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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <meta content=" Underwater Acoustic Communications (UAC), underwater ultrasonic channels, shallow water acoustic channel, channel estimation, Zadoff-Chu. " lang="en" name="keywords"/> <base href="/html/2411.11726v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S1" title="In Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">I </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Introduction</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S2" title="In Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">II </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Measurement scenario and equipment</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S2.SS1" title="In II Measurement scenario and equipment ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Measurement scenario</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S2.SS2" title="In II Measurement scenario and equipment ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Measurement equipment</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3" title="In Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Channel estimation system</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.SS1" title="In III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Notation preliminaries</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.SS2" title="In III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Channel sounding signals</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.SS3" title="In III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-C</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Channel estimation method</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.SS4" title="In III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-D</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Initial delay compensation</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4" title="In Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">IV </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Characterization of the wideband UAC</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.SS1" title="In IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">IV-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Global channel characterization </span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.SS2" title="In IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">IV-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Multipath channel characterization</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S5" title="In Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Conclusions</span></span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Jesús López-Fernández, Unai Fernández-Plazaola, José F. Paris, , Luis Díez, Eduardo Martos-Naya </span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id1.id1">In this work we present the results of a measurement campaign carried out in the Mediterranean sea aimed at characterizing the underwater acoustic channel in a wideband at ultrasonic frequencies centered at 80 kHz with a width of 96 kHz, covering two octaves from 32 to 128 kHz. So far, these type of wideband measurements are not found in the literature. Periodic orthogonal frequency division multiplexing (OFMD) sounding signals using Zadoff-Chu sequences have been specially designed for this purpose. The collected data has been post-processed to estimate the time-variant impulse and frequency responses and relevant parameters for system design like the time coherence, bandwidth coherence, delay spread and Doppler bandwidth. The statistical behavior of the channel gain random fluctuation has also been analyzed. This information has been extracted for both the global channel and each path separately. The wide bandwidth of the measurements have allowed the characterization of the channel in a scarcely explored ultrasonic band with an accuracy that is far beyond what is reported in previous works.</p> </div> <div class="ltx_keywords"> <h6 class="ltx_title ltx_title_keywords">Index Terms: </h6> Underwater Acoustic Communications (UAC), underwater ultrasonic channels, shallow water acoustic channel, channel estimation, Zadoff-Chu. </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">I </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S1.1.1">Introduction</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">The underwater Acoustic Communication (UAC) channel is one of the toughest wireless communication media in use today for several reasons, specially in the case of shallow waters. First, it presents a high attenuation which grows with frequency and suffers from hard multipath propagation due to multiple reflections on the seabed and water surface which turns into long delay impulse responses. Second, the low speed of sound in water gives rise to high Doppler broadening of the signals spectrum even with slow motion of the transceivers. The result is a channel which in many cases can be considered overspread <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite>, i.e., the product of the delay and Doppler spreads is greater than one. Third, a considerable variation of the channel characteristics may occur even with a slight change of location or weather conditions, which leads to the non-existence of a typical UAC channel <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">The UAC channel has been traditionally exploited in the audio band (up to around 15 kHz) for low speed digital applications that operate using a bandwidth of only several kHz. However, in recent years real-time monitoring of marine environment and supervision of undersea equipment health of oil and gas companies using remotely or autonomous operated vehicles call for higher speed digital links, specially if high quality video transmission is required. Such higher speed digital systems demand bandwidths of several tens of kHz which are not available in the audio band. We must therefore move up in the acoustic spectrum (going into the ultrasonic band) where wider bandwidths can be exploited. Notice that moving up in frequency is a need but it has several drawbacks in the already complicated behavior of the underwater channel such as a higher attenuation (which will inevitably cause a shortening of the communication link range as compared to those operating at lower frequencies) and a reduction of both the coherence time and the coherence bandwidth. This poses a challenge in the design of systems that operate in this scenario. The first step for achieving this goal is the characterization of such channels through measurements which is the topic of this work.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1">The UAC channel has been extensively analyzed in the audio band (see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib2" title="">2</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib3" title="">3</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib4" title="">4</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib5" title="">5</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib6" title="">6</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite> among many others) but less works explore the ultrasonic band. Specifically, measurements in the 2-32 kHz, 20-60 kHz, 37-41 kHz and 60-100 kHz bands are reported in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib8" title="">8</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite>, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite> and <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite> respectively while measurements centered at a much higher frequency (820 kHz) are presented in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib13" title="">13</a>]</cite>. An important point worth mentioning is that in all these cited works, the measurements are narrowband (the bandwidth is between 1% and 20% of the center frequency), i.e. although the frequency range in which the measurements are carried out is broad, the bandwidth explored within that range is narrow. This is also the case of the results we presented in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite> where we explored the fading behavior of the shallow water AUC channel in the range from 32 to 128 kHz by analyzing the amplitude fluctuation of transmitted tones.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.1">In this paper we present the results of wideband acoustic measurements at ultrasonic frequencies ranging from 32 to 128 kHz carried out in shallow waters of the Mediterranean Sea. The transmitter and receiver have been designed for that purpose as well as the sounding signals which consist in 96 kHz bandwidth periodic OFDM signals. The bandwidth-to-center frequency ratio of measurements is 120%. A specific procedure for the estimation of the channel time-variant impulse response and time-variant frequency response has been developed. As a derivative result, functions like the time and frequency autocorrelation, the Doppler spectrum, the power delay profile and their derived parameters like the coherence time, coherence bandwidth, delay spread and Doppler spread as well as the characterization of the random fluctuation of the channel gain have been obtained corresponding to both the global channel and the individual separated paths (line-of-sight, surface reflected, bottom reflected, etc). Relevant discrepancies are appreciated when compared to the results reported in the literature for narrowband <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite>. This distinctive behavior must be taken into account in the design of transceiver systems that make profit of the wideband and achieve high data rate transmission.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1">As a summary, the main contributions of this paper are:</p> <ol class="ltx_enumerate" id="S1.I1"> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i1.p1.1">Design and implementation of a specific purpose measurement equipment for operation in the 32-128 kHz band.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i2.p1.1">Design of specific sounding signals consistent in periodic OFDM signals with a bandwidth of 96 kHz and a method for the time-variant channel response estimation based on filter banks instead of the habitual correlation methods.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i3.p1.1">Wideband measurements of the UAC channel at ultrasonic frequencies centered at 80 kHz and a bandwidth of 96 kHz (two octaves) along with the corresponding characterization of the global channel and of individual separated paths. To the author’s best knowledge, these type of measurements are not reported in the literature.</p> </div> </li> </ol> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.1">The remainder of this paper is organized as follows. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S2" title="II Measurement scenario and equipment ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II</span></a> presents the scenario and the equipment used to carry out the measurements. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3" title="III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III</span></a> explains the sounding signals and the method to estimate the channel. In <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4" title="IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV</span></a> the ultrasonic wideband UAC is characterized, first globally and then each path separately. Finally, some conclusions are summarized in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S5" title="V Conclusions ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">V</span></a>.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">II </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S2.1.1">Measurement scenario and equipment</span> </h2> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.4.1.1">II-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS1.5.2">Measurement scenario</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.1">The experimental data used in this work were collected by the authors along a measurement campaign in 2017. Shallow waters of the Mediterranean Sea in La Algameca Chica (Cartagena, Spain) were chosen to perform ultrasonic wideband UAC measurements. The campaign extended along several sessions with common smooth sea conditions (World Meteorological Organization sea state Code 2, waves of less than 0.5 m). The vertical sound speed profile was approximately constant with a sound speed of 1525 m/s.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S2.F1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="254" id="S2.F1.g1" src="x1.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S2.F1.2.1.1" style="font-size:90%;">Figure 1</span>: </span><span class="ltx_text" id="S2.F1.3.2" style="font-size:90%;">Measurement scenario.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.1">A total number of 13 channels have been measured in the 2 octave ultrasonic band from 32 kHz to 128 kHz. The projector (TX) and the hydrophone (RX) were submerged at a fixed depth of 6 m. from two different boats. Both boats were separated distances ranging from 50 to 400 m. approximately. The observed sea depth along the 13 channels spans from 19 to 34 m. The type of seabed in La Algameca Chica is sandy with some sparse rocks. A picture of the scenario is shown in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S2.F1" title="Figure 1 ‣ II-A Measurement scenario ‣ II Measurement scenario and equipment ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> where the three main paths that the signal may follow are highlighted, i.e. the line-of-sight or direct path, the path corresponding to a reflection in the sea surface and the path that undergoes a reflection at the sea bottom.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS2.4.1.1">II-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS2.5.2">Measurement equipment</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.1">A photograph of the measurement equipment is shown in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S2.F2" title="Figure 2 ‣ II-B Measurement equipment ‣ II Measurement scenario and equipment ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> where the receiver side of the channel sounder is displayed in the laboratory of the University of Malaga (the transmitter side is similar). A functional scheme of the hardware used for the measurements is depicted in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S2.F3" title="Figure 3 ‣ II-B Measurement equipment ‣ II Measurement scenario and equipment ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>. The equipment has been designed and assembled by the authors to investigate ultrasonic wideband UAC and was already used in the narrowband UAC measurement campaign reported in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S2.F2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="311" id="S2.F2.g1" src="x2.png" width="415"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S2.F2.2.1.1" style="font-size:90%;">Figure 2</span>: </span><span class="ltx_text" id="S2.F2.3.2" style="font-size:90%;">Measurement equipment at the receiver side.</span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="S2.F3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="361" id="S2.F3.g1" src="x3.png" width="415"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S2.F3.2.1.1" style="font-size:90%;">Figure 3</span>: </span><span class="ltx_text" id="S2.F3.3.2" style="font-size:90%;">Block diagram of the measurement system.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.1">The hardware includes: two laptops (for signal control, storage and off-line signal processing for monitoring purposes); two acquisition modules IOtech Personal DAQ3000 (with 16 bits of resolution and a 1-MHz sample rate, which were used as a digital-to-analog (D/A) converter at the transmitter and as an analog-to-digital (A/D) converter at the receiver); Brüel Kjaer 2713 power amplifier and Brüel Kjaer projector 8105 at the transmitter; Reson VP2000 voltage preamplifier EC6081 (with a 1-MHz bandwidth) and Reson TC4032 low noise hydrophone at the receiver.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.1">The above described hardware is operated by a software implemented by the authors which enables long measurements in an automatic way, i.e. complete training sequences of wideband signals for each channel are sent and the received signals are then recorded and automatically separated by the software. Afterward, the records are digitally post-processed using the algorithms described in section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3" title="III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III</span></a>.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">III </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S3.1.1">Channel estimation system</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.1">In this section the designed probe signals are described along with the corresponding signal processing method employed in the estimation of the channel response. First, the notation used in the forthcoming sections is detailed.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS1.4.1.1">III-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.5.2">Notation preliminaries</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.3">The average value of a signal <math alttext="x(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.1.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.2"><times id="S3.SS1.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.1.m1.1c">x(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.1.m1.1d">italic_x ( italic_u )</annotation></semantics></math> with respect to variable <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.2.m2.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.2.m2.1d">italic_u</annotation></semantics></math> will be denoted as <math alttext="<x(u)>_{u}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.3.m3.2"><semantics id="S3.SS1.p1.3.m3.2a"><msub id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mi id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3.cmml">u</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.3.m3.2b"><apply id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1"><times id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1">𝑢</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.3">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.3.m3.2c"><x(u)>_{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.3.m3.2d">< italic_x ( italic_u ) > start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="<x(u)>_{u}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(u)du," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E1.m1.3"><semantics id="S3.E1.m1.3a"><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E1.m1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mi id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">u</mi></msub><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.2" rspace="0.1389em" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.cmml"><munder id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.1.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.1.2.cmml">lim</mo><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><mi id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml">T</mi></mfrac><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><msubsup id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.2.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.2.3" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.2.3a" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.2.3.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.2.3.2.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.2.3.2.2.cmml">T</mi><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.2.3.2.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.2.3.2.1.cmml">/</mo><mn id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.2.3.2.3" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.3" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.3.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.3.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.3.3" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msubsup><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml"><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E1.m1.2.2" xref="S3.E1.m1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1a" lspace="0em" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.4" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.4.cmml"><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.4.1" rspace="0em" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.4.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.4.2.cmml">u</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E1.m1.3.3.1.2" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E1.m1.3b"><apply id="S3.E1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1"><eq id="S3.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T / 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ( italic_u ) italic_d italic_u ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.4">in case <math alttext="x(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.4.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.4.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.4.m1.1.2" xref="S3.SS1.p1.4.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.4.m1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m1.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.4.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.4.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.4.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.4.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.4.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.4.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.4.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.4.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.4.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.4.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m1.1.2"><times id="S3.SS1.p1.4.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m1.1.2.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.4.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.SS1.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m1.1.1">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.4.m1.1c">x(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.4.m1.1d">italic_x ( italic_u )</annotation></semantics></math> is a power signal and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="<x(u)>_{u}=\int_{-\infty}^{\infty}x(u)du," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E2.m1.3"><semantics id="S3.E2.m1.3a"><mrow id="S3.E2.m1.3.3.1" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.3.3.1.1" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E2.m1.1.1" xref="S3.E2.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mi id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">u</mi></msub><mo id="S3.E2.m1.3.3.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msubsup id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.2" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mrow id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.3" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.3a" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.cmml">−</mo><mi id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.2.cmml">∞</mi></mrow><mi id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml">∞</mi></msubsup><mrow id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mo id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E2.m1.2.2" xref="S3.E2.m1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.1a" lspace="0em" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.4" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.4.cmml"><mo id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.4.1" rspace="0em" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.4.2" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.cmml">u</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E2.m1.3.3.1.2" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E2.m1.3b"><apply id="S3.E2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1"><eq id="S3.E2.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.E2.m1.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.1.1">𝑢</ci></apply></apply><ci id="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.1.3">𝑢</ci></apply><apply id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3"><apply id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.2"></int><apply id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.3"><minus id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.3"></minus><infinity id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.2.3.2"></infinity></apply></apply><infinity id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.1.3"></infinity></apply><apply id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2"><times id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.E2.m1.2.2.cmml" xref="S3.E2.m1.2.2">𝑢</ci><apply id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.4.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E2.m1.3.3.1.1.3.2.4.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E2.m1.3c"><x(u)>_{u}=\int_{-\infty}^{\infty}x(u)du,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E2.m1.3d">< italic_x ( italic_u ) > start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT = ∫ start_POSTSUBSCRIPT - ∞ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ( italic_u ) italic_d italic_u ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.8">in case <math alttext="x(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.5.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.5.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.5.m1.1.2" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.5.m1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m1.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.5.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.5.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.5.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.5.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.2"><times id="S3.SS1.p1.5.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.2.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.5.m1.1c">x(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.5.m1.1d">italic_x ( italic_u )</annotation></semantics></math> is an energy signal. The Fourier transform of an energy signal <math alttext="x(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.6.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.6.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.6.m2.1.2" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.6.m2.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS1.p1.6.m2.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.6.m2.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.6.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p1.6.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.6.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p1.6.m2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.2"><times id="S3.SS1.p1.6.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.2.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.6.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.6.m2.1c">x(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.6.m2.1d">italic_x ( italic_u )</annotation></semantics></math> with respect to variable <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.7.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p1.7.m3.1a"><mi id="S3.SS1.p1.7.m3.1.1" xref="S3.SS1.p1.7.m3.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.7.m3.1b"><ci id="S3.SS1.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.7.m3.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.7.m3.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.7.m3.1d">italic_u</annotation></semantics></math> will be denoted as <math alttext="\mathcal{FT}_{u}\{x(u)\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.8.m4.2"><semantics id="S3.SS1.p1.8.m4.2a"><mrow id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.3.cmml">ℱ</mi><mo id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.4" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.4.2" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.4.2.cmml">𝒯</mi><mi id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.4.3" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.4.3.cmml">u</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.2a" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.8.m4.1.1" xref="S3.SS1.p1.8.m4.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.8.m4.2b"><apply id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2"><times id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.2"></times><ci id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.3">ℱ</ci><apply id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.4.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.4.2">𝒯</ci><ci id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.4.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.4.3">𝑢</ci></apply><set id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1"><apply id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1"><times id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.SS1.p1.8.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.8.m4.1.1">𝑢</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.8.m4.2c">\mathcal{FT}_{u}\{x(u)\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.8.m4.2d">caligraphic_F caligraphic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT { italic_x ( italic_u ) }</annotation></semantics></math> and can be expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{FT}_{u}\{x(u)\}=<x(u)e^{-j\psi u}>_{u}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E3.m1.4"><semantics id="S3.E3.m1.4a"><mrow id="S3.E3.m1.4.4" xref="S3.E3.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.3.3.1" xref="S3.E3.m1.3.3.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E3.m1.3.3.1.3" xref="S3.E3.m1.3.3.1.3.cmml">ℱ</mi><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E3.m1.3.3.1.4" xref="S3.E3.m1.3.3.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E3.m1.3.3.1.4.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.4.2.cmml">𝒯</mi><mi id="S3.E3.m1.3.3.1.4.3" xref="S3.E3.m1.3.3.1.4.3.cmml">u</mi></msub><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.2a" xref="S3.E3.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E3.m1.1.1" xref="S3.E3.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.4.4.3" rspace="0.1389em" xref="S3.E3.m1.4.4.3.cmml">=</mo><msub id="S3.E3.m1.4.4.2" xref="S3.E3.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E3.m1.2.2" xref="S3.E3.m1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1a" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.2" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3a" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.2" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.1" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.3" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.3.cmml">ψ</mi><mo id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.1a" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.4" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.4.cmml">u</mi></mrow></mrow></msup></mrow><mo fence="true" id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mi id="S3.E3.m1.4.4.2.3" xref="S3.E3.m1.4.4.2.3.cmml">u</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E3.m1.4b"><apply id="S3.E3.m1.4.4.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4"><eq id="S3.E3.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.3"></eq><apply id="S3.E3.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1"><times id="S3.E3.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S3.E3.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.3">ℱ</ci><apply id="S3.E3.m1.3.3.1.4.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.3.3.1.4.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.3.3.1.4.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.4.2">𝒯</ci><ci id="S3.E3.m1.3.3.1.4.3.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.4.3">𝑢</ci></apply><set id="S3.E3.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.1"><apply id="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.E3.m1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.1.1">𝑢</ci></apply></set></apply><apply id="S3.E3.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E3.m1.4.4.2.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E3.m1.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1"><times id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.E3.m1.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.2.2">𝑢</ci><apply id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.2">𝑒</ci><apply id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3"><minus id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3"></minus><apply id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2"><times id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.1"></times><ci id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.3">𝜓</ci><ci id="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.4.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.4">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.E3.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.2.3">𝑢</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E3.m1.4c">\mathcal{FT}_{u}\{x(u)\}=<x(u)e^{-j\psi u}>_{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E3.m1.4d">caligraphic_F caligraphic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT { italic_x ( italic_u ) } = < italic_x ( italic_u ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_j italic_ψ italic_u end_POSTSUPERSCRIPT > start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.12">where <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.9.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.9.m1.1a"><mi id="S3.SS1.p1.9.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.9.m1.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.9.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.9.m1.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.9.m1.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.9.m1.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> is the transformed domain variable. The inverse Fourier transform of <math alttext="g(\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.10.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.10.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.10.m2.1.2" xref="S3.SS1.p1.10.m2.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.10.m2.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.10.m2.1.2.2.cmml">g</mi><mo id="S3.SS1.p1.10.m2.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.10.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.10.m2.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.10.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.10.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.10.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.10.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.10.m2.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S3.SS1.p1.10.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.10.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.10.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p1.10.m2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m2.1.2"><times id="S3.SS1.p1.10.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m2.1.2.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.10.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m2.1.2.2">𝑔</ci><ci id="S3.SS1.p1.10.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.10.m2.1.1">𝜓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.10.m2.1c">g(\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.10.m2.1d">italic_g ( italic_ψ )</annotation></semantics></math> with respect to variable <math alttext="\psi" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.11.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p1.11.m3.1a"><mi id="S3.SS1.p1.11.m3.1.1" xref="S3.SS1.p1.11.m3.1.1.cmml">ψ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.11.m3.1b"><ci id="S3.SS1.p1.11.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.11.m3.1.1">𝜓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.11.m3.1c">\psi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.11.m3.1d">italic_ψ</annotation></semantics></math> will be referred to as <math alttext="\mathcal{FT}^{-1}_{\psi}\{g(\psi)\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.12.m4.2"><semantics id="S3.SS1.p1.12.m4.2a"><mrow id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.3.cmml">ℱ</mi><mo id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.2" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.2.cmml">𝒯</mi><mi id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.3" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.3.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.3" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.3a" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.2a" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.12.m4.1.1" xref="S3.SS1.p1.12.m4.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.12.m4.2b"><apply id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2"><times id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.2"></times><ci id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.3">ℱ</ci><apply id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.2">𝒯</ci><apply id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.3"><minus id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.3"></minus><cn id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.4.3">𝜓</ci></apply><set id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1"><apply id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1"><times id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m4.2.2.1.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S3.SS1.p1.12.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.12.m4.1.1">𝜓</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.12.m4.2c">\mathcal{FT}^{-1}_{\psi}\{g(\psi)\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.12.m4.2d">caligraphic_F caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ end_POSTSUBSCRIPT { italic_g ( italic_ψ ) }</annotation></semantics></math> and is defined accordingly</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{FT}^{-1}_{\psi}\{g(\psi)\}=<g(\psi)e^{j\psi u}>_{\psi}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E4.m1.4"><semantics id="S3.E4.m1.4a"><mrow id="S3.E4.m1.4.4" xref="S3.E4.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.E4.m1.3.3.1" xref="S3.E4.m1.3.3.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E4.m1.3.3.1.3" xref="S3.E4.m1.3.3.1.3.cmml">ℱ</mi><mo id="S3.E4.m1.3.3.1.2" xref="S3.E4.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.E4.m1.3.3.1.4" xref="S3.E4.m1.3.3.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.2" xref="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.2.cmml">𝒯</mi><mi id="S3.E4.m1.3.3.1.4.3" xref="S3.E4.m1.3.3.1.4.3.cmml">ψ</mi><mrow id="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.3" xref="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.3.cmml"><mo id="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.3a" xref="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.3.2" xref="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S3.E4.m1.3.3.1.2a" xref="S3.E4.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E4.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.3.3.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E4.m1.1.1" xref="S3.E4.m1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.3.3.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.m1.4.4.3" rspace="0.1389em" xref="S3.E4.m1.4.4.3.cmml">=</mo><msub id="S3.E4.m1.4.4.2" xref="S3.E4.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E4.m1.2.2" xref="S3.E4.m1.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.1a" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.2" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.1" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.3" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.3.cmml">ψ</mi><mo id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.1a" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.4" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.4.cmml">u</mi></mrow></msup></mrow><mo fence="true" id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mi id="S3.E4.m1.4.4.2.3" xref="S3.E4.m1.4.4.2.3.cmml">ψ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E4.m1.4b"><apply id="S3.E4.m1.4.4.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4"><eq id="S3.E4.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.3"></eq><apply id="S3.E4.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3.1"><times id="S3.E4.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S3.E4.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3.1.3">ℱ</ci><apply id="S3.E4.m1.3.3.1.4.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.3.3.1.4.1.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3.1.4">subscript</csymbol><apply id="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.2">𝒯</ci><apply id="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.3.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.3"><minus id="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.3"></minus><cn id="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E4.m1.3.3.1.4.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E4.m1.3.3.1.4.3.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3.1.4.3">𝜓</ci></apply><set id="S3.E4.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3.1.1.1"><apply id="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S3.E4.m1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1">𝜓</ci></apply></set></apply><apply id="S3.E4.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E4.m1.4.4.2.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E4.m1.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1"><times id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S3.E4.m1.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.2.2">𝜓</ci><apply id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.2">𝑒</ci><apply id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3"><times id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.3">𝜓</ci><ci id="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.4.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.4">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.E4.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4.2.3">𝜓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.m1.4c">\mathcal{FT}^{-1}_{\psi}\{g(\psi)\}=<g(\psi)e^{j\psi u}>_{\psi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.m1.4d">caligraphic_F caligraphic_T start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ end_POSTSUBSCRIPT { italic_g ( italic_ψ ) } = < italic_g ( italic_ψ ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j italic_ψ italic_u end_POSTSUPERSCRIPT > start_POSTSUBSCRIPT italic_ψ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.15">The autocorrelation of <math alttext="x(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.13.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.13.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.13.m1.1.2" xref="S3.SS1.p1.13.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.13.m1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.13.m1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS1.p1.13.m1.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.13.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.13.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.13.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.13.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.13.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.13.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.13.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p1.13.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.13.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.13.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.13.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.13.m1.1.2"><times id="S3.SS1.p1.13.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.13.m1.1.2.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.13.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.13.m1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.SS1.p1.13.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.13.m1.1.1">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.13.m1.1c">x(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.13.m1.1d">italic_x ( italic_u )</annotation></semantics></math> with respect to <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.14.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.14.m2.1a"><mi id="S3.SS1.p1.14.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.14.m2.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.14.m2.1b"><ci id="S3.SS1.p1.14.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.14.m2.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.14.m2.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.14.m2.1d">italic_u</annotation></semantics></math> will be written as <math alttext="\Phi_{x}^{(u)}(\Delta u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.15.m3.2"><semantics id="S3.SS1.p1.15.m3.2a"><mrow id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.cmml"><msubsup id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3.2.3" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3.2.3.cmml">x</mi><mrow id="S3.SS1.p1.15.m3.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.15.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.15.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.15.m3.1.1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p1.15.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.15.m3.2b"><apply id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2"><times id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.2"></times><apply id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3.2.2">Φ</ci><ci id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.3.2.3">𝑥</ci></apply><ci id="S3.SS1.p1.15.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m3.1.1.1.1">𝑢</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1"><times id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.15.m3.2.2.1.1.1.3">𝑢</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.15.m3.2c">\Phi_{x}^{(u)}(\Delta u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.15.m3.2d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_u ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_u )</annotation></semantics></math> and is defined as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Phi_{x}^{(u)}(\Delta u)=<x(u+\Delta u)x^{*}(u)>_{u}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E5.m1.4"><semantics id="S3.E5.m1.4a"><mrow id="S3.E5.m1.4.4" xref="S3.E5.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.3.3.1" xref="S3.E5.m1.3.3.1.cmml"><msubsup id="S3.E5.m1.3.3.1.3" xref="S3.E5.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.3.3.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E5.m1.3.3.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S3.E5.m1.3.3.1.3.2.3" xref="S3.E5.m1.3.3.1.3.2.3.cmml">x</mi><mrow id="S3.E5.m1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.3.3.1.3.cmml"><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.3.3.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.E5.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.3.3.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.E5.m1.3.3.1.2" xref="S3.E5.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.4.4.3" rspace="0.1389em" xref="S3.E5.m1.4.4.3.cmml">=</mo><msub id="S3.E5.m1.4.4.2" xref="S3.E5.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml">x</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Δ</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.2a" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.4" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.4.2" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.4.3" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.2b" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.5.2" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E5.m1.2.2" xref="S3.E5.m1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mi id="S3.E5.m1.4.4.2.3" xref="S3.E5.m1.4.4.2.3.cmml">u</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E5.m1.4b"><apply id="S3.E5.m1.4.4.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4"><eq id="S3.E5.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.3"></eq><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1"><times id="S3.E5.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.2"></times><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.3.2.2">Φ</ci><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.3.2.3">𝑥</ci></apply><ci id="S3.E5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1">𝑢</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S3.E5.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E5.m1.4.4.2.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E5.m1.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1"><times id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.3">𝑥</ci><apply id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.2">Δ</ci><ci id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.4.2">𝑥</ci><times id="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.1.1.1.4.3"></times></apply><ci id="S3.E5.m1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.2.2">𝑢</ci></apply></apply><ci id="S3.E5.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.3">𝑢</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E5.m1.4c">\Phi_{x}^{(u)}(\Delta u)=<x(u+\Delta u)x^{*}(u)>_{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E5.m1.4d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_u ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_u ) = < italic_x ( italic_u + roman_Δ italic_u ) italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_u ) > start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.17">In the previous definitions the reference signal <math alttext="x(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.16.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.16.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.16.m1.1.2" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.16.m1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS1.p1.16.m1.1.2.1" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.16.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.16.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p1.16.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.16.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.16.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.2"><times id="S3.SS1.p1.16.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.2.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.16.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.SS1.p1.16.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.16.m1.1.1">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.16.m1.1c">x(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.16.m1.1d">italic_x ( italic_u )</annotation></semantics></math> can be not only a function of <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.17.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.17.m2.1a"><mi id="S3.SS1.p1.17.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.17.m2.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.17.m2.1b"><ci id="S3.SS1.p1.17.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.17.m2.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.17.m2.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.17.m2.1d">italic_u</annotation></semantics></math> but a multivariate function where other variables are involved. This justifies the use of the subscript in the definition of the average, Fourier transform and autocorrelation as it indicates on which of the variables the operation is to be performed.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.6">In addition, we denote the exact time-variant impulse and frequency responses of the channel as <math alttext="h(t,\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.1.m1.2"><semantics id="S3.SS1.p2.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.2.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.1.m1.2b"><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.3"><times id="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.2">ℎ</ci><interval closure="open" id="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2">𝜏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.1.m1.2c">h(t,\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.1.m1.2d">italic_h ( italic_t , italic_τ )</annotation></semantics></math> and <math alttext="H(t,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.2.m2.2"><semantics id="S3.SS1.p2.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS1.p2.2.m2.2.3" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.1" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.2.m2.2b"><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.3"><times id="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.2">𝐻</ci><interval closure="open" id="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.3.3.2"><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.2.m2.2c">H(t,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.2.m2.2d">italic_H ( italic_t , italic_f )</annotation></semantics></math> respectively. The corresponding estimated responses are denoted as <math alttext="\hat{h}(t,\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.3.m3.2"><semantics id="S3.SS1.p2.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS1.p2.3.m3.2.3" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.2.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.2.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.3.m3.2b"><apply id="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.3"><times id="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.2"><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.3.3.2"><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.2.2">𝜏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.3.m3.2c">\hat{h}(t,\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.3.m3.2d">over^ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\hat{H}(t,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.4.m4.2"><semantics id="S3.SS1.p2.4.m4.2a"><mrow id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2.1" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.1" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.4.m4.2.2" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.4.m4.2b"><apply id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3"><times id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2"><ci id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.2.2">𝐻</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.3.3.2"><ci id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS1.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.4.m4.2c">\hat{H}(t,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.4.m4.2d">over^ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t , italic_f )</annotation></semantics></math> while the responses obtained after initial delay compensation (explained below) are denoted as <math alttext="\tilde{h}(t,\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.5.m5.2"><semantics id="S3.SS1.p2.5.m5.2a"><mrow id="S3.SS1.p2.5.m5.2.3" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.2.1" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.1" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.5.m5.2b"><apply id="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.3"><times id="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.2"><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.2.1">~</ci><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.3.3.2"><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2">𝜏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.5.m5.2c">\tilde{h}(t,\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.5.m5.2d">over~ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{H}(t,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.6.m6.2"><semantics id="S3.SS1.p2.6.m6.2a"><mrow id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.2.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.6.m6.2b"><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3"><times id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.2"><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.2.1">~</ci><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.2.2">𝐻</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2"><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.6.m6.2c">\tilde{H}(t,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.6.m6.2d">over~ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t , italic_f )</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.4.1.1">III-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS2.5.2">Channel sounding signals</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.8">For channel sounding we use periodic multitone signals which can be expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="x(t)=\sum_{k=k_{1}}^{k_{N}}\cos(2\pi k\delta_{\!f}t+\Psi_{k})=\sum_{k=k_{1}}^{% k_{N}}\Re\{X_{k}e^{j(2\pi k\delta_{\!f}t)}\}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E6.m1.5"><semantics id="S3.E6.m1.5a"><mrow id="S3.E6.m1.5.5.1" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.5.5.1.1" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.5.5.1.1.4" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.4.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.4.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.4.1" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.5.5.1.1.4.3.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S3.E6.m1.2.2" xref="S3.E6.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.5" rspace="0.111em" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.cmml"><munderover id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><msub id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msub id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.2.3.3.cmml">N</mi></msub></munderover><mrow id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.3.3" xref="S3.E6.m1.3.3.cmml">cos</mi><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1a" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">π</mi><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">k</mi><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1b" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.5" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1c" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.6" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.6.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.6" rspace="0.111em" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.cmml"><munderover id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><msub id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msub id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml">N</mi></msub></munderover><mrow id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.4.4" mathvariant="normal" xref="S3.E6.m1.4.4.cmml">ℜ</mi><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1a" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">k</mi><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1c" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" 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id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2">𝛿</ci><ci id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3">𝑓</ci></apply><ci id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.6">𝑡</ci></apply><apply id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Ψ</ci><ci id="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.5.5.1.1c.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1"><eq 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cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1"><real id="S3.E6.m1.4.4.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4"></real><apply id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1"><times id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1"><times id="S3.E6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.3">𝑗</ci><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.4">𝑘</ci><apply id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.5.2">𝛿</ci><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑓</ci></apply><ci id="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.1.1.6">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.m1.5c">x(t)=\sum_{k=k_{1}}^{k_{N}}\cos(2\pi k\delta_{\!f}t+\Psi_{k})=\sum_{k=k_{1}}^{% k_{N}}\Re\{X_{k}e^{j(2\pi k\delta_{\!f}t)}\},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.m1.5d">italic_x ( italic_t ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_cos ( 2 italic_π italic_k italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT italic_t + roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_ℜ { italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j ( 2 italic_π italic_k italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.7">where <math alttext="\delta_{\!f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.1.m1.1c">\delta_{\!f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.1.m1.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the frequency separation between tones, <math alttext="T=1/\delta_{\!f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">T</mi><mo id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">/</mo><msub id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1"><eq id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.2">𝑇</ci><apply id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3"><divide id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2">1</cn><apply id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.2.m2.1c">T=1/\delta_{\!f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.2.m2.1d">italic_T = 1 / italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the fundamental period of <math alttext="x(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.p1.3.m3.1.2" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.3.m3.1.2.2" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.1.2.1" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p1.3.m3.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.2"><times id="S3.SS2.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.2.1"></times><ci id="S3.SS2.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.3.m3.1c">x(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.3.m3.1d">italic_x ( italic_t )</annotation></semantics></math>, <math alttext="X_{k}=e^{j\Psi_{k}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">X</mi><mi id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.1" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.3.3" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1"><eq id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3"><times id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.2">𝑗</ci><apply id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.3.2">Ψ</ci><ci id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.4.m4.1c">X_{k}=e^{j\Psi_{k}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.4.m4.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\Psi_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p1.5.m5.1a"><msub id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2">Ψ</ci><ci id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.5.m5.1c">\Psi_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.5.m5.1d">roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the relative phases of each tone, and the constants <math alttext="k_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p1.6.m6.1a"><msub id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2.cmml">k</mi><mn id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.6.m6.1b"><apply id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.6.m6.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.6.m6.1c">k_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.6.m6.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="k_{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.7.m7.1"><semantics id="S3.SS2.p1.7.m7.1a"><msub id="S3.SS2.p1.7.m7.1.1" xref="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.2.cmml">k</mi><mi id="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.3.cmml">N</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.7.m7.1b"><apply id="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m7.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.7.m7.1c">k_{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.7.m7.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> delimit the channel sounding bandwidth.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.3">For channel estimation purpose, the peak to average power ratio (PAPR) of the transmitted signal should be low to allow enough amplification while avoiding the signal getting into the non-linear range of the power amplifier. Taking into account that the expression of <math alttext="x(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2"><times id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.1.m1.1c">x(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.1.m1.1d">italic_x ( italic_t )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.E6" title="In III-B Channel sounding signals ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) corresponds to a Fourier series with complex coefficients <math alttext="X_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p2.2.m2.1a"><msub id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.2.m2.1c">X_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.2.m2.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the PAPR can be minimized by designing those <math alttext="X_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p2.3.m3.1a"><msub id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.3.m3.1c">X_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.3.m3.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> using a Zadoff-Chu sequence, as it is done in some digital communication standards for channel estimation <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib15" title="">15</a>]</cite>. These sequences are defined as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="X_{k}={\text{exp}}\left(-j{\frac{\pi uk^{2}}{N_{\text{ZC}}}}\right)," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E7.m1.1"><semantics id="S3.E7.m1.1a"><mrow id="S3.E7.m1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E7.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.3a.cmml">exp</mtext><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">π</mi><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">u</mi><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1a" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.2.cmml">k</mi><mn id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><msub id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">N</mi><mtext id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3a.cmml">ZC</mtext></msub></mfrac></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.m1.1b"><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1"><eq id="S3.E7.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.3">exp</mtext></ci><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><divide id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></divide><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><times id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1"></times><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝜋</ci><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑢</ci><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.2">𝑘</ci><cn id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3a.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3"><mtext id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">ZC</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.m1.1c">X_{k}={\text{exp}}\left(-j{\frac{\pi uk^{2}}{N_{\text{ZC}}}}\right),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.m1.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = exp ( - italic_j divide start_ARG italic_π italic_u italic_k start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_N start_POSTSUBSCRIPT ZC end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.10">where <math alttext="N_{ZC}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.4.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.4.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mrow id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.2.cmml">Z</mi><mo id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.3.cmml">C</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.4.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.2">𝑁</ci><apply id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3"><times id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m1.1.1.3.3">𝐶</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.4.m1.1c">N_{ZC}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.4.m1.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_Z italic_C end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the length of the Zadoff-Chu sequence, and <math alttext="u\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.5.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p2.5.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.5.m2.1.1" xref="S3.SS2.p2.5.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.5.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.5.m2.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS2.p2.5.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.5.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS2.p2.5.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.5.m2.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.5.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p2.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m2.1.1"><in id="S3.SS2.p2.5.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m2.1.1.1"></in><ci id="S3.SS2.p2.5.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m2.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.SS2.p2.5.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m2.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.5.m2.1c">u\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.5.m2.1d">italic_u ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\text{gcd}(u,N_{ZC})=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.6.m3.2"><semantics id="S3.SS2.p2.6.m3.2a"><mrow id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.cmml"><mtext id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.3" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.3a.cmml">gcd</mtext><mo id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.2" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p2.6.m3.1.1" xref="S3.SS2.p2.6.m3.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mrow id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">Z</mi><mo id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">C</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.2.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.3" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.6.m3.2b"><apply id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2"><eq id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.2"></eq><apply id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1"><times id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.2"></times><ci id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.3a.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.3"><mtext id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.3">gcd</mtext></ci><interval closure="open" id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1"><ci id="S3.SS2.p2.6.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.1.1">𝑢</ci><apply id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.2">𝑁</ci><apply id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.1.1.1.1.3.3">𝐶</ci></apply></apply></interval></apply><cn id="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.6.m3.2.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.6.m3.2c">\text{gcd}(u,N_{ZC})=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.6.m3.2d">gcd ( italic_u , italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_Z italic_C end_POSTSUBSCRIPT ) = 1</annotation></semantics></math> where <math alttext="\text{gcd}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.7.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p2.7.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.7.m4.1.2" xref="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.cmml"><mtext id="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.2a.cmml">gcd</mtext><mo id="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.1" xref="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.cmml">(</mo><mo id="S3.SS2.p2.7.m4.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p2.7.m4.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.7.