角運動量 - Wikipedia

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id="toc-座標原点の移動" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#座標原点の移動"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>座標原点の移動</span> </div> </a> <ul id="toc-座標原点の移動-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-運動方程式" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#運動方程式"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>運動方程式</span> </div> </a> <ul id="toc-運動方程式-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-角運動量の保存" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#角運動量の保存"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>角運動量の保存</span> </div> </a> <ul id="toc-角運動量の保存-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-質点系の角運動量" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#質点系の角運動量"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>質点系の角運動量</span> </div> </a> <ul id="toc-質点系の角運動量-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-回転運動と角運動量" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#回転運動と角運動量"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>回転運動と角運動量</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-回転運動と角運動量-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>回転運動と角運動量サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-回転運動と角運動量-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-角速度" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#角速度"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>角速度</span> </div> </a> <ul id="toc-角速度-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-量子力学での角運動量" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#量子力学での角運動量"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>量子力学での角運動量</span> </div> </a> <ul id="toc-量子力学での角運動量-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-特殊相対性理論での角運動量" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#特殊相対性理論での角運動量"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>特殊相対性理論での角運動量</span> </div> </a> <ul id="toc-特殊相対性理論での角運動量-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-対称性との関係" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#対称性との関係"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>対称性との関係</span> </div> </a> <ul id="toc-対称性との関係-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>脚注</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-脚注-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>脚注サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-注釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#注釈"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.1</span> <span>注釈</span> </div> </a> <ul id="toc-注釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.2</span> <span>出典</span> </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>参考文献</span> </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>関連項目</span> </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" 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data-title="Hoekmomentum" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="アフリカーンス語" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%AE%D9%85_%D8%B2%D8%A7%D9%88%D9%8A" title="アラビア語: زخم زاوي" lang="ar" hreflang="ar" data-title="زخم زاوي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="アラビア語" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Momentu_angular" title="アストゥリアス語: Momentu angular" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Momentu angular" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="アストゥリアス語" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/%C4%B0mpuls_momenti" title="アゼルバイジャン語: İmpuls momenti" lang="az" 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title="フィンランド語: Pyörimismäärä" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Pyörimismäärä" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="フィンランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_cin%C3%A9tique" title="フランス語: Moment cinétique" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Moment cinétique" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Dreiimpuls" title="北フリジア語: Dreiimpuls" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Dreiimpuls" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="北フリジア語" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3iminteam_uilleach" title="アイルランド語: Móiminteam uilleach" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Móiminteam uilleach" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="アイルランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Momento_angular" title="ガリシア語: Momento angular" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Momento angular" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="ガリシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%A0%D7%A2_%D7%96%D7%95%D7%95%D7%99%D7%AA%D7%99" title="ヘブライ語: תנע זוויתי" lang="he" hreflang="he" data-title="תנע זוויתי" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ヘブライ語" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97" title="ヒンディー語: कोणीय संवेग" lang="hi" hreflang="hi" data-title="कोणीय संवेग" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="ヒンディー語" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Kutna_koli%C4%8Dina_gibanja" title="クロアチア語: Kutna količina gibanja" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Kutna količina gibanja" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Perd%C3%BClet" title="ハンガリー語: Perdület" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Perdület" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ハンガリー語" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BB%D5%B4%D5%BA%D5%B8%D6%82%D5%AC%D5%BD%D5%AB_%D5%B4%D5%B8%D5%B4%D5%A5%D5%B6%D5%BF" title="アルメニア語: Իմպուլսի մոմենտ" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Իմպուլսի մոմենտ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="アルメニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Momentum_sudut" title="インドネシア語: Momentum sudut" lang="id" hreflang="id" data-title="Momentum sudut" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="インドネシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Hverfi%C3%BEungi" title="アイスランド語: Hverfiþungi" lang="is" hreflang="is" data-title="Hverfiþungi" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="アイスランド語" 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hreflang="kab" data-title="Imir uɣmir" data-language-autonym="Taqbaylit" data-language-local-name="カビル語" class="interlanguage-link-target"><span>Taqbaylit</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81_%D0%BC%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%96" title="カザフ語: Импульс моменті" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Импульс моменті" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="カザフ語" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B0%81%EC%9A%B4%EB%8F%99%EB%9F%89" title="韓国語: 각운동량" lang="ko" hreflang="ko" data-title="각운동량" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Judesio_kiekio_momentas" title="リトアニア語: Judesio kiekio momentas" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Judesio kiekio momentas" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="リトアニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Impulsa_moments" title="ラトビア語: Impulsa moments" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Impulsa moments" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="ラトビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%81%D0%BE%D1%82" title="マケドニア語: Момент на импулсот" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Момент на импулсот" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="マケドニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A8%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97" title="マラーティー語: कोनीय संवेग" lang="mr" hreflang="mr" data-title="कोनीय संवेग" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="マラーティー語" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Momentum_sudut" title="マレー語: Momentum sudut" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Momentum sudut" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="マレー語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%91%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%B7%E1%80%BA%E1%80%95%E1%80%BC%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%A1%E1%80%9F%E1%80%AF%E1%80%94%E1%80%BA" title="ミャンマー語: