CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="uk" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Множення — Вікіпедія</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )ukwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","січень","лютий","березень","квітень","травень","червень","липень","серпень","вересень","жовтень","листопад","грудень"],"wgRequestId":"75347f05-5589-4553-a463-0d501326d7d3","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Множення","wgTitle":"Множення","wgCurRevisionId":42898560,"wgRevisionId":42898560,"wgArticleId":356668,"wgIsArticle": true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Сторінки з використанням розширення JsonConfig","Множення","Елементарна арифметика","Бінарні операції","Арифметичні операції","Математична нотація"],"wgPageViewLanguage":"uk","wgPageContentLanguage":"uk","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Множення","wgRelevantArticleId":356668,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":3}}},"wgStableRevisionId":42898560,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"uk","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"uk"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{ "search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":20000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q40276","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready", "mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.CurIDLink","ext.gadget.collapserefs","ext.gadget.showContributorContent","ext.gadget.switcher","ext.gadget.edittop","ext.gadget.new-section","ext.gadget.newTopicOnTop","ext.gadget.MonobookToolbarStandard","ext.gadget.ProtectionIndicator","ext.gadget.Statistics","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents", "ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=codex-search-styles%7Cext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.styles.legacy%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector"> <script async="" src="/w/load.php?lang=uk&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=site.styles&only=styles&skin=vector"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Three_by_Four.svg/1200px-Three_by_Four.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1000"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Three_by_Four.svg/800px-Three_by_Four.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="667"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Three_by_Four.svg/640px-Three_by_Four.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="533"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Множення — Вікіпедія"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//uk.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Редагувати" href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Вікіпедія (uk)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//uk.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Вікіпедія — Atom-стрічка" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin-vector-legacy mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Множення rootpage-Множення skin-vector action-view"><div id="mw-page-base" class="noprint"></div> <div id="mw-head-base" class="noprint"></div> <div id="content" class="mw-body" role="main"> <a id="top"></a> <div id="siteNotice"></div> <div class="mw-indicators"> </div> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Множення</span></h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Перейти до навігації</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Перейти до пошуку</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="uk" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Three_by_Four.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Three_by_Four.svg/220px-Three_by_Four.svg.png" decoding="async" width="220" height="183" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Three_by_Four.svg/330px-Three_by_Four.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Three_by_Four.svg/440px-Three_by_Four.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="250" /></a><figcaption>3 × 4 = 12</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Multiply_4_bags_3_marbles.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Multiply_4_bags_3_marbles.svg/220px-Multiply_4_bags_3_marbles.svg.png" decoding="async" width="220" height="259" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Multiply_4_bags_3_marbles.svg/330px-Multiply_4_bags_3_marbles.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Multiply_4_bags_3_marbles.svg/440px-Multiply_4_bags_3_marbles.svg.png 2x" data-file-width="615" data-file-height="723" /></a><figcaption>4 торбинки, по 3 кульки в кожній дають разом 12 кульок. <br /> 4 кульки кожного із трьох кольорів теж разом дають 12.</figcaption></figure> <p><b>Мно́ження</b> — <a href="/wiki/%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Бінарна операція">бінарна операція</a> над математичними об'єктами. </p><p>Операнди <a class="mw-selflink selflink">множення</a> називаються <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Множник">множниками</a>, результат — <a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Добуток">добутком</a>. </p><p>Позначається хрестиком <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 5\times 3,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mn>5</mn> <mo>×</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 5\times 3,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e627515bf9b57fd80182621cd8b62bf39982d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.393ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ 5\times 3,}"></span> крапкою <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 5\cdot 3,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 5\cdot 3,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/522232ccaea2c8b877f2da5cff796d87eb651e90" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.232ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ 5\cdot 3,}"></span> <a href="/wiki/%D0%90%D1%81%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%BA" class="mw-redirect" title="Астериск">астериском</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ 5*3.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mn>5</mn> <mo>∗</mo> <mn>3.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ 5*3.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc30cb8f1c17b4fd6d6784c51c566456b17eb55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.747ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ 5*3.}"></span> В алгебраїчних виразах <a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Знак множення">знак множення</a> зазвичай опускається. Для позначення послідовного множення багатьох елементів використовується символ <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∏</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a90a03f5558eba2072a554f4fc0e5c01f6b20a24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.969ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \prod }"></span>. </p><p>Операція множення загалом має властивість <a href="/wiki/%D0%90%D1%81%D0%BE%D1%86%D1%96%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Асоціативність">асоціативності</a>, але <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Комутативність">комутативність</a> для неї не обов'язкова. </p><p>Множники можуть бути математичними об'єктами як однієї природи, так і різної. Добуток теж може бути математичним об'єктом зовсім іншого типу, відмінного від типу множників. </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="uk" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Зміст</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Визначення"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Визначення</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-2"><a href="#Множення_натуральних_чисел"><span class="tocnumber">1.1</span> <span class="toctext">Множення натуральних чисел</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#Множення_цілих_чисел"><span class="tocnumber">1.2</span> <span class="toctext">Множення цілих чисел</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#Множення_раціональних_чисел"><span class="tocnumber">1.3</span> <span class="toctext">Множення раціональних чисел</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-5"><a href="#Множення_ірраціональних_чисел"><span class="tocnumber">1.4</span> <span class="toctext">Множення ірраціональних чисел</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Множення_комплексних_чисел"><span class="tocnumber">1.5</span> <span class="toctext">Множення комплексних чисел</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Вектори"><span class="tocnumber">1.6</span> <span class="toctext">Вектори</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#Матриці"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Матриці</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#Оператори"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Оператори</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-10"><a href="#Обчислення"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Обчислення</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-11"><a href="#Історичні_алгоритми"><span class="tocnumber">4.1</span> <span class="toctext">Історичні алгоритми</span></a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-12"><a href="#Єгипет"><span class="tocnumber">4.1.1</span> <span class="toctext">Єгипет</span></a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-13"><a href="#Вавилон"><span class="tocnumber">4.1.2</span> <span class="toctext">Вавилон</span></a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-14"><a href="#Китай"><span class="tocnumber">4.1.3</span> <span class="toctext">Китай</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-2 tocsection-15"><a href="#Сучасні_методи"><span class="tocnumber">4.2</span> <span class="toctext">Сучасні методи</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-16"><a href="#Властивості"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Властивості</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-17"><a href="#Добуток_послідовностей_чисел"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Добуток послідовностей чисел</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-18"><a href="#Нотація_із_великим_Пі"><span class="tocnumber">6.1</span> <span class="toctext">Нотація із великим Пі</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-19"><a href="#Нескінченні_добутки"><span class="tocnumber">6.2</span> <span class="toctext">Нескінченні добутки</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-20"><a href="#Аксіоми"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Аксіоми</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-21"><a href="#Див._також"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Див. також</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-22"><a href="#Джерела"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">Джерела</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Визначення"><span id=".D0.92.D0.B8.D0.B7.D0.BD.D0.B0.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F"></span>Визначення</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=1" title="Редагувати розділ: Визначення" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=1" title="Редагувати вихідний код розділу: Визначення"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Множення_натуральних_чисел"><span id=".D0.9C.D0.BD.D0.BE.D0.B6.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F_.D0.BD.D0.B0.D1.82.D1.83.D1.80.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.B8.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB"></span>Множення натуральних чисел</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=2" title="Редагувати розділ: Множення натуральних чисел" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=2" title="Редагувати вихідний код розділу: Множення натуральних чисел"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table style="float:right; margin-left:1em;" class="toccolours"> <tbody><tr> <th colspan="2" style="background:#efefef;">Результати обчислення<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43815798">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43094501">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:88%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar a>span,.mw-parser-output .navbar a>abbr{text-decoration:inherit}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini" style="float:right"><ul><li class="nv-переглянути"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%A0%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Шаблон:Результати обчислення"><abbr title="Переглянути цей шаблон">п</abbr></a></li><li class="nv-обговорити"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%83:%D0%A0%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Обговорення шаблону:Результати обчислення"><abbr title="Обговорити цей шаблон">о</abbr></a></li><li class="nv-редагувати"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:EditPage/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%A0%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Спеціальна:EditPage/Шаблон:Результати обчислення"><abbr title="Редагувати цей шаблон">р</abbr></a></li></ul></div> </th></tr> <tr> <th colspan="2"><a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Додавання">Додавання</a> (+) </th></tr> <tr> <td>1-й <a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%BA" title="Доданок">доданок</a> + 2-й доданок = </td> <td><a href="/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%B0" title="Сума">сума</a> </td></tr> <tr> <th colspan="2"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BD%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Віднімання">Віднімання</a> (−) </th></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%D0%97%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%88%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B5" class="mw-redirect" title="Зменшуване">зменшуване</a> − <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%27%D1%94%D0%BC%D0%BD%D0%B8%D0%BA" class="mw-redirect" title="Від'ємник">від'ємник</a> = </td> <td><a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D0%B7%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8F" title="Різниця">різниця</a> </td></tr> <tr> <th colspan="2"><a