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m4.1.2"><times id="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.2a.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.2"><mtext id="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m4.1.2.2">gcd</mtext></ci><ci id="S3.SS2.p2.7.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m4.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.7.m4.1c">\text{gcd}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.7.m4.1d">gcd ( ⋅ )</annotation></semantics></math> stands for the greatest common divisor function. These sequences have constant envelope and, if <math alttext="N_{ZC}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.8.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p2.8.m5.1a"><msub id="S3.SS2.p2.8.m5.1.1" xref="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.2.cmml">N</mi><mrow id="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.3.2.cmml">Z</mi><mo id="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.3.3.cmml">C</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.8.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.2">𝑁</ci><apply id="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.3"><times id="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.3.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m5.1.1.3.3">𝐶</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.8.m5.1c">N_{ZC}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.8.m5.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_Z italic_C end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is prime, their Discrete Fourier Transform (DFT) is also a Zadoff-Chu sequence and therefore, it has a constant envelope too. Although the continuous signal <math alttext="x(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.9.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p2.9.m6.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.9.m6.1.2" xref="S3.SS2.p2.9.m6.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.9.m6.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.9.m6.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS2.p2.9.m6.1.2.1" xref="S3.SS2.p2.9.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p2.9.m6.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p2.9.m6.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.9.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.9.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p2.9.m6.1.1" xref="S3.SS2.p2.9.m6.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS2.p2.9.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.9.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.9.m6.1b"><apply id="S3.SS2.p2.9.m6.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m6.1.2"><times id="S3.SS2.p2.9.m6.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m6.1.2.1"></times><ci id="S3.SS2.p2.9.m6.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m6.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.SS2.p2.9.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.9.m6.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.9.m6.1c">x(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.9.m6.1d">italic_x ( italic_t )</annotation></semantics></math> obtained from a Zadoff-Chu sequence <math alttext="X_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.10.m7.1"><semantics id="S3.SS2.p2.10.m7.1a"><msub id="S3.SS2.p2.10.m7.1.1" xref="S3.SS2.p2.10.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.10.m7.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.10.m7.1.1.2.cmml">X</mi><mi id="S3.SS2.p2.10.m7.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.10.m7.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.10.m7.1b"><apply id="S3.SS2.p2.10.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.10.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.10.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m7.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S3.SS2.p2.10.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.10.m7.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.10.m7.1c">X_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.10.m7.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> does not meet this property (since a Fourier series expansion is not equivalent to a DFT) the envelope of the resultant signal has a very low PAPR.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.2">When the multitone signal <math alttext="x(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p3.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p3.1.m1.1.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.2.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.1.2.1" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p3.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.2"><times id="S3.SS2.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.1.m1.1c">x(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.1.m1.1d">italic_x ( italic_t )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.E6" title="In III-B Channel sounding signals ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) is transmitted through a linear time-variant channel (LTV) characterized by its time-variant channel impulse response <math alttext="h(t,\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.2.m2.2"><semantics id="S3.SS2.p3.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS2.p3.2.m2.2.3" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.1" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.3.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.2.m2.2b"><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.3"><times id="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.2">ℎ</ci><interval closure="open" id="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.3.3.2"><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2">𝜏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.2.m2.2c">h(t,\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.2.m2.2d">italic_h ( italic_t , italic_τ )</annotation></semantics></math>, the output can be expressed as</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p4"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}y(t)=&x(\tau)\ast h(t,\tau)=\int_{0}^{\infty}x(t-\tau)h(t,\tau)d% \tau=\\ &\sum_{k=k_{1}}^{k_{N}}\Re\{e^{j(2\pi k\delta_{\!f}t+\Psi_{k})}\int_{0}^{% \infty}h(t,\tau)e^{-j2\pi k\delta_{\!f}\tau}d\tau\}=\\ &\sum_{k=k_{1}}^{k_{N}}\Re\{H(t,k\delta_{\!f})e^{j(2\pi k\delta_{\!f}t+\Psi_{k% })}\},\\ \end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E8.m1.78"><semantics id="S3.E8.m1.78a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S3.E8.m1.78.78.4" rowspacing="0pt"><mtr id="S3.E8.m1.78.78.4a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.E8.m1.78.78.4b"><mrow id="S3.E8.m1.5.5.5.5.5"><mrow id="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6"><mi id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">y</mi><mo id="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.2"><mo id="S3.E8.m1.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E8.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.E8.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">t</mi><mo id="S3.E8.m1.4.4.4.4.4.4" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">=</mo><mi id="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.7" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml"></mi></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E8.m1.78.78.4c"><mrow id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31"><mrow id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.33"><mrow id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.33.2"><mrow id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.33.2.1"><mi id="S3.E8.m1.6.6.6.6.1.1" xref="S3.E8.m1.6.6.6.6.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.33.2.1.1" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.33.2.1.2"><mo id="S3.E8.m1.7.7.7.7.2.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E8.m1.8.8.8.8.3.3" xref="S3.E8.m1.8.8.8.8.3.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E8.m1.9.9.9.9.4.4" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.10.10.10.10.5.5" rspace="0.222em" xref="S3.E8.m1.10.10.10.10.5.5.cmml">∗</mo><mi id="S3.E8.m1.11.11.11.11.6.6" xref="S3.E8.m1.11.11.11.11.6.6.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.33.1" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.33.3"><mo id="S3.E8.m1.12.12.12.12.7.7" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E8.m1.13.13.13.13.8.8" xref="S3.E8.m1.13.13.13.13.8.8.cmml">t</mi><mo id="S3.E8.m1.14.14.14.14.9.9" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E8.m1.15.15.15.15.10.10" xref="S3.E8.m1.15.15.15.15.10.10.cmml">τ</mi><mo id="S3.E8.m1.16.16.16.16.11.11" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.17.17.17.17.12.12" rspace="0.111em" xref="S3.E8.m1.17.17.17.17.12.12.cmml">=</mo><mrow id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.31"><msubsup id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.31.2"><mo id="S3.E8.m1.18.18.18.18.13.13" xref="S3.E8.m1.18.18.18.18.13.13.cmml">∫</mo><mn id="S3.E8.m1.19.19.19.19.14.14.1" xref="S3.E8.m1.19.19.19.19.14.14.1.cmml">0</mn><mi id="S3.E8.m1.20.20.20.20.15.15.1" mathvariant="normal" xref="S3.E8.m1.20.20.20.20.15.15.1.cmml">∞</mi></msubsup><mrow id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.31.1"><mi id="S3.E8.m1.21.21.21.21.16.16" xref="S3.E8.m1.21.21.21.21.16.16.cmml">x</mi><mo id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.31.1.2" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.31.1.1.1"><mo id="S3.E8.m1.22.22.22.22.17.17" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.31.1.1.1.1"><mi id="S3.E8.m1.23.23.23.23.18.18" xref="S3.E8.m1.23.23.23.23.18.18.cmml">t</mi><mo id="S3.E8.m1.24.24.24.24.19.19" xref="S3.E8.m1.24.24.24.24.19.19.cmml">−</mo><mi id="S3.E8.m1.25.25.25.25.20.20" xref="S3.E8.m1.25.25.25.25.20.20.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S3.E8.m1.26.26.26.26.21.21" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.31.1.2a" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.27.27.27.27.22.22" xref="S3.E8.m1.27.27.27.27.22.22.cmml">h</mi><mo id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.31.1.2b" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.31.1.3"><mo id="S3.E8.m1.28.28.28.28.23.23" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E8.m1.29.29.29.29.24.24" xref="S3.E8.m1.29.29.29.29.24.24.cmml">t</mi><mo id="S3.E8.m1.30.30.30.30.25.25" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E8.m1.31.31.31.31.26.26" xref="S3.E8.m1.31.31.31.31.26.26.cmml">τ</mi><mo id="S3.E8.m1.32.32.32.32.27.27" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.31.1.2c" lspace="0em" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.31.1.4"><mo id="S3.E8.m1.33.33.33.33.28.28" rspace="0em" xref="S3.E8.m1.33.33.33.33.28.28.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E8.m1.34.34.34.34.29.29" xref="S3.E8.m1.34.34.34.34.29.29.cmml">τ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.35.35.35.35.30.30" xref="S3.E8.m1.35.35.35.35.30.30.cmml">=</mo><mi id="S3.E8.m1.76.76.2.75.36.31.34" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml"></mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E8.m1.78.78.4d"><mtd id="S3.E8.m1.78.78.4e" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E8.m1.78.78.4f"><mrow id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23"><mrow id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23"><munderover id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23.2"><mo id="S3.E8.m1.36.36.36.1.1.1" movablelimits="false" xref="S3.E8.m1.36.36.36.1.1.1.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E8.m1.37.37.37.2.2.2.1" xref="S3.E8.m1.37.37.37.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.37.37.37.2.2.2.1.2" xref="S3.E8.m1.37.37.37.2.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.37.37.37.2.2.2.1.1" xref="S3.E8.m1.37.37.37.2.2.2.1.1.cmml">=</mo><msub id="S3.E8.m1.37.37.37.2.2.2.1.3" xref="S3.E8.m1.37.37.37.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.37.37.37.2.2.2.1.3.2" xref="S3.E8.m1.37.37.37.2.2.2.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S3.E8.m1.37.37.37.2.2.2.1.3.3" xref="S3.E8.m1.37.37.37.2.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msub id="S3.E8.m1.38.38.38.3.3.3.1" xref="S3.E8.m1.38.38.38.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.38.38.38.3.3.3.1.2" xref="S3.E8.m1.38.38.38.3.3.3.1.2.cmml">k</mi><mi id="S3.E8.m1.38.38.38.3.3.3.1.3" xref="S3.E8.m1.38.38.38.3.3.3.1.3.cmml">N</mi></msub></munderover><mrow id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23.1.1"><mi id="S3.E8.m1.39.39.39.4.4.4" mathvariant="normal" xref="S3.E8.m1.39.39.39.4.4.4.cmml">ℜ</mi><mo id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23.1.1a" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23.1.1.1"><mo id="S3.E8.m1.40.40.40.5.5.5" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23.1.1.1.1"><msup id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23.1.1.1.1.2"><mi id="S3.E8.m1.41.41.41.6.6.6" xref="S3.E8.m1.41.41.41.6.6.6.cmml">e</mi><mrow id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.3" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.3.cmml">j</mi><mo id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.2" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml">π</mi><mo id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.4.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.1b" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.5" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.5.2" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.5.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.5.3" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.5.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.1c" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.6" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.6.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23.1.1.1.1.3"><msubsup id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23.1.1.1.1.3.1"><mo id="S3.E8.m1.43.43.43.8.8.8" xref="S3.E8.m1.43.43.43.8.8.8.cmml">∫</mo><mn id="S3.E8.m1.44.44.44.9.9.9.1" xref="S3.E8.m1.44.44.44.9.9.9.1.cmml">0</mn><mi id="S3.E8.m1.45.45.45.10.10.10.1" mathvariant="normal" xref="S3.E8.m1.45.45.45.10.10.10.1.cmml">∞</mi></msubsup><mrow id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23.1.1.1.1.3.2"><mi id="S3.E8.m1.46.46.46.11.11.11" xref="S3.E8.m1.46.46.46.11.11.11.cmml">h</mi><mo id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23.1.1.1.1.3.2.2"><mo id="S3.E8.m1.47.47.47.12.12.12" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E8.m1.48.48.48.13.13.13" xref="S3.E8.m1.48.48.48.13.13.13.cmml">t</mi><mo id="S3.E8.m1.49.49.49.14.14.14" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E8.m1.50.50.50.15.15.15" xref="S3.E8.m1.50.50.50.15.15.15.cmml">τ</mi><mo id="S3.E8.m1.51.51.51.16.16.16" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23.1.1.1.1.3.2.3"><mi id="S3.E8.m1.52.52.52.17.17.17" xref="S3.E8.m1.52.52.52.17.17.17.cmml">e</mi><mrow id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1a" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.2" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.1" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.3" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.3.cmml">2</mn><mo id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.1a" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.4" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.4.cmml">π</mi><mo id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.1b" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.5" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.5.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.1c" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.6" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.6.cmml"><mi id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.6.2" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.6.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.6.3" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.6.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.1d" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.7" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.7.cmml">τ</mi></mrow></mrow></msup><mo id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23.1.1.1.1.3.2.1b" lspace="0em" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.23.1.1.1.1.3.2.4"><mo id="S3.E8.m1.54.54.54.19.19.19" rspace="0em" xref="S3.E8.m1.54.54.54.19.19.19.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E8.m1.55.55.55.20.20.20" xref="S3.E8.m1.55.55.55.20.20.20.cmml">τ</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.56.56.56.21.21.21" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.57.57.57.22.22.22" xref="S3.E8.m1.57.57.57.22.22.22.cmml">=</mo><mi id="S3.E8.m1.77.77.3.76.23.23.24" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml"></mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E8.m1.78.78.4g"><mtd id="S3.E8.m1.78.78.4h" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E8.m1.78.78.4i"><mrow id="S3.E8.m1.78.78.4.77.18.18.18"><mrow id="S3.E8.m1.78.78.4.77.18.18.18.1"><munderover id="S3.E8.m1.78.78.4.77.18.18.18.1.2"><mo id="S3.E8.m1.58.58.58.1.1.1" movablelimits="false" xref="S3.E8.m1.58.58.58.1.1.1.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1" xref="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.2" xref="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.1" xref="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.1.cmml">=</mo><msub id="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.3" xref="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.3.2" xref="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.3.3" xref="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msub id="S3.E8.m1.60.60.60.3.3.3.1" xref="S3.E8.m1.60.60.60.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.60.60.60.3.3.3.1.2" xref="S3.E8.m1.60.60.60.3.3.3.1.2.cmml">k</mi><mi id="S3.E8.m1.60.60.60.3.3.3.1.3" xref="S3.E8.m1.60.60.60.3.3.3.1.3.cmml">N</mi></msub></munderover><mrow id="S3.E8.m1.78.78.4.77.18.18.18.1.1.1"><mi id="S3.E8.m1.61.61.61.4.4.4" mathvariant="normal" xref="S3.E8.m1.61.61.61.4.4.4.cmml">ℜ</mi><mo id="S3.E8.m1.78.78.4.77.18.18.18.1.1.1a" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E8.m1.78.78.4.77.18.18.18.1.1.1.1"><mo id="S3.E8.m1.62.62.62.5.5.5" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.E8.m1.78.78.4.77.18.18.18.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E8.m1.63.63.63.6.6.6" xref="S3.E8.m1.63.63.63.6.6.6.cmml">H</mi><mo id="S3.E8.m1.78.78.4.77.18.18.18.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.78.78.4.77.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E8.m1.64.64.64.7.7.7" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E8.m1.65.65.65.8.8.8" xref="S3.E8.m1.65.65.65.8.8.8.cmml">t</mi><mo id="S3.E8.m1.66.66.66.9.9.9" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">,</mo><mrow id="S3.E8.m1.78.78.4.77.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E8.m1.67.67.67.10.10.10" xref="S3.E8.m1.67.67.67.10.10.10.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.78.78.4.77.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E8.m1.78.78.4.77.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S3.E8.m1.68.68.68.11.11.11" xref="S3.E8.m1.68.68.68.11.11.11.cmml">δ</mi><mi id="S3.E8.m1.69.69.69.12.12.12.1" xref="S3.E8.m1.69.69.69.12.12.12.1.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="S3.E8.m1.70.70.70.13.13.13" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E8.m1.78.78.4.77.18.18.18.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E8.m1.78.78.4.77.18.18.18.1.1.1.1.1.3"><mi id="S3.E8.m1.71.71.71.14.14.14" xref="S3.E8.m1.71.71.71.14.14.14.cmml">e</mi><mrow id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.3" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.3.cmml">j</mi><mo id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.2" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.3.cmml">π</mi><mo id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.4.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.1b" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.5" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.5.2" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.5.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.5.3" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.5.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.1c" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.6" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.6.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E8.m1.73.73.73.16.16.16" stretchy="false" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.74.74.74.17.17.17" xref="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E8.m1.78b"><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><and id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1a.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"></and><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1b.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><eq id="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.5"></eq><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><times id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"></times><ci id="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.1.1">𝑦</ci><ci id="S3.E8.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.3.3.3.3.3.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.7.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><times id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.7.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"></times><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.7.2.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><ci id="S3.E8.m1.10.10.10.10.5.5.cmml" xref="S3.E8.m1.10.10.10.10.5.5">∗</ci><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.7.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><times id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.7.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"></times><ci id="S3.E8.m1.6.6.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.6.6.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.E8.m1.8.8.8.8.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.8.8.3.3">𝜏</ci></apply><ci id="S3.E8.m1.11.11.11.11.6.6.cmml" xref="S3.E8.m1.11.11.11.11.6.6">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.7.3.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><ci id="S3.E8.m1.13.13.13.13.8.8.cmml" xref="S3.E8.m1.13.13.13.13.8.8">𝑡</ci><ci id="S3.E8.m1.15.15.15.15.10.10.cmml" 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id="S3.E8.m1.38.38.38.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.38.38.38.3.3.3.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.38.38.38.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.38.38.38.3.3.3.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.E8.m1.38.38.38.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.38.38.38.3.3.3.1.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><real id="S3.E8.m1.39.39.39.4.4.4.cmml" xref="S3.E8.m1.39.39.39.4.4.4"></real><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><times id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"></times><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.41.41.41.6.6.6.cmml" xref="S3.E8.m1.41.41.41.6.6.6">𝑒</ci><apply id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1"><times id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.2"></times><ci id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.3">𝑗</ci><apply id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1"><plus id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2"><times id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.3">𝜋</ci><ci id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.4">𝑘</ci><apply id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.5.2">𝛿</ci><ci id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.5.3">𝑓</ci></apply><ci id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.2.6">𝑡</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.3.2">Ψ</ci><ci id="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.42.42.42.7.7.7.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1">subscript</csymbol><int id="S3.E8.m1.43.43.43.8.8.8.cmml" xref="S3.E8.m1.43.43.43.8.8.8"></int><cn id="S3.E8.m1.44.44.44.9.9.9.1.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.44.44.44.9.9.9.1">0</cn></apply><infinity id="S3.E8.m1.45.45.45.10.10.10.1.cmml" xref="S3.E8.m1.45.45.45.10.10.10.1"></infinity></apply><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><times id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"></times><ci id="S3.E8.m1.46.46.46.11.11.11.cmml" xref="S3.E8.m1.46.46.46.11.11.11">ℎ</ci><interval closure="open" id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><ci id="S3.E8.m1.48.48.48.13.13.13.cmml" xref="S3.E8.m1.48.48.48.13.13.13">𝑡</ci><ci id="S3.E8.m1.50.50.50.15.15.15.cmml" xref="S3.E8.m1.50.50.50.15.15.15">𝜏</ci></interval><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.52.52.52.17.17.17.cmml" xref="S3.E8.m1.52.52.52.17.17.17">𝑒</ci><apply id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.cmml" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1"><minus id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1"></minus><apply id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2"><times id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.1"></times><ci id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.2">𝑗</ci><cn id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.3">2</cn><ci id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.4.cmml" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.4">𝜋</ci><ci id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.5.cmml" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.5">𝑘</ci><apply id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.6.cmml" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.6.1.cmml" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.6">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.6.2.cmml" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.6.2">𝛿</ci><ci id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.6.3.cmml" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.6.3">𝑓</ci></apply><ci id="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.7.cmml" xref="S3.E8.m1.53.53.53.18.18.18.1.2.7">𝜏</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.5.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E8.m1.54.54.54.19.19.19.cmml" xref="S3.E8.m1.54.54.54.19.19.19">differential-d</csymbol><ci id="S3.E8.m1.55.55.55.20.20.20.cmml" xref="S3.E8.m1.55.55.55.20.20.20">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1g.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><eq id="S3.E8.m1.57.57.57.22.22.22.cmml" xref="S3.E8.m1.57.57.57.22.22.22"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.E8.m1.75.75.1.1.1.2.cmml" id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1h.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"></share><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1">subscript</csymbol><sum id="S3.E8.m1.58.58.58.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.58.58.58.1.1.1"></sum><apply id="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1"><eq id="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.1"></eq><ci id="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.2">𝑘</ci><apply id="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.59.59.59.2.2.2.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.60.60.60.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.60.60.60.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.60.60.60.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.60.60.60.3.3.3.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.60.60.60.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.60.60.60.3.3.3.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.E8.m1.60.60.60.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.60.60.60.3.3.3.1.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><real id="S3.E8.m1.61.61.61.4.4.4.cmml" xref="S3.E8.m1.61.61.61.4.4.4"></real><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><times id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"></times><ci id="S3.E8.m1.63.63.63.6.6.6.cmml" xref="S3.E8.m1.63.63.63.6.6.6">𝐻</ci><interval closure="open" id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><ci id="S3.E8.m1.65.65.65.8.8.8.cmml" xref="S3.E8.m1.65.65.65.8.8.8">𝑡</ci><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><times id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"></times><ci id="S3.E8.m1.67.67.67.10.10.10.cmml" xref="S3.E8.m1.67.67.67.10.10.10">𝑘</ci><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.68.68.68.11.11.11.cmml" xref="S3.E8.m1.68.68.68.11.11.11">𝛿</ci><ci id="S3.E8.m1.69.69.69.12.12.12.1.cmml" xref="S3.E8.m1.69.69.69.12.12.12.1">𝑓</ci></apply></apply></interval><apply id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.75.75.1.1.1.3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.5.5.5.6.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.71.71.71.14.14.14.cmml" xref="S3.E8.m1.71.71.71.14.14.14">𝑒</ci><apply id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1"><times id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.2"></times><ci id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.3">𝑗</ci><apply id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1"><plus id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2"><times id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.3">𝜋</ci><ci id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.4">𝑘</ci><apply id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.5.2">𝛿</ci><ci id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.5.3">𝑓</ci></apply><ci id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.2.6">𝑡</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.3.2">Ψ</ci><ci id="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.72.72.72.15.15.15.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E8.m1.78c">\begin{split}y(t)=&x(\tau)\ast h(t,\tau)=\int_{0}^{\infty}x(t-\tau)h(t,\tau)d% \tau=\\ &\sum_{k=k_{1}}^{k_{N}}\Re\{e^{j(2\pi k\delta_{\!f}t+\Psi_{k})}\int_{0}^{% \infty}h(t,\tau)e^{-j2\pi k\delta_{\!f}\tau}d\tau\}=\\ &\sum_{k=k_{1}}^{k_{N}}\Re\{H(t,k\delta_{\!f})e^{j(2\pi k\delta_{\!f}t+\Psi_{k% })}\},\\ \end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E8.m1.78d">start_ROW start_CELL italic_y ( italic_t ) = end_CELL start_CELL italic_x ( italic_τ ) ∗ italic_h ( italic_t , italic_τ ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT italic_x ( italic_t - italic_τ ) italic_h ( italic_t , italic_τ ) italic_d italic_τ = end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_ℜ { italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j ( 2 italic_π italic_k italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT italic_t + roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT italic_h ( italic_t , italic_τ ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_j 2 italic_π italic_k italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_τ } = end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_ℜ { italic_H ( italic_t , italic_k italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j ( 2 italic_π italic_k italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT italic_t + roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT } , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.1">where <math alttext="H(t,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.1.m1.2"><semantics id="S3.SS2.p4.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS2.p4.1.m1.2.3" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.2" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.1" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.3.2" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.2.2" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.1.m1.2b"><apply id="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.3"><times id="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.2">𝐻</ci><interval closure="open" id="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.1.m1.2c">H(t,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.1.m1.2d">italic_H ( italic_t , italic_f )</annotation></semantics></math> is the time-variant channel frequency response. The time autocorrelation of the time-variant frequency response can be defined as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Phi_{H}^{(t)}(\Delta t,f)=<H(t+\Delta t,f)H^{*}(t,f)>_{t}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E9.m1.7"><semantics id="S3.E9.m1.7a"><mrow id="S3.E9.m1.7.7" xref="S3.E9.m1.7.7.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.6.6.1" xref="S3.E9.m1.6.6.1.cmml"><msubsup id="S3.E9.m1.6.6.1.3" xref="S3.E9.m1.6.6.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.6.6.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E9.m1.6.6.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S3.E9.m1.6.6.1.3.2.3" xref="S3.E9.m1.6.6.1.3.2.3.cmml">H</mi><mrow id="S3.E9.m1.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.6.6.1.3.cmml"><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.6.6.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.E9.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.6.6.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.E9.m1.6.6.1.2" xref="S3.E9.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E9.m1.2.2" xref="S3.E9.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E9.m1.7.7.3" rspace="0.1389em" xref="S3.E9.m1.7.7.3.cmml">=</mo><msub id="S3.E9.m1.7.7.2" xref="S3.E9.m1.7.7.2.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.3.cmml">H</mi><mo id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.2" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Δ</mi><mo id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E9.m1.3.3" xref="S3.E9.m1.3.3.cmml">f</mi><mo id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.2a" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.4" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.4.2" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.4.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.4.3" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.2b" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.5.2" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.5.1.cmml"><mo id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.5.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E9.m1.4.4" xref="S3.E9.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.5.2.2" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.5.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E9.m1.5.5" xref="S3.E9.m1.5.5.cmml">f</mi><mo id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.5.2.3" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mi id="S3.E9.m1.7.7.2.3" xref="S3.E9.m1.7.7.2.3.cmml">t</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E9.m1.7b"><apply id="S3.E9.m1.7.7.cmml" xref="S3.E9.m1.7.7"><eq id="S3.E9.m1.7.7.3.cmml" xref="S3.E9.m1.7.7.3"></eq><apply id="S3.E9.m1.6.6.1.cmml" xref="S3.E9.m1.6.6.1"><times id="S3.E9.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.6.6.1.2"></times><apply id="S3.E9.m1.6.6.1.3.cmml" xref="S3.E9.m1.6.6.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.6.6.1.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.6.6.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E9.m1.6.6.1.3.2.cmml" xref="S3.E9.m1.6.6.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.6.6.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.6.6.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.6.6.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.6.6.1.3.2.2">Φ</ci><ci id="S3.E9.m1.6.6.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.6.6.1.3.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S3.E9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E9.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1"><apply id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1"><times id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.m1.6.6.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.E9.m1.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.2.2">𝑓</ci></interval></apply><apply id="S3.E9.m1.7.7.2.cmml" xref="S3.E9.m1.7.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.7.7.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E9.m1.7.7.2.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E9.m1.7.7.2.1.2.1.cmml" 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id="S3.E9.m1.3.3.cmml" xref="S3.E9.m1.3.3">𝑓</ci></interval><apply id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.4.2">𝐻</ci><times id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.4.3"></times></apply><interval closure="open" id="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E9.m1.7.7.2.1.1.1.5.2"><ci id="S3.E9.m1.4.4.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4">𝑡</ci><ci id="S3.E9.m1.5.5.cmml" xref="S3.E9.m1.5.5">𝑓</ci></interval></apply></apply><ci id="S3.E9.m1.7.7.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.7.7.2.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E9.m1.7c">\Phi_{H}^{(t)}(\Delta t,f)=<H(t+\Delta t,f)H^{*}(t,f)>_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E9.m1.7d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t , italic_f ) = < italic_H ( italic_t + roman_Δ italic_t , italic_f ) italic_H start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t , italic_f ) > start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.13">and the spectral density of the time-variant frequency response is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="R(\nu,f)=\mathcal{FT}_{\Delta t}\{\Phi_{H}^{(t)}(\Delta t,f)\}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E10.m1.5"><semantics id="S3.E10.m1.5a"><mrow id="S3.E10.m1.5.5.1" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.5.5.1.1" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">R</mi><mo id="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E10.m1.2.2" xref="S3.E10.m1.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E10.m1.3.3" xref="S3.E10.m1.3.3.cmml">f</mi><mo id="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">ℱ</mi><mo id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.2" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.2.cmml">𝒯</mi><mrow id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.3" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.3.2.cmml">Δ</mi><mo id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.3.1" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.3.3" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.3.3.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.2a" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">H</mi><mrow id="S3.E10.m1.1.1.1.3" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E10.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E10.m1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.E10.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E10.m1.4.4" xref="S3.E10.m1.4.4.cmml">f</mi><mo id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E10.m1.5b"><apply id="S3.E10.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1"><eq id="S3.E10.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.2"></eq><apply id="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.3"><times id="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.2">𝑅</ci><interval closure="open" id="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.3.3.2"><ci id="S3.E10.m1.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2">𝜈</ci><ci id="S3.E10.m1.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.3.3">𝑓</ci></interval></apply><apply id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1"><times id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.3">ℱ</ci><apply id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.2">𝒯</ci><apply id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.3"><times id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.3.2">Δ</ci><ci id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.4.3.3">𝑡</ci></apply></apply><set id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.2">Φ</ci><ci id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S3.E10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.E10.m1.4.4.cmml" xref="S3.E10.m1.4.4">𝑓</ci></interval></apply></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E10.m1.5c">R(\nu,f)=\mathcal{FT}_{\Delta t}\{\Phi_{H}^{(t)}(\Delta t,f)\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E10.m1.5d">italic_R ( italic_ν , italic_f ) = caligraphic_F caligraphic_T start_POSTSUBSCRIPT roman_Δ italic_t end_POSTSUBSCRIPT { roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t , italic_f ) } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.6">Notice that for a fixed frequency <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.2.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p4.2.m1.1a"><mi id="S3.SS2.p4.2.m1.1.1" xref="S3.SS2.p4.2.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.2.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p4.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.2.m1.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.2.m1.1d">italic_f</annotation></semantics></math> the function <math alttext="R(\nu,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.3.m2.2"><semantics id="S3.SS2.p4.3.m2.2a"><mrow id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.2" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.2.cmml">R</mi><mo id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.1" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.2" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p4.3.m2.1.1" xref="S3.SS2.p4.3.m2.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.2.2" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p4.3.m2.2.2" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.3.m2.2b"><apply id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3"><times id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.2">𝑅</ci><interval closure="open" id="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.3.3.2"><ci id="S3.SS2.p4.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.1.1">𝜈</ci><ci id="S3.SS2.p4.3.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m2.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.3.m2.2c">R(\nu,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.3.m2.2d">italic_R ( italic_ν , italic_f )</annotation></semantics></math> is the Doppler spectrum of the channel frequency response at that frequency. Assuming that <math alttext="H(t,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.4.m3.2"><semantics id="S3.SS2.p4.4.m3.2a"><mrow id="S3.SS2.p4.4.m3.2.3" xref="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.2" xref="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.1" xref="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.3.2" xref="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p4.4.m3.1.1" xref="S3.SS2.p4.4.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.3.2.2" xref="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p4.4.m3.2.2" xref="S3.SS2.p4.4.m3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.4.m3.2b"><apply id="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m3.2.3"><times id="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.2">𝐻</ci><interval closure="open" id="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m3.2.3.3.2"><ci id="S3.SS2.p4.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m3.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS2.p4.4.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.4.m3.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.4.m3.2c">H(t,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.4.m3.2d">italic_H ( italic_t , italic_f )</annotation></semantics></math> varies with time much slower than does a carrier of frequency <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.5.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p4.5.m4.1a"><mi id="S3.SS2.p4.5.m4.1.1" xref="S3.SS2.p4.5.m4.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.5.m4.1b"><ci id="S3.SS2.p4.5.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.5.m4.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.5.m4.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.5.m4.1d">italic_f</annotation></semantics></math>, it can be shown that the time autocorrelation of the received signal <math alttext="y(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.6.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p4.6.m5.1a"><mrow id="S3.SS2.p4.6.m5.1.2" xref="S3.SS2.p4.6.m5.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.6.m5.1.2.2" xref="S3.SS2.p4.6.m5.1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S3.SS2.p4.6.m5.1.2.1" xref="S3.SS2.p4.6.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p4.6.m5.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p4.6.m5.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.6.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.6.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p4.6.m5.1.1" xref="S3.SS2.p4.6.m5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS2.p4.6.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.6.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.6.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p4.6.m5.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.6.m5.1.2"><times id="S3.SS2.p4.6.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.6.m5.1.2.1"></times><ci id="S3.SS2.p4.6.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.6.m5.1.2.2">𝑦</ci><ci id="S3.SS2.p4.6.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.6.m5.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.6.m5.1c">y(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.6.m5.1d">italic_y ( italic_t )</annotation></semantics></math> can be approximated by (see Appendix)</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Phi_{y}^{(t)}(\Delta t)\approx\tfrac{1}{2}\sum_{k=k_{1}}^{k_{N}}\Re\{\Phi_{H}% ^{t}(\Delta t,k\delta_{\!f})e^{j2\pi k\delta_{\!f}\Delta t}\}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E11.m1.4"><semantics id="S3.E11.m1.4a"><mrow id="S3.E11.m1.4.4" xref="S3.E11.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.E11.m1.3.3.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.cmml"><msubsup id="S3.E11.m1.3.3.1.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.3.3.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E11.m1.3.3.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S3.E11.m1.3.3.1.3.2.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.3.2.3.cmml">y</mi><mrow id="S3.E11.m1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.3.cmml"><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.3.3.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E11.m1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.E11.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.3.3.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.2" xref="S3.E11.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E11.m1.4.4.3" xref="S3.E11.m1.4.4.3.cmml">≈</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S3.E11.m1.4.4.2.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.3.cmml"><mfrac id="S3.E11.m1.4.4.2.3a" xref="S3.E11.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S3.E11.m1.4.4.2.3.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E11.m1.4.4.2.3.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.2.1" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.cmml"><munderover id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.1" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><msub id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.3.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.3.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msub id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.3.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.3.2.cmml">k</mi><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.3.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.3.3.cmml">N</mi></msub></munderover><mrow id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E11.m1.2.2.cmml">ℜ</mi><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1a" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">H</mi><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msubsup><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.1" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">2</mn><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.1a" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.4" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.4.cmml">π</mi><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.1b" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.5" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.5.cmml">k</mi><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.1c" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.6" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.6.cmml"><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.6.2" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.6.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.6.3" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.6.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.1d" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.7" mathvariant="normal" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.7.cmml">Δ</mi><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.1e" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.8" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.8.cmml">t</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E11.m1.4b"><apply id="S3.E11.m1.4.4.cmml" 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id="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2"><times id="S3.E11.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.2"></times><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.3"><divide id="S3.E11.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.3"></divide><cn id="S3.E11.m1.4.4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.4.4.2.3.2">1</cn><cn id="S3.E11.m1.4.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.4.4.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1"><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.2"></sum><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3"><eq id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.2">𝑘</ci><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1"><real id="S3.E11.m1.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.2.2"></real><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3"></times><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.2.2">Φ</ci><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.4.3">𝑡</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑘</ci><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.3.3">𝑓</ci></apply></apply></interval><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.2">𝑒</ci><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3"><times id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.1"></times><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.3">2</cn><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.4.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.4">𝜋</ci><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.5.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.5">𝑘</ci><apply id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.6.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.6.1.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.6">subscript</csymbol><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.6.2.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.6.2">𝛿</ci><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.6.3.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.6.3">𝑓</ci></apply><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.7.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.7">Δ</ci><ci id="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.8.cmml" xref="S3.E11.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.5.3.8">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E11.m1.4c">\Phi_{y}^{(t)}(\Delta t)\approx\tfrac{1}{2}\sum_{k=k_{1}}^{k_{N}}\Re\{\Phi_{H}% ^{t}(\Delta t,k\delta_{\!f})e^{j2\pi k\delta_{\!f}\Delta t}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E11.m1.4d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t ) ≈ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_ℜ { roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t , italic_k italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π italic_k italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT roman_Δ italic_t end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.14">and the power spectral density of the received signal can be expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P_{y}(f)\approx\sum_{k=k_{1}}^{k_{N}}\tfrac{1}{4}R(f-k\delta_{\!f},k\delta_{\!% f})+\tfrac{1}{4}R^{*}(-f-k\delta_{\!f},k\delta_{\!f})." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E12.m1.2"><semantics id="S3.E12.m1.2a"><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1.6" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.cmml"><msub id="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.2.cmml"><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.2.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.2.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.2.3.cmml">y</mi></msub><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.1" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.3.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.cmml"><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.cmml">(</mo><mi id="S3.E12.m1.1.1" xref="S3.E12.m1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.5" rspace="0.111em" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.5.cmml">≈</mo><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><munderover id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><msub id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.2.cmml">k</mi><mn id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msub id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3.cmml">N</mi></msub></munderover><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.4" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.cmml"><mfrac id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.4a" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.cmml"><mn id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.3.cmml">4</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.5" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.cmml">R</mi><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.3a" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.4" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.5" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.5.cmml">+</mo><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.4" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.4.cmml"><mfrac id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.4a" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.4.cmml"><mn id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.4.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.4.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.4.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.4.3.cmml">4</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.5" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.5.cmml"><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.5.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.5.2.cmml">R</mi><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.5.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.5.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.3a" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.2a" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml">−</mo><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">f</mi></mrow><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.4" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.1" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3.2" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3.3" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E12.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12.m1.2b"><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1"><approx id="S3.E12.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.5"></approx><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.6"><times id="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.1"></times><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.6.2.3">𝑦</ci></apply><ci id="S3.E12.m1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.1.1">𝑓</ci></apply><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4"><plus id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.5.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.5"></plus><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2"><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.2"></sum><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3"><eq id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.2">𝑘</ci><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2"><times id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.3"></times><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.4"><divide id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.4"></divide><cn id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.2">1</cn><cn id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.4.3">4</cn></apply><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.5.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.5">𝑅</ci><interval closure="open" id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑓</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2"><times id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.2">𝑘</ci><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3">𝑓</ci></apply></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4"><times id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.3"></times><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.4.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.4"><divide id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.4"></divide><cn id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.4.2">1</cn><cn id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.4.3">4</cn></apply><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.5.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.5.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.5">superscript</csymbol><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.5.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.5.2">𝑅</ci><times id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.5.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.5.3"></times></apply><interval closure="open" id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2"><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1"><minus id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.2"><minus id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.2"></minus><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.2.2">𝑓</ci></apply><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3"><times id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.2">𝑘</ci><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.3.3">𝑓</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2"><times id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.1"></times><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.2">𝑘</ci><apply id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E12.m1.2.2.1.1.4.4.2.2.2.3.3">𝑓</ci></apply></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12.m1.2c">P_{y}(f)\approx\sum_{k=k_{1}}^{k_{N}}\tfrac{1}{4}R(f-k\delta_{\!f},k\delta_{\!% f})+\tfrac{1}{4}R^{*}(-f-k\delta_{\!f},k\delta_{\!f}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12.m1.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( italic_f ) ≈ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 4 end_ARG italic_R ( italic_f - italic_k italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT , italic_k italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 4 end_ARG italic_R start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( - italic_f - italic_k italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT , italic_k italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.12">One of the key parameters in the design of the sounding signals is <math alttext="\delta_{\!f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.7.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p4.7.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p4.7.m1.1.1" xref="S3.SS2.p4.7.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.7.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.7.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.SS2.p4.7.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.7.m1.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.7.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p4.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.7.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.7.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.7.m1.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS2.p4.7.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.7.m1.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.7.m1.1c">\delta_{\!f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.7.m1.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. If <math alttext="\delta_{\!f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.8.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p4.8.m2.1a"><msub id="S3.SS2.p4.8.m2.1.1" xref="S3.SS2.p4.8.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.8.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.8.m2.1.1.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.SS2.p4.8.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.8.m2.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.8.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p4.8.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.8.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.8.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.8.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.8.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.8.m2.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS2.p4.8.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.8.m2.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.8.m2.1c">\delta_{\!f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.8.m2.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is too large, the frequency sampling period of the channel response estimation could be insufficient and could lead to aliasing in the estimated time domain response. Conversely, if <math alttext="\delta_{\!f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.9.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p4.9.m3.1a"><msub id="S3.SS2.p4.9.m3.1.1" xref="S3.SS2.p4.9.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.9.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.9.m3.1.1.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.SS2.p4.9.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.9.m3.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.9.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p4.9.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.9.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.9.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.9.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.9.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.9.m3.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS2.p4.9.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.9.m3.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.9.m3.1c">\delta_{\!f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.9.m3.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is too small, the spectrum broadening of the received tones due to Doppler effect could be large compared to <math alttext="\delta_{\!f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.10.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p4.10.m4.1a"><msub id="S3.SS2.p4.10.m4.1.1" xref="S3.SS2.p4.10.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.10.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.10.m4.1.1.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.SS2.p4.10.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.10.m4.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.10.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p4.10.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.10.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.10.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m4.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS2.p4.10.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.10.m4.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.10.m4.1c">\delta_{\!f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.10.m4.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, inducing overlap between the spectrum of adjacent tones yielding a degradation of the channel response estimation. Moreover, since the total power of the sounding signal is distributed among the tones, a small <math alttext="\delta_{\!f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.11.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p4.11.m5.1a"><msub id="S3.SS2.p4.11.m5.1.1" xref="S3.SS2.p4.11.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.11.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.p4.11.m5.1.1.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.SS2.p4.11.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p4.11.m5.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.11.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p4.11.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.11.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.11.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.11.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.11.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.11.m5.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS2.p4.11.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.11.m5.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.11.m5.1c">\delta_{\!f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.11.m5.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (this is, a high number of tones), will make the signal to noise ratio (SNR) of each tone component lower, degrading channel estimation. In Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.F4" title="Figure 4 ‣ III-B Channel sounding signals ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> it can be observed the spectrum <math alttext="P_{y}(f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.12.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p4.12.m6.1a"><mrow id="S3.SS2.p4.12.m6.1.2" xref="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.cmml"><msub id="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.2" xref="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.2.3" xref="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.2.3.cmml">y</mi></msub><mo id="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.1" xref="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p4.12.m6.1.1" xref="S3.SS2.p4.12.m6.1.1.cmml">f</mi><mo id="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.12.m6.1b"><apply id="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.12.m6.1.2"><times id="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.1"></times><apply id="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.12.m6.1.2.2.3">𝑦</ci></apply><ci id="S3.SS2.p4.12.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.12.m6.1.1">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.12.m6.1c">P_{y}(f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.12.m6.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( italic_f )</annotation></semantics></math> of the received signal, where it can be appreciated that the Doppler spread of the first carriers (Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.F4.sf1" title="In Figure 4 ‣ III-B Channel sounding signals ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(a)</span></a>) is considerably narrower than that of the last carriers (Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.F4.sf2" title="In Figure 4 ‣ III-B Channel sounding signals ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4(b)</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p5.5">Since the duration of the channel impulse response is a priori unknown, a set of sounding signals with different parameters has been employed in an initial measure and the one which has given the best performance has been selected for the measurement campaign presented in this work. The final selected parameters have been: <math alttext="\delta_{\!f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p5.1.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.1.m1.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.1.m1.1c">\delta_{\!f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.1.m1.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> = 333.3 Hz, <math alttext="N_{ZC}=97" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p5.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.2.cmml">N</mi><mrow id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">Z</mi><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.3.1" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">C</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.3.cmml">97</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1"><eq id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.2">𝑁</ci><apply id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.3"><times id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.3.2">𝑍</ci><ci id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.2.3.3">𝐶</ci></apply></apply><cn id="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.2.m2.1.1.3">97</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.2.m2.1c">N_{ZC}=97</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.2.m2.1d">italic_N start_POSTSUBSCRIPT italic_Z italic_C end_POSTSUBSCRIPT = 97</annotation></semantics></math>, <math alttext="u=3" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p5.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1"><eq id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.2">𝑢</ci><cn id="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.3.m3.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.3.m3.1c">u=3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.3.m3.1d">italic_u = 3</annotation></semantics></math>, <math alttext="k_{0}=98" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p5.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.2.cmml">k</mi><mn id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.3.cmml">98</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1"><eq id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.2">𝑘</ci><cn id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.2.3">0</cn></apply><cn id="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.4.m4.1.1.3">98</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.4.m4.1c">k_{0}=98</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.4.m4.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = 98</annotation></semantics></math> and <math alttext="k_{N}=194" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p5.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p5.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2.2.cmml">k</mi><mi id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2.3.cmml">N</mi></msub><mo id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.1" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.3.cmml">194</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p5.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1"><eq id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><cn id="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p5.5.m5.1.1.3">194</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p5.5.m5.1c">k_{N}=194</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p5.5.m5.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT = 194</annotation></semantics></math> covering the band between 32 kHz and 128 kHz. The sounding signal period is 16.8 ms For every location, the signal is sent for 60 s. which results in 3571 consecutive channel estimations.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F4"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S3.F4.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_portrait" height="301" id="S3.F4.sf1.g1" src="x4.png" width="230"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F4.sf1.2.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S3.F4.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_portrait" height="301" id="S3.F4.sf2.g1" src="x5.png" width="230"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F4.sf2.2.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F4.4.2.1" style="font-size:90%;">Figure 4</span>: </span><span class="ltx_text" id="S3.F4.2.1" style="font-size:90%;">Partial spectrum of the received signal for the (a) first carriers and (b) last carriers. The frequency response of the filters <math alttext="g_{i}[n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F4.2.1.m1.1"><semantics id="S3.F4.2.1.m1.1b"><mrow id="S3.F4.2.1.m1.1.2" xref="S3.F4.2.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.F4.2.1.m1.1.2.2" xref="S3.F4.2.