ထောင့်ပြောင်းအဟုန်" lang="my" hreflang="my" data-title="ထောင့်ပြောင်းအဟုန်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="ミャンマー語" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Impulsmoment" title="オランダ語: Impulsmoment" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Impulsmoment" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="オランダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Vinkelmoment" title="ノルウェー語(ニーノシュク): Vinkelmoment" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Vinkelmoment" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="ノルウェー語(ニーノシュク)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Drivmoment" title="ノルウェー語(ブークモール): Drivmoment" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Drivmoment" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="ノルウェー語(ブークモール)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Moment_cinetic" title="オック語: Moment cinetic" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Moment cinetic" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="オック語" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%90%E0%A8%82%E0%A8%97%E0%A9%81%E0%A8%B2%E0%A8%B0_%E0%A8%AE%E0%A9%8B%E0%A8%AE%E0%A9%88%E0%A8%82%E0%A8%9F%E0%A8%AE" title="パンジャブ語: ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="パンジャブ語" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Moment_p%C4%99du" title="ポーランド語: Moment pędu" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Moment pędu" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Moment_angolar" title="ピエモンテ語: Moment angolar" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Moment angolar" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="ピエモンテ語" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_angular" title="ポルトガル語: Momento angular" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Momento angular" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="ポルトガル語" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Moment_cinetic" title="ルーマニア語: Moment cinetic" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Moment cinetic" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="ルーマニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81%D0%B0" title="ロシア語: Момент импульса" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Момент импульса" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Ugaoni_moment" title="セルボ・クロアチア語: Ugaoni moment" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Ugaoni moment" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="セルボ・クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum" title="シンプル英語: Angular momentum" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Angular momentum" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Moment_hybnosti" title="スロバキア語: Moment hybnosti" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Moment hybnosti" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="スロバキア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Vrtilna_koli%C4%8Dina" title="スロベニア語: Vrtilna količina" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Vrtilna količina" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Impulsi_k%C3%ABndor" title="アルバニア語: Impulsi këndor" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Impulsi këndor" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="アルバニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%81%D0%B0" title="セルビア語: Момент импулса" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Момент импулса" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="セルビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Mom%C3%A9ntum_sudut" title="スンダ語: Moméntum sudut" lang="su" hreflang="su" data-title="Moméntum sudut" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="スンダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/R%C3%B6relsem%C3%A4ngdsmoment" title="スウェーデン語: Rörelsemängdsmoment" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Rörelsemängdsmoment" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="スウェーデン語" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%B5%E0%AE%B3%E0%AF%88%E0%AE%B5%E0%AF%81%E0%AE%A8%E0%AF%8D%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="タミル語: வளைவுந்தம்" lang="ta" hreflang="ta" data-title="வளைவுந்தம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="タミル語" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%95%E0%B1%8B%E0%B0%A3%E0%B1%80%E0%B0%AF_%E0%B0%A6%E0%B1%8D%E0%B0%B0%E0%B0%B5%E0%B1%8D%E0%B0%AF%E0%B0%B5%E0%B1%87%E0%B0%97%E0%B0%82" title="テルグ語: కోణీయ ద్రవ్యవేగం" lang="te" hreflang="te" data-title="కోణీయ ద్రవ్యవేగం" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="テルグ語" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%82%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%A1%E0%B8%B8%E0%B8%A1" title="タイ語: โมเมนตัมเชิงมุม" lang="th" hreflang="th" data-title="โมเมนตัมเชิงมุม" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="タイ語" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/A%C3%A7%C4%B1sal_momentum" title="トルコ語: Açısal momentum" lang="tr" hreflang="tr" 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class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q161254#sitelinks-wikipedia" title="言語間リンクを編集" class="wbc-editpage">リンクを編集</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="名前空間"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="本文を閲覧 [c]" accesskey="c"><span>ページ</span></a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="「本文ページについての議論」 (存在しないページ) 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text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&as_eq=wikipedia&q=%22%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%22&num=50">"角運動量"</a> – <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%22%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%22&tbm=nws">ニュース</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&tbs=bks:1&q=%22%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%22">書籍</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="//scholar.google.co.jp/scholar?num=100&hl=ja&q=%22%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%22">スカラー</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ci.nii.ac.jp/opensearch/search?lang=ja&q=%22%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%22&range=2&count=200&sortorder=1&type=0">CiNii</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jstage.jst.go.jp/result/global/-char/ja?globalSearchKey=%22%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%22">J-STAGE</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ndlsearch.ndl.go.jp/api/openurl?any=%22%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%22">NDL</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dlib.jp/?q=%22%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%22">dlib.jp</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://jpsearch.go.jp/csearch/jps-cross?csid=jps-cross&keyword=%22%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%22">ジャパンサーチ</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikipedialibrary.wmflabs.org/partners/">TWL</a></span></small></span> <span class="date-container"><i>(<span class="date"><span title="2011年10月">2011年10月</span></span>)</i></span></div></td></tr></tbody></table> <table class="infobox" style="width:22em;"><tbody><tr><th colspan="2" class="" style="text-align:center; font-size:125%; font-weight:bold;" itemprop="">角運動量<br /><span lang="en">angular momentum</span></th></tr><tr class="" style="" itemprop=""><th scope="row" style="text-align:left; white-space:nowrap;">量記号</th><td class="" style="" itemprop=""> <span lang="en" style="font-family:Times New Roman, Times, serif"><i>L</i></span></td></tr><tr class="" style="" itemprop=""><th scope="row" style="text-align:left; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/%E9%87%8F%E3%81%AE%E6%AC%A1%E5%85%83" title="量の次元">次元</a></th><td class="" style="" itemprop=""> <span lang="en" style="font-family:Arial, Helvetica, sans-serif"><a href="/wiki/%E8%B3%AA%E9%87%8F" title="質量">M</a> <a href="/wiki/%E9%95%B7%E3%81%95" title="長さ">L</a><sup>2</sup> <a href="/wiki/%E6%99%82%E9%96%93" title="時間">T</a><sup>−1</sup></span></td></tr><tr class="" style="" itemprop=""><th scope="row" style="text-align:left; white-space:nowrap;">種類</th><td class="" style="" itemprop=""> <a