運動量 - Wikipedia

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</li> <li id="toc-数学的表現" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#数学的表現"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>数学的表現</span> </div> </a> <ul id="toc-数学的表現-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-時間的な変化" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#時間的な変化"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>時間的な変化</span> </div> </a> <ul id="toc-時間的な変化-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-質点系の運動" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#質点系の運動"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>質点系の運動</span> </div> </a> <ul id="toc-質点系の運動-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-保存則" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#保存則"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>保存則</span> </div> </a> <ul id="toc-保存則-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-モーメント" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#モーメント"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>モーメント</span> </div> </a> <ul id="toc-モーメント-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-解析力学における運動量" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#解析力学における運動量"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>解析力学における運動量</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-解析力学における運動量-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>解析力学における運動量サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-解析力学における運動量-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-直交座標系" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#直交座標系"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>直交座標系</span> </div> </a> <ul id="toc-直交座標系-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-極座標系" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#極座標系"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2</span> <span>極座標系</span> </div> </a> <ul id="toc-極座標系-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-一般化されたポテンシャル" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#一般化されたポテンシャル"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.3</span> <span>一般化されたポテンシャル</span> </div> </a> <ul id="toc-一般化されたポテンシャル-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-相対性理論" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#相対性理論"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>相対性理論</span> </div> </a> <ul id="toc-相対性理論-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-量子論" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#量子論"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>量子論</span> </div> </a> <ul id="toc-量子論-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-対称性との関係" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#対称性との関係"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>対称性との関係</span> </div> </a> <ul id="toc-対称性との関係-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>脚注</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-脚注-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>脚注サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-注釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#注釈"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11.1</span> <span>注釈</span> </div> </a> <ul id="toc-注釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11.2</span> <span>出典</span> </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">12</span> <span>参考文献</span> </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">13</span> <span>関連項目</span> </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="目次" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" 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mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Impuls_(Physik)" title="スイスドイツ語: Impuls (Physik)" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Impuls (Physik)" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="スイスドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%AE%D9%85_%D8%A7%D9%84%D8%AD%D8%B1%D9%83%D8%A9" title="アラビア語: زخم الحركة" lang="ar" hreflang="ar" data-title="زخم الحركة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="アラビア語" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AD%E0%A7%B0%E0%A6%AC%E0%A7%87%E0%A6%97" title="アッサム語: ভৰবেগ" lang="as" hreflang="as" data-title="ভৰবেগ" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="アッサム語" class="interlanguage-link-target"><span>অসমীয়া</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Cantid%C3%A1_de_movimientu" title="アストゥリアス語: Cantidá de movimientu" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Cantidá de movimientu" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="アストゥリアス語" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/%C4%B0mpuls" title="アゼルバイジャン語: İmpuls" lang="az" hreflang="az" data-title="İmpuls" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="アゼルバイジャン語" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="ビコール語: Momentum" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Momentum" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="ビコール語" class="interlanguage-link-target"><span>Bikol 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href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%81_(%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="ブルガリア語: Импулс (механика)" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Импулс (механика)" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="ブルガリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8" title="Bhojpuri: वेगमान" lang="bh" hreflang="bh" data-title="वेगमान" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target"><span>भोजपुरी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AD%E0%A6%B0%E0%A6%AC%E0%A7%87%E0%A6%97" title="ベンガル語: ভরবেগ" lang="bn" hreflang="bn" data-title="ভরবেগ" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="ベンガル語" 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class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9F%CF%81%CE%BC%CE%AE" title="ギリシャ語: Ορμή" lang="el" hreflang="el" data-title="Ορμή" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="ギリシャ語" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="英語: Momentum" lang="en" hreflang="en" data-title="Momentum" data-language-autonym="English" data-language-local-name="英語" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Movokvanto" title="エスペラント語: Movokvanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Movokvanto" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="エスペラント語" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimiento" title="スペイン語: Cantidad de movimiento" lang="es" hreflang="es" data-title="Cantidad de movimiento" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="スペイン語" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Impulss" title="エストニア語: Impulss" lang="et" hreflang="et" data-title="Impulss" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="エストニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Momentu_lineal" title="バスク語: Momentu lineal" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Momentu lineal" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="バスク語" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%DA%A9%D8%A7%D9%86%D9%87" title="ペルシア語: تکانه" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تکانه" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="ペルシア語" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Liikem%C3%A4%C3%A4r%C3%A4" title="フィンランド語: Liikemäärä" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Liikemäärä" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="フィンランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Quantit%C3%A9_de_mouvement" title="フランス語: Quantité de mouvement" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Quantité de mouvement" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fy mw-list-item"><a href="https://fy.wikipedia.org/wiki/Ympuls_(natuerkunde)" title="西フリジア語: Ympuls (natuerkunde)" lang="fy" hreflang="fy" data-title="Ympuls (natuerkunde)" data-language-autonym="Frysk" data-language-local-name="西フリジア語" class="interlanguage-link-target"><span>Frysk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3iminteam" title="アイルランド語: Móiminteam" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Móiminteam" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="アイルランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Cantidade_de_movemento" title="ガリシア語: Cantidade de movemento" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Cantidade de movemento" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="ガリシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gu mw-list-item"><a href="https://gu.wikipedia.org/wiki/%E0%AA%B5%E0%AB%87%E0%AA%97%E0%AA%AE%E0%AA%BE%E0%AA%A8_%E0%AA%B8%E0%AA%82%E0%AA%B0%E0%AA%95%E0%AB%8D%E0%AA%B7%E0%AA%A3%E0%AA%A8%E0%AB%8B_%E0%AA%A8%E0%AA%BF%E0%AA%AF%E0%AA%AE" title="グジャラート語: વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ" lang="gu" hreflang="gu" data-title="વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ" data-language-autonym="ગુજરાતી" data-language-local-name="グジャラート語" class="interlanguage-link-target"><span>ગુજરાતી</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%A0%D7%A2" title="ヘブライ語: תנע" lang="he" hreflang="he" data-title="תנע" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ヘブライ語" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97_(%E0%A4%AD%E0%A5%8C%E0%A4%A4%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80)" title="ヒンディー語: संवेग (भौतिकी)" lang="hi" hreflang="hi" data-title="संवेग (भौतिकी)" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="ヒンディー語" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Koli%C4%8Dina_gibanja" title="クロアチア語: Količina gibanja" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Količina gibanja" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ht mw-list-item"><a href="https://ht.wikipedia.org/wiki/Elan" title="ハイチ・クレオール語: Elan" lang="ht" hreflang="ht" data-title="Elan" data-language-autonym="Kreyòl ayisyen" data-language-local-name="ハイチ・クレオール語" class="interlanguage-link-target"><span>Kreyòl ayisyen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Lend%C3%BClet" title="ハンガリー語: Lendület" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Lendület" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ハンガリー語" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BB%D5%B4%D5%BA%D5%B8%D6%82%D5%AC%D5%BD_(%D5%B7%D5%A1%D6%80%D5%AA%D5%B4%D5%A1%D5%B6_%D6%84%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AF)" title="アルメニア語: Իմպուլս (շարժման քանակ)" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Իմպուլս (շարժման քանակ)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="アルメニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="インドネシア語: Momentum" lang="id" hreflang="id" data-title="Momentum" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="インドネシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Skri%C3%B0%C3%BEungi" title="アイスランド語: Skriðþungi" lang="is" hreflang="is" data-title="Skriðþungi" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="アイスランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Quantit%C3%A0_di_moto" title="イタリア語: Quantità di moto" lang="it" hreflang="it" data-title="Quantità di moto" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="イタリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Mom%C3%A8ntum" title="ジャワ語: Momèntum" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Momèntum" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="ジャワ語" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%98%E1%83%9B%E1%83%9E%E1%83%A3%E1%83%9A%E1%83%A1%E1%83%98" title="ジョージア語: იმპულსი" lang="ka" hreflang="ka" data-title="იმპულსი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="ジョージア語" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BD%D0%B5_%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%96" title="カザフ語: Дене импульсі" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Дене импульсі" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="カザフ語" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%86%E0%B2%B5%E0%B3%87%E0%B2%97_(%E0%B2%AD%E0%B3%8C%E0%B2%A4%E0%B2%B6%E0%B2%BE%E0%B2%B8%E0%B3%8D%E0%B2%A4%E0%B3%8D%E0%B2%B0)" title="カンナダ語: ಆವೇಗ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ)" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಆವೇಗ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ)" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="カンナダ語" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9A%B4%EB%8F%99%EB%9F%89" title="韓国語: 운동량" lang="ko" hreflang="ko" data-title="운동량" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="ラテン語: Momentum" lang="la" hreflang="la" data-title="Momentum" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="ラテン語" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Judesio_kiekis" title="リトアニア語: Judesio kiekis" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Judesio kiekis" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="リトアニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Impulss" title="ラトビア語: Impulss" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Impulss" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="ラトビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%81_(%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="マケドニア語: Импулс (механика)" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Импулс (механика)" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="マケドニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%86%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%95%E0%B4%82" title="マラヤーラム語: ആക്കം" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ആക്കം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="マラヤーラム語" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82" title="モンゴル語: Момент" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Момент" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="モンゴル語" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97" title="マラーティー語: संवेग" lang="mr" hreflang="mr" data-title="संवेग" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="マラーティー語" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="マレー語: Momentum" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Momentum" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="マレー語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%A1%E1%80%9F%E1%80%AF%E1%80%94%E1%80%BA" title="ミャンマー語: အဟုန်" lang="my" hreflang="my" data-title="အဟုန်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="ミャンマー語" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Impuls_(Physik)" title="低地ドイツ語: Impuls (Physik)" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Impuls (Physik)" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="低地ドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97" title="ネパール語: परिवेग" lang="ne" hreflang="ne" data-title="परिवेग" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="ネパール語" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Impuls_(natuurkunde)" title="オランダ語: Impuls (natuurkunde)" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Impuls (natuurkunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="オランダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/R%C3%B8rslemengd" title="ノルウェー語(ニーノシュク): Rørslemengd" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Rørslemengd" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="ノルウェー語(ニーノシュク)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Bevegelsesmengde" title="ノルウェー語(ブークモール): Bevegelsesmengde" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Bevegelsesmengde" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="ノルウェー語(ブークモール)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Quantitat_de_movement" title="オック語: Quantitat de movement" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Quantitat de movement" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="オック語" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Furguga" title="オロモ語: Furguga" lang="om" hreflang="om" data-title="Furguga" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="オロモ語" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B8%E0%A9%B0%E0%A8%B5%E0%A9%87%E0%A8%97" title="パンジャブ語: ਸੰਵੇਗ" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਸੰਵੇਗ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="パンジャブ語" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/P%C4%99d_(fizyka)" title="ポーランド語: Pęd (fizyka)" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Pęd (fizyka)" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Quantit%C3%A0_%C3%ABd_moviment" title="ピエモンテ語: Quantità ëd moviment" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Quantità ëd moviment" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="ピエモンテ語" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D9%88%D9%85%D9%86%D9%B9%D9%85" title="Western Punjabi: مومنٹم" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="مومنٹم" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_linear" title="ポルトガル語: Momento linear" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Momento linear" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="ポルトガル語" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Impuls" title="ルーマニア語: Impuls" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Impuls" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="ルーマニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81" title="ロシア語: Импульс" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Импульс" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Impuls" title="セルボ・クロアチア語: Impuls" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Impuls" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="セルボ・クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%9C%E0%B6%B8%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B6%AD%E0%B7%8F%E0%B7%80%E0%B6%BA" title="シンハラ語: ගම්‍යතාවය" lang="si" hreflang="si" data-title="ගම්‍යතාවය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="シンハラ語" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="シンプル英語: Momentum" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Momentum" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Hybnos%C5%A5" title="スロバキア語: Hybnosť" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Hybnosť" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="スロバキア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Gibalna_koli%C4%8Dina" title="スロベニア語: Gibalna količina" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Gibalna količina" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Runhanhira" title="ショナ語: Runhanhira" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Runhanhira" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="ショナ語" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Vrulli" title="アルバニア語: Vrulli" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Vrulli" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="アルバニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%81" title="セルビア語: Импулс" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Импулс" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="セルビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Mom%C3%A9ntum" title="スンダ語: Moméntum" lang="su" hreflang="su" data-title="Moméntum" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="スンダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/R%C3%B6relsem%C3%A4ngd" title="スウェーデン語: Rörelsemängd" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Rörelsemängd" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="スウェーデン語" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%89%E0%AE%A8%E0%AF%8D%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="タミル語: உந்தம்" lang="ta" hreflang="ta" data-title="உந்தம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="タミル語" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%A6%E0%B1%8D%E0%B0%B0%E0%B0%B5%E0%B1%8D%E0%B0%AF%E0%B0%B5%E0%B1%87%E0%B0%97%E0%B0%82" title="テルグ語: ద్రవ్యవేగం" lang="te" hreflang="te" data-title="ద్రవ్యవేగం" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="テルグ語" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%82%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A1" title="タイ語: โมเมนตัม" lang="th" hreflang="th" data-title="โมเมนตัม" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="タイ語" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="タガログ語: Momentum" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Momentum" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="タガログ語" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li 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class="" style="" itemprop=""> <span lang="en" style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif"><a href="/wiki/%E8%B3%AA%E9%87%8F" title="質量">M</a> <a href="/wiki/%E9%95%B7%E3%81%95" title="長さ">L</a> <a href="/wiki/%E6%99%82%E9%96%93" title="時間">T</a><sup>−1</sup></span></td></tr><tr class="" style="" itemprop=""><th scope="row" style="text-align:left; white-space:nowrap;">種類</th><td class="" style="" itemprop=""> <a href="/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="空間ベクトル">ベクトル</a></td></tr><tr class="" style="" itemprop=""><th scope="row" style="text-align:left; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/%E5%9B%BD%E9%9A%9B%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB" title="国際単位系">SI単位</a></th><td class="" style="" itemprop=""> <a href="/w/index.php?title=%E3%82%AD%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AB%E6%AF%8E%E7%A7%92&action=edit&redlink=1" class="new" title="キログラムメートル毎秒 (存在しないページ)">キログラムメートル毎秒</a>(kg⋅m⋅s<sup>−1</sup>), <a href="/w/index.php?title=%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E7%A7%92&action=edit&redlink=1" class="new" title="ニュートン秒 (存在しないページ)">ニュートン秒</a> (N⋅s)</td></tr><tr class="" style="" itemprop=""><th scope="row" style="text-align:left; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/CGS%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB" title="CGS単位系">CGS単位</a></th><td class="" style="" itemprop=""> ダイン秒 (dyn⋅s)</td></tr><tr class="" style="" itemprop=""><th scope="row" style="text-align:left; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AF%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB" title="プランク単位系">プランク単位</a></th><td class="" style="" itemprop=""> <a href="/w/index.php?title=%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AF%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="プランク運動量 (存在しないページ)">プランク運動量</a></td></tr><tr class="noprint"><td colspan="2" style="text-align:right; font-size:85%;"><a href="/wiki/Template:%E7%89%A9%E7%90%86%E9%87%8F" title="Template:物理量">テンプレートを表示</a></td></tr></tbody></table> <table class="infobox" style="width: 200px; float: right; clear: right; text-align:center; font-size:90%; overflow:visible; transition: all 300ms 0s ease;"> <tbody><tr> <th style="position:sticky; top:0; background-color: #87cefa;"><a href="/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="古典力学">古典力学</a> </th></tr> <tr> <td><div style="padding-top: 7px; padding-bottom: 4px;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">F</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdddc51063225693ec1d8e56df43f48584a21861" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.115ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})}"></span><br /><small><a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E3%81%AE%E7%AC%AC2%E6%B3%95%E5%89%87" title="運動の第2法則">運動の第2法則</a> </small></div> </td></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2&action=edit&redlink=1" class="new" title="古典力学の歴史 (存在しないページ)">歴史</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_classical_mechanics" class="extiw" title="en:History of classical mechanics">英語版</a>）</span></span> </td></tr> <tr> <td> <table class="mw-collapsible collapsed" style="width:100%"> <tbody><tr> <th scope="col" style="position:sticky; top:0; text-align: left; background-color: #87cefa;">分野 </th></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td> <p><span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%9D%99%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="静力学">静力学</a>  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%8B%95%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="動力学">動力学</a> / 物理学における動力学  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E5%AD%A6" title="運動学">運動学</a>  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%BF%9C%E7%94%A8%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="応用力学">応用力学</a>  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%A4%A9%E4%BD%93%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="天体力学">天体力学</a>  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="連続体力学">連続体力学</a>  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="統計力学">統計力学</a> </span> </p> </td></tr></tbody></table> <table class="mw-collapsible collapsed" style="width:100%"> <tbody><tr> <th scope="col" style="position:sticky; top:0; text-align: left; background-color: #87cefa;">定式化 </th></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td><div style="text-align:left;"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ニュートン力学">ニュートン力学</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="解析力学">解析力学</a>: <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ラグランジュ力学">ラグランジュ力学</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ハミルトン力学">ハミルトン力学</a> </li></ul></li></ul></div> </td></tr></tbody></table> <table class="mw-collapsible collapsed" style="width:100%"> <tbody><tr> <th scope="col" style="position:sticky; top:0; text-align: left; background-color: #87cefa;">基本概念 </th></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td> <p><span class="nowrap"><a href="/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93" title="空間">空間</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%99%82%E9%96%93" title="時間">時間</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="速度">速度</a> ·</span> <span class="nowrap"><a href="/wiki/%E9%80%9F%E3%81%95" title="速さ">速さ</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%B3%AA%E9%87%8F" title="質量">質量</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="加速度">加速度</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%87%8D%E5%8A%9B" title="重力">重力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%8A%9B_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="力 (物理学)">力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%8A%9B%E7%A9%8D" title="力積">力積</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%88%E3%83%AB%E3%82%AF" title="トルク">トルク</a> / <a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88" title="モーメント">モーメント</a> / <a href="/wiki/%E5%81%B6%E5%8A%9B" title="偶力">偶力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a class="mw-selflink selflink">運動量</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="角運動量">角運動量</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7" title="慣性">慣性</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88" title="慣性モーメント">慣性モーメント</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%BA%96%E7%B3%BB" title="基準系">基準系</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" title="エネルギー">エネルギー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" title="運動エネルギー">運動エネルギー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" title="位置エネルギー">位置エネルギー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E4%BB%95%E4%BA%8B_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="仕事 (物理学)">仕事</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E4%BB%AE%E6%83%B3%E4%BB%95%E4%BA%8B" class="mw-redirect" title="仮想仕事">仮想仕事</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86" title="ダランベールの原理">ダランベールの原理</a></span> </p> </td></tr></tbody></table> <table class="mw-collapsible collapsed" style="width:100%"> <tbody><tr> <th scope="col" style="position:sticky; top:0; text-align: left; background-color: #87cefa;">主要項目 </th></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td> <p><span class="nowrap"><a href="/wiki/%E5%89%9B%E4%BD%93" title="剛体">剛体</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="運動 (物理学)">運動</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ニュートン力学">ニュートン力学</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E4%B8%87%E6%9C%89%E5%BC%95%E5%8A%9B" title="万有引力">万有引力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="運動方程式">運動方程式</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E7%B3%BB" title="慣性系">慣性系</a> ·</span> <span class="nowrap"> 非慣性系 ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" title="回転座標系">回転座標系</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E5%8A%9B" title="慣性力">慣性力</a> ·</span> <span class="nowrap"> 平面粒子運動力学 ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%A4%89%E4%BD%8D" title="変位">変位</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="相対速度">相対速度</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%91%A9%E6%93%A6" title="摩擦">摩擦</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%8D%98%E6%8C%AF%E5%8B%95" title="単振動">単振動</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%8C%AF%E5%8B%95%E5%AD%90" title="調和振動子">調和振動子</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/w/index.php?title=%E7%9F%AD%E5%91%A8%E6%9C%9F%E6%8C%AF%E5%8B%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="短周期振動 (存在しないページ)">短周期振動</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%B8%9B%E8%A1%B0" title="減衰">減衰</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/w/index.php?title=%E6%B8%9B%E8%A1%B0%E6%AF%94&action=edit&redlink=1" class="new" title="減衰比 (存在しないページ)">減衰比</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%87%AA%E8%BB%A2" title="自転">自転</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a 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href="/wiki/%E6%8C%AF%E3%82%8A%E5%AD%90" title="振り子">振り子</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="回転速度">回転速度</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%A7%92%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="角加速度">角加速度</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="角速度">角速度</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%A7%92%E5%91%A8%E6%B3%A2%E6%95%B0" title="角周波数">角周波数</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/w/index.php?title=%E5%81%8F%E4%BD%8D%E8%A7%92%E5%BA%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="偏位角度 (存在しないページ)">偏位角度</a></span> </p> </td></tr></tbody></table> <table