Velocidad angular - Wikipedia, la enciclopedia libre

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vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Véase_también"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Véase también</span> </div> </a> <ul id="toc-Véase_también-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referencias" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referencias"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Referencias</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Referencias-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Referencias</span> </button> <ul id="toc-Referencias-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Bibliografía" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografía"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.1</span> <span>Bibliografía</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografía-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contenidos" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar a la tabla de contenidos" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Cambiar a la tabla de contenidos</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Velocidad angular</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir a un artículo en otro idioma. Disponible en 69 idiomas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-69" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">69 idiomas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Hoeksnelheid" title="Hoeksnelheid (afrikáans)" lang="af" hreflang="af" data-title="Hoeksnelheid" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikáans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%D8%B1%D8%B9%D8%A9_%D8%B2%D8%A7%D9%88%D9%8A%D8%A9" title="سرعة زاوية (árabe)" lang="ar" hreflang="ar" data-title="سرعة زاوية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Velocid%C3%A1_angular" title="Velocidá angular (asturiano)" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Velocidá angular" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiano" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Bucaq_s%C3%BCr%C9%99ti" title="Bucaq sürəti (azerbaiyano)" lang="az" hreflang="az" data-title="Bucaq sürəti" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaiyano" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%86%D1%8C" title="Вуглавая скорасць (bielorruso)" lang="be" hreflang="be" data-title="Вуглавая скорасць" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="bielorruso" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%85%D1%83%D1%82%D0%BA%D0%B0%D1%81%D1%8C%D1%86%D1%8C" title="Кутавая хуткасьць (Belarusian (Taraškievica orthography))" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Кутавая хуткасьць" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%AA%D0%B3%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82" title="Ъглова скорост (búlgaro)" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Ъглова скорост" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%95%E0%A7%8C%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%95_%E0%A6%AC%E0%A7%87%E0%A6%97" title="কৌণিক বেগ (bengalí)" lang="bn" hreflang="bn" data-title="কৌণিক বেগ" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalí" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Ugaona_brzina" title="Ugaona brzina (bosnio)" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Ugaona brzina" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosnio" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Velocitat_angular" title="Velocitat angular (catalán)" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Velocitat angular" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%DB%86%D8%B4%DB%95_%D8%AE%DB%8E%D8%B1%D8%A7%DB%8C%DB%8C" title="گۆشە خێرایی (kurdo sorani)" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="گۆشە خێرایی" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="kurdo sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/%C3%9Ahlov%C3%A1_rychlost" title="Úhlová rychlost (checo)" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Úhlová rychlost" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%C4%95%D1%82%D0%B5%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D1%85%C4%83%D0%B2%C4%83%D1%80%D1%82%D0%BB%C4%83%D1%85" title="Кĕтесле хăвăртлăх (chuvasio)" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Кĕтесле хăвăртлăх" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="chuvasio" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Cyflymder_onglaidd" title="Cyflymder onglaidd (galés)" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Cyflymder onglaidd" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="galés" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Vinkelhastighed" title="Vinkelhastighed (danés)" lang="da" hreflang="da" data-title="Vinkelhastighed" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danés" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Winkelgeschwindigkeit" title="Winkelgeschwindigkeit (alemán)" lang="de" hreflang="de" data-title="Winkelgeschwindigkeit" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemán" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%93%CF%89%CE%BD%CE%B9%CE%B1%CE%BA%CE%AE_%CF%84%CE%B1%CF%87%CF%8D%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1" title="Γωνιακή ταχύτητα (griego)" lang="el" hreflang="el" data-title="Γωνιακή ταχύτητα" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="griego" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_velocity" title="Angular velocity (inglés)" lang="en" hreflang="en" data-title="Angular velocity" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglés" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Angula_rapido" title="Angula rapido (esperanto)" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Angula rapido" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Nurkkiirus" title="Nurkkiirus (estonio)" lang="et" hreflang="et" data-title="Nurkkiirus" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonio" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu 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class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur_vitesse_angulaire" title="Vecteur vitesse angulaire (francés)" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Vecteur vitesse angulaire" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francés" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Velocidade_angular" title="Velocidade angular (gallego)" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Velocidade angular" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="gallego" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%94%D7%99%D7%A8%D7%95%D7%AA_%D7%96%D7%95%D7%95%D7%99%D7%AA%D7%99%D7%AA" title="מהירות זוויתית (hebreo)" lang="he" hreflang="he" data-title="מהירות זוויתית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreo" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A3%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97" title="कोणीय वेग (hindi)" lang="hi" hreflang="hi" data-title="कोणीय वेग" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Kutna_brzina" title="Kutna brzina (croata)" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Kutna brzina" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croata" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B1%D5%B6%D5%AF%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%A1%D6%80%D5%A1%D5%A3%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Անկյունային արագություն (armenio)" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Անկյունային արագություն" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armenio" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Kecepatan_sudut" title="Kecepatan sudut (indonesio)" lang="id" hreflang="id" data-title="Kecepatan sudut" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Hornhra%C3%B0i" title="Hornhraði (islandés)" lang="is" hreflang="is" data-title="Hornhraði" data-language-autonym="Íslenska" 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სიჩქარე (georgiano)" lang="ka" hreflang="ka" data-title="კუთხური სიჩქარე" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="georgiano" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D2%B1%D1%80%D1%8B%D1%88%D1%82%D1%8B%D2%9B_%D0%B6%D1%8B%D0%BB%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B4%D1%8B%D2%9B" title="Бұрыштық жылдамдық (kazajo)" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Бұрыштық жылдамдық" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazajo" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B0%81%EC%86%8D%EB%8F%84" title="각속도 (coreano)" lang="ko" hreflang="ko" data-title="각속도" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Velocitas_angularis" title="Velocitas angularis (latín)" lang="la" hreflang="la" data-title="Velocitas angularis" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latín" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Kampinis_greitis" title="Kampinis greitis (lituano)" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Kampinis greitis" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituano" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Le%C5%86%C4%B7iskais_%C4%81trums" title="Leņķiskais ātrums (letón)" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Leņķiskais ātrums" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letón" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%B1%D1%80%D0%B7%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Аголна брзина (macedonio)" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Аголна брзина" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedonio" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%95%E0%B5%8B%E0%B4%A3%E0%B5%80%E0%B4%AF_%E0%B4%AA%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B4%B5%E0%B5%87%E0%B4%97%E0%B4%82" title="കോണീയ പ്രവേഗം (malayálam)" lang="ml" hreflang="ml" data-title="കോണീയ പ്രവേഗം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayálam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%A8%E0%A5%80%E0%A4%AF_%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97" title="कोनीय वेग (maratí)" lang="mr" hreflang="mr" data-title="कोनीय वेग" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="maratí" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Halaju_sudut" title="Halaju sudut (malayo)" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Halaju sudut" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malayo" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Hoeksnelheid" title="Hoeksnelheid (neerlandés)" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Hoeksnelheid" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Vinkelfart" title="Vinkelfart (noruego nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Vinkelfart" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruego nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Vinkelhastighet" title="Vinkelhastighet (noruego bokmal)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Vinkelhastighet" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="noruego bokmal" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87_k%C4%85towa" title="Prędkość kątowa (polaco)" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Prędkość kątowa" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_angular" title="Velocidade angular (portugués)" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Velocidade angular" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugués" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Vitez%C4%83_unghiular%C4%83" title="Viteză unghiulară (rumano)" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Viteză unghiulară" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumano" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B3%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Угловая скорость (ruso)" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Угловая скорость" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ruso" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Kutna_brzina" title="Kutna brzina (serbocroata)" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Kutna brzina" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbocroata" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Angular_velocity" title="Angular velocity (Simple English)" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Angular velocity" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Uhlov%C3%A1_r%C3%BDchlos%C5%A5" title="Uhlová rýchlosť (eslovaco)" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Uhlová rýchlosť" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovaco" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Kotna_hitrost" title="Kotna hitrost (esloveno)" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Kotna hitrost" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Spidhi_yepaGonyo" title="Spidhi yepaGonyo (shona)" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Spidhi yepaGonyo" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="shona" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Shpejt%C3%ABsia_k%C3%ABndore" title="Shpejtësia këndore (albanés)" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Shpejtësia këndore" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanés" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B3%D0%B0%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%D0%B1%D1%80%D0%B7%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Угаона брзина (serbio)" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Угаона брзина" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Vinkelhastighet" title="Vinkelhastighet (sueco)" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Vinkelhastighet" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%95%E0%B1%8B%E0%B0%A3%E0%B1%80%E0%B0%AF_%E0%B0%B5%E0%B1%87%E0%B0%97%E0%B0%82" title="కోణీయ వేగం (telugu)" lang="te" hreflang="te" data-title="కోణీయ వేగం" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="telugu" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/A%C3%A7%C4%B1sal_h%C4%B1z" title="Açısal hız (turco)" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Açısal hız" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%87%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%87%D0%B0_%D1%82%D0%B8%D0%B7%D0%BB%D0%B5%D0%BA" title="Почмакча тизлек (tártaro)" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Почмакча тизлек" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tártaro" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%88%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BA%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Кутова швидкість (ucraniano)" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Кутова швидкість" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%DB%8C%D8%A7%D8%A6%DB%8C_%D8%B3%D9%85%D8%AA%D8%A7%D8%B1" title="زاویائی سمتار (urdu)" lang="ur" hreflang="ur" data-title="زاویائی سمتار" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Burchak_tezligi" title="Burchak tezligi (uzbeko)" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Burchak tezligi" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbeko" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/V%E1%BA%ADn_t%E1%BB%91c_g%C3%B3c" title="Vận tốc góc (vietnamita)" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Vận tốc góc" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="角速度 (chino wu)" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="角速度" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="chino wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="角速度 (chino)" lang="zh" hreflang="zh" data-title="角速度" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chino" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Kak-sok-t%C5%8D%CD%98" title="Kak-sok-tō͘ (chino min nan)" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Kak-sok-tō͘" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="chino min nan" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E9%80%9F%E5%BA%A6" title="角速度 (cantonés)" lang="yue" hreflang="yue" data-title="角速度" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonés" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q161635#sitelinks-wikipedia" title="Editar enlaces interlingüísticos" class="wbc-editpage">Editar enlaces</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espacios de nombres"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Velocidad_angular" title="Ver la página de contenido [c]" accesskey="c"><span>Artículo</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discusi%C3%B3n:Velocidad_angular" rel="discussion" title="Discusión acerca de la página [t]" accesskey="t"><span>Discusión</span></a></li> </ul> </div> </div> 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Para otras acepciones, véase <a href="/wiki/Pulso_(desambiguaci%C3%B3n)" class="mw-disambig" title="Pulso (desambiguación)">Pulso (desambiguación)</a>. </div> <p>La <b>velocidad angular</b> es una medida de la velocidad de <a href="/wiki/Movimiento_de_rotaci%C3%B3n" title="Movimiento de rotación">rotación</a>. Se define como el ángulo girado por una unidad de tiempo<sup id="cite_ref-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> y se designa mediante la letra griega <b><a href="/wiki/%CE%A9" title="Ω">ω</a></b>. Su unidad en el <a href="/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades" title="Sistema Internacional de Unidades">Sistema Internacional</a> es el <a href="/wiki/Radi%C3%A1n" title="Radián">radián</a> por <a href="/wiki/Segundo" title="Segundo">segundo</a> (rad/s). </p><p>Aunque se la define para el movimiento de rotación del sólido rígido, también se la emplea en la cinemática de la partícula o <a href="/wiki/Punto_material" title="Punto material">punto material</a>, especialmente cuando esta se mueve sobre una <a href="/wiki/%C3%93rbita" title="Órbita">trayectoria cerrada</a> (circular, elíptica, etc). La magnitud del pseudovector representa la <i>velocidad angular</i>, la tasa a la que el objeto rota o gira, y su dirección es <a href="/wiki/Perpendicular" class="mw-redirect" title="Perpendicular">normal</a> respecto al <a href="/wiki/Plano_de_rotaci%C3%B3n" title="Plano de rotación">plano de rotación</a> instantáneo o desplazamiento angular. La orientación de la velocidad angular se especifica convencionalmente mediante la <a href="/wiki/Regla_de_la_mano_derecha" title="Regla de la mano derecha">regla de la mano derecha</a>.<sup id="cite_ref-EM1_2-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-EM1-2"><span class="corchete-llamada">[</span>2<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Existen dos tipos de velocidad angular. </p> <ul><li><b>Velocidad angular orbital</b> se refiere a la rapidez con que un objeto puntual <a href="/wiki/Rotaci%C3%B3n_alrededor_de_un_eje_fijo" class="mw-redirect" title="Rotación alrededor de un eje fijo">revoluciona alrededor de un origen fijo</a>, es decir, la tasa de cambio temporal de su posición angular con respecto al <a href="/wiki/Origen_(matem%C3%A1ticas)" class="mw-redirect" title="Origen (matemáticas)">origen</a></li> <li><b>Velocidad angular de giro</b> se refiere a la rapidez con que un cuerpo rígido gira con respecto a su <a href="/wiki/Centro_y_eje_instant%C3%A1neo_de_rotaci%C3%B3n" title="Centro y eje instantáneo de rotación">centro de rotación</a> y es independiente de la elección del origen, en contraste con la velocidad angular orbital.