CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="pl" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Funkcja – Wikipedia, wolna encyklopedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )plwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","styczeń","luty","marzec","kwiecień","maj","czerwiec","lipiec","sierpień","wrzesień","październik","listopad","grudzień"],"wgRequestId":"a9224968-9e61-4369-98d1-7679f5e8561b","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Funkcja","wgTitle":"Funkcja","wgCurRevisionId":75047963,"wgRevisionId":75047963,"wgArticleId":1559,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Artykuły z nieprawidłowymi numerami ISBN","Artykuły z brakującymi przypisami od 2023-12","Szablon cytowania książki – brak numeru strony","Funkcje matematyczne"],"wgPageViewLanguage":"pl","wgPageContentLanguage":"pl","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Funkcja","wgRelevantArticleId":1559,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia", "wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":75047963,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"pl","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"pl"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":60000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q11348","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false, "wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.wikiflex":"ready","ext.gadget.infobox":"ready","ext.gadget.hlist":"ready","ext.gadget.darkmode-overrides":"ready","ext.gadget.small-references":"ready","ext.gadget.citation-access-info":"ready","ext.gadget.sprawdz-problemy-szablony":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","ext.scribunto.logs", "site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.ll-script-loader","ext.gadget.veKeepParameters","ext.gadget.szablon-galeria","ext.gadget.NavFrame","ext.gadget.citoid-overrides","ext.gadget.maps","ext.gadget.padlock-indicators","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.gadget.edit-summaries","ext.gadget.edit-first-section","ext.gadget.wikibugs","ext.gadget.map-toggler","ext.gadget.narrowFootnoteColumns","ext.gadget.WDsearch","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession", "wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=pl&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.gadget.citation-access-info%2Cdarkmode-overrides%2Chlist%2Cinfobox%2Csmall-references%2Csprawdz-problemy-szablony%2Cwikiflex&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Function_illustration.svg/1200px-Function_illustration.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1200"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Function_illustration.svg/800px-Function_illustration.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="800"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Function_illustration.svg/640px-Function_illustration.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="640"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Funkcja – Wikipedia, wolna encyklopedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//pl.m.wikipedia.org/wiki/Funkcja"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Edytuj" href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (pl)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//pl.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Kanał Atom Wikipedii" href="/w/index.php?title=Specjalna:Ostatnie_zmiany&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Funkcja rootpage-Funkcja skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Przejdź do zawartości</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menu główne" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Menu główne </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menu główne</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Nawigacja </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" title="Przejdź na stronę główną [z]" accesskey="z">Strona główna</a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Losowa_strona" title="Załaduj losową stronę [x]" accesskey="x">Losuj artykuł</a></li><li id="n-Kategorie" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Kategorie_G%C5%82%C3%B3wne">Kategorie artykułów</a></li><li id="n-Featured-articles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Wyr%C3%B3%C5%BCniona_zawarto%C5%9B%C4%87_Wikipedii">Najlepsze artykuły</a></li><li id="n-FAQ" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:FAQ">Częste pytania (FAQ)</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-zmiany" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-zmiany" > <div class="vector-menu-heading"> Dla czytelników </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-czytelnicy" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii">O Wikipedii</a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kontakt_z_wikipedystami">Kontakt</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-edytorzy" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-edytorzy" > <div class="vector-menu-heading"> Dla wikipedystów </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-pierwsze-kroki" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki">Pierwsze kroki</a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Portal_wikipedyst%C3%B3w" title="O projekcie – co możesz zrobić, gdzie możesz znaleźć informacje">Portal wikipedystów</a></li><li id="n-Noticeboard" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tablica_og%C5%82osze%C5%84">Ogłoszenia</a></li><li id="n-Guidelines" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Zasady">Zasady</a></li><li id="n-helppage-name" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Spis_tre%C5%9Bci">Pomoc</a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Ostatnie_zmiany" title="Lista ostatnich zmian w Wikipedii. [r]" accesskey="r">Ostatnie zmiany</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="wolna encyklopedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-pl.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Specjalna:Szukaj" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f"> Szukaj </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Przeszukaj Wikipedię" aria-label="Przeszukaj Wikipedię" autocapitalize="sentences" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f" id="searchInput" > </div> <input type="hidden" name="title" value="Specjalna:Szukaj"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Szukaj</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Narzędzia osobiste"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Zmień rozmiar czcionki, szerokość oraz kolorystykę strony" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Wygląd" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Wygląd </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl" class="">Wspomóż Wikipedię</a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Funkcja" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe." class="">Utwórz konto</a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Funkcja" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o" class="">Zaloguj się</a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Więcej opcji" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia osobiste" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Narzędzia osobiste </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menu użytkownika" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl">Wspomóż Wikipedię</a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Funkcja" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe."> Utwórz konto</a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Funkcja" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o"> Zaloguj się</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Strony dla anonimowych edytorów <a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki" aria-label="Dowiedz się więcej na temat edytowania">dowiedz się więcej</a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:M%C3%B3j_wk%C5%82ad" title="Lista edycji wykonanych z tego adresu IP [y]" accesskey="y">Edycje</a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Moja_dyskusja" title="Dyskusja użytkownika dla tego adresu IP [n]" accesskey="n">Dyskusja</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Spis treści" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Spis treści</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ukryj</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Początek</div> </a> </li> <li id="toc-Formalna_definicja" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Formalna_definicja"> <div class="vector-toc-text"> 1 Formalna definicja </div> </a> <ul id="toc-Formalna_definicja-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Alternatywne_definicje" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Alternatywne_definicje"> <div class="vector-toc-text"> 2 Alternatywne definicje </div> </a> <ul id="toc-Alternatywne_definicje-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notacja" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Notacja"> <div class="vector-toc-text"> 3 Notacja </div> </a> <button aria-controls="toc-Notacja-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Przełącz podsekcję Notacja </button> <ul id="toc-Notacja-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Przykład_1" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykład_1"> <div class="vector-toc-text"> 3.1 Przykład 1 </div> </a> <ul id="toc-Przykład_1-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przykład_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykład_2"> <div class="vector-toc-text"> 3.2 Przykład 2 </div> </a> <ul id="toc-Przykład_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przykład_3" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykład_3"> <div class="vector-toc-text"> 3.3 Przykład 3 </div> </a> <ul id="toc-Przykład_3-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przykład_4" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykład_4"> <div class="vector-toc-text"> 3.4 Przykład 4 </div> </a> <ul id="toc-Przykład_4-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Obraz_i_przeciwobraz" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Obraz_i_przeciwobraz"> <div class="vector-toc-text"> 4 Obraz i przeciwobraz </div> </a> <ul id="toc-Obraz_i_przeciwobraz-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Wykres_funkcji" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Wykres_funkcji"> <div class="vector-toc-text"> 5 Wykres funkcji </div> </a> <ul id="toc-Wykres_funkcji-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Funkcje_liczbowe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Funkcje_liczbowe"> <div class="vector-toc-text"> 6 Funkcje liczbowe </div> </a> <button aria-controls="toc-Funkcje_liczbowe-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Przełącz podsekcję Funkcje liczbowe </button> <ul id="toc-Funkcje_liczbowe-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Rodzaje_funkcji_liczbowych" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Rodzaje_funkcji_liczbowych"> <div class="vector-toc-text"> 6.1 Rodzaje funkcji liczbowych </div> </a> <ul id="toc-Rodzaje_funkcji_liczbowych-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Sposoby_określania_funkcji" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Sposoby_określania_funkcji"> <div class="vector-toc-text"> 7 Sposoby określania funkcji </div> </a> <button aria-controls="toc-Sposoby_określania_funkcji-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Przełącz podsekcję Sposoby określania funkcji </button> <ul id="toc-Sposoby_określania_funkcji-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Przykłady_funkcji_liczbowych_określonych_za_pomocą_wzoru" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykłady_funkcji_liczbowych_określonych_za_pomocą_wzoru"> <div class="vector-toc-text"> 7.1 Przykłady funkcji liczbowych określonych za pomocą wzoru </div> </a> <ul id="toc-Przykłady_funkcji_liczbowych_określonych_za_pomocą_wzoru-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Funkcja_jako_związek_między_zmiennymi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Funkcja_jako_związek_między_zmiennymi"> <div class="vector-toc-text"> 8 Funkcja jako związek między zmiennymi </div> </a> <ul id="toc-Funkcja_jako_związek_między_zmiennymi-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przykłady_funkcji" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykłady_funkcji"> <div class="vector-toc-text"> 9 Przykłady funkcji </div> </a> <button aria-controls="toc-Przykłady_funkcji-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Przełącz podsekcję Przykłady funkcji </button> <ul id="toc-Przykłady_funkcji-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-W_matematyce" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#W_matematyce"> <div class="vector-toc-text"> 9.1 W matematyce </div> </a> <ul id="toc-W_matematyce-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-W_fizyce" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#W_fizyce"> <div class="vector-toc-text"> 9.2 W fizyce </div> </a> <ul id="toc-W_fizyce-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-W_innych_dziedzinach" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#W_innych_dziedzinach"> <div class="vector-toc-text"> 9.3 W innych dziedzinach </div> </a> <ul id="toc-W_innych_dziedzinach-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Pojęcia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Pojęcia"> <div class="vector-toc-text"> 10 Pojęcia </div> </a> <button aria-controls="toc-Pojęcia-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Przełącz podsekcję Pojęcia </button> <ul id="toc-Pojęcia-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Złożenie._Iteracja" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Złożenie._Iteracja"> <div class="vector-toc-text"> 10.1 Złożenie. Iteracja </div> </a> <ul id="toc-Złożenie._Iteracja-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Funkcja_odwrotna" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Funkcja_odwrotna"> <div class="vector-toc-text"> 10.2 Funkcja odwrotna </div> </a> <ul id="toc-Funkcja_odwrotna-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Zawężenie_i_przedłużenie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Zawężenie_i_przedłużenie"> <div class="vector-toc-text"> 10.3 Zawężenie i przedłużenie </div> </a> <ul id="toc-Zawężenie_i_przedłużenie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Rys_historyczny" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Rys_historyczny"> <div class="vector-toc-text"> 11 Rys historyczny </div> </a> <ul id="toc-Rys_historyczny-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Zobacz_też" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Zobacz_też"> <div class="vector-toc-text"> 12 Zobacz też </div> </a> <ul id="toc-Zobacz_też-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Uwagi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Uwagi"> <div class="vector-toc-text"> 13 Uwagi </div> </a> <ul id="toc-Uwagi-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> 14 Przypisy </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> 15 Bibliografia </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Literatura_dodatkowa" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Literatura_dodatkowa"> <div class="vector-toc-text"> 16 Literatura dodatkowa </div> </a> <ul id="toc-Literatura_dodatkowa-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Linki_zewnętrzne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Linki_zewnętrzne"> <div class="vector-toc-text"> 17 Linki zewnętrzne </div> </a> <ul id="toc-Linki_zewnętrzne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Przełącz stan spisu treści </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Funkcja</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 120 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-120" aria-hidden="true" > 120 języków </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Funksie" title="Funksie – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Funksie" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik) – szwajcarski niemiecki" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Funktion (Mathematik)" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="szwajcarski niemiecki" class="interlanguage-link-target">Alemannisch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8A%A0%E1%88%B5%E1%88%A8%E1%8A%AB%E1%89%A2" title="አስረካቢ – amharski" lang="am" hreflang="am" data-title="አስረካቢ" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="amharski" class="interlanguage-link-target">አማርኛ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-smn mw-list-item"><a href="https://smn.wikipedia.org/wiki/Funktio" title="Funktio – inari" lang="smn" hreflang="smn" data-title="Funktio" data-language-autonym="Anarâškielâ" data-language-local-name="inari" class="interlanguage-link-target">Anarâškielâ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9" title="دالة – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="دالة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matematica" title="Función matematica – aragoński" lang="an" hreflang="an" data-title="Función matematica" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="aragoński" class="interlanguage-link-target">Aragonés</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica" title="Función matemática – asturyjski" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Función matemática" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturyjski" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Funksiya_(riyaziyyat)" title="Funksiya (riyaziyyat) – azerbejdżański" lang="az" hreflang="az" data-title="Funksiya (riyaziyyat)" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbejdżański" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%87%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%B7%E0%A6%95_(%E0%A6%97%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%A4)" title="অপেক্ষক (গণিত) – bengalski" lang="bn" hreflang="bn" data-title="অপেক্ষক (গণিত)" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalski" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/H%C3%A2m-s%C3%B2%CD%98" title="Hâm-sò͘ – minnański" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Hâm-sò͘" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnański" class="interlanguage-link-target">閩南語 / Bân-lâm-gú</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) – baszkirski" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baszkirski" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%8B%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%BA%D0%B0)" title="Функцыя (матэматыка) – białoruski" lang="be" hreflang="be" data-title="Функцыя (матэматыка)" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="białoruski" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%8B%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%BA%D0%B0)" title="Функцыя (матэматыка) – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Функцыя (матэматыка)" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target">Беларуская (тарашкевіца)</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8_(%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4)" title="फंक्शन (गणित) – Bhojpuri" lang="bh" hreflang="bh" data-title="फंक्शन (गणित)" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target">भोजपुरी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Функция – bułgarski" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Функция" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bułgarski" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="Funkcija (matematika) – bośniacki" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bośniacki" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3" title="Funció – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Funció" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функци (математика) – czuwaski" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Функци (математика)" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="czuwaski" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Funkce_(matematika)" title="Funkce (matematika) – czeski" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Funkce (matematika)" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="czeski" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Murimo_(Masvomhu)" title="Murimo (Masvomhu) – shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Murimo (Masvomhu)" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="shona" class="interlanguage-link-target">ChiShona</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Ffwythiant" title="Ffwythiant – walijski" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Ffwythiant" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="walijski" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Funktion_(matematik)" title="Funktion (matematik) – duński" lang="da" hreflang="da" data-title="Funktion (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="duński" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ary mw-list-item"><a href="https://ary.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9" title="دالة – marokański arabski" lang="ary" hreflang="ary" data-title="دالة" data-language-autonym="الدارجة" data-language-local-name="marokański arabski" class="interlanguage-link-target">الدارجة</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik) – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Funktion (Mathematik)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Funktsioon_(matemaatika)" title="Funktsioon (matemaatika) – estoński" lang="et" hreflang="et" data-title="Funktsioon (matemaatika)" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estoński" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Συνάρτηση – grecki" lang="el" hreflang="el" data-title="Συνάρτηση" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grecki" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)" title="Function (mathematics) – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Function (mathematics)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Función (matemática) – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Función (matemática)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Funkcio_(matematiko)" title="Funkcio (matematiko) – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Funkcio (matematiko)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Funtzio_(matematika)" title="Funtzio (matematika) – baskijski" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Funtzio (matematika)" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="baskijski" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9" title="تابع – perski" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تابع" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perski" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Function" title="Function – hindi fidżyjskie" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Function" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="hindi fidżyjskie" class="interlanguage-link-target">Fiji Hindi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Funksj%C3%B3n" title="Funksjón – farerski" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Funksjón" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="farerski" class="interlanguage-link-target">Føroyskt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_(math%C3%A9matiques)" title="Fonction (mathématiques) – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Fonction (mathématiques)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Feidhm_(matamaitic)" title="Feidhm (matamaitic) – irlandzki" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Feidhm (matamaitic)" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandzki" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n" title="Función – galicyjski" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Función" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicyjski" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B8" title="函數 – gan" lang="gan" hreflang="gan" data-title="函數" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="gan" class="interlanguage-link-target">贛語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Функция – kałmucki" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Функция" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="kałmucki" class="interlanguage-link-target">Хальмг</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%A8%EC%88%98" title="함수 – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="함수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%96%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%A1_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Ֆունկցիա (մաթեմատիկա) – ormiański" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ormiański" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A4%B2%E0%A4%A8" title="फलन – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="फलन" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="Funkcija (matematika) – chorwacki" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="chorwacki" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Funciono" title="Funciono – ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Funciono" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target">Ido</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)" title="Fungsi (matematika) – indonezyjski" lang="id" hreflang="id" data-title="Fungsi (matematika)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonezyjski" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematica)" title="Function (mathematica) – interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Function (mathematica)" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Fall_(st%C3%A6r%C3%B0fr%C3%A6%C3%B0i)" title="Fall (stærðfræði) – islandzki" lang="is" hreflang="is" data-title="Fall (stærðfræði)" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandzki" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_(matematica)" title="Funzione (matematica) – włoski" lang="it" hreflang="it" data-title="Funzione (matematica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="włoski" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94" title="פונקציה – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="פונקציה" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kbp mw-list-item"><a href="https://kbp.wikipedia.org/wiki/K%C9%A9lab%C9%A9m" title="Kɩlabɩm – Kabiye" lang="kbp" hreflang="kbp" data-title="Kɩlabɩm" data-language-autonym="Kabɩyɛ" data-language-local-name="Kabiye" class="interlanguage-link-target">Kabɩyɛ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A4%E1%83%A3%E1%83%9C%E1%83%A5%E1%83%AA%E1%83%98%E1%83%90_(%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90)" title="ფუნქცია (მათემატიკა) – gruziński" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ფუნქცია (მათემატიკა)" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="gruziński" class="interlanguage-link-target">ქართული</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) – kazachski" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazachski" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Fonksyon_(mat%C3%A9matik)" title="Fonksyon (matématik) – Guianan Creole" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Fonksyon (matématik)" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target">Kriyòl gwiyannen</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%95%E0%BA%B3%E0%BA%A5%E0%BA%B2_(%E0%BA%84%E0%BA%B0%E0%BA%99%E0%BA%B4%E0%BA%94%E0%BA%AA%E0%BA%B2%E0%BA%94)" title="ຕຳລາ (ຄະນິດສາດ) – laotański" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ຕຳລາ (ຄະນິດສາດ)" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="laotański" class="interlanguage-link-target">ລາວ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Functio" title="Functio – łaciński" lang="la" hreflang="la" data-title="Functio" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="łaciński" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Funkcija" title="Funkcija – łotewski" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Funkcija" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="łotewski" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Funktioun_(Mathematik)" title="Funktioun (Mathematik) – luksemburski" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Funktioun (Mathematik)" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="luksemburski" class="interlanguage-link-target">Lëtzebuergesch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="Funkcija (matematika) – litewski" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="litewski" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jbo mw-list-item"><a href="https://jbo.wikipedia.org/wiki/fancu" title="fancu – lojban" lang="jbo" hreflang="jbo" data-title="fancu" data-language-autonym="La .lojban." data-language-local-name="lojban" class="interlanguage-link-target">La .lojban.