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vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Arranjos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Arranjos</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Arranjos-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar a subsecção Arranjos</span> </button> <ul id="toc-Arranjos-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Arranjo_com_repetição" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Arranjo_com_repetição"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Arranjo com repetição</span> </div> </a> <ul id="toc-Arranjo_com_repetição-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Arranjos_sem_repetição" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Arranjos_sem_repetição"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Arranjos sem repetição</span> </div> </a> <ul id="toc-Arranjos_sem_repetição-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Combinação" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Combinação"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Combinação</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Combinação-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar a subsecção Combinação</span> </button> <ul id="toc-Combinação-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Combinação_simples" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Combinação_simples"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Combinação simples</span> </div> </a> <ul id="toc-Combinação_simples-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Combinação_com_repetição" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Combinação_com_repetição"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Combinação com repetição</span> </div> </a> <ul id="toc-Combinação_com_repetição-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Funções_enumerativas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Funções_enumerativas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Funções enumerativas</span> </div> </a> <ul id="toc-Funções_enumerativas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Programa_de_teste" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Programa_de_teste"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Programa de teste</span> </div> </a> <ul id="toc-Programa_de_teste-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Resultados" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Resultados"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Resultados</span> </div> </a> <ul id="toc-Resultados-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Bibliografia</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ver_também" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ver_também"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Ver também</span> </div> </a> <ul id="toc-Ver_também-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ligações_externas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ligações_externas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Ligações externas</span> </div> </a> <ul id="toc-Ligações_externas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Conteúdo" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" 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Disponível em 79 línguas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-79" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">79 línguas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%88%A5%E1%8A%90_%E1%8C%A5%E1%88%9D%E1%88%A8%E1%89%B5" title="ሥነ ጥምረት — amárico" lang="am" hreflang="am" data-title="ሥነ ጥምረት" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="amárico" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%AD%D9%84%D9%8A%D9%84_%D8%AA%D9%88%D8%A7%D9%81%D9%8A%D9%82%D9%8A" title="تحليل توافيقي — árabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="تحليل توافيقي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Combinatoria" title="Combinatoria — asturiano" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Combinatoria" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiano" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika — azerbaijano" lang="az" hreflang="az" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaijano" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Kuomb%C4%97natuor%C4%97ka" title="Kuombėnatuorėka — Samogitian" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Kuombėnatuorėka" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="Samogitian" class="interlanguage-link-target"><span>Žemaitėška</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%8B%D0%BA%D0%B0" title="Камбінаторыка — bielorrusso" lang="be" hreflang="be" data-title="Камбінаторыка" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="bielorrusso" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%8B%D0%BA%D0%B0" title="Камбінаторыка — Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Камбінаторыка" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика — búlgaro" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Комбинаторика" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%97%E0%A7%81%E0%A6%9A%E0%A7%8D%E0%A6%9B-%E0%A6%AC%E0%A6%BF%E0%A6%A8%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE%E0%A6%B8%E0%A6%A4%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%AC" title="গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্ব — bengalês" lang="bn" hreflang="bn" data-title="গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্ব" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalês" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika — bósnio" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bósnio" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Combinat%C3%B2ria" title="Combinatòria — catalão" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Combinatòria" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalão" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika — checo" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика — chuvash" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Комбинаторика" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="chuvash" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Cyfuniadeg" title="Cyfuniadeg — galês" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Cyfuniadeg" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="galês" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik" title="Kombinatorik — dinamarquês" lang="da" hreflang="da" 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hreflang="en" data-title="Combinatorics" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglês" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Kombinatoriko" title="Kombinatoriko — esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Kombinatoriko" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoria" title="Combinatoria — espanhol" lang="es" hreflang="es" data-title="Combinatoria" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espanhol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Kombinatoorika" title="Kombinatoorika — estónio" lang="et" hreflang="et" data-title="Kombinatoorika" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estónio" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Konbinatoria" title="Konbinatoria — basco" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Konbinatoria" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basco" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%B1%DA%A9%DB%8C%D8%A8%DB%8C%D8%A7%D8%AA" title="ترکیبیات — persa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="ترکیبیات" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Kombinatoriikka" title="Kombinatoriikka — finlandês" lang="fi" hreflang="fi" 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data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Combinatoria" title="Combinatoria — galego" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Combinatoria" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galego" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%9E%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%A7%D7%94" title="קומבינטוריקה — hebraico" lang="he" hreflang="he" data-title="קומבינטוריקה" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebraico" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AE%E0%A4%9A%E0%A4%AF-%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%9A%E0%A4%AF" title="क्रमचय-संचय — hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="क्रमचय-संचय" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika — croata" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croata" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika — húngaro" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="húngaro" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BF%D5%B8%D5%B4%D5%A2%D5%AB%D5%B6%D5%A1%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%AF%D5%A1" title="Կոմբինատորիկա — arménio" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Կոմբինատորիկա" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="arménio" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-iba mw-list-item"><a href="https://iba.