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.F4.2.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.F4.2.1.m1.1.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="S3.F4.2.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.F4.2.1.m1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.F4.2.1.m1.1.2.1" xref="S3.F4.2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F4.2.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.F4.2.1.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.F4.2.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.F4.2.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.F4.2.1.m1.1.1" xref="S3.F4.2.1.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.F4.2.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.F4.2.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F4.2.1.m1.1c"><apply id="S3.F4.2.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.F4.2.1.m1.1.2"><times id="S3.F4.2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.F4.2.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.F4.2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.F4.2.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.F4.2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.F4.2.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.F4.2.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.F4.2.1.m1.1.2.2.2">𝑔</ci><ci id="S3.F4.2.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.F4.2.1.m1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.F4.2.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.F4.2.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.F4.2.1.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.F4.2.1.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.F4.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.F4.2.1.m1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F4.2.1.m1.1d">g_{i}[n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F4.2.1.m1.1e">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT [ italic_n ]</annotation></semantics></math> used for channel estimation is superimposed in orange color.</span></figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS3.4.1.1">III-C</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS3.5.2">Channel estimation method</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.4">At the receiver, the signal is sampled with a period <math alttext="T_{S}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">S</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3">𝑆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.1.m1.1c">T_{S}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.1.m1.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the time-variant frequency response of the channel is obtained using a bank of <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math> filters centered at the frequency <math alttext="k_{i}\delta_{\!f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">k</mi><mi id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1"><times id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.1"></times><apply id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.3.3">𝑓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.3.m3.1c">k_{i}\delta_{\!f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.3.m3.1d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="i=1...N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.1" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">…</mi><mo id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.1a" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.4" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.4.cmml">N</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1"><eq id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.2">𝑖</ci><apply id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3"><times id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.1"></times><cn id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.3">…</ci><ci id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.4.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.3.4">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.4.m4.1c">i=1...N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.4.m4.1d">italic_i = 1 … italic_N</annotation></semantics></math>. A block diagram of the procedure is depicted in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.F5" title="Figure 5 ‣ III-C Channel estimation method ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>. The complex impulse response of each filter can be expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="g_{i}[n]=g[n]e^{j2\pi k_{i}\delta_{\!f}n}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E13.m1.3"><semantics id="S3.E13.m1.3a"><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.E13.m1.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">g</mi><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.E13.m1.2.2" xref="S3.E13.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.1a" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.1" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.3.cmml">2</mn><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.1a" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.4" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.4.cmml">π</mi><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.1b" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.5" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.5.cmml"><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.5.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.5.2.cmml">k</mi><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.5.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.5.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.1c" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.6" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.6.cmml"><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.6.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.6.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.6.3" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.6.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.1d" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.7" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.7.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.3.3.1.2" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E13.m1.3b"><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1"><eq id="S3.E13.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2"><times id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.2.2">𝑔</ci><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.E13.m1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3"><times id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.2">𝑔</ci><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.E13.m1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.2">𝑒</ci><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3"><times id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.1"></times><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.3">2</cn><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.4.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.4">𝜋</ci><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.5.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.5.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.5.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.5.2">𝑘</ci><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.5.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.5.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.6.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.6.1.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.6">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.6.2.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.6.2">𝛿</ci><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.6.3.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.6.3">𝑓</ci></apply><ci id="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.7.cmml" xref="S3.E13.m1.3.3.1.1.3.4.3.7">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E13.m1.3c">g_{i}[n]=g[n]e^{j2\pi k_{i}\delta_{\!f}n},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E13.m1.3d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT [ italic_n ] = italic_g [ italic_n ] italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(13)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.7">where <math alttext="g[n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.5.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p1.5.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.5.m1.1.2" xref="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.2.cmml">g</mi><mo id="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.1" xref="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.SS3.p1.5.m1.1.1" xref="S3.SS3.p1.5.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.5.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m1.1.2"><times id="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.1"></times><ci id="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.2">𝑔</ci><apply id="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.5.m1.1c">g[n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.5.m1.1d">italic_g [ italic_n ]</annotation></semantics></math> is the impulse response of a discrete-time finite impulse response (FIR) low-pass filter with cut-off frequency <math alttext="\delta_{\!f}/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.6.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p1.6.m2.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.6.m2.1.1" xref="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.2.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.6.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m2.1.1"><divide id="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.1"></divide><apply id="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.2.3">𝑓</ci></apply><cn id="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.6.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.6.m2.1c">\delta_{\!f}/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.6.m2.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT / 2</annotation></semantics></math>. The digital filter bank and the decimation are efficiently implemented by windowing the received signal (taking <math alttext="g[n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.7.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p1.7.m3.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.7.m3.1.2" xref="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.2.cmml">g</mi><mo id="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.1" xref="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.3.2" xref="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.SS3.p1.7.m3.1.1" xref="S3.SS3.p1.7.m3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.7.m3.1b"><apply id="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m3.1.2"><times id="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.1"></times><ci id="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.2">𝑔</ci><apply id="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m3.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m3.1.1">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.7.m3.1c">g[n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.7.m3.1d">italic_g [ italic_n ]</annotation></semantics></math> as window) and using Fast Fourier Transformation (FFT) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F5"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="255" id="S3.F5.g1" src="x6.png" width="582"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F5.2.1.1" style="font-size:90%;">Figure 5</span>: </span><span class="ltx_text" id="S3.F5.3.2" style="font-size:90%;">Block diagram of the signal processing system for the channel frequency response estimation based on a bank of filters.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p2.1">Assuming negligible noise level, low tone spectrum overlap and close-to-ideal frequency responses of the filters, the complex output signal of each filter can be approximated by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Y_{i}[n]\approx H(nT_{s},k_{i}\delta_{\!f})e^{j(2\pi k_{i}\delta_{\!f}nT_{S}+% \Psi_{k})}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E14.m1.4"><semantics id="S3.E14.m1.4a"><mrow id="S3.E14.m1.4.4" xref="S3.E14.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.4.4.4" xref="S3.E14.m1.4.4.4.cmml"><msub id="S3.E14.m1.4.4.4.2" xref="S3.E14.m1.4.4.4.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.4.4.4.2.2" xref="S3.E14.m1.4.4.4.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S3.E14.m1.4.4.4.2.3" xref="S3.E14.m1.4.4.4.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E14.m1.4.4.4.1" xref="S3.E14.m1.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.m1.4.4.4.3.2" xref="S3.E14.m1.4.4.4.3.1.cmml"><mo id="S3.E14.m1.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.4.4.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.E14.m1.2.2" xref="S3.E14.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E14.m1.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.4.4.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E14.m1.4.4.3" xref="S3.E14.m1.4.4.3.cmml">≈</mo><mrow id="S3.E14.m1.4.4.2" xref="S3.E14.m1.4.4.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.4.4.2.4" xref="S3.E14.m1.4.4.2.4.cmml">H</mi><mo id="S3.E14.m1.4.4.2.3" xref="S3.E14.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">T</mi><mi id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msub></mrow><mo id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.4" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mi id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.1" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.3.3" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E14.m1.4.4.2.3a" xref="S3.E14.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E14.m1.4.4.2.5" xref="S3.E14.m1.4.4.2.5.cmml"><mi id="S3.E14.m1.4.4.2.5.2" xref="S3.E14.m1.4.4.2.5.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">π</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">k</mi><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1b" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.5" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1c" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.6" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.6.cmml">n</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1d" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.7" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.7.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.7.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.7.2.cmml">T</mi><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.7.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.7.3.cmml">S</mi></msub></mrow><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E14.m1.4b"><apply id="S3.E14.m1.4.4.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4"><approx id="S3.E14.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.3"></approx><apply id="S3.E14.m1.4.4.4.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.4"><times id="S3.E14.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.4.1"></times><apply id="S3.E14.m1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.4.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.E14.m1.4.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.4.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E14.m1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E14.m1.4.4.4.3.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.E14.m1.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.2.2">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.E14.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2"><times id="S3.E14.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2.3"></times><ci id="S3.E14.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2.4">𝐻</ci><interval closure="open" id="S3.E14.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2"><apply id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑇</ci><ci id="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2"><times id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.1"></times><apply id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2.2.2.2.3.3">𝑓</ci></apply></apply></interval><apply id="S3.E14.m1.4.4.2.5.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.4.4.2.5.1.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2.5">superscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.4.4.2.5.2.cmml" xref="S3.E14.m1.4.4.2.5.2">𝑒</ci><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1"><times id="S3.E14.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.3">𝑗</ci><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝜋</ci><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑘</ci><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.2">𝛿</ci><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.3">𝑓</ci></apply><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.6">𝑛</ci><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.7.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.7.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.7">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.7.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.7.2">𝑇</ci><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.7.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.7.3">𝑆</ci></apply></apply><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">Ψ</ci><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E14.m1.4c">Y_{i}[n]\approx H(nT_{s},k_{i}\delta_{\!f})e^{j(2\pi k_{i}\delta_{\!f}nT_{S}+% \Psi_{k})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E14.m1.4d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT [ italic_n ] ≈ italic_H ( italic_n italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT , italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j ( 2 italic_π italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT italic_n italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT + roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p2.2">and its decimated version by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E15"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Y_{i}^{D}[m]\approx H(mMT_{s},k_{i}\delta_{\!f})e^{j(2\pi k_{i}\delta_{\!f}mMT% _{S}+\Psi_{k})}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E15.m1.3"><semantics id="S3.E15.m1.3a"><mrow id="S3.E15.m1.3.3.1" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15.m1.3.3.1.1" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.cmml"><msubsup id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.2.2" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.2.3" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.3" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml">D</mi></msubsup><mo id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.1" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.3.2" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.E15.m1.2.2" xref="S3.E15.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E15.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.3.cmml">≈</mo><mrow id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.4" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.4.cmml">H</mi><mo id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">M</mi><mo id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">T</mi><mi id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">s</mi></msub></mrow><mo id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.4" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mi id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.3a" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.5" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.5.cmml"><mi id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.5.2" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.5.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">π</mi><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">k</mi><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1b" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.5" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1c" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.6" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.6.cmml">m</mi><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1d" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.7" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.7.cmml">M</mi><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1e" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.8" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.8.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.8.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.8.2.cmml">T</mi><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.8.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.8.3.cmml">S</mi></msub></mrow><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E15.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E15.m1.3b"><apply id="S3.E15.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1"><approx id="S3.E15.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.3"></approx><apply id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4"><times id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.1"></times><apply id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.2.3">𝐷</ci></apply><apply id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.E15.m1.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.2.2">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2"><times id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.3"></times><ci id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.4">𝐻</ci><interval closure="open" id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2"><apply id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝑀</ci><apply id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑇</ci><ci id="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><times id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1"></times><apply id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2">𝛿</ci><ci id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑓</ci></apply></apply></interval><apply id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.5.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.5.1.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.5">superscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.5.2.cmml" xref="S3.E15.m1.3.3.1.1.2.5.2">𝑒</ci><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1"><times id="S3.E15.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.3">𝑗</ci><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝜋</ci><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑘</ci><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.2">𝛿</ci><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.5.3">𝑓</ci></apply><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.6">𝑚</ci><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.7.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.7">𝑀</ci><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.8.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.8.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.8">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.8.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.8.2">𝑇</ci><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.8.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.2.8.3">𝑆</ci></apply></apply><apply id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">Ψ</ci><ci id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E15.m1.3c">Y_{i}^{D}[m]\approx H(mMT_{s},k_{i}\delta_{\!f})e^{j(2\pi k_{i}\delta_{\!f}mMT% _{S}+\Psi_{k})}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E15.m1.3d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_D end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_m ] ≈ italic_H ( italic_m italic_M italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT , italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j ( 2 italic_π italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_M italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT + roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p3.6">With regard to the decimation factor <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p3.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.1.m1.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.1.m1.1d">italic_M</annotation></semantics></math>, its value must be set so that aliasing in the output signal is avoided. Concretely, <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p3.2.m2.1a"><mi id="S3.SS3.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.2.m2.1b"><ci id="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.2.m2.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.2.m2.1d">italic_M</annotation></semantics></math> will be determined by the bandwidth of the filters (which is approximately <math alttext="\delta_{\!f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p3.3.m3.1a"><msub id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.3.m3.1c">\delta_{\!f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.3.m3.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>) and the sampling period <math alttext="T_{S}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p3.4.m4.1a"><msub id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.cmml">T</mi><mi id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.cmml">S</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.4.m4.1b"><apply id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3">𝑆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.4.m4.1c">T_{S}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.4.m4.1d">italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Applying the Nyquist criterion yields <span class="ltx_text" id="S3.SS3.p3.5.1"><math alttext="M<\frac{1}{\delta_{\!f}T_{S}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mfrac id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.1" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">T</mi><mi id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">S</mi></msub></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1"><lt id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.1"></lt><ci id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.2">𝑀</ci><apply id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3"><divide id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3"></divide><cn id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3"><times id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.2.3">𝑓</ci></apply><apply id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.3.2">𝑇</ci><ci id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.1.m1.1.1.3.3.3.3">𝑆</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1c">M<\frac{1}{\delta_{\!f}T_{S}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.5.1.m1.1d">italic_M < divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></span>. The estimated channel frequency response <math alttext="\hat{H}(t,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.6.m5.2"><semantics id="S3.SS3.p3.6.m5.2a"><mrow id="S3.SS3.p3.6.m5.2.3" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.2" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.2.2" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.2.1" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.1" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.3.2" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p3.6.m5.1.1" xref="S3.SS3.p3.6.m5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.3.2.2" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p3.6.m5.2.2" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.6.m5.2b"><apply id="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.3"><times id="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.1"></times><apply id="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.2"><ci id="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.2.1">^</ci><ci id="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.2.2">𝐻</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.3.3.2"><ci id="S3.SS3.p3.6.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m5.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS3.p3.6.m5.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m5.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.6.m5.2c">\hat{H}(t,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.6.m5.2d">over^ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t , italic_f )</annotation></semantics></math> is obtained by demodulating the decimated signal in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.E15" title="In III-C Channel estimation method ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>)</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E16"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\hat{H}(mMT_{s},k_{i}\delta_{\!f})=Y_{i}^{D}[m]e^{-j(2\pi k_{i}\delta_{\!f}mMT% _{S}+\Psi_{k_{i}})}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E16.m1.3"><semantics id="S3.E16.m1.3a"><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.4" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.4.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.4.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.4.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.4.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">M</mi><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">T</mi><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">s</mi></msub></mrow><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.4" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.cmml"><msubsup id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.2.2.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.2.2.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.2.3" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml">D</mi></msubsup><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.1" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.3.2" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.E16.m1.2.2" xref="S3.E16.m1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.1a" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.4" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.4.cmml"><mi id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.4.2" 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id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">k</mi><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1b" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1c" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.6" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.6.cmml">m</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1d" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.7" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.7.cmml">M</mi><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1e" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.8" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.8.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.8.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.8.2.cmml">T</mi><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.8.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.8.3.cmml">S</mi></msub></mrow><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Ψ</mi><msub id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mi id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msub></mrow><mo id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mo 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xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.2.3">𝐷</ci></apply><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.E16.m1.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.2.2">𝑚</ci></apply><apply id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.4.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.4.1.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.4.2.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3.1.1.4.4.2">𝑒</ci><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1"><minus id="S3.E16.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1"><times id="S3.E16.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.3">𝑗</ci><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝜋</ci><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑘</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2">𝛿</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.3">𝑓</ci></apply><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.6">𝑚</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.7.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.7">𝑀</ci><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.8.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.8.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.8">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.8.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.8.2">𝑇</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.8.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.8.3">𝑆</ci></apply></apply><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Ψ</ci><apply id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E16.m1.3c">\hat{H}(mMT_{s},k_{i}\delta_{\!f})=Y_{i}^{D}[m]e^{-j(2\pi k_{i}\delta_{\!f}mMT% _{S}+\Psi_{k_{i}})}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E16.m1.3d">over^ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_m italic_M italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT , italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_D end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_m ] italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_j ( 2 italic_π italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_M italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT + roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(16)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p4.2">Finally, the non-flat frequency response of the projector and hydrophone are compensated by using the frequency response curve provided by the manufacturer. From <math alttext="\hat{H}(t,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.1.m1.2"><semantics id="S3.SS3.p4.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS3.p4.1.m1.2.3" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.2" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.2.2" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.2.1" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.1" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.3.2" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.1.m1.2b"><apply id="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.3"><times id="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.1"></times><apply id="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.2"><ci id="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.2.1">^</ci><ci id="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.2.2">𝐻</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS3.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.1.m1.2c">\hat{H}(t,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.1.m1.2d">over^ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t , italic_f )</annotation></semantics></math>, the estimated time-variant impulse response of the channel <math alttext="\hat{h}(t,\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.2.m2.2"><semantics id="S3.SS3.p4.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2.2" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2.1" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.1" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.3.2" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p4.2.m2.2.2" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.2.m2.2b"><apply id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3"><times id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.1"></times><apply id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2"><ci id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2.1">^</ci><ci id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.3.2"><ci id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS3.p4.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.2">𝜏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.2.m2.2c">\hat{h}(t,\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.2.m2.2d">over^ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ )</annotation></semantics></math> is obtained using inverse discrete Fourier transformation.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS4.4.1.1">III-D</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS4.5.2">Initial delay compensation</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p1.5">The channel estimation described in the preceding sections is subject to Doppler effects caused by two factors. On one side the frequency offset between the sampling clocks at the A/D and D/A converters at the transmitter and receiver respectively which results in a linear phase drift (with the corresponding Doppler shift) even with very small (few parts per million) offsets. On the other side is the unintentional transmitter/receiver motion, water surface motion and in general terms, the variation of the propagation medium itself which give rise to a (randomly) time varying phase shift leading to Doppler spreading. The combined phase shifts result in a fluctuation of the initial delay of the estimated impulse responses of the channel that must be corrected before any other processing <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib8" title="">8</a>]</cite>. The procedure to achieve this goal is carried out as follows: first an initial frequency channel response estimation <math alttext="\hat{H}(t,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.SS4.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS4.p1.1.m1.2.3" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.2" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.2.1" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.1" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p1.1.m1.2.2" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.1.m1.2b"><apply id="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.3"><times id="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.1"></times><apply id="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.2"><ci id="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.2.1">^</ci><ci id="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.2.2">𝐻</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS4.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.1.m1.2c">\hat{H}(t,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.1.m1.2d">over^ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t , italic_f )</annotation></semantics></math> is performed as indicated in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.E16" title="In III-C Channel estimation method ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">16</span></a>). By means of the inverse discrete Fourier transform, the impulse response of channel <math alttext="\hat{h}(t,\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.SS4.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.2" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.2.1" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.1" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.3.2" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p1.2.m2.2.2" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.2.m2.2b"><apply id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3"><times id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.1"></times><apply id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.2"><ci id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.2.1">^</ci><ci id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.3.3.2"><ci id="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS4.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.2.2">𝜏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.2.m2.2c">\hat{h}(t,\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.2.m2.2d">over^ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ )</annotation></semantics></math> is obtained and from it, the initial delay variation and the corresponding time-variant sampling frequency offset are estimated. Zero-padding in frequency domain is used in order to improve the precision in the delay estimation. Once the sampling frequency offset is available, the received signal is resampled and new improved channel impulse response <math alttext="\tilde{h}(t,\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.3.m3.2"><semantics id="S3.SS4.p1.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS4.p1.3.m3.2.3" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.2" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.2.1" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.1" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.3.2" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS4.p1.3.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p1.3.m3.2.2" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.3.m3.2b"><apply id="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.3"><times id="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.1"></times><apply id="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.2"><ci id="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.2.1">~</ci><ci id="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.3.3.2"><ci id="S3.SS4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m3.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS4.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m3.2.2">𝜏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.3.m3.2c">\tilde{h}(t,\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.3.m3.2d">over~ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ )</annotation></semantics></math> is obtained, i.e. <math alttext="\tilde{h}(t,\tau)=\hat{h}(t,\tau-\tau_{0}(t))" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.4.m4.5"><semantics id="S3.SS4.p1.4.m4.5a"><mrow id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.cmml"><mrow id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.2" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.2.1" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.1" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.3.2" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS4.p1.4.m4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p1.4.m4.2.2" xref="S3.SS4.p1.4.m4.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.2" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.3" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.3.2" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.3.2.cmml">h</mi><mo id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.3.1" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.2" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p1.4.m4.4.4" xref="S3.SS4.p1.4.m4.4.4.cmml">t</mi><mo id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p1.4.m4.3.3" xref="S3.SS4.p1.4.m4.3.3.cmml">t</mi><mo id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.4.m4.5b"><apply id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5"><eq id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.2"></eq><apply id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3"><times id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.1"></times><apply id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.2"><ci id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.2.1">~</ci><ci id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.3.3.2"><ci id="S3.SS4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS4.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.2.2">𝜏</ci></interval></apply><apply id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1"><times id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.2"></times><apply id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.3"><ci id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.3.1">^</ci><ci id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.3.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1"><ci id="S3.SS4.p1.4.m4.4.4.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.4.4">𝑡</ci><apply id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1"><minus id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p1.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.SS4.p1.4.m4.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.3.3">𝑡</ci></apply></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.4.m4.5c">\tilde{h}(t,\tau)=\hat{h}(t,\tau-\tau_{0}(t))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.4.m4.5d">over~ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ ) = over^ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) )</annotation></semantics></math> where <math alttext="\tau_{0}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS4.p1.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS4.p1.5.m5.1.2" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.cmml"><msub id="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.2" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.2.2" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.2.3" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.1" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.3.2" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.2"><times id="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.1"></times><apply id="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.2.2">𝜏</ci><cn id="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.SS4.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.5.m5.1c">\tau_{0}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.5.m5.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> is the estimated initial delay variation.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p2.4">In Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.F6" title="Figure 6 ‣ III-D Initial delay compensation ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a> we can observe the time-variant channel impulse response <math alttext="\hat{h}(t,\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.1.m1.2"><semantics id="S3.SS4.p2.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS4.p2.1.m1.2.3" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.2.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.2.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.3.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p2.1.m1.2.2" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.1.m1.2b"><apply id="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.3"><times id="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.1"></times><apply id="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.2"><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.2.1">^</ci><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS4.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.1.m1.2.2">𝜏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.1.m1.2c">\hat{h}(t,\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.1.m1.2d">over^ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ )</annotation></semantics></math>, from which the initial delay is estimated, and the time-variant channel impulse response <math alttext="\tilde{h}(t,\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.2.m2.2"><semantics id="S3.SS4.p2.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS4.p2.2.m2.2.3" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.2" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.2.2" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.2.1" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.1" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.3.2" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p2.2.m2.2.2" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.2.m2.2b"><apply id="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.3"><times id="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.1"></times><apply id="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.2"><ci id="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.2.1">~</ci><ci id="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.3.3.2"><ci id="S3.SS4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS4.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.2.m2.2.2">𝜏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.2.m2.2c">\tilde{h}(t,\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.2.m2.2d">over~ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ )</annotation></semantics></math> obtained after initial delay compensation of the received signal. Figures <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.F7.sf1" title="In Figure 7 ‣ III-D Initial delay compensation ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7(a)</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.F7.sf2" title="In Figure 7 ‣ III-D Initial delay compensation ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7(b)</span></a> show the signal spectra before initial delay compensation <math alttext="\hat{H}(t,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.3.m3.2"><semantics id="S3.SS4.p2.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS4.p2.3.m3.2.3" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.2" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.2.2" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.2.1" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.1" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.3.2" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p2.3.m3.2.2" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.3.m3.2b"><apply id="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.3"><times id="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.1"></times><apply id="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.2"><ci id="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.2.1">^</ci><ci id="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.2.2">𝐻</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.3.3.2"><ci id="S3.SS4.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS4.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.3.m3.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.3.m3.2c">\hat{H}(t,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.3.m3.2d">over^ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t , italic_f )</annotation></semantics></math> while in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.F7.sf3" title="In Figure 7 ‣ III-D Initial delay compensation ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7(c)</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.F7.sf4" title="In Figure 7 ‣ III-D Initial delay compensation ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7(d)</span></a> the corresponding signal spectra after initial delay compensation <math alttext="\tilde{H}(t,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p2.4.m4.2"><semantics id="S3.SS4.p2.4.m4.2a"><mrow id="S3.SS4.p2.4.m4.2.3" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.2" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.2.2" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.2.1" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.1" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.3.2" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS4.p2.4.m4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS4.p2.4.m4.2.2" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p2.4.m4.2b"><apply id="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.3"><times id="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.1"></times><apply id="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.2"><ci id="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.2.1">~</ci><ci id="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.2.2">𝐻</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.3.3.2"><ci id="S3.SS4.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS4.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p2.4.m4.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p2.4.m4.2c">\tilde{H}(t,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p2.4.m4.2d">over~ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t , italic_f )</annotation></semantics></math> are depicted. It is evident the remarkable narrowing of the Doppler spread of each tone.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F6"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel" id="S3.F6.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="1023" id="S3.F6.sf1.g1" src="x7.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F6.sf1.2.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S3.F6.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="1023" id="S3.F6.sf2.g1" src="x8.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F6.sf2.2.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F6.6.3.1" style="font-size:90%;">Figure 6</span>: </span><span class="ltx_text" id="S3.F6.4.2" style="font-size:90%;">Estimated time-variant impulse response of one of the measured channels (a) before initial delay compensation <math alttext="|\hat{h}(t,\tau)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F6.3.1.m1.3"><semantics id="S3.F6.3.1.m1.3b"><mrow id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.2.cmml"><mo id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.F6.3.1.m1.1.1" xref="S3.F6.3.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.F6.3.1.m1.2.2" xref="S3.F6.3.1.m1.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F6.3.1.m1.3c"><apply id="S3.F6.3.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1"><abs id="S3.F6.3.1.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.2"></abs><apply id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1"><times id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.1"></times><apply id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.2"><ci id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F6.3.1.m1.3.3.1.1.3.2"><ci id="S3.F6.3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.F6.3.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.F6.3.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.F6.3.1.m1.2.2">𝜏</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F6.3.1.m1.3d">|\hat{h}(t,\tau)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F6.3.1.m1.3e">| over^ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ ) |</annotation></semantics></math> and (b) after initial delay compensation <math alttext="|\tilde{h}(t,\tau)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F6.4.2.m2.3"><semantics id="S3.F6.4.2.m2.3b"><mrow id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.2.cmml"><mo id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.2" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.2.2" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.2.1" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.3.2" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.F6.4.2.m2.1.1" xref="S3.F6.4.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.F6.4.2.m2.2.2" xref="S3.F6.4.2.m2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F6.4.2.m2.3c"><apply id="S3.F6.4.2.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1"><abs id="S3.F6.4.2.m2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.2"></abs><apply id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1"><times id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.1"></times><apply id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.2"><ci id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.F6.4.2.m2.3.3.1.1.3.2"><ci id="S3.F6.4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.F6.4.2.m2.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.F6.4.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.F6.4.2.m2.2.2">𝜏</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F6.4.2.m2.3d">|\tilde{h}(t,\tau)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F6.4.2.m2.3e">| over~ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ ) |</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="S3.F7"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S3.F7.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_portrait" height="301" id="S3.F7.sf1.g1" src="x9.png" width="230"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F7.sf1.2.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S3.F7.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_portrait" height="301" id="S3.F7.sf2.g1" src="x10.png" width="230"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F7.sf2.2.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S3.F7.sf3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_portrait" height="301" id="S3.F7.sf3.g1" src="x11.png" width="230"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F7.sf3.2.1.1" style="font-size:90%;">(c)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S3.F7.sf4"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_portrait" height="301" id="S3.F7.sf4.g1" src="x12.png" width="230"/> <br class="ltx_break ltx_centering"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F7.sf4.2.1.1" style="font-size:90%;">(d)</span> </span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F7.2.1.1" style="font-size:90%;">Figure 7</span>: </span><span class="ltx_text" id="S3.F7.3.2" style="font-size:90%;">Partial spectrum (first and last carriers) of a received signal. (a), (b) before and (c), (d) after initial delay compensation. In orange color, it is shown the frequency response of filter bank used for channel estimation.</span></figcaption> </figure> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">IV </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S4.1.1">Characterization of the wideband UAC</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.2">For convenience, we use continuous-time notation although <math alttext="\tilde{H}(t,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.p1.1.m1.2.3" xref="S4.p1.1.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.p1.1.m1.2.3.2" xref="S4.p1.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="S4.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S4.p1.1.m1.2.3.2.1" xref="S4.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.p1.1.m1.2.3.1" xref="S4.p1.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="S4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p1.1.m1.2.2" xref="S4.p1.1.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.p1.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.1.m1.2b"><apply id="S4.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.3"><times id="S4.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.3.1"></times><apply id="S4.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.3.2"><ci id="S4.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.p1.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.3.2.2">𝐻</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.1.m1.2c">\tilde{H}(t,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.1.m1.2d">over~ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t , italic_f )</annotation></semantics></math> -and <math alttext="\tilde{h}(t,\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.2.m2.2"><semantics id="S4.p1.2.m2.2a"><mrow id="S4.p1.2.m2.2.3" xref="S4.p1.2.m2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.p1.2.m2.2.3.2" xref="S4.p1.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S4.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S4.p1.2.m2.2.3.2.1" xref="S4.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.p1.2.m2.2.3.1" xref="S4.p1.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p1.2.m2.2.3.3.2" xref="S4.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p1.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p1.2.m2.1.1" xref="S4.p1.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p1.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S4.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p1.2.m2.2.2" xref="S4.p1.2.m2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.p1.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.2.m2.2b"><apply id="S4.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.3"><times id="S4.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.3.1"></times><apply id="S4.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.3.2"><ci id="S4.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.3.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.3.3.2"><ci id="S4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.2.2">𝜏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.2.m2.2c">\tilde{h}(t,\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.2.m2.2d">over~ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ )</annotation></semantics></math>- are only known in a finite number of separated instants and frequencies as indicated in section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.SS3" title="III-C Channel estimation method ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">III-C</span></span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.p2.2">The measured channels are analyzed attending to various functions and parameters related to <math alttext="\tilde{h}(t,\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.1.m1.2"><semantics id="S4.p2.1.m1.2a"><mrow id="S4.p2.1.m1.2.3" xref="S4.p2.1.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.p2.1.m1.2.3.2" xref="S4.p2.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.p2.1.m1.2.3.2.2" xref="S4.p2.1.m1.2.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S4.p2.1.m1.2.3.2.1" xref="S4.p2.1.m1.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.p2.1.m1.2.3.1" xref="S4.p2.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p2.1.m1.2.3.3.2" xref="S4.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p2.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p2.1.m1.1.1" xref="S4.p2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p2.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.1.m1.2.2" xref="S4.p2.1.m1.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.p2.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.1.m1.2b"><apply id="S4.p2.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.3"><times id="S4.p2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.3.1"></times><apply id="S4.p2.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.3.2"><ci id="S4.p2.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.p2.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.3.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.p2.1.m1.2.2">𝜏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.1.m1.2c">\tilde{h}(t,\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.1.m1.2d">over~ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{H}(t,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.2.m2.2"><semantics id="S4.p2.2.m2.2a"><mrow id="S4.p2.2.m2.2.3" xref="S4.p2.2.m2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.p2.2.m2.2.3.2" xref="S4.p2.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.p2.2.m2.2.3.2.2" xref="S4.p2.2.m2.2.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S4.p2.2.m2.2.3.2.1" xref="S4.p2.2.m2.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.p2.2.m2.2.3.1" xref="S4.p2.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p2.2.m2.2.3.3.2" xref="S4.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p2.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p2.2.m2.1.1" xref="S4.p2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p2.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S4.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.2.m2.2.2" xref="S4.p2.2.m2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.p2.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.2.m2.2b"><apply id="S4.p2.2.m2.2.3.cmml" xref="S4.p2.2.m2.2.3"><times id="S4.p2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.p2.2.m2.2.3.1"></times><apply id="S4.p2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S4.p2.2.m2.2.3.2"><ci id="S4.p2.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.p2.2.m2.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.p2.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.p2.2.m2.2.3.2.2">𝐻</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p2.2.m2.2.3.3.2"><ci id="S4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.p2.2.m2.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.2.m2.2c">\tilde{H}(t,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.2.m2.2d">over~ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t , italic_f )</annotation></semantics></math>, i.e. the delay spectrum, the Doppler spectrum and the time and frequency autocorrelations. From these functions relevant parameters for systems design like delay spread, coherence bandwidth, Doppler spread and coherence time can be extracted.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.p3.1">The time autocorrelation denoted as <math alttext="\Phi^{(t)}(\Delta t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.1.m1.2"><semantics id="S4.p3.1.m1.2a"><mrow id="S4.p3.1.m1.2.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.cmml"><msup id="S4.p3.1.m1.2.2.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.1.m1.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.p3.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p3.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p3.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.1.m1.2b"><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2"><times id="S4.p3.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.2"></times><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p3.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.2">Φ</ci><ci id="S4.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1"><times id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.1.m1.2c">\Phi^{(t)}(\Delta t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.1.m1.2d">roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t )</annotation></semantics></math> is defined as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Phi^{(t)}(\Delta t)=<\Phi_{\tilde{h}}^{(t)}(\Delta t,\tau)>_{\tau}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E17.m1.4"><semantics id="S4.E17.m1.4a"><mrow id="S4.E17.m1.4.4.1" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E17.m1.4.4.1.1" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E17.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.E17.m1.1.1.1.3" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E17.m1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E17.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E17.m1.4.4.1.1.3" rspace="0.1389em" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mover accent="true" id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E17.m1.2.2.1.3" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E17.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E17.m1.2.2.1.1" xref="S4.E17.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E17.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E17.m1.3.3" xref="S4.E17.m1.3.3.cmml">τ</mi><mo id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mi id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">τ</mi></msub></mrow><mo id="S4.E17.m1.4.4.1.2" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E17.m1.4b"><apply id="S4.E17.m1.4.4.1.1.cmml" 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id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1"><times id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.2">Φ</ci><apply id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3"><ci id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1">~</ci><ci id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2">ℎ</ci></apply></apply><ci id="S4.E17.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E17.m1.2.2.1.1">𝑡</ci></apply><interval closure="open" id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1"><apply id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.E17.m1.3.3.cmml" xref="S4.E17.m1.3.3">𝜏</ci></interval></apply></apply><ci id="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E17.m1.4.4.1.1.2.3">𝜏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E17.m1.4c">\Phi^{(t)}(\Delta t)=<\Phi_{\tilde{h}}^{(t)}(\Delta t,\tau)>_{\tau},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E17.m1.4d">roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t ) = < roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_h end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t , italic_τ ) > start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p3.2">where <math alttext="\Phi_{\tilde{h}}^{(t)}(\Delta t,\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.2.m1.3"><semantics id="S4.p3.2.m1.3a"><mrow id="S4.p3.2.m1.3.3" xref="S4.p3.2.m1.3.3.cmml"><msubsup id="S4.p3.2.m1.3.3.3" xref="S4.p3.2.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.2.cmml">Φ</mi><mover accent="true" id="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.3" xref="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.3.2" xref="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.3.1" xref="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.3.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.p3.2.m1.1.1.1.3" xref="S4.p3.2.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.p3.2.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p3.2.m1.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p3.2.m1.1.1.1.1" xref="S4.p3.2.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p3.2.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.p3.2.m1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.p3.2.m1.3.3.2" xref="S4.p3.2.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.2.m1.3.3.1.1" xref="S4.p3.2.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.2.m1.3.3.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.p3.2.m1.3.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p3.2.m1.2.2" xref="S4.p3.2.m1.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p3.2.m1.3.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.2.m1.3b"><apply id="S4.p3.2.m1.3.3.cmml" xref="S4.p3.2.m1.3.3"><times id="S4.p3.2.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.p3.2.m1.3.3.2"></times><apply id="S4.p3.2.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.p3.2.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.2.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p3.2.m1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.p3.2.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.p3.2.m1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.2">Φ</ci><apply id="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.3"><ci id="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.3.1">~</ci><ci id="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.p3.2.m1.3.3.3.2.3.2">ℎ</ci></apply></apply><ci id="S4.p3.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.2.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p3.2.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.p3.2.m1.3.3.1.1"><apply id="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.1"><times id="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.2.m1.3.3.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.p3.2.m1.2.2.cmml" xref="S4.p3.2.m1.2.2">𝜏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.2.m1.3c">\Phi_{\tilde{h}}^{(t)}(\Delta t,\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.2.m1.3d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_h end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t , italic_τ )</annotation></semantics></math> is the time autocorrelation of the time-variant channel impulse response which is defined as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Phi_{\tilde{h}}^{(t)}(\Delta t,\tau)=<\tilde{h}(t+\Delta t,\tau)\tilde{h}^{*}% (t,\tau)>_{t}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E18.m1.6"><semantics id="S4.E18.m1.6a"><mrow id="S4.E18.m1.6.6.1" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.E18.m1.6.6.1.1" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.E18.m1.6.6.1.1.1" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mover accent="true" id="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E18.m1.1.1.1.3" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E18.m1.1.1.1.1" xref="S4.E18.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E18.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E18.m1.2.2" xref="S4.E18.m1.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.1.3" rspace="0.1389em" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3" 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id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E18.m1.3.3" xref="S4.E18.m1.3.3.cmml">τ</mi><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2a" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2.2.cmml">h</mi><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2.1" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.3" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2b" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.2" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.1.cmml"><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E18.m1.4.4" xref="S4.E18.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.2.2" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E18.m1.5.5" xref="S4.E18.m1.5.5.cmml">τ</mi><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mi id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S4.E18.m1.6.6.1.2" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E18.m1.6b"><apply 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xref="S4.E18.m1.5.5">𝜏</ci></interval></apply></apply><ci id="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E18.m1.6.6.1.1.2.