</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Fonzion_(matematega)" title="Fonzion (matematega) – lombardzki" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Fonzion (matematega)" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombardzki" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/F%C3%BCggv%C3%A9ny_(matematika)" title="Függvény (matematika) – węgierski" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Függvény (matematika)" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="węgierski" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функција (математика) – macedoński" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Функција (математика)" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedoński" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AB%E0%B4%99%E0%B5%8D%E0%B4%B7%E0%B5%BB" title="ഫങ്ഷൻ – malajalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ഫങ്ഷൻ" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malajalam" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Funzjonijiet_(matematika)" title="Funzjonijiet (matematika) – maltański" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Funzjonijiet (matematika)" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="maltański" class="interlanguage-link-target">Malti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A4%B2_(%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4)" title="फल (गणित) – marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="फल (गणित)" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marathi" class="interlanguage-link-target">मराठी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Fungsi" title="Fungsi – malajski" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Fungsi" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malajski" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA)" title="Функц (математик) – mongolski" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Функц (математик)" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongolski" class="interlanguage-link-target">Монгол</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%96%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%9B%E1%80%BE%E1%80%84%E1%80%BA" title="ဖန်ရှင် – birmański" lang="my" hreflang="my" data-title="ဖန်ရှင်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birmański" class="interlanguage-link-target">မြန်မာဘာသာ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Cakacaka_(fika)" title="Cakacaka (fika) – fidżijski" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Cakacaka (fika)" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="fidżijski" class="interlanguage-link-target">Na Vosa Vakaviti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Functie_(wiskunde)" title="Functie (wiskunde) – niderlandzki" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Functie (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="niderlandzki" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="関数 (数学) – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="関数 (数学)" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Funksion" title="Funksion – północnofryzyjski" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Funksion" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="północnofryzyjski" class="interlanguage-link-target">Nordfriisk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Funksjon_(matematikk)" title="Funksjon (matematikk) – norweski (bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Funksjon (matematikk)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norweski (bokmål)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Matematisk_funksjon" title="Matematisk funksjon – norweski (nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Matematisk funksjon" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norweski (nynorsk)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Aplicacion_(matematicas)" title="Aplicacion (matematicas) – oksytański" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Aplicacion (matematicas)" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="oksytański" class="interlanguage-link-target">Occitan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Warroomii_(faankishinii)" title="Warroomii (faankishinii) – oromo" lang="om" hreflang="om" data-title="Warroomii (faankishinii)" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="oromo" class="interlanguage-link-target">Oromoo</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Funksiya_(matematika)" title="Funksiya (matematika) – uzbecki" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Funksiya (matematika)" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbecki" class="interlanguage-link-target">Oʻzbekcha / ўзбекча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%AB%E0%A9%B0%E0%A8%95%E0%A8%B8%E0%A8%BC%E0%A8%A8_(%E0%A8%B9%E0%A8%BF%E0%A8%B8%E0%A8%BE%E0%A8%AC)" title="ਫੰਕਸ਼ਨ (ਹਿਸਾਬ) – pendżabski" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਫੰਕਸ਼ਨ (ਹਿਸਾਬ)" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pendżabski" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D9%86%DA%A9%D8%B4%D9%86" title="فنکشن – Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="فنکشن" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target">پنجابی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Fongshan_(matimatix)" title="Fongshan (matimatix) – jamajski" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Fongshan (matimatix)" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="jamajski" class="interlanguage-link-target">Patois</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Fonsion" title="Fonsion – piemoncki" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Fonsion" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="piemoncki" class="interlanguage-link-target">Piemontèis</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Afbillen_(Mathematik)" title="Afbillen (Mathematik) – dolnoniemiecki" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Afbillen (Mathematik)" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="dolnoniemiecki" class="interlanguage-link-target">Plattdüütsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" title="Função (matemática) – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Função (matemática)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Func%C8%9Bie" title="Funcție – rumuński" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Funcție" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumuński" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Kinraysuyu" title="Kinraysuyu – keczua" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Kinraysuyu" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="keczua" class="interlanguage-link-target">Runa Simi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F._%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%87%D1%8D%D1%80%D1%87%D0%B8%D1%82%D1%8D,_%D1%81%D1%83%D0%BE%D0%BB%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%80%D1%8B%D0%BD_%D1%82%D2%AF%D0%BC%D1%81%D1%8D%D1%8D%D0%BD%D1%8D" title="Функция. Функция чэрчитэ, суолталарын түмсээнэ – jakucki" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Функция. Функция чэрчитэ, суолталарын түмсээнэ" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="jakucki" class="interlanguage-link-target">Саха тыла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)" title="Function (mathematics) – scots" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Function (mathematics)" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="scots" class="interlanguage-link-target">Scots</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Funksioni" title="Funksioni – albański" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Funksioni" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albański" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Funzioni_(matim%C3%A0tica)" title="Funzioni (matimàtica) – sycylijski" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Funzioni (matimàtica)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sycylijski" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)" title="Function (mathematics) – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Function (mathematics)" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Zobrazenie_(matematika)" title="Zobrazenie (matematika) – słowacki" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Zobrazenie (matematika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="słowacki" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="Funkcija (matematika) – słoweński" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="słoweński" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/Funkcyjo" title="Funkcyjo – śląski" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Funkcyjo" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="śląski" class="interlanguage-link-target">Ślůnski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Shaqada_(xisaabta)" title="Shaqada (xisaabta) – somalijski" lang="so" hreflang="so" data-title="Shaqada (xisaabta)" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="somalijski" class="interlanguage-link-target">Soomaaliga</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%A7%D9%86%DA%A9%D8%B4%D9%86_(%D9%85%D8%A7%D8%AA%D9%85%D8%A7%D8%AA%DB%8C%DA%A9)" title="فانکشن (ماتماتیک) – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="فانکشن (ماتماتیک)" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функција (математика) – serbski" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Функција (математика)" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbski" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Funkcija" title="Funkcija – serbsko-chorwacki" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Funkcija" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbsko-chorwacki" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)" title="Fungsi (matematika) – sundajski" lang="su" hreflang="su" data-title="Fungsi (matematika)" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="sundajski" class="interlanguage-link-target">Sunda</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Funktio" title="Funktio – fiński" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Funktio" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="fiński" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Funktion" title="Funktion – szwedzki" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Funktion" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="szwedzki" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Punsiyon_(matematika)" title="Punsiyon (matematika) – tagalski" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Punsiyon (matematika)" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalski" class="interlanguage-link-target">Tagalog</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%9A%E0%AE%BE%E0%AE%B0%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%81" title="சார்பு – tamilski" lang="ta" hreflang="ta" data-title="சார்பு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamilski" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kab mw-list-item"><a href="https://kab.wikipedia.org/wiki/Tas%C9%A3ent_(tusnakt)" title="Tasɣent (tusnakt) – kabylski" lang="kab" hreflang="kab" data-title="Tasɣent (tusnakt)" data-language-autonym="Taqbaylit" data-language-local-name="kabylski" class="interlanguage-link-target">Taqbaylit</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) – tatarski" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tatarski" class="interlanguage-link-target">Татарча / tatarça</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99_(%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C)" title="ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์) – tajski" lang="th" hreflang="th" data-title="ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tajski" class="interlanguage-link-target">ไทย</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Fonksiyon" title="Fonksiyon – turecki" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Fonksiyon" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turecki" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-udm mw-list-item"><a href="https://udm.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) – udmurcki" lang="udm" hreflang="udm" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Удмурт" data-language-local-name="udmurcki" class="interlanguage-link-target">Удмурт</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функція (математика) – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Функція (математика)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B9%D9%84_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)" title="تفاعل (ریاضیات) – urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="تفاعل (ریاضیات)" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target">اردو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ug mw-list-item"><a href="https://ug.wikipedia.org/wiki/%D9%81%DB%87%D9%86%D9%83%D8%B3%D9%89%D9%8A%DB%95" title="فۇنكسىيە – ujgurski" lang="ug" hreflang="ug" data-title="فۇنكسىيە" data-language-autonym="ئۇيغۇرچە / Uyghurche" data-language-local-name="ujgurski" class="interlanguage-link-target">ئۇيغۇرچە / Uyghurche</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vep mw-list-item"><a href="https://vep.wikipedia.org/wiki/Funkcii_(matematik)" title="Funkcii (matematik) – wepski" lang="vep" hreflang="vep" data-title="Funkcii (matematik)" data-language-autonym="Vepsän kel’" data-language-local-name="wepski" class="interlanguage-link-target">Vepsän kel’</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91" title="Hàm số – wietnamski" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Hàm số" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="wietnamski" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E6%98%A0%E5%B0%84" title="映射 – chiński klasyczny" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="映射" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="chiński klasyczny" class="interlanguage-link-target">文言</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Funsiyon_(matematika)" title="Funsiyon (matematika) – waraj" lang="war" hreflang="war" data-title="Funsiyon (matematika)" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="waraj" class="interlanguage-link-target">Winaray</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0" title="函数 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="函数" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A2" title="פונקציע – jidysz" lang="yi" hreflang="yi" data-title="פונקציע" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="jidysz" class="interlanguage-link-target">ייִדיש</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B8" title="函數 – kantoński" lang="yue" hreflang="yue" data-title="函數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoński" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Funkc%C4%97j%C4%97" title="Funkcėjė – żmudzki" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Funkcėjė" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="żmudzki" class="interlanguage-link-target">Žemaitėška</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0" title="函数 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="函数" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zgh mw-list-item"><a href="https://zgh.wikipedia.org/wiki/%E2%B5%9C%E2%B4%B0%E2%B5%99%E2%B5%96%E2%B5%8F%E2%B5%9C_(%E2%B5%9C%E2%B5%93%E2%B5%99%E2%B5%8F%E2%B4%B0%E2%B4%BD%E2%B5%9C)" title="ⵜⴰⵙⵖⵏⵜ (ⵜⵓⵙⵏⴰⴽⵜ) – standardowy marokański tamazight" lang="zgh" hreflang="zgh" data-title="ⵜⴰⵙⵖⵏⵜ (ⵜⵓⵙⵏⴰⴽⵜ)" data-language-autonym="ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ" data-language-local-name="standardowy marokański tamazight" class="interlanguage-link-target">ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11348#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Funkcja" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c">Artykuł</a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Dyskusja:Funkcja" rel="discussion" title="Dyskusja o zawartości tej strony [t]" accesskey="t">Dyskusja</a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Zmień wariant języka" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >polski </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Widok"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Funkcja">Czytaj</a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v">Edytuj</a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e">Edytuj kod źródłowy</a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=history" title="Starsze wersje tej strony [h]" accesskey="h">Wyświetl historię</a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >Narzędzia </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Narzędzia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Więcej opcji" > <div class="vector-menu-heading"> Działania </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Funkcja">Czytaj</a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v">Edytuj</a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e">Edytuj kod źródłowy</a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=history">Wyświetl historię</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ogólne </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Funkcja" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j">Linkujące</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Funkcja" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k">Zmiany w linkowanych</a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u">Prześlij plik</a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne" title="Lista wszystkich stron specjalnych [q]" accesskey="q">Strony specjalne</a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja&oldid=75047963" title="Stały link do tej wersji tej strony">Link do tej wersji</a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=info" title="Więcej informacji na temat tej strony">Informacje o tej stronie</a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=Funkcja&id=75047963&wpFormIdentifier=titleform" title="Informacja o tym jak należy cytować tę stronę">Cytowanie tego artykułu</a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FFunkcja">Zobacz skrócony adres URL</a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FFunkcja">Pobierz kod QR</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Funkcja">Utwórz książkę</a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Funkcja&action=show-download-screen">Pobierz jako PDF</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funkcja&printable=yes" title="Wersja do wydruku [p]" accesskey="p">Wersja do druku</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Functions_(mathematics)" hreflang="en">Wikimedia Commons</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11348" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g">Element Wikidanych</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><div class="noprint noexcerpt disambig navigation-not-searchable" style="line-height:1.5em; padding: 3px 6px; background-color: var(--background-color-interactive-subtle, #f8f9fa); color: inherit; border-bottom: 1px solid var(--border-color-subtle, #c8ccd1); font-size: 95%; margin-bottom: 1em; display: flex; gap: 4px; align-items: center;"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_ujednoznaczniaj%C4%85ca" title="Inne znaczenia"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/25px-Disambig.svg.png" decoding="async" width="25" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/38px-Disambig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/50px-Disambig.svg.png 2x" data-file-width="230" data-file-height="183" /></a>Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: <a href="/wiki/Funkcja_(ujednoznacznienie)" class="mw-disambig" title="Funkcja (ujednoznacznienie)">inne znaczenia słowa „funkcja”</a>.</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Function_illustration.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Function_illustration.svg/220px-Function_illustration.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Function_illustration.svg/330px-Function_illustration.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Function_illustration.svg/440px-Function_illustration.svg.png 2x" data-file-width="200" data-file-height="200" /></a><figcaption>Funkcja przedstawiona jako <a href="/wiki/Graf_(matematyka)" title="Graf (matematyka)">graf</a>. Każdemu <a href="/wiki/Argument_funkcji" title="Argument funkcji">argumentowi</a> ze zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3765557b7effa1a5f2f4dce9c80a25973b7009f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.42ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y,}"> przy czym: (1) dwóm różnym elementom w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> może odpowiadać ten sam element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"> – funkcja nie musi być <a href="/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCnowarto%C5%9Bciowa" title="Funkcja różnowartościowa">iniekcją</a>; (2) nie każdy element zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"> musi być wartością funkcji – funkcja nie musi być <a href="/wiki/Surjekcja" title="Surjekcja">suriekcją</a>.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:X2.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/X2.svg/220px-X2.svg.png" decoding="async" width="220" height="264" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/X2.svg/330px-X2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/X2.svg/440px-X2.svg.png 2x" data-file-width="356" data-file-height="428" /></a><figcaption>Przykładem funkcji jest <a href="/wiki/Kwadrat_(algebra)" title="Kwadrat (algebra)">kwadrat liczby</a>: y=x2. <a href="/wiki/Funkcja_rzeczywista" title="Funkcja rzeczywista">Funkcja rzeczywista</a> zdefiniowana tym wzorem ma <a href="/wiki/Wykres_funkcji" title="Wykres funkcji">wykres</a> w <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_kartezja%C5%84skich" title="Układ współrzędnych kartezjańskich">kartezjańskim układzie współrzędnych</a> – jest nim <a href="/wiki/Parabola_(matematyka)" title="Parabola (matematyka)">parabola</a>.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Exp_re.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Exp_re.png/220px-Exp_re.png" decoding="async" width="220" height="174" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Exp_re.png/330px-Exp_re.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Exp_re.png/440px-Exp_re.png 2x" data-file-width="768" data-file-height="606" /></a><figcaption>Wykres <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">części rzeczywistej</a> <a href="/wiki/Funkcja_wyk%C5%82adnicza" title="Funkcja wykładnicza">funkcji wykładniczej</a> w <a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzinie</a> zespolonej.</figcaption></figure> Funkcja (<a href="/wiki/%C5%81acina" title="Łacina">łac.</a> functio, -onis „odbywanie, wykonywanie, czynność”<a href="#cite_note-1">[a]</a>), odwzorowanie<a href="#cite_note-2">[1]</a><a href="#cite_note-CITEREFKuratowskiMostowski196673-3">[2]</a>, przekształcenie<a href="#cite_note-4">[3]</a>, transformacja<a href="#cite_note-5">[4]</a> – pojęcie <a href="/wiki/Matematyka" title="Matematyka">matematyczne</a> używane w co najmniej dwóch zbliżonych znaczeniach: <ul><li>dla danych dwóch <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r" title="Zbiór">zbiorów</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"> funkcją nazywano każde przyporządkowanie<a href="#cite_note-6">[b]</a> elementom zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> po jednym elemencie zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"><a href="#cite_note-7">[c]</a><a href="#cite_note-CITEREFKołmogorowFomin198921-8">[5]</a>;</li> <li>zazwyczaj wymaga się też, aby to przypisanie dotyczyło każdego elementu zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"><a href="#cite_note-epwn-9">[6]</a>. Wtedy obiekty spełniające tylko pierwszy warunek są znane jako <a href="/wiki/Funkcja_cz%C4%99%C5%9Bciowa" title="Funkcja częściowa">funkcje częściowe</a>.</li></ul> Funkcje oznacza się na ogół literami <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,g,h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,g,h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40bac5cdee81bb0c899b395c37f6ab3e3a8a0193" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.801ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,g,h}"> itd. Jeśli funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> przyporządkowuje elementom zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> elementy zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3765557b7effa1a5f2f4dce9c80a25973b7009f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.42ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y,}"> to pisze się: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f534aeb3ab207f6f247a9b05af9004d8d50aa464" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.327ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y.}"> W kontekście każdej funkcji używa się kilku podstawowych pojęć: <ul><li>zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> nazywa się <a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedziną</a> funkcji f, przy czym ten termin ma też inne znaczenie opisane w linkowanym artykule. Inna nazwa to zbiór argumentów<a href="#cite_note-CITEREFKuratowskiMostowski196673-3">[2]</a>, ponieważ jego każdy element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> nazywa się <a href="/wiki/Argument_funkcji" title="Argument funkcji">argumentem</a> tej funkcji<a href="#cite_note-CITEREFKuratowskiMostowski196673-3">[2]</a> lub zmienną niezależną;</li> <li>zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"> to <a href="/wiki/Przeciwdziedzina" title="Przeciwdziedzina">przeciwdziedzina</a> tej funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> lub jej <a href="/wiki/Obraz_(matematyka)" title="Obraz (matematyka)">zbiór wartości</a><a href="#cite_note-CITEREFKuratowskiMostowski196673-3">[2]</a>, przy czym te terminy mają też inne znaczenie – por. linkowane artykuły. Każdy element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2311a6a75c54b0ea085a381ba472c31d59321514" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.672ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=f(x)}"> nazywa się wartością funkcji<a href="#cite_note-CITEREFKuratowskiMostowski196673-3">[2]</a> lub zmienną zależną<a href="#cite_note-10">[7]</a>.</li></ul> Funkcje to szczególne przypadki <a href="/wiki/Relacja_dwuargumentowa" title="Relacja dwuargumentowa">relacji binarnych</a>. <a href="/wiki/Relacja_(matematyka)" title="Relacja (matematyka)">Relacja</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}"> jest funkcją, jeśli spełnia dwa warunki, poniżej zapisane za pomocą <a href="/wiki/Kwantyfikator" title="Kwantyfikator">kwantyfikatorów</a><a href="#cite_note-CITEREFKuratowskiMostowski196673-3">[2]</a>: <ol><li>jednoznaczność<a href="#cite_note-11">[8]</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x\in X,y_{1},y_{2}\in Y:[xRy_{1}\wedge xRy_{2}\Rightarrow (y_{1}=y_{2})],}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>x</mi> <mi>R</mi> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∧</mo> <mi>x</mi> <mi>R</mi> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in X,y_{1},y_{2}\in Y:[xRy_{1}\wedge xRy_{2}\Rightarrow (y_{1}=y_{2})],}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c241faf8fe6ccb561ca0eddc663b90a305e8673" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.455ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x\in X,y_{1},y_{2}\in Y:[xRy_{1}\wedge xRy_{2}\Rightarrow (y_{1}=y_{2})],}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x\in X\ \exists y\in Y:xRy.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mi>R</mi> <mi>y</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in X\ \exists y\in Y:xRy.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ad788a5a07ccb933b307d8cbcccfdca883e625" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.919ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \forall x\in X\ \exists y\in Y:xRy.}"></li></ol> Przez to funkcje rozumiane szeroko są też znane jako relacje jednoznaczne<a href="#cite_note-CITEREFMoszner197481-12">[9]</a>. <a href="/wiki/Teoria_mnogo%C5%9Bci" title="Teoria mnogości">Teoria mnogości</a> definiuje relacje za pomocą <a href="/wiki/Iloczyn_kartezja%C5%84ski" title="Iloczyn kartezjański">iloczynu kartezjańskiego</a> zbiorów, czyli zbioru <a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana" title="Para uporządkowana">par uporządkowanych</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R\subseteq X\times Y.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mo>⊆</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>Y</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R\subseteq X\times Y.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63f57eb763bd925a016089ec7153e10046314fd6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.103ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R\subseteq X\times Y.}"> Termin funkcja pojawił się w matematyce w XVII wieku, po czym kolejni uczeni nadawali mu nowe znaczenia<a href="#cite_note-epwn-9">[6]</a>. <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> w <a href="/wiki/XVIII_wiek" title="XVIII wiek">osiemnastym wieku</a> był pierwszym matematykiem, który użył wpółczesnego oznaczenia <a class="mw-selflink selflink">funkcji</a><a href="#cite_note-function-13">[10]</a>. Euler używał dwóch definicji funkcji, pierwsze jako analityczne wyrażenie (formuła), zawierajaca stałe oraz zmienne. Druga definicja to zmienna zależna od innej zmiennej. Takie samo podejście można znaleźć w książkach <a href="/wiki/Joseph_Louis_Lagrange" title="Joseph Louis Lagrange">Lagrange’a</a>. Drugie podejście, z drobnymi zmianami, było używane przez późniejszych matematyków, takich jak <a href="/wiki/Augustin_Louis_Cauchy" title="Augustin Louis Cauchy">Cauchy</a>, <a href="/wiki/Jean_Baptiste_Joseph_Fourier" title="Jean Baptiste Joseph Fourier">Fourier</a>, <a href="/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet" title="Peter Gustav Lejeune Dirichlet">Drichlet</a>, czy <a href="/wiki/Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Riemann</a><a href="#cite_note-CITEREFJahnke2003156–157-14">[11]</a>. Funkcje stały się jednym z podstawowych i najważniejszych pojęć całej <a href="/wiki/Nowo%C5%BCytno%C5%9B%C4%87" title="Nowożytność">nowożytnej</a> matematyki<a href="#cite_note-epwn-9">[6]</a> i innych <a href="/wiki/Nauki_%C5%9Bcis%C5%82e" title="Nauki ścisłe">nauk ścisłych</a>; funkcje: <ul><li>są głównym przedmiotem badań <a href="/wiki/Analiza_matematyczna" title="Analiza matematyczna">analizy</a>;</li> <li>pozwoliły zdefiniować jedno z podstawowych pojęć <a href="/wiki/Kombinatoryka" title="Kombinatoryka">kombinatoryki</a> i teorii mnogości: <a href="/wiki/Moc_zbioru" title="Moc zbioru">moc zbioru</a><a href="#cite_note-15">[12]</a>.</li> <li>pojawiają się w <a href="/wiki/Logika_matematyczna" title="Logika matematyczna">logice matematycznej</a> w postaci <a href="/wiki/Funkcja_zdaniowa" title="Funkcja zdaniowa">funkcji zdaniowych</a> (predykatów) i innych <a href="/wiki/Funktor_zdaniotw%C3%B3rczy" title="Funktor zdaniotwórczy">funktorów</a>;</li> <li>stały się jednym z fundamentów <a href="/wiki/Informatyka" title="Informatyka">informatyki</a>, gdzie nazywa się tak odmianę <a href="/wiki/Podprogram" title="Podprogram">procedury</a>; powstałe całe metody <a href="/wiki/Programowanie_komputer%C3%B3w" title="Programowanie komputerów">programowania</a> oparte na tym pojęciu jak <a href="/wiki/Programowanie_funkcyjne" title="Programowanie funkcyjne">programowanie funkcyjne</a>;.</li></ul> Opisano dziesiątki odmian funkcji; niezależnie od dziedziny i przeciwdziedziny można wyróżnić <a href="/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCnowarto%C5%9Bciowa" title="Funkcja różnowartościowa">funkcje różnowartościowe</a> (iniekcje), <a href="/wiki/Surjekcja" title="Surjekcja">funkcje „na”</a> (suriekcje) oraz <a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9B%C4%87_wsp%C3%B3lna" title="Część wspólna">przecięcie</a> tych dwóch zbiorów – <a href="/wiki/Funkcja_wzajemnie_jednoznaczna" title="Funkcja wzajemnie jednoznaczna">funkcje wzajemnie jednoznaczne</a> (bijekcje). Inne typy definiuje się m.in. za pomocą konkretnej dziedziny lub przeciwdziedziny, co opisano w dalszych sekcjach. Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> do zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"> oznacza się <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y^{X}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y^{X}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233b4c76e7ea7aad9de5488491e1c6c7363c0bea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:3.533ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y^{X}}"><a href="#cite_note-CITEREFKuratowskiMostowski196673-3">[2]</a>. <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formalna_definicja">Formalna definicja</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Formalna definicja" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Formalna definicja">edytuj kod</a>]</div> Funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(X,Y,W)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi>W</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(X,Y,W)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8dfe2d1af3f43d6fbdd005d53cc70391197d01b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.443ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(X,Y,W)}"> to <a href="/wiki/Tr%C3%B3jka_uporz%C4%85dkowana" title="Trójka uporządkowana">trójka uporządkowana</a> składająca się z poniższych elementów<a href="#cite_note-16">[13]</a><a href="#cite_note-CITEREFAlison20201157-17">[14]</a><a href="#cite_note-CITEREFPinter201452-18">[15]</a><a href="#cite_note-19">[16]</a><a href="#cite_note-20">[17]</a><a href="#cite_note-21">[18]</a><a href="#cite_note-22">[19]</a>: <ul><li>dziedziny <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> będącej dowolnym <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r" title="Zbiór">zbiorem</a>,</li> <li>przeciwdziedziny <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"> również będącej dowolnym zbiorem,</li> <li>wykresu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W\subseteq X\times Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> <mo>⊆</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W\subseteq X\times Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d3f0c9d382d5408132d65f8c6d54c86e573226" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.127ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle W\subseteq X\times Y}"> będącym <a href="/wiki/Iloczyn_kartezja%C5%84ski" title="Iloczyn kartezjański">zbiorem par</a>, takim że <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x\in X,\exists !y\in Y:(x,y)\in W.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>!</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>W</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in X,\exists !y\in Y:(x,y)\in W.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6852073c93e2c9e36a0d8142b9068373d70feee2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.374ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x\in X,\exists !y\in Y:(x,y)\in W.