</li></ul> <p>En general, la velocidad angular tiene <a href="/wiki/An%C3%A1lisis_dimensional" title="Análisis dimensional">dimensión</a> de ángulo por unidad de tiempo (el ángulo sustituye a la <a href="/wiki/Distancia" title="Distancia">distancia</a> de la <a href="/wiki/Velocidad" title="Velocidad">velocidad</a> lineal con el tiempo en común). La <a href="/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades" title="Sistema Internacional de Unidades">unidad SI</a> de velocidad angular es <a href="/wiki/Radianes_por_segundo" class="mw-redirect" title="Radianes por segundo">radianes por segundo</a>,<sup id="cite_ref-3" class="reference separada"><a href="#cite_note-3"><span class="corchete-llamada">[</span>3<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> siendo el <a href="/wiki/Radi%C3%A1n" title="Radián">radián</a> una <a href="/wiki/Cantidad_adimensional" class="mw-redirect" title="Cantidad adimensional">cantidad adimensional</a>, por lo que las unidades SI de velocidad angular pueden enumerarse como s<sup>−1</sup>. La velocidad angular se suele representar con el símbolo <a href="/wiki/Omega" class="mw-redirect" title="Omega">omega</a> (<b><span class="texhtml">ω</span></b>, a veces <b><span class="texhtml">Ω</span></b>). Por convención, la velocidad angular positiva indica rotación en sentido anti<a href="/wiki/Horario" title="Horario">horario</a>, mientras que la negativa es en sentido horario. </p><p>Por ejemplo, un satélite <a href="/wiki/%C3%93rbita_geos%C3%ADncrona" title="Órbita geosíncrona">geoestacionaria</a> completa una órbita por día sobre el <a href="/wiki/Ecuador" title="Ecuador">ecuador</a>, o 360 grados por 24 horas, y tiene velocidad angular <i>ω</i> = (360°)/(24 h) = 15°/h, o (2π rad)/(24 h) ≈ 0,26 rad/h. Si el ángulo se mide en radianes, la velocidad lineal es el radio por la velocidad angular, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v=r\omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=r\omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b5b5c066f5be8dee84c4cb33dea2383de8b012" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.721ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v=r\omega }"></span>. Con un radio orbital de 42.000 km desde el centro de la Tierra, la velocidad del satélite en el espacio es, por tanto, "v" = 42.000 km x 0,26/h ≈ 11.000 <a href="/wiki/Kil%C3%B3metro_por_hora" title="Kilómetro por hora">km/h</a>. La velocidad angular es positiva, ya que el satélite se desplaza hacia el Este con la <a href="/wiki/Rotaci%C3%B3n_de_la_Tierra" title="Rotación de la Tierra">rotación de la Tierra</a> (en el sentido contrario a las agujas del reloj desde arriba del polo norte). </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Velocidad_angular_en_un_movimiento_plano_circular">Velocidad angular en un movimiento plano circular</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Velocidad_angular&action=edit&section=1" title="Editar sección: Velocidad angular en un movimiento plano circular"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Moglfm0508_movimiento_rotacion.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Moglfm0508_movimiento_rotacion.jpg/220px-Moglfm0508_movimiento_rotacion.jpg" decoding="async" width="220" height="227" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6f/Moglfm0508_movimiento_rotacion.jpg 1.5x" data-file-width="275" data-file-height="284" /></a><figcaption>Movimiento de rotación. Trayectoria circular de un punto del sólido alrededor del eje de rotación.</figcaption></figure> <p>Para un objeto que gira alrededor de un eje, en cada punto a lo largo del trayecto, el objeto tiene la misma velocidad angular. La velocidad tangencial de cualquier punto es proporcional a su distancia del eje de rotación. Las unidades de velocidad angular son los radianes/segundo, de modo que su valor instantáneo queda definido por la <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">derivada</a>: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {\theta } }{\Delta t}}={\frac {d\theta }{dt}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {\theta } }{\Delta t}}={\frac {d\theta }{dt}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666dc432f5dec5324ece926f8bbdeb75d260edb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:19.462ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \omega =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {\theta } }{\Delta t}}={\frac {d\theta }{dt}}}"></span> </p> </blockquote> <p>En un <a href="/wiki/Movimiento_circular_uniforme" title="Movimiento circular uniforme">movimiento circular uniforme</a>, dado que una revolución completa representa 2π radianes, tenemos: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83d568ea42a217729c25a88371b1bee271e901f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.746ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f}"></span> </p> </blockquote> <p>donde <i>T</i> es el <a href="/wiki/Per%C3%ADodo_de_oscilaci%C3%B3n" title="Período de oscilación">período</a> (tiempo en dar una vuelta completa) y <i>f</i> es la <a href="/wiki/Frecuencia_(f%C3%ADsica)" class="mw-redirect" title="Frecuencia (física)">frecuencia</a> (número de revoluciones o vueltas por unidad de tiempo). De modo que </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {v}{r}}\qquad \Rightarrow \qquad v=\omega r\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>v</mi> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> <mspace width="2em" /> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mspace width="2em" /> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mi>ω</mi> <mi>r</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {v}{r}}\qquad \Rightarrow \qquad v=\omega r\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34dbf0e2345d8cf97a34a87e78e4d00625fb4564" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:32.949ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {v}{r}}\qquad \Rightarrow \qquad v=\omega r\,}"></span> </p> </blockquote> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Velocidad_angular_en_un_movimiento_plano_general">Velocidad angular en un movimiento plano general</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Velocidad_angular&action=edit&section=2" title="Editar sección: Velocidad angular en un movimiento plano general"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En el caso de un movimiento plano no circular general hay que definir la velocidad angular siempre respecto de un punto. Por ejemplo, al estudiar la órbita de la tierra respecto del sol, el punto más apropiado será el foco de la elipse donde se encuentra el sol. </p><p>La velocidad angular será la tasa de variación del ángulo subtendido del vector de posición <b>r</b> respecto del punto dado, y su valor numérico dependerá del punto escogido. </p><p>Dado que el movimiento radial desde el punto dado no contribuye a aumentar el ángulo subtendido, solo la componente tangencial lo hará. Por tanto podemos decir </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega ={\frac {v\cdot \sin \theta }{r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mrow> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega ={\frac {v\cdot \sin \theta }{r}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37bccf96a851615da84ea85cb72a1814fe6e112" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.52ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \omega ={\frac {v\cdot \sin \theta }{r}}}"></span> </p> </blockquote> <p>Multiplicando arriba y abajo por el radio vector: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega ={\frac {v\cdot r\cdot \sin \theta }{r^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>⋅</mo> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega ={\frac {v\cdot r\cdot \sin \theta }{r^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a70639d27c3f0701517541ef5b6d8ce3b51100f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:15.248ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \omega ={\frac {v\cdot r\cdot \sin \theta }{r^{2}}}}"></span> </p> </blockquote> <p>Lo que apunta a que puede escribirse en función del producto vectorial <b>r</b> x <b>v</b> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vector_velocidad_angular">Vector velocidad angular</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Velocidad_angular&action=edit&section=3" title="Editar sección: Vector velocidad angular"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Archivo:Vector-omega.svg" class="mw-file-description" title="El vector velocidad angular obedece a la regla de la mano derecha."><img alt="El vector velocidad angular obedece a la regla de la mano derecha." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Vector-omega.svg/207px-Vector-omega.svg.png" decoding="async" width="207" height="147" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Vector-omega.svg/311px-Vector-omega.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Vector-omega.svg/414px-Vector-omega.svg.png 2x" data-file-width="207" data-file-height="147" /></a><figcaption>El vector velocidad angular obedece a la <a href="/wiki/Regla_de_la_mano_derecha" title="Regla de la mano derecha">regla de la mano derecha</a>.</figcaption></figure> <p>Se define el vector velocidad angular <b>ω</b>, como un <a href="/wiki/Vector_axial" title="Vector axial">vector axial</a> paralelo al eje de rotación, cuyo módulo es el valor de la velocidad angular anteriormente definida, o sea </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span style="float: right; width: 10%; text-align: right;">(<cite id="Equation_1" style="font-style: normal;"><a href="#Eqnref_1">1</a></cite>)</span><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\omega }={d\theta \over dt}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ω</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\omega }={d\theta \over dt}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62f4ecb609c9c9fa62fca8ab681da84fbf207291" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:7.687ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\omega }={d\theta \over dt}}"></span> </p> </blockquote> <p>, cuya dirección es la del eje de giro y cuyo sentido coincide con el del avance de un tornillo que girase en el sentido en que lo hace el sólido (<a href="/wiki/Regla_de_la_mano_derecha" title="Regla de la mano derecha">regla de la mano derecha</a>). Si designamos por <b>e</b> al <a href="/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)" class="mw-redirect" title="Vector (física)">vector</a> que indica la dirección del eje, y cuya dirección sea la definida por la regla anterior, tenemos </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span style="float: right; width: 10%; text-align: right;">(<cite id="Equation_2" style="font-style: normal;"><a href="#Eqnref_2">2</a></cite>)</span><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\omega } ={d\theta \over dt}\mathbf {e} \Rightarrow \omega \mathbf {e} ={d\mathbf {\theta } \over