Mnożenie – Wikipedia, wolna encyklopedia

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="pl" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Mnożenie – Wikipedia, wolna encyklopedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )plwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","styczeń","luty","marzec","kwiecień","maj","czerwiec","lipiec","sierpień","wrzesień","październik","listopad","grudzień"],"wgRequestId":"738f9294-e9e5-4508-8683-6390c5a04245","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Mnożenie","wgTitle":"Mnożenie","wgCurRevisionId":74711792,"wgRevisionId":74711792,"wgArticleId":30337,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Artykuły do przeniesienia do Wikiźródeł","Działania na liczbach","Działania dwuargumentowe"],"wgPageViewLanguage":"pl","wgPageContentLanguage":"pl","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Mnożenie","wgRelevantArticleId":30337,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags" :{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":74711792,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"pl","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"pl"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":20000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q40276","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={ "ext.gadget.wikiflex":"ready","ext.gadget.infobox":"ready","ext.gadget.hlist":"ready","ext.gadget.darkmode-overrides":"ready","ext.gadget.small-references":"ready","ext.gadget.citation-access-info":"ready","ext.gadget.sprawdz-problemy-szablony":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","ext.scribunto.logs","site","mediawiki.page.ready", "jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.ll-script-loader","ext.gadget.veKeepParameters","ext.gadget.szablon-galeria","ext.gadget.NavFrame","ext.gadget.citoid-overrides","ext.gadget.maps","ext.gadget.padlock-indicators","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.gadget.edit-summaries","ext.gadget.edit-first-section","ext.gadget.wikibugs","ext.gadget.map-toggler","ext.gadget.narrowFootnoteColumns","ext.gadget.WDsearch","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=pl&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.gadget.citation-access-info%2Cdarkmode-overrides%2Chlist%2Cinfobox%2Csmall-references%2Csprawdz-problemy-szablony%2Cwikiflex&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Three_by_Four.svg/1200px-Three_by_Four.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1000"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Three_by_Four.svg/800px-Three_by_Four.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="667"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Three_by_Four.svg/640px-Three_by_Four.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="533"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Mnożenie – Wikipedia, wolna encyklopedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//pl.m.wikipedia.org/wiki/Mno%C5%BCenie"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Edytuj" href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (pl)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//pl.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Mno%C5%BCenie"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Kanał Atom Wikipedii" href="/w/index.php?title=Specjalna:Ostatnie_zmiany&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Mnożenie rootpage-Mnożenie skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Przejdź do zawartości</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menu główne" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menu główne</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menu główne</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Nawigacja </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" title="Przejdź na stronę główną [z]" accesskey="z"><span>Strona główna</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Losowa_strona" title="Załaduj losową stronę [x]" accesskey="x"><span>Losuj artykuł</span></a></li><li id="n-Kategorie" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Kategorie_G%C5%82%C3%B3wne"><span>Kategorie artykułów</span></a></li><li id="n-Featured-articles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Wyr%C3%B3%C5%BCniona_zawarto%C5%9B%C4%87_Wikipedii"><span>Najlepsze artykuły</span></a></li><li id="n-FAQ" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:FAQ"><span>Częste pytania (FAQ)</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-zmiany" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-zmiany" > <div class="vector-menu-heading"> Dla czytelników </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-czytelnicy" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii"><span>O Wikipedii</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kontakt_z_wikipedystami"><span>Kontakt</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-edytorzy" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-edytorzy" > <div class="vector-menu-heading"> Dla wikipedystów </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-pierwsze-kroki" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki"><span>Pierwsze kroki</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Portal_wikipedyst%C3%B3w" title="O projekcie – co możesz zrobić, gdzie możesz znaleźć informacje"><span>Portal wikipedystów</span></a></li><li id="n-Noticeboard" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tablica_og%C5%82osze%C5%84"><span>Ogłoszenia</span></a></li><li id="n-Guidelines" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Zasady"><span>Zasady</span></a></li><li id="n-helppage-name" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Spis_tre%C5%9Bci"><span>Pomoc</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Ostatnie_zmiany" title="Lista ostatnich zmian w Wikipedii. [r]" accesskey="r"><span>Ostatnie zmiany</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="wolna encyklopedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-pl.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Specjalna:Szukaj" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Szukaj</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Przeszukaj Wikipedię" aria-label="Przeszukaj Wikipedię" autocapitalize="sentences" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Specjalna:Szukaj"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Szukaj</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Narzędzia osobiste"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Zmień rozmiar czcionki, szerokość oraz kolorystykę strony" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Wygląd" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Wygląd</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl" class=""><span>Wspomóż Wikipedię</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Mno%C5%BCenie" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe." class=""><span>Utwórz konto</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Mno%C5%BCenie" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o" class=""><span>Zaloguj się</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Więcej opcji" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia osobiste" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia osobiste</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menu użytkownika" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_pl.wikipedia.org&uselang=pl"><span>Wspomóż Wikipedię</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Mno%C5%BCenie" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Utwórz konto</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Mno%C5%BCenie" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Zaloguj się</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Strony dla anonimowych edytorów <a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki" aria-label="Dowiedz się więcej na temat edytowania"><span>dowiedz się więcej</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:M%C3%B3j_wk%C5%82ad" title="Lista edycji wykonanych z tego adresu IP [y]" accesskey="y"><span>Edycje</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Moja_dyskusja" title="Dyskusja użytkownika dla tego adresu IP [n]" accesskey="n"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Spis treści" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Spis treści</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ukryj</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Początek</div> </a> </li> <li id="toc-Mnożenie_pisemne_liczb" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Mnożenie_pisemne_liczb"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Mnożenie pisemne liczb</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Mnożenie_pisemne_liczb-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Mnożenie pisemne liczb</span> </button> <ul id="toc-Mnożenie_pisemne_liczb-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Przykład" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykład"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Przykład</span> </div> </a> <ul id="toc-Przykład-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Algorytm" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Algorytm"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>Algorytm</span> </div> </a> <ul id="toc-Algorytm-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Definicje" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Definicje"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Definicje</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Definicje-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Definicje</span> </button> <ul id="toc-Definicje-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Oznaczenia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Oznaczenia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Oznaczenia</span> </div> </a> <ul id="toc-Oznaczenia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Własności" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Własności"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Własności</span> </div> </a> <ul id="toc-Własności-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Produkt" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Produkt"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Produkt</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Produkt-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Produkt</span> </button> <ul id="toc-Produkt-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Iloczyn_skończonej_liczby_czynników" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Iloczyn_skończonej_liczby_czynników"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Iloczyn skończonej liczby czynników</span> </div> </a> <ul id="toc-Iloczyn_skończonej_liczby_czynników-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Algebra" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Algebra"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Algebra</span> </div> </a> <ul id="toc-Algebra-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Mnożenie_liczb_metodą_mnichów_z_Shaolin" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Mnożenie_liczb_metodą_mnichów_z_Shaolin"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Mnożenie liczb metodą mnichów z Shaolin</span> </div> </a> <ul id="toc-Mnożenie_liczb_metodą_mnichów_z_Shaolin-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Multyplikacja" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Multyplikacja"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Multyplikacja</span> </div> </a> <ul id="toc-Multyplikacja-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Zobacz_też" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Zobacz_też"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Zobacz też</span> </div> </a> <ul id="toc-Zobacz_też-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Uwagi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Uwagi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Uwagi</span> </div> </a> <ul id="toc-Uwagi-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Przypisy</span> </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>Bibliografia</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Linki_zewnętrzne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Linki_zewnętrzne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">12</span> <span>Linki zewnętrzne</span> </div> </a> <ul id="toc-Linki_zewnętrzne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Mnożenie</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 122 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-122" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">122 języki</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Vermenigvuldiging" title="Vermenigvuldiging – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Vermenigvuldiging" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Multiplikation" title="Multiplikation – szwajcarski niemiecki" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Multiplikation" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="szwajcarski niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%88%9B%E1%89%A3%E1%8B%9B%E1%89%B5" title="ማባዛት – amharski" lang="am" hreflang="am" data-title="ማባዛት" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="amharski" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B6%D8%B1%D8%A8" title="ضرب – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="ضرب" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n" title="Multiplicación – aragoński" lang="an" hreflang="an" data-title="Multiplicación" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="aragoński" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n" title="Multiplicación – asturyjski" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Multiplicación" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Vurma" title="Vurma – azerbejdżański" lang="az" hreflang="az" data-title="Vurma" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbejdżański" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%DA%86%D8%A7%D8%B1%D9%BE%D9%85%D8%A7" title="چارپما – South Azerbaijani" lang="azb" hreflang="azb" data-title="چارپما" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target"><span>تۆرکجه</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%97%E0%A7%81%E0%A6%A3_(%E0%A6%97%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%A4)" title="গুণ (গণিত) – bengalski" lang="bn" hreflang="bn" data-title="গুণ (গণিত)" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalski" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/S%C3%AAng-hoat" title="Sêng-hoat – minnański" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Sêng-hoat" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnański" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D2%A0%D0%B0%D0%B1%D0%B0%D1%82%D0%BB%D0%B0%D1%83" title="Ҡабатлау – baszkirski" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Ҡабатлау" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baszkirski" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B5" title="Множанне – białoruski" lang="be" hreflang="be" data-title="Множанне" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="białoruski" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D1%8C%D0%BD%D0%B5" title="Множаньне – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Множаньне" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Pagpadakul_(matematika)" title="Pagpadakul (matematika) – Central Bikol" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Pagpadakul (matematika)" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="Central Bikol" class="interlanguage-link-target"><span>Bikol Central</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Умножение – bułgarski" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Умножение" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bułgarski" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bo mw-list-item"><a href="https://bo.wikipedia.org/wiki/%E0%BD%A6%E0%BE%92%E0%BE%B1%E0%BD%B4%E0%BD%A2%E0%BC%8B%E0%BD%A2%E0%BE%A9%E0%BD%B2%E0%BD%A6%E0%BC%8D" title="སྒྱུར་རྩིས། – tybetański" lang="bo" hreflang="bo" data-title="སྒྱུར་རྩིས།" data-language-autonym="བོད་ཡིག" data-language-local-name="tybetański" class="interlanguage-link-target"><span>བོད་ཡིག</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Mno%C5%BEenje" title="Množenje – bośniacki" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Množenje" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bośniacki" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Liesadur" title="Liesadur – bretoński" lang="br" hreflang="br" data-title="Liesadur" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="bretoński" class="interlanguage-link-target"><span>Brezhoneg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bxr mw-list-item"><a href="https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D2%AE%D1%80%D1%8D%D0%B6%D2%AF%D2%AF%D0%BB%D1%82%D1%8D" title="Үрэжүүлтэ – Russia Buriat" lang="bxr" hreflang="bxr" data-title="Үрэжүүлтэ" data-language-autonym="Буряад" data-language-local-name="Russia Buriat" class="interlanguage-link-target"><span>Буряад</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3" title="Multiplicació – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Multiplicació" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D1%83%D1%82%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8" title="Хутласси – czuwaski" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Хутласси" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="czuwaski" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/N%C3%A1soben%C3%AD" title="Násobení – czeski" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Násobení" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="czeski" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Kuwanza_Huwandu" title="Kuwanza Huwandu – shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Kuwanza Huwandu" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="shona" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Lluosi" title="Lluosi – walijski" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Lluosi" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="walijski" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Multiplikation" title="Multiplikation – duński" lang="da" hreflang="da" data-title="Multiplikation" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="duński" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Multiplikation" title="Multiplikation – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Multiplikation" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Korrutamine" title="Korrutamine – estoński" lang="et" hreflang="et" data-title="Korrutamine" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estoński" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CE%BB%CE%B1%CF%80%CE%BB%CE%B1%CF%83%CE%B9%CE%B1%CF%83%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Πολλαπλασιασμός – grecki" lang="el" hreflang="el" data-title="Πολλαπλασιασμός" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grecki" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eml mw-list-item"><a href="https://eml.wikipedia.org/wiki/Molt%C3%ACplica" title="Moltìplica – Emiliano-Romagnolo" lang="egl" hreflang="egl" data-title="Moltìplica" data-language-autonym="Emiliàn e rumagnòl" data-language-local-name="Emiliano-Romagnolo" class="interlanguage-link-target"><span>Emiliàn e rumagnòl</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication" title="Multiplication – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Multiplication" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n" title="Multiplicación – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Multiplicación" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Multipliko" title="Multipliko – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Multipliko" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Biderketa" title="Biderketa – baskijski" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Biderketa" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="baskijski" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B6%D8%B1%D8%A8_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="ضرب (ریاضی) – perski" lang="fa" hreflang="fa" data-title="ضرب (ریاضی)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perski" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Gunaa" title="Gunaa – hindi fidżyjskie" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Gunaa" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="hindi fidżyjskie" class="interlanguage-link-target"><span>Fiji Hindi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Multiplication" title="Multiplication – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Multiplication" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gd mw-list-item"><a href="https://gd.wikipedia.org/wiki/Iomadachadh" title="Iomadachadh – szkocki gaelicki" lang="gd" hreflang="gd" data-title="Iomadachadh" data-language-autonym="Gàidhlig" data-language-local-name="szkocki gaelicki" class="interlanguage-link-target"><span>Gàidhlig</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n" title="Multiplicación – galicyjski" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Multiplicación" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%98%E6%B3%95" title="乘法 – gan" lang="gan" hreflang="gan" data-title="乘法" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="gan" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hak mw-list-item"><a href="https://hak.wikipedia.org/wiki/S%E1%B9%B3%CC%80n-fap" title="Sṳ̀n-fap – hakka" lang="hak" hreflang="hak" data-title="Sṳ̀n-fap" data-language-autonym="客家語 / Hak-kâ-ngî" data-language-local-name="hakka" class="interlanguage-link-target"><span>客家語 / Hak-kâ-ngî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D2%BB%D0%B0%D0%BD" title="Холвалһан – kałmucki" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Холвалһан" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="kałmucki" class="interlanguage-link-target"><span>Хальмг</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%B1%EC%85%88" title="곱셈 – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="곱셈" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B2%D5%A1%D5%A6%D5%B4%D5%A1%D5%BA%D5%A1%D5%BF%D5%AF%D5%B8%D6%82%D5%B4" title="Բազմապատկում – ormiański" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Բազմապատկում" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ormiański" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%BE" title="गुणा – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="गुणा" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Mno%C5%BEenje" title="Množenje – chorwacki" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Množenje" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="chorwacki" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Perkalian" title="Perkalian – indonezyjski" lang="id" hreflang="id" data-title="Perkalian" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonezyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Multiplication" title="Multiplication – interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Multiplication" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xh mw-list-item"><a href="https://xh.wikipedia.org/wiki/Ukuphinda-phinda" title="Ukuphinda-phinda – khosa" lang="xh" hreflang="xh" data-title="Ukuphinda-phinda" data-language-autonym="IsiXhosa" data-language-local-name="khosa" class="interlanguage-link-target"><span>IsiXhosa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Margf%C3%B6ldun" title="Margföldun – islandzki" lang="is" hreflang="is" data-title="Margföldun" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Moltiplicazione" title="Moltiplicazione – włoski" lang="it" hreflang="it" data-title="Moltiplicazione" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="włoski" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9B%D7%A4%D7%9C" title="כפל – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="כפל" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Tangkaran" title="Tangkaran – jawajski" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Tangkaran" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="jawajski" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%97%E0%B3%81%E0%B2%A3%E0%B2%BE%E0%B2%95%E0%B2%BE%E0%B2%B0" title="ಗುಣಾಕಾರ – kannada" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಗುಣಾಕಾರ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="kannada" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%92%E1%83%90%E1%83%9B%E1%83%A0%E1%83%90%E1%83%95%E1%83%9A%E1%83%94%E1%83%91%E1%83%90_(%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90)" title="გამრავლება (მათემატიკა) – gruziński" lang="ka" hreflang="ka" data-title="გამრავლება (მათემატიკა)" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="gruziński" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D3%A9%D0%B1%D0%B5%D0%B9%D1%82%D1%83" title="Көбейту – kazachski" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Көбейту" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazachski" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Uzidishaji" title="Uzidishaji – suahili" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Uzidishaji" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="suahili" class="interlanguage-link-target"><span>Kiswahili</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Miltiplikasyon" title="Miltiplikasyon – Guianan Creole" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Miltiplikasyon" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D3%A9%D0%B1%D3%A9%D0%B9%D1%82%D2%AF%D2%AF" title="Көбөйтүү – kirgiski" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Көбөйтүү" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="kirgiski" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%84%E0%BA%B9%E0%BA%99" title="ຄູນ – laotański" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ຄູນ" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="laotański" class="interlanguage-link-target"><span>ລາວ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Multiplicatio" title="Multiplicatio – łaciński" lang="la" hreflang="la" data-title="Multiplicatio" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="łaciński" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Reizin%C4%81%C5%A1ana" title="Reizināšana – łotewski" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Reizināšana" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="łotewski" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Daugyba" title="Daugyba – litewski" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Daugyba" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="litewski" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Szorz%C3%A1s" title="Szorzás – węgierski" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Szorzás" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="węgierski" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%9A%D0%B5" title="Множење – macedoński" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Множење" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedoński" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%97%E0%B5%81%E0%B4%A3%E0%B4%A8%E0%B4%82" title="ഗുണനം – malajalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ഗുണനം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malajalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Multiplikazzjoni" title="Multiplikazzjoni – maltański" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Multiplikazzjoni" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="maltański" class="interlanguage-link-target"><span>Malti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%BE%E0%A4%95%E0%A4%BE%E0%A4%B0" title="गुणाकार – marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="गुणाकार" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-arz mw-list-item"><a href="https://arz.wikipedia.org/wiki/%D8%B6%D8%B1%D8%A8" title="ضرب – egipski arabski" lang="arz" hreflang="arz" data-title="ضرب" data-language-autonym="مصرى" data-language-local-name="egipski arabski" class="interlanguage-link-target"><span>مصرى</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Pendaraban" title="Pendaraban – malajski" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Pendaraban" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malajski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cdo mw-list-item"><a href="https://cdo.wikipedia.org/wiki/S%C3%ACng-hu%C3%A1k" title="Sìng-huák – Mindong" lang="cdo" hreflang="cdo" data-title="Sìng-huák" data-language-autonym="閩東語 / Mìng-dĕ̤ng-ngṳ̄" data-language-local-name="Mindong" class="interlanguage-link-target"><span>閩東語 / Mìng-dĕ̤ng-ngṳ̄</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Multiplication" title="Multiplication – fidżijski" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Multiplication" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="fidżijski" class="interlanguage-link-target"><span>Na Vosa Vakaviti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Vermenigvuldigen" title="Vermenigvuldigen – niderlandzki" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Vermenigvuldigen" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="niderlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A8" title="गुणन – nepalski" lang="ne" hreflang="ne" data-title="गुणन" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="nepalski" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-new mw-list-item"><a href="https://new.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%BE" title="गुणना – newarski" lang="new" hreflang="new" data-title="गुणना" data-language-autonym="नेपाल भाषा" data-language-local-name="newarski" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाल भाषा</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95" title="乗法 – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="乗法" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Moolnemen" title="Moolnemen – północnofryzyjski" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Moolnemen" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="północnofryzyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Multiplikasjon" title="Multiplikasjon – norweski (bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Multiplikasjon" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norweski (bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Multiplikasjon" title="Multiplikasjon – norweski (nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Multiplikasjon" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norweski (nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nov mw-list-item"><a href="https://nov.wikipedia.org/wiki/Multiplikatione" title="Multiplikatione – novial" lang="nov" hreflang="nov" data-title="Multiplikatione" data-language-autonym="Novial" data-language-local-name="novial" class="interlanguage-link-target"><span>Novial</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Multiplicacion" title="Multiplicacion – oksytański" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Multiplicacion" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="oksytański" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-or mw-list-item"><a href="https://or.wikipedia.org/wiki/%E0%AC%97%E0%AD%81%E0%AC%A3%E0%AC%A8" title="ଗୁଣନ – orija" lang="or" hreflang="or" data-title="ଗୁଣନ" data-language-autonym="ଓଡ଼ିଆ" data-language-local-name="orija" class="interlanguage-link-target"><span>ଓଡ଼ିଆ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Baay%E2%80%99isuu" title="Baay’isuu – oromo" lang="om" hreflang="om" data-title="Baay’isuu" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="oromo" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Ko%CA%BBpaytma" title="Koʻpaytma – uzbecki" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Koʻpaytma" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbecki" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%97%E0%A9%81%E0%A8%A3%E0%A8%BE" title="ਗੁਣਾ – pendżabski" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਗੁਣਾ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pendżabski" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ps mw-list-item"><a href="https://ps.wikipedia.org/wiki/%D8%B6%D8%B1%D8%A8" title="ضرب – paszto" lang="ps" hreflang="ps" data-title="ضرب" data-language-autonym="پښتو" data-language-local-name="paszto" class="interlanguage-link-target"><span>پښتو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Moltiplikieshan" title="Moltiplikieshan – jamajski" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Moltiplikieshan" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="jamajski" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Multiplica%C3%A7%C3%A3o" title="Multiplicação – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Multiplicação" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/%C3%8Enmul%C8%9Bire_(matematic%C4%83)" title="Înmulțire (matematică) – rumuński" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Înmulțire (matematică)" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumuński" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Miray" title="Miray – keczua" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Miray" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="keczua" class="interlanguage-link-target"><span>Runa Simi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Умножение – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Умножение" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sat mw-list-item"><a href="https://sat.wikipedia.org/wiki/%E1%B1%9C%E1%B1%9F%E1%B1%B5%E1%B1%9F%E1%B1%AC" title="ᱜᱟᱵᱟᱬ – santali" lang="sat" hreflang="sat" data-title="ᱜᱟᱵᱟᱬ" data-language-autonym="ᱥᱟᱱᱛᱟᱲᱤ" data-language-local-name="santali" class="interlanguage-link-target"><span>ᱥᱟᱱᱛᱟᱲᱤ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Shum%C3%ABzimi" title="Shumëzimi – albański" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Shumëzimi" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albański" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Murtipricazzioni" title="Murtipricazzioni – sycylijski" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Murtipricazzioni" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sycylijski" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Multiplication" title="Multiplication – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Multiplication" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/N%C3%A1sobenie" title="Násobenie – słowacki" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Násobenie" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="słowacki" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Mno%C5%BEenje" title="Množenje – słoweński" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Množenje" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="słoweński" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Iskudhufasho" title="Iskudhufasho – somalijski" lang="so" hreflang="so" data-title="Iskudhufasho" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="somalijski" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%84%DB%8E%DA%A9%D8%AF%D8%A7%D9%86" title="لێکدان – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="لێکدان" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%9A%D0%B5" title="Множење – serbski" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Множење" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbski" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Mno%C5%BEenje" title="Množenje – serbsko-chorwacki" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Množenje" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbsko-chorwacki" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Produk_(matematika)" title="Produk (matematika) – sundajski" lang="su" hreflang="su" data-title="Produk (matematika)" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="sundajski" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Kertolasku" title="Kertolasku – fiński" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Kertolasku" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="fiński" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Multiplikation" title="Multiplikation – szwedzki" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Multiplikation" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="szwedzki" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Pagpaparami_(matematika)" title="Pagpaparami (matematika) – tagalski" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Pagpaparami (matematika)" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalski" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AA%E0%AF%86%E0%AE%B0%E0%AF%81%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AE%B2%E0%AF%8D_(%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D)" title="பெருக்கல் (கணிதம்) – tamilski" lang="ta" hreflang="ta" data-title="பெருக்கல் (கணிதம்)" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamilski" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%97%E0%B1%81%E0%B0%A3%E0%B0%95%E0%B0%BE%E0%B0%B0%E0%B0%82" title="గుణకారం – telugu" lang="te" hreflang="te" data-title="గుణకారం" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="telugu" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93" title="การคูณ – tajski" lang="th" hreflang="th" data-title="การคูณ" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tajski" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D1%80%D0%B1" title="Зарб – tadżycki" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Зарб" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="tadżycki" class="interlanguage-link-target"><span>Тоҷикӣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-chr mw-list-item"><a href="https://chr.wikipedia.org/wiki/%E1%8E%A0%E1%8F%B4%E1%8E%A6%E1%8E%B4%E1%8F%AB%E1%8F%92%E1%8E%AF" title="ᎠᏴᎦᎴᏫᏒᎯ – czirokeski" lang="chr" hreflang="chr" data-title="ᎠᏴᎦᎴᏫᏒᎯ" data-language-autonym="ᏣᎳᎩ" data-language-local-name="czirokeski" class="interlanguage-link-target"><span>ᏣᎳᎩ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%87arpma" title="Çarpma – turecki" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Çarpma" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turecki" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tk mw-list-item"><a href="https://tk.wikipedia.org/wiki/Kopeltmek(matematika)" title="Kopeltmek(matematika) – turkmeński" lang="tk" hreflang="tk" data-title="Kopeltmek(matematika)" data-language-autonym="Türkmençe" data-language-local-name="turkmeński" class="interlanguage-link-target"><span>Türkmençe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Множення – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Множення" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B6%D8%B1%D8%A8_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="ضرب (ریاضی) – urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="ضرب (ریاضی)" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-za mw-list-item"><a href="https://za.wikipedia.org/wiki/Swngzfap" title="Swngzfap – czuang" lang="za" hreflang="za" data-title="Swngzfap" data-language-autonym="Vahcuengh" data-language-local-name="czuang" class="interlanguage-link-target"><span>Vahcuengh</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/Moltiplegasion" title="Moltiplegasion – wenecki" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Moltiplegasion" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="wenecki" class="interlanguage-link-target"><span>Vèneto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C3%A9p_nh%C3%A2n" title="Phép nhân – wietnamski" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Phép nhân" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="wietnamski" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Pagpilo-pilo" title="Pagpilo-pilo – waraj" lang="war" hreflang="war" data-title="Pagpilo-pilo" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="waraj" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%98%E6%B3%95" title="乘法 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="乘法" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%98%D7%90%D7%A4%D7%9C%D7%95%D7%A0%D7%92" title="טאפלונג – jidysz" lang="yi" hreflang="yi" data-title="טאפלונג" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="jidysz" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yo mw-list-item"><a href="https://yo.wikipedia.org/wiki/%C3%8Cs%E1%BB%8Ddip%C3%BAp%E1%BB%8D%CC%80" title="Ìsọdipúpọ̀ – joruba" lang="yo" hreflang="yo" data-title="Ìsọdipúpọ̀" data-language-autonym="Yorùbá" data-language-local-name="joruba" class="interlanguage-link-target"><span>Yorùbá</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%98" title="乘 – kantoński" lang="yue" hreflang="yue" data-title="乘" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoński" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%98%E6%B3%95" title="乘法 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="乘法" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q40276#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c"><span>Artykuł</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Dyskusja:Mno%C5%BCenie" rel="discussion" title="Dyskusja o zawartości tej strony [t]" accesskey="t"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Zmień wariant języka" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">polski</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Widok"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Mno%C5%BCenie"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=history" title="Starsze wersje tej strony [h]" accesskey="h"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Narzędzia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Więcej opcji" > <div class="vector-menu-heading"> Działania </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Mno%C5%BCenie"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=history"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ogólne </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Mno%C5%BCenie" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j"><span>Linkujące</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Mno%C5%BCenie" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k"><span>Zmiany w linkowanych</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u"><span>Prześlij plik</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne" title="Lista wszystkich stron specjalnych [q]" accesskey="q"><span>Strony specjalne</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&oldid=74711792" title="Stały link do tej wersji tej strony"><span>Link do tej wersji</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=info" title="Więcej informacji na temat tej strony"><span>Informacje o tej stronie</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=Mno%C5%BCenie&id=74711792&wpFormIdentifier=titleform" title="Informacja o tym jak należy cytować tę stronę"><span>Cytowanie tego artykułu</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FMno%25C5%25BCenie"><span>Zobacz skrócony adres URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FMno%25C5%25BCenie"><span>Pobierz kod QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Mno%C5%BCenie"><span>Utwórz książkę</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Mno%C5%BCenie&action=show-download-screen"><span>Pobierz jako PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&printable=yes" title="Wersja do wydruku [p]" accesskey="p"><span>Wersja do druku</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Multiplication" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikifunctions mw-list-item"><a href="https://www.wikifunctions.org/wiki/Z10862" hreflang="en"><span>Wikifunkcje</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q40276" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g"><span>Element Wikidanych</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Three_by_Four.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Three_by_Four.svg/220px-Three_by_Four.svg.png" decoding="async" width="220" height="183" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Three_by_Four.svg/330px-Three_by_Four.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Three_by_Four.svg/440px-Three_by_Four.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="250" /></a><figcaption>3 · 4 = 12, czyli dwanaście kropek można uporządkować w trzech rzędach po cztery (lub w czterech kolumnach po trzy).</figcaption></figure> <p><b>Mnożenie</b> – wspólna nazwa różnych <a href="/wiki/Funkcja" title="Funkcja">funkcji matematycznych</a> definiowanych osobno; ich najprostszym przykładem jest mnożenie <a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczb naturalnych</a> – wielokrotne <a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawanie</a> liczby do siebie samej<sup id="cite_ref-epwn_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-epwn-1">[1]</a></sup>. Wynik mnożenia to <b>iloczyn</b>, a mnożone elementy to <b>czynniki</b>, przy czym pierwszy czasem jest znany jako <b>mnożna</b>, a drugi jako <b>mnożnik</b><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2">[2]</a></sup>. </p><p>Na przykład: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3\cdot 4=4+4+4=12,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mn>4</mn> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>=</mo> <mn>12</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\cdot 4=4+4+4=12,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab6fdf4fd5668b38c72241398ae35aebf9e10547" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.341ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 3\cdot 4=4+4+4=12,}"></span></dd></dl> <p>gdzie liczby 3 i 4 są czynnikami, a 12 to ich iloczyn. Powyższe oznacza, że trzy grupy po cztery elementy to razem dwanaście elementów. Z każdej z powyższych równolicznych grup można wybrać kolejno po jednym elemencie i w ten sposób stworzyć cztery nowe grupy zawierające po trzy elementy: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4\cdot 3=3+3+3+3=12.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>=</mo> <mn>12.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4\cdot 3=3+3+3+3=12.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/133e9d8f6060c3aa9452ae9c55b62f3ba79a1b51" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:26.344ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 4\cdot 3=3+3+3+3=12.}"></span></dd></dl> <p>W ten sposób <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3\cdot 4=4\cdot 3,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mn>4</mn> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\cdot 4=4\cdot 3,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97290d46a0fe73539af3095985204822d4caf33f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.753ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 3\cdot 4=4\cdot 3,}"></span> co w przypadku ogólnym nazywa się formalnie <i><a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemiennością</a></i>. Należy mieć jednak na uwadze, że istnieją działania nazywane mnożeniami, które nie mają tej własności (zob. <a href="#Algebra">dalej</a>). </p><p>Mnożenia liczb naturalnych o czynnikach od 0 do 10 (czyli do podstawy <a href="/wiki/Dziesi%C4%99tny_system_liczbowy" title="Dziesiętny system liczbowy">dziesiętnego systemu liczbowego</a>) uczy się w pierwszych klasach <a href="/wiki/Szko%C5%82a_podstawowa" title="Szkoła podstawowa">szkoły podstawowej</a> pod postacią tzw. <i><a href="/wiki/Tabliczka_mno%C5%BCenia" title="Tabliczka mnożenia">tabliczki mnożenia</a></i>. Dowolna liczba pomnożona przez zero daje w wyniku zero (tzn. <a href="/wiki/0" title="0">zero</a> jest <a href="/wiki/Element_absorbuj%C4%85cy" title="Element absorbujący">elementem pochłaniającym</a> mnożenia), podobnie dowolna liczba pomnożona przez jeden daje w wyniku tę liczbę (tzn. <a href="/wiki/1_(liczba)" title="1 (liczba)">jedynka</a> jest <a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">elementem neutralnym</a> mnożenia). </p><p>Mnożenie zalicza się do czterech podstawowych <a href="/wiki/Arytmetyka_elementarna" title="Arytmetyka elementarna">działań arytmetycznych</a> obok dodawania, <a href="/wiki/Odejmowanie" title="Odejmowanie">odejmowania</a> i <a href="/wiki/Dzielenie" title="Dzielenie">dzielenia</a>. <a href="/wiki/Uog%C3%B3lnienie" title="Uogólnienie">Uogólnieniem</a> mnożenia liczb są inne <a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">działania dwuargumentowe</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mnożenie_pisemne_liczb"><span id="Mno.C5.BCenie_pisemne_liczb"></span>Mnożenie pisemne liczb</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Mnożenie pisemne liczb" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Mnożenie pisemne liczb"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przykład"><span id="Przyk.C5.82ad"></span>Przykład</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Przykład" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykład"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Algorytm pisemnego mnożenia najłatwiej wytłumaczyć na przykładzie. Obliczymy iloczyn liczb <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 105}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>105</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 105}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98a943fc8154cb33675cf12be3131c686b2e399" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.487ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 105}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 18.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>18.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 18.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780a64f364fea9770f4a01510b8a15dfb1dd1fc2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.972ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 18.}"></span> Należy zapisać jedną z liczb pod drugą tak, by cyfry oznaczające odpowiednio jedności, dziesiątki, setki itp. znajdowały się w jednej kolumnie (mniej precyzyjnie: wyrównać cyfry obu liczb do prawej): </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&0&5\\\cdot &&&1&8\\\hline {}\end{matrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em" rowlines="none solid"> <mtr> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋅</mo> </mtd> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>8</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&0&5\\\cdot &&&1&8\\\hline {}\end{matrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43499b1f1ede5f76a0da00a5cecdc0439a1d900c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:16.034ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&0&5\\\cdot &&&1&8\\\hline {}\end{matrix}}}"></span></dd></dl> <p>Następnie mnoży się poszczególne cyfry<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3">[a]</a></sup> i zapisuje jedna pod drugą na odpowiedniej pozycji: jeżeli przyjąć, że pozycje cyfr numerowane są od prawej począwszy od zera, to cyfra dziesiątek i cyfra jednostek iloczynu dwóch cyfr powinny być zapisywane na pozycji będącej sumą pozycji mnożonych cyfr i o jeden mniejszej (jeżeli cyfra dziesiątek jest zerem, to zwykle się jej nie pisze). W ten sposób (mnożąc kolejno od prawej cyfry drugiej liczby przez kolejne cyfry pierwszej liczby): </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&0&5\\\cdot &&&1&8\\\hline &&&4&0&\;\scriptstyle {(=8\cdot 5)}\\+&&&0&&\;\scriptstyle {(=8\cdot 0)}\\+&&8&&&\;\scriptstyle {(=8\cdot 1)}\\+&&&5&&\;\scriptstyle {(=1\cdot 5)}\\+&&0&&&\;\scriptstyle {(=1\cdot 0)}\\+&1&&&&\;\scriptstyle {(=1\cdot 1)}\\\hline &1&8&9&0\end{matrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em" rowlines="none solid none none none none none solid"> <mtr> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋅</mo> </mtd> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>8</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>4</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mspace width="thickmathspace" /> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mo>⋅</mo> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd /> <mtd> <mspace width="thickmathspace" /> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd /> <mtd> <mn>8</mn> </mtd> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mspace width="thickmathspace" /> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> <mtd /> <mtd> <mspace width="thickmathspace" /> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd /> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mspace width="thickmathspace" /> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>+</mo> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd /> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mspace width="thickmathspace" /> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>8</mn> </mtd> <mtd> <mn>9</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&0&5\\\cdot &&&1&8\\\hline &&&4&0&\;\scriptstyle {(=8\cdot 5)}\\+&&&0&&\;\scriptstyle {(=8\cdot 0)}\\+&&8&&&\;\scriptstyle {(=8\cdot 1)}\\+&&&5&&\;\scriptstyle {(=1\cdot 5)}\\+&&0&&&\;\scriptstyle {(=1\cdot 0)}\\+&1&&&&\;\scriptstyle {(=1\cdot 1)}\\\hline &1&8&9&0\end{matrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd9caacac3c4c1cf96b4ea5c697f78059fbd2da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -14.338ex; width:25.985ex; height:29.