}"></li></ul> Wyjaśnienie: Wykres <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}"> to <a href="/wiki/Iloczyn_kartezja%C5%84ski" title="Iloczyn kartezjański">zbiór tylko takich par</a>, że <a href="/wiki/Kwantyfikator_og%C3%B3lny" title="Kwantyfikator ogólny">dla każdego elementu</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> z <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> <a href="/wiki/Kwantyfikator_egzystencjalny#Kwantyfikator_jednoznaczności" title="Kwantyfikator egzystencjalny">istnieje dokładnie jeden</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> z <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3765557b7effa1a5f2f4dce9c80a25973b7009f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.42ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y,}"> taki że <a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana" title="Para uporządkowana">para</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"> znajduje się w zbiorze <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}"> (czyli owa para jest „punktem” z wykresu funkcji). <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Alternatywne_definicje">Alternatywne definicje</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Alternatywne definicje" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Alternatywne definicje">edytuj kod</a>]</div> Definicja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(X,Y,W)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi>W</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(X,Y,W)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8dfe2d1af3f43d6fbdd005d53cc70391197d01b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.443ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(X,Y,W)}"> nazywana jest również definicją <a href="/wiki/Nicolas_Bourbaki" title="Nicolas Bourbaki">Bourbakiego</a><a href="#cite_note-CITEREFBourbaki197064-23">[20]</a><a href="#cite_note-CITEREFAlison20201157-17">[14]</a> (wprowadzoną w 1954 r.<a href="#cite_note-24">[21]</a>) ze względu na prostotę, pełność i ogólność spełnia wymogi współczesnej matematyki<a href="#cite_note-CITEREFAlison20201158-25">[22]</a>. Zauważmy że dla <a href="/wiki/Teoria_mnogo%C5%9Bci" title="Teoria mnogości">teoriomnogościowej</a> definicji <a href="/wiki/Tr%C3%B3jka_uporz%C4%85dkowana" title="Trójka uporządkowana">trójki</a> jako pewnego zbioru (co zwykle się przyjmuje), funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> staje się <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r" title="Zbiór">zbiorem</a>. W literaturze definicja może różnić się kolejnością elementów np. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(W,X,Y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>W</mi> <mo>,</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(W,X,Y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4cb95bd97e238c9f8260bfce5a7fd5337a00159" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.443ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(W,X,Y)}"> albo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(X,W,Y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>W</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(X,W,Y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d321722418512b77430813debd3739ff775f8a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.443ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(X,W,Y)}">. Spotyka się również wariant tej definicji w której używa się <a href="/wiki/Klasa_(matematyka)" title="Klasa (matematyka)">klas</a> zamiast zbiorów<a href="#cite_note-CITEREFPinter201452-18">[15]</a>. Jeżeli zakładamy że funkcja jest <a href="/wiki/Surjekcja" title="Surjekcja">surjekcją</a> lub jeśli jest wygodne nie ustalanie przeciwdziedziny, wówczas można skorzystać z definicji redukującej funkcję tylko do wykresu funkcji tj. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80697c89fda178ed88179576623a6fbc4685c91f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.812ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f=W}"> (a więc do pewnego zbioru par). Tak zredukowana definicja jest bardziej pierwotna i została sformalizowana wcześniej (w latach ok. 1914–1921). Często w literaturze zaznacza się (z przyczyn głównie historycznych), że taka zredukowana definicja (wykres) jest pewną <a href="/wiki/Relacja_dwuargumentowa" title="Relacja dwuargumentowa">relacją binarną</a>. Należy zauważyć że między ogólną definicją a zredukowaną istnieją poważne różnice<a href="#cite_note-CITEREFAlison20201157–1161-26">[23]</a>. Powyższa zredukowana definicja oraz pełna definicja Bourbakiego, są powszechnie używane w literaturze<a href="#cite_note-CITEREFAlison20201158-25">[22]</a>. Istnieją również definicje starsze, bardziej pierwtone i mniej precyzyjne, jednak współcześnie zykle nie używa się ich. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notacja">Notacja</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Notacja" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Notacja">edytuj kod</a>]</div> W tradycyjnej notacji zwykle rozdziela się definicję wykresu od dziedziny i przeciwdziedziny np. <dl><dd><dl><dd>Dana jest funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e745e3e6a6174cb7e68b6bff2764b39c5e8930c7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.283ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} }"> określona wzorem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x/2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x/2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ec29bba1dd17a9c49c7335ea429a0d7e8759b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.171ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x/2}">,</dd></dl></dd></dl> tu najpierw podano dziedzinę <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }"> (<a href="/wiki/Liczba_naturalna" class="mw-redirect" title="Liczba naturalna">liczby naturane</a>) i przeciwdziedzinę <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> (<a href="/wiki/Liczba_rzeczywista" class="mw-redirect" title="Liczba rzeczywista">liczby rzeczywiste</a>), a następnie osobno zdefiniowano wykres (zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}"> w <a class="mw-selflink-fragment" href="#Formalna_definicja">formalnej definicji</a>) poprzez formułę pozwalającą wyznaczyć każdy jego element - czyli każdą parę <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)=(x,f(x))=(x,x/2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)=(x,f(x))=(x,x/2)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd08fd3a1841c3e18d805311f234f82fb4e0358" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.943ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)=(x,f(x))=(x,x/2)}">, gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc9c25566e07b6f1f42bbda36149903c44cc5ad1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.848ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in \mathbb {N} }">, oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e17075a7abdf541b17004d8b9d0dac081860d685" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.674ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\in \mathbb {R} }"> (symbol <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \in }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∈</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \in }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe4d5b0a594c1da89b5e78e7dfbeed90bdcc32f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \in }"> oznacza przynależność do zbioru). Dokładniej: poprzez podstawienie danego elementu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> dziedziny pod formułę <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x/2=y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x/2=y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c517b00db6e7d626f626f937cff3902a398e0a22" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.425ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x/2=y}"> otrzymamy element przeciwdziedziny <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}">, co pozwoli skonstruować parę <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}"> bądącą elementem (punktem) wykresu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}"> funkcji, np. dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=6}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>6</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=6}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd659096f2df92a0bec65cda9268c9e0918716a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=6}"> podstawiamy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(6)=6/2=3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>6</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>6</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(6)=6/2=3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d94402d9d4635e2af79ba01cb131849a57b1813" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.097ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(6)=6/2=3}"> - otrzymaliśmy więc parę <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (6,3)\in W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>6</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (6,3)\in W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f966b1e6a9d2750eaafadd3910700b738eabbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.444ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (6,3)\in W}">, jeśli podobnie ucznimy dla pozostalych elementów dziedziny to znajdziemy wszystkie punktu (elementy) wykresu. Bardziej formalny zapis (którego zwykle się nie stosuje w praktyce) dla tego przykładu wyglądałby tak: <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=\left(\mathbb {N} ,\mathbb {R} ,\left\{\left(x,{\frac {x}{2}}\right):x\in \mathbb {N} \right\}\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=\left(\mathbb {N} ,\mathbb {R} ,\left\{\left(x,{\frac {x}{2}}\right):x\in \mathbb {N} \right\}\right).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b2b6cb57cba7e4f07a9ac0d69cd82b88998d7d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.802ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle f=\left(\mathbb {N} ,\mathbb {R} ,\left\{\left(x,{\frac {x}{2}}\right):x\in \mathbb {N} \right\}\right).}"></dd></dl></dd></dl> Jeżeli pomija się podanie dziedziny i przeciwdziedziny dla danej funkcji to oznacza, że należy wywieść te informacje z wykresu lub kontekstu – co często ma miejsce (i uzasadnia oddzielenie definicji wykresu w tradycyjnej notacji). <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przykład_1">Przykład 1</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Przykład 1" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykład 1">edytuj kod</a>]</div> Funkcje używające tej samej formuły <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"> do zdefiniowania wykresu nie muszą być tożsame. Rozważmy taki przypadek czterech funkcji korzystających z formuły <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ddac4ae10b1aa4a11741c79771a583419fb1fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.9ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{2}}"> (poniżej oznaczono: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> to liczby <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">rzeczywiste</a> a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97dc5e850d079061c24290bac160c8d3b62ee139" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.189ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}"> to liczby rzeczywiste większe od zera): <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+},f(x)=x^{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+},f(x)=x^{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fbd53fd5db6d2097f648231d28307074615e948" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.374ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+},f(x)=x^{2},}"> więc z definicji: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{+},\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{+},\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04422892b6baecdf8b4fa6cd3972f1dd7928fa77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.435ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{+},\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}),}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \ ,g(x)=x^{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \ ,g(x)=x^{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f8c9c38f15e4417e02db659124aa027bd54215" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.119ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \ ,g(x)=x^{2},}"> więc z definicji: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ,\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ,\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151932190dde937f4c5d296a7e82a57e2588c554" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.762ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle g=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ,\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}),}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+},h(x)=x^{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+},h(x)=x^{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8932fe9581b1605932f0d2ac697f9ede01013993" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.006ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+},h(x)=x^{2},}"> więc z definicji: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h=(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} ^{+},\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} ^{+}\}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} ^{+},\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} ^{+}\}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911e446117df948d5c0fada2044298dcf56881ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.517ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle h=(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} ^{+},\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} ^{+}\}),}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} \ ,k(x)=x^{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} \ ,k(x)=x^{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39848c2e014ce86ada26ec2ca6bd8800b68eefe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.82ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle k\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} \ ,k(x)=x^{2},}"> więc z definicji: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} ,\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} ^{+}\}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} ,\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} ^{+}\}).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e580c9a295d7d5cb714315c2f341951d73bf3e01" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.879ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle k=(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} ,\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} ^{+}\}).}"></dd></dl> mamy: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\neq g\neq f\neq h\neq k\neq f\neq h\neq g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>≠</mo> <mi>g</mi> <mo>≠</mo> <mi>f</mi> <mo>≠</mo> <mi>h</mi> <mo>≠</mo> <mi>k</mi> <mo>≠</mo> <mi>f</mi> <mo>≠</mo> <mi>h</mi> <mo>≠</mo> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\neq g\neq f\neq h\neq k\neq f\neq h\neq g}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8efa7c19f6c82fb1006b6f67c943639e07812282" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.579ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle k\neq g\neq f\neq h\neq k\neq f\neq h\neq g}"> (bo każda jest inną trójką). Każda z funkcji ma inny charakter: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> to <a href="/wiki/Surjekcja" title="Surjekcja">suriekcja</a>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> to <a href="/wiki/Funkcja_wzajemnie_jednoznaczna" title="Funkcja wzajemnie jednoznaczna">bijekcja</a>, k to <a href="/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCnowarto%C5%9Bciowa" title="Funkcja różnowartościowa">iniekcja</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przykład_2">Przykład 2</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Przykład 2" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykład 2">edytuj kod</a>]</div> Rozważmy funkcję której dziedzina to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\left\{(u,v)\colon u\in \mathbb {R} \;\wedge \;v\in \mathbb {R} \right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>u</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>∧</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>v</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\left\{(u,v)\colon u\in \mathbb {R} \;\wedge \;v\in \mathbb {R} \right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d806d2f02a609dbae38f85e523ab1d571f98f8b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.153ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\left\{(u,v)\colon u\in \mathbb {R} \;\wedge \;v\in \mathbb {R} \right\}}"> (<a href="/wiki/Iloczyn_kartezja%C5%84ski" title="Iloczyn kartezjański">iloczyn kartezjański</a>) czyli każdy element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544be0ffe09bee02e6ee9b2977bb7cf55a17258a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.903ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}"> z dziedziny jest parą dwóch liczb rzeczywistych tj. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=(u,v)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=(u,v)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7aedc5e172eaabf784c2a5c1f1550482c46535" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.729ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=(u,v)}">. Przeciwdziedziną zaś niech będzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> zaś wykresem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=f((u,v))=u^{2}+v^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=f((u,v))=u^{2}+v^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7dedfc9950ffaed916111fdc237e5ccb66e479" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.409ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=f((u,v))=u^{2}+v^{2}}">. Zwróćmy uwagę że tak zdefiniowana funkcja przyjmuje defacto dwie liczby <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u,v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u,v}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e66f4b32a0181923cc1337a5634f38241e5c697" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.491ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u,v}"> (stanowiące jedną <a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana" title="Para uporządkowana">parę</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (u,v)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (u,v)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eadf12294edccd7a29c99cfc1765e4a14bf47e58" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.301ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (u,v)}"> oznaczoną przez <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> ) jako argument a zwraca w wyniku jedną liczbę (będącą sumą kwadratów elementów pary). Kożystając z tradycyjnej notacji zapiszemy <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725b0e05a55a325c41bf1911f2fcd83dc7101102" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.337ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(u,v)=u^{2}+v^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(u,v)=u^{2}+v^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a58197d45a04fe1b93d939945b53b4c8c6a38a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.084ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(u,v)=u^{2}+v^{2}}"></dd></dl> zwróćmy uwagę, że zamiast <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f((u,v))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f((u,v))}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f728c4635e3843297bac11fa070e7eb903fd5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.388ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f((u,v))}"> zapisano <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(u,v)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(u,v)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6a108a1020838e47fa6d73a3b9e00d38197ebb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.579ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(u,v)}"> a więc pominięto wewnętrzne nawiasy - jest to powszechnie stosowany skrót notacyjny. Formalnie funkcja przyjmuje tylko jeden argument (który jest <a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana" title="Para uporządkowana">parą</a> liczb). Bardziej formalna definicja (nie stosowana w praktyce) wyglądała by tak: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=\left(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ,\left\{\left((u,v),u^{2}+v^{2}\right):u,v\in \mathbb {R} \right\}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>:</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=\left(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ,\left\{\left((u,v),u^{2}+v^{2}\right):u,v\in \mathbb {R} \right\}\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40801883c4b85f502f051e691badda29cfafbc47" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:41.513ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f=\left(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ,\left\{\left((u,v),u^{2}+v^{2}\right):u,v\in \mathbb {R} \right\}\right)}"></dd></dl> Funkcje których argument jest parą, trójką lub w ogólności <a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana#Trójki,_czwórki..._n-ki_uporządkowane" title="Para uporządkowana">n-tką</a> nazywamy <a href="/wiki/Funkcja_wielu_zmiennych" title="Funkcja wielu zmiennych">funkcjami wielu zmiennych</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przykład_3">Przykład 3</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: Przykład 3" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykład 3">edytuj kod</a>]</div> Argumentem funkcji może być <a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana#Trójki,_czwórki..._n-ki_uporządkowane" title="Para uporządkowana">n-tka</a> zawierająca wiele elementów (np. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaacd09d802018f742872a07cffb088d594218d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.24ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }"> przyjmuje <a href="/wiki/Tr%C3%B3jka_uporz%C4%85dkowana" title="Trójka uporządkowana">trójkę</a> liczb). Operacje arytmetyczne na liczbach są tego typu funkcjami np. <a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawanie</a> liczb naturalnych <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +:\mathbb {N} ^{2}\to \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +:\mathbb {N} ^{2}\to \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d556b1a85be341607a18d12fb752f3b14ce595a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.77ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle +:\mathbb {N} ^{2}\to \mathbb {N} }"> (z indywidualną notacją). Wynikiem funkcji również może być <a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana#Trójki,_czwórki..._n-ki_uporządkowane" title="Para uporządkowana">n-tka</a> zawierająca wiele wartości (np. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b537dab6d7171acccf79284f24dec02dfeb58d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.294ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}"> przyjmuje parę a zwraca <a href="/wiki/Tr%C3%B3jka_uporz%C4%85dkowana" title="Trójka uporządkowana">trójkę</a> liczb). Funkcje które mogą przyjmować inne funkcje jako argument i zwracać liczbę jako wynik nazywane są <a href="/wiki/Funkcjona%C5%82" title="Funkcjonał">funkcjonałami</a> (np. funkcjonał <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7fb5f32552cffa959ec4ed2220f912e40abc7e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.605ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} }"> zwracający pole pod wykresem funkcji). Funkcje które jako argument przyjmują pewne funkcje i zwracają inne funkcje nazywamy <a href="/wiki/Operator_r%C3%B3%C5%BCniczkowy" title="Operator różniczkowy">operatorami</a> - operatory transformują/zmieniają daną funkcję (lub kilka funkcji) na inną i często do ich zapisu stosujemy indywidualna odrębną notację (np. <a href="/wiki/Transformata_Fouriera" class="mw-redirect" title="Transformata Fouriera">transformata Fouriera</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {f}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {f}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14ce989fd75da938ec6f95a0cdb71037b23a11cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.699ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {f}}}">, operator <a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">składania funkcji</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\circ g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\circ g}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f61ca7838709fbae07dce9c0d513770f10cfae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.589ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\circ g}">, <a href="/wiki/Operator_r%C3%B3%C5%BCniczkowy#Operator_różniczkowy_nabla" title="Operator różniczkowy">operator Nabla</a> dla <a href="/wiki/Gradient_(matematyka)" title="Gradient (matematyka)">gradientu</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b4d6de89b52c5a5e6e1583cb63eaee263e307b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.214ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \nabla f}"> itp.) <dl><dd><table class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"> <tbody><tr> <th>Detaliczne omówienie wybranych przykładów w świetle formalnej definicji </th></tr> <tr> <td> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:[0,1]^{4}\to \mathbb {R} ,f(x,y,z,t)=t+xyz}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:[0,1]^{4}\to \mathbb {R} ,f(x,y,z,t)=t+xyz}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb9d2c75accc29151206a854226a0fbb8521b7e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.203ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f:[0,1]^{4}\to \mathbb {R} ,f(x,y,z,t)=t+xyz}">, (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1]}"> to <a href="/wiki/Przedzia%C5%82_domkni%C4%99ty" class="mw-redirect" title="Przedział domknięty">przedział domknięty</a> wszystkich liczb rzeczywistych od 0 do 1) z definicji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=([0,1]^{4},\mathbb {\mathbb {R} } ,\{((x,y,z,t),t+xyz):x,y,z,t\in [0,1]\})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">]</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=([0,1]^{4},\mathbb {\mathbb {R} } ,\{((x,y,z,t),t+xyz):x,y,z,t\in [0,1]\})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31c62ddcf395786e53e922a7f1e1d31d8b60d90" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:54.33ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f=([0,1]^{4},\mathbb {\mathbb {R} } ,\{((x,y,z,t),t+xyz):x,y,z,t\in [0,1]\})}">, np. funkcja określa temperaturęw każdym punkcie kostki o boku 1, w każdym momencie przedział czasu od 0 do 1.</li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {\mathbb {R} } ^{3},f(x)=(x^{2},x,0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {\mathbb {R} } ^{3},f(x)=(x^{2},x,0)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71374f6b1ca6dd13f82ea2901e87aa04ac02bb74" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.543ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {\mathbb {R} } ^{3},f(x)=(x^{2},x,0)}">. Wynikiem działania tej funkcji jest trójka liczb którą można interpretować jak współrzedne x,y,z w przestrzeni <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_tr%C3%B3jwymiarowa" title="Przestrzeń trójwymiarowa">3D</a> (w tym przypadku z=0). Z definicji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{3},\{(x,(x^{2},x,0)):x\in \mathbb {R} \})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{3},\{(x,(x^{2},x,0)):x\in \mathbb {R} \})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3357c303a7d78f68e363a09e9bae57f4df4e0695" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.701ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{3},\{(x,(x^{2},x,0)):x\in \mathbb {R} \})}"> (funkcja przyporządkowuje każdej liczbie pewien punkt na płaszczyźnie (z=0) w przestrzeni trójwymiarowej - czyli rysuje płaską krzywą w <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_tr%C3%B3jwymiarowa" title="Przestrzeń trójwymiarowa">3D</a>), np. funkcja określa położenie pewnego pojazdu na płaskiej nawierzchni w czasie x.</li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ,f(x)={\sqrt {x(-1)}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ,f(x)={\sqrt {x(-1)}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f49012aa0af701efa0182f82e96c598ca7f196" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.498ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ,f(x)={\sqrt {x(-1)}}}">, gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82bd7cbe0951de092dc4a46c4b442b0c5d9efd70" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.969ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}"> to zbiór wszystkich funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c62deda22a34a3e31a6a9245d08353d1625d6d54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.109ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }"> tj. działających z <a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">liczb całkowitych</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} }"> w <a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczby naturalne</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {N} }">. Tutaj <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> nie oznacza liczby tylko funkcję, a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(-1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(-1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e618db849fa2c48ddc08a03822a427ec5b7b58f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.11ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(-1)}"> to wartość tej funkcji dla minus jedynki. Funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"> zwraca więc pierwiastek z pewnej liczby naturalnej która jest wartością funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> w minus jeden. Z definicji formalnej zapisujemy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} },\mathbb {\mathbb {R} } ,\{(x,{\sqrt {x(-1)}}):x\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} },\mathbb {\mathbb {R} } ,\{(x,{\sqrt {x(-1)}}):x\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2cfc48197cf85366dd48b60cf8e3e8d09827fa9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:36.947ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle f=(\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} },\mathbb {\mathbb {R} } ,\{(x,{\sqrt {x(-1)}}):x\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\})}">. Funkcja której argumentem są inne funkcje a wartościami liczby (zamienia/mapuje/transformuje funkcje na liczby) to <a href="/wiki/Funkcjona%C5%82" title="Funkcjonał">funkcjonał</a>.</li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {N} },f(x)=\pi x^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {N} },f(x)=\pi x^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64082e4ade1cc8d929bb89eabda855568f0c63ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.162ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {N} },f(x)=\pi x^{2}}">, tutaj funkcja f jako argument bierze pewną funkcję <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x:\mathbb {N} \to \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x:\mathbb {N} \to \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f67377908640599646da7533f329069092bbb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.109ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x:\mathbb {N} \to \mathbb {Z} }"> a jako wynik zwraca inną funkcję <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc4f5eb5053dbe9f15469e5c16fbdcbef7273f93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.063ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }">. Funkcje których argumentami są pewne funkcje a wynikiem inne funkcje (czyli zamieniają/transofmują jedne funkcje na inne funkcje) nazywamy <a href="/wiki/Operator_r%C3%B3%C5%BCniczkowy" title="Operator różniczkowy">operatorami</a>. Poszczególne operatory mogą posiadać indywidualną niezależną notację (i nierzadko nazewnictwo oraz być centralnym elementem teorii matematycznych) np. <a href="/wiki/Dywergencja" title="Dywergencja">dywergencja</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle div(.),\nabla \cdot }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>.