CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="nl" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Axiomatische verzamelingenleer - Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )nlwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","januari","februari","maart","april","mei","juni","juli","augustus","september","oktober","november","december"],"wgRequestId":"c3b55cd4-f60b-41f4-afc2-d0c56c752686","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Axiomatische_verzamelingenleer","wgTitle":"Axiomatische verzamelingenleer","wgCurRevisionId":52556374,"wgRevisionId":52556374,"wgArticleId":1596241,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Verzamelingenleer"],"wgPageViewLanguage":"nl","wgPageContentLanguage":"nl","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Axiomatische_verzamelingenleer","wgRelevantArticleId":1596241,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true, "wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"nl","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"nl"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":7000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q904423","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready", "user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","site","mediawiki.page.ready","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.Direct-link-to-Commons","ext.gadget.ProtectionTemplates","ext.gadget.InterProjectLinks","ext.gadget.hoofdbetekenis-titelwijziging","ext.gadget.switcher","ext.gadget.OpenStreetMapFrame","ext.gadget.subpages","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns", "ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=nl&modules=ext.cite.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=nl&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=nl&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.6"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Axiomatische verzamelingenleer - Wikipedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//nl.m.wikipedia.org/wiki/Axiomatische_verzamelingenleer"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Bewerken" href="/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (nl)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//nl.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Axiomatische_verzamelingenleer"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.nl"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Wikipedia Atom-feed" href="/w/index.php?title=Speciaal:RecenteWijzigingen&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Axiomatische_verzamelingenleer rootpage-Axiomatische_verzamelingenleer skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Naar inhoud springen</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Site"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Hoofdmenu" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Hoofdmenu</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Hoofdmenu</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">naar zijbalk verplaatsen</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">verbergen</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navigatie </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Hoofdpagina" title="Naar de hoofdpagina gaan [z]" accesskey="z"><span>Hoofdpagina</span></a></li><li id="n-zoekartikel" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portaal:Navigatie"><span>Vind een artikel</span></a></li><li id="n-today" class="mw-list-item"><a href="/wiki/12_december"><span>Vandaag</span></a></li><li id="n-Etalage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Etalage"><span>Etalage</span></a></li><li id="n-categories" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Categorie:Alles"><span>Categorieën</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciaal:RecenteWijzigingen" title="Een lijst met recente wijzigingen in deze wiki. [r]" accesskey="r"><span>Recente wijzigingen</span></a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciaal:NieuwePaginas"><span>Nieuwe artikelen</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciaal:Willekeurig" title="Een willekeurige pagina bekijken [x]" accesskey="x"><span>Willekeurige pagina</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-navigation2" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation2" > <div class="vector-menu-heading"> Informatie </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portaal:Gebruikersportaal" title="Informatie over het project: wat u kunt doen, waar u dingen kunt vinden"><span>Gebruikersportaal</span></a></li><li id="n-Snelcursus" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Snelcursus"><span>Snelcursus</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portaal:Hulp_en_beheer" title="Hulpinformatie over deze wiki"><span>Hulp en contact</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Hoofdpagina" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="de vrije encyclopedie" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-nl.