class="mw-selflink selflink">Множення</a> (×) </th></tr> <tr> <td>1-й <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Множник">множник</a> × 2-й множник = </td> <td><a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Добуток">добуток</a> </td></tr> <tr> <th colspan="2"><a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Ділення">Ділення</a> (÷) </th></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B5" title="Ділене">ділене</a> ÷ <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Дільник">дільник</a> = </td> <td><a href="/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BA%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Частка (математика)">частка</a> </td></tr> <tr> <th colspan="2"><a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B7_%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%87%D0%B5%D1%8E" title="Ділення з остачею">Ділення з остачею</a> (mod) </th></tr> <tr> <td>ділене mod дільник = </td> <td><a href="/wiki/%D0%9E%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%87%D0%B0" title="Остача">остача</a> </td></tr> <tr> <th colspan="2"><a href="/wiki/%D0%9F%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BE_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%8F" title="Піднесення до степеня">Піднесення до степеня</a> </th></tr> <tr> <td>основа степеня<sup>показник степеня</sup> = </td> <td><a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%BF%D1%96%D0%BD%D1%8C" title="Степінь">степінь</a> </td></tr> <tr> <th colspan="2"><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D1%8C_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Корінь (математика)">Обчислення кореня</a> (√) </th></tr> <tr> <td><span class="texhtml"><span style="white-space: nowrap"><sup><sup style="margin-right: -0.5em">показник кореня </sup></sup><big>√</big><span style="border-top:1px solid; padding:0.15em 0.3em;">підкореневий вираз</span></span></span> = </td> <td>корінь </td></tr> <tr> <th colspan="2"><a href="/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Логарифм">Логарифм</a> (log) </th></tr> <tr> <td>log<sub>основа</sub>(число) = </td> <td>логарифм </td></tr></tbody></table> <p>Операція множення <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Натуральне число">натуральних чисел</a> визначається через операцію <a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Додавання">додавання</a>. Для того, щоб перемножити натуральне число <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf8b0f621a23f81aa20d63b5cd59d3dcad83ccb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.975ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ n}"></span> на натуральне число <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d996842f038c3a2e9fb08a5dece4e379a4ff11d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.621ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ m}"></span> необхідно обчислити <a href="/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%B0" title="Сума">суму</a>, в якій число <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf8b0f621a23f81aa20d63b5cd59d3dcad83ccb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.975ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ n}"></span> береться <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d996842f038c3a2e9fb08a5dece4e379a4ff11d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.621ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \ m}"></span> разів </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ n\cdot m=n+n+\ldots +n.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> <mo>⋅</mo> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ n\cdot m=n+n+\ldots +n.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ceadaeffd67c495f59c721503b815dd3ae22d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:24.869ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ n\cdot m=n+n+\ldots +n.}"></span></dd></dl> <p>Наприклад, </p> <dl><dd>3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12</dd></dl> <p>Множення натуральних чисел комутативне: від перестановки множників добуток не міняється. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Множення_цілих_чисел"><span id=".D0.9C.D0.BD.D0.BE.D0.B6.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F_.D1.86.D1.96.D0.BB.D0.B8.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB"></span>Множення цілих чисел</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=3" title="Редагувати розділ: Множення цілих чисел" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=3" title="Редагувати вихідний код розділу: Множення цілих чисел"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Множення цілих чисел зводиться до множення натуральних чисел — <a href="/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%81%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0" class="mw-redirect" title="Абсолютна величина">абсолютних величин</a> цих чисел, а знак добутку визначається знаками множників. Добуток береться зі знаком «плюс», якщо обидва множники додатні або <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%27%D1%94%D0%BC%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Від'ємні числа">від'ємні</a>, зі знаком «мінус», якщо множники мають різні знаки. </p><p>Результатом множення будь-якого числа на <a href="/wiki/0_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)" title="0 (число)">нуль</a> є нуль. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Множення_раціональних_чисел"><span id=".D0.9C.D0.BD.D0.BE.D0.B6.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F_.D1.80.D0.B0.D1.86.D1.96.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.B8.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB"></span>Множення раціональних чисел</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=4" title="Редагувати розділ: Множення раціональних чисел" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=4" title="Редагувати вихідний код розділу: Множення раціональних чисел"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Для того, щоб помножити <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Раціональне число">раціональне число</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db75e08f464953d8043050d3ae00d3961b54a27f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:3.06ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}}"></span> на раціональне число <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {p_{2}}{q_{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {p_{2}}{q_{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9040df4e06af7334527e0129e9550c4f4a76e70e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:3.06ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {p_{2}}{q_{2}}}}"></span> потрібно перемножити чисельники і знаменники дробів. Чисельник добутку є добутком чисельників, знаменник — добутком знаменників. При можливості проводяться скорочення. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}\cdot {\frac {p_{1}}{q_{1}}}={\frac {p_{1}p_{2}}{q_{1}q_{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}\cdot {\frac {p_{1}}{q_{1}}}={\frac {p_{1}p_{2}}{q_{1}q_{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb3367f8b295e6e39a384f2cff5976c086f3aac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.181ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}\cdot {\frac {p_{1}}{q_{1}}}={\frac {p_{1}p_{2}}{q_{1}q_{2}}}}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Множення_ірраціональних_чисел"><span id=".D0.9C.D0.BD.D0.BE.D0.B6.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F_.D1.96.D1.80.D1.80.D0.B0.D1.86.D1.96.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.B8.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB"></span>Множення ірраціональних чисел</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=5" title="Редагувати розділ: Множення ірраціональних чисел" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=5" title="Редагувати вихідний код розділу: Множення ірраціональних чисел"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Кожне <a href="/wiki/%D0%86%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Ірраціональне число">ірраціональне число</a> можна подати як <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" title="Границя числової послідовності">границю</a> певної раціональної <a href="/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" class="mw-redirect" title="Числова послідовність">послідовності</a>. </p><p>Якщо ірраціональне число <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44bd1e20ed8b372c7836a6b26fc6507f4d161bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.436ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle a=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}"></span>, а <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf196491cbac2b0fda525c75a196b3ca44220dc5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.972ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle b=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}}"></span>, то </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}b_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}b_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2d4eb2b8032ab8ec0ffb9e79586cd48fcab9b5a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.65ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle ab=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}b_{n}}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Множення_комплексних_чисел"><span id=".D0.9C.D0.BD.D0.BE.D0.B6.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F_.D0.BA.D0.BE.D0.BC.D0.BF.D0.BB.D0.B5.D0.BA.D1.81.D0.BD.D0.B8.D1.85_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB"></span>Множення комплексних чисел</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=6" title="Редагувати розділ: Множення комплексних чисел" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=6" title="Редагувати вихідний код розділу: Множення комплексних чисел"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Множення <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Комплексне число">комплексних чисел</a> визначається за формулою </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f6cf328dd3db6278cd9768a18c342c53ede933" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:46.452ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}"></span>,</dd></dl> <p>або, в іншій формі запису, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1}+iy_{1})\cdot (x_{2}+iy_{2})=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1}+iy_{1})\cdot (x_{2}+iy_{2})=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/896923cd359b6d83dc1d1345b8de038ccb3c41aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:54.279ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1}+iy_{1})\cdot (x_{2}+iy_{2})=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})}"></span>,</dd></dl> <p><br /> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Вектори"><span id=".D0.92.D0.B5.D0.BA.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8"></span>Вектори</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=7" title="Редагувати розділ: Вектори" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=7" title="Редагувати вихідний код розділу: Вектори"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Для <a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80" class="mw-redirect" title="Вектор">векторів</a> існує кілька типів множення. Зокрема, вектор можна помножити на <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Дійсне число">дійсне число</a>. При цьому змінюється його довжина, і, при множенні на від'ємне число, напрямок (на протилежний). </p><p>Існують різні типи добутку двох векторів: <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Скалярний добуток">скалярний добуток</a>, <a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Векторний добуток">векторний добуток</a>, <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Тензорний добуток">тензорний добуток</a> (тензорний добуток векторів називається також <i>діадним</i>). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Матриці"><span id=".D0.9C.D0.B0.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.86.D1.96"></span>Матриці</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=8" title="Редагувати розділ: Матриці" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=8" title="Редагувати вихідний код розділу: Матриці"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Матриця (математика)">Матриці</a> можна перемножити між собою, якщо кількість стовпчиків у першій із них збігається із кількістю рядків у другій. Результатом множення є матриця із кількістю рядків, яка дорівнює кількості рядків у першому множнику, і кількістю стовпчиків, яка дорівнює кількості стовпчиків у другому множнику. Тобто, при перемножуванні матриці m×n на матрицю n×k утворюється матриця m×k. Елементи матриці добутку визначаються за формулою </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916f0773a79cf20969dbb67379a33fa19090f603" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.361ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\,}"></span></dd></dl> <p>Множення матриць не має властивості комутативності. В загальному випадку <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle AB\neq BA}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mo>≠</mo> <mi>B</mi> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle AB\neq BA}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f1a5c060698eefdb6af8dd172fd3fe7124189c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.113ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle AB\neq BA}"></span>. </p><p>Матрицю можна також помножити на число, при цьому кожен елемент матриці множиться на це число. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Оператори"><span id=".D0.9E.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.B0.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8"></span>Оператори</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=9" title="Редагувати розділ: Оператори" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=9" title="Редагувати вихідний код розділу: Оператори"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%86%D1%96%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9" title="Композиція функцій">Добутком двох операторів</a> називають їхнє послідовне застосування. При дії оператора A на об'єкт f утворюється об'єкт Af. Якщо подіяти тепер на нього оператором B, то утвориться новий об'єкт, який можна трактувати як утворений із початкового об'єкта f дією оператора BA. </p><p>Множення операторів у загальному випадку не комутативне. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Обчислення"><span id=".D0.9E.D0.B1.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F"></span>Обчислення</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=10" title="Редагувати розділ: Обчислення" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=10" title="Редагувати вихідний код розділу: Обчислення"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:%D7%A6%D7%A2%D7%A6%D7%95%D7%A2_%D7%9E%D7%9B%D7%A0%D7%99_%D7%9E%D7%A9%D7%A0%D7%AA_1918_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%99_%D7%9C%D7%95%D7%97_%D7%94%D7%9B%D7%A4%D7%9C_The_Educated_Monkey.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/%D7%A6%D7%A2%D7%A6%D7%95%D7%A2_%D7%9E%D7%9B%D7%A0%D7%99_%D7%9E%D7%A9%D7%A0%D7%AA_1918_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%99_%D7%9C%D7%95%D7%97_%D7%94%D7%9B%D7%A4%D7%9C_The_Educated_Monkey.jpg/200px-%D7%A6%D7%A2%D7%A6%D7%95%D7%A2_%D7%9E%D7%9B%D7%A0%D7%99_%D7%9E%D7%A9%D7%A0%D7%AA_1918_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%99_%D7%9C%D7%95%D7%97_%D7%94%D7%9B%D7%A4%D7%9C_The_Educated_Monkey.jpg" decoding="async" width="200" height="213" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/%D7%A6%D7%A2%D7%A6%D7%95%D7%A2_%D7%9E%D7%9B%D7%A0%D7%99_%D7%9E%D7%A9%D7%A0%D7%AA_1918_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%99_%D7%9C%D7%95%D7%97_%D7%94%D7%9B%D7%A4%D7%9C_The_Educated_Monkey.jpg/300px-%D7%A6%D7%A2%D7%A6%D7%95%D7%A2_%D7%9E%D7%9B%D7%A0%D7%99_%D7%9E%D7%A9%D7%A0%D7%AA_1918_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%99_%D7%9C%D7%95%D7%97_%D7%94%D7%9B%D7%A4%D7%9C_The_Educated_Monkey.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/%D7%A6%D7%A2%D7%A6%D7%95%D7%A2_%D7%9E%D7%9B%D7%A0%D7%99_%D7%9E%D7%A9%D7%A0%D7%AA_1918_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%99_%D7%9C%D7%95%D7%97_%D7%94%D7%9B%D7%A4%D7%9C_The_Educated_Monkey.jpg/400px-%D7%A6%D7%A2%D7%A6%D7%95%D7%A2_%D7%9E%D7%9B%D7%A0%D7%99_%D7%9E%D7%A9%D7%A0%D7%AA_1918_%D7%9C%D7%97%D7%99%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%99_%D7%9C%D7%95%D7%97_%D7%94%D7%9B%D7%A4%D7%9C_The_Educated_Monkey.jpg 2x" data-file-width="2055" data-file-height="2187" /></a><figcaption>Вчена мавпа — невелика іграшка 1918 року, що використовувалася як «калькулятор» для множення. <small><small>Наприклад: якщо розмістити ноги мавпи на числа 4 і 9, в результаті буде отримане число — 36 — на що вказують руки.</small></small></figcaption></figure> <p>Загальні методи множення чисел із використанням олівця та паперу потребують знання напам'ять <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Таблиця множення">таблиці множення</a> або довідник добутків малих чисел (як правило двох чисел від 0 до 9), однак існує один метод, <a href="/wiki/%D0%84%D0%B3%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Єгипетський метод множення">єгипетський алгоритм множення</a>, при якому це не потрібно. </p><p>Множення вручну чисел із більшою кількістю десяткових розрядів є виснажливою процедурою із можливістю зробити помилку. Для спрощення розрахунків були придумані <a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Десятковий логарифм">десяткові логарифми</a>. За допомогою <a href="/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BA%D0%B0" title="Логарифмічна лінійка">логарифмічної лінійки</a> числа можна множити відносно швидко із точністю до трьох знаків. На початку 20-го століття, з'явилися механічні <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Калькулятор">калькулятори</a>, що автоматизували множення чисел довжиною до 10 цифрових розрядів. Сучасні електронні <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%27%D1%8E%D1%82%D0%B5%D1%80" title="Комп'ютер">комп'ютери</a> і калькулятори значно спростили розрахунки і зменшили необхідність виконувати множення вручну. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Історичні_алгоритми"><span id=".D0.86.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.87.D0.BD.D1.96_.D0.B0.D0.BB.D0.B3.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.BC.D0.B8"></span>Історичні алгоритми</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=11" title="Редагувати розділ: Історичні алгоритми" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=11" title="Редагувати вихідний код розділу: Історичні алгоритми"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Методи множення були записані в часи існування ще стародавніх цивілізацій: в <a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%84%D0%B3%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%82" title="Стародавній Єгипет">стародавньому Єгипті</a>, <a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D1%8F_%D0%93%D1%80%D0%B5%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Стародавня Греція">Греції</a>, <a href="/wiki/%D0%86%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%86%D0%BD%D0%B4%D1%96%D1%97" title="Історія Індії">Індії</a> і <a href="/wiki/%D0%86%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%9A%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%8E" title="Історія Китаю">Китаї</a>. </p><p><a href="/wiki/%D0%9A%D1%96%D1%81%D1%82%D0%BA%D0%B0_%D0%86%D1%88%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BE" title="Кістка Ішанго">Кістка Ішанго</a>, археологічна знахідка що датується близько від 18000 до 20000 рр до н. е., вказує на вміння множити ще в період <a href="/wiki/%D0%9F%D1%96%D0%B7%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%BF%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BE%D0%BB%D1%96%D1%82" title="Пізній палеоліт">пізнього палеоліту</a>, і була знайдена у <a href="/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%90%D1%84%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Центральна Африка">Центральній Африці</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Єгипет"><span id=".D0.84.D0.B3.D0.B8.D0.BF.D0.B5.D1.82"></span>Єгипет</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=12" title="Редагувати розділ: Єгипет" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=12" title="Редагувати вихідний код розділу: Єгипет"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="padding-left:20px"><i>Докладніше: <a href="/wiki/%D0%84%D0%B3%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Єгипетський метод множення">Єгипетський метод множення</a></i></div> <p>Єгипетський метод множення цілих чисел і дробів, було описано у <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B0%D0%BF%D1%96%D1%80%D1%83%D1%81_%D0%A0%D1%96%D0%BD%D0%B4%D0%B0" class="mw-redirect" title="Папірус Рінда">папірусі Рінда</a>, і здійснювався шляхом послідовного додавання і подвоєння. Наприклад, аби знайти добуток числа 13 і 21 необхідно було подвоїти число 21 тричі, отримавши <span style="white-space: nowrap;">2 × 21 = 42</span>, <span style="white-space: nowrap;">4 × 21 = 2 × 42 = 84</span>, <span style="white-space: nowrap;">8 × 21 = 2 × 84 = 168</span>. Повний добуток зрештою можна знайти додавши відповідні елементи знайдені у послідовності подвоєння: </p> <dl><dd>13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Вавилон"><span id=".D0.92.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D0.BB.D0.BE.D0.BD"></span>Вавилон</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=13" title="Редагувати розділ: Вавилон" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=13" title="Редагувати вихідний код розділу: Вавилон"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%D0%92%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%96%D1%8F" title="Вавилонія">Вавилонці</a> використовували <a href="/wiki/%D0%A8%D1%96%D1%81%D1%82%D0%B4%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Шістдесяткова система числення">шістдесяткову</a> <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" class="mw-redirect" title="Позиційні системи числення">позиційну систему числення</a>, аналогічну сучасній <a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Десяткова система числення">десятковій системі</a>. Таким чином, множення у Вавилонії було подібним до сучасного десяткового множення. Через відносну складність запам'ятовування усіх різних добутків із комбінацій <span style="white-space: nowrap;">60 × 60</span>, вавилонські математики використовували таблиці множення. Ці таблиці містили список перших двадцяти множників окремого <i>principal number</i> <i>n</i>: <i>n</i>, 2<i>n</i>, …, 20<i>n</i>; за якими слідують множники на 10<i>n</i>: 30<i>n</i> 40<i>n</i>, і 50<i>n</i>. Тоді, аби розрахувати добуток шістдесяткового числа, наприклад 53<i>n</i>, необхідно скласти значення 50<i>n</i> і 3<i>n</i> розрахованих із таблиці. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Китай"><span id=".D0.9A.D0.B8.D1.82.D0.B0.D0.B9"></span>Китай</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=14" title="Редагувати розділ: Китай" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=14" title="Редагувати вихідний код розділу: Китай"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Multiplication_algorithm.GIF" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Multiplication_algorithm.GIF/250px-Multiplication_algorithm.GIF" decoding="async" width="250" height="184" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Multiplication_algorithm.GIF/375px-Multiplication_algorithm.GIF 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Multiplication_algorithm.GIF/500px-Multiplication_algorithm.GIF 2x" data-file-width="706" data-file-height="521" /></a><figcaption><span style="white-space: nowrap;">38 × 76 = 2888</span></figcaption></figure> <p>У математичній праці <i><a href="/wiki/%D0%A7%D0%B6%D0%BE%D1%83%D0%B1%D1%96_%D0%A1%D1%83%D0%B0%D0%BD%D1%8C%D1%86%D0%B7%D0%B8%D0%BD" class="mw-redirect" title="Чжоубі Суаньцзин">Чжоубі Суаньцзин</a></i>, що датується до 300 р. до н. е., а в <i><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%B2_%D0%B4%D0%B5%D0%B2%27%D1%8F%D1%82%D0%B8_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D1%85" title="Математика в дев'яти книгах">Дев'яти книгах з математики</a></i>, процедура множення була описана словами, хоча раніше китайські математики використовували <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BA%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%B9%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B8%D0%BC%D0%B8_%D0%BF%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8" title="Рахування китайськими паличками">палички для рахування</a> таких операцій як додавання, віднімання, множення і ділення. Арифметичні алгоритми із позиційними десятковими числами потрапили до арабських країн завдяки <a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D1%8C-%D0%A5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BC%D1%96" title="Аль-Хорезмі">Аль-Хорезмі</a> на початку 9-го століття. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Сучасні_методи"><span id=".D0.A1.D1.83.D1.87.D0.B0.D1.81.D0.BD.D1.96_.D0.BC.D0.B5.D1.82.D0.BE.D0.B4.D0.B8"></span>Сучасні методи</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=15" title="Редагувати розділ: Сучасні методи" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=15" title="Редагувати вихідний код розділу: Сучасні методи"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Сучасні методи множення основані на <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D0%B4%D0%BE-%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Індо-арабська система числення">Індо-арабській системі числення</a> і вперше їх описав <a href="/wiki/%D0%91%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%BF%D1%82%D0%B0" title="Брамагупта">Брамагупта</a>. Він навів правила для додавання, віднімання, множення і ділення. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Властивості"><span id=".D0.92.D0.BB.D0.B0.D1.81.D1.82.D0.B8.D0.B2.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.96"></span>Властивості</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=16" title="Редагувати розділ: Властивості" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=16" title="Редагувати вихідний код розділу: Властивості"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Для <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Дійсне число">дійсних</a> і <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Комплексне число">комплексних</a> чисел, до яких відносяться <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Натуральні числа">натуральні числа</a>, <a href="/wiki/%D0%A6%D1%96%D0%BB%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Цілі числа">цілі</a> і <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Раціональні числа">дроби</a>, множення має наступні властивості: </p> <dl><dt><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D1%83%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Комутативність">Комутативність</a></dt> <dd>Порядок множення чисел не має значення: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo>⋅</mo> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f21580dd12734adc7e6eee7e7b31d0f9f3f9dcc0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.074ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x.