</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>⋅</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle div(.),\nabla \cdot }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d248ab3cba53c4128f7e6e0f6f372890117efe46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.606ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle div(.),\nabla \cdot }">, <a href="/wiki/Transformata_Fouriera" class="mw-redirect" title="Transformata Fouriera">transformata Fouriera</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {f}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {f}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14ce989fd75da938ec6f95a0cdb71037b23a11cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.699ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {f}}}"> etc. .</li></ul> <dl><dd><table class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"> <tbody><tr> <th>Detale przykładu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0" /> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:0; height:0.343ex;" alt="{\displaystyle }"> </th></tr> <tr> <td> Wartość funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}">, z przykładu, w każdym punkcie równa jest kwadratowi wartości funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> w owym punkcie wymnorzonym przez <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"> tj. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(t)=\pi (x(t))^{2},t\in \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)=\pi (x(t))^{2},t\in \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4386d4f63b30220c4b847f4a0d39b27cc26562" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.469ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y(t)=\pi (x(t))^{2},t\in \mathbb {N} }">. Z definicji formalnej mamy: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} },\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },\{(x,\pi x^{2}):x\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>π</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} },\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },\{(x,\pi x^{2}):x\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a5d50cdebd7d6f414dc9d2b27ca02d3f846d85" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.611ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f=(\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} },\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },\{(x,\pi x^{2}):x\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\})}">. Ponieważ funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> ma taką samą dziedzinę jak funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"> w formule na y jest użyte tylko w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)}"> to możemy operować na nich podobnie jak na zmiennych liczbowych (np. pisząc skrótowo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\pi x^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\pi x^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bfca6a8379eb2fb9ef1a0ab4695ddf26cbb3c42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.97ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y=\pi x^{2}}"> zamiast <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(t)=\pi x(t)^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)=\pi x(t)^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14411518c19ddf1eb1bb10dfc20c879c49bbb4db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.268ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y(t)=\pi x(t)^{2}}"> co skraca notację). </td></tr></tbody></table></dd></dl> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {Q} },f(x)=y,y(t)=\pi t+2x(\lfloor t\rfloor ),t\in \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⌊</mo> <mi>t</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⌋</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {Q} },f(x)=y,y(t)=\pi t+2x(\lfloor t\rfloor ),t\in \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba8f7a6bb4508797bbf4870f70f0e3021df91c44" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:49.408ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {Q} },f(x)=y,y(t)=\pi t+2x(\lfloor t\rfloor ),t\in \mathbb {Q} }"> (gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lfloor t\rfloor }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⌊</mo> <mi>t</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⌋</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lfloor t\rfloor }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08671e5810340ae8f3dc771e9694251307fb460a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.904ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lfloor t\rfloor }"> oznacza <a href="/wiki/Pod%C5%82oga_i_sufit" title="Podłoga i sufit">podłogę</a>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }"> to <a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczby wymierne</a>) funkcja (operator) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> zmienia funkcję <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c62deda22a34a3e31a6a9245d08353d1625d6d54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.109ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }"> w funkcję <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc897d243cb643a2c4dc6e9d19e81e766ef09589" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.193ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }">. Bardziej formalnie (z definicji) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} },\mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {Q} },\{(x,(\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\{(t,\pi t+2x(\lfloor t\rfloor )):t\in \mathbb {Q} \})):x\in \mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>π</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⌊</mo> <mi>t</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⌋</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Q</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} },\mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {Q} },\{(x,(\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\{(t,\pi t+2x(\lfloor t\rfloor )):t\in \mathbb {Q} \})):x\in \mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e135823ad865706ba45a077c411b4604a448c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:63.076ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f=(\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} },\mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {Q} },\{(x,(\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\{(t,\pi t+2x(\lfloor t\rfloor )):t\in \mathbb {Q} \})):x\in \mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\})}">. Przykładowe użycie operatora <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> dla funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(s)=3s^{2}+5,s\in \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(s)=3s^{2}+5,s\in \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f85eb404c4baf1260619e9397dc09091140c27d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.153ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle x(s)=3s^{2}+5,s\in \mathbb {Z} }"> czyli zapis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a5080a8b0a963407ea74ffa50702563771518d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.672ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=y}"> da w wyniku funkcję <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(t)=\pi t+2(3\lfloor t\rfloor ^{2}+5)=\pi t+6\lfloor t\rfloor ^{2}+10}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo fence="false" stretchy="false">⌊</mo> <mi>t</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">⌋</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mo fence="false" stretchy="false">⌊</mo> <mi>t</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">⌋</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>10</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)=\pi t+2(3\lfloor t\rfloor ^{2}+5)=\pi t+6\lfloor t\rfloor ^{2}+10}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939918bbdb5e647e5f9977c333b2e860179ae39a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.407ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y(t)=\pi t+2(3\lfloor t\rfloor ^{2}+5)=\pi t+6\lfloor t\rfloor ^{2}+10}">.</li></ul> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +:\mathbb {N} ^{2}\to \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +:\mathbb {N} ^{2}\to \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d556b1a85be341607a18d12fb752f3b14ce595a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.77ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle +:\mathbb {N} ^{2}\to \mathbb {N} }"> (użyto tu znaku "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +}">" zamist litery "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}">") ta funkcja jest <a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działaniem</a> <a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawania</a> dwóch liczb naturalnych tzn. przyjmuje ona parę liczb a jako wynik zwraca jedną liczbę. Funkcja ta (podobnie jak inne działania arytmetyczne) ma swoją indywidualną notację tzn. nie piszemy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +(a,b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +(a,b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c833c03ae712f6a482e103c22b4bc6f29a01ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.879ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle +(a,b)}"> tylko <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2391acf09244b9dba74eb940e871a6be7e7973a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.068ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+b}">.</li></ul> <dl><dd><table class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"> <tbody><tr> <th>Detaliczna definicja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +}"> </th></tr> <tr> <td> Będziemy chcieli zdefiniowac funkcję <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +=(\mathbb {N} ^{2},\mathbb {N} ,\{((a,b),a+b):a,b\in \mathbb {N} \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +=(\mathbb {N} ^{2},\mathbb {N} ,\{((a,b),a+b):a,b\in \mathbb {N} \}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359b822cc0f62ea949f3cf2079d342d2b4fa07fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.313ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle +=(\mathbb {N} ^{2},\mathbb {N} ,\{((a,b),a+b):a,b\in \mathbb {N} \}}">. Punktem z wykresu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}"> tej funkcji jest para <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ((a,b),a+b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ((a,b),a+b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4981af451ffff3f99d87c7b07e39096baab0dd9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.982ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ((a,b),a+b)}"> która zawiera informację o składnikach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e5710198f33b00695903460983021e75860e2c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.071ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)}"> i wyniku <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2391acf09244b9dba74eb940e871a6be7e7973a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.068ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+b}">. Niemniej taki zapis jest niepoprawny gdyż definicja wewnątrz odwołje się do samej siebie (użyto czyli znaku <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +}"> po lewej i prawej stronie równości). Skonstruujumy zatem wykres tej funkcji inaczej. Najpierw skonstuujmy wykres dla wszystkich liczb naturalnych dla których dodjemy zero (czyli nic się nie zmienia więc nie musimy używać znaku <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +}"> w jego definiji): <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{0}=\{((a,0),a):a\in \mathbb {N} \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{0}=\{((a,0),a):a\in \mathbb {N} \}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4420555a8f31cfbac5ab356b49ca68ed86ffe34c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.666ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W_{0}=\{((a,0),a):a\in \mathbb {N} \}}"></dd></dl></dd></dl> Następnie, korzystając z <a href="/wiki/Liczby_naturalne#Model_von_Neumanna" title="Liczby naturalne">definicji von Neumanna</a> liczb naturalnych, gdzie możemy użyć <a href="/wiki/Nast%C4%99pnik_liczby_porz%C4%85dkowej" title="Następnik liczby porządkowej">następnika</a> zdefiniowanego jako <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S(a)=a\cup \{a\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>∪</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>a</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S(a)=a\cup \{a\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04cca1b3184eddb1babaa85482250fff6ca394e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.004ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S(a)=a\cup \{a\}}"> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0=\{\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=\{\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a52889146ca7457cd29374de157a66f6a8a96e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.586ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 0=\{\}}">, możemy na bazie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f541f57fd799ba5137a2e50a1a728dde4306c06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.248ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle W_{0}}"> zdefiniować wykres <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{1}=\{((a,1),a+1):((a,0),a)\in W_{0}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{1}=\{((a,1),a+1):((a,0),a)\in W_{0}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb6e4e4284137fe71989c6907b03a2ab65c059c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.317ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W_{1}=\{((a,1),a+1):((a,0),a)\in W_{0}\}}"> dla wszystkich liczb naturalnych dla których dodano 1, ale musimy zamiast działania <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8028f23cfdcb108712e2bc53369305574afe820b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.233ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a+1}"> (które właśnie definiujemy) użyć następnika S: <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{1}=\{((a,1),S(a)):((a,0),a)\in W_{0}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{1}=\{((a,1),S(a)):((a,0),a)\in W_{0}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a159287fd1a1757653b48fc118d57de2330bdc7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.623ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W_{1}=\{((a,1),S(a)):((a,0),a)\in W_{0}\}}"></dd></dl></dd></dl> podobnie możemy zrobić dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{2}=\{((a,2),a+2):((a,1),a+1)\in W_{1}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{2}=\{((a,2),a+2):((a,1),a+1)\in W_{1}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db1781d8ffec9e2732970a4df1ed0ebc33c61d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.32ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W_{2}=\{((a,2),a+2):((a,1),a+1)\in W_{1}\}}">, oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{3},...}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{3},...}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a45811493d646d6b3af09e94a4d9cc0fed912ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.997ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle W_{3},...}"> itd. <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{2}=\{((a,2),S(S(a))):((a,1),S(a))\in W_{1}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{2}=\{((a,2),S(S(a))):((a,1),S(a))\in W_{1}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b65d6bd0e1f2491c0f4cc6a5e040ccad46e69ca1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.24ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W_{2}=\{((a,2),S(S(a))):((a,1),S(a))\in W_{1}\}}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{3}=\{((a,3),S(S(S(a)))):((a,2),S(S(a)))\in W_{2}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{3}=\{((a,3),S(S(S(a)))):((a,2),S(S(a)))\in W_{2}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c0554378927f44f8dc9e8d6b53b25d396026d0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.857ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle W_{3}=\{((a,3),S(S(S(a)))):((a,2),S(S(a)))\in W_{2}\}}"></dd> <dd>...</dd></dl></dd></dl> itd. W ogólności możemy utworzyć formłę <a href="/wiki/Indukcja_matematyczna" title="Indukcja matematyczna">indykcyjną</a> (bazującą na poprzednich zbiorach) która dla dowolnej liczby <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b>1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>></mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b>1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0041c936812fb809c4511e31eb0404de9d48511b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.258ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b>1}"> na bazie zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{b}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{b}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510e4a61f2f183719a8ff8371c9c6d7e9918cfde" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.131ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle W_{b}}"> (opisującego dodawanie liczby b do każdej liczby naturalnej) utworzy zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{b+1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{b+1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd18132bae991e3fd152b05bd569d4c77a30c94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.232ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle W_{b+1}}"> (opisujący dodawanie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b+1=S(b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b+1=S(b)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f877db369e6604ec05d5aa6215ef5eaf95699d75" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.405ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b+1=S(b)}"> dla każdej liczby naturalnej): <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{S(b)}=\{((a,S(b)),S(c)):((a,b),c)\in W_{b}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{S(b)}=\{((a,S(b)),S(c)):((a,b),c)\in W_{b}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182a56bb0a0e9b866b61bc4cb06ad5c793ab2a92" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:43.262ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle W_{S(b)}=\{((a,S(b)),S(c)):((a,b),c)\in W_{b}\}}"></dd></dl></dd></dl> W ten sposób zbiory <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{b}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{b}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510e4a61f2f183719a8ff8371c9c6d7e9918cfde" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.131ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle W_{b}}"> opisują wynik dodawania każdej pary liczb naturalnych, przenoszac wszystkie elementy tych zbiory do jednego zbioru, otrzymamy ostateczny wykres dodawania wszystkich liczb naturalnych, a pełną definicję formalną możemy wówczas zapisać tak <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +=(\mathbb {N} ^{2},\mathbb {N} ,\bigcup _{b\in \mathbb {N} }W_{b})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mo>,</mo> <munder> <mo>⋃</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </munder> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +=(\mathbb {N} ^{2},\mathbb {N} ,\bigcup _{b\in \mathbb {N} }W_{b})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44babd5439ab7eec00e1de2ee0daeab2251469a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:19.701ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle +=(\mathbb {N} ^{2},\mathbb {N} ,\bigcup _{b\in \mathbb {N} }W_{b})}"></dd></dl></dd></dl> </td></tr></tbody></table></dd></dl> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circ :Z^{Y}\times Y^{X}\to Z^{X},\circ (f,g)(x)=f(g(x))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∘</mo> <mo>:</mo> <msup> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <msup> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>∘</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circ :Z^{Y}\times Y^{X}\to Z^{X},\circ (f,g)(x)=f(g(x))}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc66c66a7c8e7fffce65b62d83afd9b68cd0a42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.636ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \circ :Z^{Y}\times Y^{X}\to Z^{X},\circ (f,g)(x)=f(g(x))}"> ta funkcja jest <a href="/wiki/Operator_r%C3%B3%C5%BCniczkowy" title="Operator różniczkowy">operatorem</a> <a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">składania dwóch funkcji</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:Y\to Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:Y\to Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d5a35de429ebf7809eccaac9c99aa87d511ac9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.284ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:Y\to Z}"> oraz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g:X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g:X\to Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c825617c180ee9cbba1d56f8514978bf7c33b7c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.421ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g:X\to Y}"> który jako wnik zwraca funkcję <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h:X\to Z,h(x)=f(g(x))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Z</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h:X\to Z,h(x)=f(g(x))}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca9a0f1f9e57cc1e42ee5fa07d570e54a104305" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.504ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h:X\to Z,h(x)=f(g(x))}">. Dla tego operatora stosujemy notację taką jak dla działań arytmetycznych tj. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\circ g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\circ g}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f61ca7838709fbae07dce9c0d513770f10cfae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.589ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\circ g}">. Formalnie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circ =(Z^{Y}\times Y^{X},Z^{X},\{((f,g),h):f\in Z^{Y},g\in Y^{X},h\in Z^{X},h(x)=f(g(x)),x\in X\})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∘</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <msup> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>f</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>Y</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mi>Z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circ =(Z^{Y}\times Y^{X},Z^{X},\{((f,g),h):f\in Z^{Y},g\in Y^{X},h\in Z^{X},h(x)=f(g(x)),x\in X\})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf516e965f429dd8f07272a15fb257536807ff46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:82.257ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \circ =(Z^{Y}\times Y^{X},Z^{X},\{((f,g),h):f\in Z^{Y},g\in Y^{X},h\in Z^{X},h(x)=f(g(x)),x\in X\})}"></li></ul> </td></tr></tbody></table></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przykład_4">Przykład 4</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=7" title="Edytuj sekcję: Przykład 4" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=7" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykład 4">edytuj kod</a>]</div> Poniżej kilka nietypowych/granicznych przypadków – kolumna po stronie lewej trójka f; w środku to interpretacja f jako funkcji w świetle formalnej definicji zapisana w tradycyjnej notacji; ostatnia kolumna to wyjaśnienie (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}"> to dowolne nie puste zbiory, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}"> to niepusty wykres) <table class="wikitable"> <caption> </caption> <tbody><tr> <th>zbiór </th> <th>tradycyjna notacja </th> <th>wyjaśnienie </th></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(\emptyset ,\emptyset ,\emptyset )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(\emptyset ,\emptyset ,\emptyset )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d509ec755095cd3bd9c38270469ab4fabafb6c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.742ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(\emptyset ,\emptyset ,\emptyset )}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \emptyset \to \emptyset ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \emptyset \to \emptyset ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595c92c42c5680f21fc7afdf5a0cd5ad38c7c714" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.898ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f\colon \emptyset \to \emptyset ,}"> pusty wykres </td> <td>dzedzina, przeciwdziedzina i wykres są zbiorami pustymi </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(X,\emptyset ,\emptyset )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(X,\emptyset ,\emptyset )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c4594ec62372c3b17ab368f75ce9c76f69f158" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.559ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(X,\emptyset ,\emptyset )}"> </td> <td>to nie funkcja </td> <td>jeżeli dziedzina jest niepusta, to i wykres nie może być pusty </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(\emptyset ,Y,\emptyset )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(\emptyset ,Y,\emptyset )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542e5aa69aab588ecad9d9e640ea5ac8272040df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.352ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(\emptyset ,Y,\emptyset )}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \emptyset \to Y,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \emptyset \to Y,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d06952424420f82f37229039a19b0bd12a905e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.509ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f\colon \emptyset \to Y,}"> pusty wykres </td> <td>dziedzina i wykres są zbiorami pustymi </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(\emptyset ,\emptyset ,W)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo>,</mo> <mi>W</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(\emptyset ,\emptyset ,W)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b03d567b5029d9aa147c2d5e46f595e52eddcf1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.014ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(\emptyset ,\emptyset ,W)}"> </td> <td>to nie funkcja </td> <td>jeżeli wykres jest niepusty, to i dziedzina nie może być pusta </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(\emptyset ,Y,W)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi>W</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(\emptyset ,Y,W)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be897b4c8786c1896426895cd3fcf09eb21a1438" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.625ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(\emptyset ,Y,W)}"> </td> <td>to nie funkcja </td> <td>jeżeli wykres jest niepusty, to i dziedzina nie może być pusta </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(X,\emptyset ,W)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo>,</mo> <mi>W</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(X,\emptyset ,W)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef4aeadb57d59f783058b31480847f9ca15071f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.832ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(X,\emptyset ,W)}"> </td> <td>to nie funkcja </td> <td>przeciwdziedzina nie może być zbiorem pustym, bo z definicji funkcji wynika, że dla każdego elementu niepustej dziedziny X musi istnieć dokładnie jeden element przeciwdziedziny. </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(X,Y,\emptyset )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∅</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(X,Y,\emptyset )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33df85bcdf4704ffa50e9e17df52f2aba3c02c3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.17ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(X,Y,\emptyset )}"> </td> <td>to nie funkcja </td> <td>jeżeli dziedzina jest niepusta, to i wykres nie może być pusty </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(X,X,W)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>W</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(X,X,W)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4e896e39a43361cef5b63379e5aa5f165bf003" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.649ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(X,X,W)}"> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to X,f(x)=y,y\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to X,f(x)=y,y\in X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564f48fa01155736ca9e9e623da398e9f5cccc90" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.602ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to X,f(x)=y,y\in X}"> </td> <td>dziedzina jest równa przeciwdziedzinie </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(X,Y,X)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(X,Y,X)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f2fb7333eabaab0db26185085674e228fd8939" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.988ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(X,Y,X)}"> </td> <td>to nie funkcja (przy założeniu <a href="/wiki/Aksjomaty_Zermela-Fraenkla" title="Aksjomaty Zermela-Fraenkla">ZF</a>) </td> <td>wykres musiałby być tym samym co dziedzina <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W=X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> <mo>=</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W=X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d060fa9b180e42ab4b3054cfe6bac6296cd53d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.514ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W=X}"> (co jest niemożliwe jeśli przyjmujemy aksjomatykę <a href="/wiki/Aksjomaty_Zermela-Fraenkla" title="Aksjomaty Zermela-Fraenkla">ZF</a>, co zwykle ma miejsce) </td></tr> <tr> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=(X,Y,Y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=(X,Y,Y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90ab88fc0f13593dcffdc1ddfce2466f8fdbbfff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.781ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f=(X,Y,Y)}"> </td> <td>to nie funkcja (przy założeniu <a href="/wiki/Aksjomaty_Zermela-Fraenkla" title="Aksjomaty Zermela-Fraenkla">ZF</a>) </td> <td>wykres musiałby być tym samym co przeciwdziedzina <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W=Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> <mo>=</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W=Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71c48f081e19f9812927b32469cde5f6bf5ef28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.307ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W=Y}"> (co jest niemożliwe jeśli przyjmujemy aksjomatykę <a href="/wiki/Aksjomaty_Zermela-Fraenkla" title="Aksjomaty Zermela-Fraenkla">ZF</a>, co zwykle ma miejsce) </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Obraz_i_przeciwobraz">Obraz i przeciwobraz</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=8" title="Edytuj sekcję: Obraz i przeciwobraz" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=8" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Obraz i przeciwobraz">edytuj kod</a>]</div> <ul><li>Zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(A)=\{y=f(x)\colon x\in A\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(A)=\{y=f(x)\colon x\in A\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eceb7619a65d6b222f202a18556b86e7bdb988ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.873ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(A)=\{y=f(x)\colon x\in A\}}"> jest <a href="/wiki/Obraz_(matematyka)" title="Obraz (matematyka)">obrazem</a> podzbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> w przekształceniu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"><a href="#cite_note-CITEREFKołmogorowFomin198921-8">[5]</a>,</li> <li>dla każdego elementu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\in f(X)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\in f(X)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91544f3960f0d2927fb50b2376819a3c376aa5a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.906ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b\in f(X)}"> <a href="/wiki/Przeciwobraz" title="Przeciwobraz">przeciwobrazem</a> elementu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> (dokładniej pełnym przeciwobrazem) nazywamy zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(b)=\{a\in X\colon f(a)=b\};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>:</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(b)=\{a\in X\colon f(a)=b\};}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/004d71ce0931e30459f1f41710fce7fd2df012da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.028ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(b)=\{a\in X\colon f(a)=b\};}"> jeśli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\notin f(X),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>∉</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\notin f(X),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4ce8cfa9caba043d15f9ed9634a7b90ea6112e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.553ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b\notin f(X),}"> to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(b)=\varnothing }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi class="MJX-variant">∅</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(b)=\varnothing }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338165c163680ddf3e02da0234089e79fce4d4bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.367ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(b)=\varnothing }"><a href="#cite_note-CITEREFKołmogorowFomin198921-8">[5]</a>,</li> <li>przeciwobrazem podzbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\subset Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo>⊂</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\subset Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7921e1b64009c92cbcb5193f70f3358d9183c10" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B\subset Y}"> nazywamy zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(B)=\{a\in X\colon f(a)\in B\};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>:</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(B)=\{a\in X\colon f(a)\in B\};}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5195e10605533c26c8ce5e539dd75dc2d6cc3ed6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.304ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(B)=\{a\in X\colon f(a)\in B\};}"> jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\cap f(X)=\varnothing ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo>∩</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi class="MJX-variant">∅</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\cap f(X)=\varnothing ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa2ee1bc097ab0383b6e8a67d43376ce9407761" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.968ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B\cap f(X)=\varnothing ,}"> to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi class="MJX-variant">∅</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb9d9040813f06500879747f1e173fae8062912" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.133ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing }"><a href="#cite_note-CITEREFKołmogorowFomin198922-27">[24]</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Wykres_funkcji">Wykres funkcji</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=9" title="Edytuj sekcję: Wykres funkcji" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=9" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Wykres funkcji">edytuj kod</a>]</div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /> Osobny artykuł: <a href="/wiki/Wykres_funkcji" title="Wykres funkcji">wykres funkcji</a>.