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik" title="Kombinatorik — iban" lang="iba" hreflang="iba" data-title="Kombinatorik" data-language-autonym="Jaku Iban" data-language-local-name="iban" class="interlanguage-link-target"><span>Jaku Iban</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika — indonésio" lang="id" hreflang="id" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Kombinatoriko" title="Kombinatoriko — ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Kombinatoriko" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Talningarfr%C3%A6%C3%B0i" title="Talningarfræði — islandês" lang="is" hreflang="is" data-title="Talningarfræði" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandês" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Combinatoria" title="Combinatoria — italiano" lang="it" hreflang="it" data-title="Combinatoria" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88%E3%81%9B%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="組合せ数学 — japonês" lang="ja" hreflang="ja" data-title="組合せ数学" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonês" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Kambinatuorix" title="Kambinatuorix — Jamaican Creole English" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Kambinatuorix" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="Jamaican Creole English" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%99%E1%83%9D%E1%83%9B%E1%83%91%E1%83%98%E1%83%9C%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90" title="კომბინატორიკა — georgiano" lang="ka" hreflang="ka" data-title="კომბინატორიკა" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="georgiano" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика — cazaque" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Комбинаторика" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="cazaque" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A1%B0%ED%95%A9%EB%A1%A0" title="조합론 — coreano" lang="ko" hreflang="ko" data-title="조합론" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика — quirguiz" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Комбинаторика" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="quirguiz" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Calculus_coniunctionibus" title="Calculus coniunctionibus — latim" lang="la" hreflang="la" data-title="Calculus coniunctionibus" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latim" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lfn mw-list-item"><a href="https://lfn.wikipedia.org/wiki/Combinatoria" title="Combinatoria — Lingua Franca Nova" lang="lfn" hreflang="lfn" data-title="Combinatoria" data-language-autonym="Lingua Franca Nova" data-language-local-name="Lingua Franca Nova" class="interlanguage-link-target"><span>Lingua Franca Nova</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika — lituano" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituano" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika — letão" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letão" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика — macedónio" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Комбинаторика" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedónio" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA" title="Комбинаторик — mongol" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Комбинаторик" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik" title="Kombinatorik — malaio" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Kombinatorik" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malaio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%80%E1%80%BD%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%98%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%90%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%B8%E1%80%9B%E1%80%85%E1%80%BA" title="ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ် — birmanês" lang="my" hreflang="my" data-title="ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birmanês" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Combinatoriek" title="Combinatoriek — neerlandês" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Combinatoriek" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandês" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Kombinatorikk" title="Kombinatorikk — norueguês nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Kombinatorikk" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norueguês nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Kombinatorikk" title="Kombinatorikk — norueguês bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Kombinatorikk" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norueguês bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Kombinatoryka" title="Kombinatoryka — polaco" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Kombinatoryka" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Combinatoric%C4%83" title="Combinatorică — romeno" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Combinatorică" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="romeno" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика — russo" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Комбинаторика" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russo" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика — sakha" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Комбинаторика" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="sakha" class="interlanguage-link-target"><span>Саха тыла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika — servo-croata" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="servo-croata" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Combinatorics" title="Combinatorics — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Combinatorics" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika — eslovaco" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovaco" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika — esloveno" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika — albanês" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanês" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторна математика — sérvio" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Комбинаторна математика" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="sérvio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik" title="Kombinatorik — sueco" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Kombinatorik" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%9A%E0%AF%87%E0%AE%B0%E0%AF%8D%E0%AE%B5%E0%AE%BF%E0%AE%AF%E0%AE%B2%E0%AF%8D_(%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D)" title="சேர்வியல் (கணிதம்) — tâmil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="சேர்வியல் (கணிதம்)" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tâmil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%94" title="คณิตศาสตร์เชิงการจัด — tailandês" lang="th" hreflang="th" data-title="คณิตศาสตร์เชิงการจัด" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tailandês" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika — tagalo" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalo" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik" title="Kombinatorik — turco" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Kombinatorik" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика — tatar" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Комбинаторика" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tatar" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбінаторика — ucraniano" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Комбінаторика" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D9%84%DB%8C%D9%81%DB%8C%D8%A7%D8%AA" title="تالیفیات — urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="تالیفیات" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika — usbeque" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="usbeque" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc_t%E1%BB%95_h%E1%BB%A3p" title="Toán học tổ hợp — vietnamita" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Toán học tổ hợp" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="组合数学 — wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="组合数学" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A7%D7%90%D7%9E%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%98%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%A7" title="קאמבינאטאריק — iídiche" lang="yi" hreflang="yi" data-title="קאמבינאטאריק" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="iídiche" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="组合数学 — chinês" lang="zh" hreflang="zh" data-title="组合数学" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinês" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88%E6%95%B8%E5%AD%B8" title="組合數學 — cantonês" lang="yue" hreflang="yue" data-title="組合數學" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonês" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q76592#sitelinks-wikipedia" title="Editar hiperligações interlínguas" class="wbc-editpage">Editar hiperligações</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaços nominais"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul 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Conteúdo não <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Verificabilidade" title="Wikipédia:Verificabilidade">verificável</a> pode ser removido.—<small><i>Encontre fontes:</i> <span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikipedialibrary.wmflabs.org/">ABW</a>  •  <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.periodicos.capes.gov.br">CAPES</a>  •  <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?as_eq=wikipedia&as_epq=Combinat%C3%B3ria">Google</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?hl=pt&tbm=nws&q=Combinat%C3%B3ria&oq=Combinat%C3%B3ria">N</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?