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<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Planck-Konstante – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"a8456f7b-dd16-410e-b63b-b1dac70a4ede","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Planck-Konstante","wgTitle":"Planck-Konstante","wgCurRevisionId":249046147,"wgRevisionId":249046147,"wgArticleId":69087,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"], "wgCategories":["Physikalische Konstante","Quantenphysik","Max Planck als Namensgeber"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Planck-Konstante","wgRelevantArticleId":69087,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":249046147,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":40000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage", "wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q122894","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready", "ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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width:350px;"> <tbody><tr> <th colspan="2" style="background:#ffdead;"><a href="/wiki/Physikalische_Konstante" title="Physikalische Konstante">Physikalische Konstante</a> </th></tr> <tr> <td>Name </td> <td>Planck-Konstante </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Formelzeichen" title="Formelzeichen">Formelzeichen</a> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Gr%C3%B6%C3%9Fenart" class="mw-redirect" title="Größenart">Größenart</a> </td> <td><a href="/wiki/Wirkung_(Physik)" title="Wirkung (Physik)">Wirkung</a>, <a href="/wiki/Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpuls</a> </td></tr> <tr> <th colspan="2" style="background:#ffffbd;">Wert </th></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Internationales_Einheitensystem#SI-Einheiten" title="Internationales Einheitensystem">SI</a> </td> <td><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r198689956">.mw-parser-output .numericFormat-multiply{background-position:center;background-repeat:no-repeat;border-radius:0.2em;color:transparent;display:inline-block;line-height:0.2em;margin-left:0.3em;margin-right:0.15em;width:0.2em}.mw-parser-output .numericFormat-10::before{content:"10"}.mw-parser-output .numericFormat-10 sup{margin-left:0.12em}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r198372224">.mw-parser-output .numericFormat-1000::after{content:"."}.mw-parser-output .numericFormat-minus>span,.mw-parser-output .numericFormat-dec>span{position:absolute;left:-10000px;top:auto;width:1px;height:1px;overflow:hidden}.mw-parser-output .numericFormat-minus::after{content:"−"}.mw-parser-output .numericFormat-dec::after{content:","}.mw-parser-output .numericFormat-fractpart{margin-right:0.2em}</style>6.62607015e-34 J s = <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r198689956"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r198372224">4.1356676969…e-15 eV·s </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/CODATA#Standardunsicherheiten_von_CODATA-Werten" class="mw-redirect" title="CODATA">Unsicherheit</a> (rel.) </td> <td>0 (exakt) </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/CGS-Einheitensystem" title="CGS-Einheitensystem">CGS</a> </td> <td><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r198689956"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r198372224">6.62607015e-27 erg s </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Planck-Einheiten" title="Planck-Einheiten">Planck-Einheiten</a> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.494ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi }"><a href="#cite_note-1">[1]</a> </td></tr> <tr> <th colspan="2" style="background:#ffffbd;">Quellen und Anmerkungen </th></tr> <tr> <td colspan="2">Der Wert dient zur Definition der SI-Einheiten.<a href="#cite_note-CGPM-26-1-2">[2]</a> </td></tr></tbody></table> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Max_Planck_Wirkungsquantums_20050815.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Max_Planck_Wirkungsquantums_20050815.jpg/170px-Max_Planck_Wirkungsquantums_20050815.jpg" decoding="async" width="170" height="227" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Max_Planck_Wirkungsquantums_20050815.jpg/255px-Max_Planck_Wirkungsquantums_20050815.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Max_Planck_Wirkungsquantums_20050815.jpg/340px-Max_Planck_Wirkungsquantums_20050815.jpg 2x" data-file-width="730" data-file-height="976" /></a><figcaption>Gedenktafel – <a href="/wiki/Humboldt-Universit%C3%A4t_zu_Berlin" title="Humboldt-Universität zu Berlin">Humboldt-Universität zu Berlin</a></figcaption></figure> Die Planck-Konstante oder das Plancksche Wirkungsquantum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> ist eine fundamentale <a href="/wiki/Physikalische_Konstante" title="Physikalische Konstante">Naturkonstante</a> in der <a href="/wiki/Quantenphysik" title="Quantenphysik">Quantenphysik</a>. Sie ist das Verhältnis von <a href="/wiki/Energie" title="Energie">Energie</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}">) und <a href="/wiki/Frequenz" title="Frequenz">Frequenz</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}">) eines <a href="/wiki/Photon" title="Photon">Photons</a>, entsprechend der Formel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=h\cdot f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=h\cdot f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f60faf8e9c5241b5e55385d268cf7133651d961" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.171ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E=h\cdot f}">. Die gleiche Beziehung gilt allgemein zwischen der Energie eines <a href="/wiki/Teilchen" title="Teilchen">Teilchens</a> oder <a href="/wiki/Physikalisches_System" title="Physikalisches System">physikalischen Systems</a> und der Frequenz seiner <a href="/wiki/Quantenmechanik#Stationäre_Zustände" title="Quantenmechanik">quantenmechanischen Phase</a>. Die Planck-Konstante verknüpft Eigenschaften, die vorher in der <a href="/wiki/Klassische_Physik" title="Klassische Physik">klassischen Physik</a> entweder nur Teilchen oder nur <a href="/wiki/Welle" title="Welle">Wellen</a> zugeschrieben wurden. Damit ist sie die Basis des <a href="/wiki/Welle-Teilchen-Dualismus" title="Welle-Teilchen-Dualismus">Welle-Teilchen-Dualismus</a> der <a href="/wiki/Moderne_Physik" title="Moderne Physik">modernen Physik</a>. <a href="/wiki/Max_Planck" title="Max Planck">Max Planck</a> entdeckte diese Konstante in den Jahren 1899<a href="#cite_note-Planck1899-3">[3]</a> und 1900<a href="#cite_note-Bonitz-4">[4]</a><a href="#cite_note-Sturm-5">[5]</a> und gab ihr den Namen „elementares Wirkungsquantum“, weil sie bei „elementaren Schwingungsvorgängen“ eine entscheidende Rolle spielt und die gleiche <a href="/wiki/Dimension_(Gr%C3%B6%C3%9Fensystem)" title="Dimension (Größensystem)">Dimension</a> wie die physikalische Größe <a href="/wiki/Wirkung_(Physik)" title="Wirkung (Physik)">Wirkung</a> hat.<a href="#cite_note-Planck1906-6">[6]</a><a href="#cite_note-Planck1943-7">[7]</a> Außerhalb des deutschen Sprachraums ist die Bezeichnung „Wirkungsquantum“ nicht üblich. Planck betrachtete<a href="#cite_note-Planck1899-3">[3]</a> diese neu entdeckte Konstante neben der <a href="/wiki/Gravitationskonstante" title="Gravitationskonstante">Gravitationskonstante</a> und der <a href="/wiki/Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a> als die dritte der <a href="/wiki/Physikalische_Konstante" title="Physikalische Konstante">fundamentalen Naturkonstanten</a> der Physik. Zusammen bilden diese Konstanten die Grundlage des <a href="/wiki/Nat%C3%BCrliche_Einheiten" title="Natürliche Einheiten">natürlichen Einheitensystems</a> der <a href="/wiki/Planck-Einheiten" title="Planck-Einheiten">Planck-Einheiten</a>. <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Definition">1 Definition</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Einige_allgemeingültige_Folgen">2 Einige allgemeingültige Folgen</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Wert_und_Zeichen">3 Wert und Zeichen</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#Reduzierte_Planck-Konstante">3.1 Reduzierte Planck-Konstante</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-5"><a href="#Zeichen">3.2 Zeichen</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#Historisches_zur_Entdeckung_und_Rezeption">4 Historisches zur Entdeckung und Rezeption</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Wärmestrahlung_I_(Planck_1899)">4.1 Wärmestrahlung I (Planck 1899)</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-8"><a href="#Wärmestrahlung_II_(Planck_1900)">4.2 Wärmestrahlung II (Planck 1900)</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#h_und_die_Lichtquanten">4.3 h und die Lichtquanten</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#h_und_die_spezifische_Wärme_fester_Körper">4.4 h und die spezifische Wärme fester Körper</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-11"><a href="#h_und_die_Phasenraumzelle">4.5 h und die Phasenraumzelle</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-12"><a href="#h_und_der_Aufbau_der_Atome">4.6 h und der Aufbau der Atome</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-13"><a href="#h_und_die_Materiewellen">4.7 h und die Materiewellen</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-14"><a href="#Drehimpuls">5 Drehimpuls</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-15"><a href="#Unschärferelation">6 Unschärferelation</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-16"><a href="#Literatur">7 Literatur</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-17"><a href="#Weblinks">8 Weblinks</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-18"><a href="#Einzelnachweise">9 Einzelnachweise</a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Definition" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Definition">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die Planck-Konstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> ist für jedes physikalische System, das <a href="/wiki/Harmonischer_Oszillator" title="Harmonischer Oszillator">harmonisch schwingen</a> kann, das stets gleiche Verhältnis des kleinstmöglichen Energieumsatzes zur Schwingungsfrequenz. Größere Energieumsätze sind nur möglich, wenn sie ganzzahlige Vielfache dieses kleinsten Energiebetrages sind. Diese <a href="/wiki/Quantelung" title="Quantelung">Quantelung</a> der Energie ist allerdings so fein, dass sie sich in makroskopischen Systemen praktisch nicht bemerkbar macht. Auch Planck gelang die Entdeckung nur auf indirekte Weise. Darüber hinaus gilt für jedes physikalische System, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> das Verhältnis seines gesamten Energieinhalts zur Frequenz seiner <a href="/wiki/Quantenmechanik#Stationäre_Zustände" title="Quantenmechanik">quantenmechanischen Phase</a> ist. Die Planck-Konstante hat die <a href="/wiki/Dimension_(Gr%C3%B6%C3%9Fensystem)" title="Dimension (Größensystem)">Dimension</a> von <a href="/wiki/Energie" title="Energie">Energie</a> mal <a href="/wiki/Zeit" title="Zeit">Zeit</a>, die <a href="/wiki/Wirkung_(Physik)" title="Wirkung (Physik)">Wirkung</a> genannt wird. Die Wirkung selbst ist allerdings nicht <a href="/wiki/Quantelung" title="Quantelung">gequantelt</a>, wie man irrtümlich aus der Bezeichnung als Wirkungsquantum ableiten könnte und wie es in der <a href="/wiki/Bohr-sommerfeldsches_Atommodell#Bohr-Sommerfeld-Quantisierung" title="Bohr-sommerfeldsches Atommodell">Bohr-Sommerfeld-Quantisierung</a> auch zeitweilig angenommen worden war. Die Planck-Konstante erhält ihre universelle Bedeutung durch ihr Auftreten in den Grundgleichungen der Quantenphysik (<a href="/wiki/Schr%C3%B6dinger-Gleichung" class="mw-redirect" title="Schrödinger-Gleichung">Schrödinger-Gleichung</a>, <a href="/wiki/Heisenbergsche_Bewegungsgleichung" class="mw-redirect" title="Heisenbergsche Bewegungsgleichung">Heisenbergsche Bewegungsgleichung</a>, <a href="/wiki/Dirac-Gleichung" title="Dirac-Gleichung">Dirac-Gleichung</a>). <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einige_allgemeingültige_Folgen">Einige allgemeingültige Folgen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Einige allgemeingültige Folgen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einige allgemeingültige Folgen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li>Jede <a href="/wiki/Harmonische_Schwingung" class="mw-redirect" title="Harmonische Schwingung">harmonische Schwingung</a> (mit Frequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}">, Kreisfrequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega =2\pi f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =2\pi f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1bf35d395c2d52391265e4bbda0aed14f52579" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.317ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \omega =2\pi f}">) kann Energie nur in diskreten Beträgen aufnehmen oder abgeben, die ganzzahlige Vielfache des Schwingungsquants <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta E=hf\equiv \hbar \omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mi>f</mi> <mo>≡</mo> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E=hf\equiv \hbar \omega }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f02366242f7379df410229d830208d3654589f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.278ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta E=hf\equiv \hbar \omega }"> sind.