href="/wiki/%E6%93%AC%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="擬ベクトル">擬ベクトル</a></td></tr><tr class="" style="" itemprop=""><th scope="row" style="text-align:left; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/%E5%9B%BD%E9%9A%9B%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB" title="国際単位系">SI単位</a></th><td class="" style="" itemprop=""> <a href="/w/index.php?title=%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A7%92&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ニュートンメートル秒」 (存在しないページ)">ニュートンメートル秒</a> (N·m·s)</td></tr><tr class="" style="" itemprop=""><th scope="row" style="text-align:left; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AF%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB" title="プランク単位系">プランク単位</a></th><td class="" style="" itemprop=""> 有理化された<a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AF%E5%AE%9A%E6%95%B0" title="プランク定数">プランク定数</a> (ℏ)</td></tr><tr class="noprint"><td colspan="2" style="text-align:right; font-size:85%;"><a href="/wiki/Template:%E7%89%A9%E7%90%86%E9%87%8F" title="Template:物理量">テンプレートを表示</a></td></tr></tbody></table> <table class="infobox" style="width: 200px; float: right; clear: right; text-align:center; font-size:90%; overflow:visible; transition: all 300ms 0s ease;"> <tbody><tr> <th style="position:sticky; top:0; background-color: #87cefa;"><a href="/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="古典力学">古典力学</a> </th></tr> <tr> <td><div style="padding-top: 7px; padding-bottom: 4px;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">F</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> <mo 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font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_classical_mechanics" class="extiw" title="en:History of classical mechanics">英語版</a>）</span></span> </td></tr> <tr> <td> <table class="mw-collapsible collapsed" style="width:100%"> <tbody><tr> <th scope="col" style="position:sticky; top:0; text-align: left; background-color: #87cefa;">分野 </th></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td> <p><span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%9D%99%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="静力学">静力学</a>  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%8B%95%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="動力学">動力学</a> / 物理学における動力学  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E5%AD%A6" title="運動学">運動学</a>  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%BF%9C%E7%94%A8%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="応用力学">応用力学</a>  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%A4%A9%E4%BD%93%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="天体力学">天体力学</a>  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="連続体力学">連続体力学</a>  ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="統計力学">統計力学</a> </span> </p> </td></tr></tbody></table> <table class="mw-collapsible collapsed" style="width:100%"> <tbody><tr> <th scope="col" style="position:sticky; top:0; text-align: left; background-color: #87cefa;">定式化 </th></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td><div style="text-align:left;"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ニュートン力学">ニュートン力学</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="解析力学">解析力学</a>: <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ラグランジュ力学">ラグランジュ力学</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ハミルトン力学">ハミルトン力学</a> </li></ul></li></ul></div> </td></tr></tbody></table> <table class="mw-collapsible collapsed" style="width:100%"> <tbody><tr> <th scope="col" style="position:sticky; top:0; text-align: left; background-color: #87cefa;">基本概念 </th></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td> <p><span class="nowrap"><a href="/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93" title="空間">空間</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%99%82%E9%96%93" title="時間">時間</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="速度">速度</a> ·</span> <span class="nowrap"><a href="/wiki/%E9%80%9F%E3%81%95" title="速さ">速さ</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%B3%AA%E9%87%8F" title="質量">質量</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="加速度">加速度</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%87%8D%E5%8A%9B" title="重力">重力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%8A%9B_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="力 (物理学)">力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%8A%9B%E7%A9%8D" title="力積">力積</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%88%E3%83%AB%E3%82%AF" title="トルク">トルク</a> / <a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88" title="モーメント">モーメント</a> / <a href="/wiki/%E5%81%B6%E5%8A%9B" title="偶力">偶力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="運動量">運動量</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a class="mw-selflink selflink">角運動量</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7" title="慣性">慣性</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88" title="慣性モーメント">慣性モーメント</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%9F%BA%E6%BA%96%E7%B3%BB" title="基準系">基準系</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" title="エネルギー">エネルギー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" title="運動エネルギー">運動エネルギー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" title="位置エネルギー">位置エネルギー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E4%BB%95%E4%BA%8B_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="仕事 (物理学)">仕事</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E4%BB%AE%E6%83%B3%E4%BB%95%E4%BA%8B" class="mw-redirect" title="仮想仕事">仮想仕事</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86" title="ダランベールの原理">ダランベールの原理</a></span> </p> </td></tr></tbody></table> <table class="mw-collapsible collapsed" style="width:100%"> <tbody><tr> <th scope="col" style="position:sticky; top:0; text-align: left; background-color: #87cefa;">主要項目 </th></tr> <tr style="line-height: 150%;"> <td> <p><span class="nowrap"><a href="/wiki/%E5%89%9B%E4%BD%93" title="剛体">剛体</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="運動 (物理学)">運動</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="ニュートン力学">ニュートン力学</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E4%B8%87%E6%9C%89%E5%BC%95%E5%8A%9B" title="万有引力">万有引力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="運動方程式">運動方程式</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E7%B3%BB" title="慣性系">慣性系</a> ·</span> <span class="nowrap"> 非慣性系 ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" title="回転座標系">回転座標系</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E5%8A%9B" title="慣性力">慣性力</a> ·</span> <span class="nowrap"> 平面粒子運動力学 ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%A4%89%E4%BD%8D" title="変位">変位</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="相対速度">相対速度</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%91%A9%E6%93%A6" title="摩擦">摩擦</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%8D%98%E6%8C%AF%E5%8B%95" title="単振動">単振動</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%8C%AF%E5%8B%95%E5%AD%90" title="調和振動子">調和振動子</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/w/index.php?title=%E7%9F%AD%E5%91%A8%E6%9C%9F%E6%8C%AF%E5%8B%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「短周期振動」 (存在しないページ)">短周期振動</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%B8%9B%E8%A1%B0" title="減衰">減衰</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/w/index.php?title=%E6%B8%9B%E8%A1%B0%E6%AF%94&action=edit&redlink=1" class="new" title="「減衰比」 (存在しないページ)">減衰比</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E8%87%AA%E8%BB%A2" title="自転">自転</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2" title="回転">回転</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%86%86%E9%81%8B%E5%8B%95" title="円運動">円運動</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/w/index.php?title=%E9%9D%9E%E7%AD%89%E9%80%9F%E5%86%86%E9%81%8B%E5%8B%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「非等速円運動」 (存在しないページ)">非等速円運動</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E5%90%91%E5%BF%83%E5%8A%9B" title="向心力">向心力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E9%81%A0%E5%BF%83%E5%8A%9B" title="遠心力">遠心力</a> ·</span> <span class="nowrap"> 遠心力 (<a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" title="回転座標系">回転座標系</a>) ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8D%E5%BF%9C%E9%81%A0%E5%BF%83%E5%8A%9B&action=edit&redlink=1" class="new" title="「反応遠心力」 (存在しないページ)">反応遠心力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%AA%E3%82%AA%E3%83%AA%E3%81%AE%E5%8A%9B" title="コリオリの力">コリオリの力</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E6%8C%AF%E3%82%8A%E5%AD%90" title="振り子">振り子</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a 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class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%A8%E3%83%8F%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC" title="ヨハネス・ケプラー">ケプラー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AC%E3%83%9F%E3%82%A2%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%AD%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9" title="エレミア・ホロックス">ホロックス</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC" title="レオンハルト・オイラー">オイラー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB" title="ジャン・ル・ロン・ダランベール">ダランベール</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AD%E3%83%BC" title="アレクシス・クレロー">クレロー</a> ·</span> <span class="nowrap"> <a 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ol{padding-left:0}.mw-parser-output .hlist li,.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt{margin-right:0;display:inline-block;white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dt:after,.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{white-space:normal}.mw-parser-output .hlist li:after,.mw-parser-output .hlist dd:after{content:" ·\a0 ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dt:after{content:": "}.mw-parser-output .hlist-pipe dd:after,.mw-parser-output .hlist-pipe li:after{content:" |\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-hyphen dd:after,.mw-parser-output .hlist-hyphen li:after{content:" -\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-comma dd:after,.mw-parser-output .hlist-comma li:after{content:"、";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-slash dd:after,.mw-parser-output .hlist-slash li:after{content:" /\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist 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abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}.mw-parser-output .infobox .navbar{font-size:88%}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:88%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-view"><a href="/wiki/Template:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="Template:古典力学"><abbr title="参照先のページを表示します。">表</abbr></a></li><li class="nv-talk"><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:古典力学」 (存在しないページ)"><abbr title="参照先のノートを表示します。">話</abbr></a></li><li class="nv-edit"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=edit"><abbr title="参照先のページを編集します。">編</abbr></a></li><li class="nv-hist"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:%E5%8F%A4%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%A6&action=history"><abbr title="参照先のページの履歴を表示します。">歴</abbr></a></li></ul></div> </td></tr></tbody></table> <p><b>角運動量</b>（かくうんどうりょう、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英語</a>: <span lang="en">angular momentum</span>）とは、<b><a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="運動量">運動量</a>の<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88" title="モーメント">モーメント</a></b>を表す<a href="/wiki/%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="力学">力学</a>の概念である。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="定義"><span id=".E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>定義</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=1" title="節を編集: 定義"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>位置 <i><b>r</b></i> において、運動量 <i><b>p</b></i> を持つ<a href="/wiki/%E8%B3%AA%E7%82%B9" title="質点">質点</a>の原点まわりの角運動量 <i><b>L</b></i> は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {L}}\equiv {\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> <mo>≡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {L}}\equiv {\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95802e6fdcb6743cabc1809b236d96cf0a8a34e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.323ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {L}}\equiv {\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}}"></span> </p> </div> <p>で定義される<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。ここで、× は<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%8D" class="mw-redirect" title="ベクトル積">外積</a>である。従って、角運動量の大きさ <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">L</span> は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=rp\,\sin \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mi>p</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=rp\,\sin \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f708d680ccedc123d8417d22b826ba54c3d35a98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.007ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L=rp\,\sin \theta }"></span> </p> </div> <p>と表される。ここで、<i>θ</i> は <i><b>r</b></i> と <i><b>p</b></i> のなす角を、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r, p</span> はそれぞれ <i><b>r</b></i>, <i><b>p</b></i> の大きさを表す。 </p><p>質点が質量 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">m</span>、速度 <i><b>v</b></i> のとき、運動量は <span lang="en" class="texhtml"><i><b>p</b></i> = <i>m<b>v</b></i></span> であり、角運動量は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times m{\boldsymbol {v}}=m{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times m{\boldsymbol {v}}=m{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b48f65b0c8b39b38fd3cfad532ba86c9d9b8f69" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:22.811ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times m{\boldsymbol {v}}=m{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}"></span> </p> </div> <p>となる。 </p><p>また、<a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="角速度">角速度</a>が <i><b>ω</b></i> のとき、角運動量は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {L}}=I{\boldsymbol {\omega }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {L}}=I{\boldsymbol {\omega }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ee56cebf603a4b04c53048e39c6f664a1dce8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.696ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {L}}=I{\boldsymbol {\omega }}}"></span> </p> </div> <p>と表すことができる。ここで <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">I</span> は<a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB" class="mw-redirect" title="慣性テンソル">慣性テンソル</a>である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="座標原点の移動"><span id=".E5.BA.A7.E6.A8.99.E5.8E.9F.E7.82.B9.E3.81.AE.E7.A7.BB.E5.8B.95"></span>座標原点の移動</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=2" title="節を編集: 座標原点の移動"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>角運動量は、その定義から<a href="/wiki/%E5%BA%A7%E6%A8%99" title="座標">座標原点</a>の選択に依存する。原点を位置 <i><b>a</b></i> へ移動した座標系を考える。新たな座標系における量を ' を付けて表すものとすれば、<i><b>r</b></i>' = <i><b>r</b></i> − <i><b>a</b></i>, <i><b>p</b></i>' = <i><b>p</b></i> であり </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {L}}'={\boldsymbol {r}}'\times {\boldsymbol {p}}'={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}-{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {L}}-{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>×</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">a</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">a</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {L}}'={\boldsymbol {r}}'\times {\boldsymbol {p}}'={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}-{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {L}}-{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {p}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45be61cf6554b03bba13c6f5b2bff2a15e8d58aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:42.896ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {L}}'={\boldsymbol {r}}'\times {\boldsymbol {p}}'={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}-{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {L}}-{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {p}}}"></span> </p> </div> <p>となる. </p> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→「<a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AA%E3%83%AC%E3%82%A4%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="ガリレイ変換">ガリレイ変換</a>」および「<a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" title="回転座標系">回転座標系</a>」も参照</div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="運動方程式"><span id=".E9.81.8B.E5.8B.95.E6.96.B9.E7.A8.8B.E5.BC.8F"></span>運動方程式</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=3" title="節を編集: 運動方程式"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>質点の角運動量の時間変化は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {r}}\times {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}+{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\times {\boldsymbol {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {r}}\times {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}+{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\times {\boldsymbol {p}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8167d2677a3c01ba794108ec5e4426dc91bb11" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:24.786ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {r}}\times {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}+{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\times {\boldsymbol {p}}}"></span> </p> </div> <p>となる。ここで、<a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E9%81%8B%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="ニュートンの運動方程式">ニュートンの運動方程式</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>d<b>p</b></i>/<i>dt</i> = <i><b>F</b></i></span> を用いれば、第一項は<a href="/wiki/%E5%8A%9B%E3%81%AE%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88" title="力のモーメント">力のモーメント</a> <span lang="en" class="texhtml"><i><b>N</b></i> = <i><b>r</b></i>×<i><b>F</b></i></span> となる。また、第二項は <span lang="en" class="texhtml">(<i>d<b>r</b></i>/<i>dt</i>)×<i><b>p</b></i> = <i>m<b>v</b></i>×<i><b>v</b></i> = <b>0</b></span> となる。したがって、角運動量はニュートンの運動方程式と同様な<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E9%81%8B%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="オイラーの運動方程式">オイラーの運動方程式</a> </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {N}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {N}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594638dac081e3e83b70bed8c1cc0a3c9d4afa17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.294ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {N}}}"></span> </p> </div> <p>を満たす。 </p><p>力のモーメントはその定義から座標原点の選択に依存する。しかし、座標原点の移動による力のモーメントの変化と角運動量の変化が相殺され、運動方程式は常に成り立つ。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="角運動量の保存"><span id=".E8.A7.92.E9.81.8B.E5.8B.95.E9.87.8F.E3.81.AE.E4.BF.9D.E5.AD.98"></span>角運動量の保存</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=4" title="節を編集: 角運動量の保存"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87" title="角運動量保存の法則">角運動量保存の法則</a>」を参照</div> <p>力のモーメントが 0 であるとき、角運動量は時間とともに変化せず一定となる。このことを角運動量保存の法則（角運動量の保存則）という。力のモーメントが 0 となるのは、力が 0 であるか、力が<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" class="mw-redirect" title="位置ベクトル">位置ベクトル</a>と平行であるときである。 </p><p>力が作用していないときは<a href="/wiki/%E7%AD%89%E9%80%9F%E7%9B%B4%E7%B7%9A%E9%81%8B%E5%8B%95" class="mw-redirect" title="等速直線運動">等速直線運動</a>となる。等速直線運動においては運動量と角運動量はともに保存する。これに対し<a href="/wiki/%E7%AD%89%E9%80%9F%E5%86%86%E9%81%8B%E5%8B%95" class="mw-redirect" title="等速円運動">等速円運動</a>においては、運動量の大きさは一定であるが向きが時間により変化するため運動量は保存せず、角運動量のみが保存する。 </p><p>力が位置ベクトルと平行であるときは </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})=f(r)\,{\boldsymbol {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">F</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})=f(r)\,{\boldsymbol {r}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86f973e9f92392cca4b9cc27f59c6a09fbddb3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})=f(r)\,{\boldsymbol {r}}}"></span> </p> </div> <p>と表すことができる。この形の力は中心力と呼ばれる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="質点系の角運動量"><span id=".E8.B3.AA.E7.82.B9.E7.B3.BB.E3.81.AE.E8.A7.92.E9.81.8B.E5.8B.95.E9.87.8F"></span>質点系の角運動量</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=5" title="節を編集: 質点系の角運動量"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>角運動量は加法的な量であり、系の全角運動量は、部分の角運動量の和であらわされる。質点系の全角運動量 <i><b>L</b></i> は、質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> の角運動量を <i><b>l</b></i><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span></sub> とすれば </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {L}}=\sum _{i}{\boldsymbol {l}}_{i}=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {p}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {L}}=\sum _{i}{\boldsymbol {l}}_{i}=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {p}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0993c0472bf777dea7d8f172f27e30c2e4e8e486" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:24.114ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {L}}=\sum _{i}{\boldsymbol {l}}_{i}=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {p}}_{i}}"></span></dd></dl> <p>である。<a href="/wiki/%E8%B3%AA%E9%87%8F%E4%B8%AD%E5%BF%83" class="mw-redirect" title="質量中心">質量中心</a> <i><b>r</b></i><sub>g</sub> に全質量 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">M</span> があると考えたときの角運動量は </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{\mathrm {g} }=M{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {g} }\times {\frac {d{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {g} }}{dt}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>M</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{\mathrm {g} }=M{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {g} }\times {\frac {d{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {g} }}{dt}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9412d152fcd22ec4d90c19286a1975c2ae055563" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:17.812ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{\mathrm {g} }=M{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {g} }\times {\frac {d{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {g} }}{dt}}}"></span></dd></dl> <p>となる。全角運動量と <i><b>L</b></i><sub>g</sub> の差は、質量中心からみた<a href="/w/index.php?title=%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E9%81%8B%E5%8B%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「相対運動」 (存在しないページ)">相対運動</a>の角運動量とみなすことができる。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{\mathrm {r} }={\boldsymbol {L}}-{\boldsymbol {L}}_{\mathrm {g} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{\mathrm {r} }={\boldsymbol {L}}-{\boldsymbol {L}}_{\mathrm {g} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853cabfd86aa75b2a8c59af70a9838a088cebcf4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.141ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{\mathrm {r} }={\boldsymbol {L}}-{\boldsymbol {L}}_{\mathrm {g} }}"></span></dd></dl> <p><br /> 質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> の角運動量の時間変化は、質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> に作用する力のモーメント <span lang="en" class="texhtml"><i><b>N</b></i><sub><i>i</i></sub> = <i><b>r</b></i><sub><i>i</i></sub>×<i><b>F</b></i><sub><i>i</i></sub></span> に等しく </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {l}}_{i}}{dt}}={\boldsymbol {N}}_{i}={\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {F}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">F</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {l}}_{i}}{dt}}={\boldsymbol {N}}_{i}={\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {F}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ead16fc5b8e404a4de0c0408ea855944ad514e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.136ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {l}}_{i}}{dt}}={\boldsymbol {N}}_{i}={\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {F}}_{i}}"></span> </p> </div> <p>を満たす。