class="mw-collapsible collapsed" style="width:100%"> <tbody><tr> <th scope="col" style="position:sticky; top:0; text-align: left; background-color: #87cefa;">科学者 </th></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td> <p><span class="nowrap"><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%B6%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3" title="アイザック・ニュートン">ニュートン</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%A8%E3%83%8F%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC" title="ヨハネス・ケプラー">ケプラー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AC%E3%83%9F%E3%82%A2%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%AD%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9" title="エレミア・ホロックス">ホロックス</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC" title="レオンハルト・オイラー">オイラー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB" title="ジャン・ル・ロン・ダランベール">ダランベール</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AD%E3%83%BC" title="アレクシス・クレロー">クレロー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%82%BC%E3%83%95%EF%BC%9D%E3%83%AB%E3%82%A4%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5" title="ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ">ラグランジュ</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%94%E3%82%A8%E3%83%BC%E3%83%AB%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9" title="ピエール＝シモン・ラプラス">ラプラス</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AF%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3" title="ウィリアム・ローワン・ハミルトン">ハミルトン</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A1%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%8B%E3%83%BB%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%82%BD%E3%83%B3" title="シメオン・ドニ・ポアソン">ポアソン</a></span> </p> </td></tr></tbody></table> </td></tr> <tr style="text-align: center;"> <td><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r103358373">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline-block;word-break:keep-all}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{content:" ·\a0 ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist-pipe dd:after,.mw-parser-output .hlist-pipe 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(";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child:after{content:")\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li:before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child:before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r96787822">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:75%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}.mw-parser-output .infobox .navbar{font-size:88%}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:88%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-view"><a href="/wiki/Template:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="Template:古典力学"><abbr title="参照先のページを表示します。">表</abbr></a></li><li class="nv-talk"><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="Template‐ノート:古典力学 (存在しないページ)"><abbr title="参照先のノートを表示します。">話</abbr></a></li><li class="nv-edit"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit"><abbr title="参照先のページを編集します。">編</abbr></a></li><li class="nv-hist"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=history"><abbr title="参照先のページの履歴を表示します。">歴</abbr></a></li></ul></div> </td></tr></tbody></table> <p><ruby class="yomigana" style="ruby-position:inline; display:inline"><rb style="display:inline; white-space:normal; font-variant-east-asian:normal"><b>運動量</b></rb><span class="rp">（</span><rt style="display:inline; white-space:normal; font-size:inherit; font-variant-east-asian:normal">うんどうりょう</rt>、<rt style="display:inline; font-size:0px">（</rt></ruby><a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">momentum</span>）とは、<a href="/wiki/%E7%89%A9%E4%BD%93" title="物体">物体</a>の<a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="運動 (物理学)">運動</a>の<a href="/wiki/%E7%8A%B6%E6%85%8B" title="状態">状態</a>を表す<a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E9%87%8F" title="物理量">物理量</a>（<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E9%87%8F" class="mw-redirect" title="ベクトル量">ベクトル量</a>）の1つであり、「<a href="/wiki/%E9%9D%99%E6%AD%A2" title="静止">静止</a>した瞬間から現在までの間にその物体が受けた<b><a href="/wiki/%E5%8A%9B%E7%A9%8D" title="力積">力積</a></b>の総量」として定義される。単位は、<a href="/wiki/%E3%82%AD%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0" title="キログラム">kg</a>⋅<a href="/wiki/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AB" title="メートル">m</a>/<a href="/wiki/%E7%A7%92" title="秒">s</a>または<a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3_(%E5%8D%98%E4%BD%8D)" title="ニュートン (単位)">N</a>⋅s。静止している物体の運動量は、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {0}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>0</mn> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {0}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b8b74a9eb7a63b8dca956d8d9c9254a0ec1f27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {0}}}"></span> kg⋅m/s（<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {0}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>0</mn> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {0}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b8b74a9eb7a63b8dca956d8d9c9254a0ec1f27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {0}}}"></span> N⋅s）である。 </p><p>初等的には、運動量は<a href="/wiki/%E8%B3%AA%E9%87%8F" title="質量">質量</a>と<a href="/wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="速度">速度</a>の<a href="/wiki/%E7%A9%8D" title="積">積</a>として導入される。 </p><p>この意味の運動量は後述する一般化された運動量と区別して、<b><a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E5%AD%A6" title="運動学">運動学</a>的運動量</b>（あるいは<b>動的運動量</b><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>）と呼ばれる。 </p><p>また、<b><a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="角運動量">角運動量</a></b><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>という運動量とは異なる量と対比する上で、<b>線型運動量</b><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>などと呼ばれることもある。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="概要"><span id=".E6.A6.82.E8.A6.81"></span>概要</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=1" title="節を編集: 概要"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>日常生活において、物体の持つ運動量は、動いている物体の止めにくさとして体感される。つまり、重くて速い物体ほど運動量が大きく、静止させるのに大きな<a href="/wiki/%E5%8A%9B%E7%A9%8D" title="力積">力積</a>が必要になる。 </p><p><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%B6%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3" title="アイザック・ニュートン">アイザック・ニュートン</a>は運動量の時間的変化と力の関係を<a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E3%81%AE%E7%AC%AC2%E6%B3%95%E5%89%87" title="運動の第2法則">運動の第2法則</a>として提示した<sup id="cite_ref-FOOTNOTE松田199321_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE松田199321-4"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-FOOTNOTENewton1729Axioms,_or_Laws_of_Motion;_Law_II_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTENewton1729Axioms,_or_Laws_of_Motion;_Law_II-5"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p><a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="解析力学">解析力学</a>では、上述の定義から離れ、運動量は<a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" title="一般化座標系">一般化座標</a>と<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="オイラー＝ラグランジュ方程式">オイラー＝ラグランジュ方程式</a>を通じて与えられる。この運動量は一般化座標系における一般化速度の対応物として、<b>一般化運動量</b><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>と呼ばれる。 </p><p>特に<a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ハミルトン力学">ハミルトン形式</a>の解析力学においては、<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%BA%96%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="正準方程式">正準方程式</a>を通じて与えられる<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%BA%96%E5%A4%89%E6%95%B0" title="正準変数">正準変数</a>の一方を座標と呼び他方を<b>運動量</b>と呼ぶ<sup id="cite_ref-FOOTNOTE須藤200842–43,_48–51§5_ハミルトン形式と正準変換_7-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE須藤200842–43,_48–51§5_ハミルトン形式と正準変換-7"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。この意味の運動量は、他と区別して、<a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6#正準変換" title="ハミルトン力学">正準運動量</a><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>と呼ばれる。また、正準運動量は、正準方程式において座標の対となるという意味で、<b>共役運動量</b><sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>と呼ばれる<sup id="cite_ref-FOOTNOTE須藤200842,_51§5_ハミルトン形式と正準変換_10-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE須藤200842,_51§5_ハミルトン形式と正準変換-10"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。運動量は、ハミルトン形式の力学では、速度よりも基本的な量であり、ハミルトン形式で記述される通常の<a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="量子力学">量子力学</a>においても重要な役割を果たす。 </p><p>共役運動量と通常の運動学的運動量の違いが際立つ例として、<a href="/wiki/%E7%A3%81%E5%A0%B4" title="磁場">磁場</a>中を運動する<a href="/wiki/%E9%9B%BB%E5%AD%90" title="電子">電子</a>の運動の例が挙げられる（<a href="#解析力学における運動量">#解析力学における運動量</a>も参照）。<a href="/wiki/%E9%9B%BB%E7%A3%81%E5%A0%B4" title="電磁場">電磁場</a>中を運動する電子に対しては<a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E5%8A%9B" title="ローレンツ力">ローレンツ力</a>が働くが、このローレンツ力に対応する一般化された<a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%AB%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" class="mw-redirect" title="ポテンシャルエネルギー">ポテンシャルエネルギー</a>には電子の速度の項があるために、共役運動量は<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%83%B3" class="mw-redirect" title="ラグランジアン">ラグランジアン</a>のポテンシャル項に依存した形になる<sup id="cite_ref-FOOTNOTE須藤2008202–204付録_A_電磁場の古典論_11-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE須藤2008202–204付録_A_電磁場の古典論-11"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。このとき共役運動量と運動学的運動量は一致しない。また、電磁場中の電子の運動を記述する古典的ハミルトニアンでは、共役運動量の部分がすべて共役運動量から<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E3%83%9D%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%AB" title="ベクトルポテンシャル">ベクトルポテンシャル</a>の寄与を引いたものに置き換わる<sup id="cite_ref-FOOTNOTE須藤2008202–204付録_A_電磁場の古典論_11-1" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE須藤2008202–204付録_A_電磁場の古典論-11"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="数学的表現"><span id=".E6.95.B0.E5.AD.A6.E7.9A.84.E8.A1.A8.E7.8F.BE"></span>数学的表現</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=2" title="節を編集: 数学的表現"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>運動量は、<a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E3%81%AE%E7%AC%AC2%E6%B3%95%E5%89%87" title="運動の第2法則">運動の第2法則</a>において、その時間に対する変化の割合が<a href="/wiki/%E5%8A%9B_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="力 (物理学)">力</a>と等しい量として導入される。 </p><p>つまり、運動量 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>p</b></span> は<a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E9%81%8B%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="ニュートンの運動方程式">ニュートンの運動方程式</a>、 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">F</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d539cb836946a35cda0040471834f75ca40222b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:11.077ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}(t)}"></span> </p> </div> <p>を満たす。力 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>F</b></span> は<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E9%87%8F" class="mw-redirect" title="ベクトル量">ベクトル量</a>であり、運動量もまたベクトル量である。また、定義から明らかなように、運動量は時刻 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span> の<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="関数 (数学)">関数</a>として表される量である。 </p><p><a href="/wiki/%E8%B3%AA%E7%82%B9" title="質点">質点</a>の運動量は、質点の<a href="/wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="速度">速度</a>に<a href="/wiki/%E6%AF%94%E4%BE%8B" title="比例">比例</a>する。質点の運動量は、質点の速度を <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>v</b></span> と表し、比例係数を <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">m</span> とすると、 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0403efd1c19022e2a513bdedf3dd28c2bfac6529" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.052ex; width:7.906ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}"></span> </p> </div> <p>で与えられる。 </p><p>ここで導入された比例係数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">m</span> は<b><a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E8%B3%AA%E9%87%8F" class="mw-redirect" title="慣性質量">慣性質量</a></b> <span lang="en">(inertial mass)</span> と呼ばれ質点の速度の変化し難さを表す。 </p><p>運動量の変化量は<a href="/wiki/%E5%8A%9B%E7%A9%8D" title="力積">力積</a>であるが、運動の間、慣性質量が一定であるとすれば、速度の変化量は力積を慣性質量で割ったものとなる。従って、同じ大きさの力積に対しては、慣性質量が大きいほど速度の変化は小さいものとなる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="時間的な変化"><span id=".E6.99.82.E9.96.93.E7.9A.84.E3.81.AA.E5.A4.89.E5.8C.96"></span>時間的な変化</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=3" title="節を編集: 時間的な変化"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E5%8A%9B%E7%A9%8D" title="力積">力積</a>」を参照</div> <p>時刻 <span lang="en" class="texhtml"><i>t</i><sub>0</sub></span> から <span lang="en" class="texhtml"><i>t</i><sub>1</sub></span> の間の物体の運動量の変化量を </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1}):={\boldsymbol {p}}(t_{1})-{\boldsymbol {p}}(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}\,dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1}):={\boldsymbol {p}}(t_{1})-{\boldsymbol {p}}(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}\,dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc5638408d80cef7bf6b172e4a35fc23199f226" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:40.249ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1}):={\boldsymbol {p}}(t_{1})-{\boldsymbol {p}}(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}\,dt}"></span> </p> </div> <p>とする。この物体が時刻 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span> に力 <span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>F</b></span>(<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span>)</span> を受けながら運動していたとすると、<a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="運動方程式">運動方程式</a>から運動量の時間変化率 <span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">d<b>p</b></span>/<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">dt</span></span> は力 <span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>F</b></span>(<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span>)</span> に等しいため、運動量の変化量 <span lang="en" class="texhtml">Δ<i><b>p</b></i></span> は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {F}}(t)\,dt=:{\boldsymbol {I}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">F</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">I</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {F}}(t)\,dt=:{\boldsymbol {I}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a4b5f716bc8752a09128cef0d1079802fa7e20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:29.62ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {F}}(t)\,dt=:{\boldsymbol {I}}}"></span> </p> </div> <p>となり力 <span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>F</b></span>(<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span>)</span> を時刻 <span lang="en" class="texhtml"><i>t</i><sub>0</sub></span> から <span lang="en" class="texhtml"><i>t</i><sub>1</sub></span> まで<a href="/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86" class="mw-redirect" title="積分">積分</a>したものに等しい。この力の時間積分 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>I</b></span> は<b><a href="/wiki/%E5%8A%9B%E7%A9%8D" title="力積">力積</a></b>（<span lang="en">impulse</span>）と呼ばれ、運動量の変化量に等しい。 </p><p>時間 <span lang="en" class="texhtml">Δ<i>t</i>=<i>t</i><sub>1</sub>−<i>t</i><sub>0</sub></span> で物体が受ける力の時間的な<a href="/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87" title="平均">平均</a>は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{ave}}(t_{0};t_{1}):={\frac {1}{\Delta t}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {F}}(t)\,dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">F</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>ave</mtext> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">F</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{ave}}(t_{0};t_{1}):={\frac {1}{\Delta t}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {F}}(t)\,dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3824b4143864eb97469b048168b4be57e25d13a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:30.109ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{ave}}(t_{0};t_{1}):={\frac {1}{\Delta t}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {F}}(t)\,dt}"></span> </p> </div> <p>で定義される。力の時間平均 <span lang="en" class="texhtml"><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>F</b></span><sub>ave</sub></span> を用いれば力積は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {I}}=\Delta {\boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1})={\boldsymbol {F}}_{\text{ave}}(t_{0};t_{1})\Delta t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">I</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">F</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>ave</mtext> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {I}}=\Delta {\boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1})={\boldsymbol {F}}_{\text{ave}}(t_{0};t_{1})\Delta t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dcb503524cb63f3f1800f7f12e9d502ff5404a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.153ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {I}}=\Delta {\boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1})={\boldsymbol {F}}_{\text{ave}}(t_{0};t_{1})\Delta t}"></span> </p> </div> <p>となる。特に時間 <span lang="en" class="texhtml">Δ<i>t</i></span> が充分に短く、力が一定であると見なせる場合には、力積は単に力と時間の積 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {I}}=\Delta {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {F}}\,\Delta t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">I</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">F</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {I}}=\Delta {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {F}}\,\Delta t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b93dbf90f85f96d97a3586a72769081c386f70" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.905ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {I}}=\Delta {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {F}}\,\Delta t}"></span> </p> </div> <p>として表すことができる。 </p><p>つまり、物体に一定の力を加えて、物体の運動量の変化を大きくするには、力が作用する時間を長くすればよい。逆に、大きな力を加えたとしても、それがごく短期間のものであれば、物体に与える力積は小さくなる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="質点系の運動"><span id=".E8.B3.AA.E7.82.B9.E7.B3.BB.E3.81.AE.E9.81.8B.E5.8B.95"></span>質点系の運動</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=4" title="節を編集: 質点系の運動"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>運動量は加法的な量であり、系の全運動量は部分の運動量の和で表される。 </p><p>質点系の全運動量 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>P</b></span> は、質点 <span lang="en" class="texhtml"><i>i</i> = 1, 2, 3,...</span> の運動量 <span lang="en" class="texhtml"><i><b>p</b><sub>i</sub></i> = <i>m<sub>i</sub><b>v</b><sub>i</sub></i> = <i>m<sub>i</sub><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r89142261">.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}</style><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">d<b>r</b><sub>i</sub></span><span class="sr-only">/</span><span class="den">dt</span></span></i></span> とすれば </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {P}}(t)=\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}(t)=\sum _{i}m_{i}\,{\frac {d{\boldsymbol {r}}_{i}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}m_{i}\,{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">P</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {P}}(t)=\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}(t)=\sum _{i}m_{i}\,{\frac {d{\boldsymbol {r}}_{i}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}m_{i}\,{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6508fab3ffbf02283e80969e723ffc144c5bbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:52.159ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {P}}(t)=\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}(t)=\sum _{i}m_{i}\,{\frac {d{\boldsymbol {r}}_{i}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}m_{i}\,{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\right)}"></span> </p> </div> <p>となる。ここで質点系の全質量 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">M</span> と<a href="/wiki/%E8%B3%AA%E9%87%8F%E4%B8%AD%E5%BF%83" class="mw-redirect" title="質量中心">質量中心</a> <span lang="en" class="texhtml"><i><b>r</b></i><sub>g</sub></span> を </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=\sum _{i}m_{i},~{\boldsymbol {r}}_{g}(t)={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}\,{\boldsymbol {r}}_{i}(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>M</mi> </mfrac> </mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=\sum _{i}m_{i},~{\boldsymbol {r}}_{g}(t)={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}\,{\boldsymbol {r}}_{i}(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2847cb8a0f99e6e1bccca7e2b1fd67398044ee89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:37.049ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle M=\sum _{i}m_{i},~{\boldsymbol {r}}_{g}(t)={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}\,{\boldsymbol {r}}_{i}(t)}"></span> </p> </div> <p>により導入すれば </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {P}}(t)=M{\frac {d{\boldsymbol {r}}_{g}}{dt}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">P</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {P}}(t)=M{\frac {d{\boldsymbol {r}}_{g}}{dt}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e535dcc1766aa8803eb0ed1f913667446070b5ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.461ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {P}}(t)=M{\frac {d{\boldsymbol {r}}_{g}}{dt}}}"></span> </p> </div> <p>となる。即ち、質点系の全運動量は、質量中心に全質量が集中していると考えたときの運動量に等しい。 </p><p>質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> の運動量 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>p</b><sub>i</sub></span> の時間変化は、質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> に作用する力 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>F</b><sub>i</sub></span> に等しく </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}_{i}}{dt}}={\boldsymbol {F}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">F</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}_{i}}{dt}}={\boldsymbol {F}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a15033743251b19880373a79b332b12b50c4cb57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.748ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}_{i}}{dt}}={\boldsymbol {F}}_{i}}"></span> </p> </div> <p>を満たす。ここで質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> に作用する力は、質点系の外部から作用する外力と、系に含まれる他の質点との内部相互作用に分けられる。質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> に作用する外力を <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>f</b><sub>i</sub></span>、質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">j</span> から質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> に作用する内力を <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>f</b><sub>ij</sub></span> とすれば </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{i}={\boldsymbol {f}}_{i}+\sum _{j}{\boldsymbol {f}}_{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">F</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{i}={\boldsymbol {f}}_{i}+\sum _{j}{\boldsymbol {f}}_{ij}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3e469b72504187ca151b85da6875ba59a4bc03" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:17ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{i}={\boldsymbol {f}}_{i}+\sum _{j}{\boldsymbol {f}}_{ij}}"></span> </p> </div> <p>と表される。ただし、質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> から質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> 自身に作用する力は <span lang="en" class="texhtml"><i><b>f</b><sub>ii</sub></i> = 0</span> とする。全運動量の時間変化を考えると </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {P}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {d{\boldsymbol {p}}_{i}}{dt}}=\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}+\sum _{i,j}{\boldsymbol {f}}_{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {P}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {d{\boldsymbol {p}}_{i}}{dt}}=\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}+\sum _{i,j}{\boldsymbol {f}}_{ij}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77dc81b95df9b5c86ecc65629be26b571015500c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:33.45ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {P}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {d{\boldsymbol {p}}_{i}}{dt}}=\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}+\sum _{i,j}{\boldsymbol {f}}_{ij}}"></span> </p> </div> <p>となる。ここで<a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E3%81%AE%E7%AC%AC3%E6%B3%95%E5%89%87" title="運動の第3法則">運動の第3法則</a>から、質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">j</span> から質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> に作用する力 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>f</b><sub>ij</sub></span> と質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> から質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">j</span> に作用する力 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>f</b><sub>ji</sub></span> は大きさが等しく符号が逆なので </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {f}}_{ij}=-{\boldsymbol {f}}_{ji},~{\boldsymbol {f}}_{ij}+{\boldsymbol {f}}_{ji}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {f}}_{ij}=-{\boldsymbol {f}}_{ji},~{\boldsymbol {f}}_{ij}+{\boldsymbol {f}}_{ji}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051951a8097b30acf51a3be8c1c51edca2dc7aea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:24.813ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {f}}_{ij}=-{\boldsymbol {f}}_{ji},~{\boldsymbol {f}}_{ij}+{\boldsymbol {f}}_{ji}=0}"></span> </p> </div> <p>が成り立ち、内力を全て足し合わせたものは <span lang="en" class="texhtml">0</span> となる。従って </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {P}}}{dt}}=M{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}_{g}}{dt^{2}}}=\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {P}}}{dt}}=M{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}_{g}}{dt^{2}}}=\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53ea4d62699a3a7324510408305e18b6c471534" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:23.881ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {P}}}{dt}}=M{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}_{g}}{dt^{2}}}=\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}}"></span> </p> </div> <p>となり、質点系の全運動量の時間変化は作用する外力の<a href="/wiki/%E7%B7%8F%E5%92%8C" title="総和">総和</a>と等しい。これは、重力などの単純な外力の下では質量中心の運動が相対位置の運動から分離できることを意味している。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="保存則"><span id=".E4.BF.9D.E5.AD.98.E5.89.87"></span>保存則</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=5" title="節を編集: 保存則"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87" class="mw-redirect" title="運動量保存の法則">運動量保存の法則</a>」を参照</div> <p>質点系の運動において、特に作用する外力が釣り合っている場合は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {P}}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}(t)\right)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {P}}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}(t)\right)=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3ad9d0ce3c0eb3f56ade3627a26fbd0315711a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:26.928ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {P}}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}(t)\right)=0}"></span> </p> </div> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {P}}(t)=\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}(t)={\text{const.}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">P</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>const.</mtext> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {P}}(t)=\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}(t)={\text{const.}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8963448bc85990f4de3396e5ac21623c134e3834" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:25.357ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {P}}(t)=\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}(t)={\text{const.}}}"></span> </p> </div> <p>が成り立つ。つまり、この系では系の全運動量は時間的に変化しない。これは<b><a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87" class="mw-redirect" title="運動量保存の法則">運動量保存の法則</a></b> <span lang="en">(law of conservation of momentum)</span> と呼ばれる。運動量保存の法則は、ニュートン力学においては<a href="/wiki/%E4%BD%9C%E7%94%A8%E5%8F%8D%E4%BD%9C%E7%94%A8%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87" class="mw-redirect" title="作用反作用の法則">作用反作用の法則</a>から導かれるが、運動量保存則自体は作用反作用の法則より一般的に成り立つ法則である<sup id="cite_ref-FOOTNOTE砂川1987234第_5_章_§2_電磁場のエネルギーと運動量_12-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE砂川1987234第_5_章_§2_電磁場のエネルギーと運動量-12"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。たとえば、<a href="/wiki/%E9%9B%BB%E7%A3%81%E6%B0%97%E5%AD%A6" title="電磁気学">電磁気学</a>などの<a href="/wiki/%E5%A0%B4%E3%81%AE%E7%90%86%E8%AB%96" class="mw-redirect" title="場の理論">場の理論</a>では<a href="/wiki/%E8%BF%91%E6%8E%A5%E4%BD%9C%E7%94%A8" title="近接作用">近接作用論</a>の立場をとり、<a href="/wiki/%E9%81%A0%E9%9A%94%E4%BD%9C%E7%94%A8" title="遠隔作用">遠隔作用論</a>的な法則である<a href="/wiki/%E4%BD%9C%E7%94%A8%E5%8F%8D%E4%BD%9C%E7%94%A8%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87" class="mw-redirect" title="作用反作用の法則">作用反作用の法則</a>をその基礎には置かない。しかしながら、電磁気学においても運動量保存の法則は成り立ち、それに伴い運動量の定義も拡張される<sup id="cite_ref-FOOTNOTE砂川1987156–160,_234–240第_3_章_§5_定常電流間に作用する力;_第_5_章_§2_電磁場のエネルギーと運動量_13-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE砂川1987156–160,_234–240第_3_章_§5_定常電流間に作用する力;_第_5_章_§2_電磁場のエネルギーと運動量-13"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="モーメント"><span id=".E3.83.A2.E3.83.BC.E3.83.A1.E3.83.B3.E3.83.88"></span>モーメント</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=6" title="節を編集: モーメント"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="角運動量">角運動量</a>」を参照</div> <p>物理学において、<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル</a>で表される物理量とある原点に対する位置の<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%8D" class="mw-redirect" title="ベクトル積">外積</a>を<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88" title="モーメント">モーメント</a>という。運動量のモーメントは、<b>角運動量</b> <span lang="en">(angular momentum)</span> と呼ばれ、次のように定義される。 