</li> <li>Jedes physikalische System kann seinen <a href="/wiki/Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpuls</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>J</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}"> (genauer: die Projektion des Drehimpulsvektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {J}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>J</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {J}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64ab02528d2b80e1df79bc2a8762489a986afa8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.788ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {J}}}"> auf eine beliebige Gerade) nur um ganzzahlige Vielfache von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar \equiv {\tfrac {h}{2\pi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mo>≡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar \equiv {\tfrac {h}{2\pi }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7885f3126ffdc1fe5fe00b6923b97485453c7fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:7.005ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \hbar \equiv {\tfrac {h}{2\pi }}}"> ändern.</li> <li>Jedem physikalischen System mit <a href="/wiki/Impuls" title="Impuls">Impuls</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> ist eine <a href="/wiki/Materiewelle" title="Materiewelle">Materiewelle</a> mit der Wellenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda ={\tfrac {h}{p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>h</mi> <mi>p</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda ={\tfrac {h}{p}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/033783944088bcf7566120ec341dbb1a920688f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:6.237ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda ={\tfrac {h}{p}}}"> zugeordnet.</li> <li>Bei jedem physikalischen System erfüllen Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"> und Kreisfrequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }"> seiner <a href="/wiki/Quantenmechanik#Stationäre_Zustände" title="Quantenmechanik">quantenmechanischen Phase</a> die Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=\hbar \omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=\hbar \omega }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb16565f02349106457258633097e0d0414a8e2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.626ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E=\hbar \omega }">.</li> <li>Je zwei Variablen eines physikalischen Systems, die zueinander kanonisch konjugiert sind (z. B. Ort <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> und Impuls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}"> eines Teilchens, oder <a href="/wiki/Generalisierte_Koordinate" title="Generalisierte Koordinate">verallgemeinerter Ort</a> und <a href="/wiki/Generalisierter_Impuls" title="Generalisierter Impuls">verallgemeinerter Impuls</a>, z. B. Drehwinkel und Drehimpuls), erfüllen eine <a href="/wiki/Heisenbergsche_Unsch%C3%A4rferelation" title="Heisenbergsche Unschärferelation">Unschärferelation</a>, der zufolge sie in keinem Zustand des Systems beide gleichzeitig wohldefinierte Werte besitzen können. Vielmehr gilt für die Streuungen (genauer: <a href="/wiki/Standardabweichung" class="mw-redirect" title="Standardabweichung">Standardabweichungen</a>) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{x},\,\sigma _{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{x},\,\sigma _{p}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1fb73e40af6d6579f86e93242c1517e1b82867" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.307ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{x},\,\sigma _{p}}"> der gleichzeitigen Messwerte beider Variablen: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{x}\cdot \sigma _{p}\geq {\tfrac {\hbar }{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>≥</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{x}\cdot \sigma _{p}\geq {\tfrac {\hbar }{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6aec64e8908ea006aec6342db74e5a9a3bd02e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.424ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{x}\cdot \sigma _{p}\geq {\tfrac {\hbar }{2}}}">.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Wert_und_Zeichen"> Wert und Zeichen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Wert und Zeichen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Wert und Zeichen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die Planck-Konstante gehört zu den Naturkonstanten, denen im <a href="/wiki/Internationales_Einheitensystem" title="Internationales Einheitensystem">Internationale Einheitensystem (SI)</a> seit der <a href="/wiki/Internationales_Einheitensystem#Neudefinition2019" title="Internationales Einheitensystem">Revision von 2019</a> ein fester Wert zugewiesen ist und die nun ihrerseits zur Definition von Einheiten wie dem <a href="/wiki/Kilogramm" title="Kilogramm">Kilogramm</a> dienen.<a href="#cite_note-CGPM-26-1-2">[2]</a> Deshalb hat es im SI einen exakten Wert, der auf <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h=6{,}626\,070\,15\cdot 10^{-34}\;\mathrm {Js} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>6,626</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>070</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>15</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>34</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">J</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=6{,}626\,070\,15\cdot 10^{-34}\;\mathrm {Js} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36dc2d2334a93b806d19f9a38ab6ea14c0281d68" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.236ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle h=6{,}626\,070\,15\cdot 10^{-34}\;\mathrm {Js} }"></dd></dl> festgelegt ist. In der Einheit <a href="/wiki/Elektronenvolt" title="Elektronenvolt">Elektronenvolt</a> durch <a href="/wiki/Hertz_(Einheit)" title="Hertz (Einheit)">Hertz</a> hat h den – ebenfalls exakten – Wert:<a href="#cite_note-codaatahevhz-8">[8]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h={\frac {6{,}626\,070\,15\cdot 10^{-34}}{1{,}602\,176\,634\cdot 10^{-19}}}\,{\frac {\mathrm {eV} }{\mathrm {Hz} }}=4{,}135\,667\,696\,92\ldots \cdot 10^{-15}\;\mathrm {eV\,s} \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>6,626</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>070</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>15</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>34</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1,602</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>176</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>634</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>19</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">V</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">H</mi> <mi mathvariant="normal">z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>4,135</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>667</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>696</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>92</mn> <mo>…</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>15</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">V</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\frac {6{,}626\,070\,15\cdot 10^{-34}}{1{,}602\,176\,634\cdot 10^{-19}}}\,{\frac {\mathrm {eV} }{\mathrm {Hz} }}=4{,}135\,667\,696\,92\ldots \cdot 10^{-15}\;\mathrm {eV\,s} \,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff97edabb08db1a65b0cfee76f7f7890075313c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:63.713ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle h={\frac {6{,}626\,070\,15\cdot 10^{-34}}{1{,}602\,176\,634\cdot 10^{-19}}}\,{\frac {\mathrm {eV} }{\mathrm {Hz} }}=4{,}135\,667\,696\,92\ldots \cdot 10^{-15}\;\mathrm {eV\,s} \,}">.</dd></dl> Bis zur SI-Reform am 20. Mai 2019 war h auf Grundlage der damals gültigen Einheiten für Kilogramm, Meter und Sekunde experimentell zu bestimmen und war demgemäß mit einer Messunsicherheit behaftet. Der letzte Wert betrug<a href="#cite_note-codata2014-all-seite1-9">[9]</a> 6,626 070 040(81) · 10−34 Js, wobei die eingeklammerte Zahl die <a href="/wiki/CODATA#Standardunsicherheiten_von_CODATA-Werten" class="mw-redirect" title="CODATA">geschätzte Unsicherheit</a> angibt und sich auf die beiden letzten angegebenen Dezimalziffern bezieht. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Reduzierte_Planck-Konstante"> Reduzierte Planck-Konstante</h3>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Reduzierte Planck-Konstante" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Reduzierte Planck-Konstante">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <table class="float-right infobox wikitable" style="margin-top:0; width:350px;"> <tbody><tr> <th colspan="2" style="background:#ffdead;"><a href="/wiki/Physikalische_Konstante" title="Physikalische Konstante">Physikalische Konstante</a> </th></tr> <tr> <td>Name </td> <td>reduzierte Planck-Konstante, Dirac-Konstante </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Formelzeichen" title="Formelzeichen">Formelzeichen</a> </td> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar }"> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Gr%C3%B6%C3%9Fenart" class="mw-redirect" title="Größenart">Größenart</a> </td> <td><a href="/wiki/Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpuls</a> </td></tr> <tr> <th colspan="2" style="background:#ffffbd;">Wert </th></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Internationales_Einheitensystem#SI-Einheiten" title="Internationales Einheitensystem">SI</a> </td> <td><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r198689956"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r198372224">1.054571817…e-34 J s = <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r198689956"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r198372224">6.582119569…e-16 eV·s </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/CODATA#Standardunsicherheiten_von_CODATA-Werten" class="mw-redirect" title="CODATA">Unsicherheit</a> (rel.) </td> <td>(exakt) </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/CGS-Einheitensystem" title="CGS-Einheitensystem">CGS</a> </td> <td><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r198689956"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r198372224">1.054571817…e-27 erg s </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Planck-Einheiten" title="Planck-Einheiten">Planck-Einheiten</a> </td> <td>1 </td></tr> <tr> <th colspan="2" style="background:#ffffbd;">Bezug zu anderen Konstanten </th></tr> <tr> <td colspan="2"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar ={\tfrac {h}{2\pi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar ={\tfrac {h}{2\pi }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94eb0659042837b01edc6da687e428d3af98f258" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:7.005ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \hbar ={\tfrac {h}{2\pi }}}"> </td></tr> </tbody></table> Weil Frequenzen oft als Kreisfrequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \omega =2\pi f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>f</mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \omega =2\pi f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb283617c09e706f96ef1959436d00c5a98495d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.317ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \omega =2\pi f}"> an Stelle der <a href="/wiki/Frequenz" title="Frequenz">Frequenz</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ac73cc984d65a6529c72ac4b63642525b658dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle f}"> angegeben werden, kommt in vielen Gleichungen an Stelle der Planck-Konstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4cb6332499847a15f57fc94a74c08f7a376bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle h}"> die reduzierte Planck-Konstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c97f23b7a34a344ff1cf8144ace060bcfcdebd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:7.005ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}"> (gesprochen: „h quer“) zum Einsatz. Damit gilt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle hf=\hbar \omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mi>ω</mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle hf=\hbar \omega }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b8c70c0f952d5542d9af92cbfdae77eef0d1286" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.468ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle hf=\hbar \omega }">. Die reduzierte Planck-Konstante wird (selten) auch nach <a href="/wiki/Paul_Dirac" title="Paul Dirac">Paul Dirac</a> als Dirac-Konstante<a href="#cite_note-Dirac_1926-10">[10]</a> bezeichnet und ihr Wert beträgt:<a href="#cite_note-codata2018-hbar-11">[11]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\hbar &=1{,}054\,571\,817\ldots \cdot 10^{-34}\,\mathrm {J\,s} \\&=6{,}582\,119\,569\ldots \cdot 10^{-16}\,\mathrm {eV\,s} \;.