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&0&5\\\cdot &&&1&8\\\hline &&&4&0&\;\scriptstyle {(=8\cdot 5)}\\+&&&0&&\;\scriptstyle {(=8\cdot 0)}\\+&&8&&&\;\scriptstyle {(=8\cdot 1)}\\+&&&5&&\;\scriptstyle {(=1\cdot 5)}\\+&&0&&&\;\scriptstyle {(=1\cdot 0)}\\+&1&&&&\;\scriptstyle {(=1\cdot 1)}\\\hline &1&8&9&0\end{matrix}}}"></span></dd></dl> <p>Suma tak zapisanych iloczynów cyfr (przyjmując, że puste miejsca oznaczają zera) daje wynik: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 105\cdot 18=1890}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>105</mn> <mo>⋅</mo> <mn>18</mn> <mo>=</mo> <mn>1890</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 105\cdot 18=1890}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d806b8e6733d45b274beccfb972a345c615bf0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.24ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 105\cdot 18=1890}"></span></dd></dl> <p>Mnożenie <a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">liczb całkowitych</a> przebiega podobnie, z tym iż mnoży się <a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna">wartości bezwzględne</a>, tzn. liczby bez znaku, i uzupełnia znak iloczynu minusem, jeżeli dokładnie jedna z nich była ujemna. </p><p>Jeżeli jeden (lub oba) z czynników jest pewną <a href="/wiki/Wielokrotno%C5%9B%C4%87" title="Wielokrotność">wielokrotnością</a> liczby 10, tzn. na jej końcu znajduje się pewna liczba zer (np. 10500·180), to zera te można pominąć w czynnikach i dopisać do iloczynu – zamiast </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&0&5&0&0\\\cdot &&&&1&8&0\\\hline {}\end{matrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em" rowlines="none solid"> <mtr> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋅</mo> </mtd> <mtd /> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>8</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&0&5&0&0\\\cdot &&&&1&8&0\\\hline {}\end{matrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8c8a17cb2aa06202f9d4b7f544e57b2e74368f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:23.004ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&0&5&0&0\\\cdot &&&&1&8&0\\\hline {}\end{matrix}}}"></span></dd></dl> <p>oblicza się iloczyn <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 105\cdot 18}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>105</mn> <mo>⋅</mo> <mn>18</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 105\cdot 18}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29614469e21b06e02cd2f211840c8048d66e7502" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 105\cdot 18}"></span> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&0&5&\color {MidnightBlue}0&\color {MidnightBlue}0\\\cdot &&&1&8&\color {MidnightBlue}0&\\\hline &1&8&9&0&\color {MidnightBlue}0&\color {MidnightBlue}0&\color {MidnightBlue}0\end{matrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em" rowlines="none solid"> <mtr> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>5</mn> </mtd> <mtd> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>0</mn> </mstyle> </mtd> <mtd> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>0</mn> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋅</mo> </mtd> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>8</mn> </mtd> <mtd> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>0</mn> </mstyle> </mtd> <mtd /> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>8</mn> </mtd> <mtd> <mn>9</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>0</mn> </mstyle> </mtd> <mtd> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>0</mn> </mstyle> </mtd> <mtd> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>0</mn> </mstyle> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&0&5&\color {MidnightBlue}0&\color {MidnightBlue}0\\\cdot &&&1&8&\color {MidnightBlue}0&\\\hline &1&8&9&0&\color {MidnightBlue}0&\color {MidnightBlue}0&\color {MidnightBlue}0\end{matrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c1a8b1f69e866ab352b01961275eba40e34428" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:27.652ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&0&5&\color {MidnightBlue}0&\color {MidnightBlue}0\\\cdot &&&1&8&\color {MidnightBlue}0&\\\hline &1&8&9&0&\color {MidnightBlue}0&\color {MidnightBlue}0&\color {MidnightBlue}0\end{matrix}}}"></span></dd></dl> <p>To uproszczenie rachunku opiera się na wykorzystaniu łączności i przemienności mnożenia: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 105{\color {MidnightBlue}00}\cdot 18{\color {MidnightBlue}0}=105\cdot 1{\color {MidnightBlue}00}\cdot 18\cdot 1{\color {MidnightBlue}0}=(105\cdot 18)\cdot (1{\color {MidnightBlue}00}\cdot 1{\color {MidnightBlue}0})=(105\cdot 18)\cdot 1{\color {MidnightBlue}000}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>105</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>00</mn> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mn>18</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mn>105</mn> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>00</mn> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mn>18</mn> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>105</mn> <mo>⋅</mo> <mn>18</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>00</mn> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>105</mn> <mo>⋅</mo> <mn>18</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>000</mn> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 105{\color {MidnightBlue}00}\cdot 18{\color {MidnightBlue}0}=105\cdot 1{\color {MidnightBlue}00}\cdot 18\cdot 1{\color {MidnightBlue}0}=(105\cdot 18)\cdot (1{\color {MidnightBlue}00}\cdot 1{\color {MidnightBlue}0})=(105\cdot 18)\cdot 1{\color {MidnightBlue}000}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e481beea5b9c452b303532791be39ffa72ecc037" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:72.846ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 105{\color {MidnightBlue}00}\cdot 18{\color {MidnightBlue}0}=105\cdot 1{\color {MidnightBlue}00}\cdot 18\cdot 1{\color {MidnightBlue}0}=(105\cdot 18)\cdot (1{\color {MidnightBlue}00}\cdot 1{\color {MidnightBlue}0})=(105\cdot 18)\cdot 1{\color {MidnightBlue}000}}"></span></dd></dl> <p>Podobnie z <a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">ułamkami</a> w <a href="/wiki/U%C5%82amek_dziesi%C4%99tny" title="Ułamek dziesiętny">zapisie dziesiętnym</a>: jeśli czynniki zawierają przecinek (np. <span style="white-space:nowrap;">1,05 · 1,8</span>), należy wykonać mnożenie tak, jakby w ich zapisie nie było przecinka, po czym umieścić przecinek tak, by po jego prawej stronie pozostało tyle cyfr, ile ich było za przecinkami łącznie w obu czynnikach: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{matrix}&&1,&\color {MidnightBlue}0&\color {MidnightBlue}5\\\cdot &&&1,&\color {MidnightBlue}8\\\hline &1,&\color {MidnightBlue}8&\color {MidnightBlue}9&\color {MidnightBlue}0\end{matrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em" rowlines="none solid"> <mtr> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>0</mn> </mstyle> </mtd> <mtd> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>5</mn> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>⋅</mo> </mtd> <mtd /> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>8</mn> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>8</mn> </mstyle> </mtd> <mtd> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>9</mn> </mstyle> </mtd> <mtd> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>0</mn> </mstyle> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}&&1,&\color {MidnightBlue}0&\color {MidnightBlue}5\\\cdot &&&1,&\color {MidnightBlue}8\\\hline &1,&\color {MidnightBlue}8&\color {MidnightBlue}9&\color {MidnightBlue}0\end{matrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f8c990844f3a1f038369c579f098f0b15b47d80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:19.137ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}&&1,&\color {MidnightBlue}0&\color {MidnightBlue}5\\\cdot &&&1,&\color {MidnightBlue}8\\\hline &1,&\color {MidnightBlue}8&\color {MidnightBlue}9&\color {MidnightBlue}0\end{matrix}}}"></span></dd></dl> <p>To uproszczenie także opiera się na przemienności i łączności mnożenia: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1,{\color {MidnightBlue}05}\cdot 1,{\color {MidnightBlue}8}=105/1{\color {MidnightBlue}00}\cdot 18/1{\color {MidnightBlue}0}=(105\cdot 18)/(1{\color {MidnightBlue}00}\cdot 1{\color {MidnightBlue}0})=(105\cdot 18)/1{\color {MidnightBlue}000}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>05</mn> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>8</mn> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mn>105</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>00</mn> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mn>18</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>105</mn> <mo>⋅</mo> <mn>18</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>00</mn> </mstyle> </mrow> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>105</mn> <mo>⋅</mo> <mn>18</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle mathcolor="#006795"> <mn>000</mn> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1,{\color {MidnightBlue}05}\cdot 1,{\color {MidnightBlue}8}=105/1{\color {MidnightBlue}00}\cdot 18/1{\color {MidnightBlue}0}=(105\cdot 18)/(1{\color {MidnightBlue}00}\cdot 1{\color {MidnightBlue}0})=(105\cdot 18)/1{\color {MidnightBlue}000}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4dfb75b6677bd83c9dce306aadf9b1debdfa36c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:69.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1,{\color {MidnightBlue}05}\cdot 1,{\color {MidnightBlue}8}=105/1{\color {MidnightBlue}00}\cdot 18/1{\color {MidnightBlue}0}=(105\cdot 18)/(1{\color {MidnightBlue}00}\cdot 1{\color {MidnightBlue}0})=(105\cdot 18)/1{\color {MidnightBlue}000}}"></span></dd></dl> <p><b>Uwaga:</b> Mnożyć sposobem pisemnym można tylko w <a href="/wiki/Systemy_pozycyjne" title="Systemy pozycyjne">systemach pozycyjnych</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Algorytm">Algorytm</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Algorytm" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Algorytm"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Sam algorytm mnożenia pisemnego polega na zapisaniu liczby naturalnej w postaci sumy kolejnych potęg dziesiątki. Niech <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\geqslant n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>⩾</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\geqslant n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e6c28610e868fdb6c2a33c3cb1bb81afa0a32c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.534ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m\geqslant n}"></span> i </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=a_{m}10^{m}+\ldots +a_{1}10^{1}+a_{0}10^{0},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=a_{m}10^{m}+\ldots +a_{1}10^{1}+a_{0}10^{0},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef1db4ad12bd72f7a4aba1e180ec87f06ecfba88" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:34.451ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a=a_{m}10^{m}+\ldots +a_{1}10^{1}+a_{0}10^{0},}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=b_{n}10^{n}+\ldots +b_{1}10^{1}+b_{0}10^{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=b_{n}10^{n}+\ldots +b_{1}10^{1}+b_{0}10^{0}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f5f8690ce83428419e6b7345ad20af5302835a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:32.609ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle b=b_{n}10^{n}+\ldots +b_{1}10^{1}+b_{0}10^{0}.}"></span></dd></dl> <p>Wówczas </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot b&=(a_{m}10^{m}+\ldots +a_{1}10^{1}+a_{0}10^{0})\cdot (b_{n}10^{n}+\ldots +b_{1}10^{1}+b_{0}10^{0})\\[2pt]&=a_{m}10^{m}b_{n}10^{n}+\ldots +a_{m}10^{m}b_{1}10^{1}+a_{m}10^{m}b_{0}10^{0}+\ldots +a_{0}10^{0}b_{1}10^{1}+a_{0}10^{0}b_{0}10^{0}\\[2pt]&=a_{m}b_{n}10^{m+n}+\ldots +a_{m}b_{1}10^{m+1}+a_{m-1}b_{2}10^{m+1}+\ldots +a_{1}b_{0}10^{1+0}+a_{0}b_{1}10^{0+1}+a_{0}b_{0}10^{0+0}\\[2pt]&=a_{m}b_{n}10^{m+n}+\ldots +(a_{m}b_{1}+a_{m-1}b_{2}+\ldots +a_{m-n+1}b_{n})10^{m+1}+\ldots +(a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1})10^{1}+a_{0}b_{0}10^{0},\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="0.5em 0.5em 0.5em 0.3em" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot b&=(a_{m}10^{m}+\ldots +a_{1}10^{1}+a_{0}10^{0})\cdot (b_{n}10^{n}+\ldots +b_{1}10^{1}+b_{0}10^{0})\\[2pt]&=a_{m}10^{m}b_{n}10^{n}+\ldots +a_{m}10^{m}b_{1}10^{1}+a_{m}10^{m}b_{0}10^{0}+\ldots +a_{0}10^{0}b_{1}10^{1}+a_{0}10^{0}b_{0}10^{0}\\[2pt]&=a_{m}b_{n}10^{m+n}+\ldots +a_{m}b_{1}10^{m+1}+a_{m-1}b_{2}10^{m+1}+\ldots +a_{1}b_{0}10^{1+0}+a_{0}b_{1}10^{0+1}+a_{0}b_{0}10^{0+0}\\[2pt]&=a_{m}b_{n}10^{m+n}+\ldots +(a_{m}b_{1}+a_{m-1}b_{2}+\ldots +a_{m-n+1}b_{n})10^{m+1}+\ldots +(a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1})10^{1}+a_{0}b_{0}10^{0},\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da5a3d47d4e52787b66a7c8e341288e9aa33237" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.328ex; margin-bottom: -0.177ex; width:104.507ex; height:14.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot b&=(a_{m}10^{m}+\ldots +a_{1}10^{1}+a_{0}10^{0})\cdot (b_{n}10^{n}+\ldots +b_{1}10^{1}+b_{0}10^{0})\\[2pt]&=a_{m}10^{m}b_{n}10^{n}+\ldots +a_{m}10^{m}b_{1}10^{1}+a_{m}10^{m}b_{0}10^{0}+\ldots +a_{0}10^{0}b_{1}10^{1}+a_{0}10^{0}b_{0}10^{0}\\[2pt]&=a_{m}b_{n}10^{m+n}+\ldots +a_{m}b_{1}10^{m+1}+a_{m-1}b_{2}10^{m+1}+\ldots +a_{1}b_{0}10^{1+0}+a_{0}b_{1}10^{0+1}+a_{0}b_{0}10^{0+0}\\[2pt]&=a_{m}b_{n}10^{m+n}+\ldots +(a_{m}b_{1}+a_{m-1}b_{2}+\ldots +a_{m-n+1}b_{n})10^{m+1}+\ldots +(a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1})10^{1}+a_{0}b_{0}10^{0},\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>przy czym trzecia równość odpowiada mnożeniu poszczególnych cyfr, a ostatnia – końcowemu sumowaniu. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definicje">Definicje</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Definicje" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Definicje"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>W dobrze znanych zbiorach liczbowych mnożenie definiowane jest osobno w każdym z nich za pomocą działania zdefiniowanego w prostszej strukturze: </p> <ul><li>iloczyn dwóch <a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczb naturalnych</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181523deba732fda302fd176275a0739121d3bc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.261ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b}"></span> definiuje się jako <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span>-krotną sumę <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b{:}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>:</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b{:}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c62b68e0c3d6a78dbfd384d360f1c3c0f5a82ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.644ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b{:}}"></span> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot b=\underbrace {b+b+\ldots +b} _{a{\text{ razy }}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <munder> <mrow> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mrow> <mo>⏟</mo> </munder> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> razy </mtext> </mrow> </mrow> </munder> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot b=\underbrace {b+b+\ldots +b} _{a{\text{ razy }}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c22bc432ca9f8dcb7edd5e7ee4c982a0f4232fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:21.889ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle a\cdot b=\underbrace {b+b+\ldots +b} _{a{\text{ razy }}}.}"></span></dd></dl></li></ul> <dl><dd>można to zdefiniować <a href="/wiki/Rekurencja" title="Rekurencja">rekurencyjnie</a>: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\cdot a={\begin{cases}a&{\mbox{ dla }}n=1\\(n-1)\cdot a+a&{\mbox{ dla }}n\geqslant 2\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext> dla </mtext> </mstyle> </mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext> dla </mtext> </mstyle> </mrow> <mi>n</mi> <mo>⩾</mo> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\cdot a={\begin{cases}a&{\mbox{ dla }}n=1\\(n-1)\cdot a+a&{\mbox{ dla }}n\geqslant 2\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c251188a9bb06b7c1c72e4452b7da14b04c0f62" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.324ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle n\cdot a={\begin{cases}a&{\mbox{ dla }}n=1\\(n-1)\cdot a+a&{\mbox{ dla }}n\geqslant 2\end{cases}}}"></span></dd></dl></dd></dl> <ul><li>iloczyn dwóch <a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">liczb całkowitych</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a-b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a-b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b80866c2bf2f1bc1f2e4c97e7937f5663150ea6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.068ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a-b}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c-d,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c-d,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a40e3ecbf6faf8ac9d0147de634c12a01775e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.71ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c-d,}"></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {N} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {N} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c5a5becb6d0a0ae22de92b299bb32f10231c05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.071ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {N} }"></span> określony jest wzorem <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a-b)\cdot (c-d)=a\cdot c+b\cdot d-(a\cdot d+b\cdot c);}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a-b)\cdot (c-d)=a\cdot c+b\cdot d-(a\cdot d+b\cdot c);}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc6146c85fa204a8e5a2a4941c3950dc319a988" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.121ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a-b)\cdot (c-d)=a\cdot c+b\cdot d-(a\cdot d+b\cdot c);}"></span></dd></dl></li> <li>iloczyn dwóch <a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczb wymiernych</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e9c32a14514b5b975a4666af015884bc93b0b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:1.706ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {c}{d}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {c}{d}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29fac27455e028a3e316b79a77f5afc63095ff34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.343ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {c}{d}},}"></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,c\in \mathbb {Z} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,c\in \mathbb {Z} ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf9abc0ddafd859d3573f0a958addd1a2ce138a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.308ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a,c\in \mathbb {Z} ,}"></span> a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b,d\in \mathbb {Z} _{+}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b,d\in \mathbb {Z} _{+}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6108a98bd289d0d9fa6e205b84e64f32f4e2bfe4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.149ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b,d\in \mathbb {Z} _{+}}"></span> określony jest wzorem <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}};}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c27836a02743c72fcaf4bbecd33d8fea9645c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.615ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}};}"></span></dd></dl></li> <li>iloczyn dwóch <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczb rzeczywistych</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span> określa się następująco:</li></ul> <dl><dd>W zbiorze ciągów Cauchy’ego liczb wymiernych wprowadza się <a href="/wiki/Relacja_r%C3%B3wnowa%C5%BCno%C5%9Bci" title="Relacja równoważności">relację równoważności</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (c_{n})\sim (d_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∼</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (c_{n})\sim (d_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656461bc16b093359a7c47c2d80e6b07fa3a5168" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.37ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (c_{n})\sim (d_{n})}"></span> gdy ciąg <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |c_{n}-d_{n}|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |c_{n}-d_{n}|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c04efe0b8dd8fb6e0911dfbd975e62089a20cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.787ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |c_{n}-d_{n}|}"></span> jest zbieżny do zera. Niech <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n},b_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n},b_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3407046375b75ed8899695a0644c0f0433ebf301" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.698ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{n},b_{n}}"></span> będą <a href="/wiki/Ci%C4%85g_Cauchy%E2%80%99ego" title="Ciąg Cauchy’ego">ciągami Cauchy’ego</a> liczb wymiernych, wówczas ciąg <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{n}=a_{n}\cdot b_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{n}=a_{n}\cdot b_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0916c688dc6cca51c3576f054579f77816f1d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.667ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c_{n}=a_{n}\cdot b_{n}}"></span> także jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych. Dowodzi się, że niezależnie od wyboru ciągów <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{n}^{'})\sim (a_{n}),(b_{n}^{'})\sim (b_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi></mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∼</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi></mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∼</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{n}^{'})\sim (a_{n}),(b_{n}^{'})\sim (b_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2fd364571570dfb16a694ad160b4ab24fb22071" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.797ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (a_{n}^{'})\sim (a_{n}),(b_{n}^{'})\sim (b_{n})}"></span> zachodzi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{n}^{'}\cdot b_{n}^{'})\sim (a_{n}\cdot b_{n}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi></mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msubsup> <mo>⋅</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi></mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∼</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{n}^{'}\cdot b_{n}^{'})\sim (a_{n}\cdot b_{n}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c43c93bc3997336c936687815461dff339dc05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.051ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (a_{n}^{'}\cdot b_{n}^{'})\sim (a_{n}\cdot b_{n}).}"></span> Klasa abstrakcji reprezentanta <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{n}\cdot b_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{n}\cdot b_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458fb1d0bd50291a9be8933ec7a8ade7cb571c16" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.153ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a_{n}\cdot b_{n})}"></span> jest iloczynem liczb utożsamianych z klasami reprezentantów <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{n}),(b_{n}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{n}),(b_{n}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a573dc1f37deeda71afa63acee45d8d55b310e42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.964ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a_{n}),(b_{n}).}"></span></dd></dl> <ul><li>iloczyn dwóch <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczb zespolonych</a> określony jest wzorem</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>i</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cac56fc7a0d7c9ec3059b036dcc30abd3e85374" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.621ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Oznaczenia">Oznaczenia</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Oznaczenia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Oznaczenia"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Mnożenie oznacza się na ogół symbolem kropki, np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cdot 2=4,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot 2=4,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d493eec6bf6bb73d69283c8adf20b83dd4ec0cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.912ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot 2=4,}"></span> czasami w miejsce kropki używa się znaku obróconego krzyżyka: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3\times 4=12,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mo>×</mo> <mn>4</mn> <mo>=</mo> <mn>12</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\times 4=12,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aab6cfecb8789154929bbd74562bc63595b6159" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.236ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 3\times 4=12,}"></span> zaś w informatyce, z racji łatwej dostępności na <a href="/wiki/Klawiatura_komputerowa" title="Klawiatura komputerowa">klawiaturze komputera</a>, przyjęło się używanie <a href="/wiki/Asterysk" title="Asterysk">asterysku</a>: <code>a = b * c</code>. </p><p>Jeśli nie prowadzi to do nieporozumień, symbol mnożenia w zapisie matematycznym często pomija się, np. zamiast <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\cdot b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>⋅</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\cdot b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620419d3ed53abc98659a5fc0f3a5eb6177830ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.906ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\cdot b}"></span> pisze się <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b39b72e3b30fae0a7f9b6086013251f3d87f523d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.874ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab.}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Własności"><span id="W.C5.82asno.C5.9Bci"></span>Własności</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: Własności" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Własności"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><table class="wikitable"> <tbody><tr> <th>Czynnik 1 </th> <th>Czynnik 2 </th> <th>Iloczyn </th></tr> <tr> <td>parzysty</td> <td>całkowity</td> <td>parzysty </td></tr> <tr> <td>całkowity</td> <td>parzysty</td> <td>parzysty </td></tr> <tr> <td>naturalny</td> <td>naturalny</td> <td>naturalny </td></tr> <tr> <td>całkowity</td> <td>całkowity</td> <td>całkowity </td></tr> <tr> <td>całkowity</td> <td>wymierny</td> <td>wymierny </td></tr> <tr> <td>wymierny</td> <td>niewymierny</td> <td>niewymierny lub zerowy </td></tr> <tr> <td>algebraiczny</td> <td>algebraiczny</td> <td>algebraiczny </td></tr> <tr> <td>algebraiczny</td> <td>przestępny</td> <td>przestępny lub zerowy </td></tr> <tr> <td>rzeczywisty</td> <td>rzeczywisty</td> <td>rzeczywisty </td></tr> <tr> <td>zespolony</td> <td>zespolony</td> <td>zespolony </td></tr></tbody></table></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Produkt">Produkt</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit&section=7" title="Edytuj sekcję: Produkt" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit&section=7" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Produkt"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>iloczyn skończony</li> <li><a href="/wiki/Iloczyn_niesko%C5%84czony" title="Iloczyn nieskończony">iloczyn nieskończony</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Iloczyn_skończonej_liczby_czynników"><span id="Iloczyn_sko.C5.84czonej_liczby_czynnik.C3.B3w"></span>Iloczyn skończonej liczby czynników</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit&section=8" title="Edytuj sekcję: Iloczyn skończonej liczby czynników" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit&section=8" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Iloczyn skończonej liczby czynników"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Niech <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> będzie zbiorem, w którym określono działanie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋅</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:0.647ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdot }"></span> łączne i mające element neutralny <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"></span> (tzn. struktura <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A,\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A,\cdot )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac43a0ba7d67fce39388e04b490963050f097d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.233ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (A,\cdot )}"></span> jest <a href="/wiki/Monoid" title="Monoid">monoidem</a>). Może to być np. zbiór liczb rzeczywistych (lub zespolonych) z mnożeniem. Wówczas definiujemy iloczyn <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336c2325a299812d5a0f7b96f149acf80b786971" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:5.386ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a_{i}}"></span> indukcyjnie wzorami </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod _{i=1}^{0}a_{i}=1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod _{i=1}^{0}a_{i}=1,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38e9a71c9ad5a0fc696074c595846efe0d43c83d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:10.294ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \prod _{i=1}^{0}a_{i}=1,}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod _{i=1}^{n+1}a_{i}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}\cdot a_{n+1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod _{i=1}^{n+1}a_{i}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}\cdot a_{n+1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8c12b1af88e1e0e4dbcf574d9c6d8d697bf172" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:20.216ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \prod _{i=1}^{n+1}a_{i}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}\cdot a_{n+1}}"></span></dd></dl> <p>i w podobny sposób definiujemy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod _{i=n}^{m}a_{i}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod _{i=n}^{m}a_{i}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f929a1e21c672e9594f961213436b03ee1bd08e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:6.033ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \prod _{i=n}^{m}a_{i}.}"></span> </p><p>Notację tę można uogólnić, gdy dany jest dowolny warunek logiczny dotyczący wskaźnika, np.: </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod \limits _{0\leqslant x<100}f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="false">∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> <mo>⩽</mo> <mi>x</mi> <mo><</mo> <mn>100</mn> </mrow> </munder> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod \limits _{0\leqslant x<100}f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb5ddcb440b7d29cb3b125e281302dc4df54a0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:11.59ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \prod \limits _{0\leqslant x<100}f(x)}"></span> jest iloczynem czynników postaci <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"></span> dla każdego <a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">całkowitego</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> z <a href="/wiki/Przedzia%C5%82_(matematyka)" title="Przedział (matematyka)">przedziału</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,100),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>100</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,100),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/319875efb3d83f0f63eb93a22e8f334eea2227ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.882ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,100),}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod \limits _{x\in S}f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo movablelimits="false">∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod \limits _{x\in S}f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3e94af75482f0fc0417e9cec141366acf7db79" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:7.901ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \prod \limits _{x\in S}f(x)}"></span> jest iloczynem czynników postaci <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"></span> dla każdego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51186ba8afb2067573a9082d55dd383df1ea9214" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.67ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in S}"></span> (niekoniecznie całkowitego).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Algebra">Algebra</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit&section=9" title="Edytuj sekcję: Algebra" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit&section=9" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Algebra"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Mnożenie liczb zostało uogólnione na <a href="/wiki/Struktura_matematyczna" title="Struktura matematyczna">struktury algebraiczne</a> nazwane <a href="/wiki/Pier%C5%9Bcie%C5%84_(matematyka)" title="Pierścień (matematyka)">pierścieniami</a> (np. liczby całkowite) i <a href="/wiki/Cia%C5%82o_(matematyka)" title="Ciało (matematyka)">ciałami</a> (liczby wymierne, rzeczywiste, zespolone). </p><p>Rozpatruje się także mnożenie elementów ciała i <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa">przestrzeni liniowej</a> nad tym ciałem, tzw. <i><a href="/wiki/Mno%C5%BCenie_przez_skalar" title="Mnożenie przez skalar">mnożenie przez skalar</a></i>. Mnożeniem nazywa się często działanie w <a href="/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka)">grupach</a> w <a href="/wiki/Grupa_multiplikatywna" title="Grupa multiplikatywna">zapisie multiplikatywnym</a>. </p><p>W tych strukturach mnożenie zwykle jest <a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączne</a> i <a href="/wiki/Rozdzielno%C5%9B%C4%87" title="Rozdzielność">rozdzielne</a> względem dodawania. Nie zawsze jest jednak <a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemienne</a>, np. <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie_macierzy" title="Mnożenie macierzy">mnożenie macierzy</a> i <a href="/wiki/Iloczyn_wektorowy" title="Iloczyn wektorowy">iloczyn wektorowy</a> czy też mnożenie w <a href="/wiki/J%C4%99zyk_naturalny" title="Język naturalny">języku naturalnym</a><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4">[3]</a></sup>. Iloczyn wektorowy nie jest również <a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączny</a>; mnożenie nie jest łączne także w <a href="/wiki/Kwaterniony" title="Kwaterniony">kwaternionach</a> i <a href="/wiki/Oktawy_Cayleya" title="Oktawy Cayleya">oktonionach</a>. Wynik mnożenia, nazywanego <a href="/wiki/Iloczyn_skalarny" title="Iloczyn skalarny">iloczynem skalarnym</a>, pochodzi z innego zbioru niż czynniki. </p><p>Działanie mnożenia może mieć <a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">element neutralny</a>, najogólniejszymi strukturami, w których <a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">działanie dwuargumentowe</a> ma element neutralny są <a href="/wiki/Monoid" title="Monoid">monoid</a> (w którym działanie musi być łączne) i <a href="/wiki/Quasi-grupa" title="Quasi-grupa">quasi-grupa</a> (w którym działanie nie musi być łączne). Zwykle oznacza się go symbolem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"></span> (inne rozpowszechnione oznaczenia: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cfc3e7aeae6ef256412eaa9f68d097804943b5a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.73ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle e,}"></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.449ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i,}"></span> przy czym litery mogą być tak duże, jak i małe) i nazywa <i>jedynką</i> (zob. <a href="/wiki/Pier%C5%9Bcie%C5%84_z_jedynk%C4%85" title="Pierścień z jedynką">pierścień z jedynką</a>). </p><p>Z istnieniem jedynki związany jest tzw. <a href="/wiki/Element_odwrotny" title="Element odwrotny">element odwrotny</a>. Jeżeli iloczyn dwóch elementów jest jedynką, to elementy te nazywa się wzajemnie odwrotnymi. Najogólniejszą strukturą o tej własności jest <a href="/wiki/Quasi-grupa" title="Quasi-grupa">pętla</a>, czyli quasi-grupa z jedynką. Sama quasi-grupa to przykład struktury, w której można rozważać elementy odwrotne bez jedynki. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mnożenie_liczb_metodą_mnichów_z_Shaolin"><span id="Mno.C5.BCenie_liczb_metod.C4.85_mnich.C3.B3w_z_Shaolin"></span>Mnożenie liczb metodą mnichów z Shaolin</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit&section=10" title="Edytuj sekcję: Mnożenie liczb metodą mnichów z Shaolin" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit&section=10" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Mnożenie liczb metodą mnichów z Shaolin"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Shaolin.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Shaolin.gif/220px-Shaolin.gif" decoding="async" width="220" height="152" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Shaolin.gif/330px-Shaolin.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Shaolin.gif/440px-Shaolin.gif 2x" data-file-width="487" data-file-height="337" /></a><figcaption>Przykład mnożenia liczby 2 przez liczbę 3 oraz liczby 123 przez liczbę 25 metodą mnichów z Shaolin</figcaption></figure> <p>Liczba w metodzie mnichów z Shaolin reprezentowana jest za pomocą zbioru kresek. Każda cyfra zapisywana jest poprzez grupę równoległych do siebie kresek, o tej samej ilości co wartość cyfry (np. cyfrę <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 5}"></span> reprezentuje pięć równoległych kresek). Grupy kresek oddzielone są od siebie przerwami. Kreski <a href="/wiki/Liczby_pierwsze" title="Liczby pierwsze">liczby pierwszej</a> są prostopadłe do kresek liczby drugiej. Metoda polega na zliczaniu ilości przecięć pomiędzy kreskami. Zliczanie odbywa się na zasadzie przekątniowej. Przecięcia zliczane są wzdłuż przekątnej, zaczynając od najdalszej przekątnej z lewej strony. Jeżeli suma ilości kresek na danej przekątnej jest większa od <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 9,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>9</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 9,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9a0da884baeeb0249b1efb4a11810d5a3f5553" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.809ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 9,}"></span> wtedy należy dodać <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x-(x\ \mathrm {mod} \ 10))/10}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mn>10</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>10</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x-(x\ \mathrm {mod} \ 10))/10}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a018dcc71d6cb23a13e737a5db898fc537a20123" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.483ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x-(x\ \mathrm {mod} \ 10))/10}"></span> do wyniku poprzedniej przekątnej a cyfrę jedności <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\ \operatorname {mod} \ 10}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mtext> </mtext> <mi>mod</mi> <mo>⁡</mo> <mtext> </mtext> <mn>10</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\ \operatorname {mod} \ 10}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26787f39a579e1c11f3e36305845d3866f0642bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.981ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\ \operatorname {mod} \ 10}"></span> wpisać jako wynik dla rozpatrywanej przekątnej, wyjątkiem jest pierwsza przekątna, dla której wpisywany jest cały wynik. Z otrzymanych wartości konstruuje się końcowy wynik, zaczynając odpowiednio od wyniku uzyskanego w najdalszej przekątnej z prawej stron, ów wynik odpowiada za cyfrę jedności, wynik na kolejnej najbardziej z prawej strony przekątnej odpowiada cyfrze dziesiątek, na kolejnej setek itd. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Multyplikacja">Multyplikacja</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit&section=11" title="Edytuj sekcję: Multyplikacja" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit&section=11" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Multyplikacja"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r75093636">.mw-parser-output .ambox2{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);border-left:10px solid var(--color-progressive,#36c);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa);box-sizing:border-box;max-width:700px;margin:auto;display:grid;padding:.3em;gap:.3em;grid-template-columns:60px 1fr;align-items:center}.mw-parser-output .ambox2.with-imageright{grid-template-columns:60px 1fr min-content}.mw-parser-output .ambox2.without-image{grid-template-columns:1fr}.mw-parser-output .ambox2-imageright,.mw-parser-output .ambox2-image{justify-self:center}@media(max-width:450px){.mw-parser-output .ambox2-imageright{grid-row:2;grid-column:1/span 2;justify-self:end}.mw-parser-output .ambox2.with-imageright{grid-template-columns:40px 1fr}.mw-parser-output .ambox2{grid-template-columns:40px 1fr}}.mw-parser-output .ambox2.ambox-delete,.mw-parser-output .ambox2.ambox-serious{border-left-color:#d33}.mw-parser-output .ambox2.ambox-content{border-left-color:#f28500}.mw-parser-output .ambox2.ambox-notice{border-left-color:var(--color-progressive,#36c)}.mw-parser-output .ambox2.ambox-merge{border-left-color:#9932cc}.mw-parser-output .ambox2{margin-top:-1px}</style> <div class="metadata plainlinks ambox2 ambox-merge"> <div class="ambox2-image"> <div><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/35px-Wikisource-logo.svg.png" decoding="async" width="35" height="37" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/53px-Wikisource-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/70px-Wikisource-logo.svg.png 2x" data-file-width="410" data-file-height="430" /></span></span></div></div> <div class="ambox2-text"> <b>Zasugerowano, aby ta sekcja została przeniesiona do <a href="https://pl.wikisource.org/wiki/" class="extiw" title="s:">Wikiźródeł</a></b>.</div> </div> <p><b>Multyplikacją</b> w siedemnastowiecznej i późniejszej polszczyźnie nazywano działanie mnożenia, podobnie jak numeracją nazywano liczenie, dywizją – dzielenie, frakcją – ułamek. </p><p>Przykładem niech będzie wyjątek <i>Geometry polskiego zabawa o arytmetyce albo rachowaniu</i> z podręcznika <i>Geometra polski</i> <a href="/wiki/Stanis%C5%82aw_Solski" title="Stanisław Solski">Stanisława Solskiego</a> z 1683 roku<sup id="cite_ref-CITEREFWięsław1997291_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-CITEREFWięsław1997291-5">[4]</a></sup>: </p> <dl><dd><dl><dd><b>O multyplikowaniu frakcyj</b></dd></dl></dd> <dd><i>Liczących zmultyplikuj, dadzą liczącego;</i></dd> <dd><i>Toż uczyń mianującym, masz mianującego.</i></dd> <dd><i>Jeśli frakcją przyjdzie wprowadzić całego,</i></dd> <dd><i>Złam go: toż zmultyplikuj; wyjdzie produkt jego.</i></dd></dl> <p>Słowo „multyplikacja” i słowa pokrewne występują w słownikach do „Słownika języka polskiego” pod redakcją <a href="/wiki/Witold_Doroszewski" title="Witold Doroszewski">Witolda Doroszewskiego</a> i „Słownika wyrazów obcych” <a href="/wiki/W%C5%82adys%C5%82aw_Kopali%C5%84ski" title="Władysław Kopaliński">Władysława Kopalińskiego</a> włącznie. </p><p>Przed XVII wiekiem <a href="/wiki/Stanis%C5%82aw_Grzepski" title="Stanisław Grzepski">Stanisław Grzepski</a> używał formy „multiplikuią” (mnożą)<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6">[5]</a></sup>. </p><p>Od słowa „multyplikacja” pochodzą przymiotniki „multyplikatywny”, „multyplikatywna” używane jeszcze niekiedy w terminologii matematycznej: „grupa multyplikatywna”<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7">[6]</a></sup> (dziś raczej: <a href="/wiki/Grupa_multiplikatywna" title="Grupa multiplikatywna">grupa multiplikatywna</a>), <a href="/wiki/Grupa_(matematyka)#Konwencje_zapisu" title="Grupa (matematyka)">zapis multyplikatywny</a><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8">[7]</a></sup>, „zbiór multyplikatywny” (dziś raczej: <a href="/w/index.php?title=Zbi%C3%B3r_multiplikatywny&action=edit&redlink=1" class="new" title="Zbiór multiplikatywny (strona nie istnieje)">zbiór multiplikatywny</a>)<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9">[8]</a></sup>, <a href="/wiki/Funkcja_multiplikatywna" title="Funkcja multiplikatywna">funkcja multiplikatywna</a><sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10">[9]</a></sup>. Znaczeniem tych przymiotników jest „odnoszący się do działania mnożenia”, „związany z mnożeniem w określony sposób”. </p><p>Słownik języka polskiego z przełomu XIX i XX wieku<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11">[10]</a></sup> klasyfikuje matematyczne znaczenia słów „multyplikacja” (działanie mnożenia) i „multyplikator” (czynnik w mnożeniu) jako archaizmy (wyrazy staropolskie), choć uznaje za używane biologiczne znaczenie „multyplikacja” (rozmnażanie, mnożenie się) i techniczne znaczenie „multyplikator”; por.: </p> <dl><dd>– Vivant! floreant! – krzyczeli żołnierze, gdy mały rycerz z Basią zatrzymali się dla odczytania napisu.</dd> <dd>– Dla Boga! – rzekł pan Zagłoba – przecie ja także gość, ale jeżeli to życzenie <b>multyplikacji</b> i do mnie się stosuje, tedy niech mnie krucy zdziobią, jeżeli wiem, co mam z nim robić<sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12">[11]</a></sup>.</dd></dl> <p>Dziś słowa „multyplikacja” i jej pochodne wyszły już właściwie z użycia na rzecz <i>multiplikacja</i>, <i>multiplikatywny</i>, pozostając w użyciu głównie przez starszych użytkowników języka. Zjawisko wypierania starszych zachodziło równolegle ze zmianami w innych wyrazach, m.in. rozróżnienie <i><a href="/wiki/Plastyk" title="Plastyk">plastyk</a></i> (zawód lub zajęcie) i <i><a href="/wiki/Tworzywa_sztuczne" title="Tworzywa sztuczne">plastik</a></i> (tworzywo sztuczne). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zobacz_też"><span id="Zobacz_te.C5.BC"></span>Zobacz też</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit&section=12" title="Edytuj sekcję: Zobacz też" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit&section=12" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="infobox noprint plainlinks" cellpadding="4" role="presentation"> <tbody><tr> <td style="vertical-align:middle; text-align:center; width:30px;"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/28px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png" decoding="async" width="28" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/42px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/56px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png 2x" data-file-width="122" data-file-height="117" /></span></span> </td> <td style="line-height:normal; vertical-align:middle; text-align:center; flex:unset;"><a href="https://pl.wiktionary.org/wiki/mno%C5%BCenie" class="extiw" title="wikt:mnożenie"><strong>Zobacz hasło</strong> <em>mnożenie</em> w Wikisłowniku</a> </td></tr></tbody></table> <ul><li><a href="/wiki/Silnia" title="Silnia">silnia</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_mno%C5%BCeniu" title="Twierdzenie o mnożeniu">twierdzenie o mnożeniu</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Uwagi">Uwagi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit&section=13" title="Edytuj sekcję: Uwagi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit&section=13" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Uwagi"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection refsection-uwagi ll-script ll-script-uwagi"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Ściśle biorąc, mnoży się liczby jednocyfrowe.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit&section=14" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit&section=14" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-epwn-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-epwn_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3942406"><i>mnożenie</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2024-02-02]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=mno%C5%BCenie&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3942406" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://sjp.pwn.pl/sjp/;2484066">mnożenie</a></i> [w:] <i>Słownik języka polskiego</i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">PWN</a> [dostęp 2024-02-02].</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://mamadu.pl/141655,sprawdzian-z-matematyki-nauczyciel-odjal-punkty-za-poprawne-wyniki"><i>Uczeń poprawnie rozwiązał zadania i dostał... 3+. Skorzystał z jednej z żelaznych zasad matematyki</i></a> [online], MamaDu.pl<span class="accessdate"> [dostęp 2021-06-07]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=Ucze%C5%84+poprawnie+rozwi%C4%85za%C5%82+zadania+i+dosta%C5%82...+3%2B.+Skorzysta%C5%82+z+jednej+z+%C5%BCelaznych+zasad+matematyki&rft_id=http%3A%2F%2Fmamadu.pl%2F141655%2Csprawdzian-z-matematyki-nauczyciel-odjal-punkty-za-poprawne-wyniki" style="display:none"> </span> <span class="lang-list tylko-pl">(<abbr title="Treść w języku polskim">pol.</abbr>)</span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-CITEREFWięsław1997291-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-CITEREFWięsław1997291_5-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <span class="harvard-citation"><a href="#CITEREFWięsław1997">Więsław 1997 ↓</a></span>, s. 291.</span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">Słownik polszczyzny XVI wieku T. 15: Mor – Nałysion, s. 172 <a rel="nofollow" class="external text" href="https://kpbc.umk.pl/Content/29972/Czytelnia_007_05.djvu">kpbc.umk.pl</a>.</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Andrzej_Bia%C5%82ynicki-Birula" title="Andrzej Białynicki-Birula">Andrzej Białynicki-Birula</a>: <i>Zarys algebry.</i> PWN 1987, s. 47.</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text">M.I. Kargapołow, J.I. Mierzliakow: <i>Podstawy teorii grup.</i> PWN 1976, s. 14.</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text">St. Balcerzyk, T. Józefiak: <i>Pierścienie przemienne</i>, PWN 1985, s. 31.</span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/W%C5%82adys%C5%82aw_Narkiewicz" title="Władysław Narkiewicz">Władysław Narkiewicz</a>: <i>Teoria liczb.</i> PWN 1977, s. 67.</span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a></span> <span class="reference-text">Jan Karłowicz, Adam Kryński, Władysław Niedźwiedzki (red.): <i>Słownik języka polskiego, tom II, H-M</i>, Warszawa 1900, s. 1067.</span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Henryk_Sienkiewicz" title="Henryk Sienkiewicz">Henryk Sienkiewicz</a>, <i><a href="/wiki/Pan_Wo%C5%82odyjowski" title="Pan Wołodyjowski">Pan Wołodyjowski</a></i>, koniec rozdziału XXII.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit&section=15" title="Edytuj sekcję: Bibliografia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit&section=15" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Bibliografia"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation book" id="CITEREFWięsław1997"><a href="/wiki/Witold_Wi%C4%99s%C5%82aw" title="Witold Więsław">Witold Więsław</a>: <i>Matematyka i jej historia</i>. <a href="/wiki/Opole" title="Opole">Opole</a>: 1997.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Matematyka+i+jej+historia&rft.aulast=Wi%C4%99s%C5%82aw&rft.aufirst=Witold&rft.place=%5B%5BOpole%5D%5D"></span></cite></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Linki_zewnętrzne"><span id="Linki_zewn.C4.99trzne"></span>Linki zewnętrzne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&veaction=edit&section=16" title="Edytuj sekcję: Linki zewnętrzne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&action=edit&section=16" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Linki zewnętrzne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation open-access"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Eric W.</span><span class="cite-name-initials" title="Eric W." style="display:none">E.W.</span> </span><span class="cite-lastname">Weisstein</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Eric W.</span><span class="cite-name-initials" title="Eric W.">E.W.</span></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/Multiplication.html"><i>Multiplication</i></a>, [w:] <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>, <a href="/wiki/Wolfram_Research" title="Wolfram Research">Wolfram Research</a><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=bookitem&rft.aufirst=Eric+W.&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=%5B%5BMathWorld%5D%5D&rft.atitle=Multiplication&rft.aulast=Weisstein&rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FMultiplication.html" style="display:none"> </span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite> [dostęp 2024-02-02].</li> <li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Multiplication">Multiplication</a></i> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].</li> <li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/16px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=H4I2C3Ts7_w">The Multiplication Multiverse</a></i>, kanał PBS Infinite Series na <a href="/wiki/YouTube" title="YouTube">YouTube</a>, 23 listopada 2017 [dostęp 2024-08-29].