ここで質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> に作用する力 <i><b>F</b></i><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span></sub> を、外力 <i><b>f</b></i><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span></sub> と、質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">j</span> が及ぼす内部相互作用 <i><b>f</b></i><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ij</span></sub> に分ると、力のモーメントは </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {N}}_{i}={\boldsymbol {r}}_{i}\times ({\boldsymbol {f}}_{i}+\sum _{j}{\boldsymbol {f}}_{ij})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {N}}_{i}={\boldsymbol {r}}_{i}\times ({\boldsymbol {f}}_{i}+\sum _{j}{\boldsymbol {f}}_{ij})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ef6593f4d3a78fb098e8a3c70d4716676018bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:24.285ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {N}}_{i}={\boldsymbol {r}}_{i}\times ({\boldsymbol {f}}_{i}+\sum _{j}{\boldsymbol {f}}_{ij})}"></span> </p> </div> <p>と表される。全角運動量の時間変化を考えると </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {d{\boldsymbol {l}}_{i}}{dt}}=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{i}+\sum _{i,j}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {d{\boldsymbol {l}}_{i}}{dt}}=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{i}+\sum _{i,j}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ij}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dad9a48316600c31fa532dd7419bb05eb823aa2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:42.391ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {d{\boldsymbol {l}}_{i}}{dt}}=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{i}+\sum _{i,j}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ij}}"></span> </p> </div> <p>となる。<a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E3%81%AE%E7%AC%AC3%E6%B3%95%E5%89%87" title="運動の第3法則">運動の第3法則</a>から <i><b>f</b></i><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ji</span></sub> = −<i><b>f</b></i><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ij</span></sub> なので、内力のモーメントの和は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i,j}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ij}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}({\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ij}-{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ji})={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}({\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j})\times {\boldsymbol {f}}_{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i,j}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ij}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}({\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ij}-{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ji})={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}({\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j})\times {\boldsymbol {f}}_{ij}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88bd4cd06b39f59ed82a2c398786faa981b4aff4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:63.529ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i,j}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ij}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}({\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ij}-{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ji})={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}({\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j})\times {\boldsymbol {f}}_{ij}}"></span> </p> </div> <p>と変形できる。 </p><p>ここで、<b>内力が中心力であるならば</b>、内力 <i><b>f</b></i><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ij</span></sub> は質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span> の質点 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">j</span> から見た相対位置 <i><b>r</b></i><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">i</span></sub> − <i><b>r</b></i><sub><span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">j</span></sub> と平行で、内力のモーメントの和は 0 となる。このとき </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2954ec951e2868845009cd57488bb1caf9e7235" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:17.64ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{i}}"></span> </p> </div> <p>となり、質点系の全角運動量の時間変化は作用する外力のモーメントの総和と等しくなる。 </p> <div style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="回転運動と角運動量"><span id=".E5.9B.9E.E8.BB.A2.E9.81.8B.E5.8B.95.E3.81.A8.E8.A7.92.E9.81.8B.E5.8B.95.E9.87.8F"></span>回転運動と角運動量</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=6" title="節を編集: 回転運動と角運動量"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Frame"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Torque_animation.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/09/Torque_animation.gif" decoding="async" width="220" height="154" class="mw-file-element" data-file-width="220" data-file-height="154" /></a><figcaption>固定された回転軸をもつ系に対して、力を作用させた時の物理量の関係。力のモーメント <b>τ</b> と、位置 <b>r</b> と力 <b>F</b> との関係（上の式）、および角運動量 <b>L</b> と位置 <b>r</b> と運動量 <b>p</b> との関係（下の式）。</figcaption></figure> <p>角運動量は回転運動と深く関係している物理量である。ただし、角運動量自体は回転運動をしていなくとも定義される物理量である。 </p><p>惑星間に働く万有引力は中心力であり、したがって、惑星の角運動量は保存される。保存則は、<a href="/wiki/%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87" title="ケプラーの法則">ケプラーの第2法則</a>の「面積速度一定」と密接な関わりがある。時刻 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span> における位置ベクトル <i><b>r</b></i>(<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span>) と、微小な時間 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">dt</span> が経った後の位置ベクトル <i><b>r</b></i>(<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span> + <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">dt</span>) が作る微小な三角形の面積は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d{\boldsymbol {S}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {r}}(t)\times {\boldsymbol {r}}(t+dt)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">S</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d{\boldsymbol {S}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {r}}(t)\times {\boldsymbol {r}}(t+dt)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a787245c9cf708bc0e24116854bb2ad0bba53628" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.466ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle d{\boldsymbol {S}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {r}}(t)\times {\boldsymbol {r}}(t+dt)}"></span> </p> </div> <p>である。従って、面積速度は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {S}}}{dt}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {r}}(t)\times {\boldsymbol {v}}(t)={\frac {1}{2m}}{\boldsymbol {L}}(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">S</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {S}}}{dt}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {r}}(t)\times {\boldsymbol {v}}(t)={\frac {1}{2m}}{\boldsymbol {L}}(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0a3b7741c5cb13764db039599b38cfd798919f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:31.038ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {S}}}{dt}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {r}}(t)\times {\boldsymbol {v}}(t)={\frac {1}{2m}}{\boldsymbol {L}}(t)}"></span> </p> </div> <p>となり、面積速度が一定ならば、角運動量も一定となる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="角速度"><span id=".E8.A7.92.E9.80.9F.E5.BA.A6"></span>角速度</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=7" title="節を編集: 角速度"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>角速度 <i><b>ω</b></i> は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {2}{r^{2}}}{\frac {d{\boldsymbol {S}}}{dt}}={\frac {1}{r^{2}}}{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">S</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {2}{r^{2}}}{\frac {d{\boldsymbol {S}}}{dt}}={\frac {1}{r^{2}}}{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c471f9edffe59350673464a033a7b9168e243ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:22.844ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {2}{r^{2}}}{\frac {d{\boldsymbol {S}}}{dt}}={\frac {1}{r^{2}}}{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}"></span> </p> </div> <p>と表される。従って、質点の<a href="/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88" title="慣性モーメント">慣性モーメント</a>は </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I=mr^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I=mr^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc416bcccf5f63d22af13befd74e5c653ab82f1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.413ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle I=mr^{2}}"></span> </p> </div> <p>となる。 </p><p>原点を中心とした<a href="/wiki/%E5%86%86%E9%81%8B%E5%8B%95" title="円運動">円運動</a>をしている<a href="/wiki/%E8%B3%AA%E7%82%B9" title="質点">質点</a>の速度 <i><b>v</b></i> は次のように表される。 