\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>1,054</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>571</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>817</mn> <mo>…</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>34</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">J</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>6,582</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>119</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>569</mn> <mo>…</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>16</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">V</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\hbar &=1{,}054\,571\,817\ldots \cdot 10^{-34}\,\mathrm {J\,s} \\&=6{,}582\,119\,569\ldots \cdot 10^{-16}\,\mathrm {eV\,s} \;.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4caff509bf9d46c798cb7714d6200c2e38134fc9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:34.229ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\hbar &=1{,}054\,571\,817\ldots \cdot 10^{-34}\,\mathrm {J\,s} \\&=6{,}582\,119\,569\ldots \cdot 10^{-16}\,\mathrm {eV\,s} \;.\end{aligned}}}"></dd></dl> Oft wird das Produkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d07975b905245e67bb9a6ee394e55e98431d85a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.313ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar c}"> mit der <a href="/wiki/Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"> benötigt, das wegen seiner Dimension Energie mal Länge einen universellen Zusammenhang zwischen Energie- und Längenskala ausdrückt.<a href="#cite_note-12">[12]</a> In den in der <a href="/wiki/Kernphysik" title="Kernphysik">Kernphysik</a> üblichen Einheiten <a href="/wiki/Elektronenvolt#Dezimale_Vielfache" title="Elektronenvolt">MeV</a> und <a href="/wiki/Femtometer" class="mw-redirect" title="Femtometer">fm</a> gilt:<a href="#cite_note-codatahbarmevfm-13">[13]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar c=197{,}326\,9804\ldots \mathrm {MeV\,fm} \;.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>197,326</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>9804</mn> <mo>…</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">V</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">f</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar c=197{,}326\,9804\ldots \mathrm {MeV\,fm} \;.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9708030245c829482f247c8d15ee2bf9c0d44a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:30.954ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \hbar c=197{,}326\,9804\ldots \mathrm {MeV\,fm} \;.}"></dd></dl> Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"> ebenfalls exakt definiert ist, ist auch das Produkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d07975b905245e67bb9a6ee394e55e98431d85a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.313ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar c}"> exakt. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zeichen">Zeichen</h3>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Zeichen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Zeichen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Im <a href="/wiki/Unicode" title="Unicode">Unicode</a> liegen die Symbole für die Planck-Konstante und für die reduzierte Planck-Konstante auf Position U+210E (ℎ)<a href="#cite_note-UnicodeAnm-14">[14]</a> bzw. U+210F (ℏ). <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Historisches_zur_Entdeckung_und_Rezeption">Historisches zur Entdeckung und Rezeption</h2>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Historisches zur Entdeckung und Rezeption" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Historisches zur Entdeckung und Rezeption">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wärmestrahlung_I_(Planck_1899)">Wärmestrahlung I (Planck 1899)</h3>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Wärmestrahlung I (Planck 1899)" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Wärmestrahlung I (Planck 1899)">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <a href="/wiki/Max_Planck" title="Max Planck">Max Planck</a> war 1899 auf eine neue Naturkonstante gestoßen, als er auf der Basis der <a href="/wiki/Statistische_Physik" title="Statistische Physik">Statistischen Physik</a> eine thermodynamische Beschreibung der Wärmestrahlung <a href="/wiki/Schwarzk%C3%B6rper" class="mw-redirect" title="Schwarzkörper">schwarzer Körper</a>, auch <a href="/wiki/Hohlraumstrahlung" class="mw-redirect" title="Hohlraumstrahlung">Hohlraumstrahlung</a> genannt, entwickelte. Nach dem <a href="/wiki/Kirchhoffsches_Strahlungsgesetz" title="Kirchhoffsches Strahlungsgesetz">Kirchhoffschen Gesetz</a> sollten das Spektrum der Wärmestrahlung und dessen Temperaturabhängigkeit, wie sie etwa an Holzkohle beim Übergang von Rotglut zu Weißglut sichtbar ist, für alle ideal schwarzen Körper exakt gleich sein, völlig unabhängig von ihrer sonstigen Beschaffenheit. Die Berechnung des Spektrums galt daher als ein herausragendes ungelöstes Problem der theoretischen Physik. Die Messwerte zeigen im hochfrequenten (d. h. kurzwelligen) Bereich des Spektrums eine charakteristische Abnahme der Intensität zu höheren Frequenzen hin. Diese lässt sich gut durch einen Exponentialfaktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-af/T}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{-af/T}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901f561bc3023e31454c83b59b36f703048a426f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.296ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-af/T}}"> wiedergeben (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> Frequenz, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}"> Temperatur, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> ein fester Parameter, siehe <a href="/wiki/Wiensches_Strahlungsgesetz" title="Wiensches Strahlungsgesetz">Wiensches Strahlungsgesetz</a>), diese Formel aber widerspricht jeder theoretischen Herleitung aus der klassischen Physik. Planck konnte jedoch eine neuartige theoretische Herleitung angeben.<a href="#cite_note-Planck1899-3">[3]</a> Dazu analysierte er das thermische Gleichgewicht zwischen den Wänden eines Hohlraums und den elektromagnetischen Wellen in seinem Innern. Die Wände modellierte er als Ansammlung emittierender und absorbierender Oszillatoren und wählte für deren <a href="/wiki/Entropie" title="Entropie">Entropie</a> eine neuartige geeignete Formel mit zwei freien Parametern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}">. Diesen Parametern kam aufgrund der allgemeingültigen Ableitung nun eine universelle Bedeutung zu. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> erwies sich als der oben im Wienschen Strahlungsgesetz genannte Parameter, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> als Produkt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"> mit der <a href="/wiki/Boltzmann-Konstante" title="Boltzmann-Konstante">Boltzmann-Konstante</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b90d21a1c8fb907fddab1caded3b7f1eeffe3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.607ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}">. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}">, das später in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> umbenannt wurde, gab Planck den Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=6{,}885\cdot 10^{-27}\,\mathrm {erg\,s} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>6,885</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>27</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=6{,}885\cdot 10^{-27}\,\mathrm {erg\,s} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202ada0d8371f078e4201117ff6eb2469bfb8d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.348ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle b=6{,}885\cdot 10^{-27}\,\mathrm {erg\,s} }"> an, der nur um 4 % vom heutigen Wert für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> abweicht. Planck erkannte auch, dass diese neuen Konstanten zusammen mit der Gravitationskonstante und der Lichtgeschwindigkeit ein System von universellen Naturkonstanten bilden, aus denen sich auch für Länge, Masse, Zeit und Temperatur universelle Einheiten bilden lassen, die <a href="/wiki/Planck-Einheiten" title="Planck-Einheiten">Planck-Einheiten</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wärmestrahlung_II_(Planck_1900)">Wärmestrahlung II (Planck 1900)</h3>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Wärmestrahlung II (Planck 1900)" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Wärmestrahlung II (Planck 1900)">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Neue Messungen widersprachen dem Wienschen Strahlungsgesetz und damit auch der von Planck gefundenen Deutung. Sie zeigten, dass im niederfrequenten (d. h. langwelligen, infraroten) Teil der Wärmestrahlung die Intensität zu größeren Frequenzen hin zunächst zunimmt, bevor sie dem Wienschen Strahlungsgesetz gemäß wieder abnimmt. Diese Zunahme entsprach gut dem <a href="/wiki/Rayleigh-Jeans-Gesetz" title="Rayleigh-Jeans-Gesetz">Rayleigh-Jeans-Gesetz</a>, wie es ohne weitere Annahmen aus der klassischen Elektrodynamik und dem <a href="/wiki/Gleichverteilungssatz" title="Gleichverteilungssatz">Gleichverteilungssatz</a> der statistischen Mechanik abgeleitet worden war. Allerdings sagte dieses Gesetz auch eine unbegrenzte Zunahme der Intensität bei weiter steigender Frequenz voraus, was als <a href="/wiki/Ultraviolettkatastrophe" class="mw-redirect" title="Ultraviolettkatastrophe">Ultraviolettkatastrophe</a> bezeichnet wurde und den älteren Messungen im hochfrequenten Teil des Spektrums (s. o.) widersprach. Planck fand (wörtlich) „eine glücklich erratene interpolierende Formel“, die nun mit allen (auch erst danach neu angestellten) Messungen hervorragend übereinstimmte. Theoretisch herleiten konnte er dieses als <a href="/wiki/Plancksches_Strahlungsgesetz" title="Plancksches Strahlungsgesetz">Plancksches Strahlungsgesetz</a> bezeichnete Ergebnis nur, indem er versuchsweise den Exponentialfaktor des Wienschen Gesetzes wie den aus der kinetischen Gastheorie bekannten Boltzmann-Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-{\tfrac {\Delta E}{k_{\mathrm {B} }T}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>T</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{-{\tfrac {\Delta E}{k_{\mathrm {B} }T}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a3d0fe46411fd5f9414ab160f44739cc9be64a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.502ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-{\tfrac {\Delta E}{k_{\mathrm {B} }T}}}}"> interpretierte und darin für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345f0ed5ff6ec6eddc5f908d379f032c52f119c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.711ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta E}"> die je nach Frequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> verschiedenen diskreten Energiestufen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta E=hf}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E=hf}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af59a32dd0f65c1cfbfeb8ad612aa57f4f0faca8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta E=hf}"> ansetzte.<a href="#cite_note-15">[15]</a> Der Vergleich mit der Wienschen Formel zeigte, dass es sich bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> gerade um das erwähnte Produkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=ak_{\mathrm {B} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=ak_{\mathrm {B} }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eafeeed2522b32bad36ba6a8ef7334bc5022a8b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.933ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b=ak_{\mathrm {B} }}"> handelt.<a href="#cite_note-Planck1900-16">[16]</a> Damit schrieb Planck den Oszillatoren die neue Eigenschaft zu, dass sie ihre Energie nur auf <a href="/wiki/Diskret#In_Wissenschaft_und_Technik" title="Diskret">diskrete</a> Weise in endlichen Schritten der Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta E=hf}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E=hf}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af59a32dd0f65c1cfbfeb8ad612aa57f4f0faca8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta E=hf}"> ändern könnten. Er führte damit erstmals eine Quantelung einer scheinbar kontinuierlich variierbaren Größe ein, eine Vorstellung, die der Physik damals, als auch die Atomhypothese teilweise noch heftig angefeindet wurde, völlig fremd war.