}"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dt><a href="/wiki/%D0%90%D1%81%D0%BE%D1%86%D1%96%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Асоціативність">Асоціативність</a></dt> <dd>Результат виразів, що повністю складаються з операції множення чи додавання не залежить від <a href="/wiki/%D0%A7%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%B9" title="Черговість операцій">черговості операцій</a>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>⋅</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27c3b680bd94bc409f7704de0cb7519d1d7bf30" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.58ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dt><a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Дистрибутивність">Дистрибутивність</a></dt> <dd>Виконується при добутку на суму. Ця властивість дуже корисна при спрощенні алгебраїчних виразів: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef04839940b9b2f33028670da2930e139873789" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.102ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dt><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B9%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82" title="Нейтральний елемент">Нейтральний елемент</a></dt> <dd>Мультиплікативний нейтральний елемент це число 1; будь-яке число помножене на 1 буде дорівнювати самому числу: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\cdot 1=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\cdot 1=x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f32d3aa48ec6fa10f6432548640b212bbc2ad281" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.599ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\cdot 1=x}"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dt>Властивість 0</dt> <dd>Будь-яке число помножене на 0 дасть в результаті 0. Це називають нульовою властивістю множення: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\cdot 0=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\cdot 0=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b1b207154bd1e280dfdeba3c7f12840a184ff2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.432ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\cdot 0=0}"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dt><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B8%D0%BB%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Протилежне число">Від'ємне число</a></dt> <dd>Результатом множення будь-якого числа на −1 буде <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B8%D0%BB%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Протилежне число">протилежне число</a> даного числа. <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248d74c79bb9e2e4ed765acb885d7f2d18294711" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.834ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)}"></span> де <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-x)+x=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-x)+x=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d257979251e98cea2026e769b62c942fef3028a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.378ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-x)+x=0}"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dd>–1 помножене на –1 дорівнює 1. <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bde8913289239fbd7024023a68017c6adb39086a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.5ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}"></span></dd></dl></dd></dl> <dl><dt><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82" title="Обернений елемент">Обернений елемент</a></dt> <dd>Кожне число <i>x</i>, крім 0, має <b><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Обернене число">мультиплікативне обернене число</a></b>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f89eaf83a3811c69adb4bf1119bafd661a4c08" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:2.166ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{x}}}"></span>, так що <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>x</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dcf6f625e02d33dcac6b78c2e0448d73accd07f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:12.857ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1}"></span>.</dd></dl> <dl><dt>Збереження <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D1%83" title="Теорія порядку">порядку</a></dt> <dd>Множення на додатне число зберігає <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D1%83" title="Теорія порядку">теорію порядку</a>: <dl><dd>Для <span style="white-space: nowrap;"><i>a</i> > 0</span>, якщо <span style="white-space: nowrap;"><i>b</i> > <i>c</i></span> тоді <span style="white-space: nowrap;"><i>ab</i> > <i>ac</i></span>.</dd></dl></dd> <dd>Множення на від'ємне число робить порядок оберненим: <dl><dd>Для <span style="white-space: nowrap;"><i>a</i> < 0</span>, якщо <span style="white-space: nowrap;"><i>b</i> > <i>c</i></span> тоді <span style="white-space: nowrap;"><i>ab</i> < <i>ac</i></span>.</dd></dl></dd> <dd>Комплексні числа не мають порядку.</dd></dl> <p>Інші математичні системи, що містять операцію добутку можуть не мати всіх цих властивостей. Наприклад, в загальному випадку, множення не є комутативною операцією для <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Матриця (математика)">матриць</a> і <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B8" title="Кватерніони">кватерніонів</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Добуток_послідовностей_чисел"><span id=".D0.94.D0.BE.D0.B1.D1.83.D1.82.D0.BE.D0.BA_.D0.BF.D0.BE.D1.81.D0.BB.D1.96.D0.B4.D0.BE.D0.B2.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.B9_.D1.87.D0.B8.D1.81.D0.B5.D0.BB"></span>Добуток послідовностей чисел</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=17" title="Редагувати розділ: Добуток послідовностей чисел" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=17" title="Редагувати вихідний код розділу: Добуток послідовностей чисел"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Нотація_із_великим_Пі"><span id=".D0.9D.D0.BE.D1.82.D0.B0.D1.86.D1.96.D1.8F_.D1.96.D0.B7_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.B8.D0.BC_.D0.9F.D1.96"></span>Нотація із великим Пі</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=18" title="Редагувати розділ: Нотація із великим Пі" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=18" title="Редагувати вихідний код розділу: Нотація із великим Пі"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Добуток послідовності множників можна записати за допомогою спеціального символу добутку, який позначається великою літерою Π (Пі) <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B5%D1%86%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%B0%D0%B1%D0%B5%D1%82%D0%BA%D0%B0" title="Грецька абетка">грецького алфавіту</a>. Значення юнікод U+220F (∏), що задає символ, який позначає таких добуток, відрізняється від коду самої літери U+03A0 (Π). Значення такого запису є наступним: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod _{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </munderover> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod _{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e328311df048233471b8d30ff78aac527298646f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:17.591ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \prod _{i=1}^{4}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,}"></span></dd></dl> <p>що дорівнює </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod _{i=1}^{4}i=24.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </munderover> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>24.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod _{i=1}^{4}i=24.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689f23e54dccaf8cceb4c2d715557c74632f4f64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:10.229ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \prod _{i=1}^{4}i=24.}"></span></dd></dl> <p>Індекс задає символ для <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%96_%D0%B7%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D1%96" title="Вільні і зв'язані змінні">довільної змінної</a> (в даному випадку <i>i</i>), що називається «індексом множення», а також задається її нижня межа значення (<i>1</i>), а над цим задається його верхня межа значень (тут це <i>4</i>). Верхня і нижня межа мають бути виразами, що задають цілі значення. Множники цього добутку отримуються за допомогою виразу, що слідує за оператором добутку, із послідовними цілими значеннями, що підставляються замість індексу множення, починаючи від нижньої межі із збільшенням що разу на 1 до верхньої межі включно. Тож, наприклад: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod _{i=1}^{6}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </munderover> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <mn>6</mn> <mo>=</mo> <mn>720</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod _{i=1}^{6}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f5b094d2eccfa70291eb6364d2da501ea3cb42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:29.214ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \prod _{i=1}^{6}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720}"></span></dd></dl> <p>В більш загальному випадку, нотація визначається наступним чином </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>⋯</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6a5719f5cda293cd79836a3c90f59e7447557e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:42.63ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},}"></span></dd></dl> <p>де <i>m</i> і <i>n</i> це цілі або вирази, що розраховуються до цілих значень. У випадку коли <span style="white-space: nowrap;"><i>m</i> = <i>n</i></span>, значенням добутку буде таким самим, як значення одного множника <i>x</i><sub><i>m</i></sub>. Якщо <span style="white-space: nowrap;"><i>m</i> > <i>n</i></span>, добутком буде <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Порожній добуток">порожній добуток</a>, що має значення 1. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Нескінченні_добутки"><span id=".D0.9D.D0.B5.D1.81.D0.BA.D1.96.D0.BD.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.96_.D0.B4.D0.BE.D0.B1.D1.83.D1.82.D0.BA.D0.B8"></span>Нескінченні добутки</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=19" title="Редагувати розділ: Нескінченні добутки" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=19" title="Редагувати вихідний код розділу: Нескінченні добутки"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="padding-left:20px"><i>Докладніше: <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Нескінченний добуток">Нескінченний добуток</a></i></div> <p>Також можливо розглядати добутки нескінченної кількості множників; вони так і називаються <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Нескінченний добуток">нескінченними добутками</a>. У вигляді нотації, це можна позначити замінивши межу <i>n</i> зверху на <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BD%D1%96%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B0" title="Лемніската">лемніскату</a> ∞. Добуток таких послідовностей визначається як <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" title="Границя числової послідовності">границя</a> добутку перших <i>n</i> термів, при тому що <i>n</i> зростає до нескінченності. Що за визначенням, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54769034d506aa9194ee35c7175118c3c359f92d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:20.015ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.}"></span></dd></dl> <p>Також можна замінити <i>m</i> від'ємною нескінченністю, і визначити: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c9de50a83cd6f6a8b1396ef59c2555631584fe9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:42.804ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),}"></span></dd></dl> <p>обидві наведені границі існують. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Аксіоми"><span id=".D0.90.D0.BA.D1.81.D1.96.D0.BE.D0.BC.D0.B8"></span>Аксіоми</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=20" title="Редагувати розділ: Аксіоми" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=20" title="Редагувати вихідний код розділу: Аксіоми"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="padding-left:20px"><i>Докладніше: <a href="/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D0%9F%D0%B5%D0%B0%D0%BD%D0%BE" title="Аксіоми Пеано">Аксіоми Пеано</a></i></div> <p>У своїй книзі <i><a href="/w/index.php?title=Arithmetices_principia,_nova_methodo_exposita&action=edit&redlink=1" class="new" title="Arithmetices principia, nova methodo exposita (ще не написана)">Arithmetices principia, nova methodo exposita</a><sup class="noprint"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetices_principia,_nova_methodo_exposita" class="extiw" title="en:Arithmetices principia, nova methodo exposita"><span title="Arithmetices principia, nova methodo exposita — версія статті «Arithmetices principia, nova methodo exposita» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</span></a></sup></i> (Принципи арифметики, представлені новим методом), <a href="/wiki/%D0%94%D0%B6%D1%83%D0%B7%D0%B5%D0%BF%D0%BF%D0%B5_%D0%9F%D0%B5%D0%B0%D0%BD%D0%BE" title="Джузеппе Пеано">Джузеппе Пеано</a> запропонував аксіоми із арифметики на основі його аксіом для натуральних чисел.