&as_brr=0&as_epq=Combinat%C3%B3ria">L</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://scholar.google.com/scholar?hl=pt&q=Combinat%C3%B3ria">A</a>)</span></small></span> <small class="date-container"><i>(<span class="date">Julho de 2023</span>)</i></small></div></td></tr></tbody></table> <p>A <b>combinatória</b> é um ramo da <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica" title="Matemática">matemática</a> que estuda coleções finitas de elementos que satisfazem critérios específicos determinados e se preocupa, em particular, com a <a href="/wiki/Princ%C3%ADpio_fundamental_da_contagem" title="Princípio fundamental da contagem">"contagem"</a> de elementos nessas coleções (<a href="/wiki/Combinat%C3%B3ria_enumerativa" title="Combinatória enumerativa">combinatória enumerativa</a>), com decidir se certo objeto "ótimo" existe (combinatória extremal) e com estruturas "algébricas" que esses objetos possam ter (combinatória algébrica). </p><p>O assunto ganhou notoriedade após a publicação de <i>Análise Combinatória</i> por <a href="/wiki/Percy_Alexander_MacMahon" title="Percy Alexander MacMahon">Percy Alexander MacMahon</a> em 1915. Um dos destacados combinatorialistas foi <a href="/wiki/Gian-Carlo_Rota" title="Gian-Carlo Rota">Gian-Carlo Rota</a>, que ajudou a formalizar o assunto a partir da <a href="/wiki/D%C3%A9cada_de_1960" title="Década de 1960">década de 1960</a>. E, o engenhoso <a href="/wiki/Paul_Erd%C5%91s" title="Paul Erdős">Paul Erdős</a> trabalhou principalmente em problemas extremais. O estudo de como contar os objetos é algumas vezes considerado separadamente como um campo da <a href="/wiki/Enumera%C3%A7%C3%A3o" title="Enumeração">enumeração</a>. </p><p>Um exemplo de problema combinatório é o seguinte: Quantas ordenações é possível fazer com um baralho de 52 cartas? </p><p>O número é igual a 52! (ou seja, "cinquenta e dois <a href="/wiki/Fatorial" title="Fatorial">fatorial</a>"), que é o produto de todos os números naturais de 1 até 52. Pode parecer surpreendente o quão enorme é esse número, cerca de 8,065817517094 × 10<sup>67</sup>. Comparando este número com alguns outros números grandes, ele é maior que o <i>quadrado</i> do <a href="/wiki/N%C3%BAmero_de_Avogadro" class="mw-redirect" title="Número de Avogadro">Número de Avogadro</a>, 6,022 × 10<sup>23</sup>, quantidade equivalente a um <a href="/wiki/Mol" title="Mol">mol</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Princípios_aditivo_e_multiplicativo"><span id="Princ.C3.ADpios_aditivo_e_multiplicativo"></span>Princípios aditivo e multiplicativo</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&veaction=edit&section=1" title="Editar secção: Princípios aditivo e multiplicativo" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&action=edit&section=1" title="Editar código-fonte da secção: Princípios aditivo e multiplicativo"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Multiplication-principle.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Multiplication-principle.svg/130px-Multiplication-principle.svg.png" decoding="async" width="130" height="140" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Multiplication-principle.svg/194px-Multiplication-principle.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Multiplication-principle.svg/259px-Multiplication-principle.svg.png 2x" data-file-width="150" data-file-height="162" /></a><figcaption>Os elementos do conjunto {A,B} podem combinar-se com os elementos do conjunto {1,2,3} de seis maneiras diferentes.</figcaption></figure> <p><b>Princípio aditivo</b>: Dados os conjuntos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbce664c843e824cbaee39cce1360fb4849d015b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.76ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}"></span>, dois a dois disjuntos, em que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aed3b5def921afbe6cc48aaf8f9b11c6f1c1e2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.543ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{i}}"></span> tem exatamente <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.029ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{i}}"></span> elementos, então o número de elementos da união <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cdots \cup A_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∪</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <mo>∪</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cdots \cup A_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe364c637d429a8e0d91cf8a642902d5109a858" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.212ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cdots \cup A_{n}}"></span> é dado por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514d1e450955d5f5df8cd97cc41964ad1c1f5100" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.699ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}"></span>. </p><p><b>Princípio multiplicativo</b>: Se um evento <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aed3b5def921afbe6cc48aaf8f9b11c6f1c1e2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.543ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{i}}"></span> pode ocorrer de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ec8e804f69706d3f5ad235f4f983220c8df7c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{i}}"></span> maneiras diferentes, então o número de maneiras de ocorrer os eventos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbce664c843e824cbaee39cce1360fb4849d015b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.76ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}"></span> de forma sucessiva é dado por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{1}.m_{2}...m_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{1}.m_{2}...m_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5523eea8bf4c20767d3a76da5246ae0d4a880aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.584ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{1}.m_{2}...m_{n}}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Permutações_simples"><span id="Permuta.C3.A7.C3.B5es_simples"></span>Permutações simples</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&veaction=edit&section=2" title="Editar secção: Permutações simples" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&action=edit&section=2" title="Editar código-fonte da secção: Permutações simples"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="hatnote"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span>Ver artigo principal: <a href="/wiki/Permuta%C3%A7%C3%A3o" title="Permutação">Permutação</a></div> <p>Definimos <b>permutações simples</b> como sendo o número de maneiras de arrumar <b>n</b> elementos em <b>n</b> posições em que cada maneira se diferencia pela ordem em que os elementos aparecem. Aplicando o <i>princípio multiplicativo</i> obtemos a seguinte equação para permutações simples: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{n}=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)...2\cdot 1=n!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mn>.2</mn> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{n}=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)...2\cdot 1=n!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65424c5888c84a55947066071e78959a06f6cad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.835ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P_{n}=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)...2\cdot 1=n!}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Arranjos">Arranjos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&veaction=edit&section=3" title="Editar secção: Arranjos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&action=edit&section=3" title="Editar código-fonte da secção: Arranjos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Em arranjos, a ordem dos objetos é importante. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Arranjo_com_repetição"><span id="Arranjo_com_repeti.C3.A7.C3.A3o"></span>Arranjo com repetição</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&veaction=edit&section=4" title="Editar secção: Arranjo com repetição" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&action=edit&section=4" title="Editar código-fonte da secção: Arranjo com repetição"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="hatnote"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span>Ver artigo principal: <a href="/wiki/Sequ%C3%AAncia_(Combinat%C3%B3ria)" class="mw-redirect" title="Sequência (Combinatória)">Sequência (Combinatória)</a></div> <p>O <i>arranjo com repetição</i> é usado quando a ordem dos elementos importa e cada elemento pode ser contado mais de uma vez. </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle AR_{n}^{r}=n^{r}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle AR_{n}^{r}=n^{r}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8037dff73727acf883cbc231cd9dc8d555268623" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.193ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle AR_{n}^{r}=n^{r}}"></span> </p><p>Em que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\,\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\,\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf4a520ae4c1cdb7467e78a29509510ea61a08f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-right: -0.387ex; width:1.782ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n\,\!}"></span> é o total de elementos e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\,\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\,\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86937851b7cb70e8802197a7b5ddcf39c0b02445" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-right: -0.387ex; width:1.436ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r\,\!