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {L}}:={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {L}}:={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b647843cd30d6481f98598f1d14024a503e256b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.616ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {L}}:={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}.}"></span> </p> </div> <p>古典的な角運動量の大きさは、位置ベクトル <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>r</b></span> の大きさと、運動量 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>p</b></span> の <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>r</b></span> に<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4" title="直交">直交</a>する成分の大きさの積として表される。2 つのベクトル <span lang="en" class="texhtml"><i><b>r</b></i>, <i><b>p</b></i></span> が載っている平面上の、2 つのベクトル <span lang="en" class="texhtml"><i><b>r</b></i>, <i><b>p</b></i></span> の間の角度を <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">θ</span> とすれば、角運動量の大きさは次のように表される。 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|{\boldsymbol {L}}\right|=\left|{\boldsymbol {r}}\right|\left|{\boldsymbol {p}}_{\perp }\right|=\left|{\boldsymbol {r}}\right|\left|{\boldsymbol {p}}\right|\sin \theta .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>⊥</mo> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|{\boldsymbol {L}}\right|=\left|{\boldsymbol {r}}\right|\left|{\boldsymbol {p}}_{\perp }\right|=\left|{\boldsymbol {r}}\right|\left|{\boldsymbol {p}}\right|\sin \theta .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6f5e461931cde6caa4b6c5572419c470d1ddfd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left|{\boldsymbol {L}}\right|=\left|{\boldsymbol {r}}\right|\left|{\boldsymbol {p}}_{\perp }\right|=\left|{\boldsymbol {r}}\right|\left|{\boldsymbol {p}}\right|\sin \theta .}"></span> </p> </div> <p>解析力学においては、角運動量は<a href="/wiki/%E8%A7%92%E5%BA%A6" title="角度">角度</a>に対応した一般化運動量として得られる。 </p><p>角運動量は、<a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E9%81%8B%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="ニュートンの運動方程式">ニュートンの運動方程式</a>と同様な方程式、 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {N}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {N}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594638dac081e3e83b70bed8c1cc0a3c9d4afa17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.294ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {N}}}"></span> </p> </div> <p>を満たす。ここで <span lang="en" class="texhtml"><i><b>N</b></i> ≔ <i><b>r</b></i> × <i><b>F</b></i></span> は物体に作用する<a href="/wiki/%E5%8A%9B%E3%81%AE%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88" title="力のモーメント">力のモーメント</a>である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="解析力学における運動量"><span id=".E8.A7.A3.E6.9E.90.E5.8A.9B.E5.AD.A6.E3.81.AB.E3.81.8A.E3.81.91.E3.82.8B.E9.81.8B.E5.8B.95.E9.87.8F"></span>解析力学における運動量</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=7" title="節を編集: 解析力学における運動量"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="解析力学">解析力学</a>において、<a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96%E5%BA%A7%E6%A8%99" class="mw-redirect" title="一般化座標">一般化座標</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">q<sub>i</sub></span> に対応する<b>一般化運動量</b> <span lang="en">(generalized momentum)</span> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p<sub>i</sub></span> はその<a href="/wiki/%E7%B3%BB_(%E8%87%AA%E7%84%B6%E7%A7%91%E5%AD%A6)" title="系 (自然科学)">系</a>の<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%83%B3" class="mw-redirect" title="ラグランジアン">ラグランジアン</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>L</i>(<i><b>q</b></i>, <span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em; margin:-0.24em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;"><i><b>q</b></i></span></span></span>)</span> の一般化速度 <span lang="en" class="texhtml"><span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em; margin:-0.24em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;"><i>q</i></span></span></span><i><sub>i</sub></i></span> による<a href="/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86" title="偏微分">偏微分</a>として定義される。 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}:={\frac {\partial L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">q</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}:={\frac {\partial L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c6132f3e67dd1f62617dec079b68776a190c20c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; margin-left: -0.089ex; width:15.118ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle p_{i}:={\frac {\partial L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}"></span> </p> </div> <p>ここで、ラグランジアン <span lang="en" class="texhtml"><i>L</i>(<i><b>q</b></i>, <span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em; margin:-0.24em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;"><i><b>q</b></i></span></span></span>)</span> は、<a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" title="運動エネルギー">運動エネルギー</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">K</span>、<a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%AB" title="ポテンシャル">ポテンシャル</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> の差として定義される。 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=K-U.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>−</mo> <mi>U</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=K-U.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a24fa3e1e657822ae356735586403363fc8eb9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.017ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle L=K-U.}"></span> </p> </div> <p><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ハミルトン力学">ハミルトン形式</a>の力学では、一般化速度の代わりに一般化運動量が力学変数として用いられる。<a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%8B%E3%82%A2%E3%83%B3" title="ハミルトニアン">ハミルトニアン</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>H</i>(<i><b>q</b></i>, <i><b>p</b></i>)</span> は、ラグランジアン <span lang="en" class="texhtml"><i>L</i>(<i><b>q</b></i>, <span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em; margin:-0.24em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;"><i><b>q</b></i></span></span></span>)</span> の<a href="/wiki/%E3%83%AB%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="ルジャンドル変換">ルジャンドル変換</a>として定義される<sup id="cite_ref-FOOTNOTE須藤200845–475.2_ルジャンドル変換_14-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE須藤200845–475.2_ルジャンドル変換-14"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。ルジャンドル変換<sup id="cite_ref-FOOTNOTE田崎2000259–270,_270–278付録_G._凸関数;_H._Legendre_変換_15-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE田崎2000259–270,_270–278付録_G._凸関数;_H._Legendre_変換-15"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}}):=\max _{{\dot {\boldsymbol {q}}}\in D}\left\{{\dot {\boldsymbol {q}}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">q</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">max</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∈</mo> <mi>D</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">q</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}}):=\max _{{\dot {\boldsymbol {q}}}\in D}\left\{{\dot {\boldsymbol {q}}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59afe83bec06ac7645049d2c3effdb6962b51148" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:32.897ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}}):=\max _{{\dot {\boldsymbol {q}}}\in D}\left\{{\dot {\boldsymbol {q}}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})\right\}}"></span> </p> </div> <p>の右辺を最大化する <span lang="en" class="texhtml"><span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em; margin:-0.24em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;"><i><b>q</b></i></span></span></span></span> を考えると、ルジャンドル変換をする領域 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">D</span> の中でラグランジアンが<a href="/wiki/%E5%87%B8%E9%96%A2%E6%95%B0" title="凸関数">凸</a>でありかつ<a href="/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E9%96%A2%E6%95%B0" title="滑らかな関数">充分滑らか</a>なら、そのような <span lang="en" class="texhtml"><span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em; margin:-0.24em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;"><i><b>q</b></i></span></span></span></span> は以下の関係を満たす。 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}\left({\dot {\boldsymbol {q}}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})\right)={\boldsymbol {0}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">q</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">q</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}\left({\dot {\boldsymbol {q}}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})\right)={\boldsymbol {0}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73fd672c35816471cbef21a099282cc7024acc7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:25.419ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}\left({\dot {\boldsymbol {q}}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})\right)={\boldsymbol {0}}.}"></span> </p> </div> <p>これはすなわち、ハミルトニアンの変数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>p</b></span> が一般化運動量に等しいことを意味する。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="直交座標系"><span id=".E7.9B.B4.E4.BA.A4.E5.BA.A7.E6.A8.99.E7.B3.BB"></span>直交座標系</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=8" title="節を編集: 直交座標系"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>3 次元の<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" title="直交座標系">直交座標系</a> <span lang="en" class="texhtml"><i><b>x</b></i> = <i>x</i><span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.4em; font-size:80%; padding:0 0.1em; margin:-0.5em;">ˆ</span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;"><b>x</b></span></span></span> + <i>y</i><span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.4em; font-size:80%; padding:0 0.1em; margin:-0.5em;">ˆ</span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;"><b>y</b></span></span></span> + <i>z</i><span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.4em; font-size:80%; padding:0 0.1em; margin:-0.5em;">ˆ</span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;"><b>z</b></span></span></span></span> においては、<a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%AB" title="ポテンシャル">ポテンシャル</a>が<a href="/wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="速度">速度</a> <span lang="en" class="texhtml"><span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.24em; font-size:70%; padding:0.1 0.1em; margin:-0.24em;"><b>·</b></span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;"><i><b>x</b></i></span></span></span></span> に依存しないときには </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L({\boldsymbol {x}},{\dot {\boldsymbol {x}}})={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-U({\boldsymbol {x}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L({\boldsymbol {x}},{\dot {\boldsymbol {x}}})={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-U({\boldsymbol {x}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9dbaff4d23d46db935b5907e2edee83769d5abd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:36.009ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle L({\boldsymbol {x}},{\dot {\boldsymbol {x}}})={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-U({\boldsymbol {x}})}"></span> </p> </div> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{\alpha }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\alpha }}}}=m{\dot {\alpha }},\quad \alpha =x,y,z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{\alpha }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\alpha }}}}=m{\dot {\alpha }},\quad \alpha =x,y,z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e436cfa8fa1b85b895a94451d49d8d30ef5e4f15" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; margin-left: -0.089ex; width:29.589ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle p_{\alpha }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\alpha }}}}=m{\dot {\alpha }},\quad \alpha =x,y,z}"></span> </p> </div> <p>であり、このとき一般化運動量 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>p</b></span> は質量と速度の積となっている。これは<a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ニュートン力学">ニュートン形式</a>の運動量に一致する。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="極座標系"><span id=".E6.A5.B5.E5.BA.A7.E6.A8.99.E7.B3.BB"></span>極座標系</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=9" title="節を編集: 極座標系"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>一般化座標として二次元<a href="/wiki/%E6%A5%B5%E5%BA%A7%E6%A8%99" class="mw-redirect" title="極座標">極座標</a> <span lang="en" class="texhtml"><i><b>x</b></i> = (<i>r</i>, <i>θ</i>)</span> を選ぶと、ラグランジアン及び <span lang="en" class="texhtml"><i>r</i>, <i>θ</i></span> に共役な運動量 <span lang="en" class="texhtml"><i>p<sub>r</sub></i>, <i>p<sub>θ</sub></i></span> はそれぞれ </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(r,\theta ,{\dot {r}},{\dot {\theta }})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})-U({\boldsymbol {x}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>θ</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(r,\theta ,{\dot {r}},{\dot {\theta }})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})-U({\boldsymbol {x}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66badaa09f91e6460afa0cb691b045dc1f88dd8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:36.728ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle L(r,\theta ,{\dot {r}},{\dot {\theta }})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})-U({\boldsymbol {x}})}"></span> </p> </div> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ba1168ce6e06fd82646b1b9fb46ff09e696b78" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; margin-left: -0.089ex; width:15.499ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle p_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}}"></span> </p> </div> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de726e96f0c60449069e77f0ddc1ec98a8b8aad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; margin-left: -0.089ex; width:17.695ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}}"></span> </p> </div> <p>となる。ここで、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">θ</span> に共役な運動量は<a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="角運動量">角運動量</a>となっている。また <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> の共役運動量は動径方向への運動量を表している。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="一般化されたポテンシャル"><span id=".E4.B8.80.E8.88.AC.E5.8C.96.E3.81.95.E3.82.8C.E3.81.9F.E3.83.9D.E3.83.86.E3.83.B3.E3.82.B7.E3.83.A3.E3.83.AB"></span>一般化されたポテンシャル</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=10" title="節を編集: 一般化されたポテンシャル"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ポテンシャルが速度に依存するときもある。このとき直交座標系における一般化運動量はニュートン力学におけるものとは異なっている。 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial (K({\boldsymbol {v}})-U({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}}))}{\partial v_{i}}}\neq {\frac {\partial K({\boldsymbol {v}})}{\partial v_{i}}}=mv_{i}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>≠</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial (K({\boldsymbol {v}})-U({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}}))}{\partial v_{i}}}\neq {\frac {\partial K({\boldsymbol {v}})}{\partial v_{i}}}=mv_{i}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deaf6d27fd9a8ae5763ce46a9a54dd320675eba4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; margin-left: -0.089ex; width:42.789ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial (K({\boldsymbol {v}})-U({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}}))}{\partial v_{i}}}\neq {\frac {\partial K({\boldsymbol {v}})}{\partial v_{i}}}=mv_{i}.