<a href="#cite_note-Planck1920-17">[17]</a> Doch alle Versuche, eine theoretische Herleitung ohne die Annahme diskreter Energieumsätze zu finden, schlugen fehl. Planck hielt den nicht-kontinuierlichen Charakter des Energieaustausches zunächst nicht für eine Eigenschaft der vermeintlich gut verstandenen Lichtwellen, sondern schrieb ihn ausschließlich den Emissions- und Absorptionsprozessen im Material der Hohlraumwände zu. Mit großer Verspätung wurde ihm 1918 für die Entdeckung der Quantisierung der <a href="/wiki/Nobelpreis_f%C3%BCr_Physik" title="Nobelpreis für Physik">Nobelpreis</a> zuerkannt. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="h_und_die_Lichtquanten">h und die Lichtquanten</h3>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: h und die Lichtquanten" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: h und die Lichtquanten">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <a href="/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a> analysierte 1905 den <a href="/wiki/Photoelektrischer_Effekt" title="Photoelektrischer Effekt">photoelektrischen Effekt</a>, der ebenfalls mit der klassischen Physik unvereinbar ist. Einstein war einer der wenigen Physiker, die die fundamentale Bedeutung von Plancks Arbeit früh erkannten und nutzten. Er konnte den photoelektrischen Effekt mit Hilfe der <a href="/wiki/Quantenhypothese" title="Quantenhypothese">Lichtquantenhypothese</a> erklären, der zufolge auch das Licht Quanteneigenschaften aufweist. Demnach besteht, im Gegensatz zu Plancks damaliger Ansicht, die <a href="/wiki/Elektromagnetische_Welle" title="Elektromagnetische Welle">elektromagnetische Strahlung</a> selbst aus teilchenartigen Objekten, den Lichtquanten, deren Energie je nach Frequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> der Lichtwelle durch die Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=hf}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=hf}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f39fac3593bb1e2dec0282c112c4dff7a99007f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.492ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E=hf}"> gegeben ist.<a href="#cite_note-Einstein1905-18">[18]</a> Später wurde diese Gleichung die Einsteinsche Gleichung für das Lichtquant genannt. Damit erkannte Einstein erstmals den <a href="/wiki/Welle-Teilchen-Dualismus" title="Welle-Teilchen-Dualismus">Welle-Teilchen-Dualismus</a>, ein neues Problem für die Physik. Nicht zuletzt deshalb brauchte auch diese Analyse Jahre, um sich durchzusetzen. 1921 brachte sie Einstein den Nobelpreis ein. <div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="/wiki/Photoelektrischer_Effekt#Bestimmung_von_h_und_der_Austrittsarbeit" title="Photoelektrischer Effekt">Bestimmung von h mit dem photoelektrischen Effekt</a></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="h_und_die_spezifische_Wärme_fester_Körper">h und die spezifische Wärme fester Körper</h3>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: h und die spezifische Wärme fester Körper" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: h und die spezifische Wärme fester Körper">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die Quantisierung der Schwingungsenergie war für <a href="/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a> 1907 auch der Schlüssel zur Erklärung eines weiteren unverstandenen Phänomens, das sich in der Abnahme der <a href="/wiki/Spezifische_W%C3%A4rme" class="mw-redirect" title="Spezifische Wärme">spezifischen Wärme</a> fester Körper zu niedrigen Temperaturen hin zeigt. Bei höheren Temperaturen hingegen stimmten die Messwerte meist gut mit dem von <a href="/wiki/Dulong-Petit" class="mw-redirect" title="Dulong-Petit">Dulong-Petit</a> nach der klassischen Physik vorhergesagten Wert überein. Einstein nahm an, dass die Wärmeenergie im festen Körper in Form von Schwingungen der Atome um ihre Ruhelage vorliegt, und dass auch diese rein mechanische Art von Schwingungen nur in Energiestufen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta E=hf}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E=hf}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af59a32dd0f65c1cfbfeb8ad612aa57f4f0faca8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta E=hf}"> angeregt werden kann. Da die im thermischen Gleichgewicht zwischen den einzelnen Atomen fluktuierenden Energiemengen von der Größenordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{\mathrm {B} }T}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{\mathrm {B} }T}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f94ae5846245c2ada025b27e9ce209d1299ccd5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.243ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{\mathrm {B} }T}"> sind, ergab sich die Möglichkeit, zwischen „hohen“ Temperaturen (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{\mathrm {B} }T\gg hf}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>T</mi> <mo>≫</mo> <mi>h</mi> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{\mathrm {B} }T\gg hf}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9efba70e78754f719f8450de0eccb327f3511c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.475ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{\mathrm {B} }T\gg hf}">) und „tiefen“ Temperaturen (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{\mathrm {B} }T\ll hf}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>T</mi> <mo>≪</mo> <mi>h</mi> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{\mathrm {B} }T\ll hf}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f70b68acc5c6e60684def41ee78c46a40b84ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.475ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{\mathrm {B} }T\ll hf}">) zu unterscheiden. Dann hat die Quantelung bei hohen Temperaturen keine sichtbaren Auswirkungen, während sie bei tiefen Temperaturen die Aufnahme von Wärmeenergie behindert. Die Formel, die Einstein aus dieser Vorstellung heraus ableiten konnte, passte (nach geeigneter Festlegung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> für jeden Festkörper) ausgezeichnet zu den damaligen gemessenen Daten. Trotzdem wurde lange weiter bezweifelt, dass die Plancksche Konstante nicht nur für elektromagnetische Wellen, sondern auch im Bereich der Mechanik wichtig sein könnte. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="h_und_die_Phasenraumzelle">h und die Phasenraumzelle</h3>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=11" title="Abschnitt bearbeiten: h und die Phasenraumzelle" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=11" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: h und die Phasenraumzelle">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Viele Gesetze der Thermodynamik, z. B. zur spezifischen Wärme von Gasen und Festkörpern, aber auch zum irreversiblen Anwachsen der Entropie und zur Form des dadurch erreichten Gleichgewichtszustands, hatten zum Ende des 19. Jahrhunderts durch die <a href="/wiki/Statistische_Mechanik" title="Statistische Mechanik">Statistische Mechanik</a> (vor allem durch <a href="/wiki/Ludwig_Boltzmann" title="Ludwig Boltzmann">Ludwig Boltzmann</a> und <a href="/wiki/Josiah_Willard_Gibbs" title="Josiah Willard Gibbs">Josiah Willard Gibbs</a>) eine mechanische Deutung erfahren. Die statistische Mechanik gründet in der Annahme der ungeordneten Bewegung extrem vieler Atome oder Moleküle und ermittelt mit statistischen Methoden die wahrscheinlichsten Werte von makroskopisch messbaren Größen (wie Dichte, Druck usw.), um den Gleichgewichtszustand zu charakterisieren. Dazu muss zunächst die Gesamtmenge aller möglichen Zustände aller Teilchen mathematisch erfasst werden in einem Zustands- oder <a href="/wiki/Phasenraum" title="Phasenraum">Phasenraum</a>. Legt man einen bestimmten makroskopischen Zustand fest, dann bilden alle Teilchenzustände, in denen das System diesen makroskopischen Zustand zeigt, im Phasenraum ein Teilvolumen. Aus der Größe jedes solchen Teilvolumens wird ermittelt, mit welcher Wahrscheinlichkeit der betreffende makroskopische Zustand vorkommen wird. Mathematisch ist also ein Volumenintegral zu bilden, und dazu braucht man vorübergehend und als Hilfsgröße die Definition eines Volumenelements, auch <a href="/wiki/Phasenraumzelle" class="mw-redirect" title="Phasenraumzelle">Phasenraumzelle</a> genannt. Im Endergebnis aber soll die Phasenraumzelle in der Gleichung nicht mehr auftauchen. Wenn möglich, lässt man ihre Größe in der erhaltenen Formel gegen Null schrumpfen (wie differentielle Größen generell in der <a href="/wiki/Infinitesimalrechnung" class="mw-redirect" title="Infinitesimalrechnung">Infinitesimalrechnung</a>), wenn nicht, sieht man sie als unerwünschten Parameter an (der z. B. eine unbekannte additive Konstante bestimmt) und versucht, nur solche Schlussfolgerungen zu betrachten, die von der Phasenraumzelle unabhängig sind (z. B. Differenzen, in denen sich die Konstante weghebt). Berechnet man auf diese Weise die Entropie eines Gases, heißt die Konstante <a href="/wiki/Ideales_Gas#Entropiekonstante" title="Ideales Gas">Entropiekonstante</a>. <a href="/wiki/Otto_Sackur" title="Otto Sackur">Otto Sackur</a> bemerkte 1913 zu seiner Überraschung, dass man der Phasenraumzelle eine bestimmte Größe geben muss, damit diese Entropiekonstante mit den Messwerten übereinstimmt. Die Phasenraumzelle (pro Teilchen und pro Raumdimension seiner Bewegung) muss gerade die Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> haben. Seiner Veröffentlichung<a href="#cite_note-Sackur-19">[19]</a> gab er den Titel Die universelle Bedeutung des sog. elementaren Wirkungsquantums und Max Planck nannte es von „fundamentaler Bedeutung“, wenn sich die gewagte Hypothese bewahrheiten sollte, dass dies Ergebnis unabhängig von der Art des Gases gilt.<a href="#cite_note-Planck1913-20">[20]</a> Dies war der Fall. Fundamental an diesem Ergebnis ist insbesondere, dass sich hier ein tiefer Grund für das Phänomen der Quantisierung zu zeigen beginnt, der in vollem Umfang allerdings erst Jahre später mit der Quantenstatistik der Strahlung klar wurde. Eine Phasenraumzelle kann man nämlich auch für Schwingungen definieren, und dann ergibt sich aus der Einsteinschen Formel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=hf}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=hf}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f39fac3593bb1e2dec0282c112c4dff7a99007f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.492ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E=hf}">, dass die Phasenraumzelle für das Lichtquant ebenfalls die Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> hat: Die für die Größe der Phasenraumzelle maßgebliche physikalische Größe ist hier die <a href="/wiki/Wirkung_(Physik)" title="Wirkung (Physik)">Wirkung</a>, bei einer Schwingung ist die Wirkung das Produkt aus Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"> und Periode <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T={\tfrac {1}{f}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>f</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T={\tfrac {1}{f}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f91c72a63ac5a3b486e6824dfbb5896ef8e36e9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:6.475ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle T={\tfrac {1}{f}}}">, also folgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ET=h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ET=h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e1f9aa3c3447c0999d4be3fe4027b861be6dbb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.849ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ET=h}">. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="h_und_der_Aufbau_der_Atome">h und der Aufbau der Atome</h3>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=12" title="Abschnitt bearbeiten: h und der Aufbau der Atome" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=12" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: h und der Aufbau der Atome">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die klassische Physik muss bei der Erklärung der Stabilität und Größe der Atome versagen. Denn wenn sie ein stabiles System bestimmter Größe erklären könnte, wäre ein z. B. halb so großes Atom dann nach denselben Gesetzen auch stabil und genau so gut möglich. Anders ausgedrückt: Die Grundformeln der klassischen Physik enthalten nicht genügend verschiedene Naturkonstanten, als dass man aus ihnen allein eine Formel für eine bestimmte Länge gewinnen könnte. Die Planck-Konstante kann diese Lücke schließen, wie schon Planck selber 1899 bemerkte, als er erstmals die Planckschen Einheiten vorstellte (s. o.). Doch weil die Planck-Konstante nach damals überwiegender Meinung nicht in die Mechanik eingeführt werden sollte, kam der erste Versuch, sie zur Erklärung des Atomradius zu nutzen, erst 1910 durch <a href="/wiki/Arthur_Erich_Haas" title="Arthur Erich Haas">Arthur Erich Haas</a> zustande und wurde dann sogar z. T. lächerlich gemacht.