}"></span> o número de elementos escolhidos. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Arranjos_sem_repetição"><span id="Arranjos_sem_repeti.C3.A7.C3.A3o"></span>Arranjos sem repetição</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&veaction=edit&section=5" title="Editar secção: Arranjos sem repetição" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&action=edit&section=5" title="Editar código-fonte da secção: Arranjos sem repetição"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Arranjo simples de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> elementos tomados <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"></span> a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"></span>, onde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geq 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geq 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ce9ce38d06f6bf5a3fe063118c09c2b6202bfe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.656ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\geq 1}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"></span> é um número natural, é qualquer ordenação de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"></span> elementos entre os <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> elementos, em que cada maneira de tomar os elementos se diferenciam pela ordem e natureza dos elementos. </p><p>A fórmula para cálculo de arranjo simples é dada por: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{n}^{r}={\frac {n!}{\left(n-r\right)!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{n}^{r}={\frac {n!}{\left(n-r\right)!}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e7009abae986d1b319a50df3be19c6b1abceef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:14.636ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle A_{n}^{r}={\frac {n!}{\left(n-r\right)!}}}"></span> </p><p>Em que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\,\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\,\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf4a520ae4c1cdb7467e78a29509510ea61a08f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-right: -0.387ex; width:1.782ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n\,\!}"></span> é o total de elementos, e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\,\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\,\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86937851b7cb70e8802197a7b5ddcf39c0b02445" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-right: -0.387ex; width:1.436ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r\,\!}"></span> é o número de elementos escolhidos. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Combinação"><span id="Combina.C3.A7.C3.A3o"></span>Combinação</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&veaction=edit&section=6" title="Editar secção: Combinação" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&action=edit&section=6" title="Editar código-fonte da secção: Combinação"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Na combinação, a ordem em que os elementos são tomados não é importante. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Combinação_simples"><span id="Combina.C3.A7.C3.A3o_simples"></span>Combinação simples</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&veaction=edit&section=7" title="Editar secção: Combinação simples" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&action=edit&section=7" title="Editar código-fonte da secção: Combinação simples"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="hatnote"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span>Ver artigo principal: <a href="/wiki/Combina%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" class="mw-redirect" title="Combinação (matemática)">Combinação (matemática)</a></div> <p>Quando a ordem não importa, mas cada elemento pode ser contado apenas uma vez, o número de combinações é o <a href="/wiki/Coeficiente_binomial" title="Coeficiente binomial">coeficiente binomial</a>: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{r}^{n}={n \choose r}={\frac {n!}{r!\cdot \left(n-r\right)!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mi>r</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> <mo>!</mo> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{r}^{n}={n \choose r}={\frac {n!}{r!\cdot \left(n-r\right)!}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295fcfc34c57b2fbf5c3ef32f2ee622c836d8afc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:25.98ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle C_{r}^{n}={n \choose r}={\frac {n!}{r!\cdot \left(n-r\right)!}}}"></span> </p><p>Em que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\,\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\,\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf4a520ae4c1cdb7467e78a29509510ea61a08f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-right: -0.387ex; width:1.782ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n\,\!}"></span> é o total de elementos e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\,\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\,\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86937851b7cb70e8802197a7b5ddcf39c0b02445" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-right: -0.387ex; width:1.436ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r\,\!}"></span> o número de elementos escolhidos. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Combinação_com_repetição"><span id="Combina.C3.A7.C3.A3o_com_repeti.C3.A7.C3.A3o"></span>Combinação com repetição</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&veaction=edit&section=8" title="Editar secção: Combinação com repetição" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&action=edit&section=8" title="Editar código-fonte da secção: Combinação com repetição"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="hatnote"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span>Ver artigo principal: <a href="/wiki/Sele%C3%A7%C3%A3o_com_repeti%C3%A7%C3%A3o" class="mw-redirect" title="Seleção com repetição">Seleção com repetição</a></div> <p>Quando a ordem não importa, mas cada objeto pode ser escolhido mais de uma vez, o número de combinações é: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle CR_{n}^{r}={{n+r-1} \choose {r}}={{(n+r-1)!} \over {r!(n-1)!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> <mo>!</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle CR_{n}^{r}={{n+r-1} \choose {r}}={{(n+r-1)!} \over {r!(n-1)!}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a104436cfc1b66ef3af3d12fc49ff9e845376a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:36.232ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle CR_{n}^{r}={{n+r-1} \choose {r}}={{(n+r-1)!} \over {r!(n-1)!}}}"></span> </p><p>Em que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\,\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\,\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf4a520ae4c1cdb7467e78a29509510ea61a08f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-right: -0.387ex; width:1.782ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n\,\!}"></span> é o total de elementos e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\,\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\,\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86937851b7cb70e8802197a7b5ddcf39c0b02445" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-right: -0.387ex; width:1.436ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r\,\!}"></span> o número de elementos escolhidos. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funções_enumerativas"><span id="Fun.C3.A7.C3.B5es_enumerativas"></span>Funções enumerativas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&veaction=edit&section=9" title="Editar secção: Funções enumerativas" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&action=edit&section=9" title="Editar código-fonte da secção: Funções enumerativas"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Calcular o número de maneiras que certos arranjos podem ser formados é o princípio da combinatória. Considerando <i>S</i> um <a href="/wiki/Conjunto" title="Conjunto">conjunto</a> com <i>n</i> elementos. As <a href="/wiki/Combina%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" class="mw-redirect" title="Combinação (matemática)">combinações</a> de <i>k</i> elementos de <i>S</i> são subconjuntos de <i>S</i> tendo <i>k</i> elementos (onde a ordem em que são listados os elementos não é relevante). <a href="/wiki/Permuta%C3%A7%C3%A3o" title="Permutação">Permutações</a> de <i>k</i> elementos do conjunto <i>S</i> são <i>sequências</i> de <i>k</i> diferentes elementos de <i>S</i> (onde duas subsequências são consideradas diferentes se contêm o mesmo elemento, mas em ordens diferentes). Fórmulas para o número de permutações e combinações são bem conhecidas e importantes para a combinatória. </p><p>De modo geral, dada uma coleção infinita de finitos conjuntos {<i>S</i><sub><i>i</i></sub>} cujo índice tipicamente recorre aos <a href="/wiki/N%C3%BAmero_natural" title="Número natural">números naturais</a>, combinatória enumerativa estuda as diversas formas de descrever uma <i>função enumerativa</i>, <i>f</i>(<i>n</i>), que conte o número de elementos em <i>S</i><sub><i>n</i></sub> para qualquer <i>n</i>. Ainda que contar o número de elementos seja um problema onipresente na matemática, em um problema combinatório os elementos <i>S</i><sub><i>i</i></sub> geralmente