dt}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ω</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\omega } ={d\theta \over dt}\mathbf {e} \Rightarrow \omega \mathbf {e} ={d\mathbf {\theta } \over dt}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd1a4c69b2395eea82601afa712fe91b2828728" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:21.438ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\omega } ={d\theta \over dt}\mathbf {e} \Rightarrow \omega \mathbf {e} ={d\mathbf {\theta } \over dt}}"></span> </p> </blockquote> <p>donde hemos considerado al elemento de ángulo d<i>θ</i> como un vector d<b>θ</b>, de módulo d<i>θ</i>, cuya dirección está definida por la regla del tornillo. Llamando <b>e</b><sub>t</sub> y <b>e</b><sub>n</sub> a los vectores tangencial y normal, respectivamente, a la trayectoria del punto genérico P, la velocidad de ese punto puede expresarse en la forma </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span style="float: right; width: 10%; text-align: right;">(<cite id="Equation_3" style="font-style: normal;"><a href="#Eqnref_3">3</a></cite>)</span><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{t}=r\omega (\mathbf {e} _{n}\times \mathbf {e} )=(r\mathbf {e} _{n})\times (\omega \mathbf {e} )={\overrightarrow {\text{PO}}}\times \mathbf {\omega } }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mtext>PO</mtext> <mo>→</mo> </mover> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ω</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{t}=r\omega (\mathbf {e} _{n}\times \mathbf {e} )=(r\mathbf {e} _{n})\times (\omega \mathbf {e} )={\overrightarrow {\text{PO}}}\times \mathbf {\omega } }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4340dd5d19ebe345f9c74ddbfeda5bd291727a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-top: -0.398ex; width:48.226ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{t}=r\omega (\mathbf {e} _{n}\times \mathbf {e} )=(r\mathbf {e} _{n})\times (\omega \mathbf {e} )={\overrightarrow {\text{PO}}}\times \mathbf {\omega } }"></span> </p> </blockquote> <p>de modo que podemos afirmar: </p> <dl><dd><dl><dd><i>La velocidad <b>v</b> de un punto genérico P del sólido rígido en rotación es igual al momento del vector velocidad angular <b>ω</b> con respecto a dicho punto P.</i></dd></dl></dd></dl> <p>Así pues, conocida la velocidad angular <b>ω</b> queda determinada la distribución de velocidades en todos los puntos del sólido rígido en rotación. La expresión [8] puede escribirse en la forma </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span style="float: right; width: 10%; text-align: right;">(<cite id="Equation_4" style="font-style: normal;"><a href="#Eqnref_4">4</a></cite>)</span><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times {\overrightarrow {\text{OP}}}=\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ω</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mtext>OP</mtext> <mo>→</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ω</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times {\overrightarrow {\text{OP}}}=\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b12dbbfd84a8c9b93fb437fcaa8dc3e86492a0e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.398ex; width:20.803ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times {\overrightarrow {\text{OP}}}=\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} }"></span> </p> </blockquote> <p>donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {\text{OP}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mtext>OP</mtext> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {\text{OP}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5c36f52fce4f1d5ae6e4a85482625d97cc642a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.398ex; width:7.722ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {\text{OP}}}}"></span> es el vector de posición del punto genérico P con respecto a un punto cualquiera del eje de rotación. </p><p>Las definiciones anteriores exigen que el vector velocidad angular <b>ω</b> tenga carácter deslizante sobre el eje de rotación. </p><p>Es importante destacar que el «vector» velocidad angular no es un vector polar, sino un <a href="/wiki/Pseudovector" class="mw-redirect" title="Pseudovector">pseudovector</a> o <a href="/wiki/Vector_axial" title="Vector axial">vector axial</a>. Por esta razón, en <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividad" title="Teoría de la relatividad">teoría de la relatividad</a>, donde el espacio-tiempo tiene cuatro dimensiones, no puede ser representado por ningún <a href="/wiki/Tetravector" class="mw-redirect" title="Tetravector">tetravector</a>, razón por la cual en teoría de la relatividad la velocidad angular se representa por un <a href="/w/index.php?title=2-tensor&action=edit&redlink=1" class="new" title="2-tensor (aún no redactado)">2-tensor</a> antisimétrico, que tiene que satisfacer las leyes de transformación adecuadas bajo las <a href="/wiki/Transformaciones_de_Lorentz" class="mw-redirect" title="Transformaciones de Lorentz">transformaciones de Lorentz</a>. En la siguiente sección se dan algunos detalles adicionales, sobre por qué la velocidad angular se puede representar por un tensor antisimétrico. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Velocidad_angular_de_un_triedro">Velocidad angular de un triedro</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Velocidad_angular&action=edit&section=4" title="Editar sección: Velocidad angular de un triedro"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Esto vale tanto para un <a href="/wiki/Sistema_de_referencia" title="Sistema de referencia">sistema de referencia</a> rotatorio como para un sólido rígido </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tensor_velocidad_angular">Tensor velocidad angular</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Velocidad_angular&action=edit&section=5" title="Editar sección: Tensor velocidad angular"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="VT rellink"><span style="font-size:88%">Véase también:</span> <i><a href="/wiki/Matriz_antisim%C3%A9trica" title="Matriz antisimétrica">Matriz antisimétrica</a></i></div> <p>La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación. Cualquier vector tridimensional que gira alrededor de un eje con velocidad angular <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ω</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e066a68ceb355e3314fb2b97f1c0c421ca6074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}}"></span> (de acuerdo a las definiciones anteriores) satisface: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112347f48d0b2d27f182352024ed03f6d60a2ae1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.513ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }"></span> </p> </blockquote> <p>Puede introducirse ahora el <b>tensor velocidad angular</b> asociado con la velocidad angular anterior <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb8af7a2f64af348e559652b6b1f0d2415ba444" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.669ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}"></span> como </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {W} (t)={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}(t)&\omega _{y}(t)\\\omega _{z}(t)&0&-\omega _{x}(t)\\-\omega _{y}(t)&\omega _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {W} (t)={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}(t)&\omega _{y}(t)\\\omega _{z}(t)&0&-\omega _{x}(t)\\-\omega _{y}(t)&\omega _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6134933bb0ea4a066305d7f365d1e633e9c8e74e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:38.906ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {W} (t)={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}(t)&\omega _{y}(t)\\\omega _{z}(t)&0&-\omega _{x}(t)\\-\omega _{y}(t)&\omega _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}}"></span></dd></dl> </blockquote> <p>Este tensor antisimétrico <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {W} (t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {W} (t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54aa2585ad291b524a3b30aafdff4e310e43380" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {W} (t)}"></span> actúa como si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b738957bce28ed952badfbd5ff19dc780e986b4d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.738ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )}"></span> fuera un operador: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {r} (t)=\mathbf {W} (t)\mathbf {r} (t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {r} (t)=\mathbf {W} (t)\mathbf {r} (t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a37215a7830bcda2828c1a6c8171db6379441d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.17ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {r} (t)=\mathbf {W} (t)\mathbf {r} (t)}"></span> </p> </blockquote> <p>Dada una matriz de rotación <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {W} (t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {W} (t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54aa2585ad291b524a3b30aafdff4e310e43380" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {W} (t)}"></span>, se puede obtener en cada instante el <b>tensor velocidad angular</b> W como se muestra a continuación, se cumple que: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {r} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {r} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b279a633aa2e226235c75b41fa66fcea100a7928" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.445ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {r} }"></span> </p> </blockquote> <p>Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} (t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} (t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51cf52a15248b767a9e868def07b2add687b60a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.29ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} (t)}"></span> cuyas tres columnas son tres vectores unitarios mutuamente perpendiculares, podemos escribir la