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Арифметика Пеано має дві аксіоми для множення: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\times 0=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>×</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\times 0=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c53848975b79c30253c1a29c94c2039626593e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.593ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\times 0=0}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\times S(y)=(x\times y)+x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>×</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>×</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\times S(y)=(x\times y)+x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52009f37ff7a2abb73a860ec211bdf292b111363" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.038ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\times S(y)=(x\times y)+x}"></span></dd></dl> <p>Тут <i>S</i>(<i>y</i>) задає <a href="/w/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%BD%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%BD%D0%B8%D0%BA&action=edit&redlink=1" class="new" title="Порядковий наступник (ще не написана)">наступником</a><sup class="noprint"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Successor_ordinal" class="extiw" title="en:Successor ordinal"><span title="Successor ordinal — версія статті «Порядковий наступник» англійською мовою" style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:normal">[en]</span></a></sup> числа <i>y</i>, або натуральне число що <i>слідує</i> за <i>y</i>. Із цих та інших аксіом Пеано з арифметики включаючи <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%96%D0%BD%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Математична індукція">індукцію</a> можна довести різноманітні властивості такі як асоціативність. Наприклад <i>S</i>(0), що позначається 1, є мультикативною одиницею тому що </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>×</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>×</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>×</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/851e5d698d443dc09a34f0f51e41dc4284332345" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.342ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x}"></span></dd></dl> <p>Аксіоми для <a href="/wiki/%D0%A6%D1%96%D0%BB%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Цілі числа">цілих чисел</a> зазвичай визначають їх як еквівалентні класи впорядкованих пар натуральних чисел. Модель засновується на ставленні до (<i>x</i>,<i>y</i>) як еквіваленту до <span style="white-space: nowrap;"><i>x</i> − <i>y</i></span> коли <i>x</i> і <i>y</i> вважаються цілими. Таким чином обидві пари (0,1) і (1,2) еквівалентні −1. Аксіома множення для цілих, що визначені таким чином буде наступною </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f240965a67023db1f14a8f77ed85b35e10d718" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:64.149ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p})}"></span></dd></dl> <p>Правило, що −1 × −1 = 1 тоді може бути отримане із </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>×</mo> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>×</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>0</mn> <mo>×</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>×</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a4578466cb3501b5c80d82ddefefb221e10e54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:54.114ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0)}"></span></dd></dl> <p>Множення аналогічним чином поширюється на <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Раціональні числа">раціональні числа</a>, а потім і на <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Дійсні числа">дійсні числа</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Див._також"><span id=".D0.94.D0.B8.D0.B2._.D1.82.D0.B0.D0.BA.D0.BE.D0.B6"></span>Див. також</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=21" title="Редагувати розділ: Див. також" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=21" title="Редагувати вихідний код розділу: Див. також"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div role="navigation" aria-label="Portals" class="noprint portal plainlist tright" style="margin:0.5em 0 0.5em 1em;border:1px solid var(--border-color-base, #a2a9b1);background:var(--background-color-neutral-subtle, #f8f9fa)"> <ul style="display:table;box-sizing:border-box;padding:0.1em;max-width:175px;font-size:85%;line-height:110%;font-style:italic;font-weight:bold"> <li style="display:table-row"><span style="display:table-cell;padding:0.2em;vertical-align:middle;text-align:center"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/28px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png" decoding="async" width="28" height="28" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/42px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg/56px-Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></span><span style="display:table-cell;padding:0.2em 0.2em 0.2em 0.3em;vertical-align:middle"><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Портал:Математика">Портал «Математика»</a></span></li></ul></div> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Таблиця множення">Таблиця множення</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B8_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Формули скороченого множення">Формули скороченого множення</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Джерела"><span id=".D0.94.D0.B6.D0.B5.D1.80.D0.B5.D0.BB.D0.B0"></span>Джерела</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit&section=22" title="Редагувати розділ: Джерела" class="mw-editsection-visualeditor"><span>ред.</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit&section=22" title="Редагувати вихідний код розділу: Джерела"><span>ред. код</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="citation"><i><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%B8%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%99%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BF_%D0%91%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" title="Погребиський Йосип Бенедиктович">Погребиський Й. Б.</a></i> Арифметика. — Київ : <a href="/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%B2%D1%96%D1%82%D0%B0_(%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%82%D0%B2%D0%BE)" title="Освіта (видавництво)"> Освіта</a>, 1953.</span><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43693355">.mw-parser-output .ref-info{font-size:85%;cursor:help;margin-left:0.2em;color:var(--color-subtle,#54595d)}</style><span title="українською мовою" class="ref-info">(укр.)</span></li></ul> <div class="navbox-styles"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43353293">.mw-parser-output .navbox{box-sizing:border-box;border:1px solid #a2a9b1;width:100%;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px;margin:1em auto 0}.mw-parser-output .navbox .navbox{margin-top:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox,.mw-parser-output .navbox+.navbox-styles+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-inner,.mw-parser-output .navbox-subgroup{width:100%}.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow{padding:0.25em 1em;line-height:1.5em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output .navbox-subgroup{background-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list{line-height:1.5em;border-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list-with-group{text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid}.mw-parser-output tr+tr>.navbox-abovebelow,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-group,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-image,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-list{border-top:2px solid #fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-title{background-color:#ccf}.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-title{background-color:#ddf}.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-abovebelow{background-color:#e6e6ff}.mw-parser-output .navbox-even{background-color:#f7f7f7}.mw-parser-output .navbox-odd{background-color:transparent}.mw-parser-output .navbox .hlist td dl,.mw-parser-output .navbox .hlist td ol,.mw-parser-output .navbox .hlist td ul,.mw-parser-output .navbox td.hlist dl,.mw-parser-output .navbox td.hlist ol,.mw-parser-output .navbox td.hlist ul{padding:0.125em 0}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}body.skin--responsive .mw-parser-output .navbox-image img{max-width:none!important}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .navbox{display:none!important}}</style></div><div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Елементарна_арифметика" style="padding:3px"><table class="nowraplinks collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43094501"><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-переглянути"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Шаблон:Елементарна арифметика"><abbr title="Переглянути цей шаблон">п</abbr></a></li><li class="nv-обговорити"><a href="/w/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%83:%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="Обговорення шаблону:Елементарна арифметика (ще не написана)"><abbr title="Обговорити цей шаблон">о</abbr></a></li><li class="nv-редагувати"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:EditPage/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Спеціальна:EditPage/Шаблон:Елементарна арифметика"><abbr title="Редагувати цей шаблон">р</abbr></a></li></ul></div><div id="Елементарна_арифметика" style="font-size:114%;margin:0 4em"><a href="/wiki/%D0%A7%D0%BE%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%B8_%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D1%96%D1%97" title="Чотири арифметичні дії">Елементарна арифметика</a></div></th></tr><tr><td colspan="2" class="navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0;background:transparent;color:inherit;"><div style="padding:0px;"><table cellspacing="0" class="navbox-columns-table" style="text-align:left;width:auto;margin-left:auto;margin-right:auto;"><tbody><tr style="vertical-align:top;"><td style="width:5em;">   </td><td style="padding:0px;text-align: center;;;width:25%;"><div> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Додавання"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Symbol_support_vote.svg/30px-Symbol_support_vote.svg.png" decoding="async" width="30" height="31" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Symbol_support_vote.svg/45px-Symbol_support_vote.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Symbol_support_vote.svg/60px-Symbol_support_vote.svg.png 2x" data-file-width="180" data-file-height="185" /></a></span><br /><a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Додавання">Додавання</a><br />(<a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Додавання">+</a>) </p> </div></td><td style="border-left:2px solid #fdfdfd;padding:0px;text-align: center;;;width:25%;"><div> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BD%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Віднімання"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Symbol_oppose_vote.svg/30px-Symbol_oppose_vote.svg.png" decoding="async" width="30" height="31" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Symbol_oppose_vote.svg/45px-Symbol_oppose_vote.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Symbol_oppose_vote.svg/60px-Symbol_oppose_vote.svg.png 2x" data-file-width="180" data-file-height="185" /></a></span><br /><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BD%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Віднімання">Віднімання</a><br />(<a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BD%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Віднімання">−</a>) </p> </div></td><td style="border-left:2px solid #fdfdfd;padding:0px;text-align: center;;;width:25%;"><div> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Множення"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Symbol_multiplication_vote.svg/30px-Symbol_multiplication_vote.svg.png" decoding="async" width="30" height="31" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Symbol_multiplication_vote.svg/45px-Symbol_multiplication_vote.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/Symbol_multiplication_vote.svg/60px-Symbol_multiplication_vote.svg.png 2x" data-file-width="1800" data-file-height="1850" /></a></span><br /><a class="mw-selflink selflink">Множення</a><br />(<a class="mw-selflink selflink">×</a> або <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BF%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%82" title="Інтерпункт">·</a>) </p> </div></td><td style="border-left:2px solid #fdfdfd;padding:0px;text-align: center;;;width:25%;"><div> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Ділення"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Symbol_divide_vote.svg/30px-Symbol_divide_vote.svg.png" decoding="async" width="30" height="31" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Symbol_divide_vote.svg/45px-Symbol_divide_vote.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Symbol_divide_vote.svg/60px-Symbol_divide_vote.svg.png 2x" data-file-width="180" data-file-height="185" /></a></span><br /><a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Ділення">Ділення</a><br />(<a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Ділення">÷</a> або <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D1%96%D1%81%D0%BD%D0%B0_%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0" title="Скісна риска">/</a>) </p> </div></td></tr></tbody></table></div></td></tr></tbody></table></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43245077">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free.id-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited.id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration.id-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription.id-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ref-lang{font-size:85%;cursor:help;margin-left:0.2em;color:var(--color-subtle,#54595d)}.mw-parser-output .cs1-ref-lg{font-style:normal;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#252525;text-decoration:inherit;text-decoration-color:#252525}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-free a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-limited a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-registration a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-subscription a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background-size:contain;padding:0 1em 0 0}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#085;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}@media screen{.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-maint{color:#18911f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#dadad6;text-decoration-color:#dadad6}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .cs1-maint{color:#18911f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#dadad6;text-decoration-color:#dadad6}}</style><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20070819031025/http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html">Peano arithmetic</a>. <a href="/wiki/PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath</a>. Архів <a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html">оригіналу</a> за 19 серпня 2007<span class="reference-accessdate">. Процитовано 9 січня 2019</span>.