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E18.m1.6c">\Phi_{\tilde{h}}^{(t)}(\Delta t,\tau)=<\tilde{h}(t+\Delta t,\tau)\tilde{h}^{*}% (t,\tau)>_{t},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E18.m1.6d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_h end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t , italic_τ ) = < over~ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t + roman_Δ italic_t , italic_τ ) over~ start_ARG italic_h end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t , italic_τ ) > start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(18)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p3.6">so that <math alttext="\Phi^{(t)}(\Delta t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.3.m1.2"><semantics id="S4.p3.3.m1.2a"><mrow id="S4.p3.3.m1.2.2" xref="S4.p3.3.m1.2.2.cmml"><msup id="S4.p3.3.m1.2.2.3" xref="S4.p3.3.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.3.m1.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.3.m1.2.2.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.p3.3.m1.1.1.1.3" xref="S4.p3.3.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p3.3.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p3.3.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p3.3.m1.1.1.1.1" xref="S4.p3.3.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p3.3.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.p3.3.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.p3.3.m1.2.2.2" xref="S4.p3.3.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.3.m1.2.2.1.1" xref="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.3.m1.2b"><apply id="S4.p3.3.m1.2.2.cmml" xref="S4.p3.3.m1.2.2"><times id="S4.p3.3.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.p3.3.m1.2.2.2"></times><apply id="S4.p3.3.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.p3.3.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.3.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p3.3.m1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p3.3.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p3.3.m1.2.2.3.2">Φ</ci><ci id="S4.p3.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m1.2.2.1.1"><times id="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.3.m1.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.3.m1.2c">\Phi^{(t)}(\Delta t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.3.m1.2d">roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t )</annotation></semantics></math> corresponds to the average of the different time autocorrelations <math alttext="\Phi_{\tilde{h}}^{(t)}(\Delta t,\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.4.m2.3"><semantics id="S4.p3.4.m2.3a"><mrow id="S4.p3.4.m2.3.3" xref="S4.p3.4.m2.3.3.cmml"><msubsup id="S4.p3.4.m2.3.3.3" xref="S4.p3.4.m2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.2.cmml">Φ</mi><mover accent="true" id="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.3" xref="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.3.2" xref="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.3.2.cmml">h</mi><mo id="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.3.1" xref="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.3.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.p3.4.m2.1.1.1.3" xref="S4.p3.4.m2.3.3.3.cmml"><mo id="S4.p3.4.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p3.4.m2.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p3.4.m2.1.1.1.1" xref="S4.p3.4.m2.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p3.4.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.p3.4.m2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.p3.4.m2.3.3.2" xref="S4.p3.4.m2.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.4.m2.3.3.1.1" xref="S4.p3.4.m2.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.4.m2.3.3.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.1" xref="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.3" xref="S4.p3.4.m2.3.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.p3.4.m2.2.2" xref="S4.p3.4.m2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p3.4.m2.3.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.4.m2.3b"><apply id="S4.p3.4.m2.3.3.cmml" xref="S4.p3.4.m2.3.3"><times id="S4.p3.4.m2.3.3.2.cmml" xref="S4.p3.4.m2.3.3.2"></times><apply id="S4.p3.4.m2.3.3.3.cmml" xref="S4.p3.4.m2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.4.m2.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p3.4.m2.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.cmml" xref="S4.p3.4.m2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.p3.4.m2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.2">Φ</ci><apply id="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.3"><ci id="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.3.1">~</ci><ci id="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.p3.4.m2.3.3.3.2.3.2">ℎ</ci></apply></apply><ci id="S4.p3.4.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.4.m2.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p3.4.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S4.p3.4.m2.3.3.1.1"><apply id="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.1"><times id="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.4.m2.3.3.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><ci id="S4.p3.4.m2.2.2.cmml" xref="S4.p3.4.m2.2.2">𝜏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.4.m2.3c">\Phi_{\tilde{h}}^{(t)}(\Delta t,\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.4.m2.3d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_h end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t , italic_τ )</annotation></semantics></math> obtained for each <math alttext="\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.5.m3.1"><semantics id="S4.p3.5.m3.1a"><mi id="S4.p3.5.m3.1.1" xref="S4.p3.5.m3.1.1.cmml">τ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.5.m3.1b"><ci id="S4.p3.5.m3.1.1.cmml" xref="S4.p3.5.m3.1.1">𝜏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.5.m3.1c">\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.5.m3.1d">italic_τ</annotation></semantics></math>. Accordingly, the frequency autocorrelation denoted as <math alttext="\Phi^{(f)}(\Delta f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.6.m4.2"><semantics id="S4.p3.6.m4.2a"><mrow id="S4.p3.6.m4.2.2" xref="S4.p3.6.m4.2.2.cmml"><msup id="S4.p3.6.m4.2.2.3" xref="S4.p3.6.m4.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.6.m4.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.6.m4.2.2.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.p3.6.m4.1.1.1.3" xref="S4.p3.6.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p3.6.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p3.6.m4.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p3.6.m4.1.1.1.1" xref="S4.p3.6.m4.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.p3.6.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.p3.6.m4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.p3.6.m4.2.2.2" xref="S4.p3.6.m4.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.6.m4.2.2.1.1" xref="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1" xref="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.6.m4.2b"><apply id="S4.p3.6.m4.2.2.cmml" xref="S4.p3.6.m4.2.2"><times id="S4.p3.6.m4.2.2.2.cmml" xref="S4.p3.6.m4.2.2.2"></times><apply id="S4.p3.6.m4.2.2.3.cmml" xref="S4.p3.6.m4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.6.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p3.6.m4.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p3.6.m4.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p3.6.m4.2.2.3.2">Φ</ci><ci id="S4.p3.6.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.6.m4.1.1.1.1">𝑓</ci></apply><apply id="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.6.m4.2.2.1.1"><times id="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.6.m4.2.2.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.6.m4.2c">\Phi^{(f)}(\Delta f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.6.m4.2d">roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_f )</annotation></semantics></math> is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Phi^{(f)}(\Delta f)=<\Phi_{\tilde{H}}^{(f)}(t,\Delta f)>_{t}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E19.m1.4"><semantics id="S4.E19.m1.4a"><mrow id="S4.E19.m1.4.4.1" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E19.m1.4.4.1.1" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.E19.m1.1.1.1.3" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E19.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E19.m1.1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.E19.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E19.m1.4.4.1.1.3" rspace="0.1389em" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mover accent="true" id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E19.m1.2.2.1.3" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E19.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E19.m1.2.2.1.1" xref="S4.E19.m1.2.2.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.E19.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E19.m1.3.3" xref="S4.E19.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mi id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S4.E19.m1.4.4.1.2" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E19.m1.4b"><apply id="S4.E19.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1"><eq id="S4.E19.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.3"></eq><apply id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1"><times id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.E19.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.1.1.1.1">𝑓</ci></apply><apply id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply><apply id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1"><times id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.2">Φ</ci><apply id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3"><ci id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.1">~</ci><ci id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.2.3.2">𝐻</ci></apply></apply><ci id="S4.E19.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.2.2.1.1">𝑓</ci></apply><interval closure="open" id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1"><ci id="S4.E19.m1.3.3.cmml" xref="S4.E19.m1.3.3">𝑡</ci><apply id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></interval></apply></apply><ci id="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E19.m1.4.4.1.1.2.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E19.m1.4c">\Phi^{(f)}(\Delta f)=<\Phi_{\tilde{H}}^{(f)}(t,\Delta f)>_{t},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E19.m1.4d">roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_f ) = < roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_H end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t , roman_Δ italic_f ) > start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p3.7">where <math alttext="\Phi_{\tilde{H}}^{(f)}(t,\Delta f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.7.m1.3"><semantics id="S4.p3.7.m1.3a"><mrow id="S4.p3.7.m1.3.3" xref="S4.p3.7.m1.3.3.cmml"><msubsup id="S4.p3.7.m1.3.3.3" xref="S4.p3.7.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.2.cmml">Φ</mi><mover accent="true" id="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.3" xref="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.3.2" xref="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.3.1" xref="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.3.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.p3.7.m1.1.1.1.3" xref="S4.p3.7.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.p3.7.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p3.7.m1.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p3.7.m1.1.1.1.1" xref="S4.p3.7.m1.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.p3.7.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.p3.7.m1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.p3.7.m1.3.3.2" xref="S4.p3.7.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.7.m1.3.3.1.1" xref="S4.p3.7.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.7.m1.3.3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p3.7.m1.2.2" xref="S4.p3.7.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.p3.7.m1.3.3.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p3.7.m1.3.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.7.m1.3b"><apply id="S4.p3.7.m1.3.3.cmml" xref="S4.p3.7.m1.3.3"><times id="S4.p3.7.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.p3.7.m1.3.3.2"></times><apply id="S4.p3.7.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.p3.7.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.7.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p3.7.m1.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.p3.7.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.p3.7.m1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.2">Φ</ci><apply id="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.3"><ci id="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.3.1">~</ci><ci id="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.p3.7.m1.3.3.3.2.3.2">𝐻</ci></apply></apply><ci id="S4.p3.7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.7.m1.1.1.1.1">𝑓</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p3.7.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.p3.7.m1.3.3.1.1"><ci id="S4.p3.7.m1.2.2.cmml" xref="S4.p3.7.m1.2.2">𝑡</ci><apply id="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.1"><times id="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.7.m1.3.3.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.7.m1.3c">\Phi_{\tilde{H}}^{(f)}(t,\Delta f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.7.m1.3d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_H end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t , roman_Δ italic_f )</annotation></semantics></math> is the frequency autocorrelation of the time-variant channel frequency response which is defined as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Phi_{\tilde{H}}^{(f)}(t,\Delta f)=<\tilde{H}(t,f+\Delta f)\tilde{H}^{*}(t,f)>% _{f}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E20.m1.6"><semantics id="S4.E20.m1.6a"><mrow id="S4.E20.m1.6.6.1" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.E20.m1.6.6.1.1" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.E20.m1.6.6.1.1.1" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mover accent="true" id="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.3.2.3.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.E20.m1.1.1.1.3" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E20.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E20.m1.1.1.1.1" xref="S4.E20.m1.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.E20.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E20.m1.2.2" xref="S4.E20.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" 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xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E20.m1.3.3" xref="S4.E20.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">f</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2a" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2.2.cmml">H</mi><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2.1" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.3" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2b" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.2" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.1.cmml"><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E20.m1.4.4" xref="S4.E20.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.2.2" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E20.m1.5.5" xref="S4.E20.m1.5.5.cmml">f</mi><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mi id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="S4.E20.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E20.m1.6b"><apply id="S4.E20.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E20.m1.6.6.1"><eq id="S4.E20.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.3"></eq><apply id="S4.E20.m1.6.6.1.1.1.cmml" 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xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑓</ci></apply></apply></interval><apply id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2"><ci id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2.1">~</ci><ci id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.2.2">𝐻</ci></apply><times id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.4.3"></times></apply><interval closure="open" id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.5.2"><ci id="S4.E20.m1.4.4.cmml" xref="S4.E20.m1.4.4">𝑡</ci><ci id="S4.E20.m1.5.5.cmml" xref="S4.E20.m1.5.5">𝑓</ci></interval></apply></apply><ci id="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E20.m1.6.6.1.1.2.3">𝑓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E20.m1.6c">\Phi_{\tilde{H}}^{(f)}(t,\Delta f)=<\tilde{H}(t,f+\Delta f)\tilde{H}^{*}(t,f)>% _{f}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E20.m1.6d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_H end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t , roman_Δ italic_f ) = < over~ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t , italic_f + roman_Δ italic_f ) over~ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t , italic_f ) > start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(20)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p3.10">In this case <math alttext="\Phi^{(f)}(\Delta f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.8.m1.2"><semantics id="S4.p3.8.m1.2a"><mrow id="S4.p3.8.m1.2.2" xref="S4.p3.8.m1.2.2.cmml"><msup id="S4.p3.8.m1.2.2.3" xref="S4.p3.8.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.8.m1.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.8.m1.2.2.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.p3.8.m1.1.1.1.3" xref="S4.p3.8.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p3.8.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p3.8.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p3.8.m1.1.1.1.1" xref="S4.p3.8.m1.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.p3.8.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.p3.8.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.p3.8.m1.2.2.2" xref="S4.p3.8.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.8.m1.2.2.1.1" xref="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.8.m1.2b"><apply id="S4.p3.8.m1.2.2.cmml" xref="S4.p3.8.m1.2.2"><times id="S4.p3.8.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.p3.8.m1.2.2.2"></times><apply id="S4.p3.8.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.p3.8.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.8.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p3.8.m1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p3.8.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p3.8.m1.2.2.3.2">Φ</ci><ci id="S4.p3.8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.8.m1.1.1.1.1">𝑓</ci></apply><apply id="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.8.m1.2.2.1.1"><times id="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.8.m1.2.2.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.8.m1.2c">\Phi^{(f)}(\Delta f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.8.m1.2d">roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_f )</annotation></semantics></math> corresponds to the average of the different frequency autocorrelations <math alttext="\Phi_{\tilde{H}}^{(f)}(t,\Delta f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.9.m2.3"><semantics id="S4.p3.9.m2.3a"><mrow id="S4.p3.9.m2.3.3" xref="S4.p3.9.m2.3.3.cmml"><msubsup id="S4.p3.9.m2.3.3.3" xref="S4.p3.9.m2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.2.cmml">Φ</mi><mover accent="true" id="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.3" xref="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.3.2" xref="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.3.1" xref="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.3.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S4.p3.9.m2.1.1.1.3" xref="S4.p3.9.m2.3.3.3.cmml"><mo id="S4.p3.9.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p3.9.m2.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p3.9.m2.1.1.1.1" xref="S4.p3.9.m2.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.p3.9.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.p3.9.m2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S4.p3.9.m2.3.3.2" xref="S4.p3.9.m2.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.9.m2.3.3.1.1" xref="S4.p3.9.m2.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.9.m2.3.3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p3.9.m2.2.2" xref="S4.p3.9.m2.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.3" xref="S4.p3.9.m2.3.3.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.1" xref="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p3.9.m2.3.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.9.m2.3b"><apply id="S4.p3.9.m2.3.3.cmml" xref="S4.p3.9.m2.3.3"><times id="S4.p3.9.m2.3.3.2.cmml" xref="S4.p3.9.m2.3.3.2"></times><apply id="S4.p3.9.m2.3.3.3.cmml" xref="S4.p3.9.m2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.9.m2.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p3.9.m2.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.cmml" xref="S4.p3.9.m2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.p3.9.m2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.2">Φ</ci><apply id="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.3"><ci id="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.3.1">~</ci><ci id="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S4.p3.9.m2.3.3.3.2.3.2">𝐻</ci></apply></apply><ci id="S4.p3.9.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.9.m2.1.1.1.1">𝑓</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p3.9.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S4.p3.9.m2.3.3.1.1"><ci id="S4.p3.9.m2.2.2.cmml" xref="S4.p3.9.m2.2.2">𝑡</ci><apply id="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.1"><times id="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.9.m2.3.3.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.9.m2.3c">\Phi_{\tilde{H}}^{(f)}(t,\Delta f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.9.m2.3d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_H end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t , roman_Δ italic_f )</annotation></semantics></math> obtained for each <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.10.m3.1"><semantics id="S4.p3.10.m3.1a"><mi id="S4.p3.10.m3.1.1" xref="S4.p3.10.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.10.m3.1b"><ci id="S4.p3.10.m3.1.1.cmml" xref="S4.p3.10.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.10.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.10.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.p4.4">The Doppler spectrum <math alttext="P_{Doppler}(\nu)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.p4.1.m1.1a"><mrow id="S4.p4.1.m1.1.2" xref="S4.p4.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.p4.1.m1.1.2.2" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p4.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">D</mi><mo id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.1" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.3" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">o</mi><mo id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.1a" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.4" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.4.cmml">p</mi><mo id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.1b" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.5" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.5.cmml">p</mi><mo id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.1c" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.6" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.6.cmml">l</mi><mo id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.1d" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.7" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.7.cmml">e</mi><mo id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.1e" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.8" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.8.cmml">r</mi></mrow></msub><mo id="S4.p4.1.m1.1.2.1" xref="S4.p4.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p4.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.p4.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.p4.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p4.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p4.1.m1.1.1" xref="S4.p4.1.m1.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S4.p4.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p4.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.p4.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2"><times id="S4.p4.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.p4.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3"><times id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.2">𝐷</ci><ci id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.3">𝑜</ci><ci id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.4.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.4">𝑝</ci><ci id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.5.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.5">𝑝</ci><ci id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.6.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.6">𝑙</ci><ci id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.7.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.7">𝑒</ci><ci id="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.8.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.2.2.3.8">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.1.m1.1c">P_{Doppler}(\nu)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_D italic_o italic_p italic_p italic_l italic_e italic_r end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ν )</annotation></semantics></math> and the power delay spectrum <math alttext="P_{delay}(\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.2.m2.1"><semantics id="S4.p4.2.m2.1a"><mrow id="S4.p4.2.m2.1.2" xref="S4.p4.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S4.p4.2.m2.1.2.2" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p4.2.m2.1.2.2.2" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.p4.2.m2.1.2.2.3" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.2" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.1" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.3" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.3.cmml">e</mi><mo id="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.1a" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.4" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.4.cmml">l</mi><mo id="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.1b" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.5" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.5.cmml">a</mi><mo id="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.1c" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.6" xref="S4.p4.2.m2.1.2.2.3.6.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S4.p4.2.m2.1.2.1" xref="S4.p4.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p4.2.m2.1.2.3.2" xref="S4.p4.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.p4.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p4.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p4.2.m2.1.1" xref="S4.p4.2.m2.1.1.cmml">τ</mi><mo id="S4.p4.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p4.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.2.m2.1b"><apply id="S4.p4.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.p4.2.m2.1.2"><times id="S4.p4.2.m2.1.2.1.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_e italic_l italic_a italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ )</annotation></semantics></math> are Fourier-transform pairs of the time and frequency autocorrelations <math alttext="\Phi^{(t)}(\Delta t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.3.m3.2"><semantics id="S4.p4.3.m3.2a"><mrow id="S4.p4.3.m3.2.2" xref="S4.p4.3.m3.2.2.cmml"><msup id="S4.p4.3.m3.2.2.3" xref="S4.p4.3.m3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p4.3.m3.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.p4.3.m3.2.2.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.p4.3.m3.1.1.1.3" xref="S4.p4.3.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p4.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p4.3.m3.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p4.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p4.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.p4.3.m3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.p4.3.m3.2.2.2" xref="S4.p4.3.m3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p4.3.m3.2.2.1.1" xref="S4.p4.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p4.3.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" 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id="S4.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.p4.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.3.m3.2.2.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.p4.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p4.3.m3.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.3.m3.2c">\Phi^{(t)}(\Delta t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.3.m3.2d">roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Phi^{(f)}(\Delta f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.4.m4.2"><semantics id="S4.p4.4.m4.2a"><mrow id="S4.p4.4.m4.2.2" xref="S4.p4.4.m4.2.2.cmml"><msup id="S4.p4.4.m4.2.2.3" xref="S4.p4.4.m4.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p4.4.m4.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.p4.4.m4.2.2.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.p4.4.m4.1.1.1.3" xref="S4.p4.4.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p4.4.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p4.4.m4.2.2.3.cmml">(</mo><mi 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xref="S4.p4.4.m4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.4.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p4.4.m4.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.3.2">Φ</ci><ci id="S4.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.4.m4.1.1.1.1">𝑓</ci></apply><apply id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1"><times id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p4.4.m4.2.2.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.4.m4.2c">\Phi^{(f)}(\Delta f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.4.m4.2d">roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_f )</annotation></semantics></math>, concretely</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx1"> <tbody id="S4.E21"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P_{Doppler}(\nu)=\mathcal{FT}\{\Phi^{(t)}(\Delta t)\}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E21.m1.3"><semantics id="S4.E21.m1.3a"><mrow id="S4.E21.m1.3.3.1" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E21.m1.3.3.1.1" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E21.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E21.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E21.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml">D</mi><mo id="S4.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml">o</mi><mo id="S4.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3.1a" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi 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xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.E21.m1.1.1.1.3" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E21.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E21.m1.1.1.1.1" xref="S4.E21.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E21.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E21.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" 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alttext="\displaystyle P_{delay}(\tau)=\mathcal{FT}^{-1}\{\Phi^{(f)}(\Delta f)\}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E22.m1.3"><semantics id="S4.E22.m1.3a"><mrow id="S4.E22.m1.3.3.1" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.3.3.1.1" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml">e</mi><mo id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.1a" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.4" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.4.cmml">l</mi><mo id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.1b" 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id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.2" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.2.cmml">𝒯</mi><mrow id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.3" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.3a" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.2a" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.E22.m1.1.1.1.3" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E22.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E22.m1.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.E22.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E22.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E22.m1.3b"><apply id="S4.E22.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1"><eq id="S4.E22.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3"><times id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3"><times id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.3">𝑒</ci><ci id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.4">𝑙</ci><ci id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.5.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.5">𝑎</ci><ci id="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.6.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.6">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S4.E22.m1.2.2.cmml" xref="S4.E22.m1.2.2">𝜏</ci></apply><apply id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1"><times id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.3">ℱ</ci><apply id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.2">𝒯</ci><apply id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.3"><minus id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.3"></minus><cn id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.4.3.2">1</cn></apply></apply><set id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1"><apply id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.E22.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.1.1.1.1">𝑓</ci></apply><apply id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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ltx_align_right">(22)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.p5.7">An alternative way of computing <math alttext="P_{delay}(\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.p5.1.m1.1a"><mrow id="S4.p5.1.m1.1.2" xref="S4.p5.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.p5.1.m1.1.2.2" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p5.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.1" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.3" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">e</mi><mo id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.1a" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.4" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.4.cmml">l</mi><mo id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.1b" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.5" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.5.cmml">a</mi><mo id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.1c" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.6" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.6.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S4.p5.1.m1.1.2.1" xref="S4.p5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p5.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.p5.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.p5.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p5.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p5.1.m1.1.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.cmml">τ</mi><mo id="S4.p5.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p5.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.1.m1.1b"><apply id="S4.p5.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.2"><times id="S4.p5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.p5.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3"><times id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.3">𝑒</ci><ci id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.4.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.4">𝑙</ci><ci id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.5.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.5">𝑎</ci><ci id="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.6.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.2.2.3.6">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S4.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.1.m1.1c">P_{delay}(\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_e italic_l italic_a italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ )</annotation></semantics></math> and <math alttext="P_{Doppler}(\nu)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.2.m2.1"><semantics id="S4.p5.2.m2.1a"><mrow id="S4.p5.2.m2.1.2" xref="S4.p5.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S4.p5.2.m2.1.2.2" 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id="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.8" xref="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.8.cmml">r</mi></mrow></msub><mo id="S4.p5.2.m2.1.2.1" xref="S4.p5.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p5.2.m2.1.2.3.2" xref="S4.p5.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.p5.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p5.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p5.2.m2.1.1" xref="S4.p5.2.m2.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S4.p5.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p5.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.2.m2.1b"><apply id="S4.p5.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.2"><times id="S4.p5.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S4.p5.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.2.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.2.2.3"><times id="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.2">𝐷</ci><ci id="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.3">𝑜</ci><ci id="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.4.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.4">𝑝</ci><ci id="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.5.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.5">𝑝</ci><ci id="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.6.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.6">𝑙</ci><ci id="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.7.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.7">𝑒</ci><ci id="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.8.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.2.2.3.8">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.2.m2.1c">P_{Doppler}(\nu)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.2.m2.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_D italic_o italic_p italic_p italic_l italic_e italic_r end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ν )</annotation></semantics></math> is through the well-known scattering function <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib17" title="">17</a>]</cite> <math alttext="S(\nu,\tau)=\left|\mathcal{FT}_{t}\{\tilde{h}(t,\tau)\}\right|^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.3.m3.5"><semantics id="S4.p5.3.m3.5a"><mrow id="S4.p5.3.m3.5.5" xref="S4.p5.3.m3.5.5.cmml"><mrow id="S4.p5.3.m3.5.5.3" xref="S4.p5.3.m3.5.5.3.cmml"><mi id="S4.p5.3.m3.5.5.3.2" xref="S4.p5.3.m3.5.5.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.p5.3.m3.5.5.3.1" xref="S4.p5.3.m3.5.5.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p5.3.m3.5.5.3.3.2" xref="S4.p5.3.m3.5.5.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p5.3.m3.5.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p5.3.m3.5.5.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p5.3.m3.1.1" xref="S4.p5.3.m3.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S4.p5.3.m3.5.5.3.3.2.2" xref="S4.p5.3.m3.5.5.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p5.3.m3.2.2" xref="S4.p5.3.m3.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.p5.3.m3.5.5.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p5.3.m3.5.5.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p5.3.m3.5.5.2" xref="S4.p5.3.m3.5.5.2.cmml">=</mo><msup id="S4.p5.3.m3.5.5.1" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.cmml"><mrow id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.2.cmml"><mo id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.2" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.3" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.3.cmml">ℱ</mi><mo id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.4" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.4.2" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml">𝒯</mi><mi id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.4.3" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.4.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.2a" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mo id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p5.3.m3.3.3" xref="S4.p5.3.m3.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p5.3.m3.4.4" xref="S4.p5.3.m3.4.4.cmml">τ</mi><mo id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.3" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S4.p5.3.m3.5.5.1.3" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.3.m3.5b"><apply id="S4.p5.3.m3.5.5.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5"><eq id="S4.p5.3.m3.5.5.2.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.2"></eq><apply id="S4.p5.3.m3.5.5.3.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.3"><times id="S4.p5.3.m3.5.5.3.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.3.1"></times><ci id="S4.p5.3.m3.5.5.3.2.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.3.2">𝑆</ci><interval closure="open" id="S4.p5.3.m3.5.5.3.3.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.3.3.2"><ci id="S4.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.1.1">𝜈</ci><ci id="S4.p5.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.p5.3.m3.2.2">𝜏</ci></interval></apply><apply id="S4.p5.3.m3.5.5.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.3.m3.5.5.1.2.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1">superscript</csymbol><apply id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1"><abs id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1"><times id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.3">ℱ</ci><apply id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.4.2">𝒯</ci><ci id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.4.3">𝑡</ci></apply><set id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.p5.3.m3.3.3.cmml" xref="S4.p5.3.m3.3.3">𝑡</ci><ci id="S4.p5.3.m3.4.4.cmml" xref="S4.p5.3.m3.4.4">𝜏</ci></interval></apply></set></apply></apply><cn id="S4.p5.3.m3.5.5.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.3.m3.5.5.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.3.m3.5c">S(\nu,\tau)=\left|\mathcal{FT}_{t}\{\tilde{h}(t,\tau)\}\right|^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.3.m3.5d">italic_S ( italic_ν , italic_τ ) = | caligraphic_F caligraphic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT { over~ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ ) } | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> that indicates the Doppler spectrum for each delay <math alttext="\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.4.m4.1"><semantics id="S4.p5.4.m4.1a"><mi id="S4.p5.4.m4.1.1" xref="S4.p5.4.m4.1.1.cmml">τ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.4.m4.1b"><ci id="S4.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p5.4.m4.1.1">𝜏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.4.m4.1c">\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.4.m4.1d">italic_τ</annotation></semantics></math>. Averaging <math alttext="S(\nu,\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.5.m5.2"><semantics id="S4.p5.5.m5.2a"><mrow id="S4.p5.5.m5.2.3" xref="S4.p5.5.m5.2.3.cmml"><mi id="S4.p5.5.m5.2.3.2" xref="S4.p5.5.m5.2.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.p5.5.m5.2.3.1" xref="S4.p5.5.m5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p5.5.m5.2.3.3.2" xref="S4.p5.5.m5.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p5.5.m5.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p5.5.m5.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p5.5.m5.1.1" xref="S4.p5.5.m5.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S4.p5.5.m5.2.3.3.2.2" xref="S4.p5.5.m5.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p5.5.m5.2.2" xref="S4.p5.5.m5.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.p5.5.m5.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p5.5.m5.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.5.m5.2b"><apply id="S4.p5.5.m5.2.3.cmml" xref="S4.p5.5.m5.2.3"><times id="S4.p5.5.m5.2.3.1.cmml" xref="S4.p5.5.m5.2.3.1"></times><ci id="S4.p5.5.m5.2.3.2.cmml" xref="S4.p5.5.m5.2.3.2">𝑆</ci><interval closure="open" id="S4.p5.5.m5.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p5.5.m5.2.3.3.2"><ci id="S4.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.p5.5.m5.1.1">𝜈</ci><ci id="S4.p5.5.m5.2.2.cmml" xref="S4.p5.5.m5.2.2">𝜏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.5.m5.2c">S(\nu,\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.5.m5.2d">italic_S ( italic_ν , italic_τ )</annotation></semantics></math> with respect to the Doppler frequency <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.6.m6.1"><semantics id="S4.p5.6.m6.1a"><mi id="S4.p5.6.m6.1.1" xref="S4.p5.6.m6.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.6.m6.1b"><ci id="S4.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.p5.6.m6.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.6.m6.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.6.m6.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> and the delay <math alttext="\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.7.m7.1"><semantics id="S4.p5.7.m7.1a"><mi id="S4.p5.7.m7.1.1" xref="S4.p5.7.m7.1.1.cmml">τ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.7.m7.1b"><ci id="S4.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.p5.7.m7.1.1">𝜏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.7.m7.1c">\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.7.m7.1d">italic_τ</annotation></semantics></math> we get</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A0.EGx2"> <tbody id="S4.E23"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P_{Doppler}(\nu)=<S(\nu,\tau)>_{\tau}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E23.m1.4"><semantics id="S4.E23.m1.4a"><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml">D</mi><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.3.cmml">o</mi><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.1a" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.4" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.cmml">p</mi><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.1b" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.5" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.5.cmml">p</mi><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.1c" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.6" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.6.cmml">l</mi><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.1d" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.7" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.7.cmml">e</mi><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.1e" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.8" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.8.cmml">r</mi></mrow></msub><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E23.m1.1.1" xref="S4.E23.m1.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2" rspace="0.1389em" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E23.m1.2.2" xref="S4.E23.m1.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E23.m1.3.3" xref="S4.E23.m1.3.3.cmml">τ</mi><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mi id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">τ</mi></msub></mrow><mo id="S4.E23.m1.4.4.1.2" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E23.m1.4b"><apply id="S4.E23.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1"><eq id="S4.E23.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3"><times id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3"><times id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.2">𝐷</ci><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.3">𝑜</ci><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.4">𝑝</ci><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.5.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.5">𝑝</ci><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.6.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.6">𝑙</ci><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.7.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.7">𝑒</ci><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.8.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.3.2.3.8">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.E23.m1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.1.1">𝜈</ci></apply><apply id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑆</ci><interval closure="open" id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.E23.m1.2.2.cmml" xref="S4.E23.m1.2.2">𝜈</ci><ci id="S4.E23.m1.3.3.cmml" xref="S4.E23.m1.3.3">𝜏</ci></interval></apply></apply><ci id="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E23.m1.4.4.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E23.m1.4c">\displaystyle P_{Doppler}(\nu)=<S(\nu,\tau)>_{\tau},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E23.m1.4d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_D italic_o italic_p italic_p italic_l italic_e italic_r end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ν ) = < italic_S ( italic_ν , italic_τ ) > start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(23)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E24"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P_{delay}(\tau)=<S(\nu,\tau)>_{\nu}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E24.m1.4"><semantics id="S4.E24.m1.4a"><mrow id="S4.E24.m1.4.4.1" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.4.4.1.1" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.3.cmml">e</mi><mo id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.1a" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.4" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.cmml">l</mi><mo id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.1b" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.5" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.5.cmml">a</mi><mo id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.1c" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.6" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.6.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E24.m1.1.1" xref="S4.E24.m1.1.1.cmml">τ</mi><mo id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E24.m1.4.4.1.1.2" rspace="0.1389em" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E24.m1.2.2" xref="S4.E24.m1.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E24.m1.3.3" xref="S4.E24.m1.3.3.cmml">τ</mi><mo id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mi id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">ν</mi></msub></mrow><mo id="S4.E24.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E24.m1.4b"><apply id="S4.E24.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1"><eq id="S4.E24.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3"><times id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3"><times id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.3">𝑒</ci><ci id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.4">𝑙</ci><ci id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.5.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.5">𝑎</ci><ci id="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.6.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.3.2.3.6">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S4.E24.m1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.1.1">𝜏</ci></apply><apply id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑆</ci><interval closure="open" id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.E24.m1.2.2.cmml" xref="S4.E24.m1.2.2">𝜈</ci><ci id="S4.E24.m1.3.3.cmml" xref="S4.E24.m1.3.3">𝜏</ci></interval></apply></apply><ci id="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E24.m1.4.4.1.1.1.3">𝜈</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E24.m1.4c">\displaystyle P_{delay}(\tau)=<S(\nu,\tau)>_{\nu}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E24.m1.4d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_e italic_l italic_a italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ ) = < italic_S ( italic_ν , italic_τ ) > start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(24)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.p6.2">Finally, using Parseval’s relation it can be shown that <math alttext="P_{delay}(\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.1.m1.1"><semantics id="S4.p6.1.m1.1a"><mrow id="S4.p6.1.m1.1.2" xref="S4.p6.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.p6.1.m1.1.2.2" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p6.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.1" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.3" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">e</mi><mo id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.1a" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.4" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.4.cmml">l</mi><mo id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.1b" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.5" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.5.cmml">a</mi><mo id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.1c" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.6" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.6.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S4.p6.1.m1.1.2.1" xref="S4.p6.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p6.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.p6.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.p6.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p6.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p6.1.m1.1.1" xref="S4.p6.1.m1.1.1.cmml">τ</mi><mo id="S4.p6.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p6.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.1.m1.1b"><apply id="S4.p6.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.2"><times id="S4.p6.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.p6.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3"><times id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.3">𝑒</ci><ci id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.4.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.4">𝑙</ci><ci id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.5.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.5">𝑎</ci><ci id="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.6.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.2.2.3.6">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S4.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.1">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.1.m1.1c">P_{delay}(\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.1.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_e italic_l italic_a italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.E24" title="In IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">24</span></a>) can also be obtained in a more straightforward way as <math alttext="P_{delay}(\tau)=<\left|\tilde{h}(t,\tau)\right|^{2}>_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.2.m2.4"><semantics id="S4.p6.2.m2.4a"><mrow id="S4.p6.2.m2.4.4" xref="S4.p6.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S4.p6.2.m2.4.4.3" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.cmml"><msub id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.cmml"><mi id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.2" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.cmml"><mi id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.2" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.1" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.3" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.3.cmml">e</mi><mo id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.1a" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.4" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.4.cmml">l</mi><mo id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.1b" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.5" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.5.cmml">a</mi><mo id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.1c" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.6" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.6.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S4.p6.2.m2.4.4.3.1" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p6.2.m2.4.4.3.3.2" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.cmml"><mo id="S4.p6.2.m2.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p6.2.m2.1.1" xref="S4.p6.2.m2.1.1.cmml">τ</mi><mo id="S4.p6.2.m2.4.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p6.2.m2.4.4.2" rspace="0.1389em" xref="S4.p6.2.m2.4.4.2.cmml">=</mo><msub id="S4.p6.2.m2.4.4.1" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.cmml"><mrow id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.2.1.cmml"><</mo><msup id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mo id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p6.2.m2.2.2" xref="S4.p6.2.m2.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.2.m2.3.3" xref="S4.p6.2.m2.3.3.cmml">τ</mi><mo id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo fence="true" id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mi id="S4.p6.2.m2.4.4.1.3" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.3.cmml">t</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.2.m2.4b"><apply id="S4.p6.2.m2.4.4.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4"><eq id="S4.p6.2.m2.4.4.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.2"></eq><apply id="S4.p6.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3"><times id="S4.p6.2.m2.4.4.3.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.1"></times><apply id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3"><times id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.1"></times><ci id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.3.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.3">𝑒</ci><ci id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.4.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.4">𝑙</ci><ci id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.5.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.5">𝑎</ci><ci id="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.6.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.3.2.3.6">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S4.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.1.1">𝜏</ci></apply><apply id="S4.p6.2.m2.4.4.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.2.m2.4.4.1.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1">subscript</csymbol><apply id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1"><abs id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.p6.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.p6.2.m2.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.p6.2.m2.3.3.cmml" xref="S4.p6.2.m2.3.3">𝜏</ci></interval></apply></apply><cn id="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><ci id="S4.p6.2.m2.4.4.1.3.cmml" xref="S4.p6.2.m2.4.4.1.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.2.m2.4c">P_{delay}(\tau)=<\left|\tilde{h}(t,\tau)\right|^{2}>_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.2.m2.4d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_e italic_l italic_a italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ ) = < | over~ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT > start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.p7.5">As stated earlier, we can extract relevant channel parameters from the functions defined above. In particular, the root mean squared (rms) Doppler spread <math alttext="\sigma_{\nu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.1.m1.1"><semantics id="S4.p7.1.m1.1a"><msub id="S4.p7.1.m1.1.1" xref="S4.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p7.1.m1.1.1.2" xref="S4.p7.1.m1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.p7.1.m1.1.1.3" xref="S4.p7.1.m1.1.1.3.cmml">ν</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.1.m1.1b"><apply id="S4.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1.2">𝜎</ci><ci id="S4.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1.3">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.1.m1.1c">\sigma_{\nu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.1.m1.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and rms delay spread <math alttext="\sigma_{\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.2.m2.1"><semantics id="S4.p7.2.m2.1a"><msub id="S4.p7.2.m2.1.1" xref="S4.p7.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p7.2.m2.1.1.2" xref="S4.p7.2.m2.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.p7.2.m2.1.1.3" xref="S4.p7.2.m2.1.1.3.cmml">τ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.2.m2.1b"><apply id="S4.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p7.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p7.2.m2.1.1.2">𝜎</ci><ci id="S4.p7.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.p7.2.m2.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.2.m2.1c">\sigma_{\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.2.m2.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are defined as the rms width of <math alttext="P_{Doppler}(\nu)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.3.m3.1"><semantics id="S4.p7.3.m3.1a"><mrow id="S4.p7.3.m3.1.2" xref="S4.p7.3.m3.1.2.cmml"><msub id="S4.p7.3.m3.1.2.2" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p7.3.m3.1.2.2.2" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.2" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.2.cmml">D</mi><mo id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.1" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.3" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.3.cmml">o</mi><mo id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.1a" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.4" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.4.cmml">p</mi><mo id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.1b" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.5" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.5.cmml">p</mi><mo id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.1c" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.6" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.6.cmml">l</mi><mo id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.1d" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.7" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.7.cmml">e</mi><mo id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.1e" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.8" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.8.cmml">r</mi></mrow></msub><mo id="S4.p7.3.m3.1.2.1" xref="S4.p7.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p7.3.m3.1.2.3.2" xref="S4.p7.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.p7.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p7.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p7.3.m3.1.1" xref="S4.p7.3.m3.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S4.p7.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p7.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.3.m3.1b"><apply id="S4.p7.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2"><times id="S4.p7.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S4.p7.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p7.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3"><times id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.2">𝐷</ci><ci id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.3">𝑜</ci><ci id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.4.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.4">𝑝</ci><ci id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.5.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.5">𝑝</ci><ci id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.6.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.6">𝑙</ci><ci id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.7.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.7">𝑒</ci><ci id="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.8.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.2.2.3.8">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p7.3.m3.1.1">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.3.m3.1c">P_{Doppler}(\nu)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.3.m3.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_D italic_o italic_p italic_p italic_l italic_e italic_r end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ν )</annotation></semantics></math> and <math alttext="P_{delay}(\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.4.m4.1"><semantics id="S4.p7.4.m4.1a"><mrow id="S4.p7.4.m4.1.2" xref="S4.p7.4.m4.1.2.cmml"><msub id="S4.p7.4.m4.1.2.2" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p7.4.m4.1.2.2.2" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.2" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.1" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.3" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.3.cmml">e</mi><mo id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.1a" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.4" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.4.cmml">l</mi><mo id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.1b" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.5" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.5.cmml">a</mi><mo id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.1c" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.6" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.6.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S4.p7.4.m4.1.2.1" xref="S4.p7.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p7.4.m4.1.2.3.2" xref="S4.p7.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S4.p7.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p7.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p7.4.m4.1.1" xref="S4.p7.4.m4.1.1.cmml">τ</mi><mo id="S4.p7.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p7.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.4.m4.1b"><apply id="S4.p7.4.m4.1.2.cmml" xref="S4.p7.4.m4.1.2"><times id="S4.p7.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S4.p7.4.m4.1.2.1"></times><apply id="S4.p7.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p7.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3"><times id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.3">𝑒</ci><ci id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.4.cmml" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.4">𝑙</ci><ci id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.5.cmml" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.5">𝑎</ci><ci id="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.6.cmml" xref="S4.p7.4.m4.1.2.2.3.6">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S4.p7.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p7.4.m4.1.1">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.4.m4.1c">P_{delay}(\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.4.m4.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_e italic_l italic_a italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ )</annotation></semantics></math> respectively and give a measure of the width of the corresponding function. Given that the rms width is the standard deviation of a function taken as a probability density function (pdf), we can write for <math alttext="\sigma_{\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.5.m5.1"><semantics id="S4.p7.5.m5.1a"><msub id="S4.p7.5.m5.1.1" xref="S4.p7.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.p7.5.m5.1.1.2" xref="S4.p7.5.m5.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.p7.5.m5.1.1.3" xref="S4.p7.5.m5.1.1.3.cmml">τ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.5.m5.1b"><apply id="S4.p7.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.p7.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p7.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.p7.5.m5.1.1.2">𝜎</ci><ci id="S4.p7.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.p7.5.m5.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.5.m5.1c">\sigma_{\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.5.m5.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sigma_{\tau}=\left[\int_{-\infty}^{\infty}\tau^{2}g(\tau)d\tau-\left(\int_{-% \infty}^{\infty}\tau g(\tau)d\tau\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E25.m1.3"><semantics id="S4.E25.m1.3a"><mrow id="S4.E25.m1.3.3" xref="S4.E25.m1.3.3.cmml"><msub id="S4.E25.m1.3.3.3" xref="S4.E25.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E25.m1.3.3.3.2" xref="S4.E25.m1.3.3.3.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.E25.m1.3.3.3.3" xref="S4.E25.m1.3.3.3.3.cmml">τ</mi></msub><mo id="S4.E25.m1.3.3.2" xref="S4.E25.m1.3.3.2.cmml">=</mo><msup id="S4.E25.m1.3.3.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.2" lspace="0em" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3a" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml">−</mo><mi id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">∞</mi></mrow><mi id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.3.cmml">∞</mi></msubsup><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">τ</mi><mn id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml">g</mi><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.4.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E25.m1.1.1" xref="S4.E25.m1.1.1.cmml">τ</mi><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1b" lspace="0em" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.5" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.5.cmml"><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.5.1" rspace="0em" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.5.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.5.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.5.2.cmml">τ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><msup id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mi id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">∞</mi></mrow><mi id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msubsup><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">g</mi><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E25.m1.2.2" xref="S4.E25.m1.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1b" lspace="0em" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1" rspace="0em" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">τ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.E25.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mfrac id="S4.E25.m1.3.3.1.3" xref="S4.E25.m1.3.3.1.3.cmml"><mn id="S4.E25.m1.3.3.1.3.2" xref="S4.E25.m1.3.3.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S4.E25.m1.3.3.1.3.3" 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id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.cmml"><msubsup id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.2" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mrow id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.3" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.3.cmml"><mo id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.3a" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.3.cmml">−</mo><mi id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.3.2.cmml">∞</mi></mrow><mi id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.3.cmml">∞</mi></msubsup><mrow id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.cmml"><msub id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.2" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.2" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.1" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.3" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.3.cmml">e</mi><mo id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.1a" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.4" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.4.cmml">l</mi><mo id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.1b" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.5" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.5.cmml">a</mi><mo id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.1c" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.6" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.6.