}"></span> </p> </div> <p>このような系の例として、<a href="/wiki/%E9%9B%BB%E7%A3%81%E5%A0%B4" title="電磁場">電磁場</a>中を運動する<a href="/wiki/%E9%9B%BB%E8%8D%B7" title="電荷">電荷</a>を持つ<a href="/wiki/%E7%B2%92%E5%AD%90" title="粒子">粒子</a>の<a href="/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96" title="特殊相対性理論">非相対論的</a>な運動が挙げられる。この系のラグランジアンは具体的に </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}})={\frac {m}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}-e\phi ({\boldsymbol {x}})+e{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>e</mi> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">A</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}})={\frac {m}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}-e\phi ({\boldsymbol {x}})+e{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528592178227f729793c4a8ce8a0a4070a327955" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:36.555ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle L({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}})={\frac {m}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}-e\phi ({\boldsymbol {x}})+e{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})}"></span> </p> </div> <p>である。ここで <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">e</span> は物体の持つ<a href="/wiki/%E9%9B%BB%E8%8D%B7" title="電荷">電荷</a>、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">φ</span> は<a href="/wiki/%E9%9B%BB%E7%A3%81%E3%83%9D%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%AB" title="電磁ポテンシャル">スカラーポテンシャル</a>、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>A</b></span> は<a href="/wiki/%E9%9B%BB%E7%A3%81%E3%83%9D%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%AB" title="電磁ポテンシャル">ベクトルポテンシャル</a>である。このとき、共役運動量は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}+e{\boldsymbol {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">A</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}+e{\boldsymbol {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/455ee73d2e9bfa16536383ced7ae62a9b4eb8a19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.052ex; width:13.85ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}+e{\boldsymbol {A}}}"></span> </p> </div> <p>となる。このときの共役運動量は質量と速度の積の<i>普通の</i>運動量に、電磁場との相互作用による <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">e<b>A</b></span> の項が加わる。このとき、ハミルトニアンは、ルジャンドル変換 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {p}})={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {p}})={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610cd8c308b70e91e59ec66f9a76d50c6378c9c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.445ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle H({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {p}})={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}})}"></span> </p> </div> <p>より、 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {p}})={\frac {\left({\boldsymbol {p}}-e{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})\right)^{2}}{2m}}+e\phi ({\boldsymbol {x}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">A</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>e</mi> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {p}})={\frac {\left({\boldsymbol {p}}-e{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})\right)^{2}}{2m}}+e\phi ({\boldsymbol {x}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9aceb8916acbd42a8e30c60676417c23c0966d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:33.966ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle H({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {p}})={\frac {\left({\boldsymbol {p}}-e{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})\right)^{2}}{2m}}+e\phi ({\boldsymbol {x}})}"></span> </p> </div> <p>となる。ベクトルポテンシャルのない系と比べると、形式的には共役運動量 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>p</b></span> を運動学的な運動量 <span lang="en" class="texhtml"><i><b>p</b></i> − <i>e<b>A</b></i></span> に置き換えたものとなっている<sup id="cite_ref-FOOTNOTE須藤2008202–204付録_A_電磁場の古典論_11-2" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE須藤2008202–204付録_A_電磁場の古典論-11"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="相対性理論"><span id=".E7.9B.B8.E5.AF.BE.E6.80.A7.E7.90.86.E8.AB.96"></span>相対性理論</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=11" title="節を編集: 相対性理論"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>相対性理論において運動量と<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" title="エネルギー">エネルギー</a>は<a href="/wiki/%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B3%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ミンコフスキー空間">ミンコフスキー空間</a>における<a href="/wiki/4%E5%85%83%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="4元ベクトル">四元ベクトル</a>を為し、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{\mu }=m{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>τ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{\mu }=m{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea1e7486f655021948ed9571c122a1f85f0e8c7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; margin-left: -0.089ex; width:12.226ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle p^{\mu }=m{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}"></span></dd></dl> <p>である（<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">m</span> は質量、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">τ</span> は<a href="/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E6%99%82%E9%96%93" class="mw-redirect" title="固有時間">固有時間</a>）。これの空間成分は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{j}=m{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {mv_{j}}{\sqrt {1-{\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>τ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mstyle> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{j}=m{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {mv_{j}}{\sqrt {1-{\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27314aae21ceeb11b35c1eba85e416b266f7bbcb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; margin-left: -0.089ex; width:27.579ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle p_{j}=m{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {mv_{j}}{\sqrt {1-{\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}"></span></dd></dl> <p>となる。非相対論的極限 <span lang="en" class="texhtml"><i>v</i>/<i>c</i> → 0</span> において前述の運動量（質量と速度の積）に一致する。 </p><p>運動量とエネルギーは </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -m^{2}c^{2}=-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}+{\vec {p}}^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <msup> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -m^{2}c^{2}=-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}+{\vec {p}}^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0081f088d8745fc875517d696074673b80b0d4b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:20.774ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle -m^{2}c^{2}=-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}+{\vec {p}}^{2}}"></span></dd></dl> <p>の関係を満たしている。運動量が <span lang="en" class="texhtml">0</span> の場合は有名な <span lang="en" class="texhtml"><i>E</i> = <i>mc</i><sup>2</sup></span> の式になっている。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="量子論"><span id=".E9.87.8F.E5.AD.90.E8.AB.96"></span>量子論</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=12" title="節を編集: 量子論"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90" title="運動量演算子">運動量演算子</a>」を参照</div> <p><a href="/wiki/%E5%85%89" title="光">光</a>（あるいは<a href="/wiki/%E9%9B%BB%E7%A3%81%E6%B3%A2" title="電磁波">電磁波</a>）は<a href="/wiki/%E6%B3%A2" title="波">波</a>であるが、実験によりエネルギーと運動量を持つ粒子でもあると考えられている。そのエネルギーと運動量は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=h\nu =\hbar \omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mi>ν</mi> <mo>=</mo> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=h\nu =\hbar \omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d967b27858abe0ceb0b374fe181dcf18aa96bf0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.296ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E=h\nu =\hbar \omega }"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p={\frac {h\nu }{c}}={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>h</mi> <mi>ν</mi> </mrow> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>h</mi> <mi>λ</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p={\frac {h\nu }{c}}={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d9786ba068ca9c34173ddb6555cfced16da709" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; margin-left: -0.089ex; width:18.671ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle p={\frac {h\nu }{c}}={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k}"></span></dd></dl> <p>である。（ここで <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">h</span> は<a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AF%E5%AE%9A%E6%95%B0" title="プランク定数">プランク定数</a>、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ν</span> は<a href="/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E6%95%B0" title="振動数">振動数</a>、<span lang="en" class="texhtml"><i>ω</i> = 2π<i>ν</i></span> は<a href="/wiki/%E8%A7%92%E6%8C%AF%E5%8B%95%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="角振動数">角振動数</a>、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">c</span> は<a href="/wiki/%E5%85%89%E9%80%9F" title="光速">真空中の光速</a>、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">λ</span> は<a href="/wiki/%E6%B3%A2%E9%95%B7" title="波長">波長</a>、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">k</span> は<a href="/wiki/%E6%B3%A2%E6%95%B0" title="波数">波数</a>である） </p><p>前述のエネルギーと運動量の関係式にこの関係を入れると、<span lang="en" class="texhtml"><i>ω</i> = <i>ck</i></span> からこの粒子の質量は <span lang="en" class="texhtml">0</span> であることが分かる。この質量 <span lang="en" class="texhtml">0</span> の粒子を<a href="/wiki/%E5%85%89%E5%AD%90" title="光子">光子</a>という。 </p><p>量子力学では、上記の古典論的運動量 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}"></span> は、波動関数 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (t,{\vec {x}})=\psi (t,x,y,z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (t,{\vec {x}})=\psi (t,x,y,z)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7294f9790888cb749a5a1aab68c8ee91f8d18e24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.461ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi (t,{\vec {x}})=\psi (t,x,y,z)}"></span> に対する、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}\rightarrow {\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}=\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mi>i</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mi>i</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mi>i</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mi>i</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}\rightarrow {\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}=\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684ea97aac6b6b31eac117857136eacfe7e4cdfe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; margin-left: -0.089ex; width:34.158ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}\rightarrow {\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}=\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}"></span></dd></dl> <p>という<a href="/wiki/%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="演算子 (物理学)">演算子</a>であるとみなされる。ここに、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f624ef21533c20e2a78b1e22f156069a6689c0c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.19ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \,i}"></span> は<a href="/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0%E5%8D%98%E4%BD%8D" title="虚数単位">虚数単位</a>、<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,\nabla }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∇</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\nabla }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/676e55e320c3103f5b4ec5ef0998507580ad8acc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.323ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \,\nabla }"></span>は<a href="/wiki/%E3%83%8A%E3%83%96%E3%83%A9" title="ナブラ">ナブラ</a>である。 </p><p>或いはエネルギーとまとめて四元ベクトルで表すと、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{\mu }\rightarrow {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mi>i</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{\mu }\rightarrow {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7af40994fb92f49bd4be564028a8ba0795c7b36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; margin-left: -0.089ex; width:12.946ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle p_{\mu }\rightarrow {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}"></span></dd></dl> <p>である。これらは<b>対応原理</b>と呼ばれ、<a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ラグランジュ力学">解析力学</a>における<a href="/wiki/%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%A9%8D%E5%88%86" class="mw-redirect" title="作用積分">作用積分</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/236d5dafde893a9766c11f42ffd9cddeec96211b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.886ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \,S}"></span> の<a href="/wiki/%E6%B1%8E%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%BE%AE%E5%88%86" title="汎函数微分">汎関数微分</a>が </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta x^{\mu }}}=p_{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>δ</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta x^{\mu }}}=p_{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1349df2fce73516146659db734042beada31983c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.929ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta x^{\mu }}}=p_{\mu }}"></span></dd></dl> <p>であることなどから類推された。 </p><p>また、<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%BA%96%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8C%96" title="正準量子化">正準量子化</a>という方法によれば、位置と運動量は<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%BA%96%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E9%96%A2%E4%BF%82" class="mw-redirect" title="正準交換関係">正準交換関係</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x^{\mu },p_{\nu }]=i\hbar \delta _{\nu }^{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x^{\mu },p_{\nu }]=i\hbar \delta _{\nu }^{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c9352b8c779eb673c9813541df3c0764da06d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.638ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle [x^{\mu },p_{\nu }]=i\hbar \delta _{\nu }^{\mu }}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [x^{\mu },x^{\nu }]=0\,,\,[p_{\mu },p_{\nu }]=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [x^{\mu },x^{\nu }]=0\,,\,[p_{\mu },p_{\nu }]=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac2f9f6501a1fc59d2874cd367a4f5444c9bbd7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:24.637ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle [x^{\mu },x^{\nu }]=0\,,\,[p_{\mu },p_{\nu }]=0}"></span></dd></dl> <p>を満たす<a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E9%87%8F" title="物理量">物理量</a>として<a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8C%96" class="mw-disambig" title="量子化">量子化</a>される。