</div> Wykresem funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y}"> nazywa się zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{f}=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>Y</mi> <mo>:</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{f}=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2d06d1bf5c8f5d736ead856e973f54b6c65280" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:34.772ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle W_{f}=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}.}"> Z definicji funkcji wynika, że dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b79e955b57dd7aada93b8afd459996ae941d480" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.205ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{0}\in X}"> istnieje dokładnie jeden taki <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0}\in Y,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}\in Y,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8145270084801a1995c329ba616aee8d9ce7625" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.454ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{0}\in Y,}"> że <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in W_{f}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in W_{f}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441b49d0f8857466c672968e4b0881879c213876" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.238ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in W_{f}.}"> Jeśli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1cacd5f7bbe1027cc75fbe2fbd9cb5e79485302" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.283ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> jest <a href="/wiki/Funkcja_ci%C4%85g%C5%82a" title="Funkcja ciągła">funkcją ciągłą</a>, to jej wykres jest <a href="/wiki/Krzywa" title="Krzywa">krzywą</a> w <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych" title="Układ współrzędnych">układzie współrzędnych</a> na płaszczyźnie. Jeżeli zakładamy, że funkcja jest <a href="/wiki/Surjekcja" title="Surjekcja">suriekcją</a>, to <a href="/wiki/Wykres_funkcji" title="Wykres funkcji">wykres funkcji</a> jednoznacznie ją określa. Jeśli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in W_{f},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msub> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in W_{f},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4660c02e1232e6d206c7037c04928b569ba13b9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.238ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in W_{f},}"> to <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c96d5caf1af039a51aa8c1c103c2bc4ac02e7ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.411ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}"> przy czym <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d943dbbb0b56ca750c4d62c5b54b4ae29a773da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{0}}"> jest jedynym takim elementem. Definicję relacyjną zaproponował <a href="/wiki/Giuseppe_Peano" title="Giuseppe Peano">Giuseppe Peano</a><a href="#cite_note-CITEREFKuratowskiMostowski196673-3">[2]</a><a href="#cite_note-28">[25]</a>; utożsamia ona funkcję z jej wykresem. Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości[<a href="/wiki/Pomoc:Przypisy" title="Pomoc:Przypisy">potrzebny przypis</a>]. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funkcje_liczbowe">Funkcje liczbowe</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=10" title="Edytuj sekcję: Funkcje liczbowe" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=10" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Funkcje liczbowe">edytuj kod</a>]</div> Ważną klasą funkcji są funkcje <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466bdcc40043011a1e9cafd1533b4073e71fc1f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.585ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }"> (zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"> jest <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">zbiorem liczb zespolonych</a>)</dd></dl> nazywane funkcjami o wartościach liczbowych<a href="#cite_note-CITEREFWinogradow1985715-29">[26]</a>. W zbiorze funkcji liczbowych określonych na ustalonym zbiorze <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> można zdefiniować <a href="/wiki/Arytmetyka_elementarna" title="Arytmetyka elementarna">działania arytmetyczne</a>: <ul><li>Dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,g\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,g\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99c3354a919e8e246796bdc329e13c6604e95a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.83ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,g\colon X\to Y}"> funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f+g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f+g}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d94a24abd865f6f9fd67a7df7e531cae1c769b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.235ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f+g}"> przyjmuje dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X}"> wartość <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)+g(x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)+g(x).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c3727689b27d29943e93033a6fbaab86d26ab0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)+g(x).}"></li> <li>Dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,g\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,g\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99c3354a919e8e246796bdc329e13c6604e95a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.83ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,g\colon X\to Y}"> funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f-g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>−</mo> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f-g}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f3019b383024c33e03b71a287d195f958ca89f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.235ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f-g}"> przyjmuje dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X}"> wartość <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)-g(x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)-g(x).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221e2b555a897d263194139e31f50edebfdc1cba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)-g(x).}"></li> <li>Dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,g\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,g\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99c3354a919e8e246796bdc329e13c6604e95a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.83ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,g\colon X\to Y}"> funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\cdot g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>⋅</mo> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\cdot g}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c09ad821122bb3fd64953313451b9267f75389" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.074ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\cdot g}"> przyjmuje dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X}"> wartość <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\cdot g(x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\cdot g(x).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae27845d7f5bc5ff4982ee131a6eff3cab4fb6ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.998ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\cdot g(x).}"></li> <li>Dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,g\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,g\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99c3354a919e8e246796bdc329e13c6604e95a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.83ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,g\colon X\to Y}"> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall _{x\in X}g(x)\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall _{x\in X}g(x)\neq 0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4f70b1fa2f6480ee2b93f542a614574d9df459" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.477ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall _{x\in X}g(x)\neq 0}"> funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f/g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f/g}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c6b7962d3532e248f07cd42b1bdc9e007b137d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.557ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f/g}"> przyjmuje dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X}"> wartość <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)/g(x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)/g(x).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93fa2434525d2f8cd746daddd3734122df8d2408" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.482ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)/g(x).}"></li> <li>Dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y}"> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a6d1585381827bdf73529c2a418bc14098567c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.874ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }"> funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda \cdot f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda \cdot f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c59d1b87aa8467d1526708483fd33d9736cb203" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.313ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda \cdot f}"> przyjmuje dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X}"> wartość <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda \cdot f(x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda \cdot f(x).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b9d42514a67744529f6c9c77dbc6efab90d820" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.099ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda \cdot f(x).}"></li></ul> Funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> jest ograniczona, jeśli istnieje taka <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczba rzeczywista</a> dodatnia <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b466e90209f39c0c2caad1b11445824b82c2f536" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.089ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M,}"> że dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X}"> spełniona jest nierówność <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |f(x)|<M.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mi>M</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |f(x)|<M.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581cc651905df2a10843422981b8c26a70facadf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.899ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |f(x)|<M.}"> Jeśli funkcja liczbowa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> przyjmuje jedynie wartości rzeczywiste <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9b06a6bd51983ffb42e2c8c32049d28c37a6d53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.232ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}"></dd></dl> to nazywa się ją funkcją o wartościach rzeczywistych<a href="#cite_note-CITEREFWinogradow1985715-29">[26]</a>. Dla funkcji o wartościach rzeczywistych wyniki powyżej zdefiniowanych czterech działań arytmetycznych są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Wyjątkiem jest mnożenie przez stałą, która powinna być rzeczywista, aby w wyniku mnożenia funkcji o wartościach rzeczywistych przez tę stałą uzyskać funkcję o wartościach rzeczywistych. Funkcjami liczbowymi nazywamy: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95be0f99ac0df92b4fe1cb067e64ce9438cd9ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.232ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} ,}"> gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\subset \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>⊂</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\subset \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8131294f3e8836bcf835799c8ffd36515fd94300" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.757ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X\subset \mathbb {C} }"> (jest to funkcja zespolona)</dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9b06a6bd51983ffb42e2c8c32049d28c37a6d53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.232ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}"> gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\subset \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>⊂</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\subset \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71afe1acdf6107bac3e40fa236a6ee59459006e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.757ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X\subset \mathbb {R} }"> (jest to funkcja rzeczywista)<a href="#cite_note-CITEREFWinogradow1985716-30">[27]</a></dd></dl> Można także mówić o funkcjach liczbowych wielu zmiennych (rzeczywistych lub zespolonych): <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95be0f99ac0df92b4fe1cb067e64ce9438cd9ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.232ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} ,}"> gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\subset \mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} \times \ldots \times \mathbb {C} } _{n},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>⊂</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <munder> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mo>…</mo> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\subset \mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} \times \ldots \times \mathbb {C} } _{n},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e934b73210e935d5f946b0d3efda479ce3b367" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:23.48ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle X\subset \mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} \times \ldots \times \mathbb {C} } _{n},}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9b06a6bd51983ffb42e2c8c32049d28c37a6d53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.232ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}"> gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}=\underbrace {\mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R} } _{n},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>⊂</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <munder> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mo>…</mo> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}=\underbrace {\mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R} } _{n},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aacd301cac788433ed0636027738a6397eb7cfd6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:23.48ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}=\underbrace {\mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R} } _{n},}"></dd></dl> których dziedzina jest podzbiorem <a href="/wiki/Iloczyn_kartezja%C5%84ski" title="Iloczyn kartezjański">iloczynu kartezjańskiego</a> zbioru liczb rzeczywistych lub zbioru liczb zespolonych, które zapisuje się: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8819bcf574aa2554937b068606f2b89c0389c9db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.517ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}"> gdzie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5afdbc2d248d8fa9ba2c4f5188d946a0537e753" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.11ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}"> są współrzędnymi punktu w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> lub odpowiednio w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d4f15b2172ab0b3c5531b4eab26f53129a6528" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.543ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rodzaje_funkcji_liczbowych">Rodzaje funkcji liczbowych</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=11" title="Edytuj sekcję: Rodzaje funkcji liczbowych" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=11" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Rodzaje funkcji liczbowych">edytuj kod</a>]</div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /> Zobacz też: <a href="/wiki/Funkcje_elementarne" title="Funkcje elementarne">funkcje elementarne</a>, <a href="/wiki/Funkcje_specjalne" title="Funkcje specjalne">funkcje specjalne</a>, <a href="/wiki/Przebieg_zmienno%C5%9Bci_funkcji" title="Przebieg zmienności funkcji">przebieg zmienności funkcji</a> i <a href="/wiki/Granica_funkcji" title="Granica funkcji">granica funkcji</a>.</div> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">funkcja rosnąca</a>;</li> <li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">funkcja malejąca</a>;</li> <li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">funkcja nierosnąca</a>;</li> <li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">funkcja niemalejąca</a>;</li> <li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">funkcja monotoniczna</a> – funkcja rosnąca lub funkcja malejąca, lub funkcja nierosnąca, lub funkcja niemalejąca;</li> <li><a href="/wiki/Funkcja_ograniczona" title="Funkcja ograniczona">funkcje ograniczone</a> – funkcja, której zbiór wartości jest <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_ograniczony" title="Zbiór ograniczony">ograniczony</a>;</li> <li><a href="/wiki/Funkcje_parzyste_i_nieparzyste" title="Funkcje parzyste i nieparzyste">funkcja parzysta</a> – wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi rzędnych;</li> <li><a href="/wiki/Funkcje_parzyste_i_nieparzyste" title="Funkcje parzyste i nieparzyste">funkcja nieparzysta</a> – wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych" title="Układ współrzędnych">układu współrzędnych</a>;</li> <li><a href="/wiki/Funkcja_okresowa" title="Funkcja okresowa">funkcja okresowa</a>;</li> <li><a href="/wiki/Funkcja_ci%C4%85g%C5%82a" title="Funkcja ciągła">funkcja ciągła</a>;</li> <li><a href="/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCniczkowalna" title="Funkcja różniczkowalna">funkcja różniczkowalna</a> – funkcja, dla której istnieje <a href="/wiki/Pochodna_funkcji" title="Pochodna funkcji">pochodna</a> w każdym punkcie jej dziedziny.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Sposoby_określania_funkcji">Sposoby określania funkcji</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=12" title="Edytuj sekcję: Sposoby określania funkcji" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=12" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Sposoby określania funkcji">edytuj kod</a>]</div> Jeżeli dziedzina <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą <a href="/wiki/Graf_(matematyka)" title="Graf (matematyka)">grafu</a> (przykład obok). Funkcje liczbowe można definiować za pomocą wzorów. Jest to sposób analityczny. W tym celu wykorzystuje się pewien zasób funkcji (<a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">wielomiany</a>, <a href="/wiki/Funkcje_elementarne" title="Funkcje elementarne">funkcje elementarne</a> itp.), działania algebraiczne, <a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">złożenie funkcji</a> i operację przejścia do granicy (w tym operacje <a href="/wiki/Analiza_matematyczna" title="Analiza matematyczna">analizy matematycznej</a>, takie jak <a href="/wiki/Pochodna_funkcji" title="Pochodna funkcji">różniczkowanie</a>, <a href="/wiki/Ca%C5%82ka" title="Całka">całkowanie</a> i sumowanie szeregów)<a href="#cite_note-CITEREFWinogradow1985716-30">[27]</a>. Klasa funkcji, które można przedstawić za pomocą szeregu (potęgowego, trygonometrycznego itp.) jest bardzo szeroka. Każdą funkcję elementarną można przedstawić za pomocą <a href="/wiki/Szereg_pot%C4%99gowy" title="Szereg potęgowy">szeregu potęgowego</a> zwanego <a href="/wiki/Wz%C3%B3r_Taylora" title="Wzór Taylora">szeregiem Taylora</a>. Przedstawić analitycznie funkcję można w sposób jawny, tzn. jako <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2311a6a75c54b0ea085a381ba472c31d59321514" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.672ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=f(x)}"> lub jako tak zwaną <a href="/wiki/Funkcja_uwik%C5%82ana" title="Funkcja uwikłana">funkcję uwikłaną</a>, tzn. za pomocą równania <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y)=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c910dd64922e23f212bc46e970af0540811c48f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.33ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x,y)=0}"><a href="#cite_note-CITEREFWinogradow1985716-30">[27]</a>. Czasem funkcja jest dana kilkoma wzorami, na przykład: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)={\begin{cases}3^{x},&{\text{gdy }}x>0\\0,&{\text{gdy }}x=0\\2x-1&{\text{gdy }}x<0\end{cases}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>gdy </mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>gdy </mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>gdy </mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)={\begin{cases}3^{x},&{\text{gdy }}x>0\\0,&{\text{gdy }}x=0\\2x-1&{\text{gdy }}x<0\end{cases}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d81871e43901969efef23b1813afea7320de14c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:29.652ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle f(x)={\begin{cases}3^{x},&{\text{gdy }}x>0\\0,&{\text{gdy }}x=0\\2x-1&{\text{gdy }}x<0\end{cases}}.}"></dd></dl> Do określenia funkcji można też stosować metodę opisową. Na przykład <a href="/wiki/Funkcja_Dirichleta" title="Funkcja Dirichleta">funkcja Dirichleta</a> jest funkcją, która dla argumentów wymiernych przyjmuje wartość 1, a dla argumentów niewymiernych 0. Funkcja może na ogół być określona na wiele sposobów. Na przykład funkcję sgn (x) można określić w taki sposób: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}1,&{\text{gdy }}x>0\\0,&{\text{gdy }}x=0\\-1&{\text{gdy }}x<0\end{cases}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sgn</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>gdy </mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>gdy </mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>gdy </mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}1,&{\text{gdy }}x>0\\0,&{\text{gdy }}x=0\\-1&{\text{gdy }}x<0\end{cases}},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e977e3ff43ba0c0e968aa824f5dc1249172642c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:28.22ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}1,&{\text{gdy }}x>0\\0,&{\text{gdy }}x=0\\-1&{\text{gdy }}x<0\end{cases}},}"></dd></dl> albo w taki: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}{\frac {x}{|x|}},&{\text{gdy }}x\neq 0\\0,&{\text{gdy }}x=0\end{cases}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sgn</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>x</mi> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>gdy </mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>gdy </mtext> </mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}{\frac {x}{|x|}},&{\text{gdy }}x\neq 0\\0,&{\text{gdy }}x=0\end{cases}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db29996695a1dd3ea742d3b01f0727cb3beaa513" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:28.264ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}{\frac {x}{|x|}},&{\text{gdy }}x\neq 0\\0,&{\text{gdy }}x=0\end{cases}}.}"></dd></dl> Dla funkcji rzeczywistych o wartościach rzeczywistych stosowano tabelaryczny sposób określania funkcji. Obecnie w dobie kalkulatorów i arkuszy kalkulacyjnych tabele wartości funkcji logarytmicznych i trygonometrycznych i innych nie są już niezbędne, ale bywają wykorzystywane<a href="#cite_note-CITEREFWinogradow1985717-31">[28]</a>. Ważnym sposobem przedstawiania i badania funkcji jest jej wykres, który dla funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1cacd5f7bbe1027cc75fbe2fbd9cb5e79485302" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.283ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> w przypadku <a href="/wiki/Funkcja_ci%C4%85g%C5%82a" title="Funkcja ciągła">funkcji ciągłej</a> jest <a href="/wiki/Krzywa" title="Krzywa">krzywą</a> na <a href="/wiki/P%C5%82aszczyzna" title="Płaszczyzna">płaszczyźnie</a><a href="#cite_note-CITEREFWinogradow1985717-31">[28]</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przykłady_funkcji_liczbowych_określonych_za_pomocą_wzoru">Przykłady funkcji liczbowych określonych za pomocą wzoru</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=13" title="Edytuj sekcję: Przykłady funkcji liczbowych określonych za pomocą wzoru" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=13" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykłady funkcji liczbowych określonych za pomocą wzoru">edytuj kod</a>]</div> <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=ax+b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=ax+b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ce6c0c441910ff30fb2bff13287f12f4f14a6c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.651ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y=ax+b}"> – funkcja liniowa</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8a55c26ab89b7ed1b9b7dba43e446364e96022" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.883ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}"> – funkcja kwadratowa</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8937bcea923281be93afcfc1017cf9ed0575a8c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.393ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}}"> – funkcja wielomianowa</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=1+{\sqrt {\ln {\sin {2\pi x}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=1+{\sqrt {\ln {\sin {2\pi x}}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abcb6d0fa115b8e86a75403895c349d8bba5d725" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.586ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y=1+{\sqrt {\ln {\sin {2\pi x}}}}}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}(x^{2}-1)^{n}}{dx^{n}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}(x^{2}-1)^{n}}{dx^{n}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74180c9bcfb445a99cf8a075bff775d7e7a0eb85" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:26.894ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}(x^{2}-1)^{n}}{dx^{n}}}}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I(\alpha ,\beta )=\int _{0}^{+\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin \beta x}{x}}dx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>β</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I(\alpha ,\beta )=\int _{0}^{+\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin \beta x}{x}}dx}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d59978be18700405a13e5baa50098b2da116111" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:29.811ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle I(\alpha ,\beta )=\int _{0}^{+\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin \beta x}{x}}dx}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (z)=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (z)=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5093ab820e6b2acdfe835b4890b2102e4d15ec6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:16.097ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma (z)=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y-f(x)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y-f(x)=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36831123c9a3757be5bcc0a35e8c2a64c231daf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.674ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y-f(x)=0}"> – funkcja jawna zapisana jako uwikłana</li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee594b8851d760d0e2d44aba714907aca657b8f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.703ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}"> – funkcja uwikłana (równanie okręgu)</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funkcja_jako_związek_między_zmiennymi">Funkcja jako związek między zmiennymi</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=14" title="Edytuj sekcję: Funkcja jako związek między zmiennymi" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=14" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Funkcja jako związek między zmiennymi">edytuj kod</a>]</div> Zamiast mówić o funkcji jako o relacji między zbiorami, można też mówić o zależności (związku) między dwiema zmiennymi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bd9829c9ef4adcb0f9f5d53b27463a873a8e88" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.802ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y,}"> gdzie pierwsza z nich przyjmuje wartości ze zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ba32eeb405f7f5f2bac1eb12987c47d2fd42df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.627ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X,}"> a druga przyjmuje wartości ze zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4c76310b49fd933ff9b5d5f56622da6c4eab96b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.42ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y;}"> wtedy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> nazywa się zmienną niezależną, a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> – zmienną zależną<a href="#cite_note-epwn-z-32">[29]</a><a href="#cite_note-CITEREFKuratowski196760-33">[30]</a>. Taka interpretacja funkcji jest często używana w <a href="/wiki/Analiza_matematyczna" title="Analiza matematyczna">analizie matematycznej</a> i zastosowaniach matematyki w innych naukach. W tym wypadku niezależność zmiennej <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> oznacza, że może się ona zmieniać w dowolny sposób, a zależność zmiennej <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> oznacza, że jej zmiany są zależne od zmian zmiennej <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.977ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x.