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.1" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.3.2" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.cmml"><mo id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p7.6.m1.3.3" xref="S4.p7.6.m1.3.3.cmml">τ</mi><mo id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.1a" lspace="0em" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.4" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.4.cmml"><mo id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.4.1" rspace="0em" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.4.2" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.4.2.cmml">τ</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.6.m1.3b"><apply id="S4.p7.6.m1.3.4.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4"><eq id="S4.p7.6.m1.3.4.1.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.1"></eq><apply id="S4.p7.6.m1.3.4.2.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.2"><times id="S4.p7.6.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.2.1"></times><ci id="S4.p7.6.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.2.2">𝑔</ci><ci id="S4.p7.6.m1.1.1.cmml" xref="S4.p7.6.m1.1.1">𝜏</ci></apply><apply id="S4.p7.6.m1.3.4.3.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3"><divide id="S4.p7.6.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.1"></divide><apply id="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.2"><times id="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.1"></times><apply id="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.1.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.3.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.3"><times id="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.3.3">𝑒</ci><ci id="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.3.4.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.3.4">𝑙</ci><ci id="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.3.5.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.3.5">𝑎</ci><ci id="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.3.6.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.2.2.3.6">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S4.p7.6.m1.2.2.cmml" xref="S4.p7.6.m1.2.2">𝜏</ci></apply><apply id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3"><apply id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.1.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1">subscript</csymbol><int id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.2.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.2"></int><apply id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.3.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.3"><minus id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.3"></minus><infinity id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.2.3.2"></infinity></apply></apply><infinity id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.3.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.1.3"></infinity></apply><apply id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2"><times id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.1.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.1"></times><apply id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3"><times id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.3">𝑒</ci><ci id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.4.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.4">𝑙</ci><ci id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.5.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.5">𝑎</ci><ci id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.6.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.2.3.6">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S4.p7.6.m1.3.3.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.3">𝜏</ci><apply id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.4.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.4.1.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.4.2.cmml" xref="S4.p7.6.m1.3.4.3.3.2.4.2">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.6.m1.3c">g(\tau)=P_{delay}(\tau)/\int_{-\infty}^{\infty}P_{delay}(\tau)d\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.6.m1.3d">italic_g ( italic_τ ) = italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_e italic_l italic_a italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ ) / ∫ start_POSTSUBSCRIPT - ∞ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_e italic_l italic_a italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ ) italic_d italic_τ</annotation></semantics></math>. The parameter <math alttext="\sigma_{\nu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.7.m2.1"><semantics id="S4.p7.7.m2.1a"><msub id="S4.p7.7.m2.1.1" xref="S4.p7.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p7.7.m2.1.1.2" xref="S4.p7.7.m2.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.p7.7.m2.1.1.3" xref="S4.p7.7.m2.1.1.3.cmml">ν</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.7.m2.1b"><apply id="S4.p7.7.m2.1.1.cmml" xref="S4.p7.7.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.7.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p7.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p7.7.m2.1.1.2">𝜎</ci><ci id="S4.p7.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.p7.7.m2.1.1.3">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.7.m2.1c">\sigma_{\nu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.7.m2.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is analogously defined.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p8"> <p class="ltx_p" id="S4.p8.6">A high Doppler spread <math alttext="\sigma_{\nu}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.1.m1.1"><semantics id="S4.p8.1.m1.1a"><msub id="S4.p8.1.m1.1.1" xref="S4.p8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p8.1.m1.1.1.2" xref="S4.p8.1.m1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.p8.1.m1.1.1.3" xref="S4.p8.1.m1.1.1.3.cmml">ν</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.1.m1.1b"><apply id="S4.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.1.2">𝜎</ci><ci id="S4.p8.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.1.3">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.1.m1.1c">\sigma_{\nu}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.1.m1.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_ν end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> implies a channel with fast temporal fluctuation while a high delay spread <math alttext="\sigma_{\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.2.m2.1"><semantics id="S4.p8.2.m2.1a"><msub id="S4.p8.2.m2.1.1" xref="S4.p8.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p8.2.m2.1.1.2" xref="S4.p8.2.m2.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.p8.2.m2.1.1.3" xref="S4.p8.2.m2.1.1.3.cmml">τ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.2.m2.1b"><apply id="S4.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p8.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p8.2.m2.1.1.2">𝜎</ci><ci id="S4.p8.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.p8.2.m2.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.2.m2.1c">\sigma_{\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.2.m2.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> implies a channel with strong frequency selectivity. Another two relevant parameters are the coherence time <math alttext="t_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.3.m3.1"><semantics id="S4.p8.3.m3.1a"><msub id="S4.p8.3.m3.1.1" xref="S4.p8.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.p8.3.m3.1.1.2" xref="S4.p8.3.m3.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S4.p8.3.m3.1.1.3" xref="S4.p8.3.m3.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.3.m3.1b"><apply id="S4.p8.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p8.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p8.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p8.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.p8.3.m3.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.p8.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.p8.3.m3.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.3.m3.1c">t_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.3.m3.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and coherence bandwidth <math alttext="b_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.4.m4.1"><semantics id="S4.p8.4.m4.1a"><msub id="S4.p8.4.m4.1.1" xref="S4.p8.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.p8.4.m4.1.1.2" xref="S4.p8.4.m4.1.1.2.cmml">b</mi><mi id="S4.p8.4.m4.1.1.3" xref="S4.p8.4.m4.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.4.m4.1b"><apply id="S4.p8.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p8.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p8.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.p8.4.m4.1.1.2">𝑏</ci><ci id="S4.p8.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.p8.4.m4.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.4.m4.1c">b_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.4.m4.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> that also measure the temporal fluctuation and the frequency selectivity of a channel respectively and can be extracted from the width of the autocorrelations, <math alttext="\Phi^{(t)}(\Delta t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.5.m5.2"><semantics id="S4.p8.5.m5.2a"><mrow id="S4.p8.5.m5.2.2" xref="S4.p8.5.m5.2.2.cmml"><msup id="S4.p8.5.m5.2.2.3" xref="S4.p8.5.m5.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p8.5.m5.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.p8.5.m5.2.2.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.p8.5.m5.1.1.1.3" xref="S4.p8.5.m5.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p8.5.m5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p8.5.m5.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p8.5.m5.1.1.1.1" xref="S4.p8.5.m5.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.p8.5.m5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.p8.5.m5.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.p8.5.m5.2.2.2" xref="S4.p8.5.m5.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p8.5.m5.2.2.1.1" xref="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.5.m5.2b"><apply id="S4.p8.5.m5.2.2.cmml" xref="S4.p8.5.m5.2.2"><times id="S4.p8.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S4.p8.5.m5.2.2.2"></times><apply id="S4.p8.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S4.p8.5.m5.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p8.5.m5.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p8.5.m5.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p8.5.m5.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p8.5.m5.2.2.3.2">Φ</ci><ci id="S4.p8.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.5.m5.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.5.m5.2.2.1.1"><times id="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p8.5.m5.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.5.m5.2c">\Phi^{(t)}(\Delta t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.5.m5.2d">roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Phi^{(f)}(\Delta f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.6.m6.2"><semantics id="S4.p8.6.m6.2a"><mrow id="S4.p8.6.m6.2.2" xref="S4.p8.6.m6.2.2.cmml"><msup id="S4.p8.6.m6.2.2.3" xref="S4.p8.6.m6.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p8.6.m6.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.p8.6.m6.2.2.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.p8.6.m6.1.1.1.3" xref="S4.p8.6.m6.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p8.6.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.p8.6.m6.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p8.6.m6.1.1.1.1" xref="S4.p8.6.m6.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.p8.6.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.p8.6.m6.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.p8.6.m6.2.2.2" xref="S4.p8.6.m6.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p8.6.m6.2.2.1.1" xref="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1" xref="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.1" xref="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.6.m6.2b"><apply id="S4.p8.6.m6.2.2.cmml" xref="S4.p8.6.m6.2.2"><times id="S4.p8.6.m6.2.2.2.cmml" xref="S4.p8.6.m6.2.2.2"></times><apply id="S4.p8.6.m6.2.2.3.cmml" xref="S4.p8.6.m6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p8.6.m6.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p8.6.m6.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p8.6.m6.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p8.6.m6.2.2.3.2">Φ</ci><ci id="S4.p8.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.6.m6.1.1.1.1">𝑓</ci></apply><apply id="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.6.m6.2.2.1.1"><times id="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p8.6.m6.2.2.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.6.m6.2c">\Phi^{(f)}(\Delta f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.6.m6.2d">roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_f )</annotation></semantics></math> respectively, as the value where the autocorrelation falls below a certain threshold. In general terms an inverse relation exists between Doppler spread and coherence time on one side and between delay spread and coherence bandwidth on the other.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p9"> <p class="ltx_p" id="S4.p9.1">A remark applies before going any further. The functions defined above are deterministic in the sense that no statistical expected values are involved. Each of them has its ensemble average counterpart. In our study we won’t embark in the formal statistical analysis of wide-sense stationarity uncorrelated scattering channels <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib17" title="">17</a>]</cite>. In fact, the low number of realizations of each channel impulse response obtained with our measurements would not allow a reliable verdict. We therefore focus our attention in showing the propagation characteristics using a deterministic approach, not in applying the WSSUS formalism as such.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p10"> <p class="ltx_p" id="S4.p10.1">In the following two sections we present the analysis of the measurements corresponding to two different scales. In the first analysis scale we treat the channel response as a whole while in the second scale we analyze each of the multipath components of the total response separately. In the first scale we will focus our attention on the time variation of the channel through the Doppler spread/coherence time parameter. The delay spread/coherence bandwidth are presumed to give less information as they will be highly determined by the geometry of the scenario in which the strongest multipath components are the direct and the surface reflected paths. In the second scale the measurements of the delay spread/coherence bandwidth of each multipath component may reveal important information that has not been reported in the literature. Moreover, results of the statistical distribution of the channel gain fluctuation are also presented in both scales which is a valuable information about the behavior of the underwater channel in the short time scale.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p11"> <p class="ltx_p" id="S4.p11.1">The nominal geometry of the 13 sounded channels whose results are presented in this work is shown in table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.T1" title="TABLE I ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">I</span></a>. The channels are numbered in ascending order of separation between transmitter and receiver. The depth of both transmitter and receiver was fixed at 6 meters in all the measurements. The coarse measurement of the separation between the boats carried out on the sea has been later fine tuned from the recorded data by using the time difference between the first and second paths. This is the reason for the irregular grid of distances.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S4.T1"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_table"><span class="ltx_text" id="S4.T1.2.1.1" style="font-size:90%;">TABLE I</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.T1.3.2" style="font-size:90%;">Channels parameters (tx. and rx. depth = 6m).</span></figcaption> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_align_middle" id="S4.T1.4"> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.4.1.1"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.1.1.1">Channel</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.1.1.2">Separation (m)</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.1.1.3">Sea depth (m)</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.4.2.2"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_tt" id="S4.T1.4.2.2.1">1</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_tt" id="S4.T1.4.2.2.2">47</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_tt" id="S4.T1.4.2.2.3">24</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.4.3.3"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.3.3.1">2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.3.3.2">51</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.3.3.3">19</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.4.4.4"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.4.4.1">3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.4.4.2">98</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.4.4.3">20</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.4.5.5"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.5.5.1">4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.5.5.2">100</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.5.5.3">20</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.4.6.6"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.6.6.1">5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.6.6.2">134</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.6.6.3">22</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.4.7.7"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.7.7.1">6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.7.7.2">168</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.7.7.3">24</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.4.8.8"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.8.8.1">7</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.8.8.2">197</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.8.8.3">20</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.4.9.9"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.9.9.1">8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.9.9.2">216</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.9.9.3">28</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.4.10.10"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.10.10.1">9</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.10.10.2">236</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.10.10.3">29</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.4.11.11"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.11.11.1">10</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.11.11.2">242</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.11.11.3">34</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.4.12.12"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.12.12.1">11</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.12.12.2">248</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.12.12.3">25</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.4.13.13"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.13.13.1">12</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.13.13.2">260</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.13.13.3">28</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.4.14.14"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.14.14.1">13</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.14.14.2">387</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.4.14.14.3">31</td> </tr> </tbody> </table> </figure> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S4.SS1.4.1.1">IV-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS1.5.2">Global channel characterization </span> </h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.1">To start with, a complete measure is shown in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.F8" title="Figure 8 ‣ IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a> where the square amplitude of the time-variant impulse response <math alttext="|\tilde{h}(t,\tau)|^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.1.m1.3"><semantics id="S4.SS1.p1.1.m1.3a"><msup id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">h</mi><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.1.m1.3b"><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1"><abs id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.2"></abs><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1"><times id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1"></times><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2"><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2"><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2">𝜏</ci></interval></apply></apply><cn id="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.1.m1.3.3.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.1.m1.3c">|\tilde{h}(t,\tau)|^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.1.m1.3d">| over~ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is depicted for channel 8 over a duration of 60 s where the first four paths (corresponding to the direct, sea-reflected, bottom-reflected and sea-bottom-reflected paths) are clearly distinguishable.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F8"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="229" id="S4.F8.g1" src="x13.png" width="415"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F8.8.4.1" style="font-size:90%;">Figure 8</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F8.6.3" style="font-size:90%;">Absolute value of the impulse response <math alttext="|\tilde{h}(t,\tau)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F8.4.1.m1.3"><semantics id="S4.F8.4.1.m1.3b"><mrow id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.2.cmml"><mo id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">h</mi><mo id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.F8.4.1.m1.1.1" xref="S4.F8.4.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.F8.4.1.m1.2.2" xref="S4.F8.4.1.m1.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F8.4.1.m1.3c"><apply id="S4.F8.4.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1"><abs id="S4.F8.4.1.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.2"></abs><apply id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1"><times id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.1"></times><apply id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.2"><ci id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F8.4.1.m1.3.3.1.1.3.2"><ci id="S4.F8.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F8.4.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.F8.4.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.F8.4.1.m1.2.2">𝜏</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F8.4.1.m1.3d">|\tilde{h}(t,\tau)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F8.4.1.m1.3e">| over~ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ ) |</annotation></semantics></math> as a function of <math alttext="\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F8.5.2.m2.1"><semantics id="S4.F8.5.2.m2.1b"><mi id="S4.F8.5.2.m2.1.1" xref="S4.F8.5.2.m2.1.1.cmml">τ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F8.5.2.m2.1c"><ci id="S4.F8.5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.F8.5.2.m2.1.1">𝜏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F8.5.2.m2.1d">\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F8.5.2.m2.1e">italic_τ</annotation></semantics></math> and <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F8.6.3.m3.1"><semantics id="S4.F8.6.3.m3.1b"><mi id="S4.F8.6.3.m3.1.1" xref="S4.F8.6.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F8.6.3.m3.1c"><ci id="S4.F8.6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.F8.6.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F8.6.3.m3.1d">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F8.6.3.m3.1e">italic_t</annotation></semantics></math> measured in channel 8 in logarithmic scale (the amplitudes are normalized to their maximum value).</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p2.2">In Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.F9.sf1" title="In Figure 9 ‣ IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9(a)</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.F9.sf2" title="In Figure 9 ‣ IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9(b)</span></a> the absolute value of the measured frequency response <math alttext="|\tilde{H}(t,f)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.1.m1.3"><semantics id="S4.SS1.p2.1.m1.3a"><mrow id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p2.1.m1.2.2" xref="S4.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.1.m1.3b"><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1"><abs id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.2"></abs><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1"><times id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.1"></times><apply id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.2"><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><interval closure="open" id="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.3.3.1.1.3.2"><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p2.1.m1.2.2">𝑓</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.1.m1.3c">|\tilde{H}(t,f)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.1.m1.3d">| over~ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t , italic_f ) |</annotation></semantics></math> corresponding to a fixed time <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p2.2.m2.1a"><mi id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S4.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p2.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math> in channel 1 and 13 respectively is depicted in the frequency band under study from 32 to 128 kHz. The attenuated comb-filter shape response is typical of a system dominated by two main paths, as it is the case. See that the lobe separation in channel 13 is greater than in channel 1 because so is the distance between transmitter and receiver and therefore, the time lapse between the first two paths is shorter.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F9"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F9.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="635" id="S4.F9.sf1.g1" src="x14.png" width="789"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F9.sf1.2.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F9.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="635" id="S4.F9.sf2.g1" src="x15.png" width="789"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F9.sf2.2.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F9.6.3.1" style="font-size:90%;">Figure 9</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F9.4.2" style="font-size:90%;">Absolute value of the frequency response <math alttext="\tilde{H}(t,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F9.3.1.m1.2"><semantics id="S4.F9.3.1.m1.2b"><mrow id="S4.F9.3.1.m1.2.3" xref="S4.F9.3.1.m1.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.F9.3.1.m1.2.3.2" xref="S4.F9.3.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.F9.3.1.m1.2.3.2.2" xref="S4.F9.3.1.m1.2.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S4.F9.3.1.m1.2.3.2.1" xref="S4.F9.3.1.m1.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.F9.3.1.m1.2.3.1" xref="S4.F9.3.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.F9.3.1.m1.2.3.3.2" xref="S4.F9.3.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.F9.3.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F9.3.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.F9.3.1.m1.1.1" xref="S4.F9.3.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.F9.3.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.F9.3.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.F9.3.1.m1.2.2" xref="S4.F9.3.1.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F9.3.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.F9.3.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F9.3.1.m1.2c"><apply id="S4.F9.3.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.F9.3.1.m1.2.3"><times id="S4.F9.3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.F9.3.1.m1.2.3.1"></times><apply id="S4.F9.3.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.F9.3.1.m1.2.3.2"><ci id="S4.F9.3.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.F9.3.1.m1.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.F9.3.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.F9.3.1.m1.2.3.2.2">𝐻</ci></apply><interval closure="open" id="S4.F9.3.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.F9.3.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S4.F9.3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F9.3.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.F9.3.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.F9.3.1.m1.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F9.3.1.m1.2d">\tilde{H}(t,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F9.3.1.m1.2e">over~ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t , italic_f )</annotation></semantics></math> of (a) channel 1 and (b) channel 13 at a fixed <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F9.4.2.m2.1"><semantics id="S4.F9.4.2.m2.1b"><mi id="S4.F9.4.2.m2.1.1" xref="S4.F9.4.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F9.4.2.m2.1c"><ci id="S4.F9.4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.F9.4.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F9.4.2.m2.1d">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F9.4.2.m2.1e">italic_t</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p3.10">In Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.F10" title="Figure 10 ‣ IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a> the absolute value of the time autocorrelation <math alttext="|\Phi^{(t)}(\Delta t)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.1.m1.2"><semantics id="S4.SS1.p3.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.1.m1.2b"><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1"><abs id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.2"></abs><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1"><times id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.1.m1.2c">|\Phi^{(t)}(\Delta t)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.1.m1.2d">| roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t ) |</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.E17" title="In IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">17</span></a>), the frequency autocorrelation <math alttext="|\Phi^{(f)}(\Delta f)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.2.m2.2"><semantics id="S4.SS1.p3.2.m2.2a"><mrow id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.2.m2.2b"><apply id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1"><abs id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.2"></abs><apply id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1"><times id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.1.1.1.1">𝑓</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.2.m2.2c">|\Phi^{(f)}(\Delta f)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.2.m2.2d">| roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_f ) |</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.E19" title="In IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a>), the Doppler spectrum <math alttext="P_{Doppler}(\nu)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p3.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.2.cmml">D</mi><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.1" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.3.cmml">o</mi><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.1a" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.4" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.4.cmml">p</mi><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.1b" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.5" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.5.cmml">p</mi><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.1c" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.6" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.6.cmml">l</mi><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.1d" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.7" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.7.cmml">e</mi><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.1e" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.8" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.8.cmml">r</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.1" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.3.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2"><times id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3"><times id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.2">𝐷</ci><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.3">𝑜</ci><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.4.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.4">𝑝</ci><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.5.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.5">𝑝</ci><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.6.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.6">𝑙</ci><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.7.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.7">𝑒</ci><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.8.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.2.2.3.8">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.3.m3.1.1">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.3.m3.1c">P_{Doppler}(\nu)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.3.m3.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_D italic_o italic_p italic_p italic_l italic_e italic_r end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ν )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.E21" title="In IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>) and the delay spectrum <math alttext="P_{delay}(\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p3.4.m4.1a"><mrow id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.1" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.3.cmml">e</mi><mo id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.1a" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.4" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.4.cmml">l</mi><mo id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.1b" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.5" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.5.cmml">a</mi><mo id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.1c" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.6" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.6.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.1" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml">τ</mi><mo id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2"><times id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3"><times id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.3">𝑒</ci><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.4.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.4">𝑙</ci><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.5.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.5">𝑎</ci><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.6.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.2.2.3.6">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S4.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.4.m4.1.1">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.4.m4.1c">P_{delay}(\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.4.m4.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_e italic_l italic_a italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.E22" title="In IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>) are depicted for channels 6 and 8. Starting with channel 6, see that <math alttext="|\Phi^{(t)}(\Delta t)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.5.m5.2"><semantics id="S4.SS1.p3.5.m5.2a"><mrow id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.SS1.p3.5.m5.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.5.m5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p3.5.m5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.5.m5.2b"><apply id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1"><abs id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.2"></abs><apply id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1"><times id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m5.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.5.m5.2c">|\Phi^{(t)}(\Delta t)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.5.m5.2d">| roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t ) |</annotation></semantics></math> falls off rapidly from 1 to 0.6 and remains practically constant thereafter which traduces in a Doppler spectrum <math alttext="P_{Doppler}(\nu)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.6.m6.1"><semantics id="S4.SS1.p3.6.m6.1a"><mrow id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.2.cmml">D</mi><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.1" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.3.cmml">o</mi><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.1a" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.4" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.4.cmml">p</mi><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.1b" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.5" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.5.cmml">p</mi><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.1c" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.6" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.6.cmml">l</mi><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.1d" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.7" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.7.cmml">e</mi><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.1e" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.8" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.8.cmml">r</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.1" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.6.m6.1b"><apply id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2"><times id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3"><times id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.2">𝐷</ci><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.3">𝑜</ci><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.4.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.4">𝑝</ci><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.5.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.5">𝑝</ci><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.6.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.6">𝑙</ci><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.7.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.7">𝑒</ci><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.8.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.2.2.3.8">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.SS1.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.6.m6.1.1">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.6.m6.1c">P_{Doppler}(\nu)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.6.m6.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_D italic_o italic_p italic_p italic_l italic_e italic_r end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ν )</annotation></semantics></math> with a sharp peak at 0 Hz reflecting the static part of the channel and a fast decaying behavior in the range of <math alttext="\pm" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.7.m7.1"><semantics id="S4.SS1.p3.7.m7.1a"><mo id="S4.SS1.p3.7.m7.1.1" xref="S4.SS1.p3.7.m7.1.1.cmml">±</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.7.m7.1b"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.7.m7.1.1">plus-or-minus</csymbol></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.7.m7.1c">\pm</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.7.m7.1d">±</annotation></semantics></math> 5 Hz. The frequency autocorrelation <math alttext="|\Phi^{(f)}(\Delta f)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.8.m8.2"><semantics id="S4.SS1.p3.8.m8.2a"><mrow id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.SS1.p3.8.m8.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.8.m8.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.8.m8.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.SS1.p3.8.m8.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.8.m8.2b"><apply id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1"><abs id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.2"></abs><apply id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1"><times id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.SS1.p3.8.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.1.1.1.1">𝑓</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.8.m8.2c">|\Phi^{(f)}(\Delta f)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.8.m8.2d">| roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_f ) |</annotation></semantics></math> features a decaying oscillation with a period inversely related of the time arrival difference between the two strongest paths, as expected. This is corroborated by the delay spectrum <math alttext="P_{delay}(\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.9.m9.1"><semantics id="S4.SS1.p3.9.m9.1a"><mrow id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.cmml"><msub id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.1" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.3" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.3.cmml">e</mi><mo id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.1a" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.4" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.4.cmml">l</mi><mo id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.1b" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.5" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.5.cmml">a</mi><mo id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.1c" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.6" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.6.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.1" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.9.m9.1.1" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.1.cmml">τ</mi><mo id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.9.m9.1b"><apply id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2"><times id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3"><times id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.3">𝑒</ci><ci id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.4.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.4">𝑙</ci><ci id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.5.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.5">𝑎</ci><ci id="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.6.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.2.2.3.6">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S4.SS1.p3.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.9.m9.1.1">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.9.m9.1c">P_{delay}(\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.9.m9.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_e italic_l italic_a italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ )</annotation></semantics></math> where the two first paths (direct and surface reflected) have a remarkably higher amplitude than the rest of the paths. A close look to the central lobe of <math alttext="|\Phi^{(f)}(\Delta f)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p3.10.m10.2"><semantics id="S4.SS1.p3.10.m10.2a"><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.2" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p3.10.m10.2b"><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1"><abs id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.2"></abs><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1"><times id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.1.1.1.1">𝑓</ci></apply><apply id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p3.10.m10.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p3.10.m10.2c">|\Phi^{(f)}(\Delta f)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p3.10.m10.2d">| roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_f ) |</annotation></semantics></math> reveals a sharp peak caused by the noise floor in the delay spectrum.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F10"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="698" id="S4.F10.g1" src="x16.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F10.10.5.1" style="font-size:90%;">Figure 10</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F10.8.4" style="font-size:90%;">(a) Absolute value of the time autocorrelation <math alttext="|\Phi^{(t)}(\Delta t)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F10.5.1.m1.2"><semantics id="S4.F10.5.1.m1.2b"><mrow id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.F10.5.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.F10.5.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.F10.5.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.F10.5.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.F10.5.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F10.5.1.m1.2c"><apply id="S4.F10.5.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1"><abs id="S4.F10.5.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.2"></abs><apply id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1"><times id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.2"></times><apply id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.F10.5.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F10.5.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.F10.5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F10.5.1.m1.2d">|\Phi^{(t)}(\Delta t)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F10.5.1.m1.2e">| roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t ) |</annotation></semantics></math>, (b) frequency autocorrelation <math alttext="|\Phi^{(f)}(\Delta f)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F10.6.2.m2.2"><semantics id="S4.F10.6.2.m2.2b"><mrow id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.F10.6.2.m2.1.1.1.3" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.F10.6.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.F10.6.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.F10.6.2.m2.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.F10.6.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F10.6.2.m2.2c"><apply id="S4.F10.6.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1"><abs id="S4.F10.6.2.m2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.2"></abs><apply id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1"><times id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.2"></times><apply id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.F10.6.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F10.6.2.m2.1.1.1.1">𝑓</ci></apply><apply id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.F10.6.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F10.6.2.m2.2d">|\Phi^{(f)}(\Delta f)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F10.6.2.m2.2e">| roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_f ) |</annotation></semantics></math>, (c) Doppler spectrum <math alttext="P_{Doppler}(\nu)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F10.7.3.m3.1"><semantics id="S4.F10.7.3.m3.1b"><mrow id="S4.F10.7.3.m3.1.2" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.cmml"><msub id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.2" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.2" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.2.cmml">D</mi><mo id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.1" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.3" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.3.cmml">o</mi><mo id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.1b" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.4" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.4.cmml">p</mi><mo id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.1c" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.5" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.5.cmml">p</mi><mo id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.1d" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.6" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.6.cmml">l</mi><mo id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.1e" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.7" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.7.cmml">e</mi><mo id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.1f" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.8" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.8.cmml">r</mi></mrow></msub><mo id="S4.F10.7.3.m3.1.2.1" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.F10.7.3.m3.1.2.3.2" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.F10.7.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.F10.7.3.m3.1.1" xref="S4.F10.7.3.m3.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S4.F10.7.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F10.7.3.m3.1c"><apply id="S4.F10.7.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2"><times id="S4.F10.7.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3"><times id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.2">𝐷</ci><ci id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.3">𝑜</ci><ci id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.4.cmml" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.4">𝑝</ci><ci id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.5.cmml" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.5">𝑝</ci><ci id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.6.cmml" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.6">𝑙</ci><ci id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.7.cmml" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.7">𝑒</ci><ci id="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.8.cmml" xref="S4.F10.7.3.m3.1.2.2.3.8">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S4.F10.7.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.F10.7.3.m3.1.1">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F10.7.3.m3.1d">P_{Doppler}(\nu)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F10.7.3.m3.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_D italic_o italic_p italic_p italic_l italic_e italic_r end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ν )</annotation></semantics></math> and (d) normalized power delay profile <math alttext="P_{delay}(\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F10.8.4.m4.1"><semantics id="S4.F10.8.4.m4.1b"><mrow id="S4.F10.8.4.m4.1.2" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.cmml"><msub id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.2" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.2.cmml">P</mi><mrow id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.2" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.1" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.3" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.3.cmml">e</mi><mo id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.1b" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.4" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.4.cmml">l</mi><mo id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.1c" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.5" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.5.cmml">a</mi><mo id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.1d" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.6" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.6.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S4.F10.8.4.m4.1.2.1" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.F10.8.4.m4.1.2.3.2" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S4.F10.8.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.F10.8.4.m4.1.1" xref="S4.F10.8.4.m4.1.1.cmml">τ</mi><mo id="S4.F10.8.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F10.8.4.m4.1c"><apply id="S4.F10.8.4.m4.1.2.cmml" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2"><times id="S4.F10.8.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.1"></times><apply id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.2">𝑃</ci><apply id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3"><times id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.3">𝑒</ci><ci id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.4.cmml" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.4">𝑙</ci><ci id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.5.cmml" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.5">𝑎</ci><ci id="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.6.cmml" xref="S4.F10.8.4.m4.1.2.2.3.6">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S4.F10.8.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.F10.8.4.m4.1.1">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F10.8.4.m4.1d">P_{delay}(\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F10.8.4.m4.1e">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_e italic_l italic_a italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( italic_τ )</annotation></semantics></math> of channels 6 and 8.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p4.2">Regarding channel 8, the absolute value of the time autocorrelation <math alttext="|\Phi^{(t)}(\Delta t)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.1.m1.2"><semantics id="S4.SS1.p4.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.1.m1.2b"><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1"><abs id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.2"></abs><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1"><times id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.1.m1.2c">|\Phi^{(t)}(\Delta t)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.1.m1.2d">| roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t ) |</annotation></semantics></math> falls off more rapidly than in channel 6 (what means a smaller coherence time) and stabilizes at a lower value of 0.4 what turns into a wider Doppler spectrum. The frequency autocorrelation <math alttext="|\Phi^{(f)}(\Delta f)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.2.m2.2"><semantics id="S4.SS1.p4.2.m2.2a"><mrow id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.2.m2.2b"><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1"><abs id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.2"></abs><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1"><times id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1">𝑓</ci></apply><apply id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.2.m2.2c">|\Phi^{(f)}(\Delta f)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.2.m2.2d">| roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_f ) |</annotation></semantics></math> shows a similar behavior but with a longer period of oscillation because the delay between the first two paths is shorter, as seen in the delay spectrum.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.10">Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.T2" title="TABLE II ‣ IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II</span></a> summarizes the coherence time <math alttext="t_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p5.1.m1.1a"><msub id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.1.m1.1c">t_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.1.m1.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and bandwidth <math alttext="b_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p5.2.m2.1a"><msub id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml">b</mi><mi id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.2">𝑏</ci><ci id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.2.m2.1c">b_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.2.m2.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> measured for all the channels. The stabilization of <math alttext="|\Phi^{(t)}(\Delta t)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.3.m3.2"><semantics id="S4.SS1.p5.3.m3.2a"><mrow id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.3.m3.2b"><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1"><abs id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.2"></abs><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1"><times id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.3.m3.2c">|\Phi^{(t)}(\Delta t)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.3.m3.2d">| roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t ) |</annotation></semantics></math> in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.F10" title="Figure 10 ‣ IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a> in a constant high value is a general behavior, so we have used a high threshold of 0.9 in order to determine <math alttext="t_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.4.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p5.4.m4.1a"><msub id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.4.m4.1b"><apply id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.4.m4.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.4.m4.1c">t_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.4.m4.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. On the other hand, the sharp peak of <math alttext="|\Phi^{(f)}(\Delta f)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.5.m5.2"><semantics id="S4.SS1.p5.5.m5.2a"><mrow id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.5.m5.2b"><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1"><abs id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.2"></abs><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1"><times id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.2"></times><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1">𝑓</ci></apply><apply id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.5.m5.2c">|\Phi^{(f)}(\Delta f)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.5.m5.2d">| roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_f ) |</annotation></semantics></math> at <math alttext="\Delta f" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.6.m6.1"><semantics id="S4.SS1.p5.6.m6.1a"><mrow id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.6.m6.1b"><apply id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1"><times id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.6.m6.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.6.m6.1c">\Delta f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.6.m6.1d">roman_Δ italic_f</annotation></semantics></math> = 0 hinders the measure of <math alttext="b_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.7.m7.1"><semantics id="S4.SS1.p5.7.m7.1a"><msub id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2.cmml">b</mi><mi id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.7.m7.1b"><apply id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.2">𝑏</ci><ci id="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.7.m7.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.7.m7.1c">b_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.7.m7.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> since the main lobe is remarkably distorted. We have therefore adopted an alternative criteria for determining <math alttext="b_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.8.m8.1"><semantics id="S4.SS1.p5.8.m8.1a"><msub id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.cmml">b</mi><mi id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.8.m8.1b"><apply id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.2">𝑏</ci><ci id="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.8.m8.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.8.m8.1c">b_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.8.m8.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> consistent in assigning to it the value of the frequency location of the first sidelobe peak. The delay spread of each channel computed following (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.E25" title="In IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">25</span></a>) is also shown in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.T2" title="TABLE II ‣ IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II</span></a>. See that there is no evidence of an inverse relation between <math alttext="b_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.9.m9.1"><semantics id="S4.SS1.p5.9.m9.1a"><msub id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.cmml">b</mi><mi id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.9.m9.1b"><apply id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.2">𝑏</ci><ci id="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.9.m9.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.9.m9.1c">b_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.9.m9.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\sigma_{\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.10.m10.1"><semantics id="S4.SS1.p5.10.m10.1a"><msub id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.3.cmml">τ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.10.m10.1b"><apply id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.2">𝜎</ci><ci id="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.10.m10.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.10.m10.1c">\sigma_{\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.10.m10.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as it occurs in some type of terrestrial electromagnetic channels. The presence of several strong dispersive paths along with the diffuse components may be a reason for this.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p6.5">The short term fluctuation of the channel gain has been analyzed by computing the histogram of <math alttext="|\tilde{H}(t,f)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.1.m1.3"><semantics id="S4.SS1.p6.1.m1.3a"><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p6.1.m1.2.2" xref="S4.SS1.p6.1.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.1.m1.3b"><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1"><abs id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.2"></abs><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1"><times id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.1"></times><apply id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.2"><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.2.1">~</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><interval closure="open" id="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.3.3.1.1.3.2"><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.SS1.p6.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.1.m1.2.2">𝑓</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.1.m1.3c">|\tilde{H}(t,f)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.1.m1.3d">| over~ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t , italic_f ) |</annotation></semantics></math> in short segments of time <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p6.2.m2.1a"><mi id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.2.m2.1b"><ci id="S4.SS1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math> in order to average out the slow time variations. Additionally, narrow spectral segments have been selected for each time segment so that the channel gain fluctuation with frequency (due to frequency selectivity) is also averaged out. The histograms of the normalized gains for channels 2 and 3 are depicted in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.F11" title="Figure 11 ‣ IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>. A fit to a Rician distribution <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite> has been carried out using the mean square error (MSE) criterion. Since the gains are normalized, the Rician distribution is dependent only on the Rician-K parameter. Denoting <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p6.3.m3.1a"><mi id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.3.m3.1b"><ci id="S4.SS1.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.3.m3.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.3.m3.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.3.m3.1d">italic_x</annotation></semantics></math> as the normalized gain, <math alttext="p_{Rice}(x;K)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.4.m4.2"><semantics id="S4.SS1.p6.4.m4.2a"><mrow id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.cmml"><msub id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.2" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.2" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.2.cmml">R</mi><mo id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.1" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.3" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.3.cmml">i</mi><mo id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.1a" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.4" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.4.cmml">c</mi><mo id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.1b" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.5" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.5.cmml">e</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.1" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.3.2" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S4.SS1.p6.4.m4.2.2" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.2.cmml">K</mi><mo id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.4.m4.2b"><apply id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3"><times id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.1"></times><apply id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.2">𝑝</ci><apply id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3"><times id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.2">𝑅</ci><ci id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.3">𝑖</ci><ci id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.4.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.4">𝑐</ci><ci id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.5.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.2.3.5">𝑒</ci></apply></apply><list id="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.3.3.2"><ci id="S4.SS1.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.1.1">𝑥</ci><ci id="S4.SS1.p6.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.4.m4.2.2">𝐾</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.4.m4.2c">p_{Rice}(x;K)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.4.m4.2d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_R italic_i italic_c italic_e end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ; italic_K )</annotation></semantics></math> as the Rician pdf and <math alttext="p(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.5.m5.1"><semantics id="S4.SS1.p6.5.m5.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.5.m5.1.2" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.5.m5.1.2.2" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS1.p6.5.m5.1.2.1" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p6.5.m5.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p6.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p6.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.5.m5.1b"><apply id="S4.SS1.p6.5.m5.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.2"><times id="S4.SS1.p6.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.2.1"></times><ci id="S4.SS1.p6.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS1.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.5.m5.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.5.m5.1c">p(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.5.m5.1d">italic_p ( italic_x )</annotation></semantics></math> as the histogram of the measured gains respectively, the fit is conveyed by finding the value of K that minimizes the MSE as <span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote1"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">1</span>In this particular problem the MSE criterion has led to a better fit than that obtained other well-known methods like the K-S Test <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib19" title="">19</a>]</cite> or the Jensen-Shannon divergence <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib20" title="">20</a>]</cite>.</span></span></span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\underset{K}{\text{min}}<\left|p_{Rice}(x;K)-p(x)\right|^{2}>_{x}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E26.m1.4"><semantics id="S4.E26.m1.4a"><mrow id="S4.E26.m1.4.4" xref="S4.E26.m1.4.4.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.E26.m1.4.4.3" xref="S4.E26.m1.4.4.3.cmml"><mtext id="S4.E26.m1.4.4.3.2" xref="S4.E26.m1.4.4.3.2a.cmml">min</mtext><mo id="S4.E26.m1.4.4.3.1" xref="S4.E26.m1.4.4.3.1.cmml">𝐾</mo></munder><mo id="S4.E26.m1.4.4.4" xref="S4.E26.m1.4.4.4.cmml"><</mo><msup id="S4.E26.m1.4.4.1" xref="S4.E26.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">R</mi><mo id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi><mo id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1a" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.4" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml">c</mi><mo id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1b" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.5" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.5.cmml">e</mi></mrow></msub><mo id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E26.m1.1.1" xref="S4.E26.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml">;</mo><mi id="S4.E26.m1.2.2" xref="S4.E26.m1.2.2.cmml">K</mi><mo id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E26.m1.3.3" xref="S4.E26.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S4.E26.m1.4.4.1.3" xref="S4.E26.m1.4.4.1.3.cmml">2</mn></msup><msub id="S4.E26.m1.4.4.5" xref="S4.E26.m1.4.4.5.cmml"><mo id="S4.E26.m1.4.4.5.2" xref="S4.E26.m1.4.4.5.2.cmml">></mo><mi id="S4.E26.m1.4.4.5.3" xref="S4.E26.m1.4.4.5.3.cmml">x</mi></msub><mi id="S4.E26.m1.4.4.6" xref="S4.E26.m1.4.4.6.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E26.m1.4b"><apply id="S4.E26.m1.4.4.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4"><and id="S4.E26.m1.4.4a.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4"></and><apply id="S4.E26.m1.4.4b.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4"><lt id="S4.E26.m1.4.4.4.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.4"></lt><apply id="S4.E26.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.3"><ci id="S4.E26.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.3.1">𝐾</ci><ci id="S4.E26.m1.4.4.3.2a.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.3.2"><mtext id="S4.E26.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.3.2">min</mtext></ci></apply><apply id="S4.E26.m1.4.4.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E26.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1"><abs id="S4.E26.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1"><minus id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2"><times id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2">𝑝</ci><apply id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑅</ci><ci id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci><ci id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.4">𝑐</ci><ci id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.5.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.5">𝑒</ci></apply></apply><list id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S4.E26.m1.1.1.cmml" xref="S4.E26.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S4.E26.m1.2.2.cmml" xref="S4.E26.m1.2.2">𝐾</ci></list></apply><apply id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3"><times id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.E26.m1.3.3.cmml" xref="S4.E26.m1.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E26.m1.4.4.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E26.m1.4.4.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E26.m1.4.4c.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4"><apply id="S4.E26.m1.4.4.5.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E26.m1.4.4.5.1.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.5">subscript</csymbol><gt id="S4.E26.m1.4.4.5.2.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.5.2"></gt><ci id="S4.E26.m1.4.4.5.3.