</cite></span> </li> </ol></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Отримано з <a dir="ltr" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Множення&oldid=42898560">https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Множення&oldid=42898560</a></div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%97" title="Спеціальна:Категорії">Категорії</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Категорія:Множення">Множення</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Категорія:Елементарна арифметика">Елементарна арифметика</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97" title="Категорія:Бінарні операції">Бінарні операції</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97" title="Категорія:Арифметичні операції">Арифметичні операції</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Категорія:Математична нотація">Математична нотація</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Прихована категорія: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8_%D0%B7_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_JsonConfig" title="Категорія:Сторінки з використанням розширення JsonConfig">Сторінки з використанням розширення JsonConfig</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Навігаційне меню</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Особисті інструменти</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Сторінка користувача для вашої IP-адреси">Ви не увійшли до системи</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D0%BE%D1%94_%D0%BE%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Обговорення редагувань з цієї IP-адреси [n]" accesskey="n"><span>Обговорення</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%BA" title="Список редагувань, зроблених з цієї IP-адреси [y]" accesskey="y"><span>Внесок</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81&returnto=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Пропонуємо створити обліковий запис і увійти в систему; однак, це не обов'язково"><span>Створити обліковий запис</span></a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D1%85%D1%96%D0%B4&returnto=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Заохочуємо Вас увійти в систему, але це необов'язково. [o]" accesskey="o"><span>Увійти</span></a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Простори назв</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Вміст статті [c]" accesskey="c"><span>Стаття</span></a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F:%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" rel="discussion" title="Обговорення сторінки [t]" accesskey="t"><span>Обговорення</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-variants-label" > <label id="p-variants-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">українська</span> </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation"> <nav id="p-views" class="mw-portlet mw-portlet-views vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-views-label" > <h3 id="p-views-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Перегляди</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F"><span>Читати</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&veaction=edit" title="Редагувати цю сторінку [v]" accesskey="v"><span>Редагувати</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=edit" title="Редагувати вихідний код сторінки [e]" accesskey="e"><span>Редагувати код</span></a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=history" title="Журнал змін сторінки [h]" accesskey="h"><span>Переглянути історію</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Більше опцій" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Більше</span> </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <h3 >Пошук</h3> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="vector-search-box-form"> <div id="simpleSearch" class="vector-search-box-inner" data-search-loc="header-navigation"> <input class="vector-search-box-input" type="search" name="search" placeholder="Пошук у Вікіпедії" aria-label="Пошук у Вікіпедії" autocapitalize="sentences" title="Шукати у Вікіпедії [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <input type="hidden" name="title" value="Спеціальна:Пошук"> <input id="mw-searchButton" class="searchButton mw-fallbackSearchButton" type="submit" name="fulltext" title="Знайти сторінки, що містять зазначений текст" value="Знайти"> <input id="searchButton" class="searchButton" type="submit" name="go" title="Перейти до сторінки, що має точно таку назву (якщо вона існує)" value="Перейти"> </div> </form> </div> </div> </div> <div id="mw-panel" class="vector-legacy-sidebar"> <div id="p-logo" role="banner"> <a class="mw-wiki-logo" href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку"></a> </div> <nav id="p-navigation" class="mw-portlet mw-portlet-navigation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-navigation-label" > <h3 id="p-navigation-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Навігація</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку [z]" accesskey="z"><span>Головна сторінка</span></a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%96%D1%97" title="Список поточних подій"><span>Поточні події</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Список останніх змін у цій вікі [r]" accesskey="r"><span>Нові редагування</span></a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8"><span>Нові сторінки</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D0%B8%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Переглянути випадкову сторінку [x]" accesskey="x"><span>Випадкова стаття</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-Участь" class="mw-portlet mw-portlet-Участь vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-Участь-label" > <h3 id="p-Участь-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Участь</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB_%D1%81%D0%BF%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B8" title="Про проєкт, про те, що Ви можете зробити, і що де шукати"><span>Портал спільноти</span></a></li><li id="n-tavern" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9A%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D0%BF%D0%B0" title="Місце для обговорення більшості питань"><span>Кнайпа</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0" title="Довідка з проєкту"><span>Довідка</span></a></li><li id="n-sitesupport" class="mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_uk.wikipedia.org&uselang=uk" title="Підтримайте проєкт"><span>Пожертвувати</span></a></li><li id="n-Сторінка-для-медіа" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D1%96%D0%B0"><span>Сторінка для медіа</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-tb" class="mw-portlet mw-portlet-tb vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-tb-label" > <h3 id="p-tb-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Інструменти</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%81%D1%8E%D0%B4%D0%B8/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Перелік усіх сторінок, які посилаються на цю сторінку [j]" accesskey="j"><span>Посилання сюди</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" rel="nofollow" title="Останні зміни на сторінках, на які посилається ця сторінка [k]" accesskey="k"><span>Пов'язані редагування</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8" title="Перелік спеціальних сторінок [q]" accesskey="q"><span>Спеціальні сторінки</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&oldid=42898560" title="Постійне посилання на цю версію цієї сторінки"><span>Постійне посилання</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=info" title="Додаткові відомості про цю сторінку"><span>Інформація про сторінку</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A6%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B0&page=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&id=42898560&wpFormIdentifier=titleform" title="Інформація про те, як цитувати цю сторінку"><span>Цитувати сторінку</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%259C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25B6%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25BD%25D1%258F"><span>Отримати вкорочену URL-адресу</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:QrCode&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%259C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25B6%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25BD%25D1%258F"><span>Завантажити QR-код</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-coll-print_export" class="mw-portlet mw-portlet-coll-print_export vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-coll-print_export-label" > <h3 id="p-coll-print_export-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Друк/експорт</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0&bookcmd=book_creator&referer=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F"><span>Створити книгу</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:DownloadAsPdf&page=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&action=show-download-screen"><span>Завантажити як PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&printable=yes" title="Версія цієї сторінки для друку [p]" accesskey="p"><span>Версія до друку</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-wikibase-otherprojects" class="mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-wikibase-otherprojects-label" > <h3 id="p-wikibase-otherprojects-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">В інших проєктах</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Multiplication" hreflang="en"><span>Вікісховище</span></a></li><li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikifunctions mw-list-item"><a href="https://www.wikifunctions.org/wiki/Z10862" hreflang="en"><span>Вікіфункції</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q40276" title="Посилання на пов’язаний елемент сховища даних [g]" accesskey="g"><span>Елемент Вікіданих</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Іншими мовами</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Vermenigvuldiging" title="Vermenigvuldiging — африкаанс" lang="af" hreflang="af" data-title="Vermenigvuldiging" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="африкаанс" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Multiplikation" title="Multiplikation — німецька (Швейцарія)" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Multiplikation" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="німецька (Швейцарія)" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%88%9B%E1%89%A3%E1%8B%9B%E1%89%B5" title="ማባዛት — амхарська" lang="am" hreflang="am" data-title="ማባዛት" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="амхарська" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n" title="Multiplicación — арагонська" lang="an" hreflang="an" data-title="Multiplicación" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="арагонська" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B6%D8%B1%D8%A8" title="ضرب — арабська" lang="ar" hreflang="ar" data-title="ضرب" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="арабська" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-arz mw-list-item"><a href="https://arz.wikipedia.org/wiki/%D8%B6%D8%B1%D8%A8" title="ضرب — Egyptian Arabic" lang="arz" hreflang="arz" data-title="ضرب" data-language-autonym="مصرى" data-language-local-name="Egyptian Arabic" class="interlanguage-link-target"><span>مصرى</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n" title="Multiplicación — астурійська" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Multiplicación" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="астурійська" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Vurma" title="Vurma — азербайджанська" lang="az" hreflang="az" data-title="Vurma" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="азербайджанська" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%DA%86%D8%A7%D8%B1%D9%BE%D9%85%D8%A7" title="چارپما — South Azerbaijani" lang="azb" hreflang="azb" data-title="چارپما" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target"><span>تۆرکجه</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D2%A0%D0%B0%D0%B1%D0%B0%D1%82%D0%BB%D0%B0%D1%83" title="Ҡабатлау — башкирська" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Ҡабатлау" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="башкирська" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Pagpadakul_(matematika)" title="Pagpadakul (matematika) — Central Bikol" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Pagpadakul (matematika)" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="Central Bikol" class="interlanguage-link-target"><span>Bikol Central</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B5" title="Множанне — білоруська" lang="be" hreflang="be" data-title="Множанне" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="білоруська" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D1%8C%D0%BD%D0%B5" title="Множаньне — Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Множаньне" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Умножение — болгарська" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Умножение" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="болгарська" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%97%E0%A7%81%E0%A6%A3_(%E0%A6%97%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%A4)" title="গুণ (গণিত) — бенгальська" lang="bn" hreflang="bn" data-title="গুণ (গণিত)" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="бенгальська" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bo mw-list-item"><a href="https://bo.wikipedia.org/wiki/%E0%BD%A6%E0%BE%92%E0%BE%B1%E0%BD%B4%E0%BD%A2%E0%BC%8B%E0%BD%A2%E0%BE%A9%E0%BD%B2%E0%BD%A6%E0%BC%8D" title="སྒྱུར་རྩིས། — тибетська" lang="bo" hreflang="bo" data-title="སྒྱུར་རྩིས།" data-language-autonym="བོད་ཡིག" data-language-local-name="тибетська" class="interlanguage-link-target"><span>བོད་ཡིག</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Liesadur" title="Liesadur — бретонська" lang="br" hreflang="br" data-title="Liesadur" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="бретонська" class="interlanguage-link-target"><span>Brezhoneg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Mno%C5%BEenje" title="Množenje — боснійська" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Množenje" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="боснійська" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bxr mw-list-item"><a href="https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D2%AE%D1%80%D1%8D%D0%B6%D2%AF%D2%AF%D0%BB%D1%82%D1%8D" title="Үрэжүүлтэ — Russia Buriat" lang="bxr" hreflang="bxr" data-title="Үрэжүүлтэ" data-language-autonym="Буряад" data-language-local-name="Russia Buriat" class="interlanguage-link-target"><span>Буряад</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3" title="Multiplicació — каталонська" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Multiplicació" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="каталонська" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cdo