240" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/75/Ulam_2.png 1.5x" data-file-width="345" data-file-height="345" /></a><figcaption>Xoắn Ulam. Các số nguyên tố (màu đỏ) tập trung ở một số đường chéo nhất định. Các giá trị nguyên tố của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4n^{2}-2n+41}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>41</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4n^{2}-2n+41}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f7b0b039e84f6a35cf179e74583d3217eced75" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:14.174ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4n^{2}-2n+41}"> được tô màu xanh.</figcaption></figure> Euler nhận thấy rằng hàm <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n^{2}-n+41}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>41</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n^{2}-n+41}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c4504253486e5ff537490356c8529390687bdb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.849ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n^{2}-n+41}"></dd></dl> cho giá trị là số nguyên tố với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\leq n\leq 40}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> <mo>≤</mo> <mn>40</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\leq n\leq 40}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1d90b605eed00af6cd0590bb9591798ea4497f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.079ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1\leq n\leq 40}">, mặc dù các giá trị hợp số bắt đầu xuất hiện khi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> lớn hơn 40.<a href="#cite_note-88">[86]</a><a href="#cite_note-89">[87]</a> Việc tìm ra giải thích cho hiện tượng này chính là tiền đề của <a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91" title="Lý thuyết số đại số">lý thuyết số đại số</a> với <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_Heegner&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số Heegner (trang không tồn tại)">số Heegner</a> và <a href="/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_l%E1%BB%9Bp_s%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bài toán lớp số (trang không tồn tại)">bài toán lớp số</a>.<a href="#cite_note-90">[88]</a> <a href="/w/index.php?title=Xo%E1%BA%AFn_Ulam&action=edit&redlink=1" class="new" title="Xoắn Ulam (trang không tồn tại)">Giả thuyết F của Hardy–Littlewood</a> dự đoán mật độ số nguyên tố trong các giá trị của <a href="/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91_b%E1%BA%ADc_hai" title="Hàm số bậc hai">đa thức bậc hai</a> với hệ số nguyên về mặt tích phân logarit và hệ số của đa thức. Không có đa thức bậc hai nào được chứng minh là chỉ cho các giá trị nguyên tố.<a href="#cite_note-:6-91">[89]</a> <a href="/w/index.php?title=Xo%E1%BA%AFn_Ulam&action=edit&redlink=1" class="new" title="Xoắn Ulam (trang không tồn tại)">Xoắn Ulam</a> sắp xếp các số tự nhiên thành một mặt phẳng hai chiều, xoắn ở các hình vuông đồng tâm quanh điểm gốc với số nguyên tố được đánh dấu. Dễ thấy trong ví dụ này, các số nguyên tố chỉ tập trung ở một số đường chéo nhất định, ngụ ý rằng có một số đa thức bậc hai cho giá trị nguyên tố thường xuyên hơn các đa thức khác.<a href="#cite_note-:6-91">[89]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hàm_zeta_và_giả_thuyết_Riemann">Hàm zeta và giả thuyết Riemann</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=14" title="Sửa đổi phần “Hàm zeta và giả thuyết Riemann”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=14" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Hàm zeta và giả thuyết Riemann">sửa mã nguồn</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/wiki/Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann" title="Giả thuyết Riemann">Giả thuyết Riemann</a></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Riemann_zeta_function_absolute_value_vi.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Riemann_zeta_function_absolute_value_vi.png/330px-Riemann_zeta_function_absolute_value_vi.png" decoding="async" width="330" height="330" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Riemann_zeta_function_absolute_value_vi.png/495px-Riemann_zeta_function_absolute_value_vi.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Riemann_zeta_function_absolute_value_vi.png/660px-Riemann_zeta_function_absolute_value_vi.png 2x" data-file-width="1000" data-file-height="1000" /></a><figcaption>Đồ thị giá trị tuyệt đối của hàm zeta</figcaption></figure> <a href="/wiki/Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann" title="Giả thuyết Riemann">Giả thuyết Riemann</a> (1859) là một trong những bài toán chưa được giải nổi tiếng nhất toán học và một là trong bảy <a href="/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_thi%C3%AAn_ni%C3%AAn_k%E1%BB%B7&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bài toán thiên niên kỷ (trang không tồn tại)">bài toán thiên niên kỷ</a>, yêu cầu tìm các <a href="/wiki/Kh%C3%B4ng_%C4%91i%E1%BB%83m_c%E1%BB%A7a_h%C3%A0m_s%E1%BB%91" title="Không điểm của hàm số">nghiệm số</a> của <a href="/wiki/H%C3%A0m_zeta_Riemann" title="Hàm zeta Riemann">hàm zeta Riemann</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta (s)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ζ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (s)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd45922057e4d7a5718ce5ed703ab493c63897a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.995ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \zeta (s)}">. Hàm này là một <a href="/wiki/H%C3%A0m_gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch" title="Hàm giải tích">hàm giải tích</a> trên tập <a href="/wiki/S%E1%BB%91_ph%E1%BB%A9c" title="Số phức">số phức</a>. Với số phức <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}"> có phần thực lớn hơn 1, nó bằng một <a href="/wiki/Chu%E1%BB%97i_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Chuỗi (toán học)">tổng vô hạn</a> trên tất cả số nguyên và một <a href="/wiki/T%C3%ADch_v%C3%B4_h%E1%BA%A1n" title="Tích vô hạn">tích vô hạn</a> trên tất cả số nguyên tố: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ nguyên tố}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ζ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> nguyên tố</mtext> </mrow> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ nguyên tố}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b4bcbb29d35e1d7a467f25969a6b61097cb020" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:35.555ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ nguyên tố}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}"></dd></dl> Sự bằng nhau này giữa một tổng và một tích (do Euler tìm ra) được gọi là <a href="/wiki/T%C3%ADch_Euler" title="Tích Euler">tích Euler</a>.<a href="#cite_note-92">[90]</a> Tích Euler có thể được suy ra từ định lý cơ bản của số học và cho thấy sự liên hệ giữa hàm zeta và số nguyên tố.<a href="#cite_note-93">[91]</a> Nó dẫn đến một cách chứng minh khác về sự tồn tại vô số số nguyên tố: nếu chỉ có một số hữu hạn số nguyên tố thì dấu bằng giữa tổng và tích cũng xảy ra tại <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bac386d8f227fb823cede9b3e33d706cad3ed306" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.351ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle s=1}"> nhưng tổng có tính phân kỳ (đó chính là <a href="/w/index.php?title=Chu%E1%BB%97i_%C4%91i%E1%BB%81u_h%C3%B2a&action=edit&redlink=1" class="new" title="Chuỗi điều hòa (trang không tồn tại)">chuỗi điều hòa</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>+</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391a7209d3509160364ad66fc270afc07d84c0db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:15.723ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots }">) trong khi tích có tính hội tụ (mang giá trị hữu hạn), mâu thuẫn.<a href="#cite_note-94">[92]</a> Giả thuyết Riemann phát biểu rằng nghiệm số của hàm zeta là tất cả các số âm chẵn hoặc các số phức với phần thực bằng 1/2.<a href="#cite_note-95">[93]</a> Chứng minh ban đầu của <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Định lý số nguyên tố">định lý số nguyên tố</a> được dựa trên dạng không chặt chẽ của giả thuyết này cho rằng không có nghiệm số nào có phần thực bằng 1,<a href="#cite_note-96">[94]</a><a href="#cite_note-bcrw18-97">[95]</a> mặc dù còn có thêm một số cách chứng minh cơ bản khác.<a href="#cite_note-98">[96]</a> Hàm đếm số nguyên tố có thể được biểu diễn bởi <a href="/w/index.php?title=C%C3%B4ng_th%E1%BB%A9c_t%C6%B0%E1%BB%9Dng_minh_cho_h%C3%A0m_L&action=edit&redlink=1" class="new" title="Công thức tường minh cho hàm L (trang không tồn tại)">công thức tường minh của Riemann</a> thành một tổng mà trong đó, mỗi số hạng đến từ một nghiệm số của hàm zeta: số hạng chính của tổng là tích phân logarit và các số hạng còn lại làm cho giá trị của tổng dao động quanh số hạng chính đó.<a href="#cite_note-99">[97]</a> Trong trường hợp này, các nghiệm số làm ảnh hưởng đến sự phân phối các số nguyên tố. Nếu giả thuyết Riemann là đúng, độ dao động đó sẽ nhỏ lại và sự <a href="/w/index.php?title=Ph%C3%A2n_ph%E1%BB%91i_ti%E1%BB%87m_c%E1%BA%ADn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Phân phối tiệm cận (trang không tồn tại)">phân phối tiệm cận</a> các số nguyên tố được cho bởi định lý số nguyên tố cũng đúng trên các khoảng nhỏ hơn rất nhiều (có độ dài gần bằng căn bậc hai của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> đối với khoảng nằm gần một số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">).<a href="#cite_note-bcrw18-97">[95]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Đại_số_trừu_tượng">Đại số trừu tượng</h2>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=15" title="Sửa đổi phần “Đại số trừu tượng”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=15" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Đại số trừu tượng">sửa mã nguồn</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Số_học_mô_đun_và_trường_hữu_hạn">Số học mô đun và trường hữu hạn</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=16" title="Sửa đổi phần “Số học mô đun và trường hữu hạn”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=16" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Số học mô đun và trường hữu hạn">sửa mã nguồn</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%8Dc_m%C3%B4_%C4%91un" title="Số học mô đun">Số học mô đun</a></div> Số học mô đun là một dạng khác của số học thông thường chỉ dùng các số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a274c78335c05b113ff9a19b66526a9da869fbfd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.456ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}"> với một số tự nhiên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> được gọi là mô đun. Bất kỳ số tự nhiên nào khác đều có thể được ánh xạ vào hệ thống này bằng cách thay nó bằng số dư của nó khi được chia bởi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">.<a href="#cite_note-100">[98]</a> Mô đun tổng, hiệu và tích được tính bằng cách thực hiện phép thế bằng số dư trong phép chia của tổng, hiệu hoặc tích các số nguyên thông thường.<a href="#cite_note-101">[99]</a> Sự bằng nhau giữa các số nguyên có liên quan đến khái niệm đồng dư trong số học mô đun: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> đồng dư (ký hiệu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\equiv y{\bmod {n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>≡</mo> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\equiv y{\bmod {n}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a7aaa1147d1a509291693293bc123e89b1e22a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.66ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x\equiv y{\bmod {n}}}">) khi phép chia của chúng bởi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> cho số dư bằng nhau.<a href="#cite_note-102">[100]</a> Tuy nhiên, trong hệ thống số đó, chỉ có thể xảy ra <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_chia" title="Phép chia">phép chia</a> cho một số khác 0 khi và chỉ khi mô đun là số nguyên tố. Chẳng hạn, với mô đun 7, có thể tồn tại phép chia cho 3: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>3</mn> <mo>≡</mo> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e6eb9bb6b2d861011df01e930241a2b1338af5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.592ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7}}}">, vì khi nhân cả hai vế cho 3 thì ta được biểu thức đúng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>≡</mo> <mn>9</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9cc49f8e6ba7fbf81201a0a8d5b3ce614135853" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.267ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}}">. Nhưng với mô đun 6 (là một hợp số), không thể tồn tại phép chia cho 3: phương trình <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2/3\equiv x{\bmod {6}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>3</mn> <mo>≡</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2/3\equiv x{\bmod {6}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959d2e86e50ec85744347d794e18cc3d107979cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.759ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2/3\equiv x{\bmod {6}}}"> vô nghiệm vì khi nhân cả hai vế cho 3 thì vế trái trở thành số 2 còn vế phải trở thành số 0 hoặc số 3. Trong <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_tr%E1%BB%ABu_t%C6%B0%E1%BB%A3ng" title="Đại số trừu tượng">đại số trừu tượng</a>, khả năng thực hiện phép chia có nghĩa rằng mô đun một số nguyên tố tạo thành một <a href="/wiki/Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_(%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91)" title="Trường (đại số)">trường</a> được gọi là <a href="/wiki/Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_h%E1%BB%AFu_h%E1%BA%A1n" title="Trường hữu hạn">trường hữu hạn</a>, trong khi các mô đun khác chỉ tạo ra <a href="/wiki/V%C3%A0nh" title="Vành">vành</a>.<a href="#cite_note-103">[101]</a> Bằng số học mô đun, có thể suy ra được một số định lý về số nguyên tố. Ví dụ, <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_nh%E1%BB%8F_Fermat" title="Định lý nhỏ Fermat">định lý nhỏ Fermat</a> phát biểu rằng nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\not \equiv 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>≢</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\not \equiv 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff4a234827d107c1dd3ffc19005990ea92f4e4db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.492ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\not \equiv 0}"> (mod <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}">) thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>≡</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0c1282f62b25fc17d3ce40e36e3b2a2f541f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.65ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1}"> (mod <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}">).<a href="#cite_note-104">[102]</a> Lấy tổng trên tất cả giá trị của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}">, ta được phương trình <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>≡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>≡</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac4572eadd7182309e72510091be6fe559e024f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:38.623ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}"></dd></dl> đúng khi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> là số nguyên tố. <a href="/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Giuga&action=edit&redlink=1" class="new" title="Giả thuyết Giuga (trang không tồn tại)">Giả thuyết Giuga</a> cho rằng phương trình này là điều kiện đủ để <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> là số nguyên tố.<a href="#cite_note-105">[103]</a> Theo <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Wilson" title="Định lý Wilson">định lý Wilson</a>, một số nguyên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p>1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p>1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f127e7a5f2449ddf3edb8164c2d2439120641f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.52ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p>1}"> là số nguyên tố khi và chỉ khi giai thừa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (p-1)!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (p-1)!}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba68358eefe786c8448a04d3be5fa11279a59c62" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.628ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (p-1)!}"> đồng dư với –1 mod <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}">. Với một hợp số<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;n=r\cdot s\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <mi>s</mi> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;n=r\cdot s\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42391cbdb9185ff409ed6c393c297c43f005078a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.602ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \;n=r\cdot s\;}">thì định lý này không đúng, vì khi đó có một trong hai thừa số chia hết cả n và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-1)!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-1)!}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb71a5f562b97650728f30493f43e96c15b4287" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.854ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-1)!}"> nên không thể có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>≡</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b29169bc8c822e9d212b319d1f610e0998d3fef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.002ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}">.<a href="#cite_note-106">[104]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Số_p-adic">Số p-adic</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=17" title="Sửa đổi phần “Số p-adic”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=17" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Số p-adic">sửa mã nguồn</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/wiki/S%E1%BB%91_p-adic" title="Số p-adic">Số p-adic</a></div> <a href="/w/index.php?title=C%E1%BA%A5p_p-adic&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cấp p-adic (trang không tồn tại)">Cấp <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}">-adic</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{p}(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{p}(n)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a740c63898dac75666e43736eb3ae87eb8c62b16" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.412ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \nu _{p}(n)}"> của một số nguyên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> là số lần xuất hiện của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> trong phân tích nguyên tố của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">. Khái niệm này có thể được mở rộng cho số hữu tỉ: cấp <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}">-adic của một phân số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m/n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m/n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eebcb27a9df80445dbe86eefee5d131d6e0e7e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.598ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m/n}"> được xác định là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d324584195f4488cae3200e33bcb93f605f43ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.309ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)}">. Khi đó, giá trị tuyệt đối <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}">-adic <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |q|_{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>q</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |q|_{p}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699cfd1fc1d9b3543ebf4cb30e9d3a5a73a61bc9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.422ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle |q|_{p}}"> của một số hữu tỉ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"> là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |q|_{p}=p^{-\nu _{p}(q)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>q</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |q|_{p}=p^{-\nu _{p}(q)}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121493a70b4bc560c8fe699075a1784122258128" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:12.884ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle |q|_{p}=p^{-\nu _{p}(q)}}">. Khi nhân một số nguyên với giá trị tuyệt đối <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}">-adic của nó thì các thừa số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> trong phân tích nguyên tố của số nguyên đó bị khử và chỉ còn lại các thừa số nguyên tố khác. Giống như khi đo khoảng cách giữa hai số thực bằng giá trị tuyệt đối thông thường, khoảng cách giữa hai số hữu tỉ có thể được đo bằng độ dài <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}">-adic, tức là giá trị tuyệt đối <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}">-adic của hiệu hai số đó. Theo định nghĩa khoảng cách đó, hai số được gọi là gần nhau (có khoảng cách nhỏ) khi hiệu giữa chúng có thể chia hết bởi một lũy thừa bậc cao của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}">. Bằng cùng một cách mà số thực được tạo thành từ số hữu tỉ và khoảng cách giữa chúng cùng một số giá trị giới hạn được thêm vào để hợp lại thành một <a href="/w/index.php?title=Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91%E1%BA%A7y_%C4%91%E1%BB%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="Trường đầy đủ (trang không tồn tại)">trường đầy đủ</a>, các số hữu tỉ với khoảng cách <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> có thể được mở rộng sang một trường đầy đủ khác được gọi là <a href="/wiki/S%E1%BB%91_p-adic" title="Số p-adic">số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}">-adic</a>.<a href="#cite_note-childress-107">[105]</a><a href="#cite_note-108">[106]</a> Các khái niệm về cấp, giá trị tuyệt đối và trường đầy đủ suy ra từ chúng có thể được khái quát hóa cho <a href="/wiki/Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_s%E1%BB%91_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91" title="Trường số đại số">trường số đại số</a> cùng với <a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%8Bnh_chu%E1%BA%A9n_(%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Định chuẩn (đại số) (trang không tồn tại)">định chuẩn</a> (ánh xạ nhất định từ <a href="/w/index.php?title=Nh%C3%B3m_nh%C3%A2n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nhóm nhân (trang không tồn tại)">nhóm nhân</a> của trường đó sang một <a href="/w/index.php?title=Nh%C3%B3m_%C4%91%C6%B0%E1%BB%A3c_s%E1%BA%AFp_tuy%E1%BA%BFn_t%C3%ADnh&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nhóm được sắp tuyến tính (trang không tồn tại)">nhóm cộng được sắp toàn phần</a>), <a href="/w/index.php?title=Gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B_tuy%E1%BB%87t_%C4%91%E1%BB%91i_(%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Giá trị tuyệt đối (đại số) (trang không tồn tại)">giá trị tuyệt đối</a> (ánh xạ nhân nhất định từ một trường sang số thực),<a href="#cite_note-childress-107">[105]</a> và vị trí (sự mở rộng sang <a href="/w/index.php?title=Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91%E1%BA%A7y_%C4%91%E1%BB%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="Trường đầy đủ (trang không tồn tại)">trường đầy đủ</a> mà trong đó tập cho trước là một <a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tr%C3%B9_m%E1%BA%ADt" title="Tập trù mật">tập trù mật</a>) của chúng.<a href="#cite_note-109">[107]</a> Chẳng hạn, sự mở rộng từ tập số hữu tỉ sang tập <a href="/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c" title="Số thực">số thực</a> là một vị trí mà tại đó khoảng cách giữa hai số là <a href="/wiki/Gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B_tuy%E1%BB%87t_%C4%91%E1%BB%91i" title="Giá trị tuyệt đối">giá trị tuyệt đối</a> thông thường của hiệu hai số đó. Ánh xạ tương ứng sang một nhóm cộng là <a href="/wiki/Logarit" title="Logarit">logarit</a> của giá trị tuyệt đối đó, mặc dù nó không thỏa mãn tất cả yêu cầu của một định chuẩn. Theo <a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Ostrowski&action=edit&redlink=1" class="new" title="Định lý Ostrowski (trang không tồn tại)">định lý Ostrowski</a>, trước khái niệm tự nhiên về tương đương, số thực và số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}">-adic cùng cấp và giá trị tuyệt đối của chúng là định chuẩn, giá trị tuyệt đối và vị trí duy nhất trên tập số hữu tỉ.<a href="#cite_note-childress-107">[105]</a> <a href="/w/index.php?title=Nguy%C3%AAn_l%C3%BD_Hasse&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nguyên lý Hasse (trang không tồn tại)">Nguyên lý Hasse</a> cho phép giải nhiều bài toán trên số hữu tỉ bằng cách hợp các nghiệm từ các vị trí của chúng lại với nhau, một lần nữa nhấn mạnh tầm quan trọng của số nguyên tố trong lý thuyết số.<a href="#cite_note-110">[108]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Phần_tử_nguyên_tố_trong_vành">Phần tử nguyên tố trong vành</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=18" title="Sửa đổi phần “Phần tử nguyên tố trong vành”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=18" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Phần tử nguyên tố trong vành">sửa mã nguồn</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/w/index.php?title=Ph%E1%BA%A7n_t%E1%BB%AD_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Phần tử nguyên tố (trang không tồn tại)">Phần tử nguyên tố</a> và <a href="/w/index.php?title=Ph%E1%BA%A7n_t%E1%BB%AD_t%E1%BB%91i_gi%E1%BA%A3n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Phần tử tối giản (trang không tồn tại)">Phần tử tối giản</a></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Gaussian_primes.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Gaussian_primes.png/220px-Gaussian_primes.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Gaussian_primes.png/330px-Gaussian_primes.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Gaussian_primes.png/440px-Gaussian_primes.png 2x" data-file-width="1200" data-file-height="1198" /></a><figcaption><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Gauss" class="mw-redirect" title="Số nguyên tố Gauss">Số nguyên tố Gauss</a> với chuẩn nhỏ hơn 500</figcaption></figure> <a href="/wiki/V%C3%A0nh_giao_ho%C3%A1n" title="Vành giao hoán">Vành giao hoán</a> là một <a href="/wiki/C%E1%BA%A5u_tr%C3%BAc_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91" title="Cấu trúc đại số">cấu trúc đại số</a> có định nghĩa <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_c%E1%BB%99ng" title="Phép cộng">phép cộng</a>, phép trừ và <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_nh%C3%A2n" title="Phép nhân">phép nhân</a>. Tập số nguyên là một vành và số nguyên tố trong tập đó đã được khái quát hóa sang lý thuyết vành với thuật ngữ phần tử nguyên tố và phần tử tối giản. Một phần tử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> của vành <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> được gọi là phần tử nguyên tố nếu nó khác 0, không có <a href="/wiki/Ngh%E1%BB%8Bch_%C4%91%E1%BA%A3o_ph%C3%A9p_nh%C3%A2n" title="Nghịch đảo phép nhân">nghịch đảo</a> (không phải phần tử <a href="/w/index.php?title=%C4%90%C6%A1n_v%E1%BB%8B_(l%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_v%C3%A0nh)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Đơn vị (lý thuyết vành) (trang không tồn tại)">đơn vị</a>) và thỏa mãn điều kiện: khi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> chia hết tích <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle xy}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle xy}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72eb345e496513fb8b2fa4aa8c4d89b855f9a01" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.485ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle xy}"> gồm hai phần tử trong <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> thì nó cũng chia hết ít nhất một trong hai phần tử <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}">. Một phần tử được gọi là phần tử tối giản nếu nó không phải phần tử đơn vị, cũng không phải là tích của hai phần tử khác phần tử đơn vị. Trong vành số nguyên, các phần tử nguyên tố và tối giản tạo thành cùng một tập hợp <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>11</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>7</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mn>7</mn> <mo>,</mo> <mn>11</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521b9a30f8065b6659540de5e2d79f23b8ae8009" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.556ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}"></dd></dl> Trong một vành bất kỳ, mọi phần tử nguyên tố đều là phần tử tối giản. Phát biểu ngược lại của nó chỉ đúng trong <a href="/w/index.php?title=Mi%E1%BB%81n_ph%C3%A2n_t%C3%ADch_nh%C3%A2n_t%E1%BB%AD_duy_nh%E1%BA%A5t&action=edit&redlink=1" class="new" title="Miền phân tích nhân tử duy nhất (trang không tồn tại)">miền phân tích nhân tử duy nhất</a>.<a href="#cite_note-111">[109]</a> Định lý cơ bản của số học là đúng (theo định nghĩa) trong miền phân tích nhân tử duy nhất. Ví dụ về một miền như thế là vành <a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_Gauss" title="Số nguyên Gauss">số nguyên Gauss</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.646ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}">, vành các số phức dạng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+bi}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+bi}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92f853c2c9235c06be640b91b7c75e2a907cbda" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.87ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+bi}"> với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}"> là <a href="/wiki/%C4%90%C6%A1n_v%E1%BB%8B_%E1%BA%A3o" title="Đơn vị ảo">đơn vị ảo</a> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> là số nguyên bất kỳ. Các phần tử nguyên tố của vành đó được gọi là <a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Gauss" class="mw-redirect" title="Số nguyên tố Gauss">số nguyên tố Gauss</a>. Một số nguyên tố trong vành số nguyên có thể không phải là số nguyên tố trong vành số nguyên Gauss; chẳng hạn, số 2 có thể được viết thành tích của hai số nguyên tố Gauss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+i}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a65e41a5c0369e908cf26a2452046f19bab946d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.805ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1+i}"> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-i}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685fed923493e7884e748f0dd6f932311f66bd69" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.805ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1-i}">. Số nguyên tố hữu tỉ (phần tử nguyên tố trong vành số nguyên) đồng dư với 3 mod 4 là số nguyên tố Gauss, nhưng số nguyên tố hữu tỉ đồng dư với 1 mod 4 không phải vậy.<a href="#cite_note-112">[110]</a> Đó là một hệ quả của <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Fermat_v%E1%BB%81_t%E1%BB%95ng_c%E1%BB%A7a_hai_s%E1%BB%91_ch%C3%ADnh_ph%C6%B0%C6%A1ng" title="Định lý Fermat về tổng của hai số chính phương">định lý Fermat về tổng của hai số chính phương</a>, phát biểu rằng một số nguyên tố lẻ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> có thể được biểu diễn thành tổng của hai số chính phương, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe433e9ba9c42efe1bc9fd51bb439c698b8f6843" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:11.796ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}">, và do đó có thể được phân tích thành <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba304bbcb900df2560ef81f194004d2cd365ddc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:20.232ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)}">, chỉ khi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> đồng dư với 1 mod 4.<a href="#cite_note-113">[111]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="I-đê-an_nguyên_tố">I-đê-an nguyên tố</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=19" title="Sửa đổi phần “I-đê-an nguyên tố”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=19" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: I-đê-an nguyên tố">sửa mã nguồn</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/wiki/I-%C4%91%C3%AA-an_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="I-đê-an nguyên tố">I-đê-an nguyên tố</a></div> Không phải mọi vành đều là miền phân tích nhân tử duy nhất. Chẳng hạn, trong vành các số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo>−</mo> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5894d5cf1749ce9cb9be987542cabde8b3b8f2a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.974ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}"> (với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> là số nguyên), số 21 có hai cách phân tích: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>21</mn> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mn>7</mn> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo>−</mo> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo>−</mo> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85ef78d9e6efc73f20864dade3df3c2c9ae57f20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.288ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})}">, trong đó cả bốn thừa số đều là tối giản, nên nó không có một phân tích nhân tử duy nhất. Để mở rộng khái niệm phân tích nhân tử duy nhất sang các lớp vành khác lớn hơn, có thể thay thế thuật ngữ về số bằng thuật ngữ về <a href="/wiki/I-%C4%91%C3%AA-an" title="I-đê-an">i-đê-an</a>, một <a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_con_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" class="mw-redirect" title="Tập hợp con (toán học)">tập hợp con</a> của các phần tử trong một vành chứa tổng của mỗi cặp phần tử của nó và tích của mỗi phần tử của nó với một phần tử trong vành. I-đê-an nguyên tố, vốn khái quát hóa phần tử nguyên tố trong trường hợp <a href="/wiki/I-%C4%91%C3%AA-an_ch%C3%ADnh" title="I-đê-an chính">i-đê-an chính</a> tạo ra bởi một phần tử nguyên tố là một i-đê-an nguyên tố, là một công cụ quan trọng và chủ đề nghiên cứu chính trong <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_giao_ho%C3%A1n" title="Đại số giao hoán">đại số giao hoán</a>, <a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91" title="Lý thuyết số đại số">lý thuyết số đại số</a> và <a href="/wiki/H%C3%ACnh_h%E1%BB%8Dc_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91" title="Hình học đại số">hình học đại số</a>. Các i-đê-an nguyên tố trong vành số nguyên là (0), (2), (3), (5), (7), (11),... Định lý cơ bản của số học được khái quát hóa thành <a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Lasker%E2%80%93Noether&action=edit&redlink=1" class="new" title="Định lý Lasker–Noether (trang không tồn tại)">định lý Lasker–Noether</a> biểu diễn một i-đê-an bất kỳ trong một <a href="/wiki/V%C3%A0nh_giao_ho%C3%A1n" title="Vành giao hoán">vành giao hoán</a> <a href="/w/index.php?title=V%C3%A0nh_Noether&action=edit&redlink=1" class="new" title="Vành Noether (trang không tồn tại)">Noether</a> thành giao của các <a href="/wiki/I-%C4%91%C3%AA-an_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p" title="I-đê-an sơ cấp">i-đê-an sơ cấp</a>, một dạng khái quát hóa thích hợp của <a href="/w/index.php?title=L%C5%A9y_th%E1%BB%ABa_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lũy thừa nguyên tố (trang không tồn tại)">lũy thừa nguyên tố</a>.<a href="#cite_note-114">[112]</a> <a href="/w/index.php?title=Ph%E1%BB%95_c%E1%BB%A7a_m%E1%BB%99t_v%C3%A0nh_giao_ho%C3%A1n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Phổ của một vành giao hoán (trang không tồn tại)">Phổ của một vành</a> là một không gian hình học mà các điểm trong đó là các i-đê-an nguyên tố của vành đó.<a href="#cite_note-115">[113]</a> Thuật ngữ này giúp ích nhiều cho <a href="/wiki/H%C3%ACnh_h%E1%BB%8Dc_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91" title="Hình học đại số">hình học đại số</a> và nhiều khái niệm liên quan khác cũng xuất hiện trong hình học và lý thuyết số. Chẳng hạn, sự phân tích hoặc <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%B1_ph%C3%A2n_chia_i-%C4%91%C3%AA-an_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_trong_m%E1%BB%9F_r%E1%BB%99ng_Galois&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sự phân chia i-đê-an nguyên tố trong mở rộng Galois (trang không tồn tại)">phân chia</a> i-đê-an nguyên tố khi áp dụng trong một <a href="/wiki/M%E1%BB%9F_r%E1%BB%99ng_tr%C6%B0%E1%BB%9Dng" title="Mở rộng trường">trường mở rộng</a>, một bài toán cơ bản của lý thuyết số đại số, thì có tương đồng với <a href="/w/index.php?title=Kh%C3%B4ng_gian_ph%E1%BB%A7_nh%C3%A1nh&action=edit&redlink=1" class="new" title="Không gian phủ nhánh (trang không tồn tại)">sự phân chia trong hình học</a>. Các khái niệm này thậm chí còn có thể hỗ trợ giải một số bài toán đặc biệt liên quan đến số nguyên trong lý thuyết số. Ví dụ, có thể dùng i-đê-an nguyên tố trong <a href="/w/index.php?title=V%C3%A0nh_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Vành số nguyên (trang không tồn tại)">vành số nguyên</a> của <a href="/w/index.php?title=Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_s%E1%BB%91_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit&redlink=1" class="new" title="Trường số bậc hai (trang không tồn tại)">trường số bậc hai</a> để chứng minh <a href="/wiki/Lu%E1%BA%ADt_t%C6%B0%C6%A1ng_h%E1%BB%97_b%E1%BA%ADc_hai" title="Luật tương hỗ bậc hai">luật tương hỗ bậc hai</a>, một phát biểu về sự tồn tại của biểu thức căn bậc hai mô đun một số nguyên tố nguyên.