<a href="#cite_note-Jammer-21">[21]</a> Haas nahm an, ein Elektron kreise im Feld einer positiven Ladung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +e}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ecb801bbffc4be7840cd8ccf79f13111df9d87d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.892ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +e}">, und er setzte die Umlauffrequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> und die Bindungsenergie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"> dieses Systems ins Verhältnis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=hf}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=hf}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f39fac3593bb1e2dec0282c112c4dff7a99007f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.492ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E=hf}">. Daraus ergibt sich ein Radius im Bereich der aus der Chemie und der kinetischen Gastheorie bekannten Atomradien. <a href="/wiki/Arnold_Sommerfeld" title="Arnold Sommerfeld">Arnold Sommerfeld</a> griff 1911 diese Sichtweise auf und empfahl, h als eine neue grundlegende Naturkonstante zu betrachten, die auch im Atombau wichtig sein könnte, statt weiter zu versuchen, sie aus den Gesetzen anderer Gebiete der Physik herzuleiten. Dazu stellte er versuchsweise die Quantisierungsregel auf, nach der bei jedem Prozess das Wirkungsintegral ein ganzzahliges Vielfaches der Planck-Konstante sein müsse. Demnach wäre also die Wirkung selbst eine gequantelte Größe. In diesem Sinne bemerkte <a href="/wiki/John_William_Nicholson" title="John William Nicholson">John William Nicholson</a>, dass die Planck-Konstante auch direkt die Größe eines Drehimpulses angibt und schlug 1912 erstmals die weitreichende Deutung vor, dass h die kleinstmögliche Änderung des Drehimpulses des Atoms bestimmt. Sein eigenes Atommodell mit mehreren Elektronen, die sich gegenseitig auf ihren Bahnen stabilisieren sollen, blieb allerdings erfolglos. Mehr Erfolg hatte 1913 Niels Bohr, der in seinem <a href="/wiki/Bohrsches_Atommodell" title="Bohrsches Atommodell">Atommodell</a> wie Haas vom Bild eines Elektrons im Coulomb-Feld ausging, aber erstmals auch gebundene Zustände höherer Energie annahm und, vor allem, die Emission von Lichtquanten beim <a href="/wiki/Quantensprung" title="Quantensprung">Quantensprung</a> von einer zur anderen Bahn einführte. Für die Auswahl der erlaubten Bahnen wählte Bohr eine neue, kaum zu begründende Quantenbedingung (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E={\tfrac {n}{2}}hf}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>h</mi> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E={\tfrac {n}{2}}hf}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb7f51584e1c258c620982f51e705b258da20c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:9.314ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle E={\tfrac {n}{2}}hf}"> mit der neuen Hauptquantenzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1,2,3,\dotsc }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1,2,3,\dotsc }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0717d3f3dec2b0fb4f0205e011f7d04d5a3c07d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.806ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=1,2,3,\dotsc }">). Die Übereinstimmung mit den Wellenlängen, die in den Spektren von Systemen mit nur einem Elektron (Wasserstoff und ionisiertes Helium) gemessen worden waren, machte das Modell schnell berühmt. Die tragende Rolle der Planck-Konstante beim inneren Aufbau der Atome war bewiesen. Bohr bemerkte auch, dass die Kreisbahnen zu den verschiedenen Hauptquantenzahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> genauso durch die Bedingung definiert werden könnten, dass der Drehimpuls des Elektrons den Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=nh/2\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=nh/2\pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94cf070d2cd483176d0f75ed998492ca662d53f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.072ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L=nh/2\pi }"> hat. Er hielt aber die Möglichkeit, seine Quantenbedingung durch diese (1912 von Nicholson vorgeschlagene) Drehimpulsquantelung zu begründen, lediglich für einen Weg der Veranschaulichung. Der von Bohr erreichte Fortschritt machte sein Atommodell für die folgenden 13 Jahre zum maßgeblichen Ausgangspunkt der weiteren Entwicklungen, obwohl weitere ähnlich große Fortschritte dann ausblieben. Insbesondere schlugen die Versuche fehl, Atome mit mehreren Elektronen zu verstehen. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="h_und_die_Materiewellen">h und die Materiewellen</h3>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=13" title="Abschnitt bearbeiten: h und die Materiewellen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=13" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: h und die Materiewellen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Der Erfolg des <a href="/wiki/Bohrsches_Atommodell" title="Bohrsches Atommodell">Bohrschen Atommodells</a> seit 1913 verdankte sich zum guten Teil der Bohrschen Quantenbedingung, die von außen hart in die Mechanik eingreift, indem sie dem Elektron nur wenige der mechanisch möglichen Bahnen erlaubt. Aufgrund der anhaltenden Schwierigkeiten mit der weiteren Entwicklung der Atomtheorie wurde nach Möglichkeiten gesucht, die Mechanik selbst so umzugestalten, dass sie die Quantenbedingung von vornherein berücksichtigt. Es sollte die bisherige <a href="/wiki/Quantenhypothese" title="Quantenhypothese">Quantentheorie</a> von einer regelrechten <a href="/wiki/Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> abgelöst werden. Den größten Schritt vor dem wirklichen Beginn der Quantenmechanik leistete <a href="/wiki/Louis_de_Broglie" title="Louis de Broglie">Louis de Broglie</a> 1924, indem er materiellen Teilchen, z. B. Elektronen, <a href="/wiki/Materiewelle" title="Materiewelle">Welleneigenschaften</a> zuschrieb. Er übertrug die für Photonen gefundene Beziehung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=h/\lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=h/\lambda }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f76ec3b598cf22f9742c127f9be31661ab06f6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:8.214ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p=h/\lambda }"> zwischen Impuls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}"> und Wellenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }"> auf die von ihm gedachte <a href="/wiki/Materiewelle" title="Materiewelle">Materiewelle</a> des Elektrons. Damit dehnte er den zunächst nur für Lichtwellen angenommenen Welle-Teilchen-Dualismus auf Teilchen aus. Als unmittelbarer Erfolg zeigt sich, dass die Bohrsche Kreisbahn zur Hauptquantenzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> gerade den Umfang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\lambda }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e963e41a80edb190d6667885e1e77256c58f507" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.75ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\lambda }"> hat, mithin die Materiewelle des Elektrons eine stehende Welle darauf ausbilden kann. Ohne über diese Materiewelle viel sagen zu können, fand <a href="/wiki/Erwin_Schr%C3%B6dinger" title="Erwin Schrödinger">Erwin Schrödinger</a> Anfang 1926 eine Formel für die Ausbreitung dieser Welle in einem Kraftfeld, mit der er die <a href="/wiki/Wellenmechanik" class="mw-redirect" title="Wellenmechanik">Wellenmechanik</a> begründete.<a href="#cite_note-Schroedinger1926-22">[22]</a> Für die stationären Zustände des Wasserstoffatoms konnte er mit dieser <a href="/wiki/Schr%C3%B6dingergleichung" title="Schrödingergleichung">Schrödingergleichung</a> ohne zusätzliche Quantenbedingung genau die bekannten Ergebnisse berechnen. Zusätzlich wurden bekannte Fehler des Bohrschen Modells behoben, z. B. dass das Atom flach sei oder dass der Drehimpuls nicht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=0\hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=0\hbar }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb745726bfe2c72b172c23fb77c332485ecdd6d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L=0\hbar }"> sein könne. Als einzige Naturkonstante tritt in der Schrödingergleichung die Planck-Konstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> auf. Gleiches gilt für die Gleichung, die <a href="/wiki/Werner_Heisenberg" title="Werner Heisenberg">Werner Heisenberg</a> einige Monate zuvor aus einer „quantentheoretischen Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen“ gewann,<a href="#cite_note-Heisenberg1925a-23">[23]</a> womit er die <a href="/wiki/Matrizenmechanik" title="Matrizenmechanik">Matrizenmechanik</a> begründete. Beide Ansätze sind mathematisch äquivalent und werden als Grundgleichungen der eigentlichen Quantenmechanik angesehen. Weiterhin geblieben sind allerdings die Schwierigkeiten, sich ein mit dem Welle-Teilchen-Dualismus verträgliches Bild von den quantenmechanischen Begriffen und Vorgängen zu machen. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Drehimpuls">Drehimpuls</h2>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=14" title="Abschnitt bearbeiten: Drehimpuls" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=14" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Drehimpuls">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die Bezeichnung „Wirkungsquantum“ war für Planck zunächst alleine dadurch motiviert, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> die gleiche <a href="/wiki/Dimension_(Physik)" class="mw-redirect" title="Dimension (Physik)">Dimension</a> hat wie die physikalische Größe der Energie mal Zeit, die als „<a href="/wiki/Wirkung_(Physik)" title="Wirkung (Physik)">Wirkung</a>“ bezeichnet wird. Indes hat der klassische mechanische <a href="/wiki/Bahndrehimpuls" class="mw-redirect" title="Bahndrehimpuls">Bahndrehimpuls</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {l}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {l}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11197b11173a860d006c94534e30e3de4020b96c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.774ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {l}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}}"> die gleiche Dimension, und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar }"> erwies sich ganz allgemein auch als die für den Drehimpuls maßgebliche Naturkonstante. In dem 1913 von <a href="/wiki/Niels_Bohr" title="Niels Bohr">Niels Bohr</a> aufgestellten <a href="/wiki/Bohrsches_Atommodell" title="Bohrsches Atommodell">Atommodell</a> tritt, nachdem es 1917 zum <a href="/wiki/Bohr-sommerfeldsches_Atommodell" title="Bohr-sommerfeldsches Atommodell">Bohr-Sommerfeldschen Atommodell</a> erweitert wurde, der Bahndrehimpulsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {l}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {l}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11197b11173a860d006c94534e30e3de4020b96c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.774ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {l}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}}"> des Elektrons als zweifach gequantelte Größe in Erscheinung. Dem Betrag nach kann er im Bohr-Sommerfeldschen Atommodell wie schon im Bohrschen Modell nur ganzzahlige Vielfache von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar }"> annehmen: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |{\vec {l}}|=l\hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>l</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |{\vec {l}}|=l\hbar }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5eb4a46c677d5746334ed54cc79a698cb64c43d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.679ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle |{\vec {l}}|=l\hbar }"> mit der Drehimpulsquantenzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}">. Zusätzlich gilt die Bedingung, dass die Projektion des Drehimpulsvektors der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l\hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>l</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l\hbar }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbc7b0c14eca196c0478dc2a856e905663c51fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l\hbar }"> auf eine Koordinatenachse nur die Werte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\hbar }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3332777b1bbe6545c0264c014184c5e65f3142db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.347ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m\hbar }"> annehmen kann, wobei die <a href="/wiki/Magnetische_Quantenzahl" class="mw-redirect" title="Magnetische Quantenzahl">magnetische Quantenzahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"> ganzzahlig ist (s. <a href="/wiki/Richtungsquantelung" title="Richtungsquantelung">Richtungsquantelung</a>) und auf den Bereich