terão uma descrição combinatorial relativamente simples, e pouca estrutura adicional. </p><p>As funções mais simples são, deste modo, <i><a href="/w/index.php?title=F%C3%B3rmula_fechada&action=edit&redlink=1" class="new" title="Fórmula fechada (página não existe)">fórmulas fechadas</a></i>, que podem ser expressas como uma <a href="/wiki/Composi%C3%A7%C3%A3o_de_fun%C3%A7%C3%B5es" title="Composição de funções">composição de funções</a> elementares tais como fatoriais, potências, etc. Como foi dito anteriormente, o número de ordenações distintas possíveis de um maço de baralho de <i>n</i> cartas é <i>f</i>(<i>n</i>) = <i>n</i>!. </p><p>Este método nem sempre pode ser totalmente satisfatória (ou prática) para qualquer problema combinatório. Por exemplo, considerando que <i>f</i>(<i>n</i>) seja o número de subconjuntos distintos formados a partir dos inteiros no intervalo [1,<i>n</i>] que não contenha dois números inteiros consecutivos; assim, com <i>n</i> = 4, teremos {}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,3}, {1,4}, {2,4}, logo <i>f</i>(4) = 8. Verifica-se que <i>f</i>(<i>n</i>) resulta no chamado <a href="/wiki/N%C3%BAmero_de_Fibonacci" class="mw-redirect" title="Número de Fibonacci">número de Fibonacci</a> de ordem <i>n+2</i>, cuja expressão em uma fórmula fechada é: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(n)={\frac {\phi ^{n+2}}{\sqrt {5}}}-{\frac {(1-\phi )^{n+2}}{\sqrt {5}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>ϕ</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(n)={\frac {\phi ^{n+2}}{\sqrt {5}}}-{\frac {(1-\phi )^{n+2}}{\sqrt {5}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b26a83a09d2163e728a57dd110167aca9a7abfd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:27.315ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle f(n)={\frac {\phi ^{n+2}}{\sqrt {5}}}-{\frac {(1-\phi )^{n+2}}{\sqrt {5}}}}"></span> </p><p>onde φ = (1 + √5) / 2, é a <a href="/wiki/Raz%C3%A3o_%C3%A1urea" class="mw-redirect" title="Razão áurea">razão áurea</a>. Porém, dado que estamos olhando para um conjunto de inteiros, a presença de √5 no resultado deve ser considerado como "antiestética" do ponto de vista combinatório. De modo alternativo, <i>f</i>(<i>n</i>) pode ser expressa como a <i><a href="/w/index.php?title=Repeti%C3%A7%C3%A3o&action=edit&redlink=1" class="new" title="Repetição (página não existe)">repetição</a></i> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(n)=f(n-1)+f(n-2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(n)=f(n-1)+f(n-2)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5292c0129a4ebd0f560bf6b1b3647dc5ac5eda6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.392ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(n)=f(n-1)+f(n-2)}"></span> </p><p>que pode ser mais satisfatória (do ponto de vista puramente combinatório), visto que isto mostra mais claramente <i>porque</i> o resultado é como ele é. </p><p>Outro método é encontrar uma <i><a href="/w/index.php?title=F%C3%B3rmula_assint%C3%B3tica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Fórmula assintótica (página não existe)">fórmula assintótica</a>:</i> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(n)\sim g(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∼</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(n)\sim g(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21481c5c7ce37ba3b4a27c198ca59f4cfc92f3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.901ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(n)\sim g(n)}"></span> </p><p>Em que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ad18070e494503403daf39398e711c1378348e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.32ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(n)}"></span> é uma função "familiar", e onde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c49fad1eccc4e9af1e4f23f32efdc3ac4da973" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.483ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(n)}"></span> se aproxima a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ad18070e494503403daf39398e711c1378348e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.32ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(n)}"></span> como <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span></i> tende ao infinito. Em alguns casos uma simples função assintótica pode ser preferível do que uma terrível e complicada fórmula fechada que não proporciona nenhum critério de comportamento de objetos contados. No exemplo abaixo, uma fórmula assintótica seria: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(n)\sim {\frac {\phi ^{n+2}}{\sqrt {5}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∼</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(n)\sim {\frac {\phi ^{n+2}}{\sqrt {5}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168ce9b500bc10bfe69d468be09a9a1db37d3165" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:13.122ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle f(n)\sim {\frac {\phi ^{n+2}}{\sqrt {5}}}}"></span> </p><p>quando <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span></i> é muito grande. </p><p>Finalmente, e mais prático, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c49fad1eccc4e9af1e4f23f32efdc3ac4da973" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.483ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(n)}"></span> pode ser expressa por uma <a href="/w/index.php?title=S%C3%A9rie_de_pot%C3%AAncias_formal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Série de potências formal (página não existe)">série de potências formal</a>, chamada <i><a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_geratriz" class="mw-redirect" title="Função geratriz">função geratriz</a></i>, que pode ser tanto a função geratriz ordinária </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum f(n)x^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∑</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum f(n)x^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd89c38c5b24a3c15a730e25653eb59bc3517597" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:10.773ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \sum f(n)x^{n}}"></span> </p><p>como uma função geratriz exponencial </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum f(n){\frac {x^{n}}{n!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∑</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum f(n){\frac {x^{n}}{n!}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10be198cd3d91ab9da01ae00f18aee2e1a23e85d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:11.609ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \sum f(n){\frac {x^{n}}{n!}}}"></span> </p><p>Uma vez determinada, a função geratriz permite extrair todas as formas anteriores de expressar <i>f</i>(<i>n</i>). Na demais, as várias operações naturais com funções geratrizes como a adição, multiplicação, diferenciação, etc., tem um significado combinatório; e isso permite estender resultados de um problema combinatório com a finalidade de resolver outros. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Programa_de_teste">Programa de teste</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&veaction=edit&section=10" title="Editar secção: Programa de teste" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&action=edit&section=10" title="Editar código-fonte da secção: Programa de teste"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>O programa abaixo, escrito na linguagem Java, demonstra as tabelas de teste para uma formação de Arranjo e Combinação para um conjunto de 4 elementos, {a, b, c, d}, em pares. </p> <div class="mw-highlight mw-highlight-lang-java mw-content-ltr" dir="ltr"><pre><span></span><span class="kd">public</span><span class="w"> </span><span class="kd">class</span> <span class="nc">TestTable</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span> <span class="w"> </span><span class="kd">public</span><span class="w"> </span><span class="kd">static</span><span class="w"> </span><span class="kt">void</span><span class="w"> </span><span class="nf">main</span><span class="p">(</span><span class="n">String</span><span class="w"> </span><span class="n">args</span><span class="o">[]</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span> <span class="w"> </span><span class="c1">//Arrangement of Set[A to D] with 2 elements</span> <span class="w"> </span><span class="n">testTable</span><span class="p">(</span><span class="kc">true</span><span class="p">);</span> <span class="w"> </span><span class="c1">//Combination of Set[A to D] with 2 elements </span> <span class="w"> </span><span class="n">testTable</span><span class="p">(</span><span class="kc">false</span><span class="p">);</span> <span class="w"> </span><span class="p">}</span> <span class="w"> </span> <span class="w"> </span><span class="kd">public</span><span class="w"> </span><span class="kd">static</span><span class="w"> </span><span class="kt">void</span><span class="w"> </span><span class="nf">testTable</span><span class="p">(</span><span class="kt">boolean</span><span class="w"> </span><span class="n">arrangement</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span> <span class="w"> </span><span class="kt">int</span><span class="w"> </span><span class="n">counter</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="mi">0</span><span class="p">;</span> <span class="w"> </span><span class="n">java</span><span class="p">.</span><span class="na">util</span><span class="p">.