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.5.3">𝑥</ci></apply><share href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.E26.m1.4.4.1.cmml" id="S4.E26.m1.4.4d.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4"></share><csymbol cd="latexml" id="S4.E26.m1.4.4.6.cmml" xref="S4.E26.m1.4.4.6">absent</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E26.m1.4c">\underset{K}{\text{min}}<\left|p_{Rice}(x;K)-p(x)\right|^{2}>_{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E26.m1.4d">underitalic_K start_ARG min end_ARG < | italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_R italic_i italic_c italic_e end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ; italic_K ) - italic_p ( italic_x ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT > start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(26)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p6.9">The root of the minimum MSE (MMSE) achieved divided by the mean square value of <math alttext="p(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.6.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p6.6.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p6.6.m1.1.2" xref="S4.SS1.p6.6.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.6.m1.1.2.2" xref="S4.SS1.p6.6.m1.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS1.p6.6.m1.1.2.1" xref="S4.SS1.p6.6.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p6.6.m1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p6.6.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.6.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.6.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p6.6.m1.1.1" xref="S4.SS1.p6.6.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p6.6.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.6.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.6.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p6.6.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.6.m1.1.2"><times id="S4.SS1.p6.6.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.6.m1.1.2.1"></times><ci id="S4.SS1.p6.6.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.6.m1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS1.p6.6.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.6.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.6.m1.1c">p(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.6.m1.1d">italic_p ( italic_x )</annotation></semantics></math> is used as relative fit accuracy indicator <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.7.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p6.7.m2.1a"><mi id="S4.SS1.p6.7.m2.1.1" xref="S4.SS1.p6.7.m2.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.7.m2.1b"><ci id="S4.SS1.p6.7.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.7.m2.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.7.m2.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.7.m2.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>, i.e. <math alttext="\epsilon=\sqrt{\text{MMSE}/<|p(x)|^{2}>_{x}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.8.m3.2"><semantics id="S4.SS1.p6.8.m3.2a"><mrow id="S4.SS1.p6.8.m3.2.3" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.8.m3.2.3.2" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.3.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S4.SS1.p6.8.m3.2.3.1" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.3.1.cmml">=</mo><msqrt id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.cmml"><mtext id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.4a.cmml">MMSE</mtext><mo id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.3.cmml">/</mo><msub id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.2.1.cmml"><</mo><msup id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p6.8.m3.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p6.8.m3.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo fence="true" id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mi id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.3.cmml">x</mi></msub></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.8.m3.2b"><apply id="S4.SS1.p6.8.m3.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.3"><eq id="S4.SS1.p6.8.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.3.1"></eq><ci id="S4.SS1.p6.8.m3.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.3.2">italic-ϵ</ci><apply id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2"><root id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2a.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2"></root><apply id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2"><divide id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.3"></divide><ci id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.4a.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.4"><mtext id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.4.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.4">MMSE</mtext></ci><apply id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><abs id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS1.p6.8.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.1.1.1.1">𝑥</ci></apply></apply><cn id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><ci id="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p6.8.m3.2.2.2.2.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.8.m3.2c">\epsilon=\sqrt{\text{MMSE}/<|p(x)|^{2}>_{x}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.8.m3.2d">italic_ϵ = square-root start_ARG MMSE / < | italic_p ( italic_x ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT > start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>. The resulting Rician curves are superimposed in red color in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.F11" title="Figure 11 ‣ IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>. Notice the disparity of statistical behavior between the two selected channels. This is quantitatively measured in the last two columns of table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.T2" title="TABLE II ‣ IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">II</span></a> where the fitted K factor and the relative fit error <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p6.9.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p6.9.m4.1a"><mi id="S4.SS1.p6.9.m4.1.1" xref="S4.SS1.p6.9.m4.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p6.9.m4.1b"><ci id="S4.SS1.p6.9.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p6.9.m4.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p6.9.m4.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p6.9.m4.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math> obtained in the fit for all the channels are shown. A high K factor indicates a stable arrival and therefore a predominance of the direct path over the rest and vice versa. In the measured channels the K factor ranges from values lower than 1 (see channels 3 and 7) that correspond to a close-to-Rayleigh distribution to values over 6 (channel 2). In general terms the K factor is low what means that the inherent dispersion associated to the reflected paths dominate the statistical behavior.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F11"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F11.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="674" id="S4.F11.sf1.g1" src="x17.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F11.sf1.2.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F11.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="674" id="S4.F11.sf2.g1" src="x18.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F11.sf2.2.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F11.2.1.1" style="font-size:90%;">Figure 11</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F11.3.2" style="font-size:90%;">Histogram of normalized channel gains and fitted Rician pdf for (a) channel 2 and (b) channel 3.</span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="S4.F12"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F12.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="672" id="S4.F12.sf1.g1" src="x19.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F12.sf1.2.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F12.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="672" id="S4.F12.sf2.g1" src="x20.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F12.sf2.2.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F12.4.2.1" style="font-size:90%;">Figure 12</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F12.2.1" style="font-size:90%;">Average frequency response <math alttext="<|\tilde{H}_{p}(t,f)|>_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F12.2.1.m1.3"><semantics id="S4.F12.2.1.m1.3b"><mrow id="S4.F12.2.1.m1.3.3" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S4.F12.2.1.m1.3.3.3" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.3.cmml"></mi><mo id="S4.F12.2.1.m1.3.3.4" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.4.cmml"><</mo><mrow id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msub id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.1" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.F12.2.1.m1.1.1" xref="S4.F12.2.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.F12.2.1.m1.2.2" xref="S4.F12.2.1.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><msub id="S4.F12.2.1.m1.3.3.5" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.5.cmml"><mo id="S4.F12.2.1.m1.3.3.5.2" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.5.2.cmml">></mo><mi id="S4.F12.2.1.m1.3.3.5.3" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.5.3.cmml">t</mi></msub><mi id="S4.F12.2.1.m1.3.3.6" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.6.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F12.2.1.m1.3c"><apply id="S4.F12.2.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3"><and id="S4.F12.2.1.m1.3.3a.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3"></and><apply id="S4.F12.2.1.m1.3.3b.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3"><lt id="S4.F12.2.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.4"></lt><csymbol cd="latexml" id="S4.F12.2.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.3">absent</csymbol><apply id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1"><abs id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.2"></abs><apply id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1"><times id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.1"></times><apply id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.2"><ci id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><interval closure="open" id="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.1.1.1.3.2"><ci id="S4.F12.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.F12.2.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.2.2">𝑓</ci></interval></apply></apply></apply><apply id="S4.F12.2.1.m1.3.3c.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3"><apply id="S4.F12.2.1.m1.3.3.5.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F12.2.1.m1.3.3.5.1.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.5">subscript</csymbol><gt id="S4.F12.2.1.m1.3.3.5.2.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.5.2"></gt><ci id="S4.F12.2.1.m1.3.3.5.3.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.5.3">𝑡</ci></apply><share href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.F12.2.1.m1.3.3.1.cmml" id="S4.F12.2.1.m1.3.3d.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3"></share><csymbol cd="latexml" id="S4.F12.2.1.m1.3.3.6.cmml" xref="S4.F12.2.1.m1.3.3.6">absent</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F12.2.1.m1.3d"><|\tilde{H}_{p}(t,f)|>_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F12.2.1.m1.3e">< | over~ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_f ) | > start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of the first four paths in (a) channel 1 and (b) channel 8.</span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="S4.F13"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F13.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="677" id="S4.F13.sf1.g1" src="x21.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F13.sf1.2.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F13.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="677" id="S4.F13.sf2.g1" src="x22.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F13.sf2.2.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F13.4.2.1" style="font-size:90%;">Figure 13</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F13.2.1" style="font-size:90%;">Absolute value of the time autocorrelation <math alttext="|\Phi^{(t)}(\Delta t)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F13.2.1.m1.2"><semantics id="S4.F13.2.1.m1.2b"><mrow id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.F13.2.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.F13.2.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.F13.2.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.F13.2.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.F13.2.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F13.2.1.m1.2c"><apply id="S4.F13.2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1"><abs id="S4.F13.2.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.2"></abs><apply id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1"><times id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.2"></times><apply id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.F13.2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F13.2.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.F13.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F13.2.1.m1.2d">|\Phi^{(t)}(\Delta t)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F13.2.1.m1.2e">| roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t ) |</annotation></semantics></math> of the first 4 paths in (a) channel 1 and (b) channel 13.</span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="S4.F14"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F14.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="677" id="S4.F14.sf1.g1" src="x23.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F14.sf1.2.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F14.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="677" id="S4.F14.sf2.g1" src="x24.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F14.sf2.2.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F14.4.2.1" style="font-size:90%;">Figure 14</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F14.2.1" style="font-size:90%;">Absolute value of the frequency autocorrelation <math alttext="|\Phi^{(f)}(\Delta f)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F14.2.1.m1.2"><semantics id="S4.F14.2.1.m1.2b"><mrow id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.F14.2.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.F14.2.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.F14.2.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.F14.2.1.m1.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.F14.2.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F14.2.1.m1.2c"><apply id="S4.F14.2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1"><abs id="S4.F14.2.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.2"></abs><apply id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1"><times id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.2"></times><apply id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.F14.2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F14.2.1.m1.1.1.1.1">𝑓</ci></apply><apply id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.F14.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F14.2.1.m1.2d">|\Phi^{(f)}(\Delta f)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F14.2.1.m1.2e">| roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_f ) |</annotation></semantics></math> of the first 4 paths in (a) channel 3 and (b) channel 10.</span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="S4.F15"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="673" id="S4.F15.g1" src="x25.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F15.2.1.1" style="font-size:90%;">Figure 15</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F15.3.2" style="font-size:90%;">Histogram of the normalized gains and fitted Rician pdf for the first 4 paths in channel 13.</span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_table" id="S4.T2"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_table"><span class="ltx_text" id="S4.T2.6.1.1" style="font-size:90%;">TABLE II</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.T2.7.2" style="font-size:90%;">Global channel parameters</span></figcaption> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S4.T2.4"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.4.4"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.4.5">Channel</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.1.1.1"> <math alttext="t_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T2.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.T2.1.1.1.m1.1a"><msub id="S4.T2.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.T2.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.T2.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.T2.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mi id="S4.T2.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.T2.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T2.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.T2.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.T2.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.T2.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.T2.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.T2.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.T2.1.1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S4.T2.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.T2.1.1.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T2.1.1.1.m1.1c">t_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T2.1.1.1.m1.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (ms)</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.2.2.2"> <math alttext="b_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T2.2.2.2.m1.1"><semantics id="S4.T2.2.2.2.m1.1a"><msub id="S4.T2.2.2.2.m1.1.1" xref="S4.T2.2.2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.T2.2.2.2.m1.1.1.2" xref="S4.T2.2.2.2.m1.1.1.2.cmml">b</mi><mi id="S4.T2.2.2.2.m1.1.1.3" xref="S4.T2.2.2.2.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T2.2.2.2.m1.1b"><apply id="S4.T2.2.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.T2.2.2.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.T2.2.2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.T2.2.2.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.T2.2.2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.T2.2.2.2.m1.1.1.2">𝑏</ci><ci id="S4.T2.2.2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.T2.2.2.2.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T2.2.2.2.m1.1c">b_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T2.2.2.2.m1.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>(kHz)</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.3.3.3"> <math alttext="\sigma_{\tau}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T2.3.3.3.m1.1"><semantics id="S4.T2.3.3.3.m1.1a"><msub id="S4.T2.3.3.3.m1.1.1" xref="S4.T2.3.3.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.T2.3.3.3.m1.1.1.2" xref="S4.T2.3.3.3.m1.1.1.2.cmml">σ</mi><mi id="S4.T2.3.3.3.m1.1.1.3" xref="S4.T2.3.3.3.m1.1.1.3.cmml">τ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T2.3.3.3.m1.1b"><apply id="S4.T2.3.3.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.T2.3.3.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.T2.3.3.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.T2.3.3.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.T2.3.3.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.T2.3.3.3.m1.1.1.2">𝜎</ci><ci id="S4.T2.3.3.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.T2.3.3.3.m1.1.1.3">𝜏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T2.3.3.3.m1.1c">\sigma_{\tau}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T2.3.3.3.m1.1d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_τ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>(ms)</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.4.6">K</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.4.4"> <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T2.4.4.4.m1.1"><semantics id="S4.T2.4.4.4.m1.1a"><mi id="S4.T2.4.4.4.m1.1.1" xref="S4.T2.4.4.4.m1.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T2.4.4.4.m1.1b"><ci id="S4.T2.4.4.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.T2.4.4.4.m1.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T2.4.4.4.m1.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T2.4.4.4.m1.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>(%)</th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.4.5.1"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.5.1.1">1</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.5.1.2">52.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.5.1.3">1.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.5.1.4">2.1</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.5.1.5">2.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.5.1.6">5.2</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.4.6.2"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.6.2.1">2</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.6.2.2">113.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.6.2.3">1.1</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.6.2.4">1.3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.6.2.5">6.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.6.2.6">5.9</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.4.7.3"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.7.3.1">3</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.7.3.2">36.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.7.3.3">2.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.7.3.4">2.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.7.3.5">0.9</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.7.3.6">0.8</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.4.8.4"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.8.4.1">4</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.8.4.2">48.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.8.4.3">2.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.8.4.4">1.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.8.4.5">2.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.8.4.6">1.2</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.4.9.5"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.9.5.1">5</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.9.5.2">58.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.9.5.3">2.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.9.5.4">1.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.9.5.5">1.9</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.9.5.6">0.4</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.4.10.6"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.10.6.1">6</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.10.6.2">69.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.10.6.3">3.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.10.6.4">2.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.10.6.5">1.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.10.6.6">0.7</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.4.11.7"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.11.7.1">7</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.11.7.2">45.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.11.7.3">4.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.11.7.4">2.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.11.7.5">0.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.11.7.6">0.5</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.4.12.8"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.12.8.1">8</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.12.8.2">31.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.12.8.3">4.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.12.8.4">3.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.12.8.5">1.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.12.8.6">0.5</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.4.13.9"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.13.9.1">9</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.13.9.2">88.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.13.9.3">4.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.13.9.4">1.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.13.9.5">2.3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.13.9.6">1.7</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.4.14.10"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.14.10.1">10</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.14.10.2">36.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.14.10.3">4.9</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.14.10.4">3.1</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.14.10.5">0.9</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.14.10.6">0.8</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.4.15.11"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.15.11.1">11</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.15.11.2">68.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.15.11.3">5.1</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.15.11.4">3.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.15.11.5">1.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.15.11.6">0.9</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.4.16.12"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.16.12.1">12</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.16.12.2">82.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.16.12.3">5.3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.16.12.4">2.1</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.16.12.5">1.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.16.12.6">2.1</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T2.4.17.13"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_b ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.17.13.1">13</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.17.13.2">69.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.17.13.3">7.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.17.13.4">2.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.17.13.5">1.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T2.4.17.13.6">2.3</td> </tr> </tbody> </table> </figure> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S4.SS2.4.1.1">IV-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS2.5.2">Multipath channel characterization</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.1">Results presented in <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.SS1" title="IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">IV-A</span></span></a> are related to the global channel responses. The high frequencies used in the measurements allow us to go one step deeper and gain insight into the multipath nature of the channel by analyzing each path separately, as was done in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite> where an early assumption was made consistent in all the paths having an impulse response of the same shape. In our work, the results of the measurements evidence a considerable difference among the impulse responses and a clear non-flat frequency response of each path.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p2.5">We assume that the time-variant impulse response can be written as a sum of the impulse responses of every path as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E27"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tilde{h}(t,\tau)=\sum_{p=1}^{M}\tilde{h}_{p}(t,\tau-\tau_{p})," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E27.m1.4"><semantics id="S4.E27.m1.4a"><mrow id="S4.E27.m1.4.4.1" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.4.4.1.1" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E27.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.2.1" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E27.m1.1.1" xref="S4.E27.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E27.m1.2.2" xref="S4.E27.m1.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E27.m1.4.4.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.cmml"><munderover id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.1" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.3" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">M</mi></munderover><mrow id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E27.m1.3.3" xref="S4.E27.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></msub></mrow><mo id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E27.m1.4.4.1.2" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E27.m1.4b"><apply id="S4.E27.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1"><eq id="S4.E27.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.3"><times id="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.2"><ci id="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.2.2">ℎ</ci></apply><interval closure="open" id="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.3.3.2"><ci id="S4.E27.m1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.E27.m1.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.2.2">𝜏</ci></interval></apply><apply id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1"><apply id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.3"><eq id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.2.3">𝑀</ci></apply><apply id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2">ℎ</ci></apply><ci id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply><interval closure="open" id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><ci id="S4.E27.m1.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.3.3">𝑡</ci><apply id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜏</ci><apply id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜏</ci><ci id="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E27.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E27.m1.4c">\tilde{h}(t,\tau)=\sum_{p=1}^{M}\tilde{h}_{p}(t,\tau-\tau_{p}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E27.m1.4d">over~ start_ARG italic_h end_ARG ( italic_t , italic_τ ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_p = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_M end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_h end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_τ - italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(27)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p2.3">where <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p2.1.m1.1a"><mi id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.1.m1.1b"><ci id="S4.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.1.m1.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.1.m1.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.1.m1.1d">italic_M</annotation></semantics></math> is the number of significant paths, <math alttext="\tilde{h}_{p}(t,\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.2.m2.2"><semantics id="S4.SS2.p2.2.m2.2a"><mrow id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.2" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.2.2" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.2.2.cmml">h</mi><mo id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.2.1" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.3" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.1" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.3.2" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.p2.2.m2.2.2" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.2.m2.2b"><apply id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3"><times id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.1"></times><apply id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.2"><ci id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.2.2">ℎ</ci></apply><ci id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.2.3">𝑝</ci></apply><interval closure="open" id="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.3.3.2"><ci id="S4.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.SS2.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.2.m2.2.2">𝜏</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.2.m2.2c">\tilde{h}_{p}(t,\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.2.m2.2d">over~ start_ARG italic_h end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_τ )</annotation></semantics></math> is the time-variant impulse response of the p-<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS2.p2.3.1">th</span> path and <math alttext="\tau_{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p2.3.m3.1a"><msub id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml">p</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.3.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.2">𝜏</ci><ci id="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.3.m3.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.3.m3.1c">\tau_{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.3.m3.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the delay where the p-<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS2.p2.3.2">th</span> path begins. Taking the Fourier transform of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.E27" title="In IV-B Multipath channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">27</span></a>) we get</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E28"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tilde{H}(t,f)=\sum_{p=1}^{M}\tilde{H}_{p}(t,f)e^{-j2\pi f\tau_{p}}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E28.m1.5"><semantics id="S4.E28.m1.5a"><mrow id="S4.E28.m1.5.5.1" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.5.5.1.1" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.E28.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.2.1" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E28.m1.1.1" xref="S4.E28.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.3.2.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E28.m1.2.2" xref="S4.E28.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.cmml"><munderover id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.1" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.3" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.3" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml">M</mi></munderover><mrow id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.1" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E28.m1.3.3" xref="S4.E28.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E28.m1.4.4" xref="S4.E28.m1.4.4.cmml">f</mi><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.1a" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.cmml"><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3a" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.cmml"><mi id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.1" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.3" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.3.cmml">2</mn><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.1a" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.4" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.4.cmml">π</mi><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.1b" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.5" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.5.cmml">f</mi><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.1c" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.6" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.6.cmml"><mi id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.6.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.6.2.cmml">τ</mi><mi id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.6.3" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.6.3.cmml">p</mi></msub></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E28.m1.5.5.1.2" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E28.m1.5b"><apply id="S4.E28.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1"><eq id="S4.E28.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.1"></eq><apply id="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.2"><times id="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.2"><ci id="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.2.2">𝐻</ci></apply><interval closure="open" id="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.2.3.2"><ci id="S4.E28.m1.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.E28.m1.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.2.2">𝑓</ci></interval></apply><apply id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3"><apply id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3"><eq id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.2">𝑝</ci><cn id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.1.3">𝑀</ci></apply><apply id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2"><times id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.2"><ci id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.2.3">𝑝</ci></apply><interval closure="open" id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.3.2"><ci id="S4.E28.m1.3.3.cmml" xref="S4.E28.m1.3.3">𝑡</ci><ci id="S4.E28.m1.4.4.cmml" xref="S4.E28.m1.4.4">𝑓</ci></interval><apply id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.2">𝑒</ci><apply id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3"><minus id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3"></minus><apply id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2"><times id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.1"></times><ci id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.2.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.2">𝑗</ci><cn id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.3">2</cn><ci id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.4.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.4">𝜋</ci><ci id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.5.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.5">𝑓</ci><apply id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.6.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.6.1.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.6">subscript</csymbol><ci id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.6.2.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.6.2">𝜏</ci><ci id="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.6.3.cmml" xref="S4.E28.m1.5.5.1.1.3.2.4.3.2.6.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E28.m1.5c">\tilde{H}(t,f)=\sum_{p=1}^{M}\tilde{H}_{p}(t,f)e^{-j2\pi f\tau_{p}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E28.m1.5d">over~ start_ARG italic_H end_ARG ( italic_t , italic_f ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_p = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_M end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_f ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_j 2 italic_π italic_f italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(28)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p2.4">where <math alttext="\tilde{H}_{p}(t,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p2.4.m1.2"><semantics id="S4.SS2.p2.4.m1.2a"><mrow id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.cmml"><msub id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.2.1" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.3" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.1" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.3.2" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p2.4.m1.1.1" xref="S4.SS2.p2.4.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.p2.4.m1.2.2" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p2.4.m1.2b"><apply id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3"><times id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.1"></times><apply id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.2"><ci id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.2.3">𝑝</ci></apply><interval closure="open" id="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.3.3.2"><ci id="S4.SS2.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.SS2.p2.4.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p2.4.m1.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p2.4.m1.2c">\tilde{H}_{p}(t,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p2.4.m1.2d">over~ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_f )</annotation></semantics></math> stands for the time-variant frequency response of the p-<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.SS2.p2.4.1">th</span> path. In our measurements the 4 first paths are clearly distinguishable while the rest have a negligible energy so they are not taken into account in our analysis.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p3.1">The autocorrelations defined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.E17" title="In IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">17</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.E19" title="In IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a>) as well as the related coherence time and coherence bandwidth parameters will be applied to individually analyze each path inside a channel. We will also explore the statistical fluctuation of the gain of each path, as was done in section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.SS1" title="IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">IV-A</span></span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p4.2">In Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.F12" title="Figure 12 ‣ IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a> we plot the absolute value of the average frequency response of the first four paths in channels 1 and 8. In particular in each subfigure we represent <math alttext="20\log_{10}\left(<|\tilde{H}_{p}(t,f)|>_{t}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.1.m1.4"><semantics id="S4.SS2.p4.1.m1.4a"><mrow id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.cmml"><mn id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.4" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.4.cmml">20</mn><mo id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.3" lspace="0.167em" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.3.cmml"><msub id="S4.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">log</mi><mn id="S4.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">10</mn></msub><mo id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2a" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.2.2" xref="S4.SS2.p4.1.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo fence="true" id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mi id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.3" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.1.m1.4b"><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4"><times id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.3"></times><cn id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.4.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.4">20</cn><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2"><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><log id="S4.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.2"></log><cn id="S4.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.3">10</cn></apply><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1"><abs id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><interval closure="open" id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.2.2">𝑓</ci></interval></apply></apply></apply><ci id="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p4.1.m1.4.4.2.2.2.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.1.m1.4c">20\log_{10}\left(<|\tilde{H}_{p}(t,f)|>_{t}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.1.m1.4d">20 roman_log start_POSTSUBSCRIPT 10 end_POSTSUBSCRIPT ( < | over~ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_f ) | > start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="p=1,2,3,4" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p4.2.m2.4"><semantics id="S4.SS2.p4.2.m2.4a"><mrow id="S4.SS2.p4.2.m2.4.5" xref="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.cmml"><mi id="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.2" xref="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.1" xref="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.3.2" xref="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.3.1.cmml"><mn id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.3.2.1" xref="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.3.2.2" xref="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS2.p4.2.m2.3.3" xref="S4.SS2.p4.2.m2.3.3.cmml">3</mn><mo id="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.3.2.3" xref="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS2.p4.2.m2.4.4" xref="S4.SS2.p4.2.m2.4.4.cmml">4</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p4.2.m2.4b"><apply id="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.4.5"><eq id="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.1"></eq><ci id="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.2.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.2">𝑝</ci><list id="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p4.2.m2.4.5.3.2"><cn id="S4.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p4.2.m2.1.1">1</cn><cn id="S4.SS2.p4.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p4.2.m2.2.2">2</cn><cn id="S4.SS2.p4.2.m2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p4.2.m2.3.3">3</cn><cn id="S4.SS2.p4.2.m2.4.4.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p4.2.m2.4.4">4</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p4.2.m2.4c">p=1,2,3,4</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p4.2.m2.4d">italic_p = 1 , 2 , 3 , 4</annotation></semantics></math>. The plots are normalized to the maximum amplitude of the frequency response of the first (direct) path. Observe the great disparity of levels when changing from one channel to the other regarding both the absolute value of the frequency response of any of the paths and the level difference among the paths.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p5.5">Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.F13.sf1" title="In Figure 13 ‣ IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13(a)</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.F13.sf2" title="In Figure 13 ‣ IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13(b)</span></a> show the absolute value of the time autocorrelation <math alttext="|\Phi^{(t)}(\Delta t)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p5.1.m1.2"><semantics id="S4.SS2.p5.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.SS2.p5.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS2.p5.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S4.SS2.p5.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p5.1.m1.2b"><apply id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1"><abs id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.2"></abs><apply id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1"><times id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.2"></times><apply id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><apply id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p5.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p5.1.m1.2c">|\Phi^{(t)}(\Delta t)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p5.1.m1.2d">| roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_t ) |</annotation></semantics></math> of the first 4 paths in channels 1 and 13 respectively. See that in general terms the functions decay slower for shorter paths. Indeed, the autocorrelation of first path decays at an extremely low rate so that it appears to be constant for the time span used in the figures, what turns into a coherence time of several seconds. This information is summarized in table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.T3" title="TABLE III ‣ IV-B Multipath channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III</span></a> where the coherence time of the first 4 paths for all the channels is shown under the labels <math alttext="t_{c1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p5.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p5.2.m2.1a"><msub id="S4.SS2.p5.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p5.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.3"><times id="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.3.2">𝑐</ci><cn id="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p5.2.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p5.2.m2.1c">t_{c1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p5.2.m2.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="t_{c2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p5.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p5.3.m3.1a"><msub id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p5.3.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.3"><times id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.3.2">𝑐</ci><cn id="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p5.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p5.3.m3.1c">t_{c2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p5.3.m3.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="t_{c3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p5.4.m4.1"><semantics id="S4.SS2.p5.4.m4.1a"><msub id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p5.4.m4.1b"><apply id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3"><times id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3.2">𝑐</ci><cn id="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p5.4.m4.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p5.4.m4.1c">t_{c3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p5.4.m4.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="t_{c4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p5.5.m5.1"><semantics id="S4.SS2.p5.5.m5.1a"><msub id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.2" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3.3.cmml">4</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p5.5.m5.1b"><apply id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3"><times id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3.2">𝑐</ci><cn id="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p5.5.m5.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p5.5.m5.1c">t_{c4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p5.5.m5.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The fact that the direct path does not suffer surface or bottom reflection yields a remarkably high time coherence as opposed to the rest of the paths where the coherence time drastically decreases.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S4.T3"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_table"><span class="ltx_text" id="S4.T3.16.1.1" style="font-size:90%;">TABLE III</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.T3.17.2" style="font-size:90%;">Coherence time of the first 4 paths.</span></figcaption> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S4.T3.14"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T3.4.4"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.4.4.5">Channel</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.1.1.1"> <math alttext="t_{c1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T3.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.T3.1.1.1.m1.1a"><msub id="S4.T3.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">t</mi><mrow id="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T3.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.T3.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.T3.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.3"><times id="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑐</ci><cn id="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.T3.1.1.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T3.1.1.1.m1.1c">t_{c1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T3.1.1.1.m1.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>(s)</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.2.2.2"><math alttext="t_{c2}(ms)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T3.2.2.2.m1.1"><semantics id="S4.T3.2.2.2.m1.1a"><mrow id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.2" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mrow id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.3" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.2" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T3.2.2.2.m1.1b"><apply id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1"><times id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.2"></times><apply id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.2">𝑡</ci><apply id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.3"><times id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.3.2">𝑐</ci><cn id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1"><times id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.T3.2.2.2.m1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T3.2.2.2.m1.1c">t_{c2}(ms)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T3.2.2.2.m1.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_c 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m italic_s )</annotation></semantics></math></th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.3.3.3"><math alttext="t_{c3}(ms)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T3.3.3.3.m1.1"><semantics id="S4.T3.3.3.3.m1.1a"><mrow id="S4.T3.3.3.3.m1.1.1" xref="S4.T3.3.3.3.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.T3.3.3.3.m1.1.1.3" xref="S4.T3.3.3.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.T3.3.3.3.m1.1.1.3.2" xref="S4.T3.3.3.3.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mrow id="S4.T3.3.3.3.m1.1.1.3.3" xref="S4.T3.3.3.3.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.T3.3.3.3.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.T3.3.3.3.m1.1.1.3.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.T3.3.3.3.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.T3.3.3.3.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.T3.3.3.3.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.T3.3.3.3.m1.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><mo id="S4.T3.3.3.3.m1.1.1.2" xref="S4.T3.3.3.3.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow 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<th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.4.4.4"><math alttext="t_{c4}(ms)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T3.4.4.4.m1.1"><semantics id="S4.T3.4.4.4.m1.1a"><mrow id="S4.T3.4.4.4.m1.1.1" xref="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.3" xref="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.3.2" xref="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mrow id="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.3.3" xref="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.3.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.3.3.3.cmml">4</mn></mrow></msub><mo id="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.2" xref="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.1.1" xref="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.T3.4.4.4.m1.1.1.1.1.1" 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class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.15.1.2">1.1</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.15.1.3">5.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.15.1.4">4.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.15.1.5">3.4</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T3.5.5"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.5.5.2">2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.5.5.1"> <math alttext=">" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T3.5.5.1.m1.1"><semantics id="S4.T3.5.5.1.m1.1a"><mo id="S4.T3.5.5.1.m1.1.1" xref="S4.T3.5.5.1.m1.1.1.cmml">></mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T3.5.5.1.m1.1b"><gt id="S4.T3.5.5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.T3.5.5.1.m1.1.1"></gt></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T3.5.5.1.m1.1c">></annotation><annotation 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encoding="application/x-llamapun" id="S4.T3.6.6.1.m1.1d">></annotation></semantics></math>2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.6.6.3">5.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.6.6.4">5.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.6.6.5">4.6</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T3.7.7"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.7.7.2">4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.7.7.1"> <math alttext=">" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T3.7.7.1.m1.1"><semantics id="S4.T3.7.7.1.m1.1a"><mo id="S4.T3.7.7.1.m1.1.1" xref="S4.T3.7.7.1.m1.1.1.cmml">></mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T3.7.7.1.m1.1b"><gt id="S4.T3.7.7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.T3.7.7.1.m1.1.1"></gt></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T3.7.7.1.m1.1c">></annotation><annotation 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encoding="application/x-llamapun" id="S4.T3.8.8.1.m1.1d">></annotation></semantics></math>2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.8.8.3">9.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.8.8.4">3.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.8.8.5">3.8</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T3.9.9"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.9.9.2">6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.9.9.1"> <math alttext=">" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T3.9.9.1.m1.1"><semantics id="S4.T3.9.9.1.m1.1a"><mo id="S4.T3.9.9.1.m1.1.1" xref="S4.T3.9.9.1.m1.1.1.cmml">></mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T3.9.9.1.m1.1b"><gt id="S4.T3.9.9.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.T3.9.9.1.m1.1.1"></gt></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T3.9.9.1.m1.1c">></annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T3.9.9.1.m1.1d">></annotation></semantics></math>2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.9.9.3">6.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.9.9.4">4.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.9.9.5">4.0</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T3.10.10"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.10.10.2">7</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.10.10.1"> <math alttext=">" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T3.10.10.1.m1.1"><semantics id="S4.T3.10.10.1.m1.1a"><mo id="S4.T3.10.10.1.m1.1.1" xref="S4.T3.10.10.1.m1.1.1.cmml">></mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T3.10.10.1.m1.1b"><gt id="S4.T3.10.10.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.T3.10.10.1.m1.1.1"></gt></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T3.10.10.1.m1.1c">></annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T3.10.10.1.m1.1d">></annotation></semantics></math>2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.10.10.3">13.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.10.10.4">5.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.10.10.5">6.2</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T3.14.16.2"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.16.2.1">8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.16.2.2">1.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.16.2.3">5.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.16.2.4">4.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.16.2.5">4.2</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T3.11.11"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.11.11.2">9</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.11.11.1"> <math alttext=">" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T3.11.11.1.m1.1"><semantics id="S4.T3.11.11.1.m1.1a"><mo id="S4.T3.11.11.1.m1.1.1" xref="S4.T3.11.11.1.m1.1.1.cmml">></mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T3.11.11.1.m1.1b"><gt id="S4.T3.11.11.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.T3.11.11.1.m1.1.1"></gt></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T3.11.11.1.m1.1c">></annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T3.11.11.1.m1.1d">></annotation></semantics></math>2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.11.11.3">8.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.11.11.4">4.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.11.11.5">4.2</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T3.14.17.3"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.17.3.1">10</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.17.3.2">1.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.17.3.3">8.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.17.3.4">4.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.17.3.5">4.2</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T3.12.12"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.12.12.2">11</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.12.12.1"> <math alttext=">" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T3.12.12.1.m1.1"><semantics id="S4.T3.12.12.1.m1.1a"><mo id="S4.T3.12.12.1.m1.1.1" xref="S4.T3.12.12.1.m1.1.1.cmml">></mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T3.12.12.1.m1.1b"><gt id="S4.T3.12.12.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.T3.12.12.1.m1.1.1"></gt></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T3.12.12.1.m1.1c">></annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T3.12.12.1.m1.1d">></annotation></semantics></math>2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.12.12.3">6.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.12.12.4">3.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.12.12.5">3.8</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T3.13.13"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.13.13.2">12</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.13.13.1"> <math alttext=">" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T3.13.13.1.m1.1"><semantics id="S4.T3.13.13.1.m1.1a"><mo id="S4.T3.13.13.1.m1.1.1" xref="S4.T3.13.13.1.m1.1.1.cmml">></mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T3.13.13.1.m1.1b"><gt id="S4.T3.13.13.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.T3.13.13.1.m1.1.1"></gt></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T3.13.13.1.m1.1c">></annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T3.13.13.1.m1.1d">></annotation></semantics></math>2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.13.13.3">8.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.13.13.4">5.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.13.13.5">4.6</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T3.14.14"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.14.2">13</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.14.1"> <math alttext=">" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T3.14.14.1.m1.1"><semantics id="S4.T3.14.14.1.m1.1a"><mo id="S4.T3.14.14.1.m1.1.1" xref="S4.T3.14.14.1.m1.1.1.cmml">></mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T3.14.14.1.m1.1b"><gt id="S4.T3.14.14.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.T3.14.14.1.m1.1.1"></gt></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T3.14.14.1.m1.1c">></annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T3.14.14.1.m1.1d">></annotation></semantics></math>2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.14.3">8.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.14.4">6.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T3.14.14.5">5.4</td> </tr> </tbody> </table> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p6.5">In Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.F14.sf1" title="In Figure 14 ‣ IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14(a)</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.F14.sf2" title="In Figure 14 ‣ IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14(b)</span></a> the corresponding absolute value of frequency autocorrelation <math alttext="|\Phi^{(f)}(\Delta f)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p6.1.m1.2"><semantics id="S4.SS2.p6.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p6.1.m1.2b"><apply id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1"><abs id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.2"></abs><apply id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1"><times id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.2"></times><apply id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.3.2">Φ</ci><ci id="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.1.m1.1.1.1.1">𝑓</ci></apply><apply id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p6.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p6.1.m1.2c">|\Phi^{(f)}(\Delta f)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p6.1.m1.2d">| roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f ) end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Δ italic_f ) |</annotation></semantics></math> for the first 4 paths for channels 3 and 10 is depicted. Again, the functions decay faster as we move from path 1 to path 4 in all the instances. In table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.T4" title="TABLE IV ‣ IV-B Multipath channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">IV</span></a> the values of the coherence bandwidth for each path <math alttext="b_{c1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p6.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p6.2.m2.1a"><msub id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p6.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3"><times id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.2">𝑐</ci><cn id="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p6.2.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p6.2.m2.1c">b_{c1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p6.2.m2.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_c 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="b_{c2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p6.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p6.3.m3.1a"><msub id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p6.3.m3.1b"><apply id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3"><times id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.2">𝑐</ci><cn id="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p6.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p6.3.m3.1c">b_{c2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p6.3.m3.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_c 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="b_{c3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p6.4.m4.1"><semantics id="S4.SS2.p6.4.m4.1a"><msub id="S4.SS2.p6.4.m4.1.1" xref="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p6.4.m4.1b"><apply id="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.3"><times id="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.3.2">𝑐</ci><cn id="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p6.4.m4.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p6.4.m4.1c">b_{c3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p6.4.m4.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_c 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="b_{c4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p6.5.m5.1"><semantics id="S4.SS2.p6.5.m5.1a"><msub id="S4.SS2.p6.5.m5.1.1" xref="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.2" xref="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.3.2" xref="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.3.1" xref="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.3.3" xref="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.3.3.cmml">4</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p6.5.m5.1b"><apply id="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.3"><times id="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.3.2">𝑐</ci><cn id="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p6.5.m5.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p6.5.m5.1c">b_{c4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p6.5.m5.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_c 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and for all the channels is shown. Apart from the first paths which have a high coherence bandwidth of several kHz, the rest of the paths show a low coherence bandwidth and hence a pronounced frequency selectivity, as opposed to the narrowband results presented in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite> where the frequency response of the different paths is assumed to be flat.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S4.T4"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_table"><span class="ltx_text" id="S4.T4.6.1.1" style="font-size:90%;">TABLE IV</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.T4.7.2" style="font-size:90%;">Coherence bandwidth of the first 4 paths.</span></figcaption> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S4.T4.4"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T4.4.4"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.4.5">Channel</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.1.1.1"> <math alttext="b_{c1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T4.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.T4.1.1.1.m1.1a"><msub id="S4.T4.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T4.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.T4.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.T4.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.3"><times id="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑐</ci><cn id="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.T4.1.1.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T4.1.1.1.m1.1c">b_{c1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T4.1.1.1.m1.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_c 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>(kHz)</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.2.2.2"> <math alttext="b_{c2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T4.2.2.2.m1.1"><semantics id="S4.T4.2.2.2.m1.1a"><msub id="S4.T4.2.2.2.m1.1.1" xref="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.2" xref="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.3" xref="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.3.2" xref="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.3.1" xref="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.3.3" xref="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T4.2.2.2.m1.1b"><apply id="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.T4.2.2.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.T4.2.2.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.3"><times id="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.3.2">𝑐</ci><cn id="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.T4.2.2.2.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T4.2.2.2.m1.1c">b_{c2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T4.2.2.2.m1.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_c 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>(kHz)</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.3.3.3"> <math alttext="b_{c3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T4.3.3.3.m1.1"><semantics id="S4.T4.3.3.3.m1.1a"><msub id="S4.T4.3.3.3.m1.1.1" xref="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.2" xref="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.3" xref="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.3.2" xref="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.3.1" xref="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.3.3" xref="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T4.3.3.3.m1.1b"><apply id="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.T4.3.3.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.T4.3.3.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.3"><times id="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.3.2">𝑐</ci><cn id="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.T4.3.3.3.m1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T4.3.3.3.m1.1c">b_{c3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T4.3.3.3.m1.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_c 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>(Hz)</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.4.4"> <math alttext="b_{c4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T4.4.4.4.m1.1"><semantics id="S4.T4.4.4.4.m1.1a"><msub id="S4.T4.4.4.4.m1.1.1" xref="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.2" xref="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.2.cmml">b</mi><mrow id="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.3" xref="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.3.2" xref="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.3.1" xref="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.3.3" xref="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.3.3.cmml">4</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T4.4.4.4.m1.1b"><apply id="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.T4.4.4.