mw-list-item"><a href="https://cdo.wikipedia.org/wiki/S%C3%ACng-hu%C3%A1k" title="Sìng-huák — Mindong" lang="cdo" hreflang="cdo" data-title="Sìng-huák" data-language-autonym="閩東語 / Mìng-dĕ̤ng-ngṳ̄" data-language-local-name="Mindong" class="interlanguage-link-target"><span>閩東語 / Mìng-dĕ̤ng-ngṳ̄</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-chr mw-list-item"><a href="https://chr.wikipedia.org/wiki/%E1%8E%A0%E1%8F%B4%E1%8E%A6%E1%8E%B4%E1%8F%AB%E1%8F%92%E1%8E%AF" title="ᎠᏴᎦᎴᏫᏒᎯ — черокі" lang="chr" hreflang="chr" data-title="ᎠᏴᎦᎴᏫᏒᎯ" data-language-autonym="ᏣᎳᎩ" data-language-local-name="черокі" class="interlanguage-link-target"><span>ᏣᎳᎩ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%84%DB%8E%DA%A9%D8%AF%D8%A7%D9%86" title="لێکدان — центральнокурдська" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="لێکدان" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="центральнокурдська" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/N%C3%A1soben%C3%AD" title="Násobení — чеська" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Násobení" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="чеська" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D1%83%D1%82%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8" title="Хутласси — чуваська" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Хутласси" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="чуваська" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Lluosi" title="Lluosi — валлійська" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Lluosi" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="валлійська" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Multiplikation" title="Multiplikation — данська" lang="da" hreflang="da" data-title="Multiplikation" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="данська" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Multiplikation" title="Multiplikation — німецька" lang="de" hreflang="de" data-title="Multiplikation" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="німецька" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CE%BB%CE%B1%CF%80%CE%BB%CE%B1%CF%83%CE%B9%CE%B1%CF%83%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Πολλαπλασιασμός — грецька" lang="el" hreflang="el" data-title="Πολλαπλασιασμός" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="грецька" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eml mw-list-item"><a href="https://eml.wikipedia.org/wiki/Molt%C3%ACplica" title="Moltìplica — Emiliano-Romagnolo" lang="egl" hreflang="egl" data-title="Moltìplica" data-language-autonym="Emiliàn e rumagnòl" data-language-local-name="Emiliano-Romagnolo" class="interlanguage-link-target"><span>Emiliàn e rumagnòl</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication" title="Multiplication — англійська" lang="en" hreflang="en" data-title="Multiplication" data-language-autonym="English" data-language-local-name="англійська" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Multipliko" title="Multipliko — есперанто" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Multipliko" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="есперанто" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n" title="Multiplicación — іспанська" lang="es" hreflang="es" data-title="Multiplicación" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="іспанська" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Korrutamine" title="Korrutamine — естонська" lang="et" hreflang="et" data-title="Korrutamine" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="естонська" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Biderketa" title="Biderketa — баскська" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Biderketa" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="баскська" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B6%D8%B1%D8%A8_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="ضرب (ریاضی) — перська" lang="fa" hreflang="fa" data-title="ضرب (ریاضی)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="перська" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Kertolasku" title="Kertolasku — фінська" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Kertolasku" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="фінська" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Multiplication" title="Multiplication — фіджі" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Multiplication" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="фіджі" class="interlanguage-link-target"><span>Na Vosa Vakaviti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Multiplication" title="Multiplication — французька" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Multiplication" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="французька" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Moolnemen" title="Moolnemen — фризька північна" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Moolnemen" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="фризька північна" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%98%E6%B3%95" title="乘法 — ґань" lang="gan" hreflang="gan" data-title="乘法" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="ґань" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Miltiplikasyon" title="Miltiplikasyon — Guianan Creole" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Miltiplikasyon" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gd mw-list-item"><a href="https://gd.wikipedia.org/wiki/Iomadachadh" title="Iomadachadh — шотландська гельська" lang="gd" hreflang="gd" data-title="Iomadachadh" data-language-autonym="Gàidhlig" data-language-local-name="шотландська гельська" class="interlanguage-link-target"><span>Gàidhlig</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n" title="Multiplicación — галісійська" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Multiplicación" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="галісійська" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hak mw-list-item"><a href="https://hak.wikipedia.org/wiki/S%E1%B9%B3%CC%80n-fap" title="Sṳ̀n-fap — хаккаська" lang="hak" hreflang="hak" data-title="Sṳ̀n-fap" data-language-autonym="客家語 / Hak-kâ-ngî" data-language-local-name="хаккаська" class="interlanguage-link-target"><span>客家語 / Hak-kâ-ngî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9B%D7%A4%D7%9C" title="כפל — іврит" lang="he" hreflang="he" data-title="כפל" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="іврит" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%BE" title="गुणा — гінді" lang="hi" hreflang="hi" data-title="गुणा" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="гінді" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Gunaa" title="Gunaa — Fiji Hindi" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Gunaa" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="Fiji Hindi" class="interlanguage-link-target"><span>Fiji Hindi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Mno%C5%BEenje" title="Množenje — хорватська" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Množenje" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="хорватська" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Szorz%C3%A1s" title="Szorzás — угорська" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Szorzás" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="угорська" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%A6%D5%B4%D5%A1%D5%BA%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Բազմապատկում — вірменська" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Բազմապատկում" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="вірменська" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Multiplication" title="Multiplication — інтерлінгва" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Multiplication" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="інтерлінгва" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Perkalian" title="Perkalian — індонезійська" lang="id" hreflang="id" data-title="Perkalian" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="індонезійська" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Margf%C3%B6ldun" title="Margföldun — ісландська" lang="is" hreflang="is" data-title="Margföldun" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="ісландська" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Moltiplicazione" title="Moltiplicazione — італійська" lang="it" hreflang="it" data-title="Moltiplicazione" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="італійська" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95" title="乗法 — японська" lang="ja" hreflang="ja" data-title="乗法" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="японська" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Moltiplikieshan" title="Moltiplikieshan — Jamaican Creole English" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Moltiplikieshan" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="Jamaican Creole English" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Tangkaran" title="Tangkaran — яванська" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Tangkaran" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="яванська" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%92%E1%83%90%E1%83%9B%E1%83%A0%E1%83%90%E1%83%95%E1%83%9A%E1%83%94%E1%83%91%E1%83%90_(%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90)" title="გამრავლება (მათემატიკა) — грузинська" lang="ka" hreflang="ka" data-title="გამრავლება (მათემატიკა)" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="грузинська" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D3%A9%D0%B1%D0%B5%D0%B9%D1%82%D1%83" title="Көбейту — казахська" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Көбейту" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="казахська" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%97%E0%B3%81%E0%B2%A3%E0%B2%BE%E0%B2%95%E0%B2%BE%E0%B2%B0" title="ಗುಣಾಕಾರ — каннада" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಗುಣಾಕಾರ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="каннада" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%B1%EC%85%88" title="곱셈 — корейська" lang="ko" hreflang="ko" data-title="곱셈" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="корейська" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D3%A9%D0%B1%D3%A9%D0%B9%D1%82%D2%AF%D2%AF" title="Көбөйтүү — киргизька" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Көбөйтүү" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="киргизька" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Multiplicatio" title="Multiplicatio — латинська" lang="la" hreflang="la" data-title="Multiplicatio" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="латинська" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%84%E0%BA%B9%E0%BA%99" title="ຄູນ — лаоська" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ຄູນ" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="лаоська" class="interlanguage-link-target"><span>ລາວ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Daugyba" title="Daugyba — литовська" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Daugyba" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="литовська" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Reizin%C4%81%C5%A1ana" title="Reizināšana — латиська" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Reizināšana" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="латиська" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%9A%D0%B5" title="Множење — македонська" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Множење" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="македонська" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%97%E0%B5%81%E0%B4%A3%E0%B4%A8%E0%B4%82" title="ഗുണനം — малаялам" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ഗുണനം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="малаялам" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%BE%E0%A4%95%E0%A4%BE%E0%A4%B0" title="गुणाकार — маратхі" lang="mr" hreflang="mr" data-title="गुणाकार" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="маратхі" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Pendaraban" title="Pendaraban — малайська" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Pendaraban" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="малайська" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Multiplikazzjoni" title="Multiplikazzjoni — мальтійська" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Multiplikazzjoni" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="мальтійська" class="interlanguage-link-target"><span>Malti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A8" title="गुणन — непальська" lang="ne" hreflang="ne" data-title="गुणन" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="непальська" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-new mw-list-item"><a href="https://new.