von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -l}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -l}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37087b426f529e9fae3c4d59c65f336a7ef42450" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.501ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -l}"> bis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +l}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +l}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5965eea731802edb78a1e06e75e4efcde31a0a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.501ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle +l}"> beschränkt ist. Für die Bahnen zur Hauptquantenzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> kann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}"> alle Werte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l=1,2,\dotsc ,n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l=1,2,\dotsc ,n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1de55c7723b4a35e103791b0671c32c303ed127" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.724ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l=1,2,\dotsc ,n}"> haben. In der 1925 von <a href="/wiki/Werner_Heisenberg" title="Werner Heisenberg">Werner Heisenberg</a> und <a href="/wiki/Erwin_Schr%C3%B6dinger" title="Erwin Schrödinger">Erwin Schrödinger</a> begründeten <a href="/wiki/Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> ergibt sich die gleiche Quantelung des Bahndrehimpulses, indem dieser durch den Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\vec {l}}}={\hat {\vec {r}}}\times {\hat {\vec {p}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\vec {l}}}={\hat {\vec {r}}}\times {\hat {\vec {p}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f25ed076880cca19a725f90da7238ca53a0fe5bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.877ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\vec {l}}}={\hat {\vec {r}}}\times {\hat {\vec {p}}}}"> dargestellt wird. Allerdings ist die Länge des Drehimpulsvektors nun <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle |{\vec {l}}|={\sqrt {l(l+1)}}\;\hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>l</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle |{\vec {l}}|={\sqrt {l(l+1)}}\;\hbar }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db31d8bc28fb516f882c4accaa1542e866e6417" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.154ex; height:3.509ex;" alt="{\textstyle |{\vec {l}}|={\sqrt {l(l+1)}}\;\hbar }">. Außerdem gehören im Wasserstoffatom zu den Elektronenzuständen mit Hauptquantenzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> nach quantenmechanischer Berechnung die Bahndrehimpulsquantenzahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l=0,1,\dotsc ,n-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l=0,1,\dotsc ,n-1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1b73d3220fbb20c5d153888cf23ce74b48cba62" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.726ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l=0,1,\dotsc ,n-1}">, diese sind also um 1 kleiner als im Bohr-Sommerfeldschen Modell. Dies stimmt mit allen Beobachtungen überein. Außer dem Bahndrehimpuls können die Teilchen (ebenso Teilchensysteme) auch <a href="/wiki/Spin" title="Spin">Spin</a> besitzen, das ist ein Eigendrehimpuls um ihren eigenen Schwerpunkt, oft mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {s}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {s}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ce74ecbbc0e198d0bb4b1b2ffc0cb9669b72e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {s}}}"> bezeichnet. Auch der Spin wird in Einheiten von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar }"> ausgedrückt. Es gibt Teilchen, deren Spin ein ganzzahliges Vielfaches von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar }"> ist (<a href="/wiki/Boson" title="Boson">Bosonen</a>), aber auch Teilchen mit halbzahligem Vielfachen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar }"> (<a href="/wiki/Fermion" title="Fermion">Fermionen</a>). Die Unterscheidung der zwei Teilchenarten Bosonen und Fermionen ist in der Physik grundlegend. Die Erweiterung von nur ganzzahligen zu halbzahligen Quantenzahlen des Drehimpulses ergibt sich aus den Eigenschaften des quantenmechanischen Spinoperators <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\vec {s}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\vec {s}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dff7e7782a4980184a7ad16887435297c06a64e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.257ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\vec {s}}}}">. Seine drei Komponenten erfüllen miteinander dieselben Vertauschungsrelationen wie die Komponenten des Bahndrehimpulsoperators <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\vec {l}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\vec {l}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e26b8c8170c0deac01269e16afb7d7e3862c1d89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.322ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\vec {l}}}}">. Für den Bahndrehimpuls gilt darüber hinaus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\vec {l}}}\cdot {\hat {\vec {p}}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\vec {l}}}\cdot {\hat {\vec {p}}}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074a78c556b518f7cd721662667f07b6d88671e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.621ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\vec {l}}}\cdot {\hat {\vec {p}}}=0}">, dies gilt jedoch nicht für den Spin.<a href="#cite_note-Noack-24">[24]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Unschärferelation">Unschärferelation</h2>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=15" title="Abschnitt bearbeiten: Unschärferelation" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=15" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Unschärferelation">Quelltext bearbeiten</a>]</div> In der Heisenbergschen Vertauschungsrelation tritt die (reduzierte) Planck-Konstante als Wert des <a href="/wiki/Vertauschungsrelation#Anwendung_in_der_Physik" class="mw-redirect" title="Vertauschungsrelation">Kommutators</a> zwischen <a href="/wiki/Ortsoperator" title="Ortsoperator">Orts-</a> und <a href="/wiki/Impulsoperator" title="Impulsoperator">Impulsoperator</a> (in derselben Koordinatenachse) auf: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}\right]\;=\;\mathrm {i} \hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>=</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}\right]\;=\;\mathrm {i} \hbar }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ef602dd20511ee18da33ec379c7cf5de4072f6b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.531ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}\right]\;=\;\mathrm {i} \hbar }"></dd></dl> Als Folge gilt für das Produkt aus Orts- und Impulsunschärfe die <a href="/wiki/Heisenbergsche_Unsch%C3%A4rferelation" title="Heisenbergsche Unschärferelation">Heisenbergsche Unschärferelation</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta x\,\Delta p_{x}\;\geq \;{\frac {\hbar }{2}}\;.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>≥</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x\,\Delta p_{x}\;\geq \;{\frac {\hbar }{2}}\;.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8969adf4aedccadbe3dfc4eb9c9995153ed01ce4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.754ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \Delta x\,\Delta p_{x}\;\geq \;{\frac {\hbar }{2}}\;.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=16" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=16" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li>Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg: The Historical Development of Quantum Theory, Vol. 1, part 1, Springer Verlag 1982, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540906428" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-90642-8</a></li> <li>Domenico Giulini: „Es lebe die Unverfrorenheit!“ – Albert Einstein und die Begründung der Quantentheorie. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://arxiv.org/pdf/physics/0512034.pdf">online</a> (PDF; 453 kB). In: Herbert Hunziker: Der jugendliche Einstein und Aarau. Birkhäuser 2005, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3764374446" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-7643-7444-6</a>.</li> <li>Enrico G. Beltrametti: One Hundred Years of h. Italian Physical Soc., Bologna 2002, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/8874380038" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 88-7438-003-8</a>.</li> <li>Abraham Pais: Introducing Atoms and their Nuclei. In: Laurie M. Brown u. a. (Hrsg.): Twentieth Century Physics. Vol. I, IOP Publishing Ltd. AIP Press. Inc. 1995, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0750303530" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-7503-0353-0</a>.</li> <li>Abraham Pais: Inward Bound, Oxford University Press 1986, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0198519974" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-19-851997-4</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=17" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=17" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/16px-Wiktfavicon_en.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/24px-Wiktfavicon_en.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/32px-Wiktfavicon_en.svg.png 2x" data-file-width="16" data-file-height="16" /><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Wirkungsquantum" class="extiw" title="wikt:Wirkungsquantum">Wiktionary: Wirkungsquantum</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div> <ul><li>Armin Hermann: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.roro-seiten.de/physik/extra/planck/planckartikel.html">Wie Max Planck auf die Idee der Quantentheorie kam.</a></li> <li>Jörg Resag: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.joergresag.privat.t-online.de/mybkhtml/chap34.htm">Was ist das Wirkungsquantum?</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.leifiphysik.de/quantenphysik/quantenobjekt-photon/versuche/h-bestimmung-mit-leds">h-Bestimmung mit LEDs.</a> Einfaches Experiment zur Bestimmung der Planck-Konstante auf Schülerniveau.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.arzt.mynetcologne.de/Dioden%20Experiment%20Photoeffekt.pdf">Dioden-Beleuchtungsversuch</a> (PDF; 208 kB) Ermittlung der Planck-Konstante durch Beleuchtung mit verschiedenfarbigen Leuchtdioden.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.mpg.de/19247229/was-entdeckte-max-planck">„Energie in Paketen“ – Was entdeckte Planck? Ein Stück Draht und die Revolution der Physik</a> Max Planck Gesellschaft 2004</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2>[<a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&veaction=edit&section=18" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Planck-Konstante&action=edit&section=18" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Aus dem in natürlichen Einheiten geltenden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar =1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar =1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5f56ce258c75510831a8a14f3e2970ef0a1467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.567ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar =1}"> folgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h=2\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h=2\pi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a53004173b98dffbe3271e56f8ba189efce9f16" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.932ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h=2\pi }">. </li> <li id="cite_note-CGPM-26-1-2">↑ <a href="#cite_ref-CGPM-26-1_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-CGPM-26-1_2-1">b</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.bipm.org/en/committees/cg/cgpm/26-2018/resolution-1">Resolution 1 of the 26th CGPM. On the revision of the International System of Units (SI).</a> <a href="/wiki/Internationales_B%C3%BCro_f%C3%BCr_Ma%C3%9F_und_Gewicht" title="Internationales Büro für Maß und Gewicht">Bureau International des Poids et Mesures</a>, 2018, abgerufen am 12. April 2021 (englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APlanck-Konstante&rft.title=Resolution+1+of+the+26th+CGPM.+On+the+revision+of+the+International+System+of+Units+%28SI%29&rft.description=Resolution+1+of+the+26th+CGPM.+On+the+revision+of+the+International+System+of+Units+%28SI%29&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.bipm.org%2Fen%2Fcommittees%2Fcg%2Fcgpm%2F26-2018%2Fresolution-1&rft.publisher=%5B%5BInternationales+B%C3%BCro+f%C3%BCr+Ma%C3%9F+und+Gewicht%7CBureau+International+des+Poids+et+Mesures%5D%5D&rft.date=2018&rft.language=en">  „The SI is the system of units in which [...] the Planck constant h is <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r198689956"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r198372224">6.62607015e-34 J s [...].