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="対称性との関係"><span id=".E5.AF.BE.E7.A7.B0.E6.80.A7.E3.81.A8.E3.81.AE.E9.96.A2.E4.BF.82"></span>対称性との関係</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=13" title="節を編集: 対称性との関係"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>運動量は空間の一様性（並進対称性）に対応する<a href="/wiki/%E4%BF%9D%E5%AD%98%E9%87%8F" class="mw-redirect" title="保存量">保存量</a>である。時間の一様性に対応する<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" title="エネルギー">エネルギー</a>、空間の等方性に対応する<a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="角運動量">角運動量</a>とともに、基本的な物理量である<sup id="cite_ref-FOOTNOTEランダウリフシッツ2008_16-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEランダウリフシッツ2008-16"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→「<a href="/wiki/%E3%83%8D%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ネーターの定理">ネーターの定理</a>」および「<a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E6%80%A7" class="mw-redirect" title="ポアンカレ対称性">ポアンカレ対称性</a>」も参照</div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=14" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け"><span title="この欄の操作法">脚注の使い方</span></a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="注釈"><span id=".E6.B3.A8.E9.87.88"></span>注釈</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=15" title="節を編集: 注釈"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">kinetic momentum</span>、<span lang="en">dynamical momentum</span></span> </li> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">angular momentum</span></span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">linear momentum</span>、<span lang="en">translational momentum</span></span> </li> <li id="cite_note-6"><b><a href="#cite_ref-6">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">generalized momentum</span></span> </li> <li id="cite_note-8"><b><a href="#cite_ref-8">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">canonical momentum</span></span> </li> <li id="cite_note-9"><b><a href="#cite_ref-9">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">conjugate momentum</span></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=16" title="節を編集: 出典"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-FOOTNOTE松田199321-4"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTE松田199321_4-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF松田1993">松田 1993</a>, p. 21.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTENewton1729Axioms,_or_Laws_of_Motion;_Law_II-5"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTENewton1729Axioms,_or_Laws_of_Motion;_Law_II_5-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFNewton1729">Newton 1729</a>, Axioms, or Laws of Motion; Law II.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE須藤200842–43,_48–51§5_ハミルトン形式と正準変換-7"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTE須藤200842–43,_48–51§5_ハミルトン形式と正準変換_7-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF須藤2008">須藤 2008</a>, pp. 42–43, 48–51, §5 ハミルトン形式と正準変換.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE須藤200842,_51§5_ハミルトン形式と正準変換-10"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTE須藤200842,_51§5_ハミルトン形式と正準変換_10-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF須藤2008">須藤 2008</a>, pp. 42, 51, §5 ハミルトン形式と正準変換.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE須藤2008202–204付録_A_電磁場の古典論-11">^ <a href="#cite_ref-FOOTNOTE須藤2008202–204付録_A_電磁場の古典論_11-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTE須藤2008202–204付録_A_電磁場の古典論_11-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTE須藤2008202–204付録_A_電磁場の古典論_11-2"><sup><i><b>c</b></i></sup></a> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF須藤2008">須藤 2008</a>, pp. 202–204, 付録 A 電磁場の古典論.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE砂川1987234第_5_章_§2_電磁場のエネルギーと運動量-12"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTE砂川1987234第_5_章_§2_電磁場のエネルギーと運動量_12-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF砂川1987">砂川 1987</a>, p. 234, 第 5 章 §2 電磁場のエネルギーと運動量.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE砂川1987156–160,_234–240第_3_章_§5_定常電流間に作用する力;_第_5_章_§2_電磁場のエネルギーと運動量-13"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTE砂川1987156–160,_234–240第_3_章_§5_定常電流間に作用する力;_第_5_章_§2_電磁場のエネルギーと運動量_13-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF砂川1987">砂川 1987</a>, pp. 156–160, 234–240, 第 3 章 §5 定常電流間に作用する力; 第 5 章 §2 電磁場のエネルギーと運動量.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE須藤200845–475.2_ルジャンドル変換-14"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTE須藤200845–475.2_ルジャンドル変換_14-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF須藤2008">須藤 2008</a>, pp. 45–47, 5.2 ルジャンドル変換.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE田崎2000259–270,_270–278付録_G._凸関数;_H._Legendre_変換-15"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTE田崎2000259–270,_270–278付録_G._凸関数;_H._Legendre_変換_15-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF田崎2000">田崎 2000</a>, pp. 259–270, 270–278, 付録 G. 凸関数; H. Legendre 変換.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEランダウリフシッツ2008-16"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTEランダウリフシッツ2008_16-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFランダウリフシッツ2008">ランダウ & リフシッツ 2008</a>.</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=17" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span typeof="mw:File"><span><img alt="ウィキソース出典" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/15px-Wikisource-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/23px-Wikisource-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/30px-Wikisource-logo.svg.png 2x" data-file-width="410" data-file-height="430" /></span></span> <cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFNewton1729">Newton, Isaac (1729) (英語), <i><a href="https://ja.wikisource.org/wiki/en:The_Mathematical_Principles_of_Natural_Philosophy_(1729)/Axioms,_or_Laws_of_Motion#Law2" class="extiw" title="s:en:The Mathematical Principles of Natural Philosophy (1729)/Axioms, or Laws of Motion">The Mathematical Principles of Natural Philosophy</a></i>, translated by Andrew Motte (English ed.), <a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%82%AD%E3%82%BD%E3%83%BC%E3%82%B9" title="ウィキソース">ウィキソース</a>より閲覧。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%5B%5Bs%3Aen%3AThe+Mathematical+Principles+of+Natural+Philosophy+%281729%29%2FAxioms%2C+or+Laws+of+Motion%23Law2%7CThe+Mathematical+Principles+of+Natural+Philosophy%5D%5D&rft.aulast=Newton&rft.aufirst=Isaac&rft.au=Newton%2C%26%2332%3BIsaac&rft.date=1729&rft.edition=English&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF松田1993">松田, 哲『力学』丸善〈パリティ物理学コース〉、1993年。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E5%8A%9B%E5%AD%A6&rft.aulast=%E6%9D%BE%E7%94%B0&rft.aufirst=%E5%93%B2&rft.au=%E6%9D%BE%E7%94%B0%2C%26%2332%3B%E5%93%B2&rft.date=1993&rft.series=%E3%83%91%E3%83%AA%E3%83%86%E3%82%A3%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B9&rft.pub=%E4%B8%B8%E5%96%84&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFランダウリフシッツ2008"><a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6" title="レフ・ランダウ">ランダウ, L.D.</a>、<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%95%E3%82%B2%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84" title="エフゲニー・リフシッツ">リフシッツ, E.M.</a> 著、<a href="/wiki/%E6%B0%B4%E6%88%B8%E5%B7%8C" title="水戸巌">水戸巌</a>・<a href="/wiki/%E6%81%92%E8%97%A4%E6%95%8F%E5%BD%A6" title="恒藤敏彦">恒藤敏彦</a>・<a href="/wiki/%E5%BB%A3%E9%87%8D%E5%BE%B9" class="mw-redirect" title="廣重徹">廣重徹</a> 訳『力学・場の理論 : ランダウ＝リフシッツ物理学小教程』<a href="/wiki/%E7%AD%91%E6%91%A9%E6%9B%B8%E6%88%BF" title="筑摩書房">筑摩書房</a>〈<a href="/wiki/%E3%81%A1%E3%81%8F%E3%81%BE%E5%AD%A6%E8%8A%B8%E6%96%87%E5%BA%AB" title="ちくま学芸文庫">ちくま学芸文庫</a>〉、2008年。<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation 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.citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-480-09111-6" title="特別:文献資料/978-4-480-09111-6">978-4-480-09111-6</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%83%BB%E5%A0%B4%E3%81%AE%E7%90%86%E8%AB%96+%3A+%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6%EF%BC%9D%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E5%B0%8F%E6%95%99%E7%A8%8B&rft.aulast=%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6&rft.aufirst=L.D.&rft.au=%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6%2C%26%2332%3BL.D.&rft.au=%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%2C%26%2332%3BE.M.&rft.date=2008&rft.series=%5B%5B%E3%81%A1%E3%81%8F%E3%81%BE%E5%AD%A6%E8%8A%B8%E6%96%87%E5%BA%AB%5D%5D&rft.pub=%5B%5B%E7%AD%91%E6%91%A9%E6%9B%B8%E6%88%BF%5D%5D&rft.isbn=978-4-480-09111-6&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF須藤2008">須藤, 靖『解析力学・量子論』東京大学出版会、2008年。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-13-062610-1" title="特別:文献資料/978-4-13-062610-1">978-4-13-062610-1</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%83%BB%E9%87%8F%E5%AD%90%E8%AB%96&rft.aulast=%E9%A0%88%E8%97%A4&rft.aufirst=%E9%9D%96&rft.au=%E9%A0%88%E8%97%A4%2C%26%2332%3B%E9%9D%96&rft.date=2008&rft.pub=%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E5%87%BA%E7%89%88%E4%BC%9A&rft.isbn=978-4-13-062610-1&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF砂川1987">砂川, 重信『電磁気学』（新装版）岩波書店〈物理テキストシリーズ 4〉、1987年。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/4-00-007744-9" title="特別:文献資料/4-00-007744-9">4-00-007744-9</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E9%9B%BB%E7%A3%81%E6%B0%97%E5%AD%A6&rft.aulast=%E7%A0%82%E5%B7%9D&rft.aufirst=%E9%87%8D%E4%BF%A1&rft.au=%E7%A0%82%E5%B7%9D%2C%26%2332%3B%E9%87%8D%E4%BF%A1&rft.date=1987&rft.series=%E7%89%A9%E7%90%86%E3%83%86%E3%82%AD%E3%82%B9%E3%83%88%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA+4&rft.edition=%E6%96%B0%E8%A3%85%E7%89%88&rft.pub=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97&rft.isbn=4-00-007744-9&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF田崎2000">田崎, 晴明『熱力学現代的な視点から』（初版）培風館、2000年4月12日。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-563-02432-1" title="特別:文献資料/978-4-563-02432-1">978-4-563-02432-1</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E7%86%B1%E5%8A%9B%E5%AD%A6+%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E7%9A%84%E3%81%AA%E8%A6%96%E7%82%B9%E3%81%8B%E3%82%89&rft.aulast=%E7%94%B0%E5%B4%8E&rft.aufirst=%E6%99%B4%E6%98%8E&rft.au=%E7%94%B0%E5%B4%8E%2C%26%2332%3B%E6%99%B4%E6%98%8E&rft.date=2000-04-12&rft.edition=%E5%88%9D%E7%89%88&rft.pub=%E5%9F%B9%E9%A2%A8%E9%A4%A8&rft.isbn=978-4-563-02432-1&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=18" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r94202605">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}</style><div class="side-box side-box-right plainlinks sistersitebox noprint" style="width:22em;"> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="30" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/45px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/59px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span></div> <div class="side-box-text plainlist" style="font-size:100%;">ウィキメディア・コモンズには、<b><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Momentum?uselang=ja">運動量</a></span></b>に関連するカテゴリがあります。</div></div> </div> <ul><li><a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87" class="mw-redirect" title="運動量保存の法則">運動量保存の法則</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87" title="角運動量保存の法則">角運動量保存の法則</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="角運動量">角運動量</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7" title="慣性">慣性</a></li> <li><a href="/wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="速度">速度</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="加速度">加速度</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC%E3%83%BB%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" title="エネルギー・運動量テンソル">エネルギー・運動量テンソル</a></li> <li><a href="/wiki/%E7%B5%90%E6%99%B6%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="結晶運動量">結晶運動量</a></li></ul> <div class="navbox" aria-labelledby="古典力学のSI単位" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2" style="background:#C0C0C0;"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;background:#C0C0C0;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AESI%E5%8D%98%E4%BD%8D" title="Template:古典力学のSI単位"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;background:#C0C0C0;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AESI%E5%8D%98%E4%BD%8D&action=edit&redlink=1" class="new" title="Template‐ノート:古典力学のSI単位 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;background:#C0C0C0;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AESI%E5%8D%98%E4%BD%8D&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;background:#C0C0C0;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AESI%E5%8D%98%E4%BD%8D&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;background:#C0C0C0;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="古典力学のSI単位" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="古典力学">古典力学</a>の<a href="/wiki/%E5%9B%BD%E9%9A%9B%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB" title="国際単位系">SI単位</a></div></th></tr><tr><td colspan="2" class="navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0px"><div style="padding:0;"> <table class="wikitable" style="text-align:center;line-height:0.9;border-collapse:collapse;margin:auto;border:none;background:none;"> <tbody><tr> <th colspan="4">線形・直線運動の量</th> <td rowspan="12" style="border:none;backgound:none;"></td> <th colspan="4">角度・回転運動の量</th> </tr> <tr> <th style="font-weight:normal;font-size:80%;">次元</th> <th style="font-weight:normal;">—</th> <th style="font-weight:normal;">L</th> <th style="font-weight:normal;">L<sup>2</sup></th> <th style="font-weight:normal;font-size:80%;">次元</th> <th style="font-weight:normal;">—</th> <th style="font-weight:normal;">—</th> <th style="font-weight:normal;">—</th> </tr> <tr> <th style="font-weight:normal;">T</th> <td><a href="/wiki/%E6%99%82%E9%96%93" title="時間">時間</a>: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span><br /><a href="/wiki/%E7%A7%92" title="秒">s</a></td> <td><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/absement" class="extiw" title="en:absement">absement</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>A</b></span><br /><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A7%92&action=edit&redlink=1" class="new" title="メートル秒 (存在しないページ)">m s</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/meter_second" class="extiw" title="en:meter second">英語版</a>）</span></span></td> <td></td> <th style="font-weight:normal;">T</th> <td><a href="/wiki/%E6%99%82%E9%96%93" title="時間">時間</a>: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span><br /><a href="/wiki/%E7%A7%92" title="秒">s</a></td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <th style="font-weight:normal;">—</th> <td></td> <td><a href="/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2" title="距離">距離</a>: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">d</span>, <span class="nowrap"><a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%BD%AE" title="位置">位置</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>r</b></span>, <span lang="en" class="texhtml"><b>s</b></span>, <span lang="en" class="texhtml"><b>x</b></span></span>, <a href="/wiki/%E5%A4%89%E4%BD%8D" title="変位">変位</a><br /><a href="/wiki/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AB" title="メートル">m</a></td> <td><a href="/wiki/%E9%9D%A2%E7%A9%8D" title="面積">面積</a>: <span lang="en" class="texhtml"><i>A</i></span><br /><a href="/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AB" title="平方メートル">m<sup>2</sup></a></td> <th style="font-weight:normal;">—</th> <td></td> <td><a href="/wiki/%E8%A7%92%E5%BA%A6" title="角度">角度</a>: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">θ</span>, <span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%92%E5%A4%89%E4%BD%8D&action=edit&redlink=1" class="new" title="角変位 (存在しないページ)">角変位</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/angular_displacement" class="extiw" title="en:angular displacement">英語版</a>）</span></span>: <span lang="en" class="texhtml"><b>θ</b></span><br /><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%83%B3" title="ラジアン">rad</a></td> <td><span class="nowrap"><a href="/wiki/%E7%AB%8B%E4%BD%93%E8%A7%92" title="立体角">立体角</a>: <span lang="en" class="texhtml">Ω</span><br /><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A9%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%83%B3" title="ステラジアン">rad<sup>2</sup>, sr</a></span></td> </tr> <tr> <th style="font-weight:normal;">T<sup>−1</sup></th> <td><span class="nowrap"><a href="/wiki/%E5%91%A8%E6%B3%A2%E6%95%B0" title="周波数">周波数</a>: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span></span><br /><a href="/wiki/%E6%AF%8E%E7%A7%92" title="毎秒">s<sup>−1</sup></a>, <a href="/wiki/%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%84" title="ヘルツ">Hz</a></td> <td><a href="/wiki/%E9%80%9F%E3%81%95" title="速さ">速さ</a>（速度の大きさ）: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">v</span>, <a href="/wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="速度">速度</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>v</b></span><br /><a href="/wiki/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AB%E6%AF%8E%E7%A7%92" title="メートル毎秒">m s<sup>−1</sup></a></td> <td><a href="/wiki/%E5%8B%95%E7%B2%98%E5%BA%A6" class="mw-redirect" title="動粘度">動粘度</a>: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ν</span>,<br /><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%AF%94%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="比角運動量 (存在しないページ)">比角運動量</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/specific_angular_momentum" class="extiw" title="en:specific angular momentum">英語版</a>）</span></span>: <span lang="en" class="texhtml"><b>h</b></span><br /><a href="/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AB%E6%AF%8E%E7%A7%92" title="平方メートル毎秒">m<sup>2</sup> s<sup>−1</sup></a></td> <th style="font-weight:normal;">T<sup>−1</sup></th> <td><span class="nowrap"><a href="/wiki/%E5%91%A8%E6%B3%A2%E6%95%B0" title="周波数">周波数</a>: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span></span><br /><a href="/wiki/%E6%AF%8E%E7%A7%92" title="毎秒">s<sup>−1</sup></a>, <a href="/wiki/%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%84" title="ヘルツ">Hz</a></td> <td>角速度（の大きさ）: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ω</span>, <a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="角速度">角速度</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>ω</b></span><br /><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%83%B3%E6%AF%8E%E7%A7%92" title="ラジアン毎秒">rad<span style="letter-spacing:0.1em"> </span>s<sup>−1</sup></a></td> <td></td> </tr> <tr> <th style="font-weight:normal;">T<sup>−2</sup></th> <td></td> <td><a href="/wiki/%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="加速度">加速度</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>a</b></span><br /><a href="/wiki/%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AB%E6%AF%8E%E7%A7%92%E6%AF%8E%E7%A7%92" title="メートル毎秒毎秒">m s<sup>−2</sup></a></td> <td></td> <th style="font-weight:normal;">T<sup>−2</sup></th> <td></td> <td><a href="/wiki/%E8%A7%92%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="角加速度">角加速度</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>α</b></span><br /><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%83%B3%E6%AF%8E%E7%A7%92%E6%AF%8E%E7%A7%92" class="mw-redirect" title="ラジアン毎秒毎秒">rad<span style="letter-spacing:0.1em"> </span>s<sup>−2</sup></a></td> <td></td> </tr> <tr> <th style="font-weight:normal;">T<sup>−3</sup></th> <td></td> <td><a href="/wiki/%E8%BA%8D%E5%BA%A6" title="躍度">躍度</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>j</b></span><br />m s<sup>−3</sup></td> <td></td> <th style="font-weight:normal;">T<sup>−3</sup></th> <td></td> <td><a href="/wiki/%E8%A7%92%E8%BA%8D%E5%BA%A6" class="mw-redirect" title="角躍度">角躍度</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>ζ</b></span><br />rad<span style="letter-spacing:0.1em"> </span>s<sup>−3</sup></td> <td></td> </tr> <tr> <td colspan="4" style="padding-top:0;"></td> <td colspan="4" style="padding-top:0;"></td> </tr> <tr><th style="font-weight:normal;">M</th> <td><a href="/wiki/%E8%B3%AA%E9%87%8F" title="質量">質量</a>: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">m</span><br /><a href="/wiki/%E3%82%AD%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0" title="キログラム">kg</a></td> <td></td> <td></td> <th style="font-weight:normal;">M L<sup>2</sup></th> <td><a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88" title="慣性モーメント">慣性モーメント</a>: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">I</span><br />kg<span style="letter-spacing:0.1em"> </span>m<sup>2</sup></td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <th style="font-weight:normal;">M T<sup>−1</sup></th> <td></td> <td><a class="mw-selflink selflink">運動量</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>p</b></span>, <a href="/wiki/%E5%8A%9B%E7%A9%8D" title="力積">力積</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>J</b></span><br />kg<span style="letter-spacing:0.1em"> </span>m s<sup>−1</sup>, <span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E7%A7%92&action=edit&redlink=1" class="new" title="ニュートン秒 (存在しないページ)">N s</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/newton_second" class="extiw" title="en:newton second">英語版</a>）</span></span></td> <td><a href="/wiki/%E4%BD%9C%E7%94%A8_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="作用 (物理学)">作用</a>: <span lang="en" class="texhtml">𝒮</span>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/absement#Applications" class="extiw" title="en:absement">actergy</a>: <span lang="en" class="texhtml">ℵ</span><br />kg<span style="letter-spacing:0.1em"> </span>m<sup>2</sup> s<sup>−1</sup>, <span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%AB%E7%A7%92&action=edit&redlink=1" class="new" title="ジュール秒 (存在しないページ)">J s</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/joule-second" class="extiw" title="en:joule-second">英語版</a>）</span></span></td> <th style="font-weight:normal;">M L<sup>2</sup> T<sup>−1</sup></th> <td></td> <td><a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="角運動量">角運動量</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>L</b></span>, 角力積: <span lang="en" class="texhtml">Δ<b>L</b></span><br />kg<span style="letter-spacing:0.1em"> </span>m<sup>2</sup> s<sup>−1</sup></td> <td>作用: <span lang="en" class="texhtml">𝒮</span>, actergy: <span lang="en" class="texhtml">ℵ</span><br />kg<span style="letter-spacing:0.1em"> </span>m<sup>2</sup> s<sup>−1</sup>, J s</td> </tr> <tr> <th style="font-weight:normal;">M T<sup>−2</sup></th> <td></td> <td><a href="/wiki/%E5%8A%9B_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="力 (物理学)">力</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>F</b></span>, <a href="/wiki/%E9%87%8D%E3%81%95" title="重さ">重さ</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>F</b><sub>g</sub></span><br /><span style="margin-right:0.1em;">kg </span> m s<sup>−2</sup>, <a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3_(%E5%8D%98%E4%BD%8D)" title="ニュートン (単位)">N</a></td> <td><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" title="エネルギー">エネルギー</a>: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">E</span>, <a href="/wiki/%E4%BB%95%E4%BA%8B_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="仕事 (物理学)">仕事</a>: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">W</span><br /><span style="margin-right:0.1em;">kg</span> m<sup>2</sup> s<sup>−2</sup>, <a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%AB" title="ジュール">J</a></td> <th style="font-weight:normal;">M L<sup>2</sup> T<sup>−2</sup></th> <td></td> <td><a href="/wiki/%E3%83%88%E3%83%AB%E3%82%AF" title="トルク">トルク</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>τ</b></span>, <a href="/wiki/%E5%8A%9B%E3%81%AE%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88" title="力のモーメント">力のモーメント</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>M</b></span><br /><span style="margin-right:0.1em;">kg</span> m<sup>2</sup> s<sup>−2</sup>, <a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AB" title="ニュートンメートル">N m</a></td> <td>エネルギー: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">E</span>, 仕事: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">W</span><br /><span style="margin-right:0.1em;">kg</span> m<sup>2</sup> s<sup>−2</sup>, J</td> </tr> <tr> <th style="font-weight:normal;">M T<sup>−3</sup></th> <td></td> <td><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_equations_in_classical_mechanics#Dynamics" class="extiw" title="en:List of equations in classical mechanics">yank</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>Y</b></span><br /><span style="margin-right:0.1em;">kg</span> m s<sup>−3</sup>, N s<sup>−1</sup></td> <td><a href="/wiki/%E4%BB%95%E4%BA%8B%E7%8E%87" title="仕事率">仕事率</a>: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">P</span><br /><span style="margin-right:0.1em;">kg</span> m<sup>2</sup> s<sup>−3</sup>, <a href="/wiki/%E3%83%AF%E3%83%83%E3%83%88" title="ワット">W</a></td> <th style="font-weight:normal;">M L<sup>2</sup> T<sup>−3</sup></th> <td></td> <td><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/rotatum" class="extiw" title="en:rotatum">rotatum</a>: <span lang="en" class="texhtml"><b>P</b></span><br /><span style="margin-right:0.1em;">kg</span> m<sup>2</sup> s<sup>−3</sup>, N m s<sup>−1</sup></td> <td>仕事率: <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">P</span><br /><span style="margin-right:0.1em;">kg</span> m<sup>2 </sup>s<sup>−3</sup>, W</td> </tr> </tbody></table> </div></td></tr></tbody></table></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r96783592">.mw-parser-output .asbox{position:relative;overflow:hidden}.mw-parser-output .asbox table{background:transparent}.mw-parser-output .asbox p{margin:0}.mw-parser-output .asbox p+p{margin-top:0.25em}.mw-parser-output .asbox{font-size:90%}.mw-parser-output .asbox-note{font-size:90%}.mw-parser-output .asbox .navbar{position:absolute;top:-0.90em;right:1em;display:none}</style><div role="note" class="metadata plainlinks asbox stub"><table role="presentation"><tbody><tr class="noresize"><td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Nuvola_apps_kalzium.png" class="mw-file-description"><img alt="スタブアイコン" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Nuvola_apps_kalzium.png/30px-Nuvola_apps_kalzium.png" decoding="async" width="30" height="30" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Nuvola_apps_kalzium.png/45px-Nuvola_apps_kalzium.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Nuvola_apps_kalzium.png/60px-Nuvola_apps_kalzium.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></td><td><p class="asbox-body">この項目は、<a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="物理学">物理学</a>に関連した<b><a href="/wiki/Wikipedia:%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%96" title="Wikipedia:スタブ">書きかけの項目</a></b>です。<a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit">この項目を加筆・訂正</a>などしてくださる<a href="/wiki/Category:%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E9%96%A2%E9%80%A3%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%96%E9%A0%85%E7%9B%AE" title="Category:物理学関連のスタブ項目">協力者を求めています</a>（<a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%82%AF%E3%83%88:%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="プロジェクト:物理学">プロジェクト:物理学</a>／<a href="/wiki/Portal:%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="Portal:物理学">Portal:物理学</a>）。</p></td></tr></tbody></table><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r103358373"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r96787822"><div class="navbar plainlinks hlist"><ul><li class="nv-view"><a href="/wiki/Template:Physics-stub" title="Template:Physics-stub"><span title="参照先のページを表示します。">表示</span></a></li><li class="nv-edit"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:Physics-stub&action=edit"><span title="参照先のページを編集します。">編集</span></a></li></ul></div></div> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a>: 国立図書館 <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q41273#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" 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class="uid"><abbr title="hybnost"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph120957&CON_LNG=ENG">チェコ</a></abbr></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=運動量&oldid=102543257">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=運動量&oldid=102543257</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA" title="特別:カテゴリ">カテゴリ</a>: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="Category:力学">力学</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E9%9B%BB%E7%A3%81%E6%B0%97%E5%AD%A6" title="Category:電磁気学">電磁気学</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="Category:量子力学">量子力学</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">隠しカテゴリ: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E3%81%99%E3%81%B9%E3%81%A6%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%96%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:すべてのスタブ記事">すべてのスタブ記事</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E9%96%A2%E9%80%A3%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%96%E9%A0%85%E7%9B%AE" title="Category:物理学関連のスタブ項目">物理学関連のスタブ項目</a></li><li><a href="/wiki/Category:GND%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90%E3%81%8C%E6%8C%87%E5%AE%9A%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%A6%E3%81%84%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:GND識別子が指定されている記事">GND識別子が指定されている記事</a></li><li><a href="/wiki/Category:J9U%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90%E3%81%8C%E6%8C%87%E5%AE%9A%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%A6%E3%81%84%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B" 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