relación: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span style="float: right; width: 10%; text-align: right;">(<cite id="Equation_*" style="font-style: normal;"><a href="#Eqnref_*">*</a></cite>)</span><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {R} (t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {R} (t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d401cb64ecb26498c380bc0cb7a23a3be47ea5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:18.897ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {R} (t)}"></span> </p> </blockquote> <p>Y por tanto la velocidad angular se puede definir simplemente como: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}\cdot \mathbf {R} ^{T}(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}\cdot \mathbf {R} ^{T}(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/319aeec7e98f5463a44e67ba66aaabdabe1cab1f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.286ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}\cdot \mathbf {R} ^{T}(t)}"></span> </p> </blockquote> <p>Otra forma de obtener directamente la velocidad angular de una rotación es derivando la relación: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {R} (t)\mathbf {R} ^{T}(t)=\mathbf {\mathrm {Id} } \quad \Rightarrow {\dot {\mathbf {R} }}(t)\mathbf {R} ^{T}(t)+\mathbf {R} (t){\dot {\mathbf {R} }}^{T}(t)=\mathbf {0} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">I</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> </mrow> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {R} (t)\mathbf {R} ^{T}(t)=\mathbf {\mathrm {Id} } \quad \Rightarrow {\dot {\mathbf {R} }}(t)\mathbf {R} ^{T}(t)+\mathbf {R} (t){\dot {\mathbf {R} }}^{T}(t)=\mathbf {0} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ec6e6a77b9bcb5ee538b541cd05f390a876587" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:50.523ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {R} (t)\mathbf {R} ^{T}(t)=\mathbf {\mathrm {Id} } \quad \Rightarrow {\dot {\mathbf {R} }}(t)\mathbf {R} ^{T}(t)+\mathbf {R} (t){\dot {\mathbf {R} }}^{T}(t)=\mathbf {0} }"></span> </p> </blockquote> <p>De donde se obtiene que la matriz antisimétrica definida como: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {W} (t):={\dot {\mathbf {R} }}(t)\mathbf {R} ^{T}(t)=-\mathbf {R} (t){\dot {\mathbf {R} }}(t)^{T}(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {W} (t):={\dot {\mathbf {R} }}(t)\mathbf {R} ^{T}(t)=-\mathbf {R} (t){\dot {\mathbf {R} }}(t)^{T}(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c7a94e613af2b326cbec2bb4fbc7daba381987" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.1ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {W} (t):={\dot {\mathbf {R} }}(t)\mathbf {R} ^{T}(t)=-\mathbf {R} (t){\dot {\mathbf {R} }}(t)^{T}(t)}"></span> </p> </blockquote> <p>Coincide con la definición dada antes para el <b>tensor velocidad angular</b>. Puede demostrarse que cualquier grupo uniparamétrico de matrices de rotación puede obtenerse como la <a href="/wiki/Curva_integral" class="mw-redirect" title="Curva integral">curva integral</a> de la siguiente ecuación diferencial (<span id="Eqnref_*" class="plainlinks neverexpand"><a class="external text" href="https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angular#Equation_*">*</a></span>) cuya solución se puede expresar como exponencial de una matriz como: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {R} (t)=\mathbf {R} (0)\cdot \exp \left(\int _{0}^{t}\mathbf {W} (t)dt\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">W</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {R} (t)=\mathbf {R} (0)\cdot \exp \left(\int _{0}^{t}\mathbf {W} (t)dt\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00943b2e57dc3f8fa15b191279560ac95ebd7d9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:32.523ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {R} (t)=\mathbf {R} (0)\cdot \exp \left(\int _{0}^{t}\mathbf {W} (t)dt\right)}"></span> </p> </blockquote> <p>La definición de la velocidad angular como tensor permite generalizar el concepto de velocidad angular a un <a href="/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo" title="Espacio euclídeo">espacio euclídeo</a> de dimensión <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1a276509225c16a268cab878dbbd1856d919d9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.151ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}"></span> para <i>n</i> > 3. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Velocidad_angular_de_giro_de_un_cuerpo_rígido_o_marco_de_referencia"><span id="Velocidad_angular_de_giro_de_un_cuerpo_r.C3.ADgido_o_marco_de_referencia"></span>Velocidad angular de giro de un cuerpo rígido o marco de referencia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Velocidad_angular&action=edit&section=6" title="Editar sección: Velocidad angular de giro de un cuerpo rígido o marco de referencia"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dado un marco de rotación de tres vectores de coordenadas unitarias, los tres deben tener la misma velocidad angular en cada instante. En dicho marco, cada vector puede considerarse como una partícula en movimiento con radio escalar constante. </p><p>El marco de rotación aparece en el contexto de <a href="/wiki/Cuerpo_r%C3%ADgido" title="Cuerpo rígido">cuerpos rígidos</a>, y se han desarrollado herramientas especiales para él: la velocidad angular de espín puede describirse como un vector o, equivalentemente, como un <a href="/wiki/Tensor" title="Tensor">tensor</a>. </p><p>De acuerdo con la definición general, la velocidad angular de espín de un marco se define como la velocidad angular orbital de cualquiera de los tres vectores (el mismo para todos) con respecto a su propio centro de rotación. La suma de los vectores de velocidad angular de los cuadros también se define mediante la suma vectorial habitual (composición de movimientos lineales), y puede ser útil para descomponer la rotación como en un <a href="/wiki/Card%C3%A1n" title="Cardán">cardán</a>. Todas las componentes del vector pueden calcularse como derivadas de los parámetros que definen los cuadros en movimiento (ángulos de Euler o matrices de rotación). Como en el caso general, la suma es conmutativa: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{2}+\omega _{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{2}+\omega _{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24202680abd0394e617714943efe183b8c961bb6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.779ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{2}+\omega _{1}}"></span>. </p><p>Por <a href="/wiki/Teorema_de_rotaci%C3%B3n_de_Euler" title="Teorema de rotación de Euler">teorema de rotación de Euler</a>, cualquier marco en rotación posee un <a href="/wiki/Eje_instant%C3%A1neo_de_rotaci%C3%B3n" class="mw-redirect" title="Eje instantáneo de rotación">eje instantáneo de rotación</a>, que es la dirección del vector velocidad angular, y la magnitud de la velocidad angular es consistente con el caso bidimensional. </p><p>Si elegimos un punto de referencia <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {R}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {R}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7945da372695d49cd4229e2a84ac6dc8ae6c99b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.047ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {R}}}"></span> fijo en el cuerpo rígido, la velocidad <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7417b4d4033f20326c0276fa50739a2cf1bb9338" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.345ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}}"></span> de cualquier punto del cuerpo viene dada por </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {\boldsymbol {R}}}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">R</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {\boldsymbol {R}}}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510d9c60d7486b940cb41851dfb7e5363f3d1602" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.767ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {\boldsymbol {R}}}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}})}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Componentes_a_partir_de_los_vectores_base_de_un_marco_de_referencia_cuerpo-fijo">Componentes a partir de los vectores base de un marco de referencia cuerpo-fijo</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Velocidad_angular&action=edit&section=7" title="Editar sección: Componentes a partir de los vectores base de un marco de referencia cuerpo-fijo"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Considere un cuerpo rígido que gira alrededor de un punto fijo O. Construya un marco de referencia en el cuerpo que consiste en un conjunto ortonormal de vectores <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b830763a1f552a9c87e7a97e3fb34924c92f3ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.906ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}"></span> fijados al cuerpo y con su origen común en O. El vector velocidad angular de espín tanto del marco como del cuerpo alrededor de O es entonces </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\right)\mathbf {e} _{3}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\right)\mathbf {e} _{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\right)\mathbf {e} _{3}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\right)\mathbf {e} _{2},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13364bd5520f9314b0b357acad4e9c0b2df1d43b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.236ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\right)\mathbf {e} _{3}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\right)\mathbf {e} _{2},}"></span></dd></dl> <p>donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5370d4e6c24e68caa0f1c97021681b804678d916" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.2ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}"></span> es la tasa de cambio temporal del vector marco <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {e} _{i},i=1,2,3,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {e} _{i},i=1,2,3,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02c393dca3251539e0558bec0fdf5a84c8ce1dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.162ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {e} _{i},i=1,2,3,}"></span> debido a la rotación. </p><p>Esta fórmula es incompatible con la expresión de la velocidad angular <i>orbital</i> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55305ae9923ae62ddbfe3f817bc7bd28675a3556" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:11.604ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}},}"></span></dd></dl> <p>ya que esa fórmula define la velocidad angular para un <i>único punto</i> alrededor de O, mientras que la fórmula de esta sección se aplica a un marco o cuerpo rígido. En el caso de un cuerpo rígido un <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb8af7a2f64af348e559652b6b1f0d2415ba444" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.669ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}"></span> tiene que dar cuenta del movimiento de <i>todas</i> las partículas en el cuerpo. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Componentes_a_partir_de_ángulos_de_Euler"><span id="Componentes_a_partir_de_.C3.A1ngulos_de_Euler"></span>Componentes a partir de ángulos de Euler</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Velocidad_angular&action=edit&section=8" title="Editar sección: Componentes a partir de ángulos de Euler"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Eulerframe.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Eulerframe.svg/220px-Eulerframe.svg.png" decoding="async" width="220" height="248" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Eulerframe.svg/330px-Eulerframe.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Eulerframe.svg/440px-Eulerframe.svg.png 2x" data-file-width="688" data-file-height="775" /></a><figcaption>Diagrama que muestra el marco de Euler en verde</figcaption></figure> <p>Las componentes del pseudovector velocidad angular de espín fueron calculadas por primera vez por <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> utilizando sus <a href="/wiki/%C3%81ngulos_de_Euler" title="Ángulos de Euler">ángulos de Euler</a> y el uso de un marco intermedio: </p> <ul><li>Un eje del marco de referencia (el eje de precesión)</li> <li>La línea de nodos del marco móvil con respecto al marco de referencia (eje de nutación)</li> <li>Un eje del marco móvil (eje de rotación intrínseco).</li></ul> <p>Euler demostró que las proyecciones del pseudovector velocidad angular sobre cada uno de estos tres ejes es la derivada de su ángulo asociado (lo que equivale a descomponer la rotación instantánea en tres <a href="/wiki/Rotaciones_de_Euler" class="mw-redirect" title="Rotaciones de Euler">rotaciones de Euler</a> instantáneas). Por lo tanto:<sup id="cite_ref-4" class="reference separada"><a href="#cite_note-4"><span class="corchete-llamada">[</span>4<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">u</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>β</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">u</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>γ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">u</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a06047cd55031ee1272f8718a19d585265a451e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.268ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}}"></span></dd></dl> <p>Esta base no es ortonormal y es difícil de usar, pero ahora el vector velocidad puede cambiarse al marco fijo o al marco móvil con sólo cambiar las bases. Por ejemplo, cambiando al marco móvil: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>β</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>γ</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>β</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">i</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>β</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>γ</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>β</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>γ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">k</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd4e6c7afa559c18602d46efc26d38d283b4a55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:71.981ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}}"></span></dd></dl> <p>donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">i</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">k</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e7e9edf82e2cb750f3b94e90bb371e01e63e93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.804ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}"></span> son vectores unitarios para el marco fijo en el cuerpo en movimiento. Este ejemplo se ha realizado utilizando la convención Z-X-Z para los ángulos de Euler.<sup>[<i><a href="/wiki/Wikipedia:Verificabilidad" title="Wikipedia:Verificabilidad">cita requerida</a></i>]</sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Consideraciones_sobre_cuerpos_rígidos"><span id="Consideraciones_sobre_cuerpos_r.C3.ADgidos"></span>Consideraciones sobre cuerpos rígidos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Velocidad_angular&action=edit&section=9" title="Editar sección: Consideraciones sobre cuerpos rígidos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:AngularVelocity02.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/AngularVelocity02.svg/320px-AngularVelocity02.svg.png" decoding="async" width="320" height="227" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/AngularVelocity02.svg/480px-AngularVelocity02.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/AngularVelocity02.svg/640px-AngularVelocity02.svg.png 2x" data-file-width="612" data-file-height="434" /></a><figcaption>Posición del punto P situado en el cuerpo rígido (mostrado en azul). <b>R</b><sub><i>i</i></sub> es la posición con respecto al marco del laboratorio, centrado en <i>O</i> y <b>r</b><sub><i>i</i></sub> es la posición con respecto al marco del cuerpo rígido, centrado en <i>O´</i>. El origen del marco del cuerpo rígido está en la posición vectorial <b>R</b> desde el marco del laboratorio</figcaption></figure><p>. </p><p>Las mismas ecuaciones para la velocidad angular pueden obtenerse razonando sobre un <a href="/wiki/Cuerpo_r%C3%ADgido" title="Cuerpo rígido">cuerpo rígido</a> en rotación. Aquí no se supone que el cuerpo rígido gire alrededor del origen. En su lugar, se puede suponer que gira alrededor de un punto arbitrario que se mueve con una velocidad lineal <i>V</i>(<i>t</i>) en cada instante. </p><p>Para obtener las ecuaciones, es conveniente imaginar un cuerpo rígido unido a las cuadernas y considerar un sistema de coordenadas fijo respecto al cuerpo rígido. A continuación estudiaremos las transformaciones de coordenadas entre este sistema de coordenadas y el sistema fijo del "laboratorio". </p><p>Como se muestra en la figura de la derecha, el origen del sistema del laboratorio está en el punto <i>O</i>, el origen del sistema del cuerpo rígido está en <i>O<b> y el vector de </b></i><b>O<i> a </i>O</b> es <b>R</b>. Una partícula (<i>i</i>) en el cuerpo rígido se encuentra en el punto P y el vector posición de esta partícula es <b>R</b><sub><i>i</i></sub> en el marco del laboratorio, y en la posición <b>r</b><sub><i>i</i></sub> en el marco del cuerpo. Se véase que la posición de la partícula puede escribirse: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6002070fa6d4ad65b2b6623f4f57918222bf11ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.647ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}}"></span></dd></dl> <p>La característica que define a un cuerpo rígido es que la distancia entre dos puntos cualesquiera de un cuerpo rígido es invariable en el tiempo. Esto significa que la longitud del vector <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed603561819ebd007acd75a0931d3ba401ad677a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.902ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}"></span> es invariable. Por <a href="/wiki/Teorema_de_rotaci%C3%B3n_de_Euler" title="Teorema de rotación de Euler">teorema de rotación de Euler</a>, podemos sustituir el vector <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed603561819ebd007acd75a0931d3ba401ad677a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.902ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}"></span> por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>o</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d38bb10cad262bea46af36030009125705be2524" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.67ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}"></span> donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {R}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {R}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74532dc308c806964b832df0d0d73352195c2f2f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.971ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {R}}}"></span> es una <a href="/wiki/Matriz_de_rotaci%C3%B3n" title="Matriz de rotación">matriz de rotación</a> 3×3 y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} _{io}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>o</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} _{io}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419572dc2a878b11126313a6e131daab844ed8be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.699ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} _{io}}"></span> es la posición de la partícula en algún punto fijo del tiempo, digamos <span style="white-space:nowrap"><i>t</i> = 0</span>. Esta sustitución es útil, porque ahora es sólo la matriz de rotación <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {R}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {R}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74532dc308c806964b832df0d0d73352195c2f2f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.971ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {R}}}"></span> que está cambiando en el tiempo y no el vector de referencia <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} _{io}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>o</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} _{io}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419572dc2a878b11126313a6e131daab844ed8be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.699ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} _{io}}"></span>, como el cuerpo rígido gira alrededor del punto <i>O</i>. Además, como las tres columnas de la matriz de rotación representan los tres <a href="/wiki/Versor" class="mw-redirect" title="Versor">versores</a> de un sistema de referencia que gira junto con el cuerpo rígido, ahora se hace visible cualquier rotación sobre cualquier eje, mientras que el vector <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed603561819ebd007acd75a0931d3ba401ad677a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.902ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}"></span> no giraría si el eje de rotación fuera paralelo a él, y por tanto sólo describiría una rotación sobre un eje perpendicular a él (es decir, no vería la componente del pseudovector velocidad angular paralela a ella, y sólo permitiría calcular la componente perpendicular a ella). La posición de la partícula se escribe ahora como: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>o</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e76fd46d3c2f96a1752f583607b2805912b6824" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.415ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}"></span></dd></dl> <p>Tomando la derivada temporal se obtiene la velocidad de la partícula: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}\mathbf {r} _{io}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>o</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}\mathbf {r} _{io}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83503b51071d1ba39e50cc008eb2268688325852" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:17.499ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}\mathbf {r} _{io}}"></span></dd></dl> <p>donde <b>V</b> <sub><i>i</i></sub> es la velocidad de la partícula (en el marco de laboratorio) y <b>V</b> es la velocidad de <i>O' </i> (el origen del marco de cuerpo rígido). Como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {R}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {R}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74532dc308c806964b832df0d0d73352195c2f2f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.971ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {R}}}"></span> es una matriz de rotación su inversa es su transpuesta. Así que sustituimos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {I}}={\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">I</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>T</mtext> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {I}}={\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c277dfae86bc36f2eb0976b6e6c2a671c2c1bb5d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-left: -0.069ex; width:10.02ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {I}}={\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}}"></span>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {I}}\mathbf {r} _{io}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">I</mi> </mrow> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>o</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {I}}\mathbf {r} _{io}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e216f544aac685e1117e1783ecbf3dc58a220236" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:18.992ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {I}}\mathbf {r} _{io}}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>T</mtext> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>o</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f056bc8e47d69322f8d43221b319600964a0c652" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:22.86ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}\mathbf {r} _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>T</mtext> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}\mathbf {r} _{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7d314c5ba71d6119208c82c4aa1b4b44e2227a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.092ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}\mathbf {r} _{i}}"></span></dd></dl> <p>o </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +W\mathbf {r} _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mi>W</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +W\mathbf {r} _{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afda7c738cdddd0623d1392e05cef7dfa8e7f10d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.115ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +W\mathbf {r} _{i}}"></span></dd></dl> <p>donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W={\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>T</mtext> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W={\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec33f06b139ab6ac9f4d1074caf8ad761f381d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.946ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle W={\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}}"></span> es el <a href="/wiki/Tensor" title="Tensor">tensor</a> de velocidad angular anterior. </p><p>Se puede <a href="#W_es_simétrico-skew">probar</a> que se trata de una <a href="/wiki/Matriz_antisim%C3%A9trica" title="Matriz antisimétrica">matriz antisimétrica</a>, por lo que podemos tomar su <a href="/wiki/Espacio_dual" title="Espacio dual">dual</a> para obtener un pseudovector tridimensional que es precisamente el anterior vector de velocidad angular <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb8af7a2f64af348e559652b6b1f0d2415ba444" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.669ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}"></span>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=[\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=[\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f418d52c41570663e22f7b19a8d3a427b69cab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.69ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=[\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}]}"></span></dd></dl> <p>Sustituyendo <i>ω</i> por <i>W</i> en la expresión de velocidad anterior, y sustituyendo la multiplicación de matrices por un producto cruzado equivalente: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">ω</mi> </mrow> <mo>×</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2646d1b052981bf942e306064293e86f6dd90d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.188ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{i}}"></span></dd></dl> <p>Se puede véase que la velocidad de un punto en un cuerpo rígido se puede dividir en dos términos - la velocidad de un punto de referencia fijado en el cuerpo rígido más el término de producto cruzado que implica la velocidad angular orbital de la partícula con respecto al punto de referencia. Esta velocidad angular es lo que los físicos llaman <i>velocidad angular de espín</i> del cuerpo rígido, en contraposición a la velocidad angular <i>orbital</i> del punto de referencia <i>O'</i> respecto al origen <i>O</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Unidades">Unidades</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Velocidad_angular&action=edit&section=10" title="Editar sección: Unidades"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En el <a href="/wiki/Sistema_internacional_de_unidades" class="mw-redirect" title="Sistema internacional de unidades">sistema internacional de unidades</a> las velocidad angulares tienen unidades de inverso de segundo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [{\text{s}}^{-1}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>s</mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [{\text{s}}^{-1}]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a046eb9e303df6f7d2d25f2e5e7be1adda093b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.543ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [{\text{s}}^{-1}]}"></span>, también llamado hercio <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [{\text{Hz}}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Hz</mtext> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [{\text{Hz}}]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e703161de350fcb9fca7cbe74402c25ce897512" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.069ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [{\text{Hz}}]}"></span>. Es frecuente expresar también la velocidad angular en "revoluciones por minuto" <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [{\text{r.p.m.}}]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>r.p.m.</mtext> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [{\text{r.p.m.}}]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a2d0ff23a7ec2bd28c0aa02243d8114cd3bf76" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.374ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [{\text{r.p.m.}}]}"></span> aunque esa unidad no forma parte del sistema internacional. </p><p>Muchos textos emplean aún el "radián por segundo", aunque el <a href="/wiki/Radi%C3%A1n" title="Radián">radián</a> es una pseudounidad que no forma parte del sistema internacional de unidades y su uso está desrecomendado profesionalmente, aunque se mantiene en algunos contextos con fines didácticos nada más. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Velocidad_angular&action=edit&section=11" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Cinem%C3%A1tica_del_s%C3%B3lido_r%C3%ADgido" title="Cinemática del sólido rígido">Cinemática del sólido rígido</a></li> <li><a href="/wiki/Frecuencia_(f%C3%ADsica)" class="mw-redirect" title="Frecuencia (física)">Frecuencia</a></li> <li><a href="/wiki/Aceleraci%C3%B3n_angular" title="Aceleración angular">Aceleración angular</a></li> <li><a href="/wiki/Desplazamiento_angular" title="Desplazamiento angular">Desplazamiento angular</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referencias">Referencias</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Velocidad_angular&action=edit&section=12" title="Editar sección: Referencias"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="listaref" style="list-style-type: decimal;"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFReal_Academia_Española" class="citation enciclopedia">Real Academia Española. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dle.rae.es/velocidad+angular">«velocidad angular»</a>. <i>Diccionario de la lengua española</i> (23.ª edición).</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AVelocidad+angular&rft.atitle=Diccionario+de+la+lengua+espa%C3%B1ola&rft.au=Real+Academia+Espa%C3%B1ola&rft.aulast=Real+Academia+Espa%C3%B1ola&rft.btitle=velocidad+angular&rft.edition=23.%C2%AA&rft.genre=bookitem&rft_id=https%3A%2F%2Fdle.rae.es%2Fvelocidad%2Bangular&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-EM1-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-EM1_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFHibbeler2009" class="citation libro">Hibbeler, Russell C. (2009). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=tOFRjXB-XvMC&q=angular+velocidad&pg=PA314"><i>Mecánica de la Ingeniería</i></a>. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Prentice Hall. pp. 314, 153. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-13-607791-6" title="Especial:FuentesDeLibros/978-0-13-607791-6">978-0-13-607791-6</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AVelocidad+angular&rft.au=Hibbeler%2C+Russell+C.&rft.aufirst=Russell+C.&rft.aulast=Hibbeler&rft.btitle=Mec%C3%A1nica+de+la+Ingenier%C3%ADa&rft.date=2009&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-13-607791-6&rft.pages=314%2C+153&rft.place=Upper+Saddle+River%2C+New+Jersey&rft.pub=Pearson+Prentice+Hall&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DtOFRjXB-XvMC%26q%3Dangular%2Bvelocidad%26pg%3DPA314&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>(EM1)</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFTaylor2009" class="citation libro">Taylor, Barry N. (2009). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C"><i>Sistema Internacional de Unidades (SI)</i></a> (revised 2008 edición). DIANE Publishing. p. 27. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-1-4379-1558-7" title="Especial:FuentesDeLibros/978-1-4379-1558-7">978-1-4379-1558-7</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AVelocidad+angular&rft.au=Taylor%2C+Barry+N.&rft.aufirst=Barry+N.&rft.aulast=Taylor&rft.btitle=Sistema+Internacional+de+Unidades+%28SI%29&rft.date=2009&rft.edition=revised+2008&rft.genre=book&rft.isbn=978-1-4379-1558-7&rft.pages=27&rft.pub=DIANE+Publishing&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DI-BlErBBeL8C&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C&pg=PA27">Extracto de la página 27</a></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.vti.mod.gov.rs/ntp/rad2007/3-07/hedr/hedr.pdf">K.S.HEDRIH: Leonhard Euler (1707-1783) y la dinámica del cuerpo rígido</a></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliografía"><span id="Bibliograf.C3.ADa"></span>Bibliografía</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Velocidad_angular&action=edit&section=13" title="Editar sección: Bibliografía"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span id="CITAREFOrtega,_Manuel_R.1986_2016" class="citation libro">Ortega, Manuel R. (1986 2016). <i>Lecciones de Física (4 volúmenes)</i>. Monytex. <small>ISBN 84-404-4290-RFC CACM869929DG5</small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AVelocidad+angular&rft.au=Ortega%2C+Manuel+R.&rft.aulast=Ortega%2C+Manuel+R.&rft.btitle=Lecciones+de+F%C3%ADsica+%284+vol%C3%BAmenes%29&rft.date=1986+2016&rft.genre=book&rft.pub=Monytex&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><span id="CITAREFResnick,Robert_&_Krane,_Kenneth_S.2001" class="citation libro">Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). <i>Physics</i> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en inglés)</span>. Nueva York: John Wiley & Sons. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-471-32057-9" title="Especial:FuentesDeLibros/0-471-32057-9">0-471-32057-9</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AVelocidad+angular&rft.au=Resnick%2CRobert+%26+Krane%2C+Kenneth+S.&rft.aulast=Resnick%2CRobert+%26+Krane%2C+Kenneth+S.&rft.btitle=Physics&rft.date=2001&rft.genre=book&rft.isbn=0-471-32057-9&rft.place=Nueva%26nbsp%3BYork&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><span id="CITAREFSerway,_Raymond_A.Jewett,_John_W.2004" class="citation libro">Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/physicssciengv2p00serw"><i>Physics for Scientists and Engineers</i></a> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en inglés)</span> (6ª edición). Brooks/Cole. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-534-40842-7" title="Especial:FuentesDeLibros/0-534-40842-7">0-534-40842-7</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AVelocidad+angular&rft.au=Jewett%2C+John+W.&rft.au=Serway%2C+Raymond+A.&rft.aulast=Serway%2C+Raymond+A.&rft.btitle=Physics+for+Scientists+and+Engineers&rft.date=2004&rft.edition=6%C2%AA&rft.genre=book&rft.isbn=0-534-40842-7&rft.pub=Brooks%2FCole&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fphysicssciengv2p00serw&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><span id="CITAREFTipler,_Paul_A.2000" class="citation libro">Tipler, Paul A. (2000). <i>Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes)</i>. Barcelona: Ed. Reverté. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/84-291-4382-3" title="Especial:FuentesDeLibros/84-291-4382-3">84-291-4382-3</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AVelocidad+angular&rft.au=Tipler%2C+Paul+A.&rft.aulast=Tipler%2C+Paul+A.&rft.btitle=F%C3%ADsica+para+la+ciencia+y+la+tecnolog%C3%ADa+%282+vol%C3%BAmenes%29&rft.date=2000&rft.genre=book&rft.isbn=84-291-4382-3&rft.pub=Barcelona%3A+Ed.+Revert%C3%A9&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><a rel="nofollow" class="external free" href="https://cibertareas.info/velocidad-angular-fisica-1.html">https://cibertareas.info/velocidad-angular-fisica-1.html</a></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161257576">.mw-parser-output .mw-authority-control{margin-top:1.5em}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox table{margin:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral,#eaecf0);color:var(--color-base,#202122)}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects ul li{margin-bottom:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#eeeeff}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d);background-color:var(--background-color-neutral,#27292d);color:var(--color-base,#eaecf0)}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}@media(prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral,#27292d)!important;color:var(--color-base,#eaecf0)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}}</style><div class="mw-authority-control"><div role="navigation" class="navbox" aria-label="Navbox" style="width: inherit;padding:3px"><table class="hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width: 12%; text-align:center;"><a href="/wiki/Control_de_autoridades" title="Control de autoridades">Control de autoridades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b>Proyectos Wikimedia</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q161635" class="extiw" title="wikidata:Q161635">Q161635</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Angular_velocity">Angular velocity</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q161635%22">Q161635</a></span></span></li></ul> <hr /> <ul><li><b>Identificadores</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4265086-0">4265086-0</a></span></li> <li><b>Diccionarios y enciclopedias</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Enciclopedia_Brit%C3%A1nica" title="Enciclopedia Británica">Britannica</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/science/angular-velocity">url</a></span></li> <li><b>Ontologías</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;">Número IEV:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=113-01-41">113-01-41</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q161635" class="extiw" title="wikidata:Q161635">Q161635</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Angular_velocity">Angular velocity</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q161635%22">Q161635</a></span></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtenido de «<a dir="ltr" href="https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Velocidad_angular&oldid=163200508">https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Velocidad_angular&oldid=163200508</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categorías</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Magnitudes_f%C3%ADsicas" title="Categoría:Magnitudes físicas">Magnitudes físicas</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Cinem%C3%A1tica" title="Categoría:Cinemática">Cinemática</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Velocidad" title="Categoría:Velocidad">Velocidad</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categorías ocultas: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_pasajes_que_requieren_referencias" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con pasajes que requieren referencias">Wikipedia:Artículos con pasajes que requieren referencias</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_identificadores_GND" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con identificadores GND">Wikipedia:Artículos con identificadores GND</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página se editó por última vez el 24 oct 2024 a las 15:21.</li> <li id="footer-info-copyright">El texto está disponible bajo la <a href="/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_4.0_Internacional" title="Wikipedia:Texto de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional">Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0</a>; 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Velocidad angular - Wikipedia, la enciclopedia libre