}"> Na przykład droga <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}"> w <a href="/wiki/Ruch_jednostajny" title="Ruch jednostajny">ruchu jednostajnym</a> o prędkości <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}"> jest zależna od czasu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"> ruchu i wyraża się wzorem: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=v\cdot t.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=v\cdot t.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95efd05a64feffd11c0c4b44a630e76ea38bf6c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.482ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s=v\cdot t.}"></dd></dl> W praktyce często się zdarza, że zbiór <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> jest opisywany przez kilka zmiennych niezależnych <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d4308dae3058bcf6a1f546ac009423b6a09be2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.757ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}.}"> Mówimy wtedy, że zmienna <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> jest funkcją zmiennych <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d4308dae3058bcf6a1f546ac009423b6a09be2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.757ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}.}"> Na przykład siła <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"> działająca na ciało jest zależna od masy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"> ciała i jego przyspieszenia <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a{:}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>:</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a{:}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c926795203fceeb5138b4d5fbd1510ef8c9415" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.877ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a{:}}"> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F=m\cdot a.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=m\cdot a.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8739311b8db19eaefbb9614fa78e43623cf27f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F=m\cdot a.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przykłady_funkcji">Przykłady funkcji</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=15" title="Edytuj sekcję: Przykłady funkcji" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=15" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykłady funkcji">edytuj kod</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="W_matematyce">W matematyce</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=16" title="Edytuj sekcję: W matematyce" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=16" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: W matematyce">edytuj kod</a>]</div> Definicję funkcji spełniają na przykład: <ul><li><a href="/wiki/Arytmetyka_elementarna" title="Arytmetyka elementarna">działania arytmetyczne</a>: <a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawanie</a>, <a href="/wiki/Odejmowanie" title="Odejmowanie">odejmowanie</a>, <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Mnożenie">mnożenie</a> i <a href="/wiki/Dzielenie" title="Dzielenie">dzielenie</a>. Można je traktować jako funkcje liczbowe dwóch lub większej liczby zmiennych.</li> <li>Jednoargumentowe działania na liczbach: <a href="/wiki/Zaokr%C4%85glanie" title="Zaokrąglanie">zaokrąglanie</a>, <a href="/wiki/Pod%C5%82oga_i_sufit" title="Podłoga i sufit">podłoga i sufit</a> oraz część ułamkowa, <a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna">wartość bezwzględna</a>, <a href="/wiki/Liczba_przeciwna" title="Liczba przeciwna">liczba przeciwna</a> (przykład <a href="/wiki/Funkcja_liniowa" title="Funkcja liniowa">funkcji liniowej</a>), <a href="/wiki/Liczba_odwrotna" title="Liczba odwrotna">liczba odwrotna</a> (przykład <a href="/wiki/Funkcja_wymierna" title="Funkcja wymierna">funkcji wymiernej</a>),</li> <li><a href="/wiki/%C5%9Arednia" title="Średnia">średnie</a>: <a href="/wiki/%C5%9Arednia_arytmetyczna" title="Średnia arytmetyczna">arytmetyczna</a>, <a href="/wiki/%C5%9Arednia_geometryczna" title="Średnia geometryczna">geometryczna</a> i inne. To funkcje dwóch lub dowolnej liczby zmiennych. Można je traktować jako funkcje na <a href="/wiki/Ci%C4%85g_(matematyka)" title="Ciąg (matematyka)">ciągach</a> lub <a href="/wiki/Multizbi%C3%B3r" title="Multizbiór">multizbiorach</a> liczb.</li> <li>inne funkcje statystyczne, np. <a href="/wiki/Mediana" title="Mediana">mediana</a>, <a href="/wiki/Dominanta_(statystyka)" title="Dominanta (statystyka)">moda</a>, <a href="/wiki/Funkcje_minimum_i_maksimum" title="Funkcje minimum i maksimum">minimum i maksimum</a>,</li> <li>funkcje <a href="/wiki/Teoria_liczb" title="Teoria liczb">teorioliczbowe</a>: <a href="/wiki/Najwi%C4%99kszy_wsp%C3%B3lny_dzielnik" title="Największy wspólny dzielnik">największy wspólny dzielnik</a> i <a href="/wiki/Najmniejsza_wsp%C3%B3lna_wielokrotno%C5%9B%C4%87" title="Najmniejsza wspólna wielokrotność">najmniejsza wspólna wielokrotność</a> dwóch lub więcej liczb całkowitych,</li> <li>przekształcenia geometryczne: odbicie względem prostej lub punktu i inne <a href="/wiki/Symetria_figury" title="Symetria figury">symetrie</a>, <a href="/wiki/Obr%C3%B3t" title="Obrót">obrót</a> względem punktu lub osi, <a href="/wiki/Jednok%C5%82adno%C5%9B%C4%87" title="Jednokładność">jednokładność</a>, <a href="/wiki/Dylatacja" title="Dylatacja">dylatacja</a>, <a href="/wiki/Inwersja_(geometria)" title="Inwersja (geometria)">inwersja</a> i wiele innych,</li> <li>odległość między punktami (w ogólności <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna" title="Przestrzeń metryczna">metryka</a>), długość <a href="/wiki/Wektor" title="Wektor">wektora</a> (w ogólności <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unormowana" title="Przestrzeń unormowana">norma</a>),</li> <li><a href="/wiki/%C5%9Arednica#Średnica_zbioru" title="Średnica">Średnica zbioru</a> – funkcja ze <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_pot%C4%99gowy" title="Zbiór potęgowy">zbioru potęgowego</a> dowolnej przestrzeni metrycznej,</li> <li><a href="/wiki/D%C5%82ugo%C5%9B%C4%87_krzywej" title="Długość krzywej">długość linii</a> (łamanej lub ogólnie krzywej), w szczególności <a href="/wiki/Obw%C3%B3d_(geometria)" title="Obwód (geometria)">obwód</a> dla krzywych zamkniętych,</li> <li><a href="/wiki/Pole_powierzchni" title="Pole powierzchni">pole powierzchni</a>, <a href="/wiki/Obj%C4%99to%C5%9B%C4%87" title="Objętość">objętość</a>, <a href="/wiki/Prawdopodobie%C5%84stwo" title="Prawdopodobieństwo">prawdopodobieństwo</a> i inne przykłady <a href="/wiki/Miara_(matematyka)" title="Miara (matematyka)">miary</a>.</li> <li>działania na <a href="/wiki/Zdanie_logiczne" title="Zdanie logiczne">zdaniach</a> lub <a href="/wiki/Funkcja_zdaniowa" title="Funkcja zdaniowa">formułach</a>: <a href="/wiki/Negacja" title="Negacja">negacja</a>, <a href="/wiki/Implikacja_materialna" title="Implikacja materialna">implikacja</a>, <a href="/wiki/Alternatywa" title="Alternatywa">alternatywa</a>, <a href="/wiki/Alternatywa_roz%C5%82%C4%85czna" title="Alternatywa rozłączna">alternatywa rozłączna</a>, <a href="/wiki/Koniunkcja_(logika)" title="Koniunkcja (logika)">koniunkcja</a>, <a href="/wiki/Dysjunkcja_(Sheffera)" title="Dysjunkcja (Sheffera)">dysjunkcja</a>, <a href="/wiki/R%C3%B3wnowa%C5%BCno%C5%9B%C4%87" title="Równoważność">równoważność</a>,</li> <li>same formuły zdaniowe: przyporządkowanie <a href="/wiki/Term" title="Term">termom</a> zdania,</li> <li><a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_logiczna" title="Wartość logiczna">wartość logiczna</a>,</li> <li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r#działania" title="Zbiór">działania na zbiorach</a>,</li> <li>działania na ciągach skończonych, jak <a href="/wiki/Permutacja" title="Permutacja">permutacja</a> (np. <a href="/wiki/Inwersja_(kombinatoryka)" title="Inwersja (kombinatoryka)">inwersja</a>) oraz <a href="/wiki/Konkatenacja" title="Konkatenacja">konkatenacja</a>,</li> <li><a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych" title="Układ współrzędnych">układ współrzędnych</a> to funkcja z przestrzeni geometrycznej (zwłaszcza <a href="/wiki/Rozmaito%C5%9B%C4%87" title="Rozmaitość">rozmaitości</a>) w <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa#Przestrzeń_kartezjańska" title="Przestrzeń euklidesowa">przestrzeń kartezjańską</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="W_fizyce">W fizyce</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=17" title="Edytuj sekcję: W fizyce" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=17" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: W fizyce">edytuj kod</a>]</div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /> Zobacz też: <a href="/wiki/Zmienne_zale%C5%BCna_i_niezale%C5%BCna" title="Zmienne zależna i niezależna">zmienne zależna i niezależna</a>.</div> Wszystkie <a href="/wiki/Wielko%C5%9B%C4%87_fizyczna" title="Wielkość fizyczna">wielkości fizyczne</a> rozpatruje się jako funkcje innych zmiennych: <ul><li>Jednostki fizyczne są często <a href="/wiki/Funkcja_liniowa" title="Funkcja liniowa">funkcjami liniowymi</a> innych jednostek, np. temperatura w <a href="/wiki/Skala_Fahrenheita" title="Skala Fahrenheita">skali Fahrenehita</a> jest liniową funkcją tej <a href="/wiki/Skala_Celsjusza" title="Skala Celsjusza">Celsjusza</a>.</li> <li>Czasami jednostki są logarytmicznymi funkcjami innych jednostek, np. <a href="/wiki/Poziom_nat%C4%99%C5%BCenia_d%C5%BAwi%C4%99ku" title="Poziom natężenia dźwięku">poziom natężenia dźwięku</a>, <a href="/wiki/Wysoko%C5%9B%C4%87_d%C5%BAwi%C4%99ku" title="Wysokość dźwięku">wysokość dźwięku</a>, <a href="/wiki/Absolutna_wielko%C5%9B%C4%87_gwiazdowa" title="Absolutna wielkość gwiazdowa">jasność absolutna</a>,</li> <li>W statyce: przyporządkowanie każdemu <a href="/wiki/Cia%C5%82o_(fizyka)" title="Ciało (fizyka)">ciału fizycznemu</a> jego <a href="/wiki/Masa_(fizyka)" title="Masa (fizyka)">masy</a> oraz <a href="/wiki/%C5%9Arodek_masy" title="Środek masy">środka masy</a>. Zgodnie z <a href="/wiki/Prawo_Hooke%E2%80%99a" title="Prawo Hooke’a">prawem Hooke’a</a> siła nacisku lub naciągu jest proporcjonalna do odkształcenia ciała (dla odpowiednio małych wartości tych parametrów). To funkcje liniowe siebie nawzajem. Ich zależność opisują <a href="/wiki/Wsp%C3%B3%C5%82czynnik_spr%C4%99%C5%BCysto%C5%9Bci" title="Współczynnik sprężystości">współczynnik sprężystości</a>, <a href="/wiki/Modu%C5%82_Younga" title="Moduł Younga">moduł Younga</a> i inne. <a href="/wiki/Tarcie_(fizyka)" title="Tarcie (fizyka)">Tarcie</a> jest liniową funkcją siły nacisku.</li> <li>W kinematyce: ruch ciał fizycznych opisywany jest przez <a href="/wiki/Wektor" title="Wektor">wektor</a> położenia lub przemieszczenia <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}"> oraz <a href="/wiki/Skalar_(fizyka)" title="Skalar (fizyka)">skalary</a> odległości lub drogi s. Wszystkie są funkcjami czasu. Ta pierwsza to tzw. <a href="/wiki/Tor_ruchu" title="Tor ruchu">trajektoria</a> lub <a href="/wiki/Linia_%C5%9Bwiata" title="Linia świata">linia świata</a>. Na ich podstawie są oparte inne funkcje czasu: <a href="/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87" title="Prędkość">prędkość</a> i <a href="/wiki/Przyspieszenie" title="Przyspieszenie">przyspieszenie</a>.</li> <li>W dynamice: <a href="/wiki/P%C4%99d_(fizyka)" title="Pęd (fizyka)">pęd</a> jest funkcją dwóch zmiennych: masy i prędkości, przy czym obydwie mogą być funkcjami czasu. Siła okazuje się pochodną pędu po czasie (<a href="/wiki/Zasady_dynamiki_Newtona" title="Zasady dynamiki Newtona">II zasada dynamiki</a>). Praca jest funkcją siły i przesunięcia ciała, a energia może być zależna od różnych wielkości. <a href="/wiki/Energia_kinetyczna" title="Energia kinetyczna">Energia kinetyczna</a> ruchu ciała jest zależna od masy ciała i jego prędkości; <a href="/wiki/Energia_potencjalna" title="Energia potencjalna">energia potencjalna</a> grawitacji jest (w przypadku grawitacji ziemskiej) zależna od masy ciała i jego odległości h od powierzchni Ziemi; przyrost energii cieplnej cieczy jest funkcją masy cieczy i przyrostu jej temperatury T</li> <li>W bardziej zaawansowanej <a href="/wiki/Mechanika" title="Mechanika">mechanice</a> definiuje się też inne wielkości dynamiczne: <a href="/wiki/Lagran%C5%BCjan" title="Lagranżjan">lagranżjan</a>, <a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_(fizyka)" title="Działanie (fizyka)">działanie</a> i <a href="/wiki/Hamiltonian" title="Hamiltonian">hamiltonian</a>, które też są funkcjami mas, położeń i prędkości.</li> <li>Liczne <a href="/wiki/Pole_(fizyka)" title="Pole (fizyka)">pola fizyczne</a>: funkcje z przestrzeni lub czasoprzestrzeni w zbiór skalarów, wektorów, tensorów itp.</li> <li><a href="/wiki/Nat%C4%99%C5%BCenie_pr%C4%85du_elektrycznego" title="Natężenie prądu elektrycznego">prąd</a> jest funkcją <a href="/wiki/Napi%C4%99cie_elektryczne" title="Napięcie elektryczne">napięcia</a> – w prostych wypadkach opisywaną przez <a href="/wiki/Prawo_Ohma" title="Prawo Ohma">prawo Ohma</a>.</li> <li>W <a href="/wiki/Termodynamika" title="Termodynamika">termodynamice</a>: objętość ciał oraz ich <a href="/wiki/G%C4%99sto%C5%9B%C4%87" title="Gęstość">gęstość</a> jest funkcją temperatury – <a href="/wiki/Rozszerzalno%C5%9B%C4%87_cieplna" title="Rozszerzalność cieplna">rozszerzalność cieplna</a></li> <li>W <a href="/wiki/Mechanika_kwantowa" title="Mechanika kwantowa">mechanice kwantowej</a> <a href="/wiki/Wektor_stanu" title="Wektor stanu">wektor stanu</a> bywa funkcją, a konkretniej zespolonym polem skalarnym – tzw. <a href="/wiki/Funkcja_falowa" title="Funkcja falowa">funkcja falowa</a>.</li> <li><a href="/wiki/Tensor" title="Tensor">Tensory</a>: formy wieloliniowe, czyli funkcje wielu <a href="/wiki/Wektor" title="Wektor">wektorów</a> i kowektorów. Są używane w statyce (<a href="/wiki/Wytrzyma%C5%82o%C5%9B%C4%87_materia%C5%82%C3%B3w" title="Wytrzymałość materiałów">wytrzymałość materiałów</a>), w optyce (<a href="/wiki/Dw%C3%B3j%C5%82omno%C5%9B%C4%87" title="Dwójłomność">dwójłomność</a>) oraz w <a href="/wiki/Og%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci" title="Ogólna teoria względności">ogólnej teorii względności</a> <a href="/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Einsteina</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="W_innych_dziedzinach">W innych dziedzinach</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=18" title="Edytuj sekcję: W innych dziedzinach" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=18" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: W innych dziedzinach">edytuj kod</a>]</div> Funkcja może wyrażać własność pewnego obiektu, dlatego obejmuje bardzo wiele pojęć z nauk empirycznych. Jako funkcję można też traktować każdą <a href="/wiki/Relacja_r%C3%B3wnowa%C5%BCno%C5%9Bci" title="Relacja równoważności">relację równoważności</a> zachodzącą między dokładnie dwoma obiektami – jest to tzw. <a href="/wiki/Inwolucja_(matematyka)" title="Inwolucja (matematyka)">inwolucja</a>. Astronomia: <ul><li>położenie <a href="/wiki/Cia%C5%82o_niebieskie" title="Ciało niebieskie">ciał niebieskich</a> na niebie (<a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_astronomicznych" title="Układ współrzędnych astronomicznych">współrzędne astronomiczne</a>) jest funkcją czasu oraz współrzędnych geograficznych,</li> <li>okres obiegu planety wokół Słońca jest malejącą funkcją promienia jej orbity, zgodnie z <a href="/wiki/Prawa_Keplera" title="Prawa Keplera">III prawem Keplera</a>,</li> <li><a href="/wiki/Jasno%C5%9B%C4%87_(astronomia)" title="Jasność (astronomia)">jasność</a> obserwowana gwiazdy jest funkcją jej jasności absolutnej i odległości od obserwatora,</li> <li><a href="/wiki/Krzywa_rotacji_galaktyki" title="Krzywa rotacji galaktyki">krzywa rotacji galaktyki</a> – prędkość gwiazdy względem galaktyki jest funkcją odległości od jej środka,</li> <li><a href="/wiki/Przesuni%C4%99cie_ku_czerwieni" title="Przesunięcie ku czerwieni">przesunięcie ku czerwieni</a> widm odległych galaktyk jest funkcją ich odległości od Ziemi – zgodnie z <a href="/wiki/Prawo_Hubble%E2%80%99a-Lema%C3%AEtre%E2%80%99a" title="Prawo Hubble’a-Lemaître’a">prawem Hubble’a</a>,</li> <li><a href="/wiki/Diagram_Hertzsprunga-Russella" title="Diagram Hertzsprunga-Russella">Diagram HR</a> opisuje moc promieniowania i temperaturę gwiazdy w funkcji czasu.</li></ul> Chemia: <ul><li>Przykładowo <a href="/wiki/Liczba_atomowa" title="Liczba atomowa">liczba atomowa</a>, blok, grupa i okres w <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_okresowy_pierwiastk%C3%B3w" title="Układ okresowy pierwiastków">UOP</a> albo liczba <a href="/wiki/Elektron_walencyjny" title="Elektron walencyjny">elektronów walencyjnych</a> to funkcje na zbiorze <a href="/wiki/Pierwiastek_chemiczny" title="Pierwiastek chemiczny">pierwiastków chemicznych</a>. Ta pierwsza jest różnowartościowa, a pozostałe – nie.</li> <li><a href="/wiki/Liczba_masowa" title="Liczba masowa">liczba masowa</a> i <a href="/wiki/Liczba_neutronowa" title="Liczba neutronowa">liczba neutronowa</a> to funkcje na zbiorze <a href="/wiki/Nuklid" title="Nuklid">nuklidów</a> (wszystkie <a href="/wiki/Izotopy" title="Izotopy">izotopy</a> wszystkich pierwiastków),</li> <li><a href="/wiki/Masa_cz%C4%85steczkowa" title="Masa cząsteczkowa">masa cząsteczkowa</a> – funkcja na zbiorze <a href="/wiki/Cz%C4%85steczka" title="Cząsteczka">molekuł</a> albo <a href="/wiki/Zwi%C4%85zek_chemiczny" title="Związek chemiczny">związków</a>,</li> <li><a href="/wiki/J%C4%85dra_lustrzane" title="Jądra lustrzane">jądro lustrzane</a> – bijekcja w zbiorze nuklidów,</li> <li>odbicie lustrzane – bijekcja w zbiorze <a href="/wiki/Chiralno%C5%9B%C4%87_cz%C4%85steczek" title="Chiralność cząsteczek">cząsteczek chiralnych</a>,</li> <li>własności makroskopowe subtancji jak <a href="/wiki/Temperatura_wrzenia" title="Temperatura wrzenia">temperatura wrzenia</a>, <a href="/wiki/Temperatura_topnienia" title="Temperatura topnienia">temperatura topnienia</a> itp.,</li> <li><a href="/wiki/Skala_pH" title="Skala pH">skala pH</a> jest logarytmiczną funkcją altywności jonów hydroniowych.</li></ul> Biologia: <ul><li>Przykładem nieliczbowej funkcji jest <a href="/wiki/Kod_genetyczny" title="Kod genetyczny">kod genetyczny</a>. Zgodnie z <a href="/wiki/Zasada_szufladkowa_Dirichleta" title="Zasada szufladkowa Dirichleta">zasadą szufladkową Dirichleta</a> nie może być funkcją różnowartościową, czyli innymi słowy jest zdegenerowany.</li> <li><a href="/wiki/Mutacja" title="Mutacja">mutacje</a> genowe – zmiana sekwencji nukleotydów, np. <a href="/wiki/Substytucja_(biochemia)" title="Substytucja (biochemia)">substytucja</a>, <a href="/wiki/Delecja" title="Delecja">delecja</a>, <a href="/wiki/Insercja" title="Insercja">insercja</a>,</li> <li>komplementarny <a href="/wiki/Nukleotydy" title="Nukleotydy">nukleotyd</a> lub cała nić <a href="/wiki/Kwas_deoksyrybonukleinowy" title="Kwas deoksyrybonukleinowy">DNA</a>,</li> <li><a href="/wiki/Dynamika_liczebno%C5%9Bci_populacji" title="Dynamika liczebności populacji">krzywa wzrostu</a> i inne parametry populacji.</li></ul> Medycyna i fizjologia: <ul><li><a href="/wiki/Wska%C5%BAnik_masy_cia%C5%82a" title="Wskaźnik masy ciała">BMI</a> – funkcja dwóch zmiennych: wzrostu i wagi</li> <li><a href="/wiki/Elektrokardiografia" title="Elektrokardiografia">EKG</a> i <a href="/wiki/Elektroencefalografia" title="Elektroencefalografia">EEG</a> – funkcje napięcia między elektrodami od czasu,</li></ul> Geografia fizyczna, geodezja i inne nauki o Ziemi: <ul><li><a href="/wiki/Wysoko%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wysokość bezwzględna">wysokość bezwzględna</a>, <a href="/wiki/Temperatura" title="Temperatura">temperatura</a>, <a href="/wiki/Ci%C5%9Bnienie_atmosferyczne" title="Ciśnienie atmosferyczne">ciśnienie atmosferyczne</a>, a dla zbiorków wodnych <a href="/wiki/Zasolenie" title="Zasolenie">zasolenie</a> – funkcje <a href="/wiki/Wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dne_geograficzne" title="Współrzędne geograficzne">współrzędnych geograficznych</a>. To przykłady <a href="/wiki/Funkcja_wielu_zmiennych" title="Funkcja wielu zmiennych">funkcji wielu zmiennych</a> – konkretniej <a href="/wiki/Pole_skalarne" title="Pole skalarne">pól skalarnych</a>.</li> <li>Temperatura i ciśnienie są też funkcją współrzędnych geograficznych i wysokości bezwzględnej,</li> <li>średnia temperatura atmosfery ziemskiej jest od XX w. funkcją rosnącą – <a href="/wiki/Globalne_ocieplenie" title="Globalne ocieplenie">globalne ocieplenie</a>.</li></ul> Geografia społeczna, demografia i socjologia: <ul><li><a href="/wiki/Struktura_p%C5%82ci_i_wieku" title="Struktura płci i wieku">piramida wieku</a> danemu wiekowi lub przedziałowi wieku przyporządkowuje odsetek osób w tym wieku. Dla społeczeństw młodych jest to funkcja malejąca. Niże i echa niżów demograficznych to lokalne minima tej funkcji.</li> <li><a href="/wiki/Opinia_publiczna" title="Opinia publiczna">opinia publiczna</a>, np. procentowe poparcie dla danej opcji politycznej albo decyzji jest funkcją czasu, a także wieku, płci i regionu.</li></ul> Ekonomia: <ul><li>funkcje <a href="/wiki/Poda%C5%BC" title="Podaż">podaży</a> i <a href="/wiki/Popyt" title="Popyt">popytu</a>,</li> <li><a href="/wiki/Cena" title="Cena">cena</a>, np. <a href="/wiki/Kurs_walutowy" title="Kurs walutowy">kurs walutowy</a>,</li> <li>rozmaite parametry gospodarki: <a href="/wiki/Produkt_krajowy_brutto" title="Produkt krajowy brutto">PKB</a>, <a href="/wiki/Inflacja" title="Inflacja">inflacja</a>, <a href="/wiki/D%C5%82ug_publiczny" title="Dług publiczny">dług publiczny</a>, <a href="/wiki/Wska%C5%BAnik_rozwoju_spo%C5%82ecznego" title="Wskaźnik rozwoju społecznego">HDI</a> itd. Można je traktować jako funkcje na zbiorze państw, a dla danego państwa: funkcje od czasu.</li> <li>Liczne krzywe ekonomiczne, np. <a href="/wiki/Krzywa_Laffera" title="Krzywa Laffera">Laffera</a> i <a href="/wiki/Krzywa_Phillipsa" title="Krzywa Phillipsa">Phillipsa</a></li></ul> Psychologia: <ul><li>wyniki testów <a href="/wiki/Iloraz_inteligencji" title="Iloraz inteligencji">IQ</a> są rosnącą funkcją czasu – <a href="/wiki/Efekt_Flynna" title="Efekt Flynna">efekt Flynna</a>,</li> <li>funkcja komfortu psychicznego obserwatora od podobieństwa androida do człowieka ma lokalne minimum – to tzw. <a href="/wiki/Dolina_niesamowito%C5%9Bci" title="Dolina niesamowitości">dolina niesamowitości</a>,</li> <li>wiele wyników testów psychometrycznych w populacji, np. IQ i <a href="/wiki/Inteligencja_emocjonalna" title="Inteligencja emocjonalna">EQ</a> jest opisanych funkcją <a href="/wiki/Rozk%C5%82ad_normalny" title="Rozkład normalny">rozkładu normalnego</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Pojęcia">Pojęcia</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=19" title="Edytuj sekcję: Pojęcia" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=19" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Pojęcia">edytuj kod</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Złożenie._Iteracja">Złożenie. Iteracja</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=20" title="Edytuj sekcję: Złożenie. Iteracja" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=20" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Złożenie. Iteracja">edytuj kod</a>]</div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /> Osobny artykuł: <a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">złożenie funkcji</a>.</div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Compfun.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Compfun.png/250px-Compfun.png" decoding="async" width="250" height="148" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/68/Compfun.png 1.5x" data-file-width="316" data-file-height="187" /></a><figcaption>Dwie funkcje <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a3f421f58ef3bc6f9ec70e883e1496ff871e9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.763ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g.}"> Ich złożenie przyjmuje wartości: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (g\circ f)(\mathrm {a} )=}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g\circ f)(\mathrm {a} )=}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f45c4aa09b667cf8b72c889f7adf2acd172175" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.824ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (g\circ f)(\mathrm {a} )=}"> @ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (g\circ f)(\mathrm {b} )=}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">b</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g\circ f)(\mathrm {b} )=}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d150f62ae25706c66ef29d9533bdbe98af8790e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.954ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (g\circ f)(\mathrm {b} )=}"> @ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (g\circ f)(\mathrm {c} )=\#}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">c</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">#</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g\circ f)(\mathrm {c} )=\#}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bfd67f02618d50dd90355c9b7d2cf7c57fa2ef1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.275ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (g\circ f)(\mathrm {c} )=\#}"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (g\circ f)(\mathrm {d} )=\ !!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mtext> </mtext> <mo>!</mo> <mo>!</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g\circ f)(\mathrm {d} )=\ !!}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79c48b1a1a30f2d36430cfe269eb1e376fdf505" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.473ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (g\circ f)(\mathrm {d} )=\ !!}"></figcaption></figure> Mając dwie funkcje <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y}"> i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon Y\to Z,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Z</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon Y\to Z,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/882ad466390332e18f4e8e7d7f9c069c9432d2b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.865ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\colon Y\to Z,}"> można utworzyć <a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">funkcję złożoną</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (g\circ f)\colon X\to Z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g\circ f)\colon X\to Z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e39c0ef798cd207d2f504cb0df013a8c12a5203" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.707ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (g\circ f)\colon X\to Z}"> określoną wzorem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (g\circ f)(x)=g{\Big (}f(x){\Big )}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g\circ f)(x)=g{\Big (}f(x){\Big )}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00fb0b73d501060f8fa9be98f7105ca257488675" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.592ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle (g\circ f)(x)=g{\Big (}f(x){\Big )}.}"> Wielokrotne złożenie funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773c98269d8a3c82725e5cb650243666484b528b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.887ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to X}"> nosi nazwę <a href="/wiki/Iteracja_funkcji" title="Iteracja funkcji">iteracji</a>. Ściśle: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-tą iteracją funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> nazywa się funkcję <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{n}={\begin{matrix}\underbrace {f\circ f\circ \ldots \circ f} \\{n}\\[-4ex]\end{matrix}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt 0em" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <munder> <mrow> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mo>…</mo> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{n}={\begin{matrix}\underbrace {f\circ f\circ \ldots \circ f} \\{n}\\[-4ex]\end{matrix}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7154ec396f95fd509f8db22aa383d8577d38962" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:20.179ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle f^{n}={\begin{matrix}\underbrace {f\circ f\circ \ldots \circ f} \\{n}\\[-4ex]\end{matrix}}.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Funkcja_odwrotna">Funkcja odwrotna</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=21" title="Edytuj sekcję: Funkcja odwrotna" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=21" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Funkcja odwrotna">edytuj kod</a>]</div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /> Osobny artykuł: <a href="/wiki/Funkcja_odwrotna" title="Funkcja odwrotna">funkcja odwrotna</a>.</div> Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>:</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a1bc0edf199414feff53da55c19b265bc5015a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.055ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}"> taką, że <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f\circ f^{-1})(x)=x,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f\circ f^{-1})(x)=x,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc877a57b3ff6dd36417e9ac020a4492039b0a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.15ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (f\circ f^{-1})(x)=x,}"> którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zawężenie_i_przedłużenie">Zawężenie i przedłużenie</h3>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=22" title="Edytuj sekcję: Zawężenie i przedłużenie" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=22" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zawężenie i przedłużenie">edytuj kod</a>]</div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /> Osobny artykuł: <a href="/wiki/Restrykcja_funkcji" class="mw-redirect" title="Restrykcja funkcji">Restrykcja funkcji</a>.