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Speciaal:Zoeken" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Doorzoek Wikipedia [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Zoeken</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Doorzoek Wikipedia" aria-label="Doorzoek Wikipedia" autocapitalize="sentences" title="Doorzoek Wikipedia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Speciaal:Zoeken"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Zoeken</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Persoonlijke hulpmiddelen"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Uiterlijk"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="De lettergrootte, breedte en kleur van de pagina wijzigen" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Uiterlijk" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Uiterlijk</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=nl.wikipedia.org&uselang=nl" class=""><span>Doneren</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Speciaal:GebruikerAanmaken&returnto=Axiomatische+verzamelingenleer" title="Registreer u vooral en meld u aan. Dit is echter niet verplicht." class=""><span>Account aanmaken</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Speciaal:Aanmelden&returnto=Axiomatische+verzamelingenleer" title="U wordt van harte uitgenodigd om aan te melden, maar dit is niet verplicht [o]" accesskey="o" class=""><span>Aanmelden</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Meer opties" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Persoonlijke hulpmiddelen" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Persoonlijke hulpmiddelen</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Gebruikersmenu" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=nl.wikipedia.org&uselang=nl"><span>Doneren</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciaal:GebruikerAanmaken&returnto=Axiomatische+verzamelingenleer" title="Registreer u vooral en meld u aan. Dit is echter niet verplicht."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Account aanmaken</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciaal:Aanmelden&returnto=Axiomatische+verzamelingenleer" title="U wordt van harte uitgenodigd om aan te melden, maar dit is niet verplicht [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Aanmelden</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Pagina's voor uitgelogde redacteuren <a href="/wiki/Help:Inleiding" aria-label="Meer leren over bewerken"><span>meer lezen</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciaal:MijnBijdragen" title="Bijdragen IP-adres [y]" accesskey="y"><span>Bijdragen</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciaal:MijnOverleg" title="Overlegpagina van de anonieme gebruiker van dit IP-adres [n]" accesskey="n"><span>Overleg</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Site"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Inhoud" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Inhoud</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">naar zijbalk verplaatsen</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">verbergen</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Top</div> </a> </li> <li id="toc-Geschiedenis_en_uitingsvormen" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Geschiedenis_en_uitingsvormen"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Geschiedenis en uitingsvormen</span> </div> </a> <ul id="toc-Geschiedenis_en_uitingsvormen-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Voetnoten" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Voetnoten"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Voetnoten</span> </div> </a> <ul id="toc-Voetnoten-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Inhoud" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Inhoudsopgave omschakelen" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Inhoudsopgave omschakelen</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Axiomatische verzamelingenleer</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ga naar een artikel in een andere taal. Beschikbaar in 16 talen" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-16" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">16 talen</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A7%8D%E0%A6%AC%E0%A6%A4%E0%A6%83%E0%A6%B8%E0%A6%BF%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%A7%E0%A6%AE%E0%A7%82%E0%A6%B2%E0%A6%95_%E0%A6%B8%E0%A7%87%E0%A6%9F_%E0%A6%A4%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%AC" title="স্বতঃসিদ্ধমূলক সেট তত্ত্ব – Bengaals" lang="bn" hreflang="bn" data-title="স্বতঃসিদ্ধমূলক সেট তত্ত্ব" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="Bengaals" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Axiomatick%C3%A1_teorie_mno%C5%BEin" title="Axiomatická teorie množin – Tsjechisch" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Axiomatická