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.T4.4.4.4.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.2">𝑏</ci><apply id="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.3"><times id="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.3.2">𝑐</ci><cn id="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.T4.4.4.4.m1.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T4.4.4.4.m1.1c">b_{c4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T4.4.4.4.m1.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_c 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>(Hz)</th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T4.4.5.1"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.5.1.1">1</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.5.1.2">5.1</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.5.1.3">0.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.5.1.4">47.9</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.5.1.5">66.9</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T4.4.6.2"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.6.2.1">2</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.6.2.2">7.3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.6.2.3">0.3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.6.2.4">76.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.6.2.5">274.6</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T4.4.7.3"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.7.3.1">3</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.7.3.2">5.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.7.3.3">0.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.7.3.4">152.9</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.7.3.5">67.0</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T4.4.8.4"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.8.4.1">4</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.8.4.2">6.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.8.4.3">0.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.8.4.4">57.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.8.4.5">105.1</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T4.4.9.5"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.9.5.1">5</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.9.5.2">5.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.9.5.3">0.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.9.5.4">76.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.9.5.5">124.0</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T4.4.10.6"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.10.6.1">6</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.10.6.2">6.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.10.6.3">0.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.10.6.4">143.1</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.10.6.5">95.5</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T4.4.11.7"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.11.7.1">7</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.11.7.2">6.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.11.7.3">1.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.11.7.4">418.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.11.7.5">825.1</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T4.4.12.8"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.12.8.1">8</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.12.8.2">4.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.12.8.3">0.3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.12.8.4">171.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.12.8.5">95.5</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T4.4.13.9"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.13.9.1">9</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.13.9.2">7.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.13.9.3">0.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.13.9.4">124.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.13.9.5">209.1</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T4.4.14.10"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.14.10.1">10</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.14.10.2">4.9</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.14.10.3">0.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.14.10.4">209.3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.14.10.5">143.0</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T4.4.15.11"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.15.11.1">11</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.15.11.2">7.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.15.11.3">0.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.15.11.4">190.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.15.11.5">143.0</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T4.4.16.12"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.16.12.1">12</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.16.12.2">8.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.16.12.3">0.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.16.12.4">257.1</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.16.12.5">293.7</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T4.4.17.13"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_b ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.17.13.1">13</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.17.13.2">7.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.17.13.3">0.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.17.13.4">360.7</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T4.4.17.13.5">434.0</td> </tr> </tbody> </table> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p7.1">Finally, the short-term channel gain statistic behavior for every path has been explored in the same manner as was done for the global channel in section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.SS1" title="IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">IV-A</span></span></a>. Fig.<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.F15" title="Figure 15 ‣ IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a> shows the histogram of the normalized gains of the first four paths in channel 13. Superimposed are the fitted Rician pdf. As could be expected, the histogram of the first path is much narrower than the rest, due to the lack of surface/bottom reflections that might lead to significant gain fluctuation. Following this argument, see how the histograms of paths 2, 3 and 4 show a growing dispersion. Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.T5" title="TABLE V ‣ IV-B Multipath channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">V</span></a> shows the K factor of the Rician pdf that best fits the corresponding histogram in MSE sense as shown in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S4.E26" title="In IV-A Global channel characterization ‣ IV Characterization of the wideband UAC ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>). A high K factor is obtained for the first paths in all the channels, in accordance to the behavior previously explained while a very low value of K is obtained for the rest of the paths which means a Rayleigh behavior. The relative fit error <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p7.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p7.1.m1.1a"><mi id="S4.SS2.p7.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p7.1.m1.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p7.1.m1.1b"><ci id="S4.SS2.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p7.1.m1.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p7.1.m1.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p7.1.m1.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math> (not shown in the table for simplicity) is around 15% for the first paths and less than 0.5% for the rest.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S4.T5"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_table"><span class="ltx_text" id="S4.T5.6.1.1" style="font-size:90%;">TABLE V</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.T5.7.2" style="font-size:90%;">Rician K factor of the first 4 paths.</span></figcaption> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S4.T5.4"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T5.4.4"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.4.5">Channel</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.1.1.1"><math alttext="K_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T5.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.T5.1.1.1.m1.1a"><msub id="S4.T5.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.T5.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.T5.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.T5.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mn id="S4.T5.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.T5.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T5.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.T5.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.T5.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.T5.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.T5.1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.T5.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.T5.1.1.1.m1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S4.T5.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.T5.1.1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T5.1.1.1.m1.1c">K_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T5.1.1.1.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.2.2.2"><math alttext="K_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T5.2.2.2.m1.1"><semantics id="S4.T5.2.2.2.m1.1a"><msub id="S4.T5.2.2.2.m1.1.1" xref="S4.T5.2.2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.T5.2.2.2.m1.1.1.2" xref="S4.T5.2.2.2.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mn id="S4.T5.2.2.2.m1.1.1.3" xref="S4.T5.2.2.2.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T5.2.2.2.m1.1b"><apply id="S4.T5.2.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.T5.2.2.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.T5.2.2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.T5.2.2.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.T5.2.2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.T5.2.2.2.m1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S4.T5.2.2.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.T5.2.2.2.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T5.2.2.2.m1.1c">K_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T5.2.2.2.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.3.3.3"><math alttext="K_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T5.3.3.3.m1.1"><semantics id="S4.T5.3.3.3.m1.1a"><msub id="S4.T5.3.3.3.m1.1.1" xref="S4.T5.3.3.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.T5.3.3.3.m1.1.1.2" xref="S4.T5.3.3.3.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mn id="S4.T5.3.3.3.m1.1.1.3" xref="S4.T5.3.3.3.m1.1.1.3.cmml">3</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T5.3.3.3.m1.1b"><apply id="S4.T5.3.3.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.T5.3.3.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.T5.3.3.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.T5.3.3.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.T5.3.3.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.T5.3.3.3.m1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S4.T5.3.3.3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.T5.3.3.3.m1.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T5.3.3.3.m1.1c">K_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T5.3.3.3.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.4.4"><math alttext="K_{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T5.4.4.4.m1.1"><semantics id="S4.T5.4.4.4.m1.1a"><msub id="S4.T5.4.4.4.m1.1.1" xref="S4.T5.4.4.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.T5.4.4.4.m1.1.1.2" xref="S4.T5.4.4.4.m1.1.1.2.cmml">K</mi><mn id="S4.T5.4.4.4.m1.1.1.3" xref="S4.T5.4.4.4.m1.1.1.3.cmml">4</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T5.4.4.4.m1.1b"><apply id="S4.T5.4.4.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.T5.4.4.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.T5.4.4.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.T5.4.4.4.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.T5.4.4.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.T5.4.4.4.m1.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S4.T5.4.4.4.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.T5.4.4.4.m1.1.1.3">4</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T5.4.4.4.m1.1c">K_{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T5.4.4.4.m1.1d">italic_K start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T5.4.5.1"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.5.1.1">1</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.5.1.2">11.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.5.1.3">0.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.5.1.4">0.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.5.1.5">0.2</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T5.4.6.2"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.6.2.1">2</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.6.2.2">237.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.6.2.3">0.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.6.2.4">0.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.6.2.5">0.2</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T5.4.7.3"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.7.3.1">3</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.7.3.2">46.3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.7.3.3">0.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.7.3.4">1.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.7.3.5">0.3</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T5.4.8.4"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.8.4.1">4</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.8.4.2">182.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.8.4.3">0.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.8.4.4">0.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.8.4.5">0.4</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T5.4.9.5"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.9.5.1">5</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.9.5.2">158.3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.9.5.3">0.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.9.5.4">0.3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.9.5.5">0.5</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T5.4.10.6"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.10.6.1">6</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.10.6.2">82.9</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.10.6.3">0.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.10.6.4">1.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.10.6.5">0.2</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T5.4.11.7"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.11.7.1">7</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.11.7.2">121.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.11.7.3">2.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.11.7.4">5.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.11.7.5">0.5</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T5.4.12.8"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.12.8.1">8</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.12.8.2">20.3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.12.8.3">0.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.12.8.4">1.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.12.8.5">0.2</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T5.4.13.9"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.13.9.1">9</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.13.9.2">152.1</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.13.9.3">0.9</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.13.9.4">1.1</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.13.9.5">0.3</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T5.4.14.10"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.14.10.1">10</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.14.10.2">20.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.14.10.3">0.2</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.14.10.4">0.8</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.14.10.5">0.2</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T5.4.15.11"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.15.11.1">11</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.15.11.2">122.6</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.15.11.3">1.1</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.15.11.4">1.3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.15.11.5">0.2</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T5.4.16.12"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.16.12.1">12</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.16.12.2">116.9</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.16.12.3">1.7</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.16.12.4">2.0</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.16.12.5">0.0</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S4.T5.4.17.13"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_b ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.17.13.1">13</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.17.13.2">100.4</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.17.13.3">2.3</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.17.13.4">2.5</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T5.4.17.13.5">0.3</td> </tr> </tbody> </table> </figure> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">V </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S5.1.1">Conclusions</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.1">In this work we have presented the results of a campaign of wideband measurements conveyed at the ultrasonic frequencies ranging from 32 to 128 kHz. Ad-hoc probe signals have been designed for this purpose and their use in the estimation of the time-variant channel impulse and frequency responses has been described in detail. The wideband nature of the measurements have allowed the characterization of the channel not only globally but also for the main individual paths separately with an accuracy that is far beyond what is found in previous published works. This characterization has involved functions like the time and frequency autocorrelation, Doppler spectrum, delay profile and parameters like the coherence time and bandwidth, Doppler spread and delay spread. The random fluctuation of the channel gain has also been addressed resulting in a characterization of the shallow water channel not previously reported in the literature.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="Sx1"> <h2 class="ltx_title ltx_font_smallcaps ltx_title_section">Acknowledgment</h2> <div class="ltx_para" id="Sx1.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.p1.1">This work has been partially supported by FEDER under the projects TEC2014-57901-R and UMA18-FEDERJA-085.</p> </div> <div class="ltx_para" id="Sx1.p2"> <p class="ltx_p" id="Sx1.p2.1">[Derivation of expression (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.E11" title="In III-B Channel sounding signals ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>)]</p> </div> <div class="ltx_para" id="Sx1.p3"> <p class="ltx_p" id="Sx1.p3.1">The autocorrelation <math alttext="\Phi^{(t)}_{y}(\Delta t)" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.p3.1.m1.2"><semantics id="Sx1.p3.1.m1.2a"><mrow id="Sx1.p3.1.m1.2.2" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.cmml"><msubsup id="Sx1.p3.1.m1.2.2.3" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="Sx1.p3.1.m1.2.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.3.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="Sx1.p3.1.m1.2.2.3.3" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.3.3.cmml">y</mi><mrow id="Sx1.p3.1.m1.1.1.1.3" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="Sx1.p3.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="Sx1.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="Sx1.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="Sx1.p3.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="Sx1.p3.1.m1.2.2.2" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.p3.1.m1.2b"><apply id="Sx1.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2"><times id="Sx1.p3.1.m1.2.2.2.cmml" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.2"></times><apply id="Sx1.p3.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.p3.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="Sx1.p3.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.p3.1.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="Sx1.p3.1.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.3.2.2">Φ</ci><ci id="Sx1.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.p3.1.m1.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="Sx1.p3.1.m1.2.2.3.3.cmml" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.3.3">𝑦</ci></apply><apply id="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1"><times id="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.p3.1.m1.2c">\Phi^{(t)}_{y}(\Delta t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.p3.1.m1.2d">roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( roman_Δ italic_t )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.E11" title="In III-B Channel sounding signals ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>) is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A0.E29"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}&\Phi^{(t)}_{y}(\Delta t)=<y(t)y(t-\Delta t)>_{t}=\\ \!\!&<\!\!\!\sum_{k=k_{1}}^{k_{N}}\!\!\Re\{\!H(t,k\delta_{f})e^{j\theta_{1}(k)% }\}\!\cdot\!\!\!\!\sum_{k^{\prime}=k_{1}}^{k_{N}}\!\!\!\Re\{\!H(\!t-\!\!\Delta t% ,k^{\prime}\delta_{f})e^{j\theta_{2}(k^{\prime})}\}\!\!>_{t},\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="A0.E29.m1.68"><semantics id="A0.E29.m1.68a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="A0.E29.m1.68.68.4" rowspacing="0pt"><mtr id="A0.E29.m1.68.68.4a"><mtd id="A0.E29.m1.68.68.4b" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A0.E29.m1.68.68.4c"><mrow id="A0.E29.m1.67.67.3.66.25.25"><mrow id="A0.E29.m1.66.66.2.65.24.24.24"><msubsup id="A0.E29.m1.66.66.2.65.24.24.24.3"><mi id="A0.E29.m1.1.1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A0.E29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">Φ</mi><mi id="A0.E29.m1.3.3.3.3.3.3.1" xref="A0.E29.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml">y</mi><mrow id="A0.E29.m1.2.2.2.2.2.2.1.3"><mo id="A0.E29.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A0.E29.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="A0.E29.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A0.E29.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.E29.m1.66.66.2.65.24.24.24.2" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E29.m1.66.66.2.65.24.24.24.1.1"><mo id="A0.E29.m1.4.4.4.4.4.4" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E29.m1.66.66.2.65.24.24.24.1.1.1"><mi id="A0.E29.m1.5.5.5.5.5.5" mathvariant="normal" xref="A0.E29.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">Δ</mi><mo id="A0.E29.m1.66.66.2.65.24.24.24.1.1.1.1" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E29.m1.6.6.6.6.6.6" xref="A0.E29.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">t</mi></mrow><mo id="A0.E29.m1.7.7.7.7.7.7" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E29.m1.8.8.8.8.8.8" rspace="0.1389em" xref="A0.E29.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">=</mo><msub id="A0.E29.m1.67.67.3.66.25.25.25"><mrow id="A0.E29.m1.67.67.3.66.25.25.25.1.1"><mo fence="true" id="A0.E29.m1.9.9.9.9.9.9" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml"><</mo><mrow id="A0.E29.m1.67.67.3.66.25.25.25.1.1.1"><mi id="A0.E29.m1.10.10.10.10.10.10" xref="A0.E29.m1.10.10.10.10.10.10.cmml">y</mi><mo id="A0.E29.m1.67.67.3.66.25.25.25.1.1.1.2" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E29.m1.67.67.3.66.25.25.25.1.1.1.3"><mo id="A0.E29.m1.11.11.11.11.11.11" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A0.E29.m1.12.12.12.12.12.12" xref="A0.E29.m1.12.12.12.12.12.12.cmml">t</mi><mo id="A0.E29.m1.13.13.13.13.13.13" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E29.m1.67.67.3.66.25.25.25.1.1.1.2a" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E29.m1.14.14.14.14.14.14" xref="A0.E29.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">y</mi><mo id="A0.E29.m1.67.67.3.66.25.25.25.1.1.1.2b" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E29.m1.67.67.3.66.25.25.25.1.1.1.1.1"><mo id="A0.E29.m1.15.15.15.15.15.15" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E29.m1.67.67.3.66.25.25.25.1.1.1.1.1.1"><mi id="A0.E29.m1.16.16.16.16.16.16" xref="A0.E29.m1.16.16.16.16.16.16.cmml">t</mi><mo id="A0.E29.m1.17.17.17.17.17.17" xref="A0.E29.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">−</mo><mrow id="A0.E29.m1.67.67.3.66.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A0.E29.m1.18.18.18.18.18.18" mathvariant="normal" xref="A0.E29.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">Δ</mi><mo id="A0.E29.m1.67.67.3.66.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E29.m1.19.19.19.19.19.19" xref="A0.E29.m1.19.19.19.19.19.19.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="A0.E29.m1.20.20.20.20.20.20" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.E29.m1.21.21.21.21.21.21" lspace="0em" rspace="0.1389em" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">></mo></mrow><mi id="A0.E29.m1.22.22.22.22.22.22.1" xref="A0.E29.m1.22.22.22.22.22.22.1.cmml">t</mi></msub><mo id="A0.E29.m1.23.23.23.23.23.23" lspace="0.1389em" xref="A0.E29.m1.23.23.23.23.23.23.cmml">=</mo><mi id="A0.E29.m1.67.67.3.66.25.25.27" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml"></mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="A0.E29.m1.68.68.4d"><mtd id="A0.E29.m1.68.68.4e" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A0.E29.m1.68.68.4f"><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42"><msub id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1"><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1"><mpadded width="0.278em"><mo fence="true" id="A0.E29.m1.24.24.24.1.1.1" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml"><</mo></mpadded><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1"><munderover id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.3"><mo id="A0.E29.m1.25.25.25.2.2.2" movablelimits="false" xref="A0.E29.m1.25.25.25.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1" xref="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.cmml"><mi id="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.2" xref="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.1" xref="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.1.cmml">=</mo><msub id="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.3" xref="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.3.cmml"><mi id="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.3.2" xref="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.3.3" xref="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msub id="A0.E29.m1.27.27.27.4.4.4.1" xref="A0.E29.m1.27.27.27.4.4.4.1.cmml"><mi id="A0.E29.m1.27.27.27.4.4.4.1.2" xref="A0.E29.m1.27.27.27.4.4.4.1.2.cmml">k</mi><mi id="A0.E29.m1.27.27.27.4.4.4.1.3" xref="A0.E29.m1.27.27.27.4.4.4.1.3.cmml">N</mi></msub></munderover><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2"><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A0.E29.m1.28.28.28.5.5.5" mathvariant="normal" xref="A0.E29.m1.28.28.28.5.5.5.cmml">ℜ</mi><mo id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1a" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1"><mpadded width="0.330em"><mo id="A0.E29.m1.29.29.29.6.6.6" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">{</mo></mpadded><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A0.E29.m1.30.30.30.7.7.7" xref="A0.E29.m1.30.30.30.7.7.7.cmml">H</mi><mo id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="A0.E29.m1.31.31.31.8.8.8" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A0.E29.m1.32.32.32.9.9.9" xref="A0.E29.m1.32.32.32.9.9.9.cmml">t</mi><mo id="A0.E29.m1.33.33.33.10.10.10" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">,</mo><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A0.E29.m1.34.34.34.11.11.11" xref="A0.E29.m1.34.34.34.11.11.11.cmml">k</mi><mo id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="A0.E29.m1.35.35.35.12.12.12" xref="A0.E29.m1.35.35.35.12.12.12.cmml">δ</mi><mi id="A0.E29.m1.36.36.36.13.13.13.1" xref="A0.E29.m1.36.36.36.13.13.13.1.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="A0.E29.m1.37.37.37.14.14.14" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="A0.E29.m1.38.38.38.15.15.15" xref="A0.E29.m1.38.38.38.15.15.15.cmml">e</mi><mrow id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.cmml"><mi id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.3" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.3.cmml">j</mi><mo id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.2" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.4" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.4.cmml"><mi id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.4.2" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.4.2.cmml">θ</mi><mn id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.4.3" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.2a" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.5.2" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.cmml"><mo id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.5.2.1" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.cmml">(</mo><mi id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.1" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.1.cmml">k</mi><mo id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.5.2.2" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="A0.E29.m1.40.40.40.17.17.17" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mpadded width="0em"><mo id="A0.E29.m1.41.41.41.18.18.18" lspace="0.052em" xref="A0.E29.m1.41.41.41.18.18.18.cmml">⋅</mo></mpadded><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2"><munderover id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2.2"><mo id="A0.E29.m1.42.42.42.19.19.19" movablelimits="false" xref="A0.E29.m1.42.42.42.19.19.19.cmml">∑</mo><mrow id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.cmml"><msup id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.2" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.2.cmml"><mi id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.2.2" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.2.2.cmml">k</mi><mo id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.2.3" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.1" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.1.cmml">=</mo><msub id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.3" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.3.cmml"><mi id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.3.2" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.3.3" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msub id="A0.E29.m1.44.44.44.21.21.21.1" xref="A0.E29.m1.44.44.44.21.21.21.1.cmml"><mi id="A0.E29.m1.44.44.44.21.21.21.1.2" xref="A0.E29.m1.44.44.44.21.21.21.1.2.cmml">k</mi><mi id="A0.E29.m1.44.44.44.21.21.21.1.3" xref="A0.E29.m1.44.44.44.21.21.21.1.3.cmml">N</mi></msub></munderover><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2.1.1"><mi id="A0.E29.m1.45.45.45.22.22.22" mathvariant="normal" xref="A0.E29.m1.45.45.45.22.22.22.cmml">ℜ</mi><mo id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2.1.1a" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><mpadded width="0.330em"><mo id="A0.E29.m1.46.46.46.23.23.23" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">{</mo></mpadded><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"><mi id="A0.E29.m1.47.47.47.24.24.24" xref="A0.E29.m1.47.47.47.24.24.24.cmml">H</mi><mo id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2"><mpadded width="0.288em"><mo id="A0.E29.m1.48.48.48.25.25.25" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">(</mo></mpadded><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A0.E29.m1.49.49.49.26.26.26" xref="A0.E29.m1.49.49.49.26.26.26.cmml">t</mi><mpadded width="0.642em"><mo id="A0.E29.m1.50.50.50.27.27.27" xref="A0.E29.m1.50.50.50.27.27.27.cmml">−</mo></mpadded><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A0.E29.m1.51.51.51.28.28.28" mathvariant="normal" xref="A0.E29.m1.51.51.51.28.28.28.cmml">Δ</mi><mo id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E29.m1.52.52.52.29.29.29" xref="A0.E29.m1.52.52.52.29.29.29.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="A0.E29.m1.53.53.53.30.30.30" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">,</mo><mrow id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2"><msup id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2"><mi id="A0.E29.m1.54.54.54.31.31.31" xref="A0.E29.m1.54.54.54.31.31.31.cmml">k</mi><mo id="A0.E29.m1.55.55.55.32.32.32.1" xref="A0.E29.m1.55.55.55.32.32.32.1.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3"><mi id="A0.E29.m1.56.56.56.33.33.33" xref="A0.E29.m1.56.56.56.33.33.33.cmml">δ</mi><mi id="A0.E29.m1.57.57.57.34.34.34.1" xref="A0.E29.m1.57.57.57.34.34.34.1.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="A0.E29.m1.58.58.58.35.35.35" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3a" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.E29.m1.68.68.4.67.42.42.42.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.4"><mi id="A0.E29.m1.59.59.59.36.36.36" xref="A0.E29.m1.59.59.59.36.36.36.cmml">e</mi><mrow id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.cmml"><mi id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.3" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.3.cmml">j</mi><mo id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.2" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.4" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.4.cmml"><mi id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.4.2" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.4.2.cmml">θ</mi><mn id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.4.3" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.4.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.2a" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.1" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.1.2" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.1.3" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mpadded width="0.170em"><mo id="A0.E29.m1.61.61.61.38.38.38" stretchy="false" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">}</mo></mpadded></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.E29.m1.62.62.62.39.39.39" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">></mo></mrow><mi id="A0.E29.m1.63.63.63.40.40.40.1" xref="A0.E29.m1.63.63.63.40.40.40.1.cmml">t</mi></msub><mo id="A0.E29.m1.64.64.64.41.41.41" xref="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E29.m1.68b"><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><and id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1a.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"></and><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1b.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><eq id="A0.E29.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" xref="A0.E29.m1.8.8.8.8.8.8"></eq><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><times id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"></times><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b">subscript</csymbol><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b">superscript</csymbol><ci id="A0.E29.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.1.1.1.1.1.1">Φ</ci><ci id="A0.E29.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.2.2.2.2.2.2.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="A0.E29.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="A0.E29.m1.3.3.3.3.3.3.1">𝑦</ci></apply><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><times id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"></times><ci id="A0.E29.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="A0.E29.m1.5.5.5.5.5.5">Δ</ci><ci id="A0.E29.m1.6.6.6.6.6.6.cmml" xref="A0.E29.m1.6.6.6.6.6.6">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b">subscript</csymbol><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><csymbol cd="latexml" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b">expectation</csymbol><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><times id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"></times><ci 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id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1c.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><eq id="A0.E29.m1.23.23.23.23.23.23.cmml" xref="A0.E29.m1.23.23.23.23.23.23"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#A0.E29.m1.65.65.1.1.1.2.cmml" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1d.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"></share><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b">subscript</csymbol><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><csymbol cd="latexml" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b">expectation</csymbol><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b">superscript</csymbol><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b">subscript</csymbol><sum id="A0.E29.m1.25.25.25.2.2.2.cmml" xref="A0.E29.m1.25.25.25.2.2.2"></sum><apply id="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.cmml" xref="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1"><eq id="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.1"></eq><ci id="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.2">𝑘</ci><apply id="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.3.cmml" xref="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.3.2.cmml" xref="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.3.2">𝑘</ci><cn id="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.E29.m1.26.26.26.3.3.3.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A0.E29.m1.27.27.27.4.4.4.1.cmml" xref="A0.E29.m1.27.27.27.4.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.27.27.27.4.4.4.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.27.27.27.4.4.4.1">subscript</csymbol><ci id="A0.E29.m1.27.27.27.4.4.4.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.27.27.27.4.4.4.1.2">𝑘</ci><ci id="A0.E29.m1.27.27.27.4.4.4.1.3.cmml" xref="A0.E29.m1.27.27.27.4.4.4.1.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><ci id="A0.E29.m1.41.41.41.18.18.18.cmml" xref="A0.E29.m1.41.41.41.18.18.18">⋅</ci><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><real id="A0.E29.m1.28.28.28.5.5.5.cmml" xref="A0.E29.m1.28.28.28.5.5.5"></real><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><times id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"></times><ci id="A0.E29.m1.30.30.30.7.7.7.cmml" xref="A0.E29.m1.30.30.30.7.7.7">𝐻</ci><interval closure="open" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><ci id="A0.E29.m1.32.32.32.9.9.9.cmml" xref="A0.E29.m1.32.32.32.9.9.9">𝑡</ci><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><times id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"></times><ci id="A0.E29.m1.34.34.34.11.11.11.cmml" xref="A0.E29.m1.34.34.34.11.11.11">𝑘</ci><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b">subscript</csymbol><ci id="A0.E29.m1.35.35.35.12.12.12.cmml" xref="A0.E29.m1.35.35.35.12.12.12">𝛿</ci><ci id="A0.E29.m1.36.36.36.13.13.13.1.cmml" xref="A0.E29.m1.36.36.36.13.13.13.1">𝑓</ci></apply></apply></interval><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b">superscript</csymbol><ci id="A0.E29.m1.38.38.38.15.15.15.cmml" xref="A0.E29.m1.38.38.38.15.15.15">𝑒</ci><apply id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.cmml" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1"><times id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.2"></times><ci id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.3.cmml" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.3">𝑗</ci><apply id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.4.cmml" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.4.1.cmml" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.4">subscript</csymbol><ci id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.4.2.cmml" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.4.2">𝜃</ci><cn id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.4.3">1</cn></apply><ci id="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.39.39.39.16.16.16.1.1">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b">superscript</csymbol><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b">subscript</csymbol><sum id="A0.E29.m1.42.42.42.19.19.19.cmml" xref="A0.E29.m1.42.42.42.19.19.19"></sum><apply id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.cmml" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1"><eq id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.1"></eq><apply id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.2.1.cmml" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.2">superscript</csymbol><ci id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.2.2.cmml" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.2.2">𝑘</ci><ci id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.2.3.cmml" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.2.3">′</ci></apply><apply id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.3.cmml" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.3.1.cmml" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.3.2.cmml" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.3.2">𝑘</ci><cn id="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.E29.m1.43.43.43.20.20.20.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A0.E29.m1.44.44.44.21.21.21.1.cmml" xref="A0.E29.m1.44.44.44.21.21.21.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.44.44.44.21.21.21.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.44.44.44.21.21.21.1">subscript</csymbol><ci id="A0.E29.m1.44.44.44.21.21.21.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.44.44.44.21.21.21.1.2">𝑘</ci><ci id="A0.E29.m1.44.44.44.21.21.21.1.3.cmml" xref="A0.E29.m1.44.44.44.21.21.21.1.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><real id="A0.E29.m1.45.45.45.22.22.22.cmml" xref="A0.E29.m1.45.45.45.22.22.22"></real><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><times id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"></times><ci id="A0.E29.m1.47.47.47.24.24.24.cmml" xref="A0.E29.m1.47.47.47.24.24.24">𝐻</ci><interval closure="open" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><minus id="A0.E29.m1.50.50.50.27.27.27.cmml" xref="A0.E29.m1.50.50.50.27.27.27"></minus><ci id="A0.E29.m1.49.49.49.26.26.26.cmml" xref="A0.E29.m1.49.49.49.26.26.26">𝑡</ci><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><times id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"></times><ci id="A0.E29.m1.51.51.51.28.28.28.cmml" xref="A0.E29.m1.51.51.51.28.28.28">Δ</ci><ci id="A0.E29.m1.52.52.52.29.29.29.cmml" xref="A0.E29.m1.52.52.52.29.29.29">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><times id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"></times><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b">superscript</csymbol><ci id="A0.E29.m1.54.54.54.31.31.31.cmml" xref="A0.E29.m1.54.54.54.31.31.31">𝑘</ci><ci id="A0.E29.m1.55.55.55.32.32.32.1.cmml" xref="A0.E29.m1.55.55.55.32.32.32.1">′</ci></apply><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b">subscript</csymbol><ci id="A0.E29.m1.56.56.56.33.33.33.cmml" xref="A0.E29.m1.56.56.56.33.33.33">𝛿</ci><ci id="A0.E29.m1.57.57.57.34.34.34.1.cmml" xref="A0.E29.m1.57.57.57.34.34.34.1">𝑓</ci></apply></apply></interval><apply id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.1.1.1.5.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.65.65.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A0.E29.m1.68.68.4b">superscript</csymbol><ci id="A0.E29.m1.59.59.59.36.36.36.cmml" xref="A0.E29.m1.59.59.59.36.36.36">𝑒</ci><apply id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.cmml" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1"><times id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.2"></times><ci id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.3.cmml" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.3">𝑗</ci><apply id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.4.cmml" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.4.1.cmml" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.4">subscript</csymbol><ci id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.4.2.cmml" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.4.2">𝜃</ci><cn id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.4.3">2</cn></apply><apply id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E29.m1.60.60.60.37.37.37.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="A0.E29.m1.63.63.63.40.40.40.1.cmml" xref="A0.E29.m1.63.63.63.40.40.40.1">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E29.m1.68c">\begin{split}&\Phi^{(t)}_{y}(\Delta t)=<y(t)y(t-\Delta t)>_{t}=\\ \!\!&<\!\!\!\sum_{k=k_{1}}^{k_{N}}\!\!\Re\{\!H(t,k\delta_{f})e^{j\theta_{1}(k)% }\}\!\cdot\!\!\!\!\sum_{k^{\prime}=k_{1}}^{k_{N}}\!\!\!\Re\{\!H(\!t-\!\!\Delta t% ,k^{\prime}\delta_{f})e^{j\theta_{2}(k^{\prime})}\}\!\!>_{t},\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E29.m1.68d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( roman_Δ italic_t ) = < italic_y ( italic_t ) italic_y ( italic_t - roman_Δ italic_t ) > start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT = end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL < ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_ℜ { italic_H ( italic_t , italic_k italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT } ⋅ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT roman_ℜ { italic_H ( italic_t - roman_Δ italic_t , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT } > start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(29)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="Sx1.p4"> <p class="ltx_p" id="Sx1.p4.2">where <math alttext="\theta_{1}(k)" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.p4.1.m1.1"><semantics id="Sx1.p4.1.m1.1a"><mrow id="Sx1.p4.1.m1.1.2" xref="Sx1.p4.1.m1.1.2.cmml"><msub id="Sx1.p4.1.m1.1.2.2" xref="Sx1.p4.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="Sx1.p4.1.m1.1.2.2.2" xref="Sx1.p4.1.m1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mn id="Sx1.p4.1.m1.1.2.2.3" xref="Sx1.p4.1.m1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Sx1.p4.1.m1.1.2.1" xref="Sx1.p4.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Sx1.p4.1.m1.1.2.3.2" xref="Sx1.p4.1.m1.1.2.cmml"><mo id="Sx1.p4.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Sx1.p4.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="Sx1.p4.1.m1.1.1" xref="Sx1.p4.1.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="Sx1.p4.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Sx1.p4.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.p4.1.m1.1b"><apply id="Sx1.p4.1.m1.1.2.cmml" xref="Sx1.p4.1.m1.1.2"><times id="Sx1.p4.1.m1.1.2.1.cmml" xref="Sx1.p4.1.m1.1.2.1"></times><apply id="Sx1.p4.1.m1.1.2.2.cmml" xref="Sx1.p4.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.p4.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="Sx1.p4.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Sx1.p4.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="Sx1.p4.1.m1.1.2.2.2">𝜃</ci><cn id="Sx1.p4.1.m1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Sx1.p4.1.m1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="Sx1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.p4.1.m1.1.1">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.p4.1.m1.1c">\theta_{1}(k)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.p4.1.m1.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\theta_{2}(k^{\prime})" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.p4.2.m2.1"><semantics id="Sx1.p4.2.m2.1a"><mrow id="Sx1.p4.2.m2.1.1" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.cmml"><msub id="Sx1.p4.2.m2.1.1.3" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="Sx1.p4.2.m2.1.1.3.2" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mn id="Sx1.p4.2.m2.1.1.3.3" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Sx1.p4.2.m2.1.1.2" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.1" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.p4.2.m2.1b"><apply id="Sx1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1"><times id="Sx1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.2"></times><apply id="Sx1.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Sx1.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.3.2">𝜃</ci><cn id="Sx1.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.p4.2.m2.1c">\theta_{2}(k^{\prime})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.p4.2.m2.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> are defined as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A0.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\theta_{1}(k)&\equiv 2\pi k\delta_{f}t+\Psi_{k},\\ \theta_{2}(k^{\prime})&\equiv 2\pi k^{\prime}\delta_{f}(t-\Delta t)+\Psi_{k^{% \prime}}.\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="A0.Ex1.m1.43"><semantics id="A0.Ex1.m1.43a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="A0.Ex1.m1.43.43.4" rowspacing="0pt"><mtr id="A0.Ex1.m1.43.43.4a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="A0.Ex1.m1.43.43.4b"><mrow id="A0.Ex1.m1.5.5.5.5.5"><msub id="A0.Ex1.m1.5.5.5.5.5.7"><mi id="A0.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">θ</mi><mn id="A0.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="A0.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">1</mn></msub><mo id="A0.Ex1.m1.5.5.5.5.5.6">⁢</mo><mrow id="A0.Ex1.m1.5.5.5.5.5.8"><mo id="A0.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3" stretchy="false">(</mo><mi id="A0.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4" xref="A0.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A0.Ex1.m1.43.43.4c"><mrow id="A0.Ex1.m1.41.41.2.40.17.12.12"><mrow id="A0.Ex1.m1.41.41.2.40.17.12.12.1"><mi id="A0.Ex1.m1.41.41.2.40.17.12.12.1.1"></mi><mo id="A0.Ex1.m1.6.6.6.6.1.1" xref="A0.Ex1.m1.6.6.6.6.1.1.cmml">≡</mo><mrow id="A0.Ex1.m1.41.41.2.40.17.12.12.1.2"><mrow id="A0.Ex1.m1.41.41.2.40.17.12.12.1.2.1"><mn id="A0.Ex1.m1.7.7.7.7.2.2" xref="A0.Ex1.m1.7.7.7.7.2.2.cmml">2</mn><mo id="A0.Ex1.m1.41.41.2.40.17.12.12.1.2.1.1">⁢</mo><mi id="A0.Ex1.m1.8.8.8.8.3.3" xref="A0.Ex1.m1.8.8.8.8.3.3.cmml">π</mi><mo id="A0.Ex1.m1.41.41.2.40.17.12.12.1.2.1.1a">⁢</mo><mi id="A0.Ex1.m1.9.9.9.9.4.4" xref="A0.Ex1.m1.9.9.9.9.4.4.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex1.m1.41.41.2.40.17.12.12.1.2.1.1b">⁢</mo><msub id="A0.Ex1.m1.41.41.2.40.17.12.12.1.2.1.2"><mi id="A0.Ex1.m1.10.10.10.10.5.5" xref="A0.Ex1.m1.10.10.10.10.5.5.cmml">δ</mi><mi id="A0.Ex1.m1.11.11.11.11.6.6.1" xref="A0.Ex1.m1.11.11.11.11.6.6.1.cmml">f</mi></msub><mo id="A0.Ex1.m1.41.41.2.40.17.12.12.1.2.1.1c">⁢</mo><mi id="A0.Ex1.m1.12.12.12.12.7.7" xref="A0.Ex1.m1.12.12.12.12.7.7.cmml">t</mi></mrow><mo id="A0.Ex1.m1.13.13.13.13.8.8" xref="A0.Ex1.m1.13.13.13.13.8.8.cmml">+</mo><msub id="A0.Ex1.m1.41.41.2.40.17.12.12.1.2.2"><mi id="A0.Ex1.m1.14.14.14.14.9.9" mathvariant="normal" xref="A0.Ex1.m1.14.14.14.14.9.9.cmml">Ψ</mi><mi id="A0.Ex1.m1.15.15.15.15.10.10.1" xref="A0.Ex1.m1.15.15.15.15.10.10.1.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="A0.Ex1.m1.16.16.16.16.11.11">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="A0.Ex1.m1.43.43.4d"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="A0.Ex1.m1.43.43.4e"><mrow id="A0.Ex1.m1.42.42.3.41.24.7"><msub id="A0.Ex1.m1.42.42.3.41.24.7.9"><mi id="A0.Ex1.m1.17.17.17.1.1.1" xref="A0.Ex1.m1.17.17.17.1.1.1.cmml">θ</mi><mn id="A0.Ex1.m1.18.18.18.2.2.2.1" xref="A0.Ex1.m1.18.18.18.2.2.2.1.cmml">2</mn></msub><mo id="A0.Ex1.m1.42.42.3.41.24.7.8">⁢</mo><mrow id="A0.Ex1.m1.42.42.3.41.24.7.7.1"><mo id="A0.Ex1.m1.19.19.19.3.3.3" stretchy="false">(</mo><msup id="A0.Ex1.m1.42.42.3.41.24.7.7.1.1"><mi id="A0.Ex1.m1.20.20.20.4.4.4" xref="A0.Ex1.m1.20.20.20.4.4.4.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex1.m1.21.21.21.5.5.5.1" xref="A0.Ex1.m1.21.21.21.5.5.5.1.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex1.m1.22.22.22.6.6.6" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A0.Ex1.m1.43.43.4f"><mrow id="A0.Ex1.m1.43.43.4.42.25.18.18"><mrow id="A0.Ex1.m1.43.43.4.42.25.18.18.1"><mi id="A0.Ex1.m1.43.43.4.42.25.18.18.1.2"></mi><mo id="A0.Ex1.m1.23.23.23.7.1.1" xref="A0.Ex1.m1.23.23.23.7.1.1.cmml">≡</mo><mrow id="A0.Ex1.m1.43.43.4.42.25.18.18.1.1"><mrow id="A0.Ex1.m1.43.43.4.42.25.18.18.1.1.1"><mn id="A0.Ex1.m1.24.24.24.8.2.2" xref="A0.Ex1.m1.24.24.24.8.2.2.cmml">2</mn><mo id="A0.Ex1.m1.43.43.4.42.25.18.18.1.1.1.2">⁢</mo><mi id="A0.Ex1.m1.25.25.25.9.3.3" xref="A0.Ex1.m1.25.25.25.9.3.3.cmml">π</mi><mo id="A0.Ex1.m1.43.43.4.42.25.18.18.1.1.1.2a">⁢</mo><msup id="A0.Ex1.m1.43.43.4.42.25.18.18.1.1.1.3"><mi id="A0.Ex1.m1.26.26.26.10.4.4" xref="A0.Ex1.m1.26.26.26.10.4.4.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex1.m1.27.27.27.11.5.5.1" xref="A0.Ex1.m1.27.27.27.11.5.5.1.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.Ex1.m1.43.43.4.42.25.18.18.1.1.1.2b">⁢</mo><msub id="A0.Ex1.m1.43.43.4.42.25.18.18.1.1.1.4"><mi id="A0.Ex1.m1.28.28.28.12.6.6" xref="A0.Ex1.m1.28.28.28.12.6.6.cmml">δ</mi><mi id="A0.Ex1.m1.29.29.29.13.7.7.1" xref="A0.Ex1.m1.29.29.29.13.7.7.1.cmml">f</mi></msub><mo id="A0.Ex1.m1.43.43.4.42.25.18.18.1.1.1.2c">⁢</mo><mrow id="A0.Ex1.m1.43.43.4.42.25.18.18.1.1.1.1.1"><mo id="A0.Ex1.m1.30.30.30.14.8.8" stretchy="false">(</mo><mrow id="A0.Ex1.m1.43.43.4.42.25.18.18.1.1.1.1.1.1"><mi id="A0.Ex1.m1.31.31.31.15.9.9" xref="A0.Ex1.m1.31.31.31.15.9.9.cmml">t</mi><mo id="A0.Ex1.m1.32.32.32.16.10.10" xref="A0.Ex1.m1.32.32.32.16.10.10.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex1.m1.43.43.4.42.25.18.18.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A0.Ex1.m1.33.33.33.17.11.11" mathvariant="normal" xref="A0.Ex1.m1.33.33.33.17.11.11.cmml">Δ</mi><mo id="A0.Ex1.m1.43.43.4.42.25.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="A0.Ex1.m1.34.34.34.18.12.12" xref="A0.Ex1.m1.34.34.34.18.12.12.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="A0.Ex1.m1.35.35.35.19.13.13" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex1.m1.36.36.36.20.14.14" xref="A0.Ex1.m1.36.36.36.20.14.14.cmml">+</mo><msub id="A0.Ex1.m1.43.43.4.42.25.18.18.1.1.2"><mi id="A0.Ex1.m1.37.37.37.21.15.15" mathvariant="normal" xref="A0.Ex1.m1.37.37.37.21.15.15.cmml">Ψ</mi><msup id="A0.Ex1.m1.38.38.38.22.16.16.1" xref="A0.Ex1.m1.38.38.38.22.16.16.1.cmml"><mi id="A0.Ex1.m1.38.38.38.22.16.16.1.2" xref="A0.Ex1.m1.38.38.38.22.16.16.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex1.m1.38.38.38.22.16.16.1.3" xref="A0.Ex1.m1.38.38.38.22.16.16.1.3.cmml">′</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="A0.Ex1.m1.39.39.39.23.17.17" lspace="0em">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex1.m1.43b"><apply id="A0.Ex1.m1.40.40.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex1.m1.40.40.1.1.1.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="A0.Ex1.m1.40.40.1.1.1.1.1.cmml"><equivalent 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id="A0.Ex1.m1.33.33.33.17.11.11.cmml" xref="A0.Ex1.m1.33.33.33.17.11.11">Δ</ci><ci id="A0.Ex1.m1.34.34.34.18.12.12.cmml" xref="A0.Ex1.m1.34.34.34.18.12.12">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex1.m1.40.40.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex1.m1.40.40.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex1.m1.37.37.37.21.15.15.cmml" xref="A0.Ex1.m1.37.37.37.21.15.15">Ψ</ci><apply id="A0.Ex1.m1.38.38.38.22.16.16.1.cmml" xref="A0.Ex1.m1.38.38.38.22.16.16.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex1.m1.38.38.38.22.16.16.1.1.cmml" xref="A0.Ex1.m1.38.38.38.22.16.16.1">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex1.m1.38.38.38.22.16.16.1.2.cmml" xref="A0.Ex1.m1.38.38.38.22.16.16.1.2">𝑘</ci><ci id="A0.Ex1.m1.38.38.38.22.16.16.1.3.cmml" xref="A0.Ex1.m1.38.38.38.22.16.16.1.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex1.m1.43c">\begin{split}\theta_{1}(k)&\equiv 2\pi k\delta_{f}t+\Psi_{k},\\ \theta_{2}(k^{\prime})&\equiv 2\pi k^{\prime}\delta_{f}(t-\Delta t)+\Psi_{k^{% \prime}}.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex1.m1.43d">start_ROW start_CELL italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k ) end_CELL start_CELL ≡ 2 italic_π italic_k italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT italic_t + roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_CELL start_CELL ≡ 2 italic_π italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t - roman_Δ italic_t ) + roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="Sx1.p5"> <p class="ltx_p" id="Sx1.p5.10">Taking into account that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A0.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Re\{z_{1}\}\cdot\Re\{z_{2}\}=\tfrac{1}{2}\Re\{z_{1}z_{2}\}+\tfrac{1}{2}\Re\{z% _{1}z_{2}^{*}\}," class="ltx_Math" display="block" id="A0.Ex2.m1.5"><semantics id="A0.Ex2.m1.5a"><mrow id="A0.Ex2.m1.5.5.1" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mrow id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex2.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="A0.Ex2.m1.1.1.cmml">ℜ</mi><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1a" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.3" rspace="0.222em" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">⋅</mo><mrow id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.2.1" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="A0.Ex2.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="A0.Ex2.m1.2.2.cmml">ℜ</mi><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.2.1a" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">{</mo><msub id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.5" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mrow id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.3" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml"><mfrac id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.3a" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml"><mn id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.3.2" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.3.3" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.2" lspace="0.167em" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex2.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="A0.Ex2.m1.3.3.cmml">ℜ</mi><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1a" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.2.cmml"><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mn id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">z</mi><mn id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.3.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.3" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.3.cmml">+</mo><mrow id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.3" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.3.cmml"><mfrac id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.3a" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.3.cmml"><mn id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.3.2" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.3.2.cmml">1</mn><mn id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.3.3" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.2" lspace="0.167em" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.2.cmml"><mi id="A0.Ex2.m1.4.4" mathvariant="normal" 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xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3.3" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex2.m1.5.5.1.2" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex2.m1.5b"><apply id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1"><eq id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.5.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.5"></eq><apply id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2"><ci id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.2.3">⋅</ci><apply id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1"><real id="A0.Ex2.m1.1.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.1.1"></real><apply id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.3.2">1</cn><cn id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.3.3">2</cn></apply><apply id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1"><real id="A0.Ex2.m1.4.4.cmml" xref="A0.Ex2.m1.4.4"></real><apply id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1"><times id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci><cn id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3.2.2">𝑧</ci><cn id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><times id="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex2.m1.5.5.1.1.4.2.1.1.1.1.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.Ex2.m1.5c">\Re\{z_{1}\}\cdot\Re\{z_{2}\}=\tfrac{1}{2}\Re\{z_{1}z_{2}\}+\tfrac{1}{2}\Re\{z% _{1}z_{2}^{*}\},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.Ex2.m1.5d">roman_ℜ { italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT } ⋅ roman_ℜ { italic_z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT } = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG roman_ℜ { italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT } + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG roman_ℜ { italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Sx1.p5.3">where <math alttext="z_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.p5.1.m1.1"><semantics id="Sx1.p5.1.m1.1a"><msub id="Sx1.p5.1.m1.1.1" xref="Sx1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.p5.1.m1.1.1.2" xref="Sx1.p5.1.m1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="Sx1.p5.1.m1.1.1.3" xref="Sx1.p5.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.p5.1.m1.1b"><apply id="Sx1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Sx1.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.p5.1.m1.1.1.2">𝑧</ci><cn id="Sx1.p5.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Sx1.p5.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.p5.1.m1.1c">z_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.p5.1.m1.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="z_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.p5.2.m2.1"><semantics id="Sx1.p5.2.m2.1a"><msub id="Sx1.p5.2.m2.1.1" xref="Sx1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Sx1.p5.2.m2.1.1.2" xref="Sx1.p5.2.m2.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="Sx1.p5.2.m2.1.1.3" xref="Sx1.p5.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.p5.2.m2.1b"><apply id="Sx1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Sx1.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Sx1.p5.2.m2.1.1.2">𝑧</ci><cn id="Sx1.p5.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Sx1.p5.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.p5.2.m2.1c">z_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.p5.2.m2.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are complex numbers we can express the autocorrelation <math alttext="\Phi^{(t)}_{y}(\Delta t)" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.p5.3.m3.2"><semantics id="Sx1.p5.3.m3.2a"><mrow id="Sx1.p5.3.m3.2.2" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.cmml"><msubsup id="Sx1.p5.3.m3.2.2.3" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.3.cmml"><mi id="Sx1.p5.3.m3.2.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.3.2.2.cmml">Φ</mi><mi id="Sx1.p5.3.m3.2.2.3.3" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.3.3.cmml">y</mi><mrow id="Sx1.p5.3.m3.1.1.1.3" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.3.cmml"><mo id="Sx1.p5.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="Sx1.p5.3.m3.1.1.1.1" xref="Sx1.p5.3.m3.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="Sx1.p5.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="Sx1.p5.3.m3.2.2.2" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.p5.3.m3.2b"><apply id="Sx1.p5.3.m3.2.2.cmml" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2"><times id="Sx1.p5.3.m3.2.2.2.cmml" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.2"></times><apply id="Sx1.p5.3.m3.2.2.3.cmml" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.p5.3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="Sx1.p5.3.m3.2.2.3.2.cmml" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.p5.3.m3.2.2.3.2.1.cmml" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="Sx1.p5.3.m3.2.2.3.2.2.cmml" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.3.2.2">Φ</ci><ci id="Sx1.p5.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.3.m3.1.1.1.1">𝑡</ci></apply><ci id="Sx1.p5.3.m3.2.2.3.3.cmml" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.3.3">𝑦</ci></apply><apply id="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1"><times id="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1"></times><ci id="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.p5.3.m3.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.p5.3.m3.2c">\Phi^{(t)}_{y}(\Delta t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.p5.3.m3.2d">roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( roman_Δ italic_t )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#A0.E29" title="In Acknowledgment ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">29</span></a>) as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A0.E30"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}&\Phi^{(t)}_{y}(\Delta t)=\\ \!\!\!\!&\tfrac{1}{2}\sum_{k=k_{1}}^{k_{N}}\!\sum_{k^{\prime}=k_{1}}^{k_{N}}\!% \!\!\!<\Re\{H(t,k\delta_{f})H(t\!\!-\!\!\Delta t,k^{\prime}\delta_{f})e^{j(% \theta_{1}(k)+\theta_{2}(k^{\prime}))}\}\!\!>_{t}+\!\\ &\qquad\qquad\!\!<\Re\{H(t,k\delta_{f})H^{*}(t\!\!-\!\!\Delta t,k^{\prime}% \delta_{f})e^{j(\theta_{1}(k)-\theta_{2}(k^{\prime}))}\}\!\!>_{t}\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="A0.E30.m1.79"><semantics id="A0.E30.m1.79a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="A0.E30.m1.79.79.6" rowspacing="0pt" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mtr id="A0.E30.m1.79.79.6a" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mtd id="A0.E30.m1.79.79.6b" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A0.E30.m1.79.79.6c" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mrow id="A0.E30.m1.77.77.4.74.9.9" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mrow id="A0.E30.m1.77.77.4.74.9.9.9" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><msubsup id="A0.E30.m1.77.77.4.74.9.9.9.3" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.1.1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A0.E30.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">Φ</mi><mi id="A0.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1" xref="A0.E30.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml">y</mi><mrow id="A0.E30.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mo id="A0.E30.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">(</mo><mi id="A0.E30.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="A0.E30.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A0.E30.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.E30.m1.77.77.4.74.9.9.9.2" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E30.m1.77.77.4.74.9.9.9.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mo id="A0.E30.m1.4.4.4.4.4.4" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">(</mo><mrow id="A0.E30.m1.77.77.4.74.9.9.9.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.5.5.5.5.5.5" mathvariant="normal" xref="A0.E30.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">Δ</mi><mo id="A0.E30.m1.77.77.4.74.9.9.9.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E30.m1.6.6.6.6.6.6" xref="A0.E30.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">t</mi></mrow><mo id="A0.E30.m1.7.7.7.7.7.7" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E30.m1.8.8.8.8.8.8" xref="A0.E30.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">=</mo><mi id="A0.E30.m1.77.77.4.74.9.9.10" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"></mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="A0.E30.m1.79.79.6d" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mtd id="A0.E30.m1.79.79.6e" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A0.E30.m1.79.79.6f" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mrow id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mrow id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="A0.E30.m1.9.9.9.1.1.1" xref="A0.E30.m1.9.9.9.1.1.1.cmml"><mfrac id="A0.E30.m1.9.9.9.1.1.1a" xref="A0.E30.m1.9.9.9.1.1.1.cmml"><mn id="A0.E30.m1.9.9.9.1.1.1.2" xref="A0.E30.m1.9.9.9.1.1.1.2.cmml">1</mn><mn id="A0.E30.m1.9.9.9.1.1.1.3" xref="A0.E30.m1.9.9.9.1.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.2" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><munderover id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.2" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mo id="A0.E30.m1.10.10.10.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A0.E30.m1.10.10.10.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A0.E30.m1.11.11.11.3.3.3.1" xref="A0.E30.m1.11.11.11.3.3.3.1.cmml"><mi id="A0.E30.m1.11.11.11.3.3.3.1.2" xref="A0.E30.m1.11.11.11.3.3.3.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.E30.m1.11.11.11.3.3.3.1.1" xref="A0.E30.m1.11.11.11.3.3.3.1.1.cmml">=</mo><msub id="A0.E30.m1.11.11.11.3.3.3.1.3" xref="A0.E30.m1.11.11.11.3.3.3.1.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.11.11.11.3.3.3.1.3.2" xref="A0.E30.m1.11.11.11.3.3.3.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="A0.E30.m1.11.11.11.3.3.3.1.3.3" xref="A0.E30.m1.11.11.11.3.3.3.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msub id="A0.E30.m1.12.12.12.4.4.4.1" xref="A0.E30.m1.12.12.12.4.4.4.1.cmml"><mi id="A0.E30.m1.12.12.12.4.4.4.1.2" xref="A0.E30.m1.12.12.12.4.4.4.1.2.cmml">k</mi><mi id="A0.E30.m1.12.12.12.4.4.4.1.3" xref="A0.E30.m1.12.12.12.4.4.4.1.3.cmml">N</mi></msub></munderover><mrow id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><munderover id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.2" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mo id="A0.E30.m1.13.13.13.5.5.5" movablelimits="false" rspace="0em" xref="A0.E30.m1.13.13.13.5.5.5.cmml">∑</mo><mrow id="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1" xref="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.cmml"><msup id="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.2" xref="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.2.cmml"><mi id="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.2.2" xref="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.2.2.cmml">k</mi><mo id="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.2.3" xref="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.1" xref="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.1.cmml">=</mo><msub id="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.3" xref="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.3.2" xref="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.3.3" xref="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msub id="A0.E30.m1.15.15.15.7.7.7.1" xref="A0.E30.m1.15.15.15.7.7.7.1.cmml"><mi id="A0.E30.m1.15.15.15.7.7.7.1.2" xref="A0.E30.m1.15.15.15.7.7.7.1.2.cmml">k</mi><mi id="A0.E30.m1.15.15.15.7.7.7.1.3" xref="A0.E30.m1.15.15.15.7.7.7.1.3.cmml">N</mi></msub></munderover><msub id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mrow id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mo fence="true" id="A0.E30.m1.16.16.16.8.8.8" lspace="0em" rspace="0em" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><</mo><mrow id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.17.17.17.9.9.9" mathvariant="normal" xref="A0.E30.m1.17.17.17.9.9.9.cmml">ℜ</mi><mo id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1a" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁡</mo><mrow id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mo id="A0.E30.m1.18.18.18.10.10.10" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">{</mo><mrow id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.19.19.19.11.11.11" xref="A0.E30.m1.19.19.19.11.11.11.cmml">H</mi><mo id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mo id="A0.E30.m1.20.20.20.12.12.12" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">(</mo><mi id="A0.E30.m1.21.21.21.13.13.13" xref="A0.E30.m1.21.21.21.13.13.13.cmml">t</mi><mo id="A0.E30.m1.22.22.22.14.14.14" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">,</mo><mrow id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.23.23.23.15.15.15" xref="A0.E30.m1.23.23.23.15.15.15.cmml">k</mi><mo id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.24.24.24.16.16.16" xref="A0.E30.m1.24.24.24.16.16.16.cmml">δ</mi><mi id="A0.E30.m1.25.25.25.17.17.17.1" xref="A0.E30.m1.25.25.25.17.17.17.1.