</li></ul> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74983602">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy .before,.mw-parser-output .navbox.pionowy .after{padding:0.5em 0;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.caption,.mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background:#ccf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox .tnavbar{font-weight:normal;font-size:xx-small;white-space:nowrap;padding:0}.mw-parser-output .navbox>.tnavbar{margin-left:1em;float:left}.mw-parser-output .navbox .below>hr+.tnavbar{margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox .below>.tnavbar:before{content:"Ten szablon: "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:after{content:" · "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .navbox hr{margin:0.2em 1em}.mw-parser-output .navbox .title{background:#ddf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content:not(.grupa-szablonów-nawigacyjnych){margin-top:2px;padding:0;font-size:smaller;overflow:auto}.mw-parser-output .navbox .above+div,.mw-parser-output .navbox .above+.navbox-main-content,.mw-parser-output .navbox .below,.mw-parser-output .navbox .title+.grid{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below{background:#ddf;text-align:center;margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .navbox .flex>.before,.mw-parser-output .navbox .flex>.after{align-self:center;text-align:center}.mw-parser-output .navbox .flex>.navbox-main-content{flex-grow:1}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .before{margin-right:0.5em}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .after{margin-left:0.5em}.mw-parser-output .navbox .inner-columns,.mw-parser-output .navbox .inner-group,.mw-parser-output .navbox .inner-standard{border-spacing:0;border-collapse:collapse;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis{text-align:right;vertical-align:middle}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis+.spis{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td{padding:0;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td:first-child{text-align:center}.mw-parser-output .navbox .inner-standard .inner-standard>tbody>tr>td{text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-odd,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-even{padding:0 0.3em}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>th+td{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns{table-layout:fixed}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{padding:0;border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);border-right:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{vertical-align:top}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:first-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:first-child{border-left:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:last-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:last-child{border-right:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ul,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ol,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>dl{text-align:left;column-width:24em}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+table{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.opis,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.spis{padding:0.1em 1em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-toggle,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.mw-collapsible-toggle{width:4em;text-align:right;margin-right:0.4em}.mw-parser-output .navbox>.fakebar,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.fakebar{float:left;width:4em;height:1em}.mw-parser-output .navbox .opis{background:#ddf;padding:0 1em;white-space:nowrap;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox.pionowy .opis{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-even,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-odd{background:transparent}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-odd,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-even{background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div{background:transparent}.mw-parser-output .navbox p{margin:0;padding:0.3em 0}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:gold}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:silver}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#c96}.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ul,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>dl,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ol{column-width:24em;text-align:left}.mw-parser-output .navbox ul{list-style:none}.mw-parser-output .navbox .references{background:transparent}.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dd,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dt,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist li{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox .rok{display:inline-block;width:4em;padding-right:0.5em;text-align:right}.mw-parser-output .navbox .navbox-statistics{margin-top:2px;border-top:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);text-align:center;font-size:small}.mw-parser-output .navbox-summary>.title{font-weight:bold;font-size:larger}.mw-parser-output .navbox:not(.grupa-szablonów) .navbox{margin:0;border:0;padding:0}.mw-parser-output .navbox.grupa-szablonów>.grupa-szablonów-nawigacyjnych>.navbox:first-child{margin-top:2px}@media(max-width:800px){.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.before,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.after{display:none}}.mw-parser-output .navbox .opis img,.mw-parser-output .navbox .opis .flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.image{display:none}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}</style><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Arytmetyka_elementarna" title="Szablon:Arytmetyka elementarna"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Arytmetyka_elementarna&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Arytmetyka elementarna (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Arytmetyka_elementarna&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Arytmetyka_elementarna" title="Arytmetyka elementarna">Arytmetyka elementarna</a></div><div class="mw-collapsible-content"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">podstawowe<br />typy <a href="/wiki/Liczba" title="Liczba">liczb</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">naturalne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">całkowite</a> <ul><li><a href="/wiki/Parzysto%C5%9B%C4%87_liczb" title="Parzystość liczb">parzyste i nieparzyste</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">wymierne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">rzeczywiste</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">dodatnie i ujemne</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działania</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a2_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">dwuargumentowe</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawanie</a> (+)</li> <li><a href="/wiki/Odejmowanie" title="Odejmowanie">odejmowanie</a> (− -)</li> <li><a class="mw-selflink selflink">mnożenie</a> (· × *) <ul><li><a href="/wiki/Tabliczka_mno%C5%BCenia" title="Tabliczka mnożenia">tabliczka mnożenia</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Dzielenie" title="Dzielenie">dzielenie</a> (: ÷ /) <ul><li><a href="/wiki/Dzielenie_przez_zero" title="Dzielenie przez zero">przez zero</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_dzieleniu_z_reszt%C4%85" title="Twierdzenie o dzieleniu z resztą">z resztą</a></li> <li><a href="/wiki/Modulo" title="Modulo">modulo</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Pot%C4%99gowanie" title="Potęgowanie">potęgowanie</a> (^) <ul><li><a href="/wiki/Algorytm_szybkiego_pot%C4%99gowania" title="Algorytm szybkiego potęgowania">algorytm szybkiego potęgowania</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_jednoargumentowe" title="Działanie jednoargumentowe">jednoargumentowe</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Liczba_przeciwna" title="Liczba przeciwna">liczba przeciwna</a></li> <li><a href="/wiki/Liczba_odwrotna" title="Liczba odwrotna">liczba odwrotna</a></li> <li><a href="/wiki/Kwadrat_(algebra)" title="Kwadrat (algebra)">kwadrat</a> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_kwadratowe" title="Liczby kwadratowe">liczby kwadratowe</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Sze%C5%9Bcian_(algebra)" title="Sześcian (algebra)">sześcian</a></li> <li><a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna">wartość bezwzględna</a></li> <li><a href="/wiki/Zaokr%C4%85glanie" title="Zaokrąglanie">zaokrąglanie</a> <ul><li><a href="/wiki/Pod%C5%82oga_i_sufit" title="Podłoga i sufit">podłoga i sufit</a></li></ul></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">ułamki</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">zwykłe</a></li> <li><a href="/wiki/U%C5%82amek_dziesi%C4%99tny" title="Ułamek dziesiętny">dziesiętne</a> <ul><li><a href="/wiki/U%C5%82amek_dziesi%C4%99tny_niesko%C5%84czony" title="Ułamek dziesiętny nieskończony">nieskończone</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/U%C5%82amek_egipski" title="Ułamek egipski">egipskie</a></li> <li><a href="/wiki/Procent" title="Procent">procent</a> (%)</li> <li><a href="/wiki/Punkt_procentowy" title="Punkt procentowy">punkt procentowy</a></li> <li><a href="/wiki/Promil" title="Promil">promil</a> (‰)</li> <li><a href="/wiki/Punkt_bazowy" title="Punkt bazowy">punkt bazowy</a> (‱)</li> <li><a href="/wiki/Sposoby_zapisu_bezwymiarowego_stosunku_dw%C3%B3ch_wielko%C5%9Bci" title="Sposoby zapisu bezwymiarowego stosunku dwóch wielkości">ppm, ppb itp.</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Symbol" title="Symbol">symbole</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a5_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">liczb</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Cyfra" title="Cyfra">cyfry</a></li> <li><a href="/wiki/Plus_i_minus" title="Plus i minus">plus i minus</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_plus-minus" title="Znak plus-minus">plus-minus</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Separator_dziesi%C4%99tny" title="Separator dziesiętny">separator dziesiętny</a> <ul><li><a href="/wiki/Przecinek" title="Przecinek">przecinek</a></li> <li><a href="/wiki/Kropka" title="Kropka">kropka</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Procent_(symbol)" title="Procent (symbol)">symbol procenta</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">działań</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Plus_i_minus" title="Plus i minus">plus i minus</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_plus-minus" title="Znak plus-minus">plus-minus</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Znak_mno%C5%BCenia" title="Znak mnożenia">znak mnożenia</a> <ul><li><a href="/wiki/Kropka_%C5%9Brodkowa" title="Kropka środkowa">kropka środkowa</a></li> <li><a href="/wiki/Asterysk" title="Asterysk">asterysk</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Znak_dzielenia" title="Znak dzielenia">znak dzielenia</a> <ul><li><a href="/wiki/Dwukropek" title="Dwukropek">dwukropek</a></li> <li><a href="/wiki/Uko%C5%9Bnik" title="Ukośnik">ukośnik</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Kareta_(znak)" title="Kareta (znak)">kareta</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">relacji</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Znak_r%C3%B3wno%C5%9Bci" title="Znak równości">znak równości</a></li> <li><a href="/wiki/Znak_nier%C3%B3wno%C5%9Bci" title="Znak nierówności">znaki nierówności</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5_4"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Nawias" title="Nawias">nawiasy</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row">reguły zapisu</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/System_liczbowy" title="System liczbowy">systemy liczbowe</a></li> <li><a href="/wiki/Notacja_naukowa" title="Notacja naukowa">notacja naukowa</a> <ul><li><a href="/wiki/Cyfry_znacz%C4%85ce" title="Cyfry znaczące">cyfry znaczące</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Kolejno%C5%9B%C4%87_wykonywania_dzia%C5%82a%C5%84" title="Kolejność wykonywania działań">kolejność wykonywania działań</a></li></ul> </td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row">prawa działań</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemienność</a></li> <li><a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączność</a></li> <li><a href="/wiki/Rozdzielno%C5%9B%C4%87" title="Rozdzielność">rozdzielność</a></li> <li><a href="/wiki/Wzory_skr%C3%B3conego_mno%C5%BCenia" title="Wzory skróconego mnożenia">wzory skróconego mnożenia</a> <ul><li><a href="/wiki/Dwumian_Newtona" title="Dwumian Newtona">dwumian Newtona</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Narz%C4%99dzie" title="Narzędzie">narzędzia</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a8_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Liczyd%C5%82o" title="Liczydło">liczydła</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Abakus_(liczyd%C5%82o)" title="Abakus (liczydło)">abak</a></li> <li><a href="/wiki/Kostki_Napiera" title="Kostki Napiera">kostki Napiera</a></li> <li><a href="/wiki/Soroban" title="Soroban">soroban</a></li> <li><a href="/wiki/Suanpan" title="Suanpan">suanpan</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Kalkulator" title="Kalkulator">kalkulatory</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Arytmometr" title="Arytmometr">arytmometr</a></li> <li><a href="/wiki/Sumator_(maszyna_biurowa)" title="Sumator (maszyna biurowa)">sumator</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Suwak_logarytmiczny" title="Suwak logarytmiczny">suwak logarytmiczny</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row">powiązane pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Symbol_nieoznaczony" title="Symbol nieoznaczony">symbol nieoznaczony</a></li> <li><a href="/wiki/Obliczeniowiec" title="Obliczeniowiec">obliczeniowiec</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10"><th class="navbox-group opis" scope="row">rozszerzenia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Teoria_liczb" title="Teoria liczb">teoria liczb</a></li> <li><a href="/wiki/Arytmetyka_modularna" title="Arytmetyka modularna">arytmetyka modularna</a></li> <li><a href="/wiki/Rachunek_b%C5%82%C4%99d%C3%B3w" title="Rachunek błędów">rachunek błędów</a> <ul><li><a href="/wiki/Analiza_przedzia%C5%82owa" title="Analiza przedziałowa">analiza przedziałowa</a></li></ul></li></ul> </td></tr></tbody></table></div></div> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r74983602"><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Teoria_grup" title="Szablon:Teoria grup"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Teoria_grup&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Teoria grup (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Teoria_grup&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Teoria_grup" title="Teoria grup">Teoria grup</a></div><div class="mw-collapsible-content flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">podstawy</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">działanie dwuargumentowe</a></li> <li><a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączność</a></li> <li><a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">element neutralny</a></li> <li><a href="/wiki/Element_odwrotny" title="Element odwrotny">element odwrotny</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka)">grupa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Przyk%C5%82ady_grup" title="Przykłady grup">przykłady</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a2_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">z <a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawaniem</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">liczby całkowite</a> <ul><li><a href="/wiki/Parzysto%C5%9B%C4%87_liczb" title="Parzystość liczb">liczby parzyste</a></li> <li><a href="/wiki/0" title="0">zero</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczby wymierne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczby rzeczywiste</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczby zespolone</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa" title="Przestrzeń euklidesowa">przestrzeń kartezjańska</a></li> <li><a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">wielomiany</a></li> <li><a href="/wiki/Wektor" title="Wektor">wektory</a></li> <li><a href="/wiki/Arytmetyka_modularna" title="Arytmetyka modularna">całkowite reszty z dzielenia</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">z <a class="mw-selflink selflink">mnożeniem</a><br />liczb</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li>niezerowe <a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczby wymierne</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">dodatnie</a> liczby wymierne</li> <li><a href="/wiki/1_(liczba)" title="1 (liczba)">jedynka</a></li></ul></li> <li>niezerowe <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczby rzeczywiste</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">dodatnie</a> liczby rzeczywiste</li></ul></li> <li>niezerowe <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczby zespolone</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_okr%C4%99gu" title="Grupa okręgu">grupa okręgu</a></li> <li><a href="/wiki/Pierwiastek_z_jedynki" title="Pierwiastek z jedynki">pierwiastki z jedynki</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">ze <a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">składaniem<br />funkcji</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_bijekcji" title="Grupa bijekcji">grupa bijekcji</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupa permutacji</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_alternuj%C4%85ca" title="Grupa alternująca">grupa alternująca</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_to%C5%BCsamo%C5%9Bciowa" title="Funkcja tożsamościowa">funkcja tożsamościowa</a></li></ul></li> <li>rzeczywiste <a href="/wiki/Funkcja_liniowa" title="Funkcja liniowa">funkcje liniowe</a></li> <li>rzeczywiste <a href="/wiki/Funkcja_homograficzna" title="Funkcja homograficzna">homografie</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_diedralna" title="Grupa diedralna">grupy diedralne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_4"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Macierz_odwrotna" title="Macierz odwrotna">macierze odwracalne</a> z <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie_macierzy" title="Mnożenie macierzy">mnożeniem macierzy</a> – <a href="/wiki/Pe%C5%82na_grupa_liniowa" title="Pełna grupa liniowa">pełne grupy