teorie množin" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="Tsjechisch" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Damcaniaeth_setiau_wirebol" title="Damcaniaeth setiau wirebol – Welsh" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Damcaniaeth setiau wirebol" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="Welsh" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Axiomatische_Mengenlehre" title="Axiomatische Mengenlehre – Duits" lang="de" hreflang="de" data-title="Axiomatische Mengenlehre" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="Duits" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%DB%8C%D9%87_%D8%A7%D8%B5%D9%84_%D9%85%D9%88%D8%B6%D9%88%D8%B9%DB%8C_%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9%D9%87%E2%80%8C%D9%87%D8%A7" title="نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها – Perzisch" lang="fa" hreflang="fa" data-title="نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="Perzisch" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Aksiomaattinen_joukko-oppi" title="Aksiomaattinen joukko-oppi – Fins" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Aksiomaattinen joukko-oppi" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="Fins" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%95%D7%AA_%D7%94%D7%90%D7%A7%D7%A1%D7%99%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%AA" title="תורת הקבוצות האקסיומטית – Hebreeuws" lang="he" hreflang="he" data-title="תורת הקבוצות האקסיומטית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="Hebreeuws" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Axiomatikus_halmazelm%C3%A9let" title="Axiomatikus halmazelmélet – Hongaars" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Axiomatikus halmazelmélet" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="Hongaars" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_assiomatica_degli_insiemi" title="Teoria assiomatica degli insiemi – Italiaans" lang="it" hreflang="it" data-title="Teoria assiomatica degli insiemi" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="Italiaans" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96" title="公理的集合論 – Japans" lang="ja" hreflang="ja" data-title="公理的集合論" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Japans" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2" title="Аксиоматическая теория множеств – Russisch" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Аксиоматическая теория множеств" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Russisch" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%81%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B0_%D1%81%D0%BA%D1%83%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B0" title="Аксиоматска теорија скупова – Servisch" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Аксиоматска теорија скупова" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="Servisch" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/M%C3%A4ngdteoretiska_axiom" title="Mängdteoretiska axiom – Zweeds" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Mängdteoretiska axiom" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="Zweeds" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%97_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD" title="Аксіоматика теорії множин – Oekraïens" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Аксіоматика теорії множин" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="Oekraïens" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E5%8C%96%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA" title="公理化集合论 – Chinees" lang="zh" hreflang="zh" data-title="公理化集合论" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="Chinees" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%85%AC%E7%90%86" title="子集公理 – Kantonees" lang="yue" hreflang="yue" data-title="子集公理" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="Kantonees" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q904423#sitelinks-wikipedia" title="Taalkoppelingen bewerken" class="wbc-editpage">Koppelingen bewerken</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Naamruimten"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Axiomatische_verzamelingenleer" title="Inhoudspagina bekijken [c]" accesskey="c"><span>Artikel</span></a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Overleg:Axiomatische_verzamelingenleer&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Overleg over deze pagina (de pagina bestaat niet) [t]" accesskey="t"><span>Overleg</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Taalvariant wijzigen" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Nederlands</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Weergaven"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Axiomatische_verzamelingenleer"><span>Lezen</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&veaction=edit" title="Deze pagina bewerken [v]" accesskey="v"><span>Bewerken</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&action=edit" title="Broncode van deze pagina bewerken [e]" accesskey="e"><span>Brontekst bewerken</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&action=history" title="Eerdere versies van deze pagina [h]" accesskey="h"><span>Geschiedenis weergeven</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Paginahulpmiddelen"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Hulpmiddelen" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Hulpmiddelen</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Hulpmiddelen</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">naar zijbalk verplaatsen</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">verbergen</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Meer opties" > <div class="vector-menu-heading"> Handelingen </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Axiomatische_verzamelingenleer"><span>Lezen</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&veaction=edit" title="Deze pagina bewerken [v]" accesskey="v"><span>Bewerken</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&action=edit" title="Broncode van deze pagina bewerken [e]" accesskey="e"><span>Brontekst bewerken</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&action=history"><span>Geschiedenis weergeven</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Algemeen </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciaal:VerwijzingenNaarHier/Axiomatische_verzamelingenleer" title="Lijst met alle pagina's die naar deze pagina verwijzen [j]" accesskey="j"><span>Links naar deze pagina</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciaal:RecenteWijzigingenGelinkt/Axiomatische_verzamelingenleer" rel="nofollow" title="Recente wijzigingen in pagina's waar deze pagina naar verwijst [k]" accesskey="k"><span>Gerelateerde wijzigingen</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard?uselang=nl" title="Bestanden uploaden [u]" accesskey="u"><span>Bestand uploaden</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciaal:SpecialePaginas" title="Lijst met alle speciale pagina's [q]" accesskey="q"><span>Speciale pagina's</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&oldid=52556374" title="Permanente koppeling naar deze versie van deze pagina"><span>Permanente koppeling</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&action=info" title="Meer informatie over deze pagina"><span>Paginagegevens</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciaal:Citeren&page=Axiomatische_verzamelingenleer&id=52556374&wpFormIdentifier=titleform" title="Informatie over hoe u deze pagina kunt citeren"><span>Deze pagina citeren</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciaal:UrlQ%C4%B1sald%C4%B1c%C4%B1s%C4%B1&url=https%3A%2F%2Fnl.wikipedia.org%2Fwiki%2FAxiomatische_verzamelingenleer"><span>Verkorte URL verkrijgen</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciaal:QrKodu&url=https%3A%2F%2Fnl.wikipedia.org%2Fwiki%2FAxiomatische_verzamelingenleer"><span>QR-code downloaden</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Afdrukken/exporteren </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciaal:Boek&bookcmd=book_creator&referer=Axiomatische+verzamelingenleer"><span>Boek aanmaken</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciaal:DownloadAsPdf&page=Axiomatische_verzamelingenleer&action=show-download-screen"><span>Downloaden als PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&printable=yes" title="Printvriendelijke versie van deze pagina [p]" accesskey="p"><span>Afdrukversie</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> In andere projecten </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q904423" title="Koppeling naar item in verbonden gegevensrepository [g]" accesskey="g"><span>Wikidata-item</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Paginahulpmiddelen"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Uiterlijk"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Uiterlijk</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">naar zijbalk verplaatsen</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">verbergen</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="nl" dir="ltr"><p>Als een <b>axiomatische verzamelingenleer</b> geldt elke <a href="/wiki/Axioma" title="Axioma">axiomatisering</a> van de <a href="/wiki/Verzamelingenleer" title="Verzamelingenleer">verzamelingenleer</a> die de bekende <a href="/wiki/Antinomie" title="Antinomie">antinomieën</a> van de <a href="/wiki/Na%C3%AFeve_verzamelingenleer" title="Naïeve verzamelingenleer">naïeve verzamelingenleer</a> vermijdt. De meest verbreide axiomatisering in de moderne wiskunde is de <a href="/wiki/Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer" title="Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer">Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer</a>, al of niet met het <a href="/wiki/Keuzeaxioma" title="Keuzeaxioma">keuzeaxioma</a>, respectievelijk aangeduid door "ZFC" en "ZF" (De "C" staat hier voor "choice", het Engelse woord voor keuze). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschiedenis_en_uitingsvormen">Geschiedenis en uitingsvormen</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&veaction=edit&section=1" title="Bewerk dit kopje: Geschiedenis en uitingsvormen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>bewerken</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&action=edit&section=1" title="De broncode bewerken van de sectie: Geschiedenis en uitingsvormen"><span>brontekst bewerken</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>De eerste axiomatiseringen van de verzamelingenleer werden al voor de ontdekking van antinomieën in de verzamelingenleer opgesteld, namelijk in 1889 door <a href="/wiki/Giuseppe_Peano" title="Giuseppe Peano">Giuseppe Peano</a> en in 1893 door <a href="/wiki/Gottlob_Frege" title="Gottlob Frege">Gottlob Frege</a>. Beiden bouwden aan een <a href="/wiki/Rekenen" title="Rekenen">rekenkunde</a> die was gefundeerd op "rekenen" met verzamelingen of klassen. Aangezien beide systemen inconsistent bleken te zijn, dit vanwege axioma's die onbegrensde vorming van verzamelingen voorschreven, worden deze twee systemen tot de naïeve verzamelingenleer gerekend. Onder de axiomatische verzamelingenleer verstaat men namelijk alleen axiomatiseringen die tegenspraken weten te voorkomen. </p><p>Om tegenspraken te voorkomen stelde <a href="/wiki/Bertrand_Russell" title="Bertrand Russell">Bertrand Russell</a> een <i>gelaagde</i> opbouw van de verzamelingenleer voor. Tussen 1903-1908 ontwikkelde hij zijn <a href="/wiki/Typentheorie" class="mw-redirect" title="Typentheorie">typentheorie</a>, die in 1910 ook als basis van de <i><a href="/wiki/Principia_Mathematica" title="Principia Mathematica">Principia Mathematica</a></i> diende. In dit werk is een <a href="/wiki/Verzameling_(wiskunde)" title="Verzameling (wiskunde)">verzameling</a> steeds van een hoger type dan haar <a href="/wiki/Element_(wiskunde)" title="Element (wiskunde)">elementen</a>. Uitspraken als "deze verzameling bevat zichzelf als element", waarop de <a href="/wiki/Russellparadox" title="Russellparadox">Russellparadox</a> was gebaseerd, laten zich in deze typentheorie niet eens formuleren. De typentheorie probeert door middel van een beperkte syntaxis van toelaatbare uitspraken over klassen de gerezen problemen op te lossen. Bij Russell zelf heeft de typentheorie nog geen axiomatische vorm aangenomen, maar later werd de typentheorie tot een relatief gecompliceerde axiomatische theorie uitgebouwd. Dat deze axiomatische theorie vrij van tegenspraken was, werd door <a href="/w/index.php?title=Paul_Lorenzen&action=edit&redlink=1" class="new" title="Paul Lorenzen (de pagina bestaat niet)">Paul Lorenzen</a> aangetoond. De vrijheid van tegenspraken van de op de typentheorie gebaseerde <i>Principia Mathematica</i> is, op grond van de <a href="/wiki/Onvolledigheidsstellingen_van_G%C3%B6del" title="Onvolledigheidsstellingen van Gödel">onvolledigheidsstellingen van Gödel</a>, echter niet <a href="/wiki/Bewijs_(wiskunde)" class="mw-redirect" title="Bewijs (wiskunde)">bewijsbaar</a>. De typentheorie in de <i>Principia Mathematica</i> was in de <a href="/wiki/Logica" title="Logica">logica</a> lange tijd maatgevend, maar kon zich in de praktijk van de wiskunde niet doorzetten, enerzijds vanwege de complexiteit, en anderzijds omdat zij niet toereikend was. De typentheorie is namelijk onvoldoende om <a href="/wiki/Georg_Cantor" title="Georg Cantor">Cantors</a> verzamelingenleer en de wiskunde met taalkundige middelen te onderbouwen. </p><p>In de wiskundige praktijk van de twintigste eeuw trok de door <a href="/wiki/Ernst_Zermelo" title="Ernst Zermelo">Ernst Zermelo</a> geïnitieerde vorm van de axiomatische verzamelingenleer uiteindelijk aan het langste eind. De <a href="/wiki/Zermelo-verzamelingenleer" title="Zermelo-verzamelingenleer">Zermelo-verzamelingenleer</a> van 1907 is zowel het fundament voor de <a href="/wiki/Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer" title="Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer">Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer</a> (ZFC) als ook voor alternatieve axiomasystemen. ZFC ontstond door het "vervangingsaxioma" van <a href="/wiki/Adolf_Abraham_Halevi_Fraenkel" class="mw-redirect" title="Adolf Abraham Halevi Fraenkel">Abraham Fraenkel</a> uit 1921 en Zermelos "grondvestigingsaxioma" van 1930 te combineren. De oorspronkelijke, in verbale vorm gegoten verzamelingsaxioma's van Zermelo-Fraenkel werden onder invloed van het <a href="/wiki/Programma_van_Hilbert" title="Programma van Hilbert">programma van Hilbert</a>, dat een fundamentele, tegenspraakvrij axiomasysteem voor de wiskunde voorstond, later strikt geformaliseerd. De eerste formalisering (ZFC zonder het "grondvestigingsaxioma") door <a href="/wiki/Thoralf_Skolem" title="Thoralf