<a href="#cite_note-116">[114]</a> Những cố gắng ban đầu để chứng minh <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_l%E1%BB%9Bn_Fermat" title="Định lý lớn Fermat">định lý cuối của Fermat</a> đã dẫn đến sự ra đời khái niệm <a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_ch%C3%ADnh_quy" title="Số nguyên tố chính quy">số nguyên tố chính quy</a>, những số nguyên tố nguyên liên quan đến sự không tồn tại phân tích nhân tử duy nhất trong trường <a href="/w/index.php?title=Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_chia_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_tr%C3%B2n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Trường chia đường tròn (trang không tồn tại)">số nguyên chia đường tròn</a>.<a href="#cite_note-117">[115]</a> Bài toán có bao nhiêu số nguyên tố nguyên có thể được phân tích thành một tích gồm nhiều i-đê-an nguyên tố trong một trường số đại số được giải quyết bằng <a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_m%E1%BA%ADt_%C4%91%E1%BB%99_Chebotarev&action=edit&redlink=1" class="new" title="Định lý mật độ Chebotarev (trang không tồn tại)">định lý mật độ Chebotarev</a> mà khi được áp dụng cho số nguyên chia đường tròn thì có trường hợp đặc biệt là định lý Dirichlet về số nguyên tố trong cấp số cộng.<a href="#cite_note-118">[116]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lý_thuyết_nhóm">Lý thuyết nhóm</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=20" title="Sửa đổi phần “Lý thuyết nhóm”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=20" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Lý thuyết nhóm">sửa mã nguồn</a>]</div> Trong lý thuyết <a href="/wiki/Nh%C3%B3m_h%E1%BB%AFu_h%E1%BA%A1n" title="Nhóm hữu hạn">nhóm hữu hạn</a>, <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Sylow" title="Định lý Sylow">định lý Sylow</a> phát biểu rằng nếu lũy thừa của một số nguyên tố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a7a7e74ae90ab94f01e1629177758fb68b423b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.477ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle p^{n}}"> chia hết <a href="/wiki/C%E1%BA%A5p_(l%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_nh%C3%B3m)" title="Cấp (lý thuyết nhóm)">cấp</a> của một nhóm thì nó có một <a href="/wiki/Nh%C3%B3m_con" title="Nhóm con">nhóm con</a> với cấp <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a7a7e74ae90ab94f01e1629177758fb68b423b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.477ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle p^{n}}">. Theo <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Lagrange_(l%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_nh%C3%B3m)" title="Định lý Lagrange (lý thuyết nhóm)">định lý Lagrange</a>, một nhóm với cấp nguyên tố là <a href="/wiki/Nh%C3%B3m_cyclic" title="Nhóm cyclic">nhóm cyclic</a>, và theo <a href="/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Burnside&action=edit&redlink=1" class="new" title="Định lý Burnside (trang không tồn tại)">định lý Burnside</a> thì một nhóm có cấp chia hết được bởi đúng hai số nguyên tố là <a href="/wiki/Nh%C3%B3m_gi%E1%BA%A3i_%C4%91%C6%B0%E1%BB%A3c" title="Nhóm giải được">nhóm giải được</a>.<a href="#cite_note-119">[117]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Phương_pháp_tính">Phương pháp tính</h2>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=21" title="Sửa đổi phần “Phương pháp tính”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=21" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Phương pháp tính">sửa mã nguồn</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Gears_large.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/Gears_large.jpg/220px-Gears_large.jpg" decoding="async" width="220" height="299" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/Gears_large.jpg/330px-Gears_large.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/Gears_large.jpg/440px-Gears_large.jpg 2x" data-file-width="500" data-file-height="680" /></a><figcaption>Bánh răng nhỏ trong một thiết bị nông nghiệp có 13 răng (là số nguyên tố) và bánh răng vừa có 21 răng (nguyên tố cùng nhau với 13).</figcaption></figure> Trong một thời gian dài, lý thuyết số nói chung và ngành nghiên cứu số nguyên tố nói riêng từng được xem là ví dụ kinh điển về toán học thuần túy khi không có ứng dụng nào ngoài phạm vi toán học,<a href="#cite_note-pure-34">[b]</a> ngoại trừ việc dùng các bánh răng với số răng là số nguyên tố để hạn chế mài mòn.<a href="#cite_note-120">[118]</a> Thậm chí, một số nhà lý thuyết số như nhà toán học người <a href="/wiki/V%C6%B0%C6%A1ng_qu%E1%BB%91c_Li%C3%AAn_hi%E1%BB%87p_Anh_v%C3%A0_B%E1%BA%AFc_Ireland" title="Vương quốc Liên hiệp Anh và Bắc Ireland">Anh</a> <a href="/wiki/Godfrey_Harold_Hardy" title="Godfrey Harold Hardy">G. H. Hardy</a> còn tự hào về chính họ khi làm những công trình nghiên cứu hoàn toàn không có ý nghĩa quân sự gì.<a href="#cite_note-121">[119]</a> Góc nhìn này đã bị xóa bỏ vào những năm 1970, khi số nguyên tố đã có thể được dùng làm cơ sở để tạo ra các thuật toán <a href="/wiki/M%E1%BA%ADt_m%C3%A3_h%C3%B3a_kh%C3%B3a_c%C3%B4ng_khai" title="Mật mã hóa khóa công khai">mật mã hóa khóa công khai</a>.<a href="#cite_note-ent-7-35">[33]</a> Những ứng dụng này đã góp phần đẩy mạnh hoạt động nghiên cứu <a href="/wiki/Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n" title="Thuật toán">thuật toán</a> thực hiện phép tính trên số nguyên tố và các phương pháp <a href="/wiki/Ki%E1%BB%83m_tra_t%C3%ADnh_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Kiểm tra tính nguyên tố">kiểm tra tính nguyên tố</a> của một số. Thuật toán kiểm tra tính nguyên tố cơ bản nhất, giải thuật chia thử, quá chậm đối với số rất lớn. Một nhóm thuật toán hiện đại có thể áp dụng được cho một số bất kỳ, trong khi còn có các thuật toán hiệu quả hơn dành cho các nhóm số đặc biệt. Đa số thuật toán kiểm tra tính nguyên tố chỉ cho biết đầu vào của chúng có phải là số nguyên tố hay không. Một số đoạn chương trình khác còn xuất ra một (hoặc tất cả) thừa số nguyên tố từ đầu vào là hợp số và được gọi là thuật toán <a href="/wiki/Ph%C3%A2n_t%C3%ADch_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn" title="Phân tích số nguyên">phân tích số nguyên</a>. Số nguyên tố cũng có ứng dụng trong điện toán như <a href="/wiki/Gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B_t%E1%BB%95ng_ki%E1%BB%83m" title="Giá trị tổng kiểm">giá trị tổng kiểm</a>, <a href="/wiki/B%E1%BA%A3ng_b%C4%83m" title="Bảng băm">bảng băm</a> và <a href="/wiki/B%E1%BB%99_sinh_s%E1%BB%91_gi%E1%BA%A3_ng%E1%BA%ABu_nhi%C3%AAn" title="Bộ sinh số giả ngẫu nhiên">bộ sinh số giả ngẫu nhiên</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Giải_thuật_chia_thử">Giải thuật chia thử</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=22" title="Sửa đổi phần “Giải thuật chia thử”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=22" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Giải thuật chia thử">sửa mã nguồn</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/wiki/Chia_th%E1%BB%AD" title="Chia thử">Chia thử</a></div> Phương pháp cơ bản nhất để kiểm tra tính nguyên tố của một số nguyên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> cho trước được gọi là <a href="/wiki/Chia_th%E1%BB%AD" title="Chia thử">chia thử</a>. Thuật toán này chia <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> cho tất cả số nguyên từ 2 đến <a href="/wiki/C%C4%83n_b%E1%BA%ADc_hai" title="Căn bậc hai">căn bậc hai</a> của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">. Khi có bất kỳ số nguyên nào chia hết <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> là hợp số, ngược lại thì nó là số nguyên tố. Các số lớn hơn căn bậc hai đó không cần được kiểm tra, vì khi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=a\cdot b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=a\cdot b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083e9fcf193435c0829806a150b537e26641793c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.4ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=a\cdot b}"> thì một trong hai thừa số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">. Một dạng tối ưu khác là chỉ kiểm tra các thừa số nguyên tố trong khoảng đó.<a href="#cite_note-122">[120]</a> Chẳng hạn, để kiểm tra xem 37 có phải là số nguyên tố hay không, thuật toán này chia nó cho các số nguyên tố trong khoảng từ 2 đến √37, đó là số 2, 3 và 5. Cả ba phép chia đều có số dư khác 0 nên 37 chính là số nguyên tố. Phương pháp này có thể được mô tả một cách đơn giản, nhưng không thực tế khi kiểm tra tính nguyên tố của các số nguyên lớn, vì số phép chia nó thực hiện <a href="/wiki/T%C4%83ng_tr%C6%B0%E1%BB%9Fng_theo_c%E1%BA%A5p_s%E1%BB%91_nh%C3%A2n" title="Tăng trưởng theo cấp số nhân">tăng dần theo cấp số nhân</a> khi số chữ số của số nguyên đó càng nhiều.<a href="#cite_note-123">[121]</a> Tuy nhiên, giải thuật chia thử vẫn được sử dụng để tìm nhanh hợp số với thừa số nhỏ trước khi áp dụng những phương pháp phức tạp hơn đối với các số vượt qua được giải thuật đó.<a href="#cite_note-:7-124">[122]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sàng">Sàng</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=23" title="Sửa đổi phần “Sàng”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=23" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Sàng">sửa mã nguồn</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/wiki/S%C3%A0ng_Eratosthenes" title="Sàng Eratosthenes">Sàng Eratosthenes</a></div> <dl><dd><figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Animation_Sieb_des_Eratosthenes_(vi).gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/Animation_Sieb_des_Eratosthenes_%28vi%29.gif" decoding="async" width="445" height="369" class="mw-file-element" data-file-width="445" data-file-height="369" /></a><figcaption> <a href="/wiki/S%C3%A0ng_Eratosthenes" title="Sàng Eratosthenes">Sàng Eratosthenes</a> bắt đầu với tất cả các số đều không được đánh dấu (màu xám). Sàng này tìm số đầu tiên không được đánh dấu (màu tối) và đánh dấu bình phương của nó và tất cả các bội lớn hơn sau đó là hợp số (màu sáng hơn). Sau khi đã đánh dấu các bội của 2 (đỏ), 3 (lục), 5 (lam) và 7 (vàng), tất cả các số nguyên tố lớn đến căn bậc hai của kích thước bảng đều đã được xét, và tất cả các số còn lại chưa được đánh dấu (11, 13,...) đều là số nguyên tố (màu tím).</figcaption></figure></dd></dl> Trước khi máy tính ra đời, nhiều bảng số liệt kê tất cả số nguyên tố hoặc phân tích nguyên tố đến một giới hạn cho trước đã được phát hành rộng rãi.<a href="#cite_note-125">[123]</a> Phương pháp cổ xưa nhất để lập danh sách số nguyên tố được gọi là sàng Eratosthenes.<a href="#cite_note-126">[124]</a> Hình minh họa bên phải cho thấy một dạng tối ưu của phương pháp này.<a href="#cite_note-127">[125]</a> Một sàng khác hiệu quả hơn để giải quyết bài toán đó là <a href="/wiki/S%C3%A0ng_Atkin" title="Sàng Atkin">sàng Atkin</a>.<a href="#cite_note-128">[126]</a> Trong toán học nâng cao, <a href="/w/index.php?title=L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%C3%A0ng&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lý thuyết sàng (trang không tồn tại)">lý thuyết sàng</a> áp dụng các phương pháp tương tự vào nhiều bài toán khác.<a href="#cite_note-129">[127]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kiểm_tra_tính_nguyên_tố_và_chứng_minh_tính_nguyên_tố">Kiểm tra tính nguyên tố và chứng minh tính nguyên tố</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=24" title="Sửa đổi phần “Kiểm tra tính nguyên tố và chứng minh tính nguyên tố”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=24" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Kiểm tra tính nguyên tố và chứng minh tính nguyên tố">sửa mã nguồn</a>]</div> Một số thuật toán hiện đại nhanh nhất để giải quyết bài toán về tính nguyên tố của một số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> bất kỳ cho trước là các thuật toán <a href="/w/index.php?title=Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n_ng%E1%BA%ABu_nhi%C3%AAn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thuật toán ngẫu nhiên (trang không tồn tại)">xác suất</a> (<a href="/w/index.php?title=Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n_Monte_Carlo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thuật toán Monte Carlo (trang không tồn tại)">Monte Carlo</a>), nghĩa là nó có một khả năng nhỏ ngẫu nhiên cho câu trả lời sai.<a href="#cite_note-hromkovic-130">[128]</a> Chẳng hạn, <a href="/wiki/Ki%E1%BB%83m_tra_Solovay-Strassen" title="Kiểm tra Solovay-Strassen">kiểm tra Solovay–Strassen</a> với một số cho trước <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> chọn ngẫu nhiên một số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> trong khoảng từ 2 đến <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p-2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p-2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54de64bfce933aaf8b8317dc54f927ef25c96774" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.262ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p-2}"> và sử dụng <a href="/w/index.php?title=L%C5%A9y_th%E1%BB%ABa_m%C3%B4_%C4%91un&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lũy thừa mô đun (trang không tồn tại)">lũy thừa mô đun</a> để kiểm tra xem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{(p-1)/2}\pm 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>±</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{(p-1)/2}\pm 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e41c9364089b9540708ee3514f73b1bfa62a88" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.316ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a^{(p-1)/2}\pm 1}"> có chia hết được bởi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> hay không.<a href="#cite_note-131">[c]</a> Nếu đúng là như vậy thì nó trả lời "có" và ngược lại thì nó trả lời "không". Nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> đúng là số nguyên tố thì nó luôn trả lời "có", nhưng nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> là hợp số thì nó trả lời "có" với xác suất lớn nhất là 1/2 và "không" với xác suất nhỏ nhất là 1/2.<a href="#cite_note-koblitz-132">[129]</a> Nếu thuật toán này được lặp lại <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> lần trong cùng một số, xác suất lớn nhất để một hợp số vượt qua được thuật toán mọi lần là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/2^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/2^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcca0eda567be34036ddbb204671dc6aee9975f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.706ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/2^{n}}">. Vì xác suất đó giảm dần theo cấp số nhân khi số lần thực hiện kiểm tra tăng dần nên nó dẫn đến khả năng cao (nhưng không chắc chắn) rằng một số vượt qua được thuật toán lặp lại đó là số nguyên tố. Mặt khác, nếu một số không vượt qua được kiểm tra thì nó chắc chắn là hợp số.<a href="#cite_note-133">[130]</a> Một hợp số vượt qua được một kiểm tra như thế được gọi là <a href="/wiki/S%E1%BB%91_gi%E1%BA%A3_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Số giả nguyên tố">số giả nguyên tố</a>.<a href="#cite_note-koblitz-132">[129]</a> Ngược lại, một số thuật toán khác đảm bảo rằng câu trả lời luôn luôn đúng: số nguyên tố sẽ luôn luôn được xác định là số nguyên tố và hợp số sẽ luôn luôn được xác định là hợp số. Chẳng hạn, phát biểu này là đúng đối với giải thuật chia thử. Những thuật toán với đầu ra đảm bảo chính xác bao gồm <a href="/wiki/Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n_t%E1%BA%A5t_%C4%91%E1%BB%8Bnh" title="Thuật toán tất định">thuật toán tất định</a> như <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_ki%E1%BB%83m_tra_t%C3%ADnh_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_AKS" title="Phép kiểm tra tính nguyên tố AKS">phép kiểm tra tính nguyên tố AKS</a>,<a href="#cite_note-tao-aks-134">[131]</a> và các <a href="/w/index.php?title=Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n_Las_Vegas&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thuật toán Las Vegas (trang không tồn tại)">thuật toán Las Vegas</a> ngẫu nhiên mà trong đó những lựa chọn ngẫu nhiên của thuật toán không ảnh hưởng gì đến kết quả cuối cùng, chẳng hạn như một số dạng của <a href="/w/index.php?title=Ph%C3%A9p_ch%E1%BB%A9ng_minh_t%C3%ADnh_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_b%E1%BA%B1ng_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_cong_elliptic&action=edit&redlink=1" class="new" title="Phép chứng minh tính nguyên tố bằng đường cong elliptic (trang không tồn tại)">phép chứng minh tính nguyên tố bằng đường cong elliptic</a>.<a href="#cite_note-hromkovic-130">[128]</a> Khi phương pháp đường cong elliptic kết luận rằng một số là số nguyên tố, nó cũng xuất ra một <a href="/w/index.php?title=Ch%E1%BB%A9ng_nh%E1%BA%ADn_t%C3%ADnh_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Chứng nhận tính nguyên tố (trang không tồn tại)">chứng nhận tính nguyên tố</a> có thể được xác nhận nhanh chóng.<a href="#cite_note-atkin-morain-135">[132]</a> Kỹ thuật đường cong elliptic là nhanh nhất trong số các thuật toán với độ chính xác tuyệt đối, nhưng thời gian thực thi chỉ được đo dựa trên <a href="/w/index.php?title=Lu%E1%BA%ADn_c%E1%BB%A9_heuristic&action=edit&redlink=1" class="new" title="Luận cứ heuristic (trang không tồn tại)">thực nghiệm</a> thay vì lập luận chứng minh. <a href="/wiki/Ph%C3%A9p_ki%E1%BB%83m_tra_t%C3%ADnh_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_AKS" title="Phép kiểm tra tính nguyên tố AKS">Kiểm tra AKS</a> có độ phức tạp tính toán được chứng minh bằng lập luận toán học nhưng hoạt động chậm hơn so với kỹ thuật đường cong elliptic.<a href="#cite_note-morain-136">[133]</a> Các phương pháp này có thể được dùng để tạo ra các số nguyên tố lớn bằng cách tạo và kiểm tra các số ngẫu nhiên đến khi tìm được một số nguyên tố; khi đó, một thuật toán kiểm tra xác suất có thể nhanh chóng loại đi phần lớn hợp số trước khi một thuật toán "chắc chắn đúng" được dùng để xác thực lại rằng các số còn lại là số nguyên tố.<a href="#cite_note-137">[d]</a> Bảng dưới đây liệt kê một số thuật toán như vậy. Thời gian hoạt động được cho theo số được kiểm tra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> và số vòng lặp <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> (đối với thuật toán xác suất). Đồng thời, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }"> là một số dương nhỏ bất kỳ và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>log</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e4debd0ab1c6ce342d0172a7643733305c37bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.972ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \log }"> là <a href="/wiki/Logarit" title="Logarit">logarit</a> cơ số không xác định. <a href="/wiki/K%C3%AD_hi%E1%BB%87u_O_l%E1%BB%9Bn" class="mw-redirect" title="Kí hiệu O lớn">Ký hiệu O lớn</a> nghĩa là mỗi khoảng thời gian phải được nhân lên bởi một <a href="/wiki/K%C3%AD_hi%E1%BB%87u_O_l%E1%BB%9Bn" class="mw-redirect" title="Kí hiệu O lớn">hằng số tỉ lệ</a> để chuyển nó từ một đại lượng vô hướng sang đơn vị thời gian; hằng số này phụ thuộc vào thông số kỹ thuật chẳng hạn như loại máy tính được dùng để thực hiện thuật toán, nhưng không phụ thuộc vào tham số đầu vào <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}">. <table class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"> <tbody><tr> <th scope="col">Thuật toán </th> <th scope="col">Năm phát triển </th> <th scope="col">Dạng </th> <th scope="col">Độ phức tạp thời gian </th> <th scope="col">Ghi chú </th> <th scope="col">Chú thích </th></tr> <tr> <td style="text-align:left;"><a href="/wiki/Ph%C3%A9p_ki%E1%BB%83m_tra_t%C3%ADnh_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_AKS" title="Phép kiểm tra tính nguyên tố AKS">Kiểm tra AKS</a> </td> <td>2002 </td> <td>tất định </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O((\log n)^{6+\varepsilon })}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> <mo>+</mo> <mi>ε</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O((\log n)^{6+\varepsilon })}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc16469e3af6c2a0827c49a1bc042109f80f893" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.244ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle O((\log n)^{6+\varepsilon })}"> </td> <td> </td> <td><a href="#cite_note-tao-aks-134">[131]</a><a href="#cite_note-138">[134]</a> </td></tr> <tr> <td style="text-align:left;"><a href="/w/index.php?title=Ph%C3%A9p_ch%E1%BB%A9ng_minh_t%C3%ADnh_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_b%E1%BA%B1ng_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_cong_elliptic&action=edit&redlink=1" class="new" title="Phép chứng minh tính nguyên tố bằng đường cong elliptic (trang không tồn tại)">Chứng minh đường cong elliptic</a> </td> <td>1986 </td> <td>Las Vegas </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O((\log n)^{4+\varepsilon })}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mi>ε</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O((\log n)^{4+\varepsilon })}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dfc882e3d4fafd81c7e758315ce91a8100bd432" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.244ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle O((\log n)^{4+\varepsilon })}"> (theo thực nghiệm) </td> <td> </td> <td><a href="#cite_note-morain-136">[133]</a> </td></tr> <tr> <td style="text-align:left;"><a href="/w/index.php?title=Ki%E1%BB%83m_tra_Baillie%E2%80%93PSW&action=edit&redlink=1" class="new" title="Kiểm tra Baillie–PSW (trang không tồn tại)">Kiểm tra Baillie–PSW</a> </td> <td>1980 </td> <td>Monte Carlo </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O((\log n)^{2+\varepsilon })}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mi>ε</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O((\log n)^{2+\varepsilon })}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26335494299bcaa20a6732274e174f5eaa8461e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.244ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle O((\log n)^{2+\varepsilon })}"> </td> <td> </td> <td><a href="#cite_note-PSW-139">[135]</a><a href="#cite_note-lpsp-140">[136]</a> </td></tr> <tr> <td style="text-align:left;"><a href="/wiki/Ki%E1%BB%83m_tra_Miller-Rabin" title="Kiểm tra Miller-Rabin">Kiểm tra Miller–Rabin</a> </td> <td>1980 </td> <td>Monte Carlo </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon })}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mi>ε</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon })}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0341577e6a6f01b2c97fb60b0585bcad6ecbdc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.456ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon })}"> </td> <td style="text-align:left;">xác suất sai số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4^{-k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4^{-k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f7b428178b13d0649e586b49bd7d14fd33e42fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.53ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 4^{-k}}"> </td> <td><a href="#cite_note-monier-141">[137]</a> </td></tr> <tr> <td style="text-align:left;"><a href="/wiki/Ki%E1%BB%83m_tra_Solovay-Strassen" title="Kiểm tra Solovay-Strassen">Kiểm tra Solovay–Strassen</a> </td> <td>1977 </td> <td>Monte Carlo </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon })}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mi>ε</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon })}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0341577e6a6f01b2c97fb60b0585bcad6ecbdc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.456ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon })}"> </td> <td style="text-align:left;">xác suất sai số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{-k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{-k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ba5275e798107d7738afeb76e2bdb91cd37e0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.53ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{-k}}"> </td> <td><a href="#cite_note-monier-141">[137]</a> </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Các_thuật_toán_đặc_biệt_và_số_nguyên_tố_lớn_nhất_đã_biết">Các thuật toán đặc biệt và số nguyên tố lớn nhất đã biết</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=25" title="Sửa đổi phần “Các thuật toán đặc biệt và số nguyên tố lớn nhất đã biết”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=25" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Các thuật toán đặc biệt và số nguyên tố lớn nhất đã biết">sửa mã nguồn</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Xem thêm: <a href="/wiki/Danh_s%C3%A1ch_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Danh sách số nguyên tố">Danh sách số nguyên tố</a></div> Cùng với các thuật toán nói trên áp dụng được cho bất kỳ số tự nhiên nào, một vài số với dạng đặc biệt còn có thể được kiểm tra tính nguyên tố nhanh hơn. Ví dụ, <a href="/wiki/Ki%E1%BB%83m_tra_Lucas-Lehmer" class="mw-redirect" title="Kiểm tra Lucas-Lehmer">kiểm tra Lucas–Lehmer</a> có thể xác định được một <a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Mersenne" title="Số nguyên tố Mersenne">số Mersenne</a> (lũy thừa của 2 trừ 1) có phải là số nguyên tố hay không một cách tất định với thời gian bằng với một vòng lặp của kiểm tra Miller–Rabin.<a href="#cite_note-142">[138]</a> Đó là lý do kể từ năm 1992 (tính đến tháng 12 năm 2018) <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_l%E1%BB%9Bn_nh%E1%BA%A5t_%C4%91%C3%A3_bi%E1%BA%BFt&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố lớn nhất đã biết (trang không tồn tại)">số nguyên tố lớn nhất đã biết</a> luôn là một số nguyên tố Mersenne.<a href="#cite_note-143">[139]</a> Có giả thuyết cho rằng có vô số số nguyên tố Mersenne.<a href="#cite_note-144">[140]</a> Bảng dưới đây liệt kê các số nguyên tố lớn nhất đã biết theo nhiều dạng khác nhau. Một vài trong số đó được tìm thấy qua <a href="/wiki/%C4%90i%E1%BB%87n_to%C3%A1n_ph%C3%A2n_t%C3%A1n" title="Điện toán phân tán">điện toán phân tán</a>. Năm 2009, dự án <a href="/wiki/Great_Internet_Mersenne_Prime_Search" title="Great Internet Mersenne Prime Search">Great Internet Mersenne Prime Search</a> đã được trao giải thưởng 100.000 <a href="/wiki/%C4%90%C3%B4_la_M%E1%BB%B9" title="Đô la Mỹ">USD</a> cho số nguyên tố đầu tiên có ít nhất 10 triệu chữ số thập phân.<a href="#cite_note-145">[141]</a> <a href="/w/index.php?title=T%E1%BB%95_ch%E1%BB%A9c_Bi%C3%AAn_gi%E1%BB%9Bi_%C4%90i%E1%BB%87n_t%E1%BB%AD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Tổ chức Biên giới Điện tử (trang không tồn tại)">Tổ chức Biên giới Điện tử</a> cũng có giải thưởng lần lượt là 150.000 và 250.000 USD dành cho số nguyên tố có ít nhất 100 triệu và 1 tỷ chữ số.<a href="#cite_note-146">[142]</a> <table class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"> <tbody><tr> <th scope="col">Dạng số nguyên tố </th> <th scope="col">Số nguyên tố </th> <th scope="col">Số chữ số </th> <th scope="col">Thời gian </th> <th scope="col">Tìm ra bởi </th></tr> <tr> <td style="text-align:left;"><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Mersenne" title="Số nguyên tố Mersenne">Mersenne</a> </td> <td style="text-align:left;">2136.279.841 − 1 </td> <td style="text-align:right;">41.024.320 </td> <td style="text-align:left;">12 tháng 10 năm 2024<a href="#cite_note-GIMPS-2024-147">[143]</a> </td> <td style="text-align:left;">Luke Durant, Great Internet Mersenne Prime Search </td></tr> <tr> <td style="text-align:left;"><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Proth&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố Proth (trang không tồn tại)">Proth</a> </td> <td style="text-align:left;">10.223 × 231.172.165 + 1 </td> <td style="text-align:right;">9.383.761 </td> <td style="text-align:left;">31 tháng 10 năm 2016<a href="#cite_note-148">[144]</a> </td> <td style="text-align:left;">Péter Szabolcs, <a href="/w/index.php?title=PrimeGrid&action=edit&redlink=1" class="new" title="PrimeGrid (trang không tồn tại)">PrimeGrid</a><a href="#cite_note-toptwenty-1">[1]</a> </td></tr> <tr> <td style="text-align:left;"><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_giai_th%E1%BB%ABa" title="Số nguyên tố giai thừa">Giai thừa</a> </td> <td style="text-align:left;">422.429! − 1 </td> <td style="text-align:right;">2.193.027 </td> <td style="text-align:left;">Tháng 2 năm 2022 </td> <td style="text-align:left;">Ryan Propper<a href="#cite_note-149">[145]</a> </td></tr> <tr> <td style="text-align:left;"><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_giai_th%E1%BB%ABa_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố giai thừa nguyên tố (trang không tồn tại)">Giai thừa nguyên tố</a><a href="#cite_note-150">[e]</a> </td> <td style="text-align:left;">6.369.619# − 1 </td> <td style="text-align:right;">2.765.105 </td> <td style="text-align:left;">Tháng 8 năm 2024 </td> <td style="text-align:left;">Nick Merrylees, PrimeGrid<a href="#cite_note-151">[146]</a> </td></tr> <tr> <td style="text-align:left;"><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_sinh_%C4%91%C3%B4i" title="Số nguyên tố sinh đôi">Sinh đôi</a> </td> <td style="text-align:left;">2.996.863.034.895 × 21.290.000 ± 1 </td> <td style="text-align:right;">388.342 </td> <td style="text-align:left;">Tháng 9 năm 2016 </td> <td style="text-align:left;">Tom Greer, PrimeGrid<a href="#cite_note-152">[147]</a> </td></tr> </tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Phân_tích_số_nguyên">Phân tích số nguyên</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=26" title="Sửa đổi phần “Phân tích số nguyên”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=26" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Phân tích số nguyên">sửa mã nguồn</a>]</div> <div role="note" class="hatnote navigation-not-searchable">Bài chi tiết: <a href="/wiki/Ph%C3%A2n_t%C3%ADch_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn" title="Phân tích số nguyên">Phân tích số nguyên</a></div> Cho một hợp số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">, công việc xuất ra một (hoặc tất cả) thừa số nguyên tố được gọi là phân tích của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">. Công việc này khó hơn đáng kể so với kiểm tra tính nguyên tố,<a href="#cite_note-153">[148]</a> và mặc dù tồn tại nhiều thuật toán phân tích nhưng chúng đều chậm hơn so với các phương pháp nhanh nhất để kiểm tra tính nguyên tố. Giải thuật chia thử và <a href="/wiki/Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n_RHO" title="Thuật toán RHO">thuật toán RHO</a> có thể được dùng để tìm các nhân tử rất nhỏ của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">,<a href="#cite_note-:7-124">[122]</a> và thuật toán <a href="/w/index.php?title=Ph%C3%A2n_t%C3%ADch_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_b%E1%BA%B1ng_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_elip&action=edit&redlink=1" class="new" title="Phân tích số nguyên bằng đường elip (trang không tồn tại)">phân tích bằng đường cong elliptic</a> có thể hiệu quả khi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> có các nhân tử lớn vừa phải.<a href="#cite_note-154">[149]</a> Một số phương pháp phù hợp đối với số lớn bất kỳ không phụ thuộc vào độ lớn của nhân tử bao gồm <a href="/w/index.php?title=S%C3%A0ng_c%E1%BA%A5p_hai&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sàng cấp hai (trang không tồn tại)">sàng cấp hai</a> và <a href="/w/index.php?title=S%C3%A0ng_tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_s%E1%BB%91_th%C3%B4ng_th%C6%B0%E1%BB%9Dng&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sàng trường số thông thường (trang không tồn tại)">sàng trường số thông thường</a>. Giống như kiểm tra tính nguyên tố, có một số thuật toán phân tích yêu cầu đầu vào có dạng đặc biệt, trong đó có <a href="/w/index.php?title=S%C3%A0ng_tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_s%E1%BB%91_%C4%91%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sàng trường số đặc biệt (trang không tồn tại)">sàng trường số đặc biệt</a>.<a href="#cite_note-155">[150]</a> Tính đến tháng 2 năm 2020 <a href="/w/index.php?title=K%E1%BB%B7_l%E1%BB%A5c_ph%C3%A2n_t%C3%ADch_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Kỷ lục phân tích số nguyên (trang không tồn tại)">số lớn nhất được phân tích</a> bằng một thuật toán thông thường là <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_RSA&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số RSA (trang không tồn tại)">RSA-250</a>, một số có 250 chữ số (829 bit) và là tích của hai số nguyên tố lớn.<a href="#cite_note-156">[151]</a> <a href="/wiki/Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n_Shor" title="Thuật toán Shor">Thuật toán Shor</a> cho phép phân tích bất kỳ số nguyên nào với số bước đa thức trong một <a href="/wiki/M%C3%A1y_t%C3%ADnh_l%C6%B0%E1%BB%A3ng_t%E1%BB%AD" title="Máy tính lượng tử">máy tính lượng tử</a>.<a href="#cite_note-157">[152]</a> Tuy nhiên, với công nghệ hiện nay thì thuật toán này chỉ hoạt động được với các số rất nhỏ. Tính đến tháng 10 năm 2012 số lớn nhất được phân tích bằng thuật toán Shor trong một máy tính lượng tử là 21.<a href="#cite_note-158">[153]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ứng_dụng_khác_trong_điện_toán">Ứng dụng khác trong điện toán</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=27" title="Sửa đổi phần “Ứng dụng khác trong điện toán”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=27" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Ứng dụng khác trong điện toán">sửa mã nguồn</a>]</div> Một số thuật toán <a href="/wiki/M%E1%BA%ADt_m%C3%A3_h%C3%B3a_kh%C3%B3a_c%C3%B4ng_khai" title="Mật mã hóa khóa công khai">mật mã hóa khóa công khai</a>, chẳng hạn như <a href="/wiki/RSA_(m%C3%A3_h%C3%B3a)" title="RSA (mã hóa)">RSA</a> và <a href="/wiki/Trao_%C4%91%E1%BB%95i_kh%C3%B3a_Diffie-Hellman" title="Trao đổi khóa Diffie-Hellman">trao đổi khóa Diffie−Hellman</a> được dựa trên số nguyên tố lớn (phổ biến nhất là số nguyên tố 2048 <a href="/wiki/Bit" title="Bit">bit</a>).<a href="#cite_note-159">[154]</a> RSA dựa vào giả thiết rằng thực hiện phép nhân hai số lớn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> dễ hơn nhiều so với khi tính <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> (giả sử là hai <a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_c%C3%B9ng_nhau" title="Số nguyên tố cùng nhau">số nguyên tố cùng nhau</a>) nếu chỉ biết một tích <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle xy}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle xy}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72eb345e496513fb8b2fa4aa8c4d89b855f9a01" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.485ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle xy}">.<a href="#cite_note-ent-7-35">[33]</a> Trao đổi khóa Diffie−Hellman dựa vào thực tế rằng có một số thuật toán hiệu quả đối với lũy thừa mô đun (tính <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{b}{\bmod {c}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{b}{\bmod {c}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cdcfa653d33b1ef6fa21a5a5fc365f6a7e0dea0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.855ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a^{b}{\bmod {c}}}">), trong khi phép tính ngược lại (<a href="/wiki/L%C3%B4garit_r%E1%BB%9Di_r%E1%BA%A1c" title="Lôgarit rời rạc">logarit rời rạc</a>) được cho là một bài toán khó.<a href="#cite_note-160">[155]</a> Số nguyên tố được sử dụng thường xuyên trong <a href="/wiki/B%E1%BA%A3ng_b%C4%83m" title="Bảng băm">bảng băm</a>. Chẳng hạn phương pháp ban đầu của Carter và Wegman đối với <a href="/w/index.php?title=B%C4%83m_ph%E1%BB%95_qu%C3%A1t&action=edit&redlink=1" class="new" title="Băm phổ quát (trang không tồn tại)">băm phổ quát</a> được dựa vào việc tính hàm băm bằng cách chọn ngẫu nhiên <a href="/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91_b%E1%BA%ADc_nh%E1%BA%A5t" title="Hàm số bậc nhất">hàm tuyến tính</a> mô đun số nguyên tố lớn. Carter và Wegman đã khái quát hóa phương pháp này cho <a href="/w/index.php?title=B%C4%83m_k-%C4%91%E1%BB%99c_l%E1%BA%ADp&action=edit&redlink=1" class="new" title="Băm k-độc lập (trang không tồn tại)">băm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}">-độc lập</a> bằng cách sử dụng đa thức bậc cao mô đun số nguyên tố lớn.