liniowe</a></li> <li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_pot%C4%99gowy" title="Zbiór potęgowy">zbiory potęgowe</a> z <a href="/wiki/R%C3%B3%C5%BCnica_symetryczna_zbior%C3%B3w" title="Różnica symetryczna zbiorów">różnicą symetryczną</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Homomorfizm" title="Homomorfizm">homomorfizmy</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Homomorfizm_grup" title="Homomorfizm grup">homomorfizm grup</a> <ul><li><a href="/wiki/Reprezentacja_grupy" title="Reprezentacja grupy">reprezentacja grupy</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/J%C4%85dro_(algebra)" title="Jądro (algebra)">jądro</a></li> <li><a href="/wiki/Monomorfizm" title="Monomorfizm">monomorfizm</a></li> <li><a href="/wiki/Epimorfizm" title="Epimorfizm">epimorfizm</a></li> <li><a href="/wiki/Izomorfizm" title="Izomorfizm">izomorfizm</a></li> <li><a href="/wiki/Endomorfizm" title="Endomorfizm">endomorfizm</a> <ul><li><a href="/wiki/Automorfizm" title="Automorfizm">automorfizm</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Podgrupa" title="Podgrupa">podgrupy</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a4_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">ogólne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Warstwa_(teoria_grup)" title="Warstwa (teoria grup)">warstwa</a></li> <li><a href="/wiki/Indeks_podgrupy" title="Indeks podgrupy">indeks podgrupy</a></li> <li><a href="/wiki/Centralizator_i_normalizator" title="Centralizator i normalizator">centralizator i normalizator</a></li> <li><a href="/wiki/Iloczyn_kompleksowy" title="Iloczyn kompleksowy">iloczyn kompleksowy</a></li> <li><a href="/wiki/Podgrupa_torsyjna" title="Podgrupa torsyjna">podgrupa torsyjna</a></li> <li><a href="/wiki/Krata_podgrup" title="Krata podgrup">krata podgrup</a> <ul><li><a href="/wiki/Modularno%C5%9B%C4%87" title="Modularność">modularność</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Podgrupa_normalna" title="Podgrupa normalna">normalne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Kongruencja_(algebra)" title="Kongruencja (algebra)">kongruencja</a></li> <li><a href="/wiki/Zgodno%C5%9B%C4%87_relacji_z_dzia%C5%82aniem" title="Zgodność relacji z działaniem">zgodność relacji z działaniem</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_ilorazowa" title="Grupa ilorazowa">grupa ilorazowa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Podgrupa_charakterystyczna" title="Podgrupa charakterystyczna">charakterystyczne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Komutant" title="Komutant">komutant</a></li> <li><a href="/wiki/Norma_(teoria_grup)" title="Norma (teoria grup)">norma</a></li> <li><a href="/wiki/Podgrupa_Frattiniego" title="Podgrupa Frattiniego">podgrupa Frattiniego</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row">dalsze pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemienność</a></li> <li><a href="/wiki/Rz%C4%85d_(teoria_grup)" title="Rząd (teoria grup)">rząd grupy i jej elementu</a></li> <li><a href="/wiki/Iloczyny_grup" title="Iloczyny grup">iloczyny grup</a> <ul><li><a href="/wiki/Iloczyny_grup#Suma_prosta" title="Iloczyny grup">suma prosta</a></li> <li><a href="/wiki/Splot_(teoria_grup)" title="Splot (teoria grup)">splot</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_generator%C3%B3w_grupy" title="Zbiór generatorów grupy">zbiór generatorów grupy</a></li> <li><a href="/wiki/Komutator_(matematyka)" title="Komutator (matematyka)">komutator</a></li> <li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_grupy_na_zbiorze" title="Działanie grupy na zbiorze">działanie grupy na zbiorze</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row">rodzaje grup</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a6_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Grupa_przemienna" title="Grupa przemienna">przemienne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Sko%C5%84czenie_generowana_grupa_przemienna" title="Skończenie generowana grupa przemienna">skończenie generowane grupy przemienne</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina" title="Grupa czwórkowa Kleina">grupy czwórkowe Kleina</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_cykliczna" title="Grupa cykliczna">grupy cykliczne</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_trywialna" title="Grupa trywialna">grupy trywialne</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Grupa_abelowa_wolna" title="Grupa abelowa wolna">grupa abelowa wolna</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_addytywna" title="Grupa addytywna">addytywna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_algebraiczna" title="Grupa algebraiczna">algebraiczna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_charakterystycznie_prosta" title="Grupa charakterystycznie prosta">charakterystycznie prosta</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Coxetera" title="Grupa Coxetera">Coxetera</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_doskona%C5%82a" title="Grupa doskonała">doskonała</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Galois" title="Grupa Galois">Galois</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Hamiltona" title="Grupa Hamiltona">Hamiltona</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Hopfa" title="Grupa Hopfa">Hopfa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Liego" title="Grupa Liego">Liego</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_lokalnie_sko%C5%84czona" title="Grupa lokalnie skończona">lokalnie skończona</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_multiplikatywna" title="Grupa multiplikatywna">multiplikatywna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_nilpotentna" title="Grupa nilpotentna">nilpotentna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_odbi%C4%87" title="Grupa odbić">odbić</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_pe%C5%82na" title="Grupa pełna">pełna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_podstawowa" title="Grupa podstawowa">podstawowa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_prosta" title="Grupa prosta">prosta</a></li> <li><a href="/wiki/P-grupa" title="P-grupa">p-grupa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_rozwi%C4%85zalna" title="Grupa rozwiązalna">rozwiązalna</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_superrozwi%C4%85zalna" title="Grupa superrozwiązalna">superrozwiązalna</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Grupa_symetrii" title="Grupa symetrii">symetrii</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_torsyjna" title="Grupa torsyjna">torsyjna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_wolna" title="Grupa wolna">wolna</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie">twierdzenia</a><br />o grupach</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a7_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">skończonych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(teoria_grup)" title="Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)">Lagrange’a</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Cayleya" title="Twierdzenie Cayleya">Cayleya</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Cauchy%E2%80%99ego_(teoria_grup)" title="Twierdzenie Cauchy’ego (teoria grup)">Cauchy’ego</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenia_Sylowa" title="Twierdzenia Sylowa">Sylowa</a></li> <li><a href="/wiki/Klasyfikacja_sko%C5%84czonych_grup_prostych" title="Klasyfikacja skończonych grup prostych">klasyfikacja skończonych grup prostych</a></li></ul> </td></tr><tr class="a7_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">dowolnych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Jordana-H%C3%B6ldera" title="Twierdzenie Jordana-Höldera">Jordana-Höldera</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Schreiera" title="Twierdzenie Schreiera">Schreiera</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_odpowiednio%C5%9Bci" title="Twierdzenie o odpowiedniości">o odpowiedniości</a></li> <li><a href="/wiki/Lemat_Goursata" title="Lemat Goursata">lemat Goursata</a></li> <li><a href="/wiki/Lemat_Zassenhausa" title="Lemat Zassenhausa">lemat Zassenhausa</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row">grupy<br />z dodatkowymi<br /><a href="/wiki/Struktura_matematyczna" title="Struktura matematyczna">strukturami</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_z_operatorami" title="Grupa z operatorami">grupa z operatorami</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_uporz%C4%85dkowana" title="Grupa uporządkowana">grupa uporządkowana</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_topologiczna" title="Grupa topologiczna">grupa topologiczna</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_dyskretna" title="Grupa dyskretna">grupa dyskretna</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Uog%C3%B3lnienie" title="Uogólnienie">uogólnienia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Monoid" title="Monoid">monoid</a></li> <li><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82grupa" title="Półgrupa">półgrupa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupoid" title="Grupoid">grupoid</a></li> <li><a href="/wiki/Kategoria_(matematyka)" title="Kategoria (matematyka)">kategoria</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Naukowiec" title="Naukowiec">uczeni</a> według<br />daty narodzin</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a10_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XVIII_wiek" title="XVIII wiek">XVIII wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Joseph_Louis_Lagrange" title="Joseph Louis Lagrange">Joseph Louis Lagrange</a></li> <li><a href="/wiki/Augustin_Louis_Cauchy" title="Augustin Louis Cauchy">Augustin Louis Cauchy</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XIX_wiek" title="XIX wiek">XIX wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Niels_Henrik_Abel" title="Niels Henrik Abel">Niels Henrik Abel</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89variste_Galois" title="Évariste Galois">Évariste Galois</a></li> <li><a href="/wiki/Peter_Sylow" title="Peter Sylow">Peter Sylow</a></li> <li><a href="/wiki/Marie_Ennemond_Camille_Jordan" title="Marie Ennemond Camille Jordan">Marie Ennemond Camille Jordan</a></li> <li><a href="/wiki/Marius_Sophus_Lie" title="Marius Sophus Lie">Marius Sophus Lie</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89douard_Goursat" title="Édouard Goursat">Édouard Goursat</a></li> <li><a href="/wiki/Otto_Ludwig_H%C3%B6lder" title="Otto Ludwig Hölder">Otto Ludwig Hölder</a></li> <li><a href="/wiki/Heinz_Hopf" title="Heinz Hopf">Heinz Hopf</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XX_wiek" title="XX wiek">XX wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Otto_Schreier&action=edit&redlink=1" class="new" title="Otto Schreier (strona nie istnieje)">Otto Schreier</a><sup>(<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Otto_Schreier" class="extiw" title="en:Otto Schreier">en</a>)</sup></li> <li><a href="/wiki/Hans_Julius_Zassenhaus" title="Hans Julius Zassenhaus">Hans Julius Zassenhaus</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Circle_as_Lie_group.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/100px-Circle_as_Lie_group.svg.png" decoding="async" width="100" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/150px-Circle_as_Lie_group.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/200px-Circle_as_Lie_group.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span> </p> </div></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74016753">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-fehlt"><div><a href="/wiki/Kontrola_autorytatywna" title="Kontrola autorytatywna">Kontrola autorytatywna</a> (<span class="description"><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">działanie dwuargumentowe</a></span>):</div><ul><li><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://lccn.loc.gov/sh85088381">sh85088381</a></span></li><li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4170732-1">4170732-1</a></span></li><li><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Web_NDL_Authorities" class="extiw" title="de:Web NDL Authorities">NDL</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00575007">00575007</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioth%C3%A8que_nationale" title="Bibliothèque nationale">BnF</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11976399g">11976399g</a></span></li><li><a href="/wiki/Centralna_Biblioteka_Narodowa_we_Florencji" title="Centralna Biblioteka Narodowa we Florencji">BNCF</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=37024">37024</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Republiki_Czeskiej" title="Biblioteka Narodowa Republiki Czeskiej">NKC</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://aut.nkp.cz/ph896352">ph896352</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Izraela" title="Biblioteka Narodowa Izraela">J9U</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007550960505171">987007550960505171</a></span></li></ul></div><div class="normdaten-andere"><div><a href="/wiki/Encyklopedia_internetowa" title="Encyklopedia internetowa">Encyklopedie internetowe</a>:</div> <ul><li><a href="/wiki/Encyklopedia_Britannica" title="Encyklopedia Britannica">Britannica</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/multiplication">topic/multiplication</a></span></li> <li><a href="/wiki/Enciclopedia_Treccani" title="Enciclopedia Treccani">Treccani</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.treccani.it/enciclopedia/moltiplicazione">moltiplicazione</a></span></li> <li><a href="/wiki/Wielka_Encyklopedia_Rosyjska" title="Wielka Encyklopedia Rosyjska">БРЭ</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://old.bigenc.ru/text/4699131">4699131</a></span></li> <li><a href="/wiki/Store_norske_leksikon" title="Store norske leksikon">SNL</a>: <span class="uid"><a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=4342&url_prefix=https://snl.no/&id=multiplikasjon">multiplikasjon</a></span></li> <li><a href="/wiki/Den_Store_Danske_Encyklop%C3%A6di" title="Den Store Danske Encyklopædi">DSDE</a>: <span class="uid"><a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=8313&url_prefix=https://lex.dk/&id=multiplikation">multiplikation</a></span></li></ul> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Mnożenie&oldid=74711792">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Mnożenie&oldid=74711792</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategorie</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Artyku%C5%82y_do_przeniesienia_do_Wiki%C5%BAr%C3%B3de%C5%82" title="Kategoria:Artykuły do przeniesienia do Wikiźródeł">Artykuły do przeniesienia do Wikiźródeł</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Dzia%C5%82ania_na_liczbach" title="Kategoria:Działania na liczbach">Działania na liczbach</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Dzia%C5%82ania_dwuargumentowe" title="Kategoria:Działania dwuargumentowe">Działania dwuargumentowe</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Tę stronę ostatnio edytowano 8 wrz 2024, 12:28.</li> <li id="footer-info-copyright">Tekst udostępniany na licencji <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl">Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach</a>, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/pl">warunkach korzystania</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Polityka prywatności</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii">O Wikipedii</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Korzystasz_z_Wikipedii_tylko_na_w%C5%82asn%C4%85_odpowiedzialno%C5%9B%C4%87">Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Powszechne Zasady Postępowania</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Dla deweloperów</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pl.wikipedia.org">Statystyki</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Oświadczenie o ciasteczkach</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Mno%C5%BCenie&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Wersja mobilna</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-847495b4dd-2wz54","wgBackendResponseTime":198,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.372","walltime":"0.633","ppvisitednodes":{"value":2498,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":68248,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":1230,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":11,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":29143,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":6,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 384.771 1 -total"," 32.18% 123.835 10 Szablon:Szablon_nawigacyjny"," 31.40% 120.835 1 Szablon:Kontrola_autorytatywna"," 27.23% 104.789 1 Szablon:Arytmetyka_elementarna"," 14.14% 54.396 1 Szablon:Przypisy"," 10.40% 40.013 1 Szablon:Do_siostrzanego"," 8.18% 31.490 1 Szablon:Ambox"," 5.11% 19.660 1 Szablon:Encyklopedia_PWN"," 4.89% 18.830 2 Szablon:Ikona"," 4.68% 18.005 1 Szablon:Cytuj"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.184","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":3700353,"limit":52428800},"limitreport-logs":"required = table#1 {\n}\next = nil\next = false\next = nil\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\nrequired = table#1 {\n}\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.canary-d88f6f7df-xggf6","timestamp":"20241106025659","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Mno\u017cenie","url":"https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Mno%C5%BCenie","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q40276","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q40276","author":{"@type":"Organization","name":"Wsp\u00f3\u0142tw\u00f3rcy projekt\u00f3w Fundacji Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2003-12-13T02:44:53Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/b\/b3\/Three_by_Four.svg","headline":"dwuargumentowe dzia\u0142anie arytmetyczne"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

Mnożenie – Wikipedia, wolna encyklopedia