“ </li> <li id="cite_note-Planck1899-3">↑ <a href="#cite_ref-Planck1899_3-0">a</a> <a href="#cite_ref-Planck1899_3-1">b</a> <a href="#cite_ref-Planck1899_3-2">c</a> Max Planck: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://bibliothek.bbaw.de/digitalisierte-sammlungen/akademieschriften/ansicht-akademieschriften?tx_bbaw_academicpublicationshow%5Baction%5D=show&tx_bbaw_academicpublicationshow%5Bcontroller%5D=AcademicPublication%5CVolume&tx_bbaw_academicpublicationshow%5Bpage%5D=493&tx_bbaw_academicpublicationshow%5Bvolume%5D=259&cHash=c7602819d499de1b47d8c876f6222018">Über irreversible Strahlungsvorgänge.</a> Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1899 - Erster Halbband (Verl. d. Kgl. Akad. d. Wiss., Berlin 1899). Seite 440–480. Planck verwendet hier zwei universelle Konstanten „a“ und „b“. Die Konstante b wird heute als Planck-Konstante h bezeichnet, und a ist der Quotient aus Planck-Konstante und Boltzmann-Konstante (h/kB). Auf Seite 479f führt Planck aus, dass h zusammen mit den Naturkonstanten c und G Grundlage für ein universelles Einheitensystem sein kann (siehe <a href="/wiki/Planck-Einheiten" title="Planck-Einheiten">Planck-Einheiten</a>). </li> <li id="cite_note-Bonitz-4"><a href="#cite_ref-Bonitz_4-0">↑</a> Michael Bonitz: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.theo-physik.uni-kiel.de/~bonitz/D/vorles_15ws/planck08_mb.pdf">Max Planck, das Wirkumsquantum und die moderne Physik.</a> (PDF; 990 kB). </li> <li id="cite_note-Sturm-5"><a href="#cite_ref-Sturm_5-0">↑</a> Günter Sturm: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.quanten.de/100jahrequanten.html">100 Jahre Quantentheorie.</a> Bei: quanten.de. Sonderausgabe vom 14. Dezember 2000. </li> <li id="cite_note-Planck1906-6"><a href="#cite_ref-Planck1906_6-0">↑</a> Max Planck: Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung. Verlag Joh. Amb. Barth, Leipzig 1906, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=AhYXAAAAYAAJ&pg=PA154">S. 154</a>. </li> <li id="cite_note-Planck1943-7"><a href="#cite_ref-Planck1943_7-0">↑</a> Max Planck: Zur Geschichte der Auffindung des physikalischen Wirkungsquantums. Naturwissenschaften Bd. 31, Nr. 14 (1943), S. 153–159. </li> <li id="cite_note-codaatahevhz-8"><a href="#cite_ref-codaatahevhz_8-0">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?hev">CODATA Value: Planck constant in eV/Hz.</a> In: The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 15. April 2020 (englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APlanck-Konstante&rft.title=CODATA+Value%3A+Planck+constant+in+eV%2FHz&rft.description=CODATA+Value%3A+Planck+constant+in+eV%2FHz&rft.identifier=http%3A%2F%2Fphysics.nist.gov%2Fcgi-bin%2Fcuu%2FValue%3Fhev&rft.publisher=National+Institute+of+Standards+and+Technology&rft.language=en">  </li> <li id="cite_note-codata2014-all-seite1-9"><a href="#cite_ref-codata2014-all-seite1_9-0">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://physics.nist.gov/cuu/pdf/all_2014.pdf">Fundamental Physical Constants — Extensive Listing.</a> (PDF; 128 kB) Archiv 2014. In: The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty. National Institute of Standards and Technology, 2014, S. 1, abgerufen am 23. Mai 2019 (englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APlanck-Konstante&rft.title=Fundamental+Physical+Constants+%E2%80%94+Extensive+Listing&rft.description=Fundamental+Physical+Constants+%E2%80%94+Extensive+Listing&rft.identifier=https%3A%2F%2Fphysics.nist.gov%2Fcuu%2Fpdf%2Fall_2014.pdf&rft.publisher=National+Institute+of+Standards+and+Technology&rft.date=2014&rft.language=en">  </li> <li id="cite_note-Dirac_1926-10"><a href="#cite_ref-Dirac_1926_10-0">↑</a> Das Symbol <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar }"> als Abkürzung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\frac {h}{2\pi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\frac {h}{2\pi }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1942a85538c66708f5f022176df6ca476501ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.6ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\frac {h}{2\pi }}}"> wurde im Jahr 1926 von P. A. M. Dirac eingeführt. Ein kurzer Abschnitt zur Historie findet sich z. B. in M. Jammer: The Conceptual Development of Quantum Mechanics. McGraw-Hill, New York 1966, S. 294. Diracs Originalarbeit: P. A. M. Dirac: Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom. Proc. Roy. Soc. A, 110 (1926), S. 561–579. </li> <li id="cite_note-codata2018-hbar-11"><a href="#cite_ref-codata2018-hbar_11-0">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?hbar">CODATA Value: reduced Planck constant.</a> In: The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 15. April 2020 (englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APlanck-Konstante&rft.title=CODATA+Value%3A+reduced+Planck+constant&rft.description=CODATA+Value%3A+reduced+Planck+constant&rft.identifier=http%3A%2F%2Fphysics.nist.gov%2Fcgi-bin%2Fcuu%2FValue%3Fhbar&rft.publisher=National+Institute+of+Standards+and+Technology&rft.language=en">  </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> J. Bleck-Neuhaus: Elementare Teilchen. 2. Auflage, Springer Verlag 2013, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783642325786" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-642-32578-6</a>, Seite 43–45. </li> <li id="cite_note-codatahbarmevfm-13"><a href="#cite_ref-codatahbarmevfm_13-0">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?hbcmevf">CODATA Value: reduced Planck constant times c in MeV fm.</a> In: The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 15. April 2020 (englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3APlanck-Konstante&rft.title=CODATA+Value%3A+reduced+Planck+constant+times+c+in+MeV+fm&rft.description=CODATA+Value%3A+reduced+Planck+constant+times+c+in+MeV+fm&rft.identifier=http%3A%2F%2Fphysics.nist.gov%2Fcgi-bin%2Fcuu%2FValue%3Fhbcmevf&rft.publisher=National+Institute+of+Standards+and+Technology&rft.language=en">  </li> <li id="cite_note-UnicodeAnm-14"><a href="#cite_ref-UnicodeAnm_14-0">↑</a> Das Zeichen U+210E ist kein spezielles Zeichen für die Planck-Konstante, sondern ist allgemein ein mathematisches, schräg gestelltes h. Die übrigen Kleinbuchstaben belegen die Codepunkte U+1D445 mathematical italic small a bis U+1D467 mathematical italic small z im <a href="/wiki/Unicodeblock_Mathematische_alphanumerische_Symbole" title="Unicodeblock Mathematische alphanumerische Symbole">Unicodeblock Mathematische alphanumerische Symbole</a>. Der für das h vorgesehene Codepunkt U+1D455 wurde unbelegt gelassen. Dass das h die Position U+210E und einen gänzlich anderen Namen hat, hat historische Gründe. siehe <a rel="nofollow" class="external text" href="http://unicode.org/charts//PDF/Unicode-3.1/U31-1D400.pdf">Unicode Chart 1D400–1D7FF</a> (PDF; 503 kB) </li> <li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Verschiedentlich findet sich die unbelegte Aussage, Planck habe den Buchstaben <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> von Hilfsgröße abgeleitet. </li> <li id="cite_note-Planck1900-16"><a href="#cite_ref-Planck1900_16-0">↑</a> Max Planck: Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum. Verhandlungen der <a href="/wiki/Deutsche_Physikalische_Gesellschaft" title="Deutsche Physikalische Gesellschaft"> Deutschen Physikalischen Gesellschaft</a> 2 (1900) Nr. 17, S. 237–245, Berlin (vorgetragen am 14. Dezember 1900). </li> <li id="cite_note-Planck1920-17"><a href="#cite_ref-Planck1920_17-0">↑</a> “[…] here was something entirely new, never before heard of, which seemed called upon to basically revise all our physical thinking, built as this was, since the establishment of the infinitesimal calculus by Leibniz and Newton, upon the acceptance of the continuity of all causative connections.” „[…] hier war etwas völlig Neues, noch nie vorher Gehörtes, das berufen zu sein schien, unser ganzes physikalisches Denken, welches seit der Einführung der Infinitesimalrechnung durch Leibniz und Newton auf der Annahme der Kontinuität aller kausalen Zusammenhänge beruht, grundlegend zu revidieren.“ Max Planck, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1918/planck/lecture/">Nobelpreisvortrag</a>, 2. Juni 1920 </li> <li id="cite_note-Einstein1905-18"><a href="#cite_ref-Einstein1905_18-0">↑</a> Albert Einstein: <cite style="font-style:italic">Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Annalen der Physik</cite>. Band 17, 1905, S. S 133 und S. 143, <a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1002/andp.19053220607">10.1002/andp.19053220607</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Planck-Konstante&rft.atitle=%C3%9Cber+einen+die+Erzeugung+und+Verwandlung+des+Lichtes+betreffenden+heuristischen+Gesichtspunkt&rft.au=Albert+Einstein&rft.btitle=Annalen+der+Physik&rft.date=1905&rft.doi=10.1002%2Fandp.19053220607&rft.genre=book&rft.pages=S+133+und+S.+143&rft.volume=17" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-Sackur-19"><a href="#cite_ref-Sackur_19-0">↑</a> Otto Sackur: <cite style="font-style:italic">Die universelle Bedeutung des sog. elementaren Wirkungsquantums</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Annalen der Physik</cite>. Band 345, 1913, S. 67, <a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1002/andp.19133450103">10.1002/andp.19133450103</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Planck-Konstante&rft.atitle=Die+universelle+Bedeutung+des+sog.+elementaren+Wirkungsquantums&rft.au=Otto+Sackur&rft.btitle=Annalen+der+Physik&rft.date=1913&rft.doi=10.1002%2Fandp.19133450103&rft.genre=book&rft.pages=67&rft.volume=345" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-Planck1913-20"><a href="#cite_ref-Planck1913_20-0">↑</a> Max Planck: Die gegenwärtige Bedeutung der Quantenhypothese für die kinetische Gastheorie. Phys. Zeitschr. Bd. 14 (1913) S. 258. </li> <li id="cite_note-Jammer-21"><a href="#cite_ref-Jammer_21-0">↑</a> Max Jammer: <cite style="font-style:italic">The Conceptual Development of Quantum Mechanics</cite>. McGraw-Hill, New York 1966.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Planck-Konstante&rft.au=Max+Jammer&rft.btitle=The+Conceptual+Development+of+Quantum+Mechanics&rft.date=1966&rft.genre=book&rft.place=New+York&rft.pub=McGraw-Hill" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-Schroedinger1926-22"><a href="#cite_ref-Schroedinger1926_22-0">↑</a> E. Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem I. Annalen der Physik 79 (1926), S. 361–376. </li> <li id="cite_note-Heisenberg1925a-23"><a href="#cite_ref-Heisenberg1925a_23-0">↑</a> W. Heisenberg: Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen. In: Zeitschrift für Physik. Band 33, 1925, S. 879–893. </li> <li id="cite_note-Noack-24"><a href="#cite_ref-Noack_24-0">↑</a> <a href="/wiki/Cornelius_Noack" title="Cornelius Noack">Cornelius Noack</a>: <cite style="font-style:italic">Bemerkungen zur Quantentheorie des Bahndrehimpulses</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physikalische Blätter</cite>. Band 41, Nr. 8, 1985, S. 283–285 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.itp.uni-bremen.de/~noack/orb-ang.pdf">siehe Homepage</a> [PDF; 154 kB; abgerufen am 26. November 2012]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Planck-Konstante&rft.atitle=Bemerkungen+zur+Quantentheorie+des+Bahndrehimpulses&rft.au=Cornelius+Noack&rft.date=1985&rft.genre=journal&rft.issue=8&rft.jtitle=Physikalische+Bl%C3%A4tter&rft.pages=283-285&rft.volume=41" style="display:none">  </li> </ol></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Planck-Konstante&oldid=249046147">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Planck-Konstante&oldid=249046147</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Physikalische_Konstante" title="Kategorie:Physikalische Konstante">Physikalische Konstante</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Quantenphysik" title="Kategorie:Quantenphysik">Quantenphysik</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Max_Planck_als_Namensgeber" title="Kategorie:Max Planck als Namensgeber">Max Planck als Namensgeber</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > Meine Werkzeuge </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item">Nicht angemeldet</li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n">Diskussionsseite</a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y">Beiträge</a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Planck-Konstante" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. 