<a href="#cite_note-161">[156]</a> Cũng như trong hàm băm, số nguyên tố được dùng trong kích thước của bảng băm dựa trên <a href="/w/index.php?title=D%C3%B2_c%E1%BA%A5p_hai&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dò cấp hai (trang không tồn tại)">dò cấp hai</a> để đảm bảo rằng chuỗi dò bao phủ hết bảng đó.<a href="#cite_note-162">[157]</a> Một số phương pháp <a href="/wiki/Gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B_t%E1%BB%95ng_ki%E1%BB%83m" title="Giá trị tổng kiểm">giá trị tổng kiểm</a> được dựa trên kiến thức toán học về số nguyên tố. Chẳng hạn giá trị tổng kiểm dùng trong <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> được xác định bằng cách lấy tổng của tất cả các chữ số (ngoài chữ số cuối cùng) mô đun 11. Vì 11 là số nguyên tố nên phương pháp này có thể phát hiện các chữ số bị sai và chuyển vị của các chữ số liền kề nhau.<a href="#cite_note-163">[158]</a> <a href="/w/index.php?title=Adler-32&action=edit&redlink=1" class="new" title="Adler-32 (trang không tồn tại)">Adler-32</a>, một công cụ kiểm tra tổng kiểm khác, sử dụng số học mô đun 65521, số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{16}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>16</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{16}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e0dd3c0e42794174d2dbcb9a3ee2c6d69299d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.039ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{16}}">.<a href="#cite_note-164">[159]</a> Số nguyên tố cũng được dùng trong <a href="/wiki/B%E1%BB%99_sinh_s%E1%BB%91_gi%E1%BA%A3_ng%E1%BA%ABu_nhi%C3%AAn" title="Bộ sinh số giả ngẫu nhiên">bộ sinh số giả ngẫu nhiên</a>, trong đó có <a href="/w/index.php?title=B%E1%BB%99_sinh_s%E1%BB%91_%C4%91%E1%BB%93ng_d%C6%B0_tuy%E1%BA%BFn_t%C3%ADnh&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bộ sinh số đồng dư tuyến tính (trang không tồn tại)">bộ sinh số đồng dư tuyến tính</a><a href="#cite_note-165">[160]</a> và <a href="/w/index.php?title=Mersenne_Twister&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mersenne Twister (trang không tồn tại)">Mersenne Twister</a>.<a href="#cite_note-166">[161]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Các_ứng_dụng_khác">Các ứng dụng khác</h2>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=28" title="Sửa đổi phần “Các ứng dụng khác”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=28" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Các ứng dụng khác">sửa mã nguồn</a>]</div> Số nguyên tố là chủ đề trọng tâm của lý thuyết số và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác của toán học, trong đó có <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_tr%E1%BB%ABu_t%C6%B0%E1%BB%A3ng" title="Đại số trừu tượng">đại số trừu tượng</a> và hình học cơ bản. Ví dụ, có thể đặt một số lượng số nguyên tố các điểm trên mặt phẳng hai chiều sao cho <a href="/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_kh%C3%B4ng_c%C3%B3_ba_%C4%91i%E1%BB%83m_th%E1%BA%B3ng_h%C3%A0ng&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bài toán không có ba điểm thẳng hàng (trang không tồn tại)">không có ba điểm nào thẳng hàng</a>, hoặc sao cho một tam giác bất kỳ với ba đỉnh là ba trong số các điểm đó <a href="/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_tam_gi%C3%A1c_Heilbronn&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bài toán tam giác Heilbronn (trang không tồn tại)">có kích thước lớn</a>.<a href="#cite_note-167">[162]</a> Một ví dụ khác là <a href="/wiki/Ti%C3%AAu_chu%E1%BA%A9n_Eisenstein" title="Tiêu chuẩn Eisenstein">tiêu chuẩn Eisenstein</a>, dùng để kiểm tra xem một <a href="/w/index.php?title=%C4%90a_th%E1%BB%A9c_t%E1%BB%91i_gi%E1%BA%A3n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Đa thức tối giản (trang không tồn tại)">đa thức có tối giản</a> hay không dựa vào tính chia hết của các hệ số cho một số nguyên tố và bình phương của nó.<a href="#cite_note-168">[163]</a> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Sum_of_knots3.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Sum_of_knots3.svg/220px-Sum_of_knots3.svg.png" decoding="async" width="220" height="88" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Sum_of_knots3.svg/330px-Sum_of_knots3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Sum_of_knots3.svg/440px-Sum_of_knots3.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="120" /></a><figcaption>Tổng liên kết của hai nút thắt nguyên tố</figcaption></figure> Khái niệm số nguyên tố quan trọng đến mức nó đã được khái quát hóa sang các nhánh khác của toán học. Thông thường, "nguyên tố" có nghĩa là "tối thiểu" hoặc "không khai triển, phân tích được" trong trường hợp thích hợp. Ví dụ, <a href="/w/index.php?title=Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Trường nguyên tố (trang không tồn tại)">trường nguyên tố</a> của một trường cho trước là trường con nhỏ nhất của trường đã cho có chứa cả 0 và 1. Nó có thể là trường số hữu tỉ hoặc một <a href="/wiki/Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_h%E1%BB%AFu_h%E1%BA%A1n" title="Trường hữu hạn">trường hữu hạn</a> có số lượng phần tử là số nguyên tố.<a href="#cite_note-169">[164]</a> Một nghĩa thứ hai ám chỉ rằng bất kỳ đối tượng nào cũng đều có một cách phân tích duy nhất thành các thành phần nguyên tố. Chẳng hạn, trong <a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_n%C3%BAt_th%E1%BA%AFt" title="Lý thuyết nút thắt">lý thuyết nút thắt</a>, <a href="/w/index.php?title=N%C3%BAt_th%E1%BA%AFt_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nút thắt nguyên tố (trang không tồn tại)">nút thắt nguyên tố</a> là một <a href="/w/index.php?title=N%C3%BAt_th%E1%BA%AFt_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nút thắt (toán học) (trang không tồn tại)">nút thắt</a> không phân tích được, nghĩa là nó không thể được viết thành <a href="/w/index.php?title=T%E1%BB%95ng_li%C3%AAn_k%E1%BA%BFt&action=edit&redlink=1" class="new" title="Tổng liên kết (trang không tồn tại)">tổng liên kết</a> của hai nút thắt không tầm thường. Mỗi nút thắt bất kỳ có một cách biểu diễn duy nhất thành tổng liên kết của các nút thắt nguyên tố.<a href="#cite_note-170">[165]</a> <a href="/w/index.php?title=Ph%C3%A2n_t%C3%ADch_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_(3-%C4%91a_t%E1%BA%A1p)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Phân tích nguyên tố (3-đa tạp) (trang không tồn tại)">Phân tích nguyên tố của 3-đa tạp</a> là ví dụ khác của dạng này.<a href="#cite_note-171">[166]</a> Cùng với toán học và điện toán, số nguyên tố có mối liên hệ với <a href="/wiki/C%C6%A1_h%E1%BB%8Dc_l%C6%B0%E1%BB%A3ng_t%E1%BB%AD" title="Cơ học lượng tử">cơ học lượng tử</a> và là hình ảnh ẩn dụ trong nghệ thuật và văn học. Chúng cũng có ứng dụng trong <a href="/wiki/Sinh_h%E1%BB%8Dc_ti%E1%BA%BFn_h%C3%B3a" title="Sinh học tiến hóa">sinh học tiến hóa</a> để giải thích vòng đời của liên họ <a href="/wiki/Ve_s%E1%BA%A7u" title="Ve sầu">Ve sầu</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Đa_giác_vẽ_được_và_phân_chia_đa_giác">Đa giác vẽ được và phân chia đa giác</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=29" title="Sửa đổi phần “Đa giác vẽ được và phân chia đa giác”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=29" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Đa giác vẽ được và phân chia đa giác">sửa mã nguồn</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Pentagon_construct.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/76/Pentagon_construct.gif" decoding="async" width="180" height="180" class="mw-file-element" data-file-width="180" data-file-height="180" /></a><figcaption>Một ngũ giác đều được vẽ bằng thước thẳng và compa. Tính chất này do 5 là số nguyên tố Fermat.</figcaption></figure> <a href="/wiki/S%E1%BB%91_Fermat" title="Số Fermat">Số Fermat</a> là những số có dạng <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc6edcaa62bbd72af19a441f8cdba0629f37eb0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.408ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1,}"></dd></dl> với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"> là số nguyên không âm.<a href="#cite_note-172">[f]</a> Chúng được đặt tên theo <a href="/wiki/Pierre_de_Fermat" title="Pierre de Fermat">Pierre de Fermat</a>, người đã dự đoán rằng tất cả các số dạng này đều là số nguyên tố. Năm số Fermat đầu tiên – 3, 5, 17, 257 và 65.537 – đều là số nguyên tố,<a href="#cite_note-kls-173">[167]</a> nhưng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{5}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{5}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64647603e8358bf2b07099963d5ac2d8b75ee9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{5}}"> là hợp số và tương tự với tất cả các số Fermat khác (tính đến năm 2017).<a href="#cite_note-:8-174">[168]</a> Một <a href="/wiki/%C4%90a_gi%C3%A1c_%C4%91%E1%BB%81u" title="Đa giác đều"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-giác đều</a> có thể <a href="/w/index.php?title=%C4%90a_th%E1%BB%A9c_v%E1%BA%BD_%C4%91%C6%B0%E1%BB%A3c&action=edit&redlink=1" class="new" title="Đa thức vẽ được (trang không tồn tại)">vẽ được bằng thước thẳng và compa</a> khi và chỉ khi tập hợp các thừa số nguyên tố lẻ của <a href="/wiki/%C4%90a_gi%C3%A1c_%C4%91%E1%BB%81u" title="Đa giác đều"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></a> (nếu có) chỉ gồm các số nguyên tố Fermat.<a href="#cite_note-:8-174">[168]</a> Tương tự, một <a href="/wiki/%C4%90a_gi%C3%A1c_%C4%91%E1%BB%81u" title="Đa giác đều"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></a>-giác đều có thể vẽ được bằng thước, compa và <a href="/w/index.php?title=Th%C6%B0%E1%BB%9Bc_g%C3%B3c_ph%E1%BA%A7n_ba&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thước góc phần ba (trang không tồn tại)">thước góc phần ba</a> khi và chỉ khi tập hợp các thừa số nguyên tố của <a href="/wiki/%C4%90a_gi%C3%A1c_%C4%91%E1%BB%81u" title="Đa giác đều"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></a> có chứa số 2 hoặc số 3 cùng một tập hợp (có thể rỗng) các <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Pierpont&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố Pierpont (trang không tồn tại)">số nguyên tố Pierpont</a>, số nguyên tố có dạng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{a}3^{b}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{a}3^{b}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06f1cc50f358fed2f88c9789d2a15fc5c003dc5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.367ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2^{a}3^{b}+1}">.<a href="#cite_note-175">[169]</a> Có thể chia một đa giác lồi bất kỳ thành <a href="/wiki/%C4%90a_gi%C3%A1c_%C4%91%E1%BB%81u" title="Đa giác đều"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></a> đa giác lồi nhỏ hơn với diện tích và chu vi bằng nhau khi <a href="/wiki/%C4%90a_gi%C3%A1c_%C4%91%E1%BB%81u" title="Đa giác đều"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></a> là <a href="/w/index.php?title=L%C5%A9y_th%E1%BB%ABa_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lũy thừa nguyên tố (trang không tồn tại)">lũy thừa của một số nguyên tố</a>, nhưng chưa rõ tính chất này ra sao với các giá trị khác của <a href="/wiki/%C4%90a_gi%C3%A1c_%C4%91%E1%BB%81u" title="Đa giác đều"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></a>.<a href="#cite_note-176">[170]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cơ_học_lượng_tử">Cơ học lượng tử</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=30" title="Sửa đổi phần “Cơ học lượng tử”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=30" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Cơ học lượng tử">sửa mã nguồn</a>]</div> Bắt đầu từ công trình của <a href="/w/index.php?title=Hugh_Lowell_Montgomery&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hugh Lowell Montgomery (trang không tồn tại)">Hugh Montgomery</a> và <a href="/w/index.php?title=Freeman_Dyson&action=edit&redlink=1" class="new" title="Freeman Dyson (trang không tồn tại)">Freeman Dyson</a> vào những năm 1970, nhiều nhà toán học và vật lý suy đoán rằng nghiệm số của hàm zeta Riemann có liên hệ với <a href="/w/index.php?title=M%E1%BB%A9c_n%C4%83ng_l%C6%B0%E1%BB%A3ng&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mức năng lượng (trang không tồn tại)">mức năng lượng</a> của <a href="/wiki/C%C6%A1_h%E1%BB%8Dc_l%C6%B0%E1%BB%A3ng_t%E1%BB%AD" title="Cơ học lượng tử">hệ thống lượng tử</a>.<a href="#cite_note-177">[171]</a><a href="#cite_note-178">[172]</a> Số nguyên tố cũng có ý nghĩa quan trọng trong <a href="/wiki/Khoa_h%E1%BB%8Dc_th%C3%B4ng_tin_l%C6%B0%E1%BB%A3ng_t%E1%BB%AD" title="Khoa học thông tin lượng tử">khoa học thông tin lượng tử</a> nhờ vào các cấu trúc toán học như <a href="/w/index.php?title=C%C6%A1_s%E1%BB%9F_kh%C3%B4ng_l%E1%BB%87ch_qua_l%E1%BA%A1i&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cơ sở không lệch qua lại (trang không tồn tại)">cơ sở không lệch qua lại</a> và <a href="/w/index.php?title=SIC-POVM&action=edit&redlink=1" class="new" title="SIC-POVM (trang không tồn tại)">SIC-POVM</a> (<a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%99_%C4%91o" title="Độ đo">độ đo</a> giá trị toán tử dương đối xứng đầy đủ thông tin).<a href="#cite_note-179">[173]</a><a href="#cite_note-180">[174]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sinh_học">Sinh học</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=31" title="Sửa đổi phần “Sinh học”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=31" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Sinh học">sửa mã nguồn</a>]</div> Chu kỳ tiến hóa của liên họ <a href="/wiki/Ve_s%E1%BA%A7u" title="Ve sầu">ve sầu</a> chi <a href="/wiki/Magicicada" title="Magicicada">Magicicada</a> ở <a href="/wiki/B%E1%BA%AFc_M%E1%BB%B9" title="Bắc Mỹ">Bắc Mỹ</a> có liên quan đến số nguyên tố.<a href="#cite_note-181">[175]</a> Các côn trùng này sống phần lớn cuộc đời dưới dạng <a href="/wiki/%E1%BA%A4u_tr%C3%B9ng" title="Ấu trùng">ấu trùng</a> dưới lòng đất. Chúng chỉ phát triển dần và chui lên mặt đất sau 7, 13 hoặc 17 năm, từ đó chúng bay, sinh sản và chết sau nhiều nhất vài tuần. Các nhà sinh học giả thiết rằng tính nguyên tố của chu kỳ sinh sản là để tránh đồng bộ với chu kỳ của động vật ăn thịt.<a href="#cite_note-182">[176]</a><a href="#cite_note-183">[177]</a> Ngược lại, chu kỳ ra hoa nhiều năm của <a href="/wiki/Tre" title="Tre">tre</a> được cho là <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nh%E1%BA%B5n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nhẵn (trang không tồn tại)">số nhẵn</a>, chỉ có các thừa số nguyên tố nhỏ trong phân tích của nó.<a href="#cite_note-184">[178]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nghệ_thuật_và_văn_học">Nghệ thuật và văn học</h3>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=32" title="Sửa đổi phần “Nghệ thuật và văn học”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=32" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Nghệ thuật và văn học">sửa mã nguồn</a>]</div> Số nguyên tố đã làm ảnh hưởng đến nhiều nghệ sĩ và nhà văn. <a href="/wiki/Nh%C3%A0_so%E1%BA%A1n_nh%E1%BA%A1c" title="Nhà soạn nhạc">Nhà soạn nhạc</a> người <a href="/wiki/Ph%C3%A1p" title="Pháp">Pháp</a> <a href="/wiki/Olivier_Messiaen" title="Olivier Messiaen">Olivier Messiaen</a> sử dụng số nguyên tố để sáng tác nhạc qua "hiện tượng tự nhiên". Trong một số sáng tác như La Nativité du Seigneur (1935) và Quatre études de rythme (1949–1950), ông đồng thời áp dụng nhạc tố với độ dài cho bởi các số nguyên tố khác nhau để tạo những nhịp điệu đặc biệt: số 41, 43, 47 và 53 xuất hiện trong <a href="/wiki/Kh%C3%BAc_luy%E1%BB%87n" title="Khúc luyện">khúc luyện</a> thứ ba "Neumes rythmiques". Theo Messiaen, phong cách sáng tác này "lấy cảm hứng từ vận động tự nhiên, vận động theo hướng tự do và khác biệt".<a href="#cite_note-185">[179]</a> Trong tiểu thuyết khoa học viễn tưởng <a href="/w/index.php?title=Contact_(ti%E1%BB%83u_thuy%E1%BA%BFt)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Contact (tiểu thuyết) (trang không tồn tại)">Contact</a> (1985), nhà khoa học <a href="/wiki/Carl_Sagan" title="Carl Sagan">Carl Sagan</a> gợi ý rằng phân tích nguyên tố có thể được dùng để tạo mặt phẳng ảnh hai chiều khi liên lạc với <a href="/wiki/S%E1%BB%B1_s%E1%BB%91ng_ngo%C3%A0i_Tr%C3%A1i_%C4%90%E1%BA%A5t" title="Sự sống ngoài Trái Đất">người ngoài hành tinh</a>, một ý tưởng mà ông cùng nhà thiên văn người <a href="/wiki/Hoa_K%E1%BB%B3" title="Hoa Kỳ">Hoa Kỳ</a> <a href="/wiki/Frank_Drake" title="Frank Drake">Frank Drake</a> phát triển từ năm 1975.<a href="#cite_note-186">[180]</a> Trong tiểu thuyết <a href="/w/index.php?title=The_Curious_Incident_of_the_Dog_in_the_Night-Time&action=edit&redlink=1" class="new" title="The Curious Incident of the Dog in the Night-Time (trang không tồn tại)">The Curious Incident of the Dog in the Night-Time</a> (Bí ẩn về con chó lúc nửa đêm) của <a href="/w/index.php?title=Mark_Haddon&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mark Haddon (trang không tồn tại)">Mark Haddon</a>, tác giả đánh số các mục của câu chuyện bằng các số nguyên tố liên tiếp để truyền đạt trạng thái tinh thần của nhân vật chính, một cậu bé có năng khiếu toán học mắc <a href="/wiki/H%E1%BB%99i_ch%E1%BB%A9ng_Asperger" title="Hội chứng Asperger">hội chứng Asperger</a>.<a href="#cite_note-187">[181]</a> Số nguyên tố là hình ảnh ẩn dụ cho sự cô đơn trong tiểu thuyết <a href="/w/index.php?title=La_Solitudine_dei_Numeri_Primi_(ti%E1%BB%83u_thuy%E1%BA%BFt)&action=edit&redlink=1" class="new" title="La Solitudine dei Numeri Primi (tiểu thuyết) (trang không tồn tại)">La Solitudine dei Numeri Primi</a> (Nỗi cô đơn của các số nguyên tố) của <a href="/wiki/Paolo_Giordano" title="Paolo Giordano">Paolo Giordano</a>, ở đó chúng được mô tả là "người ngoài cuộc" trong các số nguyên.<a href="#cite_note-188">[182]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Xem_thêm">Xem thêm</h2>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=33" title="Sửa đổi phần “Xem thêm”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=33" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Xem thêm">sửa mã nguồn</a>]</div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r71922045">.mw-parser-output .portalbox{padding:0;margin:0.5em 0;display:table;box-sizing:border-box;max-width:175px;list-style:none}.mw-parser-output .portalborder{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);padding:0.1em;background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .portalbox-entry{display:table-row;font-size:85%;line-height:110%;height:1.9em;font-style:italic;font-weight:bold}.mw-parser-output .portalbox-image{display:table-cell;padding:0.2em;vertical-align:middle;text-align:center}.mw-parser-output .portalbox-link{display:table-cell;padding:0.2em 0.2em 0.2em 0.3em;vertical-align:middle}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .portalleft{clear:left;float:left;margin:0.5em 1em 0.5em 0}.mw-parser-output .portalright{clear:right;float:right;margin:0.5em 0 0.5em 1em}}</style><ul role="navigation" aria-label="Cổng thông tin" class="noprint portalbox portalborder portalright"> <li class="portalbox-entry"><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg" class="mw-file-description"><img alt="icon" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/28px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png" decoding="async" width="28" height="28" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/42px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/56px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a><a href="/wiki/C%E1%BB%95ng_th%C3%B4ng_tin:To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc" title="Cổng thông tin:Toán học">Cổng thông tin Toán học</a></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r68144143">.mw-parser-output .div-col{margin-top:0.3em;column-width:30em}.mw-parser-output .div-col-small{font-size:90%}.mw-parser-output .div-col-rules{column-rule:1px solid #aaa}.mw-parser-output .div-col dl,.mw-parser-output .div-col ol,.mw-parser-output .div-col ul{margin-top:0}.mw-parser-output .div-col li,.mw-parser-output .div-col dd{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}</style><div class="div-col" style="column-width: 16em;"> <ul><li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn" title="Số tự nhiên">Số tự nhiên</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_ch%E1%BA%B5n" title="Số chẵn">Số chẵn</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_l%E1%BA%BB" class="mw-redirect" title="Số lẻ">Số lẻ</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn" title="Số nguyên">Số nguyên</a></li> <li><a href="/wiki/Ph%C3%A2n_t%C3%ADch_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn" title="Phân tích số nguyên">Phân tích số nguyên</a></li> <li><a href="/wiki/Ph%C3%A2n_s%E1%BB%91" title="Phân số">Phân số</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_v%C3%B4_t%E1%BB%89" title="Số vô tỉ">Số vô tỉ</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%AFu_t%E1%BB%89" title="Số hữu tỉ">Số hữu tỉ</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_ph%E1%BB%A9c" title="Số phức">Số phức</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_Gauss" title="Số nguyên Gauss">Số nguyên Gauss</a></li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ghi_chú">Ghi chú</h2>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=34" title="Sửa đổi phần “Ghi chú”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=34" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Ghi chú">sửa mã nguồn</a>]</div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r71728118">.mw-parser-output .reflist{margin-bottom:0.5em;list-style-type:decimal}@media screen{.mw-parser-output .reflist{font-size:90%}}.mw-parser-output .reflist .references{font-size:100%;margin-bottom:0;list-style-type:inherit}.mw-parser-output .reflist-columns-2{column-width:30em}.mw-parser-output .reflist-columns-3{column-width:25em}.mw-parser-output .reflist-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .reflist-columns ol{margin-top:0}.mw-parser-output .reflist-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}.mw-parser-output .reflist-upper-alpha{list-style-type:upper-alpha}.mw-parser-output .reflist-upper-roman{list-style-type:upper-roman}.mw-parser-output .reflist-lower-alpha{list-style-type:lower-alpha}.mw-parser-output .reflist-lower-greek{list-style-type:lower-greek}.mw-parser-output .reflist-lower-roman{list-style-type:lower-roman}</style><div class="reflist columns references-column-width" style="-moz-column-width: 30em; -webkit-column-width: 30em; column-width: 30em; list-style-type: lower-alpha;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-30"><a href="#cite_ref-30">^</a> Một số nguyên tố có 44 chữ số do Aimé Ferrier tìm ra vào năm 1951 đến nay vẫn là số nguyên tố lớn nhất được tìm thấy mà không có sự hỗ trợ của máy tính điện tử.<a href="#cite_note-29">[29]</a> </li> <li id="cite_note-pure-34">^ <a href="#cite_ref-pure_34-0">a</a> <a href="#cite_ref-pure_34-1">b</a> Chẳng hạn, Beiler viết rằng nhà lý thuyết số <a href="/wiki/Ernst_Kummer" title="Ernst Kummer">Ernst Kummer</a> thích <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_i-%C4%91%C3%AA-an&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số i-đê-an (trang không tồn tại)">số i-đê-an</a>, một loại số có liên hệ gần với số nguyên tố do ông phát triển, "vì chúng không tự làm bẩn chính mình với bất kỳ ứng dụng thực tế nào",<a href="#cite_note-32">[31]</a> và Katz viết rằng <a href="/wiki/Edmund_Landau" title="Edmund Landau">Edmund Landau</a>, người được biết đến với công trình về sự phân phối các số nguyên tố, "không thích ứng dụng thực tế của toán học", và vì lý do đó nên ông tránh một số chủ đề như <a href="/wiki/H%C3%ACnh_h%E1%BB%8Dc" title="Hình học">hình học</a>, vốn đã được xem là có ích trong thực tiễn.<a href="#cite_note-33">[32]</a> </li> <li id="cite_note-131"><a href="#cite_ref-131">^</a> Trong kiểm tra này, số hạng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>±</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfeaa85da53ad1947d8000926cfea33827ef1e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.971ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \pm 1}"> là âm nếu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> là một số chính phương mô đun số (giả sử) nguyên tố <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> đã cho, và là dương trong trường hợp còn lại. Tổng quát hơn, với giá trị <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> không nguyên tố, số hạng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>±</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfeaa85da53ad1947d8000926cfea33827ef1e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.971ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \pm 1}"> là <a href="/wiki/K%C3%BD_hi%E1%BB%87u_Jacobi" title="Ký hiệu Jacobi">ký hiệu Jacobi</a> (phủ định), có thể được tính bằng <a href="/wiki/Lu%E1%BA%ADt_t%C6%B0%C6%A1ng_h%E1%BB%97_b%E1%BA%ADc_hai" title="Luật tương hỗ bậc hai">luật tương hỗ bậc hai</a>. </li> <li id="cite_note-137"><a href="#cite_ref-137">^</a> Thật vậy, đa số phân tích về phép chứng minh tính nguyên tố bằng đường cong elliptic đều dựa trên giả thiết rằng đầu vào của nó đã vượt qua được một thuật toán xác suất.<a href="#cite_note-atkin-morain-135">[132]</a> </li> <li id="cite_note-150"><a href="#cite_ref-150">^</a> Hàm <a href="/wiki/Giai_th%E1%BB%ABa_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Giai thừa nguyên tố">giai thừa nguyên tố</a> của <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">, ký hiệu là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\#}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mi mathvariant="normal">#</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\#}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167c3481839df4ace6689a25e170c5e0c0d5551e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.331ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n\#}">, cho giá trị tích của các số nguyên tố lớn đến <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">, và một <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_giai_th%E1%BB%ABa_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố giai thừa nguyên tố (trang không tồn tại)">số nguyên tố giai thừa nguyên tố</a> là số nguyên tố thuộc một trong các dạng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\#\pm 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mi mathvariant="normal">#</mi> <mo>±</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\#\pm 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c0d1d93846f485187cb017391c93d5cc2147d0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.333ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n\#\pm 1}">.<a href="#cite_note-Ribenboim2004-54">[52]</a> </li> <li id="cite_note-172"><a href="#cite_ref-172">^</a> <a href="#CITEREFBoklanConway2017">Boklan & Conway (2017)</a> còn liệt kê thêm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{0}+1=2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{0}+1=2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40aef6ea07e6b06ea63ac98c5ea5ac8a8a93fbf4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.48ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2^{0}+1=2}">, một số không theo đúng dạng số Fermat. </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Chú_thích">Chú thích</h2>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=35" title="Sửa đổi phần “Chú thích”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=35" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Chú thích">sửa mã nguồn</a>]</div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r71728118"><div class="reflist columns references-column-width" style="-moz-column-width: 30em; -webkit-column-width: 30em; column-width: 30em; list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-toptwenty-1">^ <a href="#cite_ref-toptwenty_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-toptwenty_1-1">b</a> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r67233549">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:"“""”""‘""’"}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:linear-gradient(transparent,transparent),url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><cite id="CITEREFCaldwell" class="citation web cs1">Caldwell, Chris K. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=3">“The Top Twenty: Largest Known Primes”</a>. The Prime Pages. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=The+Prime+Pages&rft.atitle=The+Top+Twenty%3A+Largest+Known+Primes&rft.aulast=Caldwell&rft.aufirst=Chris+K.&rft_id=http%3A%2F%2Fprimes.utm.edu%2Ftop20%2Fpage.php%3Fid%3D3&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-:0-2"><a href="#cite_ref-:0_2-0">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFGardiner1997" class="citation book cs1">Gardiner, Anthony (1997). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/mathematicalolym1997gard">The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996</a>. Oxford University Press. tr. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/mathematicalolym1997gard/page/26">26</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-19-850105-3" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-19-850105-3"><bdi>978-0-19-850105-3</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Mathematical+Olympiad+Handbook%3A+An+Introduction+to+Problem+Solving+Based+on+the+First+32+British+Mathematical+Olympiads+1965%E2%80%931996&rft.pages=26&rft.pub=Oxford+University+Press&rft.date=1997&rft.isbn=978-0-19-850105-3&rft.aulast=Gardiner&rft.aufirst=Anthony&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fmathematicalolym1997gard&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-:1-3"><a href="#cite_ref-:1_3-0">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFHenderson2014" class="citation book cs1">Henderson, Anne (2014). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=uy-yGVRUilMC&pg=PA62">Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide</a> (ấn bản thứ 2). Routledge. tr. 62. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-136-63662-2" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-1-136-63662-2"><bdi>978-1-136-63662-2</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Dyslexia%2C+Dyscalculia+and+Mathematics%3A+A+practical+guide&rft.pages=62&rft.edition=2&rft.pub=Routledge&rft.date=2014&rft.isbn=978-1-136-63662-2&rft.aulast=Henderson&rft.aufirst=Anne&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3Duy-yGVRUilMC%26pg%3DPA62&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-:2-4"><a href="#cite_ref-:2_4-0">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFAdler1960" class="citation book cs1">Adler, Irving (1960). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/giantgoldenbooko00adle">The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space</a>. Golden Press. tr. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/giantgoldenbooko00adle/page/16">16</a>. <a href="/wiki/OCLC_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="OCLC (định danh)">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.worldcat.org/oclc/6975809">6975809</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Giant+Golden+Book+of+Mathematics%3A+Exploring+the+World+of+Numbers+and+Space&rft.pages=16&rft.pub=Golden+Press&rft.date=1960&rft_id=info%3Aoclcnum%2F6975809&rft.aulast=Adler&rft.aufirst=Irving&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fgiantgoldenbooko00adle&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-:3-5"><a href="#cite_ref-:3_5-0">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFLeff2000" class="citation book cs1">Leff, Lawrence S. (2000). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/barronsmathworkb00leff_0">Math Workbook for the SAT I</a>. Barron's Educational Series. tr. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/barronsmathworkb00leff_0/page/360">360</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-7641-0768-9" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-7641-0768-9"><bdi>978-0-7641-0768-9</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Math+Workbook+for+the+SAT+I&rft.pages=360&rft.pub=Barron%27s+Educational+Series&rft.date=2000&rft.isbn=978-0-7641-0768-9&rft.aulast=Leff&rft.aufirst=Lawrence+S.&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fbarronsmathworkb00leff_0&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFDudley1978" class="citation book cs1">Dudley, Underwood (1978). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA10">“Section 2: Unique factorization”</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/elementarynumber00dudl_0/page/10">Elementary number theory</a> (ấn bản thứ 2). W.H. Freeman and Co. tr. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/elementarynumber00dudl_0/page/10">10</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-7167-0076-0" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-7167-0076-0"><bdi>978-0-7167-0076-0</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Section+2%3A+Unique+factorization&rft.btitle=Elementary+number+theory&rft.pages=10&rft.edition=2&rft.pub=W.H.+Freeman+and+Co.&rft.date=1978&rft.isbn=978-0-7167-0076-0&rft.aulast=Dudley&rft.aufirst=Underwood&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3Dtr7SzBTsk1UC%26pg%3DPA10&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFSierpiński1988" class="citation book cs1"><a href="/wiki/Wac%C5%82aw_Sierpi%C5%84ski" title="Wacław Sierpiński">Sierpiński, Wacław</a> (1988). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=ktCZ2MvgN3MC&pg=PA113">Elementary Theory of Numbers</a>. North-Holland Mathematical Library. 31 (ấn bản thứ 2). Elsevier. tr. 113. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-08-096019-7" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-08-096019-7"><bdi>978-0-08-096019-7</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elementary+Theory+of+Numbers&rft.series=North-Holland+Mathematical+Library&rft.pages=113&rft.edition=2&rft.pub=Elsevier&rft.date=1988&rft.isbn=978-0-08-096019-7&rft.aulast=Sierpi%C5%84ski&rft.aufirst=Wac%C5%82aw&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DktCZ2MvgN3MC%26pg%3DPA113&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-ziegler-8">^ <a href="#cite_ref-ziegler_8-0">a</a> <a href="#cite_ref-ziegler_8-1">b</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFZiegler2004" class="citation journal cs1"><a href="/wiki/G%C3%BCnter_M._Ziegler" title="Günter M. Ziegler">Ziegler, Günter M.</a> (2004). “The great prime number record races”. Notices of the American Mathematical Society. 51 (4): 414–416. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2039814">2039814</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Notices+of+the+American+Mathematical+Society&rft.atitle=The+great+prime+number+record+races&rft.volume=51&rft.issue=4&rft.pages=414-416&rft.date=2004&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D2039814%23id-name%3DMR&rft.aulast=Ziegler&rft.aufirst=G%C3%BCnter+M.&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFStillwell1997" class="citation book cs1">Stillwell, John (1997). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=4elkHwVS0eUC&pg=PA9">Numbers and Geometry</a>. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. tr. 9. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-387-98289-2" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-387-98289-2"><bdi>978-0-387-98289-2</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Numbers+and+Geometry&rft.series=Undergraduate+Texts+in+Mathematics&rft.pages=9&rft.pub=Springer&rft.date=1997&rft.isbn=978-0-387-98289-2&rft.aulast=Stillwell&rft.aufirst=John&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3D4elkHwVS0eUC%26pg%3DPA9&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFSierpiński1964" class="citation book cs1"><a href="/wiki/Wac%C5%82aw_Sierpi%C5%84ski" title="Wacław Sierpiński">Sierpiński, Wacław</a> (1964). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/selectionproblem00sier">A Selection of Problems in the Theory of Numbers</a>. New York: Macmillan. tr. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/selectionproblem00sier/page/n37">40</a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0170843">0170843</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+Selection+of+Problems+in+the+Theory+of+Numbers&rft.place=New+York&rft.pages=40&rft.pub=Macmillan&rft.date=1964&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D0170843%23id-name%3DMR&rft.aulast=Sierpi%C5%84ski&rft.aufirst=Wac%C5%82aw&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fselectionproblem00sier&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFNathanson2000" class="citation book cs1">Nathanson, Melvyn B. (2000). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=sE7lBwAAQBAJ&pg=PP10">“Notations and Conventions”</a>. Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 195. Springer. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-387-22738-2" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-387-22738-2"><bdi>978-0-387-22738-2</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1732941">1732941</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Notations+and+Conventions&rft.btitle=Elementary+Methods+in+Number+Theory&rft.series=Graduate+Texts+in+Mathematics&rft.pub=Springer&rft.date=2000&rft.isbn=978-0-387-22738-2&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D1732941%23id-name%3DMR&rft.aulast=Nathanson&rft.aufirst=Melvyn+B.