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="A0.E30.m1.26.26.26.18.18.18" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4a" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E30.m1.27.27.27.19.19.19" xref="A0.E30.m1.27.27.27.19.19.19.cmml">H</mi><mo id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4b" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mo id="A0.E30.m1.28.28.28.20.20.20" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">(</mo><mrow id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mpadded width="0.253em"><mi id="A0.E30.m1.29.29.29.21.21.21" xref="A0.E30.m1.29.29.29.21.21.21.cmml">t</mi></mpadded><mpadded width="0.642em"><mo id="A0.E30.m1.30.30.30.22.22.22" xref="A0.E30.m1.30.30.30.22.22.22.cmml">−</mo></mpadded><mrow id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.31.31.31.23.23.23" mathvariant="normal" xref="A0.E30.m1.31.31.31.23.23.23.cmml">Δ</mi><mo id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E30.m1.32.32.32.24.24.24" xref="A0.E30.m1.32.32.32.24.24.24.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="A0.E30.m1.33.33.33.25.25.25" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">,</mo><mrow id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><msup id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.34.34.34.26.26.26" xref="A0.E30.m1.34.34.34.26.26.26.cmml">k</mi><mo id="A0.E30.m1.35.35.35.27.27.27.1" xref="A0.E30.m1.35.35.35.27.27.27.1.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.36.36.36.28.28.28" xref="A0.E30.m1.36.36.36.28.28.28.cmml">δ</mi><mi id="A0.E30.m1.37.37.37.29.29.29.1" xref="A0.E30.m1.37.37.37.29.29.29.1.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="A0.E30.m1.38.38.38.30.30.30" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4c" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><msup id="A0.E30.m1.78.78.5.75.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.39.39.39.31.31.31" xref="A0.E30.m1.39.39.39.31.31.31.cmml">e</mi><mrow id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.cmml"><mi id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.4" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.4.cmml">j</mi><mo id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.3" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.cmml"><mo id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.cmml"><msub id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.2" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.2.2" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mn id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.2.3" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.1" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.3.2" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.cmml"><mo id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.1" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.1.cmml">k</mi><mo id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.2" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.3" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.3.2" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mn id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.3.3" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.2" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mpadded width="0.170em"><mo id="A0.E30.m1.41.41.41.33.33.33" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">}</mo></mpadded></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.E30.m1.42.42.42.34.34.34" rspace="0em" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">></mo></mrow><mi id="A0.E30.m1.43.43.43.35.35.35.1" xref="A0.E30.m1.43.43.43.35.35.35.1.cmml">t</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.E30.m1.44.44.44.36.36.36" xref="A0.E30.m1.44.44.44.36.36.36.cmml">+</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="A0.E30.m1.79.79.6g" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mtd id="A0.E30.m1.79.79.6h" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A0.E30.m1.79.79.6i" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><msub id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mrow id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mo fence="true" id="A0.E30.m1.45.45.45.1.1.1" rspace="0em" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><</mo><mrow id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.46.46.46.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A0.E30.m1.46.46.46.2.2.2.cmml">ℜ</mi><mo id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1a" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁡</mo><mrow id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mo id="A0.E30.m1.47.47.47.3.3.3" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">{</mo><mrow id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.48.48.48.4.4.4" xref="A0.E30.m1.48.48.48.4.4.4.cmml">H</mi><mo id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.4" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mo id="A0.E30.m1.49.49.49.5.5.5" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">(</mo><mi id="A0.E30.m1.50.50.50.6.6.6" xref="A0.E30.m1.50.50.50.6.6.6.cmml">t</mi><mo id="A0.E30.m1.51.51.51.7.7.7" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">,</mo><mrow id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.52.52.52.8.8.8" xref="A0.E30.m1.52.52.52.8.8.8.cmml">k</mi><mo id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.53.53.53.9.9.9" xref="A0.E30.m1.53.53.53.9.9.9.cmml">δ</mi><mi id="A0.E30.m1.54.54.54.10.10.10.1" xref="A0.E30.m1.54.54.54.10.10.10.1.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="A0.E30.m1.55.55.55.11.11.11" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.4a" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><msup id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.5" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.56.56.56.12.12.12" xref="A0.E30.m1.56.56.56.12.12.12.cmml">H</mi><mo id="A0.E30.m1.57.57.57.13.13.13.1" xref="A0.E30.m1.57.57.57.13.13.13.1.cmml">∗</mo></msup><mo id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.4b" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.3.2" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mo id="A0.E30.m1.58.58.58.14.14.14" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">(</mo><mrow id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mpadded width="0.253em"><mi id="A0.E30.m1.59.59.59.15.15.15" xref="A0.E30.m1.59.59.59.15.15.15.cmml">t</mi></mpadded><mpadded width="0.642em"><mo id="A0.E30.m1.60.60.60.16.16.16" xref="A0.E30.m1.60.60.60.16.16.16.cmml">−</mo></mpadded><mrow id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.61.61.61.17.17.17" mathvariant="normal" xref="A0.E30.m1.61.61.61.17.17.17.cmml">Δ</mi><mo id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><mi id="A0.E30.m1.62.62.62.18.18.18" xref="A0.E30.m1.62.62.62.18.18.18.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="A0.E30.m1.63.63.63.19.19.19" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">,</mo><mrow id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><msup id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.64.64.64.20.20.20" xref="A0.E30.m1.64.64.64.20.20.20.cmml">k</mi><mo id="A0.E30.m1.65.65.65.21.21.21.1" xref="A0.E30.m1.65.65.65.21.21.21.1.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><msub id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.66.66.66.22.22.22" xref="A0.E30.m1.66.66.66.22.22.22.cmml">δ</mi><mi id="A0.E30.m1.67.67.67.23.23.23.1" xref="A0.E30.m1.67.67.67.23.23.23.1.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="A0.E30.m1.68.68.68.24.24.24" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.4c" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">⁢</mo><msup id="A0.E30.m1.79.79.6.76.30.30.30.1.1.1.1.1.6" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.69.69.69.25.25.25" xref="A0.E30.m1.69.69.69.25.25.25.cmml">e</mi><mrow id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.cmml"><mi id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.4" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.4.cmml">j</mi><mo id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.3" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.cmml"><mo id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.2" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.cmml"><mrow id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.cmml"><msub id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.2" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.2.2" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mn id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.2.3" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.1" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.3.2" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.cmml"><mo id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.1" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.1.cmml">k</mi><mo id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.2" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.3" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.3.2" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.3.2.cmml">θ</mi><mn id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.3.3" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.2" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.3" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mpadded width="0.170em"><mo id="A0.E30.m1.71.71.71.27.27.27" stretchy="false" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">}</mo></mpadded></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.E30.m1.72.72.72.28.28.28" xref="A0.E30.m1.76.76.3.cmml">></mo></mrow><mi id="A0.E30.m1.73.73.73.29.29.29.1" xref="A0.E30.m1.73.73.73.29.29.29.1.cmml">t</mi></msub></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E30.m1.79b"><apply id="A0.E30.m1.76.76.3.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><eq id="A0.E30.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" xref="A0.E30.m1.8.8.8.8.8.8"></eq><apply id="A0.E30.m1.74.74.1.1.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><times id="A0.E30.m1.74.74.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"></times><apply id="A0.E30.m1.74.74.1.1.3.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.2">superscript</csymbol><ci id="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.2.2.cmml" xref="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.2.2">𝑘</ci><ci id="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.2.3.cmml" xref="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.2.3">′</ci></apply><apply id="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.3.cmml" xref="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.3.1.cmml" xref="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.3.2.cmml" xref="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.3.2">𝑘</ci><cn id="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.E30.m1.14.14.14.6.6.6.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A0.E30.m1.15.15.15.7.7.7.1.cmml" xref="A0.E30.m1.15.15.15.7.7.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.m1.15.15.15.7.7.7.1.1.cmml" xref="A0.E30.m1.15.15.15.7.7.7.1">subscript</csymbol><ci id="A0.E30.m1.15.15.15.7.7.7.1.2.cmml" xref="A0.E30.m1.15.15.15.7.7.7.1.2">𝑘</ci><ci id="A0.E30.m1.15.15.15.7.7.7.1.3.cmml" xref="A0.E30.m1.15.15.15.7.7.7.1.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6">subscript</csymbol><apply id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><csymbol cd="latexml" id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6">expectation</csymbol><apply id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><real id="A0.E30.m1.17.17.17.9.9.9.cmml" xref="A0.E30.m1.17.17.17.9.9.9"></real><apply id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><times id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"></times><ci id="A0.E30.m1.19.19.19.11.11.11.cmml" xref="A0.E30.m1.19.19.19.11.11.11">𝐻</ci><interval closure="open" id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><ci id="A0.E30.m1.21.21.21.13.13.13.cmml" xref="A0.E30.m1.21.21.21.13.13.13">𝑡</ci><apply id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><times id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"></times><ci id="A0.E30.m1.23.23.23.15.15.15.cmml" xref="A0.E30.m1.23.23.23.15.15.15">𝑘</ci><apply id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6">subscript</csymbol><ci id="A0.E30.m1.24.24.24.16.16.16.cmml" xref="A0.E30.m1.24.24.24.16.16.16">𝛿</ci><ci id="A0.E30.m1.25.25.25.17.17.17.1.cmml" xref="A0.E30.m1.25.25.25.17.17.17.1">𝑓</ci></apply></apply></interval><ci id="A0.E30.m1.27.27.27.19.19.19.cmml" xref="A0.E30.m1.27.27.27.19.19.19">𝐻</ci><interval closure="open" id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><apply id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><minus id="A0.E30.m1.30.30.30.22.22.22.cmml" xref="A0.E30.m1.30.30.30.22.22.22"></minus><ci id="A0.E30.m1.29.29.29.21.21.21.cmml" xref="A0.E30.m1.29.29.29.21.21.21">𝑡</ci><apply id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><times id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"></times><ci id="A0.E30.m1.31.31.31.23.23.23.cmml" xref="A0.E30.m1.31.31.31.23.23.23">Δ</ci><ci id="A0.E30.m1.32.32.32.24.24.24.cmml" xref="A0.E30.m1.32.32.32.24.24.24">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><times id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"></times><apply id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6">superscript</csymbol><ci id="A0.E30.m1.34.34.34.26.26.26.cmml" xref="A0.E30.m1.34.34.34.26.26.26">𝑘</ci><ci id="A0.E30.m1.35.35.35.27.27.27.1.cmml" xref="A0.E30.m1.35.35.35.27.27.27.1">′</ci></apply><apply id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6">subscript</csymbol><ci id="A0.E30.m1.36.36.36.28.28.28.cmml" xref="A0.E30.m1.36.36.36.28.28.28">𝛿</ci><ci id="A0.E30.m1.37.37.37.29.29.29.1.cmml" xref="A0.E30.m1.37.37.37.29.29.29.1">𝑓</ci></apply></apply></interval><apply id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.m1.75.75.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6">superscript</csymbol><ci id="A0.E30.m1.39.39.39.31.31.31.cmml" xref="A0.E30.m1.39.39.39.31.31.31">𝑒</ci><apply id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.cmml" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1"><times id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.3.cmml" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.3"></times><ci id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.4.cmml" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.4">𝑗</ci><apply id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.cmml" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1"><plus id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.2"></plus><apply id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.cmml" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3"><times id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.1"></times><apply id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.2.2">𝜃</ci><cn id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.1.cmml" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.1">𝑘</ci></apply><apply id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1"><times id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.2"></times><apply id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.3.2">𝜃</ci><cn id="A0.E30.m1.40.40.40.32.32.32.1.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" 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id="A0.E30.m1.52.52.52.8.8.8.cmml" xref="A0.E30.m1.52.52.52.8.8.8">𝑘</ci><apply id="A0.E30.m1.76.76.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.m1.76.76.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6">subscript</csymbol><ci id="A0.E30.m1.53.53.53.9.9.9.cmml" xref="A0.E30.m1.53.53.53.9.9.9">𝛿</ci><ci id="A0.E30.m1.54.54.54.10.10.10.1.cmml" xref="A0.E30.m1.54.54.54.10.10.10.1">𝑓</ci></apply></apply></interval><apply id="A0.E30.m1.76.76.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.m1.76.76.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6">superscript</csymbol><ci id="A0.E30.m1.56.56.56.12.12.12.cmml" xref="A0.E30.m1.56.56.56.12.12.12">𝐻</ci><times id="A0.E30.m1.57.57.57.13.13.13.1.cmml" xref="A0.E30.m1.57.57.57.13.13.13.1"></times></apply><interval closure="open" id="A0.E30.m1.76.76.3.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.E30.m1.79.79.6"><apply 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id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.1.cmml" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.1">𝑘</ci></apply><apply id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1"><times id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.2"></times><apply id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.3.2">𝜃</ci><cn id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.E30.m1.70.70.70.26.26.26.1.2.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="A0.E30.m1.73.73.73.29.29.29.1.cmml" xref="A0.E30.m1.73.73.73.29.29.29.1">𝑡</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E30.m1.79c">\begin{split}&\Phi^{(t)}_{y}(\Delta t)=\\ \!\!\!\!&\tfrac{1}{2}\sum_{k=k_{1}}^{k_{N}}\!\sum_{k^{\prime}=k_{1}}^{k_{N}}\!% \!\!\!<\Re\{H(t,k\delta_{f})H(t\!\!-\!\!\Delta t,k^{\prime}\delta_{f})e^{j(% \theta_{1}(k)+\theta_{2}(k^{\prime}))}\}\!\!>_{t}+\!\\ &\qquad\qquad\!\!<\Re\{H(t,k\delta_{f})H^{*}(t\!\!-\!\!\Delta t,k^{\prime}% \delta_{f})e^{j(\theta_{1}(k)-\theta_{2}(k^{\prime}))}\}\!\!>_{t}\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E30.m1.79d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL roman_Φ start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( roman_Δ italic_t ) = end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_k start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUBSCRIPT italic_N end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT < roman_ℜ { italic_H ( italic_t , italic_k italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ) italic_H ( italic_t - roman_Δ italic_t , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k ) + italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ) end_POSTSUPERSCRIPT } > start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT + end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL < roman_ℜ { italic_H ( italic_t , italic_k italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ) italic_H start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t - roman_Δ italic_t , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k ) - italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) ) end_POSTSUPERSCRIPT } > start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(30)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Sx1.p5.11">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A0.E31"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\theta_{1}(k)+\theta_{2}(k^{\prime})&=2\pi(k+k^{\prime})\delta_{f% }t-2\pi k^{\prime}\delta_{f}\Delta t+\Psi_{k}+\Psi_{k^{\prime}},\\ \theta_{1}(k)-\theta_{2}(k^{\prime})&=2\pi(k-k^{\prime})\delta_{f}t+2\pi k^{% \prime}\delta_{f}\Delta t+\Psi_{k}-\Psi_{k^{\prime}}.\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="A0.E31.m1.85"><semantics id="A0.E31.m1.85a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="A0.E31.m1.85.85.5" rowspacing="0pt"><mtr id="A0.E31.m1.85.85.5a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="A0.E31.m1.85.85.5b"><mrow id="A0.E31.m1.82.82.2.81.41.13"><mrow id="A0.E31.m1.82.82.2.81.41.13.14"><msub id="A0.E31.m1.82.82.2.81.41.13.14.2"><mi id="A0.E31.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.E31.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">θ</mi><mn id="A0.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="A0.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">1</mn></msub><mo id="A0.E31.m1.82.82.2.81.41.13.14.1">⁢</mo><mrow id="A0.E31.m1.82.82.2.81.41.13.14.3"><mo id="A0.E31.m1.3.3.3.3.3.3" stretchy="false">(</mo><mi id="A0.E31.m1.4.4.4.4.4.4" xref="A0.E31.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">k</mi><mo id="A0.E31.m1.5.5.5.5.5.5" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E31.m1.6.6.6.6.6.6" xref="A0.E31.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">+</mo><mrow id="A0.E31.m1.82.82.2.81.41.13.13"><msub id="A0.E31.m1.82.82.2.81.41.13.13.3"><mi id="A0.E31.m1.7.7.7.7.7.7" xref="A0.E31.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">θ</mi><mn id="A0.E31.m1.8.8.8.8.8.8.1" xref="A0.E31.m1.8.8.8.8.8.8.1.cmml">2</mn></msub><mo id="A0.E31.m1.82.82.2.81.41.13.13.2">⁢</mo><mrow id="A0.E31.m1.82.82.2.81.41.13.13.1.1"><mo id="A0.E31.m1.9.9.9.9.9.9" stretchy="false">(</mo><msup id="A0.E31.m1.82.82.2.81.41.13.13.1.1.1"><mi id="A0.E31.m1.10.10.10.10.10.10" xref="A0.E31.m1.10.10.10.10.10.10.cmml">k</mi><mo id="A0.E31.m1.11.11.11.11.11.11.1" xref="A0.E31.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.E31.m1.12.12.12.12.12.12" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A0.E31.m1.85.85.5c"><mrow id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29"><mrow id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1"><mi id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.2"></mi><mo id="A0.E31.m1.13.13.13.13.1.1" xref="A0.E31.m1.13.13.13.13.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1"><mrow id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1"><mrow id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.1"><mn id="A0.E31.m1.14.14.14.14.2.2" xref="A0.E31.m1.14.14.14.14.2.2.cmml">2</mn><mo id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.1.2">⁢</mo><mi id="A0.E31.m1.15.15.15.15.3.3" xref="A0.E31.m1.15.15.15.15.3.3.cmml">π</mi><mo id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.1.2a">⁢</mo><mrow id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.1.1.1"><mo id="A0.E31.m1.16.16.16.16.4.4" stretchy="false">(</mo><mrow id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A0.E31.m1.17.17.17.17.5.5" xref="A0.E31.m1.17.17.17.17.5.5.cmml">k</mi><mo id="A0.E31.m1.18.18.18.18.6.6" xref="A0.E31.m1.18.18.18.18.6.6.cmml">+</mo><msup id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A0.E31.m1.19.19.19.19.7.7" xref="A0.E31.m1.19.19.19.19.7.7.cmml">k</mi><mo id="A0.E31.m1.20.20.20.20.8.8.1" xref="A0.E31.m1.20.20.20.20.8.8.1.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="A0.E31.m1.21.21.21.21.9.9" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.1.2b">⁢</mo><msub id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.1.3"><mi id="A0.E31.m1.22.22.22.22.10.10" xref="A0.E31.m1.22.22.22.22.10.10.cmml">δ</mi><mi id="A0.E31.m1.23.23.23.23.11.11.1" xref="A0.E31.m1.23.23.23.23.11.11.1.cmml">f</mi></msub><mo id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.1.2c">⁢</mo><mi id="A0.E31.m1.24.24.24.24.12.12" xref="A0.E31.m1.24.24.24.24.12.12.cmml">t</mi></mrow><mo id="A0.E31.m1.25.25.25.25.13.13" xref="A0.E31.m1.25.25.25.25.13.13.cmml">−</mo><mrow id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.2"><mn id="A0.E31.m1.26.26.26.26.14.14" xref="A0.E31.m1.26.26.26.26.14.14.cmml">2</mn><mo id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.2.1">⁢</mo><mi id="A0.E31.m1.27.27.27.27.15.15" xref="A0.E31.m1.27.27.27.27.15.15.cmml">π</mi><mo id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.2.1a">⁢</mo><msup id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.2.2"><mi id="A0.E31.m1.28.28.28.28.16.16" xref="A0.E31.m1.28.28.28.28.16.16.cmml">k</mi><mo id="A0.E31.m1.29.29.29.29.17.17.1" xref="A0.E31.m1.29.29.29.29.17.17.1.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.2.1b">⁢</mo><msub id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.2.3"><mi id="A0.E31.m1.30.30.30.30.18.18" xref="A0.E31.m1.30.30.30.30.18.18.cmml">δ</mi><mi id="A0.E31.m1.31.31.31.31.19.19.1" xref="A0.E31.m1.31.31.31.31.19.19.1.cmml">f</mi></msub><mo id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.2.1c">⁢</mo><mi id="A0.E31.m1.32.32.32.32.20.20" mathvariant="normal" xref="A0.E31.m1.32.32.32.32.20.20.cmml">Δ</mi><mo id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.1.2.1d">⁢</mo><mi id="A0.E31.m1.33.33.33.33.21.21" xref="A0.E31.m1.33.33.33.33.21.21.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="A0.E31.m1.34.34.34.34.22.22" xref="A0.E31.m1.34.34.34.34.22.22.cmml">+</mo><msub id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.2"><mi id="A0.E31.m1.35.35.35.35.23.23" mathvariant="normal" xref="A0.E31.m1.35.35.35.35.23.23.cmml">Ψ</mi><mi id="A0.E31.m1.36.36.36.36.24.24.1" xref="A0.E31.m1.36.36.36.36.24.24.1.cmml">k</mi></msub><mo id="A0.E31.m1.34.34.34.34.22.22a" xref="A0.E31.m1.34.34.34.34.22.22.cmml">+</mo><msub id="A0.E31.m1.83.83.3.82.42.29.29.1.1.3"><mi id="A0.E31.m1.38.38.38.38.26.26" mathvariant="normal" xref="A0.E31.m1.38.38.38.38.26.26.cmml">Ψ</mi><msup id="A0.E31.m1.39.39.39.39.27.27.1" xref="A0.E31.m1.39.39.39.39.27.27.1.cmml"><mi id="A0.E31.m1.39.39.39.39.27.27.1.2" xref="A0.E31.m1.39.39.39.39.27.27.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.E31.m1.39.39.39.39.27.27.1.3" xref="A0.E31.m1.39.39.39.39.27.27.1.3.cmml">′</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="A0.E31.m1.40.40.40.40.28.28">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="A0.E31.m1.85.85.5d"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="A0.E31.m1.85.85.5e"><mrow id="A0.E31.m1.84.84.4.83.41.13"><mrow id="A0.E31.m1.84.84.4.83.41.13.14"><msub id="A0.E31.m1.84.84.4.83.41.13.14.2"><mi id="A0.E31.m1.41.41.41.1.1.1" xref="A0.E31.m1.41.41.41.1.1.1.cmml">θ</mi><mn id="A0.E31.m1.42.42.42.2.2.2.1" xref="A0.E31.m1.42.42.42.2.2.2.1.cmml">1</mn></msub><mo id="A0.E31.m1.84.84.4.83.41.13.14.1">⁢</mo><mrow id="A0.E31.m1.84.84.4.83.41.13.14.3"><mo id="A0.E31.m1.43.43.43.3.3.3" stretchy="false">(</mo><mi id="A0.E31.m1.44.44.44.4.4.4" xref="A0.E31.m1.44.44.44.4.4.4.cmml">k</mi><mo id="A0.E31.m1.45.45.45.5.5.5" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.E31.m1.46.46.46.6.6.6" xref="A0.E31.m1.46.46.46.6.6.6.cmml">−</mo><mrow id="A0.E31.m1.84.84.4.83.41.13.13"><msub id="A0.E31.m1.84.84.4.83.41.13.13.3"><mi id="A0.E31.m1.47.47.47.7.7.7" xref="A0.E31.m1.47.47.47.7.7.7.cmml">θ</mi><mn id="A0.E31.m1.48.48.48.8.8.8.1" xref="A0.E31.m1.48.48.48.8.8.8.1.cmml">2</mn></msub><mo id="A0.E31.m1.84.84.4.83.41.13.13.2">⁢</mo><mrow id="A0.E31.m1.84.84.4.83.41.13.13.1.1"><mo id="A0.E31.m1.49.49.49.9.9.9" stretchy="false">(</mo><msup id="A0.E31.m1.84.84.4.83.41.13.13.1.1.1"><mi id="A0.E31.m1.50.50.50.10.10.10" xref="A0.E31.m1.50.50.50.10.10.10.cmml">k</mi><mo id="A0.E31.m1.51.51.51.11.11.11.1" xref="A0.E31.m1.51.51.51.11.11.11.1.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.E31.m1.52.52.52.12.12.12" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A0.E31.m1.85.85.5f"><mrow id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29"><mrow id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1"><mi id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.2"></mi><mo id="A0.E31.m1.53.53.53.13.1.1" xref="A0.E31.m1.53.53.53.13.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1"><mrow id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1"><mrow id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.1"><mn id="A0.E31.m1.54.54.54.14.2.2" xref="A0.E31.m1.54.54.54.14.2.2.cmml">2</mn><mo id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.1.2">⁢</mo><mi id="A0.E31.m1.55.55.55.15.3.3" xref="A0.E31.m1.55.55.55.15.3.3.cmml">π</mi><mo id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.1.2a">⁢</mo><mrow id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.1.1.1"><mo id="A0.E31.m1.56.56.56.16.4.4" stretchy="false">(</mo><mrow id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A0.E31.m1.57.57.57.17.5.5" xref="A0.E31.m1.57.57.57.17.5.5.cmml">k</mi><mo id="A0.E31.m1.58.58.58.18.6.6" xref="A0.E31.m1.58.58.58.18.6.6.cmml">−</mo><msup id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A0.E31.m1.59.59.59.19.7.7" xref="A0.E31.m1.59.59.59.19.7.7.cmml">k</mi><mo id="A0.E31.m1.60.60.60.20.8.8.1" xref="A0.E31.m1.60.60.60.20.8.8.1.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="A0.E31.m1.61.61.61.21.9.9" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.1.2b">⁢</mo><msub id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.1.3"><mi id="A0.E31.m1.62.62.62.22.10.10" xref="A0.E31.m1.62.62.62.22.10.10.cmml">δ</mi><mi id="A0.E31.m1.63.63.63.23.11.11.1" xref="A0.E31.m1.63.63.63.23.11.11.1.cmml">f</mi></msub><mo id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.1.2c">⁢</mo><mi id="A0.E31.m1.64.64.64.24.12.12" xref="A0.E31.m1.64.64.64.24.12.12.cmml">t</mi></mrow><mo id="A0.E31.m1.65.65.65.25.13.13" xref="A0.E31.m1.65.65.65.25.13.13.cmml">+</mo><mrow id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.2"><mn id="A0.E31.m1.66.66.66.26.14.14" xref="A0.E31.m1.66.66.66.26.14.14.cmml">2</mn><mo id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.2.1">⁢</mo><mi id="A0.E31.m1.67.67.67.27.15.15" xref="A0.E31.m1.67.67.67.27.15.15.cmml">π</mi><mo id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.2.1a">⁢</mo><msup id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.2.2"><mi id="A0.E31.m1.68.68.68.28.16.16" xref="A0.E31.m1.68.68.68.28.16.16.cmml">k</mi><mo id="A0.E31.m1.69.69.69.29.17.17.1" xref="A0.E31.m1.69.69.69.29.17.17.1.cmml">′</mo></msup><mo id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.2.1b">⁢</mo><msub id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.2.3"><mi id="A0.E31.m1.70.70.70.30.18.18" xref="A0.E31.m1.70.70.70.30.18.18.cmml">δ</mi><mi id="A0.E31.m1.71.71.71.31.19.19.1" xref="A0.E31.m1.71.71.71.31.19.19.1.cmml">f</mi></msub><mo id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.2.1c">⁢</mo><mi id="A0.E31.m1.72.72.72.32.20.20" mathvariant="normal" xref="A0.E31.m1.72.72.72.32.20.20.cmml">Δ</mi><mo id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.2.1d">⁢</mo><mi id="A0.E31.m1.73.73.73.33.21.21" xref="A0.E31.m1.73.73.73.33.21.21.cmml">t</mi></mrow><mo id="A0.E31.m1.65.65.65.25.13.13a" xref="A0.E31.m1.65.65.65.25.13.13.cmml">+</mo><msub id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.1.3"><mi id="A0.E31.m1.75.75.75.35.23.23" mathvariant="normal" xref="A0.E31.m1.75.75.75.35.23.23.cmml">Ψ</mi><mi id="A0.E31.m1.76.76.76.36.24.24.1" xref="A0.E31.m1.76.76.76.36.24.24.1.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="A0.E31.m1.77.77.77.37.25.25" xref="A0.E31.m1.77.77.77.37.25.25.cmml">−</mo><msub id="A0.E31.m1.85.85.5.84.42.29.29.1.1.2"><mi id="A0.E31.m1.78.78.78.38.26.26" mathvariant="normal" xref="A0.E31.m1.78.78.78.38.26.26.cmml">Ψ</mi><msup id="A0.E31.m1.79.79.79.39.27.27.1" xref="A0.E31.m1.79.79.79.39.27.27.1.cmml"><mi id="A0.E31.m1.79.79.79.39.27.27.1.2" xref="A0.E31.m1.79.79.79.39.27.27.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.E31.m1.79.79.79.39.27.27.1.3" xref="A0.E31.m1.79.79.79.39.27.27.1.3.cmml">′</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="A0.E31.m1.80.80.80.40.28.28" lspace="0em">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.E31.m1.85b"><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.cmml"><eq id="A0.E31.m1.13.13.13.13.1.1.cmml" xref="A0.E31.m1.13.13.13.13.1.1"></eq><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.1.cmml"><plus id="A0.E31.m1.6.6.6.6.6.6.cmml" xref="A0.E31.m1.6.6.6.6.6.6"></plus><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><times id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></times><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.E31.m1.1.1.1.1.1.1">𝜃</ci><cn id="A0.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" type="integer" xref="A0.E31.m1.2.2.2.2.2.2.1">1</cn></apply><ci id="A0.E31.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="A0.E31.m1.4.4.4.4.4.4">𝑘</ci></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><times id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></times><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.7.7.7.7.7.7.cmml" xref="A0.E31.m1.7.7.7.7.7.7">𝜃</ci><cn id="A0.E31.m1.8.8.8.8.8.8.1.cmml" type="integer" xref="A0.E31.m1.8.8.8.8.8.8.1">2</cn></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.10.10.10.10.10.10.cmml" xref="A0.E31.m1.10.10.10.10.10.10">𝑘</ci><ci id="A0.E31.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml" xref="A0.E31.m1.11.11.11.11.11.11.1">′</ci></apply></apply></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.cmml"><plus id="A0.E31.m1.34.34.34.34.22.22.cmml" xref="A0.E31.m1.34.34.34.34.22.22"></plus><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><minus id="A0.E31.m1.25.25.25.25.13.13.cmml" xref="A0.E31.m1.25.25.25.25.13.13"></minus><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><times id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"></times><cn id="A0.E31.m1.14.14.14.14.2.2.cmml" type="integer" xref="A0.E31.m1.14.14.14.14.2.2">2</cn><ci id="A0.E31.m1.15.15.15.15.3.3.cmml" xref="A0.E31.m1.15.15.15.15.3.3">𝜋</ci><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><plus id="A0.E31.m1.18.18.18.18.6.6.cmml" xref="A0.E31.m1.18.18.18.18.6.6"></plus><ci id="A0.E31.m1.17.17.17.17.5.5.cmml" xref="A0.E31.m1.17.17.17.17.5.5">𝑘</ci><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.19.19.19.19.7.7.cmml" xref="A0.E31.m1.19.19.19.19.7.7">𝑘</ci><ci id="A0.E31.m1.20.20.20.20.8.8.1.cmml" xref="A0.E31.m1.20.20.20.20.8.8.1">′</ci></apply></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.1.1.5.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.1.1.5.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.22.22.22.22.10.10.cmml" xref="A0.E31.m1.22.22.22.22.10.10">𝛿</ci><ci id="A0.E31.m1.23.23.23.23.11.11.1.cmml" xref="A0.E31.m1.23.23.23.23.11.11.1">𝑓</ci></apply><ci id="A0.E31.m1.24.24.24.24.12.12.cmml" xref="A0.E31.m1.24.24.24.24.12.12">𝑡</ci></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><times id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml"></times><cn id="A0.E31.m1.26.26.26.26.14.14.cmml" type="integer" xref="A0.E31.m1.26.26.26.26.14.14">2</cn><ci id="A0.E31.m1.27.27.27.27.15.15.cmml" xref="A0.E31.m1.27.27.27.27.15.15">𝜋</ci><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.1.3.4.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.1.3.4.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.28.28.28.28.16.16.cmml" xref="A0.E31.m1.28.28.28.28.16.16">𝑘</ci><ci id="A0.E31.m1.29.29.29.29.17.17.1.cmml" xref="A0.E31.m1.29.29.29.29.17.17.1">′</ci></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.1.3.5.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.1.3.5.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.30.30.30.30.18.18.cmml" xref="A0.E31.m1.30.30.30.30.18.18">𝛿</ci><ci id="A0.E31.m1.31.31.31.31.19.19.1.cmml" xref="A0.E31.m1.31.31.31.31.19.19.1">𝑓</ci></apply><ci id="A0.E31.m1.32.32.32.32.20.20.cmml" xref="A0.E31.m1.32.32.32.32.20.20">Δ</ci><ci id="A0.E31.m1.33.33.33.33.21.21.cmml" xref="A0.E31.m1.33.33.33.33.21.21">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.35.35.35.35.23.23.cmml" xref="A0.E31.m1.35.35.35.35.23.23">Ψ</ci><ci id="A0.E31.m1.36.36.36.36.24.24.1.cmml" xref="A0.E31.m1.36.36.36.36.24.24.1">𝑘</ci></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.38.38.38.38.26.26.cmml" xref="A0.E31.m1.38.38.38.38.26.26">Ψ</ci><apply id="A0.E31.m1.39.39.39.39.27.27.1.cmml" xref="A0.E31.m1.39.39.39.39.27.27.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.39.39.39.39.27.27.1.1.cmml" xref="A0.E31.m1.39.39.39.39.27.27.1">superscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.39.39.39.39.27.27.1.2.cmml" xref="A0.E31.m1.39.39.39.39.27.27.1.2">𝑘</ci><ci id="A0.E31.m1.39.39.39.39.27.27.1.3.cmml" xref="A0.E31.m1.39.39.39.39.27.27.1.3">′</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.cmml"><eq id="A0.E31.m1.53.53.53.13.1.1.cmml" xref="A0.E31.m1.53.53.53.13.1.1"></eq><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.cmml"><minus id="A0.E31.m1.46.46.46.6.6.6.cmml" xref="A0.E31.m1.46.46.46.6.6.6"></minus><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.3.cmml"><times id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.3.1.cmml"></times><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.3.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.41.41.41.1.1.1.cmml" xref="A0.E31.m1.41.41.41.1.1.1">𝜃</ci><cn id="A0.E31.m1.42.42.42.2.2.2.1.cmml" type="integer" xref="A0.E31.m1.42.42.42.2.2.2.1">1</cn></apply><ci id="A0.E31.m1.44.44.44.4.4.4.cmml" xref="A0.E31.m1.44.44.44.4.4.4">𝑘</ci></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><times id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"></times><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.47.47.47.7.7.7.cmml" xref="A0.E31.m1.47.47.47.7.7.7">𝜃</ci><cn id="A0.E31.m1.48.48.48.8.8.8.1.cmml" type="integer" xref="A0.E31.m1.48.48.48.8.8.8.1">2</cn></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.50.50.50.10.10.10.cmml" xref="A0.E31.m1.50.50.50.10.10.10">𝑘</ci><ci id="A0.E31.m1.51.51.51.11.11.11.1.cmml" xref="A0.E31.m1.51.51.51.11.11.11.1">′</ci></apply></apply></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.cmml"><minus id="A0.E31.m1.77.77.77.37.25.25.cmml" xref="A0.E31.m1.77.77.77.37.25.25"></minus><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><plus id="A0.E31.m1.65.65.65.25.13.13.cmml" xref="A0.E31.m1.65.65.65.25.13.13"></plus><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><times id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"></times><cn id="A0.E31.m1.54.54.54.14.2.2.cmml" type="integer" xref="A0.E31.m1.54.54.54.14.2.2">2</cn><ci id="A0.E31.m1.55.55.55.15.3.3.cmml" xref="A0.E31.m1.55.55.55.15.3.3">𝜋</ci><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><minus id="A0.E31.m1.58.58.58.18.6.6.cmml" xref="A0.E31.m1.58.58.58.18.6.6"></minus><ci id="A0.E31.m1.57.57.57.17.5.5.cmml" xref="A0.E31.m1.57.57.57.17.5.5">𝑘</ci><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.59.59.59.19.7.7.cmml" xref="A0.E31.m1.59.59.59.19.7.7">𝑘</ci><ci id="A0.E31.m1.60.60.60.20.8.8.1.cmml" xref="A0.E31.m1.60.60.60.20.8.8.1">′</ci></apply></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.1.1.5.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.1.1.5.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.62.62.62.22.10.10.cmml" xref="A0.E31.m1.62.62.62.22.10.10">𝛿</ci><ci id="A0.E31.m1.63.63.63.23.11.11.1.cmml" xref="A0.E31.m1.63.63.63.23.11.11.1">𝑓</ci></apply><ci id="A0.E31.m1.64.64.64.24.12.12.cmml" xref="A0.E31.m1.64.64.64.24.12.12">𝑡</ci></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml"><times id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.1.3.1.cmml"></times><cn id="A0.E31.m1.66.66.66.26.14.14.cmml" type="integer" xref="A0.E31.m1.66.66.66.26.14.14">2</cn><ci id="A0.E31.m1.67.67.67.27.15.15.cmml" xref="A0.E31.m1.67.67.67.27.15.15">𝜋</ci><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.1.3.4.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.1.3.4.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.68.68.68.28.16.16.cmml" xref="A0.E31.m1.68.68.68.28.16.16">𝑘</ci><ci id="A0.E31.m1.69.69.69.29.17.17.1.cmml" xref="A0.E31.m1.69.69.69.29.17.17.1">′</ci></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.1.3.5.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.1.3.5.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.70.70.70.30.18.18.cmml" xref="A0.E31.m1.70.70.70.30.18.18">𝛿</ci><ci id="A0.E31.m1.71.71.71.31.19.19.1.cmml" xref="A0.E31.m1.71.71.71.31.19.19.1">𝑓</ci></apply><ci id="A0.E31.m1.72.72.72.32.20.20.cmml" xref="A0.E31.m1.72.72.72.32.20.20">Δ</ci><ci id="A0.E31.m1.73.73.73.33.21.21.cmml" xref="A0.E31.m1.73.73.73.33.21.21">𝑡</ci></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.1.4.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.1.4.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.75.75.75.35.23.23.cmml" xref="A0.E31.m1.75.75.75.35.23.23">Ψ</ci><ci id="A0.E31.m1.76.76.76.36.24.24.1.cmml" xref="A0.E31.m1.76.76.76.36.24.24.1">𝑘</ci></apply></apply><apply id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.78.78.78.38.26.26.cmml" xref="A0.E31.m1.78.78.78.38.26.26">Ψ</ci><apply id="A0.E31.m1.79.79.79.39.27.27.1.cmml" xref="A0.E31.m1.79.79.79.39.27.27.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.E31.m1.79.79.79.39.27.27.1.1.cmml" xref="A0.E31.m1.79.79.79.39.27.27.1">superscript</csymbol><ci id="A0.E31.m1.79.79.79.39.27.27.1.2.cmml" xref="A0.E31.m1.79.79.79.39.27.27.1.2">𝑘</ci><ci id="A0.E31.m1.79.79.79.39.27.27.1.3.cmml" xref="A0.E31.m1.79.79.79.39.27.27.1.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A0.E31.m1.85c">\begin{split}\theta_{1}(k)+\theta_{2}(k^{\prime})&=2\pi(k+k^{\prime})\delta_{f% }t-2\pi k^{\prime}\delta_{f}\Delta t+\Psi_{k}+\Psi_{k^{\prime}},\\ \theta_{1}(k)-\theta_{2}(k^{\prime})&=2\pi(k-k^{\prime})\delta_{f}t+2\pi k^{% \prime}\delta_{f}\Delta t+\Psi_{k}-\Psi_{k^{\prime}}.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A0.E31.m1.85d">start_ROW start_CELL italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k ) + italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_CELL start_CELL = 2 italic_π ( italic_k + italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT italic_t - 2 italic_π italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT roman_Δ italic_t + roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k ) - italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_CELL start_CELL = 2 italic_π ( italic_k - italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT italic_t + 2 italic_π italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT roman_Δ italic_t + roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - roman_Ψ start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(31)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Sx1.p5.9">Let’s assume that <math alttext="H(t,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.p5.4.m1.2"><semantics id="Sx1.p5.4.m1.2a"><mrow id="Sx1.p5.4.m1.2.3" xref="Sx1.p5.4.m1.2.3.cmml"><mi id="Sx1.p5.4.m1.2.3.2" xref="Sx1.p5.4.m1.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="Sx1.p5.4.m1.2.3.1" xref="Sx1.p5.4.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Sx1.p5.4.m1.2.3.3.2" xref="Sx1.p5.4.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="Sx1.p5.4.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Sx1.p5.4.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="Sx1.p5.4.m1.1.1" xref="Sx1.p5.4.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="Sx1.p5.4.m1.2.3.3.2.2" xref="Sx1.p5.4.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="Sx1.p5.4.m1.2.2" xref="Sx1.p5.4.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="Sx1.p5.4.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Sx1.p5.4.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.p5.4.m1.2b"><apply id="Sx1.p5.4.m1.2.3.cmml" xref="Sx1.p5.4.m1.2.3"><times id="Sx1.p5.4.m1.2.3.1.cmml" xref="Sx1.p5.4.m1.2.3.1"></times><ci id="Sx1.p5.4.m1.2.3.2.cmml" xref="Sx1.p5.4.m1.2.3.2">𝐻</ci><interval closure="open" id="Sx1.p5.4.m1.2.3.3.1.cmml" xref="Sx1.p5.4.m1.2.3.3.2"><ci id="Sx1.p5.4.m1.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.4.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="Sx1.p5.4.m1.2.2.cmml" xref="Sx1.p5.4.m1.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.p5.4.m1.2c">H(t,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.p5.4.m1.2d">italic_H ( italic_t , italic_f )</annotation></semantics></math> varies with time much slower than any of the complex exponentials in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#A0.E30" title="In Acknowledgment ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">30</span></a>), which have the general form <math alttext="e^{j2\pi m\delta_{f}t+\psi}" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.p5.5.m2.1"><semantics id="Sx1.p5.5.m2.1a"><msup id="Sx1.p5.5.m2.1.1" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.cmml"><mi id="Sx1.p5.5.m2.1.1.2" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.cmml"><mrow id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.2" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.1" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mn id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.3" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn><mo id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.1a" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.4" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.4.cmml">π</mi><mo id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.1b" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.5" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.5.cmml">m</mi><mo id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.1c" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.6" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.6.cmml"><mi id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.6.2" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.6.2.cmml">δ</mi><mi id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.6.3" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.6.3.cmml">f</mi></msub><mo id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.1d" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.7" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.7.cmml">t</mi></mrow><mo id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.1" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.3" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.3.cmml">ψ</mi></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.p5.5.m2.1b"><apply id="Sx1.p5.5.m2.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.p5.5.m2.1.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="Sx1.p5.5.m2.1.1.2.cmml" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.2">𝑒</ci><apply id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.cmml" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3"><plus id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.1"></plus><apply id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2"><times id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.1"></times><ci id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.2">𝑗</ci><cn id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.3">2</cn><ci id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.4.cmml" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.4">𝜋</ci><ci id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.5.cmml" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.5">𝑚</ci><apply id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.6.cmml" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.6.1.cmml" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.6">subscript</csymbol><ci id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.6.2.cmml" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.6.2">𝛿</ci><ci id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.6.3.cmml" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.6.3">𝑓</ci></apply><ci id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.7.cmml" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.2.7">𝑡</ci></apply><ci id="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Sx1.p5.5.m2.1.1.3.3">𝜓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.p5.5.m2.1c">e^{j2\pi m\delta_{f}t+\psi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.p5.5.m2.1d">italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π italic_m italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT italic_t + italic_ψ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. This means that <math alttext="H(t,f)" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.p5.6.m3.2"><semantics id="Sx1.p5.6.m3.2a"><mrow id="Sx1.p5.6.m3.2.3" xref="Sx1.p5.6.m3.2.3.cmml"><mi id="Sx1.p5.6.m3.2.3.2" xref="Sx1.p5.6.m3.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="Sx1.p5.6.m3.2.3.1" xref="Sx1.p5.6.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Sx1.p5.6.m3.2.3.3.2" xref="Sx1.p5.6.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="Sx1.p5.6.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Sx1.p5.6.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="Sx1.p5.6.m3.1.1" xref="Sx1.p5.6.m3.1.1.cmml">t</mi><mo id="Sx1.p5.6.m3.2.3.3.2.2" xref="Sx1.p5.6.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="Sx1.p5.6.m3.2.2" xref="Sx1.p5.6.m3.2.2.cmml">f</mi><mo id="Sx1.p5.6.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Sx1.p5.6.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.p5.6.m3.2b"><apply id="Sx1.p5.6.m3.2.3.cmml" xref="Sx1.p5.6.m3.2.3"><times id="Sx1.p5.6.m3.2.3.1.cmml" xref="Sx1.p5.6.m3.2.3.1"></times><ci id="Sx1.p5.6.m3.2.3.2.cmml" xref="Sx1.p5.6.m3.2.3.2">𝐻</ci><interval closure="open" id="Sx1.p5.6.m3.2.3.3.1.cmml" xref="Sx1.p5.6.m3.2.3.3.2"><ci id="Sx1.p5.6.m3.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.6.m3.1.1">𝑡</ci><ci id="Sx1.p5.6.m3.2.2.cmml" xref="Sx1.p5.6.m3.2.2">𝑓</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.p5.6.m3.2c">H(t,f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.p5.6.m3.2d">italic_H ( italic_t , italic_f )</annotation></semantics></math> can be considered as a constant in any period <math alttext="1/(m\delta_{f})" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.p5.7.m4.1"><semantics id="Sx1.p5.7.m4.1a"><mrow id="Sx1.p5.7.m4.1.1" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.cmml"><mn id="Sx1.p5.7.m4.1.1.3" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="Sx1.p5.7.m4.1.1.2" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.2" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.1" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.3" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.3.2" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mi id="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.3.3" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.p5.7.m4.1b"><apply id="Sx1.p5.7.m4.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1"><divide id="Sx1.p5.7.m4.1.1.2.cmml" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.2"></divide><cn id="Sx1.p5.7.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.3">1</cn><apply id="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1"><times id="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><apply id="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><ci id="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Sx1.p5.7.m4.1.1.1.1.1.3.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.p5.7.m4.1c">1/(m\delta_{f})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.p5.7.m4.1d">1 / ( italic_m italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and therefore, the time average of every addend in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#A0.E30" title="In Acknowledgment ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">30</span></a>) is approximately zero except for the case <math alttext="m=0" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.p5.8.m5.1"><semantics id="Sx1.p5.8.m5.1a"><mrow id="Sx1.p5.8.m5.1.1" xref="Sx1.p5.8.m5.1.1.cmml"><mi id="Sx1.p5.8.m5.1.1.2" xref="Sx1.p5.8.m5.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="Sx1.p5.8.m5.1.1.1" xref="Sx1.p5.8.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="Sx1.p5.8.m5.1.1.3" xref="Sx1.p5.8.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.p5.8.m5.1b"><apply id="Sx1.p5.8.m5.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.8.m5.1.1"><eq id="Sx1.p5.8.m5.1.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.8.m5.1.1.1"></eq><ci id="Sx1.p5.8.m5.1.1.2.cmml" xref="Sx1.p5.8.m5.1.1.2">𝑚</ci><cn id="Sx1.p5.8.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Sx1.p5.8.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.p5.8.m5.1c">m=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.p5.8.m5.1d">italic_m = 0</annotation></semantics></math>, i.e. <math alttext="k^{\prime}=k" class="ltx_Math" display="inline" id="Sx1.p5.9.m6.1"><semantics id="Sx1.p5.9.m6.1a"><mrow id="Sx1.p5.9.m6.1.1" xref="Sx1.p5.9.m6.1.1.cmml"><msup id="Sx1.p5.9.m6.1.1.2" xref="Sx1.p5.9.m6.1.1.2.cmml"><mi id="Sx1.p5.9.m6.1.1.2.2" xref="Sx1.p5.9.m6.1.1.2.2.cmml">k</mi><mo id="Sx1.p5.9.m6.1.1.2.3" xref="Sx1.p5.9.m6.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="Sx1.p5.9.m6.1.1.1" xref="Sx1.p5.9.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="Sx1.p5.9.m6.1.1.3" xref="Sx1.p5.9.m6.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Sx1.p5.9.m6.1b"><apply id="Sx1.p5.9.m6.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.9.m6.1.1"><eq id="Sx1.p5.9.m6.1.1.1.cmml" xref="Sx1.p5.9.m6.1.1.1"></eq><apply id="Sx1.p5.9.m6.1.1.2.cmml" xref="Sx1.p5.9.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Sx1.p5.9.m6.1.1.2.1.cmml" xref="Sx1.p5.9.m6.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="Sx1.p5.9.m6.1.1.2.2.cmml" xref="Sx1.p5.9.m6.1.1.2.2">𝑘</ci><ci id="Sx1.p5.9.m6.1.1.2.3.cmml" xref="Sx1.p5.9.m6.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="Sx1.p5.9.m6.1.1.3.cmml" xref="Sx1.p5.9.m6.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Sx1.p5.9.m6.1c">k^{\prime}=k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Sx1.p5.9.m6.1d">italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_k</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#A0.E31" title="In Acknowledgment ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">31</span></a>). With this assumption we can simplify (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#A0.E30" title="In Acknowledgment ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">30</span></a>) resulting in the expression shown in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#S3.E11" title="In III-B Channel sounding signals ‣ III Channel estimation system ‣ Wideband Ultrasonic Acoustic Underwater Channels: Measurements and Characterization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>), this is</p> </div> <div class="ltx_para" id="Sx1.p6"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A0.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}&\Phi^{(t)}_{y}(\Delta t)\approx\\ &\sum_{k=k_{1}}^{k_{N}}\tfrac{1}{2}\Re\{<H(t,k\delta_{f})H^{*}(t-\Delta t,k% \delta_{f})>_{t}e^{j(2\pi k\delta_{f}\Delta t)}\}=\\ &\sum_{k=k_{1}}^{k_{N}}\tfrac{1}{2}\Re\{\Phi^{(t)}_{H}(\Delta t,k\delta_{f})e^% {j(2\pi k\delta_{f}\Delta t)}\}.\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="A0.Ex3.m1.66"><semantics id="A0.Ex3.m1.66a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="A0.Ex3.m1.66.66.4" rowspacing="0pt"><mtr id="A0.Ex3.m1.66.66.4a"><mtd id="A0.Ex3.m1.66.66.4b" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A0.Ex3.m1.66.66.4c"><mrow id="A0.Ex3.m1.64.64.2.63.9.9"><mrow id="A0.Ex3.m1.64.64.2.63.9.9.9"><msubsup id="A0.Ex3.m1.64.64.2.63.9.9.9.3"><mi id="A0.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="A0.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">Φ</mi><mi id="A0.Ex3.m1.3.3.3.3.3.3.1" xref="A0.Ex3.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml">y</mi><mrow id="A0.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2.1.3"><mo id="A0.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A0.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="A0.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="A0.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex3.m1.64.64.2.63.9.9.9.2" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.64.64.2.63.9.9.9.1.1"><mo id="A0.Ex3.m1.4.4.4.4.4.4" stretchy="false" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.64.64.2.63.9.9.9.1.1.1"><mi id="A0.Ex3.m1.5.5.5.5.5.5" mathvariant="normal" xref="A0.Ex3.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">Δ</mi><mo id="A0.Ex3.m1.64.64.2.63.9.9.9.1.1.1.1" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex3.m1.6.6.6.6.6.6" xref="A0.Ex3.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">t</mi></mrow><mo id="A0.Ex3.m1.7.7.7.7.7.7" stretchy="false" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A0.Ex3.m1.8.8.8.8.8.8" xref="A0.Ex3.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">≈</mo><mi id="A0.Ex3.m1.64.64.2.63.9.9.10" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml"></mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="A0.Ex3.m1.66.66.4d"><mtd id="A0.Ex3.m1.66.66.4e" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A0.Ex3.m1.66.66.4f"><mrow id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34"><mrow id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34"><munderover id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.2"><mo id="A0.Ex3.m1.9.9.9.1.1.1" movablelimits="false" xref="A0.Ex3.m1.9.9.9.1.1.1.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.10.10.10.2.2.2.1" xref="A0.Ex3.m1.10.10.10.2.2.2.1.cmml"><mi id="A0.Ex3.m1.10.10.10.2.2.2.1.2" xref="A0.Ex3.m1.10.10.10.2.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex3.m1.10.10.10.2.2.2.1.1" xref="A0.Ex3.m1.10.10.10.2.2.2.1.1.cmml">=</mo><msub id="A0.Ex3.m1.10.10.10.2.2.2.1.3" xref="A0.Ex3.m1.10.10.10.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex3.m1.10.10.10.2.2.2.1.3.2" xref="A0.Ex3.m1.10.10.10.2.2.2.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="A0.Ex3.m1.10.10.10.2.2.2.1.3.3" xref="A0.Ex3.m1.10.10.10.2.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msub id="A0.Ex3.m1.11.11.11.3.3.3.1" xref="A0.Ex3.m1.11.11.11.3.3.3.1.cmml"><mi id="A0.Ex3.m1.11.11.11.3.3.3.1.2" xref="A0.Ex3.m1.11.11.11.3.3.3.1.2.cmml">k</mi><mi id="A0.Ex3.m1.11.11.11.3.3.3.1.3" xref="A0.Ex3.m1.11.11.11.3.3.3.1.3.cmml">N</mi></msub></munderover><mrow id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1"><mstyle displaystyle="false" id="A0.Ex3.m1.12.12.12.4.4.4" xref="A0.Ex3.m1.12.12.12.4.4.4.cmml"><mfrac id="A0.Ex3.m1.12.12.12.4.4.4a" xref="A0.Ex3.m1.12.12.12.4.4.4.cmml"><mn id="A0.Ex3.m1.12.12.12.4.4.4.2" xref="A0.Ex3.m1.12.12.12.4.4.4.2.cmml">1</mn><mn id="A0.Ex3.m1.12.12.12.4.4.4.3" xref="A0.Ex3.m1.12.12.12.4.4.4.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.2" lspace="0.167em" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1"><mi id="A0.Ex3.m1.13.13.13.5.5.5" mathvariant="normal" xref="A0.Ex3.m1.13.13.13.5.5.5.cmml">ℜ</mi><mo id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1a" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1"><mo id="A0.Ex3.m1.14.14.14.6.6.6" stretchy="false" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">{</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1"><msub id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1"><mrow id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo fence="true" id="A0.Ex3.m1.15.15.15.7.7.7" lspace="0em" rspace="0em" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml"><</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A0.Ex3.m1.16.16.16.8.8.8" xref="A0.Ex3.m1.16.16.16.8.8.8.cmml">H</mi><mo id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="A0.Ex3.m1.17.17.17.9.9.9" stretchy="false" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="A0.Ex3.m1.18.18.18.10.10.10" xref="A0.Ex3.m1.18.18.18.10.10.10.cmml">t</mi><mo id="A0.Ex3.m1.19.19.19.11.11.11" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">,</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A0.Ex3.m1.20.20.20.12.12.12" xref="A0.Ex3.m1.20.20.20.12.12.12.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="A0.Ex3.m1.21.21.21.13.13.13" xref="A0.Ex3.m1.21.21.21.13.13.13.cmml">δ</mi><mi id="A0.Ex3.m1.22.22.22.14.14.14.1" xref="A0.Ex3.m1.22.22.22.14.14.14.1.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="A0.Ex3.m1.23.23.23.15.15.15" stretchy="false" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4a" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"><mi id="A0.Ex3.m1.24.24.24.16.16.16" xref="A0.Ex3.m1.24.24.24.16.16.16.cmml">H</mi><mo id="A0.Ex3.m1.25.25.25.17.17.17.1" xref="A0.Ex3.m1.25.25.25.17.17.17.1.cmml">∗</mo></msup><mo id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4b" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><mo id="A0.Ex3.m1.26.26.26.18.18.18" stretchy="false" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><mi id="A0.Ex3.m1.27.27.27.19.19.19" xref="A0.Ex3.m1.27.27.27.19.19.19.cmml">t</mi><mo id="A0.Ex3.m1.28.28.28.20.20.20" xref="A0.Ex3.m1.28.28.28.20.20.20.cmml">−</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"><mi id="A0.Ex3.m1.29.29.29.21.21.21" mathvariant="normal" xref="A0.Ex3.m1.29.29.29.21.21.21.cmml">Δ</mi><mo id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex3.m1.30.30.30.22.22.22" xref="A0.Ex3.m1.30.30.30.22.22.22.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="A0.Ex3.m1.31.31.31.23.23.23" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">,</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><mi id="A0.Ex3.m1.32.32.32.24.24.24" xref="A0.Ex3.m1.32.32.32.24.24.24.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2"><mi id="A0.Ex3.m1.33.33.33.25.25.25" xref="A0.Ex3.m1.33.33.33.25.25.25.cmml">δ</mi><mi id="A0.Ex3.m1.34.34.34.26.26.26.1" xref="A0.Ex3.m1.34.34.34.26.26.26.1.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="A0.Ex3.m1.35.35.35.27.27.27" stretchy="false" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="A0.Ex3.m1.36.36.36.28.28.28" lspace="0em" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">></mo></mrow><mi id="A0.Ex3.m1.37.37.37.29.29.29.1" xref="A0.Ex3.m1.37.37.37.29.29.29.1.cmml">t</mi></msub><mo id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.34.1.1.1.1.1.3"><mi id="A0.Ex3.m1.38.38.38.30.30.30" xref="A0.Ex3.m1.38.38.38.30.30.30.cmml">e</mi><mrow id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.cmml"><mi id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.3" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.3.cmml">j</mi><mo id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.2" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.1a" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.4" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.4.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.1b" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.5" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.5.2" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.5.2.cmml">δ</mi><mi id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.5.3" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.5.3.cmml">f</mi></msub><mo id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.1c" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.6" mathvariant="normal" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.6.cmml">Δ</mi><mo id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.1d" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.7" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.7.cmml">t</mi></mrow><mo id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="A0.Ex3.m1.40.40.40.32.32.32" stretchy="false" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex3.m1.41.41.41.33.33.33" xref="A0.Ex3.m1.41.41.41.33.33.33.cmml">=</mo><mi id="A0.Ex3.m1.65.65.3.64.34.34.35" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml"></mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="A0.Ex3.m1.66.66.4g"><mtd id="A0.Ex3.m1.66.66.4h" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="A0.Ex3.m1.66.66.4i"><mrow id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22"><mrow id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1"><munderover id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.2"><mo id="A0.Ex3.m1.42.42.42.1.1.1" movablelimits="false" xref="A0.Ex3.m1.42.42.42.1.1.1.cmml">∑</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1" xref="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.cmml"><mi id="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.2" xref="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.1" xref="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.1.cmml">=</mo><msub id="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.3" xref="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.3.2" xref="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.3.2.cmml">k</mi><mn id="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.3.3" xref="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><msub id="A0.Ex3.m1.44.44.44.3.3.3.1" xref="A0.Ex3.m1.44.44.44.3.3.3.1.cmml"><mi id="A0.Ex3.m1.44.44.44.3.3.3.1.2" xref="A0.Ex3.m1.44.44.44.3.3.3.1.2.cmml">k</mi><mi id="A0.Ex3.m1.44.44.44.3.3.3.1.3" xref="A0.Ex3.m1.44.44.44.3.3.3.1.3.cmml">N</mi></msub></munderover><mrow id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.1"><mstyle displaystyle="false" id="A0.Ex3.m1.45.45.45.4.4.4" xref="A0.Ex3.m1.45.45.45.4.4.4.cmml"><mfrac id="A0.Ex3.m1.45.45.45.4.4.4a" xref="A0.Ex3.m1.45.45.45.4.4.4.cmml"><mn id="A0.Ex3.m1.45.45.45.4.4.4.2" xref="A0.Ex3.m1.45.45.45.4.4.4.2.cmml">1</mn><mn id="A0.Ex3.m1.45.45.45.4.4.4.3" xref="A0.Ex3.m1.45.45.45.4.4.4.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.1.2" lspace="0.167em" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.1.1.1"><mi id="A0.Ex3.m1.46.46.46.5.5.5" mathvariant="normal" xref="A0.Ex3.m1.46.46.46.5.5.5.cmml">ℜ</mi><mo id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.1.1.1a" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.1.1.1.1"><mo id="A0.Ex3.m1.47.47.47.6.6.6" stretchy="false" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">{</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.1.1.1.1.1"><msubsup id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.1.1.1.1.1.4"><mi id="A0.Ex3.m1.48.48.48.7.7.7" mathvariant="normal" xref="A0.Ex3.m1.48.48.48.7.7.7.cmml">Φ</mi><mi id="A0.Ex3.m1.50.50.50.9.9.9.1" xref="A0.Ex3.m1.50.50.50.9.9.9.1.cmml">H</mi><mrow id="A0.Ex3.m1.49.49.49.8.8.8.1.3"><mo id="A0.Ex3.m1.49.49.49.8.8.8.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A0.Ex3.m1.49.49.49.8.8.8.1.1" xref="A0.Ex3.m1.49.49.49.8.8.8.1.1.cmml">t</mi><mo id="A0.Ex3.m1.49.49.49.8.8.8.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.1.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.1.1.1.1.1.2.2"><mo id="A0.Ex3.m1.51.51.51.10.10.10" stretchy="false" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="A0.Ex3.m1.52.52.52.11.11.11" mathvariant="normal" xref="A0.Ex3.m1.52.52.52.11.11.11.cmml">Δ</mi><mo id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex3.m1.53.53.53.12.12.12" xref="A0.Ex3.m1.53.53.53.12.12.12.cmml">t</mi></mrow><mo id="A0.Ex3.m1.54.54.54.13.13.13" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">,</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><mi id="A0.Ex3.m1.55.55.55.14.14.14" xref="A0.Ex3.m1.55.55.55.14.14.14.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><mi id="A0.Ex3.m1.56.56.56.15.15.15" xref="A0.Ex3.m1.56.56.56.15.15.15.cmml">δ</mi><mi id="A0.Ex3.m1.57.57.57.16.16.16.1" xref="A0.Ex3.m1.57.57.57.16.16.16.1.cmml">f</mi></msub></mrow><mo id="A0.Ex3.m1.58.58.58.17.17.17" stretchy="false" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.1.1.1.1.1.3a" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="A0.Ex3.m1.66.66.4.65.22.22.22.1.1.1.1.1.1.5"><mi id="A0.Ex3.m1.59.59.59.18.18.18" xref="A0.Ex3.m1.59.59.59.18.18.18.cmml">e</mi><mrow id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.cmml"><mi id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.3" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.3.cmml">j</mi><mo id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.2" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.cmml"><mo id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.cmml"><mn id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.2" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.1" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.3" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.1a" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.4" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.4.cmml">k</mi><mo id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.1b" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.5" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.5.2" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.5.2.cmml">δ</mi><mi id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.5.3" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.5.3.cmml">f</mi></msub><mo id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.1c" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.6" mathvariant="normal" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.6.cmml">Δ</mi><mo id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.1d" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.7" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.7.cmml">t</mi></mrow><mo id="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A0.Ex3.m1.60.60.60.19.19.19.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="A0.Ex3.m1.61.61.61.20.20.20" stretchy="false" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A0.Ex3.m1.62.62.62.21.21.21" lspace="0em" xref="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A0.Ex3.m1.66b"><apply id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"><and id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1a.cmml" 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xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b">expectation</csymbol><apply id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"><times id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"></times><ci id="A0.Ex3.m1.16.16.16.8.8.8.cmml" xref="A0.Ex3.m1.16.16.16.8.8.8">𝐻</ci><interval closure="open" id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"><ci id="A0.Ex3.m1.18.18.18.10.10.10.cmml" xref="A0.Ex3.m1.18.18.18.10.10.10">𝑡</ci><apply id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"><times id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"></times><ci id="A0.Ex3.m1.20.20.20.12.12.12.cmml" xref="A0.Ex3.m1.20.20.20.12.12.12">𝑘</ci><apply id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex3.m1.21.21.21.13.13.13.cmml" xref="A0.Ex3.m1.21.21.21.13.13.13">𝛿</ci><ci id="A0.Ex3.m1.22.22.22.14.14.14.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.22.22.22.14.14.14.1">𝑓</ci></apply></apply></interval><apply id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex3.m1.24.24.24.16.16.16.cmml" xref="A0.Ex3.m1.24.24.24.16.16.16">𝐻</ci><times id="A0.Ex3.m1.25.25.25.17.17.17.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.25.25.25.17.17.17.1"></times></apply><interval closure="open" id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"><apply id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"><minus id="A0.Ex3.m1.28.28.28.20.20.20.cmml" xref="A0.Ex3.m1.28.28.28.20.20.20"></minus><ci id="A0.Ex3.m1.27.27.27.19.19.19.cmml" xref="A0.Ex3.m1.27.27.27.19.19.19">𝑡</ci><apply id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"><times id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"></times><ci id="A0.Ex3.m1.29.29.29.21.21.21.cmml" xref="A0.Ex3.m1.29.29.29.21.21.21">Δ</ci><ci id="A0.Ex3.m1.30.30.30.22.22.22.cmml" xref="A0.Ex3.m1.30.30.30.22.22.22">𝑡</ci></apply></apply><apply id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"><times id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"></times><ci id="A0.Ex3.m1.32.32.32.24.24.24.cmml" xref="A0.Ex3.m1.32.32.32.24.24.24">𝑘</ci><apply id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex3.m1.33.33.33.25.25.25.cmml" xref="A0.Ex3.m1.33.33.33.25.25.25">𝛿</ci><ci id="A0.Ex3.m1.34.34.34.26.26.26.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.34.34.34.26.26.26.1">𝑓</ci></apply></apply></interval></apply></apply><ci id="A0.Ex3.m1.37.37.37.29.29.29.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.37.37.37.29.29.29.1">𝑡</ci></apply><apply id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b">superscript</csymbol><ci id="A0.Ex3.m1.38.38.38.30.30.30.cmml" xref="A0.Ex3.m1.38.38.38.30.30.30">𝑒</ci><apply id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1"><times id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.2.cmml" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.2"></times><ci id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.3.cmml" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.3">𝑗</ci><apply id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1"><times id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.1"></times><cn id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.2">2</cn><ci id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.3">𝜋</ci><ci id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.4.cmml" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.4">𝑘</ci><apply id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.5.cmml" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.5.2">𝛿</ci><ci id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.5.3">𝑓</ci></apply><ci id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.6.cmml" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.6">Δ</ci><ci id="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.7.cmml" xref="A0.Ex3.m1.39.39.39.31.31.31.1.1.1.1.7">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1c.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"><eq id="A0.Ex3.m1.41.41.41.33.33.33.cmml" xref="A0.Ex3.m1.41.41.41.33.33.33"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2411.11726v1#A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.2.cmml" id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1d.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"></share><apply id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.3.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"><apply id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b">superscript</csymbol><apply id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3.m1.63.63.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.66.66.4b">subscript</csymbol><sum id="A0.Ex3.m1.42.42.42.1.1.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.42.42.42.1.1.1"></sum><apply id="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1"><eq id="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.1"></eq><ci id="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.2.cmml" xref="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.2">𝑘</ci><apply id="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.3.cmml" xref="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.3.2">𝑘</ci><cn id="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A0.Ex3.m1.43.43.43.2.2.2.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A0.Ex3.m1.44.44.44.3.3.3.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.44.44.44.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A0.Ex3.m1.44.44.44.3.3.3.1.1.cmml" xref="A0.Ex3.m1.44.44.44.3.3.3.1">subscript</csymbol><ci id="A0.Ex3.m1.44.44.44.3.3.3.1.2.cmml" xref="A0.Ex3.m1.44.44.44.3.3.3.1.2">𝑘</ci><ci id="A0.Ex3.m1.44.44.44.3.3.3.1.3.cmml" xref="A0.Ex3.m1.44.44.44.3.3.3.1.3">𝑁</ci></apply></apply><apply 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