Skolem">Thoralf Skolem</a> stamt uit het jaar 1929<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> en gaf de impuls voor de moderne <a href="/wiki/Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer" title="Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer">predicatenlogische ZFC-axiomasystemen</a>. In ZFC konden tot nu toe geen tegenspraken meer worden afgeleid. Aantoonbaar tegenspraakvrij is echter slechts de algemene verzamelingenleer, dat wil zeggen naar Fraenkel de ZFC-verzamelingenleer met uitsluiting van het <a href="/wiki/Oneindigheidsaxioma" title="Oneindigheidsaxioma">oneindigheidsaxioma</a>,<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> dus de verzamelingenleer met <a href="/wiki/Eindige_verzameling" title="Eindige verzameling">eindige verzamelingen</a>, in 1930 een voorbeeld voor Zermelo<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Het programma van Hilbert leende zich echter niet om uitgevoerd te worden voor de volledige Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer, aangezien de <a href="/wiki/Onvolledigheidsstellingen_van_G%C3%B6del" title="Onvolledigheidsstellingen van Gödel">onvolledigheidsstellingen van Gödel</a> ook op Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer van toepassing zijn, zodat tegenspraakvrijheid binnen het kader van de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer onbewijsbaar blijft. </p><p>De tegenspraakvrijheid relatief ten opzichte van de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer is ook voor vele uitbreidingen, veralgemeningen en aanpassingen daarvan veilig gesteld. Daar hoort ook de verzamelingenleer van <a href="/wiki/John_von_Neumann" title="John von Neumann">John von Neumann</a> uit 1925 bij. Deze is op het <a href="/wiki/Functie_(wiskunde)" title="Functie (wiskunde)">functiebegrip</a> in plaats van het verzamelingenbegrip gebaseerd en werkt niet alleen met verzamelingen, maar ook met <a href="/wiki/Klasse_(verzamelingenleer)" title="Klasse (verzamelingenleer)">echte klassen</a><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Deze verzamelingenleer was het uitgangspunt voor de <a href="/wiki/Von_Neumann-Bernays-G%C3%B6del-verzamelingenleer" title="Von Neumann-Bernays-Gödel-verzamelingenleer">Von Neumann-Bernays-Gödel-verzamelingenleer</a>, die ZFC veralgemeent voor <a href="/wiki/Klasse_(verzamelingenleer)" title="Klasse (verzamelingenleer)">klassen</a> en die met een eindig aantal axioma's uitkomt, dit terwijl ZFC axiomaschemata benodigd. Nog algemener is de <a href="/w/index.php?title=Ackermann-verzamelingenleer&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ackermann-verzamelingenleer (de pagina bestaat niet)">Ackermann-verzamelingenleer</a> uit 1955, waarin <a href="/wiki/Wilhelm_Ackermann" title="Wilhelm Ackermann">Wilhelm Ackermann</a> probeert om de verzamelingdefinities van <a href="/wiki/Georg_Cantor" title="Georg Cantor">Georg Cantor</a> in een axiomatische vorm te gieten. In 1974 bedde <a href="/wiki/Arnold_Oberschelp" title="Arnold Oberschelp">Arnold Oberschelp</a> ZFC in een algemene axiomatische <a href="/w/index.php?title=Klasselogica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Klasselogica (de pagina bestaat niet)">klasselogica</a> in met als resultaat een verzamelingenleer die een comfortabele, syntactisch correcte weergave van om het even welke klassenterminologie toestaat. </p><p>Tot de bekendere axiomatiseringen die zich niet op <a href="/wiki/Georg_Cantor" title="Georg Cantor">Cantor</a> of Zermelo-Fraenkel oriënteren, maar op de typentheorie, behoort de verzamelingenleer van <a href="/wiki/Willard_Van_Orman_Quine" title="Willard Van Orman Quine">Willard Van Orman Quine</a>, met name diens <a href="/wiki/New_Foundations" title="New Foundations">New Foundations</a> (NF) (Nieuwe grondslagen) uit het jaar 1937. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voetnoten">Voetnoten</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&veaction=edit&section=2" title="Bewerk dit kopje: Voetnoten" class="mw-editsection-visualeditor"><span>bewerken</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&action=edit&section=2" title="De broncode bewerken van de sectie: Voetnoten"><span>brontekst bewerken</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r67679320">.mw-parser-output .taalaanduiding{font-family:sans-serif;font-size:85%;cursor:help;color:var(--color-subtle,#555)}.mw-parser-output .taalaanduiding span{border-bottom:1px dotted var(--color-subtle,#555)}</style><span class="taalaanduiding" title="Taal: Duits">(<span>de</span>) </span> <span style="font-variant:small-caps;"><a href="/wiki/Thoralf_Skolem" title="Thoralf Skolem">Thoralf Skolem</a></span>, Über einige Grundlagenfragen der Mathematik (1929) (Over enkele fundamentele vragen in de wiskunde (1929), Selected works in logic (geselecteerde werken in de logica)), Oslo, 1970, pagina's 227-273</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67679320"><span