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DsE7lBwAAQBAJ%26pg%3DPP10&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFFaticoni2012" class="citation book cs1">Faticoni, Theodore G. (2012). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=I433i_ZGxRsC&pg=PA44">The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas</a>. Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. 111 (ấn bản thứ 2). John Wiley & Sons. tr. 44. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-118-24382-4" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-1-118-24382-4"><bdi>978-1-118-24382-4</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Mathematics+of+Infinity%3A+A+Guide+to+Great+Ideas&rft.series=Pure+and+Applied+Mathematics%3A+A+Wiley+Series+of+Texts%2C+Monographs+and+Tracts&rft.pages=44&rft.edition=2&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons&rft.date=2012&rft.isbn=978-1-118-24382-4&rft.aulast=Faticoni&rft.aufirst=Theodore+G.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DI433i_ZGxRsC%26pg%3DPA44&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">^</a> Bruins, Evert Marie, bình duyệt trong Mathematical Reviews của <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFGillings1974" class="citation journal cs1">Gillings, R.J. (1974). “The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it?”. Archive for History of Exact Sciences. 12 (4): 291–298. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2FBF01307175">10.1007/BF01307175</a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0497458">0497458</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Archive+for+History+of+Exact+Sciences&rft.atitle=The+recto+of+the+Rhind+Mathematical+Papyrus.+How+did+the+ancient+Egyptian+scribe+prepare+it%3F&rft.volume=12&rft.issue=4&rft.pages=291-298&rft.date=1974&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2FBF01307175&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D0497458%23id-name%3DMR&rft.aulast=Gillings&rft.aufirst=R.J.&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFCaldwell" class="citation web cs1">Caldwell, Chris K. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20200524101246/https://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/euclids.html">“Euclid's Proof of the Infinitude of Primes (c. 300 BC)”</a>. The Prime Pages. University of Tennessee. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/euclids.html">Bản gốc</a> lưu trữ ngày 24 tháng 5 năm 2020. Truy cập ngày 20 tháng 9 năm 2020.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=The+Prime+Pages&rft.atitle=Euclid%27s+Proof+of+the+Infinitude+of+Primes+%28c.+300+BC%29&rft.aulast=Caldwell&rft.aufirst=Chris+K.&rft_id=https%3A%2F%2Fprimes.utm.edu%2Fnotes%2Fproofs%2Finfinite%2Feuclids.html&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-stillwell-2010-p40-15">^ <a href="#cite_ref-stillwell-2010-p40_15-0">a</a> <a href="#cite_ref-stillwell-2010-p40_15-1">b</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFStillwell2010" class="citation book cs1">Stillwell, John (2010). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA40">Mathematics and Its History</a>. Undergraduate Texts in Mathematics (ấn bản thứ 3). Springer. tr. 40. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-4419-6052-8" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-1-4419-6052-8"><bdi>978-1-4419-6052-8</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mathematics+and+Its+History&rft.series=Undergraduate+Texts+in+Mathematics&rft.pages=40&rft.edition=3&rft.pub=Springer&rft.date=2010&rft.isbn=978-1-4419-6052-8&rft.aulast=Stillwell&rft.aufirst=John&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DV7mxZqjs5yUC%26pg%3DPA40&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-pomerance-sciam-16">^ <a href="#cite_ref-pomerance-sciam_16-0">a</a> <a href="#cite_ref-pomerance-sciam_16-1">b</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFPomerance1982" class="citation journal cs1">Pomerance, Carl (tháng 12 năm 1982). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/sim_scientific-american_1982-12_247_6/page/136">“The Search for Prime Numbers”</a>. <a href="/wiki/Scientific_American" title="Scientific American">Scientific American</a>. 247 (6): 136–147. <a href="/wiki/Bibcode_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="Bibcode (định danh)">Bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1982SciAm.247f.136P">1982SciAm.247f.136P</a>. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1038%2Fscientificamerican1282-136">10.1038/scientificamerican1282-136</a>. <a href="/wiki/JSTOR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="JSTOR (định danh)">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/24966751">24966751</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Scientific+American&rft.atitle=The+Search+for+Prime+Numbers&rft.volume=247&rft.issue=6&rft.pages=136-147&rft.date=1982-12&rft_id=%2F%2Fwww.jstor.org%2Fstable%2F24966751%23id-name%3DJSTOR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1038%2Fscientificamerican1282-136&rft_id=info%3Abibcode%2F1982SciAm.247f.136P&rft.aulast=Pomerance&rft.aufirst=Carl&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fsim_scientific-american_1982-12_247_6%2Fpage%2F136&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-mollin-17">^ <a href="#cite_ref-mollin_17-0">a</a> <a href="#cite_ref-mollin_17-1">b</a> <a href="#cite_ref-mollin_17-2">c</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFMollin2002" class="citation journal cs1">Mollin, Richard A. (2002). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2002-02_75_1/page/18">“A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)”</a>. Mathematics Magazine. 75 (1): 18–29. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307%2F3219180">10.2307/3219180</a>. <a href="/wiki/JSTOR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="JSTOR (định danh)">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/3219180">3219180</a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2107288">2107288</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Mathematics+Magazine&rft.atitle=A+brief+history+of+factoring+and+primality+testing+B.+C.+%28before+computers%29&rft.volume=75&rft.issue=1&rft.pages=18-29&rft.date=2002&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D2107288%23id-name%3DMR&rft_id=%2F%2Fwww.jstor.org%2Fstable%2F3219180%23id-name%3DJSTOR&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F3219180&rft.aulast=Mollin&rft.aufirst=Richard+A.&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fsim_mathematics-magazine_2002-02_75_1%2Fpage%2F18&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFO'ConnorRobertson" class="citation web cs1">O'Connor, John J.; <a href="/wiki/Edmund_F._Robertson" title="Edmund F. Robertson">Robertson, Edmund F.</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Haytham.html">“Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham”</a>. <a href="/wiki/B%E1%BB%99_l%C6%B0u_tr%E1%BB%AF_l%E1%BB%8Bch_s%E1%BB%AD_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc_MacTutor" title="Bộ lưu trữ lịch sử toán học MacTutor">Bộ lưu trữ lịch sử toán học MacTutor</a>. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_h%E1%BB%8Dc_St._Andrews" title="Đại học St. Andrews">Đại học St. Andrews</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20201219031116/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Haytham/">Lưu trữ</a> bản gốc ngày 19 tháng 12 năm 2020. Truy cập ngày 10 tháng 3 năm 2021.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=B%E1%BB%99+l%C6%B0u+tr%E1%BB%AF+l%E1%BB%8Bch+s%E1%BB%AD+to%C3%A1n+h%E1%BB%8Dc+MacTutor&rft.atitle=Abu+Ali+al-Hasan+ibn+al-Haytham&rft.aulast=O%27Connor&rft.aufirst=John+J.&rft.au=Robertson%2C+Edmund+F.&rft_id=http%3A%2F%2Fmathshistory.st-andrews.ac.uk%2FBiographies%2FAl-Haytham.html&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFSandifer2007" class="citation book cs1">Sandifer, C. Edward (2007). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA45&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false">“8. Fermat's Little Theorem (November 2003)”</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&hl=vi&source=gbs_navlinks_s">How Euler Did It</a>. MAA Spectrum. Mathematical Association of America. tr. 45. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-88385-563-8" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-88385-563-8"><bdi>978-0-88385-563-8</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=8.+Fermat%27s+Little+Theorem+%28November+2003%29&rft.btitle=How+Euler+Did+It&rft.series=MAA+Spectrum&rft.pages=45&rft.pub=Mathematical+Association+of+America&rft.date=2007&rft.isbn=978-0-88385-563-8&rft.aulast=Sandifer&rft.aufirst=C.+Edward&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DsohHs7ExOsYC%26pg%3DPA45%26redir_esc%3Dy%23v%3Donepage%26q%26f%3Dfalse&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFSandifer2014" class="citation book cs1">Sandifer, C. Edward (2014). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=3c6iBQAAQBAJ&pg=PA42">How Euler Did Even More</a>. Mathematical Association of America. tr. 42. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-88385-584-3" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-88385-584-3"><bdi>978-0-88385-584-3</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=How+Euler+Did+Even+More&rft.pages=42&rft.pub=Mathematical+Association+of+America&rft.date=2014&rft.isbn=978-0-88385-584-3&rft.aulast=Sandifer&rft.aufirst=C.+Edward&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3D3c6iBQAAQBAJ%26pg%3DPA42&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFKoshy2002" class="citation book cs1">Koshy, Thomas (2002). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA369">Elementary Number Theory with Applications</a>. Academic Press. tr. 369. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-12-421171-1" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-12-421171-1"><bdi>978-0-12-421171-1</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elementary+Number+Theory+with+Applications&rft.pages=369&rft.pub=Academic+Press&rft.date=2002&rft.isbn=978-0-12-421171-1&rft.aulast=Koshy&rft.aufirst=Thomas&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3D-9pg-4Pa19IC%26pg%3DPA369&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFYuan2002" class="citation book cs1">Yuan, Wang (2002). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=g4jVCgAAQBAJ&pg=PA21">Goldbach Conjecture</a>. Series In Pure Mathematics. 4 (ấn bản thứ 2). World Scientific. tr. 21. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-981-4487-52-8" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-981-4487-52-8"><bdi>978-981-4487-52-8</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Goldbach+Conjecture&rft.series=Series+In+Pure+Mathematics&rft.pages=21&rft.edition=2&rft.pub=World+Scientific&rft.date=2002&rft.isbn=978-981-4487-52-8&rft.aulast=Yuan&rft.aufirst=Wang&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3Dg4jVCgAAQBAJ%26pg%3DPA21&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFNarkiewicz2000" class="citation book cs1">Narkiewicz, Wladyslaw (2000). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=VVr3EuiHU0YC&pg=PA11">“1.2 Sum of Reciprocals of Primes”</a>. The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Springer. tr. 11. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-3-540-66289-1" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-3-540-66289-1"><bdi>978-3-540-66289-1</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=1.2+Sum+of+Reciprocals+of+Primes&rft.btitle=The+Development+of+Prime+Number+Theory%3A+From+Euclid+to+Hardy+and+Littlewood&rft.series=Springer+Monographs+in+Mathematics&rft.pages=11&rft.pub=Springer&rft.date=2000&rft.isbn=978-3-540-66289-1&rft.aulast=Narkiewicz&rft.aufirst=Wladyslaw&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DVVr3EuiHU0YC%26pg%3DPA11&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFTchebychev1852" class="citation journal cs1"><a href="/wiki/Pafnuty_Chebyshev" class="mw-redirect" title="Pafnuty Chebyshev">Tchebychev, P.</a> (1852). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1852_1_17_A19_0.pdf">“Mémoire sur les nombres premiers”</a> (PDF). Journal de mathématiques pures et appliquées. Série 1 (bằng tiếng Pháp): 366–390.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Journal+de+math%C3%A9matiques+pures+et+appliqu%C3%A9es&rft.atitle=M%C3%A9moire+sur+les+nombres+premiers.&rft.pages=366-390&rft.date=1852&rft.aulast=Tchebychev&rft.aufirst=P.&rft_id=http%3A%2F%2Fsites.mathdoc.fr%2FJMPA%2FPDF%2FJMPA_1852_1_17_A19_0.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> (Phần chứng minh định đề: 371–382). Xem thêm <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/mmoiresprsentsla07impe/">Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg</a>, tập 7, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/mmoiresprsentsla07impe/page/n27/mode/2up">tr. 15–33</a>, 1854 </li> <li id="cite_note-25"><a href="#cite_ref-25">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFApostol2000" class="citation book cs1">Apostol, Tom M. (2000). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=aiDyBwAAQBAJ&pg=PA1">“A centennial history of the prime number theorem”</a>. Trong Bambah, R.P.; Dumir, V.C.; Hans-Gill, R.J. (biên tập). Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. tr. 1–14. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1764793">1764793</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=A+centennial+history+of+the+prime+number+theorem&rft.btitle=Number+Theory&rft.place=Basel&rft.series=Trends+in+Mathematics&rft.pages=1-14&rft.pub=Birkh%C3%A4user&rft.date=2000&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D1764793%23id-name%3DMR&rft.aulast=Apostol&rft.aufirst=Tom+M.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DaiDyBwAAQBAJ%26pg%3DPA1&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-26"><a href="#cite_ref-26">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFApostol1976" class="citation book cs1">Apostol, Tom M. (1976). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=3yoBCAAAQBAJ&pg=PA146">“7. Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetical Progressions”</a>. Introduction to Analytic Number Theory. New York; Heidelberg: Springer-Verlag. tr. 146–156. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0434929">0434929</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=7.+Dirichlet%27s+Theorem+on+Primes+in+Arithmetical+Progressions&rft.btitle=Introduction+to+Analytic+Number+Theory&rft.place=New+York%3B+Heidelberg&rft.pages=146-156&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=1976&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D0434929%23id-name%3DMR&rft.aulast=Apostol&rft.aufirst=Tom+M.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3D3yoBCAAAQBAJ%26pg%3DPA146&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-27"><a href="#cite_ref-27">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFChabert2012" class="citation book cs1">Chabert, Jean-Luc (2012). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=XcDqCAAAQBAJ&pg=PA261">A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip</a>. Springer. tr. 261. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-3-642-18192-4" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-3-642-18192-4"><bdi>978-3-642-18192-4</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+History+of+Algorithms%3A+From+the+Pebble+to+the+Microchip&rft.pages=261&rft.pub=Springer&rft.date=2012&rft.isbn=978-3-642-18192-4&rft.aulast=Chabert&rft.aufirst=Jean-Luc&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DXcDqCAAAQBAJ%26pg%3DPA261&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-28"><a href="#cite_ref-28">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFRosen2000" class="citation book cs1">Rosen, Kenneth H. (2000). “Theorem 9.20. Proth's Primality Test”. Elementary Number Theory and Its Applications (ấn bản thứ 4). Addison-Wesley. tr. 342. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-201-87073-2" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-201-87073-2"><bdi>978-0-201-87073-2</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Theorem+9.20.+Proth%27s+Primality+Test&rft.btitle=Elementary+Number+Theory+and+Its+Applications&rft.pages=342&rft.edition=4&rft.pub=Addison-Wesley&rft.date=2000&rft.isbn=978-0-201-87073-2&rft.aulast=Rosen&rft.aufirst=Kenneth+H.&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-29"><a href="#cite_ref-29">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFCooperHodges2016" class="citation book cs1">Cooper, S. Barry; Hodges, Andrew (2016). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=h12cCwAAQBAJ&pg=PA37">The Once and Future Turing</a>. Cambridge University Press. tr. 37–38. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-107-01083-3" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-1-107-01083-3"><bdi>978-1-107-01083-3</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Once+and+Future+Turing&rft.pages=37-38&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.date=2016&rft.isbn=978-1-107-01083-3&rft.aulast=Cooper&rft.aufirst=S.+Barry&rft.au=Hodges%2C+Andrew&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3Dh12cCwAAQBAJ%26pg%3DPA37&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-31"><a href="#cite_ref-31">^</a> <a href="#CITEREFRosen2000">Rosen 2000</a>, tr. 245 </li> <li id="cite_note-32"><a href="#cite_ref-32">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFBeiler1999" class="citation book cs1">Beiler, Albert H. (1999) [1966]. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=NbbbL9gMJ88C&pg=PA2">Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains</a>. Dover. tr. 2. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-486-21096-4" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-486-21096-4"><bdi>978-0-486-21096-4</bdi></a>. <a href="/wiki/OCLC_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="OCLC (định danh)">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.worldcat.org/oclc/444171535">444171535</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Recreations+in+the+Theory+of+Numbers%3A+The+Queen+of+Mathematics+Entertains&rft.pages=2&rft.pub=Dover&rft.date=1999&rft_id=info%3Aoclcnum%2F444171535&rft.isbn=978-0-486-21096-4&rft.aulast=Beiler&rft.aufirst=Albert+H.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DNbbbL9gMJ88C%26pg%3DPA2&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-33"><a href="#cite_ref-33">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFKatz2004" class="citation journal cs1">Katz, Shaul (2004). “Berlin roots – Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem”. Science in Context. 17 (1–2): 199–234. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1017%2FS0269889704000092">10.1017/S0269889704000092</a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2089305">2089305</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Science+in+Context&rft.atitle=Berlin+roots+%E2%80%93+Zionist+incarnation%3A+the+ethos+of+pure+mathematics+and+the+beginnings+of+the+Einstein+Institute+of+Mathematics+at+the+Hebrew+University+of+Jerusalem&rft.volume=17&rft.issue=1%E2%80%932&rft.pages=199-234&rft.date=2004&rft_id=info%3Adoi%2F10.1017%2FS0269889704000092&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D2089305%23id-name%3DMR&rft.aulast=Katz&rft.aufirst=Shaul&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-ent-7-35">^ <a href="#cite_ref-ent-7_35-0">a</a> <a href="#cite_ref-ent-7_35-1">b</a> <a href="#cite_ref-ent-7_35-2">c</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFKraftWashington2014" class="citation book cs1">Kraft, James S.; Washington, Lawrence C. (2014). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA7">Elementary Number Theory</a>. Textbooks in mathematics. CRC Press. tr. 7. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-4987-0269-0" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-1-4987-0269-0"><bdi>978-1-4987-0269-0</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elementary+Number+Theory&rft.series=Textbooks+in+mathematics&rft.pages=7&rft.pub=CRC+Press&rft.date=2014&rft.isbn=978-1-4987-0269-0&rft.aulast=Kraft&rft.aufirst=James+S.&rft.au=Washington%2C+Lawrence+C.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3D4NAqBgAAQBAJ%26pg%3DPA7&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-36"><a href="#cite_ref-36">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFBauer2013" class="citation book cs1">Bauer, Craig P. (2013). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=EBkEGAOlCDsC&pg=PA468">Secret History: The Story of Cryptology</a>. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. tr. 468. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-4665-6186-1" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-1-4665-6186-1"><bdi>978-1-4665-6186-1</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Secret+History%3A+The+Story+of+Cryptology&rft.series=Discrete+Mathematics+and+Its+Applications&rft.pages=468&rft.pub=CRC+Press&rft.date=2013&rft.isbn=978-1-4665-6186-1&rft.aulast=Bauer&rft.aufirst=Craig+P.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DEBkEGAOlCDsC%26pg%3DPA468&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-37"><a href="#cite_ref-37">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFKleeWagon1991" class="citation book cs1">Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=tRdoIhHh3moC&pg=PA224">Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory</a>. Dolciani mathematical expositions. 11. Cambridge University Press. tr. 224. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-88385-315-3" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-88385-315-3"><bdi>978-0-88385-315-3</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Old+and+New+Unsolved+Problems+in+Plane+Geometry+and+Number+Theory&rft.series=Dolciani+mathematical+expositions&rft.pages=224&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.date=1991&rft.isbn=978-0-88385-315-3&rft.aulast=Klee&rft.aufirst=Victor&rft.au=Wagon%2C+Stan&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DtRdoIhHh3moC%26pg%3DPA224&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-:5-38">^ <a href="#cite_ref-:5_38-0">a</a> <a href="#cite_ref-:5_38-1">b</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFNeale2017" class="citation book cs1">Neale, Vicky (2017). Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers. Oxford University Press. tr. 18, 47. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-19-109243-5" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-19-109243-5"><bdi>978-0-19-109243-5</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Closing+the+Gap%3A+The+Quest+to+Understand+Prime+Numbers&rft.pages=18%2C+47&rft.pub=Oxford+University+Press&rft.date=2017&rft.isbn=978-0-19-109243-5&rft.aulast=Neale&rft.aufirst=Vicky&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-crxk-34-39">^ <a href="#cite_ref-crxk-34_39-0">a</a> <a href="#cite_ref-crxk-34_39-1">b</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFCaldwellReddickXiongKeller2012" class="citation journal cs1">Caldwell, Chris K.; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell2/cald6.html">“The history of the primality of one: a selection of sources”</a>. Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.8. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3005523">3005523</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Journal+of+Integer+Sequences&rft.atitle=The+history+of+the+primality+of+one%3A+a+selection+of+sources&rft.volume=15&rft.issue=9&rft.pages=Article+12.9.8&rft.date=2012&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D3005523%23id-name%3DMR&rft.aulast=Caldwell&rft.aufirst=Chris+K.&rft.au=Reddick%2C+Angela&rft.au=Xiong%2C+Yeng&rft.au=Keller%2C+Wilfrid&rft_id=https%3A%2F%2Fcs.uwaterloo.ca%2Fjournals%2FJIS%2FVOL15%2FCaldwell2%2Fcald6.html&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> Đối với những câu nói chọn lọc của các nhà toán học Hy Lạp về vấn đề này, xem tr. 3–4. Đối với các nhà toán học Hồi giáo, xem tr. 6. </li> <li id="cite_note-40"><a href="#cite_ref-40">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFTarán1981" class="citation book cs1">Tarán, Leonardo (1981). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=cUPXqSb7V1wC&pg=PA35">Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary</a>. Philosophia Antiqua: A Series of Monographs on Ancient Philosophy. 39. Brill. tr. 35–38. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-90-04-06505-5" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-90-04-06505-5"><bdi>978-90-04-06505-5</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Speusippus+of+Athens%3A+A+Critical+Study+With+a+Collection+of+the+Related+Texts+and+Commentary&rft.series=Philosophia+Antiqua%3A+A+Series+of+Monographs+on+Ancient+Philosophy&rft.pages=35-38&rft.pub=Brill&rft.date=1981&rft.isbn=978-90-04-06505-5&rft.aulast=Tar%C3%A1n&rft.aufirst=Leonardo&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DcUPXqSb7V1wC%26pg%3DPA35&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-41"><a href="#cite_ref-41">^</a> <a href="#CITEREFCaldwellReddickXiongKeller2012">Caldwell và đồng nghiệp 2012</a>, tr. 7–13. Đặc biệt xem mục về Stevin, Brancker, Wallis và Prestet. </li> <li id="cite_note-42"><a href="#cite_ref-42">^</a> <a href="#CITEREFCaldwellReddickXiongKeller2012">Caldwell và đồng nghiệp 2012</a>, tr. 15 </li> <li id="cite_note-cx-43">^ <a href="#cite_ref-cx_43-0">a</a> <a href="#cite_ref-cx_43-1">b</a> <a href="#cite_ref-cx_43-2">c</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFCaldwellXiong2012" class="citation journal cs1">Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell1/cald5.pdf">“What is the smallest prime?”</a> (PDF). Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.7. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3005530">3005530</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Journal+of+Integer+Sequences&rft.atitle=What+is+the+smallest+prime%3F&rft.volume=15&rft.issue=9&rft.pages=Article+12.9.7&rft.date=2012&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D3005530%23id-name%3DMR&rft.aulast=Caldwell&rft.aufirst=Chris+K.&rft.au=Xiong%2C+Yeng&rft_id=https%3A%2F%2Fcs.uwaterloo.ca%2Fjournals%2FJIS%2FVOL15%2FCaldwell1%2Fcald5.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-44"><a href="#cite_ref-44">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFRiesel1994" class="citation book cs1">Riesel, Hans (1994). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=ITvaBwAAQBAJ&pg=PA36">Prime Numbers and Computer Methods for Factorization</a> (ấn bản thứ 2). Basel, Switzerland: Birkhäuser. tr. 36. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2F978-1-4612-0251-6">10.1007/978-1-4612-0251-6</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-8176-3743-9" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-8176-3743-9"><bdi>978-0-8176-3743-9</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1292250">1292250</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Prime+Numbers+and+Computer+Methods+for+Factorization&rft.place=Basel%2C+Switzerland&rft.pages=36&rft.edition=2&rft.pub=Birkh%C3%A4user&rft.date=1994&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D1292250%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2F978-1-4612-0251-6&rft.isbn=978-0-8176-3743-9&rft.aulast=Riesel&rft.aufirst=Hans&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DITvaBwAAQBAJ%26pg%3DPA36&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-cg-bon-129-130-45">^ <a href="#cite_ref-cg-bon-129-130_45-0">a</a> <a href="#cite_ref-cg-bon-129-130_45-1">b</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFConwayGuy1996" class="citation book cs1">Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw">The Book of Numbers</a>. New York: Copernicus. tr. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw/page/129">129–130</a>. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2F978-1-4612-4072-3">10.1007/978-1-4612-4072-3</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-387-97993-9" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-387-97993-9"><bdi>978-0-387-97993-9</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1411676">1411676</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Book+of+Numbers&rft.place=New+York&rft.pages=129-130&rft.pub=Copernicus&rft.date=1996&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D1411676%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2F978-1-4612-4072-3&rft.isbn=978-0-387-97993-9&rft.aulast=Conway&rft.aufirst=John+Horton&rft.au=Guy%2C+Richard+K.&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fbookofnumbers0000conw&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-46"><a href="#cite_ref-46">^</a> Đối với hàm phi Euler, xem <a href="#CITEREFSierpiński1988">Sierpiński 1988</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=ktCZ2MvgN3MC&pg=PA245">tr. 245</a>. Đối với hàm tổng các ước số, xem <a href="#CITEREFSandifer2007">Sandifer 2007</a>, tr. 59. </li> <li id="cite_note-47"><a href="#cite_ref-47">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFSmith2011" class="citation book cs1">Smith, Karl J. (2011). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=Di0HyCgDYq8C&pg=PA188">The Nature of Mathematics</a> (ấn bản thứ 12). Cengage Learning. tr. 188. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-538-73758-6" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-538-73758-6"><bdi>978-0-538-73758-6</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Nature+of+Mathematics&rft.pages=188&rft.edition=12&rft.pub=Cengage+Learning&rft.date=2011&rft.isbn=978-0-538-73758-6&rft.aulast=Smith&rft.aufirst=Karl+J.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DDi0HyCgDYq8C%26pg%3DPA188&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-48"><a href="#cite_ref-48">^</a> <a href="#CITEREFDudley1978">Dudley 1978</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA16">mục 2, định lý 2, tr. 16</a>; <a href="#CITEREFNeale2017">Neale 2017</a>, tr. 107 </li> <li id="cite_note-49"><a href="#cite_ref-49">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFdu_Sautoy2003" class="citation book cs1"><a href="/wiki/Marcus_du_Sautoy" title="Marcus du Sautoy">du Sautoy, Marcus</a> (2003). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa">The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics</a>. Harper Collins. tr. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa/page/23">23</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-06-093558-0" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-06-093558-0"><bdi>978-0-06-093558-0</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Music+of+the+Primes%3A+Searching+to+Solve+the+Greatest+Mystery+in+Mathematics&rft.pages=23&rft.pub=Harper+Collins&rft.date=2003&rft.isbn=978-0-06-093558-0&rft.aulast=du+Sautoy&rft.aufirst=Marcus&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fmusicofprimessea00dusa&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-50"><a href="#cite_ref-50">^</a> <a href="#CITEREFDudley1978">Dudley 1978</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA15">mục 2, bổ đề 5, tr. 15</a>; <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFHiggins1998" class="citation book cs1">Higgins, Peter M. (1998). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=LeYH8P8S9oQC&pg=PA77">Mathematics for the Curious</a>. Oxford University Press. tr. 77–78. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-19-150050-3" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-19-150050-3"><bdi>978-0-19-150050-3</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mathematics+for+the+Curious&rft.pages=77-78&rft.pub=Oxford+University+Press&rft.date=1998&rft.isbn=978-0-19-150050-3&rft.aulast=Higgins&rft.aufirst=Peter+M.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DLeYH8P8S9oQC%26pg%3DPA77&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-51"><a href="#cite_ref-51">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFRotman2000" class="citation book cs1">Rotman, Joseph J. (2000). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/firstcourseinabs0000rotm_e5g6">A First Course in Abstract Algebra</a> (ấn bản thứ 2). Prentice Hall. tr. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/firstcourseinabs0000rotm_e5g6/page/56">56</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-13-011584-3" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-13-011584-3"><bdi>978-0-13-011584-3</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+First+Course+in+Abstract+Algebra&rft.pages=56&rft.edition=2&rft.pub=Prentice+Hall&rft.date=2000&rft.isbn=978-0-13-011584-3&rft.aulast=Rotman&rft.aufirst=Joseph+J.&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Ffirstcourseinabs0000rotm_e5g6&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-52"><a href="#cite_ref-52">^</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://eulerarchive.maa.org//correspondence/letters/OO0722.pdf">Thư của Goldbach gửi Euler</a> bằng <a href="/wiki/Ti%E1%BA%BFng_Latinh" title="Tiếng Latinh">tiếng Latinh</a> năm 1730 trong <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFFuss1843" class="citation book cs1">Fuss, P. H. biên tập (1843). “Lettre VIII. Goldbach à Euler”. Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle [Thư từ toán học và vật lý của một số nhà hình học nổi tiếng thế kỷ 18]. Saint Petersbourg, Nga: Viện Hàn lâm Khoa học. tr. 32–34.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Lettre+VIII.+Goldbach+%C3%A0+Euler&rft.btitle=Correspondance+math%C3%A9matique+et+physique+de+quelques+c%C3%A9l%C3%A8bres+g%C3%A9om%C3%A8tres+du+XVIII%C3%A8me+si%C3%A8cle&rft.place=Saint+Petersbourg%2C+Nga&rft.pages=32-34&rft.pub=Vi%E1%BB%87n+H%C3%A0n+l%C3%A2m+Khoa+h%E1%BB%8Dc&rft.date=1843&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-53"><a href="#cite_ref-53">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFFurstenberg1955" class="citation journal cs1">Furstenberg, Harry (1955). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1955-05_62_5/page/353">“On the infinitude of primes”</a>. <a href="/wiki/American_Mathematical_Monthly" title="American Mathematical Monthly">American Mathematical Monthly</a>. 62 (5): 353. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307%2F2307043">10.2307/2307043</a>. <a href="/wiki/JSTOR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="JSTOR (định danh)">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/2307043">2307043</a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0068566">0068566</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=American+Mathematical+Monthly&rft.atitle=On+the+infinitude+of+primes&rft.volume=62&rft.issue=5&rft.pages=353&rft.date=1955&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D0068566%23id-name%3DMR&rft_id=%2F%2Fwww.jstor.org%2Fstable%2F2307043%23id-name%3DJSTOR&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2307043&rft.aulast=Furstenberg&rft.aufirst=Harry&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fsim_american-mathematical-monthly_1955-05_62_5%2Fpage%2F353&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-Ribenboim2004-54">^ <a href="#cite_ref-Ribenboim2004_54-0">a</a> <a href="#cite_ref-Ribenboim2004_54-1">b</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFRibenboim2004" class="citation book cs1">Ribenboim, Paulo (2004). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=SvnTBwAAQBAJ&pg=PA5">The little book of bigger primes</a>. Berlin; New York: Springer-Verlag. tr. 4. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-387-20169-6" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-387-20169-6"><bdi>978-0-387-20169-6</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+little+book+of+bigger+primes&rft.place=Berlin%3B+New+York&rft.pages=4&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=2004&rft.isbn=978-0-387-20169-6&rft.aulast=Ribenboim&rft.aufirst=Paulo&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DSvnTBwAAQBAJ%26pg%3DPA5&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-55"><a href="#cite_ref-55">^</a> Bộ <a href="/wiki/C%C6%A1_s%E1%BB%9F_(Euclid)" title="Cơ sở (Euclid)">Cơ sở</a> của <a href="/wiki/Euclid" title="Euclid">Euclid</a>, quyển 9, mệnh đề 20. Xem <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html">bản dịch tiếng Anh của David Joyce</a> hoặc <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFWilliamson1782" class="citation book cs1">Williamson, James (1782). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=umn.31951000084215o;view=1up;seq=95">The Elements of Euclid, With Dissertations</a>. Oxford: Clarendon Press. tr. 63. <a href="/wiki/OCLC_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="OCLC (định danh)">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.worldcat.org/oclc/642232959">642232959</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Elements+of+Euclid%2C+With+Dissertations&rft.place=Oxford&rft.pages=63&rft.pub=Clarendon+Press&rft.date=1782&rft_id=info%3Aoclcnum%2F642232959&rft.aulast=Williamson&rft.aufirst=James&rft_id=https%3A%2F%2Fbabel.hathitrust.org%2Fcgi%2Fpt%3Fid%3Dumn.31951000084215o%3Bview%3D1up%3Bseq%3D95&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-56"><a href="#cite_ref-56">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFVardi1991" class="citation book cs1">Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley. tr. 82–89. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-201-52989-0" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-201-52989-0"><bdi>978-0-201-52989-0</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Computational+Recreations+in+Mathematica&rft.pages=82-89&rft.pub=Addison-Wesley&rft.date=1991&rft.isbn=978-0-201-52989-0&rft.aulast=Vardi&rft.aufirst=Ilan&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-matiyasevich2-57">^ <a href="#cite_ref-matiyasevich2_57-0">a</a> <a href="#cite_ref-matiyasevich2_57-1">b</a> <a href="#cite_ref-matiyasevich2_57-2">c</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFMatiyasevich1999" class="citation book cs1">Matiyasevich, Yuri V. (1999). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=oLKlk5o6WroC&pg=PA13">“Formulas for prime numbers”</a>. Trong Tabachnikov, Serge (biên tập). Kvant Selecta: Algebra and Analysis. II. <a href="/wiki/American_Mathematical_Society" class="mw-redirect" title="American Mathematical Society">American Mathematical Society</a>. tr. 13–24. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-8218-1915-9" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-8218-1915-9"><bdi>978-0-8218-1915-9</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Formulas+for+prime+numbers&rft.btitle=Kvant+Selecta%3A+Algebra+and+Analysis&rft.pages=13-24&rft.pub=American+Mathematical+Society&rft.date=1999&rft.isbn=978-0-8218-1915-9&rft.aulast=Matiyasevich&rft.aufirst=Yuri+V.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DoLKlk5o6WroC%26pg%3DPA13&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-58"><a href="#cite_ref-58">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFMackinnon1987" class="citation journal cs1">Mackinnon, Nick (tháng 6 năm 1987). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1987-06_71_456/page/113">“Prime number formulae”</a>. <a href="/wiki/The_Mathematical_Gazette" title="The Mathematical Gazette">The Mathematical Gazette</a>. 71 (456): 113–114. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307%2F3616496">10.2307/3616496</a>. <a href="/wiki/JSTOR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="JSTOR (định danh)">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/3616496">3616496</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=The+Mathematical+Gazette&rft.atitle=Prime+number+formulae&rft.volume=71&rft.issue=456&rft.pages=113-114&rft.date=1987-06&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F3616496&rft_id=%2F%2Fwww.jstor.org%2Fstable%2F3616496%23id-name%3DJSTOR&rft.aulast=Mackinnon&rft.aufirst=Nick&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fsim_mathematical-gazette_1987-06_71_456%2Fpage%2F113&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-59"><a href="#cite_ref-59">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFWright1951" class="citation journal cs1">Wright, E.M. (1951). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1951-11_58_9/page/616">“A prime-representing function”</a>. <a href="/wiki/American_Mathematical_Monthly" title="American Mathematical Monthly">American Mathematical Monthly</a>. 58 (9): 616–618. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307%2F2306356">10.2307/2306356</a>. <a href="/wiki/JSTOR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="JSTOR (định danh)">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/2306356">2306356</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=American+Mathematical+Monthly&rft.atitle=A+prime-representing+function&rft.volume=58&rft.issue=9&rft.pages=616-618&rft.date=1951&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2306356&rft_id=%2F%2Fwww.jstor.org%2Fstable%2F2306356%23id-name%3DJSTOR&rft.aulast=Wright&rft.aufirst=E.M.&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fsim_american-mathematical-monthly_1951-11_58_9%2Fpage%2F616&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-60"><a href="#cite_ref-60">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFGuy2013" class="citation book cs1">Guy, Richard (2013). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com.vn/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PR7">Unsolved Problems in Number Theory</a>. Problem Books in Mathematics. Springer. tr. vii. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-387-26677-0" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-387-26677-0"><bdi>978-0-387-26677-0</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Unsolved+Problems+in+Number+Theory&rft.series=Problem+Books+in+Mathematics&rft.pages=vii&rft.pub=Springer&rft.date=2013&rft.isbn=978-0-387-26677-0&rft.aulast=Guy&rft.aufirst=Richard&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com.vn%2Fbooks%3Fid%3DEbLzBwAAQBAJ%26pg%3DPR7&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-61"><a href="#cite_ref-61">^</a> <a href="#CITEREFGuy2013">Guy 2013</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PA105">C1 "Goldbach conjecture", tr. 105–107</a> </li> <li id="cite_note-62"><a href="#cite_ref-62">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFOliveira_e_SilvaHerzogPardi2014" class="citation journal cs1">Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014). “Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4\cdot 10^{18}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>18</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4\cdot 10^{18}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddafb9809111d88d71982711a1ec9cde3e62e901" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.043ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 4\cdot 10^{18}}">”. Mathematics of Computation. 83 (288): 2033–2060. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1090%2FS0025-5718-2013-02787-1">10.1090/S0025-5718-2013-02787-1</a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3194140">3194140</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Mathematics+of+Computation&rft.atitle=Empirical+verification+of+the+even+Goldbach+conjecture+and+computation+of+prime+gaps+up+to+MATH+RENDER+ERROR&rft.volume=83&rft.issue=288&rft.pages=2033-2060&rft.date=2014&rft_id=info%3Adoi%2F10.1090%2FS0025-5718-2013-02787-1&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D3194140%23id-name%3DMR&rft.aulast=Oliveira+e+Silva&rft.aufirst=Tom%C3%A1s&rft.au=Herzog%2C+Siegfried&rft.au=Pardi%2C+Silvio&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-63"><a href="#cite_ref-63">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFTao2009" class="citation book cs1"><a href="/wiki/Terence_Tao" title="Terence Tao">Tao, Terence</a> (2009). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=NxnVAwAAQBAJ&pg=PA239">“3.1 Structure and randomness in the prime numbers”</a>. Poincaré's legacies, pages from year two of a mathematical blog. Part I. Providence, RI: American Mathematical Society. tr. 239–247. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-8218-4883-8" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-8218-4883-8"><bdi>978-0-8218-4883-8</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2523047">2523047</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=3.1+Structure+and+randomness+in+the+prime+numbers&rft.btitle=Poincar%C3%A9%27s+legacies%2C+pages+from+year+two+of+a+mathematical+blog.+Part+I&rft.place=Providence%2C+RI&rft.pages=239-247&rft.pub=American+Mathematical+Society&rft.date=2009&rft.isbn=978-0-8218-4883-8&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D2523047%23id-name%3DMR&rft.aulast=Tao&rft.aufirst=Terence&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DNxnVAwAAQBAJ%26pg%3DPA239&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> Đặc biệt xem tr. 239. </li> <li id="cite_note-64"><a href="#cite_ref-64">^</a> <a href="#CITEREFGuy2013">Guy 2013</a>, tr. 159 </li> <li id="cite_note-65"><a href="#cite_ref-65">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFRamaré1995" class="citation journal cs1">Ramaré, Olivier (1995). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://archive.numdam.org/article/ASNSP_1995_4_22_4_645_0.pdf">“On Šnirel'man's constant”</a> (PDF). Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. 22 (4): 645–706. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1375315">1375315</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Annali+della+Scuola+Normale+Superiore+di+Pisa&rft.atitle=On+%C5%A0nirel%27man%27s+constant&rft.volume=22&rft.issue=4&rft.pages=645-706&rft.date=1995&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D1375315%23id-name%3DMR&rft.aulast=Ramar%C3%A9&rft.aufirst=Olivier&rft_id=http%3A%2F%2Farchive.numdam.org%2Farticle%2FASNSP_1995_4_22_4_645_0.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-66"><a href="#cite_ref-66">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFRassias2017" class="citation book cs1">Rassias, Michael Th. (2017). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=ibwpDwAAQBAJ&pg=PP6">Goldbach's Problem: Selected Topics</a>. Cham: Springer. tr. vii. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2F978-3-319-57914-6">10.1007/978-3-319-57914-6</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-3-319-57912-2" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-3-319-57912-2"><bdi>978-3-319-57912-2</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3674356">3674356</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Goldbach%27s+Problem%3A+Selected+Topics&rft.place=Cham&rft.pages=vii&rft.pub=Springer&rft.date=2017&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D3674356%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2F978-3-319-57914-6&rft.isbn=978-3-319-57912-2&rft.aulast=Rassias&rft.aufirst=Michael+Th.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DibwpDwAAQBAJ%26pg%3DPP6&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-67"><a href="#cite_ref-67">^</a> <a href="#CITEREFKoshy2002">Koshy 2002</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA109">định lý 2.14, tr. 109</a>. <a href="#CITEREFRiesel1994">Riesel 1994</a> cũng có lập luận tương tự sử dụng <a href="/wiki/Giai_th%E1%BB%ABa_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Giai thừa nguyên tố">giai thừa nguyên tố</a> thay vì giai thừa. </li> <li id="cite_note-riesel-gaps-68">^ <a href="#cite_ref-riesel-gaps_68-0">a</a> <a href="#cite_ref-riesel-gaps_68-1">b</a> <a href="#CITEREFRiesel1994">Riesel 1994</a>, tr. 78–79 </li> <li id="cite_note-69"><a href="#cite_ref-69">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://oeis.org/A100964">“Sloane's A100964 : Smallest prime number that begins a prime gap of at least 2n”</a>. <a href="/wiki/B%E1%BA%A3ng_tra_c%E1%BB%A9u_d%C3%A3y_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_tr%E1%BB%B1c_tuy%E1%BA%BFn" title="Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến">Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến</a>. Tổ chức OEIS.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=B%E1%BA%A3ng+tra+c%E1%BB%A9u+d%C3%A3y+s%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+tr%E1%BB%B1c+tuy%E1%BA%BFn&rft.atitle=Sloane%27s+A100964+%26%2358%3B+Smallest+prime+number+that+begins+a+prime+gap+of+at+least+2n&rft_id=http%3A%2F%2Foeis.org%2FA100964&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-:4-70">^ <a href="#cite_ref-:4_70-0">a</a> <a href="#cite_ref-:4_70-1">b</a> <a href="#cite_ref-:4_70-2">c</a> <a href="#CITEREFRibenboim2004">Ribenboim 2004</a>, mục "Gaps between primes", tr. 186–192 </li> <li id="cite_note-rib-183-71">^ <a href="#cite_ref-rib-183_71-0">a</a> <a href="#cite_ref-rib-183_71-1">b</a> <a href="#CITEREFRibenboim2004">Ribenboim 2004</a>, tr. 183 </li> <li id="cite_note-chan-72"><a href="#cite_ref-chan_72-0">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFChan1996" class="citation journal cs1">Chan, Joel (tháng 2 năm 1996). “Prime time!”. Math Horizons. 3 (3): 23–25. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1080%2F10724117.1996.11974965">10.1080/10724117.1996.11974965</a>. <a href="/wiki/JSTOR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="JSTOR (định danh)">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/25678057">25678057</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Math+Horizons&rft.atitle=Prime+time%21&rft.volume=3&rft.issue=3&rft.pages=23-25&rft.date=1996-02&rft_id=info%3Adoi%2F10.1080%2F10724117.1996.11974965&rft_id=%2F%2Fwww.jstor.org%2Fstable%2F25678057%23id-name%3DJSTOR&rft.aulast=Chan&rft.aufirst=Joel&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> Chú ý rằng Chan viết giả thuyết Legendre thành "tiên đề Sierpinski". </li> <li id="cite_note-73"><a href="#cite_ref-73">^</a> <a href="#CITEREFRibenboim2004">Ribenboim 2004</a>, tr. 201–202 </li> <li id="cite_note-74"><a href="#cite_ref-74">^</a> <a href="#CITEREFSandifer2007">Sandifer 2007</a>, tr. 205–208 </li> <li id="cite_note-75"><a href="#cite_ref-75">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFOgilvyAnderson1988" class="citation book cs1">Ogilvy, C.S.; Anderson, J.T. (1988). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=efbaDLlTXvMC&pg=PA29">Excursions in Number Theory</a>. Dover Publications Inc. tr. 29–35. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-486-25778-5" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-486-25778-5"><bdi>978-0-486-25778-5</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Excursions+in+Number+Theory&rft.pages=29-35&rft.pub=Dover+Publications+Inc.&rft.date=1988&rft.isbn=978-0-486-25778-5&rft.aulast=Ogilvy&rft.aufirst=C.S.&rft.au=Anderson%2C+J.T.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DefbaDLlTXvMC%26pg%3DPA29&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-76"><a href="#cite_ref-76">^</a> <a href="#CITEREFApostol1976">Apostol 1976</a>, mục 1.6, định lý 1.13 </li> <li id="cite_note-77"><a href="#cite_ref-77">^</a> <a href="#CITEREFApostol1976">Apostol 1976</a>, mục 4.8, định lý 4.12 </li> <li id="cite_note-mtb-invitation-78">^ <a href="#cite_ref-mtb-invitation_78-0">a</a> <a href="#cite_ref-mtb-invitation_78-1">b</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFMillerTakloo-Bighash2006" class="citation book cs1">Miller, Steven J.; Takloo-Bighash, Ramin (2006). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=kLz4z8iwKiwC&pg=PA43">An Invitation to Modern Number Theory</a>. Princeton University Press. tr. 43–44. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-691-12060-7" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-691-12060-7"><bdi>978-0-691-12060-7</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=An+Invitation+to+Modern+Number+Theory&rft.pages=43-44&rft.pub=Princeton+University+Press&rft.date=2006&rft.isbn=978-0-691-12060-7&rft.aulast=Miller&rft.aufirst=Steven+J.&rft.au=Takloo-Bighash%2C+Ramin&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DkLz4z8iwKiwC%26pg%3DPA43&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-79"><a href="#cite_ref-79">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFCrandallPomerance2005" class="citation book cs1">Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=RbEz-_D7sAUC&pg=PA6">Prime Numbers: A Computational Perspective</a> (ấn bản thứ 2). Springer. tr. 6. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-387-25282-7" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-387-25282-7"><bdi>978-0-387-25282-7</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Prime+Numbers%3A+A+Computational+Perspective&rft.pages=6&rft.edition=2&rft.pub=Springer&rft.date=2005&rft.isbn=978-0-387-25282-7&rft.aulast=Crandall&rft.aufirst=Richard&rft.au=Pomerance%2C+Carl&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DRbEz-_D7sAUC%26pg%3DPA6&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-80"><a href="#cite_ref-80">^</a> <a href="#CITEREFCrandallPomerance2005">Crandall & Pomerance 2005</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=ZXjHKPS1LEAC&pg=PA152">mục 3.7, "Counting primes", tr. 152–162</a> </li> <li id="cite_note-cranpom10-81">^ <a href="#cite_ref-cranpom10_81-0">a</a> <a href="#cite_ref-cranpom10_81-1">b</a> <a href="#CITEREFCrandallPomerance2005">Crandall & Pomerance 2005</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=RbEz-_D7sAUC&pg=PA10">tr. 10</a> </li> <li id="cite_note-82"><a href="#cite_ref-82">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFdu_Sautoy2011" class="citation book cs1"><a href="/wiki/Marcus_du_Sautoy" title="Marcus du Sautoy">du Sautoy, Marcus</a> (2011). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=snaUbkIb8SEC&pg=PA50">“What are the odds that your telephone number is prime?”</a>. The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life. St. Martin's Press. tr. 50–52. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-230-12028-0" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-230-12028-0"><bdi>978-0-230-12028-0</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=What+are+the+odds+that+your+telephone+number+is+prime%3F&rft.btitle=The+Number+Mysteries%3A+A+Mathematical+Odyssey+through+Everyday+Life&rft.pages=50-52&rft.pub=St.+Martin%27s+Press&rft.date=2011&rft.isbn=978-0-230-12028-0&rft.aulast=du+Sautoy&rft.aufirst=Marcus&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DsnaUbkIb8SEC%26pg%3DPA50&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-83"><a href="#cite_ref-83">^</a> <a href="#CITEREFApostol1976">Apostol 1976</a>, mục 4.6, định lý 4.7 </li> <li id="cite_note-84"><a href="#cite_ref-84">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFGelfandShen2003" class="citation book cs1"><a href="/wiki/Israel_Gelfand" title="Israel Gelfand">Gelfand, I.M.</a>; Shen, Alexander (2003). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=Z9z7iliyFD0C&pg=PA37">Algebra</a>. Springer. tr. 37. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-8176-3677-7" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-8176-3677-7"><bdi>978-0-8176-3677-7</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebra&rft.pages=37&rft.pub=Springer&rft.date=2003&rft.isbn=978-0-8176-3677-7&rft.aulast=Gelfand&rft.aufirst=I.M.&rft.au=Shen%2C+Alexander&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DZ9z7iliyFD0C%26pg%3DPA37&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-85"><a href="#cite_ref-85">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFMollin1997" class="citation book cs1">Mollin, Richard A. (1997). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=Fsaa3MUUQYkC&pg=PA76">Fundamental Number Theory with Applications</a>. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. tr. 76. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-8493-3987-5" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-8493-3987-5"><bdi>978-0-8493-3987-5</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Fundamental+Number+Theory+with+Applications&rft.series=Discrete+Mathematics+and+Its+Applications&rft.pages=76&rft.pub=CRC+Press&rft.date=1997&rft.isbn=978-0-8493-3987-5&rft.aulast=Mollin&rft.aufirst=Richard+A.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DFsaa3MUUQYkC%26pg%3DPA76&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-86"><a href="#cite_ref-86">^</a> <a href="#CITEREFCrandallPomerance2005">Crandall & Pomerance 2005</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=ZXjHKPS1LEAC&pg=PA12">định lý 1.1.5, tr. 12</a> </li> <li id="cite_note-87"><a href="#cite_ref-87">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFGreenTao2008" class="citation journal cs1">Green, Ben; <a href="/wiki/Terence_Tao" title="Terence Tao">Tao, Terence</a> (2008). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2008-03_167_2/page/481">“The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions”</a>. Annals of Mathematics. 167 (2): 481–547. <a href="/wiki/ArXiv" title="ArXiv">arXiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="//arxiv.org/abs/math.NT/0404188">math.NT/0404188</a>. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.4007%2Fannals.2008.167.481">10.4007/annals.2008.167.481</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Annals+of+Mathematics&rft.atitle=The+primes+contain+arbitrarily+long+arithmetic+progressions&rft.volume=167&rft.issue=2&rft.pages=481-547&rft.date=2008&rft_id=info%3Aarxiv%2Fmath.NT%2F0404188&rft_id=info%3Adoi%2F10.4007%2Fannals.2008.167.481&rft.aulast=Green&rft.aufirst=Ben&rft.au=Tao%2C+Terence&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fsim_annals-of-mathematics_2008-03_167_2%2Fpage%2F481&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-88"><a href="#cite_ref-88">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFHua2009" class="citation book cs1">Hua, L.K. (2009) [1965]. Additive Theory of Prime Numbers. Translations of Mathematical Monographs. 13. Providence, RI: American Mathematical Society. tr. 176–177. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-8218-4942-2" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-8218-4942-2"><bdi>978-0-8218-4942-2</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0194404">0194404</a>. <a href="/wiki/OCLC_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="OCLC (định danh)">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.worldcat.org/oclc/824812353">824812353</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Additive+Theory+of+Prime+Numbers&rft.place=Providence%2C+RI&rft.series=Translations+of+Mathematical+Monographs&rft.pages=176-177&rft.pub=American+Mathematical+Society&rft.date=2009&rft_id=info%3Aoclcnum%2F824812353&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D0194404%23id-name%3DMR&rft.isbn=978-0-8218-4942-2&rft.aulast=Hua&rft.aufirst=L.K.&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-89"><a href="#cite_ref-89">^</a> Dãy các giá trị nguyên tố này, bắt đầu tại <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=1}"> thay vì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26819344e55f5e671c76c07c18eb4291fcec85ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=0}">, có trong <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFLavaBalzarotti2010" class="citation book cs1">Lava, Paolo Pietro; Balzarotti, Giorgio (2010). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=YfsSAAAAQBAJ&pg=PA133">“Chapter 33. Formule fortunate”</a>. 103 curiosità matematiche: Teoria dei numeri, delle cifre e delle relazioni nella matematica contemporanea (bằng tiếng Ý). Ulrico Hoepli Editore S.p.A. tr. 133. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-88-203-5804-4" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-88-203-5804-4"><bdi>978-88-203-5804-4</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Chapter+33.+Formule+fortunate&rft.btitle=103+curiosit%C3%A0+matematiche%3A+Teoria+dei+numeri%2C+delle+cifre+e+delle+relazioni+nella+matematica+contemporanea&rft.pages=133&rft.pub=Ulrico+Hoepli+Editore+S.p.A.&rft.date=2010&rft.isbn=978-88-203-5804-4&rft.aulast=Lava&rft.aufirst=Paolo+Pietro&rft.au=Balzarotti%2C+Giorgio&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DYfsSAAAAQBAJ%26pg%3DPA133&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-90"><a href="#cite_ref-90">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFChamberland2015" class="citation book cs1">Chamberland, Marc (2015). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=n9iqBwAAQBAJ&pg=PA213">“The Heegner numbers”</a>. Single Digits: In Praise of Small Numbers. Princeton University Press. tr. 213–215. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-4008-6569-7" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-1-4008-6569-7"><bdi>978-1-4008-6569-7</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=The+Heegner+numbers&rft.btitle=Single+Digits%3A+In+Praise+of+Small+Numbers&rft.pages=213-215&rft.pub=Princeton+University+Press&rft.date=2015&rft.isbn=978-1-4008-6569-7&rft.aulast=Chamberland&rft.aufirst=Marc&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3Dn9iqBwAAQBAJ%26pg%3DPA213&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-:6-91">^ <a href="#cite_ref-:6_91-0">a</a> <a href="#cite_ref-:6_91-1">b</a> <a href="#CITEREFGuy2013">Guy 2013</a>, tr. 7–10 </li> <li id="cite_note-92"><a href="#cite_ref-92">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFPatterson1988" class="citation book cs1">Patterson, S.J. (1988). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=IdHLCgAAQBAJ&pg=PA1">An introduction to the theory of the Riemann zeta-function</a>. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 14. Cambridge University Press, Cambridge. tr. 1. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1017%2FCBO9780511623707">10.1017/CBO9780511623707</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-521-33535-5" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-521-33535-5"><bdi>978-0-521-33535-5</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0933558">0933558</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=An+introduction+to+the+theory+of+the+Riemann+zeta-function&rft.series=Cambridge+Studies+in+Advanced+Mathematics&rft.pages=1&rft.pub=Cambridge+University+Press%2C+Cambridge&rft.date=1988&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D933558%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1017%2FCBO9780511623707&rft.isbn=978-0-521-33535-5&rft.aulast=Patterson&rft.aufirst=S.J.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DIdHLCgAAQBAJ%26pg%3DPA1&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-93"><a href="#cite_ref-93">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008" class="citation book cs1">Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (2008). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=Qm1aZA-UwX4C&pg=PA10">The Riemann hypothesis: A resource for the afficionado and virtuoso alike</a>. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC. New York: Springer. tr. 10–11. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2F978-0-387-72126-2">10.1007/978-0-387-72126-2</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-387-72125-5" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-387-72125-5"><bdi>978-0-387-72125-5</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2463715">2463715</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Riemann+hypothesis%3A+A+resource+for+the+afficionado+and+virtuoso+alike&rft.place=New+York&rft.series=CMS+Books+in+Mathematics%2FOuvrages+de+Math%C3%A9matiques+de+la+SMC&rft.pages=10-11&rft.pub=Springer&rft.date=2008&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D2463715%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2F978-0-387-72126-2&rft.isbn=978-0-387-72125-5&rft.aulast=Borwein&rft.aufirst=Peter&rft.au=Choi%2C+Stephen&rft.au=Rooney%2C+Brendan&rft.au=Weirathmueller%2C+Andrea&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DQm1aZA-UwX4C%26pg%3DPA10&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-94"><a href="#cite_ref-94">^</a> <a href="#CITEREFSandifer2007">Sandifer 2007</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA191">tr. 191–193</a> </li> <li id="cite_note-95"><a href="#cite_ref-95">^</a> <a href="#CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008">Borwein và đồng nghiệp 2008</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=Qm1aZA-UwX4C&pg=PA15">giả thuyết 2.7 (giả thuyết Riemann), tr. 15</a> </li> <li id="cite_note-96"><a href="#cite_ref-96">^</a> <a href="#CITEREFPatterson1988">Patterson 1988</a>, tr. 7 </li> <li id="cite_note-bcrw18-97">^ <a href="#cite_ref-bcrw18_97-0">a</a> <a href="#cite_ref-bcrw18_97-1">b</a> <a href="#CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008">Borwein và đồng nghiệp 2008</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=Qm1aZA-UwX4C&pg=PA18">tr. 18</a> </li> <li id="cite_note-98"><a href="#cite_ref-98">^</a> <a href="#CITEREFNathanson2000">Nathanson 2000</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=sE7lBwAAQBAJ&pg=PA289">chương 9, "The prime number theorem", tr. 289–324</a> </li> <li id="cite_note-99"><a href="#cite_ref-99">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFZagier1977" class="citation journal cs1">Zagier, Don (1977). “The first 50 million prime numbers”. The Mathematical Intelligencer. 1 (S2): 7–19. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2Fbf03351556">10.1007/bf03351556</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=The+Mathematical+Intelligencer&rft.atitle=The+first+50+million+prime+numbers&rft.volume=1&rft.issue=S2&rft.pages=7-19&rft.date=1977&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2Fbf03351556&rft.aulast=Zagier&rft.aufirst=Don&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> Đặc biệt xem tr. 14–16. </li> <li id="cite_note-100"><a href="#cite_ref-100">^</a> <a href="#CITEREFKraftWashington2014">Kraft & Washington 2014</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=VG9YBQAAQBAJ&pg=PA96">mệnh đề 5.3</a>, tr. 96 </li> <li id="cite_note-101"><a href="#cite_ref-101">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFShahriari2017" class="citation book cs1">Shahriari, Shahriar (2017). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=GJwxDwAAQBAJ&pg=PA20">Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields</a>. Pure and Applied Undergraduate Texts. 27. American Mathematical Society. tr. 20–21. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-4704-2849-5" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-1-4704-2849-5"><bdi>978-1-4704-2849-5</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebra+in+Action%3A+A+Course+in+Groups%2C+Rings%2C+and+Fields&rft.series=Pure+and+Applied+Undergraduate+Texts&rft.pages=20-21&rft.pub=American+Mathematical+Society&rft.date=2017&rft.isbn=978-1-4704-2849-5&rft.aulast=Shahriari&rft.aufirst=Shahriar&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DGJwxDwAAQBAJ%26pg%3DPA20&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-102"><a href="#cite_ref-102">^</a> <a href="#CITEREFDudley1978">Dudley 1978</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA28">định lý 3, tr. 28</a> </li> <li id="cite_note-103"><a href="#cite_ref-103">^</a> <a href="#CITEREFShahriari2017">Shahriari 2017</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=GJwxDwAAQBAJ&pg=PA27">tr. 27–28</a> </li> <li id="cite_note-104"><a href="#cite_ref-104">^</a> <a href="#CITEREFRibenboim2004">Ribenboim 2004</a>, "Fermat's little theorem and primitive roots modulo a prime", tr. 17–21 </li> <li id="cite_note-105"><a href="#cite_ref-105">^</a> <a href="#CITEREFRibenboim2004">Ribenboim 2004</a>, "The property of Giuga", tr. 21–22 </li> <li id="cite_note-106"><a href="#cite_ref-106">^</a> <a href="#CITEREFRibenboim2004">Ribenboim 2004</a>, "The theorem of Wilson", tr. 21 </li> <li id="cite_note-childress-107">^ <a href="#cite_ref-childress_107-0">a</a> <a href="#cite_ref-childress_107-1">b</a> <a href="#cite_ref-childress_107-2">c</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFChildress2009" class="citation cs2">Childress, Nancy (2009), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=RYdy4PCJYosC&pg=PA8">Class Field Theory</a>, Universitext, Springer, New York, tr. 8–11, <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2F978-0-387-72490-4">10.1007/978-0-387-72490-4</a>, <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-387-72489-8" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-387-72489-8"><bdi>978-0-387-72489-8</bdi></a>, <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2462595">2462595</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Class+Field+Theory&rft.series=Universitext&rft.pages=8-11&rft.pub=Springer%2C+New+York&rft.date=2009&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D2462595%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2F978-0-387-72490-4&rft.isbn=978-0-387-72489-8&rft.aulast=Childress&rft.aufirst=Nancy&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DRYdy4PCJYosC%26pg%3DPA8&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988">. Xem thêm tr. 64. </li> <li id="cite_note-108"><a href="#cite_ref-108">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFEricksonVazzanaGarth2016" class="citation book cs1">Erickson, Marty; Vazzana, Anthony; Garth, David (2016). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=QpLwCgAAQBAJ&pg=PA200">Introduction to Number Theory</a>. Textbooks in Mathematics (ấn bản thứ 2). Boca Raton, FL: CRC Press. tr. 200. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-4987-1749-6" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-1-4987-1749-6"><bdi>978-1-4987-1749-6</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3468748">3468748</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+to+Number+Theory&rft.place=Boca+Raton%2C+FL&rft.series=Textbooks+in+Mathematics&rft.pages=200&rft.edition=2&rft.pub=CRC+Press&rft.date=2016&rft.isbn=978-1-4987-1749-6&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D3468748%23id-name%3DMR&rft.aulast=Erickson&rft.aufirst=Marty&rft.au=Vazzana%2C+Anthony&rft.au=Garth%2C+David&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DQpLwCgAAQBAJ%26pg%3DPA200&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-109"><a href="#cite_ref-109">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFWeil1995" class="citation book cs1">Weil, André (1995). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/basicnumbertheor00weil_866">Basic Number Theory</a>. Classics in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. tr. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/basicnumbertheor00weil_866/page/n56">43</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-3-540-58655-5" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-3-540-58655-5"><bdi>978-3-540-58655-5</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1344916">1344916</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Basic+Number+Theory&rft.place=Berlin&rft.series=Classics+in+Mathematics&rft.pages=43&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=1995&rft.isbn=978-3-540-58655-5&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D1344916%23id-name%3DMR&rft.aulast=Weil&rft.aufirst=Andr%C3%A9&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fbasicnumbertheor00weil_866&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> Chú ý rằng một số tác giả như <a href="#CITEREFChildress2009">Childress (2009)</a> sử dụng thuật ngữ "vị trí" để chỉ một lớp chuẩn tương đương. </li> <li id="cite_note-110"><a href="#cite_ref-110">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFKoch1997" class="citation book cs1">Koch, H. (1997). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=wt1sCQAAQBAJ&pg=PA136">Algebraic Number Theory</a>. Berlin: Springer-Verlag. tr. 136. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2F978-3-642-58095-6">10.1007/978-3-642-58095-6</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-3-540-63003-6" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-3-540-63003-6"><bdi>978-3-540-63003-6</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1474965">1474965</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebraic+Number+Theory&rft.place=Berlin&rft.pages=136&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=1997&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D1474965%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2F978-3-642-58095-6&rft.isbn=978-3-540-63003-6&rft.aulast=Koch&rft.aufirst=H.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3Dwt1sCQAAQBAJ%26pg%3DPA136&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-111"><a href="#cite_ref-111">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFLauritzen2003" class="citation book cs1">Lauritzen, Niels (2003). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=BdAbcje-TZUC&pg=PA127">Concrete Abstract Algebra: From numbers to Gröbner bases</a>. Cambridge: Cambridge University Press. tr. 127. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1017%2FCBO9780511804229">10.1017/CBO9780511804229</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-521-53410-9" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-521-53410-9"><bdi>978-0-521-53410-9</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2014325">2014325</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Concrete+Abstract+Algebra%3A+From+numbers+to+Gr%C3%B6bner+bases&rft.place=Cambridge&rft.pages=127&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.date=2003&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D2014325%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1017%2FCBO9780511804229&rft.isbn=978-0-521-53410-9&rft.aulast=Lauritzen&rft.aufirst=Niels&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DBdAbcje-TZUC%26pg%3DPA127&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-112"><a href="#cite_ref-112">^</a> <a href="#CITEREFLauritzen2003">Lauritzen 2003</a>, hệ quả 3.5.14, tr. 133; bổ đề 3.5.18, tr. 136 </li> <li id="cite_note-113"><a href="#cite_ref-113">^</a> <a href="#CITEREFKraftWashington2014">Kraft & Washington 2014</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA297">mục 12.1, "Sums of two squares", tr. 297–301</a> </li> <li id="cite_note-114"><a href="#cite_ref-114">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFEisenbud1995" class="citation book cs1"><a href="/wiki/David_Eisenbud" title="David Eisenbud">Eisenbud, David</a> (1995). Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 150. Berlin; New York: Springer-Verlag. Mục 3.3. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2F978-1-4612-5350-1">10.1007/978-1-4612-5350-1</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-387-94268-1" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-387-94268-1"><bdi>978-0-387-94268-1</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1322960">1322960</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Commutative+Algebra&rft.place=Berlin%3B+New+York&rft.series=Graduate+Texts+in+Mathematics&rft.pages=M%E1%BB%A5c+3.3&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=1995&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D1322960%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2F978-1-4612-5350-1&rft.isbn=978-0-387-94268-1&rft.aulast=Eisenbud&rft.aufirst=David&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-115"><a href="#cite_ref-115">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFShafarevich2013" class="citation book cs1">Shafarevich, Igor R. (2013). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=zDW8BAAAQBAJ&pg=PA5">“Definition of <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Spec} A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Spec</mi> <mo>⁡</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Spec} A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad53059b6a9d6c309ab164aa4eaed021844b5ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.78ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Spec} A}">”</a>. Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds (ấn bản thứ 3). Springer, Heidelberg. tr. 5. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2F978-3-642-38010-5">10.1007/978-3-642-38010-5</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-3-642-38009-9" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-3-642-38009-9"><bdi>978-3-642-38009-9</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3100288">3100288</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Definition+of+MATH+RENDER+ERROR&rft.btitle=Basic+Algebraic+Geometry+2%3A+Schemes+and+Complex+Manifolds&rft.pages=5&rft.edition=3&rft.pub=Springer%2C+Heidelberg&rft.date=2013&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D3100288%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2F978-3-642-38010-5&rft.isbn=978-3-642-38009-9&rft.aulast=Shafarevich&rft.aufirst=Igor+R.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DzDW8BAAAQBAJ%26pg%3DPA5&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-116"><a href="#cite_ref-116">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFNeukirch1999" class="citation book cs1">Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Nguyên tắc cơ bản của khoa học toán học]. 322. Berlin: Springer-Verlag. tr. 50. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2F978-3-662-03983-0">10.1007/978-3-662-03983-0</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-3-540-65399-8" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-3-540-65399-8"><bdi>978-3-540-65399-8</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1697859">1697859</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebraic+Number+Theory&rft.place=Berlin&rft.series=Grundlehren+der+Mathematischen+Wissenschaften+%5BNguy%C3%AAn+t%E1%BA%AFc+c%C6%A1+b%E1%BA%A3n+c%E1%BB%A7a+khoa+h%E1%BB%8Dc+to%C3%A1n+h%E1%BB%8Dc%5D&rft.pages=50&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=1999&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D1697859%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2F978-3-662-03983-0&rft.isbn=978-3-540-65399-8&rft.aulast=Neukirch&rft.aufirst=J%C3%BCrgen&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-117"><a href="#cite_ref-117">^</a> <a href="#CITEREFNeukirch1999">Neukirch 1999</a>, mục I.7, tr. 38 </li> <li id="cite_note-118"><a href="#cite_ref-118">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFStevenhagenLenstra1996" class="citation journal cs1">Stevenhagen, P.; Lenstra, H.W., Jr. (1996). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_spring-1996_18_2/page/26">“Chebotarëv and his density theorem”</a>. The Mathematical Intelligencer. 18 (2): 26–37. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2FBF03027290">10.1007/BF03027290</a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1395088">1395088</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=The+Mathematical+Intelligencer&rft.atitle=Chebotar%C3%ABv+and+his+density+theorem&rft.volume=18&rft.issue=2&rft.pages=26-37&rft.date=1996&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2FBF03027290&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D1395088%23id-name%3DMR&rft.aulast=Stevenhagen&rft.aufirst=P.&rft.au=Lenstra%2C+H.W.%2C+Jr.&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fsim_mathematical-intelligencer_spring-1996_18_2%2Fpage%2F26&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-119"><a href="#cite_ref-119">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFHall2018" class="citation book cs1">Hall, Marshall (2018). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=K8hEDwAAQBAJ">The Theory of Groups</a>. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-486-81690-6" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-486-81690-6"><bdi>978-0-486-81690-6</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Theory+of+Groups&rft.series=Dover+Books+on+Mathematics&rft.pub=Courier+Dover+Publications&rft.date=2018&rft.isbn=978-0-486-81690-6&rft.aulast=Hall&rft.aufirst=Marshall&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DK8hEDwAAQBAJ&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> Đối với định lý Sylow, xem tr. 43; với định lý Lagrange, xem tr. 12; với định lý Burnside, xem tr. 143. </li> <li id="cite_note-120"><a href="#cite_ref-120">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFBryantSangwin2008" class="citation book cs1">Bryant, John; Sangwin, Christopher J. (2008). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/howroundisyourci0000brya">How Round is Your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet</a>. Princeton University Press. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=iIN_2WjBH1cC&pg=PA178">tr. 178</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-691-13118-4" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-691-13118-4"><bdi>978-0-691-13118-4</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=How+Round+is+Your+Circle%3F%3A+Where+Engineering+and+Mathematics+Meet&rft.pages=tr.+178&rft.pub=Princeton+University+Press&rft.date=2008&rft.isbn=978-0-691-13118-4&rft.aulast=Bryant&rft.aufirst=John&rft.au=Sangwin%2C+Christopher+J.&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fhowroundisyourci0000brya&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-121"><a href="#cite_ref-121">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFHardy2012" class="citation book cs1"><a href="/wiki/G._H._Hardy" class="mw-redirect" title="G. H. Hardy">Hardy, Godfrey Harold</a> (2012) [1940]. A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. tr. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=EkY2im6xkVkC&pg=PA140">140</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-521-42706-7" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-521-42706-7"><bdi>978-0-521-42706-7</bdi></a>. <a href="/wiki/OCLC_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="OCLC (định danh)">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.worldcat.org/oclc/922010634">922010634</a>. <q>No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity, and it seems unlikely that anyone will do so for many years.</q></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+Mathematician%27s+Apology&rft.pages=140&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.date=2012&rft_id=info%3Aoclcnum%2F922010634&rft.isbn=978-0-521-42706-7&rft.aulast=Hardy&rft.aufirst=Godfrey+Harold&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-122"><a href="#cite_ref-122">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFGiblin1993" class="citation book cs1">Giblin, Peter (1993). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/primesprogrammin0000gibl">Primes and Programming</a>. Cambridge University Press. tr. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/primesprogrammin0000gibl/page/39">39</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-521-40988-9" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-521-40988-9"><bdi>978-0-521-40988-9</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Primes+and+Programming&rft.pages=39&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.date=1993&rft.isbn=978-0-521-40988-9&rft.aulast=Giblin&rft.aufirst=Peter&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fprimesprogrammin0000gibl&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-123"><a href="#cite_ref-123">^</a> <a href="#CITEREFGiblin1993">Giblin 1993</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/primesprogrammin0000gibl/page/54">tr. 54</a> </li> <li id="cite_note-:7-124">^ <a href="#cite_ref-:7_124-0">a</a> <a href="#cite_ref-:7_124-1">b</a> <a href="#CITEREFRiesel1994">Riesel 1994</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=ITvaBwAAQBAJ&pg=PA220">tr. 220</a> </li> <li id="cite_note-125"><a href="#cite_ref-125">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFBullynck2010" class="citation journal cs1">Bullynck, Maarten (2010). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://hal-univ-paris8.archives-ouvertes.fr/hal-01103903/">“A history of factor tables with notes on the birth of number theory 1657–1817”</a>. Revue d'Histoire des Mathématiques. 16 (2): 133–216.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Revue+d%27Histoire+des+Math%C3%A9matiques&rft.atitle=A+history+of+factor+tables+with+notes+on+the+birth+of+number+theory+1657%E2%80%931817&rft.volume=16&rft.issue=2&rft.pages=133-216&rft.date=2010&rft.aulast=Bullynck&rft.aufirst=Maarten&rft_id=https%3A%2F%2Fhal-univ-paris8.archives-ouvertes.fr%2Fhal-01103903%2F&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-126"><a href="#cite_ref-126">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFWagstaff2013" class="citation book cs1">Wagstaff, Samuel S. Jr. (2013). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=rowCAQAAQBAJ&pg=PA191">The Joy of Factoring</a>. Student mathematical library. 68. American Mathematical Society. tr. 191. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-4704-1048-3" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-1-4704-1048-3"><bdi>978-1-4704-1048-3</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Joy+of+Factoring&rft.series=Student+mathematical+library&rft.pages=191&rft.pub=American+Mathematical+Society&rft.date=2013&rft.isbn=978-1-4704-1048-3&rft.aulast=Wagstaff&rft.aufirst=Samuel+S.+Jr.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DrowCAQAAQBAJ%26pg%3DPA191&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-127"><a href="#cite_ref-127">^</a> <a href="#CITEREFCrandallPomerance2005">Crandall & Pomerance 2005</a>, tr. 121 </li> <li id="cite_note-128"><a href="#cite_ref-128">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFFarach-ColtonTsai2015" class="citation conference cs1">Farach-Colton, Martín; Tsai, Meng-Tsung (2015). “On the complexity of computing prime tables”. Trong Elbassioni, Khaled; Makino, Kazuhisa (biên tập). Algorithms and Computation: 26th International Symposium, ISAAC 2015, Nagoya, Japan, December 9-11, 2015, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science. 9472. Springer. tr. 677–688. <a href="/wiki/ArXiv" title="ArXiv">arXiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="//arxiv.org/abs/1504.05240">1504.05240</a>. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2F978-3-662-48971-0_57">10.1007/978-3-662-48971-0_57</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=conference&rft.atitle=On+the+complexity+of+computing+prime+tables&rft.btitle=Algorithms+and+Computation%3A+26th+International+Symposium%2C+ISAAC+2015%2C+Nagoya%2C+Japan%2C+December+9-11%2C+2015%2C+Proceedings&rft.series=Lecture+Notes+in+Computer+Science&rft.pages=677-688&rft.pub=Springer&rft.date=2015&rft_id=info%3Aarxiv%2F1504.05240&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2F978-3-662-48971-0_57&rft.aulast=Farach-Colton&rft.aufirst=Mart%C3%ADn&rft.au=Tsai%2C+Meng-Tsung&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-129"><a href="#cite_ref-129">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFGreaves2013" class="citation book cs1">Greaves, George (2013). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=G0TtCAAAQBAJ&pg=PA1">Sieves in Number Theory</a>. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). 43. Springer. tr. 1. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-3-662-04658-6" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-3-662-04658-6"><bdi>978-3-662-04658-6</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Sieves+in+Number+Theory&rft.series=Ergebnisse+der+Mathematik+und+ihrer+Grenzgebiete+%283.+Folge%29&rft.pages=1&rft.pub=Springer&rft.date=2013&rft.isbn=978-3-662-04658-6&rft.aulast=Greaves&rft.aufirst=George&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DG0TtCAAAQBAJ%26pg%3DPA1&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-hromkovic-130">^ <a href="#cite_ref-hromkovic_130-0">a</a> <a href="#cite_ref-hromkovic_130-1">b</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFHromkovič2001" class="citation book cs1">Hromkovič, Juraj (2001). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=nkeqCAAAQBAJ&pg=PA383">“5.5 Bibliographic Remarks”</a>. Algorithmics for Hard Problems. Texts in Theoretical Computer Science. An EATCS Series. Springer-Verlag, Berlin. tr. 383–385. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2F978-3-662-04616-6">10.1007/978-3-662-04616-6</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-3-540-66860-2" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-3-540-66860-2"><bdi>978-3-540-66860-2</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1843669">1843669</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=5.5+Bibliographic+Remarks&rft.btitle=Algorithmics+for+Hard+Problems&rft.series=Texts+in+Theoretical+Computer+Science.+An+EATCS+Series&rft.pages=383-385&rft.pub=Springer-Verlag%2C+Berlin&rft.date=2001&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D1843669%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2F978-3-662-04616-6&rft.isbn=978-3-540-66860-2&rft.aulast=Hromkovi%C4%8D&rft.aufirst=Juraj&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DnkeqCAAAQBAJ%26pg%3DPA383&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-koblitz-132">^ <a href="#cite_ref-koblitz_132-0">a</a> <a href="#cite_ref-koblitz_132-1">b</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFKoblitz1987" class="citation book cs1">Koblitz, Neal (1987). “Chapter V. Primality and Factoring”. A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics. 114. Springer-Verlag, New York. tr. 112–149. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2F978-1-4684-0310-7_5">10.1007/978-1-4684-0310-7_5</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-387-96576-5" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-387-96576-5"><bdi>978-0-387-96576-5</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0910297">0910297</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Chapter+V.+Primality+and+Factoring&rft.btitle=A+Course+in+Number+Theory+and+Cryptography&rft.series=Graduate+Texts+in+Mathematics&rft.pages=112-149&rft.pub=Springer-Verlag%2C+New+York&rft.date=1987&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D910297%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2F978-1-4684-0310-7_5&rft.isbn=978-0-387-96576-5&rft.aulast=Koblitz&rft.aufirst=Neal&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-133"><a href="#cite_ref-133">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFPieprzykHardjonoSeberry2013" class="citation book cs1">Pieprzyk, Josef; Hardjono, Thomas; Seberry, Jennifer (2013). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=BG2rCAAAQBAJ&pg=PA51">“2.3.9 Probabilistic Computations”</a>. Fundamentals of Computer Security. Springer. tr. 51–52. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-3-662-07324-7" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-3-662-07324-7"><bdi>978-3-662-07324-7</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=2.3.9+Probabilistic+Computations&rft.btitle=Fundamentals+of+Computer+Security&rft.pages=51-52&rft.pub=Springer&rft.date=2013&rft.isbn=978-3-662-07324-7&rft.aulast=Pieprzyk&rft.aufirst=Josef&rft.au=Hardjono%2C+Thomas&rft.au=Seberry%2C+Jennifer&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DBG2rCAAAQBAJ%26pg%3DPA51&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-tao-aks-134">^ <a href="#cite_ref-tao-aks_134-0">a</a> <a href="#cite_ref-tao-aks_134-1">b</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFTao2010" class="citation book cs1"><a href="/wiki/Terence_Tao" title="Terence Tao">Tao, Terence</a> (2010). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://terrytao.wordpress.com/2009/08/11/the-aks-primality-test/">“1.11 The AKS primality test”</a>. An epsilon of room, II: Pages from year three of a mathematical blog. Graduate Studies in Mathematics. 117. Providence, RI: American Mathematical Society. tr. 82–86. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1090%2Fgsm%2F117">10.1090/gsm/117</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-8218-5280-4" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-8218-5280-4"><bdi>978-0-8218-5280-4</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2780010">2780010</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=1.11+The+AKS+primality+test&rft.btitle=An+epsilon+of+room%2C+II%3A+Pages+from+year+three+of+a+mathematical+blog&rft.place=Providence%2C+RI&rft.series=Graduate+Studies+in+Mathematics&rft.pages=82-86&rft.pub=American+Mathematical+Society&rft.date=2010&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D2780010%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1090%2Fgsm%2F117&rft.isbn=978-0-8218-5280-4&rft.aulast=Tao&rft.aufirst=Terence&rft_id=https%3A%2F%2Fterrytao.wordpress.com%2F2009%2F08%2F11%2Fthe-aks-primality-test%2F&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-atkin-morain-135">^ <a href="#cite_ref-atkin-morain_135-0">a</a> <a href="#cite_ref-atkin-morain_135-1">b</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFAtkinMorain1993" class="citation journal cs1">Atkin, A. O. L.; Morain, F. (1993). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ams.org/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1199989-X/S0025-5718-1993-1199989-X.pdf">“Elliptic curves and primality proving”</a> (PDF). Mathematics of Computation. 61 (203): 29–68. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1090%2Fs0025-5718-1993-1199989-x">10.1090/s0025-5718-1993-1199989-x</a>. <a href="/wiki/JSTOR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="JSTOR (định danh)">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/2152935">2152935</a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1199989">1199989</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Mathematics+of+Computation&rft.atitle=Elliptic+curves+and+primality+proving&rft.volume=61&rft.issue=203&rft.pages=29-68&rft.date=1993&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D1199989%23id-name%3DMR&rft_id=%2F%2Fwww.jstor.org%2Fstable%2F2152935%23id-name%3DJSTOR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1090%2Fs0025-5718-1993-1199989-x&rft.aulast=Atkin&rft.aufirst=A.+O.+L.&rft.au=Morain%2C+F.&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.ams.org%2Fmcom%2F1993-61-203%2FS0025-5718-1993-1199989-X%2FS0025-5718-1993-1199989-X.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-morain-136">^ <a href="#cite_ref-morain_136-0">a</a> <a href="#cite_ref-morain_136-1">b</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFMorain2007" class="citation journal cs1">Morain, F. (2007). “Implementing the asymptotically fast version of the elliptic curve primality proving algorithm”. Mathematics of Computation. 76 (257): 493–505. <a href="/wiki/ArXiv" title="ArXiv">arXiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="//arxiv.org/abs/math/0502097">math/0502097</a>. <a href="/wiki/Bibcode_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="Bibcode (định danh)">Bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2007MaCom..76..493M">2007MaCom..76..493M</a>. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1090%2FS0025-5718-06-01890-4">10.1090/S0025-5718-06-01890-4</a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2261033">2261033</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Mathematics+of+Computation&rft.atitle=Implementing+the+asymptotically+fast+version+of+the+elliptic+curve+primality+proving+algorithm&rft.volume=76&rft.issue=257&rft.pages=493-505&rft.date=2007&rft_id=info%3Aarxiv%2Fmath%2F0502097&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D2261033%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1090%2FS0025-5718-06-01890-4&rft_id=info%3Abibcode%2F2007MaCom..76..493M&rft.aulast=Morain&rft.aufirst=F.&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-138"><a href="#cite_ref-138">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFLenstraPomerance2019" class="citation journal cs1">Lenstra, Jr., H.W.; Pomerance, Carl (2019). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://math.dartmouth.edu/~carlp/aksfinal.pdf">“Primality testing with Gaussian periods”</a> (PDF). Journal of the European Mathematical Society. 21 (4): 1229–1269. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.4171%2FJEMS%2F861">10.4171/JEMS/861</a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3941463">3941463</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Journal+of+the+European+Mathematical+Society&rft.atitle=Primality+testing+with+Gaussian+periods&rft.volume=21&rft.issue=4&rft.pages=1229-1269&rft.date=2019&rft_id=info%3Adoi%2F10.4171%2FJEMS%2F861&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D3941463%23id-name%3DMR&rft.aulast=Lenstra&rft.aufirst=Jr.%2C+H.W.&rft.au=Pomerance%2C+Carl&rft_id=https%3A%2F%2Fmath.dartmouth.edu%2F~carlp%2Faksfinal.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-PSW-139"><a href="#cite_ref-PSW_139-0">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFPomeranceSelfridgeWagstaff1980" class="citation journal cs1">Pomerance, Carl; Selfridge, John L.; Wagstaff, Samuel S. Jr. (tháng 7 năm 1980). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper25.pdf">“The pseudoprimes to 25·109”</a> (PDF). Mathematics of Computation. 35 (151): 1003–1026. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1090%2FS0025-5718-1980-0572872-7">10.1090/S0025-5718-1980-0572872-7</a>. <a href="/wiki/JSTOR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="JSTOR (định danh)">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/2006210">2006210</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Mathematics+of+Computation&rft.atitle=The+pseudoprimes+to+25%C2%B710%3Csup%3E9%3C%2Fsup%3E&rft.volume=35&rft.issue=151&rft.pages=1003-1026&rft.date=1980-07&rft_id=info%3Adoi%2F10.1090%2FS0025-5718-1980-0572872-7&rft_id=%2F%2Fwww.jstor.org%2Fstable%2F2006210%23id-name%3DJSTOR&rft.aulast=Pomerance&rft.aufirst=Carl&rft.au=Selfridge%2C+John+L.&rft.au=Wagstaff%2C+Samuel+S.+Jr.&rft_id=https%3A%2F%2Fmath.dartmouth.edu%2F~carlp%2FPDF%2Fpaper25.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-lpsp-140"><a href="#cite_ref-lpsp_140-0">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFBaillieWagstaff1980" class="citation journal cs1">Baillie, Robert; Wagstaff, Samuel S. Jr. (tháng 10 năm 1980). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mpqs.free.fr/LucasPseudoprimes.pdf">“Lucas Pseudoprimes”</a> (PDF). Mathematics of Computation. 35 (152): 1391–1417. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1090%2FS0025-5718-1980-0583518-6">10.1090/S0025-5718-1980-0583518-6</a>. <a href="/wiki/JSTOR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="JSTOR (định danh)">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/2006406">2006406</a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0583518">0583518</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Mathematics+of+Computation&rft.atitle=Lucas+Pseudoprimes&rft.volume=35&rft.issue=152&rft.pages=1391-1417&rft.date=1980-10&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D583518%23id-name%3DMR&rft_id=%2F%2Fwww.jstor.org%2Fstable%2F2006406%23id-name%3DJSTOR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1090%2FS0025-5718-1980-0583518-6&rft.aulast=Baillie&rft.aufirst=Robert&rft.au=Wagstaff%2C+Samuel+S.+Jr.&rft_id=http%3A%2F%2Fmpqs.free.fr%2FLucasPseudoprimes.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-monier-141">^ <a href="#cite_ref-monier_141-0">a</a> <a href="#cite_ref-monier_141-1">b</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFMonier1980" class="citation journal cs1">Monier, Louis (1980). “Evaluation and comparison of two efficient probabilistic primality testing algorithms”. Theoretical Computer Science. 12 (1): 97–108. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016%2F0304-3975%2880%2990007-9">10.1016/0304-3975(80)90007-9</a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0582244">0582244</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Theoretical+Computer+Science&rft.atitle=Evaluation+and+comparison+of+two+efficient+probabilistic+primality+testing+algorithms&rft.volume=12&rft.issue=1&rft.pages=97-108&rft.date=1980&rft_id=info%3Adoi%2F10.1016%2F0304-3975%2880%2990007-9&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D582244%23id-name%3DMR&rft.aulast=Monier&rft.aufirst=Louis&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-142"><a href="#cite_ref-142">^</a> <a href="#CITEREFTao2009">Tao 2009</a>, tr. 36–41 </li> <li id="cite_note-143"><a href="#cite_ref-143">^</a> <a href="#CITEREFKraftWashington2014">Kraft & Washington 2014</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA41">tr. 41</a> </li> <li id="cite_note-144"><a href="#cite_ref-144">^</a> Chẳng hạn xem <a href="#CITEREFGuy2013">Guy 2013</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=1BnoBwAAQBAJ&pg=PA13">A3 "Mersenne primes. Repunits. Fermat numbers. Primes of shape <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b4e701ab91db138d631d50abf2452c3991e3d31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.274ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}">", tr. 13–21</a>. </li> <li id="cite_note-145"><a href="#cite_ref-145">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20091017012456/https://www.eff.org/press/archives/2009/10/14-0">“Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize”</a>. Tổ chức Biên giới Điện tử. 14 tháng 10 năm 2009. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.eff.org/press/archives/2009/10/14-0">Bản gốc</a> lưu trữ ngày 17 tháng 10 năm 2009. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=Record+12-Million-Digit+Prime+Number+Nets+%24100%2C000+Prize&rft.pub=T%E1%BB%95+ch%E1%BB%A9c+Bi%C3%AAn+gi%E1%BB%9Bi+%C4%90i%E1%BB%87n+t%E1%BB%AD&rft.date=2009-10-14&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.eff.org%2Fpress%2Farchives%2F2009%2F10%2F14-0&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-146"><a href="#cite_ref-146">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20080313113923/https://www.eff.org/awards/coop">“EFF Cooperative Computing Awards”</a>. Tổ chức Biên giới Điện tử. 29 tháng 2 năm 2008. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.eff.org/awards/coop">Bản gốc</a> lưu trữ ngày 13 tháng 3 năm 2008. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=EFF+Cooperative+Computing+Awards&rft.pub=T%E1%BB%95+ch%E1%BB%A9c+Bi%C3%AAn+gi%E1%BB%9Bi+%C4%90i%E1%BB%87n+t%E1%BB%AD&rft.date=2008-02-29&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.eff.org%2Fawards%2Fcoop&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-GIMPS-2024-147"><a href="#cite_ref-GIMPS-2024_147-0">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20181221183807/https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841">“GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2136,279,841-1”</a>. Mersenne Research, Inc. 21 tháng 10 năm 2024. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841">Bản gốc</a> lưu trữ ngày 21 tháng 10 năm 2024. Truy cập ngày 21 tháng 10 năm 2024.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=Mersenne+Research%2C+Inc.&rft.atitle=GIMPS+Project+Discovers+Largest+Known+Prime+Number%3A+2%3Csup%3E136%2C279%2C841%3C%2Fsup%3E-1&rft.date=2024-10-21&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.mersenne.org%2Fprimes%2F%3Fpress%3DM136279841&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-148"><a href="#cite_ref-148">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20161112051125/https://www.primegrid.com/download/SOB-31172165.pdf">“PrimeGrid's Seventeen or Bust Subproject”</a> (PDF). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.primegrid.com/download/SOB-31172165.pdf">Bản gốc</a> (PDF) lưu trữ ngày 12 tháng 11 năm 2016. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=PrimeGrid%27s+Seventeen+or+Bust+Subproject&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.primegrid.com%2Fdownload%2FSOB-31172165.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-149"><a href="#cite_ref-149">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFCaldwell" class="citation web cs1">Caldwell, Chris K. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=30">“The Top Twenty: Factorial”</a>. The Prime Pages. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=The+Prime+Pages&rft.atitle=The+Top+Twenty%3A+Factorial&rft.aulast=Caldwell&rft.aufirst=Chris+K.&rft_id=http%3A%2F%2Fprimes.utm.edu%2Ftop20%2Fpage.php%3Fid%3D30&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-151"><a href="#cite_ref-151">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFCaldwell" class="citation web cs1">Caldwell, Chris K. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5">“The Top Twenty: Primorial”</a>. The Prime Pages. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=The+Prime+Pages&rft.atitle=The+Top+Twenty%3A+Primorial&rft.aulast=Caldwell&rft.aufirst=Chris+K.&rft_id=http%3A%2F%2Fprimes.utm.edu%2Ftop20%2Fpage.php%3Fid%3D5&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-152"><a href="#cite_ref-152">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFCaldwell" class="citation web cs1">Caldwell, Chris K. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1">“The Top Twenty: Twin Primes”</a>. The Prime Pages. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=The+Prime+Pages&rft.atitle=The+Top+Twenty%3A+Twin+Primes&rft.aulast=Caldwell&rft.aufirst=Chris+K.&rft_id=http%3A%2F%2Fprimes.utm.edu%2Ftop20%2Fpage.php%3Fid%3D1&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-153"><a href="#cite_ref-153">^</a> <a href="#CITEREFKraftWashington2014">Kraft & Washington 2014</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA275">tr. 275</a> </li> <li id="cite_note-154"><a href="#cite_ref-154">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFHoffsteinPipherSilverman2014" class="citation book cs1">Hoffstein, Jeffrey; Pipher, Jill; Silverman, Joseph H. (2014). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=cbl_BAAAQBAJ&pg=PA329">An Introduction to Mathematical Cryptography</a>. Undergraduate Texts in Mathematics (ấn bản thứ 2). Springer. tr. 329. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-4939-1711-2" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-1-4939-1711-2"><bdi>978-1-4939-1711-2</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=An+Introduction+to+Mathematical+Cryptography&rft.series=Undergraduate+Texts+in+Mathematics&rft.pages=329&rft.edition=2&rft.pub=Springer&rft.date=2014&rft.isbn=978-1-4939-1711-2&rft.aulast=Hoffstein&rft.aufirst=Jeffrey&rft.au=Pipher%2C+Jill&rft.au=Silverman%2C+Joseph+H.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3Dcbl_BAAAQBAJ%26pg%3DPA329&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-155"><a href="#cite_ref-155">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFPomerance1996" class="citation journal cs1">Pomerance, Carl (1996). “A tale of two sieves”. Notices of the American Mathematical Society. 43 (12): 1473–1485. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1416721">1416721</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Notices+of+the+American+Mathematical+Society&rft.atitle=A+tale+of+two+sieves&rft.volume=43&rft.issue=12&rft.pages=1473-1485&rft.date=1996&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D1416721%23id-name%3DMR&rft.aulast=Pomerance&rft.aufirst=Carl&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-156"><a href="#cite_ref-156">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFZimmermann2020" class="citation mailinglist cs1">Zimmermann, Paul (28 tháng 2 năm 2020). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20200228234716/https://lists.gforge.inria.fr/pipermail/cado-nfs-discuss/2020-February/001166.html">“Factorization of RSA-250”</a>. cado-nfs-discuss (Danh sách thư). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://lists.gforge.inria.fr/pipermail/cado-nfs-discuss/2020-February/001166.html">Bản gốc</a> lưu trữ ngày 28 tháng 2 năm 2020. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=unknown&rft.btitle=Factorization+of+RSA-250&rft.date=2020-02-28&rft.aulast=Zimmermann&rft.aufirst=Paul&rft_id=https%3A%2F%2Flists.gforge.inria.fr%2Fpipermail%2Fcado-nfs-discuss%2F2020-February%2F001166.html&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-157"><a href="#cite_ref-157">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFRieffelPolak2011" class="citation book cs1">Rieffel, Eleanor G.; Polak, Wolfgang H. (2011). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=iYX6AQAAQBAJ&pg=PA163">“Chapter 8. Shor's Algorithm”</a>. Quantum Computing: A Gentle Introduction. MIT Press. tr. 163–176. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-262-01506-6" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-262-01506-6"><bdi>978-0-262-01506-6</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Chapter+8.+Shor%27s+Algorithm&rft.btitle=Quantum+Computing%3A+A+Gentle+Introduction&rft.pages=163-176&rft.pub=MIT+Press&rft.date=2011&rft.isbn=978-0-262-01506-6&rft.aulast=Rieffel&rft.aufirst=Eleanor+G.&rft.au=Polak%2C+Wolfgang+H.&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DiYX6AQAAQBAJ%26pg%3DPA163&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-158"><a href="#cite_ref-158">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFMartín-LópezLaingLawsonAlvarez2012" class="citation journal cs1">Martín-López, Enrique; Laing, Anthony; Lawson, Thomas; Alvarez, Roberto; Zhou, Xiao-Qi; O'Brien, Jeremy L. (ngày 12 tháng 10 năm 2012). “Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using qubit recycling”. Nature Photonics. 6 (11): 773–776. <a href="/wiki/ArXiv" title="ArXiv">arXiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="//arxiv.org/abs/1111.4147">1111.4147</a>. <a href="/wiki/Bibcode_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="Bibcode (định danh)">Bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2012NaPho...6..773M">2012NaPho...6..773M</a>. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1038%2Fnphoton.2012.259">10.1038/nphoton.2012.259</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Nature+Photonics&rft.atitle=Experimental+realization+of+Shor%27s+quantum+factoring+algorithm+using+qubit+recycling&rft.volume=6&rft.issue=11&rft.pages=773-776&rft.date=2012-10-12&rft_id=info%3Aarxiv%2F1111.4147&rft_id=info%3Adoi%2F10.1038%2Fnphoton.2012.259&rft_id=info%3Abibcode%2F2012NaPho...6..773M&rft.aulast=Mart%C3%ADn-L%C3%B3pez&rft.aufirst=Enrique&rft.au=Laing%2C+Anthony&rft.au=Lawson%2C+Thomas&rft.au=Alvarez%2C+Roberto&rft.au=Zhou%2C+Xiao-Qi&rft.au=O%27Brien%2C+Jeremy+L.&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-159"><a href="#cite_ref-159">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFChirgwin2016" class="citation news cs1">Chirgwin, Richard (9 tháng 10 năm 2016). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.theregister.com/2016/10/09/crypto_needs_more_transparency_researchers_warn/">“Crypto needs more transparency, researchers warn”</a>. The Register. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20161011163742/https://www.theregister.co.uk/2016/10/09/crypto_needs_more_transparency_researchers_warn/">Lưu trữ</a> bản gốc ngày 11 tháng 10 năm 2016. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=The+Register&rft.atitle=Crypto+needs+more+transparency%2C+researchers+warn&rft.date=2016-10-09&rft.aulast=Chirgwin&rft.aufirst=Richard&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.theregister.com%2F2016%2F10%2F09%2Fcrypto_needs_more_transparency_researchers_warn%2F&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-160"><a href="#cite_ref-160">^</a> <a href="#CITEREFHoffsteinPipherSilverman2014">Hoffstein, Pipher & Silverman 2014</a>, mục 2.3, "Diffie–Hellman key exchange", tr. 65–67. </li> <li id="cite_note-161"><a href="#cite_ref-161">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFCormenLeisersonRivestStein2001" class="citation book cs1">Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001) [1990]. “11.3 Universal hashing”. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/introductiontoal00corm_691">Introduction to Algorithms</a> (ấn bản thứ 2). MIT Press và McGraw-Hill. tr. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/introductiontoal00corm_691/page/n254">232</a>–236. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-262-03293-7" title="Đặc biệt:Nguồn sách/0-262-03293-7"><bdi>0-262-03293-7</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=11.3+Universal+hashing&rft.btitle=Introduction+to+Algorithms&rft.pages=232-236&rft.edition=2&rft.pub=MIT+Press+v%C3%A0+McGraw-Hill&rft.date=2001&rft.isbn=0-262-03293-7&rft.aulast=Cormen&rft.aufirst=Thomas+H.&rft.au=Leiserson%2C+Charles+E.&rft.au=Rivest%2C+Ronald+L.&rft.au=Stein%2C+Clifford&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fintroductiontoal00corm_691&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> Đối với băm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}">-độc lập xem bài toán 11–4, tr. 251. Đối với phần ghi công Carter và Wegman xem chú thích chương, tr. 252. </li> <li id="cite_note-162"><a href="#cite_ref-162">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFGoodrichTamassia2006" class="citation book cs1">Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2006). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/datastructuresal0004edgood">Data Structures & Algorithms in Java</a> (ấn bản thứ 4). John Wiley & Sons. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-471-73884-8" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-471-73884-8"><bdi>978-0-471-73884-8</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Data+Structures+%26+Algorithms+in+Java&rft.edition=4&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons&rft.date=2006&rft.isbn=978-0-471-73884-8&rft.aulast=Goodrich&rft.aufirst=Michael+T.&rft.au=Tamassia%2C+Roberto&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fdatastructuresal0004edgood&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> Xem "Quadratic probing", tr. 382, và bài tập C–9.9, tr. 415. </li> <li id="cite_note-163"><a href="#cite_ref-163">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFKirtland2001" class="citation book cs1">Kirtland, Joseph (2001). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=Z8eka35WUb8C&pg=PA43">Identification Numbers and Check Digit Schemes</a>. Classroom Resource Materials. 18. Mathematical Association of America. tr. 43–44. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-88385-720-5" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-88385-720-5"><bdi>978-0-88385-720-5</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Identification+Numbers+and+Check+Digit+Schemes&rft.series=Classroom+Resource+Materials&rft.pages=43-44&rft.pub=Mathematical+Association+of+America&rft.date=2001&rft.isbn=978-0-88385-720-5&rft.aulast=Kirtland&rft.aufirst=Joseph&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DZ8eka35WUb8C%26pg%3DPA43&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-164"><a href="#cite_ref-164">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFDeutsch1996" class="citation book cs1">Deutsch, P. (1996). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.rfc-editor.org/rfc/rfc1950.txt">ZLIB Compressed Data Format Specification version 3.3</a>. <a href="/wiki/Request_for_Comments" class="mw-redirect" title="Request for Comments">Request for Comments</a>. 1950. Network Working Group.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=ZLIB+Compressed+Data+Format+Specification+version+3.3&rft.series=Request+for+Comments&rft.pub=Network+Working+Group&rft.date=1996&rft.aulast=Deutsch&rft.aufirst=P.&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.rfc-editor.org%2Frfc%2Frfc1950.txt&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-165"><a href="#cite_ref-165">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFKnuth1998" class="citation book cs1"><a href="/wiki/Donald_Knuth" title="Donald Knuth">Knuth, Donald E.</a> (1998). “3.2.1 The linear congruential model”. <a href="/wiki/The_Art_of_Computer_Programming" title="The Art of Computer Programming">The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical algorithms</a> (ấn bản thứ 3). Addison-Wesley. tr. 10–26. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-201-89684-8" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-201-89684-8"><bdi>978-0-201-89684-8</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=3.2.1+The+linear+congruential+model&rft.btitle=The+Art+of+Computer+Programming%2C+Vol.+2%3A+Seminumerical+algorithms&rft.pages=10-26&rft.edition=3&rft.pub=Addison-Wesley&rft.date=1998&rft.isbn=978-0-201-89684-8&rft.aulast=Knuth&rft.aufirst=Donald+E.&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-166"><a href="#cite_ref-166">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFMatsumotoNishimura1998" class="citation journal cs1">Matsumoto, Makoto; Nishimura, Takuji (1998). “Mersenne Twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudo-random number generator”. ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation. 8 (1): 3–30. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1145%2F272991.272995">10.1145/272991.272995</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=ACM+Transactions+on+Modeling+and+Computer+Simulation&rft.atitle=Mersenne+Twister%3A+A+623-dimensionally+equidistributed+uniform+pseudo-random+number+generator&rft.volume=8&rft.issue=1&rft.pages=3-30&rft.date=1998&rft_id=info%3Adoi%2F10.1145%2F272991.272995&rft.aulast=Matsumoto&rft.aufirst=Makoto&rft.au=Nishimura%2C+Takuji&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-167"><a href="#cite_ref-167">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFRoth1951" class="citation journal cs1">Roth, K.F. (1951). “On a problem of Heilbronn”. Journal of the London Mathematical Society. Second Series. 26 (3): 198–204. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1112%2Fjlms%2Fs1-26.3.198">10.1112/jlms/s1-26.3.198</a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0041889">0041889</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Journal+of+the+London+Mathematical+Society&rft.atitle=On+a+problem+of+Heilbronn&rft.volume=26&rft.issue=3&rft.pages=198-204&rft.date=1951&rft_id=info%3Adoi%2F10.1112%2Fjlms%2Fs1-26.3.198&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D0041889%23id-name%3DMR&rft.aulast=Roth&rft.aufirst=K.F.&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-168"><a href="#cite_ref-168">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFCox2011" class="citation journal cs1">Cox, David A. (2011). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20230326032030/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Cox-2012.pdf">“Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first”</a> (PDF). <a href="/wiki/American_Mathematical_Monthly" title="American Mathematical Monthly">American Mathematical Monthly</a>. 118 (1): 3–31. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.4169%2Famer.math.monthly.118.01.003">10.4169/amer.math.monthly.118.01.003</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Cox-2012.pdf">Bản gốc</a> (PDF) lưu trữ ngày 26 tháng 3 năm 2023. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=American+Mathematical+Monthly&rft.atitle=Why+Eisenstein+proved+the+Eisenstein+criterion+and+why+Sch%C3%B6nemann+discovered+it+first&rft.volume=118&rft.issue=1&rft.pages=3-31&rft.date=2011&rft_id=info%3Adoi%2F10.4169%2Famer.math.monthly.118.01.003&rft.aulast=Cox&rft.aufirst=David+A.&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.maa.org%2Fsites%2Fdefault%2Ffiles%2Fpdf%2Fupload_library%2F22%2FFord%2FCox-2012.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-169"><a href="#cite_ref-169">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFLang2002" class="citation book cs1">Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 211. Berlin; New York: <a href="/wiki/Springer-Verlag" class="mw-redirect" title="Springer-Verlag">Springer-Verlag</a>. tr. 90. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2F978-1-4613-0041-0">10.1007/978-1-4613-0041-0</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-387-95385-4" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-387-95385-4"><bdi>978-0-387-95385-4</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1878556">1878556</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebra&rft.place=Berlin%3B+New+York&rft.series=Graduate+Texts+in+Mathematics&rft.pages=90&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=2002&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D1878556%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2F978-1-4613-0041-0&rft.isbn=978-0-387-95385-4&rft.aulast=Lang&rft.aufirst=Serge&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-170"><a href="#cite_ref-170">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFSchubert1949" class="citation journal cs1">Schubert, Horst (1949). “Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten”. S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (3): 57–104. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0031733">0031733</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=S.-B+Heidelberger+Akad.+Wiss.+Math.-Nat.+Kl.&rft.atitle=Die+eindeutige+Zerlegbarkeit+eines+Knotens+in+Primknoten&rft.volume=1949&rft.issue=3&rft.pages=57-104&rft.date=1949&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D0031733%23id-name%3DMR&rft.aulast=Schubert&rft.aufirst=Horst&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-171"><a href="#cite_ref-171">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFMilnor1962" class="citation journal cs1"><a href="/wiki/John_Milnor" title="John Milnor">Milnor, J.</a> (1962). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1962-01_84_1/page/n8">“A unique decomposition theorem for 3-manifolds”</a>. American Journal of Mathematics. 84 (1): 1–7. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307%2F2372800">10.2307/2372800</a>. <a href="/wiki/JSTOR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="JSTOR (định danh)">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/2372800">2372800</a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0142125">0142125</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=American+Journal+of+Mathematics&rft.atitle=A+unique+decomposition+theorem+for+3-manifolds&rft.volume=84&rft.issue=1&rft.pages=1-7&rft.date=1962&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D0142125%23id-name%3DMR&rft_id=%2F%2Fwww.jstor.org%2Fstable%2F2372800%23id-name%3DJSTOR&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2372800&rft.aulast=Milnor&rft.aufirst=J.&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fsim_american-journal-of-mathematics_1962-01_84_1%2Fpage%2Fn8&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-kls-173"><a href="#cite_ref-kls_173-0">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFKřížekLucaSomer2001" class="citation book cs1">Křížek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (2001). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=hgfSBwAAQBAJ&pg=PA1">17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry</a>. CMS Books in Mathematics. 9. New York: Springer-Verlag. tr. 1–2. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2F978-0-387-21850-2">10.1007/978-0-387-21850-2</a>. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-387-95332-8" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-387-95332-8"><bdi>978-0-387-95332-8</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1866957">1866957</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=17+Lectures+on+Fermat+Numbers%3A+From+Number+Theory+to+Geometry&rft.place=New+York&rft.series=CMS+Books+in+Mathematics&rft.pages=1-2&rft.pub=Springer-Verlag&rft.date=2001&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D1866957%23id-name%3DMR&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2F978-0-387-21850-2&rft.isbn=978-0-387-95332-8&rft.aulast=K%C5%99%C3%AD%C5%BEek&rft.aufirst=Michal&rft.au=Luca%2C+Florian&rft.au=Somer%2C+Lawrence&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DhgfSBwAAQBAJ%26pg%3DPA1&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-:8-174">^ <a href="#cite_ref-:8_174-0">a</a> <a href="#cite_ref-:8_174-1">b</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFBoklanConway2017" class="citation journal cs1">Boklan, Kent D.; Conway, John H. (tháng 1 năm 2017). “Expect at most one billionth of a new Fermat prime!”. The Mathematical Intelligencer. 39 (1): 3–5. <a href="/wiki/ArXiv" title="ArXiv">arXiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="//arxiv.org/abs/1605.01371">1605.01371</a>. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2Fs00283-016-9644-3">10.1007/s00283-016-9644-3</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=The+Mathematical+Intelligencer&rft.atitle=Expect+at+most+one+billionth+of+a+new+Fermat+prime%21&rft.volume=39&rft.issue=1&rft.pages=3-5&rft.date=2017-01&rft_id=info%3Aarxiv%2F1605.01371&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2Fs00283-016-9644-3&rft.aulast=Boklan&rft.aufirst=Kent+D.&rft.au=Conway%2C+John+H.&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-175"><a href="#cite_ref-175">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFGleason1988" class="citation journal cs1">Gleason, Andrew M. (1988). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1988-03_95_3/page/185">“Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon”</a>. <a href="/wiki/American_Mathematical_Monthly" title="American Mathematical Monthly">American Mathematical Monthly</a>. 95 (3): 185–194. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2307%2F2323624">10.2307/2323624</a>. <a href="/wiki/JSTOR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="JSTOR (định danh)">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/2323624">2323624</a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0935432">0935432</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=American+Mathematical+Monthly&rft.atitle=Angle+trisection%2C+the+heptagon%2C+and+the+triskaidecagon&rft.volume=95&rft.issue=3&rft.pages=185-194&rft.date=1988&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D935432%23id-name%3DMR&rft_id=%2F%2Fwww.jstor.org%2Fstable%2F2323624%23id-name%3DJSTOR&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2323624&rft.aulast=Gleason&rft.aufirst=Andrew+M.&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fsim_american-mathematical-monthly_1988-03_95_3%2Fpage%2F185&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-176"><a href="#cite_ref-176">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFZiegler2015" class="citation journal cs1"><a href="/wiki/G%C3%BCnter_M._Ziegler" title="Günter M. Ziegler">Ziegler, Günter M.</a> (2015). “Cannons at sparrows”. European Mathematical Society Newsletter (95): 25–31. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3330472">3330472</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=European+Mathematical+Society+Newsletter&rft.atitle=Cannons+at+sparrows&rft.issue=95&rft.pages=25-31&rft.date=2015&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D3330472%23id-name%3DMR&rft.aulast=Ziegler&rft.aufirst=G%C3%BCnter+M.&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-177"><a href="#cite_ref-177">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFPeterson1999" class="citation web cs1">Peterson, Ivars (28 tháng 6 năm 1999). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/19991105061741/http://www.maa.org/mathland/mathtrek_6_28_99.html">“The Return of Zeta”</a>. MAA Online. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.maa.org/mathland/mathtrek_6_28_99.html">Bản gốc</a> lưu trữ ngày 5 tháng 11 năm 1999. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=MAA+Online&rft.atitle=The+Return+of+Zeta&rft.date=1999-06-28&rft.aulast=Peterson&rft.aufirst=Ivars&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.maa.org%2Fmathland%2Fmathtrek_6_28_99.html&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-178"><a href="#cite_ref-178">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFHayes2003" class="citation journal cs1">Hayes, Brian (2003). “Computing science: The spectrum of Riemannium”. American Scientist. 91 (4): 296–300. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1511%2F2003.26.3349">10.1511/2003.26.3349</a>. <a href="/wiki/JSTOR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="JSTOR (định danh)">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/27858239">27858239</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=American+Scientist&rft.atitle=Computing+science%3A+The+spectrum+of+Riemannium&rft.volume=91&rft.issue=4&rft.pages=296-300&rft.date=2003&rft_id=info%3Adoi%2F10.1511%2F2003.26.3349&rft_id=%2F%2Fwww.jstor.org%2Fstable%2F27858239%23id-name%3DJSTOR&rft.aulast=Hayes&rft.aufirst=Brian&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-179"><a href="#cite_ref-179">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFBengtssonŻyczkowski2017" class="citation book cs1">Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017). Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement (ấn bản thứ 2). Cambridge: <a href="/wiki/Cambridge_University_Press" class="mw-redirect" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>. tr. 313–354. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-107-02625-4" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-1-107-02625-4"><bdi>978-1-107-02625-4</bdi></a>. <a href="/wiki/OCLC_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="OCLC (định danh)">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.worldcat.org/oclc/967938939">967938939</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Geometry+of+Quantum+States%3A+An+Introduction+to+Quantum+Entanglement&rft.place=Cambridge&rft.pages=313-354&rft.edition=2&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.date=2017&rft_id=info%3Aoclcnum%2F967938939&rft.isbn=978-1-107-02625-4&rft.aulast=Bengtsson&rft.aufirst=Ingemar&rft.au=%C5%BByczkowski%2C+Karol&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-180"><a href="#cite_ref-180">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFZhu2010" class="citation journal cs1">Zhu, Huangjun (2010). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/pdf/1003.3591.pdf">“SIC POVMs and Clifford groups in prime dimensions”</a> (PDF). Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 43 (30): 305305. <a href="/wiki/ArXiv" title="ArXiv">arXiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="//arxiv.org/abs/1003.3591">1003.3591</a>. <a href="/wiki/Bibcode_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="Bibcode (định danh)">Bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2010JPhA...43D5305Z">2010JPhA...43D5305Z</a>. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1088%2F1751-8113%2F43%2F30%2F305305">10.1088/1751-8113/43/30/305305</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Journal+of+Physics+A%3A+Mathematical+and+Theoretical&rft.atitle=SIC+POVMs+and+Clifford+groups+in+prime+dimensions&rft.volume=43&rft.issue=30&rft.pages=305305&rft.date=2010&rft_id=info%3Aarxiv%2F1003.3591&rft_id=info%3Adoi%2F10.1088%2F1751-8113%2F43%2F30%2F305305&rft_id=info%3Abibcode%2F2010JPhA...43D5305Z&rft.aulast=Zhu&rft.aufirst=Huangjun&rft_id=https%3A%2F%2Farxiv.org%2Fpdf%2F1003.3591.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-181"><a href="#cite_ref-181">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFGolesSchulzMarkus2001" class="citation journal cs1">Goles, E.; Schulz, O.; Markus, M. (2001). “Prime number selection of cycles in a predator-prey model”. Complexity. 6 (4): 33–38. <a href="/wiki/Bibcode_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="Bibcode (định danh)">Bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2001Cmplx...6d..33G">2001Cmplx...6d..33G</a>. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1002%2Fcplx.1040">10.1002/cplx.1040</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Complexity&rft.atitle=Prime+number+selection+of+cycles+in+a+predator-prey+model&rft.volume=6&rft.issue=4&rft.pages=33-38&rft.date=2001&rft_id=info%3Adoi%2F10.1002%2Fcplx.1040&rft_id=info%3Abibcode%2F2001Cmplx...6d..33G&rft.aulast=Goles&rft.aufirst=E.&rft.au=Schulz%2C+O.&rft.au=Markus%2C+M.&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-182"><a href="#cite_ref-182">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFCamposde_OliveiraGiroGalvão2004" class="citation journal cs1">Campos, Paulo R.A.; de Oliveira, Viviane M.; Giro, Ronaldo; Galvão, Douglas S. (2004). “Emergence of prime numbers as the result of evolutionary strategy”. <a href="/wiki/Physical_Review_Letters" title="Physical Review Letters">Physical Review Letters</a>. 93 (9): 098107. <a href="/wiki/ArXiv" title="ArXiv">arXiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="//arxiv.org/abs/q-bio/0406017">q-bio/0406017</a>. <a href="/wiki/Bibcode_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="Bibcode (định danh)">Bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2004PhRvL..93i8107C">2004PhRvL..93i8107C</a>. <a href="/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_danh_%C4%91%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_s%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Định danh đối tượng số">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103%2FPhysRevLett.93.098107">10.1103/PhysRevLett.93.098107</a>. <a href="/wiki/PMID" class="mw-redirect" title="PMID">PMID</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/15447148">15447148</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=Physical+Review+Letters&rft.atitle=Emergence+of+prime+numbers+as+the+result+of+evolutionary+strategy&rft.volume=93&rft.issue=9&rft.pages=098107&rft.date=2004&rft_id=info%3Aarxiv%2Fq-bio%2F0406017&rft_id=info%3Apmid%2F15447148&rft_id=info%3Adoi%2F10.1103%2FPhysRevLett.93.098107&rft_id=info%3Abibcode%2F2004PhRvL..93i8107C&rft.aulast=Campos&rft.aufirst=Paulo+R.A.&rft.au=de+Oliveira%2C+Viviane+M.&rft.au=Giro%2C+Ronaldo&rft.au=Galv%C3%A3o%2C+Douglas+S.&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-183"><a href="#cite_ref-183">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite class="citation news cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20060515184334/http://economist.com/PrinterFriendly.cfm?Story_ID=2647052">“Invasion of the Brood”</a>. <a href="/wiki/The_Economist" title="The Economist">The Economist</a>. 6 tháng 5 năm 2004. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://economist.com/PrinterFriendly.cfm?Story_ID=2647052">Bản gốc</a> lưu trữ ngày 15 tháng 5 năm 2006. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=The+Economist&rft.atitle=Invasion+of+the+Brood&rft.date=2004-05-06&rft_id=http%3A%2F%2Feconomist.com%2FPrinterFriendly.cfm%3FStory_ID%3D2647052&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-184"><a href="#cite_ref-184">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFZimmer2015" class="citation journal cs1">Zimmer, Carl (15 tháng 5 năm 2015). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nationalgeographic.com/science/phenomena/2015/05/15/bamboo-mathematicians/">“Bamboo Mathematicians”</a>. Phenomena: The Loom. <a href="/wiki/National_Geographic" class="mw-redirect" title="National Geographic">National Geographic</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20150517210059/http://phenomena.nationalgeographic.com/2015/05/15/bamboo-mathematicians/">Lưu trữ</a> bản gốc ngày 17 tháng 5 năm 2015. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=National+Geographic&rft.atitle=Bamboo+Mathematicians&rft.date=2015-05-15&rft.aulast=Zimmer&rft.aufirst=Carl&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.nationalgeographic.com%2Fscience%2Fphenomena%2F2015%2F05%2F15%2Fbamboo-mathematicians%2F&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-185"><a href="#cite_ref-185">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFHill1995" class="citation book cs1">Hill, Peter Jensen biên tập (1995). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=7ag3ymWqvfgC&pg=PT225">The Messiaen companion</a>. Portland, OR: Amadeus Press. Ex. 13.2 Messe de la Pentecôte 1 'Entrée'. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-931340-95-6" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-931340-95-6"><bdi>978-0-931340-95-6</bdi></a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Messiaen+companion&rft.place=Portland%2C+OR&rft.pages=Ex.+13.2+%27%27Messe+de+la+Pentec%C3%B4te%27%27+1+%27Entr%C3%A9e%27&rft.pub=Amadeus+Press&rft.date=1995&rft.isbn=978-0-931340-95-6&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3D7ag3ymWqvfgC%26pg%3DPT225&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-186"><a href="#cite_ref-186">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFPomerance2004" class="citation book cs1">Pomerance, Carl (2004). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/extraterrestrial.pdf">“Prime Numbers and the Search for Extraterrestrial Intelligence”</a> (PDF). Trong Hayes, David F.; Ross, Peter (biên tập). Mathematical Adventures for Students and Amateurs. MAA Spectrum. Washington, DC: Mathematical Association of America. tr. 3–6. <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-88385-548-5" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-0-88385-548-5"><bdi>978-0-88385-548-5</bdi></a>. <a href="/wiki/MR_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_danh)" class="mw-redirect" title="MR (định danh)">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2085842">2085842</a>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Prime+Numbers+and+the+Search+for+Extraterrestrial+Intelligence&rft.btitle=Mathematical+Adventures+for+Students+and+Amateurs&rft.place=Washington%2C+DC&rft.series=MAA+Spectrum&rft.pages=3-6&rft.pub=Mathematical+Association+of+America&rft.date=2004&rft.isbn=978-0-88385-548-5&rft_id=%2F%2Fwww.ams.org%2Fmathscinet-getitem%3Fmr%3D2085842%23id-name%3DMR&rft.aulast=Pomerance&rft.aufirst=Carl&rft_id=https%3A%2F%2Fmath.dartmouth.edu%2F~carlp%2FPDF%2Fextraterrestrial.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-187"><a href="#cite_ref-187">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFGrrlScientist2010" class="citation news cs1">GrrlScientist (16 tháng 9 năm 2010). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.theguardian.com/science/punctuated-equilibrium/2010/sep/16/curious-incident-dog-night-time">“The Curious Incident of the Dog in the Night-Time”</a>. Science. <a href="/wiki/The_Guardian" title="The Guardian">The Guardian</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20100922003733/https://guardian.co.uk/science/punctuated-equilibrium/2010/sep/16/curious-incident-dog-night-time">Lưu trữ</a> bản gốc ngày 22 tháng 9 năm 2010. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=The+Guardian&rft.atitle=The+Curious+Incident+of+the+Dog+in+the+Night-Time&rft.date=2010-09-16&rft.au=GrrlScientist&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.theguardian.com%2Fscience%2Fpunctuated-equilibrium%2F2010%2Fsep%2F16%2Fcurious-incident-dog-night-time&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> <li id="cite_note-188"><a href="#cite_ref-188">^</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFSchillinger2010" class="citation news cs1">Schillinger, Liesl (9 tháng 4 năm 2010). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20100412160158/https://www.nytimes.com/2010/04/11/books/review/Schillinger-t.html">“Counting on Each Other”</a>. Sunday Book Review. <a href="/wiki/The_New_York_Times" title="The New York Times">The New York Times</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nytimes.com/2010/04/11/books/review/Schillinger-t.html">Bản gốc</a> lưu trữ ngày 12 tháng 4 năm 2010. Truy cập ngày 6 tháng 11 năm 2022.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.jtitle=The+New+York+Times&rft.atitle=Counting+on+Each+Other&rft.date=2010-04-09&rft.aulast=Schillinger&rft.aufirst=Liesl&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.nytimes.com%2F2010%2F04%2F11%2Fbooks%2Freview%2FSchillinger-t.html&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Liên_kết_ngoài">Liên kết ngoài</h2>[<a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&veaction=edit&section=36" title="Sửa đổi phần “Liên kết ngoài”" class="mw-editsection-visualeditor">sửa</a> | <a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&section=36" title="Sửa mã nguồn tại đề mục: Liên kết ngoài">sửa mã nguồn</a>]</div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r71936381">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:var(--background-color-interactive-subtle,#f8f9fa);display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1;min-width:0}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}</style><div class="side-box side-box-right plainlinks sistersitebox"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r70981351">.mw-parser-output .plainlist ol,.mw-parser-output .plainlist ul{line-height:inherit;list-style:none;margin:0;padding:0}.mw-parser-output .plainlist ol li,.mw-parser-output .plainlist ul li{margin-bottom:0}</style> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="30" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/45px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/59px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></div> <div class="side-box-text plainlist">Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về <a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Prime_numbers?uselang=vi">Số nguyên tố</a>.</div></div> </div> <ul><li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67233549"><cite id="CITEREFHazewinkel2001" class="citation cs2">Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Prime_number">“Prime number”</a>, <a href="/wiki/B%C3%A1ch_khoa_to%C3%A0n_th%C6%B0_To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc" title="Bách khoa toàn thư Toán học">Bách khoa toàn thư Toán học</a>, <a href="/wiki/Springer_Science%2BBusiness_Media" title="Springer Science+Business Media">Springer</a>, <a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-55608-010-4" title="Đặc biệt:Nguồn sách/978-1-55608-010-4"><bdi>978-1-55608-010-4</bdi></a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Prime+number&rft.btitle=B%C3%A1ch+khoa+to%C3%A0n+th%C6%B0+To%C3%A1n+h%E1%BB%8Dc&rft.pub=Springer&rft.date=2001&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.encyclopediaofmath.org%2Findex.php%3Ftitle%3DPrime_number&rfr_id=info%3Asid%2Fvi.wikipedia.org%3AS%E1%BB%91+nguy%C3%AAn+t%E1%BB%91" class="Z3988"></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.britannica.com/EBchecked/topic/476309">Prime (number)</a> tại <a href="/wiki/Encyclop%C3%A6dia_Britannica" title="Encyclopædia Britannica">Encyclopædia Britannica</a> (tiếng Anh)</li> <li class="mw-empty-elt"></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.bbc.co.uk/programmes/p003hyf5">Prime Numbers</a> trên chương trình <a href="/w/index.php?title=In_Our_Time_(BBC_Radio_4)&action=edit&redlink=1" class="new" title="In Our Time (BBC Radio 4) (trang không tồn tại)">In Our Time</a> của <a href="/wiki/BBC" title="BBC">BBC</a>.</li> <li>Caldwell, Chris, The Prime Pages tại <a rel="nofollow" class="external text" href="http://primes.utm.edu/">primes.utm.edu</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://bachkhoatoanthu.vass.gov.vn/noidung/tudien/Lists/GiaiNghia/View_Detail.aspx?ItemID=28067">Bảng số nguyên tố</a> tại <a href="/wiki/T%E1%BB%AB_%C4%91i%E1%BB%83n_b%C3%A1ch_khoa_Vi%E1%BB%87t_Nam" title="Từ điển bách khoa Việt Nam">Từ điển bách khoa Việt Nam</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.primos.mat.br/indexen.html">Các số nguyên tố đến 1 nghìn tỷ</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20210227001026/http://www.primos.mat.br/indexen.html">Lưu trữ</a> 2021-02-27 tại <a href="/wiki/Wayback_Machine" title="Wayback Machine">Wayback Machine</a></li></ul> <div class="navbox-styles"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r70958518">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r71573313">.mw-parser-output .navbox{box-sizing:border-box;border:1px solid #a2a9b1;width:100%;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px;margin:1em auto 0}.mw-parser-output .navbox .navbox{margin-top:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox,.mw-parser-output .navbox+.navbox-styles+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-inner,.mw-parser-output .navbox-subgroup{width:100%}.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow{padding:0.25em 1em;line-height:1.5em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output .navbox-subgroup{background-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list{line-height:1.5em;border-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list-with-group{text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid}.mw-parser-output tr+tr>.navbox-abovebelow,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-group,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-image,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-list{border-top:2px solid #fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-title{background-color:#ccf}.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-title{background-color:#ddf}.