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title="Планк константти – Tschuwaschisch" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Планк константти" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="Tschuwaschisch" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Plancks_konstant" title="Plancks konstant – Dänisch" lang="da" hreflang="da" data-title="Plancks konstant" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="Dänisch" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A3%CF%84%CE%B1%CE%B8%CE%B5%CF%81%CE%AC_%CF%84%CE%BF%CF%85_%CE%A0%CE%BB%CE%B1%CE%BD%CE%BA" title="Σταθερά του Πλανκ – Griechisch" lang="el" hreflang="el" data-title="Σταθερά του Πλανκ" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="Griechisch" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en 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mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Plancki_konstant" title="Plancki konstant – Estnisch" lang="et" hreflang="et" data-title="Plancki konstant" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="Estnisch" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Plancken_konstantea" title="Plancken konstantea – Baskisch" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Plancken konstantea" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="Baskisch" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AB%D8%A7%D8%A8%D8%AA_%D9%BE%D9%84%D8%A7%D9%86%DA%A9" title="ثابت پلانک – Persisch" lang="fa" hreflang="fa" data-title="ثابت پلانک" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="Persisch" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi 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href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Tairiseach_Planck" title="Tairiseach Planck – Irisch" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Tairiseach Planck" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="Irisch" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Planck" title="Constante de Planck – Galicisch" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Constante de Planck" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="Galicisch" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A2_%D7%A4%D7%9C%D7%90%D7%A0%D7%A7" title="קבוע פלאנק – Hebräisch" lang="he" hreflang="he" data-title="קבוע פלאנק" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="Hebräisch" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%B2%E0%A5%88%E0%A4%82%E0%A4%95_%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%A5%E0%A4%BF%E0%A4%B0%E0%A4%BE%E0%A4%82%E0%A4%95" title="प्लैंक स्थिरांक – Hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="प्लैंक स्थिरांक" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="Hindi" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Planckova_konstanta" title="Planckova konstanta – Kroatisch" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Planckova konstanta" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="Kroatisch" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Planck-%C3%A1lland%C3%B3" title="Planck-állandó – Ungarisch" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Planck-állandó" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="Ungarisch" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8A%D5%AC%D5%A1%D5%B6%D5%AF%D5%AB_%D5%B0%D5%A1%D5%BD%D5%BF%D5%A1%D5%BF%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Պլանկի հաստատուն – Armenisch" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Պլանկի հաստատուն" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="Armenisch" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Konstanta_Planck" title="Konstanta Planck – Indonesisch" lang="id" hreflang="id" data-title="Konstanta Planck" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="Indonesisch" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_Planck" title="Costante di Planck – Italienisch" lang="it" hreflang="it" data-title="Costante di Planck" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="Italienisch" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AF%E5%AE%9A%E6%95%B0" title="プランク定数 – Japanisch" lang="ja" hreflang="ja" data-title="プランク定数" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Japanisch" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%9E%E1%83%9A%E1%83%90%E1%83%9C%E1%83%99%E1%83%98%E1%83%A1_%E1%83%9B%E1%83%A3%E1%83%93%E1%83%9B%E1%83%98%E1%83%95%E1%83%90" title="პლანკის მუდმივა – Georgisch" lang="ka" hreflang="ka" data-title="პლანკის მუდმივა" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="Georgisch" class="interlanguage-link-target">ქართული</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BA_%D1%82%D2%B1%D1%80%D0%B0%D2%9B%D1%82%D1%8B%D1%81%D1%8B" title="Планк тұрақтысы – Kasachisch" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Планк тұрақтысы" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="Kasachisch" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%94%8C%EB%9E%91%ED%81%AC_%EC%83%81%EC%88%98" title="플랑크 상수 – Koreanisch" lang="ko" hreflang="ko" data-title="플랑크 상수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Koreanisch" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BA_%D1%82%D1%83%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%83%D0%BB%D1%83%D0%B3%D1%83" title="Планк туруктуулугу – Kirgisisch" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Планк туруктуулугу" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="Kirgisisch" class="interlanguage-link-target">Кыргызча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Constans_Planckiana" title="Constans Planckiana – Latein" lang="la" hreflang="la" data-title="Constans Planckiana" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="Latein" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Planko_konstanta" title="Planko konstanta – Litauisch" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Planko konstanta" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="Litauisch" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Planka_konstante" title="Planka konstante – Lettisch" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Planka konstante" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="Lettisch" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B0" title="Планкова константа – Mazedonisch" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Планкова константа" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="Mazedonisch" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AA%E0%B5%8D%E0%B4%B2%E0%B4%BE%E0%B4%99%E0%B5%8D%E0%B4%95%E0%B5%8D_%E0%B4%B8%E0%B5%8D%E0%B4%A5%E0%B4%BF%E0%B4%B0%E0%B4%BE%E0%B4%99%E0%B5%8D%E0%B4%95%E0%B4%82" title="പ്ലാങ്ക് സ്ഥിരാങ്കം – Malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="പ്ലാങ്ക് സ്ഥിരാങ്കം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="Malayalam" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BA%D0%B8%D0%B9%D0%BD_%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1%82%D0%BC%D0%BE%D0%BB" title="Планкийн тогтмол – Mongolisch" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Планкийн тогтмол" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="Mongolisch" class="interlanguage-link-target">Монгол</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%B2%E0%A4%BE%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%9A%E0%A4%BE_%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%A5%E0%A4%BF%E0%A4%B0%E0%A4%BE%E0%A4%82%E0%A4%95" title="प्लांकचा स्थिरांक – Marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="प्लांकचा स्थिरांक" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="Marathi" class="interlanguage-link-target">मराठी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Pemalar_Planck" title="Pemalar Planck – Malaiisch" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Pemalar Planck" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="Malaiisch" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mzn mw-list-item"><a href="https://mzn.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D9%84%D8%A7%D9%86%DA%A9_%D8%AB%D8%A7%D8%A8%D8%AA" title="پلانک ثابت – Masanderanisch" lang="mzn" hreflang="mzn" data-title="پلانک ثابت" data-language-autonym="مازِرونی" data-language-local-name="Masanderanisch" class="interlanguage-link-target">مازِرونی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Constante_van_Planck" title="Constante van Planck – Niederländisch" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Constante van Planck" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Niederländisch" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Planckkonstanten" title="Planckkonstanten – Norwegisch (Nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Planckkonstanten" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Norwegisch (Nynorsk)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Plancks_konstant" title="Plancks konstant – Norwegisch (Bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Plancks konstant" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="Norwegisch (Bokmål)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Constanta_de_Planck" title="Constanta de Planck – Okzitanisch" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Constanta de Planck" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="Okzitanisch" class="interlanguage-link-target">Occitan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%AA%E0%A8%B2%E0%A9%88%E0%A8%82%E0%A8%95_%E0%A8%B8%E0%A8%A5%E0%A8%BF%E0%A8%B0%E0%A8%BE%E0%A8%82%E0%A8%95" title="ਪਲੈਂਕ ਸਥਿਰਾਂਕ – Punjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਪਲੈਂਕ ਸਥਿਰਾਂਕ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="Punjabi" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pcd mw-list-item"><a href="https://pcd.wikipedia.org/wiki/Constante_d%27Planck" title="Constante d'Planck – Picardisch" lang="pcd" hreflang="pcd" data-title="Constante d'Planck" data-language-autonym="Picard" data-language-local-name="Picardisch" class="interlanguage-link-target">Picard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Sta%C5%82a_Plancka" title="Stała Plancka – Polnisch" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Stała Plancka" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="Polnisch" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Costanta_%C3%ABd_Planck" title="Costanta ëd Planck – Piemontesisch" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Costanta ëd Planck" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piemontesisch" class="interlanguage-link-target">Piemontèis</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D9%84%D8%A7%D9%86%DA%A9_%D9%86%D9%85%D8%A8%D8%B1" title="پلانک نمبر – Westliches Panjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="پلانک نمبر" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Westliches Panjabi" class="interlanguage-link-target">پنجابی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Planck" title="Constante de Planck – Portugiesisch" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Constante de Planck" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="Portugiesisch" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Constanta_Planck" title="Constanta Planck – Rumänisch" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Constanta Planck" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="Rumänisch" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Постоянная Планка – Russisch" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Постоянная Планка" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Russisch" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Custanti_di_Planck" title="Custanti di Planck – Sizilianisch" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Custanti di Planck" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="Sizilianisch" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Planckova_konstanta" title="Planckova konstanta – Serbokroatisch" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Planckova konstanta" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="Serbokroatisch" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Planck_constant" title="Planck constant – einfaches Englisch" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Planck constant" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="einfaches Englisch" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Planckova_kon%C5%A1tanta" title="Planckova konštanta – Slowakisch" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Planckova konštanta" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Slowakisch" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Planckova_konstanta" title="Planckova konstanta – Slowenisch" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Planckova konstanta" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Slowenisch" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B0" title="Планкова константа – Serbisch" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Планкова константа" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="Serbisch" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Plancks_konstant" title="Plancks konstant – Schwedisch" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Plancks konstant" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="Schwedisch" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%AA%E0%B1%8D%E0%B0%B2%E0%B0%BE%E0%B0%82%E0%B0%95%E0%B1%8D_%E0%B0%B8%E0%B1%8D%E0%B0%A5%E0%B0%BF%E0%B0%B0%E0%B0%BE%E0%B0%82%E0%B0%95%E0%B0%82" title="ప్లాంక్ స్థిరాంకం – Telugu" lang="te" hreflang="te" data-title="ప్లాంక్ స్థిరాంకం" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="Telugu" class="interlanguage-link-target">తెలుగు</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th 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