</span><span class="na">Set</span><span class="o"><</span><span class="n">String</span><span class="o">></span><span class="w"> </span><span class="n">set</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="k">new</span><span class="w"> </span><span class="n">java</span><span class="p">.</span><span class="na">util</span><span class="p">.</span><span class="na">TreeSet</span><span class="o"><</span><span class="n">String</span><span class="o">></span><span class="p">();</span> <span class="w"> </span><span class="n">String</span><span class="w"> </span><span class="n">s</span><span class="p">;</span> <span class="w"> </span><span class="n">System</span><span class="p">.</span><span class="na">out</span><span class="p">.</span><span class="na">println</span><span class="p">(</span><span class="n">arrangement</span><span class="w"> </span><span class="o">?</span><span class="w"> </span><span class="s">"Arrangement"</span><span class="w"> </span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="s">"Combination"</span><span class="p">);</span><span class="w"> </span> <span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="kt">char</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="sc">'A'</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o"><=</span><span class="w"> </span><span class="sc">'D'</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="o">++</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span> <span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="kt">char</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="sc">'A'</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o"><=</span><span class="w"> </span><span class="sc">'D'</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="o">++</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span> <span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">==</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="k">continue</span><span class="p">;</span> <span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="o">!</span><span class="n">arrangement</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span> <span class="w"> </span><span class="n">s</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="s">";"</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="p">;</span> <span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">set</span><span class="p">.</span><span class="na">contains</span><span class="p">(</span><span class="n">s</span><span class="p">))</span><span class="w"> </span><span class="k">continue</span><span class="p">;</span> <span class="w"> </span><span class="p">}</span> <span class="w"> </span><span class="n">s</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="s">";"</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span> <span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">set</span><span class="p">.</span><span class="na">contains</span><span class="p">(</span><span class="n">s</span><span class="p">))</span><span class="w"> </span><span class="k">continue</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span> <span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">set</span><span class="p">.</span><span class="na">add</span><span class="p">(</span><span class="n">s</span><span class="p">))</span><span class="w"> </span><span class="n">counter</span><span class="o">++</span><span class="p">;</span> <span class="w"> </span><span class="p">}</span><span class="w"> </span> <span class="w"> </span><span class="p">}</span> <span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">String</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">set</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="n">System</span><span class="p">.</span><span class="na">out</span><span class="p">.</span><span class="na">println</span><span class="p">(</span><span class="n">i</span><span class="p">);</span> <span class="w"> </span><span class="n">System</span><span class="p">.</span><span class="na">out</span><span class="p">.</span><span class="na">println</span><span class="p">(</span><span class="n">String</span><span class="p">.</span><span class="na">format</span><span class="p">(</span><span class="s">"Counter: %s\n"</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">counter</span><span class="p">));</span> <span class="w"> </span><span class="p">}</span><span class="w"> </span> <span class="p">}</span> <span class="c1">//Output</span> <span class="cm">/*</span> <span class="cm">Arrangement</span> <span class="cm">A;B</span> <span class="cm">A;C</span> <span class="cm">A;D</span> <span class="cm">B;A</span> <span class="cm">B;C</span> <span class="cm">B;D</span> <span class="cm">C;A</span> <span class="cm">C;B</span> <span class="cm">C;D</span> <span class="cm">D;A</span> <span class="cm">D;B</span> <span class="cm">D;C</span> <span class="cm">Hits: 12</span> <span class="cm">Combination</span> <span class="cm">A;B</span> <span class="cm">A;C</span> <span class="cm">A;D</span> <span class="cm">B;C</span> <span class="cm">B;D</span> <span class="cm">C;D</span> <span class="cm">Hits: 6</span> <span class="cm">*/</span> </pre></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Resultados">Resultados</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&veaction=edit&section=11" title="Editar secção: Resultados" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&action=edit&section=11" title="Editar código-fonte da secção: Resultados"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Algumas configurações muito sutis podem ser desenvolvidas e alguns <a href="/wiki/Teorema" title="Teorema">teoremas</a> surpreendentes podem ser provados. Um exemplo de tais teoremas se deve a <a href="/wiki/Frank_P._Ramsey" class="mw-redirect" title="Frank P. Ramsey">Frank P. Ramsey</a>: </p><p>Suponha que 6 pessoas encontrem-se em uma festa. Cada par qualquer conhece-se ou não se conhece. Em todo caso, sempre se pode encontrar 3 dessas 6 pessoas que se conhecem entre si, ou qualquer uma que não conheça os outros dois. </p><p>A demonstração disso é uma curta <a href="/wiki/Prova_por_contradi%C3%A7%C3%A3o" title="Prova por contradição">prova por contradição</a>: suponha que há 3 pessoas que cumprem o que afirma o teorema. Considerando uma pessoa qualquer das 6 que está na festa, chamada de pessoa A: das 5 pessoas restantes, há pelo menos três que ou conhecem A (e A os conhece) ou não a conhecem. <a href="/w/index.php?title=Sem_perda_da_generalidade&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sem perda da generalidade (página não existe)">Sem perda da generalidade</a>, assuma que três pessoas conheçam A. Então, entre essas três pessoas deve haver pelo menos duas que se conhecem (de contrário, teríamos 3 pessoas que não se conheceriam entre si). Com isso, essas pessoas e A se conhecem entre si. (Este é um caso especial do <a href="/wiki/Teorema_Finito_de_Ramsey" title="Teorema Finito de Ramsey">teorema de Ramsey</a>.) </p><p>Pode-se conseguir demonstração alternativa mediante <a href="/w/index.php?title=Contagem_dupla&action=edit&redlink=1" class="new" title="Contagem dupla (página não existe)">contagem dupla</a>: contam-se o número de triplos ordenados de pessoas (A, B, C) onde as pessoas A e B se conhecem, mas B não conhece C. Suponhamos que a pessoa K conhece k dos outros 5. Então a pessoa B é exatamente k(5-k) triplos - A deve ser uma das k pessoas que ele conhece. C deve ser uma das (5-k) pessoas que ele não conhece). Portanto, é a pessoa B de 0*5=0, 1*4=4 ou 2*3=6 triplos. Como há 6 pessoas, e cada uma é o B de no máximo 6 triplos, há no máximo 36 triplos. </p><p>Agora considere um triplo das pessoas onde exatamente duas pessoas se conhecem. Está claro que nós podemos formar com elas dois triplos distintos: atribuindo C à que é desconhecida e colocando as outras no lugar de A e B. Da mesma forma se exatamente 2 pares se conhecem, também se pode organizar em um triplo de duas formas distintas: deixe A ser a pessoa que conhece os outros, e ainda B e C (em alguma ordem) que são duas que não se conhecem. Então, há 36/2=18 triplos, no máximo, onde exatamente qualquer 1 par, ou exatamente 2 pares, que se conhecem. Como há 20 triplos, deve haver no máximo 2 triplos quaisquer que ou conhecem todos ou não se conhecem entre si. </p><p>A ideia de achar ordem em configurações aleatórias dá origem à <a href="/wiki/Teoria_de_Ramsey" title="Teoria de Ramsey">teoria de Ramsey</a>. Essencialmente esta teoria diz que qualquer configuração suficientemente grande conterá, pelo menos, um caso de qualquer outro tipo de configuração. Deve-se notar que as possibilidades combinatórias costumam gerar números grandes, por exemplo, o maior número que foi usado (seriamente) pela matemática, o <a href="/wiki/N%C3%BAmero_de_Graham" title="Número de Graham">número de Graham</a>, aparece na solução de um problema da teoria de Ramsey. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&veaction=edit&section=12" title="Editar secção: Bibliografia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&action=edit&section=12" title="Editar código-fonte da secção: Bibliografia"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>GRAHAM, R. L.; GROETSCHEL, M.; LOVÁSZ, L. (eds.). <i>Handbook of Combinatorics, Volumes 1 and 2</i>. MIT Press, 1996. <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/026207169X" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-262-07169-X</a></li> <li>STANLEY, Richard P. <i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/">Enumerative Combinatorics, Volumes 1 and 2</a></i>. Cambridge University Press, 1997 and 1999, ISBN 0-521-55309-1N</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20070210012901/http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/combinat/combinat.htm">Análise Combinatória</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ver_também"><span id="Ver_tamb.C3.A9m"></span>Ver também</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&veaction=edit&section=13" title="Editar secção: Ver também" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&action=edit&section=13" title="Editar código-fonte da secção: Ver também"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="infobox noprint" style="width:250px; line-height:2.2em; font-size:90%"> <tbody><tr style="line-height:1.3em"> <td colspan="2" style="text-align: center;">Outros projetos <a href="/wiki/Wikimedia" class="mw-redirect" title="Wikimedia">Wikimedia</a> também contêm material sobre este tema: </td></tr> <tr> <th><span typeof="mw:File"><a href="https://pt.wikibooks.org/wiki/Special:Search/Matem%C3%A1tica_elementar/An%C3%A1lise_combinat%C3%B3ria" title="Wikilivros"><img alt="Wikilivros" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/21px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="21" height="21" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/32px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/42px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></a></span> </th> <td><a href="https://pt.wikibooks.org/wiki/Special:Search/Matem%C3%A1tica_elementar/An%C3%A1lise_combinat%C3%B3ria" class="extiw" title="b:Special:Search/Matemática elementar/Análise combinatória"><span title="Procurar por livros e manuais no Wikilivros"><b>Livros e manuais</b></span></a> no <a href="https://pt.wikibooks.org/wiki/P%C3%A1gina_principal" class="extiw" title="b:Página principal"><span title="Wikilivros">Wikilivros</span></a> </td></tr> </tbody></table><div id="interProject" style="display:none;"> <ul><li><a href="https://pt.wikibooks.org/wiki/Special:Search/Matem%C3%A1tica_elementar/An%C3%A1lise_combinat%C3%B3ria" class="extiw" title="b:Special:Search/Matemática elementar/Análise combinatória"><span title="Wikilivros">Wikilivros</span></a></li></ul> </div> <ul><li><a href="/wiki/Princ%C3%ADpios_combinat%C3%B3rios" title="Princípios combinatórios">Princípios combinatórios</a> <ul><li><a href="/wiki/Regra_da_soma" title="Regra da soma">Regra da soma</a></li> <li><a href="/wiki/Regra_do_produto_(combinat%C3%B3ria)" class="mw-redirect" title="Regra do produto (combinatória)">Regra do produto</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Demonstra%C3%A7%C3%A3o_por_bije%C3%A7%C3%A3o&action=edit&redlink=1" class="new" title="Demonstração por bijeção (página não existe)">Demonstração por bijeção</a></li> <li><a href="/wiki/Princ%C3%ADpio_da_inclus%C3%A3o-exclus%C3%A3o" title="Princípio da inclusão-exclusão">Princípio da inclusão-exclusão</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_elementos_distintos&action=edit&redlink=1" class="new" title="Método de elementos distintos (página não existe)">Método de elementos distintos</a></li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=Teoria_musical_dos_conjuntos&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teoria musical dos conjuntos (página não existe)">Teoria musical dos conjuntos</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria_Infinita&action=edit&redlink=1" class="new" title="Combinatória Infinita (página não existe)">Combinatória Infinita</a></li> <li><a href="/wiki/N%C3%BAmero_sequencial_combinat%C3%B3rio" title="Número sequencial combinatório">Número sequencial combinatório</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ligações_externas"><span id="Liga.C3.A7.C3.B5es_externas"></span>Ligações externas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&veaction=edit&section=14" title="Editar secção: Ligações externas" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinat%C3%B3ria&action=edit&section=14" title="Editar código-fonte da secção: Ligações externas"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ime.usp.br/%7Emota/PICME/combinatoria/">"Material de Combinatória"</a>do projeto PICME no IME-USP</li></ul> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Tópicos_em_matemática_industrial_e_aplicada" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-ver"><a href="/wiki/Predefini%C3%A7%C3%A3o:Matem%C3%A1tica_industrial_e_aplicada" title="Predefinição:Matemática industrial e aplicada"><abbr title="Ver esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">v</abbr></a></li><li class="nv-discutir"><a href="/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o_Discuss%C3%A3o:Matem%C3%A1tica_industrial_e_aplicada&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predefinição Discussão:Matemática industrial e aplicada (página não existe)"><abbr title="Discutir esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">d</abbr></a></li><li class="nv-editar"><a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:Matem%C3%A1tica_industrial_e_aplicada&action=edit"><abbr title="Editar esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">e</abbr></a></li></ul></div><div id="Tópicos_em_matemática_industrial_e_aplicada" style="font-size:114%;margin:0 4em">Tópicos em <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_industrial" title="Matemática industrial">matemática industrial</a> e <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_aplicada" title="Matemática aplicada">aplicada</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_computacional" title="Matemática computacional">Matemática computacional</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/L%C3%B3gica_computacional" title="Lógica computacional">Lógica computacional</a></li> <li><a href="/wiki/Projeto_de_algoritmos" title="Projeto de algoritmos">Projeto</a> e <a href="/wiki/An%C3%A1lise_de_algoritmos" title="Análise de algoritmos">análise de algoritmos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_da_informa%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria da informação">Teoria da informação</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_de_c%C3%B3digos" title="Teoria de códigos">Teoria de códigos</a></li> <li><a href="/wiki/Criptografia" title="Criptografia">Criptografia</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_discreta" title="Matemática discreta">Matemática discreta</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_simb%C3%B3lica" title="Matemática simbólica">Álgebra computacional</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_computacional_dos_n%C3%BAmeros" title="Teoria computacional dos números">Teoria computacional dos números</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Combinatória</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_grafos" title="Teoria dos grafos">Teoria dos grafos</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_discreta" title="Geometria discreta">Geometria discreta</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1tica" title="Física matemática">Física algébrica</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_de_operadores&action=edit&redlink=1" class="new" title="Álgebra de operadores (página não existe)">Álgebra de operadores</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=F%C3%ADsica_de_part%C3%ADculas_e_teoria_da_representa%C3%A7%C3%A3o&action=edit&redlink=1" class="new" title="Física de partículas e teoria da representação (página não existe)">Física de partículas e teoria da representação</a></li> <li><a href="/wiki/Grupo_de_renormaliza%C3%A7%C3%A3o" title="Grupo de renormalização">Grupo de renormalização</a></li> <li><a href="/wiki/Integra%C3%A7%C3%A3o_funcional" title="Integração funcional">Integração funcional</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria-M" title="Teoria-M">Teoria-M</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1tica" title="Física matemática">Física analítica</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Geometria_diferencial" title="Geometria diferencial">Geometria diferencial</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_de_Fourier" title="Análise de Fourier">Análise de Fourier</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_harm%C3%B3nica" title="Análise harmónica">Análise harmônica</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_funcional" title="Análise funcional">Análise funcional</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_operadores" title="Teoria dos operadores">Teoria dos operadores</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica" title="Análise matemática">Análise</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Teoria_da_aproxima%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria da aproximação">Teoria da aproximação</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_num%C3%A9rica" title="Análise numérica">Análise numérica</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial" title="Equação diferencial">Equações diferenciais</a></li> <li><a href="/wiki/Sistema_din%C3%A2mico" title="Sistema dinâmico">Sistemas dinâmicos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_de_controle" title="Teoria de controle">Teoria de controle</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_de_varia%C3%A7%C3%B5es" class="mw-redirect" title="Cálculo de variações">Cálculo variacional</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Teoria_das_probabilidades" title="Teoria das probabilidades">Teoria das probabilidades</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_de_probabilidade" title="Distribuição de probabilidade">Distribuições</a> de <a href="/wiki/Vari%C3%A1vel_aleat%C3%B3ria" title="Variável aleatória">variáveis aleatórias</a></li> <li><a href="/wiki/Processo_estoc%C3%A1stico" title="Processo estocástico">Processo estocástico</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_estoc%C3%A1stico" title="Cálculo