</div> Dla funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y}"> można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem lub ograniczeniem, do zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M\subseteq X.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>⊆</mo> <mi>X</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\subseteq X.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067b726b50a4ecce9cdb1fc6dc25b115c1e97ba8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.168ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle M\subseteq X.}"> Jest to funkcja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f|_{M}\colon M\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f|_{M}\colon M\to Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb340c77321c10bf3e27455a1fb3ae7eb997a50" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.748ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f|_{M}\colon M\to Y}"> taka, że <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f|_{M}(x)=f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f|_{M}(x)=f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/451020067b19398945ac36a07b0d7626c5848e09" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.54ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f|_{M}(x)=f(x)}"> dla każdego <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in M.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>M</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in M.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127645d1eb7572c38f34e5b855f5d789404f6d93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.259ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in M.}"> Nazywa się ją też <a href="/wiki/Funkcja_cz%C4%99%C5%9Bciowa" title="Funkcja częściowa">funkcją częściową</a> dla funkcji f<a href="#cite_note-CITEREFKuratowskiMostowski196675-34">[31]</a>. Jeżeli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y}"> jest funkcją, a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f|_{M}\colon M\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f|_{M}\colon M\to Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb340c77321c10bf3e27455a1fb3ae7eb997a50" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.748ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f|_{M}\colon M\to Y}"> jest jej zawężeniem do zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M\subset X,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>⊂</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\subset X,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a08c73d8e645763eccdd71d44b6ac89a71a282c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.168ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M\subset X,}"> to dla dowolnego zbioru <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\subset Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo>⊂</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\subset Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7921e1b64009c92cbcb5193f70f3358d9183c10" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B\subset Y}"> mamy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(f|_{M}\right)^{-1}(B)=M\cap f^{-1}(B).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>f</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>M</mi> <mo>∩</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(f|_{M}\right)^{-1}(B)=M\cap f^{-1}(B).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ab737dea949be1d3cfd39e0631dbda147c57f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.597ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left(f|_{M}\right)^{-1}(B)=M\cap f^{-1}(B).}"> Z drugiej strony, dla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M\subset X,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>⊂</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\subset X,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a08c73d8e645763eccdd71d44b6ac89a71a282c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.168ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M\subset X,}"> można przedłużyć funkcję <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon M\to Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon M\to Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b00f54ed88046774f03e6a3e8bf88cbe003f83d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.142ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon M\to Y}"> zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon X\to Y.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon X\to Y.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd48f5f4ee4e48a426e33932dc85b75e0dc3de8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.164ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\colon X\to Y.}"> Można np. wymagać, by przedłużenie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"> funkcji <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> było <a href="/wiki/Funkcja_ci%C4%85g%C5%82a" title="Funkcja ciągła">ciągłe</a>, <a href="/wiki/Pochodna_funkcji" title="Pochodna funkcji">różniczkowalne</a> lub <a href="/wiki/Funkcja_okresowa" title="Funkcja okresowa">okresowe</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rys_historyczny">Rys historyczny</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=23" title="Edytuj sekcję: Rys historyczny" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=23" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Rys historyczny">edytuj kod</a>]</div> Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już <a href="/wiki/Staro%C5%BCytna_Grecja" title="Starożytna Grecja">starożytni Grecy</a>, którzy badali dość szeroki krąg zależności funkcyjnych. Pojęcie funkcji w postaci początkowej pojawiało się w <a href="/wiki/%C5%9Aredniowiecze" title="Średniowiecze">średniowieczu</a>, lecz dopiero w pracach matematyków XVII wieku, <a href="/wiki/Pierre_de_Fermat" title="Pierre de Fermat">Fermata</a>, <a href="/wiki/Ren%C3%A9_Descartes" title="René Descartes">Kartezjusza</a>, <a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Newtona</a> i <a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Leibniza</a>, zaczęło być traktowane jako obiekt badań. Newton używał terminu fluenta<a href="#cite_note-35">[d]</a>. Terminu funkcja użył po raz pierwszy<a href="#cite_note-36">[32]</a> Leibniz w pracy Odwrotna metoda stycznych lub o funkcjach<a href="#cite_note-37">[33]</a>. Po raz drugi Leibniz użył tego terminu w dość wąskim znaczeniu w pracy opublikowanej w czasopiśmie „<a href="/wiki/Acta_Eruditorum" title="Acta Eruditorum">Acta Eruditorum</a>” w 1692 roku i dwa lata później w „<a href="/w/index.php?title=Journal_des_S%C3%A7avans&action=edit&redlink=1" class="new" title="Journal des Sçavans (strona nie istnieje)">Journal des Sçavans</a>”. Następnie w tym samym 1694 roku <a href="/wiki/Johann_Bernoulli" title="Johann Bernoulli">Johann Bernoulli</a> w „Acta Eruditorum”, nie używając co prawda słowa funkcja, oznaczył mimochodem literą n „dowolną wielkość utworzoną z nieoznaczonych i stałych”<a href="#cite_note-38">[e]</a><a href="#cite_note-39">[34]</a>. Po trzech latach, w tym samym piśmie, Bernoulli wielkości te oznaczał przez X i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ξ</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d59525edc6aa51bb96934ef310ab3f950b520cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.677ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi ,}"> a w liście do Leibniza z 26 kwietnia 1698 roku stwierdził, że symbole te są lepsze, bo „od razu jest widoczne, od jakiej zmiennej jest funkcja”. Jeszcze w 1698 roku w korespondencji między oboma uczonymi funkcja była rozumiana jako wyrażenie analityczne i weszły do użytku terminy wielkość zmienna i wielkość stała. Określenie funkcji jako wyrażenia analitycznego było po raz pierwszy sformułowane w druku w artykule Johanna Bernoulli opublikowanym w 1718 roku. Napisał on: <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74506874">.mw-parser-output div.cytat{display:table;border:1px solid #a2a9b1;padding:0;margin-top:0.5em;margin-bottom:0.8em;background:#f8f9fa}.mw-parser-output div.cytat>blockquote{margin:0;padding:0.5em 1.5em}.mw-parser-output div.cytat-zrodlo{text-align:right;padding:0 1em 0.5em 1.5em}.mw-parser-output div.cytat-zrodlo::before{content:"— "}.mw-parser-output div.cytat.środek{margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output div.cytat.prawy{float:right;clear:right;margin-left:1.4em}.mw-parser-output div.cytat.lewy{float:left;clear:left;margin-right:1.4em}.mw-parser-output div.cytat.prawy:not([style]),.mw-parser-output div.cytat.lewy:not([style]){max-width:25em}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output div.cytat{background-color:#202122;border-color:#2e3136}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output div.cytat{background-color:#202122;border-color:#2e3136}}</style><div class="cytat"> <blockquote> Definicja. Funkcją wielkości zmiennej nazywa się tutaj wielkość utworzoną w jakikolwiek sposób z tej wielkości zmiennej i stałych<a href="#cite_note-40">[35]</a>. </blockquote> </div> W tym samym artykule zaproponował on jako „charakterystykę” funkcji grecką literę <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb4baf1e617abd3f5384bab1851bf109ea0b614" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.167ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi ,}"> zapisując argument jeszcze bez nawiasów <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi x.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi x.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c166db0c8ba0417367e2cd6720151e6e6bcc8e58" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.497ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi x.}"> Zarówno nawiasy, jak literę f wprowadził <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> w 1734 roku. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zobacz_też">Zobacz też</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=24" title="Edytuj sekcję: Zobacz też" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=24" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też">edytuj kod</a>]</div> <table class="infobox noprint plainlinks" cellpadding="4" role="presentation"> <tbody><tr> <td style="vertical-align:middle; text-align:center; width:30px;"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/28px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png" decoding="async" width="28" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/42px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/56px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png 2x" data-file-width="122" data-file-height="117" /> </td> <td style="line-height:normal; vertical-align:middle; text-align:center; flex:unset;"><a href="https://pl.wiktionary.org/wiki/funkcja" class="extiw" title="wikt:funkcja">Zobacz hasło funkcja w Wikisłowniku</a> </td></tr></tbody></table> <table class="infobox noprint plainlinks" cellpadding="4" role="presentation"> <tbody><tr> <td style="vertical-align:middle; text-align:center; width:30px;"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/28px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="28" height="28" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/42px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/56px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /> </td> <td style="line-height:normal; vertical-align:middle; text-align:center; flex:unset;">Zobacz podręcznik w Wikibooks: <a href="https://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum" class="extiw" title="b:Matematyka dla liceum">Matematyka dla liceum</a> – <a href="https://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum/Funkcje_i_ich_w%C5%82asno%C5%9Bci/Poj%C4%99cie_funkcji" class="extiw" title="b:Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Pojęcie funkcji">Pojęcie funkcji</a> </td></tr></tbody></table> <ul><li><a href="/wiki/Rachunek_lambda" title="Rachunek lambda">rachunek lambda</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Uwagi">Uwagi</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=25" title="Edytuj sekcję: Uwagi" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=25" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Uwagi">edytuj kod</a>]</div> <div class="do-not-make-smaller refsection refsection-uwagi ll-script ll-script-uwagi"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Od fungor, functus sum, fungi „wykonać, wypełnić, zwolnić”. </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> W Słowniku języka polskiego, PWN, 1996: ustalić relację między czymś a czymś, uczynić zależnym od czegoś... </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Tej szerokiej definicji używali m.in. <a href="/wiki/Giuseppe_Peano" title="Giuseppe Peano">Giuseppe Peano</a> oraz <a href="/wiki/Kazimierz_Kuratowski" title="Kazimierz Kuratowski">Kazimierz Kuratowski</a> i <a href="/wiki/Andrzej_Mostowski_(matematyk)" title="Andrzej Mostowski (matematyk)">Andrzej Mostowski</a> w swojej książce cytowanej poniżej. </li> <li id="cite_note-35"><a href="#cite_ref-35">↑</a> Dokładniej, po łacinie, fluentes quantitates. </li> <li id="cite_note-38"><a href="#cite_ref-38">↑</a> ...positio n esse quantitatem quomodocunque formatam ex indeterminatis et constantibus. </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=26" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=26" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy">edytuj kod</a>]</div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3950100">odwzorowanie</a>, [w:] <a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a> [dostęp 2023-12-22]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=odwzorowanie&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3950100" style="display:none"> .</cite> </li> <li id="cite_note-CITEREFKuratowskiMostowski196673-3">↑ <a href="#cite_ref-CITEREFKuratowskiMostowski196673_3-0">a</a> <a href="#cite_ref-CITEREFKuratowskiMostowski196673_3-1">b</a> <a href="#cite_ref-CITEREFKuratowskiMostowski196673_3-2">c</a> <a href="#cite_ref-CITEREFKuratowskiMostowski196673_3-3">d</a> <a href="#cite_ref-CITEREFKuratowskiMostowski196673_3-4">e</a> <a href="#cite_ref-CITEREFKuratowskiMostowski196673_3-5">f</a> <a href="#cite_ref-CITEREFKuratowskiMostowski196673_3-6">g</a> <a href="#cite_ref-CITEREFKuratowskiMostowski196673_3-7">h</a> <a href="#CITEREFKuratowskiMostowski1966">Kuratowski i Mostowski 1966 ↓</a>, s. 73. </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3963431">przekształcenie</a>, [w:] <a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a> [dostęp 2023-12-22]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=przekszta%C5%82cenie&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3963431" style="display:none"> .</cite> </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wsjp.pl/index.php?id_hasla=26590&id_znaczenia=4926169">transformacja (w matematyce)</a> [w:] <a href="/wiki/Wielki_s%C5%82ownik_j%C4%99zyka_polskiego_PAN" title="Wielki słownik języka polskiego PAN">Wielki słownik języka polskiego</a> [online], <a href="/wiki/Instytut_J%C4%99zyka_Polskiego_Polskiej_Akademii_Nauk" title="Instytut Języka Polskiego Polskiej Akademii Nauk">Instytut Języka Polskiego PAN</a> [dostęp 2023-12-23]. </li> <li id="cite_note-CITEREFKołmogorowFomin198921-8">↑ <a href="#cite_ref-CITEREFKołmogorowFomin198921_8-0">a</a> <a href="#cite_ref-CITEREFKołmogorowFomin198921_8-1">b</a> <a href="#cite_ref-CITEREFKołmogorowFomin198921_8-2">c</a> <a href="#CITEREFKołmogorowFomin1989">Kołmogorow i Fomin 1989 ↓</a>, s. 21. </li> <li id="cite_note-epwn-9">↑ <a href="#cite_ref-epwn_9-0">a</a> <a href="#cite_ref-epwn_9-1">b</a> <a href="#cite_ref-epwn_9-2">c</a> <cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3903278">Funkcja</a>, [w:] <a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a> [dostęp 2021-07-22]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=Funkcja&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3903278" style="display:none"> .</cite> </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> <cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;4001878">zmienna zależna</a>, [w:] <a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a> [dostęp 2023-12-22]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=zmienna+zale%C5%BCna&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B4001878" style="display:none"> .</cite> </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> <cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3917510">jednoznaczność</a>, [w:] <a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a> [dostęp 2023-12-22]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=jednoznaczno%C5%9B%C4%87&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3917510" style="display:none"> .</cite> </li> <li id="cite_note-CITEREFMoszner197481-12"><a href="#cite_ref-CITEREFMoszner197481_12-0">↑</a> <a href="#CITEREFMoszner1974">Moszner 1974 ↓</a>, s. 81. </li> <li id="cite_note-function-13"><a href="#cite_ref-function_13-0">↑</a> <cite class="citation book">William Dunham: Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America, 1999, s. 17.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Euler%3A+The+Master+of+Us+All&rft.aulast=Dunham&rft.aufirst=William&rft.pub=The+Mathematical+Association+of+America&rft.pages=17"></cite> </li> <li id="cite_note-CITEREFJahnke2003156–157-14"><a href="#cite_ref-CITEREFJahnke2003156–157_14-0">↑</a> <a href="#CITEREFJahnke2003">Jahnke 2003 ↓</a>, s. 156–157. </li> <li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> <cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3969531">równoliczność zbiorów</a>, [w:] <a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a> [dostęp 2023-12-23]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=r%C3%B3wnoliczno%C5%9B%C4%87+zbior%C3%B3w&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3969531" style="display:none"> .</cite> </li> <li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> <cite class="citation book">N.N. Bourbaki N.N., <a rel="nofollow" class="external text" href="http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Bourbaki/Theorie%20Des%20Ensembles.pdf">Théorie des ensembles</a>, Paryż: Difussion C.C.L.S., 1970, s. 64, <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/29036840030" title="Specjalna:Książki/29036840030">ISBN 2-903684-003-0</a><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft.place=Pary%C5%BC&rft.aufirst=N.&rft.aulast=Bourbaki&rft.date=1970&rft.isbn=2-903684-003-0&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=Th%C3%A9orie+des+ensembles&rft.pub=Difussion+C.C.L.S.&rft_id=http%3A%2F%2Ftomlr.free.fr%2FMath%25E9matiques%2FBourbaki%2FTheorie%2520Des%2520Ensembles.pdf" style="display:none">  (<abbr title="Treść w języku francuskim (français)">fr.</abbr>).</cite> </li> <li id="cite_note-CITEREFAlison20201157-17">↑ <a href="#cite_ref-CITEREFAlison20201157_17-0">a</a> <a href="#cite_ref-CITEREFAlison20201157_17-1">b</a> <a href="#CITEREFAlison2020">Alison 2020 ↓</a>, s. 1157. </li> <li id="cite_note-CITEREFPinter201452-18">↑ <a href="#cite_ref-CITEREFPinter201452_18-0">a</a> <a href="#cite_ref-CITEREFPinter201452_18-1">b</a> <a href="#CITEREFPinter2014">Pinter 2014 ↓</a>, s. 52. </li> <li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> <cite class="citation book">HorstH. Herrlich HorstH., George E.G.E. Strecker George E.G.E., <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.heldermann.de/SSPM/SSPM01/Chapter-2.pdf">Category Theory. Third Edition</a>, Heldermann Verlag, 2007, 2 (przypis), <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/9783885380016" title="Specjalna:Książki/9783885380016">ISBN 978-3-88538-001-6</a><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft.aufirst=Horst&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=Category+Theory.+Third+Edition&rft.isbn=978-3-88538-001-6&rft.pub=Heldermann+Verlag&rft.date=2007&rft.aulast=Herrlich&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.heldermann.de%2FSSPM%2FSSPM01%2FChapter-2.pdf" style="display:none">  (<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>).</cite> </li> <li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> <cite class="citation book">AliA. Nesin AliA., <a rel="nofollow" class="external text" href="https://nesinkoyleri.org/wp-content/uploads/2019/05/SetTheoryLectureNotes.pdf">Foundations of Mathematics I, Set Theory</a>, Mathematics Department Istanbul Bilgi University, Stambuł 2004, s. 35<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft.aufirst=Ali&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=Foundations+of+Mathematics+I%2C+Set+Theory&rft.place=Stambu%C5%82&rft.date=2004&rft.aulast=Nesin&rft_id=https%3A%2F%2Fnesinkoyleri.org%2Fwp-content%2Fuploads%2F2019%2F05%2FSetTheoryLectureNotes.pdf" style="display:none">  (<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>).</cite> </li> <li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> <cite class="citation web">R.R. Mayer R.R., <a rel="nofollow" class="external text" href="https://people.reed.edu/~mayer/math111.html/math111.pdf">Math 111 Calculus 1</a> [online], Reed College, 2007, 67 (58)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft.aufirst=R.&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=Math+111+Calculus+1&rft.date=2007&rft.aulast=Mayer&rft_id=https%3A%2F%2Fpeople.reed.edu%2F~mayer%2Fmath111.html%2Fmath111.pdf" style="display:none">  (<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>).</cite> </li> <li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> <cite class="citation book">ReinhardR. Schultz ReinhardR., <a rel="nofollow" class="external text" href="https://math.ucr.edu/~res/math153-2019/set-theory-notes.pdf">Mathematics 144 Set Theory</a>, Department of Mathematics University of California, Riverside, California 2012, s. 63<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft.aufirst=Reinhard&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=Mathematics+144+Set+Theory&rft.place=California&rft.date=2012&rft.aulast=Schultz&rft_id=https%3A%2F%2Fmath.ucr.edu%2F~res%2Fmath153-2019%2Fset-theory-notes.pdf" style="display:none">  (<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>).</cite> </li> <li id="cite_note-CITEREFBourbaki197064-23"><a href="#cite_ref-CITEREFBourbaki197064_23-0">↑</a> <a href="#CITEREFBourbaki1970">Bourbaki 1970 ↓</a>, s. 64. </li> <li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">↑</a> <cite class="citation book nourl">NicolasN. Bourbaki NicolasN., Elements de Mathematique, Theorie des Ensembles, Hermann & cie, 1954, s. 76<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft.aufirst=Nicolas&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=Elements+de+Mathematique%2C+Theorie+des+Ensembles&rft.pub=Hermann+%26+cie&rft.date=1954&rft.aulast=Bourbaki" style="display:none"> .</cite> </li> <li id="cite_note-CITEREFAlison20201158-25">↑ <a href="#cite_ref-CITEREFAlison20201158_25-0">a</a> <a href="#cite_ref-CITEREFAlison20201158_25-1">b</a> <a href="#CITEREFAlison2020">Alison 2020 ↓</a>, s. 1158. </li> <li id="cite_note-CITEREFAlison20201157–1161-26"><a href="#cite_ref-CITEREFAlison20201157–1161_26-0">↑</a> <a href="#CITEREFAlison2020">Alison 2020 ↓</a>, s. 1157–1161. </li> <li id="cite_note-CITEREFKołmogorowFomin198922-27"><a href="#cite_ref-CITEREFKołmogorowFomin198922_27-0">↑</a> <a href="#CITEREFKołmogorowFomin1989">Kołmogorow i Fomin 1989 ↓</a>, s. 22. </li> <li id="cite_note-28"><a href="#cite_ref-28">↑</a> G. Peano, Sulla definizione di funzione, Atti della Reale Accademia dei Lincei, Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, 20 (1911), s. 3–5. </li> <li id="cite_note-CITEREFWinogradow1985715-29">↑ <a href="#cite_ref-CITEREFWinogradow1985715_29-0">a</a> <a href="#cite_ref-CITEREFWinogradow1985715_29-1">b</a> <a href="#CITEREFWinogradow1985">Winogradow 1985 ↓</a>, s. 715. </li> <li id="cite_note-CITEREFWinogradow1985716-30">↑ <a href="#cite_ref-CITEREFWinogradow1985716_30-0">a</a> <a href="#cite_ref-CITEREFWinogradow1985716_30-1">b</a> <a href="#cite_ref-CITEREFWinogradow1985716_30-2">c</a> <a href="#CITEREFWinogradow1985">Winogradow 1985 ↓</a>, s. 716. </li> <li id="cite_note-CITEREFWinogradow1985717-31">↑ <a href="#cite_ref-CITEREFWinogradow1985717_31-0">a</a> <a href="#cite_ref-CITEREFWinogradow1985717_31-1">b</a> <a href="#CITEREFWinogradow1985">Winogradow 1985 ↓</a>, s. 717. </li> <li id="cite_note-epwn-z-32"><a href="#cite_ref-epwn-z_32-0">↑</a> <cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;4001877">zmienna niezależna</a>, [w:] <a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a> [dostęp 2022-04-12]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=zmienna+niezale%C5%BCna&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B4001877" style="display:none"> .</cite> </li> <li id="cite_note-CITEREFKuratowski196760-33"><a href="#cite_ref-CITEREFKuratowski196760_33-0">↑</a> <a href="#CITEREFKuratowski1967">Kuratowski 1967 ↓</a>, s. 60. </li> <li id="cite_note-CITEREFKuratowskiMostowski196675-34"><a href="#cite_ref-CITEREFKuratowskiMostowski196675_34-0">↑</a> <a href="#CITEREFKuratowskiMostowski1966">Kuratowski i Mostowski 1966 ↓</a>, s. 75. </li> <li id="cite_note-36"><a href="#cite_ref-36">↑</a> Juszkiewicz, Historia matematyki od starożytności do początku XIX wieku, s. 144, Moskwa, 1970, jęz. rosyjski. </li> <li id="cite_note-37"><a href="#cite_ref-37">↑</a> Gottfried Wilhelm Leibniz, Methodus tangentium inversa, seu de functionibus 1673. </li> <li id="cite_note-39"><a href="#cite_ref-39">↑</a> Juszkiewicz, op. cit., s. 146. </li> <li id="cite_note-40"><a href="#cite_ref-40">↑</a> <cite class="citation book"><a href="/wiki/Johann_Bernoulli" title="Johann Bernoulli">Johann Bernoulli</a>: Opera Omnia. T. II. Lausannae-Genevae: 1742, s. 241.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Opera+Omnia&rft.aulast=Bernoulli&rft.aufirst=Johann&rft.place=Lausannae-Genevae&rft.pages=241"></cite> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=27" title="Edytuj sekcję: Bibliografia" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=27" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Bibliografia">edytuj kod</a>]</div> <ul><li><cite class="citation book" id="CITEREF1976">Juszkiewicz: Historia matematyki od Starożytności do początku XIX wieku. T. 2. Warszawa: PWN, 1976.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Historia+matematyki+od+Staro%C5%BCytno%C5%9Bci+do+pocz%C4%85tku+XIX+wieku&rft.au=Juszkiewicz&rft.pub=PWN&rft.place=Warszawa"></cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFKołmogorowFomin1989"><a href="/wiki/Andriej_Ko%C5%82mogorow" title="Andriej Kołmogorow">Andriej Kołmogorow</a>, Sergei Fomin: Elementy teorii funkcji i analizy funkcjonalnej. Moskwa: Mir, 1989.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elementy+teorii+funkcji+i+analizy+funkcjonalnej&rft.aulast=Ko%C5%82mogorow&rft.aufirst=Andriej&rft.pub=Mir&rft.place=Moskwa"> (<abbr title="Treść w języku rosyjskim (русский)">ros.</abbr>).</cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFKuratowski1967">Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Państwowe Wydawnictwo Naukowe</a>, 1967.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Rachunek+r%C3%B3%C5%BCniczkowy+i+ca%C5%82kowy.+Funkcje+jednej+zmiennej&rft.aulast=Kuratowski&rft.aufirst=Kazimierz&rft.pub=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%7CPa%C5%84stwowe+Wydawnictwo+Naukowe%5D%5D&rft.place=Warszawa"></cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFKuratowskiMostowski1966"><a href="/wiki/Kazimierz_Kuratowski" title="Kazimierz Kuratowski">Kazimierz Kuratowski</a>, <a href="/wiki/Andrzej_Stanis%C5%82aw_Mostowski" class="mw-redirect" title="Andrzej Stanisław Mostowski">Andrzej Mostowski</a>: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 1966.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Teoria+mnogo%C5%9Bci&rft.aulast=Kuratowski&rft.aufirst=Kazimierz&rft.pub=PWN&rft.place=Warszawa"></cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFMoszner1974"><a href="/wiki/Zenon_Moszner" title="Zenon Moszner">Zenon Moszner</a>: O teorii relacji. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwa_Szkolne_i_Pedagogiczne" title="Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne">Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne</a>, 1974.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=O+teorii+relacji&rft.aulast=Moszner&rft.aufirst=Zenon&rft.pub=%5B%5BWydawnictwa+Szkolne+i+Pedagogiczne%5D%5D&rft.place=Warszawa"></cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFWinogradow1985"><a href="/wiki/Iwan_Winogradow" title="Iwan Winogradow">Iwan Winogradow</a>: Encyklopedia matematyczna. T. 5. Moskwa: Encyklopedia Radziecka, 1985.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Encyklopedia+matematyczna&rft.aulast=Winogradow&rft.aufirst=Iwan&rft.pub=Encyklopedia+Radziecka&rft.place=Moskwa"> (<abbr title="Treść w języku rosyjskim (русский)">ros.</abbr>).</cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFPinter2014">Charles C. Pinter: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://matematicas.uis.edu.co/adrialba/sites/default/files/SetTheoryDover-%20Charles%20C%20Pinter.pdf">A Book of Set Theory</a>. Nowy Jork: Dover Ppublications, INC, 2014, s. 52,53. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/0486497089" title="Specjalna:Książki/0486497089">ISBN 0-486-49708-9</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+Book+of+Set+Theory&rft.aulast=Pinter&rft.aufirst=Charles+C.&rft.date=2014&rft.pub=Dover+Ppublications%2C+INC&rft.place=Nowy+Jork&rft.pages=52%2C53&rft.isbn=0-486-49708-9&rft_id=http%3A%2F%2Fmatematicas.uis.edu.co%2Fadrialba%2Fsites%2Fdefault%2Ffiles%2FSetTheoryDover-%2520Charles%2520C%2520Pinter.pdf"> (<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>).</cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFAlison2020">What is a function. W: Mirin Alison: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://pmena2020.cinvestav.mx/Portals/pmena2020/Proceedings/PMENA42-RR-1651921-Mirin-et-al.pdf">PME-NA Mathematics Education Across Cultures</a>. Meksyk: PME-NA, 2020, s. 1157. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/9781734805703" title="Specjalna:Książki/9781734805703">ISBN 978-1-7348057-0-3</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=PME-NA+Mathematics+Education+Across+Cultures&rft.atitle=What+is+a+function&rft.aulast=Alison&rft.aufirst=Mirin&rft.date=2020&rft.pub=PME-NA&rft.place=Meksyk&rft.pages=1157&rft.isbn=978-1-7348057-0-3&rft_id=https%3A%2F%2Fpmena2020.cinvestav.mx%2FPortals%2Fpmena2020%2FProceedings%2FPMENA42-RR-1651921-Mirin-et-al.pdf"> (<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>).</cite></li> <li><cite class="citation book" id="CITEREFJahnke2003">Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/0821826239" title="Specjalna:Książki/0821826239">ISBN 0-8218-2623-9</a>. <a href="/wiki/Online_Computer_Library_Center" title="Online Computer Library Center">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://worldcat.org/oclc/51607350">51607350</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+history+of+analysis&rft.aulast=Jahnke&rft.aufirst=Hans+Niels&rft.date=2003&rft.pub=American+Mathematical+Society&rft.place=Providence%2C+RI&rft.isbn=0-8218-2623-9&rft_id=info:oclcnum/51607350"></cite></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatura_dodatkowa">Literatura dodatkowa</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=28" title="Edytuj sekcję: Literatura dodatkowa" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=28" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Literatura dodatkowa">edytuj kod</a>]</div> <ul><li><cite class="citation book"><a href="/wiki/Helena_Rasiowa" title="Helena Rasiowa">Helena Rasiowa</a>: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: PWN, 1968. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/8301139498" title="Specjalna:Książki/8301139498">ISBN 83-01-13949-8</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Wst%C4%99p+do+matematyki+wsp%C3%B3%C5%82czesnej&rft.aulast=Rasiowa&rft.aufirst=Helena&rft.pub=PWN&rft.place=Warszawa&rft.isbn=83-01-13949-8"></cite> Brak numerów stron w książce</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Linki_zewnętrzne">Linki zewnętrzne</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funkcja&veaction=edit&section=29" title="Edytuj sekcję: Linki zewnętrzne" class="mw-editsection-visualeditor">edytuj</a> | <a href="/w/index.php?title=Funkcja&action=edit&section=29" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Linki zewnętrzne">edytuj kod</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a> Paweł Lubowiecki, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=_BFjhDYevOI">Odwzorowania cz. I Pojęcia podstawowe</a>, <a href="/wiki/Wojskowa_Akademia_Techniczna_im._Jaros%C5%82awa_D%C4%85browskiego" title="Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego">Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego</a>, kanał „Uczelnia WAT” na <a href="/wiki/YouTube" title="YouTube">YouTube</a>, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].</li> <li><cite class="citation open-access">Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/Function.html">Function</a>, [w:] <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>, <a href="/wiki/Wolfram_Research" title="Wolfram Research">Wolfram Research</a><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=bookitem&rft.aufirst=Eric+W.&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=%5B%5BMathWorld%5D%5D&rft.atitle=Function&rft.aulast=Weisstein&rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FFunction.html" style="display:none">  (<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>).</cite> [dostęp 2023-12-23].</li></ul> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74983602">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy .before,.mw-parser-output .navbox.pionowy .after{padding:0.5em 0;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.caption,.mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background:#ccf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox .tnavbar{font-weight:normal;font-size:xx-small;white-space:nowrap;padding:0}.mw-parser-output .navbox>.tnavbar{margin-left:1em;float:left}.mw-parser-output .navbox .below>hr+.tnavbar{margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox .below>.tnavbar:before{content:"Ten szablon: "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:after{content:" · "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .navbox hr{margin:0.2em 1em}.mw-parser-output .navbox .title{background:#ddf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content:not(.grupa-szablonów-nawigacyjnych){margin-top:2px;padding:0;font-size:smaller;overflow:auto}.mw-parser-output .navbox .above+div,.mw-parser-output .navbox .above+.navbox-main-content,.mw-parser-output .navbox .below,.mw-parser-output .navbox .title+.grid{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below{background:#ddf;text-align:center;margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .navbox .flex>.before,.mw-parser-output .navbox .flex>.after{align-self:center;text-align:center}.mw-parser-output .navbox .flex>.navbox-main-content{flex-grow:1}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .before{margin-right:0.5em}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .after{margin-left:0.5em}.mw-parser-output .navbox .inner-columns,.mw-parser-output .navbox .inner-group,.mw-parser-output .navbox .inner-standard{border-spacing:0;border-collapse:collapse;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis{text-align:right;vertical-align:middle}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis+.spis{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td{padding:0;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td:first-child{text-align:center}.mw-parser-output .navbox .inner-standard .inner-standard>tbody>tr>td{text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-odd,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-even{padding:0 0.3em}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>th+td{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns{table-layout:fixed}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{padding:0;border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);border-right:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{vertical-align:top}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:first-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:first-child{border-left:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:last-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:last-child{border-right:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ul,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ol,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>dl{text-align:left;column-width:24em}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+table{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.opis,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.spis{padding:0.1em 1em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-toggle,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.mw-collapsible-toggle{width:4em;text-align:right;margin-right:0.4em}.mw-parser-output .navbox>.fakebar,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.fakebar{float:left;width:4em;height:1em}.mw-parser-output .navbox .opis{background:#ddf;padding:0 1em;white-space:nowrap;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox.pionowy .opis{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-even,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-odd{background:transparent}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-odd,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-even{background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div{background:transparent}.mw-parser-output .navbox p{margin:0;padding:0.3em 0}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:gold}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:silver}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#c96}.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ul,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>dl,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ol{column-width:24em;text-align:left}.mw-parser-output .navbox ul{list-style:none}.mw-parser-output .navbox .references{background:transparent}.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dd,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dt,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist li{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox .rok{display:inline-block;width:4em;padding-right:0.5em;text-align:right}.mw-parser-output .navbox .navbox-statistics{margin-top:2px;border-top:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);text-align:center;font-size:small}.mw-parser-output .navbox-summary>.title{font-weight:bold;font-size:larger}.mw-parser-output .navbox:not(.grupa-szablonów) .navbox{margin:0;border:0;padding:0}.mw-parser-output .navbox.grupa-szablonów>.grupa-szablonów-nawigacyjnych>.navbox:first-child{margin-top:2px}@media(max-width:800px){.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.before,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.after{display:none}}.mw-parser-output .navbox .opis img,.mw-parser-output .navbox .opis .flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.image{display:none}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}</style><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Funkcje_matematyczne" title="Szablon:Funkcje matematyczne">p</a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Funkcje_matematyczne&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Funkcje matematyczne (strona nie istnieje)">d</a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Funkcje_matematyczne&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a class="mw-selflink selflink">Funkcje matematyczne</a></div><div class="mw-collapsible-content flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">pojęcia podstawowe</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Argument_funkcji" title="Argument funkcji">argument</a></li> <li><a href="/wiki/Argumentowo%C5%9B%C4%87" title="Argumentowość">argumentowość</a></li> <li><a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzina</a></li> <li><a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzina naturalna</a></li> <li><a href="/wiki/Przeciwdziedzina" title="Przeciwdziedzina">przeciwdziedzina</a></li> <li><a href="/wiki/Zaw%C4%99%C5%BCenie_funkcji" title="Zawężenie funkcji">zawężenie, in. obcięcie</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Obraz_(matematyka)" title="Obraz (matematyka)">obraz</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Obraz_(matematyka)" title="Obraz (matematyka)">zbiór wartości</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Przeciwobraz" title="Przeciwobraz">przeciwobraz</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Poziomica_(matematyka)" title="Poziomica (matematyka)">poziomice, in. warstwice</a></li> <li><a href="/wiki/Miejsce_zerowe" title="Miejsce zerowe">miejsca zerowe</a></li> <li><a href="/wiki/J%C4%85dro_(teoria_mnogo%C5%9Bci)" title="Jądro (teoria mnogości)">jądro funkcji</a></li> <li><a href="/wiki/Ma%C5%82y_obraz" title="Mały obraz">mały obraz</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row">typy (rodzaje)</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a4_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">ogólne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCnowarto%C5%9Bciowa" title="Funkcja różnowartościowa">różnowartościowe – iniekcje</a></li> <li><a href="/wiki/Surjekcja" title="Surjekcja">„na” – suriekcje</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_wzajemnie_jednoznaczna" title="Funkcja wzajemnie jednoznaczna">wzajemnie jednoznaczne – bijekcje</a>, <a href="/wiki/Funkcja_odwrotna" title="Funkcja odwrotna">funkcje odwracalne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Ci%C4%85g_(matematyka)" title="Ciąg (matematyka)">ciągi</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana" title="Para uporządkowana">krotki</a> <ul><li><a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana" title="Para uporządkowana">pary uporządkowane</a></li> <li><a href="/wiki/Tr%C3%B3jka_uporz%C4%85dkowana" title="Trójka uporządkowana">trójki uporządkowane</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne <a href="/wiki/Funkcja_jednej_zmiennej" title="Funkcja jednej zmiennej">funkcje jednej zmiennej</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_pusta" title="Funkcja pusta">funkcja pusta</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_schodkowa" title="Funkcja schodkowa">funkcje schodkowe</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Funkcja_wielu_zmiennych" title="Funkcja wielu zmiennych">funkcje wielu zmiennych</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_symetryczna" title="Funkcja symetryczna">funkcje symetryczne</a> <ul><li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna" title="Przestrzeń metryczna">metryki</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Macierz" title="Macierz">macierze</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_5"><th class="navbox-group opis" scope="row">funkcje zdefiniowane samą przeciwdziedziną</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_kardynalna" title="Funkcja kardynalna">kardynalne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_rzeczywista" title="Funkcja rzeczywista">rzeczywiste</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_wektorowa" title="Funkcja wektorowa">wektorowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_zespolona" title="Funkcja zespolona">zespolone</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_6"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działania algebraiczne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_zeroargumentowe" title="Działanie zeroargumentowe">zeroargumentowe</a></li> <li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_jednoargumentowe" title="Działanie jednoargumentowe">jednoargumentowe</a></li> <li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">dwuargumentowe</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_7"><th class="navbox-group opis" scope="row">odmiany działań jednoargumentowych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_to%C5%BCsamo%C5%9Bciowa" title="Funkcja tożsamościowa">funkcje tożsamościowe</a></li> <li><a href="/wiki/Permutacja" title="Permutacja">permutacje</a> <ul><li><a href="/wiki/Transpozycja_(matematyka)" title="Transpozycja (matematyka)">transpozycje</a></li> <li><a href="/wiki/Nieporz%C4%85dek" title="Nieporządek">nieporządki</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_8"><th class="navbox-group opis" scope="row">funkcje zdefiniowane zbiorem wartości</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_prosta" title="Funkcja prosta">funkcje proste</a> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_sta%C5%82a" title="Funkcja stała">funkcje stałe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_charakterystyczna_zbioru" title="Funkcja charakterystyczna zbioru">funkcje charakterystyczne</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_9"><th class="navbox-group opis" scope="row">zdefiniowane <a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9Bciowy_porz%C4%85dek" title="Częściowy porządek">porządkiem</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_ograniczona" title="Funkcja ograniczona">ograniczone</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_monotoniczna" title="Funkcja monotoniczna">monotoniczne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_10"><th class="navbox-group opis" scope="row">zdefiniowane <a href="/wiki/Algebra" title="Algebra">algebraicznie</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_okresowa" title="Funkcja okresowa">okresowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_parzyste_i_nieparzyste" title="Funkcje parzyste i nieparzyste">parzyste i nieparzyste</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_11"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne funkcje</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_boolowska" title="Funkcja boolowska">boolowskie</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_elementarne" title="Funkcje elementarne">elementarne</a></li> <li><a class="mw-selflink-fragment" href="#Funkcje_liczbowe">liczbowe</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_specjalne" title="Funkcje specjalne">specjalne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcjona%C5%82" title="Funkcjonał">funkcjonały</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row">pojęcia określone głównie dla działań jednoargumentowych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Punkt_sta%C5%82y" title="Punkt stały">punkt stały</a></li> <li><a href="/wiki/Punkt_okresowy" title="Punkt okresowy">punkt okresowy</a></li> <li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_niezmienniczy" title="Zbiór niezmienniczy">zbiór niezmienniczy</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">złożenie funkcji</a> (superpozycja)</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a6_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">przypadek działań jednoargumentowych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Iteracja_funkcji" title="Iteracja funkcji">iteracja</a> <ul><li><a href="/wiki/Idempotentno%C5%9B%C4%87" title="Idempotentność">idempotentność</a></li> <li><a href="/wiki/Inwolucja_(matematyka)" title="Inwolucja (matematyka)">inwolucja</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82grupa_transformacji" title="Półgrupa transformacji">półgrupa transformacji</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_bijekcji" title="Grupa bijekcji">grupa bijekcji</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupa permutacji</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a6_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne przypadki</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_odwrotna" title="Funkcja odwrotna">funkcja odwrotna</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Struktura_matematyczna" title="Struktura matematyczna">struktury</a> definiowane funkcjami</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Algebra_og%C3%B3lna" title="Algebra ogólna">algebry ogólne (struktury algebraiczne)</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_funkcyjna" title="Przestrzeń funkcyjna">przestrzenie funkcyjne</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna" title="Przestrzeń metryczna">przestrzenie metryczne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne powiązane pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Moc_zbioru" title="Moc zbioru">moc zbioru</a></li> <li><a href="/wiki/Przebieg_zmienno%C5%9Bci_funkcji" title="Przebieg zmienności funkcji">przebieg zmienności funkcji</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_funkcyjne" title="Równanie funkcyjne">równania funkcyjne</a></li> <li><a href="/wiki/Symbol_funkcyjny" title="Symbol funkcyjny">symbole funkcyjne</a></li> <li><a href="/wiki/Wykres_funkcji" title="Wykres funkcji">wykres funkcji</a></li></ul> </td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie">twierdzenia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Cantora-Bernsteina-Schr%C3%B6dera" title="Twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera">Cantora-Bernsteina-Schrödera</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_faktoryzacji" title="Twierdzenie o faktoryzacji">o faktoryzacji</a></li> <li><a href="/wiki/Zasada_szufladkowa_Dirichleta" title="Zasada szufladkowa Dirichleta">zasada szufladkowa Dirichleta</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Uog%C3%B3lnienie" title="Uogólnienie">uogólnienia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_cz%C4%99%C5%9Bciowa" title="Funkcja częściowa">funkcje częściowe</a></li> <li><a href="/wiki/Multifunkcja" title="Multifunkcja">multifunkcje</a></li> <li><a href="/wiki/Relacja_dwuargumentowa" title="Relacja dwuargumentowa">relacje binarne</a></li> <li><a href="/wiki/Kategoria_(matematyka)" title="Kategoria (matematyka)">morfizmy (strzałki)</a></li></ul> </td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <a href="/wiki/Plik:Commutative_diagram_for_morphism.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/100px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png" decoding="async" width="100" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/150px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/200px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png 2x" data-file-width="100" data-file-height="100" /></a> </div></div></div> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r74983602"><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Relacje_matematyczne" title="Szablon:Relacje matematyczne">p</a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Relacje_matematyczne&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Relacje matematyczne (strona nie istnieje)">d</a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Relacje_matematyczne&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Relacja_(matematyka)" title="Relacja (matematyka)">Relacje matematyczne</a></div><div class="mw-collapsible-content"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">pojęcia podstawowe</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Iloczyn_kartezja%C5%84ski" title="Iloczyn kartezjański">iloczyn kartezjański</a></li> <li><a href="/wiki/Podzbi%C3%B3r" title="Podzbiór">podzbiór</a></li> <li><a href="/wiki/Dziedzina_(matematyka)" title="Dziedzina (matematyka)">dziedzina</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row">własności i typy</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a2_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">według liczby argumentów</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Relacja_dwuargumentowa" title="Relacja dwuargumentowa">relacja dwuargumentowa</a> <ul><li><a href="/wiki/Przeciwdziedzina" title="Przeciwdziedzina">przeciwdziedzina</a></li> <li><a href="/wiki/Pole_relacji" title="Pole relacji">pole relacji</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Relacja_tr%C3%B3jargumentowa" title="Relacja trójargumentowa">relacja trójargumentowa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">konkretne przykłady</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Relacja_pusta" title="Relacja pusta">relacja pusta</a></li> <li><a href="/wiki/Relacja_pe%C5%82na" title="Relacja pełna">relacja pełna</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">własności relacji binarnych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Acykliczno%C5%9B%C4%87" title="Acykliczność">acykliczność</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_cz%C4%99%C5%9Bciowa" title="Funkcja częściowa">jednoznaczność</a></li> <li><a href="/wiki/Relacja_dobrze_ufundowana" title="Relacja dobrze ufundowana">dobre ufundowanie</a></li> <li><a href="/wiki/Relacja_silnie_konfluentna" title="Relacja silnie konfluentna">konfluentność silna</a> i <a href="/wiki/Relacja_s%C5%82abo_konfluentna" title="Relacja słabo konfluentna">słaba</a></li> <li><a href="/wiki/Relacja_przechodnia" title="Relacja przechodnia">przechodniość i przeciwprzechodniość</a></li> <li><a href="/wiki/Relacja_sp%C3%B3jna" title="Relacja spójna">spójność</a></li> <li><a href="/wiki/Relacja_symetryczna" title="Relacja symetryczna">symetria</a>, <a href="/wiki/Relacja_przeciwsymetryczna" title="Relacja przeciwsymetryczna">asymetria</a> i <a href="/wiki/Relacja_antysymetryczna" title="Relacja antysymetryczna">antysymetria</a></li> <li><a href="/wiki/Relacja_zwrotna" title="Relacja zwrotna">zwrotność i przeciwzwrotność</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Praporz%C4%85dek" title="Praporządek">praporządki</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9Bciowy_porz%C4%85dek" title="Częściowy porządek">częściowe porządki</a> <ul><li><a href="/wiki/Porz%C4%85dek_liniowy" title="Porządek liniowy">porządki liniowe</a>, w tym <a href="/wiki/Dobry_porz%C4%85dek" title="Dobry porządek">dobre</a>, <a href="/wiki/Porz%C4%85dek_ci%C4%85g%C5%82y" title="Porządek ciągły">gęste</a> i <a href="/wiki/Porz%C4%85dek_ci%C4%85g%C5%82y" title="Porządek ciągły">ciągłe</a></li> <li><a href="/wiki/Porz%C4%85dek_zupe%C5%82ny" title="Porządek zupełny">porządki zupełne</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Relacja_r%C3%B3wnowa%C5%BCno%C5%9Bci" title="Relacja równoważności">relacje równoważności</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_5"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne zestawy własności</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">funkcje</a></li> <li><a href="/wiki/Relacja_trychotomiczna" title="Relacja trychotomiczna">trychotomie</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działania</a> na relacjach</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a3_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_jednoargumentowe" title="Działanie jednoargumentowe">jednoargumentowe</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Dope%C5%82nienie_zbioru" title="Dopełnienie zbioru">dopełnienie</a></li> <li><a href="/wiki/Domkni%C4%99cie_przechodnie" title="Domknięcie przechodnie">domknięcie przechodnie</a></li> <li><a href="/wiki/Relacja_odwrotna" title="Relacja odwrotna">konwers</a>, in. relacja odwrotna</li></ul> </td></tr><tr class="a3_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">dwuargumentowe</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9B%C4%87_wsp%C3%B3lna" title="Część wspólna">część wspólna</a></li> <li><a href="/wiki/Suma_zbior%C3%B3w" title="Suma zbiorów">suma zbiorów</a></li> <li><a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_relacji" title="Złożenie relacji">złożenie</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row">powiązane <a href="/wiki/Struktura_matematyczna" title="Struktura matematyczna">struktury</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a4_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Algebra_og%C3%B3lna" title="Algebra ogólna">algebraiczne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82grupa" title="Półgrupa">półgrupa</a> <ul><li><a href="/wiki/Monoid" title="Monoid">monoid</a></li> <li><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82grupa_relacji_binarnych" title="Półgrupa relacji binarnych">półgrupa relacji binarnych</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Porz%C4%85dek" title="Porządek">porządkowe</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_skierowany" title="Zbiór skierowany">zbiór skierowany</a></li> <li><a href="/wiki/Cz%C4%99%C5%9Bciowy_porz%C4%85dek" title="Częściowy porządek">zbiór częściowo uporządkowany</a>, in. poset <ul><li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_spolaryzowany" title="Zbiór spolaryzowany">zbiór spolaryzowany</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Graf_(matematyka)" title="Graf (matematyka)">graf</a> <ul><li><a href="/wiki/Diagram_Hassego" title="Diagram Hassego">diagram Hassego</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Rozbicie_zbioru" title="Rozbicie zbioru">rozbicie zbioru</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row">pozostałe pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Zgodno%C5%9B%C4%87_relacji_z_dzia%C5%82aniem" title="Zgodność relacji z działaniem">zgodność relacji z działaniem</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74016753">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-s"><div><a href="/wiki/Kontrola_autorytatywna" title="Kontrola autorytatywna">Kontrola autorytatywna</a> (pojęcie matematyczne):</div><ul><li><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://lccn.loc.gov/sh85052327">sh85052327</a></li><li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4071510-3">4071510-3</a></li><li><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Web_NDL_Authorities" class="extiw" title="de:Web NDL Authorities">NDL</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00564960">00564960</a></li><li><a href="/wiki/Biblioth%C3%A8que_nationale" title="Bibliothèque nationale">BnF</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11946892t">11946892t</a></li><li><a href="/wiki/Centralna_Biblioteka_Narodowa_we_Florencji" title="Centralna Biblioteka Narodowa we Florencji">BNCF</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=19483">19483</a></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Republiki_Czeskiej" title="Biblioteka Narodowa Republiki Czeskiej">NKC</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://aut.nkp.cz/ph114594">ph114594</a></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Izraela" title="Biblioteka Narodowa Izraela">J9U</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007553160705171">987007553160705171</a></li></ul></div><div class="normdaten-andere"><div><a href="/wiki/Encyklopedia_internetowa" title="Encyklopedia internetowa">Encyklopedie internetowe</a>:</div> <ul><li><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">PWN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3903278.html">3903278</a></li> <li><a href="/wiki/Encyklopedia_Britannica" title="Encyklopedia Britannica">Britannica</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/function-mathematics">topic/function-mathematics</a></li> <li><a href="/wiki/Enciclopedia_Treccani" title="Enciclopedia Treccani">Treccani</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.treccani.it/enciclopedia/funzione">funzione</a></li> <li><a href="/wiki/Store_norske_leksikon" title="Store norske leksikon">SNL</a>: <a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=4342&url_prefix=https://snl.no/&id=funksjon_-_matematikk">funksjon_-_matematikk</a></li> <li><a href="/wiki/Den_Store_Danske_Encyklop%C3%A6di" title="Den Store Danske Encyklopædi">DSDE</a>: <a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=8313&url_prefix=https://lex.dk/&id=funktion">funktion</a>, <a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=8313&url_prefix=https://lex.dk/&id=afbildning">afbildning</a></li></ul> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcja&oldid=75047963">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcja&oldid=75047963</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategoria</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Funkcje_matematyczne" title="Kategoria:Funkcje matematyczne">Funkcje matematyczne</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Ukryte kategorie: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Artyku%C5%82y_z_nieprawid%C5%82owymi_numerami_ISBN" title="Kategoria:Artykuły z nieprawidłowymi numerami ISBN">Artykuły z nieprawidłowymi numerami ISBN</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Artyku%C5%82y_z_brakuj%C4%85cymi_przypisami_od_2023-12" title="Kategoria:Artykuły z brakującymi przypisami od 2023-12">Artykuły z brakującymi przypisami od 2023-12</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Szablon_cytowania_ksi%C4%85%C5%BCki_%E2%80%93_brak_numeru_strony" title="Kategoria:Szablon cytowania książki – brak numeru strony">Szablon cytowania książki – brak numeru strony</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Tę stronę ostatnio edytowano 25 paź 2024, 12:30.</li> <li id="footer-info-copyright">Tekst udostępniany na licencji <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl">Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach</a>, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/pl">warunkach korzystania</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Polityka prywatności</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii">O Wikipedii</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Korzystasz_z_Wikipedii_tylko_na_w%C5%82asn%C4%85_odpowiedzialno%C5%9B%C4%87">Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Powszechne Zasady Postępowania</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Dla deweloperów</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pl.wikipedia.org">Statystyki</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Oświadczenie o ciasteczkach</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Funkcja&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Wersja mobilna</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-6d94db5ff4-nkllb","wgBackendResponseTime":201,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"1.531","walltime":"1.893","ppvisitednodes":{"value":18166,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":120761,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":13592,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":11,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":12,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":64996,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":6,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 1137.000 1 -total"," 23.07% 262.297 7 Szablon:Szablon_nawigacyjny"," 20.01% 227.472 1 Szablon:Funkcje_matematyczne"," 17.23% 195.926 1 Szablon:Przypisy"," 17.17% 195.272 12 Szablon:Cytuj_książkę"," 14.92% 169.590 31 Szablon:Odn"," 13.48% 153.248 1 Szablon:Kontrola_autorytatywna"," 6.12% 69.568 6 Szablon:Cytuj"," 5.37% 61.065 31 Szablon:Odn/tekst"," 5.04% 57.347 7 Szablon:Encyklopedia_PWN"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.553","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":4490029,"limit":52428800},"limitreport-logs":"required = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\next = nil\next = false\next = nil\nrequired = table#1 {\n}\next = nil\next = false\next = nil\nrequired = table#1 {\n}\next = nil\next = false\next = nil\nrequired = table#1 {\n}\next = nil\next = false\next = nil\nrequired = table#1 {\n}\next = nil\next = false\next = nil\nrequired = table#1 {\n}\next = nil\next = false\next = nil\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\nrequired = table#1 {\n}\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-565d46677b-hmgk2","timestamp":"20241128125448","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Funkcja","url":"https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Funkcja","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11348","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11348","author":{"@type":"Organization","name":"Wsp\u00f3\u0142tw\u00f3rcy projekt\u00f3w Fundacji Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2002-03-13T14:17:09Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/8\/8a\/Function_illustration.svg","headline":"typ relacji dwucz\u0142onowej u\u017cywany w matematyce i innych naukach"}</script> </body> </html>