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-abovebelow{background-color:#e6e6ff}.mw-parser-output .navbox-even{background-color:#f7f7f7}.mw-parser-output .navbox-odd{background-color:transparent}.mw-parser-output .navbox .hlist td dl,.mw-parser-output .navbox .hlist td ol,.mw-parser-output .navbox .hlist td ul,.mw-parser-output .navbox td.hlist dl,.mw-parser-output .navbox td.hlist ol,.mw-parser-output .navbox td.hlist ul{padding:0.125em 0}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}body.skin--responsive .mw-parser-output .navbox-image img{max-width:none!important}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .navbox{display:none!important}}</style></div><div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Phân_loại_các_số_nguyên_tố" style="padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-xem"><a href="/wiki/B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:Ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_c%C3%A1c_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Bản mẫu:Phân loại các số nguyên tố"><abbr title="Xem bản mẫu này">x</abbr></a></li><li class="nv-thảo luận"><a href="/w/index.php?title=Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn_B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:Ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_c%C3%A1c_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thảo luận Bản mẫu:Phân loại các số nguyên tố (trang không tồn tại)"><abbr title="Thảo luận bản mẫu này">t</abbr></a></li><li class="nv-sửa"><a class="external text" href="https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:Ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_c%C3%A1c_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit"><abbr title="Sửa bản mẫu này">s</abbr></a></li></ul></div><div id="Phân_loại_các_số_nguyên_tố" style="font-size:114%;margin:0 4em">Phân loại các <a class="mw-selflink selflink">số nguyên tố</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Theo công thức</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_Fermat" title="Số Fermat">Fermat</a> (22n + 1)</li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Mersenne" title="Số nguyên tố Mersenne">Mersenne</a> (2p − 1)</li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Mersenne_k%C3%A9p" title="Số nguyên tố Mersenne kép">Mersenne kép</a> (22p−1 − 1)</li> <li><a href="/w/index.php?title=Wagstaff_prime&action=edit&redlink=1" class="new" title="Wagstaff prime (trang không tồn tại)">Wagstaff</a> (2p + 1)/3</li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_Proth" class="mw-redirect" title="Số Proth">Proth</a> (k·2n + 1)</li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_giai_th%E1%BB%ABa" title="Số nguyên tố giai thừa">Giai thừa</a> (n! ± 1)</li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Primorial_prime&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố Primorial prime (trang không tồn tại)">Primorial</a> (pn# ± 1)</li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_Euclid&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số Euclid (trang không tồn tại)">Euclid</a> (pn# + 1)</li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Pytago&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố Pytago (trang không tồn tại)">Pythagorean</a> (4n + 1)</li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Pierpont&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố Pierpont (trang không tồn tại)">Pierpont</a> (2u·3v + 1)</li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Quartan&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố Quartan (trang không tồn tại)">Quartan</a> (x4 + y4)</li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Solinas&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố Solinas (trang không tồn tại)">Solinas</a> (2a ± 2b ± 1)</li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_Cullen" title="Số Cullen">Cullen</a> (n·2n + 1)</li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_Woodall" title="Số Woodall">Woodall</a> (n·2n − 1)</li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Cuban&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố Cuban (trang không tồn tại)">Cuban</a> (x3 − y3)/(x − y)</li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_Carol&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số Carol (trang không tồn tại)">Carol</a> (2n − 1)2 − 2</li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_Kynea&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số Kynea (trang không tồn tại)">Kynea</a> (2n + 1)2 − 2</li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_Leyland" title="Số Leyland">Leyland</a> (xy + yx)</li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_Thabit&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số Thabit (trang không tồn tại)">Thabit</a> (3·2n − 1)</li> <li><a href="/w/index.php?title=H%E1%BA%B1ng_s%E1%BB%91_Mills&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hằng số Mills (trang không tồn tại)">Mills</a> (⌊A3n⌋)</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/w/index.php?title=Integer_sequence_prime&action=edit&redlink=1" class="new" title="Integer sequence prime (trang không tồn tại)">Theo dãy số nguyên</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Fibonacci" title="Số nguyên tố Fibonacci">Fibonacci</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_Lucas" title="Số Lucas">Lucas</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_Pell&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số Pell (trang không tồn tại)">Pell</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Newman%E2%80%93Shanks%E2%80%93Williams_prime&action=edit&redlink=1" class="new" title="Newman–Shanks–Williams prime (trang không tồn tại)">Newman–Shanks–Williams</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_Perrin&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số Perrin (trang không tồn tại)">Perrin</a></li> <li><a href="/wiki/Ph%C3%A2n_ho%E1%BA%A1ch_(l%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91)" title="Phân hoạch (lý thuyết số)">Phân hoạch</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_Bell" title="Số Bell">Bell</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%C3%B4_Motzkin&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sô Motzkin (trang không tồn tại)">Motzkin</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Theo tính chất</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li>(<a href="/w/index.php?title=Wieferich_pair&action=edit&redlink=1" class="new" title="Wieferich pair (trang không tồn tại)">Cặp</a> <a href="/w/index.php?title=Wieferich_prime&action=edit&redlink=1" class="new" title="Wieferich prime (trang không tồn tại)">Wieferich</a>)</li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Wall%E2%80%93Sun%E2%80%93Sun&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố Wall–Sun–Sun (trang không tồn tại)">Wall–Sun–Sun</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Wolstenholme" title="Số nguyên tố Wolstenholme">Wolstenholme</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Wilson&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố Wilson (trang không tồn tại)">Wilson</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_may_r%E1%BB%A7i&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số may rủi (trang không tồn tại)">May rủi</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_may_m%E1%BA%AFn" title="Số may mắn">May mắn</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Ramanujan" title="Số nguyên tố Ramanujan">Ramanujan</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Pillai&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố Pillai (trang không tồn tại)">Pillai</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_ch%C3%ADnh_quy" title="Số nguyên tố chính quy">Chính quy</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_m%E1%BA%A1nh" title="Số nguyên tố mạnh">Mạnh</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Stern&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố Stern (trang không tồn tại)">Stern</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Supersingular_prime_(for_an_elliptic_curve)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Supersingular prime (for an elliptic curve) (trang không tồn tại)">Siêu trội (đối với đường cong elliptic)</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Supersingular_prime_(moonshine_theory)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Supersingular prime (moonshine theory) (trang không tồn tại)">Siêu trội (trong thuyết Ánh trăng)</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_t%E1%BB%91t" title="Số nguyên tố tốt">Tốt</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_si%C3%AAu_ph%C3%A0m&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố siêu phàm (trang không tồn tại)">Siêu phàm</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Higgs&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố Higgs (trang không tồn tại)">Higgs</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_Fortune" title="Số Fortune">Fortune</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Phụ thuộc vào hệ số</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_may_m%E1%BA%AFn" title="Số may mắn">May mắn</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_nh%E1%BB%8B_di%E1%BB%87n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố nhị diện (trang không tồn tại)">Nhị diện</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Palindrome" title="Số nguyên tố Palindrome">Palindromic</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Emirp&action=edit&redlink=1" class="new" title="Emirp (trang không tồn tại)">Emirp</a></li> <li><a href="/wiki/Repunit" title="Repunit">Repunit</a> (10n − 1)/9</li> <li><a href="/w/index.php?title=Permutable_prime&action=edit&redlink=1" class="new" title="Permutable prime (trang không tồn tại)">Hoán vị</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Circular_prime&action=edit&redlink=1" class="new" title="Circular prime (trang không tồn tại)">Vòng</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_r%C3%BAt_ng%E1%BA%AFn_%C4%91%C6%B0%E1%BB%A3c&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố rút ngắn được (trang không tồn tại)">Rút ngắn được</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Strobogrammatic_prime&action=edit&redlink=1" class="new" title="Strobogrammatic prime (trang không tồn tại)">Strobogrammatic</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Minimal_prime_(recreational_mathematics)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Minimal prime (recreational mathematics) (trang không tồn tại)">Tối thiểu</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_y%E1%BA%BFu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố yếu (trang không tồn tại)">Yếu</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nuy%C3%AAn_t%E1%BB%91_%C4%91%E1%BA%A7y_%C4%91%E1%BB%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nuyên tố đầy đủ (trang không tồn tại)">Đầy đủ</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_%C4%91%C6%A1n_nh%E1%BA%A5t&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố đơn nhất (trang không tồn tại)">Đơn nhất</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_th%E1%BB%A7y&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên thủy (trang không tồn tại)">Nguyên thủy</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_Smarandache%E2%80%93Wellin&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số Smarandache–Wellin (trang không tồn tại)">Smarandache–Wellin</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Theo mô hình</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_sinh_%C4%91%C3%B4i" title="Số nguyên tố sinh đôi">Sinh đôi</a> (p, p + 2)</li> <li><a href="/w/index.php?title=Bi-twin_chain&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bi-twin chain (trang không tồn tại)">Chuỗi bộ đôi</a> (n − 1, n + 1, 2n − 1, 2n + 1, …)</li> <li><a href="/w/index.php?title=Prime_triplet&action=edit&redlink=1" class="new" title="Prime triplet (trang không tồn tại)">Bộ tam</a> (p, p + 2 or p + 4, p + 6)</li> <li><a href="/w/index.php?title=Prime_quadruplet&action=edit&redlink=1" class="new" title="Prime quadruplet (trang không tồn tại)">Bộ tứ</a> (p, p + 2, p + 6, p + 8)</li> <li><a href="/w/index.php?title=Prime_k-tuple&action=edit&redlink=1" class="new" title="Prime k-tuple (trang không tồn tại)">Bộ k</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_h%E1%BB%8D_h%C3%A0ng" title="Số nguyên tố họ hàng">Họ hàng</a> (p, p + 4)</li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_sexy" title="Số nguyên tố sexy">Sexy</a> (p, p + 6)</li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Chen" title="Số nguyên tố Chen">Chen</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_Sophie_Germain" title="Số nguyên tố Sophie Germain">Sophie Germain</a> (p, 2p + 1)</li> <li><a href="/w/index.php?title=Cunningham_chain&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cunningham chain (trang không tồn tại)">chuỗi Cunningham</a> (p, 2p ± 1, …)</li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_an_to%C3%A0n" title="Số nguyên tố an toàn">An toàn</a> (p, (p − 1)/2)</li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_trong_c%E1%BA%A5p_s%E1%BB%91_c%E1%BB%99ng&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố trong cấp số cộng (trang không tồn tại)">Trong cấp số cộng</a> (p + a·n, n = 0, 1, …)</li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_%C4%91%E1%BB%91i_x%E1%BB%A9ng" title="Số nguyên tố đối xứng">Đối xứng</a> (consecutive p − n, p, p + n)</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Theo kích thước</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Titanic_prime&action=edit&redlink=1" class="new" title="Titanic prime (trang không tồn tại)">Hàng nghìn</a> (1,000+ chữ số)</li> <li><a href="/w/index.php?title=Gigantic_prime&action=edit&redlink=1" class="new" title="Gigantic prime (trang không tồn tại)">Hàng chục nghìn</a> (10,000+ chữ số)</li> <li><a href="/w/index.php?title=Megaprime&action=edit&redlink=1" class="new" title="Megaprime (trang không tồn tại)">Hàng triệu</a> (1,000,000+ chữ số)</li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_l%E1%BB%9Bn_nh%E1%BA%A5t_%C4%91%C3%A3_bi%E1%BA%BFt&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố lớn nhất đã biết (trang không tồn tại)">Lớn nhất từng biết</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/S%E1%BB%91_ph%E1%BB%A9c" title="Số phức">Số phức</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Eisenstein_prime&action=edit&redlink=1" class="new" title="Eisenstein prime (trang không tồn tại)">Số nguyên tố Eisenstein</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_Gauss" title="Số nguyên Gauss">Số nguyên tố Gauss</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/H%E1%BB%A3p_s%E1%BB%91" title="Hợp số">Hợp số</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_gi%E1%BA%A3_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Số giả nguyên tố">Số giả nguyên tố</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_g%E1%BA%A7n_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Số gần nguyên tố">Số gần nguyên tố</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_n%E1%BB%ADa_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Số nửa nguyên tố">Số nửa nguyên tố</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Interprime&action=edit&redlink=1" class="new" title="Interprime (trang không tồn tại)">Giữa các nguyên tố</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Chủ đề liên quan</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_c%C3%B3_th%E1%BB%83_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số có thể nguyên tố (trang không tồn tại)">Số có thể nguyên tố</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Industrial-grade_prime&action=edit&redlink=1" class="new" title="Industrial-grade prime (trang không tồn tại)">Số nguyên tố cấp công nghiệp</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_b%E1%BA%A5t_ch%C3%ADnh&action=edit&redlink=1" class="new" title="Số nguyên tố bất chính (trang không tồn tại)">Số nguyên tố bất chính</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=C%C3%B4ng_th%E1%BB%A9c_c%E1%BB%A7a_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Công thức của số nguyên tố (trang không tồn tại)">Công thức của số nguyên tố</a></li> <li><a href="/wiki/Kho%E1%BA%A3ng_c%C3%A1ch_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" class="mw-redirect" title="Khoảng cách nguyên tố">Khoảng cách nguyên tố</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">50 số nguyên tố đầu</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/2_(s%E1%BB%91)" title="2 (số)">2</a></li> <li><a href="/wiki/3_(s%E1%BB%91)" title="3 (số)">3</a></li> <li><a href="/wiki/5_(s%E1%BB%91)" title="5 (số)">5</a></li> <li><a href="/wiki/7_(s%E1%BB%91)" title="7 (số)">7</a></li> <li><a href="/wiki/11_(s%E1%BB%91)" title="11 (số)">11</a></li> <li><a href="/wiki/13_(s%E1%BB%91)" title="13 (số)">13</a></li> <li><a href="/wiki/17_(s%E1%BB%91)" title="17 (số)">17</a></li> <li><a href="/wiki/19_(s%E1%BB%91)" title="19 (số)">19</a></li> <li><a href="/wiki/23_(s%E1%BB%91)" title="23 (số)">23</a></li> <li><a href="/wiki/29_(s%E1%BB%91)" title="29 (số)">29</a></li> <li><a href="/wiki/31_(s%E1%BB%91)" title="31 (số)">31</a></li> <li><a href="/wiki/37_(s%E1%BB%91)" title="37 (số)">37</a></li> <li><a href="/wiki/41_(s%E1%BB%91)" title="41 (số)">41</a></li> <li><a href="/wiki/43_(s%E1%BB%91)" title="43 (số)">43</a></li> <li><a href="/wiki/47_(s%E1%BB%91)" title="47 (số)">47</a></li> <li><a href="/wiki/53_(s%E1%BB%91)" title="53 (số)">53</a></li> <li><a href="/wiki/59_(s%E1%BB%91)" title="59 (số)">59</a></li> <li><a href="/wiki/61_(s%E1%BB%91)" title="61 (số)">61</a></li> <li><a href="/wiki/67_(s%E1%BB%91)" title="67 (số)">67</a></li> <li><a href="/wiki/71_(s%E1%BB%91)" title="71 (số)">71</a></li> <li><a href="/wiki/73_(s%E1%BB%91)" title="73 (số)">73</a></li> <li><a href="/wiki/79_(s%E1%BB%91)" title="79 (số)">79</a></li> <li><a href="/wiki/83_(s%E1%BB%91)" title="83 (số)">83</a></li> <li><a href="/wiki/89_(s%E1%BB%91)" title="89 (số)">89</a></li> <li><a href="/wiki/97_(s%E1%BB%91)" title="97 (số)">97</a></li> <li><a href="/wiki/101_(s%E1%BB%91)" title="101 (số)">101</a></li> <li><a href="/wiki/103_(s%E1%BB%91)" title="103 (số)">103</a></li> <li><a href="/wiki/107_(s%E1%BB%91)" title="107 (số)">107</a></li> <li><a href="/wiki/109_(s%E1%BB%91)" title="109 (số)">109</a></li> <li><a href="/wiki/113_(s%E1%BB%91)" title="113 (số)">113</a></li> <li><a href="/wiki/127_(s%E1%BB%91)" title="127 (số)">127</a></li> <li><a href="/wiki/131_(s%E1%BB%91)" title="131 (số)">131</a></li> <li><a href="/wiki/137_(s%E1%BB%91)" title="137 (số)">137</a></li> <li><a href="/wiki/139_(s%E1%BB%91)" title="139 (số)">139</a></li> <li><a href="/wiki/149_(s%E1%BB%91)" title="149 (số)">149</a></li> <li><a href="/wiki/151_(s%E1%BB%91)" title="151 (số)">151</a></li> <li><a href="/wiki/157_(s%E1%BB%91)" title="157 (số)">157</a></li> <li><a href="/wiki/163_(s%E1%BB%91)" title="163 (số)">163</a></li> <li><a href="/wiki/167_(s%E1%BB%91)" title="167 (số)">167</a></li> <li><a href="/wiki/173_(s%E1%BB%91)" title="173 (số)">173</a></li> <li><a href="/wiki/179_(s%E1%BB%91)" title="179 (số)">179</a></li> <li><a href="/wiki/181_(s%E1%BB%91)" title="181 (số)">181</a></li> <li><a href="/wiki/191_(s%E1%BB%91)" title="191 (số)">191</a></li> <li><a href="/wiki/193_(s%E1%BB%91)" title="193 (số)">193</a></li> <li><a href="/wiki/197_(s%E1%BB%91)" title="197 (số)">197</a></li> <li><a href="/wiki/199_(s%E1%BB%91)" title="199 (số)">199</a></li> <li><a href="/wiki/211_(s%E1%BB%91)" title="211 (số)">211</a></li> <li><a href="/wiki/223_(s%E1%BB%91)" title="223 (số)">223</a></li> <li><a href="/wiki/227_(s%E1%BB%91)" title="227 (số)">227</a></li> <li><a href="/wiki/229_(s%E1%BB%91)" title="229 (số)">229</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"><div><a href="/wiki/Danh_s%C3%A1ch_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Danh sách số nguyên tố">Danh sách số nguyên tố</a></div></td></tr></tbody></table></div> <div class="navbox-styles"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r70958518"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r71573313"></div><div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Lý_thuyết_số" style="padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="3" style="background:#ffb;"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-xem"><a href="/wiki/B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91" title="Bản mẫu:Lý thuyết số"><abbr title="Xem bản mẫu này">x</abbr></a></li><li class="nv-thảo luận"><a href="/w/index.php?title=Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn_B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thảo luận Bản mẫu:Lý thuyết số (trang không tồn tại)"><abbr title="Thảo luận bản mẫu này">t</abbr></a></li><li class="nv-sửa"><a class="external text" href="https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91&action=edit"><abbr title="Sửa bản mẫu này">s</abbr></a></li></ul></div><div id="Lý_thuyết_số" style="font-size:114%;margin:0 4em"><a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91" title="Lý thuyết số">Lý thuyết số</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background:#ffd;">Nhánh</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91" title="Lý thuyết số đại số">Lý thuyết số đại số</a></li> <li><a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91_gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch" title="Lý thuyết số giải tích">Lý thuyết số giải tích</a></li> <li><a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91_t%C3%ADnh_to%C3%A1n" title="Lý thuyết số tính toán">Lý thuyết số tính toán</a></li> <li><a href="/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91_si%C3%AAu_vi%E1%BB%87t" title="Lý thuyết số siêu việt">Lý thuyết số siêu việt</a></li> <li><a href="/wiki/H%C3%ACnh_h%E1%BB%8Dc_Diophantos" title="Hình học Diophantos">Hình học Diophantos</a></li> <li><a href="/wiki/H%C3%ACnh_h%E1%BB%8Dc_s%E1%BB%91_h%E1%BB%8Dc" title="Hình học số học">Hình học số học</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91_t%E1%BB%95_h%E1%BB%A3p&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lý thuyết số tổ hợp (trang không tồn tại)">Lý thuyết số tổ hợp</a></li></ul> </div></td><td class="noviewer navbox-image" rowspan="3" style="width:1px;padding:0 0 0 2px"><div><a href="/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Binomio_al_cubo.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Binomio_al_cubo.svg/160px-Binomio_al_cubo.svg.png" decoding="async" width="160" height="136" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Binomio_al_cubo.svg/240px-Binomio_al_cubo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Binomio_al_cubo.svg/320px-Binomio_al_cubo.svg.png 2x" data-file-width="1141" data-file-height="970" /></a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background:#ffd;">Khái niệm chính</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/S%E1%BB%91" title="Số">Số</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn" title="Số tự nhiên">Số tự nhiên</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Số nguyên tố</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%AFu_t%E1%BB%89" title="Số hữu tỉ">Số hữu tỉ</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_v%C3%B4_t%E1%BB%89" title="Số vô tỉ">Số vô tỉ</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91" title="Số đại số">Số đại số</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_si%C3%AAu_vi%E1%BB%87t" title="Số siêu việt">Số siêu việt</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_p-adic" title="Số p-adic">Số p-adic</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%8Dc" title="Số học">Số học</a></li> <li><a href="/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%8Dc_m%C3%B4_%C4%91un" title="Số học mô đun">Số học mô đun</a></li> <li><a href="/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91_h%E1%BB%8Dc" title="Hàm số học">Hàm số học</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;background:#ffd;">Khái niệm nâng cao</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/D%E1%BA%A1ng_to%C3%A0n_ph%C6%B0%C6%A1ng" title="Dạng toàn phương">Dạng toàn phương</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=D%E1%BA%A1ng_modular&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dạng modular (trang không tồn tại)">Dạng modular</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=H%C3%A0m_L&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hàm L (trang không tồn tại)">Hàm L</a></li> <li><a href="/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_Diophantos" title="Phương trình Diophantos">Phương trình Diophantos</a></li> <li><a href="/wiki/X%E1%BA%A5p_x%E1%BB%89_Diophantos" title="Xấp xỉ Diophantos">Xấp xỉ Diophantos</a></li> <li><a href="/wiki/Li%C3%AAn_ph%C3%A2n_s%E1%BB%91" title="Liên phân số">Phân số liên tục</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="3"><div><img alt="Thể loại" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/32px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 2x" data-file-width="36" data-file-height="31" /> <a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91" title="Thể loại:Lý thuyết số">Thể loại</a> * <img alt="Trang Commons" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/12px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="12" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/18px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/24px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /> <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Number_theory" class="extiw" title="commons:Category:Number theory">Hình ảnh</a></div></td></tr></tbody></table></div> <div class="navbox-styles"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r70958518"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r71573313"></div><div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-labelledby="Tiêu_đề_chuẩn_frameless&#124;text-top&#124;10px&#124;alt=Sửa_dữ_liệu_tại_Wikidata&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q49008#identifiers&#124;class=noprint&#124;Sửa_dữ_liệu_tại_Wikidata" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th id="Tiêu_đề_chuẩn_frameless&#124;text-top&#124;10px&#124;alt=Sửa_dữ_liệu_tại_Wikidata&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q49008#identifiers&#124;class=noprint&#124;Sửa_dữ_liệu_tại_Wikidata" scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Ki%E1%BB%83m_so%C3%A1t_t%C3%ADnh_nh%E1%BA%A5t_qu%C3%A1n" title="Kiểm soát tính nhất quán">Tiêu đề chuẩn</a> <a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q49008#identifiers" title="Sửa dữ liệu tại Wikidata"><img alt="Sửa dữ liệu tại Wikidata" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Th%C6%B0_vi%E1%BB%87n_Qu%E1%BB%91c_gia_Ph%C3%A1p" title="Thư viện Quốc gia Pháp">BNF</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11932592t">cb11932592t</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb11932592t">(data)</a></li> <li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4047263-2">4047263-2</a></li> <li><a href="/wiki/LCCN" title="LCCN">LCCN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85093218">sh85093218</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C6%B0_vi%E1%BB%87n_qu%E1%BB%91c_gia_Latvia" title="Thư viện quốc gia Latvia">LNB</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://kopkatalogs.lv/F?func=direct&local_base=lnc10&doc_number=000232578&P_CON_LNG=ENG">000232578</a></li> <li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/NDL_(identifier)" class="extiw" title="en:NDL (identifier)">NDL</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00571462">00571462</a></li> <li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/NKC_(identifier)" class="extiw" title="en:NKC (identifier)">NKC</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph139050&CON_LNG=ENG">ph139050</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <table class="noprint plainlinks" width="100%" cellspacing="2" cellpadding="2" style="margin-top: 3px; background: #F9F9F9; border: 1px solid #A9A9A9;"> <tbody><tr> <td valign="middle" style="padding: 8px"><img alt="Bài viết tốt" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Symbol_star_2ca02c.svg/60px-Symbol_star_2ca02c.svg.png" decoding="async" width="60" height="62" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Symbol_star_2ca02c.svg/90px-Symbol_star_2ca02c.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Symbol_star_2ca02c.svg/120px-Symbol_star_2ca02c.svg.png 2x" data-file-width="180" data-file-height="185" /> </td> <td valign="middle" style="text-align: center; padding-right: 76px">"Số nguyên tố" là một <a href="/wiki/Wikipedia:B%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt_t%E1%BB%91t" title="Wikipedia:Bài viết tốt">bài viết tốt</a> của Wikipedia tiếng Việt. Mời bạn xem <a class="external text" href="https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&oldid=63747875">phiên bản đã được bình chọn</a> vào ngày 3 tháng 9 năm 2020 và so sánh <a class="external text" href="https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&oldid=63747875&diff=cur">sự khác biệt</a> với phiên bản hiện tại. </td></tr></tbody></table>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Lấy từ “<a dir="ltr" href="https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Số_nguyên_tố&oldid=71941440">https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Số_nguyên_tố&oldid=71941440</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i" title="Đặc biệt:Thể loại">Thể loại</a>: <ul><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91" title="Thể loại:Số nguyên tố">Số nguyên tố</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91" title="Thể loại:Lý thuyết số">Lý thuyết số</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Chu%E1%BB%97i_s%E1%BB%91_nguy%C3%AAn" title="Thể loại:Chuỗi số nguyên">Chuỗi số nguyên</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Thể loại ẩn: <ul><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Ngu%E1%BB%93n_CS1_ti%E1%BA%BFng_Ph%C3%A1p_(fr)" title="Thể loại:Nguồn CS1 tiếng Pháp (fr)">Nguồn CS1 tiếng Pháp (fr)</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Ngu%E1%BB%93n_CS1_ti%E1%BA%BFng_%C3%9D_(it)" title="Thể loại:Nguồn CS1 tiếng Ý (it)">Nguồn CS1 tiếng Ý (it)</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu_webarchive_d%C3%B9ng_li%C3%AAn_k%E1%BA%BFt_wayback" title="Thể loại:Bản mẫu webarchive dùng liên kết wayback">Bản mẫu webarchive dùng liên kết wayback</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:B%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt_ch%E1%BB%A9a_nh%E1%BA%ADn_d%E1%BA%A1ng_BNF" title="Thể loại:Bài viết chứa nhận dạng BNF">Bài viết chứa nhận dạng BNF</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:B%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt_ch%E1%BB%A9a_nh%E1%BA%ADn_d%E1%BA%A1ng_GND" title="Thể loại:Bài viết chứa nhận dạng GND">Bài viết chứa nhận dạng GND</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:B%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt_ch%E1%BB%A9a_nh%E1%BA%ADn_d%E1%BA%A1ng_LCCN" title="Thể loại:Bài viết chứa nhận dạng LCCN">Bài viết chứa nhận dạng LCCN</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:B%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt_ch%E1%BB%A9a_nh%E1%BA%ADn_d%E1%BA%A1ng_LNB" title="Thể loại:Bài viết chứa nhận dạng LNB">Bài viết chứa nhận dạng LNB</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:B%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt_ch%E1%BB%A9a_nh%E1%BA%ADn_d%E1%BA%A1ng_NDL" title="Thể loại:Bài viết chứa nhận dạng NDL">Bài viết chứa nhận dạng NDL</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:B%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt_ch%E1%BB%A9a_nh%E1%BA%ADn_d%E1%BA%A1ng_NKC" title="Thể loại:Bài viết chứa nhận dạng NKC">Bài viết chứa nhận dạng NKC</a></li><li><a href="/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:B%C3%A0i_vi%E1%BA%BFt_ch%E1%BA%A5t_l%C6%B0%E1%BB%A3ng_t%E1%BB%91t" title="Thể loại:Bài viết chất lượng tốt">Bài viết chất lượng tốt</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Trang này được sửa đổi lần cuối vào ngày 15 tháng 11 năm 2024, 16:32.</li> <li id="footer-info-copyright">Văn bản được phát hành theo <a href="/wiki/Wikipedia:Nguy%C3%AAn_v%C4%83n_Gi%E1%BA%A5y_ph%C3%A9p_Creative_Commons_Ghi_c%C3%B4ng%E2%80%93Chia_s%E1%BA%BB_t%C6%B0%C6%A1ng_t%E1%BB%B1_phi%C3%AAn_b%E1%BA%A3n_4.0_Qu%E1%BB%91c_t%E1%BA%BF" title="Wikipedia:Nguyên văn Giấy phép Creative Commons Ghi công–Chia sẻ tương tự phiên bản 4.0 Quốc tế">Giấy phép Creative Commons Ghi công–Chia sẻ tương tự</a>; có thể áp dụng điều khoản bổ sung. Với việc sử dụng trang web này, bạn chấp nhận <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use/vi">Điều khoản Sử dụng</a> và <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/vi">Quy định quyền riêng tư</a>. Wikipedia® là thương hiệu đã đăng ký của <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wikimediafoundation.org/">Wikimedia Foundation, Inc.</a>, một tổ chức phi lợi nhuận.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Quy định quyền riêng tư</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:Gi%E1%BB%9Bi_thi%E1%BB%87u">Giới thiệu Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Ph%E1%BB%A7_nh%E1%BA%ADn_chung">Lời phủ nhận</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Bộ Quy tắc Ứng xử Chung</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Lập trình viên</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/vi.wikipedia.org">Thống kê</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Tuyên bố về cookie</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//vi.m.wikipedia.org/w/index.php?title=S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Phiên bản di động</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-7c4dcdbb87-b787h","wgBackendResponseTime":170,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"2.046","walltime":"2.668","ppvisitednodes":{"value":11160,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":362498,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":5305,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":11,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":7,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":545230,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 1673.979 1 -total"," 61.55% 1030.285 2 Bản_mẫu:Tham_khảo"," 25.34% 424.221 82 Bản_mẫu:Chú_thích_sách"," 11.65% 195.034 37 Bản_mẫu:Chú_thích_tạp_chí"," 9.34% 156.335 11 Bản_mẫu:Chú_thích_web"," 6.57% 110.038 2 Bản_mẫu:Hộp_điều_hướng"," 5.77% 96.519 1 Bản_mẫu:Phân_loại_các_số_nguyên_tố"," 5.19% 86.947 1 Bản_mẫu:Thể_loại_Commons"," 4.78% 80.067 7 Bản_mẫu:Efn"," 4.19% 70.141 2 Bản_mẫu:Harvtxt"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"1.019","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":6170305,"limit":52428800},"limitreport-logs":"anchor_id_list = table#1 {\n [\"CITEREFAdler1960\"] = 1,\n [\"CITEREFApostol1976\"] = 1,\n [\"CITEREFApostol2000\"] = 1,\n [\"CITEREFAtkinMorain1993\"] = 1,\n [\"CITEREFBaillieWagstaff1980\"] = 1,\n [\"CITEREFBauer2013\"] = 1,\n [\"CITEREFBeiler1999\"] = 1,\n [\"CITEREFBengtssonŻyczkowski2017\"] = 1,\n [\"CITEREFBoklanConway2017\"] = 1,\n [\"CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008\"] = 1,\n [\"CITEREFBryantSangwin2008\"] = 1,\n [\"CITEREFBullynck2010\"] = 1,\n [\"CITEREFCaldwell\"] = 5,\n [\"CITEREFCaldwellReddickXiongKeller2012\"] = 1,\n [\"CITEREFCaldwellXiong2012\"] = 1,\n [\"CITEREFCamposde_OliveiraGiroGalvão2004\"] = 1,\n [\"CITEREFChabert2012\"] = 1,\n [\"CITEREFChamberland2015\"] = 1,\n [\"CITEREFChan1996\"] = 1,\n [\"CITEREFChildress2009\"] = 1,\n [\"CITEREFConwayGuy1996\"] = 1,\n [\"CITEREFCooperHodges2016\"] = 1,\n [\"CITEREFCormenLeisersonRivestStein2001\"] = 1,\n [\"CITEREFCox2011\"] = 1,\n [\"CITEREFCrandallPomerance2005\"] = 1,\n [\"CITEREFDeutsch1996\"] = 1,\n [\"CITEREFDudley1978\"] = 1,\n [\"CITEREFEisenbud1995\"] = 1,\n [\"CITEREFEricksonVazzanaGarth2016\"] = 1,\n [\"CITEREFFarach-ColtonTsai2015\"] = 1,\n [\"CITEREFFaticoni2012\"] = 1,\n [\"CITEREFFurstenberg1955\"] = 1,\n [\"CITEREFFuss1843\"] = 1,\n [\"CITEREFGardiner1997\"] = 1,\n [\"CITEREFGelfandShen2003\"] = 1,\n [\"CITEREFGiblin1993\"] = 1,\n [\"CITEREFGillings1974\"] = 1,\n [\"CITEREFGleason1988\"] = 1,\n [\"CITEREFGolesSchulzMarkus2001\"] = 1,\n [\"CITEREFGoodrichTamassia2006\"] = 1,\n [\"CITEREFGreaves2013\"] = 1,\n [\"CITEREFGreenTao2008\"] = 1,\n [\"CITEREFGuy2013\"] = 1,\n [\"CITEREFHall2018\"] = 1,\n [\"CITEREFHardy2012\"] = 1,\n [\"CITEREFHayes2003\"] = 1,\n [\"CITEREFHenderson2014\"] = 1,\n [\"CITEREFHiggins1998\"] = 1,\n [\"CITEREFHill1995\"] = 1,\n [\"CITEREFHoffsteinPipherSilverman2014\"] = 1,\n [\"CITEREFHromkovič2001\"] = 1,\n [\"CITEREFHua2009\"] = 1,\n [\"CITEREFKatz2004\"] = 1,\n [\"CITEREFKirtland2001\"] = 1,\n [\"CITEREFKleeWagon1991\"] = 1,\n [\"CITEREFKnuth1998\"] = 1,\n [\"CITEREFKoblitz1987\"] = 1,\n [\"CITEREFKoch1997\"] = 1,\n [\"CITEREFKoshy2002\"] = 1,\n [\"CITEREFKraftWashington2014\"] = 1,\n [\"CITEREFKřížekLucaSomer2001\"] = 1,\n [\"CITEREFLang2002\"] = 1,\n [\"CITEREFLauritzen2003\"] = 1,\n [\"CITEREFLavaBalzarotti2010\"] = 1,\n [\"CITEREFLeff2000\"] = 1,\n [\"CITEREFLenstraPomerance2019\"] = 1,\n [\"CITEREFMackinnon1987\"] = 1,\n [\"CITEREFMartín-LópezLaingLawsonAlvarez2012\"] = 1,\n [\"CITEREFMatiyasevich1999\"] = 1,\n [\"CITEREFMatsumotoNishimura1998\"] = 1,\n [\"CITEREFMillerTakloo-Bighash2006\"] = 1,\n [\"CITEREFMilnor1962\"] = 1,\n [\"CITEREFMollin1997\"] = 1,\n [\"CITEREFMollin2002\"] = 1,\n [\"CITEREFMonier1980\"] = 1,\n [\"CITEREFMorain2007\"] = 1,\n [\"CITEREFNarkiewicz2000\"] = 1,\n [\"CITEREFNathanson2000\"] = 1,\n [\"CITEREFNeale2017\"] = 1,\n [\"CITEREFNeukirch1999\"] = 1,\n [\"CITEREFO\u0026#039;ConnorRobertson\"] = 1,\n [\"CITEREFOgilvyAnderson1988\"] = 1,\n [\"CITEREFOliveira_e_SilvaHerzogPardi2014\"] = 1,\n [\"CITEREFPatterson1988\"] = 1,\n [\"CITEREFPeterson1999\"] = 1,\n [\"CITEREFPieprzykHardjonoSeberry2013\"] = 1,\n [\"CITEREFPomerance1982\"] = 1,\n [\"CITEREFPomerance1996\"] = 1,\n [\"CITEREFPomerance2004\"] = 1,\n [\"CITEREFPomeranceSelfridgeWagstaff1980\"] = 1,\n [\"CITEREFRamaré1995\"] = 1,\n [\"CITEREFRassias2017\"] = 1,\n [\"CITEREFRibenboim2004\"] = 1,\n [\"CITEREFRieffelPolak2011\"] = 1,\n [\"CITEREFRiesel1994\"] = 1,\n [\"CITEREFRosen2000\"] = 1,\n [\"CITEREFRoth1951\"] = 1,\n [\"CITEREFRotman2000\"] = 1,\n [\"CITEREFSandifer2007\"] = 1,\n [\"CITEREFSandifer2014\"] = 1,\n [\"CITEREFSchubert1949\"] = 1,\n [\"CITEREFShafarevich2013\"] = 1,\n [\"CITEREFShahriari2017\"] = 1,\n [\"CITEREFSierpiński1964\"] = 1,\n [\"CITEREFSierpiński1988\"] = 1,\n [\"CITEREFSmith2011\"] = 1,\n [\"CITEREFStevenhagenLenstra1996\"] = 1,\n [\"CITEREFStillwell1997\"] = 1,\n [\"CITEREFStillwell2010\"] = 1,\n [\"CITEREFTao2009\"] = 1,\n [\"CITEREFTao2010\"] = 1,\n [\"CITEREFTarán1981\"] = 1,\n [\"CITEREFTchebychev1852\"] = 1,\n [\"CITEREFVardi1991\"] = 1,\n [\"CITEREFWagstaff2013\"] = 1,\n [\"CITEREFWeil1995\"] = 1,\n [\"CITEREFWilliamson1782\"] = 1,\n [\"CITEREFWright1951\"] = 1,\n [\"CITEREFYuan2002\"] = 1,\n [\"CITEREFZagier1977\"] = 1,\n [\"CITEREFZhu2010\"] = 1,\n [\"CITEREFZiegler2004\"] = 1,\n [\"CITEREFZiegler2015\"] = 1,\n [\"CITEREFZimmer2015\"] = 1,\n [\"CITEREFdu_Sautoy2003\"] = 1,\n [\"CITEREFdu_Sautoy2011\"] = 1,\n}\ntemplate_list = table#1 {\n [\"11\"] = 1,\n [\"13\"] = 1,\n [\"Britannica\"] = 1,\n [\"Bài chi tiết\"] = 1,\n [\"Chính\"] = 12,\n [\"Chú thích báo\"] = 4,\n [\"Chú thích danh sách thư\"] = 1,\n [\"Chú thích sách\"] = 82,\n [\"Chú thích tạp chí\"] = 37,\n [\"Chú thích web\"] = 11,\n [\"Chủ đề\"] = 1,\n [\"Citation\"] = 1,\n [\"Cite conference\"] = 1,\n [\"Cite magazine\"] = 1,\n [\"Cite paper\"] = 1,\n [\"Colend\"] = 1,\n [\"Cols\"] = 1,\n [\"Efn\"] = 7,\n [\"Harvnb\"] = 46,\n [\"Harvtxt\"] = 2,\n [\"In Our Time\"] = 1,\n [\"Kiểm soát tính nhất quán\"] = 1,\n [\"Lý thuyết số\"] = 1,\n [\"Mvar\"] = 1,\n [\"Notelist\"] = 1,\n [\"Nowrap\"] = 5,\n [\"OEIS\"] = 1,\n [\"Phân loại các số nguyên tố\"] = 1,\n [\"Radic\"] = 1,\n [\"Sao bài viết tốt\"] = 1,\n [\"SloanesRef\"] = 1,\n [\"Springer\"] = 1,\n [\"Tham khảo\"] = 1,\n [\"Thể loại Commons\"] = 1,\n [\"Toàn cảnh\"] = 1,\n [\"TĐBKVN\"] = 1,\n [\"Webarchive\"] = 1,\n [\"Xem thêm\"] = 2,\n}\narticle_whitelist = table#1 {\n}\n","limitreport-profile":[["?","140","14.0"],["dataWrapper \u003Cmw.lua:672\u003E","140","14.0"],["MediaWiki\\Extension\\Scribunto\\Engines\\LuaSandbox\\LuaSandboxCallback::callParserFunction","120","12.0"],["recursiveClone \u003CmwInit.lua:45\u003E","100","10.0"],["MediaWiki\\Extension\\Scribunto\\Engines\\LuaSandbox\\LuaSandboxCallback::find","60","6.0"],["\u003Cmw.lua:194\u003E","60","6.0"],["init \u003CMô_đun:Citation/CS1/Date_validation\u003E","60","6.0"],["MediaWiki\\Extension\\Scribunto\\Engines\\LuaSandbox\\LuaSandboxCallback::match","60","6.0"],["makeMessage \u003Cmw.message.lua:76\u003E","40","4.0"],["safe_join \u003CMô_đun:Citation/CS1:1028\u003E","40","4.0"],["[others]","180","18.0"]]},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-7c4dcdbb87-tsdpl","timestamp":"20241203101221","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"S\u1ed1 nguy\u00ean t\u1ed1","url":"https:\/\/vi.wikipedia.org\/wiki\/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q49008","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q49008","author":{"@type":"Organization","name":"Nh\u1eefng ng\u01b0\u1eddi \u0111\u00f3ng g\u00f3p v\u00e0o c\u00e1c d\u1ef1 \u00e1n Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Qu\u1ef9 Wikimedia","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2006-07-10T08:38:11Z","dateModified":"2024-11-15T16:32:31Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/2\/22\/Primes-vs-composites_vi.svg","headline":"nh\u1eefng s\u1ed1 t\u1ef1 nhi\u00ean l\u1edbn h\u01a1n 1, ch\u1ec9 c\u00f3 \u0111\u00fang hai \u01b0\u1edbc s\u1ed1 l\u00e0 1 v\u00e0 ch\u00ednh n\u00f3"}</script> </body> </html>