estocástico">Cálculo estocástico</a></li> <li><a href="/wiki/Integra%C3%A7%C3%A3o_funcional" title="Integração funcional">Integração funcional</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Teoria_da_decis%C3%A3o" title="Teoria da decisão">Teoria da decisão</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Estat%C3%ADstica" title="Estatística">Estatística</a></li> <li><a href="/wiki/Investiga%C3%A7%C3%A3o_operacional" title="Investigação operacional">Pesquisa operacional</a></li> <li><a href="/wiki/Otimiza%C3%A7%C3%A3o" title="Otimização">Otimização</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_jogos" title="Teoria dos jogos">Teoria dos jogos</a></li> <li><a href="/wiki/Economia_matem%C3%A1tica" title="Economia matemática">Economia matemática</a></li> <li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_financeira" title="Matemática financeira">Matemática financeira</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Outras aplicações</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=The_Unreasonable_Effectiveness_of_Mathematics_in_the_Natural_Sciences&action=edit&redlink=1" class="new" title="The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences (página não existe)">Aplicabilidade da matemática (filosofia)</a></li> <li><a href="/wiki/Biologia_te%C3%B3rica" title="Biologia teórica">Biologia</a></li> <li><a href="/wiki/Qu%C3%ADmica_matem%C3%A1tica" title="Química matemática">Química</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Psicologia_matem%C3%A1tica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Psicologia matemática (página não existe)">Psicologia</a></li> <li><a href="/wiki/Sociologia_matem%C3%A1tica" title="Sociologia matemática">Sociologia</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"><div> <ul><li><b><a href="/wiki/Categoria:Matem%C3%A1tica" title="Categoria:Matemática">Categoria</a></b></li> <li><a href="/wiki/Portal:Matem%C3%A1tica" title="Portal:Matemática">Portal de matemática</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Áreas_da_matemática" style="padding:3px"><table class="nowraplinks collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-ver"><a href="/wiki/Predefini%C3%A7%C3%A3o:%C3%81reas_da_matem%C3%A1tica" title="Predefinição:Áreas da matemática"><abbr title="Ver esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">v</abbr></a></li><li class="nv-discutir"><a href="/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o_Discuss%C3%A3o:%C3%81reas_da_matem%C3%A1tica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predefinição Discussão:Áreas da matemática (página não existe)"><abbr title="Discutir esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">d</abbr></a></li><li class="nv-editar"><a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:%C3%81reas_da_matem%C3%A1tica&action=edit"><abbr title="Editar esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">e</abbr></a></li></ul></div><div id="Áreas_da_matemática" style="font-size:114%;margin:0 4em">Áreas da matemática</div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Áreas</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%C3%81lgebra" title="Álgebra">Álgebra</a> (<a href="/wiki/%C3%81lgebra_elementar" title="Álgebra elementar">elementar</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_linear" title="Álgebra linear">linear</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_multilinear" title="Álgebra multilinear">multilinear</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_abstrata" title="Álgebra abstrata">abstrata</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_booleana" class="mw-redirect" title="Álgebra booleana">booleana</a>)</li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica" title="Análise matemática">Análise</a> (<a href="/wiki/An%C3%A1lise_real" title="Análise real">real</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_complexa" title="Análise complexa">complexa</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_funcional" title="Análise funcional">funcional</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_num%C3%A9rica" title="Análise numérica">numérica</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=An%C3%A1lise_matricial&action=edit&redlink=1" class="new" title="Análise matricial (página não existe)">matricial</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_n%C3%A3o_padronizada" title="Análise não padronizada">não standard</a>)</li> <li><a href="/wiki/Aritm%C3%A9tica" title="Aritmética">Aritmética</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo" class="mw-redirect" title="Cálculo">Cálculo</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_das_categorias" title="Teoria das categorias">Teoria das categorias</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Combinatória</a> (<a class="mw-selflink selflink">finita</a></li> <li><a href="/wiki/Combinat%C3%B3ria_infinit%C3%A1ria" title="Combinatória infinitária">infinita</a>)</li> <li><a href="/wiki/Teoria_da_computa%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria da computação">Computação</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_conjuntos" title="Teoria dos conjuntos">Teoria dos conjuntos</a></li> <li><a href="/wiki/Regula%C3%A7%C3%A3o" title="Regulação">Teoria de controle</a></li> <li><a href="/wiki/Criptografia" title="Criptografia">Criptografia</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial" title="Equação diferencial">Equações diferenciais</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria" title="Geometria">Geometria</a> (<a href="/wiki/Geometria_euclidiana" title="Geometria euclidiana">euclidiana</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_discreta" title="Geometria discreta">discreta</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_alg%C3%A9brica" title="Geometria algébrica">algébrica</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_diferencial" title="Geometria diferencial">diferencial</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_finita" title="Geometria finita">finita</a>)</li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_grafos" title="Teoria dos grafos">Teoria dos grafos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_da_informa%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria da informação">Teoria da informação</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_jogos" title="Teoria dos jogos">Teoria dos jogos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_de_Lie" title="Teoria de Lie">Teoria de Lie</a></li> <li><a href="/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica" title="Lógica matemática">Lógica matemática</a></li> <li><a href="/wiki/Estat%C3%ADstica" title="Estatística">Estatística matemática</a></li> <li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1tica" title="Física matemática">Física matemática</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_da_medida" title="Teoria da medida">Teoria da medida</a></li> <li><a href="/wiki/Metamatem%C3%A1tica" title="Metamatemática">Metamatemática</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_modelos" title="Teoria dos modelos">Teoria dos modelos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_n%C3%BAmeros" title="Teoria dos números">Teoria dos números</a></li> <li><a href="/wiki/Otimiza%C3%A7%C3%A3o" title="Otimização">Otimização</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_das_probabilidades" title="Teoria das probabilidades">Teoria das probabilidades</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_de_representa%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria de representação">Teoria de representação</a></li> <li><a href="/wiki/Sistema_din%C3%A2mico" title="Sistema dinâmico">Sistemas dinâmicos</a></li> <li><a href="/wiki/Topologia_(matem%C3%A1tica)" title="Topologia (matemática)">Topologia</a></li> <li><a href="/wiki/Trigonometria" title="Trigonometria">Trigonometria</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_das_singularidades" title="Teoria das singularidades">Teoria das singularidades</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Divisões</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_pura" title="Matemática pura">Pura</a></li> <li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_aplicada" title="Matemática aplicada">Aplicada</a></li> <li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_discreta" title="Matemática discreta">Discreta</a></li> <li><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_computacional" title="Matemática computacional">Computacional</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <ul class="noprint navigation-box" style="border-top: solid silver 1px; border-right: solid silver 1px; border-bottom:1px solid silver; border-left: solid silver 1px; padding:3px; background-color: #F9F9F9; text-align: center; margin-top:10px; margin-left: 0; clear: both;"><li style="display: inline;"><span style="white-space: nowrap; margin: auto 1.5em"><span style="margin-right: 0.5em"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Ficheiro:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg" title="Portal da matemática"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/25px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/38px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/50px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></span> <span style="font-weight:bold"><a href="/wiki/Portal:Matem%C3%A1tica" title="Portal:Matemática">Portal da matemática</a></span></span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtida de "<a dir="ltr" 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