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE" title="गुणना — неварі" lang="new" hreflang="new" data-title="गुणना" data-language-autonym="नेपाल भाषा" data-language-local-name="неварі" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाल भाषा</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Vermenigvuldigen" title="Vermenigvuldigen — нідерландська" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Vermenigvuldigen" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="нідерландська" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Multiplikasjon" title="Multiplikasjon — норвезька (нюношк)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Multiplikasjon" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="норвезька (нюношк)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Multiplikasjon" title="Multiplikasjon — норвезька (букмол)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Multiplikasjon" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="норвезька (букмол)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nov mw-list-item"><a href="https://nov.wikipedia.org/wiki/Multiplikatione" title="Multiplikatione — Novial" lang="nov" hreflang="nov" data-title="Multiplikatione" data-language-autonym="Novial" data-language-local-name="Novial" class="interlanguage-link-target"><span>Novial</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Multiplicacion" title="Multiplicacion — окситанська" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Multiplicacion" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="окситанська" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Baay%E2%80%99isuu" title="Baay’isuu — оромо" lang="om" hreflang="om" data-title="Baay’isuu" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="оромо" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-or mw-list-item"><a href="https://or.wikipedia.org/wiki/%E0%AC%97%E0%AD%81%E0%AC%A3%E0%AC%A8" title="ଗୁଣନ — одія" lang="or" hreflang="or" data-title="ଗୁଣନ" data-language-autonym="ଓଡ଼ିଆ" data-language-local-name="одія" class="interlanguage-link-target"><span>ଓଡ଼ିଆ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%97%E0%A9%81%E0%A8%A3%E0%A8%BE" title="ਗੁਣਾ — панджабі" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਗੁਣਾ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="панджабі" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Mnożenie — польська" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Mnożenie" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="польська" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ps mw-list-item"><a href="https://ps.wikipedia.org/wiki/%D8%B6%D8%B1%D8%A8" title="ضرب — пушту" lang="ps" hreflang="ps" data-title="ضرب" data-language-autonym="پښتو" data-language-local-name="пушту" class="interlanguage-link-target"><span>پښتو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Multiplica%C3%A7%C3%A3o" title="Multiplicação — португальська" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Multiplicação" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="португальська" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Miray" title="Miray — кечуа" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Miray" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="кечуа" class="interlanguage-link-target"><span>Runa Simi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/%C3%8Enmul%C8%9Bire_(matematic%C4%83)" title="Înmulțire (matematică) — румунська" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Înmulțire (matematică)" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="румунська" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Умножение — російська" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Умножение" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="російська" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sat mw-list-item"><a href="https://sat.wikipedia.org/wiki/%E1%B1%9C%E1%B1%9F%E1%B1%B5%E1%B1%9F%E1%B1%AC" title="ᱜᱟᱵᱟᱬ — сантальська" lang="sat" hreflang="sat" data-title="ᱜᱟᱵᱟᱬ" data-language-autonym="ᱥᱟᱱᱛᱟᱲᱤ" data-language-local-name="сантальська" class="interlanguage-link-target"><span>ᱥᱟᱱᱛᱟᱲᱤ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Murtipricazzioni" title="Murtipricazzioni — сицилійська" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Murtipricazzioni" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="сицилійська" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Mno%C5%BEenje" title="Množenje — сербсько-хорватська" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Množenje" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="сербсько-хорватська" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Multiplication" title="Multiplication — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Multiplication" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/N%C3%A1sobenie" title="Násobenie — словацька" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Násobenie" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="словацька" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Mno%C5%BEenje" title="Množenje — словенська" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Množenje" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="словенська" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Kuwanza_Huwandu" title="Kuwanza Huwandu — шона" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Kuwanza Huwandu" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="шона" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Iskudhufasho" title="Iskudhufasho — сомалі" lang="so" hreflang="so" data-title="Iskudhufasho" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="сомалі" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Shum%C3%ABzimi" title="Shumëzimi — албанська" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Shumëzimi" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="албанська" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%9A%D0%B5" title="Множење — сербська" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Множење" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="сербська" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Produk_(matematika)" title="Produk (matematika) — сунданська" lang="su" hreflang="su" data-title="Produk (matematika)" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="сунданська" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Multiplikation" title="Multiplikation — шведська" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Multiplikation" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="шведська" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Uzidishaji" title="Uzidishaji — суахілі" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Uzidishaji" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="суахілі" class="interlanguage-link-target"><span>Kiswahili</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AA%E0%AF%86%E0%AE%B0%E0%AF%81%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AE%B2%E0%AF%8D_(%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D)" title="பெருக்கல் (கணிதம்) — тамільська" lang="ta" hreflang="ta" data-title="பெருக்கல் (கணிதம்)" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="тамільська" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%97%E0%B1%81%E0%B0%A3%E0%B0%95%E0%B0%BE%E0%B0%B0%E0%B0%82" title="గుణకారం — телугу" lang="te" hreflang="te" data-title="గుణకారం" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="телугу" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D1%80%D0%B1" title="Зарб — таджицька" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Зарб" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="таджицька" class="interlanguage-link-target"><span>Тоҷикӣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93" title="การคูณ — тайська" lang="th" hreflang="th" data-title="การคูณ" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="тайська" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tk mw-list-item"><a href="https://tk.wikipedia.org/wiki/Kopeltmek(matematika)" title="Kopeltmek(matematika) — туркменська" lang="tk" hreflang="tk" data-title="Kopeltmek(matematika)" data-language-autonym="Türkmençe" data-language-local-name="туркменська" class="interlanguage-link-target"><span>Türkmençe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Pagpaparami_(matematika)" title="Pagpaparami (matematika) — тагальська" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Pagpaparami (matematika)" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="тагальська" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%87arpma" title="Çarpma — турецька" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Çarpma" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="турецька" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B6%D8%B1%D8%A8_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="ضرب (ریاضی) — урду" lang="ur" hreflang="ur" data-title="ضرب (ریاضی)" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="урду" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Ko%CA%BBpaytma" title="Koʻpaytma — узбецька" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Koʻpaytma" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="узбецька" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/Moltiplegasion" title="Moltiplegasion — Venetian" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Moltiplegasion" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="Venetian" class="interlanguage-link-target"><span>Vèneto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C3%A9p_nh%C3%A2n" title="Phép nhân — вʼєтнамська" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Phép nhân" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="вʼєтнамська" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Pagpilo-pilo" title="Pagpilo-pilo — варай" lang="war" hreflang="war" data-title="Pagpilo-pilo" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="варай" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%98%E6%B3%95" title="乘法 — китайська уська" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="乘法" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="китайська уська" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D2%BB%D0%B0%D0%BD" title="Холвалһан — калмицька" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Холвалһан" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="калмицька" class="interlanguage-link-target"><span>Хальмг</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xh mw-list-item"><a href="https://xh.wikipedia.org/wiki/Ukuphinda-phinda" title="Ukuphinda-phinda — кхоса" lang="xh" hreflang="xh" data-title="Ukuphinda-phinda" data-language-autonym="IsiXhosa" data-language-local-name="кхоса" class="interlanguage-link-target"><span>IsiXhosa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%98%D7%90%D7%A4%D7%9C%D7%95%D7%A0%D7%92" title="טאפלונג — їдиш" lang="yi" hreflang="yi" data-title="טאפלונג" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="їдиш" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yo mw-list-item"><a href="https://yo.wikipedia.org/wiki/%C3%8Cs%E1%BB%8Ddip%C3%BAp%E1%BB%8D%CC%80" title="Ìsọdipúpọ̀ — йоруба" lang="yo" hreflang="yo" data-title="Ìsọdipúpọ̀" data-language-autonym="Yorùbá" data-language-local-name="йоруба" class="interlanguage-link-target"><span>Yorùbá</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-za mw-list-item"><a href="https://za.wikipedia.org/wiki/Swngzfap" title="Swngzfap — чжуан" lang="za" hreflang="za" data-title="Swngzfap" data-language-autonym="Vahcuengh" data-language-local-name="чжуан" class="interlanguage-link-target"><span>Vahcuengh</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%98%E6%B3%95" title="乘法 — китайська" lang="zh" hreflang="zh" data-title="乘法" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="китайська" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/S%C3%AAng-hoat" title="Sêng-hoat — південноміньська" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Sêng-hoat" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="південноміньська" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%98" title="乘 — кантонська" lang="yue" hreflang="yue" data-title="乘" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="кантонська" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q40276#sitelinks-wikipedia" title="Редагувати міжмовні посилання" class="wbc-editpage">Редагувати посилання</a></span></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Цю сторінку востаннє відредаговано о 03:50, 27 червня 2024.</li> <li id="footer-info-copyright">Текст доступний на умовах ліцензії <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk">Creative Commons Attribution-ShareAlike</a>; також можуть діяти додаткові умови. Детальніше див. <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/uk">Умови використання</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Політика конфіденційності</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D1%80%D0%BE">Про Вікіпедію</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%B4_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96">Відмова від відповідальності</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//uk.wikipedia.org/wiki/Вікіпедія:Зворотний_зв%27язок">Зворотний зв'язок</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Кодекс поведінки</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Розробники</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/uk.wikipedia.org">Статистика</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Куки</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//uk.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Мобільний вигляд</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.log.warn("This page is using the deprecated ResourceLoader module \"codex-search-styles\".\n[1.43] Use a CodexModule with codexComponents to set your specific components used: https://www.mediawiki.org/wiki/Codex#Using_a_limited_subset_of_components");mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-6b7f745dd4-fzwgx","wgBackendResponseTime":164,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.438","walltime":"0.674","ppvisitednodes":{"value":1294,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":23199,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":3395,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":16,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":3,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":16289,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 513.180 1 -total"," 38.24% 196.256 1 Шаблон:Погребиський.Арифметика"," 30.44% 156.215 1 Шаблон:Ref-ua"," 29.64% 152.109 1 Шаблон:Ref-lang"," 17.85% 91.609 1 Шаблон:Cite_web"," 16.11% 82.677 1 Шаблон:Результати_обчислення"," 14.12% 72.468 1 Шаблон:Navbar"," 9.30% 47.731 1 Шаблон:Елементарна_арифметика"," 8.66% 44.433 1 Шаблон:Navbox_with_columns"," 7.79% 39.955 1 Шаблон:Navbox"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.262","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":17695258,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-5dc468848-7kqld","timestamp":"20241124134451","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u041c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u044f","url":"https:\/\/uk.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q40276","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q40276","author":{"@type":"Organization","name":"\u0423\u0447\u0430\u0441\u043d\u0438\u043a\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0456\u0432 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"\u0424\u043e\u043d\u0434 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2008-09-07T09:09:38Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/b\/b3\/Three_by_Four.svg"}</script> </body> </html>