class="taalaanduiding" title="Taal: Duits">(<span>de</span>) </span> <span style="font-variant:small-caps;"><a href="/wiki/Adolf_Abraham_Halevi_Fraenkel" class="mw-redirect" title="Adolf Abraham Halevi Fraenkel">Abraham Fraenkel</a></span>, Axiomatische Theorie der geordneten Mengen (Axiomatische theorie van geordende verzamelingen), <a href="/w/index.php?title=Journal_of_Pure_and_Applied_Mathematics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Journal of Pure and Applied Mathematics (de pagina bestaat niet)">Journal of Pure and Applied Mathematics</a>, band 155, 1926, pag 129-158, met name blz. 132f</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67679320"><span class="taalaanduiding" title="Taal: Duits">(<span>de</span>) </span> <span style="font-variant:small-caps;"><a href="/wiki/Ernst_Zermelo" title="Ernst Zermelo">Ernst Zermelo</a></span>, Grenzzahlen und Mengenbereiche (Grensgetallen en verzamelingbereiken), <a href="/wiki/Fundamenta_Mathematicae" title="Fundamenta Mathematicae">Fundamenta Mathematicae</a>, Band 16, 1930, pagina's 29-47, met name blz. 44</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r67679320"><span class="taalaanduiding" title="Taal: Duits">(<span>de</span>) </span> <span style="font-variant:small-caps;"><a href="/wiki/John_von_Neumann" title="John von Neumann">John von Neumann</a></span>, Eine Axiomatisierung der Mengenlehre (Een axiomatisering van de verzamelingenleer), <a href="/wiki/Journal_f%C3%BCr_die_reine_und_angewandte_Mathematik" title="Journal für die reine und angewandte Mathematik">Journal für die reine und angewandte Mathematik</a>, band 154, 1925, pagina's 219-240</span> </li> </ol></div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Overgenomen van "<a dir="ltr" href="https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&oldid=52556374">https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&oldid=52556374</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Categorie:Alles" title="Categorie:Alles">Categorie</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categorie:Verzamelingenleer" title="Categorie:Verzamelingenleer">Verzamelingenleer</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Deze pagina is voor het laatst bewerkt op 2 nov 2018 om 09:10.</li> <li id="footer-info-copyright">De tekst is beschikbaar onder de licentie <a rel="nofollow" class="external text" href="//creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.nl">Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen</a>, er kunnen aanvullende voorwaarden van toepassing zijn. Zie de <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use/nl">gebruiksvoorwaarden</a> voor meer informatie.<br /> Wikipedia® is een geregistreerd handelsmerk van de <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wikimediafoundation.org">Wikimedia Foundation, Inc.</a>, een organisatie zonder winstoogmerk.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Privacybeleid</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia">Over Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Algemeen_voorbehoud">Disclaimers</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Gedragscode</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Ontwikkelaars</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/nl.wikipedia.org">Statistieken</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Cookieverklaring</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//nl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Axiomatische_verzamelingenleer&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Mobiele weergave</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-66c5b56c76-p54kg","wgBackendResponseTime":143,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.045","walltime":"0.060","ppvisitednodes":{"value":202,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":1120,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":112,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":6,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":3786,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 34.874 1 Sjabloon:References","100.00% 34.874 1 -total"," 33.77% 11.778 4 Sjabloon:De"," 20.38% 7.109 1 Sjabloon:Taalaanduiding"," 6.55% 2.286 4 Sjabloon:Aut"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.002","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":586388,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-57b656c88b-snplc","timestamp":"20241202171141","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Axiomatische verzamelingenleer","url":"https:\/\/nl.wikipedia.org\/wiki\/Axiomatische_verzamelingenleer","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q904423","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q904423","author":{"@type":"Organization","name":"Bijdragers aan Wikimedia-projecten"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2009-03-28T15:13:11Z","dateModified":"2018-11-02T08:10:29Z"}</script> </body> </html>