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b3e1a294c622e6e561b2e386158a862703d0b4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.156ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}}"></span> </p> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="量子力学での角運動量"><span id=".E9.87.8F.E5.AD.90.E5.8A.9B.E5.AD.A6.E3.81.A7.E3.81.AE.E8.A7.92.E9.81.8B.E5.8B.95.E9.87.8F"></span>量子力学での角運動量</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=8" title="節を編集: 量子力学での角運動量"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="量子力学">量子力学</a>では、角運動量は以下の<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E9%96%A2%E4%BF%82_(%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6)" title="交換関係 (量子力学)">交換関係</a>を満たす<a href="/wiki/%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="演算子 (物理学)">演算子</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {J}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">J</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {J}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d208f929adc6beb2baf31c47fe2fc2a7805a4e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.929ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {J}}}}"></span> として定義される。 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [{\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y}]=i{\hat {J}}_{z},~[{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}]=i{\hat {J}}_{x},~[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}]=i{\hat {J}}_{y}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>J</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>J</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>J</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>J</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>J</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>J</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>J</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>J</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>J</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [{\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y}]=i{\hat {J}}_{z},~[{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}]=i{\hat {J}}_{x},~[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}]=i{\hat {J}}_{y}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de5ef4451dbf3b11fe9620f4eb9568762de0770" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:47.989ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle [{\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y}]=i{\hat {J}}_{z},~[{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}]=i{\hat {J}}_{x},~[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}]=i{\hat {J}}_{y}}"></span> </p> </div> <p>あるいは、3つの式をまとめて </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [{\hat {J}}_{i},{\hat {J}}_{j}]=i\epsilon _{ijk}{\hat {J}}_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>J</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>J</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <msub> <mi>ϵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>J</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [{\hat {J}}_{i},{\hat {J}}_{j}]=i\epsilon _{ijk}{\hat {J}}_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce371160fbb04ea3935ad789be93f9217e3485c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.772ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle [{\hat {J}}_{i},{\hat {J}}_{j}]=i\epsilon _{ijk}{\hat {J}}_{k}}"></span> </p> </div> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \epsilon _{ijk}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ϵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \epsilon _{ijk}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80cacf43cd468e0f17c0945c0aecaa8d7c57ac99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.278ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \epsilon _{ijk}}"></span> は<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3" title="エディントンのイプシロン">完全反対称テンソル</a>である。これらの交換関係は角運動量代数と呼ばれる。 </p><p>この角運動量の性質を調べると、 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {J}}}={\hat {\boldsymbol {L}}}+{\hat {\boldsymbol {S}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">J</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">S</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {J}}}={\hat {\boldsymbol {L}}}+{\hat {\boldsymbol {S}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7af9aba098169daa21660419acbdc05f319a00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.29ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {J}}}={\hat {\boldsymbol {L}}}+{\hat {\boldsymbol {S}}}}"></span> </p> </div> <p>の二つの部分に分けられ、それぞれが角運動量代数を満たす。 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\epsilon _{ijk}{\hat {L}}_{k},~[{\hat {S}}_{i},{\hat {S}}_{j}]=i\epsilon _{ijk}{\hat {S}}_{k},~[{\hat {L}}_{i},{\hat {S}}_{j}]=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <msub> <mi>ϵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <msub> <mi>ϵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\epsilon _{ijk}{\hat {L}}_{k},~[{\hat {S}}_{i},{\hat {S}}_{j}]=i\epsilon _{ijk}{\hat {S}}_{k},~[{\hat {L}}_{i},{\hat {S}}_{j}]=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397b5bbc2aaedf00a1fe3a455750fdd15f81673f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:48.758ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\epsilon _{ijk}{\hat {L}}_{k},~[{\hat {S}}_{i},{\hat {S}}_{j}]=i\epsilon _{ijk}{\hat {S}}_{k},~[{\hat {L}}_{i},{\hat {S}}_{j}]=0}"></span> </p> </div> <p><a href="/wiki/%E8%BB%8C%E9%81%93%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="軌道角運動量">軌道角運動量</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {L}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {L}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d01b5d218dfcc28d652e2335eb5c206253d03c14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.757ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {L}}}}"></span> は、 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {L}}}={\hat {\boldsymbol {r}}}\times {\hat {\boldsymbol {p}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">L</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">p</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {L}}}={\hat {\boldsymbol {r}}}\times {\hat {\boldsymbol {p}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9042cb44e9544f49f8c41d7a2b015e8e32444729" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.543ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {L}}}={\hat {\boldsymbol {r}}}\times {\hat {\boldsymbol {p}}}}"></span> のように位置と運動量の外積で表すことができ、その固有値が整数のみに限られる。</p><div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E8%BB%8C%E9%81%93%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="軌道角運動量">軌道角運動量</a>」を参照</div> <p><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%94%E3%83%B3%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="スピン角運動量">スピン角運動量</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {S}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">S</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {S}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862c25e91099bdc9e76ad88309d2106149ecb6ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.665ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {S}}}}"></span> は、位置と運動量では表現することができず、その固有値が整数に加えて半整数も許される。</p><div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%94%E3%83%B3%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="スピン角運動量">スピン角運動量</a>」を参照</div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="特殊相対性理論での角運動量"><span id=".E7.89.B9.E6.AE.8A.E7.9B.B8.E5.AF.BE.E6.80.A7.E7.90.86.E8.AB.96.E3.81.A7.E3.81.AE.E8.A7.92.E9.81.8B.E5.8B.95.E9.87.8F"></span>特殊相対性理論での角運動量</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=9" title="節を編集: 特殊相対性理論での角運動量"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>特殊相対性理論においては二階テンソル<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{\mu \nu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{\mu \nu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe41755b19838a9c35083dec950f5b1ec6449cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.677ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle L^{\mu \nu }}"></span>として定義される。 </p> <div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"> <p> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{\mu \nu }=2!x^{[\mu }p^{\nu ]}\rightarrow {\begin{bmatrix}0&L^{z}&-L^{y}&cN^{x}\\-L^{z}&0&L^{x}&cN^{y}\\L^{y}&-L^{x}&0&cN^{z}\\-cN^{x}&-cN^{z}&-cN^{y}&0\\\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>!</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msup> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <msup> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi>c</mi> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <msup> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msup> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi>c</mi> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <msup> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>c</mi> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <msup> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{\mu \nu }=2!x^{[\mu }p^{\nu ]}\rightarrow {\begin{bmatrix}0&L^{z}&-L^{y}&cN^{x}\\-L^{z}&0&L^{x}&cN^{y}\\L^{y}&-L^{x}&0&cN^{z}\\-cN^{x}&-cN^{z}&-cN^{y}&0\\\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d92c90970a2794120fc45e130dbd5c5e64a4a8a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:51.1ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle L^{\mu \nu }=2!x^{[\mu }p^{\nu ]}\rightarrow {\begin{bmatrix}0&L^{z}&-L^{y}&cN^{x}\\-L^{z}&0&L^{x}&cN^{y}\\L^{y}&-L^{x}&0&cN^{z}\\-cN^{x}&-cN^{z}&-cN^{y}&0\\\end{bmatrix}}}"></span> </p> </div> <p>ここで，四元位置<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684350815d8cc05d6862ce3edf1fb819c1774b46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.553ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{\mu }}"></span>，四元運動量<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c408c887ff872b0832f55d2b9088ea1f0a1a3832" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.482ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle p^{\mu }}"></span>，および質量モーメント<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {N}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {N}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7f3857090174fb00b8fab35a9d324627e571de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.386ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {N}}}"></span>は次式で定義される。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}(x^{\mu })&=(x,~y,~z,~ct),\\(p^{\mu })&=(p_{x},~p_{y},~p_{z},~E/c),\\{\boldsymbol {N}}&=m({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {v}}t)\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">N</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">v</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}(x^{\mu })&=(x,~y,~z,~ct),\\(p^{\mu })&=(p_{x},~p_{y},~p_{z},~E/c),\\{\boldsymbol {N}}&=m({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {v}}t)\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e9d539be2298923ea7c5686f65f4c76129d02e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:26.189ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}(x^{\mu })&=(x,~y,~z,~ct),\\(p^{\mu })&=(p_{x},~p_{y},~p_{z},~E/c),\\{\boldsymbol {N}}&=m({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {v}}t)\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p><br /> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="対称性との関係"><span id=".E5.AF.BE.E7.A7.B0.E6.80.A7.E3.81.A8.E3.81.AE.E9.96.A2.E4.BF.82"></span>対称性との関係</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=10" title="節を編集: 対称性との関係"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>角運動量は空間の等方性（回転対称性）に対応する保存量である。空間の一様性（併進対称性）に対応する<a href="/wiki/%E4%BF%9D%E5%AD%98%E7%B3%BB" title="保存系">保存量</a>である運動量、時間の一様性に対応する保存量である<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC" title="エネルギー">エネルギー</a>とともに、基本的な物理量である<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。それぞれ「<a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87" title="角運動量保存の法則">角運動量保存の法則</a>」、「<a href="/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87" class="mw-redirect" title="運動量保存の法則">運動量保存の法則</a>」、「<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87" title="エネルギー保存の法則">エネルギー保存の法則</a>」に関連づけられる。 </p> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→「<a href="/wiki/%E3%83%8D%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ネーターの定理">ネーターの定理</a>」および「<a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E6%80%A7" class="mw-redirect" title="ポアンカレ対称性">ポアンカレ対称性</a>」も参照</div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=11" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け"><span title="この欄の操作法">脚注の使い方</span></a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="注釈"><span id=".E6.B3.A8.E9.87.88"></span>注釈</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=12" title="節を編集: 注釈"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text">通常、簡単のために回転中心を原点とする。回転中心が原点ではなく点<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>r</b><sub>o</sub></span>まわりの角運動量を求めたい場合、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>r</b></span>を相対座標<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><b>r</b>-<b>r</b><sub>o</sub></span>に置き換える必要がある。</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=13" title="節を編集: 出典"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#landau">ランダウ=リフシッツ物理学小教程</a></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=14" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="landau"><a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6" title="レフ・ランダウ">L.D.ランダウ</a>、<a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%95%E3%82%B2%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84" title="エフゲニー・リフシッツ">E.M.リフシッツ</a> 著、<a href="/wiki/%E6%B0%B4%E6%88%B8%E5%B7%8C" title="水戸巌">水戸巌</a>・<a href="/wiki/%E6%81%92%E8%97%A4%E6%95%8F%E5%BD%A6" title="恒藤敏彦">恒藤敏彦</a>・<a href="/wiki/%E5%BB%A3%E9%87%8D%E5%BE%B9" class="mw-redirect" title="廣重徹">廣重徹</a> 訳『力学・場の理論 : ランダウ=リフシッツ物理学小教程』<a href="/wiki/%E7%AD%91%E6%91%A9%E6%9B%B8%E6%88%BF" title="筑摩書房">筑摩書房</a>〈<a href="/wiki/%E3%81%A1%E3%81%8F%E3%81%BE%E5%AD%A6%E8%8A%B8%E6%96%87%E5%BA%AB" title="ちくま学芸文庫">ちくま学芸文庫</a>〉、2008年。<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:var(--color-success,#3a3);margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-4-480-09111-6" title="特別:文献資料/978-4-480-09111-6">978-4-480-09111-6</a>。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%83%BB%E5%A0%B4%E3%81%AE%E7%90%86%E8%AB%96+%3A+%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6%3D%E3%83%AA%E3%83%95%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E5%B0%8F%E6%95%99%E7%A8%8B&rft.aulast=L.D.%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6&rft.au=L.D.%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6&rft.date=2008&rft.series=%5B%5B%E3%81%A1%E3%81%8F%E3%81%BE%E5%AD%A6%E8%8A%B8%E6%96%87%E5%BA%AB%5D%5D&rft.pub=%5B%5B%E7%AD%91%E6%91%A9%E6%9B%B8%E6%88%BF%5D%5D&rft.isbn=978-4-480-09111-6&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F&action=edit&section=15" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87" title="角運動量保存の法則">角運動量保存の法則</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8A%9B%E3%81%AE%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88" title="力のモーメント">力のモーメント</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%88%E3%83%AB%E3%82%AF" title="トルク">トルク</a>（回転軸の周りの力のモーメント）</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%82%A4%E3%83%AD%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%97" title="ジャイロスコープ">ジャイロスコープ</a></li></ul> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a>: 国立図書館 <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q161254#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></span></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span class="uid"><abbr title="Moment angulaire"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119820349">フランス</a></abbr></span></li> <li><span class="uid"><abbr title="Moment angulaire"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb119820349">BnF data</a></abbr></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4150572-4">ドイツ</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007294057705171">イスラエル</a></span></li> <li><span class="uid"><abbr title="Angular momentum"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85005144">アメリカ</a></abbr></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" 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